автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель нечеткой линейной регрессии по Чебышеву

На правах рукописи

УДК 519.254

Пономарев Игорь Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕЧЕТКОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПО ЧЕБЫШЕВУ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 июн 2010

Барнаул - 2010

004603986

Работа выполнена на кафедре геометрии и математических методов в экономике ГОУ ВПО "Алтайская государственная педагогическая академия".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Славский Виктор Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Алтайский государственный

технический университет им. И.И. Ползу-нова"

Защита состоится 25 июня 2010 года в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет".

Автореферат разослан " 22 " мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор Шайдук Александр Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Самарина Ольга Владимировна

д.ф.-м.н., профессор

С.А.Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы большую значимость в организационной деятельности как российских, так и зарубежных предприятий занимает количественный анализ результатов эффективности производства. Это влечет за собой спрос на разработку удобных программных продуктов, новых способов анализа финансовой и общеэкономической информации.

На сегодняшний день одним из наиболее перспективных направлений научных исследований в области анализа, прогнозирования и моделирования социально-экономических явлений и процессов является нечеткая логика (fuzzy logic). Нечетко-множественные модели позволяют проводить исследования на достаточно высоком уровне вне зависимости от полноты и точности имеющейся информации, способствуют принятию более обоснованных решений возникающих задач. Внедрение в работу предприятий научных разработок, основанных на теории нечетких множеств, позволяют улучшить качество их работы, сделать более "мобильными" при анализе быстро меняющейся информации. Хотя впервые упоминание о новом методе математического моделирования появилось около полувека назад, данная область научных исследований до сих пор остается недостаточно развитой в нашей стране.

Большое внимание в разработке новых эффективных методов применения теории нечетких множеств в экономике уделено в работах отечественных и зарубежных ученых, таких как G. Bojadziev и М. Bojaclziev [11], H.J Zimmermann [18], А.О. Недосекин [6, 7], A.M. Хил Лафуэнте [10], И.З. Ба-тыршин [2], В.П. Бочарников [3], P.A. Алиев [1].

Одной из наиболее распространенных и изученных форм обработки и исследования информации является регрессионный анализ. Методы нечеткой математики позволили значительно расширить границы применения методов анализа данных, а именно — строить модели на основе расплывчатой, нечеткой исходной информации. Причем эта информация может иметь не только количественный, но и качественный характер. Это сделало возмож-

ным применять методы нечеткого регрессионного анализа в области теории экспертного оценивания и экономики.

Целью диссертационной работы является выделение и исследование нечетких моделей линейной регрессии, разработка новой математической модели нечеткой линейной регрессии по Чебышеву и сравнение ее с уже изученными, приложение полученных результатов в области социально-экономических исследований.

Основные 'задачи работы включают:

1. Построение нечеткой линейной регрессионной модели по Чебышеву.

2. Исследование характеристик построенной модели.

3. Исследование взаимосвязи между известными и построенной моделями.

4. Построение алгоритмов первичной обработки исходных статистических данных, исследование данных на выбросы.

Объект исследования — нечеткие линейные регрессионные модели.

Предмет исследования — модель нечеткой линейной регрессии по Чебышеву.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, теоретической обоснованностью разрабатываемых вычислительных алгоритмов и подтверждается сравнением с другими регрессионными моделями, а также с нечеткой моделью Таиаки.

Основные положения, выносимые на защиту:

- нечеткая линейная регрессионная модель по Чебышеву и соответствующая ей геометрическая интерпретация;

- методика построения нечеткой линейной регрессионной модели по Чебышеву на основе геометрического подхода;

- программное обеспечение для построения и анализа моделей социально-экономической направленности, программное обеспечение для анализа

выбросов в исходных данных относительно различных регрессионных моделей.

Научная новизна. Диссертационная работа содержит новые результаты, устанавливающие связь между стандартной и нечеткой моделями регрессии. Построена и исследована новая нечеткая линейная регрессионная модель по Чебышеву. Указаны эффективные алгоритмы построения рассмотренной нечеткой линейной регрессионной модели. Предложена методика анализа первичных статистических данных на предмет выбросов. Разработан комплекс программ для построения и исследования нечеткой модели линейной регрессии по Чебышеву, основанный на использовании ее геометрической структуры.

Методы исследования. При построении и исследовании математических моделей в диссертации применялся аппарат теории линейного программирования, линейной алгебры, математического анализа, теории нечетких множеств, численные методы оптимизации в системе МаЙаЬ.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для построения и дальнейших исследований нечетких регрессионных моделей в математической экономике, в различных прикладных задачах связанных с анализом данных, в учебном процессе при чтении спецкурсов и проведения спецсеминаров.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на российских и международных научно-технических конференциях: VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 2005, г. Кемерово; VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2006, Красноярск; VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 2007, Новосибирск; IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 2008, Кемерово; Международной конферен-

цки "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева 5-12 октября 2008 г. Новосибирск, Россия; Международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" 14-20 сентября 2009 г. Новосибирск, Россия; Региональных конференциях по математике "МАК - 2005", "МАК - 2006", "МАК - 2009", г. Барнаул; Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование на Алтае" ("МОНА-2005", "МОНА-2006", "МОНА-2008"), краевом семинаре по геометрии и математическому моделированию (Барнаул, 2007г., 2010г.). Кроме того, все результаты работы в разное время докладывались на семинаре кафедры геометрии и математических методов в экономике Алтайской государственной педагогической академии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-98001-р_сибирь_а), а также при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, в том числе 1 статья в издании рекомендованном ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 51 наименование. Общий объем диссертации составляет 129 страниц, включая 34 рисунка и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем, приводятся основные результаты работы.

