автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Конечномерные модели доплеровской томографии

56

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Карцев Константин Александрович

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ДОПЛЕРОВСКОЙ ТОМОГРАФИИ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

К

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Денисов Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Стерлядкин Виктор Вячеславович

доктор физико-математических наук, профессор Ягола Анатолий Григорьевич

Ведущая организация:

Московский инженерно-физический институт (Государственный университет)

Защита диссертации состоится " 11 " мая 2008 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан "_" апреля 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор

Е.В. Захаров

Актуальность темы.

На протяжении последних десятилетий томография является одной из активно развивающихся областей, где применяются методы математического моделирования и компьютерные технологии

Томография — область математики, занимающаяся разработкой математических методов и алгоритмов восстановления внутренней структуры объектов по проекционным данным Существует множество прикладных задач, при решении которых используются методы томографии Исторически развитие томографии началось с задач рентгенодиагностики в медицине, где появление компьютерных томографов и внедрение методов компьютерной томографии позволило существенно повысить эффективность диагностики и обеспечило создание новых методов лечения Также методы компьютерной томографии широко используются в электронной и рентгеновской микроскопии — для получения структур кристаллов и макромолекул, в геофизике — для поиска месторождений полезных ископаемых, на производственных предприятиях — для анализа качества продукции и поиска дефектов, а также в других областях науки и техники

Одним из важных классов задач томографии являются задачи доплеров-ской томографии, отличительной особенностью которых является восстановление векторных функций по проекционным данным Такие задачи возникают, например, в радиометеорологии, в связи с необходимостью определения поля скорости ветра в атмосфере1, в магнитно-резонансной томографии, при измерении потоков плазмы2, в астрофизике3 и других областях современной науки

Многие задачи доплеровской томографии являются нелинейными Поэто-

1 Горелик А Г , Стерлядкин В В Доплеровская томография в радиолокационной метеорологии / / Изв АН СССР Физика атмосферы и океана 1990 26, № 1 С 47-54

2N Efremov, N Pamentov, and V Khaxachenko Tomography of ion and atom velocities in plasmas J Quant Spectrosc radiation Transfer, pages723-728,1995

3T R Marsh Doppler Tomography Astrophysica and Space Science, Vol 296, No 4, pp 403-415, 2005

му их решение требует поиска особых подходов в каждом конкретном случае и сопряжено со значительными трудностями Практическая важность задач доплеровской томографии и широта их применения обуславливают актуальность исследования и разработки численных алгоритмов решения этих задач

Цель работы. Цель диссертационной работы состоит в исследовании задач для конечномерных моделей доплеровской томографии, разработке методов их решения и программной реализации предложенных алгоритмов

Научная новизна и практическая значимость. Поставлены и изучены задачи доплеровской томографии для конечно-параметрических моделей вихревого поля Найдены условия, при которых вихревое поле однозначно определяется измерениями на конечном числе прямых и предложены методы его реконструкции Исследованы задачи доплеровской томографии для кусочно-постоянной модели векторного поля Проведен анализ существования и единственности решения задач восстановления поля в зависимости от выбора прямых, на которых проводятся измерения, и количества измерений на этих прямых Разработан комплекс программ, реализующий численные алгоритмы решения конечномерных задач доплеровской томографии, который применен в вычислительных экспериментах реконструкции векторного поля

Апробация работы. Результаты работы докладывались на VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (г Москва, 10-11 июня 2003г), на конференции "Тихоновские чтения"(г Москва, 29 октября - 2 ноября 2007г), на семинаре по обратным задачам математической физики под руководством профессоров Бакушинского А Б , Тихонравова А В и Яголы А Г в НИВЦ МГУ, а также на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им М В Ломоносова под руководством профессора Денисова А М

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опублико-

ваны в печатных работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка, содержащего 45 наименований Текст работы изложен на 98 страницах машинописного текста и содержит 16 рисунков Содержание диссертационной работы.

Во введении дается обзор литературы по теме диссертационной работы и кратко излагается ее содержание

В первой главе исследуются задачи доплеровской томографии для конечно-параметрических моделей вихревого поля Предложены и программно реализованы численные алгоритмы их решения

Пусть V(x, у) = {vi(x,y),V2(x,y)} — векторная функция, определенная на плоскости, тождественно равная нулю вне выпуклой ограниченной области D Рассматривается семейство прямых L(p,<p) |р| < оо, 0 < ip < 2-7Г, заданных параметрически

х = x(p,tp,s) — pcosip — ssixnp У = y{p,<fi, s) = psmtp + scosip, |s| < oo

Единичный вектор к = {—stntp, cos<p} определяет направление прямой L(p, tp) На прямой L(p, tp) определена функция W(p, <р, s), представляющая собой скалярное произведение векторной функции V{x(p,<p,s),y(p,ip,s)) на вектор к

