автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Комплексные алгоритмы анализа квантовых систем во внешних полях

На правахрукописи

УДК 681.3.06 51-72:539.172.17 519.615.5

Гусев Александр Александрович

КОМПЛЕКСНЫЕ АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2004

Работа выполнена в Научном центре прикладных исследований Объединённого института ядерных исследований

Научные руководители:

Доктор физико-математических наук,

профессор С.И. Виницкий

Кандидат технических наук,

доцент В.Н. Самойлов

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

профессор Н.Ф. Шульга

Доктор физико-математических наук,

профессор В.П. Цветков

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов.

Защита состоится 17 сентября 2004 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан «

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Савотченко СЕ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время квантовые системы во внешних полях интенсивно исследуются из-за разнообразия их приложений в процессах ударной ионизации атомов, рассеяния света на системе квантовых точек, импульсного воздействия лазерных полей на атомы в магнитных ловушках, генерации второй гармоники и трехфотонного рассеяния в квантовой оптике.

Для формулировки математических моделей и разработки алгоритмов решения данного класса параметрических нелинейных и эволюционных краевых задач применяются алгебры динамической симметрии, канонические преобразования, символьные и численные методы. Использование символьных методов существенно упрощает процесс формулировки и анализа математической модели, позволяет избежать ошибок округления, получать решение поставленной задачи для необходимой области определения набора исходных параметров, а также рассматривать сингулярные функции и изучать их асимптотическое поведение. Промежуточные результаты символьных вычислений, как правило, имеют большой объём, а их преобразование к искомой форме требует значительных компьютерных ресурсов. Поэтому, необходима разработка комплексных алгоритмов, сочетающих достоинства символьных и численных методов и позволяющих визуализировать исследуемые решения, зависящие от набора физических параметров. Для тестирования разрабатываемых алгоритмов и контроля эффективности их работы необходимо построение эталонных моделей.

Под комплексным алгоритмом будем понимать сочетание адаптивного и комбинированного алгоритмов. Первым шагом реализации адаптивного алгоритма является такая переформулировка или редукция исходной задачи, при которой полученная задача удовлетворяла бы всем условиям применимости имеющегося набора методов и алгоритмов ее решения. Как известно, основной способ редукции многомерной краевой задачи состоит в функциональном разложении искомого решения по удачно выбранному ортогональному базису и последующем приведении полученной задачи к алгебраической, доступной для численного анализа и сравнения с интегрируемыми эталонными моделями. Эти преобразования должны учитывать наиболее значимые особенности искомого решения и быть согласованными с условиями применимости выбранного типа аппроксимации задачи. В результате исходная задача разбивается на последовательность задач, для формулировки и решения-которых применяются комбинированные алгоритмы. Комбинированным алгоритмом реализуется поэтапное решение поставленной задачи.

Сначала символьным или численным алгоритмом решается вспомогательная задача. Затем результаты её решения используются в соответствующем численном или же символьном алгоритме как исходные данные. Например, для класса интегрируемых квантово-оптических моделей с помощью символьных алгоритмов исходную нелинейную задачу в новых динамических переменных можно линеаризовать и свести к алгебраической задаче на собственные значения, которая решается стандартными численными алгоритмами. Следовательно, разработка дискретных моделей, комплексных алгоритмов и программ, которые реализуют решение данного класса многомерных параметрических краевых задач, является актуальной проблемой математического моделирования квантовых систем во внешних полях.

Цель диссертационной работы - разработка дискретных моделей и комплексных алгоритмов для символьных и численных расчетов физических характеристик квантовых систем во внешних полях и визуализации этих характеристик.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

• нормализация и квантование полиномиальных гамильтонианов,

• анализ моделей ионизации в трехчастичных квантовых системах,

• решение задачи рассеяния плоских волн на системе квантовых точек,

• расчет населённостей водородоподобных атомов в импульсных полях,

• формулировка эталонных моделей,

• визуализация физических характеристик изучаемых процессов.

Научная новизна. Проанализированы алгоритмы и разработаны

новые программы нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов. Разработаны алгоритмы алгебраической теории возмущений для водородоподобных атомов во внешних полях. Создан комбинированный алгоритм редукции для модели генерации второй гармоники и трехфотонного рассеяния. Исследована квантовая модель среднего поля для ударной ионизации атома гелия. Предложен алгоритм коррекции и визуализации траекторий в полуклассической модели ионизации атома гелия. Сформулированы модель эффективного потенциала для систем трех квантовых частиц и модели рассеяния плоских волн на системе квантовых точек. Предложены адаптивные алгоритмы для расчета населённостей водородоподобного атома в импульсных полях. Программы для расчета динамических характеристик системы связанных ангармонических осцилляторов и водородоподобных атомов во внешних полях официально зарегистрированы в Роспатенте.

Практическая значимость. Внедрены дискретные модели, комплексные алгоритмы и программы, которые позволяют решать

сложные параметрические нелинейные и эволюционные краевые задачи, возникающие при моделировании квантовых систем во внешних полях. Применение разработанной технологии комплексных символьных и численных алгоритмов включает новые возможности визуализации искомых решений, в частности, сложных движений и эволюции волновых пакетов в классических и квантовых системах. Показано, что построенные эталонные модели можно использовать для тестирования различных алгоритмов решения рассмотренного класса параметрических краевых задач и контроля эффективности их работы.

Разработаны новые комбинированные программы символьного решения задач нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов, реализованные на языках MAPLE, MATHEMATICA и REDUCE; произведено сравнение эффективности алгоритмов для нормализации полиномиальных гамильтонианов классической механики методами Биркгофа-Густавсона и Депри-Хори, а также их различных реализаций на указанных языках. Вычислены мультипольные поправки к энергетическому спектру и волновой функции для водородоподобного атома в электрическом и магнитном полях, реализована модель среднего поля для вычисления сечений процесса ионизации атома гелия и выполнен расчет сечения (е,3-1е) ионизации атома гелия, описывающий недавний эксперимент. Для нестационарного уравнения Шредингера созданы программы, реализованные на языках FORTRAN и MAPLE, для расчета и контроля динамики населенностей водородоподобного атома в импульсном резонансном лазерном поле и постоянном магнитном поле, для которых возможны эффекты стабилизации.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на 19 международных конференциях: III - VI International Workshops on Computer Algebra in Scientific Computing, (Самарканд и Бухара, 5-11 октября 2000г.; Констанц, 22-26 сентября, 2001г.; Ялта, 22-27 сентября, 2002г.; Пассау, 20-26 сентября, 2003г.); 6th IMACS Conference on Applications of Computer Algebra (Санкт-Петербург, 25-29 июня 2000г.); II международная конференция "Современные направления вычислительной физики", (Дубна, 24-29 июля 2000г.); XXIII International Colloquium Group Theoretical Methods In Physics (Дубна, 31 июля-5 августа 2000 г.); международная конференция "Дифференциальные Уравнения и Системы Компьютерной Алгебры", (Брест, 18-23 сентября 2000г.); International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics, (Дубна, 28-30 июня 2001г.); VII Всероссийская научно-техническая конференция "Новые информационные технологии" (24 апреля 2002г.; 2425 марта 2004г.); Sixth Workshop on Computer Algebra (Дубна, 27-28 мая 2002г.); VIII International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research (Москва, 24-28 июня 2002); Fifth

