автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Квантовые вычисления на многоуровневых ядерных спин-системах

На правах рукописи

Яковлева Наталья Михайловна

Квантовые вычисления на многоуровневых ядерных спин-системах

Специальности: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена в Казанском физико-техническом институте им Е К За-войского КазНЦ РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Кессель Александр Рахмиэлевич

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Салихов Кев Минуллинович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Захаров Вячеслав Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор

Тагиров Ленар Рафгатович

Ведущая организация:

Институт проблем химической физики РАН, г. Черноголовка

Защита состоится «. 2005 г. в 14 часов на за-

седании диссертационного совета Д 212.079.01 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева (420111, г Казань, ул. К. Маркса, 10).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан « Ы » НоиТрЗ_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, ^//^^///ацА

профессор П.Г. Данилаев

г ооб-4

зёад

226Ш

Шцая характеристика работы

Актуальность исследования. Квантовая информатика в настоящее время является одной из самых бурно развивающихся областей науки. Такой интерес объясняется тем. что квантовые компьютеры, в которых для кодирования информации вместо битов используются квантовые биты (куби-ты) - двухуровневые квантовые системы, предоставляют новые возможности для кодирования, обработки и передачи информации [1.2]

В качестве основы для построения квантовых компьютеров было предложено большое количество различных двухуровневых физических систем включая ядерные спины 1/2. Кодирование кубитов в этом случае осуществляется по принципу «одна двухуровневая физическая система - один ку-бит» В рамках такого кодирования кубитов экспериментально реализован ряд квантовых гейтов (квантовых вентилей) и квантовых алгоритмов. В частности, на семикубитном ЯМР квантовом компьютере, работающем на ядерных спинах 1/2, был реализован квантовый алгоритм Шора, осуществляющий факторизацию числа 15.

Кодирование кубитов по принципу «один ядерный спин 1 /2 - один кубит» имеет ряд недостатков. Для срабатывания двухкубитных квантовых гейтов требуется «включать» в определенный момент на заданную длительность взаимодействие между спинами и подавлять его на все оставшееся время. Для этого необходимо воздействовать на систему сложными импульсными последовательностями. Существует тенденция к убыванию интервалов между отдельными резонансными частотами по мере увеличения числа взаимодействующих спинов в системе, что затрудняет селективное возбуждение отдельных переходов в больших коллективах спинов.

Эти недостатки могут быть устранены посредством перехода к твердотельным спиновым системам, содержащим квадрупольные ядра со спинами I > 1/2 или к другим многоуровневым квантовым системам с дискретным неэквидистантным спектром и применению нового подхода «многоуровне-вость вместо многочастичности» [3]. Суть этого подхода состоит в том, что кубиты вводятся не на состояниях отдельных двухуровневых частиц, а на состояниях многоуровневых систем, например, на состояниях ядерных спинов I > 1/2 или на коллективных состояниях взаимодействующих спинов, то есть собственных состояниях гамильтониана с учетом взаимодействия между спинами.

Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие, в рамках парадигмы «многоуровневость вместо многочастичности». нового подхода к кодированию кубитов на многоуровневых квантовых системах -представления виртуального спина В связи с этим были поставлены следу-

ющир задачи разработка схем реализации квантовых гейюв и квантовых алгоритмов на состояниях ядерных спинов 3/2, 7/2 и на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий в представлении виртуальною спина, обобщение понятия виртуального спина на случай квантовой системы с произвольным числом уровней.

Научная новизна. Применительно к многоуровневым системам впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов в представлении виртуального спина Понятие виртуального спина обобщено на случай произвольной многоуровневой квантовой системы и предложены схемы реализации квантовых гейтов составляющих универсальный набор Исследована математическая модель равных спин-спиновых взаимодействий На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий осуществлено кодирование кубитов в представлении виртуального спина

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи и применения математического аппарата, согласованностью результатов численных расчетов и выражений полученных аналитически

Практическая значимость. Разработанный подход к кодированию кубитов - представление виртуального спина, позволяет существенно расширить круг систем, которые могут быть использованы в качестве основы для построения квантовых компьютеров, включив в их число многоуровневые квантовые системы, в частности, ядерные спины I > 1/2.

Основные положения, выносимые на защиту.

1 В представлении виртуального спина впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера с различными начальными состояниями на состояниях ядерных спинов I > 1/2. 2. Обобщено понятие виртуального спина на случай произвольной многоуровневой квантовой системы 3 Квантовые вычисления на многоуровневой квантовой системе с использованием представления виртуального спина осуществлены для модели равных спин-спиновых взаимодействий.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих конференциях: V International Congress on Mathematical Modelling (Дубна, 2002), Workshop «Modern Development of Magnetic Resonance» (Казань, 2002). Конференция молодых ученых КФТИ КазНЦ РАН (Казань, 2003), V Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2003» (Москва, 2003), Международная конференция «New Geometry of Nature» (Казань, 2003), IX Международные Чтения по

квантовой оптике (Санкт-Петербург, 2003), VII Российская молодежная научная школа «Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений» (Казань, 2003), VII Всероссийская молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2003) Итоговая научная конференция КазНЦ РАН (Казань. 2003. 2004) VIII Международная молодежная научная школа «Actual Problems of Magnetic Resonance and Its Application» (Казань, 2004).

Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ (грант 03-01-00789) и НИОКР РТ (грант 06-6.1-158)

По теме диссертации опубликовано 11 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, выводов и списка цитируемой литературы. Общий объем работы составляет 134 страницы, включая 32 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 112 наименований.

Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на состояниях ядерного спина I = 3/2 в представлении виртуального спина

В ЯМР квантовых компьютерах, работающих на ядерных спинах 1/2. для реализации двухкубитных квантовых гейтов используются два взаимодействующих ядерных спина 1/2. Покажем, что двухкубитный квантовый компьютер, реализующий одно- и двухукбитные квантовые гейты, может быть построен на одной квантовой частице - квадрупольном ядре со спином 3/2

Уровни энергии квадрупольного спина в градиенте электрического поля решетки и в постоянном магнитном поле, направленном параллельно главной оси градиента электрического кристаллического поля, определяются гамильтонианом [3]

H = HZ + Hq, Нг = -Гшг1г, Чд = /w,[3Í - I2 + ^(ll - 1%

где Tiz - гамильтониан взаимодействия с внешним постоянным магнитным полем, Hq гамильтониан электрического квадрупольного взаимодействия, uiq - константа квадрупольного взаимодействия, шг - зееманова частота, т] -безразмерная величина (0 < rj < 1), описывающая отклонение градиента электрического поля от аксиальной симметрии.

В случае, когда зеемановская энергия превосходит квадрупольную (иг > шд), квадрупольное ядро со спином 3/2 обладает четырьмя неэквидистант-

ными уровнями энергии Нем {he0 > hei > he2 > he3). которым соответствуют собственные функции ¡Фм)

Пусть на квадрупольные ядра действует переменное импульсное магнитное поле, направленное вдочь оси у Гамильтониан взаимодействия с этим полем имеет вид

Hrf(t) = —hjHTf cos(fi£ - f)Iy,

где 7 - гиромагнитное отношение ядра. #г/. / и П - амплитуда, фаза и частота переменного поля. Оператор эволюции спиновой системы под влиянием этого взаимодействия в условиях (П — wmn = ет — е„) селективного возбуждения резонансных переходов между некоторой парой уровней энергии hem о hen (hem > he„) имеет форму [3]

Ymn(^, /) = Е + (Inn + Imm)[cos(v?/2) - 1] + (Inme-!/ - Imnetf) sinfa/2), (1)

где p = 7Яг/г,|(Фт|1у|Ф„)|. i, - длительность импульса и E =

Imn = |Фт)(Фп| При поляризации поля вдоль оси х или при смещении

фазы / / + 7г/2 оператор эволюции принимает вид

Xm„(<?,/) = E + (Irm + Imm)[cos(^/2)-l]-z(Inme-,/ + Imne,/)sin(^/2), (2)

где ¥> = 7Яг/«,|<Фт|1х|Ф„)|.

В стандартной модели двухкубитного ЯМР квантового компьютера в качестве основы для кодирования кубитов и построения квантовых гейтов рассматриваются два взаимодействующих ядерных спина 1/2. В формализме квантовой механики состояния такой системы и операции над ними описываются в абстрактном четырехмерном гильбертовом пространстве, являющемся прямым произведением двумерных пространств собственных состояний спинов 1/2. Проведем обратную процедуру: четырехмерное пространство Г/, соответствующее реальному спину 3/2. представим как прямое произведение 7Г®7, двух абстрактных двумерных пространств состояний виртуальных спинов г и а. Любой оператор I, заданный в четырехмерном гильбертовом пространстве Г/, может быть выражен в виде линейной комбинации прямых произведений г ® s операторов виртуальных спинов, заданных в пространствах fr и 7S Между базисом |Фд/) пространства Г/ и базисом Km) ® |С„> прямого произведения jr <g> имеет место изоморфное соответствие

|Фо) О |£о> ® Ко) = |0,0), |Ф!) о Ко) ® |Cl) = |0,1), |*2> ^ Kl) ® Ко) = |1,0), |ф3) ^ Kl) ® Kl) = |1,1).

Для построения произвольных квантовых вычислений достаточно одного универсального набора квантовых гейтов Один из универсальных наборов

состоит всего из двух квантовых гейтов - однокубитной операции поворота и двухкубитного квантового гейта С NOT [2].

Однокубитные операции поворота в пространствах состояний виртуальных спинов г и s вокруг осей у и х на угол <р реализуются посредством пар некаскадных, независимых (не затрагивающих общих уровней энергии) селективных радиочастотных импульсов

Yr(y>) = Yo2(v, 0)Yi3(*>, 0), Y.foO = Yoxfo 0)Y23(^, 0), XrM = X02(<p, 0)X13(<p, 0), ХзЫ = Xoi(v?, 0)Х23(<л 0).

