автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Компьютерные методы анализа линейных динамических систем

На правах рукописи

БАЛОНИН Николай Алексеевич

11111111111111111111111

003168346

КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

О 3 №? 2008

Санкт-Петербург - 2008

Работа выполнена на кафедре вычислительных систем и сетей государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

Научный консультант

доктор технических наук, профессор Сергеев Михаил Борисович Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Флегонтов Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Веремей Евгений Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор Михайлов Владимир Борисович Ведущая организация.

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им В И Ульянова (Ленина)

Защита состоится 23 апреля 2008 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 232 50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета Автореферат разослан-,^' 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Распространение персональных вычислительных машин приводит к появлению новых компьютерных методов анализа и обработки информации Этому в немалой степени способствует становление известных в мировой практике пакетов численного анализа, символьных вычислений, структурного моделирования MATLAB, Maple и др Последнее время возрастает влияние сетевых технологий, способствующих распространению и накоплению знаний. Компьютер становится существенной частью научного исследования, выполняя многочисленные задачи анализа и синтеза систем, включая визуализацию результатов научного эксперимента Все это сказывается, в свою очередь, на теории и методах обработки информации, куда проникают подходы, сложившиеся на основе обширной вычислительной практики

В диссертации рассматривается направление, связанное с так называемым ганкелевым экспериментом над объектом моделирования, когда время подачи воздействия на динамическую систему и наблюдение реакции на него разделены При этом, благодаря вычислительному устройству легко выполняются некоторые необходимые манипуляции с накапливаемыми выборками сигналов, такие, как инверия выборки реакции во времени и выработка нового управляющего сигнала на основе нормирования полученной выборки Теоретическое обоснование целесообразности ганкелевых экспериментов возникло ввиду последовательного развития теории динамических систем в девяностых годах на базе изучения ганкеле-ва оператора и его применений Такие понятия, как ганкелева норма передаточной функции, ганкелевы сингулярные числа и др широко используются ныне при решении задач аппроксимации и редукции, при синтезе робастных систем управления методами -теории, при решении задач идентификации моделей динамических систем Численные алгоритмы вычисления ганкелевой нормы передаточной функции, ганкелевых чисел, ганкелевых функции, канонической формы Мура и другие реализованы в широко распространенной системе MATLAB

В теории ганкелева эксперимента бесконечный интервал времени заменяется конечным, причем входной или выходной сигнал рассматриваются в инверсном времени В таком случае удается учесть не только ограничение на интервал времени, но и использовать аппарат соответствующих собственных функций Собственные и сингулярные функции ганкелева оператора находятся распространенными пакетами математического моделирования, такими, как МАТЬАВ, при известном математическом описании объекта. В то же время для практики (в особенности, в условиях натурного эксперимента) типична ситуация, когда математическое описание реального объекта известно недостоверно, либо вообще неизвестно Тем самым, математическая теория развита в относительно узких пределах постановки ганкелева эксперимента с объектом - даже небольшие условия изменения его приводят к тому, что существующий математический аппарат становится непригодным и требуется создать более детальное математическое описание

Указанными обстоятельствами определяется актуальность разработки новых подходов, позволяющих систематизировать и исследовать возникающие при этом достаточно сложные математические задачи, дать на основе новых математических моделей рекомендации к проведению натурных экспериментов с одно-связными или многосвязными динамическими объектами

Цель исследования. Целью настоящей диссертационной работы, соответственно, является обобщение известных компьютерных методов анализа линейных динамических систем с выработкой новых теоретических подходов, формирование существенно новых методов, алгоритмов и реализующего их программного обеспечения Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи-

1 Расширение и систематизация состава линейных операторов, близких к ганкелевому, на основе признаков их симметрии

2 Разработка аналитических и численных методов поиска собственных и сингулярных чисел и собственных и сингулярных функций выделенных систематизированных операторов динамических систем

3 Выявление связи классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических моделей динамических систем на ограниченном интервале времени

4 Исследование возможности поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций для односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом при неизвестном математическом описании объекта.

5 Разработка новых численных методов идентификации динамических систем, в том числе, на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций

6 Разработка современных методов анализа и синтеза адаптивных систем и визуализации научного эксперимента с целью повышения качества исследований

Методы исследования. При исследовании аналитических моделей собственных и сингулярных функций динамических систем в работе использованы матричные методы, методы вариационного исчисления, методы анализа динамических систем в частотной области При разработке алгоритмов и методов идентификации используются численные методы линейной алгебры.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность результатов исследований обеспечиваются корректностью применяемого математического аппарата, использованием нескольких независимых подходов к изучаемым вопросам, включая аналитические и численные методы с апробацией итогов проведенной работы в научных журналах и на международных конференциях

Научные результаты, выносимые на защиту.

1 Проведено исследование математических моделей экспериментов, близких к ганкелевому, и проведена систематизация соответствующих ассоциированных с динамической системой обобщенных операторов на основе признаков сим-метрий

2 Предложен флип-метод поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени

3 Разработаны матричные численные методы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем

4 Разработан частотный метод поиска собственных и сингулярных чисел и функций динамических систем с использованием частотной модели флип-оператора. Получены аналитические выражения для характеристических уравнений, собственных и сингулярных функций элементарных звеньев (интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих)

5 Показана связь классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени

6 Построены алгоритмы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом

7 Разработаны численные методы идентификации динамических систем на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем

Научная новизна работы.

В диссертации существенно расширен состав компьютерных экспериментов, сходных с ганкелевым Учитывается также, что математическая модель линейного динамического объекта может быть известна недостоверно Использование существующего математического аппарата и программного обеспечения в таких случаях затруднено или невозможно Все выносимые на защиту положения нацелены на преодоление отмеченных сложностей и имеют научную новизну

Практическая ценность и реализация. Предлагаемая методология имеет широкую сферу практического применения при решении задач технической диагностики и идентификации динамических объектов различных классов Она позволяет существенно повысить эффективность проведения научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ Практическая ценность результатов работы состоит в их реализации в виде современных компьютерных инструментальных средств специализированного пакета VISUAL MATLAB и па-

кета МАЬАВ он-лайн для решения научно-исследовательских задач в сети, опубликованных на сайтах Ехропегйа ш (дистрибутора МАТЪАВ в России), EqWorld (Мир математических уравнений) Сопровождающий пакет научно-образовательный портал аЛврЬ сот внесен в реестр федеральных порталов на сайте Министерства образования и науки и доступен широкому употреблению

Результаты работы использованы также в научных отчетах по исследованию фундаментальной проблемы формировании основ математической теории функциональной диагностики динамических систем в рамках научных работ Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ)

Апробация работы. Основные научные и практические результаты диссертационной работы были представлены и одобрены на отечественных и международных конференциях и семинарах, в том числе на Второй Российско-Шведской конференции 1995 года, на Международных научно-технических конференциях ДИМЭБ по диагностике, информатике, метрологии, экологии и безопасности (1995-1998 гт. Санкт-Петербург), на конференциях того же уровня по проблемам логико-лингвинистического управления динамическими объектами (ООЬЪС 1999-2001 гг., Санкт-Петербург), на конференциях в городах Москва, Саранск, Алушта, и др и на теоретических семинарах кафедр вычислительной техники и сетей СПбГУАП, теоретической кибернетики СПбГУ, на семинарах институтов РАН Машиноведения и СПИЙРАН в 2001-2005 г Помимо прочего результаты диссертации регулярно апробировались в рамках отчетов по проекту Минобразования 01-01-00011 и грантов РФФИ за номерами 95-0100044, 96-01-14088, 98-010011, 04-01-00464 за 2004-2006 гг

Публикации. Основные результаты диссертации изложены самостоятельно и в соавторстве в 3 книгах и 42 других публикациях (из них 12 опубликованы в периодических изданиях, входящих в перечень ВАК), в том числе имеется 5 авторских свидетельств на изобретения

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 141 наименование, и приложения Работа изложена на 207 страницах, содержит 40 рисунков и 3 таблицы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формируются цели и выделяются задачи, решаемые в работе

В первой главе проводится обзор основных понятий, используемых в диссертации, рассматриваются определения сингулярных чисел и функций ганкелева оператора линейной динамической системы, поясняется метод их нахождения, не требующий знания математического описания объекта, приводится описание ганкелева эксперимента с объектом, рассматриваются его математические модели, а также модели ганкелевых функций Ставится расширенная постановка задачи на проведение ганкелева эксперимента Описывается применение сингулярных чисел в задачах идентификации Приводятся также сведения по идентифицируемости систем как части компьютерного системного анализа

Можно выделить два подхода к нахождению собственных и сингулярных функций ганкелева оператора - аналитический и экспериментальный Аналитические методы опираются на формулы, для их применения необходимо знать матрицы описания модели в пространстве состояний либо матричную импульсную характеристику объекта Если же математическое описание исследуемого объекта неизвестно, то аналитические методы непосредственно неприменимы В таких случаях следует использовать практический подход, предполагающий разработку методов определения ганкелевых собственных и сингулярных функций путем проведения некоторых вход-выходных экспериментов над объектом

Таким образом, решаемая в диссертации проблема состоит в разработке математических и алгоритмических основ ганкелева эксперимента и экспериментов, которые в определенном смысле близки к ганкелевому.

