автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Компьютерные математические системы в моделировании динамических объектов

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВ

КОМПЬЮТЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.16 Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 о т 2т

На правах рукописи

АБММЕНКОВА ИРИНА ВЛАДИМИРОВНА

Тверь 2000

Работа выполнена в Смоленском'государственном педагогическом университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор В.П. Дьяконов

Научный консультант: ...............

доктор технических наук, профессор А.Н. Чохонедидзе

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор H.A. Семенов кандидат технических наук, доцент В'.Ф." Очков

Ведущая организация: НИИ информационных технологий (г. Тверь)

Защита состоится « Ж »ЦФЦ*? 2000 г. в // часов на заседании диссертационного совета КО63.22.03 при Тверском государственном техническом университете по адресу: 170023, г. Тверь, пр-т Ленина, д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного технического университета.

Автореферат разослан «АО » ШСо? 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Жгутов

¿~; е ар/, о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

актуальность проблемы. Будучи принципиально новыми средствами решения математических задач, системы компьютерной математики (СКМ) требуют новых принципов, подходов и методик для их эффективного применения в решении задач математического моделирования динамических объектов, систем и процессов. Их разработка, как и научно-обоснованный выбор СКМ, и составляет главную цель данной диссертационной работы. При этом в ней рассматривается достаточно широкий класс задач математики, физики и других областей естествознания.

Надо отметить, что большинство фирменных примеров к таким системам носят отвлеченный характер и призваны показать стандартные возможности систем. Примеры в данной диссертационной работе носят практический характер и иллюстрируют трудности решения практических задач и пути их преодоления. Особое внимание уделено математической, физической и графической визуализации результатов моделирования на основе использования новейших достижений цветной машинной графики и анимации.

В основу диссертации легли работы, выполнявшиеся автором по приоритетному научному направлению: "Применение математических средств и методов в задачах естествознания", шифр 14.3, код рубрикатора ГРНТИ 29.05.05., 29.05.03., а также в порядке выполнения гранта Министерства общего и профессионального образования, проводимого к соответствии с приказом от 2 июня 1997 года, № 1083 и временным положением об организации конкурсов грантов в системе Государственного комитета РФ по высшему образованию, утверяуценным приказом Государственного комитета РФ по высшему образованию от 30 апреля 1993 года, №5.

По результатам исследований опубликовано 3 справочные монографии [1-3] и ряд других работ [4-15].

Целью диссертационной работы является исследование обширных возможностей универсальных СКМ как инструментальных средств для решения широкого спектра задач естествознания, разработка методов и средств моделирования динамических объектов, систем и процессов с помощью СКМ и их интеграция на уровне взаимных объектных связей.

В соответствии с указанной целью определены следующие задачи исследований.

1. Классификация, научно-обоснованный выбор и исследование возможностей универсальных СКМ в численно-аналитическом моделировании динамических объектов с наглядной визуализацией всех этапов вычислений.

2. Анализ возможностей расширения спектра решаемых с помощью универсальных СКМ задач естествознания.

3. Разработка методических пособий и справочных книг по СКМ, содержащих практически полезные примеры моделирования.

4. Анализ возможностей совместной работы над математическими проектами в сети Internet.

5. Изучение возможностей многокомпонентной работы систем и их взаимной интеграции.

Методы исследования. В диссертационной работе для решения поставленных задач используются:.

1.Математическое моделирование динамических объектов и систем на основе СКМ.

2.Изучение и анализ научной и учебной литературы по- проблематике исследования.

3.Создание аналитических и численно-аналитических моделей динамических объектов, обеспечивающих моделирование при помощи современных СКМ.

4.Применение объектной связи (OLE и DLE) с целью интеграции возможностей СКМ и исследование ресурсов систем, поддерживающих их интеграцию.

Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением теоретических расчетов с данными, полученными на описанных в специальной литературе физических установках, с расчетами, проведенными с помощью разных математических систем, и решением ряда предложенных в диссертационной работе тестовых примеров.

Научная новизна.

1. Разработана новая методика решения задач динамики с заменой умственных вычислений на автоматические, осуществляемые СКМ.

2. Предложено решение систем ДУ в векторной форме без применения отсутствующих в СКМ Mathcad многомерных массивов.

3. Предложено аналитическое решение в системе Mathcad линейных ДУ на основе автоматических преобразований Лапласа.

4. Предложено применение сплайн-аппроксимации при табличном задании N- и Л-образной ВАХ, позволившее создать универсальную модель релаксационного генератора на приборах с такими ВАХ и выполнить ее анализ.

5. Разработана методика спектрального анализа и синтеза повышенной точности (с подавлением эффекта Гиббса), основанная на обработке дополнительных отсчетов временной зависимости сигналов, полученных с использованием многоинтервальной линейной интерполяции.

6. Выполнено численно-аналитическое моделирование ряда динамических объектов и систем в области естествознания: полета тела, колебаний рамки с током в магнитном поле, движе-

ния частиц и т.д., разработан комплекс решений тестовых физических задач(около 150).

7. Оценены возможности интеграции СКМ с использованием механизмов объектной межкомпонентной связи и применения системного интегратора MathConnex и предложен проект АРМ математика-инженера на базе этих систем.

Практическая ценность работах заключается в использовании математических систем как инструментальных средств для подготовки обширной серии физических и научно-технических задач с повышенной степенью наглядности их постановки и решения, а также с применением новейших средств визуализации и анимации результатов вычислений.

Результаты проведенных исследований вошли в книги, изданные издательством "Нолидзк" (Москва), что в значительной мере позволило устранить острую нехватку русскоязычной литературы, описывающей эти системы, и сделало их доступными для широкого круга специалистов разных профилей.

Основные положения, выносимые на зшцоту:

- полная или частичная замена математических преобразований и выводов, ранее выполняемых исследователями мыслительно, результатами автоматических аналитических преобразований и выводов, осуществляемых символьными СКМ;

- современные СКМ (Mathcad, Maple V, MATLAB) как новые средства решения'задач моделирования динамических объектов;

- решение ряда классических задач физики, механики и электро-радиотехники, подтвердившее ряд теоретических положений и подтверждающее апробацию предложенных решений;

- новая методика моделирования динамических объектов в виде программ в среде Mathcad, Maple V, MATLAB с визуализацией всех этапов решения конкретных задач и оптимизацией процесса вычислений;

- интеграция СКМ на основе механизма объектной межкомпонентной связи и применения системного, - интегратора МаШ2оппех; .

- проект автоматизированного рабочего места математика-инженера на базе СКМ с пакетами и библиотеками расширений.