Первая глава диссертации посвящена введению в теорию нечетких множеств, обзору методов и алгоритмов построения линейных регрессионных моделей, основанных на использовании теории нечетких множеств, исследованию геометрических интерпретаций.

Определение 1. Нечетким множеством А называется множество пар {(х, /^д(х))}, где х - элемент некоторого универсального множества X, а /1а(х) - функция принадлежности, Цд : X —> [0,1].

Функция /ла{х) показывает степень принадлежности элемента х множеству А, для обычного (четкого) множества функция цд(х) принимает только два значения {0,1}.

Определение 2. Нечетким числом В называется нечеткое множество, определенное на множестве всех действительных чисел, функция принадлежности которого является унимодальной.

Определение 3. Нечеткое число А называется треугольным, если функция принадлежности Ца{х) имеет вид:

Ш = I , (1)

где Ь вспомогательная функция

1 — Ы, если |х| < 1, I 0, если |х| > 1

с - мода нечеткого числа А, и) - ширина нечеткого числа А.

Линейная комбинация треугольных нечетких чисел У = (где

X] обычные числа) снова будет треугольным нечетким числом и имеет функцию принадлежности

хзсз ~ У Е;=1 \Xj\Wj

Наиболее простым нечетким обобщением метода наименьших квадратов является регрессионная модель

У; = А\Хц + ... + АкХгк, (4)

где ату 6 Д; У; = и Л,- = - треугольные нечеткие числа; уис,

центры; , «/, ширина носителя нечеткого числа.

В работе [14] определено расстояние Евклида между нечеткими числами.

= Т (3)

Определение 4. Пусть А = (гпа,аа) и В ~ (■ть,аь) два нечетких числа с центрами та,т0 и шириной о.а,аъ соответственно. Евклидовым расстоянием между ними будем называть число

В = у/{та - ть)2 + {аа - аь)2. Тогда для модели (4) можно определить следующую характеристику. Определение 5. Величину, равную

6 = тт^°2(УА

С}¥

г—1,...,п

назовем степенью достоверности модели, где У;) - евклидово расстояние; С, У/ - параметры; У{ - прогнозное значение зависимой переменной.

Используя функцию Ь функцию принадлежности У можно вычислить следующим образом:

+

М?/) =

1 -

\у-С-Хт\

если \Х\ ф О,

(5)

\w-\xn J

1, если |Х| = 0, у ф О,

О, если \Х\ = 0, у - О,

= (и/1,... С = (с1,... ,Ск), X = (хь... ,Хк) - вектора-строки; |Х[ = (1x11,..., Ы), Хг - транспонирование.

Таким образом решение задачи регрессии будет находиться минимизацией <5 и иметь явный вид

(д = (хТху>хТу,

Отметим, что модальные значения зависимой переменной для данной модели совпадают с классическим решением по методу наименьших квадратов.

Если предположить, что ширина носителя У линейным образом связана со значением зависимой переменной [13], то возможно рассмотреть двойную

адаптивную нечеткую модель

Ъ = (Уг, = (С1Х'1 + ■■•+ СкХ1к, (I + Ь?/,). (6)

Соответствующий функционал качества имеет вид

min.

<5(С,b,d) = ^ ^- J2cixiiJ + ^c>x'jj bj J Cbd

Данный функционал минимизируется стандартными дифференциальными методами.

Одной из первых моделей нечеткой линейной регрессии, методы построения которой значимо отличались от классических, была модель Танака [9]. В главе 1 подробно исследуется модель Танака.

Определение 6. Величину, равную

Л (С, W) = min

назовем степенью достоверности модели ({).

Положим а = Л (С, W), тогда имеем следующее неравенство

1»-с-*ГГ

IW-lXif

(8)

Это позволяет свести задачу к задаче линейного программирования

<*« = Е ( Е \ха\)

и,с ¡=1 у

к к

!=1 1=1 4 К:

£ (кХц - (1 - а) Е ^ У], 3 = 1

¿=1 ¿=1

1У>0, Сел*, ¿ = 1,...,п.

Величина а здесь выступает в роли параметра. Решение поставленной задачи линейного программирования существует при 0 < а < 1.

В эквивалентной постановке задачу (8) можно сформулировать как задачу нахождение минимума целевой функции:

к / п

при условии:

Лу(С,1У)= 1-

\у,с .

¿=1 \ 7=1

Окончательно получим

8а = пип {Д (IV) : ЗС [а < Л (С, \У) < 1]} .

V/

Теорема 1. В данных обозначениях справедлива оценка

к

{о>™Е

¡=1

Определим функционал Ф : ■ линейного программирования:

Уз

У, гтти

1=1

0)

Д+ как решение следующей задачи

Ф(е)=тт5>,-ВД,

¡=1

© ^ Е,=1 щХ»

м^ > 0, г — 1,2,...,к. Теорема 2. В данных обозначениях справедлива оценка

<?о < тах Ф(Е^) тт ^

¿=1

Уз У] с^у

¡=1

(10) (11)

(12)

Вторая глава посвящена построению и исследованию нечеткой математической модели парной линейной регрессии по Чебышеву. Дается геометрическая интерпретация данной модели, ее сравнение с моделью Танаки, а также со стандартной моделью линейной регрессии. Исследуется вычислительная сложность построения нечеткой модели линейной регрессии. Указываются эффективные алгоритмы решения.