International Congress on Mathematical Modelling (Dubna, 30 сентября - 2 октября 2002г.); 12-th International Colloquium Quantum Groups and Integrable Systems (Прага, 12 - 14 июня 2003г.); XXIII International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions, (Стокгольм , 23 -29 июля 2003г.); Focus Symposium on "Quantum Physics and Communication" (Дубна, 30 июля - 2 августа 2003г.); X International Conference on Symmetry Methods in Physics (Ереван, 13-19 августа 2003г.); International Workshop on Laser Physics and Photonics (Саратов, 1-4 октября, 2002г.; 2-7 октября, 2003г.); а также на научных семинарах Научного центра прикладных исследований(НЦеПИ), Лаборатории информационных технологий (ЛИТ), Лаборатории теоретической физики (ЛТФ) им. Н.Н. Боголюбова Объединённого института ядерных исследований, физико-математического факультета Белгородского государственного университета (БелГУ), НИИЯФ МГУ, РУДН (Москва).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 19 публикациях в виде статей в журналах Программирование, Вычислительные методы и программирование, Журнал физической химии, Journal of Physics A, Physics Letters A., SPIE (The Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers), Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering, докладов в трудах международных конференций, сообщений ОИЯИ и свидетельств об официальной регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Объём диссертации - 160 страниц, 24 рисунка, 8 таблиц. Список литературы включает 141 наименование.

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ, БелГУ, НИИЯФ МГУ, ФИАН, кафедры прикладной математики и физики Университет Киото (Япония), Темпл Университет (Филадельфия, США), самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в разработку представленных математических моделей, компьютерное моделирование и анализ конкретных физических задач является определяющим.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении аргументирована актуальность работы и сформулированы её цели. Поставлены основные задачи. Дан краткий обзор известных и предлагаемых формулировок математических моделей и комплексных алгоритмов анализа квантовых систем во внешних полях. Кратко изложено содержание разделов диссертации.

В главе 1 представлены и проанализированы комплексные алгоритмы нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов [1-9].

В разделе 1.1. сравниваются алгоритмы и программы для нормализации полиномиальных гамильтонианов классической механики методами Биркгофа-Густавсона (БГ) и Депри-Хори (ДХ) и процедуры квазиклассического квантования нормальных форм (НФ), представленные в виде универсального псевдокода. Исследуется класс моделей системы N - ангармонических связанных осцилляторов, которые в окрестности точки равновесия (с(°Кр^) фазового пространства описываются

полиномиальными гамильтонианами

где е - безразмерный параметр, СУу - частоты гармонических осцилляторов, - однородные полиномы степени /. Процедура нормализации заключается в нахождении гамильтониана в канонической (нормальной) форме

с помощью производящей функции Н^^Е*'2, реализующей

каноническое преобразование (ц,р)—*(£,Т]) со скобками Пуассона { , }. Алгоритм решения исходного уравнения Н(д,р)=С(£,т]) основан на рекуррентной по 5 цепочке уравнений относительно неизвестных компонент

Вспомогательные однородные полиномы Т® выражаются в явном виде через компоненты найденные на предыдущих шагах

(1=3,...,5-1), а коэффициенты &°1т, компонент

заданных

во вспомогательных переменных, вычисляются по формулам

Отметим, что в алгоритме ДХ производящая функция №=№(<!;, г?) задаётся в новых переменных. Это обстоятельство приводит к явной процедуре преобразований (ч>р)*~*(&1'0> что обеспечивает более высокую эффективность алгоритма ДХ при вычислении приближенных интегралов движения I: {Н,1}—0((д,р/"ах*') по сравнению, с алгоритмом БГ, в котором задаётся в смешанных переменных.

На основе рекуррентных соотношений созданы алгоритмы и программы решения обратной задачи нормализации, т.е. построения класса гамильтонианов Н по заданной нормальной форме О. Показано,

что полиномиальные двумерные гамильтониань^ приводящиеся к нормальной форме с нулевыми компонентами =0, принадлежат классу интегрируемых систем Бертрана-Дарбу с интегралами движения I:

{Н.1М.

Вид полученной нормальной формы О зависит от соотношения между частотами: если все частоты (Оу несоизмеримы, т.е. соотношения

Ь^у=0 не выполняются при целых Ь^^О, то гамильтониан имеет N независимых интегралов движения 1у=(^у+^у3)/2. Тогда действие О соответствующего квантового оператора (/ на базис Ы-

мерного гармонического осциллятора принимает диагональный вид С=(5\к1,...,кц>=у\к1,...,кц> и для решения задачи на собственные значения С\Х>=Х(Е)\Х> достаточно решить уравнение у—Х(Е). При этом собственная функция |А> совпадает с собственной функцией оператора Сг\ Если существует г резонансных соотношений ^О)\Ьк,у~0, к*=1,...,г с целыми Ь^^О между частотамвдмеется ]\[-г линейных комбинаций /„ являющихся независимыми интегралами движения, и действие оператора нормальной формы О на базис \к1,к2,.-,кц>, как правило, не принимает диагональный вид. В этом случае, для гамильтониана Н, содержащего малый параметр е, функцию О можно разложить в ряд

С=БД0+//2Ж/.....<^=1дЛ,.....¿„1*7.....кы>,

где- 7 =1,...,5тао Если /-тал поправка С® задана в

диагональном представлении то собственные

функции в слое (в подпространстве

Д=(Аг/,...,^ХЖ —с1=^-Ы/2) конечной размерности) и собственные значения Х(Е) ¿X® находятся в виде аналитических выражений через квантовые числа из системы неоднородных алгебраических уравнений

.....кгГ°-+Ъ<1~1)к1.....кы с начальными условиями

}®=^у(ку+1/2), ^^„.Д^т 1, Заметим, что алгоритм

вычисления спектра квантовой задачи (раздел 1.2.) требует больших вычислительных ресурсов, поскольку он включает вычисление коэффициентов Ь® (к1,...,кц) в слое большей размерности (к],...,км: с/-о ^^уку^+Х), 0-0$). Если /-тая поправка

задана в недиагональном представлении ;кя)\ки...,кц>, то для нахождения

соответствующих поправок к собственным значениям ха) и к собственным функциям решают секулярные уравнения (в подпространстве

конечной размерности В некоторых случаях

диагонализуются путем перехода к новым операторам рождения и уничтожения, например, двумерный атом водорода в однородном магнитном поле, в других случаях определяются решением рекуррентных соотношений (раздел 1.3).

Эффективность разработанных алгоритмов и программ (GITAN, LINAQ 1.3, GIFER), реализованных на языках MAPLE, MATHEMATICA и REDUCE, показана для набора полиномиальных гамильтонианов, к которым приводятся гамильтонианы водородоподобных атомных систем во внешних электромагнитных полях.

