автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Конечноэлементные аппроксимации и аналогии в задачах моделирования сложных систем

1. Введение

Глава 1 Нестационарные трансзвуковые течения в решетках турбомашин

1.1 Постановка задачи относительно нестационарного потенциала

1.2 Определение стационарного потенциала

1.3 Декомпозиция нестационарного потенциала

1.4 Вариационная формулировка задачи

1.5 Определение режимов акустического резонанса

1.6 Особые режимы для трансзвуковых течений

1.7 Результаты расчетов

Глава 2 Электрогидродинамические течения

2.1 Постановка задачи

2.2 Метод Патанкара

2.3 Гибридный метод решения ЭГД задачи

2.4 Нестационарные течения

2.5 Задача об оптимальной конфигурации

2.6 Алгоритм хранения и обращения матриц высокой размерности

Глава 3 Моделирование активности системы с распредел. агентами

3.1 Цель моделирования

3.2 Нейрофизилогические сведения

3.3 Вывод уравнений и граничных условий

3.4 Проблема предварительно обработки зрительной информации 131 3.5. Проблема собственных значений и ЭКоГ, ЭЭГ 134 3.6 Моделирование внешней среды

Глава 4. Применение МКЭ к дискретным и полудискретным задачам

4.1 Задача коммивояжера

4.2 Модель обменных процессов ■

4.2 Расчет стационарных и нестационарных режимов гидр, систем

В связи с тенденцией к усложнению технических систем и устройств и с потребностями, возникающими при оптимизации функционирования этих устройств, повышаются требования к предсказуемости их поведения.

Как следствие, нестационарность, наряду с нелинейностью, становится одним из основных объектов изучения при проектировании и оптимальном управлении. Так называемые нерасчетные (нестационарные и нелинейные) режимы - это в сущности, и есть наиболее .опасные и, как это часто бывает, наиболее эффективные режимы.

Являясь объектом изучения многих дисциплин, нестационарные процессы в первую очередь требуют возможности реализации или, иначе говоря, как можно более точного моделирования, учитывающего основные детали рассматриваемых явлений. Очевидно, что натурный эксперимент наиболее предпочтителен, но целый ряд причин, включающий в себя как чисто научные, так и финансово-производственные проблемы ограничивает возможности такого естественнонаучного подхода.

С другой стороны, моделирование, основанное на общих математических методах (вариационных методах механики, методах непрерывной и дискретной оптимизации, методах теории игр) иногда требует длительного участия высококвалифицированных специалистов, способных не только решать конкретные задачи, но и творчески объединять частные решения в проекты. Не говоря уже о конкурентоспоб-ности, такие требования в первую очередь выдвигают необходимость гарантированной надежности и безопасности.

Одной из попыток предложить решение проблемы в виде некоторой унифицированной схемы можно считать возникновение интегрированных инженерных пакетов, например, таких как COSMOS и ANSYS . В этих пакетах программ максимально реализованы пожелания инженера - путь от эскизного проекта до производства конкретного изделия полностью автоматизирован: чертеж, расчет и станок с ЧПУ объединены в единое целое. Заметим, что не случайно в качестве инструмента моделирования в этих пакетах выбран метод конечных элементов (МКЭ) - вариант метода Галеркина. Дело даже не в том, что существенно облегчается работа со сложными геометрическими формами, главное, что метод наиболее естественно осуществляет учет законов сохранения.

Интересным будет остановиться на ключевых моментах в истории развития метода, которые послужили базой для создания подобных интегрированных пакетов и для развития самой идеи интегрированно-сти. Идеи МКЭ впервые сформировались в механике конструкций и в теории упругости. По-видимому, Хренников [1] первым ввел метод каркасов - предшественник общих дискретных методов строительной механики - ж применил его, представляя упругое тело в виде набора брусьев и балок.

Полностью непротиворечивое и математическое изложение процедуры, получившей в дальнейшем название метода конечных элементов, дал Курант в 1943 году [2]. Он дал приближенное решение задачи Сен-Венана о кручении и использовал аппроксимации, представленные как кусочно-линейное представление искомой функции искажения на триангуляционной сетке, что в дальнейшем и получило название МКЭ. Но что более важно, он поставил задачу о минимуме потенциальной энергии и доказал сходимость метода.

Формальное изложение метода конечных элементов применительно к конкретным задачам теории упругости принадлежит Тернеру, Кла-фу, Мартину и Топпу. Они применили этот метод для решения задач о плоском напряженно-деформированном состоянии. Вернее, впервые осознанно была применена дискретизация и появилось само понятие конечного элемента - геометрического объекта в области определения искомой функции и сопутствующей этому геометрическому объекту функции. Клаф [3] в 1960 году ввел название метода, ставшее впоследствии классическим, - метод конечных элементов. Задача была сформулирована как вариационная, рассматривался потенциал упругой энергии.

Стоит отметить, что редкое математическое название так точно передает суть дела, им определяется финитность носителя базисных функций и конечность самого базиса.

Немного позднее Аргирис [4] применил метод конечных элементов для решения задач обтекания профилей дозвуковым потоком газа. Нелинейная задача решалась методом последовательных приближений, и на каждом шаге получающееся эллиптическое уравнение решалось МКЭ. Попытки получить таким способом трансзвуковые течения окончились неудачей. Симметрия, как и при использовании центральных разностей в методе конечных разностей, приводит к образованию двух нефизичных скачков уплотнения и в итоге - к расходимости итерационного метода.

Только в семидесятых годах процедура Джеймсона [5], [6] учета разностей вверх по потоку была адаптирована к МКЭ, был разработан метод модифицированной плотности для потенциального трансзвукового течения. Отметим, что принципиальных трудностей здесь не было, необходим был лишь продолжительный опыт решения расчетных задач трансзвуковой аэродинамики. В работах [7], [8] был разработан метод расчета эффективно невязкой жидкости.

Применительно к задачам вязкого обтекания метод конечных элементов привел к более общей постановке. Оказалось, что для вязкой задачи не существует функционал, минимумом которого является решение задачи обтекания [9]. МКЭ для вязкой жидкости можно интерпретировать как реализацию метода Галеркина. Известно, что существование и единственность имеет место для малых чисел Рейнольдса. Метод разложения позволяет продолжить стоксовы решения до чисел Рейнольдса порядка 100. Обзор работ по применению МКЭ для расчетов слабосжимаемых и вязких приведен в монографии [9]. Примечательно, что в данной монографии использовались методы решения задач, широко применяющиеся и в экономике.

В чем же отличие конечно-разностных методов и МКЭ, ведь, казалось бы, нет принципиальной разницы между способом аппроксимации? Аппроксимации МКЭ являются внутренними, то есть базисные функции МКЭ и их линейные комбинации принадлежат пространству решений. Конечно-разностные приближения внешние, то есть решение аппроксимируется функциями некоторого объемлющего функционального пространства. Практическая трудность реализации внешних аппроксимаций заключается в необходимости максимально точного, можно сказать выполненного вручную, учета краевых условий, как, например, это необходимо проделывать для условий Неймана на криволинейной границе. Отметим, что само разложение оператора задачи на краевой оператор, который действует на границе рассматриваемой области, и дифференциальный, действующий непосредственно в области, есть искусственный шаг, уводящий нас от первоначально интегральной формы закона сохранения.

Вполне естественно, что нестационарные задачи: нестационарная упругость, акустика, аэроупругость, нестационарные задачи вязкого обтекания и протекания, также получили интерпретацию в терминах МКЭ. Конечно-разностная дискретизация по времени и конечноэле-ментная по пространству - это стандартный подход, доказавший свою жизненность.

Гиперболические задачи решаются как прямым интегрированием по времени, так и разложением по собственным функциям оператора Лапласа, которые находятся предварительно из условия минимаксного принципа Рэлея. Это относится и к параболическим задачам, где условие Куранта налагает жесткие ограничения на размер временного шага в случае нелинейных задач, но, как оказывается, иногда достаточно локального сгущения сетки в зонах резкого изменения параметров среды.

Мы считаем, что развитие подхода к моделированию с упором на МКЭ может быть исключительно плодотворным как в задачах механики, так и в, казалось бы, совершенно несвязанных с механикой областях исследований.

В настоящей работе мы будем изучать нестационарные процессы и общий подход для их моделирования, основанный на численной реализации метода Галеркина - методе конечных элементов.