Реализация результатов работа»:

- бета-тестирование СКМ Ма1:Ьсас1 8 по 'заказу фирмы Ма^Эо:^;

- примеры применения системы Ма^сасЗ, размещенные на Интернет-сайте корпорации Эо^Ыпе;

- три справочные монографии, изданные в издательстве «Нолидж» с общим тиражом более 15000 тыс. экз; -

- информация по книгам в Интернет-магазине фирмы Эо^Ыпе;

- физический практикум и спец. курсы по применению СКМ для физических и математических расчетов, поставленные в Смоленском государственном педагогическом университете.

Апробация работа. Основные результаты диссертационной работы были использованы в '• учебных курсах информатики и математического моделирования, а также в вычислительной практике в Смоленском государственном педагогическом' университете, докладывались автором и обсуждались на международной научно-методической конференции, посвященной 75-летию со дня рождения М.Б. Балка (Смоленск, 1998), на международной конференции ЮЛ-99 (Санкт-Петербург, 1999), на II международной научной конференции Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании (Минск, 1999), на пятой и шестой военно-научных конференциях -Военного университета войсковой ПВО ВС РФ (Смоленск 1998, 1999), на научно-технических семинарах кафедры "Физическая и информационная

s

электроника" СГПУ. Основные результаты проведенных исследований вошли в книги [1-3].

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель, основные задачи, методы проведения исследований, определены научная новизна и практическая ценность результатов работы, приведены сведения об их реализации и апробации и представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе впервые проведен анализ возможностей универсальных математических систем в решении задач. моделирования динамических объектов. Проведенный анализ показывает, что системы компьютерной математики являются принципиально новыми инструментальными средствами для решения математических задач и задач естествознания, рассмотрены новые принципы применения таких систем для решения задач математического моделирования динамических объектов, систем и процессов.

Для решения данных задач научно обоснованно выбраны три системы: универсальная система Mathcad 8/2000, система символьной математики (компьютерной алгебры) Maple V R4/R5, ядро которой используется и в системе Mathcad 8/2000, и система MATLAB 5.2/5.3. Проведена оценка роли крупной матричной системы MATLAB. Констатируется, что из-за ее чрезмерного объема (около 1 Гбайта на жестком диске и выше) и архаичного интерфейса эту систему целесообразно использовать при реализации крупных научных проектов, базирующихся на обработке больших массивов данных.

Установлено, что выбор математической системы должен зависеть от трудоемкости и сложности поставленной задачи. Выбранной системой, согласно предложенной классификации, должна являться та система, которая с одной стороны давала бы полное и исчерпывающее решение поставленной задачи, а с другой стороны не усложняла процесс вычисления необходимостью выполнения ряда сложных подготовительных операций, включая традиционное программирование.

Проведенные исследования сайтов фирм-разработчиков математических систем показали, что все рассмотренные сайты ориентированы на широкий обмен опытом между пользователями всего мира. Однако на прямую работу над совместными проектами более ориентированы две системы - Mathcad и Maple V. Установлено, что совместная работа над математическими проектами в сети Internet предоставляет большие возможности проведения сложных научно-технических расчетов, а также создания новых прогрессивных научных направлений.

Во второй главе определен крут задач, для решения которых целесообразно использовать СКМ, и предложен новый подход к математическому моделированию динамических объектов на базе использования средств символьной математики системы Mathcad и широкого использования средств визуализации результатов вычислений, выполнено решение широкого спектра тестовых задач различного уровня сложности.

Система Mathcad наиболее удобна при решении динамических задач умеренной сложности, решения которых описываются известными аналитическими зависимостями со схематическим моделированием динамических объектов при помощи графических примитивов и анимацией их движения по закону, описанному полученной в результате решения задачи математической формулой.

Так, при решении задачи совмещения на одном графике величины и положения вектора скорости и траектории движения

точки результат получен благодаря разработанному в данной диссертационной" работе методу задания движущихся объектов с помощью ранжированных переменных, масштабирующих коэффициентов, параметрическому заданию совмещаемых объектов и их изображению с помощью графических примитивов. При этом ранжированная переменная, определяющая длину вектора скорости по оси х, имеет вид:

■ л)

100 х ^

(1),

(2) ,

где л - коэффициенты масштабирования.

Функции, определяющие составляющие вектора скорости в момент времени Ь0 по осям х и у, заданные параметрически с параметром як имеют вид: ух(Бк) : = х(Ь0) + в к vy(sk) : = у(Ь0) + к • эк

уу(У • л

где V (10) . п - коэффициент наклона вектора скорости.

На приведенном графике (рис. 1) построены траектории движения точки с обозначением положения точки, направления и модуля вектора скорости в момент времени ¿г0.

К" о) ООО

4,(1)

5 10 20

Рис. 1. Траектория движения точки; её положение и вектор скорости в момент времени ■ 8 с. В данной главе на ряде задач динамики впервые были получены аналитические решения линейных дифференциальных уравнений (ДУ) , описывающих их работу. При этом использованы пре-

образования Лапласа, осуществляемые средствами системы Mathcad. Новизна и важность такого подхода определяются тем, что средства Mathcad изначально не содержат функций для прямого аналитического решения ДУ.

К примеру, ДУ гармонических колебаний рамки с током в однородном магнитном поле имеет следующий вид:

сг 6 • I ÍL- a(t) + -

dt . m

В

sin (ait.) ) ~ О

(3)

Для малых колебаний рамки с током справедливо л1п(а)^а, можем записать уравнение гармонических колебаний рамки в следующем виде:

d

a(t) +

i • в

m

a(t) = 0

(4)

я (t) + о(t) laplacçt s (s laplac<a(0,t,s) - <i(0)) - /

dt2 m

L s2-С 1-s - С 2 + Üi-L=0 solve, L m

crs + c2

(sW6-B-I)

invlaplacç s ■* m

(s Ш+61В)

1

(6BI)

-Jé-

l.^C^siri

tf-0 Si""

/б- (il) Л <JV m/

■h 61 ■_ laplactfa (t), t,s) m

+ — С i cos m

Ыг-1),

i \ m/

a(t)»Cj-

m s¡n I6 B-I t¡ 6 В I J m '

Окончательное уравнение колебаний рамки при малых колебаниях sin(a)*a имеет вид:

a(t) : = а0 ■ sin (со ■ t) ^

В данной главе показана техника реализации в системе Mathcad конечно-разностных методов решения ДУ, описывающих, поведение динамических объектов и процессов. Разработана функция - программный модуль для анализа релаксационной системы, моделирование которой напрямую невозможно, поскольку для формирования вектора первых производных требуется задание условия нагрева и остывания данной релаксационной системы. Разработанный модуль имеет вид:

m

ср

£ог 16 1.. N

Р<г-0 if Г; _ 2> Г тах

Р*— 2500 Гi

1< т лил

Тл - 1

+ А ^ £ ( Т1 _ 2 + А С-

Г С ^

Л '

Многие из приведенных в данной главе тестовых задач решены разными методами. Это существенно повышает достоверность решения и обеспечивает возможность выбора метода решения, оптимального для того или иного класса задач.