В разделе 1.2. изложены разработанные и реализованные на языках MAPLE, MATHEMATICA и REDUCE алгоритмы теории возмущений для водородоподобного атома, использующие формулировку задачи на собственные значения в терминах неприводимых представлений алгебр динамической симметрии SO(3,2) или so(4,2). Задача на собственные значения при наличии малого параметра приводится к системе неоднородных алгебраических уравнений в слое конечной размерности (ki,...,kf/' d-v^^ykySJ+v, v=v(f), j=l,...,s„m(), соответствующего неприводимого представления при N=2 или N=3 подобно схеме квантования раздела 1.1. Эффективность алгоритмов и программ (EN1QU 1.0, POINTFIELD, STARK) демонстрируется вычислением мультипольных поправок к энергетическому спектру и волновой функции для двух- и трехмерного водородоподобного атома в электрическом и магнитном полях, а также и расчетом динамики населенностей в импульсном поле. Рис. 1 иллюстрирует различия в динамике населённостей магнитных состояний в резонансном импульсном лазерном поле в зависимости от начального состояния.

Рис. 1. Населенности Р(п=9) и Р(п=10) атома для двух начальных магнитных состояний \п=9, V=0, т=0> и \п=9, у=8, т=0>, в магнитном поле [}=1.472-Ш5, и в импульсном электрическом поле Р,=0.002, Т=5357, в зависимости от числа импульсов 5.

Раздел 1.3. посвящен комплексному алгоритму построения и анализа линеаризованных моделей класса полиномиальных интегрируемых гамильтонианов квантовой оптики, связанных с неприводимыми

представлениями полиномиально деформированной алгебры Ли SUpd(2). Алгоритм предназначен для анализа квантово-оптических моделей

Hmps(m,n)= +яЧ, <).

где a]t aj - операторы полевых мод с частотами a)j, g - константа взаимодействия, а /=//£... Sfn=ft И Полиномиальная часть

гамильтониана, заключенная в скобках, описывает различные процессы многофотонного рассеяния, в том числе и генерацию второй гармоники (т—1, П—2). Текст программы HGFS и примеры выходных файлов даны в Приложении. Введение коллективных операторов (V± И Vo, удовлетворяющим коммутационным соотношениям группы SUpd(2), и интегралов движения первым блоком алгоритма, реализованном на языке REDUCE, позволяет получить в аналитическом виде линеаризованный гамильтониан

Няр'(т,п)= ф^-aJV, +gV. +g'V+C({Rj}), [V„C({Rj})1 = 0,

где C({RJ) - линейная функция интегралов движения и сгенерировать в базисе неприводимого представления размерностью

алгебраическую задачу на собственные значения с трехдиагональной матрицей. Во втором блоке алгоритма, реализованном на языке FORTRAN, эта задача решается стандартными численными процедурами. Вычисленные собственные значения энергии Ev(k,s) и векторы \Ev(k,s)>, используются для нахождения средних значений наблюдаемых

(Oft)) = .

и», tv»*

где - матрица плотности. Представлен анализ модели генерации второй гармоники. В качестве примера на рис. 2 показаны особенности перехода к двояко-периодическому поведению во времени Т среднего числа фотонов <No(t)>(Js. Переход реализуется в квазиклассическом пределе

т.е. квантовомеханические и квазиклассические

расчеты взаимно дополняют друг друга.

Рис. 2. Сгеднее число фотонов {N(,=(¡0 О0) в модели генерации второй гармоники «оптического атома» в основном состоянии в зависимости от времени г=gt(2s)la доя к=0, g=l при различных s=100, 300, 1000.

В главе 2 на основании работ [10-13] построены модели и алгоритмы для анализа процессов рассеяния в трехчастичных квантовых системах.

В разделе 2.1. разработана и реализована на языке MAPLE программа визуализации асимптотических классических траекторий вылетающих электронов в полуклассической модели двойной ионизации атома гелия быстрым электроном. Эффективность алгоритма продемонстрирована нахождением асимптотических параметров движения электронов с учетом искривления их траекторий за счет кулоновского отталкивания при заданных начальных данных, обеспечивающих коррекцию квантовых расчетов в конечной области.

Рис. 3. Относительное сечение 4DCS дня (е,3-1е)'-ионизации гелия в симметричной компланарной геометрии, вычисленное для радиально-коррелированной пробной функции в приближении среднего атомного поля (сплошная линия) и в приближении среднего орбитального поля (пунктир); экспериментальные данные

изображены точками.

В разделе 2.2. для атома гелия дан анализ квазиупругих А(е,Зе)А++ и атомных реакций в симметричной плоской геометрии при средних энергиях начального электрона порядка нескольких сотен эВ. На языке FORTRAN реализована программа для вычисления сечений процесса ионизации атома гелия. Сравнение с недавним (е,3-1е) экспериментом в симметричной компланарной геометрии1 показало возможность выделения эффектов среднего поля в атоме гелия и пост-столкновительных взаимодействий. Измерения в эксперименте проводились при значениях энергии падающего электрона Ео=580 эВ, энергии быстрых улетающих электронов Ej =Ез—Е—250 эВ и медленного испущенного электрона Ек=1 эВ. Четырехкратное дифференциальное сечение 4DCS (в относительных единицах) измерялось как функция угла разлета быстрых электронов относительно вектор-импульса

начального электрона. Для учета эйкональных поправок анализируются модели среднего поля всего атома и среднего поля на орбите (для волновых функций с радиальными корреляциями). В последнем случае сечение 4DCS имеет вид

dV

dEldE2dnidQ2

1 P.Bolognesi, C.C. Jia, A.Lahmam-Bennani, L. Avaldi, in Abstract of Int. Conf. on Electron and Photon Impact Ionization and Related topics(Metz, France, 2002), p.34.

yo.b

где Г ¡2 - моттовская электрон-электронная амплитуда рассеяния, 4 -формфактор медленного электрона. Параметры оптического орбитального потенциала определялись по теореме вириала через параметры а и Ь, характеризующие радиальные корреляции пробной функции. Показано, что при учете радиальных корреляций в области значения угла в^ЗСС удаётся воспроизвести экспериментально наблюдаемую угловую структуру сечения рассеяния (Рис. 3.).

В разделе 2.3. представлен разработанный и реализованный на языке MAPLE комбинированный алгоритм построения эффективных потенциалов эталонной модели трех бозонов на прямой с парными взаимодействиями нулевого радиуса с использованием однопараметрического базиса. Гамильтониан задачи в системе центра масс М имеет вид (Й=7Я=/)

Соответствующая двумерная краевая задача для волновой функции

в параметрическом базисе

{Вj (р;#)} ^ G Wj (5, (0)) приводится методом Канторовича к задаче для системы N радиальных уравнений

(H-q2)x(p,q>{(-(}®dp) + A(p))2+U(p)-q2}z(p,q) = 0,

где q2 =2(Е—Е0), Е - энергия трёх частиц и Ео - энергия парного порога. Эффективные потенциалы U(p) И А(р): A,j(p)=<B,\dp\Bj>,

индуцируются параметрической задачей и

вычисляются первым блоком комбинированного алгоритма.