Мы будем последовательно рассматривать все усложняющиеся модели, выделяя ключевые моменты, связанные с нестационарностью, нестандартными краевыми условиями, переменностью самой структуры связей и показывая, как можно адаптировать конечноэлементный подход к этим все более усложняющимся случаям.

Во-первых, мы покажем, что в упомянутые выше интегрированные пакеты возможно включать и неконсервативные проблемы, т.е. проблемы с выносом энергии из конечной области. Это требует более детального рассмотрения краевых условий и условий на бесконечности. Опять же в качестве метода решения следует выбрать МКЭ. В качестве иллюстрации будут рассмотрены задача расчета нестационарного дозвукового и трансзвукового обтекания решеток колеблющихся профилей и задача расчета электрогидродинамического течения в тракте электрогидродинамического насоса. Эти задачи являются классическими по постановке, но требуют нескольких последовательных шагов применения МКЭ и гибридизации МКЭ с конечноразностными методам.

Данный пункт получил свое развитие в первых двух главах диссертации.

В первой главе рассматривается задача нестационарного дозвукового и трансзвукового обтекания решетки профилей, совершающих малые по амплитуде и гармонические по времени колебания.

Данная задача тесно связана с проблемой аэроупругости турбома-шин и изучалась в работах [11], [12], результаты ее решения используются в качестве инструмента расчета нестационарных аэродинамических сил и моментов.

Постановка задачи в терминах потенциала приводит к представлению решения в виде асимптотического разложения по степеням амплитуды колебаний профилей. Слагаемое с нулевой степенью - это стационарное решение задачи обтекания.

Для дозвукового течения строится итерационная процедура, базирующаяся на итерациях метода Ньютона-Канторовича для стационарного оператора газовой динамики. В качестве начального приближения выбирается потенциал обтекания несжимаемой жидкостью. Коррекция области естественным образом позволяет получить условие Жуковского на сходящих с задних кромок профилей и неопределенных заранее линиях тока, являющихся линиями разрыва потенциала. Подобную коррекцию поверхностей тока можно проводить и для трехмерного течения [13].

Линейное по амплитуде колебаний нестационарное приближение приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, зависящими от стационарного потока. Приведена постановка краевой задачи относительно нестационарной составляющей потенциала (амплитуды и фазы возмущения).- Показано: как нестандартные краевые условия типа обобщенной периодичности на границах и обобщенной периодичности с разрывом естественным образом включаются в вариационную постановку; что условия непротекания неявно индуцируются уже от начального приближения несжимаемой жидкости.

Обсуждаются краевые условия типа излучения на бесконечности и обосновывается выбор аппроксимации этих условий.

Проведено классическое разбиение решения на непрерывную и разрывную составляющие, решение осуществляется подбором константы в условии Жуковского для нестационарного потока. Имеется спорный момент, состоящий в том, что каждая компонента находится как обобщенное решение, а сумма находится на основании точечного условия на задней кромке профилей. Но численные расчеты показывают хорошее согласование с известными результатами для дозвукового и несжимаемого течений.

Выбирается метод решения систем линейных алгебраических уравнений, связанный со структурой представления данных.

Обсуждаются результаты расчетов, и проводится сравнение с известными результатами других авторов.

Рассматриваются выделенные режимы дозвукового, нестационарного течения - режимы акустического резонанса. Показано, что таким режимам отвечает потеря определенности аппроксимирующей конеч-ноэлементной матрицы.

Предложены алгоритмы определения режимов акустического резонанса. В качестве одной из возможностей рассмотрено применение метода Ланцоша [14] и метода Якоби-Эберляйн [15] для определения собственных чисел и векторов как симметричных, так и несимметричных матриц МКЭ.

Показано, что определение стационарного потенциала становится нетривиальной проблемой в случае трансзвуковых течений. В этом случае применяется стандартная процедура модифицированной плотности к аппроксимации уравнения неразрывности [16]. Учет лишь закона сохранения массы при переходе через скачок уплотнения позволяет получать хорошо согласующиеся с экспериментом результаты. Проведенные расчеты как для потенциальной постановки задачи так и для постановки задачи в терминах функция тока-завихренность хорошо согласуются. Оказывается, что при малых частотах колебаний, существенно меньших, чем для дозвукового случая, возможно, построить численно сходящиеся приближения для течения с бесконечно малых возмущений.

Применительно к нестационарному трансзвуковому случаю предложен алгоритм разделения стационарного оператора на две составляющие, который позволяет интерпретировать трансзвуковые режимы, подобные акустическому резонансу, как своеобразное вырождение оператора. Показано, что данный метод согласуется со стандартной линейной моделью в том смысле, что им отвечает минимум демпфирования.

Во второй главе рассматривается задача определения нестационарного электрогидродинамического течения в канале электрогидродинамического устройства (ЭГД) как часть общей задачи протекания электрогазодинамического потока [17].

Ставится начально-краевая задача для задачи формирования совместного течения ионов и жидкости. Обосновывается необходимость построения смешанного конечноэлементного, конечноразностного алгоритма решения задачи. Ставится проблема оптимальной конфигурации и расчета характеристик устройств.

Рассматриваются известные методы решения задачи расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах. Указаны недостатки конечноразностного метода, разработанного Патанкаром [18], и предложен гибридный метод, при котором часть уравнений задачи решается МКЭ, а уравнение переноса заряда решается с помощью конечноразностного метода.

Приведена слабая формулировка задачи и построена конечноэле-ментная матрица, аппроксимирующая дифференциальный оператор и начально-краевые условия на основе слабого представления задачи.

Рассмотрены примеры реализации алгоритма и сценарии развития электрогидродинамического течения, как из состояния полного покоя, так и при заданном течении через ЭГД устройство.

Проведенные расчеты позволили сделать следующие выводы: 1) происходит стационирование течения; 2) гармонические колебания внешнего потенциала вызывают гармонический отклик характеристик течения, происходящий со сдвигом фазы относительно заданных колебаний; 3) возможно провести оптимизацию за счет выбора геометрии ЭГД устройства. Последний факт подтверждается с помощью более простой модели и результатами экспериментальных исследований [19].

Предложен энергетический критерий эффективности ЭГД устройства.

Результаты расчетов показали, что они устойчивы к измельчению шага конечноэлементной сетки и измельчению шага по времени.

Шаг по времени выбирался так, чтобы в среднем выполнялось условие Куранта, т.к. в формулировке задачи присутствует параболическое уравнение относительно завихренности, которое невозможно полностью аппроксимировать, как неявное, но максимальное включение параметров, подлежащих определению на следующем временном шаге, позволило получить устойчивые по времени решения, хорошо согласующиеся с известными экспериментальными данными.

Возникающие при расчете ЭГД течений требования к решению больших, несимметричных и разреженных систем линейных алгебраических уравнений привели нас к необходимости разработки комплексного подхода: хранения МКЭ данных, представления их в специальном векторном виде и создания пакета программ решения систем уравнений, ориентированного именно на этот специальный вид. Для решения систем уравнений (это относится и к первой главе) мы использовали метод сопряженных градиентов, метод верхней релаксации и методы, решающие задачу с несимметричной матрицей.

Отметим, что в последнем случае нет необходимости рассматривать заполненные матрицы, так как матрица АА оказывается также разреженной и ее структура напрямую ассоциирована со структурой конечноэлементной сетки. Например, хорошо известно, что ненулевыми в строке А являются те элементы, номера которых ассоциированы с номерами МКЭ узлов, соседних с узлом, номер которого совпадает с номером рассматриваемой строки матрицы. Для случая матрицы произведения ненулевыми в строке будут уже те элементы, номера которых совпадают не только с номерами соседей, но и с номерами соседей соседей.

Во-вторых, мы продемонстрируем на примере, что можно построить новые механические аналогии для моделирования довольно сложных систем, на основе законов сохранения и на основе метода конечных элементов. Основной проблемой здесь является создание естественной конструкции, учитывающей несколько гипотез о механизме функционирования и активности разделов мозга.

В -третьей главе представлена попытка моделирования распределенного вычислительного устройства, как реализация механических и электрогидродинамических аналогий, связанная с рассмотренными выше проблемами.