Вторая глава имеет цель описать и систематизировать ряд операторов, ассоциированных с линейной динамической системой, обладающих разными видами симметрии При этом наряду с обычной рассматривается симметрия ганкелева и теплицева типа, а также некоторые виды скрытой симметрии.

В линейной алгебре и теории операторов существуют мультипликативная и аддитивная процедуры выделения симметричных частей линейных операторов Первая из них использует представление оператора в виде суммы симметричной и кососимметричной составляющих, вторая опирается на полярное разложение

Показывается, что для линейных динамических систем обе процедуры могут быть выполнены с помощью так называемого флип-оператора, осуществляющего переход к обратному времени Комбинирование результатов обеих процедур позволяет получить на основе одного исходного оператора, например, оператора свертки, семейство линейных операторов, обладающих разными типами симметрии Сначала рассматривается мультипликативной подход к выделению симметричной части линейного оператора, опирающееся на полярное разложение операторов А ~Ну О] - 02Н2, где А - исходный оператор, О, и 02 - ортогональные (изометрические) операторы, Нл и Н2 - симметричные или самосопряженные операторы такие, чтоН^АЛ", Н* =Л"Л, О, -Н~1А, 02 -АЩ1

Симметричные операторы //, и Н2 наследуют ряд свойств оператора А, в частности имеют те же сингулярные числа (и, следовательно, спектральные нормы), а их сингулярные функции связаны простой зависимостью

Подход иллюстрируется на примере оператора свертки 5, когда линейный стационарный объект описывается формулой

I

у(0 = Яи(0== 1ф-т)и(т)(к, (1)

о

где 5 - оператор свертки, - его импульсная весовая функция,

"(О.ЯОеЬ2(0,Т) - входные и выходные скалярные сигналы, определенные на ограниченном интервале (е (0,Т).

Рассматриваются также упрощенные зависимости, получаемые после приведения уравнений динамического объекта к дискретной матричной форме у=<5и, где и = («(г0),м(г,), ,и(г„))т и у = ,у(^))т содержат вы-

борки входного и выходного сигналов, взятые с шагом А; г0 =0, £м=Т, й=ТЖ, а ненулевые элементы <2 пропорциональны отсчетам весовой функции е/(/)

fq{t,) 0 q(tx) q(t0)

0 \ о

Q = /г

(2)

V

Фы) <7<Xv-i) ■■■

/

Матрица Q является теплицевой и, следовательно, симметричной относительно побочной диагонали. В диссертации показано, что она может быть представлена в виде произведения ганкелевой и перестановочной матриц. Соответствующие представления для оператора свертки имеют вид S =Я, F = FH2, где F -оператор, осуществляющий перенумерацию отсчетов сигнала в обратном порядке; Я, и //, - симметричные операторы ганкелева типа.

Технически реализация указанных ганкелевых операторов осуществляется добавлением к входу или к выходу динамической системы блока, отвечающего оператору зеркального отображения функции во времени относительно середины временного интервала (0, Т). Оператор, осуществляющий переход к обратному времени, далее называется флип-оператором (от анг. flip - разворот) и обозначается буквой F.

Флип-оператор не меняет энергии преобразуемых сигналов, а также их классических норм, что позволяет образовывать с помощью флип-оператора F эквивалентные по норме комбинированные операторы типа FS , SF, FSF . Отмечается, что к операторам, изометрически эквивалентным исходному, относится и сопряженный оператор

S* = FSF.

(3)

Приведенная на рис. 1 диаграмма характеризует набор комбинированных операторов и указывает тип их симметрии.

Пре-флип

Оператор свертки

Пре-флип

Р

Сопряженный оператор

Пост-флип

Рис. 1. Взаимосвязь комбинированных операторов.

Аддитивное симметрирование систем. Альтернативный подход к выделению симметричной части произвольного линейного оператора основан на представлении его в виде суммы симметричной М и кососимметричной К частей. Применительно к оператору свертки указанное разложение имеет вид

Б = М + К, М=(5 + Г)/2, £ = (5-5*)/2. (4)

где М = (5 + ¥$К)!2, К = (5 - 2.

Структурная реализация оператора М поясняется рис. 2. Через и и у на ней обозначены входной и выходной сигналы исходного объекта, через V и и/ - соответствующие сигналы сопряженного объекта. Для структурной реализации оператора К сумматор на рис. 2. заменяется вычитающим устройством.

Наряду с операторами М и К симметрией обладают операторы РМ =(FS + 5/-')/2 и Г К - (га - 5Т')/2, последний из которых имеет структуру скобки Пуассона операторов Р и 5.

Рис. 2. Реализация комбинированного оператора М .

Формула, описывающая традиционное разложение 8=М + К, использует симметрию и кососимметрию составляющих относительно главной диагонали матриц дискретного представления операторов. Другие разложения получаются выделением симметричных и кососимметричных частей матриц относнтельно вертикальной и горизонтальной осей, а также относительно побочной диагонали: Б = М2+К2, 5 = где М, =(5+ 5Г)/2, Г, = (5-БК)/!,

М2 =(5 +Л?)/2, К2 =(5-га)/2,М3 = 5, К3=0.

Анализ видов симметрии позволяет проводить редукцию задачи на поиск норм или собственных функций операторов заменой сложных операторов М ,К на более простые М1,К1 или М2,К2, и заменить схему рис. 1 более простыми в реализации схемами, изображенными на рис. 3.

а) б)

Рис. 3. Симметрирование: а) - по входу, б) - по выходу.

К особому виду редукции можно отнести разнесение интервалов управления и наблюдения во времени на взаимно непересекающиеся отрезки Этот путь удваивает семейство ассоциированных с линейным динамическим объектом операторов при сохранении указанных признаков симметрии и схем структурной реализации Процедуры моделирования операторов, ассоциированных с линейной динамической системой, иллюстрируются на примерах

В третьей главе спектральные свойства линейных динамических систем на ограниченном интервале времени анализируются детальнее Исследуются сингулярные функции операторов типовых динамических звеньев, трансцендентные характеристические уравнения, парциальные спектры сингулярных функций

В главе показывается, что сингулярные числа оператора свертки, рассматриваемого на интервале длительности Т, образуют дискретное множество, точки которого расположены на классической непрерывной АЧХ Чем протяженнее интервал Т, тем плотнее будут линии дискретного операторного спектра

В отношении спектральных характеристик оператора свертки исследуются три основные задачи

Первая из них состоит в получении характеристического уравнения (или совокупности уравнений) для сингулярных чисел оператора свертки

Вторая задача связана с поиском аналитических соотношений между сингулярными числами и сингулярными функциями

Третья задача состоит в поиске характеристик сингулярных функций оператора свертки и установлению их связи с классическими

Исследование разбивается на три этапа изучение качественных закономерностей спектральных характеристик линейных динамических систем на ограниченном интервале времени, изучение парциальных частот гармонических компонент сингулярных функций и их локализация (подобно кругам Гершгорина, но для парциального спектра сингулярных функций); разработка численных алгоритмов и графо-аналитических методов нахождения спектральных характеристик

Рассматривается линейная стационарная динамическая система с одним входом и одним выходом, описываемую уравнениями в пространстве состояний

х(г) = Ах(/) + Ви(0,

у(0 = Сх(0,

(5)

где х е К" - вектор состояния, А,В,С - постоянные матрицы; и{(), - входной и выходной скалярные сигналы, 0 < £ < Т

Оператор свертки 5 характеризует отображение множества входных сигналов, воздействующих на систему на интервале времени (О, Т), в множество выходных сигналов, рассматриваемых на том же самом интервале Он задается формулой (1), в данном случае импульсная весовая функция динамической системы

= В работе используется флип-оператор F зеркального инвертирова-

ния во времени функции /(/), заданной на интервале (О, Т) Он описывается зависимостью /7/'(0 = /(Т-г)

Каждая из сингулярных функций оператора свертки динамической системы представляет собой линейную комбинацию конечного числа гармонических сигналов - модальных компонент некоторой динамической системы удвоенного порядка Совокупность частот этих компонент будем называть парциальным спектром сингулярной функции

Функции и gl(í), удовлетворяющие операторным уравнениям

будем называть левыми и правыми сингулярными функциями оператора свертки 5, отвечающими сшпулярному числу а, =| X, |

Вещественный коэффициент X.,, который может быть как положительным, так и отрицательным, будем называть алгебраическим сингулярным числом

(6)

Показывается, что левая и правая сингулярные функции /¡(0 и ^(^оператора свертки, отвечающие простому сингулярному числу с,, удовлетворяют условию зеркальной симметрии fí (г) = ±gí (Т - г) Каждая из сингулярных функций линейной системы на бесконечном интервале времени представляет собой синусоиду, т е является моногармоническим сигналом На конечном интервале времени структура сингулярной функции заметно усложняется и в ее состав входит несколько гармоник различных частот, то есть она становится полигармоническим сигналом Общее число таких гармоник равно и, а совокупность их частот образует парциальный спектр сингулярной функции

Точнее состав этого спектра описывает следующая теорема Теорема о парциальном спектре Для минимально-фазовой системы с передаточной функцией <2(р) -Ь(р)! а(р) правые и левые сингулярные функции оператора свертки представляют собой линейные комбинации конечного числа гармоник \(г), й2(г), , /¡„(О

Вид гармоник, отвечающих сингулярному числу о, определяется корнями характеристического уравнения а2а(р)а(-р) + Ь(р)Ь(—р) = 0 Парциальный спектр сингулярных функций находится из уравнения, в которое входят только четные степени р, поэтому расположение его корней на комплексной плоскости характеризуется центральной симметрией относительно начала координат

Общее число корней равно 2и, после их попарного объединения получаем п гармоник, которые входят в состав правых и левых сингулярных функций Парам чисто мнимых корней отвечают круговые гармоники й, (¿) = а^т(т) + ¿,сол'((йО, парам чисто вещественных - гиперболические к] (г) = Ш) + ЪрЫсй)

Сингулярное число о входит в характеристическое уравнение как параметр Если его значение заранее не известно, то уравнение не позволяет найти парциальный спектр, однако оно накладывает на этот спектр ряд ограничений качественного характера Определение частот парциальных компонент сингулярной функции, т е ее парциального спектра - проблема весьма сложная.