W(p,<p,s) = -(sm<p)vi(x(p,<p,s),y(p,v,s)) + (cos(p)v2{x(p,(p,s),y(p,ip, s))

Обозначим через M(p,tp,w) линейную меру Лебега множества точек прямой L{p, ip), принадлежащих области D, для которых выполнено неравенство W(p,<p,s) < ш

В общем случае задача доплеровской томографии на плоскости формулируется следующим образом требуется определить вектор-функцию V(x,y)

по функции М(р, заданной для всех |р| < оо, е [0,27т], < оо

Известно4, что в такой постановке задача имеет неединственное решение В связи с этим в первой главе диссертации рассматриваются задачи допле-ровской томографии для специального класса векторных полей У(х,у), зависящих от конечного числа параметров

Под конечно-параметрическим вихревым полем подразумевается поле вида

у-у

\/{х-Хц У + (У-УО)2/

где а(х, у) — функция амплитуды, имеющая заданное параметрическое представление Поскольку функция зависит от конечного числа неизвестных параметров, то естественно считать, что количество прямых, вдоль которых проводятся измерения, конечно

Таким образом, в первой главе исследована следующая задача требуется определить все параметры вектор-функции У(х,у) по функции М{р,(р,ш), заданной на конечном числе прямых Ь(рг, г = 1,2, , п

В первом параграфе изучены задачи доплеровской томографии для двух моделей векторного поля, в которых функция амплитуды а(х, у) имеет следующее представление

- х0)2 + {у - уо)2, 0 < ^{х - ж0)2 + {у - у о)2 < г,

а(х,у)

+ Ж г<^(х-х0)2 + (у-у0)2<К, (1) О, \/(х - х0)2 + {у- уо)2 > я,

4ДенисовА М, Попов А А Двумерная задача доплеровской томографии//ЖВМиМФ, 1996 36 №2 С 126-133

а(х, у) = <

с неизвестными параметрами А, г, Л, хо, Уо, или

^{х - ж0)2 + {у - Уо)2, 0 < \/(а; - х0)2 + {у - г/0)2 < П,

А, __Г1 < - ж0)2 + {у ~ уо)2 < г2,

+ + (»-«,)»< Л,

. О, - ^о)2 + (у - г/о)2 >

(2)

с неизвестными параметрами А, п., Гг, Д, ®о, уо

Для этих моделей найдено число прямых, достаточное для однозначного восстановления вихревого поля, предложен метод определения неизвестных параметров

Для модели поля, в которой функция амплитуды задается (1), задача поставлена следующим образом Множество И = [0,6] х [0,6] пересекают два семейства прямых {1<}с,> г = 1,2 Каждая прямая г-го семейства проходит через точку Сг, принадлежащую границе множества В Координаты точек ,7-той прямой г-го семейства задаются формулами

X — Хсг + 8С08)33, У = УС,+ 85 т/3,, |з|<00, где ¡З3 — ,?Д/3 — угол между прямой и координатной осью Ох, а же, и у с, ~ координаты точки Сг Таким образом, угол между двумя соседними прямыми одного семейства постоянен и равен Д/3 Требуется определить величину угла Д/3, достаточную для однозначного восстановления всех параметров поля по результатам измерений вдоль указанных семейств прямых В предположении, что Ятт < Я и что гтт < г < гтах доказана следующая теорема

Теорема 1 1 Если Д/3 < 2ют{агс8т^!!1|^|Ш!£,агс81П^}) то все параметры параметрической модели вихревого поля с функцией амплитуды, заданной формулой (1), однозначно определяются результатами измерений вдоль прямых двух семейств {Ь}са « {Ь}с2; где С\ и — две различные произвольные точки границы области И

Для вихревого поля с функцией амплитуды (2) также доказана теорема о единственности восстановления его параметров по измерениям вдоль конечного числа прямых.

Рис. 1: Пример результатов решения задачи определения параметров одиннадцатипара-метрической модели вихревого поля.

Во втором параграфе исследованы задачи доплеровской томографии для комбинированных параметрических моделей вихревого поля, представляющих собой суперпозицию вихревого поля с функцией амплитуды заданной (1) или (2) и поля вида {ехх+е2у+ез, ¡гх++где е3,е3,ез, /ъ/2,/3 -

неизвестные параметры Для полей такого вида также было определено число прямых Ь(рг, (рг), достаточное для того, чтобы задача имела единственное решение Доказаны теоремы о единственности восстановления всех параметров по измерениям вдоль конечного числа прямых Представлены методы определения параметров

В третьем параграфе предложены вычислительные алгоритмы решения задач доплеровской томографии для конечно-параметрических моделей векторного поля Эти алгоритмы реализованы в разработанном программном комплексе, написанном на языке программирования С++ и имеющем модульную архитектуру, что позволяет включать в него новые модули решения задачи для иных параметрических моделей векторного поля С использованием разработанного программного обеспечения проведены вычислительные эксперименты, в ходе которых изучены свойства и границы применимости предложенных вычислительных алгоритмов