Одним из возможных путей моделирования вычислительных процессов , совмещающих в себе сбор распределенной информации и обобщенный отклик на нее, как кинезию, является следование элементам естественных алгоритмов и структурной организации, выявленных в результате экспериментальных исследований, морфологии нейронных структур и их функциональным связям [20], [21], [22], [23], [24].

Мы попытались объединить все эти элементы в работоспособных алгоритмах и геометрических аппроксимациях, которые могут служить базой для последующей реализации в виде автономного технического устройства.

Сама идея привлечения методов сплошной среды к моделированию активности нервной ткани не так нова. Цикл подобных работ появился еще в 70-х годах [26], [27], [28], [29]. Но цель их состояла в большей степени в интерпретации известных экспериментальных результатов, в рамках понятий теории катастроф или предельных циклов. Можно попытаться связать известную геометрию структур, волновые процессы и способы ввода-вывода информации.

Рассматриваются аналогии с электрогидродинамикой и квантовой механикой, на их основании предложена система дифференциальных уравнений, предположительно описывающих активность "нервной ткани". Локальная активность разделяется на две составляющие "потенциал" и "заряд", отвечающие соответственно реакциям "нервной ткани" как единого целого и реакции нейрона типа "все или ничего". Стандартная реакция нейрона при превышении порога как бы перемещается в следующий нейрон, который более всего близок к порогу активации. Тогда разность между сложной допорговой активностью нейрона и порогом, после которого нейрон генерирует спайк, можно интерпретировать как градиент некоторой функции, которую мы и назовем "потенциалом", который конечно не равен физическому потенциалу.

Предлагаются: краевые условия, соотнесенные с известными экспериментальными фактами относительно естественных нейронных структур. Например, вводится вытягивающий потенциал, позволяющий имитировать активацию ретикулярной формации, или, иначе говоря, обеспечивающий поток зарядов от сенсорных зон к моторной зоне.

Активность или спайки можно интерпретировать как некоторое " облако зарядов", движущееся от одной обкладки конденсатора к другой.

Используется аппарат, разработанный для механики задач, также и для аппроксимации краевых условий относительно заряда и потенциала. Рассмотрена слабая, форма уравнений и конечноэлементная аппроксимация для них.

Рассматривается геометрическая аппроксимация структур в видк системы сеток на поверхностях, следующих по строению реальным, известным из эксперимента, выделенным слоям нейронных структур -новой коре, лимбической системе, таламусу, стволу мозга, мозжечку. Каждая из структур представляет собой набор параллельных сеток, взаимодействующих между собой через правые части соответствующих дифференциальных операторов. Построение геометрических аналогов предлагается проводить с помощью хорошо известных интерактивных пакетов прикладных программ, созданных для решения задач механики. Предложен алгоритм склеивания структур и передачи данных, как перетекания зарядов в известных из эксперимента местах, с одной структуры на другую.

В качестве примера сенсорного ввода рассмотрен специальный алгоритм распознавания, ориентирующийся на известные биологические аналоги - саккады. На отдельном процессоре непрерывно обрабатывается изображение, и в каждый момент времени имеется некоторая информация, представленная аналогами коэффициентов Фурье для контура. Заданный контур хаотично сканируется выделенной активной зоной (несколько пикселов для экрана), которая меняет направление своего движения после встречи с точками контура. Координаты точек контура уточняют имеющиеся средние связанные с центром масс и выделенной системой координат для рассматриваемой проекции тела. Каждому контуру отвечает несколько экранов, сканирование по которым ведется одновременно, точками служат пикселы и комбинации пикселов с выделенной ориентацией.

Сенсорная активация рассмотрена как поступление зарядов с границ сенсорных зон и последующий перенос под действием внешнего поля. Причем каждому экрану отвечает свой слой коры, тем самым мы имитируем многослойную обработку сенсорной информации [30], [31].

Моторный выход осуществляется как выработка кинезии- гармонизированного моторного ответа двигательных систем на непосредственный соматосенсорный вход и преобразованный сигнал со стороны моторной зоны. Сделана попытка интерпретировать зоны, совмещающие моторную область и соматосенсорную область, как периодическую структуру с нестационарными условиями " непротекания"- импуль-сацией соматосенсорной системы и моторной области. В этом случае функция определяющая движение, задается не только непосредственной реакцией органов и указанием на их необходимые действия, влияние оказывает опосредственной состояние всех органов и ситуации в целом. Модель представляет собой не более как попытку совмещения требований, предъявляемых экспериментом к моторной реакции и известной геометрии структур.

Поставлен вопрос о возможной локальной вариации самой структуры, т.е. изменении числа связей в зависимости от степени и времени активации [24].

На основании общей модели обмена в иерархической структуре удается показать, что число связей на узел, является определяющим параметром устойчивости структуры как единого целого и что локальные различия в густоте связей могут служить локализации активности.

Рассмотрена аналогия между известными ритмами активности [25] и собственными числами ассоциированного оператора. В модели явление десинхронизации или, иначе говоря, переключение ритмов естественным образом интерпретируется как временное увеличение числа межнейронных связей в результате сенсорной активации.

В последнем параграфе третьей главы приведены некоторые простейшие сценарии совместной активации построенных структур и выработки "рефлексов". Обсуждается вопрос о замкнутости предложенной модели и ее эффективности. Замкнутость понимается как свойство выработки моторного ответа на сенсорный вход без внешнего управления, а эффективность - как возможность реализации каскада сложных реакций на сенсорный ввод.

В третьих, мы рассматрим некоторые известные дискретные проблемы, представленные как результат аппроксимации некоторой гладкой задачи, получая таким образом удовлетворительные численные, а главное качественные результаты. Поясним это положение чуть более подробно. Для получения количественных и качественных решений в механике часто прибегают к численным методам. В этом случае очевидно, что непрерывная модель среды служит основой для некоторой конечномерной аппроксимации, то есть предполагается, что разрешимая численно модель есть нечто вторичное, следующее за более точной гладкой моделью. Но вполне возможен и обратный ход- гладкая модель служит аппроксимацией для дискретной формулировки задачи.

Реализация первых двух пунктов не представляет чего - либо необычного - они лежат в русле классических подходов, но возможно, что третий пункт нуждается в пояснениях.

Мы не предлагаем ничего необычного - переход от дискретной модели к непрерывной - это общепринятый подход в механике и математике.

Так, например, отправляясь от модели дискретных вихрей, мы приходим к интегральным уравнениям, конечным разностям ставятся в соответствие дифференциальные приближения.

Приведем простой пример, как мы надеемся, поясняющий вышесказанное, - обратимся к хорошо известной задаче коммивояжера [10], в следующей формулировке - найти наименьший по длине путь, проходящий через N городов, где каждый город проходится только один раз (здесь города - это точки в метрическом пространстве). Возникает вопрос - насколько интересно решение задачи - т.е является ли сам кратчайший путь независимым математическим объектом? Иначе говоря, возможна ли нетривиальная характеристика искомого'пути не только как результата работы переборного алгоритма?

Удается показать, что любой допустимый путь коммивояжера в метрическом пространстве можно представить как результат действия матрицы жесткости МКЭ на набор аппроксимаций собственных функций задачи на собственные значения с периодическими краевыми условиями:

-у = Ху, 2/(0) = у(2тг)

Тогда минимальному по длине пути будет отвечать набор коэффициентов в разложении по базису из собственных функций, такой, что соответствующие коэффициенты убывают наиболее быстро. Но эти собственные функции являются не чем иным, как базисом Фурье, а условие быстрого убывания - это условие максимальной гладкости кривой, построенной из элементов базиса.

С помощью метода наименьших квадратов и процедуры исчерпывания определяется искомый набор, причем число потребных коэффициентов зависит от предела Найквиста, или, иначе говоря, от конкретного расположения точек и их числа.

Построенный алгоритм оказался вполне конкурентоспособным в сравнении с такими известными алгоритмами, как алгоритмы эластичной нейронной сети [32], [33] и известный алгоритм, в большинстве своем и применяющийся в приложениях, "идти к ближайшему соседу". Модификация алгоритма эластичной нейронной сети на основе представлений о гладкости позволила существенно повысить его эффективность.

Кроме того, алгоритм может служить общим тестом на сложность или точнее на "простоту" данных - скорость убывания коэффициентов, большая в среднем, чем для произвольного набора, служит критерием аналитичности, не случайности данных. Алгоритм удалось применить для распознавания траекторий частиц в экспериментах физики средних энергий [34] и для быстрого выделения паттерна из фона.

