автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Локальный вариационный принцип: к новой постановке прямой и обратной задачи динамики

РГ6 од

На правах рукописи

Валишин Наиль Талгатовнч

ЛОКАЛЬНЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП: К НОВОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРЯМОЙ II ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 1998

Работа выполнена в Казанском верситете - КАИ им. А.Н.Туполева.

государственном техническом уни-

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки

и техники РФ и РТ, Академик МАН высшей школы, Академик АН Татарстана, доктор технических наук, профессор Дегтярев Г.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Галиуллин A.C.

доктор физико-математических наук, профессор Полншук Р.Ф.

Ведущая организация: Казанский государственный университет.

Защита состоится " / " ч/СА ) 1998 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 063.43.03 при Казанском государственном техническом университете им.А.Н.Туполева, в зале заседания ученого совета по адресу: 420111, г. Казань, ул. К.Маркса, 10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "_"_1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета^^^^^^^^/ кандидат физико-математических наук П.Г.Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы - вызвана наличием в науке самих вариационных принципов, природа которых до сих пор остается во многом таинственной и загадочной и требует своего исследования. А это прежде всего предполагает изучение возможностей существующих вариационных принципов и установление их общего концептуального базиса (если это возможно). Далее, такого рода исследование неизбежно выводит к тем новым запросам в физике, которые требуют более общего принципа. Наиболее четко выделил наличие такой тенденции советский физик С.И.Вавилов в своей программной статье "Физика" - "может случиться, что будущая физика включит как первичное простейшее явление способность, сходную с ощущением и на этой основе будет объяснять многое другое".

Более того, отсутствие такого принципа, с одной стороны, приводит к тому, что оказываются не до конца понятыми и невостребованными многие научные результаты, например, связанные с именами Г.Герца, Луи де Бройля, Н.Г.Четаева; с другой стороны, многие задачи, с которыми сталкиваются, например, создатели новой техники, решаются на основе только инженерного опыта, и они до сих пор недоступны для глубокой математической постановки.

Цель исследования - разработка такого вариационного принципа, который позволил бы преодолеть дуализм траекторных задач и задач переходного процесса, преодолеть рамки концепции возмущенного-невозмущенного движения и расширить класс движений научной теории.

Научная новизна - Дано новое освещение существующих вариационных принципов: все они укладываются в концепцию возмущенного-невозмущенного движения, где существуют только траекторные вариации.

Выдвигается новое продолжение вариационного подхода, когда неопределенность положения 5х возникает за счет вариации волновой функции У(х,(), т.е. траекторные вариации неразрывны с вариациями волновыми.

Такое продолжение вариационного подхода позволило выйти за рамки концепции возмущенного-невозмущенного движения и формировать новый вариационный принцип (Локатьный Вариационный Принцип -ЛВП) со своей концептуальной базой (концепция процесса-состояния).

На этом основнии осуществлена новая постановка прямой и обратной задачи динамики и установлена их неразрывность, что и показано на примере оптико-механической аналогии, получившей здесь в свою очередь новое продолжение по сравнению с оптико-механическими аналогиями Гамильтона, Луи де Бройля, Шредингера и Четаева.

В частности, кроме известного соответствия между волной и частицей, выявленного Луи де Бройлем, получено новое соответствие, а именно равенство фазовой скорости волны и скорости частицы. При этом волновые и траекторные измерения можно описать одной волновой функцией, что можно рассматривать как разрешение дуализма волны и частицы.

Достоверность результатов - достигается в силу того, что полученные новые результаты с одной стороны, не противоречат существующим признанным в науке результатам, хотя и не сводятся к ним (например, принцип Гамильтона, принцип Герца; оптико-механическая аналогия Гамильтона, Луи де Бройля, Шредингера, НГ.Четаева; правила квантования), с другой стороны, дают ключ к пониманию давно обозначенных в науке, но не до конца признанных результатов (механика Г.Герца, концепция волна-пилот Луи де Бройля).