На рисунке 1 представлены результаты решения задачи для одиннадца-типараметрической модели вихревого поля в области В = [0,100] х [0,100] Сверху изображены компоненты поля «1 (х,у) и У2(х,у), аналитически вычисленные при А — 14, В. = 15, г = 8 5, х0 = 25, уо ~ 20, е\ = — 0 2, = 0 5, е3 = О, Д = 0.3, ¡2 = 0, /з = 0 Поверхности снизу соответствуют функциям (х,у) и «2(х,у), восстановленным предложенным методом в случае погрешности исходных данных 1 8%

Во второй главе исследованы задачи доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля Кусочно-постоянное поле определяется следующим образом На области!) = [0, а]х[0, о], за пределами которойу) = 0, введена прямоугольная сетка

Полагается, что поле V(x,y) определяется 2п2 постоянными

V{x,y) = {«i(®,y),va(e,y)} = {«у4,«®}, х € [®,_1,а;4), г, J = 1, , гг

Требуется определить это поле по данным, полученым для конечного числа прямых

В первом параграфе предложены и изучены задачи, в которых исходными данными являются

00 00 Fi(p,<p) = f w{p,<p,s)ds, F2(p,tp)= J w2(p,<p,s)ds, —00 —00

которые могут быть определены по функции М(р, <p,w), измеренной на прямой L(p, tp)

Первая задача состоит в определении поля вида (3) по измерениям вдоль прямых L(pi,cpi) и L(pt,<p2), где щ = arctg щ = arctg f, = I = 1,2, ,|п2, по данным измерений F2(pi,(pk), I = 1,2, . ,|п2,

к — 1,2 Для этой задачи доказана теорема, описывающая множество неединственности решения, найдены условия существования решения

Вторая задача заключается в определении поля i,j = 1, ,п, к = 1,2 по измерениям ii(pm,v?i), ii(pm,</j2), F2(pm,<pi), F2(pm,ip2) вдоль прямых £(Pm> И L(pm, <p2), где ipi = arctg = arctg f, ш = 1,2, , §n2 и

^ * = + ш = in2 + l, „fn2

(Здесь |_®J — целая часть числа x, и — остаток от деления шнап)

Для задачи в такой постановке проведен анализ существования и единственности решения, предложен метод его определения

Сформулируем теорему существования решения второй задачи, доказанную в диссертации Введем следующие обозначения. Пусть С = —

длина отрезка прямой внутри одной ячейки поля

к к Ря(рщ+Ь <Рк) = XI <Рк) - X] V 4>к),

г=1 г=1

где д - 1,2, к = 1,2,к = 1,..., п, I = 1, , § и <¿>/0 = 0

2*-1 2Ат

+ Е -

»=1 2 »=1 2

гдед = 1,2,* = 1,2,Л,г = 1,

Также обозначим

Щк = ММ^-Щ+Ь^к), = И^Оы^'П), тш = ж^Цпчф-щ+ъ <Рк),

4 = ¡у/Ь^Мц+ЬРк) - (^РКРщ+ЬРк),

= \\1Ь2^ЦпЧ{к-Щ+Ъ <Рк) - ^РКР1пЧ{к-Щ+Ь <Рк), где к = 1,2, I = 1, , | и определим состоящие из двух чисел множества

= {% + »■»,%-Гц},

= (% + -Я, % - -д},

Ч® = № +

Тогда верна следующая теорема

Теорема 2,6 Пусть ^(рт.уэ*), ^(Рт,^), т = 1,2, А: = 1,2, удовлетворяют условиям 2С^2(рт,

^¡0 _ Р1{Рт,щ) > 0, а также м|г) Л М*<*> ^ 0 и М|(8) П мЦ? ф 0, где А; = 1,2, & = 1,2, , | Тогда решение задачи 2 существует

и

Во втором параграфе исследована задача доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля, в которой известны результаты нескольких измерений вдоль каждой прямой. А именно, для каждой прямой Ь(р, ¡р) считаем известной </>, ш) — меру Лебега множества точек прямой Ь(р, ф) лежащих внутри области Б, для которых выполнено \¥(р, р, я)2^- < и, где

Рис. 2: Пример результатов решения второй задачи восстановления поля из §1 главы 2.