Дальнейшее развитие приводит нас к рассмотрению не просто набора точек в некотором метрическом пространстве, а к наборам, понимаемым как вершины графа, ребра которого определяются некоторым нестационарным взаимодействием между вершинами.

Оказалось, что для обменных процессов, довольно общего вида, возможно построить конечноэлементную аналогию, связанную с задачей на собственные значения. Выяснилось, что в этом случае основной совокупной характеристикой нестационарного процесса и графа является среднее число значимых связей на элемент-вершину, й эта характеристика служит критерием того, какие именно процессы реализуются на графе - длинноволновые или с преобладанием коротких волн? Для малого числа связей, коррелирующих с евклидовой метрикой (т.е ближайшие по связям являются и ближайшими географически), наиболее значимый вклад в решение, индуцированное правой частью, привносят первые собственные функции, мало отличающиеся от собственных функций оператора Лапласа на области, являющейся линейной оболочкой заданных вершин. Как следствие, узловые линии этих функций связны и несут информацию о примерно средних значениях, реализуемых в процессе.

На основании подобных соображений была выдвинута гипотеза и о подобной локализации мест, пригодных для проведения репрезентативных выборок среди населения. Были рассмотрены результаты выборов по городу Омску на протяжении ряда лет и оказалось, что избирательные участки, на которых наблюдается совокупный средний отклик: по активности населения, по предпочтению партий, цо предпочтению лидеров и.т.д, расположены не хаотично, а образуют в совокупности компактные зоны.

Следующее приложение МКЭ относится к нестационарным процессам, происходящим в больших гидравлических сетях теплотрасс [35]. Как известно [35], стационарное течение описывается двумя законами: законом сохранения масс и законом сохранения импульсов, что в случае реально существующих энергосистем приводит к очень большим системам нелинейных уравнений с присутствием модулей.

В работах школы Хасилева [36], [37] разработаны и внедрены алгоритмы программ расчета гидравлики для сетей теплотрасс, водоканала, промышленных предприятий. Но следует отметить, что существуют ограничения на размерность задачи - известные алгоритмы решения стационарной задачи ограничены числом труб до 200-250. Подобные ограничения вызваны применением метода Ньютона для решения системы, - оказывается, что потребная точность задания начального приближения очень высока и при увеличении размерности выбор начального приближения не отличается от собственно решения в пределах, потребных для практики.

В связи с этим обстоятельством для расчета больших сетей применяют сложные алгоритмы аггрегирования, привлекая для этого целые коллективы специалистов по дискретной математике. Подготовка вариантов расчета становится трудоемкой процедурой, занимающей не один день. Несмотря на это, существующие алгоритмы отлично зарекомендовали себя в проектных задачах, когда ограничения по времени исполнения не такие жесткие.

Но представляется необходимым и разработка алгоритмов и программ, пригодных для непосредственного операционного контроля гидравлических систем, определения гидравлических и тепловых режимов при конкретном режиме работы насосов, заглушек и соединений. Это, конечно, еще не совсем нестационарность, но информация, необходимая для принятия решения о переброске потоков при аварии или при срочном ремонте, может требоваться в пределах 5-30 минут.

Оптимальная прокладка новых трасс, оптимизация расхода тепла, совместная работа теплосети крупного города (до 10 ООО труб и выше) - все это требует разработки очень надежного алгоритма решения задачи, причем решение должно происходить в режиме реального времени, то есть удовлетворять по времени технический персонал, занятый эксплутацией гидравлической системы.

Был разработан метод решения подобных систем, позволивший осуществлять контроль над рядом тепловых районов одновременно (до 10 ООО неизвестных). Была показана локальная липшицевость оператора задачи, не зависящая от близости к решению, и сходимость итерцион-ного метода решения задачи, также не зависимая от выбора начального приближения.

Оказалось, что в данной задаче необходимо применять именно метод нижней релаксации, а не просто метод последовательных приближений, который не обеспечивает в некоторых случаях сохранение лип-шецовости и тем самым не сходится к решению.

В качестве инструмента для обращения матрицы использовался метод Гаусса с выбором главного элемента, в случае прочти вырожденных матриц применялся барьерный метод Гаусса с выбором главного элемента.

Обратим внимание, что прямой ход метода Гаусса для линейной части матрицы необходимо проделывать всего один раз, кроме того, результат прямого хода представляет собой опять разреженную прямоугольную матрицу. Данное обстоятельство позволяет успешно работать с матрицами и, как следствие, с гидравлическими системами очень большой размерности.

Следует отметить, что почти вырожденные матрицы не являются экзотическими вырожденными случаями, а часто встречаются на практике, когда, например, в целях экономии ресурсов или при ремонтных работах отключаются целые микрорайоны города. В этом случае в "кольце" микрорайона поддерживается давление, но значимого потока, циркулирующего в "кольце", нет. Это приводит к практическому вырождению матрицы, т.к. всегда присутствует расход воды от потребителей и это задает стохастическую правую часть и обеспечивает ненулевой поток воды через систему труб.

Оказалось, что внешняя ( имеется ввиду внешняя относительно таких микрорайонов) гидравлика устойчива к всевозможным малым: правым частям, которые мы можем случайным образом задавать в отключенных микрорайонах. То есть можно сделать вывод, что решение гидравлической задачи устойчиво для практически вырожденных систем, что заслуживает отдельного рассмотрения с точки зрения вычислительной математики.

Получив распределение стационарных потоков в системе труб, необходимо перейти к следующей задаче - расчету нестационарных режимов. Учитывая кризисное состояние, в котором перманентно находятся гидросистемы городов, актуальность такого рода проблемы не вызывает сомнения. Любое нестационарное явление, не говоря уже.об ударных явлениях, чревато крупными авариями. Так, переход с летнего режима работы теплотрасс на зимний, более напряженный, представляет собой самый напряженный эксплутационный период.

Представляется возможным рассмотреть задачу о малых возмущениях относительно заданного распределения потоков в гидросистеме так же, как это было проделано в первой главе настоящей работы, и применить МКЭ, как это сделано для обменной модели в предыдущем

параграфе.

Предположим (да так оно и есть), что в гидросети реализуются некоторые нестационарные колебания, как-то колебания давления или колебания плотности газожидкостных фракций на перевальных точках системы труб. Мы не можем на настоящий момент строго поставить задачу относительно подобных колебаний, т.к во многом механика протекающих процессов еще не ясна. Но заметим, что нас интересует на первых шагах не детальное знание нестационарных сил, действующих на конкретных участках гидросистемы; это, кстати, не реально и в силу неточности задания характеристик гидросистемы и как следствие точности расчетов стационарных характеристик в пределах 5-10 процентов, а выделение опасных зон, в которых при заданных переключениях, возможны прорывы.

Тогда предполагая, что нестационарные возмущения относительно малы, мы можем рассмотреть гипотезу о малых возмущениях, распространяющихся по известному стационарному потоку (малые потенциальные возмущения).

Нас интересуют наиболее длинные волны, реализующиеся в системе, т.к. технологические решения при проектировании приводят к тому, что средние по длине волны фильтруются. В этом случае можно рассматривать комбинации лишь нескольких первых собственных функций предполагаемой задачи с неизвестными коэффициентами.

С другой стороны точная конечноэлементная постановка задачи гидроупругости, при учете лишь длинных волн приводит нас к задаче определения первых собственных функций для нестационарной задачи с малыми возмущениями относительно массовых расходов (поперечный волны не рассматриваются). Узловые множества этих собственных функций оказались геометрически устойчивыми при вариации стационарных расходов, не меняющей в целом конфигурацию гидросети, и, как оказалось, эти узлы совпадают с известными в эксплуатации, наиболее аварийными участками гидросетей. Отсюда был сделан вывод о том, что незнание коэффициентов в предполагаемом волновом уравнении описывающем глобальные процессы в гидросети не является фатальным для наших целей - определения зон с максимумом амплитуд давления.

Результаты расчетов, выявленные опасные зоны, совпали со статистикой аварий. Были также выявлены новые опасные участки гидросистемы - резервные линии, которые включаются лишь спорадически и используются для кратковременных технических работ или при авариях на других участках, но возможные аварии на самих резервных линиях, особенно в зимний период, могли привести к катастрофическим последствиям для города.

