автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Локальная модель расчета поляризуемостей, дисперсионных констант ван-дер-ваальсового взаимодействия C8, C10 и объемных характеристик некоторых кристаллов

На правах ткописи

ВИНОКУРСКИЙ ДМИТРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

Локальная модель расчета поляризуемостей,

дисперсионных констант ван-дер-ваальсового взаимодействия Сг, Сю и объемных характеристик некоторых кристаллов.

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2006

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН и Северо-Кавказском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Сербина Людмила Ивановна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кочкаров Ахмат Магомедович, кандидат физико-математических наук, доцент Каргина Ирина Ивановна

Ведущая организация: Ростовский государственный университет

Защита состоится «// » (р&^/^с^^- 2006 г. в час. на засе-

дании диссертационного совета ДМ 212.245.09 при Северо-Кавказском государственном университете по адресу: 355029 г. Ставрополь, проспект Кулакова 2, главный корпус.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета.

Автореферат разослан «/3 » ¿ЬгСёдМ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Мезенцева О.С.

ОООСА

>И37

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. .

Проблема исследования ван-дер-ваальсовых взаимодействий охватывает широкий крут вопросов - от характеристик взаимодействия атомоц и ионов (энергии взаимодействия, сечения рассеяния и так далее) до различных прикладных задач материаловедения. В последние годы, в связи с бурным развитием теории твердого тела, резко возрос интерес к исследованию межатомных взаимодействий.

Впервые, ван-дер-ваальсовое (дисперсионное) взаимодействие было описано Лондоном. Теория Лондона объяснила существование кристаллов атомов инертных газов, открытых незадолго до этого. В ней взаимодействие электрически нейтральных атомов объяснялось спонтанным возникновением электрических дипольных моментов. Для ориентационных, индукционных и дисперсионных межмолекулярных взаимодействий была установлена одна общая черта - их флуктуационное электромагнитное происхождение. Это позволили описать с единых позиций дисперсионные, индукционные и ориен-тационные взаимодействия. В дальнейшем выяснилось, что теория ван-дер-ваальсовых сил между отдельными атомами и молекулами допускает далеко идущие обобщения. Ван-дер-ваальсовые имеют важное значение в рассмотрении и анализе данных по рассеянию и дифракции атомов на поверхностях твердых тел.

В настоящее время к ван-дср-ваальсовому взаимодействию как раз и относят все силы, имеющие флуктуационное электромагнитное происхождение. Теоретические выводы о дисперсионном взаимодействии были подтверждены экспериментально на слюдяных пластинках с атомно-гладкими поверхностями.

Доказано, что ван-дер-ваальсовые взаимодействия проявляют себя как многочастичные силы, аддитивность дисперсионных сил является лишь первым приближением в их описании.

Настоящая работа посвящена исследованию ван-дер-ваальсовых взаимодействий в рамках метода функционала электронной плотности и новой локальной модели Томаса-Ферми-Дирака. Построению математической модели дисперсионных взаимодействий, учитывающей неоднородность электронной плотности атома на периферии. В работе предполагается, что ван-дер-ваальсовое взаимодействие носит аддитивный характер.

Цельработы:

■ Разработка модели для расчета атомных дипольных и квадрупольных по-ляризуемостей.

■ Исследование и обоснование применения локальной модели Томаса-Ферми и метода функционала электронной плотности к изучению ван-дер-ваальсовых сил.

■ Разработка качественно новой модели расчета констант дисперсионных взаимодействий и С/о

■ Построение алгоритма численного расчета объемных характеристик атомов щелочно-галоидных кристаллов в методе функционала электронной плотности и локальной модели Томаса-Ферми-Дирака. ,

• Численная реализация алгоритма расчета поверхностной энергии и поверхностного натяжения щелочно-галоидных кристаллов.

Научная новизна.

о Построена качественно новая локальная модель Томаса-Ферми-Дирака, учитывающая неоднородность электронной плотности на периферии атома.

о Исследованы качественные и структурные свойства теории возмущений в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

о Получены принципиально новые формулы для дипольных и квадруполь-

ных поляризуемостей в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака, о Разработаны и исследованы модели для расчета дисперсионных констант

Се и Сю в рамках метода функционала электронной плотности, о Разработан, в рамках локальной модели Томаса-Ферми-Дирака, метод расчета объемных характеристик кристаллической решетки, с использованием потенциалов парного взаимодействия, полученных самосогласованным образом.

о Предложены эффективные численные модели расчета: равновесного межионного расстояния для щелочно-галоидных кристаллов в В1-модификации; энергии когезии решетки для этих кристаллов; поверхностной энергии и поверхностного натяжения.

Методы исследования.

Для достижения основной цели исследования в диссертации использованы: основные принципы математического моделирования локальных систем с распределенными параметрами; методы вариационного исчисления; методы теории возмущений; методы усреднения; теория интегральных и дифференциальных операторов; векторное и тензорное исчисление; численные методы.

Научно-практическая ценность работы.

Полученные результаты носят фундаментальный характер и направлены на развитие квантово-статистических методов и теории ван-дер-ваальсового взаимодействия расчета характеристик атомов и ионов. Предложенные модели позволяют с высокой точностью, проводить расчеты целого ряда характеристик свободных атомов и ионов, а также атомов, находящихся под высоким давлением. Результаты работы могут быть использованы для теоретического объяснения взаимодействия разряженных газов, характеристик атомов инертных газов, находящихся в твердом состоянии, а также целого ряда прикладных задач материаловедения.

Основные положения выносимые на защиту.

1. Принципиально новая модель расчета мультипольных поляризуемостей атомов и ионов, позволяющая учитывающая вклады первого и второго порядка теории возмущений.

2. Конструктивный и высокоточный алгоритм численного расчета диполь-ных и квадрупольных поляризуемостей атомов и ионов в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

3. Аналитическая модель дисперсионных констант С8 и Сю-

4. Метод вычисления констант ван-дер-ваальсовского взаимодействия С8 и Сю-

5. Параметрическая модель расчета объемных характеристик щелочно-галоидных кристаллов.

6. Вычислительные модели энергии связи решетки, поверхностной энергии и поверхностного натяжения для щелочно-галоидных кристаллов.

Личный вклад автора в получении научных результатов, изложенных в диссертации.

Задача диссертационного исследования была поставлена и выполнена совместно с научным руководителем, принимавшим участие как в обосновании, так и в обсуждении конкретных моделей. Все аналитические и компьютерные расчеты проведены автором самостоятельно.

Апробация работы.

Основные результаты работы регулярно докладывались на: заседаниях научного семинара НИИ ПМА РАН (1997 - 2004 гг.), научном семинаре кафедры высшей математики СевКавГТУ (2004 - 2005 гг.); I Международной конференции «Актуальные проблемы современной науки» (Самара 2000 г.); XII, XVI, XVII, XVIII Международных конференциях «Уравнения состояния вещества» (Терскол, 1997, 2001, 2002, 2003 гг.); Международном симпозиуме «Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах (ОМА - 2002)» (Сочи 2002 г.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 22 работы, из них 1 препринт, 12 статей, 10 тезисов докладов. В центральной печати опубликовано 5 работ (из них 1 статья в журнале «Доклады академии наук»), 5 тезисов докладов на Международных конференциях и 5 тезисов докладов на Всероссийских конференциях.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка цитированной литературы. Объем работы 125 страниц машинописного текста, включая 22 таблицы, 12 рисунков и библиографию, содержащую 150 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются задачи исследования и основные положения, выносимые на защиту, а также приводится краткая аннотация диссертационной работы.

Первая глава является критическим обзором работ, посвященных описанию моделей межатомных взаимодействий. Его условно можно разделить на три части. Первая посвящена анализу метода функционала плотности, его развитию и применению в теории межатомных взаимодействий. Во второй части рассматриваются существующие теории расчета ван-дер-ваальсовых констант и поляризуемостей любой мультипольности Третья часть посвящена методам расчета межатомных потенциалов, уравнений состояния вещества и объемных характеристик различных кристаллических веществ.

На основе структурного и качественного анализа существующих математических моделей межатомных взаимодействий формулируется цель и методы исследования.

Вторая глава посвящена построению теории, учитывающей поведение атома на периферии и разработки методов теории возмущений в новой локальной модели Томаса-Ферми-Дирака. Выведены формулы для расчета ди-польной и квадрупольной поляризуемостей атомов.