Частными случаями операции поворота являются квантовый гейт NOT (NOT|£) = |->f))- инвертирующий состояние кубита

NOTr = гХг(тг), NOT, = гХДтг)

и псевдооператор Адамара h (ft|£) = [|0) + (—l)1_i|l)]/\/2)

hr = Yr(7r/2), hs = Ys(ir/2), h,"1 = УГ(-тт/2), h;1 = Y,(-tt/2).

Схемами реализации оператора Адамара Я (#|£) = [|0) + (—1)^|1}]/\/2). который позволяет получить равновероятную суперпозицию состояний, являются

Hr = Yr(7r/2)Y23(2*-,0), Hs = Ye(7r/2)Y13(27rI0).

Двухкубитный квантовый гейт CNOTa(ICNOTa^g), который инвертирует состояния кубита /3 («контролируемый»), если кубит а («контролирующий») находится в состоянии |1) (|0)), и не меняет состояние кубита /3, если кубит а находится в состоянии |0) (|1)), может быть реализован как

CNOTr^s - e-^2Zr(l)X23(7r,0), CNOT4_>r = e-"/2Zs(l)X13(7r,0), ICNOTr_>s = e-^2Zr(0)Xol(rr, 0), ICNOTs^r = e—/2Zs(0)X02(7r, 0),

где Z,(k) = Yl(^/2)XI((-l)i7r/2)Yi(-7r/2) (i = r,s:k = 0,1).

Могут также оказаться полезными двухкубитные квантовые гейты SWAP, обменивающий состояния двух кубитов,

SWAPrMS = е-"/2У3(7г/2)Х01(-7г/2,0)Х23(я/2,0)Уа(-7г/2)Х12(7г,0)

и квантовый гейт изменения знака Pt = Е — 21„

Ро - e-l^2Zr(0)Yoi(7r,0)X01(7r,0), Р: = е—/2Zr(0)Yol(-Tr, 0)Х01(тг, 0), Р2 = e-»/2Zr(l)Y23(7r, 0)Х2з(7г,0), Р3 = е~"1Чг{1)У23(-тг, 0)Хм(тг, 0).

Матричные элементы квантовых гейтов NOT, С NOT. 1С NOT. SWAP являются положительными действительными числами (единицами) Их

экспериментальная реализация в ЯМР сталкивается с трудностями, заключающимися в том, что операторы эволюции реальных импульсных последовательностей содержат либо все чисто мнимые недиагональные матричные элементы, либо часть отрицательных недиагональных матричных элементов. В некоторых случаях (МОТг. МГОТ8) удается так построить схему импульсных последовательностей, что квантовые гейты достаточно простым образом реализуются с точностью до фазового множителя ега, который не влияет на результат квантово-механических измерений. В других случаях требуется использовать либо существенно более сложные импульсные последовательности (СЖ>ТГ_„. СЖ>ТЯ,Г ГСЖЭТ^,. 1СЖ)Т№ Р(), либо учитывать эти различия на протяжении всей цепочки квантовых гейтов, составляющих квантовый алгоритм (при этом результат вычислений будет представлен в несколько измененной форме) Это обстоятельство не является атрибутом кодирования кубитов в представлении виртуального спина, оно присуще любому известному способу кодирования кубитов. В ряде случаев наличие мнимых или отрицательных недиагональных матричных элементов не влияет на результаты вычислений, например, если последовательность квантовых гейтов только имитирует классические обратимые вычисления, то есть преобразует состояние квантового регистра из одного состояния вычислительного базиса в другое состояние вычислительного базиса, а не в суперпозицию состояний, или если квантовый гейт образует в последовательности пару с другим подобным гейтом

Можно предложить упрощенные схемы реализации (состоящие из существенно меньшего количества импульсов) некоторых квантовых гейтов, например,

Ро = Уо1(тг, 0)Х01(7Г, 0), р; = У01(-7Г, 0)Хо1(тг, 0), Р5 = У2зК 0)Х23(тг, 0), Р'3 = У23(-тт, 0)Х23(тг, 0).

где оператор О* - оператор О, в котором часть матричных элементов умножена на мнимую единицу.

В качестве начальных состояний для реализации квантовых алгоритмов в ансамблевых квантовых компьютерах используются псевдочистые состояния, которые соответствуют чистым состояниям \к) и характеризуются матрицей плотности

(%' = аЕ + 01кк.

Перед началом вычислений физическая система обычно находится в термодинамически равновесном состоянии рт, которое может быть преобразовано в псевдочистое состояние методом перераспределения населенностей уровней [4] В работе [4] также описан метод считывания результатов квантовых

вычислений. Еще один тип начальных состояний - пары певдочистых состояний [5]

Здесь а, 0, а' и в' - постоянные, зависящие от параметров системы.

Алгоритм Дойча-Джозса. Задача Дойча-Джозса для двухкубитной системы состоит в следующем [1] Дана функция f(x) : {0,1} {0,1} (для записи аргументов и значений функции используется по одному ку-биту). Функция может относиться к одному из типов: постоянная (/оо(0) = /оо(1) = 0 и /ц(0) = /ц(1) = 0). сбалансированная (/0i(0) = 0. /0i(l) = 1 и /ю(0) = 1, /ш(1) = 0) Для того, чтобы определить тип функции на «классическом компьютере» необходимо вычислить значения функции и при х = 0, и при х = 1 Квантовый алгоритм Дойча-Джозса позволяет решить задачу, вычислив функцию всего один раз. Наиболее простым является случай, когда функции f„m(x) заданы в табличной форме. В этом случае им соответствуют преобразования [Отп : \х)\у) -» \х)\у © fmn(x)) где ф - сложение по модулю 2)

Ооо = Е, O0i = CNOTMS, О10 = ICNOTV^, Ou = NOTs.

Двухкубитный квантовый алгоритм Дойча-Джозса может быть реализован как следующая последовательность квантовых гейтов

Dmn = hrh^Omnhgh^1.

На Рис. 1 схематически изображен спектр ЯМР, который может быть получен при считывании результатов квантовых вычислений после действия операторов Т>тп на различные начальные состояния. В случае псевдочистого начального состояния в результате вычислений оно переводится в псевдочистое состояние, которое соответствует чистому состоянию |0,0). если функция является постоянной и в состояние, соответствующее |1,0), если функция сбалансированная. В случаях, когда начальным состоянием являются пара псевдочистых состояний и термодинамически равновесное состояние, результирующие состояния не соответствуют конкретным

fix) а

Ых) -ч—I—t- -+

«23 <»12 й>0)

3 I4 13

Ш

Ш

1-4

3 13

1-4

3 13

1-4

9 И

-4

/iiM -ь

1-4

3 I4 13

1-4

Рис. 1 Спектр ЯМР после действия операторов дв\ хкубитного алгоритма Дойча-Джозса на начальные состояния р^ (а). р(Ь) и / (с).

псевдочистым состояниям однако, они совпадают для постоянных функций (foo(x) и /и(х)) и сбалансированных функций (foi(x) и fw(x)), что позволяет однозначно определить тип функции.

Алгоритм Гровера. В случае системы, состоящей из двух кубиюв. алгоритм Гровера служит для решения следующей задачи [1] Имеется совокупность четырех Хд, х\. Х2, неупорядоченных элементов Необходимо найти элемент, удовлетворяющий некоторому заданному условию, если известно. что такой элемент в совокупности существует и он единственный В случае, когда задача решается на «классическом компьютере», необходимо проверить от одного до трех элементов из четырех для того, чтобы найти требуемый элемент Квантовый алгоритм Гровера позволяет решить задачу за один шаг. Двухкубитный алгоритм Гровера в случае, когда искомым является состояние хг, состоит из следующих квантовых гейтов

Gj = HrHsP,HrHsPoHrHs.

На Рис 2 представлен ожидаемый спектр ЯМР. который может быть получен при считывании результатов квантовых вычислений после действия |х() a b с операторов Gt на различные началь-

|3 I4 13 |3 |3 ные состояния. В случае, когда на-100)-Н—I—I- -1—!—I— -I—I—

1 ю2з(о12шо, _з 1-2 чальным состоянием является псевдо-

14 - з 14 чистое начальное состояние, резуль-

|01) -н—I—j- -J—I—|— | ^ 1—(-j татом вычислений является псевдочи-• . '"3 стое состояние, которое соответству-

j 1 о> —f—I—I- -I—I—|— -)—|—t- ет искомому состоянию. Если началь-|_4 1-4 '-3 "2 ным состоянием является пара псев-

| | [3 12 дочистых состояний и термодинами-

1.3 1.3 | 4 |_з |73 чески равновесное состояние, резуль-

Рис. 2. Спектр ЯМР после действия one- тирующие состояния не соответству-раторов двухкубитного алгоритма Гро- ют конкретным псевдочистым состоя-вера на начальные состояния tff (а), ниям. тем не менее различия в форме р17 (Ь) и р (с) ожидаемого спектра ЯМР (положение

линий поглощения и излучения) позволяют однозначно идентифицировать искомое состояние. Сигналы ЯМР, полученные для случая термодинамически равновесного начального состояния, для х, — |00) и хг — |10), а также для хг = |01) и х, = |11) совпадают по структуре. Тем не менее эти спектры могут служить визитной карточкой искомых состояний хг. Величина амплитуды линии в центре относится к величинам амплитуд крайних линий как 2 : 3 в случае х\ = ¡00) и как 2 : 1 в случае xt = |10). Аналогично при Хг = |01) отношение амплитуд есть 2 : 1 и при хг — |11) -2:3.

Таким образом, в качестве начального состояния для реализации алго-

ритмов Дойча-Джозса и Гровера в представлении виртуального спина помимо псевдочистого состояния также могут быть использованы пары псевдочистых состояний и термодинамически равновесное. Использование начальных состояний, отличающихся от псевдочистого состояния не требует модификации алгоритма.

Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на состояниях ядерного спина / = 7/2 в представлении виртуального спина

В качестве основы для построения трехкубитного квантового компьютера будем рассматривать квадрупольные ядра со спином 7/2, помещенные

fie.

