автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Конструктивная геометрия многоообразий в точечном исчислении

1 2 ■-'■¿3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

На правах рукописи

БА^ЮБА Иван Григорьевич

КОНСТРУКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

Специальное 05.01.01 - Прикладная геометрия и

инженерная графика

Автореферат диссертации Ва соискание ученой степени доктора технических наук

Киев - 1995 г.

Работе пдаголнеиа в ДонОвоскоЙ ГооударотвенйоЙ академия строительства и архитектур«.

не правах рукописи

Научный консультант - академик Академия яндешориых явук, профессор Нейдиш В.М.

Офйциплышэ оппоненты - доктор технических неук, профессор Иихойлодко В.М.; доктор технических наук, гфофессор Подеяратоа А.Н доктор технических паук Куцвнко Л.Н.

Ведущая организация - Донбасский Государственный институт по проектированию организация шахтного строительства, предприятий строитолыюй индустрии и производственных баз.

Защита состоится 22 февраля 1995г. В 13 часов на заседаяяя ггпмдайлгзиропчниога совета Д 068.0$.03 при Киевском Государственном уцишрснятете строятрдьогва и архитектуры по ядросу: й&ЯОЗУ, Г.Кивп - 37. Воздухофлотскиа проспект 31, 'ГГГУСА.

С диссертацией можно ознакомиться в баОлиотекв КРГУСА.

Авгэрвфарвт разослан Г_" _ 1996Г1

Ученый секрэтярь сдацлаяизированного совета, кандидат технически наук, доцент

В.А.Шюский

-б -

ОБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тематики лиссерглимонной работы определяется

необходимостью создания математического аппарата, способного эффективно опроделнть геометрическую форму многообразии н отношений маяду юш о простршство любого числа измерения.

Пршшадашо задачи, как правило, содержат число параметров более трох и исслвдопанио миогопарамотричоекцг процессов требует постоянного раскатил соответствующих матоматичоеких методов. Метод Г.Иопжо, подробно разработанный для тро мерного пространства и основанный пп гржргакжих изображениях, давал достаточную точность для рош&шя МНОГИХ ТОХ1ТИЧОСКИХ ондач. ОбОб'.цонио столь а<мх»КТ1ГО110Г0

графического метода на миогомориоо пространство осущостплпио Радищевым В.Я. при риссмотронии диаграмм многокомпонентных систем.

С развитием производства 1)0 МНОГИХ прИКЛПДШи гшдпчах точности графических инструментов оказалось недостаточно, что способствовало оги.единонию графических методов с развитыми синтетически -ми. Синтетические методы продолжают ряввивяться и в настошцео время, так как остаются мощным сродством при пврпмотризшцт обтектов и выявления ~лх свойств, выраженных с помощью о той параметризации.

Дальнойшбо развитие точности мотодов откосится к использовании координат и ЭВМ. Развитие коорданатшх мотодов, которые тесно приминают к вопросам параметризации, способствовало аркфмотизацш геометрии, оо алгвбризоцда, открыло возможность примонотгая формальных,. хорошо разработанных математических мотодов п решении гео-мотрячоских задач. Высшая олтооря, исчислением матриц и определителей вокторяым исчислением, теоретически разработала вопросы мпо-

- к -

голшраой гоомэтрии, но решение практических оадач остается актуальной задачей 51В-за количостпа шчиелктолышх операций, о которыми ну могут сравниться совремопныа ЭВМ. Вооникаю-т трудности тага» и ори составлении алгоритмов решония адогопараметрическйэс задач. Преодоление этих трудностей может быть найдено на пути создания исчислении, которое допускает на векторное, а покоординатное» вычисление точек. Такой подход указал А.Ф,Мебиусом. Барщонтрвчэсквэ кордииаты [ ], дакоорданатнвд исчисление» позволяют аффективно решать ыногиэ прикладные задачи. К атоцу напрашшшао следует отнести функции и кршае Безьо, основанные на многочленах С.Н.Берц-штейяа. Эта направление остается плодотворным и его разветка остается актуальной задачей.

сущпюсты) покоординатного метода исчисления точек является еф|анаая геометрия, тек кек система г» покоординатных формул геок©-трнчэскн составляет да что иное, как проекции рассматриваемого процесса на оси координат. Чтобы ш этим проекциям процесс б«я обрати» каобходаш, чтобц его парвиетрема были ишшраанты еф|5шк)Й геокэтран. Поэтому при развитии точечного исчисления особую роль играет теореш еф|шшоа геокетрет - Чаш, ионелая, Карно [ }.

йв проектавдэй геометрии адделин особой во раздал, относящийся в койфягурвцкш. В синтетической гэоштрии коЕфнгурацйЕ играм такув «а роль как формулы в математика, они графически отрахапгг свойства пространства. Дальнейшее развита описания в конструирования конфигураций, которые является составной честью алгоргтяэв образования кризов, оегвится актуальной вадачэй.

Нвобход®» разивтвэ понятая наглядности. При пэрвходэ в кзо-гомврвов пространство зрительнаянаглядность уступает «вето саиво-

- S -

личоской, осиойашюй бшгыгп но пя зрении, я не логика. Развития такого понятая наглядности, осяованноо аа строгих логических схемах, эдоятачиых аксиоматика, является необходимой задачей яря по-рэходо d GprsiMOT-jnocKoo мяогоморйоэ прострапство.

Ц2ЯЬ РАБОТЫ яаштся разработка творотичэскйх я практичвсклх оспоз спэцаэлшого точечного исчисления; разработка мэтодпкл прз-еэнэийя этого истлело тал, яаи для оолучоняя фупдоиэнтвлыак като-матйчоскжс результатов, так И дня решения прантячв croix гвогтатрячо-сквзс задач; разработка вычислительных алгоритмов конструирования лйняй и поверхностей й пространствах либой размерности. СЙЙКЫ5 ЗДДОЧЙ ЙССДЕД0БДШМ8

-создать основы точечяого исчисления, апэрируицшля с точкама :шого:.:ерного пространство танам образом, что рвзультата расчетов тйкга является точка, отрагонщет форму геометрических объектов, а такгэ отйошэная М8з®у шсаа;

-о ps?stai этого ясчаслейия спасать простейшие геометрические форма a соотноионяя й гшх.

-разработать мехшгятеА переноса достяйэнйй планиметрии, сторэ-п?,1этрйя (как яаиболсэ развит* раздэлов общеобрязова*. льпоЗ геоьэ-трнл) в пространствах лпбс'А разкэртоста.

-указать йв*одаку получения урввнейий плоских, простронотвен-кых кржих и поверхностей в пространствах любой размерности.