Пусть имеется нечеткая регрессионная модель

Л = /(*),

где / е Ф - нечеткая числовая функция из некоторого семейства Ф, описывающего данную модель, то есть аргументу х сопоставляется нечеткое числовое значение А = / (х). Наблюдаемое значение Vi & R соответствующее хг € R будем рассматривать как дефаззификацию нечеткого числа Д-, fJ-AiiVi) — степень достоверности этого наблюдаемого значения.

Определение 7. Величину, равную

5{f)= min {ßAtivi)}

назовем степенью достоверности модели /.

Далее будем предполагать, что функция принадлежности ца{у) имеет конкретный вид

где <р : [0, оо) —> [0,1] - фиксированная убывающая функция, </?(0) = 1; а > О - параметр; /о (я) - однозначная числовая функция, равная моде нечеткого числа А = /(х). Функция /0 принадлежит некоторому фиксированному семейству Фо числовых функций. Очевидно, что

maxj=i,-,n |/о (х.) - yj

Таким образом, задача нахождения наиболее достоверной модели свелась к нахождению

max 5(f) = if , (13)

/оёФо

где а определяется из равенства

а = min max |/0 (г,) - уг\.

/06Ф01=1.....П

Константу а определяем из условия нормировки достоверности модели, например ¡р (2) = 0.95. Для линейной регрессии семейство Фо состоит из линейных функций вида у = кх + Ъ. Соответствующая математическая задача

Ш)

сводится к нахождению минимума

а00{Х, Y) = min max |кх, + b — yj, (14)

где X = {xi, x2,..., x„}, У = {yu У2,..., y„} 6 Rn.

Геометрически данная задача сводится к нахождению полосы, заключенной между двумя параллельными прямыми минимальной вертикальной ширины, т.е. вдоль оси OY, и содержащей множество точек

Ю = {(xi,Vi) :г = 1,...,п}.

Замечание. Будем называть регрессию, основанную на норме (Ц), Lao-регрессией. Таким образом модель нечеткой линейной регрессии по Чебы-шеву с математической точки зрения эквивалентна линейной Ь^-регрессии.

Теорема 3. Пусть п > I и х, ф Xj при г ф j. Тогда существует единственная прямая у = hex + bo, на которой достигается минимум

ах, = min max Ifcx; + b — .

k,b i=l....,n

Доказательство основано на равенстве:

а«; - mmtp+(k) - <р (к), (15)

к

где функции

+ . тах^1.....„ (кх( — у,)

Ч> (*) = ---,

_ 1Ш11г=1,...,п (кхг - у,) V («) = -2->

от аргумента к - кусочно линейные и соответственно выпуклые вниз и вверх. Пару функций {1р+(к),(р~(к)} будем называть преобразованием Лежандра конечного множества точек {(х^у;)}^!,.,.,«. Можно определить в некотором смысле обратное преобразование к преобразованию Лежандра.

Замечание. Пусть ¡р+(к) и <р~(к) - выпуклые соответственно вниз и вверх кусочно-линейные функции, имеющие конечное число звеньев и тате, что любая касательная к графику одной из них разделяет графики

этих функций. Тогда в плоскости {к, Ь} определено конечное множество прямых {кх, — у1 : г = 1,. I., п], каждая из которых содержит одно »вено <р+{к) или <р~(к) и таких, что

<Р (к) -- -^-'

<Р (к) = -2-•

Обозначим через М (<£>+,

У") = {(а:. У) : ¥>~(*0 < ^ < <р+(к),Чк 6 л} соответствующее множество точек па плоскости {х,у}.

Теорема 4. Пусть ч>+(к) и р~{к) - выпуклые соответственно вниз и вверх кусочно-линейные функции такие, что любая касательная к графику одной из них разделяет графики этих функций. Тогда множество М (<р+,(р~) -выпуклое, причем точки

= 2/г) : « = 1> •••>«} ,

такие, что {kxi — у,- : г = 1,... ,п} - уравнения звеньев ломанных <р+(к) и <р~(к) будут крайними точками мнооюества М (у?+, <р~).

Далее определяется и исследуется коэффициент корреляции для ¿оо-регре-ссии. Множество точек П — {(х^, у,): г = 1,..., п) можно использовать как для построения регрессии у на х так и х на у.

Определение 8. Определим коэффициент корреляции когг00(Х, У) для Ьж-регрессии формулой

когг00(Х,У) =

к со ' ?

где кос, коо угловые коэффициенты прямых Ьоо-регрессии у на х и х на у соответственно.

Теорема 5. Справедливо неравенство:

-1 < когг^Х, У) < 1.

Знак равенства достигается, когда полосы вертикальной и горизонтальной минимальной ширины совпадают.

Теорема 6. Справедливо равенство:

п _ _^00е-00_

¿ - 1-когГоо(Х,У)' (1Ь]

где Э - площадь параллелограмма, образованного пересечением полосы минимальной вертикальной ширины аи полосы минимальной горизонтальный ширины ах.

Определение 9. Шириной выпуклого множества <2 в направлении единичного вектора п называется длина д(п, О) ортогональной проекции этого множества на прямую, параллельную п. Широтой множества <5 называют

Д(<2) = тщ(/(п,<5).

п

Теорема 7. Пусть полосы вертикальной и горизонтальной минимальной ширины для множества П совпадают, тогда широта выпуклой оболочки С} — Сопу(П) равна ширине этой полосы и вычисляется по формуле:

д(д) = (17)

\/аг + а

V "оо ^ "оо

Замечание. В общем случае справедливо неравенство:

О^оо^оо

А (Q)>

V<*200 + alo

Далее рассматривается случай двух независимых переменных, то есть исходное множество данных

^ — {(xn Vii Zi) : i = 1,2,... ,п} С R3

есть конечное подмножество трехмерного пространства. Тогда возникают три задачи:

с& = , min max \кгхх{ + кгуу{ + bz - zt\, (18)

Q^o — min max \kxyy.i + kxzZi + bx - Xi\, (19)

ауж = min max |kyxx{ + kyzZi + by- y^ , (20)

kyxykyziby i"-

соответствующие ¿оо-регрессиям z на {x,y)\ x на (y,z); у на (x, z).