Показывается, что ее решение может облегчить локализация этого спектра на основе следующего свойства Вводится функция комплексного переменного К(р) = 0(р)Ж~р) На мнимой оси она совпадает с квадратом обычной АЧХ, а в остальных случаях отличается от нее Доказывается свойство 1 (локализация спектра) парциальный спектр сингулярной функции системы заключен в области комплексной плоскости, ограниченной условиями

1т(ВД) = 0, Ке(Л(/7)) = сг >0 (7)

Первое условие из (7) свидетельствует об отсутствии фазового сдвига сингулярной функции при прохождении ее через последовательное соединение прямой и сопряженной систем. Смысл второго условия - одинаковый коэффициент усиления всех парциальных компонент, входящих в состав сингулярной функции В соответствии с определением сингулярной функции и видом передаточных функций прямой 5 и сопряженной Б* систем передаточная функция их последовательного соединения равна б(/>)£?(-/>) Сингулярная функция, проходя через него, не искажается по форме, а только умножается на положительный коэффициент о2 Доказывается свойство 2 (краевые условия) левые сингулярные функции оператора свертки системы, отвечающие алгебраическому сингулярному числу X, удовлетворяют краевым условиям

ДО) = 0, 7/(0) = <7(0)/(Т) к К ДО) = <¡(0 )/(Г) - д(0 )/(Г), (8)

Значения д(0) = СВ, #(0) = САВ, <?(0) = СА2В, . называются марковскими параметрами динамической системы С их помощью выражается топологическое свойство, формулируемое для левых сингулярных функций так Свойство 3 (взаимосвязь параметров) Если начальные значения сингулярных функций нормировать с помощью марковских параметров условием /г (0) = д(0), то их конечные значения "заметают" операторный спектр / (Т) = А,,

Рассматриваются вопросы поиска сишулярных функций на основе частотного подхода Для того, чтобы применить частотный подход, в данном случае необходимо рассматривать частотные характеристики не только на мнимой оси, как в обычном частотном анализе, а на всей комплексной плоскости

Частотные характеристики системы Вводится в рассмотрение обобщенная частотная характеристика системы А{р) как коэффициент передачи синусоидальных и гиперболических парциальных составляющих сигналов Она выражается через введенную ранее функцию К(р) = ()(рЮ(-р) и имеет вид

А{р) - -^К(р) Характеристика совпадает с обычной АЧХ только на мнимой оси, когда р-} со, для гиперболических сигналов типа в формулу следует под-

ставлять р=а

Флип-оператор - линейный, но нестационарный объект Он не меняет амплитуду гармоник (его АЧХ равна единице), а сдвигает сигнал во времени Нестационарные объекты принято описывать параметрическими передаточными функциями, зависящими от времени или от параметра. В методе Гольдфарба параметрическая передаточная функция линеаризуемого нелинейного элемента зависит от амплитуды входного сигнала Здесь вводится нестационарный блок, передаточная функция которого зависит от фазы входного сигнала 9 В работе показано, что для гармонического сигнала м(0 = .««(ю/ + 6) фазовая характеристика флип-оператора имеет вид ¥ (оо, 6) = я - юТ - 20

Каждая сингулярная функция /(/) зависит от 2я параметров (частот и фаз парциальных составляющих), общее число неизвестных, с учетом алгебраического сингулярного числа, равно 2и+1 Первые 2п уравнений выводятся на основе определения сингулярной функции ЯГ/(1) = Х/(() Соотношение можно трактовать как уравнение операторного баланса.

При частотном подходе оно разделяется на уравнения амплитудного и фазового балансов

Уравнение амплитудного баланса имеет вид А((й) -1 А, | = 0, где А((я) - амплитудно-частотная характеристика системы

Уравнение фазового баланса имеет вид <р(а>) + ^(о^Э) = axg(X), где ф(ю)- фазовая частотная характеристика системы, ащ(Х) = 0, при Я > 0 и аг£(Х) = п,при Х<0

После подстановки в уравнения парциальных частот оа,, он, , ю„ и фаз 01, 02, , 0« получаем систему 2п нелинейных уравнений относительно 2п + 1 неизвестных (с учетом X)

Начальные и краевые условия позволяют получить фазо-частотное уравнение, связывающее парциальные параметры, ,^(<»1, аь, , ш„, 0Ь б2, , 9„)=0 Результатом исследования является следующая процедура Шаг 1 Из уравнения амплитудного баланса выразить парциальные частоты как функции X со^А,), аь(Х), , оз„(Х)

Шаг 2 Подставить полученные выражения для парциальных частот в уравнения фазового баланса и найти фазовые зависимости б^А.), 8;>(А,), , в„(Х)

Шаг 3 Подставить найденные выражения для парциальных частот и фаз в фазо-частотное уравнение

В итоге получаем искомое характеристическое уравнение Оно оказывается трансцендентным и имеет счетное множество корней

Процедура иллюстрируется примерами В частности для динамического звена с передаточной функцией (¿(рУ^ИСр2 +1) уравнение амплитудного баланса имеет вид 1/(1- от)2 + X2 -0, отсюда выводится трансцендентное характеристическое уравнение

для положительных значений сингулярного числа X

В диссертации рассмотрен также графо-аналитический метод нахождения парциальных частот, иллюстрируемый рисунками ниже на примере частотных характеристик интегратора для интервала времени Т = 5.

а) б)

Рис. 4. Частотные характеристики интегратора (а) и апериодического звена (б).

На рис. 4, а) приведены его амплитудная Л(ш) = 1/(0 (выше оси частот) и фазовая (р(со) = -тг/2 частотные характеристики, а также смещенная фазовая характеристика флип-оператора \|/(со) = (ОТ - к, инвертированная по знаку для удобства учета баланса фаз (р(ю) = лц(со).

Фазо-частотное уравнение дает здесь тривиальное решение относительно сдвига фазы 9 = 0. Учитывая синусоидальный вид сингулярных функций, линии частотных характеристик флип-оператора размножены с интервалом 2л.

По точкам пересечения частотных характеристик <р(ш) и \(/((о) выясняется частота Ш| главной сингулярной функции, отвечающая максимальному сингулярному числу С|, а также частоты и значения сингулярных чисел остальных сингулярных функций /4(0 = яи(со^)- На рис. 4, б) для сравнения приведены аналогичные частотные характеристики апериодического звена.

Анализ показывает, что частоты <в4 могут располагаться на частотной оси неравномерно.

В четвертой главе рассмотрена методика применения флип-метода для определения сингулярных функций операторов динамических систем в процессе натурного эксперимента, выделены аналитический и экспериментальный подход к их нахождению Аналитические методы опираются, в частности, на формулы, приведенные в предыдущем разделе Однако для их применения необходимо знать, например, матрицы описания системы в пространстве состояний либо матричную импульсную характеристику объекта На практике математическое описание исследуемого объекта бывает неизвестно, тогда следует использовать иной подход определения ганкелевых собственных и сингулярных функций путем проведения вход-выходных экспериментов над объектом

Выделены три этапа

- разработка экспериментальной процедуры получения реакции у(г) ганке-лева оператора Г на входное воздействие и (г),

- разработка аналогичной процедуры для получения реакции сопряженного ганкелева оператора Г*,

- разработка экспериментальной процедуры получения ганкелевых сингулярных функций.

Исходной системе сопоставлена матричная передаточная функция (±(р) размера ¡хг с элементами 0,ц{р) Тогда дуальной системе будет соответствовать транспонированная матричная передаточная функция размером гхх с эле-

ментами бу,(р) Пусть требуется получить реакцию г({) - (г, (г), ,гДг))т дуальной системы на входной сигнал = >т>Д0)т = или в более подробной записи я, (?) = (г) + 62/^2 (0 + + (0>

Подав сигнал ^(У) (первую компоненту вектора у(г)) на г-й вход исходной системы, получим на ее первом выходе сигнал биУ{((), подав сигнал у2({) на тот же вход, получим на втором выходе сигнал и тд вплоть до^Ц^^)

Сумма этих сигналов даст нам сигнал г,

Выполнив процедуру для каждого ; =1 , л, найдем вектор г(/). Эта последовательность действий названа дуальным экспериментом.