-разработать ¿йтодану получолял кривых, особо приспособлении* "дм работа в точечном иечгсления.

-создать геоиэтрическао модели многообразия дуг одномерных обводов, расгояойэшых в пространствах любой размерности;

-разработать методику формирования одномэриих обводов много-

парного пространства по рязличннм наперед аадашшм условиям;

-разработать вычислительные алгоритмы конструирования кривых и порверхноствй покаперэд заданным условиям в пространствах любой размерности;

-реализовать получвннш алгоритмы в виде пакета хфщыюдгаи програ®а п рв?Аках системы Автоматизированного проектирования кривых и поверхностей:

-создать симголлческяя ягшк конструирования геометрическая

форм.

-разработать методику конструирования кривых линий проективной геоме!р1Ш на основании сишюличоского язкка;

-показать возможности символического языка для описания и конструирования конфигураций;

разработать методику перехода от символического языка к графическому задании и аналитическому описотгав гоомотрическях образов указать на возможность на базе символического языка построения двухмерного точечного исчисления;

ШДОДИКД вшюяетш РАБОТЫ: Осеновы точечного исчисления базируются на аффинной гвомотрия.Perneнаэ поставленных задач исследования требует использования идей к методов начертателыгай, аналитической, вычислительной, проективной, дифференциальной, геометрий, в частности сведений об аксиоматическом построении наук, понятия й обобЕденил чисел, построения геометрий на основа групп преобразований, знания методов математического анализа, высшей алгебра, векторного исчисления,' в такаэ многочисленных навыков, знаний и умений, полученных исследователями в областях многомерной и ип-ггонерной графики.

Разработка символического языка потребовала знашй разделов всех указаниях наук , где абстрактные логические метода занимают дидирубщээ 1шста. ¡¡!ожш особо выделать необходимость познаний в вопросах задаоия а конструирования конфигурация.

Теоротичоской базой проведенных исследований послужила рвботи ученых:

-в области корданатногф параметрического представления гоо-иэтрическнх образов; Р.Декарта, В.Я.Волкова, С.Н.Ковалева, И.И.Котова, Г.Лейбница, Г.Дома, А.Ф.Цвбиусв ■ В.Е.Иихаалепко, В.М.НайДша, Й.Пллкбра, Н.Н.Ршкова, И.А.Скндана» П.Ф&рмз, Н.фЛеттрухгаа Л.ЭШзера и ююгих других зарубежное н отечестввч-ннх ученых;

-л области шогоиэрной геометрии: Н.С.Гуменв, В.Н.Найдышо В.Н.Пэршковоа, В. II.Радищева, Б.А.Розввфольда, П. В. Филиппова, Н.ФЛатверухина и др.;

-в области аффшшой и прооктииной геометрии: Н.Бршзшиона а.Дезарга, Н.Н.Кованцова^ А.Ф.Мообиуса, В.Пиокаля, а.Поноело, й.У:.Яглома, и др.;

-в области геометрического моделирования объектов и процессов В.И.Бадеева, Г.О.Иаааова, Л.Н.Куцэнно, В.ЁЛ&гаайленко, В.и.Нвйдаиш В.А.Надо^айного, А.В.ПавЛова, А.. И. Подгорю го, . В.0.Обуховой, Е.А.Стародэтко, О.А.Старкова*, В.М.Яхавако и многочисленных Других ученых:

-зарубежных учоних: Д.Алберга, Р.Бэзьэ, В.Гилоя, Ы.Праттв, Д.Родаэрса, А.Фокса и др..

НАУЧНАЯ НОШЗНА РАБОТЫ:

-разработавд метода и соотношения, составлящиэ как единое

целое, конструкгтавнуи геометрии многообразий;

-создано точечное исчисление как математическая основа гвомэ-тряа многообразий;

-разработан символический язшс конструирования многообразий, осуществляющий взаимосвязь графического и аналитического способов их задания.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ состоит в представлении проектировщику и исследователю новшг врзмошостей в конструировании геометрических элементов и их взаимосвязи*!, экономии времени и вцчи-слительных ресурсов, получении новых простых решений.

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ, Все полученные многочисленные формула бшш сверены с уаэ существующими формулами в .равлачшх науках, ковыа результата, да встреченные иамя в доступной нам литературе, ваш многократно провэренп и доказана их до-стоварность, а вычислительные алгоритма проверены на ЭВМ. Достоверность остальных результатов исследований доказана расчетами твстощх црнцаров и практических вариантов проектирования в процессе внедрения.

РЕАЛИЗАЦИЯ РАБОТЫ. Многочисленные примеры, алгоритма и про граммы, приведенные в работе, способствуют ее реализации в проектировании и различных нсслэдораиях, в такаю уточняют связь теоретических положений с практикой.

Результаты исследований реализованы при реконструирования покрытия цеха завода "Азовмаш" в Мариуполе. Программ расчета кривах и поверхностей по наперед заданным условиям включены в программное обеспечение проектных институтов шахтного, прокишленного и гражданского строительства. Символический язнк описания геометрических

форм был использован студентами и преподавателями для исслодования графически определимых процессов аполитическими мвтоднмл и иклшоп в учебный и исследовательски процесс. НА ЗАГДИТУ ВЫНОСИТСЯ!

-методы и соотношения копструктивгой геометрия многообразий; -точечное исчисление как математическая основа конструктивной геометрия многообразий:

-символический язык коне тру ироп а пия многообразий, осуществляющий взаимосвязь графического и аналитического их задания;

-алгоритмы конструирования криволинейных форм в многомерном пространство.

ДППРОБДВДЯ РАБОТЫ. Основные положения диссертационной работа многократно докладывались на кяфодро начертательной . геометрпй и чорчения Донецкого политехнического института (1986 - 1933),в 1994 году работа докладывалась в полном объеме; на научных и научно-технических кош1»ронцилх Макеевского . ингонерго-строителыгого института (1985 - 1994); на конференциях городов Витебск, Одесса, Львов, многократно робота докладывались в Мелитопольском института механизации сельского хозяйства -тезисы докладов пе <зтих конференциях прилагаются в списке лйторатури; дважды (1993 ~ 1994) робота в полном оОгомо докладывалась на иоаяузовском семвнаро при кафедра начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Киевского Государственного технического университета строительства и архитектуры.

ПУБЛИКАЦИЙ. Результаты исследовании изложены я 23 научных статьях и тех монографиях;

СТРУКТУРА И ОВЬЕ?* РАБОТЫ. Диссертация состоит из вс+уплония.