Теорема 8. Справедливы неравенства:

1*5,1 (21)

00 "ос °оо

К\ф, (22)

"ос "оо

где к°х, к®у, к°у, куХ, Щг - угловые коэффициенты соответствующих плоскостей регрессии.

Теорема 9. Справедливо равенство

(Vх ¿уУ

у _ _ :х: X тс;____(О1^)

1— к к — к к к — к к -к ~ 1с к — к к ' '

А гъхугьух г*Хуп'угГ*'гХ "Х2ГиуХlл^yzIX'zy

где V - объем параллелепипеда полученного пересечением минимальных слоев.

Далее, во второй главе выводятся некоторые формулы для стандартной 1/2-регрессии, в частности доказываются

Теорема 10. Справедлива формула для минимального квадратичного отклонения 02(Х, У):

пЦР(х)Р(у)-соу>(х,у)) л ШиА

пЮ{х) -4> пЮ(х) -4' '

где Бук — площадь треугольника Лг(хг,тд), Aj(xj,Уj), Ак{хк,Ук);

/у ¡З^ ~~

Теорема 11. Справедливо неравенство связывающее а^ и

«ос - V 8

В работе приведены экспериментальные исследования для оценок, связывающих а2 и ах, при помощи системы МаШаЬ.

В третьей главе исследуется однородность выборочных данных относительно различных регрессионных моделей, строится программный комплекс для исследования наличия выбросов.

Рис. 1: Зависимость отношения от числа точек

Проблема выбросов является одной из важных проблем регрессионного анализа. Например, сравнивая модели до удаления одного наблюдения (рисунок 2) и после, можно заметить, что удаление кардинально изменило расположение границ и линий уровня.

В линейной регрессионной модели общей идеей в определении выбросов является проверка статистических свойств остатков - оценок ошибок наблюдения. Наиболее часто встречающиеся алгоритмы процедуры поиска выбросов заключаются в последовательной проверке каждого наблюдения. В данный главе предложен новый подход к решению задачи о выбросах.

Проблема 1. Требуется из данного экспериментального множества данных И = {А, (х{, у,) : г = 1,..., п} отбросить фиксированный процент данных (например 5%) так, чтобы оставшиеся данные По имели наименьшую

Рис. 2: Модель Танака до и после удаления выброса

величину разброса ар(0.о), т.е.

ар(По) = тт{ар{П') [П'] = п0} , (24)

где # [П'] - число элементов в множестве С11; щ < п; п — щ = то - число выбросов.

Решение данной проблемы основаны на одном обобщении преобразования Лежандра:

Определение 10. Пусть П = {Д (хг, у{) :г = 1,- ■ ■, п} - конечное множество точек на плоскости и дана пара натуральных чисел (г, в) : 1 < (г, в) < п. Пусть

МАХГ [{с-ки] = с^,, мш5 [{а}^] =

где {с,Л1'=1 перестановка последовательности {й}"=1 0 порядке убывания Таким образом

МАХо [{с,}"=1] = тах [{с,}"=1] МШ0[{с^=тш[{сЩ.

Назовем обобщенным преобразованием Лежандра множества М пару функций:

/г (Р) = МАХГ {хгр - у{: I = 1,..., п}, /7 (р) = МШ8 {хф - у{: г = 1,... ,п}.

На основе данного понятия предложены и реализованы, в системе Ма^аЬ, алгоритмы численного решения поставленной проблемы для ¿оо-регрессии, £2 и 1/1-регрессий.

Также в данной главе исследуется система нечетких уравнений в "общем положении". Обсуждаются проблемы связанные с приближенным решением систем нечетких отношений равенств, с транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения толерантности и обобщениями на бесконечные множества.

Пусть X = {х1,..., хп}, У = {ух,..., ут} - два конечных множества, X х У - прямое произведение. Пусть А С X, К С А'хУ - нечеткие подмножества определенные своими функциями принадлежности /хд : X —> [0,1], цц : X х У [0,1].

Подмножество Я С X х У будем интерпретировать как нечеткое отношения между элементами множеств X и У. Определена композиция Л о Я = В С У представляющая собой нечеткое подмножество с функцией принадлежности

Ив(У]) = тах ¡1пш{/1,,(^),(1й(1п %■)}}

Я»

Обозначим ¿мЫ = сц, Цп(х„у}) = тг], цв{У}) = V

Для решения системы нечетких уравнений указывается простой алгоритм, аналогичный алгоритму Гаусса решения систем линейный уравнений.

1. Находим общее решение первого уравнения системы оно имеет вид

!а, <Ь{, если г € Х\

(ц произвольное, если г ф Х\ причем хотя бы для одного индекса I £ Х\ должно выполняться равенство = Ъ\.

2. Вычеркиваем из системы первую строчку и столбцы отвечающие индексам г € Х\. Так как при г € А'1 и ] > 2

тт{а;,Гу} < Ь^

то получившиеся при этом система из та — 1 уравнений на оставшиеся переменные переменные й{, г $ Х\ эквивалентна исходной.

3. Повторяем шаги 1 и 2. Если на каком то шаге 1 < з <ш выполняется условие

\ {Хг и Х2 и ... и Х^) = 0 то система несовместна.