Его структурная реализация, содержащая переключатели П1, П2, П,, ГЦ, показана на рис. 5.

Рис. 5. Структурная реализация дуального эксперимента.

Переключатели И, П3и П2, П4 движутся синхронно. В исходном положении П2, П4 находятся в верхнем положении, Пь П3 пробегают все положения, полученные результаты суммируются, в результате чего определяется величина г, (г). Переключатели П2, П4 переводятся во второе положение, вся процедура повторяется, в результате чего определяется величина z2(i) и т.д. Дуальный эксперимент позволяет, проведя конечное число N=rxs экспериментов с исходной системой, найти реакцию дуальной системы на любое наперед заданное входное воздействие. Более подробное описание этой процедуры сводится к следующему.

Шаг 1 (инициализация). Задать длительности интервалов управления и наблюдения Ть Т2; указать число входов г и выходов s объекта; установить начальную векторную функцию и(/) = («((*), — >«,•(/))'. 0<i<T,.

Шаг 2 (ганкелев эксперимент). Определить векторную функцию \(t), 0<i<T2, путем возбуждения реального объекта на интервале (-Т|, 0) функцией u(t), развернутой во времени, и регистрации его выходов на интервале (О, Т2).

Шаг 3 (дуальный эксперимент). Определить векторную функцию z(t), 0<КГ|, путем поочередной подачи компонент векторной функции v(i), разверну-

1 |, и вычисляется взвешенное псевдорешение, учитывающе

VR2

той во времени, на каждый из входов реального объекта и суммированием его ре акций, полученных на интервале (О, ТО

Шаг 4 (нормировка и переход к следующей итерации), Присвоить ново значение функции u(i) = z(i)/fz(0j| и перейти к шагу 2

В заключение главы рассматривается разработанный автором способ полу чения и решения уравнений идентификации для преобразования ганкелевьг функций в более привычное описание в виде импульсной весовой характеристик] системы, состоящий в том, что уравнения метода наименьших квадратов Р0 = F разделяются на информативную первую и малоинформативную вторую част]

"{У" "

вектор притяжения 80 по формуле 9 = во + W (Pi W)+ (Rj - Р|80) В данном направ лении автором разработан эффективный вычислительный метод и соответствую щее программное обеспечение.

В пятой главе рассмотрена реализация разработанных численных методо для аналитического исследования, идентификации, получения собственных и chf гулярных функций динамических систем в процессе натурного эксперимента численного моделирования Внимание отводится прикладным вопросам компьк терного анализа разработкой мер модального доминирования

Пусть линейная динамическая система имеет вид (5), где А - матрица сис темы (квадратная, «-го порядка), В - матрица входа размера их«, С - матриц выхода размера /хя; x(t), u(i), у(0 - векторы состояния, управления и выхода сооп ветственно Рассматривается задача спектрального анализа с конечным спектро назначаемых собственных значений Х„ которая приводит к матричному уравн< нию Сильвестра, допускающему декомпозицию на ряд более простых подсистем

(A-\E)s,=Bm„ (<

где т, - вектор столбцы M=(m„m„ ,ш„), г = 1 п

На случай изменения только одного собственного значения (элементарном изменении спектра), те при ¿=1, имеем следующие формулы (A-X,E)s, =Bm,, M = (m,,0, ,0), данный спектр реализует в системе линейная обратная связь по состоянию u(f) = -Kx(i)c коэффициентами К = MS"1, где S = [si v 2 v „ ], v, - собственные векторы матрицы А

Доказано следующее утверждение При элементарном изменении спектра минимальная норма матрицы К прямо пропорциональна радиусу окружности, на которую переходит варьируемое собственное значение, и обратно пропорциональна величине =ю,*т,, где т, = (v_1iB)*, v"'i - строка инверсной матрицы собственных векторов А, отвечающая варьируемому собственному значению

Для обозначения строк инверсных матриц привлечены соответствующие индексы Утверждение позволяет ввести следующее понятие меры доминирования (в общем)

Определение Мерой модальной управляемости (наблюдаемости) называется величина, обратная по отношению к минимальной норме матрицы линейного регулятора и(/) = -Кх(г) (наблюдающего устройства) при переносе одного отдельно взятого собственного значения на окружность единичного радиуса в окрестности варьируемой точки спектра разомкнутой системы

Приводятся процедуры компьютерной автоматизации выбора назначаемого спектра на основе указанных мер модального доминирования, рассмотрен пример размещения собственных значений в модели, которые описывают основные тона колебания антенны

Понятие мер управлямости и наблюдаемости распространяется на задачу идентификации, в виде мер идентифицируемости на основе подробно рассмотренных критериев калмановского вида. Приводятся алгоритмы, обобщающих алгоритмы, рассмотренные в главе 4, для решения вырожденных задач идентификации Они реализованы в программе VISUAL MATLAB, разработанной автором диссертации, за основу принята версия языка MATLAB, изложенная в фундаментальной работе «Матричные вычисления» авторов Дж. Голуба и Ч Ван Лоуна

С учетом современных тенденций математический инструментарий представлен в сети в виде пакета MATLAB ON LINE, позволяющего регистрировать аккаунты пользователей, вести математические исследования с использованием стилизованной версии компьютерного языка матричного исчисления и визуализировать результаты экспериментов, см. рис. 6.

c=time Сб.28), x=fun(ain(2*t)),

y=fun(cos(3*t)-c09(2*t)+O.I), [X Я-??,

i» REGISTE!! OIW PAGE UNS СОЛЕ IB,

Welcome to your personal page I

Loge:

Password:

MATRIX CALCULATIONS, VECTOR GRAPH AMD ANIMATION, DYNAMIC SYSTEHS SIMULATION, ШВ SENSORS ANALYSIS, REAL TIME

( Models j [ Ayaje? ]

Рис. 6. Сетевая лаборатория MATLAB ON LINE.

Алгоритмическое и программное обеспечение, разработанное автором представлено на математических сайтах Exponenta.ru (дистрибутор MATLAB) j EqWorld.com. Для поддержки программного обеспечения в сети автором созда) сайт artspb.com, вошедший в каталог федеральных общеобразовательных порта лов, составленный министерством образования на School.edu.ru.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Проведено исследование математических моделей экспериментов, близких к ганкелевому, и проведена систематизация соответствующих ассоциированных с динамической системой обобщенных операторов на основе признаков сим-метрий.

2 Предложен флип-метод поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени

3 Разработаны матричные численные методы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем

4 Разработан частотный метод поиска собственных и сингулярных чисел и функций динамических систем с использованием частотной модели флип-оператора Получены аналитические выражения для характеристических уравнений, собственных и сингулярных функций элементарных звеньев (интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих).

5 Показана связь классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени

6 Построены алгоритмы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом

7 Разработаны численные методы идентификации динамических систем на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Монографии

1 Балонин Н А. Новый курс теории управления движением - СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2000 - 160 с.

2 Балонин Н А , Бураков М Б , Городецкий А Е , и др Управление в уело виях неопределенности - СПб • СПбГТУ, 2002 - 398 с

3 Написаны, в соавторстве, разделы книги Понырко С А, Попов О С, Ястребов В С Адаптивные системы для исследования океана - СПб Судостроение 1993 - 224 с

3 1 Балонин Н А , Попов О С Условия параметрической идентифицируе мости - С 131-138

3.2. Балонин Н А, Попов О С Параметрический синтез системы управле ния - С. 131-138

3 3 Балонин Н.А , Сироткин Е Я Программно-аппаратная реализация адап тивной системы управления - С 151-161

Другие публикации

1 Балонин Н А., Габитов Е А Численные алгоритмы идентификации пара метров систем в режиме нормального функционирования // Автоматика и телеме ханика 1997 № 2 - С 140-146

2 Балонин Н.А., Мироновский Л А Флип - метод определения сингулярны; функций ганкелева оператора и оператора свертки // Автоматика и телемеханика 1999 №11 - С 3-18

3 Балонин Н А, Мироновский Л А Линейные операторы динамическо] системы // Автоматика и телемеханика 2000 № 11 - С. 57-68

4 Балонин Н А, Мироновский Л А. Спектральные характеристики линейных систем на ограниченном интервале времени // Автоматика и телемеханика 2002 №6 - С 3-8

5 Балонин Н А, Попов О С Идентификация параметров систем в режиме их нормального функционирования // Автоматика и телемеханика 1992 № 8

- С 98-103

6 Балонин Н А, Попов О С, Гусев С А Элементы искусственного интеллекта в адаптивном управлении // Автоматика и телемеханика. 1994 № 4 -С 114-123

7 Балонин Н.А, Попов О.С. Синтез систем модального управления на основе мер модального доминирования // Изв РАН Техническая кибернетика (ныне Теория и системы управления) 1992 №6 - С 89-93

8 Балонин Н А, Попов О С Критерии идентифицируемости линейных динамических систем // Приборостроение 1986. №4 - С 25-29

9 Балонин Н А , Попов О С Критерии идентифицируемости линейных стационарных и нестационарных динамических систем // Приборостроение 1994 № 1 - С 22-27