четырех глав, ¡заключения, изложенных на 1^ страницах машинописного текста, прнлоашшя на а*, страниц, списка использованной литератур! из Но нашэвованнй, Работа содарапт в Себе Со рисунков.

- я -

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

На практике требуется определять геометрическую форму некоторого многообразии по неполному его представлению ююкеством точек и числовых характеристик. Задштш гочт определятся в некоторой пряз.юугольной системе координат, в этойже системе координат требуется получить готовый результат решения задачи. Но проводить решение задачи в этой системе координат па всегда рационально. Оптимально проводить решение задачи в системе параметров, в которую включены а заданные числовые характеристики искомой формы.

Тогда разумно представить пространство решения задачи системой заданных точек (симплексом точек). Затем числовые параметрами с некоторш.«я точкам, расположении?«! в пространстве сгаплекса, определить искомую форму. Следующая проблема, как перейти от системы симплекса к Декартовой системе координат. Для решения этой нробле-ш мы предлагаем следующее рассуагдониэ: прятюугольиап Декартовая система координат -это таюээ некоторая гоомэтричвская ({ярма, которую тают мокло определить системой точен. Это даст возможность работать с системой точек и чисел -гак возникли идея точечного исчисления. Теоретически кажется, что достаточно для определения прямоугольной Декартовой систол координат'двух ее точек: единичной точка Е, все п координаты »которой равно единице, и нулевой тошен 0, все координаты которой равны пуло. Практика построения исчислений предполагала определенно нуля и одшшци. Если необходимо перейти к традиционным методам задшш о прямоугольной система координат на этапе решения задачи, то нэобходтга работать иэ в сшяхлексо заданных точек, а в симплексе Декартовой систем! коор-

динат. Этот симплекс также определяется (п + I) точек. Это нулевая точка О и п точек определяющих репер п -мерной системы координат: (1,0,0, ...,0), Е3 (0,1,0, ...,0), Еп (0,0, ...,0,1). Потребовалось ввести оператор расстояния мозду двумя точкаш: .

¿I? - Z (Л,

<1)

Знак сушш указывает, что суммирование происходит по разнице п одноименных координат;

£ = (х2 - х,)г + (у2 - уxf f (z3 - ztf * (ts - t,)s *■ ... .

Все геометрические формы считаются ориентировавшими, что позволяет по знакам параметров определить положение точка относительно сикплекса.

Следунднй оператор гюлучен из теорема косинусов:

coa <*tj = £ " 003 ■

Соотношении (2) ш оста-

(2)

А.

вили наишнованае теорэш косинусов. Словесная формулировка теореш косинусов состоит в следующем:

-коршцус угла « (рисЛ) определяется суммой произведений направляющи; косинусов сторон, его" образующих.

Отметим, что опвраторн (1),(2) дойстаительни для пространства любого числа измерений и переход в пространство на единицу больше только добавляет один член в оператор суш,ш. Этим свойством будут обладать вое формулы точечного исчисления, что делает переход в

Рис.1..

пространство болев высокого числа измерений, очень простим и удоб-пИм.

В первой глава заложены основы точечного исчисления. Пусть заданы точки А,,Ар в п -мерном пространстве и точка й делит отрэзок в отношении X (рис.Я), так, что:

X.

Тогда справедливо соотно-

шо!г!в для точки в'.

X = - X,) X 4- Х1

У - (Рг - у,) * У, г (гг - 2(П ' г1 i - аг - г,) х 4-

(4)

ЗоДадам соотношение (3) в вида:

а - А

= х.

Рис.2.

(3)

Откуда, оперируя с последним соотношением как с алгебраическим вн-райэниеи, подучим:

й - (Аг - А,) X I А,. (5)

Сравнивая систему (4) и соотношение (5), делаем вывод, что (.5) есть не что иное, как краткая запись системы (4). Далее посмотрим но систему (4) как на параметрическое уравнение прямой А1Я2, Тдо X е ( оо) является параметром. В краткой, компактной форме система параметрических уравнений записана в виде (5). Соотношение (б) мы назвали точечным уравнением прямой АВ, которое можно преобразовать алгебраически к более удобному виду:

В - (I - X) + А2Х. (6)

Если X - О » 4? = Л,; осля X 1 » и з Л2; если О с Л. 1, то (Б) задает отрезок Л,/^.

На атом простом примере ка продемонстрировали точечное уравнение прямой, и алгебраические преобразования с'точками и буквами А{ дялн иллюстрации точечного исчисления. Наховдоние подобны* формул, характеризующих форму, составляет вачислятельнуи основу точа-1 чного исчисления. С точкаш и числами можно оперировать, как с ал-гебраическиш величинами в рвшвх аффинной геометрии. Параметром в уравнениях делано выступать простое отношение трех точек.

Б рамках точечного исчисления все геометрические формы долены быть ориентированными, поэтому многие известные понятия геометрии (отрезки, шюцдада, оФьеш, угли л т.д.) приобретают оршнтации. Один из раздолов первой главы вводит такие понятия и дзот соответ-ствупцув интерпретацию всем известным из неорйентироввкноЙ математики внрвзеншт н формулам. Ивщодгор, для сухаод углов треугольника имеем:

+ агз + ~ "12 " + «э» = тсР-Особое значение преобретавт простое отношение трах точек прямой:'

А,А**Э = - тсрп- ■

Ваш введены два кошвктыых правила перестановки точек в простои отношении, которые позволяют производить преобразования простых отношений.

ПРДК1Л0 I. Перестановка первых двух членов в простом отношения шйяет его на обратное.

ПРАВИЛО 2. Перестановка двух последних точек в простом отпо-

швшш увеличивает его на единицу с переменой знака.

В работе доказана важная теорема о площадях треугольников, на основании которой сформулирована и доказана основная теорема о простых отношениях (О -теорема). О -теорема /шляется обобщенном теоремы Меяэлая. С ее помощью получыш известные в аффинной геометрии и новые соотношения точечного исчисления.

Приведем несколько формул точечного исчисления, получении« в первой главе:

? V*.

» - ' (7)

£ а,

где Л{ -точки симплекса; а{ -параметры.

Соотношение (7) является точечным уравненном любого линейного многообразия, у а да иного симплексом.

¡1 - + л3(т > \к>) * А2\Ш, (8)

где л},Аг,А3 -три точки п -мерного пространства; и,и,и -три параметра (отношения);

О « 1 - ц, о - 1 ~ V, ш ■» 1 - ю -дополнения параметра до единицы.