В приложении 1 представлены листинги программных модулей, разработанных в системе МаПаЬ.

В приложении 2 приводится нечеткая линейная модель по Чебышеву напряженности на рынке труда и ее интерпретация.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В ходе проведенного исследования решены все поставленные задачи и получены следующие результаты:

построена нечеткая линейная регрессионная модель по Чебышеву, доказаны условия единственности построенной модели, обоснованы и реализованы эффективные алгоритмы оценок коэффициентов модели;

- исследованы характеристики построенной модели, определен аналог коэффициента корреляции для нечеткой линейной регрессии по Чебышеву;

-- на основании описанных геометрических характеристик исследована взаимосвязь функционалов качества построенной модели и ранее известных моделей, проведено экспериментальное исследование этой взаимосвязи;

- предложен и теоретически обоснован алгоритм первичной обработки исходных статистических данных на предмет выбросов, основанный на минимизации величины разброса.

Список работ, опубликованных по теме диссертации:

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ:

1. Пономарев И.В., Славский В.В. Нечеткая модель линейной регрессии // Доклады академии наук. - 2009. - Т. 428. - №5. - С. 598-600.

Другие публикации:

2. Гладунова О.П., Пономарев И.В., Родионов Е.Д., Родионова Л.В., Славский В.В. Математические методы в научных исследованиях - Барнаул: Изд-во "Концепт", 2009. - 200 с.

3. Пономарев И.В. Геометрический подход к модели нечеткой линейкой регрессии // Вестник БГПУ: Естественные и точные науки. - 2008. -Вып. 8. - С. 79-81.

4. Пономарев И.В. Выбросы в регрессионных моделях // Вестник АлтГПА: Естественные и точные науки. - 2009. - Вып. 9. - С. 65-66.

5. Пономарев И.В. Модель нечеткой регрессии и алгоритмы её построения // Математическое образование в регионах России: труды международной научно-практической конференции (Барнаул, 21 ноября 2008 г.). -Барнаул, 2008. - С. 67-71.

6. Пономарев И.В. Линейная регрессия на основе теории нечетких множеств //VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделирования и информационным технологиям: материалы международной конференции (Кемерово, 29-31 октября 2005 г.). - Кемерово, 2005. - С. 24.

7. Пономарев И.В. Алгоритмы нечеткой линейной регрессии // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделирования и информационным технологиям: материалы международной конференции (Красноярск, 1-3 ноября 2006 г.). - Красноярск, 2006. - С. 28.

8. Куркина М.В., Пономарев И.В. Алгоритм Гаусса для решения нечеткой системы отношений // VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: материалы международной конференции (Новосибирск, 27-29 ноября 2007 г.). - Новосибирск, 2007. - С. 22.

9. Пономарев И.В., Славский В.В. Нечеткая линейная регрессия //IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделирования и информационным технологиям: материалы международной конференции (Кемерово, 28-30 октября 2008 г.). - Кемерово, 2008. - С. 24-25.

10. Куркина М.В., Пономарев, И.В. Система нечетких отношений равенств в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.): тезисы докладов. - Ин-т математики СО РАН. Новосибирск : Изд-во Института математики, 2008. - С. 513.

11. Пономарев И.В. Линейная регрессия на основе теории нечетких множеств // Математическое образование на Алтае: труды региональной научно-методической конференции (Барнаул, 21 октября 2005 г.). - Барнаул, 2005. - С. 90-94.

12. Пономарев, И.В., Славский В.В. Сравнение моделей нечеткой и стандартной линейной регрессии // МАК-2009: материалы двенадцатой всероссийской конференции по математике (Барнаул, июнь, 2009 г.). - Барнаул, 2009. - С. 57-58.

13. Пономарев, И.В. Методы решения нечетких дифференциальных уравнений первого порядка // МАК-2006: материалы девятой всероссийской конференции по математике (Барнаул, апрель, 2006 г.). - Барнаул, 2006. - С. 29.

14. Куркина М.В., Пономарев, И.В. Преобразование Лежандра конечного множества // Современные проблемы анализа и геометрии: тезисы докладов международной конференции (Новосибирск, 14-20 сентября 2009 г.). - Новосибирск, 2009. - С. 64.

Литература

[1] Алиев Р. А., Церковный А. Э., Мамедов Г. А. Управление производством при нечеткой исходной информации. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 240 е.: ил.

[2] Батыршин И. 3. Основные операции нечеткой логики и их обобщения.

- Казань: Отечество, 2001. - 100 е., ил.

[3] Бочарников В. П. Риму-технологии: Математические основы. Практика моделирования в экономике. - Санкт-Петербург: "Наука" РАН, 2001. -328 с.

[4] Леопепков А. В. Нечеткое моделирование в среде МАТЬАВ и ймгуТЕСН

- СПб.:, БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.

[5] Малышев Н. Г., Берштейп Л. С., Боэ/сенюк А. В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 136 е.: ил.

[6] Недосекин А. О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций - СПб.: Сезам, 2002.

[7] Недосекин А. О. Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях -СПб.: Сезам, 2003.

[8] Нечеткие множества в моделях управления и искуственного интелекта / под ред. Д. А. Поспелова - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -312 с.

[9] Прикладные нечеткие системы / под ред. Т. Тэрано - М.: Мир, 1993. -512 с.

[10] Хил Лафуепте А. М. Финансовый анализ в условиях неопределенности - Минск: Тэхнолопя, 1998.

[И] Bojadziev G., Bojadziev М. Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Applications. - World Scientific Pub Co, 1996.