10 Балонин НА, Попов ОС, Сироткин ЕЯ. Построение многосвязных систем модального управления//Приборостроение 1986 № 10 — С 24-27

11 Попов О.С., Балонин Н А, Сироткин Е Я Идентификация параметров объекта в линейных адаптивных системах управления // Приборостроение 1985 № 12 - С 28-30

12 Попов О С , Балонин Н А , Гусев С А Двухканальный идентификатор параметров динамической системы // Приборостроение 1990 № 1 - С 90-92

13 Балонин Н А, Мироновский Л А Комьютерные модели линейных операторов динамической системы // Информационно управляющие системы 2002 № 1 - С 24-28

14 Балонин Н А , Мироновский Л А Матрицы Адамара нечетного порядка //Информационно управляющие системы 2006 № 3

- С 46-50

15 Балонин НА, Мироновский Л А Канонические формы динамических систем Методические указания - СПб ГААП, 1998 - 54 с

16. Балонин НА Эволюционное моделирование Третья межд конф по проблемам логико-лингвинистического управления динамическими объектами -СПб 2001 - С 32-33

17 Балонин НА Использование элементов искусственного интеллекта в адаптивном управлении с идентификацией // Труды конф Диагностика, информатика и метрология-95 (ДИМ-95) - СПб 1995 -С 153-154

18 Балонин НА Новый идентификационный TOOLBOX с анимационной графикой к математическому пакету MATLAB // Труды конф Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность-96 (ДИМЭБ-96) - СПб 1996

- С 32-34

19 Балонин Н А Анимационная графика в инженерных задачах // Труды конф Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97) - СПб 1997 - С 247

20. Балонин Н А. Автоматизация процесса размещения спектра и собственных векторов в модальном синтезе // Труды конф Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 98 (ДИМЭБ-98), - СПб 1998 - С 124

21 Балонин НА Новые информационные технологии контроля и диагностики знаний // Труды пятой межд научио-практ. конф Новые информационные технологии в практике работы правоохранительных органов, - СПб 1998 г

- С 36-38

22 Балонин Н А , Мироновский Л А Экспериментальный подход к решению задач оптимального управления. Труды 2 Межд научн конф "Методы и средства управления технологическими процессами",-Саранск, 1997 - С 28-31

23 Балонин Н А, Мироновский Л А Флип-метод определения сингуляр ных функций // Труды мезвд конференции по адаптивным системам SPAS99 -СПб -1999 - С 278-281

24 Балонин Н А , Мироновский JI А Управление с минимальным расходом топлива и задача о гольфе // Труды конф. по теории колебаний и управления, посвященной 100-летию Б В Булгакова -М 2000 - С 55-57

25 Балонин Н А, Мироновский JI А Компьютерное моделирование и контроль динамических систем // Труды конф Проблемы сбора и передачи информации -Пушкин, 1997 - С 276

26 Осинкин С А, Балонин Н А Экспериментальный синтез дискретного входного сигнала для терминального управления линейной системой // Труды 3-й межд конф Методы и средства управления технологическими процессами - Саранск, 1999 - С. 238- 242

27 Сотников С Н, Балонин Н А Методы анализа, синтеза и диагностики в технических процессах при помощи генетических алгоритмов // Труды 3-й межд конф Методы и средства управления технологическими процессами - Саранск, 1999 - С 28-31

28 Сотников С Н, Балонин Н А Генетические алгоритмы в задачах моделирования, управления и диагностики //Труды 3-й межд научн-техн конф Управление в технических системах-XXI век. -Ковров, 2000 - С 187-189

29 Сотников С.Н., Балонин НА., Мироновский Л.А Поиск сингулярных функций линейных систем на ограниченном интервале времени с помощью распределенного алгоритма эволюционных вычислений // Сб докладов 8-й Научной сессии аспирантов ГУАП - СПб 2005. - С 77-81

30 Балонин Н А, Мироновский JI. А Компьютерное моделирование операторов линейных динамических систем //Труды 2-й межд научн-техн конф «Инструменты математического моделирования» -СПб 1999 - С 229-230

31 Балонин Н А. Генетические алгоритмы в задачах управления динамическими объектами //Ргос. of the Second Int. Conf on Problems of Dynamic Objects Logic-Linguistic Control (DOLLC'99) Samt-Petersburg, Russia 1999 - C. 7-10

32 Balornn N А, Gusev S V Experiments with the regulanzed adaptive control algorithms, Proc of the Second Russian-Swedish Control Conference Samt-Petersburg, Russia 1995 - P 70-72.

33 Balomn N A Animated cartoons 2 5D for motion simulation, Proc of the First Int Conference on Problems of Dynamic Objects Logic-Lmguistic Control Saint-Petersburg, Russia 1997 -P 7-10

34 Balomn N A, Mironovsky L A, Petrova X Y Finding singular functions of the convolution operator // Proc of Conference on Oscillations and Chaos, Saint-Petersburg, Russia 2000 V3 -P 414-417

35 Balomn N A, Mironovsky L A The Linear Operators of Dynamic System //Proc of the Second Int Conf Control of Oscillations and Chaos Saint-Petersburg, Russia 1999 - P 27-30

36 Balomn N A, Mironovskiy L A Solving optimization problems by system adjoint operator simulation // Proc of Int Conf Control of Oscillations and Chaos Saint Petersburg, Russia Aug 1997 V3 -P 553-556

37 Balomn N A Animation graphics for dynamic and intellectual systems modeling The 5-th National Conference on Artificial Intellect-96, Kazan, 1996 V3 - P 449-454

Авторские свидетельства на изобретение

1 Балонин Н А, Леонтьев О А, Попов О С Система идентификации параметров объектов А С (СССР) № 949635, «Бюллетень изобретений», № 29,1982

2 Балонин Н.А , Попов О С , Сироткин Е Я Система идентификации параметров объектов А.С (СССР) № 1156001, «Бюллетень изобретений», № 18,1985

3 Андреев И А, Балонин Н.А, Попов О С., Сироткин Е Я., Усов А Р Устройство для ввода информации А С (СССР) № 1229750, «Бюллетень изобретений», № 17,1986

4 Андреев И А, Балонин Н А, Гусев С А., Попов О С., Сироткин ЕЛ, Усов А Р. Система идентификации параметров объекта. А.С.(СССР) № 1456678, «Бюллетень изобретений», № 16,1987.

5 Андреев И.А, Балонин Н А., Попов О С , Сироткин Е Я, Усов А Р Система идентификации параметров объекта А С (СССР) № 1413597, «Бюллетень изобретений», № 28,1988.

Формат 60x84 1\16 Бумага офсетная Печать офсетная Тираж 100 экз Заказ №-/23

Редакционно-издательский центр ГУАП 190000, Санкт-Петербург, Б Морская ул , 67

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА СИСТЕМ

1.1. Сингулярные числа и сингулярные векторы матриц

1.2. Сингулярные числа и сингулярные функции динамических систем

1.3. Содержание ганкелева эксперимента с объектом

1.4. Применение сингулярных чисел для идентификации систем

1.5. Вопросы системного анализа условий идентифицируемости

1.6. Выводы

2. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ИХ СИММЕТРИИ

2.1. Введение

2.2. Поиск симметричных или самосопряженных частей

2.3. Мультипликативное симметрирование систем

2.4. Аддитивное симметрирование систем

2.5. Симметрия собственных функций систем

2.6. Примеры экспериментов с симметричными операторами систем

2.7. Выводы

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 4В

3.1. Спектральные характеристики на ограниченном интервале времени

3.2. Сингулярные функции систем

3.3. Свойства сингулярных функций

3.4. Поиск сингулярных функций на основе частотного подхода

3.5. Графо-аналитический метод исследования

3.6. Выводы

ОРГАНИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

4.1. Основные понятия и определения

4.2. Содержание флип-метода в натурном эксперименте

4.3. Распространение флип-метода на другие операторы

4.4. Примеры применения флип-метода

4.5. Алгоритмы идентификация на основе сингулярных функций

4.6. Выводы

5. СИСТЕМНЫЕ КРИТЕРИИ И ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИ

5.1. Введение

5.2. Матричное уравнение Сильвестра

5.3. Меры модального доминирования

5.4. Автоматизация выбора спектра

5.5. Решение вырожденных задач идентификации

5.6. Идентифицируемость систем

5.7. Учет ограничений на управления

5.8. Алгоритмическое и программное обеспечение

5.9. Выводы

Актуальность темы. Распространение персональных вычислительных машин приводит к появлению новых компьютерных методов анализа и обработки информации. Этому в немалой степени способствует становление известных в мировой практике пакетов численного анализа, символьных вычислений, структурного моделирования MATLAB, Maple и др. Последнее время возрастает влияние сетевых технологий, способствующих распространению и накоплению знаний. Компьютер становится существенной частью научного исследования, выполняя многочисленные задачи анализа и синтеза систем, включая визуализацию результатов научного эксперимента. Все это сказывается, в свою очередь, на теории и методах обработки информации, куда проникают подходы, сложившиеся на основе обширной вычислительной практики.