Программа расчета гидравлических режимов была внедрена в эксплуатацию и в настоящее время является составным элементом распределенной сетевой системы " Принципиальная гидравлическая схема предприятия", установленной в Управлении теплосетей города Омска.

Следующей рассмотренной нами задачей была частный случай задачи 1Ч-тел [38]. Нас интересовал вопрос, возможно ли и здесь выделить некие равновесные структуры, аналогичные узловым линиям собственных функций.

За отправную точку было взято представление системы уравнений как МКЭ аппроксимации некоторой задачи относительно функции, зависящей от точек, лежащих на мгновенных положениях стержней, соединяющих материальные точки.

Как было выяснено, имеется аналогия с конечноэлементной аппроксимацией некой нелинейной задачи относительно неизвестных функций координат, определенных на системе стержней, которые в свою очередь зависят от координат. Причем разделение силы, действующей на материальную точку, на. регулярную составляющую, зависящую от суммарного действия всех тел, и иррегулярную, определяемую ближайшим окружением, позволяет ограничить число связей и в общем случае. Мы действовали в некотором смысле обратно тому, как в методе прямых понижают размерность прострастранства, сводя краевую задачу в области к системе обыкновенных дифференциальных; уравне

НИИ.

Рассмотрение предельного случая статического равновесия приводит нас к уравнению Лапласа или к расположению гравитирующих материальных точек во взаимно уравновешивающих положениях. Оказывается, что для заданного объема (тела) и заданного количества точек возможно построить единственное решение удовлетворяющее принципу максимума потенциальной энергии.

Выяснилось, что подобное расположение характеризуется симметрией в сферических координатах, на координатных плоскостях сферических координат, вернее на склеенных прямоугольниках [0,27т] (поверхности цилиндра), мы получаем так называемые конфигурации [39], аналогичные конфигурациям Дезарга, Паскаля-Брианшона.

Удалось показать, что решение задачи о максимуме потенциальной энергии имеет и прикладное значение в задачах оптимизации. Рассмотрим задачу на поиск экстремума гладкой функции, когда значения функции известны в нескольких первоначально произвольно выбранных точках, лежащих в области определения функции или в области преполагаемого экстремума. Стандартный подход заключается в аппроксимации градиента функции и выборе новых точек, по направлению, определяемому градиентом [46]. Аппроксимация может быть как локальной - несколько точек вблизи текущего максимального значения, так и глобальной- при известной высокой гладкостию функции. Попытаемся рассмотреть аппроксимацию не градиента, а функции, то есть представим / в виде конечной суммы fh(x) = Щг^Мх) где х - вектор координат, в ¿-мерном пространстве, Vi - базисные функции, равные единице в точке Х{\ - значения функции / в соответствующей точке г.

Возможно ли подобрать такой базис, что градиент от конечной суммы будет "хорошо" аппроксимировать градиент функции /? На первый взгляд, вопрос, в силу своей всеобщности, кажется некорректным, но выбор в качестве базиса фундаментальных решений уравнения Лапласа в Rk может дать удовлетворительный ответ на данный вопрос. Конечно, функция уже не будет аппроксимироваться непосредственно в точках г, но градиент конечной суммы, индуцированный на точке с координатами х, будет достаточно точно аппроксимировать градиент искомой функции. Воздействие, или вклад функции-источника точки j на градиент в точке % очень мало отличается от воздействия облака распределенной массы со средним значением aj, конечно, при достаточном удалении точек друг от друга [47].

Следующим шагом в развитии алгоритма может служить сдвиг не одной точки по аппроксимирующему градиенту, как это делается в методе Ньютона, а одновременный сдвиг с ускорением всех точек, присутствующих в области или их части.

Таким образом, мы приходим к так называемой гравитационной аналогии, когда "материальные точки", где под массой понимается значение функции в текущих значениях точек, движутся по градиентам, аппроксимирущим градиент оптимизируемой функции.

Рассматривая дифференциальные уравнения динамики как аппроксимацию условий для гладкой функции /, определенной в области, удается показать, что аппроксимируюпщй градиент можно выразить в виде: \7/ + гД/, в случае, когда распределение точек в области определения функции подчинено принципу максимума потенциальной энергии. Здесь за г принято расстояние от рассматриваемой точки до центра масс ближайших соседей точки, откуда следует быстрая сходимость алгоритма при достаточно произвольном выборе начального приближения.

Была рассмотрена связь гравитационной аналогии с так называемыми генетическими алгоритмами и было показано, что представленный алгоритм является обобщением генетического в случае учета гладкости заданной функции.

Расчеты на ряде примеров, служащих тестами для алгоритмов оптимизации, показали пригодность и конкурентоспособность гравитационной аналогии. Алгоритм был применен в задаче определения треков элементарных частиц и в задаче подбора оптимального включения насосов для многоветочного нефтепровода.

Показано, что переход к гладким моделям возможно даст нам продвижение в направлении построения приближенных алгоритмов для очень сложных задач, например, продемонстрировано успешное применение алгоритма гравитационной аналогии к задаче Штейнера [48]. Результаты глав получили отражение в монографии [142].

В пятой главе, в большей степени являющейся техническим дополнением к предыдущим главам, представлены хорошо известные результаты, касающииеся непосредственно метода конечных элементов- вариационная формулировка краевой задачи, как опирающаяся на понятие функционала, так и на понятие уравнений Галеркина, аппроксима-ционные свойства метода конечных элементов, понятие об энергетической норме и процедуре Ритца.

На примере одномерной краевой задачи и на примере задачи расчета электростатического потенциала в тракте ЭГД устройства, продемонстрированы основные моменты реализации метода.

В заключение можно сделать следующие выводы.

Разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии научного направления связанного с созданием адаптируемых вычислительных моделей на основе метода конечных элементов, что имеет существенное значение для повышения эффективности, предсказуемости и координирования сложных процессов, построения конструктивно и энергетически оптимальных технических систем.

В диссертации была показана возможность адаптации метода конечных элементов к неконсервативным и несамосопряженным проблемам, к проблемам с выносом энергии из конечной области. Это потребовало детального рассмотрения нестандартных краевых условий - условий обобщенной периодичности (или условий Блоха), условий обобщенной периодичности с разрывом и условий на бесконечности, заданных в виде ряда, и включения всех этих условий в схему метода конечных элементов. В работе поставлены и решены следующие задачи:

- задача определения нестационарного дозвукового и трансзвукового обтекания решеток колеблющихся профилей;

- задача расчета электрогидродинамического течения в тракте электрогидродинамического насоса.

Для их решения разработаны специальные алгоритмы:

- работы с разреженными матрицами: формирования, хранения и обращения несимметричных матриц большой размерности;

- гибридизации МКЭ с конечноразностными методами, что включает в себя процедуры построения согласованных друг с другом конеч-ноэлементных и конечноразностных сеток и переинтерполяции промежуточных результатов;

- определения собственных чисел и собственных векторов для симметричных матриц метода конечных элементов представленных в специальном виде;

- определения условий потери определенности для несимметричных матриц.

Показано, что на основе применения метода конечных элементов и на основе рассмотренных выше моделей, можно построить эффективные аналогии для моделирования других сложных систем, как технических, так и естественных:

1. Построена модель параллельного функционирования и совместной активности системы с распределенными агентами ввода-вывода информации, использующая конечноэлементную дискретизацию по пространству и конечноразностную по времени;

2. Для решения гидравлических задач о расчете потокораспределе-ния в большой гидросистеме труб (сети теплотрасс, нефтепроводы) и для определения аварийно-опасных участков гидросети, были применены алгоритмы разработанные для конечноэлементных задач: алгоритмы формирования, хранения и обращения больших разреженных несимметричных матриц, гарантированно сходящиеся итерационные процедуры решения нелинейных систем уравнений, процедуры определения собственных векторов больших разреженных матриц.

3. Выделены и промоделированы особые режимы, соотнесенные с собственными значениями и собственными функциями конечноэлементных аппроксимаций или, более обще, с геометрией области:

- режимы акустического резонанса для случая нестационарного дозвукового обтекания колеблющейся решетки профилей;

- режимы возможных конечных перемещений ударной волны в задаче нестационарного трансзвукового обтекания колеблющейся решетки профилей, связанные с узловыми линиями первых собственных функций;

- вариация ритмов активности при изменении числа связей;

- узловые линии нестационарных длинноволновых процессов реализующихся в гидросетях больших размерностей;

- оптимальные режимы работы электрогидродинамического устройства.