в постоянное магнитное поле и акси- йе0 ально симметричное электрическое кристаллическое поле Спектр такой системы состоит из восьми уровней энергии Нем и семи резонансных линий на частотах штп — ет -еп. Переход к представлению виртуального спина состоит в сопоставлении восьми собственным состояниям |Фм) спина 7/2 прямых произведений |х*) ® |£т) ® |Сп) состояний трех

йе3—-г

Льt-Hr

Й£3

виртуальных спинов q, г и s (Рис. 3) йе?-^

«01

(012

0)23

СО34

СО45

Ю56

• 1 |4о)®|С I )=|0 А1) Н^НхЖ^СоНШ)

»s^XiJeWeiCiHi.o.O

ja

1>®?1)®|С,)=

Hi.i.i)

Следует отметить, что для пере- рис 3 ур0Вни энергии Пгм, собственные хода в представление виртуального состояния |ФЛ/) спина / = 7/2 и соот-

спина не обязательно, чтобы пря- жттвующие прямые произведения Ы ®

„ lfm) ® |С„) состояний виртуальных спинов,

мые произведения состояний виртуальных спинов ¡0,0,0). (0.0,1), . . ¡1,1,1) в энергетической шкале располагались последовательно одно над другим. Состояния ¡0,0,0), ¡0,0,1), ., |1,1,1) могут быть приписаны состояниям |ФА/) реальной физической системы в произвольном порядке, который определяется в основном удобством воплощения квантовых гейтов. В частности, между состояниями физической системы, участвующими в кодировании кубитов, могут оказаться состояния, которые не принимают участия в кодировании кубитов.

Операция вращения отдельного виртуального спина на угол <р вокруг осей у и х может быть реализована следующим образом

Y» = Ум(^0)У15(^0)Уав(р,0)Уз7(М), Y,(V) = YO2(V, 0)Y13(V, 0)Y4e(v, 0)Y57(V», 0),

Ys(<p) = YO1(^,0)Y23(^,0)Y45^,0)Y67(^,0)i X,(p) = ХО4(^,0)Х1Г)(^,0)Х26(^,0)ХЗ7(¥')0), Xr(y>) = Хо2(^,0)Х13(^,0)Х4б(^0)Х57(^,0),

Xt(v>) = Х01(<р,0)Х23(<р,0)Х45(<р,0)Х67(<р,0).

где Ymn(tp, /) и Xmn(ip, /) - операторы (1) и (2) эволюции системы

Квантовый гейт NOT и псевдооператор Адамара являются вращениями на угол 7г вокруг оси г и на угол 7г/2 вокруг оси у, соответственно,

NOT, = гХ9(тг), NOTr = гХг(тт), NOT, = гХ,(тг),

h? = Y,(tt/2), h, = Ут(тг/2), hs = Y,(Tr/2), h-1 = Ye(—ff/2), hr"x = Yr(-ff/2), h;1 - Ys(—7t/2),

Схемами реализации операторов Адамара являются

Н9 - У,(7Г/2)У43(27Г,0)У67(27Г,0), Hr = Yr(7r/2)Y23(27r,0)Y67(27r,0), Н8 = Y8(7r/2)Y13(27r,0)Y57(27r,0).

Квантовый гейт Р, изменения знака реализуется как

р, = Y0V(r7l7r.0)Y12(r727r,0)Y23(7737r,0)Y34(7?47r,0) X Y45(7?57r,0) X X Y56(%7r, 0)Y67(7777r, 0)Y67(7T, 7r/8)Y56(^, 7r/8)Y45(7r, 1Г/8) X x Y34(7т, tt/8)Y23(tt, 7r/8)Y12(7r, 7r/8)Yoi(rr, тг/8),

где T)3 = 1, для j = i И = -1, для j ф i.

В Таблице 1 приведены точные схемы реализации двухкубитных (СNOT, SWAP) и трехкубитных (CCNOT, С5ИМР) квантовых гейтов. Квантовый гейт CCNOT^)-^ инвертирует состояние кубита 7, если кубиты а и /3 находятся в состоянии ¡0,0). Квантовый гейт CSWAPa^^y) обменивает состояниями кубиты /3 и 7. если кубит а находится в состоянии |0) Можно также предложить упрощенные схемы реализации, в которых допускается, что операторы могут содержать мнимые или отрицательные матричные элементы вместо действительных положительных, например,

SWAP^r = Y24(-7r, 0)Y35(7r, 0), CSWAP^,) = У56(тг, 0), SWAP^, = Yi4(-7r, 0)Y36(TT, 0), CSWAPr%(i+M) = Y36(Tr, 0), SWAP^s = Y12(-TT, 0)Y56(7r, 0), CSWAP;_(,„p) = У35(тг, 0).

Алгоритм Дойча-Джозса. Трехкубитный квантовый алгоритм Дойча-Джозса служит для решения следующей задачи. Дана функция

Таблица 1 Схемы реализации квантовых гейтов

Квантовый гейт_Схема реализации

CNOT,^, Y56(27r,0)Y46(-7r,0)Y57(7r,0)

CNOT,_,s YeB(2ir10)Y«(-*I0)Y«T(Jr10)

CNOTr-t, Y36(27r,0)Y26(-7r,0)Y37(7r,0)

CNOTV.+J Y36(27r,0)Y23(-7r,0)Y67(7r,0)

CNOTj-,, Y35(27r,0)Y15(-7r,0)Y37(7r,0)

CNOTs_»r Y35(27r,0)Y13(-^,0)Y57(ff,0)

SWAP q—ът Y34(-7r,0)Y24(-w,0)Y35(*,0)

SWAP,.,, Y^t-ir.OiYMi-ir.OJYMijr.O)

SWAPr_>s Y25(-M)Yl2(-7T,0)YS6(7r,0)

CCNOT(,,r)_s P6Y6r(7r,0)

CCNOT(,,s)_r P5Y57(^,0)

CCNOT(r,S)_,, P3Y37(7t,0)

CSWAPf_,(rH1) P5Y5e(7T,0)

CSWAPT_(,w) P3Y36M)

CSWAPM(,„r) P3Y35(tt,0)

f(x) : {О, I}2 —{0,1}. т.е для записи аргументов функции используется два кубита, для записи значений функции один кубит. Предполагается, что функция может быть либо постоянной, либо сбалансированной. Существуют два типа постоянных функций (/oooofa); /пп(^)) и шесть типов сбалансированных функций (foou(z)- foioi(x), fouo(x), fiooi(x), /ioio(z)) где запись /к/тп(х) означает /Ытп(00) = к, fkimn(01) = I. fkimn{Ю) = т. fkimni 11) = п- Будем рассматривать случай, когда функции заданы в табличной форме, им соответствуют преобразования (Оытп '■ ¡^)|у) И1У $ fkl тп

Ооооо = Е, Оооп = CNOT^„ Oqioi = CNOTr_»8, Оопо = CNOTr_>,CNOTi_>„Oiooi = NOT.CNOTr^CNOT^,,

Oioio = NOTsCNOTr^, Onoo = NOTsCNOT?_,s, Onn = NOTs

Для решения задачи на «классическом компьютере» необходимо вычислить значения функции для трех значений аргументов из четырех возможных. Квантовый алгоритм Дойча-Джозса позволяет решить задачу за один шаг. Последовательность квантовых гейтов, составляющих трехкубитный квантовый алгоритм Дойча-Джозса, можно записать следующим образом

Di/mn = hghrh^O^mnhsh^h^1.

На Рис. 4 схематически изображен спектр ЯМР. который может быть получен после действия операторов ТУмтп на различные начальные состояния Различия в форме ожидаемого спектра ЯМР (положение линий поглощения и излучения) позволяют однозначно определить тип функции.

Л») *

/ооооМ

(067 С036 Ш45 С1>34 <№» 0->12 Ю,) 1

15

/Ьо1

Лю|(*) /опоМ

/|00|М

/¡оюМ /| кшМ

.7.5

-Л 115

|7 1-12

|7 1-12 '

1.2 I15,

1" 1-12

,7.5

.3.5

.3.5

,7.5

|7.5

.3,5

-6

.3.5

12

.3.5

-1.2-1.5 4.8 .4.5 Г-4-

,3.5

-6

3.5

-12

.3.5

-6

3.5|6 [7.5|8 |7.5|6 ,3.5

3.5

,7.5

'-3.6

Л

2.1 4.6 4.5 || '—

■5.1

-1.2-0.7 .3.6

-6 -1 6-1.5

-3 5

4.8 д4.5

X

2.1

3.6

6 -1.6-1.5 -3-5

Г.45,

-1.2^1.5

3.5

-1.2-0.7

|7.5

3.5|6 |7.5|8 [7.5|6 ,3.5

Рис 4. Спектр ЯМР после действия операторов трехкубитного алгоритма Дойча-Джозса на начальные состояния (а), (Ь) и рт (с)

Алгоритм Гровера. Трехкубитный квантовый алгоритм Гровера решает следующую задачу Существует совокупность восьми неупорядоченных элементов х\, ..., х%. Необходимо найти элемент, который удовлетворяет некоторому заданному условию В классическом случае необходимо проверить от одного до семи элементов, чтобы найти требуемый элемент. Квантовый алгоритм Гровера позволяет найти элемент за два шага. Трехкубитный алгоритм Гровера в случае, когда искомым является состояние хи состоит из следующей последовательности квантовых гейтов

^ = (БР,)^, = Н9НГН*.