В локальном приближении подразумевается, что электронная плотность, связана с внутриатомным потенциалом формулой

Р(г) = у(г)[(<р0 + т0)/г + Ч]\ (1)

Здесь <ра - невозмущенный атомный потенциал, г0 = \/4Ъг, р(г) - электронная плотность, у(г) - функция, «исправляющая» ход электронной плотности на периферии атома.

Невозмущенная электронная плотность описывается формулой.

О(г)=Лпггр(г) = Ц2 ехр(-°Л,г) +

(2)

+1V; * V V - сс)ехр(-ьХ1Г)]

где Ы- число электронов в атоме, у, Я - вариационные параметры. Невозмущенный внутриатомный потенциал <р0 в уравнении (1) определяется из непосредственного интегрирования уравнения Пуассона:

У>,(г)=4х-Ж). (3)

В результате подставноки <р0 в уравнение Томаса-Ферми-Дирака (1), получим выражение для функции у(г):

г(г)=-Ш-. (4)

На рисунке 1, в соответствии с формулой (4) представлено поведение функции у(г) для атома Не. Среднее значение данной функции уср = 0,02046, не сильно отличается от принятого значения уй « 0,02871.

Рисунок 1. График функции у (г) для «тома Не. Расстояние измеряется в «томных единицах (а.е.)

Для определения дипольной поляризуемости атома в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака считается, что атом помещен в однородное слабое электростатическое поле напряженностью с. Слабое однородное поле изменяет внутриатомный потенциал на величину 8<р, определяемую выражением:

&р = -е г. (5)

Здесь ось г совпадает с направлением напряженности внешнего однородного электростатического поля £.

Применяя к уравнениям (1), (2), (3) метод интегральных преобразований, получаем для расчета дипсшьной поляризуемости атома или иона следующую формулу.

В ней Гд - граничный радиус атома, определяемый из условия нормировки для электронной плотности, а %(г)= <р„ + г] + г0Л/(£>0 + т] .

Сравнительный анализ разработанной модели расчета дипольной статистической поляризуемости в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака (6) с существующими аналитическими моделями расчета поляризуемостей выявил следующие преимущества данной модели:

1. Она, в силу своей автомодельности по г, упрощает сложный процесс вычисления дипольной поляризуемости при г —> °о.

2. Она существенно уменьшает машинное время расчета дипольной поляризуемости.

Результаты расчетов по формуле (6) дипольных поляризуемостей, проводимых в системе МАТЬАВ 6 Я 13, и данные эксперимента, представлены в таблице 1. Данные таблицы 1 показывают, хорошее совпадение с экспериментом, что объясняется «правильным» воспроизводием поведение электронной плотности на периферии атома в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

Таблица |. Дмпольные поляризуемости многозарядных ионов. (а.е.). Ъ - заряд атомного ядра, N - число электронов в ионе.

Ион г N ТФД Лок. ТФД Эксперимент

18 10 1,40 4,12 3,16

Си"* 20 10 8,90 2,15 1,74

ТГ* 22 10 5,00 2,00 1,04

26 10 2,37 3,96 4,44

28 10 1,41 2,48 3,08

2>г°> 30 10 1,00 2,01 2,10

Кг*" 36 10 4,46 5,63 9,31

42 10 2,24 3,64 4,62

Сии 20 18 6,30 4,83 -

/V* 26 18 5,60 4,25 3,70

На рисунке 2 приводятся графики аппроксимации дипольных поляри-зумостей Ые - подобных ионов в различных моделях и аппроксимированные данные эксперимента.

Рисунок 2. Дипольныс поляризуемости Ые- подобных нонов ТКВ- класеиче-ская теория Томаса - Ферми - Дирака, теория Хартри - Фока, ЬТРО-локальная модель Томаса-Ферми-Дирака, эксперимент.

Для квадрупольной поляризуемости атома, помещенного в слабое внешнее электростатическое поле, в рамках разработанной теории возмущений локальной модели Томаса-Ферми-Дирака, также пользуясь методами вариационного анализа и теории усреднений, была получена формула:

25

п

V

а, =-

Мг\ х{>)

с/г

18

ЧО

От

Х\г) 125 { Х{г)

(7)

Результаты вычислений квадрупольных поляризуемостей атомов аг по формуле (7) приведены в таблице 2.

Таблица 2. Квадрупольные поляризуемости атомов инертных газов аг.

Атом г N 1 2 3 4 5

Не 2 2 - - 2,16 - 13,817

А/е 10 10 9,80 6,42 34,95 6,42 21,98

Аг 18 18 69,8 49,62 43,49 50,12 161,05

Кг 36 36 122,13 101,46 159,7 94,25 337,75

В первом столбце таблицы 2 приведены данные расчета квадрупольных поляризуемостей вариационно-статистическим методом, во втором - кванто-во-механическим, в третьем - методом Хартри-Фока с релятивистскими поправками, в четвертом - в соответствии с классической моделью Томаса-Ферми-Дирака и в пятом - по локальной модели Томаса-Ферми-Дирака. Данные таблицы, а также графики квадрупольной поляризуемости аг Аг -подобных ионов, приведенных на рисунке 3, показывают «плохое» совпадение с результатами вычислений, полученных в других моделях. В работе сделан вывод, что столь неудовлетворительный результат вычислений квадрупольных поляризуемостей по локальной модели Томаса-Ферми-Дирака объясняется тем, что данная модель носит усредненный характер и поэтому позволяет производить вычисления по теории возмущений только первого порядка и второго порядка. Для вычисления же квадрупольных поляризуемостей необходимо описать эффекты, которые проявляются в высших порядках теории возмущений. По этой причине локальная модель ТФД и дала столь неудовлетворительный результат для вычисления именно высших мульчи-польных поляризуемостей.

Рисунок 3. Квадрупольные поляризуемости йДя!) Лт - подобных ионов. ХФ -метод Хартри-Фока, ТФД- метод Томаса-Ферми-Днрака, ЛТФД- локальная модель Томаса-Ферми-Дирака.

В третьей главе. на основе метода функционала электронной плотности строится теория расчета дисперсионных констант С& и Сю ван-дер ваальсово-го взаимодействия. В настоящее время, в силу того, что дисперсионные силы возникают вследствие межмолекулярной корреляции, дисперсионное взаимодействие принято рассматривать как усредненную индукционную энергию, которая обусловлена флуктуирующим неоднородным электрическим полем, создаваемым каждым из атомов в месте расположения другого атома. Количественная характеристика взаимодействия диполем и квадруполем описывается ван-дер-ваальсовой константой С*.

В работе рассматриваются возможные варианты появления диполь-квадрупольного взаимодействия в системе из двух нейтральных атомов:

1. В первом атоме возник спонтанный дипольный момент, электрическое поле которого создает во втором атоме индуцированный квадруполь-ный момент.

2. В первом атоме возник спонтанный квадрупольный момент, поле которого индуцирует дипольный момент во втором атоме.

3. Во втором атоме возник спонтанный квадрупольный момент, поле которого создает в первом атоме индуцированный дипольный момент

4. Во втором атоме возник спонтанный дипольный момент, электрическое поле которого создает в первом атоме индуцированный квадрупольный момент.

Из 1-4 получено, что энергия диполь-квадрупольного взаимодействия в аддитивном приближении описывается формулой:

и = и^ + и/~в + и^ + и2в^, (8)

где С//"0 - энергия диполь-квадрупольного взаимодействия, I/®"'- энергия квадруполь-дипольного взаимодействия, 1=1,2.

Преобразование вкладов в формуле (8), используя методы тензорного анализа, свертки тензора по индексам и теории усреднений, позволяют получить формулы расчета константы Се ван-дер-ваальсового взаимодействия для гетероатомных пар:

(9)

И для гомоатомных (одинаковых) пар:

(9)

В формулах (8), (9) а, - дипольная поляризуемость /-го атома; а'2> - квадру-польная поляризуемость /-го атома; (г,)2 средний радиус /-го атома;/г,2^ -средний квадрат радиуса/-го атома; Л,,//, - вариационные параметры.