Соотношение (8) задает плоскость способом трех отношений. Такое задание плоскости имеет плодотворные црилоаганин. Если и,и,ш -функции от параметра Ь, то (8) определяет в(!е плоские кривые. Найдено диффервшдеалыюе уравнение относительно втих функций в третьей главе:

и'в

и> - ^еггпГй-ТТГ- (Э)

Дифференциальное уравнение относительно функций и,и,н>, (9)

позволяй'!? на только коцструироиать плоские кривыа, но и 1« производные. Получили аналог даф^рвкцированш кривых в рамках точечного цсчаоления.

Праведен еще несколько точечных формул из порвой главы: А. + Af А?

ц = —!---_ центр тядасга треугольника А(АгА3. (10)

В = -—г f , i •-—— - центр вшсанноа окрушости d троуго-

23 31 Г Í2

лъннк (II)

4,ain 2«_, + 4 síra + á^sin 2« '

■т _ 1 23 2 31_3 - 12 /Т9\

" Sin *■ 31П ¿f«Jt +■ sin ¿ос(2 • '

Соотношение (12) опрадвляет центр описанной окрухаости треугольника А)АгАд через ого варшшы и углы.

Определены для треугольника ортоцентр, прямая Зйларо и соот-ноаонла а Штора для основных точек треугольника:

И + гс ~ А, + Аг А3, (13)

где В -ортоцентр траугольника AfA2A3.

Центр сферы, вписанной в тетраэдр, определяется по формула:

где S{ -пяоцада граней тетраэдра.

Формула (14) является обобщэзивм (II). Дальнейшее обобщение в более высокие размерности пространства подразумевается..

Справедлива соотношения для перпендикуляра из точка В на прямую А,Аг1

£ Ап, (В - А.) Н - /},, - Р -'- * А,. (15)

21 г, 1 ^ 1

¡Л,АгI ' А,11 ~ Е Аг1(В - А,) (16)

Для прямоугольного треугольника с прямом углом пра И„ плоой:

- _ Рис.3.

¡Л,^" = £ Л31(В - А,). (17)

Для прямоугольного треугольника с прямым углом Цри вершине Л, получи;,! ¿язвестяое вз векторного исчисления шраотнш:

2 Аг1(В - л,) - о. (18)

Решена задача поворота точки Л( вокруг точки С на угол « в направлении точки Аг. Это доло позмояюсть перенести всю шшпшв-трпи а пространство п измерений, делать лнбне плоские преобразования. На этой основа получено плоская квадратная сетка, что откршго гос;,:ог.пость получать точечное урятгапио лпб'цх плоских нрпвых, за-Дашшх параметрически.

Во второЯ главе разработан символический язнк гео^трлЧоского моделирования многообразий. Рассштроно конструирование 1фивнх., в алгоритмах которых участвуют только точкй п ирлмно.

Определены фушсции точек таких алгоритмов в самом огйцвм виде. По этим фупкцнп.ч определит! вида точек алгоритма й дшго спэцналь-ноо 'и сп'/.поличоскоо обозначение. В основном я то точки трех ияДбв: задашШо А,, параметрические Г| я текущая точка а.

Определено понятно изолированной примой, которое по сшей сущности совпадает с трядацйошш нонятпрм прйлой. Вводопо понятие прятюй алгоритма, равносильное понятию тройке точек.

~1в -

Кривой поставлена в соответствие система троек. Тогда алгоритму построения кршой соответствует алгоритм составления системы тровк.

По аналогии аксиоматического построения математики составлена методика построения системы троек, что равносильно построения кривой.

Получонине результаты настолько обладают общность», что позволили ответить яа многие вопросы оптимизации алгоритмов. Позволили дтгь ответы на некоторые открытые вопросы алгоритмов кривых второго поряда« в проективной геометрии; породили аналогичные по простоте алгоритмы более сложных кривых; открыли возможность выделить из этих алгоритмов общие фундаментальные конструкции, которые известны как конфигурации; позволили применить созданный символический лзь1к для исследования, конструирования и численного описания Koislsirypanjtíl 'определенного вида. Указана Возможность разработки подобной методики для конструирования других видов.

Разработан компактный, естественный переход от символического языка it графическому или численному, вплоть до получения уравнения кривой, если такое существует. На базе аналитического языка, сопряженного с символическим и графическим, разработаны • елементы двумерного точечного исчисления, указана noтодика построения такого исчисления. Даны указания по построению трехмерного точечного исчисления. Показаны эффективные возможности описания кривых и конфигураций с шмонаю одномерного точечного исчисления, основательно разработанного в первой' главе.

Анализ существующих алгоритмов построения плоских проективных кривых позволил выдэлить три группы существенно различных точек:

А},Аг, ..., А1 -заданные точки.

Г,,Г,,, Т{ -параизтрипьскиа точки.

М -текущая точка. Существуют еще точки, которые шжыо отнести как к заданным .-1 ( гак и к параметрическим точкам Т{, которые предлохина обозначать А( или . На рис.4 показан графически алгоритм построения кривой второго порядка по пяти задашшм точкам

Точ1Ш Г,,2% являются промежуточными, а точка Т3 -промежуточной.

Отитам, что прямая в алгоритмо не

Рио.4.

г.кшот иметь ивнев трох точек, так как дао точки определяют прямую, а третья точке включает ату прямую в алгоритм. Проводя строгий анализ алгоритмов построения кривых из точек и прямых, нами полу-чоны правила символического конструирования алгоритмов кривых.

ПРАВИЛО О (ПО). Прямую алгоритма определяют три точки.

ПРАВИЛО I (ГП). Точка М не должна находиться в одной тройке с двумя заданными точками.

ПРАВИЛО 2 (П2). Не существует тройки из трох зндашшх точек.

ПРАВИЛО 3 (ПЗ). Задание кривой равносильно заданию системы троек.

ПРАВИЛО 4 (П4). Если на прямой к точек, то они определяют (7г - 2) совпавших прямых или (к - 2) тройки системы.

ПРАВИЛО 5 (П5). Каждая звдшшая точки может участвовать в образовании двух троек.

ПРАВИЛО в (116). Текущая точка Ы участвует в двух тройках.

ПРАВИЛО 7 (1Г7). Текущая точка М мокет занять место любой заданной, если эта последняя встречается в двух тройках.

ПРАВИЛО 8 (118). Тройка с текущей точкой обязательно содержат текущую точку.

ПРАВИЛО 9 (П9). Любая тройка содерзшт нэ менее одной параметрической точки.

ПРАВИЛО 10 (Ш0), Каждая точка Т1 участвует не мвнео чем в трех тройках.

ПРАВИЛО II (ПИ), Количество троек в системе п = 2к + 1, где й -количество- нромекуточных и .параметрических точек.