Вместо операторов Р, могут быть использованы операторы Р* (Р2А. = Y2Jfc,2*+l(7^0)X2A>2k+l(7r,0). Р2*+1 = ^2к,2к+\{~^, 0)Х2*.2*+1(7Г, 0), к = 0,1,2,3), которые реализуются более простыми последовательностями импульсов Операторы Р* отличаются от операторов Р, тем, что содержат часть мнимых матричных элементов Оператор О может быть реализован как последовательности трех квантовых гейтов Операторы, со-

ставляющие импульсную последовательность, коммутируют друг с другом, что позволяет значительно упростить последовательность импульсов

Б = У12(27г,0)¥47(27г,0)¥о4(-7г/2,0)У15(-7Г/2,0)У26(-7г/2,0)х х ¥з7(-7г/2,0)¥1з(-7г/2)0)¥о2(-7г/2,0)¥ш(-37г/2,0)Хо1(7г,0) х х Уо1(7г/2,0)¥1з(-7г/2,0)У02(-7г/2,0)¥26(-7г/2,0)Уз7(-7г/2,0) х

)*,) а ¡ООО)

|001) |010) |011>

|100> |Ю1)

|110> |111)

со67 (056 со45 со34 й>2 з СО 12 (001 112

15

Ту

116

1-12

15

1-15

■ 12

16

-15

1-12

-7

' 1-6

16

1-6 г

1-8 1-6

I8 |6

1 , |14 5 1-14.5

1-6 1-8

|б I8

16.8 -14 5

1-6 |6

16.8

1-6.8

.4.3

-ЗЛ

^-30,9

'-4.3

-2.3

-Ни

46Л

-0.9

'-3 7 ,431.9

пгг 10.8 -1.91-4.3

3.7

1-10.8 |6.1, , |4.Д -1.91-8.4 0 9 .2.3

1-6.1 ' ' '-4,^ ■3.1

-3 7

Рис 5 Спектр ЯМР после действия операторов трехкубитного алгоритма Гровера на начальныр состояния (а), (Ь) и рт (с)

х У04(-7г/2, 0)У15(-я/2, 0)Уо4(-7г/2,0)У15(-тг/2, 0).

На Рис 5 представлен ожидаемый спектр ЯМР, который может быть получен после действия операторов в, на различные начальные состояния. Спектры являются уникальными для каждого искомого состояния и позволяют однозначно идентифицировать его

Предложенные схемы реализации в ЯМР квантовых гейтов на состояниях ядерных спинов 3/2 и 7/2 не являются единственными, скорее они наиболее простые (состоят из наименьшего числа импульсов). Без предъявления анизотропии в плоскости, перпендикулярной постоянному магнитному полю, х и у направления являются эквивалентными, и это порождает дополнительные возможности реализации квантовых гейтов посредством радиочастотного поля, ориентированного вдоль любой из этих осей.

Еще одна причина разнообразия схем реализации - возможность возбуждать радиочастотным полем резонансные переходы с различными правилами отбора: Д = |т - п\ = 1,2,.... Хотя в низкосимметричном кристаллическом поле все резонансные переходы, в принципе, разрешены, их вероятности с ростом Д убывают как (а;9/шг)2Л-2 или (ыдт]/шг)2&~2 Можно также предложить следующие схемы реализации для операторов с Д > 1

-<»■771, т+Д—1,т+Д МХт>га+д-г(тг),

Ут,т+д(у) = Ут,т+Д-1(-1')Утт-Д-1,т+д(¥')Ут,7П+Д-1(7г)-Результаты, полученные для ядерных спинов 3/2 и 7/2. пригодны для

произвольно выбранных четырех и восьми уровней любой многоуровневой квантовой системы, соответственно. Необходимо лишь иметь возможность возбуждать требуемые для реализации квантовых гейтов резонансные переходы.

Представление виртуального спина для случая произвольной многоуровневой системы

Предложенный подход - представление виртуального спина, может быть использован для кодирования информации на произвольной многоуровневой квантовой системе В этом случае предполагается что известны собственные значения ец и соответствующие им собственные состояния |Фд/) (О < М < N - 1) гамильтониана системы Среди собственных состояний ]Фд/) выберем 2" (2" < Лг) состояний 2"-мерное гильбертово пространство Г, соответствующее выбранным состояниям, будем рассматривать как прямое произведение 71®72®.. .®7п из п двумерных гильбертовых пространств 7, виртуальных спинов зг = 1/2. Каждому виртуальному спину поставим в соответствие кубит по принципу «один виртуальный спин - один кубит».

Определение. Виртуальным спином будем называть абстрактный объект, которому соответствует двумерное гильбертово пространство, полученное в результате представления 2"-мерного гильбертова пространства состояний реальной физической системы в виде прямого произведения двумерных гильбертовых пространств.

Для воплощения квантовых гейтов необходимо возбуждать переходы между соответствующими состояниями физической системы. Однокубит-ный квантовый гейт, действующий на виртуальный спин с номером к, в пространстве Г является последовательностью операторов 2*-1_12п-*-1

;=0 г=0

где ие,/ матрица размера 2" х 2", все элементы которой равны 0, за исключением им = 1 (г ф е, /) и элементы гц/, и}/ соответствуют элементам матрицы однокубитного квантового гейта.

Двухкубитные квантовые гейты СИОТ^, действующий на виртуальные спины с номерами к (контролирующий) и I (контролируемый) (к < I). и СЫОТ^ь, действующий на виртуальные спины с номерами I (контролирующий) и к (контролируемый) (к < /), являются преобразованиями

У*,/ = П П П уг+2"-Ч^ 2"-'+1+9 2п-<:+1,1+2"-'+2"-,+; 2"-'+1+з2"-*+Ь р=0 ;=0 ¡=0

— 11 11 Ц г"-'«-

р=0 3=0 ¡=0

где / матрица размера 2п х 2", все элементы которой равны 0, за исключением V,,, = 1 (г Ф е, /) и ие,/ = г'/.е = 1.

В частности, можно записать схемы реализации через пропагаторы импульсов (2) и (1) однокубитной операции поворота и квантового гейта СИОТ, составляющих универсальный набор, 2* ~1 — 1 2"-* —1

;=0 5=0 .7=0 !=0

СЖ)Та;_>/ = {]ДЦ Х1ц1+2д)2п-к+:1 2"-'+1,!+[1+25)2"-*+(1+2;)2"-!(7г)°)1 9=0 ;=0 1=0 2*-1_1 2'-*-'_1 2"-'-1

3=0 ;=0 «=0

Таким образом многоуровневая квантовая система рассматривается как совокупность двухуровневых систем - кубитов. что позволяет без модификации использовать квантовые алгоритмы, разработанные ранее для кубитов.

Квантовые вычисления на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий

При изучении ЯМР протонов в молекулах нематического жидкого кристалла был экспериментально продемонстрирован новый спектр ЯМР, состоящий из множества (до 1024) узких хорошо разрешенных резонансных линий на месте обычно наблюдаемой единой уширенной спин-спиновым взаимодействием резонансной линии [6]. Оказалось возможным по желанию возбуждать или не возбуждать ту или иную узкую линию и таким образом записывать информацию Поиск возможностей использовать такой обширный спектр для квантовых вычислений представляется чрезвычайно интересной и настолько же трудной задачей Одна из возможных интерпретаций физической природы узких линий состоит в предположении, что они создаются резонансными переходами между уровнями энергии ядерных спинов молекулы, расщепленных магнитным диполь-дипольным взаимодействием.

Гамилыониан парамагнетика (электронного и ядерного) имеет вид [7]

Н = Пг + Па + Ни, (3)

! г<з г<]

Б* - в* ± iSv, Аг} = А„ + Ач = (й^/гл® )(1 - Зсов^ц),

где Э^1 - о-компонента спина Бг (а — х,у,г), расположенного в точке ¡, - сферические координаты вектора, соединяющего точки расположения спинов г и у в лабораторной системе координат с осью г. параллельной постоянному магнитному полю Щ, 7 - гиромагнитное отношение, ал; = ~7#о ~ зееманова частота, Л1} - обменный интеграл В выражении (3) приведена только секулярная часть спин-спинового и обменного взаимодействий. которая в силу коммутации с основным гамильтонианом И2 вносит существенно больший вклад в динамику и кинетику спин-систем, чем остальные части спин-спинового взаимодействия.

Жидкий кристалл, в котором наблюдался мультиплетный спектр, состоит из частично ориентированных молекул, каждая из которых содержит п — 19 взаимодействующих протонов, а межмолекулярное спин-спиновое взаимодействие пренебрежимо мало. Речь идет, таким образом об определении более полумиллиона квантовых состояний, то есть о совершенно бесперспективной задаче для точного решения Кроме того, необходимо отметить, что при определенных значениях углов вг] взаимодействие между близлежащими спинами может оказаться меньше, чем между отдаленными спинами. К тому же сама ориентация спинов в пространстве зафиксирована не точно, и в качестве констант взаимодействия фигурируют не подлинные значения, а их не усредненная тепловым движением часть. Это усреднение спин-спинового взаимодействия для протонов, расположенных в разных частях молекулы, не одинаково- в более подвижных фрагментах эффект усреднения значительнее Следовательно, продвижение возможно лишь с помощью теоретической модели, упрощающей задачу, но сохраняющей при этом ее основные черты. По нашему мнению, такой моделью может служить модель равных спин-спиновых взаимодействий (РССВ) с гамильтонианом

П* = Пг + П*а + Щё, (4)

Нг = Иыо £ вгг, Щ = Н*м = ПВ + в^),

г К] г<]

где А и В есть средние значения параметров А,} и В1} для молекулы. Усредненные константы А и В описывают взаимодействие выбранного спина со

всеми остальными сохраняя различия между продольными (Л) и поперечными (В) спиновыми компонентами

Для модели РССВ получены следующие результаты- число различных собственных значений г(п,р) величины неэквивалентных собственных значений Ек{п,р). кратности их вырождения дк(п,р) и соответствующие им собственные функции |Ф/?(п,р)}, относительные величины вероятностей перехода между состояниями модели под влиянием переменного магнитного поля W(niPtk-)^(ntP±ltk:kli

г(тг, р) = г(п, п - р) = р + 1, Ек(тг,р) = Ек(п.п-р) = Нш0(п - 2р)/2+

+HA(ip2 - 4np + п2 - п)/8 + ПБ(к2 + к{п -2р+1)~ р), дк{п,р) = 9к(п, п-р) = С£_к - С^к-1,

Щп,р,к)-+(п,р±1 к± 1) = Щп,п-р,к)->(п,п-р±1,к±1) а k2 + - 2р + 1) + П - 2р,

где п - полное число взаимодействующих спинов 1/2, р - число спинов, ориентированных против магнитного поля, 0 < р < [п/2], 0 < к < р.