[12] Charfeddine S., Mora-Carnino F., De Coligny M. Fuzzy linear regression application to the estimation of air transport demand // International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance, Volume II, Saint-Petersburg, Russia,June 17-20, 2004, 351-359

[13] D'Urso P., Gastaldi T. A Least-squares approach to fuzzy linear regression analysis, Computational Statistics and Data Analysis 34 (2000), 427-440.

[14] Jann-Huei Jinn, Chwan-Chin Song, J.C. Chao A Study of Fuzzy Linear Regression / InterStat

http://intcrstat.statjournals.net/YEAR/2008/articles/0807006.pdf

[15] Tanaka H., Uejima S., Asai K. Linear regression analysis with fuzzy model 11 IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 12(6), (1982), 903907.

[16] Shu-Heng Chen, Paul P. Wang, Tzu- Wen Kuo Computational Intelligence in Economics and Finance Volume II. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.

[17] Weisberg S. Applied linear regression — 3rd ed. Jonh Wiley & Sans, Inc., 2005.

[18] Zimmermann H. J. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston/Dordrecht/London: Kluwer Academic Publishers, 1991.

Подписано в печать 11.05.2010 г. Объем 1,4 уч.-изд.л. Формат 60 х 80/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Тираж 100 экз. Заказ №478 Отпечатано в типографии "Концепт", 656049, г.Барнаул, пр-т Социалистический, 85, т./ф.: (3852) 36-82-51, concept-print.ru

Введение

1 Нечеткая линейная регрессия

1.1 Стандартная модель линейной регрессии.

1.2 Теория нечетких множеств.

1.2.1 Нечеткие числа.

1.3 Нечеткий регрессионный анализ.

1.3.1 Нечеткий метод наименьших квадратов.

1.3.2 Двойная адаптивная модель нечеткой линейной регрессии

1.3.3 Модель Танака.

1.3.4 Расширения модели Танака.

2 Нечеткая модель линейной регрессии по Чебышеву

2.1 Определения и обозначения.

2.2 Основные результаты.

2.2.1 Коэффициент корреляции Loo-регрессии

2.2.2 Сравнение нечеткой и стандартной линейной регрессии

2.2.3 Экспериментальное моделирование нечеткой и стандартной линейной регрессии.

2.2.4 Алгоритмы нахождения ттк,ьР{к, Ь)

3 Выбросы нечеткой линейной регрессии

3.1 Выбросы в регрессионных моделях.

3.1.1 R статистика Стыодента.

3.1.2 Расстояние Кука.

3.1.3 АР статистика.

3.2 Программный комплекс в системе MatLab для исследования выбросов.

3.2.1 Выбросы в равномерно-нечеткой L00 регрессионной модели

3.2.2 Выбросы в стандартной L2 регрессионной модели

3.2.3 Выбросы в стандартной L\ регрессионной модели

3.3 Нечеткие функциональные отношения.

3.3.1 Алгоритм Гаусса для решения нечеткой системы отношений

3.3.2 Система нечетких отношений равенств в банаховом пространстве

В последние годы большую значимость в организационной деятельности как российских, так и зарубежных предприятий занимает количественный анализ результатов эффективности производства. Это влечет за собой спрос на разработку удобных программных продуктов, новых способов анализа финансовой и общеэкономической информации.

На сегодняшний день одним из наиболее перспективных направлений научных исследований в области анализа, прогнозирования и моделирования социально-экономических явлений и процессов является нечеткая логика (fuzzy logic). Нечетко-множественные модели позволяют проводить исследования на достаточно высоком уровне вне зависимости от полноты и точности имеющейся информации, способствуют принятию более обоснованных решений возникающих задач. Внедрение в работу предприятий научных разработок, основанных на теории нечетких множеств, позволяют улучшить качество их работы, сделать более "мобильными" при анализе быстро меняющейся информации. Хотя впервые упоминание о новом методе математического моделирования появилось около полувека назад, данная область научных исследований до сих пор остается недостаточно развитой в нашей стране.

Большое внимание в разработке новых эффективных методов применения теории нечетких множеств в экономике уделено в работах отечественных и зарубежных ученых, таких как G. Bojadziev и М. Bojadziev [23], H.J Zimmermann [51], А.О. Недосекин [12, 13], A.M. Хил Лафуэнтс [20], И.З. Батыршин [2], В.П. Бочарников [3], Р.А. Алиев [1].

Одной из наиболее распространенных и изученных форм обработки и исследования информации является регрессионный анализ. Методы нечеткой математики позволили значительно расширить границы применения методов анализа данных, а именно — строить модели на основе расплывчатой, нечеткой исходной информации. Причем эта информация может иметь не только количественный, но и качественный характер. Это сделало возможным применять методы нечеткого регрессионного анализа в области теории экспертного оценивания и экономики.

Целью диссертационной работы является выделение и исследование нечетких моделей линейной регрессии, разработка новой математической модели нечеткой линейной регрессии по Чсбышеву и сравнение ее с уже изученными, приложение полученных результатов в области социально-экономических исследований.

Основные задачи работы включают:

1. Построение нечеткой линейной регрессионной модели по Чебышеву.

2. Исследование характеристик построенной модели.

3. Исследование взаимосвязи между известными и построенной моделями.

4. Построение алгоритмов первичной обработки исходных статистических данных, исследование данных на выбросы.

Объект исследования — нечеткие линейные регрессионные модели. Предмет исследования — модель нечеткой линейной регрессии по Чебышеву.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, теоретической обоснованностью разрабатываемых вычислительных алгоритмов и подтверждается сравнением с другими регрессионными моделями, а также с нечеткой моделью Танаки. Основные положения, выносимые на защиту:

- нечеткая линейная регрессионная модель по Чебышеву и соответствующая ей геометрическая интерпретация;

- методика построения нечеткой линейной регрессионной модели по Чебышеву на основе геометрического подхода;

- программное обеспечение для построения и анализа моделей социально-экономической направленности, программное обеспечение для анализа выбросов в исходных данных относительно различных регрессионных моделей.