Практическая ценность - В локальном вариационном принципе (ЛВП) содержится принцип Герца. Если в случае принципа Герца движение динамической системы происходит вдоль кривой наименьшей кривизны с постоянной скоростью, то в нашем случае движение происходит в направлении градиента волновой функции тоже с постоянной скоростью. Герц в свою очередь показал, что из его принципа можно получить все другие вариационные принципы (интегральные, дифференциальные, принцип кратчайшего времени, пути). Значит и в нашем принципе содержатся все эти вариационные принципы.

Решение прямой и обратной задачи динамики в новой постановке и продолжение оптико-механической аналогии выводят, с одной стороны, к обнаружению того обстоятельства, что неэффективность механики Герца связана с нарушением неразрывности прямой и обратной задачи динамики с последующим сведением только к обратной задаче, к геометризации динамики, а в свою очередь неудача Луи де Бройля в его попытке выделить частицу из волны связана с ограниченными возможностями существующих тогда оптико-механических аналогий, установленных на базе известных вариационных принципов; с другой стороны, здесь происходит своего рода слияние двух противоположенных представлений реальности: дальнодействия (линия геометризации динамики) и близкодействия (линия Фа-радея - Максвелла - Луи де Бройля) и становится возможной математическая постановка тех физических задач (например, задачи управляемости, задачи формирования эталонной модели), которые оставались непрозрачными для существующих математических теорий (теории устойчивости, теории оптимальности и т.д.). Кроме того, открываются новые возможности для физических исследований, в том числе для исследования природы физического вакуума.

Апробация работы. Основные принципиальные положения и результаты докладывались и обсуждались на:

I, II, III Международных конференциях "Геометризация физики". (Казань, 1993, 1995, 1997);

IV Международном Симпозиуме "Методология математического моделирования". (Варна, 1994);

XI Международной конференции по логике, методологии и философии науки. (Обнинск, 1995);

I Международной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматического проектирования в машиностроении". (Казань, 1995);

XXII Гагаринских Чтениях. (Москва, 1996);

VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997);

III Всероссийском Ахметгатеевском семинаре "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997);

Международной конференции "Смирновские чтения" (Москва, 1997);

VIII, IX Международных Конгрессах "Космос и философия" (Варна -Болгария, 1996; Спарта - Греция, 1997);

II, ГО Республиканских научных конференциях молодых ученых и специалистов. (Казань, 1996, 1997);

Научно-технической конференции "Факультету Автоматики и электронного приборостроения - 45 лет" (Казань, 1996);

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 22 научных трудах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 113 наименований. Общий объем работы, вкшочая 1 рисунок, 97 страниц. .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении был проведен обзор существующих в механике вариационных принципов: принцип кратчайшего времени Ферма, принципы наименьшего действия Мопертюи, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона, дифференциальные вариационные принципы Даламбера-Лагранжа, Гаусса, Жур-дена. Установлено, что все данные принципы укладываются в рамки концепции возмущенного-невозмущенного движения, разработанной Ляпуновым для исследования задач устойчивости, затем глубоко затронутой Че-таевым. Летовым. В рамках этой концепции решаются также задачи оптимального управления, сюда укладываются и существующие методы решения прямой и обратной задачи динамики. Но в рамках концепции возмущенного-невозмущенного движения невозможно одновременно удовлетворить таким противоположным требованиям как устойчивость и.управляемость летательного аппарата. Данная проблема здесь находит разрешение через концепцию процесса-состояния, на базе которой был сформулирован локальный вариационный принцип (ЛВП) и доказана теорема о необходимом и достаточном.

В главе I приводится формулировка ЛВП, доказательство теоремы о необходимом и достаточном и поясняется концепция процесса-состояния.

Формулировка принципа:

Из всех возможных переходов в новое состояние осуществляется тот, при котором в каждый момент времени быстрота изменения волновой функции У(.х,0 принимает стационарное значение

¿1 - о о,

Пусть волновая функция есть непрерывная, дважды дифференцируемая по своим аргументам V'-функция, удовлетворяющая уравнению:

---ь —Г—Г-—М*)//(-х) = 1-^--~7— (2)

■д1 i.j=l ох1сЫ] /=1 ах, ш 4 '

/{х) — я-мерный вектор правых частей уравнений движения динамической системы:

* = /(*) (3)

где х - п-мерный вектор фазовых координат.