0(1) 4-0=4-1(7,0)«|Xo>®|5o>®IW

7(Оо/2-

5(Оо/2

Зсоо/2

На Рис 6 представлен спектр системы из п = 7 семи спинов 1/2, связанных РССВ. Указанны положение зеемановских уровней (и>о), их смещение, выраженное через А и В, в скобках приведены оставшиеся вырождения уровней, правый ряд содержит обозначения собственных функций этих состояний. стрелками показаны разрешенные резонансные переходы, цифрами около стрелок их относительная вероятность. Из Рис. 6 видно, что РССВ частично снимает вырождение восьми зеемановских уровней .7Мо/2 ■ энергии системы, рас- рис б Спектр системы из п = 7 спинов 1/2, связанных щепляя их на двадцать РССВ.

-соо/2

-Зсоо/2

-5Шо/2

65(1) 4-i=4-,(7,lMXo>®Ko)®l?l> -5(6) 4-2=4-2(7,1;

10Я(1) 4'3-4'l(7,2)<->X0>®Sl>®&> 35(6) 4-4-4-2(7,2) -25(14) Ч-<=4-3(7,2)

125(1) 4-6=4-1(7,3)<-»|Xo)®gl)®ICi> 55(6) 4-7=4-2(7,3) 0(14) 4-8=4-З(7,3) -35(14) 4-9=4-4(7,3)

128(1) 4-,о=4-,(7,4ИХ!>®&>®Ко> 55(6) 4-,,-4-2(7,4)

105(1) 4-14=4-1(7,5)«|Xi)®|W®|C,> 35(6) 4- ,5=4-2(7,5) -25(14) 4-16=4-3(7,5)

65(1) 4-,7=4-,(7,6)«|XI>®|4I>®|CO) -5(6) 4-18=4-2(7,6)

0(1) 4-„=4-,(7,7)^|-х,>®Й1>®|С|>

частично вырожденных уровней Крайние зесмановские уровни энергии являются изначально невырожденными а но мере приближения к центру спектра они расщепляются на два, три и четыре подуровня, каждый со своим вырождением. С точки зрения резонансных переходов уровни энер1ии расщепленного спектра распадаются на группы одна из которых содержит восемь связанных переходами уровней вторая - шесть, третья -четыре и четвертая - два. Переходы между разными группами уровней запрещены На группах состояний могут быть введены четыре независимые группы кубитов - одна группа из трех кубитов. две группы из двух кубитов и один кубит. Рассмотрим группу из восьми состояний связанных резонансными переходами, сопоставим этим состояниям изоморфно прямые произведения ® |Ст) |хп) состояний трех виртуальных спинов <?, г и з (Рис 6) Возбуждение резонансных переходов между состояниями |Фм) спин-системы трансформирует состояния виртуальных спинов Для воплощения квантовых гейтов необходимо подобрать такое физическое воздействие на состояния |Фд/), чтобы в базисе состояний виртуальных спинов оно соответствовало квантовым гейтам, например, могут быть использованы схемы реализации, предложенные выше.

Основные результаты и выводы

1. Показано, что двух- и трехкубитный квантовые компьютеры (в рамках математической модели квантового компьютера - модели квантовых схем) могут быть построены на квадрупольных ядрах со спином 3/2 и 7/2, соответственно. Предложены схемы реализации одно-, двух- и трехкубитных квантовых гейтов в представлении виртуального спина. Предложенные схемы реализуют квантовые гейты точно (с точностью до фазового множителя). Разработаны схемы реализации квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера с псевдочистым, парой псевдочистых и термодинамически равновесным начальными состояниями.

2. Обобщено понятие виртуального спина на случай квантовой системы с произвольным числом уровней энергии и предложены схемы реализации универсального набора квантовых гейтов.

3 Исследована математическая модель равных спин-спиновых взаимодействий. Найдены энергетический спектр гамильтониана модели и относительные вероятности резонансных переходов между его уровнями под влиянием резонансного магнитного поля без ограничения числа спинов и значений параметров модели.

4 На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий осуществлено кодирование кубитов в представлении виртуального спина.

Список цитированной литературы

[1] Валиев К А Квантовые компьютеры: надежды и реальность ' К А Валиев. А.А Кокин. - Ижевск- РХД, 2001. - 352 с.

[2] Nielsen, М.А. Quantum computation and quantum information / M.A. Nielsen, I L. Chuang. - Cambridge- Cambridge University Press, 2000. — 676 pp.

[3] Кесселъ, A.P. Виртуальные кубиты - многоуровневость вместо много-частичности / А Р. Кессель. B.JI Ермаков // ЖЭТФ. - 2000. - Т. 117, № 3. - С. 517 525.

[4] Kh'itnn, А.К Nuclear magnetic resonance quantum logic gates using quadrupolar nuclei / A.K. Khitrin, B.M. Fung ,'/ Journal of Chemical Physics. - 2000. - Vol. 112. - P. 6963

[5] Fung, B.M. Use of pairs of pseudopure states for NMR quantum computing, В M. Fung ,// Physical Review A. - 2001 - Vol. 63. - P. 022304.

[6] Khitrin, A.K. Information storage using a cluster of dipolar-coupled spins / A.K. Khitrin, V L. Ermakov, В M Fung // Chemical Physics Letters — 2002. - Vol. 360. - Pp. 161-166.

[7] Абрагам, А. Ядерный магнетизм ' А. Абрагам. -- M.: ИИЛ, 1963 552 с.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Kessel, A R. Implementation schemes in NMR of quantum processors and the Deutsch-Jozsa algorithm by using virtual spin representation / A.R. Kessel, N.M. Yakovleva // Physical Review A. - 2002. — Vol 66, no. 6. — Pp. 062322-1-062322-7.

2. Yakovleva, N.M. Implementation schemes of quantum gates on the states of discrete quantum system / N M Yakovleva, E. A. Tereshin // Proc. SPIE. -2004. Vol. 5402. - Pp. 140-144.

3. Kessel, A.R. Elements of quantum informatics on the states of equal spin-spm interactions model / A.R. Kessel, N.M. Yakovleva // Proc. SPIE. 2004. - Vol. 5402. - Pp. 145-149.

J 4. Кессель, A.P. Схемы реализации в ЯМР квантовых процессоров в пред-

ставлении виртуального спина / АР. Кессель. Н М. Яковлева // Казанский физико-технический институт им Е К. Завойского 2002 Ежегодник. — Казань: ФизтехПресс, 2003 — С. 76-81.

5. Кессель, А.Р. Энегретический спектр гамильтониана равных спин-спиновых взаимодействий / А.Р Кессель, P.P. Нигматуллин, Н.М Яковлева // Казанский физико-технический институт им. Е. К Завойского 2002 Ежегодник - Казань- ФизтехПресс. 2003. - С 82-85.

6. Kessel, A.R. Scheme of experimental implementation of two-qubit Deutsch problem algorithm on the individual nuclear spin 1=3/2 / A.R. Kessel, N.M. Yakovleva // V International Congress on Mathematical Modelling. Book of Abstracts. - Dubna, 2002. - Vol. 1. - P. 94.

7 Кесселъ, A.P. Реализация алгоритма квантового поиска на ядерном спине 3/2 / АР. Кессель, Н.М. Яковлева // V Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинорматика-2003». Сборник научных трудов. - Москва, 2003. - Т. 2. - С. 63-70.

8 Яковлева, Н.М. Схемы реализации в ЯМР алгортма квантового поиска в представлении виртуального спина ' Н М Яковлева // Конференция молодых ученых КФТИ КазНЦ РАН Сборник трудов — Казань, 2003.-С. 52-57.

9 Яковлева, Н.М Схемы реализации в ЯМР трехкубитного алгоритма Гровера / Н М. Яковлева // VII Российская молодежная научная школа «Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений». Сборник трудов. - Казань, 2003. - С. 206-209.

10. Яковлева, Н М Схемы реализации в ЯМР алгортмов Дойча-Джозса и Гровера на ядерном спине 7/2 в представлении виртуального спина / Н.М. Яковлева // VII Всероссийская молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» Сборник статей. -Казань. 2003. - С. 115-120.

11 Yakovleva, NM Implementation schemes in NMR of universal set of quantum gates by using virtual spin representation / N M Yakovleva // VIII International youth scientific school «Actual problems of magnetic resonance and its application» Proceedings. — Kazan, 2004. — Pp 110-113

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина

Тираж 100 экз. Заказ 11/63

420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 тел. 292-65-60,231-53-59

25 3 79

РНБ Русский фонд

2006-4 30008

Введение 1 Квантовые вычисления

1.1 Квантовые биты и квантовые регистры.

1.2 Квантовые гейты и квантовые схемы

1.3 Квантовые алгоритмы.

1.3.1 Квантовый алгоритм Дойча-Джозса.

1.3.2 Квантовый алгоритм Гровера.

2 Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на состояниях ядерного спина I = 3/2 в представлении виртуального спина

2.1 Кодирование кубитов на состояниях ядерного спина 3/

2.2 Схемы реализации квантовых гейтов

2.3 Приготовление начального состояния и считывание результатов вычислений.

2.4 Схемы реализации двухкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса

2.4.1 Псевдочистое начальное состояние.

2.4.2 Пара псевдочистых состояний

2.4.3 Термодинамически равновесное начальное состояние

2.5 Схемы реализации двухкубитного квантового алгоритма Гровера.

Псевдочистое начальное состояние.

Пара псевдочистых состояний

Термодинамически равновесное начальное состояние

Схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов на состояниях ядерного спина / = 7/2 в представлении виртуального спина

3.1 Кодирование кубитов на состояниях ядерного спина 7/

3.2 Схемы реализации квантовых гейтов

3.3 Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Дойча-Джозса

3.3.1 Псевдочистое начальное состояние.

3.3.2 Пара псевдочистых состояний

3.3.3 Термодинамически равновесное начальное состояние

3.4 Схемы реализации трехкубитного квантового алгоритма Гровера.

3.4.1 Псевдочистое начальное состояние.

3.4.2 Пара псевдочистых состояний

3.4.3 Термодинамически равновесное начальное состояние

3.5 Представление виртуального спина для случая произвольной многоуровневой системы.

Квантовые вычисления на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий

4.1 Многочастичная проблема спин-спиновых взаимодействий

4.2 Собственные значения и собственные состояния гамильтониана модели равных спин-спиновых взаимодействий

4.3 Вероятности резонансных переходов между состояниями модели равных спин-спиновых взаимодействий.