Научная новизна. Диссертационная работа содержит новые результаты, устанавливающие связь между стандартной и нечеткой моделями регрессии. Построена и исследована новая нечеткая линейная регрессионная модель по Чебышеву. Указаны эффективные алгоритмы построения рассмотренной нечеткой линейной регрессионной модели. Предложена методика анализа первичных статистических данных на предмет выбросов. Разработан комплекс программ для построения и исследования нечеткой модели линейной регрессии по Чебышеву, основанный на использовании ее геометрической структуры.

Методы исследования. При построении и исследовании математических моделей в диссертации применялся аппарат теории линейного программирования, линейной алгебры, математического анализа, теории нечетких множеств, численные методы оптимизации в системе Matlab.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для построения и дальнейших исследований нечетких регрессионных моделей в математической экономике, в различных прикладных задачах связанных с анализом данных, в учебном процессе при чтении спецкурсов и проведения спецсеминаров.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на российских и международных научно-технических конференциях: VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 2005, г. Кемерово; VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2006, Красноярск; VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 2007, Новосибирск; IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 2008, Кемерово; Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева 5-12 октября 2008 г. Новосибирск, Россия; Международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" 14-20 сентября 2009 г. Новосибирск, Россия; Региональных конференциях по математике "МАК - 2005", "МАК - 2006", "МАК - 2009", г. Барнаул; Всероссийской научно-методической конференции "Математическое образование на Алтае" ("МОНА-2005", "МОНА-2006", "МОНА-2008"), краевом семинаре по геометрии и математическому моделированию (Барнаул, 2007г., 2010г.). Кроме того, все результаты работы в разное время докладывались на семинаре кафедры геометрии и математических методов в экономике Алтайской государственной педагогической академии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-98001-рсибирьа), а также при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, в том числе 1 статья в издании рекомендованном ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 51 наименование. Общий объем диссертации составляет 129 страниц, включая 34 рисунка и 5 таблиц.

Заключение

Приемы и методы регрессионного анализа различным образом применяются в большем числе исследований. Основным подходом к построению моделей в социально-экономических науках является метод наименьших квадратов. Он достаточно прост и универсален. Однако успешное применение данного метода зависит от выполнения ряда существенных предположений, которые на практике редко проверяются или проверка их затруднена некоторыми объективными причинами. Это может повлечь за собой получение некачественных оценок параметров (смещенных, несостоятельных и т.д.) и как следствие ложных выводов.

Построенная в данной работе нечеткая линейная регрессионная модель представляет собой более универсальный подход к проблеме построения уравнения регрессии. Применение теории нечеткой математики делает данную модель более приспособленной к неопределенностям, возникающим при использовании выборочных данных. В тоже время модель оставляет возможность легко изменять уровень точности в зависимости от нужд исследования. Отсутствие жестких ограничений способствует тому, что пользователь любого уровня математической подготовки способен создать качественную регрессионную модель.

Важным моментом любого исследования является первичная проверка имеющихся в его распоряжении данных. Модель будет являться более точной, если при ее построении были использованы однородные данные. Применение классического метода наименьших квадратов существенно зависит от качества предлагаемой выборки. Существует достаточное число методов определения статистически выделяющихся из общего числа наблюдений -выбросов. Использование этих методов затруднено количеством производимых операций и сложностью алгоритмов реализации. Так же вызывает сомнение правильность их применений в других моделях.

В настоящей работе приводится еще один из возможных методов фильтрации данных. Описанный подход может применяться как для нечеткой линейной модели по Чебышеву, так и для классических регрессионных модел ей. Отличительными особенностями данного метода является возможность совмещения процесса построения модели с фильтрацией выборочных данных. Следует заметить, что данный метод неспособен всецело ответить на вопрос о качественности выборки и для полного анализа выборки необходимо использовать максимально возможное число процедур. В конечном счете, только сам исследователь может сделать вывод является ли наблюдение выбросом или нет.

В ходе проведенного исследования решены все поставленные задачи и получены следующие результаты:

- построена нечеткая линейная регрессионная модель по Чебышеву, доказаны условия единственности построенной модели, обоснованы и реализованы эффективные алгоритмы оценок коэффициентов модели;

- исследованы характеристики построенной модели, определен аналог коэффициента корреляции для нечеткой линейной регрессии по Чебышеву;

- на основании описанных геометрических характеристик исследована взаимосвязь функционалов качества построенной модели и ранее известных моделей, проведено экспериментальное исследование этой взаимосвязи;

- предложен и теоретически обоснован алгоритм первичной обработки исходных статистических данных на предмет выбросов, основанный на минимизации величины разброса.

1. Алиев Р. А., Церковный А. Э., Мамедов Г. А. Управление производством при нечеткой исходной информации. - М.: Энсргоатомиздат, 1991. - 240 е.: ил.

2. Батыршин И. 3. Основные операции нечеткой логики и их обобщения.- Казань: Отечество, 2001. 100 е., ил.

3. Б опарников В. П. Fuzzy-технологии: Математические основы. Практика моделирования в экономике. СПб.: "Наука" РАН, 2001. - 328 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 4-е, доп. Учеб. пособие для вузов. М.: "Высшая школа ", 1972. - 368 с.

5. Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: в 2-х кн. кн.1 / пер. с англ.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 1986,- 366 с.