В этом случае задача определения кусочно-постоянного поля поставлена следующим образом По заданным значениям íirt(pm,<pk), F2it,(pm,<pk), где

00 00

/g-fis f e-2f¿s

W(p,(p,a)^-da, F2íí(p,<¿>)= / W\p,y,s)—rds,

— OO —00

к = 1,2, <pi = arctg£, <¿>2 = arctgf, pm = ^¡¡Sfa, m = 1,2, ,§п2,г = 1,2и Mi ф M2, требуется определить поле {и®, г;^2'}, г, j = 1, , п

Для данной задачи доказана теорема единственности решения, определены условия его существования

В третьем параграфе разработаны вычислительные алгоритмы решения задач доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля, которые реализованы в компьютерной программе, написанной на языке для математических вычислений Octave Программа использована для проведения расчетов, в ходе которых изучены свойства предложенных методов

На рисунке 2 представлены результаты решения второй задачи из §1 главы 2 в области D — [0,10] х [0,10], на которой введена сетка с числом узлов,

(к)

равным 12 На рисунке значения , к — 1,2 находятся в узлах сетки и для наглядности соединены отрезками со значениями в соседних узлах Сверху изображены точные значения к = 1,2, посчитанные в узлах сетки по формулам ы{х,у) = Збе-06^-5)2-05^"5)2 и v2{x,y) = 5 - Збе"0 2(=>-5)2-о ь{у-ь?; которые использовались для решения прямой задачи получения Fi(pm,<pk), F2Ípm,tpk) Снизу изображены восстановленные значения получен-

ные из исходных данных, в которые была внесена погрешность 1 5%

На рисунке 3 представлены результаты решения задачи восстановления поля с использованием результатов двух измерений вдоль каждой прямой в области D — [0,10] х [0,10], на которой введена сетка с числом узлов, равным 12 На рисунке значения к — 1,2 находятся в узлах сетки и для наглядности соединены отрезками со значениями в соседних узлах Сверху

изображены точные значения , к = 1,2, посчитанные в узлах сетки по формулам = 35е-0.6(г-6)2-0.5(у-6)2 _ 27е-0Л(х-4У-0.Щ-4)2 и ^у) =

5 - 35е-0-8^-4>2-0-5^-5>2 + 28е—0.4(ж - б)2 - 0.45(у - 4)2, которые использовались для решения прямой задачи получения <рк)> Р2щ(Рт,<Рк)-

Рис. 3: Пример результатов решения задачи восстановления поля из §2 главы 2.

Снизу изображены восстановленные значения полученные из ис-

ходных данных, в которые была внесена погрешность 1.2%.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты.

1. Поставлены и изучены задачи доплеровской томографии для конечно-параметрических моделей вихревого поля. Сформулированы условия, при которых вихревое поле однозначно определяется измерениями на конечном числе прямых.

2. Исследованы задачи доплеровской томографии для кусочно-постоянной модели векторного поля. Проведен анализ существования и единственности решения задач реконструкции векторного поля в зависимости от выбора прямых, на которых проводятся измерения.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы и комплекс программ для решения конечномерных задач доплеровской томографии, проведены вычислительные эксперименты, показавшие их эффективность.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Карцев К. А. Задача доплеровской томографии для модели вихря // Тезисы докладов VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, ф-т ВМиК. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 32.

2. Карцев К. А. Задача доплеровской томографии для моделей вихря // Прикладная математика и информатика. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 1230.

3. Карцев К. А. Задача доплеровской томографии в случае кусочно-постоянного поля // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.15. Выч. матем. и киберн., 2007. № 4. С. 16-24.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 11.04.2008 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 165. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова. 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

1 Задачи доплеровской томографии для моделей вихревого поля.

§1.1 Задача определения параметров моделей вихревого поля.

1.1.1 Постановка задачи определения параметров моделей вихревого поля.

1.1.2 Метод определения параметров пятипараметрической модели вихревого поля.

1.1.3 Метод определения параметров шестипараметрической модели вихревого поля.

§1.2 Задача определения параметров комбинированных моделей вихревого поля.

1.2.1 Постановка задачи определения параметров комбинированных моделей вихревого поля.

1.2.2 Метод определения параметров одиннадцатипараметрической комбинированной модели вихревого поля.

1.2.3 Метод определения параметров двенадцатипараметрической комбинированной модели вихревого поля.

§1.3 Алгоритмы численного решения задач доплеровской томографии для моделей вихревого поля и реализующий их программный комплекс. Результаты вычислительного экперимента.

2 Задача доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля.

§2.1 Задачи доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля с различными вариантами задания информации.

2.1.1 Постановка задач для модели кусочно-постоянного поля.

2.1.2 Методы решения поставленных задач.

2.1.3 Анализ существования решения рассматриваемых задач.

§2.2 Задача доплеровской томографии в случае нескольких измерений вдоль каждой прямой.

§2.3 Численное решение задач доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля. Программная реализация. Результаты вычислительного эксперимента.

Вычислительная томография (или просто томография) — область математики, занимающаяся разработкой математических методов и алгоритмов восстановления внутренней структуры объектов по проекционным данным. Математические основы томографии были заложены в 1917 году Радоном, который в своей работе [31] рассматривал оператор интегрирования по гиперплоскостям в евклидовом пространстве, названный позже преобразованием Радона, и предложил явный метод решения задачи восстановления функции по ее проекционным данным.