4.4 Кодирование кубитов на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий в представлении виртуального спина.

Квантовая информатика на протяжении более двух десятков лет является одной из самых бурно развивающихся наук. Такой интерес к квантовой информатике можно объяснить двумя причинами. Во-первых, квантовые вычисления предоставляют новые возможности для кодирования, обработки и передачи информации [1-3]. К ним можно отнести потенциальное ускорение вычислений и возможность решать ряд вычислительных задач, недоступных классическому компьютеру [4-10], моделирование квантовых систем [11-13], квантовую криптографию [14-16], квантовую плотную кодировку [17], квантовую телепортацию [18, 19]. Вторая причина [2, 3] - это миниатюризация элементов интегральных схем классических компьютеров. Успехи современной компьютерной индустрии (увеличение быстродействия и объемов памяти вычислительных машин) основаны на увеличении количества и уменьшении размера элементов микросхем. Согласно закону Мура число транзисторов на один квадратный дюйм в микросхемах классических компьютеров увеличивается со временем по экспоненциальному закону, а именно удваивается каждые 18-24 месяца [3,20-22] (Рис. 1). Вместе с тем, число атомов, необходимых для представления одного бита информации, экспоненциально уменьшается со временем [3, 23] (Рис. 2). Если экстраполировать эти закономерности, то можно видеть, что в скором будущем один бит информации будет кодироваться на отдельном атоме. Отсюда следует, что даже если ничего не менять в идеологии проектирования вычислительных машин и алгоритмов, неизts ьо

JO « о о. о н и S со Я 03 о

4 о 5 Г

18 16 14 12 -10 -8 -6 -4 -2 Pentium 4 ■ Pentium III ■ Pentium II ■ Pentium '486 DX

286

386 8086 ш>

8080

4004

8008

1960

1970

1980 Год

1990

2000

Рис. 1. Число транзисторов на один квадратный дюйм в микросхемах классических компьютеров.

62 гч 00 О

49

36 ю о s о

Й 23 о 4 о

5 ЕГ

10

-3 ч ч ч

1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Год

Рис. 2. Число атомов, которые используются для записи одного бита информации в классических компьютерах. бежно при разработке вычислительной техники придется учитывать законы квантовой механики.

Актуальность исследования. В качестве основы для построения квантовых компьютеров было предложено большое количество различных двухуровневых физических систем, включая ядерные спины 1/2. Кодирование кубитов в этом случае осуществляется по принципу «одна двухуровневая физическая система - один кубит». В рамках такого кодирования кубитов экспериментально реализован ряд квантовых гейтов и квантовых алгоритмов. В частности, на семикубитном ЯМР квантовом компьютере, работающем на ядерных спинах 1/2, был реализован квантовый алгоритм Шора, осуществляющий факторизацию числа 15 [24].

Кодирование кубитов по принципу «один ядерный спин 1/2 - один кубит» имеет ряд недостатков [1,25-27]. Для срабатывания двухкубит-ных квантовых гейтов требуется «включать» в определенный момент на заданную длительность взаимодействие между спинами и подавлять его на все оставшееся время. Для этого необходимо воздействовать на систему сложными импульсными последовательностями. Существует тенденция к убыванию интервалов между отдельными резонансными частотами по мере увеличения числа взаимодействующих спинов в системе, что затрудняет селективное возбуждение отдельных переходов в больших коллективах спинов.

Эти недостатки могут быть устранены посредством перехода к твердотельным спиновым системам, содержащим квадрупольные ядра со спинами I > 1/2 или к другим многоуровневым квантовым системам с дискретным неэквидистантным спектром и применению нового подхода «многоуровневость вместо многочастичности». Суть этого подхода состоит в том, что кубиты вводятся не на состояниях отдельных двухуровневых частиц, а на состояниях многоуровневых систем, например, на состояниях ядерных спинов I > 1/2 или на коллективных состояниях взаимодействующих спинов, то есть собственных состояниях гамильтониана с учетом взаимодействия между спинами.

Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие, в рамках парадигмы «многоуровневость вместо многочастичности», нового подхода к кодированию кубитов на многоуровневых квантовых системах - представления виртуального спина. В связи с этим были поставлены следующие задачи: разработка схем реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов на состояниях ядерных спинов 3/2, 7/2 и на состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий в представлении виртуального спина, обобщение понятия виртуального спина на случай квантовой системы с произвольным числом уровней.

Научная новизна. Применительно к многоуровневым системам впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и алгоритмов в представлении виртуального спина. Понятие виртуального спина обобщено на случай произвольной многоуровневой квантовой системы и предложены схемы реализации квантовых гейтов, составляющих универсальный набор.

Исследована математическая модель равных спин-спиновых взаимодействий. На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий осуществлено кодирование кубитов в представлении виртуального спина.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи и применения математического аппарата, согласованностью результатов численных расчетов и выражений полученных аналитически.

Практическая значимость. Разработанный подход к кодированию кубитов - представление виртуального спина, позволяет существенно расширить круг систем, которые могут быть использованы в качестве основы для построения квантовых компьютеров, включив в их число многоуровневые квантовые системы, в частности, ядерные спины

I > 1/2.

Содержание работы. Работа состоит из четырех глав. Первая глава содержит обзор основных понятий квантовых вычислений и квантовых алгоритмов. Во второй и третьей главах вводится понятие виртуального спина и даются схемы реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера на состояниях ядерных спинов 3/2 и 7/2, соответственно. В четвертой главе исследуется модель равных спин-спиновых взаимодействий и дается один из возможных вариантов кодирования кубитов на состояниях этой модели.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. В представлении виртуального спина впервые разработаны точные схемы реализации квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера с различными начальными состояниями на состояниях ядерных спинов I > 1/2.

2. Обобщено понятие виртуального спина на случай произвольной многоуровневой квантовой системы.

3. Квантовые вычисления на многоуровневой квантовой системе с использованием представления виртуального спина осуществлены для модели равных спин-спиновых взаимодействий.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих конференциях: V International Congress on Mathematical Modelling (Дубна, 2002), Workshop «Modern Development of Magnetic Resonance» (Казань, 2002), Конференция молодых ученых КФТИ КазНЦ РАН (Казань, 2003), V Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2003» (Москва, 2003), Итоговая научная конференция 2002 года КазНЦ РАН (Казань, 2003), Международная конференция «New Geometry of Nature» (Казань, 2003), IX Международные Чтения по квантовой оптике (Санкт-Петербург, 2003), VII Российская молодежная научная школа «Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений» (Казань, 2003), VII Всероссийская молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2003), Итоговая научная конференция 2003 года КазНЦ РАН (Казань, 2004), VIII Международная молодежная научная школа «Actual Problems of Magnetic Resonance and Its Application» (Казань, 2004).

Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ (грант 03-01-00789) и НИОКР РТ (грант 06-6.1-158).

По теме диссертации опубликовано 11 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов.

Выводы

Приведем основные результаты работы:

1. Показано, что двух- и трехкубитный квантовые компьютеры (в рамках математической модели квантового компьютера - модели квантовых схем) могут быть построены на квадрупольных ядрах со спином 3/2 и 7/2, соответственно. Предложены схемы реализации одно, двух- и трехкубитных квантовых гейтов в представлении виртуального спина. Предложенные схемы реализуют квантовые гейты точно (с точностью до фазового множителя). Разработаны схемы реализации квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера с псевдочистым, парой псевдочистых и термодинамически равновесным начальными состояниями.

2. Обобщено понятие виртуального спина на случай квантовой системы с произвольным числом уровней энергии и предложены схемы реализации универсального набора квантовых гейтов.

3. Исследована математическая модель равных спин-спиновых взаимодействий. Найдены энергетический спектр гамильтониана модели и относительные вероятности резонансных переходов между его уровнями под влиянием резонансного магнитного поля без ограничения числа спинов и значений параметров модели.

4. На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий осуществлено кодирование кубитов в представлении виртуального спина.

Заключение

В рамках данной работы разработаны схемы реализации (посредством последовательностей резонансных радиочастотных импульсов) квантовых гейтов и квантовых алгоритмов Дойча-Джозса и Гровера на квадру-польных ядрах со спином I > 1/2 в представлении виртуального спина. Предложенные схемы реализуют квантовые гейты точно (с точностью до фазового множителя). В качестве начальных состояний для алгоритмов использовались псевдочистое состояние, пара псевдочистых состояний и термодинамически равновесное состояние. Использование таких начальных состояний не требует модификации квантового алгоритма и позволяет однозначно определить тип функции в алгоритме Дойча-Джозса или искомое состояние в алгоритме Гровера.

Кодирование кубитов в представлении виртуального спина на квадрупольных ядрах со спином I > 1/2 имеет ряд преимуществ: более плотная запись информации (на одной квантовой частице можно записать два и три кубита), отсутствие необходимости постоянного облучения спин-системы сложными последовательностями импульсов радиочастотного поля для подавления взаимодействия между спинами, разница частот различных резонансных переходов, обусловленная квадрупольны-ми взаимодействиями, позволяет осуществить селективную адресацию к отдельному виртуальному спину. К недостаткам использования квадрупольных ядер можно отнести более редкую по сравнению с ядрами и 13С распространенность ядер со спином I > 1/2.

Представление виртуального спина обобщено на случай произвольной многоуровневой квантовой системы и предложены схемы реализации универсального набора квантовых гейтов.

Разработанный подход к кодированию кубитов - представление виртуального спина, позволяет существенно расширить круг систем, которые могут быть использованы в качестве основы для построения квантовых компьютеров, включив в их число произвольные квантовые системах с большим количеством дискретных неэквидистантных уровней энергии.

Предложена теоретическая модель, получившая название модели равных спин-спиновых взаимодействий, которая упрощает изучение спин-спиновых взаимодействий в мезоскопических системах. Суть модели состоит в том, что двухчастичный потенциал взаимодействия между частицами заменен средним. Для модели равных спин-спиновых взаимодействий были найдены энергетический спектр гамильтониана модели и вероятности резонансных переходов между его уровнями под влиянием резонансного магнитного поля без ограничения числа спинов и значений параметров модели. На состояниях модели равных спин-спиновых взаимодействий был осуществлен один из вариантов кодирования кубитов в представлении виртуального спина.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. Александру Рахмиэлевичу Кесселю за постановку задачи и научную школу и научному консультанту чл.-корр. РАН Кеву Минуллино-вичу Салихову за ценные советы и помощь в обсуждении результатов.