6. Дрейпер, Н., Смит, Г. Прикладной регрессионный анализ: в 2-х кн. кн.2 / пер. с англ.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 1986.- 351 с.

7. Дьяконов В.П., Круглое В.В. Математические пакеты расширения MATLAB: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. - 480 с.

8. Лейхтвейе К. Выпуклые множества М.: Наука, 1985, - 336 с.

9. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH- СПб.:, БХВ-Петербург, 2003. 736 с.

10. Малышев Н. Г., Берштейн Л. С., Боженюк А. В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 136 е.: ил.

11. Недосекин, А. О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций СПб.: Сезам, 2002.

12. Недосекин, А.О. Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях -СПб.: Сезам, 2003.

13. Нечеткие множества в моделях управления и искуственпого интелекта / под ред. Д.А. Поспелова М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -312 с.

14. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение М.: Мир, 1989, С.478.

15. Сантало Луи А. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. пер. с англ./под ред. Р. В. Амбарцумяна. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-360 с.

16. Прикладные нечеткие системы / под ред. Т. Тэрано М: Мир, 1993. -512 с.

17. Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости М.: Наука, 1965, - 172 с.

18. Хил Лафуенте A.M. Финансовый анализ в условиях неопределенности Минск: Тэхнолопя, 1998.

19. Andrews D.F., Pregibon D. Finding the outliers that matter // Journal of the Royal Statistical Society, 1978, Vol. 40, pp. 84—93.

20. Barber С. В., Dobkin D.P., Huhdanpaa H.T. The Quickhull Algorithm for Convex Hulls // ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 22, No. 4 (Dec. 1996), p. 469-483

21. Bojadziev G., Bojadziev M. Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Applications. World Scientific Pub Co, 1996.

22. Buchinsky M Recent Advances in Quantile Regression Models: A Practical Guideline for Empirical Research. Brown University and NBER.1997

23. Cheng L., Wang P.P. Fuzzy relation equation: the general and specialized solving algorithms, Soft Computing 6 (2002), 428-435.

24. Cook R. D. Detection of Influential Observation in Linear Regression -Technometrics, Vol. 19, No. 1. (Feb., 1977), pp. 15-18.

25. Czogala E., Drewniak, J., Pedrycz, W. Fuzzy relation equations on a finite set, Fuzzy Sets and System 7 (1982), 89-101.

26. David В., Yadolah D. Alternativ Methods of Regression. 1993 by Jonh Wiley & Sans, Inc.

27. D'Urso P., Gastaldi T. A Least-squares approach to fuzzy linear regression analysis, Computational Statistics and Data Analysis 34 (2000), 427-440.

28. Dug Hun Hong, Changha Hwang Support vector fuzzy regression machines. Fuzzy Sets and Systems. 2002

29. Gomez А. Т., Sanchez, Jorge de Andres Applications Of Fuzzy Regression In Actuarial Analysis, Journal of Risk & Insurance 30 (2003), 665-699.

30. Green W.H. Econometrics Analysis, 5th edition. Prentice-Hall,Upper Saddle River, New Jersey

31. Guo S.Z., Wang P.Z., Di Nola A., Sessa S. Further Contributions to the Study of Finite Fuzzy Relation Equations, Fuzzy Sets and Systems, 26 (1988) 93-104

32. Higashi M., Klir G. J. Resolution of finite fuzzy relation equations, Fuzzy Sets and Systems 13 (1984), 65-82.

33. Hubler 0., Frohn J. Modern Econometric Analysis. Springer, Berlin-Heidelberg, 2006.

34. Jann-Huei Jinn, Chwan- Chin Song, J.C. Chao A Study of Fuzzy Linear Regression / InterStathttp://interstat.statjournals.net/YEAR/2008/articles/0807006.pdf

35. Kyung-Bin Song, Young-Sik Baek, Dug Hun Hong, and Gilsoo Jang Short-Term Load Forecasting for the Holidays Using Fuzzy Linear Regression Method //IEEE transactions on power systems, Vol. 20, — 2005. — No. 1, P.96-101.

36. James P. LeSage Applied Econometrics using MATLAB

37. C. Radhakrishna Rao, Helge Toutenburg, Shalah, Christion Heumann. Linear Models Least Squares and Alternativ. 3rd Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

38. Tanaka H., Uejima S., Asai K. Linear regression analysis with fuzzy model // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 12(6), (1982), 903907.

39. Sanchez E. Resolution of composite fuzzy relation equations // Information and Control. 1976. T. 30. C. 38-48.

40. Shapiro A. F. Fuzzy Regression and the Term Structure of Interest Rates Revisited.

41. Shu-Heng Chen, Wang P.P., Tzu-WenKuo (Eds.) Computational Intelligence in Economics and Finance Volume II. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.

42. Wang H.F., Chang Y.C. Resolution of composite interval-valued fuzzy relation equations, Fuzzy Sets and Systems 44 (1991), 227-240.

43. Weisberg S. Applied linear regression — 3rd ed. Jonh Wiley & Sans, Inc., 2005.

44. Wu В., Tseng N.-F. A New Approach To Fuzzy Regression Models With Application To Business Cycle Analysis, Fuzzy Sets and Systems 130 (2002), 33-42.

45. Yu LI, Jonathan LI, Haibin DONG, Xiangqian GAO. A fuzzy relation based algorithm for segmenting color aerial images of urban environment

46. Zadeh LA. Fuzzy sets. Information and Control, vol. 8, 1965, pp. 338-353.

47. Zimmermann, H. J. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston,Dordrecht,London: Kluwer Academic Publishers, 1991.