В работе вмоото ПЗ.П7 и МО приняты их болев ужесточенные варианты:

У1Ю - если количество заданных точек четно, то все точки по-вторяытся денвда. Для нечетного йх числа - все, кро!!в одной, повторяются диожда.

УП7 - текущая точка занимает положение лзвбой заданной повторенной диаады.

УШО - каадэя .Т участвует только в трех тройках.

Отметим, что ПО м УШО двойственные правила. Каздый алгоритм, как принадлепзщкй к проективной геометрии, Имеет двойственный аналог. Указанные правила Позволяет сформировать систему троек. Система троек взаимно однозначно соответствует алгоритму кривой. Следовательно, составить систему троек означает создание алгоритма построения кривой. Тогда формальное создание системы троек позволяет конструировать некоторую проективную плоскую кривую.

Полученные общие соотношения для точек системы троек:

-к - количество троек ;

-п = 2к + 1 - количество троек в систем:» или количество пряма в алгоритме построения кривой;

] _ количество задапнмх точек в системе.

Мошго на основании символического языка утвэрвдать, что суще* ствуот только одна кривая, алгоритм которой имеет пять прямых, вп которых находятся по три точки. Это мшястальноп число прямых зада -ззцзи проективную кривую:

Г, Г Т1 .4

А1 Л1 (19)

Л4 А3 Аз я М

Рис.5.

Если на рис.5 провести дво изолированные прямые А,А4 и Л^Лд.т мы мохом узнать в заданном алгоритме дугу обвода кривой второго порядка, проходящую через точки Л(,А^,Аг и имеющую касательные а)А4 п АгА4.

Разработана методика конструирования системы троек по правилам ПО - ПН. Сформулированы два утверждения:

Гтверздаизе I (У1). Текуврга точки в системе троек меняют свое положение, но каайому дискретному положнив Т, соответствует взаимно однозначное дискретное положение точки М.

Утверащанйв 2 (У2). Кривая, заданная системой троек, всагда проходит через заданные точшг росголоЕВнные в тройках о точкой ».

Условие прохоадеты (УП) крйвой через точку ^ вместе о Я и У2 позволяет окончательно сформировать систему троек, определяющую

драную, проходящую через точки А{, которые в системе встречаются двавдд. При Р. ~ 3 имеем три системы троек:

Т,

2'.

Г,

(20)

21 г

ч и Ч Аг и

Аз Аг ¿4

Т1 тг Ч Ч

т тз и и

А, 1Ла Аз Аз ¿4

Ак

(21)

(22)

Первая система троек определяет известную кривую второго порядка (рис.Ь). Две других системы аналогачные по колнчастиу прямых и точек в алгоритме определяют новые кривые. В работе изложена методика парехода от системы троек к графическому н аналитическому заданна, созданной символически, кривой.

Во шагав алгоритмы построения проективных кривых входят конфигурации. Символическое их задание открывает возмошости их конструирования, исследования и аналитического или графического задания. 'Специализация символического языка к конструированию конфигураций цотрэбовала законов их формирования, которые были созданы через формирование последнего столбца символической записи конфигурации.

Символический язык записи конфигурации оказался болоо информативным, чем аналитическая форма или графическое изображение. На эго основе нолучены интересные результаты относительно конфигураций определенного вида, получить которые без символического языка

А

Г

5

4

было бы проблематично.

Аналитическое задание алгоритма, задаияого систвмой троек основано на соответствии:

«1 1

Аг о Уг 1 (23)

т, "г 1

у, 1

О У* 1. (24)

хэ Уз 0

Приравнивал к нуля определитель третьего порядка получаем аналитическое соотношение относительно координат тройки точек. Считается, что для собственной точки третья координата равна единице, а для несобственной точке - ноль: \А,

! Аг

Разработана система параметризации конфигураций просты?,? отношением трех точек прямой.

Вторая глава создала базу построения двумерного точечного исчисления с графическим изображением проекций в системе Радищева. В Заключения главы указано направление построения трехмерного точечного исчисления через систему четверок точек.

Третья и четвертая главы полностью посвящены приложения?* линейного точечного исчисления и символического языка для конструирования линий и поверхностей, как для описания их в многомерном пространстве, так и кривых линий и поверхностей технических фор* в виде одномерных и даумершх обводов первого порядка глйдкости в пространствах любого числа измерений.

В третьей главе прежде всояго решвна задача перенесения линйй плоскости известных из математики и заданных параметргггоски, в

пространства литого числа измерений. Это поополидо нервности шо-гио результаты планиметрия в многомерное пространство.Осущэствлэ-по ото путем построония квадратной сети в любой наперед заданной плоскости. которую оирг)доллз/г три точка, располошвтшв в яузнои многомерном пространство.

Далев строятся специальные кривые и дуги обвода на основания результатов первой и второй х'лав втой работа. Использована параметризация плоскости с помощью троя отношений для создания шоластва дуг обвода норного порядка гладкости. Получено дифференциальное уравнение '(9) связи фуккцай атиж трех отношений. Ото дайоронцц-плыюе уравнение носит фундаментальней характер для крглзшс, по-ошляет задавать но только кривую, но п пучок прямых, носителей которой являотсп эта кривая. Этим достигнут в точечном исчисления кривых аналог дйффорэнцеровййш! крагах. Открылась еозкойюсть создания дуг с учетом их касательная а агаои" точно. Ваявлона связь кривой Бвзьэ и предлагаемой система дуг кривых.

Уравнение плоской красой, если точки А1,АрГА3 три верамни одной ячейки, имеет ввд (ркс.б):

\3 ~ V1 ~ 1 " ^ + V. ' Л3)

гдэ Л( - начало первой ячейки;

Л,Л3 -сетшио

сторо1ш ячейки.

Противоположная к А, вершина квадрата определяется точечным соотношением:

А

(25)

А

Рис.В.

Аг * Лз ~ А>

(26)

I

- 2 Ь* -

Чтобы цорвнвсти кривую заданную параметрически:

( X = X (t)

у - и а)

п пространство, п котором заданы точки Л1,А2,А3, шюбходжо:

1. Считать, что (27) опроделена п локальной сиотоко Докарто-вих кордшют с началом в точка л 1 и еджшчтп! поктораш! по оси ОХ - А,Лг И оси ОУ -

2. В соотношении (25) пркнять I - х{г), J = у(1), тогда искомая кривая имоот уравнение в точечной форггэ:

и = А.(1 - ха) - уа)) * А3 хау+ А3 уа).

(28)

из

Единичной точкой в локальной системе коорданат будет точка А4 (29).