Рассмотрены примеры обработки результатов эксперимента и проведения спектрального анализа и синтеза различными методами в системе Ма^са«!. Это позволило существенно повысить точность спектрального синтеза сложных сигналов и практически ликвидировать проявление эффекта Гиббса.

Разработана методика применения встроенных в Ма№сас1 функций обработки данных, представления функций от двух тл-более переменных в виде векторов и матриц, использования для векторных и матричных переменных рекуррентных формул.

В третьей главе проведено исследование возможностей графической визуализации, которая имеет огромное значение при решении математических задач. Выполнено исследование возможностей ряда научной графики: функций в декартовой и полярной системе координат, поверхностей в трехмерном пространстве, контурных графиков и графиков векторного поля, графиков пересекающихся трехмерных поверхностей (с вычислением линий пересечения) и т.д.

В данной главе с помощью ряда новых введенных функций дан расчет распределения интенсивности световых волн при интерференции и дифракции на щели с графической визуализацией.

Г

Получены ЗБ-графики, иллюстрирующие эти процессы. Возможно вращение и масштабирование таких графиков с помощью мыши.

Затем в данной главе проведено исследование возможностей наглядной визуализации поведения в динамике различных объектов с помощью средств анимации графиков в новых версиях систем Mathcad. Средства анимации Mathcad реализуются с помощью целочисленной системной переменной FRAME, задающей кадры анимационного клипа. На ряде физических примеров показана технология параметрического описания физических процессов, позволяющая эффективно использовать анимацию для представления результатов моделирования динамических объектов.

В четвертой главе исследованы возможности .математических систем для динамических расчетов повышенной сложности.

При решении многокомпонентных математических и физических задач нельзя ограничиться средствами только систем класса Mathcad, даже с учетом того, что в эти системы включено ядро символьной математики более мощной системы Maple V. Необходимо применение и более мощных систем компьютерной математики, таких как Maple V R3/R4/R4, Maple б, Mathematica 4 и MATLAB.

Важным аспектом проведенного в работе исследования является применение системы Mathcad для решения некоторых задач линейного программирования и теории графов без написания объемных программных модулей. Представляет интерес ее применение вместе с системой Maple V, которая имеет специальную библиотеку networks для работы с графами, но не всегда удобна для осуществления операций над массивами.

Следует заметить, что также при решении некоторых усложненных динамических задач, например, требующих обеспечения многовариантности получаемого результата, возникает необходимость выбора более мощной математической системы. В таком случае целесообразно применять систему символьной математики

Maple V R4/R5 или в некоторых случаях новую версию системы Mathcad 8/2000.

Примером эффективного применения системы Maple V является моделирования движения сх-частицы в циклическом ускорителе Лоуренса. Это возможно с помощью программы на Мар1е-языке, приведенной ниже:

> xestart;

> rass:=proc(T) global х,у,х; local a,Bz,q, massa,omega,Vx,Vy,dt, t,E0,Ex,Fx,Sy;

> a: =5e-2;Bz: =1;q: =2*1. 6e-19;mass&:=4*l. 7e-27;

> omega :=q*Bz/massa;

> x[0]:-0;y[0]:=0;Vx:-0;Vy;=0;dt:=4e-10;t:=0;

> for x from. 1 by 1 while t<T do

> if x[±-l]<-a/2 ox x[i-l]>a/2 then E0:=0- else E0:=3e6 fx;

> Ex:=E0*cos (cmega*t) ;Fx:=q* (Ex+Vy*Bz) ;Fy:=-q*Vx*Bz;

> Vx: =Vx+Fx*d.t/ma. ssa.; Vy: =Vy-iFy*dt/massa.;

> x[i] :=x[x-l] +Vx*dt;y[i] :=y[i-l]+Vy*dt;t:=t+dt od;

> end:

> G:~[[x[n] ,y[n]] $n=l. .¿J;

>

> plot (G) ;

С появлением более поздних версий системы Mathcad представляется возможным решить некоторые из перечисленных тестовых задач и в этой системе. Следует отметить, что при решении подобных задач з данной диссертационной работе впервые предложен и описан в [3] метод создания и обработки многомерных символьных массивов при решении дифференциальны« уравнений и их систем.

В данной главе показано, что обширными возможностями в моделировании динамических задач обладает мощная математическая система MATLAB 5.0/5.3.1. Однако из-за ее крайней громоздкости (более 1.4 Гбайта памяти на жестком диске для последней версии 5.3.1) и слабых средств символьной математики не рекомендуется применять эту систему в том случае, когда задачи могут решаться в более простых системах Mathcad, Maple V.

Поводом к применению системы MATLAB может служить наличие в ней уникального моделирующего модуля Simulink, хорошо приспособленного для решения задач имитационного моделирования динамических объектов с повышенной визуализацией, анимационной графикой. Детальное описание системы MATLAB с модулем Simulink было дано в книге [2].

В данной главе рассмотрены возможности системной ин- 4 теграции компьютерных математических систем с использованием механизмов объектной межкомпонентной связи. Конечной целью интеграции является создание автоматизированного рабочего места [АРМ). В создании такого АРМ решающая роль принадлежит центральной системе. В данной работе в качестве таковой выбрана система Mathcad 2000 Premium. В качестве наглядного и простого примера использования описанного в работе комплекса для решения задачи с использование табличного процессора Excel для хранения табличных данных, системы Mathcad для их обработки и встроенного

графического пакета для построения графиков рассмотрен документ системного интегратора Ма^Соппех, представленный на рис. 3.

, , . Основные результаты работы заключаются .в следующем:

- Проведено сравнение по функциональным возможностям и скорости работы ряда СКМ и установлено, что для решения динамических задач наиболее подходит комплекс систем Mathcad, Maple V и MATLAB на основе, единого ядра символьной математики.

- Разработана достаточно гибкая и универсальная методика решения задач динамики, основанная на замене умственных аналитических вычислений автоматическими и использовании новейших средств визуализации как промежуточных, так и конечных результатов.