4. Даны формулировки дискретных и полудискретных задач на экстремум, представленные в виде результата конечноэлементной аппроксимации некоторых непрерывных задач. Как следствие, получены новые качественные результаты и построены новые эффективные алгоритмы решения хорошо известных задач:

- решения задачи коммивояжера в Ик как поиска наиболее гладкой кривой аппроксимирующей набор точек;

- задачи определения максимума потенциальной энергии системы материальных точек, распределенных в заданном объеме, как резуль

PÖfCUG^I ГОС"г , я тат приближенного решения уравнения Лапласа с краевыми условиями Дирихле;

- задачи глобальной оптимизации с гладкой целевой функцией в виде динамики гравитирующих точек с переменной массой и конечным радиусом взаимодействия.

Совокупность решенных задач и разработанных алгоритмов позволяет сделать вывод о том, что метод конечных элементов может использоваться в задачах моделирования не только на этапе численной аппроксимации краевой задачи, поставленной для уравнения или системы уравнений математической физики, но и как самостоятельный математический инструмент в задачах, возможно даже и в дискретных, где выполняются законы сохранения и требования к экстремальности допускают механическую интерпретацию.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и основное ее содержание отражено в 39 научных работах.

Результаты диссертации докладывались на IX, X и XII Всесоюзных конференциях по аэроупругости турбомашин, на научных семинарах Центрального Института Авиационного Моторостроения им П.П. Баранова, на III, IV, V Международных конфренциях по электрофизике слабопроводящей жидкости, на Всероссийском Научно-техническом совещании г. Казань, на международной конференции -Soft Computing, Nagoya 1996 г., на Международной школе-семинаре в г Жуковский 1997 г., на международной конференции Оптимизация, город Омск, на международной конференции Аэроупругость Турбомашин в г. Fukuoka 1994 г., на Всероссийских семинарах по нейрокомпьютингу город Красноярск, на 2 и 3 Сибирских Математических Конгрессах город Новосибирск, на 2 Зимней школе по механике Института Гидродинамики СО РАН город Новосибирск, на семинарах Института Математики СО РАН, на семинаре Института Вычислительных Технологий СО РАН, на семинаре Института Гидродинамики СО РАН, на семинаре Института Информационных Технологий СО РАН, на семинаре Института Теплофизики СО РАН, на семинаре Института Теоретической и Прикладной Механики СО РАН, на семинарах Института Вычислительного Моделирования СО РАН, в Объединенном центре ядерных исследований г. Дубна.

Результаты диссертации внедрены в производство, так, например, программы расчета нестационарных аэродинамических сил в решетке профилей переданы в Центральный Институт Авиационного Моторостроения им П.П.Баранова, программа расчета гидравлических режимов в сетях теплотрасс внедрена в Управлении Теплотрасс города Омска.

Результаты работы использовались в научных .разработках по смежным темам: для оптимального проектрирования ЭГД устройств, для построения алгоритмов определения треков элементарных частиц в экспериментах средней энергии. На протяжении ряда лет материалы диссертации использовались при чтении специальных курсов в Омском государственном университете - "Моделирование сложных систем", "Вариационные методы в решении задач механики", и при проведении лабораторных занятий - "Создание пакетов прикладных программ".

1. Нестационарные трансзвуковые течения в решетках турбомашин.

1. Hrennikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method //J.Appl.Mech.,1941,8, p. 168-175.

2. Courant R. Variational method for solution of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc., 1943,49, p. 1-23.

3. Clough R.W. The finite element method in plane stress ananlysis // J. Struct. Div., ASCE, Proc. 2d Conf. Electronic Computation, p. 345-378.

4. Argyris J., Maraczek G. Potential Flow Analyses by Finite Elements // Ing. Arcive, 1972, 41, p. 1-25.

5. Jameson A. Transonic Flow Calculations for Airfoils and Bodies of Revolution. // Grumman aerodynamics report 39-71-1.

6. Jameson Transonic Potential Flow Calculations Using Conservation Form // Proc. Second AIAA Conf. Comput. Fluid Dyn., Hartford, June 1975, p 148-161.

7. Хабаси В., Хафез M. Расчет трансзвуковых течений МКЭ //Аэрокосмическая техника. Т. 1, 1983, 5, с. 58-68.

8. Whitehead D., Newton S. A Finite Element Method For The Solution Two-Dimension Transonic Flow.- Inter. J. Num. Meth. in Fluids, 1985, v. 5, p. 115-132.

9. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. M., Наука, 1982. 408;с.

10. Пападмитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация, алгоритмы и сложность. М.; Мир, 1985, 478 с.

11. Gorelov D.N., Kurzin V.B., Saren V.E. Unsteady flows in cascades. Novosibirsk: Nauka 1970, 342 p.

12. Gorelov D.N., Kurzin У.В., Saren V.E. Atlas of unsteady aerodynamic coefficients. Novosibirsk: Nauka, 1974, 249 p.

13. Парлетт Б. Симметрическая проблема собственных значений. М., Мир, 1983. 384 с.

14. Дж. Уилкинсон, Дж. Райнш Справочник алгоритмов на Алголе. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976, 415 с.

15. D.S.Whitehead, S.G.Newton 'A finite element method for the solving of two dimensional transonic flow in cascades' //Int. J. for Num. Meth. in Fluids, vol 5,ppU6 132(1985).

16. Рубашов И.Б., Бортников Ю.С. Электрогазодинамика М.: Атом-издат, 1971, 283 с.

17. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984, 321 с.

18. Бумагин Г.И., Файзуллин Р.Т. Особенности течения жидкости в ЭГД насосе в системе электродов игла-конус/ /Межвузовский сборник научных трудов. Теплофизические свойства рабочих тел и процессыкриогенной техники. Ленинград:ЛТПИ. 1988, с.56-62.

19. Дорфман Я.Г., Сергеев В.М. Нероморфогенез и модели мира в сетях нейронных процессоров// в кн. Интеллектуальные процессы и их моделирование М.: Наука 1987, с. 123-145.

20. ЗенкинГ.М., Петров А.П. Функциональная организация зрительного процесса и принцип гештальта //в кн. Интеллектуальные процессы и их моделирование М.: Наука 1987, с. 145-157.

21. Culloch Мс, Pitts W.S. A logical calculus of the ideas immanent in neurvos activity // Bull.Math.Biopliys.1943.Vol 5,N l.p. 115-133.

22. Human physiology (edited by R.F.Shimdt and G. Thews) SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York 1983, 430 p.

23. Wilson H.R., Cowan J.D. Excitatory and inhibitory interactions in localized populations of model neurons // Biophysical J.,1972, 12, p.l.

24. Wilson H.R. Mathematical models of neural tisuue // In : Cooperative Effects, Progress in Sinergetics (ed. H.Haken).- Amsterdam: North-Holland Publ.Co., 1974, p. 23 34.

25. AmariS. A mathematical approach to neural systems// In: Systems Neurosience (ed. J.Metzler)-New York Academic Press, 1977, p. 12 36.

26. Anninos P.A. The usefullness of artificial neural nets as model for normal and abnormal functioning of the mammalian CNS// Progress in Neurobiology, 1975 4, p.57.

27. Dimond S,J., Blizard D.A.(eds) Evolution and Laterization of the Brain, //Ann New York Acad, Sci., 299, 1977, p. 61 89'.

28. Moruzzi G. The sleep- walking cycle ( Neurobiology and neurochem of sleep and wakefulness ) // Ergebn. Physiol., 64, 1 ,1972, p. 22-35.

29. R.Durbin and D.Willshaw, An analogue approach to the aravelling salesman problem using and elastic net method // Nature 326 (1987) 689, p. 31.

30. Kisel, V.Kovalenko, Elastic net for broken multiple scattered tracks //Computer Physics Communications 98 (1996) p. 45-51

31. I Kisel, V.Neskromnii and G.Ososkov, Applications of Neural Networks in Experimental Physica //Phys.Part.Nucl. 24(6), November-December 1993, p 657.

32. Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей: Автореферат. дис. . д-ра техн. наук.- Новосибирск: Секция техн. наук Объед. уч. совета СО АН СССР, 1966- 98 с.

33. Хасилев В.Я., Меренков А.П., Каганович Б.М. и др. Методы и алгоритмы расчета тепловых сетей. М.: Энергия, 1978. 176 с.

34. Меренков А.П., Сеннова Е.В., Сумароков С.В. й др. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте- и газоснабжения. Новосибирск ВО: "Наука" Сиб. изд.фирма, 1992. 407 с.38: Laplas Mechanique celeste. Oeuvres, v.V,1846, p.420

35. F.Levi, Geometrische Konfigurationenen, Lpz., 1929

36. Астрономического календарь (постоянная часть), Ленинград: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 678 с.

37. Цесевич В.П. Фотометрический и спектральный каталога ярких звезд, Киев: Наукова Думка, 1979, 452 с.

38. Куликовский П.Г. Звездная астрономия. М.: Наука, 1985, 376 с. 43= В. А. Амбарцумян В сб.: Труды второго Совещания по космогонии М., 1953, с. 23-29.

39. П. Н. Холопов Сообщения ГАИШ 1979, с. 205.

40. Ю. Н. Ефремов Молодые звездные группировки, //d кн.;: Звезды и звездные системы. М.: Наука, 1981.

41. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е изд. М.: Главная редакция физ. мат.лит. изд-ва Наука, 1977. 744 с.

42. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975 392с.

43. Gilbert E.N., Pollak Н.О., Steiner minimal trees //SIAM Journal of Applied Mathematics, 16, 1 (1968), p. 1-29.

44. Pandolfi M. Numerical experiments on unsteady flows through cascades //"Commun. Inst. Therm, appl. Ec polytechn.fed. Lausanne". 1981, 10 : Aero elasticity Turbomach. Proc. 2 Int.Symp., Lausanne, Sept. 8-12, 1980, p. 201-215.

45. Идиятуллина Ф.Л., Старцев A.H. Обтекание решетки колеблющихся профилей сжимаемым потоком //в кн.: Аэроупругость лопаток турбомашин. Тр./ЦИАМ, 1983, 1064, с. 7-22.

46. Гнесин В.Й., Соколовский Г.Л., Солодов В.Г. Численный метод решения прямой прямой задачи о пространственном течении газа через венец осевой турбины // Проблемы машиностроения, 1980, вып.11, с. 90-96.

47. Вер дон Д., Каспар Д. Обтекание дозвуковым потоком колеблющейся решетки, отклоняющей поток на некоторый средний ненулевой угол // Ракетная техника и космонавтика, т. 18, 6, 1980, с. 76-87.

48. Caspar J.R., Verdon J.M. Numerical treatment of unsteady subsonic flow past on astillating cascade. // AIAA Journ., 1981, v.19, 12, p. 15311539.

49. Verdon J.M., Caspar J.R. A linearized unsteady aeiodynamic analysis for transonic cascades' //J. Fluid Mech. vol 19,pp. 403-429, 1984.

50. Whitehead D.S. , Grant R.J. Force and moment coefficients for high deflection cascade. //"Commun. Inst. Therm, appl. Ec polytechn.fed. Lausanne". 1981, 10 : Aero elasticity Turbomach. Proc. 2 Int.Symp.,1.usanne, Sept. 8-12, 1980, p. 180-196.

51. Whitehead D.S. 'The calculation of steady and unsteady transonic flow in cascades', //Cambridge University Engine- ering Department. Report CUED/A-TUrbo /¿r, 1982

52. Whitehead D.S. 'A finite element solution of unsteady flow in cascades', //Int. J. for Num. Meth. in Fluids, vol 10^13 34(1990).

53. Фикс Дж., Стренг Г. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977, 349 с.

54. Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981, 344 с.

55. Уманский С.Э., Дувидзон И.А. Автоматическое подразделение произвольной области на конечные элементы //Проблемы прочнсоти, 1977, 6, с. 89-92.

56. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962, т.2 -640 с.

57. Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963, 489 с.

58. Курзин В.Б. О собственных колебаниях газа, обтекающего решетку пластин //ПМТФ, 1969, 5, с. 68-75.

59. Курзин В.Б. О затухающих колебаниях газа, обтекающего решетку пластин //Изв. АН СССР, МЖГ, 1970 5, с. 84^88.

60. Сухинин C.B. Некоторые вопросы теории собственных колебаний газа около периодической решетки //Численные методы механики сплошной среды: Сб. научн. тр./АН СССР, Сиб. отд., вычислительный центр, ИТПМ, 1981, т.12,5, с. 140-147.

61. Сухинин C.B. Обоснование модели колебаний газа, обтекающего решетку пластин //Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр./АН СССР, Сиб. отд., ИГ,1982, вып.56, Динамика неоднородной жидкости, с. 152-160.

62. Файзуллин Р.Т. Расчет методом конечных элементов нестационарных аэродинамических характеристик решеток в дозвуковом потоке идеального газа//Аэроупругость турбомашин.Труды междунар. конф., Новосибирск:ИГ СО РАН, 1984, с.57-64.

63. Файзуллин Р.Т.Расчет методом конечных элементов дозвукового течения идеального газа через решетку колеблющихся профилей//Аэроупругость турбомашин. Тр. ЦИАМ 1127.1985, вып.З, с. 230234. .

64. Курзин В.Б., Файзуллин Р.Т. Определение собственных частот колебаний дозвукового потока газа, обтекающего решетку произвольных профилей // Тез. докл. X Всесоюзн. конф. по аэроупругости турбомашин. Суздаль:ЦИАМ, 1985, с. 11-12.

65. Курзин В.Б., Файзуллин Р.Т., Юдин В.А.Теоретическое исследование нестационарных сил, действующих на лопасти турбома-шины в потоке газа// Техн.отчет. Новосибирск:ИГ СО АН СССР (02.87.0087996 07.10.87 ГР 01860075782), 1987, -47 с.

66. Файзуллин Р.Т.Расчет внутренних трансзвуковых течений//Тез. докл.Всесоюзн. сем. "Проблемы физико-химических взаимодействий в МСС". УжгородгИМ МГУ 1989, с. 46.

67. Файзуллин Р.Т.Расчет МКЭ нестационарного трансзвукового течения в решетке колеблющихся профилей//Тез. докл. 12-ой Всесо-юзн.конф. по аэроупругости турбомашин. Севастополь:ЦИАМ 1991, с.3-4.

68. Файзуллин Р.Т. Нестационарное трансзвуковое обтекание решеток телесных профилей//Динамика сплошной среды.Новосибирск:ИГ СО РАН. 1992, 105, с.257-262.

69. Faizullin R.T., Tolstukha A.S. 2 and 3 dimensional unsteady calculations in cascades//Proceedings of the 7th Int.Symp. on Unsteady Aerodynamics and Aeroelasicity of Turbomashines.Japan. 1994, pp. 39 -54.

70. Михлин С.Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям. //ДАН СССР, 1953, т. 91, 4, с. 723-726.

71. Файзуллин Р.Т. Существенно нестационарные трансзвуковое течение в решетке турбомашин с возможной конечной вариацией ударной волны // Тез. 10 межд. н-т конф. по компрессорной технике, Ка-зань:КАИ, май 1995, с. 123-128.

72. Мицкевич П.К. Казацкая Л.С. Исследование распределения потенциала в жидких диэлектриках методом эффекта Керра //ЭОМ, 1968, 2. с. 71-74.

73. Полянский В.А., Вартанян A.A., Долгов А.Э. Программа расчета одномерных электродинамических течений слабопроводящих жидкостей //Отчет Ин-та мех. МГУ, 1988. 3640

74. Стишков Ю.К., Остапенко A.A., Рычков Ю.М., Объемный заряд и ЭГД течения в симметричной системе электродов // ЭОМ, 1982, 1. с. 59-61.

75. Вартанян A.A., Гогосов В.В., Полянский В.А., Шапошникова Г. А. Теория электростатической ячейки с плоскими электродами в сла-бопроводящей жидкости. Численное моделирование и анализ экспериментальных данных //Отчет Ин-та мех. МГУ, 1987 3485.