Вторым блоком комбинированного алгоритма, реализующего каноническое преобразование Т^: эта задача редуцируется к

спектральной задаче в открытом парном канале

(dfifi~l(p)dp- U eg (р) + Чг)Х,#(р) = ®> Г </>)-!•

Здесь р(р)- эффективная масса, а Таблица 1. Энергия 2Е и её оценка

- эффективный потенциал. Полученные верхняя и нижняя оценки Л =2(E-EXCJ, относительно точного значения ¿/36, приведенные в Таблице 1 демонстрируют скорость сходимости разложения решения по числу N базисных функций.

В главе 3 на основе работ [14-19] сформулированы дискретные модели и представлены разработанные комплексные алгоритмы решения задачи рассеяния плоской волны на системе квантовых точек с короткодействующими потенциалами и расчета физических характеристик атома водорода во внешних полях.

В разделе 3.1. изложены алгоритмы решения задачи рассеяния для уравнения Шрёдингера с сепарабельными потенциалами. Эффективность алгоритмов показана на некоторых точно решаемых моделях. Для уравнения

с сепарабельным потенциалом

амплитуда

рассеяния п ^¡¿Чк^Ос е т вид, <""(*,*') = £!Г.*.(*)$.(*')

где X. (*)= (. , а СЙ - регуляризующий формфактор. Для

коэффициентов выведена система линейных алгебраических

уравнений

р'но '

й- *

"-¡ч*

Фаза определяется формулой

где к=2тс/Х\ (¡=А$'г Хк=Х/Го=0^, У/(4}Л)=Р. Исследованы возможности визуализации амплитуды и фазы рассеяния плоской волны на системе конечного числа квантовых точек при различных значениях параметров формактора

На Рис. 4 показаны интенсивности и фазы поля рассеянной волны на системе из N=8 точек, расположенных в вершинах куба с длиной (1=2я/к (при значениях параметров 3=1, Р—1, позволяющие распознать геометрический образ фигуры, при различных углах падения плоской волны: в вершину куба (а), в ребро куба (б) и нормальное падение на грань куба (в). Линии постоянного значения фазы и обозначены сплошной и пунктирной

линиями, соответственно. Вершина 1 совпадает с началом координат.

Ir Tit i'H

Рис. 4. Изолинии интенсивности 1 v • '' • (более темным участкам соответствуют максимумы интенсивности) на сфере при

фиксированном направлении к падающей волны.

Раздел 3.2. посвящен адаптивным алгоритмам моделирования процессов ионизации атомных систем при импульсном воздействии с выделением медленной огибающей решения нестационарного уравнения Шрёдингера. Проанализированы эталонные модели, проведены расчеты, демонстрирующие эффективность разработанных алгоритмов решения задачи Коши, описывающего динамику атома во внешнем поле:

Решение задачи ищется в виде разложения

сферическому базису Компоненты огибающей

волнового пакета по проективной переменной р\

г = Л(0Р,

z . ' ■ ехр{ J-mo^SHp'xz^p,,),

R"*(t) 2 dt

подчинены задаче Коши из системы N=lmax^l уравнений

Для численного решения этой системы разработаны алгоритм и программа MEWP 4.0, реализующие на языке FORTRAN схему Кранка-Николсона по переменной t и метод конечных элементов по переменной р. Генератор сетки QJt[ртт=0<ртш] с лагранжевыми элементами порядка р=1,...,10 и необходимые для вычисления матричных элементов квадратуры Гаусса порядка р+1 тестировались алгоритмом, реализованном на языке MAPLE. В качестве эталонной исследована модель двухмерного осциллятора (d=2) с собственной частотой СО во внешнем электрическом поле E(t)=(E\(t),E2(t)) в дипольном приближении с известным аналитическим решением y/=y/xci ПРИ EijCtJ—OnSmcOj^t. Показано, что переход к проективным координатам позволяет экономить вычислительные ресурсы, что демонстрируется на Рис. 5. В начальный момент времени пакет находился в начале координат при значениях параметров

Рис. 5. След движения волнового пакета гармонического осциллятора te[t0=0 ,Т=5]: (а) в обычных и (б)

проективных переменных RflMl+yV)'", /=0 /.

Для дискретизации решения Xj(P>x) по радиусу р, использовалась конечноэлементная сетка @i!'[pmm-0,p„,aj={pimn~0(100)l(300)pmax=10},

где число в скобках обозначает количество узлов. При р=4 и N=25 на интервале времени te[to=0,T=5] (At^O.OO!) обеспечивалась абсолютная точность численного решения щ по сравнению с аналитическим решением у/хс1 по невязке ||yw.icr|| не хуже, чем Iff4.

В разделе 3.3. для расчета населенностей водородоподобного атома взаимодействующего с последовательностью лазерных импульсов нулевой длительности предложены многослойные схемы и комбинированные алгоритмы, реализованные на языках FORTRAN и MAPLE для решения задачи Коши. Проведение расчеты демонстрируют как возможность эффекта стабилизации атома импульсным полем в присутствии дополнительного постоянного магнитного поля так и эффективность разработанных алгоритмов и программ.

Гамильтониан атома водорода (d=3) во внешнем электрическом поле F(t), которое аппроксимируется последовательностью S периодических <5-импульсов, в дипольном приближении и атомных единицах имеет вид

где Vm=P?p2SWLQ потенциальная энергия однородного магнитного поля с напряженностью/?. Задача Коши на временном интервале to<t<ST~.

i^ = H(r,t)y{r, t), vj/ (F,f) e H1 (Q)x[f0 ,ST],

с начальным условием в виде волнового пакета и условием ноомшовки

решалась на сетке Q=Q^Q{xi}, где Q{riJ-{to=0,...,ti+i=tk+dth..., tmax=ST[Ah=T/K} и Эволюция решения

между импульсами определяется

свободным гамильтонианом if/(th+i)=exp(-iHodt)y/(ti); решение после воздействия импульса определяется

оператором перехода через известное

решение в момент времени до воздействия при

—*+0. Для численного решения задачи предложена и использовалась неявная Л/-слойная эволюционная схема

->...->Vi, -y(tM): (l+£3*)we

где у. - вспомогательные функции. При фиксированном значении А/

значения параметра 0^=2АН/2^ задаётся решениями г(=г (£=1,...,М)

-1/2

уравнения ^¡(-М, -2М, г)=0, в частности, «*/=-/ при М—1, -/

при М=2, ....Эта схема сохраняет унитарность \\у\\—1-'гО(Д?М+Е,2М) и при М=1 соответствует схеме Кранка-Николсона. Для дискретизации решения на сетке использовались разложение по сферическому базису У^-) еЬ^ц) и метод конечных элементов по радиальной переменной г. Для численного решения задачи с начальным пакетом щ при главном квантовом числе п=5,10 использовались базис из 1тах=25 сферических функций и конечноэлементная сетка &к[0,ртах=гта/п]=[0(50)10(100)ртах=80]. Сходимость невязки эволюционной схемы по норме || || на интервале ^е//ПШ1=0,/тах=527 проверялась по формуле Рунге на вдвое сгущающихся сетках с шагом 5х=Т/(16п2) и соответствовала теоретической оценке 2М=4 порядка точности при выбранных значениях М=2 и р=6.