В диссертации рассматривается направление, связанное с так называемым ганкелевым экспериментом над объектом моделирования, когда время подачи воздействия на динамическую систему и наблюдение реакции на него разделены. При этом, благодаря вычислительному устройству легко выполняются некоторые необходимые манипуляции с накапливаемыми выборками сигналов, такие, как инверия выборки реакции во времени и выработка нового управляющего сигнала на основе нормирования полученной выборки. Теоретическое обоснование целесообразности ганкелевых экспериментов возникло ввиду последовательного развития теории динамических систем в девяностых годах на базе изучения ганкелева оператора и его применений. Такие понятия, как ганкелева норма передаточной функции, ганкелевы сингулярные числа и др. широко используются ныне при решении задач аппроксимации и редукции, при синтезе робастных систем управления методами -теории, при решении задач идентификации моделей динамических систем.

Численные алгоритмы вычисления ганкелевой нормы передаточной функции, ганкелевых чисел, ганкелевых функции, канонической формы Мура и другие реализованы в широко распространенной системе МАТЬАВ.

В теории ганкелева эксперимента бесконечный интервал времени заменяется конечным, причем входной или выходной сигнал рассматриваются в инверсном времени. В таком случае удается учесть не только ограничение на интервал времени, но и использовать аппарат соответствующих собственных функций. Собственные и сингулярные функции ганкелева оператора находятся распространенными пакетами математического моделирования, такими, как МАТЬАВ, при известном математическом описании объекта. В то же время для практики (в особенности, в условиях натурного эксперимента) типична ситуация, когда математическое описание реального объекта известно недостоверно, либо вообще неизвестно. Тем самым, математическая теория развита в относительно узких пределах постановки ганкелева эксперимента с объектом - даже небольшие условия изменения его приводят к тому, что существующий математический аппарат становится непригодным и требуется создать более детальное математическое описание.

Указанными обстоятельствами определяется актуальность разработки новых подходов, позволяющих систематизировать и исследовать возникающие при этом достаточно сложные математические задачи, дать на основе новых математических моделей рекомендации к проведению натурных экспериментов с односвязными или многосвязными динамическими объектами.

Цель исследования. Целью настоящей диссертационной работы, соответственно, является обобщение известных компьютерных методов анализа линейных динамических систем с выработкой новых теоретических подходов, формирование существенно новых методов, алгоритмов и реализующего их программного обеспечения. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Расширение и систематизация состава линейных операторов, близких к ганкелевому, на основе признаков их симметрий.

2. Разработка аналитических и численных методов поиска собственных и сингулярных чисел и собственных и сингулярных функций выделенных систематизированных операторов динамических систем.

3. Выявление связи классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических моделей динамических систем на ограниченном интервале времени.

4. Исследование возможности поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций для односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом при неизвестном математическом описании объекта.

5. Разработка новых численных методов идентификации динамических систем, в том числе, на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций.

6. Разработка современных методов анализа и синтеза адаптивных систем и визуализации научного эксперимента с целью повышения качества исследований.

Методы исследования. При исследовании аналитических моделей собственных и сингулярных функций динамических систем в работе использованы матричные методы, методы вариационного исчисления, методы анализа динамических систем в частотной области. При разработке алгоритмов и методов идентификации используются численные методы линейной алгебры.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность результатов исследований обеспечиваются корректностью применяемого математического аппарата, использованием нескольких независимых подходов к изучаемым вопросам, включая аналитические и численные методы с апробацией итогов проведенной работы в научных журналах.

Научные результаты, выносимые на защиту.

1. Проведено исследование математических моделей экспериментов, близких к ганкелевому, и проведена систематизация соответствующих ассоциированных с динамической системой обобщенных операторов на основе признаков симметрий.

2. Предложен флип-метод поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.

3. Разработаны матричные численные методы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

4. Разработан частотный метод поиска собственных и сингулярных чисел и функций динамических систем с использованием частотной модели флип-оператора. Получены аналитические выражения для характеристических уравнений, собственных и сингулярных функций элементарных звеньев (интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих).

5. Показана связь классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.

6. Построены алгоритмы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом.

7. Разработаны численные методы идентификации динамических систем на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

Научная новизна работы. В диссертации существенно расширен состав компьютерных экспериментов, сходных с ганкелевым. Учитывается также, что математическая модель линейного динамического объекта может быть известна недостоверно. Использование существующего математического аппарата и программного обеспечения в таких случаях затруднено или невозможно. Все выносимые на защиту положения нацелены на преодоление отмеченных сложностей и имеют научную новизну.

Практическая ценность и реализация. Предлагаемая методология имеет широкую сферу практического применения при решении задач технической диагностики и идентификации динамических объектов различных классов. Она позволяет существенно повысить эффективность проведения научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ. Практическая ценность результатов работы состоит в их реализации в виде современных компьютерных инструментальных средств: специализированного пакета VISUAL MATLAB и пакета MALAB он-лайн для решения научно-исследовательских задач в сети, опубликованных на сайтах Exponenta.ru (дистрибутора MATLAB в России), EqWorld (Мир математических уравнений). Сопровождающий пакет научно-образовательный портал artspb.com внесен в реестр федеральных порталов на сайте Министерства образования и науки и доступен широкому употреблению.

Результаты работы использованы также в научных отчетах по исследованию фундаментальной проблемы формировании основ математической теории функциональной диагностики динамических систем в рамках научных работ Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ).

Апробация работы. Основные научные и практические результаты диссертационной работы были представлены и одобрены на отечественных и международных конференциях и семинарах, в том числе на Второй Российско-Шведской конференции 1995 года, на Международных научно-технических конференциях ДИМЭБ по диагностике, информатике, метрологии, экологии и безопасности (1995-1998 гг. Санкт-Петербург), на конференциях того же уровня по проблемам логико-лингвинистического управления динамическими объектами (ТЮЬЬС 1999-2001 г., Санкт-Петербург), на конференциях в городах Москва, Саранск, Алушта, и др. и на теоретических семинарах кафедр вычислительных систем и сетей ГУАП, теоретической кибернетики СПбГУ, на семинарах институтов Машиноведения РАН и СПИИРАН в 2001-2005 г. Помимо прочего результаты диссертации регулярно апробировались в рамках отчетов по проекту Минобразования 01-01-00011 и грантов РФФИ за номерами 95-0100044, 96-01-14088, 98-01-0011, 04-01-00464 за 2004-2006 г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены самостоятельно и в соавторстве в 3 книгах и 42 других публикациях (из них 12 опубликованы в периодических изданиях, входящих в перечень ВАК), в том числе имеется 5 авторских свидетельств на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения.

5.9. Выводы

Подведем итоги. Алгебраический критерий управляемости, в соответствии с теоремой Калмана, является показателем реализуемости любого спектра. Однако разные размещения собственных значений на комплексной плоскости по разному достижимы. Пороговые критерии управляемости и наблюдаемости можно дополнить более гибкими мерами модального доминирования.

Принцип двойственности Р. Калмана позволяет использовать полученные меры управляемости для анализа наблюдаемости и идентифицируемости. Анализ потенциальных свойств идентифицируемости систем важен постольку, поскольку раскрывает причины возможного расхождения, казалось бы, гарантированно сходящихся алгоритмов идентификации. Причина некорректного поведения алгоритмов может скрываться не в их ущербности, а в условиях их применения. Гарантии вычислительных методов не распространяются на вырожденные задачи идентификации.

Вырожденные задачи идентификации не являются в принципе нерешаемыми. При наличии дополнительной информации возможно оценивание, учитывающее опорную оценку параметров, и данные эксперимента, недостаточные для построения полной модели динамической системы. Объединение информации из двух источников позволяет создавать новые процедуры параметрического оценивания, применимые также и для обработки результатов, связанных с вычислением и последующим использованием ганкелевых функции.

Созданное алгоритмическое и программное обеспечение существенно облегчает проведение исследований, оно представлено сайтами научной и учебной направленности, учтенными в каталоге федеральных общеобразовательных порталов, составленный министерством образования и науки на School.edu.ru. Детали вынесены в приложение.

175

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведены исследование математических моделей экспериментов, близких к ганкелевому и осуществлена систематизация соответствующих ассоциированных с динамической системой обобщенных операторов, на основе признаков симметрии. Предложен флип-метод поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени. Разработаны матричные численные методы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

Разработан частотный метод поиска собственных и сингулярных чисел и функций динамических систем, с использованием частотной модели флип-оператора. Получены аналитические выражения для характеристических уравнений, собственных и сингулярных функций элементарных звеньев (интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих). Показана связь классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.

Построены алгоритмы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом. Разработаны численные методы идентификации динамических систем на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.

Практическая ценность результатов работы, помимо статей, решенных примеров и задач, состоит в формировании математического обеспечения, в частности, студии Visual MatLab, соответствующих алгоритмов и программ, используемых в учебном и научном процессах кафедры вычислительных систем и сетей Государственного университета аэрокосмического приборостроения. Результаты исследований использованы также в рамках научных работ Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ).

1. Адамян В.М., Аров Д.З., Крейн М.Г. Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора и обобщенная задача Шура-Такаги // Матем. сб. 1971. Т. 86. Вып.1. С. 34-75.