В работе заданы формулы цорахода от произвольно распологянвшх точек, опрвдолляциг плоскость, к точкам, определявши?.! локальнуп систему координат.

Что касается задания кривой систешй трех отношений, то она имеет уравнение (рвс.7): В ' Аш f В (ш + иш) + <4„1ЛР,

гдо и « -РВА^ ь = -ОА^; и » -ЩР; й « 1 - и; 8 - 1 - и; т 1 - ш. Причем и,ы,ш -функции от пара-, матра t. Чтобы прямая К? была касательной к кривой (29) в текущей точке И необходимо; чтобы функции удовлетворяли дифференциальному уравнении:

Рио.7.

Точки Р а Q, опре делящий касательную к кривой (29), определяется через функции и а v соотношениями:

( Р - Atü + Ви

( Q = Bti + A2v (31)

Подставляя в (29) значение ш из (29), получим уравнение кривых, имеющих в точке Ii касательную PQ из (31). Уравнение этой кривой имеет вид:

Ätü3i>' + В(ши' + um') f A,,vzu'

j{ = _J----. (32)

v'ü + u'v

Если и = v - t, то (32) двет кривую Безье:

iJ = А,?2 + 2Bft + Astz. (33)

В главе приведены и другие параметризации задания плоские кривых. Среди них выделим угловую параметризации дуги окружности, располоаеняой в заданной плоскости и проходящей через заданные точки; уравнение множества точек плоскости , из которых заданный отрезок ввдон под заданным углом; уравнение пучка окружностей; уравнение окрушости, проходящей! через три заданные в п -мерном пространстве точки.

Далее следует аналогичное изложение кривых двоякой кривизны в п -мерном пространстве:

-перенесение известных из математики пространственных кривых в многомерное Пространство. Например, уравнение цилиндрической винтовой линии радиуса г я о шагом h, имеет вид:

М - (А, - о) г ооа f + (Аг - а) г ein t + (А3 - а) rfi + с, (34)

где с,А1,А0,А3 -точка единичного кубического базиса локального

опрэдолонил ВИНТОВОЙ лилии.

-определен ОбЩИЙ ЛИД ТОЧОЧНОГО урпшгония кривой двоякой кривизны:

И Л4{и + А42и А^т + Л4, (35)

гдо Л<,Л^,Л1,Л4 -точки, образующие симнлокс;

и,и,т -произвольные Функции от поратжэтра í.

. Отмэтам, что никакое коночное число дополнительных условий па ограничивает количество кривых. Твк вяиримэр, уравнение мновэитва кривых проходящих чароз заданную точку а имеет вид:

Й - Л41и + АЛ2\) + А43»> - А4}и(0) ~ А4ри(0) - Ааэт(0) >■ Аг (36)

где и,и,ш - функция рпределошше при знячонии параметра t = О -зэдйна точечно дуга обвода двоякой-кривизны в сомом общем шде через шесть свободных функций, ее определяющих. В виду громоздкости ятого уравйоыйя Мы его Па приводим. Частным случаем такого уравнения является трехзвешая кривая Безье.

Четвертая глава, на основании продадут« глав этой роботы, разрабатывает вычислительные алгоритмы конструирования линий и поверхностей. Вычислительный формулы алгоритмов подготовлены и программированию на языках программирования. Их истинность проварена создйнивм программ для ПЭВМ, которые били использованы для ' решения народнохозяйстаонны^задач на ятапе проектирования и практического осуществления в производстве. Программы для ПЭВМ постровны так, что длнп' возможность пользователи в интерактивном режима конструировать линии и поверхности на акрвнв дисплей, создать графически необходимую формулу. Изображении нужной форш.ддатся на инженерном чертеже ( в двух простоях). При припятяп пользователем

нужного вярианта задания линий и поверхностей, дает возможность задать нужные дифференциально-геометрические характеристики путем набора чисел (координат точек, направлящих косинусов касательных и т.н.) и получить таблицу сколь угодно плотного, точечного каркаса нужной геометрической формы.

Приведем формулировку алгоритмов, разработанных нами для решения практических задач конструирования технических форм.

АЛГОРИТМ О (АО). Через две заданные точки А^Аг с кесательны-ми А)В1и АгВр в них провести кривуш.

Легко видеть, что АО является базой для конструирования линий и поверхностей в многомерном пространстве твк квк является, в об-щом случае, дугой обвода двоякой кривизна.

АЛГОРИТМ 1 (А1). Заданы 1г точек А^,Аг, Требуется

провести через эти точки выпуклый обвод.

Этот алгоритм позволяет конструировать одномерные технические формы.

АЛГОРИТМ 2 (Л2). Заданы А1, где ( - 1,2,..., й и две точки к> и кк определяйте касательные и А}Кк в крайних точках А) и Ак. Требуотся провести выпуклый одпоморнай обвод .по втим условиям.

Алгоритм А2 является обобщением АО Я позволяет выполнить гладкую стыковку двух уже существующих линий.

АЛГОРИТМ 3 (АЗ). Через л , где С -1,2, ...,к провеоти замкнутый выпуклый оовод.

Алгоритм АЗ позволяет замкнуть заданное множество точек обводом первого порядка гладкости. Полученный нами набор алгоритмов АО - АЗ позволяет конструировать замкнутую или незамкнутую техническую форму двумерного обвода каркасом двух пвресекакщтся одно-

мерных оОводоз. Для решения этой задачи ггревдо всего необходимо получить двумерный апалог алгоритма до.

АЛГОРИТМ 4 (А4). По двум дискретно заданным линиям с касательными провести двумерную дугу обвода.

Алгоритм А4 позволяет конструировать поверхность каркасом двумерных дуг обвода от линии до следующей линии через любое число дискретно заданных кривых. Для двумерной дуга обвода использованы два параметра и й v. кавдый из которых фиксирует каркас линий.

АЛГОРИТМ 5 (AS). Позволяет провести двумерный обтод через и дискретно заданных кривых.

АЛГОРИТМ S (А6). Позволяет провести через га дискретно заданных кривых замкнутый в одном направлении обвод (трубчатые технические формы произвольного сечения).

АЛГОРИТМ 7 (А7). Необходим для проведешш поверхности через т дискретно заданных кривых. Поверхность полностью замкнутая.

Получение алгоритмов АО - А7 изложено н диссертации подробно, базируется каждый вычислительный алгоритм на формулах точечного исчисления. Каждый из алгоритмов работает в пространства лшбо]'о числа измерений. Размерность необходимого пространства заложено в формулах и не требует перестройки программы для ЭВМ при необходимости выйти в пространство другого числа измерений. Причем плоская или пространственная кривая опредоляется исходными двшшми и не требуот изменения программы. Если на некотором участке одномерного иовода необходим отрезок прямой линии, то он также появится irá заданных условий без изменения программы. В атом отношении предложенные алгоритмы достаточно униворсшгьны.