Расчеты, выполненные при п=9,20,50 и резонансных частотах со перехода между состояниями с главными квантовыми числами п и п+1: Т=2л/а}=2х/(1/(2п2)-1/(2(п+1)2) и высокочастотном режиме

показывают возможность стабилизации водородоподобного атома в суперпозиции импульсного лазерного и постоянного магнитного полей и при малых значениях параметров внешнего поля /}—1.472-10'5 и Р,=0.002 согласуются с точностью порядка 0.1% с оценками динамики населенностей из раздела 1.2. На Рис. 6 представлены результаты расчета эволюции волнового пакета атома водорода в высокочастотном импульсном электрическом поле, демонстрирующие эффект стабилизации и возможность контроля населенностей вариацией параметров поля.

Рис. 6. Эволюция волнового пакета для начального магнитного состояния п=5, у=5, т=0 при¡5=1.472 1(У}, в импульсном поле Р,=0.002, с периодом Т=53.57в зависимости от числа импульсов 5.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны комбинированные программы символьного решения задач нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов, алгебраической теории возмущений для расчета мультипольных характеристик водороподобного атома и линеаризации полиномиальных гамильтонианов моделей квантовой оптики, включающей модель генерации второй гармоники.

2. Сформулированы оригинальная квантовая модель среднего поля для расчета сечения ударной ионизации (е,3е) атома гелия быстрыми электронами в эйкональном импульсном приближении и алгоритм коррекции постстолкновительных взаимодействий, необходимые для интерпретации современных экспериментов по электронной спектроскопии.

3. Разработан алгоритм для формирования эффективного потенциала системы трех частиц в представлении параметрического базиса. Сформулированы дискретные модели и эффективные алгоритмы решения задачи рассеяния плоской волны на системе квантовых точек.

4. Для нестационарного уравнения Шредингера в ортогональном базисе разработаны новые многослойные схемы с расщеплением оператора эволюции, адаптивные алгоритмы и программы для расчета эволюции волнового пакета с выделением медленной огибающей и динамики населенностей атома водорода в импульсном лазерном поле и постоянном магнитном поле. Показано, что для интенсивного сверхкороткого лазерного импульса, огибающая волнового пакета определяет распределение по импульсам плотности вероятности ионизации электрона.

5. Проведены анализ и апробация разработанных алгоритмов на точно решаемых и модельных задачах (три частицы с потенциалами нулевого радиуса, двумерный осциллятор в электрическом поле, генерация второй гармоники, рассеяние плоской волны на решетке квантовых точек, атом водорода в постоянном магнитном и импульсном электрическом полях). Таким образом, подтверждена высокая точность и эффективность разработанных алгоритмов и программ.

6. Вычислены сечения реакций ионизации (е-Зе) атома гелия быстрыми электронами, которые согласуются с экспериментальными данными в рамках эйкональной модели с пост-столкновительными взаимодействиями. Выполненный расчет динамики атома водорода в суперпозиции импульсного лазерного и постоянного магнитного полей показывает возможность стабилизации и контроля населенностей состояний атома при вариации параметров поля.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Гусев А.А., Чеканов Н.А., Ростовцев В.А., Виницкий СИ., Увано И. Сравнение алгоритмов для нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов // Программирование.- 2004-№2-С.27-36.

2. Гусев А.А., Красильников В.В., Чеканов Н.А. Полуклассическое описание двумерного атома водорода в однородном магнитном поле // Журнал физической химии-2000-74-С.101-104.

3. Uwano Y., Vinitsky S.I., Rostovtsev V.A., Gusev A.A., The inverse problem of the Birkhoff-Gustavson normalization of the perturbed harmonic oscillators with homogeneous-cubic polynomial potentials // Journal of Computational Methods in Sciences and Engeneering.-2002-2-P.271-275.

4. Гусев А.А., Виницкий СИ., Ростовцев В.А., Самойлов В.Н., Чеканов Н.А. Нормализация и квантование полиномиальных гамильтонианов (программа для ЭВМ) // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004611478 от 2004 г. (Роспатент).

5. Гусев А.А., Самойлов В.Н., Ростовцев В.А., Виницкий СИ. Алгебраическая теория возмущений для атома водорода в слабых электрических полях // Программирование.-2001-№1-С.27-31

6. Gusev A.A., Samoilov V.N., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. Symbolic algorithms of algebraic perturbation theory for hydrogen atom: the Stark effect. // Proceedings of III Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, Eds. V. G. Ganzha, E.W. Mayr, E.V. Vorozhtsov, Springer-Verlag, 2000-P.219-232.

7. Gusev A.A., Samoilov V.N., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. Symbolic algorithms of algebraic perturbation theory: hydrogen atom in the field of distant charge. Proceedings of IV workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, Eds. V.G. Ganzha, E.W.Mayr, E.V. Vorozhtsov, Springer-Verlag, -2001-P.309-322.

8. Гусев А.А., Виницкий СИ., Ростовцев В.А., Самойлов В.Н. Расчет мультипольных характеристик водородоподобного атома в слабых электрических полях (программа для ЭВМ) // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004611480 от 2004 г. (Роспатент).

9. Karassiov V.P., Gusev A.A., Vinitsky S.I. Polynomial Lie algebra methods in solving the second-harmonic generation model: some exact and approximate calculations // Physics Letters A-2002-295-P.247-255.

10. Gusev A.A., Popov Yu.V., Vinitsky P.S. Semiclassical model of double ionization ofHelium atom // SPIE-2002-4706-P. 199-205.

11. Кузаков К. А., Чулуунбаатар О., Гусев А. А., Виницкий СИ., Попов Ю.В. (е-Зе) реакции при средний энергиях: визуализация эффектов среднего поля в атоме // Препринт ОИЯИ Р4-2002-218, Дубна, 2002.

12. Chuluunbaatar О., Gusev AA., Larsen S.Y., Vinitsky S.I. Three identical particles on a line: comparison of some exact and approximate calculations // Journal of Physisc A-2002-35-P.L513-L525.

13. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Pavlov D.V., Larsen S.Y., Vinitsky S.I. On effective adiabatic approach to the three-body problem Journal of Computational Methods in Sciences and Engeneering.-2004-4-P.3-8.

14. Popov Yu.V., Sokolovsky V.V., Gusev A.A., Vinitsky S.I. Separable potentials like a bridge between continuous and discrete scattering theories // SPIE-2004-5476-P.75-80.