Результаты расчетов дисперсионных констант Се ван-дер-ваальсового взаимодействия по формулам (8) и (9) для различных атомов приведены в таблице 3. Приведенные в таблице 3 значения показывают, что формулами (8), (9) очень точно описываются многоэлектронные атомы. Это объясняется тем, что данная модель в своей основе статистическая и поэтому она лучше описывает многоэлектронные системы. Для малоэлектронных систем имеются отклонения, которые также объяснимы статистическим характером данной математической модели. Основным же вкладом в дисперсионную константу ван-дер-ваапьсова взаимодействия является квадруполь - дипольный вклад. Данный вид взаимодействия дает в константу С$ вклад, достигающий 99% от общей суммы.

Таблица 3. Вычисленные значения для дисперсионного коэффициента С« по

(8) и (9) в а.е.

Не Хе Аг Кг Хе Н

Не 4,45 201,3 324,2 623,5 233,5 12,3

N6 79,12 356,87 528,92 847,23 86,02

Аг 1233,61 24870,2 4236,9 403,56

Кг 2147,98 6523,54 684,93

Хе 6545,92 1423,5

Н 5,46

Таблиц» 4. Вклады в дисперсионную константу С» от разных слагаемых по формуле (9).

Слагаемое Не N6 Аг Кг Хе Н

Диполь-квалрунольнып ВКЛАД 0,36 0,1 33,12 376,92 2757,72 2,12

Процентное отношение 8% 0,12% 3% 18% 42% 42%

Квадруполь-днпольный вклад 4,09 79,02 1200,49 1771,1 3788,20 3,34

Процентное отношение 92% 99,88% 97% 82% 58% 58%

Количественной характеристикой, описывающей квадруполь-квадрупольное и диполь-октупольное взаимодействие в мультипольном разложении энергии, является константа С;о. Вклад таких мультипольных моментов как квадруполь и октуполь в энергию дисперсионного взаимодействия невелик (-2%), но он существенен, особенно в том случае, когда речь идет о больших расстояниях между атомами. В системе, состоящей из двух электрически нейтральных атомов, возможны следующие варианты проявления этого взаимодействия:

1. В первом атоме возник спонтанный квадрупольный момент, электростатическое поле которого создает во втором атоме индуцированный квадрупольный момент.

2. Во втором атоме возник спонтанный квадрупольный момент, электростатическое поле которого создает в первом атоме индуцированный квадрупольный момент.

3. В первом атоме возник спонтанный дипольный момент, поле которого создает во втором атоме индуцированный октупольный момент.

4. Во втором атоме возник спонтанный дипольный момент, поле которого создает в первом атоме индуцированный октупольный момент.

5. В первом атоме возникает спонтанный октупольный момент, который через свое электростатическое поле создает во втором атоме индуцированный дипольный момент.

6. Во втором атоме возникает спонтанный октупольный момент, который индуцирует в первом атоме дипольный момент.

Получено, что энергия всех выше перечисленных вкладов 1-6 в аддитивном приближении, описывается формулой:

и = + + и?'1 + + + и^, (10)

где - энергия квадруполь-квадрупольного взаимодействия; и?~1 - энергия диполь-октупольного взаимодействия; и1;'* - энергия октуполь-дипольного взаимодействия, 1=1,2.

Формула (10) в мультипольном разложении имеет вид

где Я - межатомное расстояние, С10~ дисперсионная константа.

Преобразования вкладов в формуле (10), основанные на методах тензорного анализа и теории усреднений, позволяют получить формулы для расчета дисперсионной константы Сю в случае гетероатомных пар:

С„ = +сс?>Цг2)7]+Х-[ахт1(г1)г +«2 т?(г1)г] +

гомоатомных пар:

(13)

Результаты вычислений дисперсионной константы Сю по формулам (12) и (13) приведены в таблице 5. В таблице 6 отражены данные анализа вкладов вносимых в Сю различными взаимодействиями 1-6.

Таблица 5. Вычисленные значения дисперсионной константы Сц по (9) и (10)

(12)

Не N6 Аг Кг Хе Я

Не 2,3-102 3,86-102 3,44-103 6,81-Ю1 1,55-104 5,3-102

Не 1,12-103 9' 10' 1,92-104 3,92-104 6,08-103

Аг 3-Ю4 8,25-104 1,63 105 2,03-Ю4

Кг 1,93-Ю5 •3,22105 4,45-Ю4

Хе 8,39-105 4,36103

Н 5,09-103

Таблица 6. Вычисленные вклады в дисперсионную константу Сю.

Вклад Не Ые Аг Кг Хе Н

Октуполь-диполь 3.6 46 208 3,49 5,4 45

Квадруполь-квадруполь 0.2 5,8 818 2,87 2,12 21,7

Диполь-октуполь 1.9-102 1,1-Ю3 3-105 1,9-105 8,4105 5,0103

Расчетные данные таблиц 5 и 6 показывают, что математические модели расчета дисперсионной константы Сю, представленные уравнениями (12) и (13) достаточно точно описывают многоэлектронные атомы и гораздо хуже малоэлектронные атомы. Исходя из этого в работе сделвн вывод, что подавляющий вклад в С/о вносит диполь-октупольное взаимодействие, все же остальные взаимодействия вносят практически нулевой вклад. Это объясняется тем, что они имеют статистическую природу.

В рамках формализма теории возмущений функционала электронной плотности, используя вариационный метод Ритца для определения вариационных параметров X, ц, т получена формула, инвариантная для каждого вариационного параметра

к 1 зи: +яг;+зи'а1 +¿7-;, +«5г; (И)

Здесь Зи'а - изменение энергии электрон - ядерного взаимодействия во внешнем поле; <57" - изменение кинетической энергии; ¿ЯГ - изменение обменной энергии; 8Г', - изменение первой градиентной поправки; ЗГ'„ - изменение второй градиентной поправки. Для каждого вариационного параметра X, ц, т, перечисленные энергетические определяются однозначно, полученными аналитическими выражениями.

Результаты вычисления вариационных коэффициентов X, ц, т в соответствии с (14) для различных параметров приведены в таблице 7.

Таблица 7. Вариационные коэффициенты X, ц, т.

Не Ие Аг Кг Хе Н

Л 0,07 -0,013 -0,03 -0,051 -0,59 0,131

и -0,074 -0,15 -0,14 -0,016 -0,16 -0,03

т -0,2 -0,25 -0,25 -0,25 -0,26 -0,18

В четвертой главе. построена модель расчета объемных характеристик щеЛочно-галоидных кристаллов. В ней получено, что термодинамический потенциал ионного кристалла, находящегося в условиях гидростатического сжатия, при температуре абсолютного нуля может быть представлен в виде расчетных моделей:

= + (15)

К

+ (16)

где ац{ =1,747558, ар1 =1,76268- постоянные Маделунга В1 - и В2 - структур соответственно; Я,, Я? - расстояния между ближайшими соседями в этих модификациях; У, = 2я', У2 = (8/з-Л)я' - объем элементарной ячейки в фазах В1 и В2 соответственно; £/„,(/?,), (/,,(/?,)- потенциалы парного взаимодействия ионов.

Из соотношений (15), (16), сделан вывод, что точность вычисления термодинамического потенциала, а, следовательно, и теплофизических характеристик фаз (в том числе и когезионных), зависит от близости используемого парного потенциала взаимодействия ионов и (К.) к экспериментальным значениям. В силу этого, в данной работе использовались парные потенциалы, полученные самосогласованным образом в рамках теории неоднородного электронного газа. Для аппроксимации численно заданных потен-

циалов использовалась гладкая функция, непрерывная вместе со своими производными до второго порядка включительно. Учет в расчетах взаимодействие ионов семи координационных сфер позволил представить и ивг(Яг) представимы в виде формулы

£/'"(«) = (17)

1>1

где ак = /Я„ - отношение радиуса к - й координационной сферы к радиусу первой координационной сферы; ЛГ* - координационное число; индекс / нумерует обе фазы (В1 или В2).

Параметр Яо, входящий в уравнение (17) определялся из при температуре абсолютного нуля, из соотношения:

Р ~ дУ™

¿^Г^'Л'0)]- (18)

В соответствии с построенной расчетной схемой (17), (18) в таблицах 8, 9 представлены результаты вычисления Я», энергии связи решетки. Таблица 8. Равновесное межионное расстояние для ряда щелочно - галоидных кристаллов в В1 - модификации.

Яо, а.е.

Оогёоп, СоИеп, Жданов, Расчет в Эксперим.