1. Валиев, К. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К.А. Валиев, А.А. Кокин. — Ижевск: РХД, 2001. — 352 с.

2. Физика квантовой информации / Под ред. Д. Боумейстер, А. Экерт, A.M. Цайлингер. — М.: Постмаркет, 2002. — 376 с.

3. Williams, С.P. Explorations in quantum computing / С.P. Williams, S.H. Clearwater.— New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. 308 pp.

4. Deutsch, D. Rapid solution of problems by quantum computation / D. Deutsch, R. Jozsa // Proc. Roy. Soc. bond. A. — 1992. Vol. 439. -Pp. 553-558.

5. Quantum algorithms revisited / R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca // Proc. Roy. Soc. bond. A. 1998. - Vol. 454. - Pp. 339354.

6. Shor, P.W. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer / P.W. Shor // SI AM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 1484-1509.

7. Ekert, A. Quantum computation and Shor's factoring algorithm / A. Ekert, R. Jozsa // Reviews of Modern Physics. — 1996. — Vol. 68, no. 3. Pp. 733-753.

8. Grover, L.K. Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack / L.K. Grover // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79, no. 2. Pp. 325-328.

9. Simon, D.R. On the power of quantum computation / D.R. Simon // SI AM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 14741483.

10. Bernstein, E. Quantum complexity theory / E. Bernstein, U. Vazirani // SIAM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. Pp. 1411-1473.

11. Abrams, D.S. Simulation of many-body Fermi systems on a universal quantum computer / D.S. Abrams, S. Lloyd // Physical Review Letters.- 1997.-Vol. 79, no. 13.- Pp. 2586-2589.

12. Zalka, C. Efficient simulation of quantum systems by quantum computers / C. Zalka // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 1998. — Vol. 454.-Pp. 313-322.

13. Boghosian, B.M. Simulating quantum mechanics on a quantum computer / B.M. Boghosian, W. Taylor IV // Physica D. — 1999. — Vol. 120.-Pp. 30-42.

14. Ekert, A.K. Quantum cryptography based on Bell's theorem / A.K. Ekert j I Physical Review Letters. — 1991. — Vol. 67, no. 6. — Pp. 661663.

15. Experimental quantum cryptography / C.H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard et al. // Journal of Cryptology. — 1992. — Vol. 5. — Pp. 328.

16. Quantum cryptography / N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden // Reviews of Modern Physics.— 2002.— Vol. 74.— Pp. 145-195.

17. Dense coding in experimental quantum communication / K. Mattle, H. Weinfurter, P.G. Kwait, A. Zeilinger // Physical Review Letters. — 1996. Vol. 76, no. 25. - Pp. 4656-4659.

18. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels / C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau et al. // Physical Review Letters. — 1993. — Vol. 70, no. 13. Pp. 18951899.

19. Experimental quantum teleportation / D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle et al. // Nature. 1997. - Vol. 390. - Pp. 575-579.

20. Moore, G.E. Cramming more components onto integrated curcuits / G.E. Moore // Electronics. 1965. - Vol. 38, no. 8. - Pp. 114-117.

21. Hutcheson, G.D. Technology and economics in the semiconductor industry / G.D. Hutcheson, J.D. Hutcheson // Scientific American. — 01.1996.-Pp. 54-62.

22. Galindo, A. Information and computation: classical and quantum aspects / A. Galindo, M.A. Martin-Delgado // Reviews of Modern Physics. 2002. - Vol. 74, no. 2. - Pp. 347-423.

23. Keyes, R.W. Miniaturization of electronics and its limits / R.W. Keyes // IBM Journal of Research and Development. — 1988. — Vol. 32. Pp. 24-28.

24. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance / L.M.K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta et al. // Nature. 2001. - Vol. 414. - Pp. 883-887.

25. Валиев, К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления / К.А. Валиев // УФН. 2005. - Т. 175, № 1. - С. 3-39.

26. Vandersypen, L.M.K. NMR techniques for quantum control and computation / L.M.K. Vandersypen, I.L. Chuang // Reviews of Modern Physics. 2004. - Vol. 76, no. 4. - Pp. 1037-1069.

27. NMR based quantum information processing: achievements and prospects / D.G. Cory, R. Laflamme, E. Knill et al. // Fortschr. Phys. — 2000. Vol. 48. - P. 875.

28. Schumacher, B. Quantum coding / B. Schumacher // Physical Review A. 1995. - Vol. 51, no. 4. - Pp. 2738-2747.

29. Nielsen, M.A. Quantum computation and quantum information / M.A. Nielsen, I.L. Chuang. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 676 pp.

30. What is quantum computation? / A. Ekert, P. Hayden, H. Inamori, D.K. Li Oi // International Journal of Modern Physics A. — 2001.— Vol. 16, no. 20. Pp. 3335-3363.

31. Кадомцев, Б.Б. Динамика и информация / Б.Б. Кадомцев. — М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1999. — 400 с.

32. Берлекэмп, Э. Алгебраическая теория кодирования / Э. Берлек-эмп. М: Мир, 1971. - 478 с.

33. Toffoli, Т. Bicontinuous extensions of invertible combinatorial functions / T. Toffoli // Mathematical Systems Theory.— 1981. — Vol. 14. Pp. 13-23.

34. Fredkin, E. Conservative logic / E. Fredkin, T. Toffoli // International Journal of Theoretical Physics. 1982. — Vol. 21, no. 12. — Pp. 219253.

35. Elementary gates for quantum computation / A. Barenco, C.H. Bennett, R. Cleve et al. // Physical Review A.— 1995.— Vol. 52, no. 5. Pp. 3457-3467.

36. Deutsch, D. Universality in quantum computation / D. Deutsch, A. Barenco, A. Ekert // Proc. Roy. Soc. bond. A. — 1995. — Vol. 449. — P. 669.

37. DiVincenzo, D.P. Quantum computation / D.P. DiVincenzo // Science. 1995. - Vol. 270. - P. 346.

38. Deutsch, D. Quantum computational networks / D. Deutsch // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1989. - Vol. 425. - Pp. 73-90.

39. Ekert, A. Introduction to quantum computation / A. Ekert // Lecture Notes on Computer Science. — 2002. — Vol. 587. — Pp. 47-76.

40. Benioff, P. Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing machines / P. Benioff // Journal of Statistical Physics. — 1982. — Vol. 29. Pp. 515-546.

41. Deutsch, D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer / D. Deutsch // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1985. - Vol. 400. - Pp. 97-117.

42. Margolus, N.H. Parallel quantum computation / N.H. Margolus // Complexity, Entropy, and the Physics of Information / Ed. by W. H. Zurek. Addison-Wesley, 1990. - Vol. VIII.

43. Cory, D.G. Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy / D.G. Cory, A.F. Fahmy, T.F. Havel // Proc. Natl. Acad. Sci. USA.-1997. Vol. 94. - Pp. 1634-1639.

44. Bulk quantum computation with nuclear magnetic resonance: theory and experiment / I.L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec, D.W.1.ung // Proc. Roy. Soc. Lond. A.— 1998.— Vol. 454.- Pp. 447467.

45. Cirac, J.I. Quantum computations with cold trapped ions / J.I. Cirac, P. Zoller // Physical Review Letters.— 1995.— Vol. 74, no. 20.— Pp. 4091-4094.

46. Jones, J.A. NMR quantum computation / J.A. Jones // Progress in Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy. — 2001. — Vol. 38. — Pp. 325-360.

47. Steane, A. Quantum computing / A. Steane // Rep. Prog. Phys.— 1998. Vol. 61. - Pp. 117-173.

48. Kane, B.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer / B.E. Kane // Nature. 1998. - Vol. 393, no. 5. - Pp. 133-137.

49. Towards the fabrication of phosphorus qubits for a silicon quantum computer / J.L. O'Brien, S.R. Schofield, M.Y. Simmons et al. // Physical Review B. 2001. - Vol. 64, no. 16. - P. 161401.

50. Hoyer, P. Introduction to recent quantum algorithms / P. Hoyer // Lecture Notes in Computer Science. — 2001. — Vol. 2136. — Pp. 62-74.

51. Rieffel, E. An introduction to quantum computing for non-physicists / E. Rieffel, W. Polak // ACM Computing Serveys. — 2000.- Vol. 32, no. 3. Pp. 300-335.

52. Shor, P. W. Progress in quantum algorithms / P. W. Shor // Quantum Information Processing. — 2004. — Vol. 3, no. 1-5. — Pp. 5-13.

53. Experimental realization of a quantum algorithm / I.L. Chuang, L.M.K. Vandersypen, X. Zhou et al. // Nature. — 1998. — Vol. 393. Pp. 143146.

54. Jones, J.A. Implementation of a quantum algorithm on a nuclear magnetic resonance quantum computer / J.A. Jones, M. Mosca // Journal of Chemical Physics. — 1998. — Vol. 109, no. 5. — Pp. 16481653.

55. Dorai, K. Implementing quantum-logic operations, pseudopure states, and the Deutsch-Jozsa algorithm using noncommuting selective pulses in NMR / K. Dorai, Arvind, A. Kumar // Physical Review A. — 2000. — Vol. 61.-P. 042306.

56. Linden, N. An implementation of the Deutsch-Jozsa algorithm on a three-qubit NMR quantum computer / N. Linden, H. Barjat, R. Freeman // Chemical Physics Letters. — 1998. — Vol. 296. — P. 61.

57. Ermakov, V.L. Nuclear magnetic resonance implementation of the Deutsch-Jozsa algorithm using different initial states / V.L. Ermakov, B.M. Fung // Journal of Chemical Physics.— 2003.— Vol. 118. — Pp. 10376-10381.