15. Соколовский В.В., Попов Ю.В., Гусев А.А., Виницкий СИ., Использование потенциалов нулевого радиуса в качестве алгоритма решения квантовой задачи рассеяния // Вычислительные методы и программирование-2004-№5-С.83-95.

16. Popov Yu.V., Kouzakov K.A., Gusev AA., Vinitsky S.I. Model of interac-tion of zero-duration laser pulses with an Atom // SPIE-2003-5069-P.33-42.

17. Derbov V.L., Kaschiev M.S., Serov V.V., Gusev A.A., Vinitsky S.I. Adaptive numerical methods for time-dependent Schroedinger equation in atomic and laser physics // SPIE-2003-5069-P.52-60.

18. Gusev A.A., Chuluunbaatar 0., Kaschiev M.S., Vinitsky S.I. High accuracy splitting algorithms for the time-dependent Schrodinger equation with a train of laser pulses // SPIE-2004-5476-P. 100-114.

19. Гусев А.А., Виницкий С.И., Касчиев М.С., Чулуунбаатар О., Самойлов В.Н., Решение нестационарного уравнения Шредингера разложением волнового пакета по ортогональному базису (программа для ЭВМ) // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004611479 от 2004 г. (Роспатент).

Подписано в печать 12 08.2004. Формат 60x80/16 Гарнитура Times Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 166. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета. 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85

04-1483а

Введение

Общая характеристика работы.

1 Алгоритмы нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов

1.1 Нормализация и квазиклассическое квантование полиномиальных гамильтонианов.

1.1.1 Введение.

1.1.2 Процедура нормализации.

1.1.3 Приближенные интегралы движения.

1.1.4 Обратная задача нормализации.

1.1.5 Процедура квантования.

1.1.6 Обсуждение и выводы.

1.2 Алгебраическая теория возмущений для атома водорода

1.2.1 Введение.

1.2.2 Постановка задачи.

1.2.3 Метод решения

1.2.4 Примеры вычисления собственных функций и спектра

1.2.5 Оператор эволюции в представлении собственных функций невозмущенного атома.

1.2.6 Обсуждение и выводы.

1.3 Алгебраические схемы линеаризации интегрируемых моделей квантовой оптики.

1.3.1 Введение.

1.3.2 Модели квантовой оптики, их формулировка в терминах алгебры supd(2).

1.3.3 Модель генерации второй гармоники [98].

1.3.4 Обсуждение и выводы.

Моделирование трехчастичных квантовых систем

2.1 Квазиклассическая модель двойной ионизации атома гелия быстрым электроном

2.1.1 Визуализация асимптотических траекторий испускаемых электронов

2.1.2 Выводы.

2.2 Модели электронных корреляций в процессах ударной ионизации атома гелия

2.2.1 Введение.

2.2.2 Постановка задачи.

2.2.3 Приближения.

2.2.4 Результаты и обсуждение.

2.3 Эффективное адиабатическое приближение в задаче трех частиц

2.3.1 Введение.

2.3.2 Постановка задачи.

2.3.3 Асимптотические состояния парных каналов.

2.3.4 Каноническое адиабатическое преобразование.

2.3.5 Канонический адиабатический подход.

2.3.6 Обсуждение и выводы.

Дискретные модели и алгоритмы для квантовых систем во внешних полях

3.1 Модели рассеяния плоских волн на системе квантовых точек

3.1.1 Введение.

3.1.2 Рассеяние на потенциалах нулевого радиуса в трёх измерениях.

3.1.3 Сравнение подходов.

3.1.4 Задача рассеяния на двух точечных центрах.

3.1.5 Задача рассеяния на восьми точечных центрах, расположенных в вершинах куба.

3.1.6 Результаты.

3.2 Адаптивные алгоритмы для решения эволюционных задач

3.2.1 Введение.

3.2.2 Постановка задачи.

3.2.3 Алгоритм схемы Кранка - Николсона в представлении метода конечных элементов.

3.2.4 Адаптивная схема для двухмерного осциллятора во внешнем электрическом поле.

3.2.5 Адаптивная схема для модели одномерного атома в поле сверхкороткого лазерного импульса.

3.2.6 Обсуждение и выводы.

3.3 Алгоритмы расщепления оператора эволюции для сверхкоротких лазерных импульсов.

3.3.1 Введение.

3.3.2 Постановка задачи.

3.3.3 Результаты и обсуждение.

3.3.4 Выводы.

В настоящее время квантовые системы во внешних полях интенсивно исследуются из-за разнообразия их приложений в процессах ударной ионизации атомов, рассеяния света на системе квантовых точек, импульсного воздействия лазерных полей на атомы в магнитных ловушках, генерации второй гармоники и трехфотонного рассеяния в квантовой оптике. Основным инструментом анализа квантовых систем и процессов является математическое моделирование с использованием комбинированных символьных и численных методов, которое реализуется в рамках современных компьютерных технологий в виде дискретных моделей, комплексных алгоритмов и программ.

Канонические преобразования гамильтониана к нормальной форме широко применяются для интегрирования и анализа уравнений движения нелинейных систем методами теории возмущений [1-7], включая современные модели, например, управления квантовомеханическими процессами [8, 9], регулярной и хаотической динамики заряженных частиц высоких энергий в прямых и изогнутых кристаллах [10], или квантовых вычислений и алгоритмов [11]. С другой стороны, ридберговские атомы с долгоживущими энергетическими уровнями, имеющими главные квантовые числа n ~ 50 и максимальные орбитальные и магнитные квантовые числа, в настоящее время интенсивно исследуются в микроволновых резонаторах как элементы будущего квантового компьютера [12]. Кроме того в экспериментах с ионами в радиочастотных ловушках изучаются водородоподобные ионы, например 9Ве+, с одним электроном на внешней оболочке и, соответственно, с двумя внутренними состояниями (сверхузкие или метастабильные уровни энергии), которые связываются с колебательными степенями свободы ионов в ловушках [12]. Поскольку гамильтониан водородоподобного атома связан с гамильтонианом гармонического осциллятора посредством преобразований типа Леви-Чивита [13], то метод квантования нормальных форм [14] применяется и для расчетов динамических характеристик атомных систем во внешних полях [15]. Применение различных систем компьютерной алгебры (MATHEMATICA, MAPLE и REDUCE) существенно расширяет возможности различных реализаций процедур нормализации [16 - 18] и квантования полиномиальных гамильтонианов [19 - 21], поэтому актуальной задачей является анализ и сравнение алгоритмов в рамках универсального псевдокода с учетом специфики языков символьных вычислений MATHEMATICA, MAPLE и REDUCE с целью повышения эффективности новых реализаций [22]. В разделе 1.1 мы сравниваем алгоритмы приведения класса полиномиальных гамильтонианов (ангармонического осциллятора) к нормальной форме методом Биркгофа-Густавсона и преобразованиями Ли (метод Депри-Хори), а также процедуры нахождения приближенных и точных интегралов движения и построения квантового аналога нормальной формы, представленные в виде универсального псевдокода. Рассмотрены примеры, позволяющие оценить эффективность работы вышеупомянутых алгоритмов и программ, реализованных на языках REDUCE, MAPLE и MATHEMATICA. Представлен расчет квазиклассического спектра двумерного атома водорода в электрическом поле удаленного точечного заряда и дано сравнение со спектром соответствующей квантовой задачи, полученным алгоритмом теории возмущений раздела 1.2.