Приведем в качестве примера алгоритм для проектирования зам-

кыутой иатртас.га, проходящей через га дискретно задашшх кривых.

А. 7

Задано ш диокротао определенна* кривых матрицей точек:

%

, г, г, г ж 2 , г ('2 3' ....

А^А^А/, ... ,Л1"? ....л/ (37)

А ШЛ тА т А !Я /I п I* 2 З9 ''• н

Требуется провести замкнутую иоваргаюсть.

Для решения поставленной задачи используем ¿3 по отрокам и столбцам матрицы (37).

1. А1*,>г г .1-1,2,...,*.

Прилить , «

2. - /2 Ы{ - А1+г)г ; ( ~ 1,2.....к.

Принять п,АлГ ЛА+2 = Л2.

3. Ви1 - ---212-^,--.

(принять^, - л,, лА,2 = л2, вк^ ~вг

Значения дайн !Л1+}Л1+г! выбираются из п.1 этого алгоритма сдвигом вперед на единицу.

у. —• :--

I » 1,2,..., К. Принять Аи¥! "А,, ЛА+2 = л2, - О,.

5. tí\ = Л,йд + ЗВ^и + 3Ct0u3 + +

О < u ^ 1; й - 1 - и; I = 1,2, . ...ft. Принять Пункт 1 - 5 определили замкнутые линни по строкам матрицы (37).

S. Иф^*'! = /J] - А{ + 1)2 ' ; I = 1,2,..., ft, J = 1,2, ...,т. Принять => И[.

7. - /ц (В* - U[*2)2 ; i = 1,2,..., ft.

j = 1,2, Принять = и[, = uf.

Q — .. i ., i i

{ ~ 2\и{<я\*г I

{ = 1,2,...,ît. J = 1,2, Принять » Af,

, . ¡a' mj/2\ (uJ. - а{*г) + 2а{*' iыШ+г\

п nj + ' _ 1 г ^ ........jMi|i_i _i 1

i = 1,2,...,hi J - 1,2, ...,m. Принять й™*' =

. tí^*2 = u\, cjf' - cr

10. M - lfJ{v3 ь ЗВ{Огv 3GJtDvs + #{f,f3»

о <£ v $ 1; v 1 - v: J » 1,2, ...,n. t - î,2, ...,&; ПринНть

Значение 11 в tí. I0 задает любую координату замкнутой поверхности п -мерного пространства. При и - const получаем каркас линий, который определяют элементы матрицы (37) по строкам. Прй и -const получим второй линейный каркас этой поверхности , который определяет элементы матрицы по столбцам.

-32-ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследований, проведенных в диссертационной работе, получены следуквдш результата, ооладавщае научной новизной и практической значимостью:

1. Разработаны общие полояиния теория точечного исчисления, как основы конструктивной геометрия многообразий.

2. Получены точечные соотношения для покоординатного вычисления ваших для практики точек простейших геометрических форм.Среди этих точек центр тяжести треугольника, точка пересечений его биссектрис, высот, а также центр описанной вокруг треугольника округлости,

3. Указана методика получения необходима точек в ребристых формах в пространствах размерности более трех.

4. Резрвботвна методике получения точечных уравнений плоских и пространственных кривых в пространствах лшбого числа измерений.

5. Получены точечные уравнения линейных многообразий различной параметризации, отвечавдие практическим приложениям. Исследована взаимосвязь различных параметризаций, дана методика взаимного нерозвдания многообразий для в тих параметризаций.

В. Разработана методика получения крагах оДной й двоякой кривизны особо приспособленных для работа в точечном исчислении.. Разработана форма задания многообразий таких кривых, указано место известных кривых аокоордянатнш-о вычисления в системе этих многообразий.

7. Получено дифференциальное уравнение связи параметров-функций для цучков прямых общего вида в многомерном пространстве.

8. Из общего многообразия плоских и пространственных кривых выделено многообразие одномерных дуг обвода первого порядка глад-

-3.5-

кости.

9. Разраоогаяи методика формирования одномерных обводов в простроанство многих размерностей.

10. Разработаны вычислитолыпш алгоритм« конструирования кривых и поверхностей. Система алгоритмов подобрана так, что позволяет осуществить конструирование поверхностей технических форм по целому классу нонеред задашшя тробова!ШЙ.

11. Создан пзнк сшазолнчоского конструирования плоских проективных кривых одинаково близкий как для графического так л аналитического их задания.

13. Разработана методика конструировании проективных кришх на основе символического языка.

13. На примере конструировании конфигураций продомонстрщюва-ны возможности систолического языка.

14. На основе символического языка показана возмоясность построения двумерного, трехмерного точечного г.счислония.

15. На основа предложенного точечного исчисления при конструировании шогообразий, для практической а1шробации его, составлено прогретое обеспечение конструирования одномерны^ и двумерных обводов. Для трехмерного случая, на уровни реального проектирования, система программ была использована при реконструкции покрытия цеха ЯЗб завода "Азовмаш" г.Мариуполь. Алгоритма конструирования кривых И поверхностей приняты в систему автоматического проектирования .проектных институтов горного, пршшйвнэго и грваданского строительства г.Донецк.

-34-ПУБЛИ1СА11ИН

1. Балвба И.Г. Цодлэдарование плоских в пространственных кривых. //'Монография. -Макеевка, Донбасская Гос. акад. сх'р-ва ц арх. 1994 -28с.-Ден. в ГКГБ Украины.

2. БалыбаИ.Г. Символический язык геометрического моделирования. // Монография. -Цакшвка, ДонОасская Гос. акад. стр-ва и ерх., 1994. -0.42.

3. Еаяюба И.Г. Теоретические основы точечного исчисления. // Монография. -Макеевка, Донбасский шск-строит. иаот., 1994. -с.32.

4. Балшба И.Г., Доскич Ю,В. Алгоритмизация аналитического описания графических настроений при помощи одной шедайки. // Прикладная геометрия и ишшдараая графика. вин. 34, -К.: Буд1вельНш«, 1982. -с.79-84.

Б. Балвба И.Г., Вервщага В.М. Конструирование кривда линий по эадашшм условиям, •// Прикладная геометрия и ишданерыая графика, вып.50. -К.: Буд1аелыда£, 1990. -с.128-130.