58. Approaching five-bit NMR quantum computing / R. Marx, A.F. Fahmy, J.M. Myers et al. // Physical Review A. — 2000. — Vol. 62, no. l.-P. 012310.

59. Кнут, Д. Искусство программирования. Т.З. Сортировка и поиск / Д. Кнут. — М.: Вильяме, 2000. — 832 с.

60. Brassard, G. Searching a quantum phone book / G. Brassard // Science. 1997. - Vol. 275. - Pp. 627-628.

61. Tools for quantum algorithms / T. Hogg, C. Mochon, W. Polak, E. Rieffel // International Journal of Modern Physics C. — 1999. — Vol. 10, no. 7.- Pp. 1347-1361.

62. Tight bounds on quantum search / M. Boyer, G. Brassard, P. Hoyer, A. Tapp // Fortsch. Phys. 1998. - Vol. 46. - P. 493.

63. Brassard, G. Quantum counting / G. Brassard, P. Hoyer, A. Tapp // Lecture Notes in Computer Science. — 1998. — Vol. 1443. — Pp. 820831.

64. Strengths and weaknesses of quantum computing / G. Bennett, E. Bernstein, G. Brassard, U. Vazirani // SIAM Journal on Computing. — 1997. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 1510-1523.

65. Zalka, C. Grover's quantum search algorithm is optimal / C. Zalka // Physical Review A. 1999. - Vol. 60, no. 4. - Pp. 2746-2751.

66. Zalka, C. Using Grover's quantum algorithm for searching actual databases / C. Zalka // Physical Review A. — 2000. — Vol. 62, no. 5. — P. 052305.

67. Ventura, D. Initializing the amplitude distribution of a quantum state / D. Ventura, T. Martinez // Foundations of Physics Letters. — 1999. — Vol. 12, no. 6. Pp. 547-559.

68. Andrecut, M. Efficient algorithm for initializing the amplitude distribution of a quantum register / M. Andrecut, M.K. Ali // Modern Physics Letters B. 2001. - Vol. 15, no. 27. - Pp. 1259-1264.

69. Long, G.-L. Efficient scheme for initializing a quantum register with an arbitrary superposed state / G.-L. Long, Y. Sun // Physical Review A. 2001. - Vol. 64. - P. 014303.

70. Chuang, I.L. Experimental implementation of fast quantum searching / I.L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec // Physical Review Letters. — 1998.-Vol. 80, no. 15.- Pp. 3408-3411.

71. Jones, J.A. Implementation of a quantum search algorithm on a quantum computer / J.A. Jones, M. Mosca, R.H. Hansen // Nature.— 1998. Vol. 393. - Pp. 344-346.

72. Das, R. Experimental implementation of Grover's search algorithm using efficient quantum state tomography / R. Das, T.S. Mahesh, A. Kumar // Chemical Physics Letters. — 2003. — Vol. 369. — Pp. 8-15.

73. Implementation of a three-quantum-bit search algorithm / L.M.K. Vandersypen, M. Steffen, M.H. Sherwood et al. // Applied Physics Letters. 2000. - Vol. 76, no. 5. - P. 646.

74. Das, T.P. / T.P. Das, E.L. Hahn // Solid state physics. Supplement 1 / Ed. by F. Seitz, D. Turnbull. — New York: Academic Press, 1958.

75. Gershenfeld, N.A. Bulk spin-resonance quantum computation / N.A. Gershenfeld, I.L. Chuang // Science. 1997.- Vol. 275.- Pp. 350356.

76. Cory, D.G. Nuclear magnetic resonance spectroscopy: an experimentally sccessible paradigm for quantum computing / D.G. Cory, M.D. Price, T.F. Havel // Physica D. — 1998.- Vol. 120.-P. 82.

77. Knill, E. Effective pure states for bulk quantum computation / E. Knill, I. Chuang, R. Laflamme // Physical Review A.— 1998.— Vol. 57, no. 5.-P. 3348.

78. Кесселъ, A.P. Многокубитный спин / A.P. Кессель, В.JI. Ермаков // Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т. 70, № 1. - С. 59-63.

79. Кессель, А.Р. Виртуальные кубиты многоуровневость вместо мно-гочастичности / А.Р. Кессель, B.J1. Ермаков // ЖЭТФ. — 2000. — Т. 117, № 3. - С. 517-525.

80. Kessel, A.R. Implementation schemes in NMR of quantum processors and the Deutsch-Jozsa algorithm by using virtual spin representation / A.R. Kessel, N.M. Yakovleva // Physical Review A. — 2002. — Vol. 66, no. 6. Pp. 062322-1-062322-7.

81. Кессель, A.P. Схемы реализации в ЯМР квантовых процессоров в представлении виртуального спина / А.Р. Кессель, Н.М. Яковлева // Казанский физико-технический институт им. Е. К. Завойско-го 2002. Ежегодник. — Казань: ФизтехПресс, 2003. — С. 76-81.

82. Кессель, А.Р. Реализация алгоритма квантового поиска на ядерном спине 3/2 / А.Р. Кессель, Н.М. Яковлева //V Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинорматика-2003». Сборник научных трудов. — Москва, 2003. — Т. 2. — С. 63-70.

83. Kampermann, H. Quantum computing using quadrupolar spins in solid state NMR / H. Kampermann, W.S. Veeman // Quantum Information Processing. 2002. - Vol. 1, no. 5. - Pp. 327-344.

84. Ermakov, V.L. Four atomic optical energy levels as a two-qubit quantum computer register / V.L. Ermakov, A.R. Kessel, V.V. Samartsev // Proc. SPIE. 1999. - Vol. 4061. - Pp. 79-84.

85. Two qubit in pure nuclear quadrupole resonance / G.B. Furman, S.D. Goren, V.M. Meerovich, V.L. Sokolovsky // Journal of Physics: Condensed Matter. 2002. - Vol. 14. - Pp. 8715-8723.

86. Khitrin, A.K. Nuclear magnetic resonance quantum logic gates using quadrupolar nuclei / A.K. Khitrin, B.M. Fung // Journal of Chemical Physics. 2000. - Vol. 112. - P. 6963.

87. Realization of logically labeled effective pure states for bulk quantum computation / L.M.K. Vandersypen, C.S. Yannoni, M.H. Sherwood, I.L. Chuang // Physical Review Letters. — 1999. — Vol. 83, no. 15. — Pp. 3085-3088.

88. Khitrin, A.K. Method of multifrequency excitation for creating pseudopure states for NMR quantum computing / A.K. Khitrin, H. Sun, B.M. Fung // Physical Review A.— 2001.- Vol. 63.-P. 020301.

89. Fung, B.M. Use of pairs of pseudopure states for NMR quantum computing / B.M. Fung // Physical Review A.~ 2001.— Vol. 63.— P. 022304.

90. Mehring, M. Consepts of spin quantum computing / M. Mehring // Applied Magnetic Resonance. — 1999. — Vol. 17. — Pp. 141-172.

91. Das, R. Use of quadrupolar nuclei for quantum-information processing by nuclear magnetic resonance: implementation of a quantum algorithm / R. Das, A. Kumar // Physical Review A. — 2003. — Vol. 68, no. 3. P. 032304.

92. Кесселъ, A.P. Физическая реализация трехкубитных вентилей на отдельной квантовой частице / А.Р. Кессель, B.JI. Ермаков // Письма в ЖЭТФ. 2000. - Т. 71, № 7. - С. 443-447.

93. Яковлева, Н.М. Схемы реализации в ЯМР алгортма квантового поиска в представлении виртуального спина / Н.М. Яковлева // Конференция молодых ученых КФТИ КазНЦ РАН. Сборник трудов. — Казань, 2003. — С. 52-57.

94. Яковлева, Н.М. Схемы реализации в ЯМР трехкубитного алгоритма Гровера / Н.М. Яковлева // VII Российская молодежная научная школа «Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений». Сборник трудов. — Казань, 2003. — С. 206-209.

95. Yakovleva, N.M. Implementation schemes of quantum gates on the states of discrete quantum system / N.M. Yakovleva, E.A. Tereshin // Proc. SPIE. 2004. - Vol. 5402. - Pp. 140-144.

96. Search for optimum labeling schemes in qubit systems for quantum-information processing by nuclear magnetic resonance / R. Das, S. Chakraborty, K. Rukmani, A. Kumar // Physical Review A.— 2004. Vol. 70, no. 1. - R 012314.

97. Абрагам, А. Ядерный магнетизм / А. Абрагам. — M.: ИИЛ, 1963. — 552 с.

98. Ацаркин, В.А. Динамическая поляризация ядер в твердых диэлектриках / В.А. Ацаркин. — М.: Наука, 1980.

99. Ацаркин, В.А. Температура спин-спиновых взаимодействий в электронном парамагнитном резонансе / В.А. Ацаркин, М.И. Родак // УФЕ. 1972. - Т. 107, № 1. - С. 3-27.

100. Голъдман, М. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах / М. Гольдман. М.: Мир, 1972. - 342 с.

101. Khitrin, А.К. Information storage using a cluster of dipolar-coupled spins / A.K. Khitrin, V.L. Ermakov, B.M. Fung // Chemical Physics Letters. 2002. - Vol. 360. - Pp. 161-166.

102. Khitrin, A.K. Nuclear magnetic resonance molecular photography / A.K. Khitrin, V.L. Ermakov, B.M. Fung // Journal of Chemical Physics. 2002. - Vol. 117, no. 15. - Pp. 6903-6906.

103. Fung, B.M. A simple method for NMR photography / B.M. Fung, V.L. Ermakov // Journal of Magnetic Resonance. — 2004. — Vol. 166. — Pp. 147-151.

104. Рудавец, М.Г. Неэргодическая динамика системы ядерных спинов 1/2 с равными константами спин-спинового взаимодействия / М.Г. Рудавец, Э.Б. Фельдман // Письма в ЖЭТФ.— 2002.— Т. 75, № 12. С. 760-762.

105. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. — М.: Физ-матлит, 2002. — 808 с.

106. Kessel, A.R. Elements of quantum informatics on the states of equal spin-spin interactions model / A.R. Kessel, N.M. Yakovleva // Proc. SPIE. 2004. - Vol. 5402. - Pp. 145-149.