Кристалл Кт Gordon Поляков МФП

1лР 3,65 3,80 3,65 3,76 3,81

1ЛС1 4,67 4,76 4,64 4,79 4,91

ЫВг 5,03 5,06 4,99 5,09 5,16

N3? 4,37 4,57 4,40 4,44 4,61

ЫаС1 5,40 5,54 5,32 5,51 5,54

№Вг 5,74 5,82 - 5,77 5,76

КР 4,91 5,12 5,14 5,11 5,12

КС1 5,76 5,97 5,30 5,88 5,93

В работе энергия связи решетки при температуре абсолютного нуля, рассчитана по модели, описанной формулой (17) с учетом квантовой поправки к кинетической энергии, которая в градиентном приближении записывается в виде

|у(я| +я2)2] (Уя,)2 (у„г)'

А и.

= М

' 72'

+ «2

(19)

где п, - электронная плотность ионов.

Таблица 9. Энергия связи решетки для ряда щелочно - галоидных кристаллов в В! -модификации.

Щ а.е.

Gordon, СоЬеп, Жданов, Расчет в Эксперим.

Кристалл Кт Оогёоп Поляков МФП

Ш 0,4147 0,3975 0,3954 0,4144 0,3933

ис 1 0,3285 0,3203 0,3311 0,3264 0,3216

иВг 0,3065 0,3020 0,3147 0,3060 -

ИаР 0,3543 0,3387 0,3340 0,3544 0,3473

ЫаС1 0,2912 0,2816 0,2927 0,2911 0,2953

N381 0,2751 0,2684 - 0,2750 0,2778

КР 0,3253 0,3092 0,2935 0,3116 0,3099

КС! 0,2794 0,2668 0,2593 0,2776 0,2701

КВг 0,2665 0,2566 0,2418 0,2648 0,2539

ИЬР 0,3092 0,2983 0,2744 0,2998 -

ЛЬС1 0,2699 0,2591 0,2211 0,2672 -

ЯЬВг 0,2580 0,2488 0,2591 0,2513 -

В приложении приведены некоторые сведения об атомной системе единиц и даны таблицы перевода из атомной системы единиц в СИ. Также записаны основные физические постоянные в атомной системе единиц.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена качественно новая локальная модель Томаса-Ферми-Дирака, учитывающая неоднородность электронной плотности на перефирии атома.

2. Выведены основные уравнения локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

3. Разработана теория возмущений первого и второго порядков для локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

4. Создана математическая модель расчета мультипольных поляризуемостей атомов. Рассчитаны дипольные и квадрупольные поляризуемости атомов и ионов. Па основе полученных результатов расчетов установлены границы применимости локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

5. Построена модель ван-дер-ваальсовых постоянных С4 и С,п. Вычислены значения этих констант для пар атомов инертных газов и атома водорода Проведен анализ вкладов от различных взаимодействий для дисперсионных констант С) и Сщ.

6. Получены выражения для вариационных параметров X, ц и т, в рамках формализма теории возмущений, метода функционала электронной плотности. Проведен расчет значений этих параметров.

7. С использованием потенциалов парного взаимодействия, полученных самосогласованным образом, в рамках локального метода Томаса-Ферми-

Дирака, разработан метод расчета объемных характеристик кристаллической решетки.

8. Представлены расчетные схемы определения равновесного межионного расстояния для щелочно-галоидных кристаллов в В1 - модификации. Энергии связи решетки для ряда кристаллов. Поверхностной энергии и поверхностного напряжения для этих кристаллов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Винокурский Д.Л., Кяров А.Х., Темроков А.И., Карпенко C.B. Расчет давления полиморфного превращения ионных кристаллов. // Вестник КБГУ. Физические науки. 2000. Вып. 4. с. 26

2. Винокурский Д.Л., Карпенко C.B., Кяров А.Х., Темроков А.И. Статистический подход к исследованию полиморфных превращений типа В1 - В2 в ионных кристаллах. // Препринт № PR - 2000 - 3. / НИИ ПМА КБНЦ РАН. Нальчик. 2000.28 с.

3. Винокурский Д.Л., Карпенко C.B., Темроков А.И. Расчет характеристик В1 - В2 фазового перехода в щелочно-галоидных кристаллах. // Материаловедение. 2001. № 5. с. 8.

4. Винокурский Д.Л., Кяров А.Х., Темроков А.И. Равновесные характеристики парных потенциалов, дисперсионные константы и поляризуемости для систем с заполненными оболочками. // Сборник трудов IV Всероссийской научной конференции студентов-физиков. Екатеринбург. 1996. С. 8-9.

5. Винокурский Д.Л., Кяров А.Х., Темроков А.И. Общая модель дисперсион-ных-взаимодействий в теории неоднородного электронного газа. // Труды XVI Международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Эльбрус - 2001. Черноголовка. ИПХФ РАН. 2001. С. 86-87.

6. Винокурский Д.Л., Карпенко C.B., Кяров А.Х., Темроков A.M. Структурные фазовые переходы в ионных кристаллах малых размеров. // Доклады АМАН. 2001. Т. 5. №2. С. 11-19.

7. Винокурский Д.Л., Карпенко C.B., Кяров А X., Темроков А И, Особенности полиморфных превращений в ионных кристаллах при температурах, отличных от 0 К. // Тезисы докладов II Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки». Самара. СамГТУ. 2001. Ч. 1.С. 17.

8. Винокурский Д.Л., Карпенко С В., Кяров А.Х., Темроков А.И. Расчет поляризуемости атомов инертных газов квантово-статистической теории. II Тезисы докладов II Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки». Самара. СамГТУ. 2001. Ч. 1. С. 18-19.

9. Винокурский Д.Л, Карпенко C.B., Кяров А.X, Темроков А.И. Молекуляр-но - динамическое программирование кинетики В1 - В2фазового перехода. // Труды II конференции молодых ученых КБНЦ РАН. Нальчик. Изд-во КБНЦ РАН. 2001. С. II - 15.

10. Винокурский Д.Л., Карпенко C.B., Темроков A.M. Молекулярно-динамическое моделирование В1-В2 фазового перехода в щелочно-галоидных кристаллах. // Материалы научно-практической конференции «V неделя науки МГТИ». Майкоп. 2001. С. 12-15.

11. Винокурский ДЛ, Карпенко С.В, Темроков А.И. Модель расчета термодинамических величин в модели КНСП. // Материалы научно-практической конференции «V неделя науки МГТИ». Майкоп. 2001. С. 12-15.

12. Винокурский ДЛ., Карпенко СВ., Темроков А И Расчет критических давлений структурных фазовых переходов в галоидах щелочных металлов. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки 2001. №3. С. 201 -205.

13. Вииокурский Д.Л., Карпенко C.B., Кяров А.X., Темроков А.И. Размерный и температурный эффекты полиморфных превращений в щелочно-галоидных кристаллах // Доклады Российской Академии Наук. 2001. Т. 381. №6. С. 202 - 206.

14. Вииокурский Д.Л., Карпенко C.B., Кяров А.Х., Темроков А.И. Об аномальном поведении кристалла фторида лития при В1 - В2 переходе в условиях высоких давлений. // Тезисы докладов II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы мате' матической биологии, информатики и физики». Нальчик. 2001. С. 6 - 8.

15. Вииокурский Д.Л., Карпенко C.B., Кяров А.Х., Темроков А.И. Анализ температурных эффектов структурных фазовых переходов в щелочно-галоидньгх кристаллах в рамках метода молекулярной динамики. // Тезисы докладов II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик. 2001. С. 9 - 10.

16. Вииокурский Д.Л., Карпенко C.B., Кяров А.Х., Темроков А.И. Полиморфные превращения типа В1-В2 в кристаллах конечных размеров. // Кристаллография. 2002. Т. 47. № 2. С. 15 - 22.

17. Вииокурский ДЛ., Карпенко C.B., Кяров А.Х., Темроков А.И Особенности полиморфных превращений в ионных кристаллах малых размеров. // Поверхность. 2003. № 7. С. 23 - 29.

18. Вииокурский Д.Л., Кяров А.Х., Темроков А.И. Модель расчета поляри-зуемостей атомов в теории функционала плотности. // Труды XVII Международной конференции «Уравнения состояния вещества». Эльбрус. 2002. С. 38-41.

19. Вииокурский ДЛ., Кяров А.Х., Темроков А.И. Статистическая поляризуемость атомов в моделях с асимптотически не нулевой электронной плотностью. // Тезисы XVIII Международной конференции «Уравнения состояния вещества». Эльбрус. 2003. С. 25 - 27.