Различные схемы теории возмущений для водородоподобного атома в поле удаленного точечного заряда и ее приложения в атомной и молекулярной физике изучается более 60 лет [23 - 32], поэтому такую интегрируемую систему естественно рассматривать как эталонную модель для проверки эффективности разрабатываемых символьных алгоритмов [22]. Так полиномиальные решения для невозмущенного водородоподобного атома в сфероидальной системе координат исследовали в работе [27], где было отмечено, что традиционные схемы теории возмущений [33] не приводят к правильным замкнутым аналитическим выражениям для решений, характеризуемых наборами сферических или параболических чисел, что якобы не позволило в работе [26] получить правильное выражение для спектра в пятом порядке теории возмущений. Последовательный, но более сложный в реализации и в дальнейшем использовании полученных решений алгоритм, обеспечивающий факто-ризованное асимптотическое представление решений по большому параметру, классифицированных сфероидальными квантовыми числами был предложен в исходя из возможности разделения переменных [28]. Там же было получено разложение спектра до шестого порядка по обратной степени расстояния до удаленного заряда. Однако достаточно эффективного алгоритма для вычисления волновой функции в виде разложений по малому параметру теории возмущений [34, 35] с коэффициентами, заданными в виде полиномов от параболических или сферических чисел в аналитическом виде, так и не было построено [32]. В настоящее время эта задача остается актуальной, поскольку наличие простых аналитических выражений для спектра и собственных функций водородоподобного атома в поле удаленного заряда необходимы для вычисления асимптотик эффективных потенциалов экзотических двухэлек-тронных атомных систем в адиабатическом представлении [32, 36], а также асимптотик сильно делокализованные состояний антипротонного атома гелия [37] и подобных им ридберговских состояний водородоподобных атомов, рассматриваемых как интегрируемые модели в специальных конфигурациях электрического и магнитных полей [38, 39].

Как известно, группа 0(4) есть группа симметрии трехмерного атома водорода, а группа вращений 0(4,2) в шестимерном псевдоевклидовом пространстве является группой динамической симметрии [40, 41]. В самом деле, одно бесконечномерное неприводимое представление группы вращений связано масштабным преобразованием с волновыми функциями дискретного спектра атома водорода. Это обстоятельство позволяет формулировать алгебраическую схему теории возмущений в рамках алгебры группы 0(4,2) для атома водорода в трехмерном пространстве, заменяя полиномиальное возмущение подходящей комбинацией операторов1. Для построения такой схемы теории

1 Группа 0(3) есть группа симметрии двумерного атома водорода, группой динамической симметрии которого является группа вращений 0(3,2) в пятимерном псевдоевклидовом пространстве. возмущений принято использовать представление алгебры 0(2,1), исходя из возможности разделения переменных для эффекта Штарка [42] или задачи двух кулоновских центров [28]. Однако, в случае полиномиального возмущения общего типа, например для атома водорода в электрическом и магнитном полях или в неоднородном электрическом поле, когда переменные не разделяются, такое представление неудобно и требуется разработка общей схемы теории возмущений [31]. Для решения спектральных задач удобнее выбрать нормировку собственного вектора таким образом, чтобы она не содержала дробных степеней квантовых чисел, участвующих в процессе алгебраических вычислений в символьном виде. В разделе 1.2 дана формулировка наиболее эффективной схемы теории возмущений, которая не использует идею явного разделения переменных и допускает дальнейшее обобщение при рассмотрении вырожденной теории возмущений. Для того, чтобы изложение материала было максимально наглядным, мы демонстрируем работу предлагаемой схемы на примере типа эффекта Штарка, который позволяет получить правильные волновые функции нулевого приближения в замкнутом виде, а также в некоторых специальных конфигурациях электрического и магнитного полей.

В течение последних десятилетий большое внимание уделяется исследованию различных квантово-оптических моделей с нелинейными гамильтонианами, выраженных в терминах генераторов алгебры Ли, позволяющих изучать новые физические эффекты и явления. Для анализа таких моделей используются в основном численные расчеты [43 - 45], потому что стандартные Ли-алгебраические методы, хорошо приспособленные к решению проблем с линейными (по генераторам алгебры Ли) гамильтонианами неэффективными [46 - 48] , а большинство других аналитических методов (алгебраический анзац Бете [49] и др.) требуют сложных вычислений и не всегда дают простые аналитические выражения для физических величин. С другой стороны, стандартные численные схемы ограничены компьютерными ресурсами и не приспособлены для исследования особенностей динамики модели [50 - 52].

Новый универсальный Ли алгебраический подход, улучшающий и аналитические и численные решения физических проблем, был предложен в [53] и разработан в [50, 51, 54, 55] для некоторых нелинейных квантовых моделей, с инвариантными гамильтонианами Н относительно группы Gi : [G^ Н] = 0. Этот подход основан на переформулировке изучаемых моделей в терминах (введенный в [51, 53, 55] ) полиномиальных алгебр Ли (PLA) gpd как алгебр динамической симметрии gD : gD — полностью описывающих динамику модели. В разделе 1.3 представлены соответствующие алгоритмы, реализующие данный подход для класса интегрируемых полиномиальных моделей квантовой оптики в подпространстве конечной размерности, а также проведено сравнение точных квантовых расчетов с различными квазиклассическими приближениями.

Ионизация атомной мишени электронным ударом с одновременным измерением на совпадение продуктов реакции широко и интенсивно используется для исследования электронной структуры и механизмов ионизации атомов [56]. Режим большой передачи импульса от налетающего электрона одному из электронов атомной мишени, когда измеряется на совпадение быстрая электронная пара, особенно выгоден для изучения структуры волновой функции атома. В этом случае ионизационный механизм хорошо описывается моделью квазиупругого удара, и соответствующее дифференциальное сечение пропорционально спектральной функции ионизационной дырки в пространстве импульсов [57]. Однако такая простая картина процесса справедлива только при достаточно высоких энергиях налетающего электрона (3-5 кэВ), когда дифференциальные сечения малы и, следовательно, трудно измеримы в эксперименте. Поэтому довольно часто эксперименты проводятся при меньших энергиях (0.5-1 кэВ), что с точки зрения теории требует учета поправок к модели квазиупругого удара. На примере реакций однократной ионизации, или так называемых (е,2е)- реакций, эти поправки можно условно разбить на две категории: эйкональные поправки за счет эффекта среднего поля в атоме [58] и поправки за счет кулоновского взаимодействия электронов в конечном состоянии [59].