Рассмотрим управляемую динамическую систему,

х=Дх,и) (4)

и(1) — вектор управляющих воздействий размерности г ,и(0 е (/; х({) — вектор фазовых координат размерности п, х(() е X. Пусть управление изменяется на малую величину, т.е.

, где Ц,{() — оптимальное управление, минимизирующее функционал

I

10

Теорема Т.Для перехода в новое состояние необходимо и достаточно существование К-функции, удовлетворяющей условию:

сИ )

(6)

где Л(-) = + " опеРа^ия полной вариации.

Принципиальным моментом при доказательстве необходимости является равенство траекторией вариации и дифференциала, т.е.

8х - с/.Х = хс11 = /с/Г, которое имеет место лишь в том случае, если У-функция удовлетворяет уравнению (2).

При доказательстве достаточности показывается, что если выполняется (6) и (1), то осуществляемый переход динамической системы (4) будет управляемым в смысле податливости к действующим возмущениям, оптимальным (единственным), устойчивым и волновая функция будет удовлетворять уравнению (2). При этом условие локальной управляемости принимает вид:

= о, (7)

ди

где Н - Я' У (х, г/) - функция Гамильтона, а переменная Я —

'

удовлетворяет сопряженной системе уравнений: ■ _ дН

Тогда подынтегральное выражение функционата качества (5) можно выбрать в следующем виде: .

1 = нг=7ххг1 (9)

В этом случае функционал качества (5) будет определять меру управляемости и удовлетворяет условию локальной оптимальности, вытекающего из (7). К тому же функция Ь одновременно является и функцией Ляпунова, так как удовлетворяет условиям теоремы об устойчивости.

В п.1.3 рассматриваются концепция возмущенного-невозмушенного движения и концепция процесса-состояния, которая базируется на следующем постулате динамизма.

Для формирования нового состояния необходимо н достаточно продолжение процесса, или что то же самое, для продолжения процесса необходимо и достаточно существование состояния.

В главе II переход динамической системы (4) в новое состояние рассматривается как задача близкодейсгвия. Например, проявление близко-действия полета летательного аппарата есть управляемость в смысле податливости к возмущениям, управление с помощью рулей, устойчивость, обеспечение эталонной модели, которые в полете решшзуются одновременно.

На каждом этапе движения авиации возникают те же проблемы, что и на заре авиации - это осуществление самого полета, самого процесса, но при действии нового поля возмущений. Здесь особенно выделяется задача определения эталонной модели ЛА, которая устанавливает для конструктора требуемый предел' совершенствования характеристик устойчивости и управляемости ЛА. Формирование эталонной модели приобретает особое значение в силу самой своей природы, связанной с отражением осуществленного опыта как всей авиации, так и опыта создания данного типа ЛА. В рамках предлагаемого вариационного подхода смысл эталонной модели совпадает с существованием волновой функции. -

.В п.2.3 проводится физическая постановка проблемы управляемости. Отмечается, что управляемость как податливость к возмущениям не сводится к той управляемости, которая была поставлена Калманом в теории управления, как возможность перевода динамической системы с помощью управления из одного состояния в другую за конечный промежуток времени. С использованием условия управляемости (7), доказывается теорема II.

Теорема II.Движение динамической системы (3) происходит так, что в каждый момент времени вектор фазовой скорости сонаправлен с градиентом волновой функции т.е.

дУ т

/ = 'Л х . ' (10)

сх

Когда переход динамической системы в новое состояние осуществлен, то(1)принимает вид:

а

(II

'¿*ТА а(дУт А

ОХ = - - I Х£

Ж\сх /

ЗУ .

= 0 => — - х = сошГ.(На) сх

\ск ]

В ходе доказательства показывается, что функция

Н = Я7 / = Лтх принимает максимальное значение по управлению. Такой результат схож с принципом максимума в задаче быстродействия. Только в нашем случае быстродействие естественным образом уже заложено в самом локальном вариационном принципе, т.е. не вносится извне.