20. Винокурский Д.Л., Кяров А.Х., Темроков А.И. Нелокальные модели расчета. поляризуемости атомов инертных газов в квантово-статистических теориях. // Труды XVIII Международной конференции «Уравнения состояния вещества». Эльбрус. 2003. С. 52 - 55.

21. Винокурский Д.Л., Сербина Л.И. Поляризуемость атомов в локальной модели Томаса-Ферми. // Материалы VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону». Ставрополь. 2004. Т. 1. С. 18.

22. Винокурский Д.Л. Учет осцилляций атомной плотности при расчете по-ляризуемостей в локальной модели. // Материалы VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону». Ставрополь 2004. Т. 1. С. 18.

Подписано в печать 15.01.05 Формат 60x84 1/16. Усл. п. л. - 1,6. Уч.-изд. л. - 1,08. Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ 765 Тираж 100 экз. ГОУВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» 355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

1006 (\ №7

-1197

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ОБЗОР РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ДИСПЕРСИОННЫМ КОНСТАНТАМ, ПОЛЯРЮУЕМОСТЯУ[ИПАРНЬМ ПОТЕНЦИАЛАМ.

1.1. Квантово-статистические методы функционала электронной плотности и Томаса-Ферми-Дирака.

1.2. Расчет поляризуемостей и дисперсионных констант ван-дер-ваальсового взаимодействия.

1.3. Методы расчета парных потенциалов и теплофизических характеристик твердых тел.

Глава 2. Локальная модель Томаса-Ферми-Дирака. Расчет поляризуемостей атомов в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

2.1 Локальная модель Томаса-Ферми-Дирака.

2.2. Определение диполыюй поляризуемости в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

2.3. Расчет квадрупольной поляризуемости атомов в локальной модели Томаса - Ферми - Дирака.

Глава 3. МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ДИСПЕРСИОННЫХ КОНСТАНТ С8, С10 ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВОГО

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

3.1. Энергия мультиполь - мультипольного взаимодействия для сферически симметричных систем и расчет Сб.

3.2 Модель для расчета константы

Cg ван-дер-ваальсова взаимодействия.

3.3. Модель для расчета константы Сю ван-дер-ваальсова взаимодействия.

3.4. Определение вариационных параметров в теории возмущений.

Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ ПАРНОГО МЕЖЧАСТИЧНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ К РАСЧЕТУ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЩЕЛОЧНО-ГАЛОИДНЫХ КРИСТАЛЛОВ.

4.1. Расчет потенциалов парного взаимодействия в локальной модели.

4.2. Расчет объемных характеристик кристаллической решетки.

4.3. Расчет поверхностных характеристик фаз высокого и низкого давления щелочно-галоидных кристаллов.

Проблема исследования ван-дер-ваальсовых взаимодействий охватывает широкий круг вопросов - от характеристик; взаимодействия атомов и ионов (энергии взаимодействия, сечения рассеяния и так далее) до технических материаловедческих приложений. В последние годы резко возрос интерес к исследованию межатомных взаимодействий, в связи с бурным развитием теории твердого тела.

Впервые, ван-дер-ваальсовое (дисперсионное) взаимодействие было описано Лондоном [94, 99, 5]. Теория Лондона объяснила существование кристаллов атомов инертных газов, открытых незадолго до этого. В ней взаимодействие электрически нейтральных атомов объяснялось спонтанным возникновением электрических дипольных моментов. Все это сближает дисперсионное взаимодействие с индукционным и ориентационным.

В дальнейшем выяснилось, что теория ван-дер-ваальсовых сил между отдельными атомами к молекулами допускает далеко идущие обобщения. Для ориентационных, индукционных и дисперсионных межмолекулярных взаимодействий характерна одна общая черта - их флуктуационное электромагнитное происхождение. В настоящее время к ван-дер-ваальсовому как раз и относят все силы, имеющие флуктуационное электромагнитное происхождение.

Экспериментально все выводы о дисперсионном взаимодействии были подтверждены в опытах [8] на слюдяных пластинках с атомно-гладкими поверхностями.

Ван-дер-ваальсовые силы включают в рассмотрение и при анализе данных по рассеянию и дифракции атомов на поверхностях твердых тел.

Ван-дер-ваальсовые взаимодействия оказались многочастичными. Аддитивность ван-дер-ваальсовых сил является лишь первым приближением в их описании.

Настоящая работа посвящена исследованию ван-дер-ваальсовых взаимодействий в рамках метода функционала электронной плотности и новой локальной модели Томаса-Ферми-Дирака. При этом в работе полагается, что ван-дер-ваальсовое взаимодействие носит аддитивный характер.

Итак, цель работы: и Разработка модели для расчета атомных дипольных и квадрупольных по-ляризуемостей. п Исследование и обоснование применения локальной модели Томаса-Ферми и метода функционала электронной плотности к изучению ван-дер-ваальсовых сил. п Разработка качественно новой модели расчета констант дисперсионных взаимодействий С§ и С!0. и Построение алгоритма численного расчета объемных характеристик атомов щелочно-галоидных кристаллов в методе функционала электронной плотности и локальной модели Томаса-Ферми-Дирака. п Численная реализация алгоритма расчета поверхностной энергии и поверхностного натяжения щелочно-галоидных кристаллов.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе дан критический обзор основных подходов к изучению межатомных взаимодействий. На основе обзора теоретических работ обосновывается выбор метода исследований. Вторая глава посвящена созданию локальной модели Томаса-Ферми-Дирака для расчета поляризуемостей разной мультипольности. Устанавливаются границы применимости новой модели. В третьей главе на основе метода функционала электронной плотности и формализма тензорного исчисления дан вывод формул для констант ван-дер-ваальсового взаимодействия С'о и С10. Проведены расчеты дисперсионных констант для различных пар атомов. В четвертой главе на основе модели функционала плотности вычисляются объемные характеристики кристаллов щелочно-галоидных кристаллов и их поверхностные характеристики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Принципиально новая модель расчета мультипольных поляризуемостей атомов и ионов, позволяющая учитывающая вклады первого и второго порядка теории возмущен!®.

2. Конструктивный и высокоточный алгоритм численного расчета диполь-ных и квадрупольных поляризуемостей атомов и ионов в локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

3. Аналитическая модель дисперсионных констант Сх и Сю.

4. Метод вычисления констант ван-дер-ваальсовского взаимодействия С8 и Сю

5. Параметрическая модель расчета объемных характеристик щелочно-галоидных кристаллов.

6. Вычислительные модели энергии связи решетки, поверхностной энергии и поверхностного натяжения для щелочно-галоидных кристаллов.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4

1. В рамках метода функционала плотности рассчитано равновесное межионное расстояние для ряда щелочно-галоидных кристаллов в В1 — модификации.

2. В рамках предложенной модели проведен расчет энергии связи решетки для ряда щелочно-галоидных кристаллов в В1 - модификации.

3. Рассчитана поверхностная энергия В1 и В2 модификаций щелочно-галоидных кристаллов.

4. Рассчитана поверхностное натяжение В1 и В2 модификаций щелочно-галоидных кристаллов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные результаты убедительно свндельствугот о перспективности применения локального метода Томаса-Ферми-Дирака совместно с методом функционала электронной плотности к исследованию межатомных взаимодействий.

Подводя итог, сформулируем основные результаты работы:

1. Построена качественно новая локальная модель Томаса-Ферми-Дирака, учитывающая неоднородность электронной плотности на перефирш атома.

2. Выведены основные уравнения локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

3. Разработана теория возмущений первого и второго порядков для локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

4. Создана математическая модель расчета мультипольных поляризуемостей атомов. Рассчитаны дипольные и квадрупольные поляризуемости атомов и ионов. На основе полученных результатов расчетов установлены границы применимости локальной модели Томаса-Ферми-Дирака.

5. Построена модель ван-дер-ваальсовых постоянных С8 и Cj0. Вычислены значения этих констант для пар атомов инертных газов и атома водорода. Проведен анализ вкладов от различных взаимодействии для дисперсионных констант Сs и Сю

6. Получены выражения для вариационных параметров X, р и т, в рамках формализма теории возмущений, метода функционала электронной плотности. Проведен расчет значений этих параметров.