76. Полянский В.А., Вартанян A.A., Долгов А.Э., Панкратьева И.Л. Исселдование влияния параметров поверхностных электрохимических реакций на развитие электродиниамических течений //Отчет Ин-та мех. МГУ, 1989. 3871

77. Стишков Ю.К., Остапенко А.А., Электродинамические течения в жидких диэлектриках. JL: Изд-во ЛГУ, 1989, 236 с.

78. Полянский В.А., Вартанян А.А., Сахаров В.И. Панкратьева И.Л., Долгов А.Э. Исследование движения сред, взаимодействующих с электромагнитным полем // Отчет Ин-та мех. МГУ, 1990, 3934

79. Бумагин Г.И., Авдеев Н.П., Дудов А.Ф., Борисов В.А. Исследование ступени ионно-конвективного насоса с питанием короны с пульсирующим напряжением // Изв. ВУЗов, Энергетика, 1984, 11. с. 60-64.

80. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1982, 435 с.

81. Hopfield J.J., Tank D.W., "Neural" computation on decisions inoptimization problems Biol. Cybern. 58 (1988) 63.

82. Блохинцев Д.И. Квантовая механика. М.: Наука, 1980, 346 с.

83. Мельников В.В., Файзуллин Р.Т., Конечно-элементное моделирование совместной активности многослойной новой 1789-В95 коры и лимбической системы.//Тез. докл. 3 Всероссийский семинар Нейроин-форматика и ее приложения, Красноярск:ВЦ СО РАН, окт.1995, с. 39.

84. Faizullin R.T. An Attempts of the Simulation of Large-scale Brain's //Abs. book Activity the Session on Neural Networks of the Computer Applications Symposium, Neural Networks Session, ETCE '97 Huston December 97, p. 258.

85. Хорн Б. К.П. Зрение роботов. М.: Мир, 1989, 234 с.

86. Тьюарсон Т. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977, 189 с.

87. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженныхсистем уравнений. M., Мир, 1984, 333 с.

88. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. В кн.: Методы вычислительной математики.// АН СССР, Сиб. отд., Вычислительный центр. Новосибирск; Наука, 1975, 277 с.

89. Файзуллин Р.Т. Расчет обтекания решетки профилей потоком идеального газа Деп. ВИНИТИ, Омск:СибАДИ, 20.07.1983, -11с.

90. Файзуллин Р.Т., Холмянский И.А. Об одном эффективном способе решения системы уравнений Деп. ВИНИТИ, Омск: СибАДИ, 20.07.1983, -22 с.

91. Durbin R., Willshaw D., An Analogue Approach to the Travelling Salesman Problem Using an Elasting Net Method //Nature 326 16 April (1987) p. 689.

92. Гэри M., Джоносон Д. Вычислительные машины и труднореша-емые. задачи М.: Мир, 1982, 420 с.

93. Martin-Lof P. The definition of random sequences //Information and Control, 9, p. 602-619, 1966.

94. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных величин. М.: Мир, 1989, 440 с.

95. Толстов Г.П. Ряды Фурье М.: Наука, 1980, 320 с.

96. Бородюк В.П. Внимание конфликт! M.: Мир, 1983, 204 с.

97. Курант Р., Гильберт Г. Методы математической физики т.2, 486 с.

98. Построение территориальной выборки для организации социального мониторинга в социально-трудовой сфере. Формирование сети респондентов для проведения опросов // Отчет по теме: х/д N 18-94 от 12.09.94. ГЭПИЦентр, Омск, 1995.

99. Файзуллин Р.Т. О решении нелинейных алгебраических систем гидравлики // Сибирский журнал индустриальной математики 1999, Новосибирском СО РАН, том 2, N 2, с. 176-184

100. Дубошин Т.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. Изд. 3-е, доп., М.: Наука, 1975, 643 с.

101. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики, том 2, Минск:Вышэйш. школа, 1975, 523 с.118. wwwned.icdca.caltex.edu

102. Faizullin R.T. An Approximations for Genetic Algorithms and Star's Pattern // 1 st On-Line Internet Conference of Soft Computing, Nagoya, Japan, 19-30 Aug 1996. 77-82.

103. Файзуллин P.Т. Массобмен в облаке глобул //Фундаментальная и прикладная математика. Сб. научн. тр. /Под ред. А.К.Гуца. ОмскЮмский гос. ун-т, Вып.1, 1994, с. 142-145.

104. Файзуллин Р.Т. Конечноэлементные аналогии при моделировании нестандартных сплошных сред //Тр. XIV сессии Международной школы по моделям сплошной среды, Москва:МГУ, 1998. с. 233-238.

105. Файзуллин Р.Т. Мельников В.В Моделирование активности крупных разделов мозга //Математические структуры и моделирование. Сб. научн. тр. /Под ред. А.К.Гуца. ОмскгОмский гос. ун-т, Вып.4, 1999,. с. 89-97.

106. Марочник Г.И. Галактика М.: Мир, 1982, 346 с.

107. More J.J., Garbov B.S., Hilstrom K.E. //Testing unconstrained optimization software, TOMS 7, p. 17-41

108. Muhlenbein Heinz it Genetic algorithms // Local Search in Optimization / Edited by E. AArts and J. K. Lenstra. 1997, p 34-58.

109. Goldberg David E. it Sizing Populations for Serial and Parallel Genetic Algorithms. // The Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms. California, 1989, p 23-56.

110. Пляскина Т.А., Файзулин P.T. Расчет течения вязкой жидкости конечноразностным методом// Техн.отч., (инв.номер 0284.0081886 1984 ГР 79041584), Омск:СибАДИ, 1984, -34 с.

111. Жихалкина Н.Ф., Файзуллин Р.Т. Гравитационные и генетические аналогии в задаче безусловной оптимизации //Тез. докл. Меж-дунар. конф. "Методы оптимизации и экономические приложения",Омск:ОмГУ, июль 1997.

112. Жихалкииа Н.Ф., Файзуллии Р.Т. Гравитационные и генетические аналогии в задаче оптимизации //Математические структуры и моделирование. Сб. научн. тр. /Под ред. А.К.Гуца. Омск:Омский гос. ун-т, Вып.2, 1998, с. 60-76.

113. Жихалкина Н.Ф., Кисель И.В., Назаренко М.А., Файзуллин Р.Т. Гравитационный метод безусловной глобальной оптимизации // Сообщение (препринт) ОИЯИ Р5-97-255, Дубна, 1997, -14 с.

114. Gilbert E.H., Pollak Н.О. Steiner minimal trees //SIAM Journal of Applied Mathematics, 16, 1, 1968, p. 1-29.

115. Келдыш M.В. О методе Галеркина для решения краевых задач //Изв. АН СССР, сер. матем., 6 (1942). с. 309-330.

116. Вайникко Г.М. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений //ЖВМ и МФ, 4, 3 (1964).

117. Вайникко Г.М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений. //ЖВМ и МФ, 7, 5 (1967).;

118. Файзуллин Р.Т., Александров A.A. Расчет полей напряжений и температурных полей методом конечных элементов //Омский политехнический институт метод, указания, ОмскЮМПИ, 1993, -38 с.

119. Головко Т.И., Радзивилловский В.И., Пляскина Т.М, Толстуха A.C.,.Файзуллин Р.Т. Экспериментальные и численные исследования и разработка комплекса программ расчетов узлов двигателя// Техн.отч.,инв.номер 0286.0088716 17.06.86), Омск:СибАДИ, 1986, -76 с.

120. Гуц А.К.,Капотина Т.Н., Семенюк В.М, Файзуллин Р.Т. Математическое обоснование к использованию корней фронтальных зубов, разрушенных ниже уровня десны, под штифтовые конструкции Деп. ВИНИТИ, ОмГУ,21.06.95 ОмскЮмМедА, 1995, -22 с.

121. Файзуллин Р.Т. Конечноэлементные аппроксимации и аналогии. Омск: Омский гос. ун-т, 1999, -117 с.

122. Файзуллин Р.Т. Федоров C.B. Быстрое распознавание образов при распределенном по времени поступлении информации. Деп.ВИНИТИ 1340-В96, 24.04.1996, Омск:СибАДИ, 1996 -16 с.

123. Жихалкина Н.Ф., Логинов К.В., Семин С.Л., Файзуллин Р.Т. Поиск оптимальных режимов работы больших гидросетей и нефтепроводов. ОмскЮмский гос. ун-т, 1999, -96 с.