6. Балвба И.Г. Задание линейных многообразий точечной геометрия. // Новые исследования в строительства. -Макеевка, 1993. -о.§1-93

7. -БалиОа И.Г. К вопросу построения обвода способом двух отношений. // Автоматизация проектирования и математическое моделирование криволинейных поверхностей на базе ЭВМ. -Новосибирск, 1977. -0.143-147.

8. Балюба И.Г. Описание кривых линий п -мерного пространства. // Новые исследования в строительство. -Макеевка, 1993. -с.88-90.

9. Балнба И.Г. Опредолеше порядка, алгебраической поверхности, заданной линией пространства параметров. У/ Прикладная геомоирия и инженерная графика, выл 26. -К.: Буд1вельник, 1978. -с.42-44.

10. Балюбз ИЛ'. Точечная геометрия й ее основная теорема. // Новне исследования в строительстве. -Макеевка, 1093. -с.84-87.

11. Найдаш В.М., Болвба И.Г. Дифферепцапльпнв характеристики линейчатой поверхности, заданной линией пространства параметров. // Прикладная геометрия и инженерная графика, внп.27. -К.: Буд1вель-• пик, 1979. -с.91-93.

12. Найдаш В.М., Балвба И.Г. Заданно линейчатых многообразий трехмерного прострваства с помощью онвципльннх соответствий. // Совершенствование процессов и рабочих органов сельскохозяйственных машин. // Научные труда УСХД. -К.: 1977. -с.40-61.

13. Найдаш В.М., Балюбя И.Г. Конструирование линейчатых поверхностей перенесением в пространство параметров. // Прикладная геометрия я инженерная графика. // Реферативная информация, вып.2. -К.: Вица школа, 1978. -с.27-28.

14. Найдет В.М., Балвба И.Г. Развертывавшиеся лшейчатнв поверх-ностиноста, заданные линией пространства параметров. // Пршслад-ная геометрия п инженерная графика, вып.27. -К'.: Буд1вельник, 1979. -с.89-90.

15. Найдш В.М., Балвба И.Г. Задание замкнутого обвода из дуг окружностей. // Прикладная гвомэтрия и инженерная графина, вып.28. -К.: Буд1вельник, 1979. с.32-33.

16. Балюбя И.Г. Определение порядка алгебраической поверхности, заданной линией пространства параметров. // Прикладная геокэирий и ипжрнорная графика, вип 26. -К.: БудХвольаик, 1978. -С.4Я-44.

17. Балюба И.Г. Определение основания перпендикуляра на плоскость -Макеевка, Донбасская Гос.' акад. стр-ва и арх., 1904. -о.7. Доп. в ГНТБ Украины.

- л е- -

10. Балвбя И.Г. Особио точка точечного исчисления. -Ыакеевка, Донбасский тшшэрно-отрогтелыша институт , 1594. -0.2. Доп. а ГНГВ Украина, ЖЭ20. УК94.

19. Балсба И.Г. Точечная отношения для отрезка . -Макеевка, Донбасский инн-строат. инст.,1994. -с.2.

20. Бшшба И.Т., Шздшгала Т.П. Бра^оюгэ точка 2-плоскостз в мш-годорном пространстве. // ГесыоТрачнэ шдалшоаал. 1к&онерна то кошштерна грефика. // Таза а1знародаа наук. матод. кокф. -Льв1в Ш. "Льп1я. пол1тех.п, 1991. -0.14.

21. БпдЕбз И.Г., Корнилов С.Л. Урав1Г31Е;э крйгкж двоякой кря&Ззкн в п -корном пространстве. /У Тезиса доклада на кездународноЗ науч-шшрактячвской коы^трвнцшз "йоделяроваваэ процессов я техпологачэ-ского оборудована*! в сольскм хозяйство". Секций 2 "Геоьгэтркческоэ псодэлзройашо яалзшй а ироцассоа й сельскохозяйственном производстве". -Мелитополь, 1994. -с.52.

22. Ештба И.Г. Описание гра;|ичос;сл.¡¡зоо'ряхэшй срэдстйакн точечной гооеттр'лл. // Штарзалу всэу!фааиско."5 паучно-штодачеокой ков^ярепцап "Пэрспэктиш развитой изшаюй графика.в преподавания графических дясцЗшшГ. / ОПИ. -Одосса, 1932. -с.25.

23. ВэЛЕйа Й.Г. Основная тэорейа точечкой гвоггэтраа. // Мотерааоа научно-практического свмонарз "Кокпютернза графическая подготовка специалистов". -Витебск, 1992. -о.73-74.

24. Балюба И.Г. Сжгзолнческиа способ задания проективных кривых. // Материала научно-практического семинара "Ко.'дгшторная графическая подготовка спецзалнотов". -Витебск, 1992. -с.15-76.

аь. Бадабэ И.Г. ПроЕодзшю кривых черев й точок га-пространства..'в сб. Моделирование процессов н технологического оборудования в сэ-

jîbcKOM хозяйства. т. 2. -líaднтополь, 1934. -с.БЗ. 26. БалюОи И.Г. Опрэдолэкко порядка алгебраической понэрхшота, зпдапкой лшшэй пространства перз!*этров. // Прикладная гоомзкрия и ниганэривя графика, вал 26. -К. : Вуд1вольюяс, 1970. -0.42-44.

-з ь-

Балюба И.Г. Конструктивная геометрия мнох-ообразий в точечном исчислении.

-диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01 -прикладная геометрия н инженерная графика, Киевский Государственный технический университет строительства и архитектуры, Киев, 1995.

26 scientiflc&l articles tliat contain some aspects oi constructive geometry of varieties are proposed to defence..

-methods and relations of constructive geometry of varieties; -pointwiaa calculations as a mathematical ground of problem; -algorithms to create curvilinear shapes, i'ropoaed algorithm have Been used in design on roconatruc-tion of "Aaovmaah" plant situated in Maryoupol. New methods provided-decreasing of weight of metal structures about 15-1826.

Programs on creation of curves and surfaces were adopted in CAD systems for design Institutes on civil engineering In Donetsk region.

Предложены к защите 2G научных статей (работ), которые содержат следуицио вопросы конструктивной геометрии многообразий, -метода и отношения конструктивной геометрии многообразий; -точечное исчислении как математическая основа проблемы; -алгоритмы для создания криволинейных форм. Предлагаемые методы использованы в проекте по реконструкции цеха завода "Аэовмащ", расаоложотюго в г.Мариуполь. Новые методы обеспечили снижение веса металлоконструкций на 15 - 10%. Программы по созданию кривых и поверхностей адаптированы к САПР проектных институтов по грааданскому строительству в Донецкой области.

Ключевые слова: конструктивная геометрия, точечное исчисление..