7. С использованием потенциалов парного взаимодействия, полученных самосогласованным образом, в рамках локального метода Томаса-Ферми-Дирака, разработан метод расчета объемных характеристик кристаллической решетки.

8. Представлены расчетные схемы определения равновесного межионного расстояния для щелочно-галоидных кристаллов в В1 - модификации. Энергии связи решетки для ряда кристаллов. Поверхностной энергии и поверхностного напряжения для этих кристаллов.

1. Гомбаш П. Статистическая теория атома. М.: ИЛ. 1951 год. 326 с.

2. Гомбаш П. Проблема многих частиц в квантовой механике. М.: ИЛ. 1953 год. 260 с.

3. Теория неоднородного электронного газа/ Под. ред. Лундквиста С., МарчаН. М.: Мир. 1987 год. 400 с.

4. ХартриД. Расчеты атомных структур. М.: ИЛ. 1960. 271 с.

5. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.:Изд-во физико-математической литературы. 1963. 748 с.

6. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физматгиз. 1960. 256 с.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971. 320 с.

8. Бараш Ю.С. Силы Ван-дер-Ваальса. М.: Наука 1988. 345 с.

9. Стариков В.И., Тютерев ВТ. Внутримолекулярные взаимодействия и теоретические методы в спектроскопии нежестких молекул. Томск: Изд-во Спектр. 1997. 232 с.

10. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука. 1978. 320 с.

11. И. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука. 1981. 800 с.

12. Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев P.M. Теория строения молекул. Ростов на - Дону: Феникс. 1997. 560 с.

13. Thomas L.H. A practical method for solution of certain problems in quantum mechanics by successive removal of terms from Hamiltonian by contact transformation of the dynamical variables // J. Chem. Phys. 1942. V. 10. P. 532 -545.

14. Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц. М.: Госатомиз-дат. 1963. 523 с.

15. Киржниц Д.А., Лозовик Ю. Е., Шпатаковская Г.В. Статистическая модель вещества // Успехи физических наук. 1975. Т. 117. С. 3 47.

16. Компанеец А.С., Павловский Е.С. Уравнения самосогласованного поля в атоме // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1956. Т. 31. С. 427-438.

17. Кирэюниц Д.А., Шпатаковская Г.В. Осцилляционные эффекты атомной структуры // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1972. Т. 62. С. 2082-2091.

18. Кирэюниц Д. А., Шпатаковская Г.В. Осцилляционные эффекты в атоме и сжатом веществе // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1973. Т.4. С. 93 98.

19. Киржниц Д.А., Шпатаковская Г. В. Осцилляции упругих констант // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1974. Т. 66. С. 289 -295.

20. Шпатаковская Т.В. Квазиклассическое приближение для электронной плотности в атомах на малых расстояниях от ядра // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1983. Т. 14. С. 135 144.

21. Глембоцкгш И.И., Петкявичус И. 10. Определение атомных поляризуе-мостей и диамагнитных восприимчивостей с учетом корреляции // Лит. Физический сборник. 1983. Т. 23. С. 33 36.

22. Виноградов А.В., Пустовалов В.В., Шевелько В.П. Статистическая теория поляризуемости атомов и ионов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1972. Т. 63. С. 477-484.

23. Шевелько В.П. Статистическая дипольиая поляризуемость многозарядных ионов // Краткие сообщения по физике ФИАН, 1982. № 4. С. 47 -52.

24. Уланцев А.Д., Шевелько В.П. Статистическая мультипольная поляризуемость атомов и ионов в модели Томаса Ферми // Труды физического института имени П.Н. Лебедева. М.: Наука. 1989. Т.195. С.179- 195.

25. Зон Б.А., Манаков И.Л., Рапопорт Л.П. Кулоновские функции Грина в х представлении и релятивистская поляризуемость водородоподобного атома//Ядерная физика. 1972. Т. 15. С. 508-517.

26. Синько Г.В. Термодинамика электронной жидкости в рамках метода функционала плотности //Теплофизика высоких температур. 1991. Т. 29. №4. С. 687-695.

27. Дедков Г.В., Темроков А.И. Статистическая модель ионных кристаллов // Физика твердого тела. 1979. Т. 21. С. 1218 1222.

28. Lieb Е.Н. Thomas-Fermi and related theories of atoms and molecules // Rev. Mod. Phys. 1981. V. 53. P. 603 641/

29. March N.H. Thomas-Fermi approximation in quantum mechanics // Adv. Phys. 1957. V. 6. P. 1 100.

30. Schwinger J. Thomas-Fermi model: The second correction // Phys. Rev. A. 1981. V. 24. P. 2353 -2361.

31. Englert B.C., Schwinger J. Statistical atom: Some quantum improvements // Phys. Rev. A. 1984. V. 29. P. 2339 2352.

32. Csavinsky P. Introduction of shell structure into Thomas-Fermi density functional for neutral atoms // Chem

33. Wang W.P. Fisced shells statistical atomic models with piecewise exponentially decaying electron densities // Phys. Rev. A. 1982. V. 25. P. 2901 -2912.

34. Scott J.M, The binding energy of the Thomas-Fermi atom // Philos. Mag. 1952. V.43.P. 859-867.

35. Schwinger J. Thomas-Fermi model: The leading correction I I Phys. Rev. A. 1980. V. 22. P. 1827-1832.

36. Englert B.G., Schwinger J. New statistical atom: A numerical study I I Phys. Rev. A. 1984. V. 29. P. 2353 2363.

37. ICirkwood J.G. PoJarisierbarkeiten, suszeptibilitaten und Van der VVaalsche Krafte der Atome mit mehreren Electronen I I Phys. Ztslir. 1932. В d. 33. S. 57 -60.

38. Csavinsky P. Approximate variational solution of Thomas-Fermi equation for atoms 11 Phys. Rev. 1968. V. 166. P. 53 56.

39. Srivctstovci PL, Kothciri L.S., Jain A. Improved semistatistical model of electron density in heavy atoms //Phys. Lett. A. 1971. V. 34. P. 387 388.

40. Dmitrieva I.K., Plindov G.I. Dipole polarizability, radius and ionization potential for atomic systems // Phys. scr. 1983. V. 27. P. 402 406.

41. Bruch Z.W., Lehnen A.P. Statistical model calculations of atomic polarizabil-ities I I J. Chem. Phys. 1976. V. 64. P. 2065 2068.

42. Cohen M., Drake G.W.F. The dipole polarizabilites of sodium sequence I I Proc. Phys. Soc. 1967. V. 92. P. 23 36.

43. Dalgarno A. Atomic polarizabilities and shielding factors // Adv. Phys. 1962. V. 11, P. 281-315.

44. Edlen E. The transition 3s 3p and 3p - 3d the ionization energy in the Nal isoelectronic sequence // Phys. scr. 1978. V. 17. P. 565 - 573.

45. Stewart R. Static polarizabilities of the Ne, Mg and Ar isoelectronic sequence //Mol. Phys. 1975. V. 29. P. 787 791.

46. Jonson W.R., Kolb D., Huang K.-H. Electric dipole, qudrupole and magnetic dipole susceptibilities and shielding factors for closed-shell ions of the He, Ne, Ar, Cu+, Kr, Pb and Xe isoelectronic sequence // Atom. Data. 1983. V. 28. P. 333-354.

47. Vogel P. Dipole polarizabilities from the nf term values I I Nucl. Instr. Meth. 1973. V. 110. P. 241-244.

48. Teachout R.R., Pack R.T. The static dipole polarizabilities of the all neutral atoms in their ground state // Atom. Data. 1971. V. 3. P. 195 214.

49. Litt C. Effective-field calculations of polarizabilities and shieldings factors for He, Ne, Ar and Cr isoelectronic series // Phys. Rev. A. 1973. V. 7. P. 911 -921.

50. Mahcm G.D. Modified Sternheimer equation for polarizability // Phys. Rev. A. 1980. V. 22. P. 1780-1785.

51. Sorensen J., Andersen L.H., Hvelphincl P. Cross sections for electron capture collisions between medium velocity, highly charged ions and molecular hydrogen// J. Phys. B. 1984. V. 17. P. 4743-4746.

52. Vinogradov A. V., Shevelko V.P. Static dipole polarizabilities of atoms and ions in the Thomas-Fermi model // Phys. scr. 1979. V. 19. P. 275 282.