2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами, М.:, Наука. 1976. - 424 с.

3. Андреев Ю. Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления // Автоматика и телемеханика. 1982. №10. С.5-46.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб.: Наука, 2001.-286 с.

5. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М.: МЦНМО. 2000. - 32 с.

6. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа. 1998. -574 с.

7. Балберин В. В., Мироновский Л. А. Сбалансированные модели скалярных систем // Электронное моделирование. 1988. №5. С. 6-10.

8. Барабанов А.Е., Первозванский A.A. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. 1992. №9. С.3-32.

9. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. М.: Высшая школа. 2002. - 214 с.

10. Балонин H.A. Новый курс теории управления движением. — СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2000. 160 с.

11. Балонин H.A. Использование элементов искусственного интеллекта в адаптивном управлении с идентификацией // Труды конф. Диагностика, информатика и метрология-95 (ДИМ-95). СПб.: 1995. - С. 153-154.

12. Балонин H.A. Новый идентификационный TOOLBOX с анимационной графикой к математическому пакету MATLAB // Труды конф. Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность-96 (ДИМЭБ-96). СПб.: 1996. С 32-34.

13. Балонин H.A. Анимационная графика в инженерных задачах //Труды конф. Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность 97 (ДИМЭБ-97). - СПб.: 1997. - С. 247.

14. Балонин H.A. Автоматизация процесса размещения спектра и собственных векторов в модальном синтезе // Труды конф. Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность 98 (ДИМЭБ-98), -СПб.: 1998.-С. 124.

15. Балонин H.A. Новые информационные технологии контроля и диагностики знаний // Труды пятой межд. научно-практ. конф. Новые информационные технологии в практике работы правоохранительных органов, СПб.: 1998 г. - С. 36-38.

16. Балонин H.A. Генетические алгоритмы в задачах управления динамическими объектами // Proc. of the Second Int. Conf. on Problems of Dynamic Objects Logic-Linguistic Control (DOLLC'99). St-Petersburg, 1999. -P. 7-10.

17. Балонин H.A., Бураков М.Б., Городецкий A.E., и др. Управление в условиях неопределенности. СПбГТУ.: 2002. - 398 с.

18. Балонин Н. А., Габитов Е. А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования // Автоматика и телемеханика. 1997. № 2. С. 140-146.

19. Балонин H.A., Мироновский JI.A. Флип-метод определения сингулярных функций ганкелева оператора и оператора свертки // Автоматика и телемеханика. 1999. № 11. С. 3-18.

20. Балонин H.A., Мироновский JI.A. Линейные операторы динамической системы // Автоматика и телемеханика. 2000. № 11. С. 57-68.

21. Балонин H.A., Мироновский JI.А. Спектральные характеристики линейных систем на ограниченном интервале времени // Автоматика и телемеханика. 2002. № 6. С. 3-8.

22. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Экспериментальный подход к решению задач оптимального управления. Труды 2 Межд. научн. конф. "Методы и средства управления технологическими процессами", Саранск, 1997.-С. 28-31.

23. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Компьютерное моделирование и контроль динамических систем // Труды конф. Проблемы сбора и передачи информации. Пушкин, 1997. - С. 276.

24. Балонин Н. А., Мироновский Л. А. Компьютерное моделирование операторов линейных динамических систем // Ргос. of the Second Int. Conference «Tools for Mathematical Modeling». St-Petersburg, 1999. -P. 229-230.

25. Балонин H. А., Мироновский Л. А. Флип-метод определения сингулярных функций // Труды межд. конференции по адаптивным системам SPAS99. СПб.: 1999. - С. 278-281.

26. Балонин Н. А., Мироновский Л. А. Управление с минимальным расходом топлива и задача о гольфе // Труды конф. по теории колебаний и управления, посвященной 100-летию Б.В. Булгакова. -М.: 2000. С. 55-57.

27. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Комыотерные модели линейных операторов динамической системы // Информационно управляющие системы. 2002. № 1. С. 24-28.

28. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно управляющие системы. 2006. № 3. С. 46-50.

29. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Канонические формы динамических систем. Методические указания. СПб.: ГААП, 1998. - 54 с.

30. Балонин H.A., Попов О.С. Синтез систем модального управления на основе мер модального доминирования // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1992. № 6. С. 89-93.

31. Балонин H.A., Попов О.С. Идентификация параметров систем в режиме их нормального функционирования // Автоматика и телемеханика.1992. №8.-С. 98-103.

32. Балонин H.A., Попов О.С. Условия параметрической идентифицируемости // В кн. Понырко С.А, Попов О.С., Ястребов B.C. Адаптивные системы для исследования океана. СПб.: Судостроение. 1993. -С. 131-138.

33. Балонин H.A., Попов О.С. Параметрический синтез системы управления // В кн. Понырко С.А, Попов О.С., Ястребов B.C. Адаптивные системы для исследования океана. СПб.: Судостроение. 1993. - С. 131-138.

34. Балонин H.A., Сироткин Е.Я. Программно-аппаратная реализация адаптивной системы управления // В кн. Понырко С.А, Попов О.С., Ястребов B.C. Адаптивные системы для исследования океана. СПб.: Судостроение.1993.-С. 151-161.

35. Балонин H.A., Попов О.С. Критерии идентифицируемости линейных стационарных и нестационарных динамических систем //Приборостроение. 1994. № 1. С. 22-27.

36. Балонин H.A., Попов О.С., Гусев С.А. Элементы искусственного интеллекта в адаптивном управлении // Автоматика и телемеханика. 1994. №4.-С. 114-123.

37. Балонин H.A., Попов О.С., Сироткин Е.Я. Построение многосвязных систем модального управления // Приборостроение. 1986. № 10.-С. 24-27.

38. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. -М.: Наука. 1983. -336 с.

39. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1969. - 368 с.

40. Бессонов A.A. Загашвили Ю.В. Маркелов A.C. Методы и средства идентификации динамических объектов. М.: Энергоатомиздат. 1989. -280 с.

41. Бритов Г.С., Мироновский JI.A. Критерии избыточности динамических систем // Техническая кибернетика 1980. №1. -С. 149-155.

42. Броун В. М. Анализ линейных инвариантных во времени систем -М.: Машиностроение. 1966. -435 с.

43. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. -М.-.ГИИЛ. 1947.-408 с.

44. Веников В.А., Веников Т.В. Теория подобия и моделирования. -М.: Высшая школа, 1986. 323 с.

45. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. -М.: Физматлит, 2000.-400 с.

46. Воеводин В.В. Линейная алгебра. -М.: Наука. 1980. 400 с.

47. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. -М.: Наука. 1985. -352 с.

48. Глушаков С., Жакин И., Хачиров Т. Математическое моделирование. Mathcad 2000. Matlab 5.3. ACT. 2001. 540 с.

49. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании. СПб.: Питер. 2001. - 324 с.

50. Голуб Дж., Лоун Ч.В. Матричные вычисления. М.: Мир. 1999. -548 с.

51. Гроп Д. Методы идентификации систем. -М.: Мир. 1979. 302 с.

52. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. -М.:Мир. 1970. -328 с.

53. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука. 1983. - 280 с.

54. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир. 1988. - 440 с.

55. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + SIMULINK 4/5 в математике и моделировании. -М.: Солон-Пресс. 2003. -576 с.

56. Есипов A.A., Сазонов Л.И., Юдович В.И. Практикум по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Вузовская книга. 2001. -396 с.

57. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем (Метод пространства состояний). -М.: Наука. 1970. 704 с.

58. Задорожный Д.Ю., Кузьмин А.Б. Математические методы диагностирования технических систем // Техническая кибернетика. 1991. № 1.-С. 184-205.

59. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука. 1975.320 с.

60. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений. -М.: Наука. 1984.-192 с.

61. Икрамов X. Д. Численные методы для симметричных линейных систем. Прямые методы. М.: Наука, 1988. - 287 с.

62. Имаев Д.Х. и др. Анализ и синтез систем управления. Учебн. пособие ЛЭТИ. СПб-Сургут: 1997. - 197с.

63. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука. 1978.-512.

64. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир. 1971.-400.

65. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1976. - 577 с.

66. Кинг Н. Тонг. Теория механических колебаний. М.: Изд. Машиностроительной лит. 1963. -352 с.

67. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MATLAB 6.x: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург. 2004. - 662 с.

68. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО. 1999. - 960 с.

69. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984. -832 с.

70. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1975. 304 с.

71. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. -М.: Наука, 1973. -190 с.

72. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей.- М.: Фазис: ВЦ РАН, 2000. 412 с.

73. Кухтенко А.И. Теория алгебраических инвариантов в теории автоматического управления // Кибернетика и вычислительная техника. -1978. Вып. 39.-С. 3-16.

74. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 270 с.

75. Латышев A.B. Применение методов идентификации для диагностирования непрерывных объектов // Автоматика и телемеханика. 1984. №12.-С. 118-123.

76. Лоусон Ч., Хэнсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука. 1986. - 230 с.

77. Матвеев A.C., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. СПб.: Изд-во СПб ун-та. 1994. - 364с.

78. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. — Москва-Санкт-Петербург. Изд. МГУ-ГРИФ. -256 с.