Однако интенсивное исследование задач томографии началось с середины 20-го века в связи с появлением компьютерных томографов. Внедрение методов компьютерной томографии в медицину позволило существенно повысить эффективность диагностики и обеспечило создание новых методов лечения. Со временем, методы компьютерной томографии стали также широко использоваться в электронной и рентгеновской микроскопии — для получения структур кристаллов и макромолекул, в геофизике — для поиска месторождений полезных ископаемых, на производственных предприятиях — для анализа качества продукции и поиска дефектов и в других областях науки и техники.

Пусть прямая на плоскости задается уравнением х cos (р + у sin ip = р. Тогда преобразование Радона функции f(x, у) задается равенством

Радоном была решена задача восстановления функции f(x,y) по функции Hf(p,ip), заданной для всех возможных р, ip.

Реальные математические постановки и методы решения задач компьютерной томографией обусловлены конкретными схемами их практического применения. Набор исходных данных для решения задачи восстановления зависит от применяемой схемы сканиоо рования.

На практике (рассматриваем задачу на плоскости, задача восстановления трехмерной функции обычно решается как задача восстановления двумерной на множестве сечений) наиболее распространены параллельная [8], [9], [10] и веерная [8] схемы. При этом существует два типа задач реконструкции: задача с полными данными и задача с неполными данными [2], [8]. В задаче с полными данными предполагается, что интегральные проекции известны для всех прямых, проходящих через исследуемый объект, т.е. для всех необходимых р, (р: а задачи с неполными данными могут быть следующих типов:

• задача с ограниченным диапазоном углов,

• внутренняя задача, когда 7Zf(p, (р) известна для р < а, а > 0,

• внешняя задача, когда 7Zf(p, (р) известна для р > а > 0,

• задача с ограниченным числом источников и приемников излучения.

Существуют различные численные методы решения задач компьютерной томографии, такие как метод преобразования Фурье, метод свертки и обратной проекции, метод итераций и методы регуляризации, которые достаточно подробно исследованы (например, [8], [9], [10], [13], [16]).

Одним из важных классов задач томографии являются задачи доплеровской томографии ([1|, [21], [19]), отличительной особенностью которых является восстановление векторных функций по проекционным данным. Такие задачи возникают, например, в радиометеорологии, в связи с необходимостью определения поля скорости ветра в атмосфере [1], в магнитно-резонансной томографии [29], при измерении потоков плазмы ]15], [18|, [17], в астрофизике [23] и других областях современной науки.

Многие задачи доплеровской томографии являются нелинейными [3], [11]. Поэтому их решение требует поиска особых подходов в каждом конкретном случае и сопряжено со значительными трудностями.

В то же время большое количество работ по доплеровской томографии посвящено линейным постановкам задачи, которые можно интерпретировать как линеаризацию задачи в нелинейной постановке путем отбрасывания части исходных данных, оставляя только линейную часть измеренного спектра [3].

Известно [35], что векторное поле можно представить в виде суммы двух составляющих: соленоидалыюго и потенциального поля. В ряде работ (например [21], [12], [38], [24]) показано, что по линейной части спектра можно однозначно восстановить только солепоидальную часть поля, в то время как потенциальнаю часть не может быть найдена [20]. Чтобы полностью восстановить поле, используется различная дополнительная информация. В работе [12] авторы используют данные дополнительных измерений, дающие информацию о компоненте поля, поперечном линии интегрирования. В работах [21], [24] и [28] дивергенция поля полагается равной нулю внутри исследуемой области, и налагаются граничные условия Неймана.

Процесс восстановления солепоидального и потенциального полей в трехмерном пространстве по измерениям интегралов скалярного произведения поля на направляющие вектора измерительных плоскостей описан в работах [29], [30]. Аналогичный метод для ограниченных полей рассматривается и [25], [26], [27] и [40].

Ряд работ посвящен численному решению задач векторной томографии. В работах [14], [36], [45], [43] разработаны алгоритмы итеративного восстановления соленоидалыюго поля, основанные на методе алгебраического восстановления (ART). В работах [34], [35] нзучены способы детектирования потенциальной составляющей поля, возникающей при решении задачи восстановления соленоидального ноля из-за ошибок измерений, а также способы увеличения точности восстановления.

Рассмотрим следующую постановку задачи доплеровской томографии на плоскости ([1], [3[, [4]). Пусть V(x,y) = {vi(x,y),v2{x,y)} — векторная функция, определенная на всей плоскости, тождественно равная нулю вне выпуклой ограниченной области D. Рас-смотривается семейство прямых L(p,cp): |р| < оо, 0 < (р < 2тг, имеющих параметрическое представление х — х{р, (р, s) = р cos ip — s sin tp У = y{p,(p,s) — р s'm (р + s cos ip, |s| < oo.