53. Lee Y.T. Classical binary-encounter collision theory for ionization in electron-ion scatterings. XIIICPEAC. Book of Abstr. Berlin. 1983. 207 p.

54. Gombas P. Berechnimg von Polarizierbarkeiten. I: Freie Atome // Acta phys. Acad. Sci. Hung. 1959. V. 10. P. 101 110.

55. Sen K. D., Schmidt P. C. Polarizabilities and Sternheimer antischielding factors for ferriclike ions // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. P. 1026 1029.

56. Верещагин A.H. Характеристики анизотропии поляризуемостей молекул. М.: Наука. 1982. 308 с.

57. Верещагин А.Н. Поляризуемость молекул. М.: Наука. 1980. Ill с.

58. Asawaroengchai С., Rsenblatt G.M. Rotational Raman Intensities and the Measured Change with Internuclear Distance of the Polarizability Anisotropy of H2, D2, N2, 02 and CO // J. Chem. Phys. 1980. V. 72. P. 2664 2669.

59. Hamaguchi PL, Suzuki I., Buckingham A.D., Jones W.J. Determination of derivatives of the Polarizabilities anisotropy in diatomic molecules // Mol. Phys. 1981. V. 43. P. 963-973.

60. Hamaguchi PL, Suzuki /., Buckingham A.D., Jones W.J. Determination of derivatives of the Polarizabilities anisotropy in diatomic molecules. II The Hydrogen and Nitrogen molecules // Mol. Phys. 1981. V. 43. P. 1311 1319.

61. Svedsen E.N., Oddreshede J. Ab inito calculation of the Raman intensity of the N2 molecule // J. Chem. Phys. 1979. V. 71. P. 3000 3005.

62. Хъюбер К, Герцберг Г. Константы двухатомных молекул. М.: Мир. 1984. 368 с.

63. Heltema К, Womer P.E.S., Jorgensen P. Frequency-dependent Polarizabil-ities of 02 and van der Waals coefficients // J. Chem. Phys. 1996. V. 100. P. 1297- 1302.

64. Булдаков M.A., Васильев Н.Ф., Матросов И.И. Поляризуемость двухатомной молекулы на малых межъядерных расстояниях // Оптика и спектроскопия. 1993. Т.75. С. 597 603.

65. Buckingham A.D. The polarizability of a pair of interacting atoms // Trans. Faraday Soc. 1956. V. 52. P. 1035 1041.

66. Buckingham A.D., Clarke K.L. Longe-range effects of molecular interactions on the Polarizability of atoms // Chem. Phys. Lett. 1978. V. 57. P. 321 325.

67. Kolos W., Wolnicwicz J. Polarizability of the hydrogen molecule // J. Chem. Phys. 1967. V. 46. P. 1426- 1432.

68. Ruchlewski J. An accurate calculation of the Polarizability of the hydrogen molecule // Mol. Phys. 1980. V. 41. P. 833 842.

69. Meinander N., Tabisz G.C., Zoppi M. Moment analysis in depolarized light scattering: Detennination of a single-parameter empirical pair Polarizability anisotropy for Ne, Ar, Кг, Хе III Chem. Phys. 1985. V. 84. P. 3005 3013.

70. Temkin A. Intemuclear dependence of the Polarizability of N2 // Phys. Rev. A. 1978. V. 17. P. 1232-1235.

71. Varandas A.J.C., Roclrignes S.P.J. Intemuclear dependence of static dipole Polarizability in diatomic molecules // Chem. Phys. Lett. 1995. V. 245. P. 66 -74.

72. Булдаков M.A., Матросов И.И. Поляризуемость двухатомной молекулы как функции межъядерного расстояния // Оптика и спектроскопия. 1995. Т. 78. С. 26-30.

73. Goyette A., Navon A. Two dielectric spheres in an electric field // Phys. Rev.1. B. V. 13. P. 4320-4327.

74. Godei J.L., Dumon B. Dielectric-sphere-couple model for noble-gas pair Po~ larizability // Phys. Rev. A. V. 46. P. 5680 5686.

75. Булдаков M.A. Поляризуемость двухатомных гомоядерных молекул: функция межъядерного расстояния // Оптика атмосферы и океана. 2002.1. C. 829 833.

76. Радциг А.А., Смирнов Б.М. Справочник по атомной и молекулярной физике. М.: Атомиздат. 1980. 240 с.

77. Zeiss G.D., Meath W.J. Dispersion energy constants Сб (A, B), dipole oscillator strength sums and refractivities for Li, N, O, H2, NH3, H20, NO, N20 // Mol. Phys. 1977. V. 33. P. 1155-1176.

78. Wormer P.E.S., van der Avoid A. Intermolecular Potentials, Internal Motions, and Spectra of van der Waals // Chem. Phys. 2000. V. 100. P. 4109 4143.

79. Applequist J., Carl J.R., Fung K.K., An atom dipole interaction model for molecular Polarizability. Application to polyatomic molecules and determination of atom Polarizabilities // J. Am. Chem. Soc. 1972. V. 94. P. 2952 -2960.

80. Булдаков M.A. Поляризуемость димеров азота и кислорода: температурная зависимость // Оптика атмосферы и океана. 2002. С. 834 837.

81. Буланин М.О., Бурцев А.П., Третьяков 77.Ю. Температурная зависимость динамической поляризуемости двухатомных молекул // Оптика и спектроскопия. 1988. Т. 64. С. 1221 1227.

82. Bussery В., Wormer P.E.S. A Van der Waals intermolecular potential for atom // J. Chem. Phys. 1993. V. 99. P. 1230 1239.

83. Hohm U., Kerl K. Interferometric measurements of dipole Polarizability a of molecules between 300 К and 1110 К. I. Monochromatic measurements at A= 632.99 run for noble gases // Mol. Phys. 1990. V. 69. P. 803 818.

84. ICerl 1С, Hohm U., Varchmin H. Polarizability of small molecules in the gas phase // Ber. Bunsenges. Phys. Chem. 1992. V. 96. P. 728-733.

85. Bems R.M., Wormer P.E.S. Finite field configuration ineraction calculations on the distance of the hyperpolarizabilities //Mol. Phys. 1981. V. 44. P. 1215 1227.

86. Bishop D. M., Pipin J. Temperature-dependence of the dynamic dipole Polarizability of H2 // Mol. Phys. 1991. V. 72. P. 961 964.

87. Rychlewski J. Frequency dependent Polarizabilities for the ground state of H2, 1-ГО andD2//J. Chem. Phys. 1983. V. 78. P. 7252-7259.

88. Oddershede J., Svedsen E.N. Dynamic Polarizabilities and Raman itensities of CO, N2, HCl, Cl2 // Chem. Phys. 1982. V. 64. P. 359 369.

89. Булдаков MA., Королев Б.В., Матросов PI.И., Попова Т.PI. Определение производных поляризуемости молекул N? и О? по межъядерному расстоянию // Оптика и спектроскопия. 1987. Т. 62. С. 758 762.

90. Абрикосов А.А., Горькое Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз. 1962. 520 с.

91. Балеску Р. Статистическая физика заряженных частиц. М.: Мир. 1967. 450 с.

92. Вопросы квантовой теории атомов и молекул / Под ред. Веселова М.Г., Ребане Т.К. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 143 с.

93. Межмолекулярные взаимодействия: от двухатомных молекул до биополимеров / Пер. с англ. Под ред. ПюльманаБ. М.: Мир. 1981. 633 с.

94. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостстенко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат. 1980. 652 с.

95. Катан ИТ. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. М.: Наука. 1982. 456 с.

96. Моррисов С. Химическая физика поверхности твердого тела. М.: Мир. 1980. 562 с.

97. Исихара А. Статистическая физика. М.: Мир. 1973. 470 с.

98. Chan G., Tozer D.J. Correlation potential and fuctionals in Hartee Fock

99. Kolm- Sham theory // C.J. Chem. Phys. 1997 V. 107. P. 1536 1543.

100. Berces A., Dickson R.M., Fan L, Jacobsen H. An implementation of the coupled perturbed Kolin Sham equations: Perturbation due to nuclear displacements // Comput. Phys Commim. 1997. V. 100. P. 247 - 268.

101. Jorge F.E., de Castro E. V.R., da Silva A.B.F. Gaussian basis set for hydrogenthrough lanthanum generated with the generator coordinate Hartree Fock method // Chem. Phys. 1997. V. 216. P. 317 - 321.