Показывается так же, что, когда переход в новое состояние осуществлен, то динамическая система (4) принимает вид:

*=/(*,и)=7(х,и(х)) =/(*) (12)

В п.2.4 приводится новая постановка прямой задачи динамики: Заданы дифференциальные уравнения, описывающие траекторию . движения динамической системы (3).

Требуется определить волновую функцию У(х,{), удовлетворяющей уравнению (2)

Начальные и граничные условия для уравнения (2) вытекают из тео- . рем I и II и условий связанности волны с траекторией. •

К(*Д=о = К(*,0) = 0 (13)

(у

см)

---у-''! = const (15)

■ St !,=o St

= k x{t), (16)

SV(x,t) I SF(0,t) ,

Sx I v=t> Sx

Для случая X = & с учетом (2), (13)-( 16) получаем:

V(x,t)= ----- VAe ' (17)

(О"

Равенство (17) является уравнением монохроматической плоской волны, которая распространяется в направлении движения частицы.

В главе III приводится краткое изложение существующих методов решения обратных задач динамики, осуществляется новая постановка обратной задачи динамики, которая позволяет определить уравнения движения динамической системы, выявляется связь ЛВП с принципом прямейшего пути Герца, показывается, что в ходе решения обратной задачи естественным образом возникает квангованность.

В механике под обратной задачей динамики понимается задача определения сил и моментов, приложенных к механической системе, параметров системы по заданным свойствам движения, которые определяют одно из возможных движений системы. Нами установлено, что все существующие методы решения обратных задач сводятся к обеспечению эталонной траектории и укладываются в рамки возмущенного-невозмущенного движения.

Обратная задача динамики на базе ЛВП ставится следующим образом:

Для заданной волновой функции V(x,t), удовлетворяющей уравнению

''Т -х'Ил - И' -

с?Г бх ¿1

дх^ск,

1

требуется определить дифференциальные уравнения движения динамической системы (3).

При заданной волновой функции из (10) сразу следует решение обратной задачи динамики:

х1=к~ъ (19)

Используя (11 а) и теорему 11 можно показать, что выполняется

-х = 0 (20)

дУт с! .

1 . ■> 1 . г . I V"1 • 2

-Г = -х'х = -Хх, - = С, (21)

ск (Ь

Из (20) с учетом (19) получается при к=1 равенство

I "

2 гЬх

Решая обратную задачу, мы получили не только уравнения движения (19), правые части которых зависят от способа задания У-функции, но и выход к основаниям механики Г.Герц 1, который следует из (21).

Г.Герц в последние годы своей недолгой, но плодотворной творческой жизни подготовил гениальный труд "Принципы механики, изложенные в новой связи". Свой принцип Г.Герц сформулировал так: "Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей". При этом он строил свою механику на основе трех понятий: пространство, время и масса, а сила (или энергия) для него является вторичным понятием и определяется скрытыми связями и скрытым движением. Принцип прямейшего пути, как показывает Г.Герц, является более общим в том смысле, что' из него вытекают и интегральные энергетические принципы, принцип кратчайшего пути, принцип кратчайшего времени. А

А. 2 * = ° (22)

из (21). и (11а) следует, что в нашем принципе содержится и принцип Г .Герца.

Для одномерного случая (п =7) уравнение (18) с учетом (20) примет

вид:

(x,j) _ ¿lV(xj) ,2 Й2 дх'

Пусть волновая функция задана в виде уравнения монохроматической плоской волны(17). Тогда (17) будет удовлетворять (22), если

i = 5. (23)

При этом из равенства

dV

—- = const t (24)

которое получается из теоремы 1, где волновая функция задана в виде (17), следует

-^-^---ыКюе s = const. (25)

dt

От комплексного коэффициента в, (25) можно избавиться в случае, если фаза принимает значения:

0 = |+^,(«=0,1,2,3....) (26)

Отсюда следует, что равенство (25) принимает только дискретные значения, т.е.