Единичный вектор k= {— sin <p, cos <p} определяет направление прямой L(p,ip). На прямой L(p, ip) определена функция W(p. ip. s), представляющая собой скалярное произведение векторной функции V(x(p,(p,s),y(p,(p,s)) на к:

W(p,ip,s) = —(sin (p)vl(x(p, (p,s),y(p,(p,s)) + (cos ip)v2{x(p,ip,s),y(p, ip, s)).

Обозначим через M(p,<p,u>) линейную меру Лебега множества точек прямой L(p, <р>), принадлежащих области D, для которых выполнено неравенство W(p, ср, s) < со.

Ставится следующая задача: требуется определить вектор-функцию V(x, у) по функции М(р, заданной для всех |р| < оо, ip £ [0,27г], < оо.

Установлено, что эта задача в общем случае, несмотря на существенную переопределенность, имеет неединственное решение ([3], [4], [11)), и что по заданной функции M(p,<p,ui) могут быть определены функции [3]: Fn(p,<p) = f^>QWn(p,ip,s)ds, п = 1,2,., |р| < оо, ip £ [0,2тг], называемые доплеровскими моментами порядка п. Также в работе [3] показано, чю эту задачу можно свести к системе уравнений в частных производных к=0 У где fn(x,y) однозначно определяются функциями Fn(p,ip), а значит и М(р. (р.ш).

В связи с неединственностью решения задачи доплеровской томографии в общей постановке возникает вопрос об использовании некоторой априорной информации о виде неизвестного поля, использование которой позволило бы достичь единственности решения. Одним из возможных подходов здесь является переход к конечномерным моделям поля.

Диссертационная работа посвящена исследованию задач доплеровской томографии для некоторых конечномерных моделей векторного поля, разработке методов их решения и программной реализации предложенных алгоритмов.

В первой главе поставлены и изучены задачи доплеровской томографии для конечно-параметрических моделей вихревого поля. Предложены и программно реализованы численные алгоритмы их решения. Под копечно-параметрическим вихревым полем подразумевается поле вида = {.(«,„) • ,.(*,„) ■ }, где а(х, у) — функция амплитуды, имеющая заданное параметрическое представление. Поскольку функция зависит от конечного числа неизвестных параметров, то естественно считать, что количество прямых, вдоль которых проводятся измерения, конечно.

Таким образом, в первой главе исследована следующая задача: требуется определить все параметры вектор-фупкции V(x,y) по функции М(р, <р,ш), заданной па конечном числе прямых Ь(рг, <рг), г = 1, 2,., п.

В первом параграфе изучены задачи доплеровской томографии для двух моделей векторного поля, в которых функция амплитуды а(х, у) имеет следующее представление:

Г 7 \/(ж ~ жо)2 + {У ~ Уо)2, 0 < уДх - х0)2 + (у - Уоу < г, I о, у/(х - Хо)2 + (у - у0У > R, с неизвестными параметрами А, г, R, хо,Уо, или ±у/(х-х0)2 +(у-уо)*, 0 < у/{х - х0)2 + (у - у0)2 < п, а{х, у) = <

А, Г! < у/(х- х0)2 + (у - у0)2 < г2,

2) тх/(^--о)2 + (у-Уо)2е[г2,тг], I о, ^(.т - .то)2 + (у - Уо)2 > R, с неизвестными параметрами А, Г\, r2, -R, .то, уо

Для этих моделей найдено число прямых, достаточное для однозначного восстановления вихревого поля, предложен метод определения неизвестных параметров.

Во втором параграфе исследованы задачи доплеровской томографии для комбинированных параметрических моделей вихревого поля, представляющих собой суперпозицию вихревого поля с функцией амплитуды заданной (1) или (2) и поля вида {е\Х + е2у + е.ч, fix + /2у + /з}, где ei, е2, ез, /1, /2, /з — неизвестные параметры. Для полей такого вида также определено число прямых L(pi, (pi), достаточное для того, чтобы задача имела единственное решение, представлены методы решения.

В третьем параграфе предложены вычислительные алгоритмы решения задач доплеровской томографии для конечно-параметрических моделей векторного поля. Эти алгоритмы реализованы в разработанном программном комплексе, написанном на языке программирования С++ и имеющем модульную архитектуру, что позволяет включать в него новые модули решения задачи для иных параметрических моделей векторного поля. С использованием разработанного программного обеспечения проведены вычислительные эксперименты, в ходе которых изучены свойства и границы применимости предложенных вычислительных алгоритмов.

Во второй главе исследуются задачи доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля. Кусочно-постоянное поле определяется следующим образом. На области D = [0, о] х [0, а], за пределами которой V(x,y) = 0, введена прямоугольная сетка Г {(#!>%) : xt = ih, y3=jh, Л = i = 0,.,n, j = 0, .,nj.