79. Мироновский Л.А. Моделирование конечномерных систем // Учеб. пособ. -Л.: ЛИАП, 1988.-78с.

80. Мироновский Л.А. Инварианты математических моделей // Учеб. пособ. СПб.: ЛИАП, 1991. - 42с.

81. Мироновский Л.А. Взаимосвязь параллельной и сбалансированной канонических форм //Электронное моделирование. 1989. № 6. С. 150-157.

82. Мироновский Л.А. Ганкелев оператор и ганкелевы функции линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9.- С. 73-86.

83. Мирошников А.Н., Румянцев С.Н. Моделирование систем управления технических средств транспорта. // Учебное издание ТЭТУ.- СПб.: Элмор, 1999. 224с.

84. Михайлов В.Б. Численно-аналитические методы решения сверхжестких дифференциально-алгебраических систем уравнений.- СПб.: Наука, 2005. 234с.

85. Мэтьюз Дж., Финк К. Численные методы. Использование МАТЬ AB. M.- СПб-Киев: Изд. дом «Вильяме», 2001. - 720с.

86. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями). М.: Мир, 1999. - 719 с.

87. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. -М.:Мир. 1991. -367 с.

88. Осинкин С.А., Балонин H.A. Экспериментальный синтез дискретного входного сигнала для терминального управления линейной системой // Труды 3-й межд. конф. Методы и средства управления технологическими процессами. Саранск, 1999. С. 238-242.

89. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. -М.:Мир. 1983. -383 с.

90. Писсанецки С. Технология разреженных матриц.- М.: Мир. 1988. -412 с.

91. Пеллер В.В. Операторы Ганкеля и их приложения.- М.: НИЦ "РХД", 2005. 1077 с.

92. Первозванский JI.A. Курс теории автоматического управления // Учеб. пособ. -М.: Наука. 1986. 616с.

93. Пешель М. Моделирование сигналов и систем. М.: Мир. 1981.- 360 с.

94. Полянин А. Д., Манжиров A.B. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. -М.: Факториал. 1998. -412 с.

95. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1983. - 392 с.

96. Попов О.С., Балонин H.A., Сироткин Е.Я. Идентификация параметров объекта в линейных адаптивных системах управления //Приборостроение. 1985. № 12. С. 28-30.

97. Попов О.С., Балонин H.A., Гусев С.А. Двухканальный идентификатор параметров динамической системы // Приборостроение. 1990. № 1.-С. 90-92.

98. Портер У. Современные основания общей теории систем. М.: Наука, 1971.-555 с.

99. Прасолов A.B. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. - 148 с.

100. Прасолов A.B. Обратная задача для линейной стационарной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 3. С. 430-434.

101. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. -М.: Мир. 1984.-265 с.

102. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука. 1978. - 552 с.

103. Сотников С.Н., Балонин H.A. Методы анализа, синтеза и диагностики в технических процессах при помощи генетических алгоритмов // Труды 3-й межд. конф. Методы и средства управления технологическими процессами. Саранск, 1999. - С. 28-31.

104. Сотников С.Н., Балонин H.A. Генетические алгоритмы в задачах моделирования, управления и диагностики // Труды 3-й межд. научн.-техн. конф. Управление в технических системах XXI век. - Ковров, 2000. -С. 187-189.

105. Суевалов JT. Ф. Справочник по расчетам судовых автоматических систем. -2-е изд. -Л.: Судостроение. 1989. -408 с.

106. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. -М.: Машиностроение. 1972. 564.

107. Тихонов А.Н., Арсенин В.я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-288 с.

108. Толчеев В.О., Ягодкина Т.В. Методы идентификации одномерных линейных динамических систем. — М.: МЭИ. 1997. -108с.

109. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке алгол, линейная алгебра. М.: Машиностроение. 1976. - 390.

110. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. -М.: Мир. 1989. 655.

111. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. -М.: Мир. 1975.-680.

112. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложе1шями. — М.: Мир. 1986. — 243 с.

113. Arbib М.А., Manes E.G. Foundation of system theory: Hankel matrices // J. Comput. and Syst. Sci. 1980. Vol. 20. №. 3. -P. 330-378.

114. Balonin N.A., Gusev S.V. Experiments with the regularized adaptive control algorithms, Proc. of the Second Russian-Swedish Control Conference. Russia, Saint-Petersburg, 1995. P. 70-72.

115. Balonin N.A., Mironovsky L.A., Petrova X.Y. Finding singular functions of the convolution operator // Proc. of Conference on Oscillations and Chaos, Saint-Petersburg, 2000. V.3. P. 414-417.

116. Balonin N.A., Mironovskiy L.A. Solving optimization problems by system adjoint operator simulation // Proc. of Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos. Saint Petersburg, Russia. Aug. 1997. V.3. P. 553-556.

117. Balonin N. A., Mironovsky L. A. The Linear Operators of Dynamic System // Proc. of the Second Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos. Saint Petersburg, Russia. 1999. P. 27-30.

118. Balonin N.A. Animation graphics for dynamic and intellectual systems modeling. The 5-th National Conference on Artificial Intellect-96, Kazan, 1996. V.3.-P. 449-454.

119. Balonin N.A. Animated cartoons 2.5D for motion simulation, Proc. of the First Int. Conference on Problems of Dynamic Objects Logic-Linguistic Control. Saint-Petersburg, Russia. 1997. P. 7-10.

120. Chao C., Lin H., Milor L. Optimal testing of VLSI analogue circuits // IEEE Trans. Computer-aided design, Vol.16, January 1997. P. 58-77.

121. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solutions to standart H2 and H-inf control problems. 1989. V. AC-34. №. 8. -P. 831-847.

122. Francis B.A. A course in H-inf control theory. Lecture notes in control and information science. Springer Verlag. 1987. V. 88. 157 p.

123. Francis B.A., Doyle J.C. Linear control theory with on H-inf optimality criterion. A survey // SIAM J. of Control and Optimization. July, 1987. V.23, №. 4.-P. 815-844.

124. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariables systems // Intern. J. Control. 1984. V. 39. №. 6. -P. 1115-1193.

125. Gu. D.W., Tsai M.C. Postlethwaite L. A frame approach to the H-inf superoptimal solution // IEEE Ttans. Automatic Control. 1990. V. AC-35. №. 7. P. 829-834.

126. Kharinov M.V. Permutative and Hidden Matrix Symmetry in Some Applications of Artificial Intelligence. Proc. of 2th Int. Conference "Tools for Mathematical Modeling", St-Petersburg, 1999. P. 67-68.

127. Lindermeir W., Graeb H., Antreich K. Analogue testing by characterristic observation inference // IEEE Trans. Computer-aided design, Vol.18, 1999. -P.13537-1368.

128. Maciejowski J.M. Balanced realizations in system identification // Proc. of the 7th IF AC Symp. Identification and Parameter Estimation, York, UK. 1995. -P. 287-292.

129. Maciejowski J.M., Ober R.J., McGinnie B.P. Balanced parametrizations in time-series identification // Proc. of the 29th IEEE Conf. on Decision and Control, Hawaii. 1990. -P 108-123.

130. Moonen M., Ramos J.A. Subspase algorithm for balanced state space system identification // IEEE Trans. Automatic Control. 1993. №. 38. P. 17271729.

131. Ober R. Balanced parametrization on classes of linear systems // SIAM J. of Control and Optimisation. 1991. V. 29, №. 6. -P. 1251-1287.

132. Samar R., Postlethwaite I., Wei Gu D. Model reduction with balanced realizations //Int. J. Control. 1995. V.62. №. 1. -P. 33-64.

133. Wey C.-L. Built-in-self-test structure for analogue circuit fault diagnosis //IEEE Trans. Computer-aided design, Vol.39, N3, January 1990. -P. 517-521.

134. Wilson D.A. Convolution and Hankel operator norm for linear systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1989. V. AC-34. №. 1. P. 94-97.

135. Yang C.D., Huang K.Y., Yeh F.B. On computing nonlinear Hankel norm // Proc. of the 13th IF AC World Congress, San Francisco. 1996. -P. 407-412.

136. Балопин H.A., Леонтьев O.A., Попов O.C. Система идентификации параметров объектов. А.С.(СССР) № 949635, «Бюллетень изобретений», № 29, 1982.

137. Балонин Н.А., Попов О.С., Сироткин Е.Я. Система идентификации параметров объектов. А.С.(СССР) № 1156001, «Бюллетень изобретений», № 18, 1985.

138. Андреев И.А., Балонин Н.А., Попов О.С., Сироткин Е.Я., Усов А.Р. Устройство для ввода информации. А.С.(СССР) № 1229750, «Бюллетень изобретений», № 17, 1986.

139. Андреев И.А., Балонин H.A., Гусев С.А., Попов О.С., Сироткин Е.Я., Усов А.Р. Система идентификации параметров объекта. А.С.(СССР) № 1456678, «Бюллетень изобретений», № 16, 1987.

140. Андреев И.А., Балонин H.A., Попов О.С., Сироткин Е.Я., Усов А.Р. Система идентификации параметров объекта. А.С.(СССР) № 1413597, «Бюллетень изобретений», № 28, 1988.