K(0^{\ + 2ri) = const (27)

А из равенства

—= — е s =k & (28)

а. &

которое следует из теоремы II, получаем с учетом (26) и (27)

— ■■ $ = к '.9 = const. (29)

Sx

Равенство (29) не что иное как выполнение (11а) при п = /.

В главе IV проводится оптико-механическая аналогия. Оптико-механическая аналогия - это прежде всего взгляд на природу света. В разные времена исследователи поднимали эту проблему и решали ее на базе имеющегося физико-математического аппарата. Так Гамильтоном, Луи де Бройлем, Шредингерем оптико-механическая аналогия проводится на базе существующих вариационных принципов и решается на уровне геометрической оптики. В результате такой аналогии получается, что фазовая скорость волны обратно пропорционально скорости частицы. Именно оптико-механическая аналогия позволила Л.де Бройлю установить волновые свойства материи, а Шредингеру - постулировать свое волновое уравнение.

В п.4.2 устанавливается связь ЛВП с принципом Гамильтона

г, \

\Ldt

~0 (30)

где 5 - главная функция Гамильтона (действие по Гамильтону), Ь - функция Лагранжа. Пусть волновая функция задана в виде:

Г(х,/) = е * (31)

Тогда при подстановки этой функции в равенство (1) получается, что главная функция Гамильтона должна удовлетворять двум условиям ■

<5? = 0 (32)

' с18л

лг" (33)

Условие (32) не что иное как принцип Гамильтона, а условие (33) выводит к оптико-механической аналогии Н.Г.Четаева, который показал как соот-

носится устойчивое движение голономной консервативной системы с волновым уравнением.

В п.4.3 осуществляется новое продолжение оптико-механической аналогии. Рассматривается свободное прямолинейное движение частицы со скоростью

х= 9 (34)

Траекторному движению частицы, как следует из (22) соответствует волновое движение, удовлетворяющее волновому уравнению:

¿гУ{х,1) дгУ(х,1) пг

—¿Р---19 = °- <35>

В результате решения прямой задачи динамики, для случая (35) мы получили волновую функцию в таком виде

(У

У(х ,1)=Ке & (36)

где К = (37)

СО

Пусть = ~ = (38)

2 л

где А - постоянная Планка. Тогда из решения обратной задачи динамики (27) следует правило квантования энергии, такое же как у Шредингера в случае лланковского осциллятора. При этом из (28) в случае (п 0) получаем

Псо0 , _1 п

~ (39)

Отсюда с учетом размерности действия [кг][лг / с][м] следует, что

А:"1 =т (40)

где т - масса частицы.

Используя полученные результаты, можно провести такие соответствия между волной и частицей

3 = &

тЭ2

со ~---

Гг

х_ И (41)

т& К=П

При этом волновые и траекторные измерения можно описать одной волновой функцией:

±/'{"'х-м) ±!1(-'--х-Г1М) ±1-(т$х-Е<)

У(.х,() = Пе п 3 =Ье * э = Пе я (42)

В соотношениях (41) основным является равенство фазовой скорости волны и скорости частицы, в то время как в квантовой механике скорость частицы равна групповой скорости волн Л. де Бройля. Условие же квантования энергии (27) получается естественным образом в результате решения обратной задачи и здесь не возникают проблемы, которые появляются в квантовой механике при использовании волнового уравнения Шрединге-ра. Сама волна у Шредингера не имеет реального физического смысла, оставаясь лишь математическим аппаратом в виде волнового уравнения с комплексным коэффициентом, вычисление собственных значений волновой функции которого и задает правило квантования энергии.

Следует также отметить, что те тенденции, в. физике, как принцип Герца, когда все движение сводится, к движению по траектории с постоян- • ной скоростью, т.е. к геометризации динамики с одной стороны, с другой стороны желание Л.де Бройля преодолеть дуализм волны-частицы через одно нелинейное уравнение, которое им так и не было найдено, здесь на- . ходят обоснование через решение обратной и прямой, задачи динамики и продолжения оптико-механической аналогии. При этом сама волновая

функция У(х,1) не только как-то связана с движением частицы, а непосредственно выражает само движение, которое всегда имеет волновой характер будь то свет , будь то летательный аппарат.