- Предложены новые приемы решения задач динамики в аналитическом виде: векторная запись систем ДУ без использования многомерных массивов, создание ранжированных размерных переменных, автоматическое применение преобразований Лапласа для решения в среде Mathcad дифференциальных уравнений, онлайновая аппроксимация табличных данных при спектральном анализе и анализе релаксационных колебаний и др.

Рис. 3. Документ системного интегратора MathConnex.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

- Впервые с применением разработанного метода проведено моделирование ряда динамических объектов и систем в области естествознания: полета тела, колебания рамки с током, движения частиц, колебания в системе с устройством, имеющим N- и Л-образную ВАХ и др.

Решена задача комплексной визуализации численно-аналитических вычислений. Показаны возможности наглядной визуализации с применением средств графической визуализации в решении таких задач, как дифракция и интерференция, колебания маятника и груза на пружине, полет тел и элементарных частиц и др.

- Разработана и подробно описана методика и технология применения анимационной графики на примерах решения динамически х задач теоретической физики; разработана методика представления реальных динамических объектов с помощью графических примитивов (маятника, груза на пружине и т.д.), движущихся по закону, описанному полученной в ходе ' решения аналитической зависимостью или в виде матрицы численных значений.

- Создан обширный комплекс тестовых примеров и задач в области теоретической и прикладной физики, наглядно демонстрирующий возможности систем компьютерной математики в решении задач естествознания.

- Определены и обоснованы возможности комплексного применения СКМ для ряда математических расчетов; установлено, что применение для этого систем Maple V и MATLAB позволяет сочетать приемы процедурного программирования и создания подключаемых библиотек с мощными возможностями символьных вычислений.

- Исследованы сайты фирм-разработчиков математических систем и возможности совместной работы над сложными математическими проектами в сети Internet; установлено, что на

прямую работу над совместными проектами более ориентированы системы Mathcad и Maple V.

- Результаты исследований были использованы при бета-тестировании системы Mathcad 8.0 по заказу фирмы MathSoft. Inc. (США), при выполнении работ по гранту Минобразования РФ. и при подготовке трех книг по математическим системам Mathcad и MATLAB, изданных издательством "Нолидж" (г. Москва).

- Разработаны возможности интеграции систем компьютерной математики при решении ряда задач на основе многокомпонентной работы с объектными связями между компонентами и использования системного интегратора MathConnex.

"- Предложен проект АРМ математика-инженера на базе систем Mathcad, MATLAB, Maple V с пакетами расширений и библиотеками расширений.

- Апробация диссертационной работы подтверждена участием в Международных конференциях, тождественностью полученных результатов эксперименту и публикацией их в указанных выше книгах, изданных большим тиражом и доступных научной общественности.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях.

1.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 7 в математике, в физике и в Internet. - М.: Нолидж, 1998. - 352 с.

2.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В MatLab 5.0/5.3 Система символьной математики. - М.: Нолидж, 1999. - 633 с.

3.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 8 PRO в математике, физике и Internet. - М.: Нолидж, 1999. - 503 с.

4.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Техника визуализации учебных и научных задач с применением систем класса Mathcad// Информационные технологии. -1998. - № 11.- С.39-41

5.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Вычислительная практика для физиков в системе Mathcad. Методические указания. -Смоленск: Смоленский государственный педагогический университет, 1999. - 32с.

6.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Обзор возможностей математической системы Mathcad 7.0 PRO в"моделировании реально протекающих физических процессов.//Избранные вопросы математики и методики ее преподавания: Тез. докл. Международной научно-методическая конференция. - Смоленск: СГПУ, 1998. - С.34-35

7.Абраменкова И.В. Использование математических пакетов в преподавании математики в вузе.//Содержание и методы обучения математике в школе и в вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты: Тез. докл. XVII Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов. - Брянск: Издательство Брянского госпедуниверситета, 1999. - С.164

8.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В., Пеньков A.A. Возможности математических систем MatLab 5.0/5.3 в символьных вычислениях и в моделировании систем.//Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании: Тез. докл. Вторая международная научная конференция. - Минск: БГУ, 1999. - С. 2 6

9.Абраменкова И.В. Применение системы Mathcad в аналитических физических расчетах и в физическом практикуме . //Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании: Тез. докл. Вторая международная научная конференция. - Минск: БГУ, 1999. - С. 81

Ю.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Совместная работа над математическими проектами в сети Интернет.//Интернет Об-

щество Личность (ИОЛ - 99). Тез. докл. Международная конференция. - Санкт-Петербург: Институт "Открытое общество", 1999. - С.173

11.Abramenkova I.V. System Mathcad application in analytical physical calculation and in physical practical work.//Computer algebra in fundamental and applied research and education. Proceeding of second international scientific conference. Minsk, 1999. - P.114-118

12.Dyakonov V.P., Abramenkova I.V., Penkov A.A, Petrova E.V., Petrov I.V. Application of computer algebra system in education and science.//Computer algebra in fundamental and applied research and education. Proceeding of second international scientific conference. Minsk, 1999. - P.123-124.

13.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Решение задач математической физики в системе Mathcad 7.0 PRO и техника визуализации решений.//Реформирование войск ПВО: пути, проблемы, перспективы. Тез. докл. пятой военно-научной конференции. Смоленск.: ВУ ВПВО ВС РФ. 1998. С.133-134

14. Абраменкова И.В. Возможности Mathcad в математических расчетах.//Проблемы теории и практики войсковой ПВО ВС РФ в современных условиях. Тез. докл. шестой военно-научной конференции. Смоленск.: ВУ ВПВО ВС РФ. 1998. С.8-9

15.Абраменкова И.В. Использование математических пакетов в преподавании физики.//Проблемы теории и практики войсковой ПВО ВС.РФ в современных условиях. Тез. докл. шестой военно-научной конференции. Смоленск.: ВУ ВПВО ВС РФ. 1998. С.10-11

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.

1.1. Анализ общих возможностей универсальных математических систем.

1.2. Требования к математическим системам при использовании их в моделировании динамических объектов

1.3. Сравнительный анализ универсальных математических систем.

1.4. Повышение уровня научно-технических расчетов при использовании глобальной сети Internet

1.5. Технология организации совместной работы над математическими проектами в сети Internet

1.6. Выводы.

Глава 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ MATHCAD ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

2.1. Методика применения системы Mathcad в решении задач моделирования динамических объектов

2.2. Моделирование динамических объектов и процессов по известным формулам

2.2.1. Расчет траектории движения материальной точки.

2.2.2. Тепловое излучение, законы Стефана - Больцмана и Вина.

2.2.3. Экспериментальная проверка закона Стефана Больцмана.