102. Ершов Д.К. Новый метод расчета энергии ионизации двухэлектронных ионов //Известия ВУЗов. Физика. 1997. Т. 40. С. 107-108.

103. KuangJ., Lin C.D. Molecular integrals over spherical Gaussian type I // J. Phys. B. 1997. V. 30. P. 2529 - 2548.

104. KuangJ., Lin C.D. Molecular integrals over spherical Gaussian type II // J. Phys. B. 1997. V. 30. P. 2529 - 2548.

105. Lciughlin C.Z. The dipole polarisability of Zn+ and the high-1 Rydberg levels of Zn // Phys. D. 1997. V. 39. P. 201 207.

106. Muramihael E., Kmowles O. Accurate numerical determination of Kolm -Sham potentials from electronic densities I. Two-electron systems // J. Chem. Phys. 1997. V. 106. P. 9659 9667.

107. Lopez-Boada R., Karasiev V., Liu Sh. Pade approximation for the polynomial representation of the correlation energy density functional // Chem. Phys. Lett. 1997. V. 270. P. 443-452.

108. Lopez-Boada R., Karasiev V., Liu Sh. Flartree Fock energy-density functional generated by local-scaling transformations // J. Chem. Phys. 1997. V. 107. P. 6722-6731.

109. Винокурский Д.Л., Кяров A.X., Темроков A.M., Карпенко C.B. Расчет давления полиморфного превращения ионных кристаллов. // Вестник КБГУ. Физические науки. 2000. Вып. 4. с. 26

110. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., Кяров А.Х., Темроков А.И. Статистический подход к исследованию полиморфных превращений типа В1 В2 в ионных кристаллах. // Препринт № PR - 2000 - 3. / НИИ ПМА КБНЦ• РАН. Нальчик. 2000. 28 с.

111. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., Темроков А.И. Расчет характеристик В1 В2 фазового перехода в щелочно-галоидных кристаллах. // Материаловедение. 2001. № 5. с. 8.

112. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., Кяров А.Х., Темроков А.И. О полиморфных превращениях в ограниченных ионных кристаллах. // Доклады АМАН. 2001. Т. 5. № 2. С. 11 19.

113. Вгмокурский Д.Л., Карпенко С.В., Кярое А.Х., Темроков А.И. Молекуляр-ио динамическое программирование кинетики В1 - В2фазового перехода. // Труды II конференции молодых ученых КБНЦ РАН. Нальчик. Изд-во КБНЦ РАН. 2001. С. 11 - 15.

114. Вииокурский Д.Л., Карпенко С.В., Темроков А.И. Молекулярно-динамическое моделирование В1-В2 фазового перехода в щелочно-галоидных кристаллах. // Материалы научно-практической конференции «V неделя науки МГШ». Майкоп. 2001. С. 12 15.

115. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., Темроков А.И. Модель расчета термодинамических величин в модели КНСП. // Материалы научно-практической конференции «V неделя науки МГТИ». Майкоп. 2001. С. 12-15!

116. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., Темроков А.И. Расчет критических давлений структурных фазовых переходов в галоидах щелочных металлов. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2001. №3. С. 201-205.

117. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., Кяров А.Х., Темроков А.И. Размерный и температурный эффекты полиморфных превращений в щелочно-гало-идных кристаллах // Доклады Российской Академии Наук. 2001. Т. 381. №6. С. 202-206.

118. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., Кяров А.Х., Темроков А.И. Полиморфные превращения типа В1-В2 в кристаллах конечных размеров. // Кристаллография. 2002. Т. 47. № 2. С. 15 22.

119. Винокурский Д.Л., Карпенко С.В., .Кяров А.X., Темроков А.И. Особенности полиморфных превращений в ионных кристаллах малых размеров. // Поверхность. 2003. № 7. С. 23 29.

120. Винокурский Д.Л., Кяров А.Х, Темроков А.И. Модель расчета поляри-зуемостей атомов в теории функционала плотности. // Труды XVII Международной конференции «Уравнения состояния вещества». Эльбрус. 2002. С. 38-41.

121. Винокурский Д.Л., Кяров А.Х., Темроков А.И. Нелокальные модели расчета поляризуемости атомов инертных газов в квантово-статистических теориях. // Тезисы XVIII Международной конференции «Уравнения состояния вещества». Эльбрус. 2003. С. 25 27.

122. Винокурский Д.Л., Кяров А.Х., Темроков А.И. Нелокальные модели расчета поляризуемости атомов инертных газов в квантово-статистических теориях. // Труды XVIII Международной конференции «Уравнения состояния вещества». Эльбрус. 2003. С. 52 55.

123. Винокурский Д.Л., Сербина Л.И. Поляризуемость атомов в локальной модели Томаса-Ферми. // Материалы VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону». Ставрополь. 2004. Т. 1. С. 18.

124. Винокурский ДЛ. Учет осцилляций атомной плотности при расчете по-ляризуемостей в локальной модели. // Материалы VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону». Ставрополь. 2004. Т. 1. С. 18.

125. Кяров А.Х., Темроков А.И. Парные потенциалы для систем с заполненными оболочками. // Известия ВУЗов. Физика. 1994. № 6. С. 3.

126. Кяров А.Х., Темроков A.M. Расчет Ван-дер-ваальсовой константы Сб вариационным методом. // Оптика и спектроскопия. 1996. № 8. С. 16.

127. Карпенко С.В., Кяров А.Х., Темроков А.И. Фазовые переходы в щелочно галоидных кристаллах. // Теплофизика высоких температур. 2000. Т. 38. № 5. с. 748 .

128. Kim Y.S., Gordon R.G. Ion ion interaction potentials and their application to the theory of alkali halide and alkaline earth dihalide molecules. // J. Chem. Phys. 1974. v. 60. p. 4332.

129. Kim Y.S., Gordon R.G. Ion rare gas interactions on the repulsive part of the potential curves. // J. Chem. Phys. 1974. v. 60. p. 4323.

130. Жданов В.А., Поляков В.В. Уравнения состояния хлористого натрия. // ФТТ. 1973. т. 15. № 11. с. 3439.

131. Km J.S. Nonadditive three body interactions of rare - gas atoms. II. Intermediate and large distances. //Phys. Rev. 1975. v. All. N. 3. p. 804.

132. Cohen A.J., Gordon R.G. Theory of the lattice energy, equilibrium structure, elastic constants and pressure induced phase transitions in alkali - halide crystals. //Phys. Rev. B. 1975. v. 12. N. 8. p. 3228.

133. Tosi M.P. Local densiti formalism approach to cohesive properties of solids.//

134. Solid State Phys. 1964. v. 6. N. 1. p. 144.

135. Русанов A.M. К термодинамике деформируемых твердых поверхностей. // Физика межфазных явлений. Нальчик: КБГУ. 1980. с. 26.

136. Benson G.G., Yun ICS. Surface tension of the 100 face of alkali halide crystals. //J. Chem. Phys. 1965. v. 42. N. 9. p. 3085.

137. Задумкгм С.П., Темроков A.M. Простой метод расчета поверхностной энергии и поверхностного натяжения ионных кристаллов. // Известия ВУЗов. Физика. 1968. № 9. с. 40.

138. Темроков А.И., Задумкгт С.Н. Поверхностное напряжение и поверхностное натяжение твердых тел. // Смачиваемость и поверхностные свойства расплавов твердых тел. Киев. 1972. с. 151.

139. Szasz L. Pseudopotential theory for molecules. // Ztchr. Naturforsch. 1977. Bd. 32a. s. 252.

140. Машанов В.И., Олыианецкий E.3., Стенин С.И. Исследование фазовых переходов на ступенчатых поверхностях кремния. // Поверхность. 1986. № 4. с. 38.

141. Дедков Г. В. Межатомные потенциалы взаимодействия в радиационной физике // Успехи физических наук. 1996. Т. 165. № 8. С.919 953.

142. Физическая энциклопедия. // Под. ред. A.M. Прохорова. М. «Советскаяэнциклопедия». Т. 2. С. 523.

143. Сербии а Л. И. Об одной проблеме для линеаризации уравнения Буссинеска с нелокальным условием Самарского // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, №8. С. 1113-1119.

144. Сербина Л.И. Нелокальная начально-краевая задача для модельного уравнения нестационарной фильтрации // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2003. Т.6, № 2. С. 16-21.