В заключении подведен краткий итог выполненного в рамках диссертации исследования, намечены направления перспективных исследований.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Валишин Ф.Т., Валишин Н.Т. Казанская программа Н.Г.Четаева и концепция динамизма. - В кн: Труды Международной конференции "Геометризация физики''. Казань, 1994. С.228-231.

2. Валишин Ф.Т., Валишин Н.Т., Башков В.И. Методология Луи де Бройля и концепция динамизма I. - В кн: Методология математического моделирования.. София,1994. С.78-80

3. Валишин Ф.Т., Валишин Н.Т. Методология Луи де Бройля и концепция динамизма II. - В кн: Логика, Методология и Философия Науки. М, 1995. С.132-135.

4. Валишин Н.Т. К Задаче формирования эталонной модели. - В кн: Модель-Проект. Казань, 1995. С.68-69.

5. Валишин Ф.Т., Валишин Н.Т. Проблемы современной физики: возможности методологии. - В кн: Геометризация физики И. Тезисы докладов. Казань, 1995. С.20-21.

6. Валишин Н.Т. Локальный вариационный принцип и оптико-механическая аналогия. - В кн: Геометризация физики И. Тезисы докладов. Казань, 1995. С. 18-19.

7. Валишин Н.Т. К задачам близкодействия. - В кн: Математическое моделирование и краевые задачи. Самара, 1996. С.130-132.

8. Валшйин H.T. К проблеме локальной управляемости. - В кн: Факультету автоматики и электронного приборостроения - 45 лет. Тезисы . докладов. Казань, 1996. С.20.

9. Валишин Ф.Т., Валишин Н.Т Концепция Процесса-Состояния: к новым постановкам и решениям в физике. - В кн: Методология математического моделирования. София, 1996.

10. .Валишин Н.Т. Локальный вариационный принцип и задачи дина- • мики полета I. Известия вузов "Авиационная техника" 1997, №1

П. Валишин Н.Т. Локальный вариационный принцип и задачи динамики полета II. Известия вузов "Авиационная техника" 1997, №1

12. Валишин Н.Т., Валишин Ф.Т. К концепции возмущенного-невозмущенного движения. - В кн.: II Республиканская конференция молодых ученых и специалистов. Сб. тезисов. Физико-математические науки. Казань, 1996. £36.

13. Valishin F.T., Valishin N.T. Strategy of dinamism: new principle of space flights. In: Space and Philosophy, Sofia, 1996.

14. Валишин Н.Т. Локальный вариационный принцип : к новой постановке некоторых задач динамики полета и физики. Казань, 1996. (Пре- . принт/ Казан, гос. техн. ун-т; 96П1). 24 с.

15. Валишин Ф.Т., Валишин Н.Т. Стратегия динамизма: к новому принципу полета. - В кн.: Международная конференция "Смирновские чтения". М, L957.

16. Валишин Н.Т. Концепция процесса-состояния: к новой постановке прямой и обратной задачи динамики. В кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. Тезисы докладов. Казань, 1997. С.175

17. Valishin F.T., Valishin N.T The monism of the Cosmos and the Local -Variational Principle. - In; Cosmos and Philosophy. Abstracts. Athens, 1997.

18. Valishin F.T., Valishin N.T To a problem of contemporary physics: . lethodology of dynamism. In: Cosmos and Philosophy. Athens and Sofia, 997. p.59-64.

19. Вапишин H.T. К новой постановке прямой и обратной задачи динамики. В кн.: Тезисы Международной конференции "Геометризация фишки III". Казань,1997. С.21.

20. Вадишин Н.Т. К физической постановке проблемы управляемости. '/Российско-американский журнал. Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем: процессы, модели, эксперимент. 1997.№4 (В печати) .

21.Валишин Н.Т. К новой постановке обратной задачи динамики. //Вестник Казанского государственного технического университета. 1997, №2 (В печати).

22. Валишин Н.Т. К принципу неопределенности. В кн.: Ш Республиканская научная конференция молодых: ученых и специалистов. Сб. тезисов. Физико-математические науки. Казань, 1997.