2.3. Пример задачи динамики, сводящейся к решению системы нелинейных уравнений

2.4. Решение дифференциальных уравнений и их систем конечно-разностными методами.

2.4.1. Диффузия из бесконечно тонкого слоя.

2.4.2. Потеря энергии при торможении автомобиля.

2.4.3. Падение парашютиста.

2.5. Решение дифференциальных уравнений и их систем аналитическими и численными методами.

2.5.1. Методы решения дифференциальных уравнений в системе Mathcad.

2.5.2. Колебания рамки с током в однородном магнитном поле.

2.5.3. Анализ систем со сложным характером колебаний.

2.5.4. Пример анализа релаксационной системы

2.6. Моделирование нелинейной цепи с двухполюсником, имеющим N и Л- образную характеристику.

2.7. Решение дифференциальных уравнений динамики специального вида.

2.7.1. Функция Odesolve для решения систем дифференциальных уравнений с блоком Given.

2.7.2. Функции для решения жестких систем дифференциальных уравнений.

2.8. Спектральный анализ и синтез

2.8.1. Ряды Фурье.

2.8.2. Применение быстрого преобразования Фурье в моделировании динамических объектов.

2.8.3. Исследование эффекта Гиббса

2.9. Выводы.

Глава 3. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ MATHCAD.

3.1. Возможности системы Mathcad в визуализации вычислений.

3.2. Визуализация интерференционных колец Ньютона.

3.3. Визуализация процесса дифракции на щели

3.4. Визуализация распределения поля электрических зарядов.

3.5. Моделирование и визуализация движения заряженной частицы в магнитном поле.

3.6. Анимация и моделирование игрушки «Раскидай».

3.7. Моделирование биения груза на пружине при внешнем гармоническом воздействии

3.8. Моделирование колебаний математического маятника с анимацией.

3.9. Выводы.

Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ РАСЧЕТОВ

4.1. Применение математических систем для решения некоторых задач теории графов.

4.2. Решение задач линейного программирования с визуализацией динамики решения

4.3. Применение системы Maple V для расчета траектории полета объекта.

4.4. Моделирование движения а-частицы в циклическом ускорителе Лоуренса

4.5. Применение системы Mathcad для решения некоторых многокомпонентных задач моделирования динамических объектов

4.5.1. Траектория движения тела вблизи поверхности Земли.

4.5.2. Разделение изотопов

4.5.3. Рассеяние ос-частиц.

4.6. Применение системы MATLAB для решения многокомпонентных динамических задач

4.7. Интеграция математических систем на основе Mathcad

4.8. Выводы.

Под динамическими объектами в данной диссертационной работе подразумеваются как реальные (физические) объекты, так и виртуальные объекты, системы и процессы. Примерами виртуальных объектов могут быть виртуальные волны, движущиеся со сверхсветовыми скоростями [1], искусственно созданные графические объекты (например, точки промежуточных решений или симплексы при решении задач оптимизации) и др.

Для решения задач моделирование динамических объектов созданы многочисленные численные методы и различные методики численного моделирования [2-30, 93-96] . До сих пор они преимущественно реализовывались с помощью программ, которые готовились на языках программирования. Это требовало от ученых, преподавателей и студентов вузов обширных знаний в чуждых для них сферах, связанных с программированием.

Для моделирования и исследования динамических объектов, систем и процессов был создан ряд программных средств: "Dynsim", MathBrain", M20-sim Pro", "CC", "Компас" и др. Они позволяют достаточно просто выполнять анализ и моделирование линейных систем и нелинейных с типовыми нелинейностями.

Однако данные системы имеют ограниченные средства визуализации результатов анализа и моделирования и не позволяют моделировать динамические объекты и системы с нетиповой, в частности, произвольной нелинейностью.

В связи с этим актуальны поиск и разработка принципиально новых средств моделирования динамических объектов, систем и процессов, в которых на компьютер возлагается большая часть вычислений, представленных не только в численном, но и в аналитическом виде. В данной диссертационной работе впервые достаточно полно исследован ряд современных систем компьютерной математики и предложены подходы к их применению для решения динамических задач на массовых персональных компьютерах (ПК), исключающих необходимость в традиционном программировании или резко снижающие потребности в этом.

Будучи принципиально новыми средствами решения математических задач, системы компьютерной математики (СКМ) требуют новых принципов, подходов и методик для их эффективного применения в решении задач математического моделирования динамических объектов, систем и процессов. Их разработка, как и научно-обоснованный выбор СКМ, и составляет главную цель данной диссертационной работы. При этом в ней рассматривается достаточно широкий класс задач математики, физики и других областей естествознания.

Надо отметить, что большинство фирменных примеров к таким системам носят отвлеченный характер и призваны показать стандартные возможности систем. Примеры в данной диссертационной работе носят практический характер и иллюстрируют трудности решения практических задач и пути их преодоления. Особое внимание уделено математической, физической и графической визуализации результатов моделирования на основе использования новейших достижений цветной машинной графики и анимации.

Нельзя не отметить важность данных исследований, как для науки, так и для системы образования. Часть физических задач в области моделирования динамических объектов, систем и процессов была специально разработана для целей образования с целью наглядной демонстрации обширных возможностей СКМ в образовании. Исследование СКМ и решение с их помощью задач естествознания поддержано грантом Минобразования РФ 1997 г. По результатам исследований опубликовано 3 справочные монографии [2,4,32] и ряд других работ [53,54,57-60,97-101]. Внедрение этих работ в учебный процесс позволяет повысить фундаментальность высшего образования РФ и обеспечить возможности интеграции нашей системы высшего образования с мировой системой образования, где СКМ уже применяются достаточно широко .

Целью диссертационной работа! является исследование обширных возможностей универсальных СКМ как инструментальных средств для решения широкого спектра задач естествознания, разработка методов и средств моделирования динамических объектов, систем и процессов с помощью СКМ и их интеграция на уровне взаимных объектных связей.

В соответствии с указанной целью определены следующие задачи исследований.

1. Классификация, научно-обоснованный выбор и исследование возможностей универсальных СКМ в численно-аналитическом моделировании динамических объектов с наглядной визуализацией всех этапов вычислений.

2. Анализ возможностей расширения спектра решаемых с помощью универсальных СКМ задач естествознания.

3. Разработка методических пособий и справочных книг по СКМ, содержащих практически полезные примеры моделирования.

4. Анализ возможностей совместной работы над математическими проектами в сети Internet.

5. Изучение возможностей многокомпонентной работы СКМ и их взаимной интеграции.

Методы исследования. В диссертационной работе для решения поставленных задач используются:

1.Математическое моделирование динамических объектов и систем на основе СКМ.