Полагается, что поле V(x, у) определяется 2п2 постоянными:

V(x, у) = {vx{x, y), v2(x, у)} = {ujj5, v\f}, ^ хе[х^ихг), yelyj-иУз), i,j = l,.,n. Требуется определить это поле по данным, полученым для конечного числа прямых.

В первом параграфе предложены и изучены задачи, в которых исходными данными являются оо оо

FiM= J W(p,ip,s)ds, F2(p,cp) = j W2(p,<p,s)ds, oo —oo которые могут быть определены по функции М(р,(р,ш), измеренной па прямой L(p,(p).

Первая задача состоит в определении поля вида (3) по измерениям вдоль прямых L(pi,<pi) и L(phip2), где <рг = arctg (р2 = arctg f, pt = I = 1,2,., in2, no данным измерений Fi(pi,(pk), F2(pi,<fk), I — 1,2,., ^n2, к = 1,2. Для этой задачи доказана теорема, описывающая множество неединственности решения, найдены условия существования решения. к)

Вторая задача заключается в определении поля v^ , г, у = 1,.,гг, к = 1,2 по измерениям Fi{pm,(pi), Fi(pm,ip2), F2(pm,(pi), F2(pm,(p2) вдоль прямых L(pm,(pi) и L(pm,(p2), gf, m = 1,2,., v/i+n2' m = 1,2,., rn = 2L^#J+l, m = m=±n2 +1,., fn2.

Здесь [ж J — целая часть числа x, и — остаток от деления т па п.)

Для задачи в такой постановке проведен анализ существования и единственности решения, предложен метод его определения.

Во втором параграфе исследуется задача доплеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля, в которой известны результаты нескольких измерений вдоль каждой прямой. А именно, для каждой прямой L(p,<p) считаем известной Mfl (р. <р,ш) — меру Лебега множества точек прямой L(p, ip) лежащих внутри области D, для которых выполнено W(p, ip, < ^ где ц — ., цк.

В этом случае задача определения кусочно-постоянного поля ставится следующим образом. По заданным значениям Flfll{pm,ipk), F2lll(pm,(ph), где оо оо e-/ts г g-2/хь

W(p,(p,s)—ds, F2/l(p, ip) = / W2(p,<p,s)^rds, где (fi = arctg J, (p2 = arctg f, m = 1, 2,., | n2 и

2hm i о к - 1,2, у?! = arctg 'j, (f2 = arctg f, pm = , m = 1,2,., |n2, / = 1,2 и ^ / требуется определить поле {i^,г^}, i,j =

Для данной задачи доказаны теорема о единственности решения и теорема об условиях существования решения.

В третьем параграфе разработаны вычислительные алгоритмы решения задач до-плеровской томографии для модели кусочно-постоянного поля, которые реализованы в компьютерной программе, написанной на языке для математических вычислений Octave. Программа использована для проведения расчетов, в ходе которых изучены свойства предложенных методов. В конце параграфа представлены примеры, иллюстрирующие работу этих методов.

Основные рещультаты, полученные в диссертационной работе, были представлены на нескольких научных конференциях и опубликованы в ряде изданий. Ссылки на публикации автора по теме диссертации представлены в общем библиографическом списке в конце работы.

Заключение.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Поставлены и изучены задачи доплеровской томографии для конечно-параме ческих моделей вихревого поля. Сформулированы условия, при которых вих поле однозначно определяется измерениями на конечном числе прямых.

2. Исследованы задачи доплеровской томографии для кусочно-постоянной модел торного поля. Проведен анализ существования и единственности решения l реконструкции векторного поля в зависимости от выбора прямых, на которых водятся измерения.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы и комплекс программ для решени нечномерных задач доплеровской томографии, проведены вычислительные ? рименты, показавшие их эффективность.

1. Горелик А. Г., Стерлядкин В. В. Доплеровская томография в радиолокационной метеорологии // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. 26. 1. С. 47- 54.

2. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

3. Денисов А. М., Попов А. А. Двумерная задача доплеровской томографии // ЖВ-МиМФ, 1996. 36. № 2. С. 126-133.

4. Денисов A.M., Попов А. А., Стерлядкин В. В. Задача доплеровской томографии в случае двумерного векторного поля // Вестник Московского Университета сер. 15. 1995. № 1. С. 20-23.

5. Карцев К. А. Задача доплеровской томографии для модели вихря // Тезисы докладов VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, ф-т ВМиК. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 32.

6. Карцев К. А. Задача доплеровской томографии для моделей вихря // Прикладная математика и информатика. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 12-30.

7. Карцев К. А. Задача доплеровской томографии в случае кусочно-постоянного поля // Вести. Моск. Ун-та. Сер.15. Выч. матем. и киберн., 2007. № 4. С. 16-24.

8. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.

9. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

10. Суинделл В., Уэбб С. Рентгеновская трансмиссионная компьютерная томография // Физика визуализации изображений в медицине. Под ред. С. Уэбба. М.: Мир. 1991. Т.1. С.138-173.

11. F. Andersson. The Doppler moment transform in Doppler tomography. Inverse Problems, 21: 1249-1274, 2005.

12. H. Braun and A. Hauk. Tomographic reconstruction of vector fields. IEEE Transactions on signal processing, 39(2):464-471, 1991.

13. S. R. Deans. The Radon transform and some of its applications. John Willey and Sons, 1983.

14. A. Faridani, F. Keinerr, F. Natterer, E. L. Ritman, К. T. Smith. Local and global tomography. In Signal Processing, volume 22-23 of IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Springer, 1989.

15. G. Fuclis and V. Pickalov. Vector and scalar tomography on fusion plasmas using Hamiltonian and variational methods. Plasma physics and controlled fusion, 40:91-96, 1998.

16. Л. Howard. Vcctor tomography applications in plasma diagnostics. Plasma physics and controlled fusion, 38:489-503,1996.

17. T. Jansson, M. Almqvist, K. Strahlcn, R. Eriksson, G. Sparr, II. W. Persson, and K. Lindstrom. Ultrasound Doppler vector tomography — measurements of directional blood flow. Ultrasound in medicine and biology, 23(1):47-57,1997.

18. S. Johnsson, J. Greenleaf, M. Tanaka, and G. Flandro. Reconstructing three-dimensional temperature and fluid velocity vector fields from aucostic transmission measurements. ISA Transactions, 16(3):3-15, 1977.

19. M. Lassas, М. Mataich, S. Siltanen, E. Somersalo. Wind velocity observation with a CW Doppler radar. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, Vol.40, Issue 11, pp. 2427-2437, 2002.

20. T. R. Marsh. Doppler Tomography. Astrophysics and Space Science, Vol.296, No.4, pp. 403-415,2005.

21. S. J. Norton. Unique tomographic reconstruction of vector fields using boundary data. IEEE Transactions on image processing, 1(3):406-412,1992.

22. N. F. Osinan and J.L. Prince. 3-D vector tomography on bounded domains. Inverse Problems,14(1):185-196,1998.

23. N. F. Osman and J. L. Prince. Reconstructed potential functions in bounded domain vector tomography. In Proc. Conf. Inf. Sci. Sys., The John Hopkins Univ, pages 891-895, 1997.

24. N. F. Osinan and J. L. Prince. Reconstruction of vector fields in bounded domain vector tomography. In Proceedings of ICIP97, volume 1, pages 476-479, 1997.

25. Popov A. A. Methods of solving certain two-dimensional problems of Doppler tomography. Computational Mathematics and Modeling, 1998. 9. No. 3. pp. 229-236

26. J. L. Prince. Convolution backprojection formulas for 3-D vector tomography with application to MRI. IEEE Transactions on Image Processing, September 1996.

27. D. Roeseff and К. B. Winters. Two-dimensional vector flow inversion by diffraction tomograohy. Inverce Problems, 10: 687-697, 1994.

28. D. Roeseff and K.B. Winters. A filtered backprojection method for the tomographic reconstruction of fluid velocity. Inverce Problems, 6:133-138, 1990.

29. Т. Schuster. Defect correction in vector field tomography: detecting the potential part of a field using BEM and implementation of the method. Inverse Problems, 21: 75-91, 2005.

30. T. Schuster. Error estimates for defect correction methods in Doppler tomography. J. Inv. Ill-Posed Problems, Vol.14, No.l, pp.83-106, 2006.

31. A. Schwarz. Three-dimensional reconstruction of temperature and velocity fields in a furnace. ECAPT, 1994.

32. K. Strahlen. Radon transforms for vector fields with applications to ultrasound Doppler measurements. Proceedings Symposium on Image Analysis, SSAB'96, Lund, Sweden, pp.6-10, 1996.

33. K. Strahlen. Reconstructions from Doppler Radon transforms. Proceedings ICIP-96, Lausanne, Switzerland, pp 11:753-756, 1996.

34. K. Strahlen. Exponential Radon transforms for vector fields. Proceedings Symposium on image analysis, SSAB'97, Stockholm, Sweden, pp. 105-109, 1997.

35. K. Strahlen. A combinatorial approach to vector tomography for Doppler spectral data. Proceedings ICIP'98, Chicago, USA, pp. 1:39-43,1998.

36. K. Strahlen. Reconstructing support and curl of flow from Doppler tomography data using an ART approach. Proceedings of BIOSIGNAL'98, Brno, Czech Republic, pp.41-44, 1998.

37. K. Strahlen. Reconstruction of vector fields using Doppler tomography, Proceedings Symposium on Image Analysis, SSAB'95, Linkoping, Sweden, pp.77-80, 1995.