2.Изучение и анализ научной и учебной литературы по проблематике исследования.

3.Создание аналитических и численно-аналитических моделей динамических объектов, обеспечивающих моделирование при помощи современных СКМ.

4.Применение объектной связи (OLE и DLE) с целью интеграции возможностей СКМ и исследование ресурсов систем, поддерживающих их интеграцию.

Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением теоретических расчетов с данными, полученными на описанных в специальной литературе физических установках, с расчетами, проведенными с помощью разных СКМ, и решением ряда предложенных в диссертационной работе тестовых примеров.

Научная новизна.

1. Разработана новая методика решения задач динамики с заменой умственных вычислений на автоматические, осуществляемые СКМ.

2. Предложено решение систем дифференциальных уравнений (ДУ) в векторной форме без применения отсутствующих в СКМ Mathcad многомерных массивов.

3. Предложено аналитическое решение в системе Mathcad линейных ДУ на основе автоматических преобразований Лапласа.

4. Предложено применение сплайн—аппроксимации при табличном задании N- и Л-образной ВАХ, позволившее создать универсальную модель релаксационного генератора на приборах с такими ВАХ и выполнить ее анализ.

5. Разработана методика спектрального анализа и синтеза повышенной точности (с подавлением эффекта Гиббса), основанная на обработке дополнительных отсчетов временной зависимости сигналов, полученных с использованием многоинтервальной линейной интерполяции.

6. Выполнено численно-аналитическое моделирование ряда динамических объектов и систем в области естествознания: полета тела, колебаний рамки с током в магнитном поле, движение частиц и т.д., разработан комплекс решений тестовых физических задач(около 150).

7. Оценены возможности интеграции СКМ с использованием механизмов объектной межкомпонентной связи и применения системного интегратора MathConnex и предложен проект АРМ математика и инженера на базе этих систем.

Практическая ценность работы заключается в использовании СКМ как инструментальных средств для подготовки обширной серии физических и научно-технических задач с повышенной степенью наглядности их постановки и решения, а также с применением новейших средств визуализации и анимации результатов вычислений.

Результаты проведенных исследований вошли в книги, изданные издательством "Нолидж" (Москва), что в значительной мере позволило устранить острую нехватку русскоязычной литературы, описывающей эти системы, и сделало их доступными для широкого круга специалистов разных профилей.

Основные положения, выносимые на запрету:

- полная или частичная замена математических преобразований и выводов, ранее выполняемых исследователями мыслительно, результатами автоматических аналитических преобразований и выводов, осуществляемых символьными СКМ;

- современные СКМ (Mathcad, Maple V, MATLAB) как новые средства решения задач моделирования динамических объектов;

- решение ряда классических задач физики, механики и электро-радиотехники, подтвердившее ряд теоретических положений и подтверждающее апробацию предложенных решений;

- новая методика моделирования динамических объектов в виде программ в среде Mathcad, Maple V, MATLAB с визуализацией всех этапов решения конкретных задач и оптимизацией процесса вычислений;

- интеграция СКМ на основе механизма объектной межкомпонентной связи и применения системного интегратора MathConnex;

- проект автоматизированного рабочего места математика-инженера на базе СКМ с пакетами и библиотеками расширений.

Реализация результатов работы:

- бета-тестирование СКМ Mathcad 8 по заказу фирмы MathSoft;

- примеры применения системы Mathcad, размещенные на Интернет-сайте корпорации SoftLine;

- три справочные монографии, изданные в издательстве «Нолидж» с общим тиражом более 15000 тыс. экз; информация по книгам в Интернет-магазине фирмы SoftLine;

- физический практикум и спец. курсы по применению СКМ для физических и математических расчетов, поставленные в СГПУ.

Основные научные направления, по которым выполнялась работа: в основу диссертации легли работы, выполнявшиеся автором по приоритетному научному направлению: "Применение математических средств и методов в задачах естествознания", шифр 14.3, код рубрикатора ГРНТИ 29.05.05., 29.05.03., а также в порядке выполнения гранта Министерства общего и профессионального образования, проводимого в соответствии с приказом от 2 июня 1997 года, № 1083 и временным положением об организации конкурсов грантов в системе Государственного комитета РФ по высшему образованию, утвержденным приказом Государственного комитета РФ по высшему образованию от 30 апреля 1993 года, №5.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были использованы в учебных курсах информатики и математического моделирования, а также в вычислительной практике в Смоленском государственном педагогическом университете, докладывались автором и обсуждались на международной научно-методической конференции, посвященной 75-летию со дня рождения М.Б. Балка (Смоленск, 1998), на международной конференции ИОЛ-99 (Санкт-Петербург, 1999), на II международной научной конференции "Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании (Минск, 1999), на пятой и шестой военно-научных конференциях Военного университета войсковой ПВО ВС РФ (Смоленск 1998, 1999), на научно-технических семинарах кафедры "Физическая и информационная электроника" СГПУ. Основные результаты проведенных исследований вошли в книги [2,4,32].

Основные результаты проведенного в диссертационной работе исследования состоят в следующем:

- Проведено сравнение по функциональным возможностям и скорости работы ряда СКМ и установлено, что для решения динамических задач наиболее подходит комплекс систем Mathcad, Maple V и MATLAB на основе единого ядра символьной математики.

- Разработана достаточно гибкая и универсальная методика решения задач динамики, основанная на замене умственных аналитических вычислений автоматическими и использовании новейших средств визуализации как промежуточных, так и конечных результатов.

- Предложены новые приемы решения задач динамики в аналитическом виде: векторная запись систем ДУ без использования многомерных массивов, создание ранжированных размерных переменных, автоматическое применение преобразований Лапласа для решения в среде Mathcad дифференциальных уравнений, сплайновая аппроксимация табличных данных при спектральном анализе и анализе релаксационных колебаний и др.

- Впервые с применением разработанного метода проведено моделирование ряда динамических объектов и систем в области естествознания: полета тела, колебания рамки с током, движения частиц, колебания в системе с устройством, имеющим N- и

А-образную ВАХ и др.

Решена задача комплексной визуализации численно-аналитических вычислений. Показаны возможности наглядной визуализации с применением средств графической визуализации в решении таких задач как дифракция и интерференция, колебания маятника и груза на пружине, полет тел и элементарных частиц и др.

- Разработана и подробно описана методика и технология применения анимационной графики на примерах решения динамических задач теоретической физики; разработана методика представления реальных динамических объектов с помощью графических примитивов (маятника, груза на пружине и т.д.), движущихся по закону, описанному полученной в ходе решения аналитической зависимостью, или в виде матрицы численных значений.

- Создан обширный комплекс тестовых примеров и задач в области теоретической и прикладной физики, наглядно демонстрирующей возможности систем компьютерной математики в решении задач естествознания.

- Определены и обоснованы возможности комплексного применения СКМ для ряда математических расчетов; установлено, что применение для этого систем Maple V и MATLAB позволяет сочетать приемы процедурного программирования и создания подключаемых библиотек с мощными возможностями символьных вычислений.

- Исследованы сайты фирм - разработчиков математических систем и возможности совместной работы над сложными математическими проектами в сети Internet; установлено, что на прямую работу над совместными проектами более ориентированы системы Mathcad и Maple V.

- Результаты исследований были использованы при бета-тестировании системы Mathcad 8.0 по заказу фирмы MathSoft. Inc. (США), при выполнении работ по гранту Минобразования РФ и при подготовке трех книг по математическим системам Mathcad и MATLAB, изданных издательством "Нолидж" (г. Москва).

- Разработаны возможности интеграции систем компьютерной математики при решении ряда задач на основе многокомпонентной работы с объектными связями между компонентами и использования системного интегратора MathConnex.

180

- Предложен проект АРМ математика-инженера на базе систем Mathcad, MATLAB, Maple V с пакетами расширений и библиотеками расширений.

- Апробация диссертационной работы подтверждена участием в Международных конференциях, тождественностью полученных результатов эксперименту и публикацией их в указанных выше книгах, изданных большим тиражом и доступных научной общественности.

1.0раевский А.Н. Сверхсветовая волна в усиливающей среде. Оптические тахионы//соросовский образовательный журнал. -1999. № 10. - С.75-80

2. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 7 в математике, в физике и в Internet. М.: Нолидж, 1998. - 352 с.

3. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998. - 400 с.

4. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М. : Нолидж, 1999. - 632 с.

5. Дьяконов В.П. Maple V мощь и интеллект компьютерной алгебры!//Монитор-Аспект. - 1993. - № 2. - С.48

6. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Ведение в Maple V. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. - 208 с.

7. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В. В. Пакет символьных вычислений Maple V. М.: Петит, 1997. -200 с.

8. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Филинъ, 1998. - 240 с.

9. Дьяконов В.П. Компьютер в быту. Смоленск: Русич, 1996. - 640 с.

10. Ю.Дьяконов В.П. Мой Pentium. М.: АСЕ, 1998. - 524с.1..Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. М. : Наука. Физматлит, 1987. - 240 с.

11. Дьяконов В. П. Как выбрать математическую систему?//Монитор-Аспект. 1993. - №2. - С.22

12. Дьяконов В. П. Компьютерные математические системы в образовании//Информационные технологии. 1997. - №4.-С.40-42

13. Дьяконов В.П. Справочник по системе символьной математики Derive. М.: СК-ПРЕСС, 1998. - 256 с.

14. Berry J.S., Graham Е., Warkins A.J. (University of Plymouth). Learning Mathematics through DERIVE. Ellis Horwood, 1993. - 371 p.

15. Brian H. Denton. Learning Linear Algebra Through DERIVE. Ellis Horwood, 1994. - 300 p.

16. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы Derive. М.: Наука. Физматлит, 1996. - 144 с.

17. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLab. М.: Наука. Физматлит, 1993. - 112 с.

18. Потемкин В. Г. MATLAB. Справочное пособие. М. : Диалог - МИФИ, 1997. - 350 с.

19. Потемкин В.Г. MATLAB 5 для студентов. М. : Диалог- МИФИ, 1998. 314 с.

20. Дьяконов В.П. Расширяемые системы для численных расчетов MatLAB//Монитор-Аспект. 1993. - №2. - С.26

21. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLAB. М.: Наука. Физматлит, 1993. - 112 с.

22. Дьяконов В.П. Система Mathcad. Справочник. М.: Радио и связь, 1993. - 128 с.

23. Очков В.Ф. MathCAD 7 Pro для студентов и инженеров. М.: Компьютер Press, 1998. - 384 с.

24. MathCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. Пер. с англ. М. : Филинъ, 1996. - 712 с.

25. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO.- М.: СК-ПРЕСС, 1997. 336 с.

26. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD 7.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС, 1998. - 352 с.

27. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathe-matica 2 и Mathematica 3. М.: СК-ПРЕСС, 1998. - 318 с.

28. Аладьев В.З., Шишаков M.JI. Введение в среду пакета Mathematica 2.2. M.: Филинъ, 1997. - 386 с.

29. Martin Е. Mathematica 3.0 Add-on Package. USA: Wolfram Research, 1996. - 1200 p.

30. Кристофидес H. Теория графой. Алгоритмический подход. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. - 432 с.

31. Дьяконов В.П., Абраменкова И. В. Mathcad 8 PRO в математике, физике и Internet. M.: Нолидж, 1999. - 503 с.

32. Бурсиан Э.В. Задачи по физике для компьютера. М. : Просвещение, 1991. 256 с.

33. Бурсиан Э.В. Физика 100 задач для решения на компьютере. Учебное пособие. СПб.: ИД «МиМ», 1997. - 252 с.

34. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М. : Наука. Физматлит, 1980. - 384 с.

35. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. К.: Наукова думка, 1986. - 584 с.

36. ЗЭ.Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход A.B., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятности и математической статистике. М.: Наука. Физматлит, 1985. - 640 с.

37. Львовский E.H. Статистические методы построения эмпирических формул. М.: Высшая школа, 1988. - 239 с.

38. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 198 0. - 352 с.

39. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск.: Вышэйшая школа, 1974. - 766 с.4 3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах. М.: Наука, 1978.

40. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 2-х томах. М.: ОГИЗ, 1947.

41. Эльсгольц А.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. - 424 с.

42. Лосев А. К. Теория линейный электрических цепей. -М.: Высшая школа, 1987. 512 с.

43. Беликов B.C. Решение задач по физике. Общие методы. М.: Высшая школа, 1986. - 256 с.

44. Гулд X., Табочник Я. Компьютерное моделирование в физике. В двух частях. М.: Мир, 1990.

45. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Техника визуализации учебных и научных задач с применением систем класса Mathcad// Информационные технологии. -1998. № 11.- С.39-41

46. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Вычислительная практика для физиков в системе Mathcad. Методические указания. Смоленск: Смоленский государственный педагогический университет, 1999. - 32 с.

47. Скалкова Я. и коллектив. Методология и методы педагогического исследования: Пер. с чешек. М. : Педагогика, 1989. - 224 с.

48. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1987. - 136 с.

49. Коршунова Н.И., Плясунов B.C. Математика в экономике. М.: Вита-Пресс, 1996. - 386 с.62.3аварыкин В.М. и др. Численные методы. Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей пед. ин-тов.- М.: Просвящение, 1990. 196 с.

50. Monagan М.В., Geddes К.О., Heal K.M., Labahn G., Vorkoetter S.M. Maple V Release 5. Programming Guide. Springer, 1998. 380 p.

51. Дэвенпорт Дж. Сирэ И. Турнье Э. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. -М. : Мир, 1991. 352 с.

52. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. К.: Наукова думка, 1986. - 584 с.

53. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы. Минск: Вышэйшая школа, 1988. - 270 с.

54. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука. Физматлит, 1979. - 832 с.

55. Гантмахер Ф. Теория матриц. М.: Наука. Физматлит, 1988. - 552 с.

56. Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw Hill Book Company, 1968.

57. Дэннис Дж., Шнабель P. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. Пер. с англ. Под ред. Ю.Г. Евтушенко. М.: Мир, 1988. - 440 с.

58. Саймон Барри. Символьная математика: новые времена- новые формы//PC Magazine/Re. 1992. - № 5.

59. Информатика. Толковый словарь основных терминов. Издание 2-е. М.: ПРИОР, 1998. - 240 с.7 3.Пройдаков Э.М., Теплицкий JI.A. Англо-русский словарь терминов и сокращений по ВТ, Интернет и программированию. М.: СК-Пресс, 1998. - 288 с.

60. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Совместная работа над математическими проектами в сети Интернет.//Интернет Общество Личность (ИОЛ 99). Тез. докл. Международная конференция. - Санкт-Петербург: Институт «Открытое общество», 1999. - С.173

61. Дьяконов В. П. Windows 95 на вашем компьютере. Смоленск: Русич, 1997. 528 с.

62. Дьяконов В.П. Мой Word 95/97. M.: ACT, 1998. -336 с.

63. Дьяконов В.П. Популярная энциклопедия мультимедиа. M. : ABF, 1996. - 416 с.

64. Дьяконов В.П. 98 вопросов по Windows 98 с ответами. М.: Солон-Р, 1999. - 555 с.

65. Дьяконов В.П. Internet. Настольная книга пользователя. М.: Солон-Р, 1999. - 573 с.

66. Коцюбинский А.О., Грошев C.B. Современный самоучитель работы в сети Интернет. Быстрый старт.: , Практ. пособие. М.: Триумф, 1997. - 400 с.

67. Ахметов К.С., Федоров А.Г. Microsoft Internet Explorer 4.0 для всех. M.: Компьютер Пресс, 1997. - 336 с.

68. Microsoft Windows Internet Explorer 4: наглядно и конкретно. Пер с англ. М.: Русская редакция ТОО Channel Trading Ltd, 1998. - 288 с.

69. Дьяконов В.П., Смердов В.Ю. Бытовая и офисная техника связи. М.: Солон, 1999. - 368 с.

70. Хонникат, Джерри. Использование Internet. 2-е издание. Пер. с анг. К.: Диалектика, 1997. - 304 с.

71. Хан Харли. Желтые страницы Internet&Web'98 . Международные ресурсы. С/Пб.: Питер, 1998. - 1200 с.

72. Поляк Ю. Сигалов А. и др. Желтые страницы Internet' 98 . Русские ресурсы. С/Пб.: Питер, 1998. - 416 с.

73. Желтые страницы Internet'98. Компьютеры и телекоммуникации. Под ред. А. Сигалова. С/Пб.: Питер, 1999. -1156 с.

74. Леонтьев Б.(сост.) Все лучшие русскоязычные ресурсы Internet: справочное пособие. М. : Познавательная книга плюс, 1999. - 176 с.

75. Очков В.Ф. Mathcad 8 Pro для студентов и инженеров. М.: Компьютер Press, 1999. - 523 с.

76. Плис А.И., Сливина H.A. Mathcad: Математический практикум. М.: Финансы и статистика, 1999. - 656 с.

77. Лобанова О.В. Практикум по решению задач в математической системе DERIVE. M.: Финансы и статистика, 1999. - 644 с.

78. Дли М.И. Локально-аппроксимационные модели сложных объектов. М.: Физматлит, 1999. 112 с.

79. ЭЗ.Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точных преобразований. -М.: Наука, 1976. 365 с.

80. Тетельбаум И.М., Шнейдер Ю.Р. Практика аналогового моделирования динамических систем: Справочное пособие -М.: Энергоатомиздат, 1987. 384 с.

81. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 264 с.

82. Эб.Видаль П. Нелинейные импульсные системы: Пер. с франц. М.: «Энергия», 1974. - 336 с.

83. Абраменкова И.В. Возможности Mathcad в математических расчетах.//Проблемы теории и практики войсковой ПВО ВС РФ в современных условиях: Тез. докл. Шестая военно-научная конференция. Смоленск.: Изд-во ВУ ВПВО ВС РФ., 1999. - С. 8-9

84. Абраменкова И.В. Использование математических пакетов в преподавании физики.//Проблемы теории и практики войсковой ПВО ВС РФ в современных условиях: Тез. докл. Шестая военно-научная конференция. Смоленск.: Изд-во ВУ ВПВО ВС РФ., 1999. - С. 10-11

85. Тихонов A.H. Единое информационное пространство высшей школы России: основные проблемы и направления развития //Информационные технологии. 1996. - № 2.- С.2-61. У — х/т8a t h S oft

86. MathSoft International Knightway House Park Street Bagshot

87. Surrey GU19 5AQ U.K. Tel: +44 (0)1276 45 22 99 Fax: +44 (0)1276 45 12 241. July 7, 1998

88. Dear Mathcad 8 Beta Tester,

89. Thank you for registering your details on our beta test web site. I have pleasure in enclosing a CD containing the first beta release of Mathcad 8.

90. Before installing the software, please take time to familiarise yourself with the documentation in D:\notes\betaprog.htm

91. From here you can view the installation instructions and release notes, as well as link to the beta test web site, where you can log any bugs you find and suggestions you have.

92. To log in to the beta site, please use the following information:1. User Name: betatest1. Password: aquarium

93. Please contact our International Beta Team, on beta@mathsoft.co.uk with any enquiries you have regarding the beta program.

94. Thanks again for your help. Happy testing!1. Yours sincerely1. Rob Dooley1.ternational Beta Test Co-ordinator1. Эффект Доплера

95. Частота гудка номинальная f:=450Hz, тогда, в соответствии с формулой эффекта Допплера: ff