Экспериментально (е,2е)~ реакции на различных мишенях в кинематике квазиупругого удара исследуются в течение длительного времени, с конца 60-х годов, после появления первых теоретических работ на эту тему [60]. Позже теоретически было предсказано, что (е,3е)~ реакции, когда в результате встряски ион-остаток испускает третий медленный электрон, дают эксклюзивную информацию об электронных корреляциях в мишени. И даже если измеряется не угол медленного испущенного электрона, а лишь его энергия (т.н. (е,3-1е)- реакция), то и в этом случае мы можем изучать вклад высших парциальных волн полной волновой функции атома-мишени в дифференциальное сечение, а также радиальные корреляции электронов [61].

Недавно, основываясь на теоретических предсказаниях [61], осуществлён первый (е,3-1е)- эксперимент на атоме Не в симметричной компланарной геометрии [62]. Измерения проводились при значениях энергии падающего электрона — 580 эВ, энергий обоих быстрых электронов Е\ — i?2 = Е = 250 эВ и энергии медленного электрона Е^ = 1 эВ. Отметим, что медленный испущенный электрон не детектировался в эксперименте, так как в случае атома гелия данное обстоятельство не принципиально-энергия этого электрона фиксирована законом сохранения. Четырехкратное дифференциальное сечение (в относительных единицах) d4a/dEidE2dQidD,2 измерялось как функция угла разлета быстрых конечных электронов 6\ — 92 = 9 относительно вектор-импульса начального электрона pq. Было установлено, что экспериментальное сечение имеет некоторую характерную угловую структуру, которая позволяет говорить о наблюдении радиальных корреляций, однако оно оказалось примерно на 10° смещено в сторону больших углов разлета по сравнению с теоретическими расчетами в рамках приближения плоских волн [61], что указывает на необходимость учета поправок.

В разделах 3.1 и 3.2 приводится последовательная схема учета поправок к механизму квазиупругого удара в реакциях двухкратной ионизации атомов электронным ударом. На основе приведенного формализма делаются приближения, которые отвечают случаю эйкональных [58] и квазиклассических

59] поправок, хорошо известных в теории квазиупругих (е,2е)- реакций. В рамках сделанных приближений выполняются расчеты дифференциальных сечений (е,3-1е)- реакций в гелии и проводится анализ и сравнение результатов с экспериментальными данными [62].

Эффективное адиабатическое приближение на основе на канонического преобразования недавно рассматривалось на примере трехчастичных расчетов упругого рассеяния и энергий слабосвязанных состояний [63]. Однако исчерпывающий анализ асимптотических результатов этой процедуры, который исключительно важен в вычислениях резонансных состояний как слабосвязанных, так и нулевых энергий (отсчитанных от парного порога) не был выполнен. Для исследования и демонстрации эффективности такого канонического адиабатического приближения мы выбираем эталонную модель трех частиц на прямой с притягивающими потенциалами нулевого радиуса, так как в этом случае энергия и фазы рассеяния известны в элементарных функциях [64, 101]. Используя асимптотическое поведение результирующего дальнодействующего потенциала, мы демонстрируем в разделе 2.3 сходимость адиабатического разложения при конечном значении радиальной переменной. Мы показываем, что каноническое адиабатическое приближение обеспечивает адиабатическое разделение переменных в задаче упругого рассеяния 2 + 1, так же как и правильную асимптотику двумерной волновой функции. Мы получаем правильные верхние и нижние оценки при вычислении энергии состояния с нулевой энергией и подходящее поведение фазовых сдвигов упругого рассеяния.

В математическом моделировании физических процессов важную роль играют точно решаемые модели, когда можно явно определить спектр, собственные функции, резонансы, параметры рассеяния и т. п. К числу таких моделей относится описание движения частиц в потенциале, сосредоточенном на некотором дискретном множестве точек (5 - потенциал). Большинство работ на эту тему сделано в квантовой механике.

Одноцентровый гамильтониан с точечным взаимодействием в трёхмерном случае впервые был исследован Бете и Пайерлсом в 1935 г. при рассмотрении дейтрона [65]. Ферми в 1936 г. при исследовании движения нейтронов в водородной среде ввёл 5 - потенциал, получивший позже название псевдопотенциала Ферми [66]. Обширный обзор приложений в атомной физике дан в монографии Демкова и Островского [67].

Несмотря на огромный объём физических и математических работ по <5 -потенциалам (см., например, монографию [68]), практически в стороне осталась одна достаточно простая тема - можно ли при решении задачи рассеяния приблизить произвольный ограниченный потенциал конечной решёткой, состоящей из 5 - функций. Поскольку задача рассеяния на узлах решетки решается точно, то такой подход имеет преимущества по сравнению с традиционным разложением неизвестной волновой функции в ряд по некоторому ортонормированному базису. В самом деле, при разложении волновой функции в квантовой задаче рассеяния для системы нескольких частиц возникают известные проблемы [69, 70, 101]. Во-первых, практически очень тяжело оценивать вклад отброшенной части базиса. Во-вторых, асимптотика полученного решения, как правило, отличается от асимптотики точного решения. В-третьих, уточнение любых спектральных характеристик (энергии связанных состояний, ширины и положения резонансов, положения угловых пиков и т.п.) требует значительного увеличения размеров базиса.

Ответ на вопрос: можно ли приблизить кусочно-непрерывный ограниченный потенциал конечной суммой сингулярных S - функций и использовать такое представление в качестве алгоритма решения эллиптического дифференциального уравнения? - далеко не очевиден, поскольку в самом уравнении появляется произведение функций, сингулярных в одной точке (сингулярность самой функции накладывается на сильную сингулярность дельта-функции). В работе [104] на основе численного эксперимента показано, что в одном измерении такое приближение хорошо работает и, при увеличении числа дельта-функций, сходится к точному решению. Попутно обнаружено, что сетка равных площадей, предложенная в [67], менее эффективна, чем простая сетка равных интервалов.

В трехмерном пространстве сингулярность волновой функции значительно сильнее, чем простой излом в одномерном случае. Хотя амплитуда рассеяния и здесь определяется специальными граничными условиями, однако приходится отказаться от требования ограниченности волновой функции [68]. В разделе 3.1 предложен способ преодолеть эту трудность и получена математическая схема, которая позволяет в принципе приближать потенциал 5 - функциями в многомерном пространстве и свести исходную задачу нахождения амплитуды рассеяния к решению неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Динамика заряженной частицы в скрещенных постоянном магнитном и время-зависящем (переменном) электрическом полях [8] или в специальной метрики искривленного пространства-времени [71] проявляет много интересных эффектов. Например, вычисления классической траектории электрона показывают, что электромагнитное излучение релятивистского электрона в постоянном магнитном поле и сверхкоротком интенсивном лазерном импульсе имеет богатую структуру в направлениях как магнитного, так и электрического полей [72]. Если резонансное условие между циклотронной частотой и лазерной частотой имеет место, то радиационные потери минимизируются и экстремальное ускорение электрона становится возможным на очень короткой длине пробега электрона [73]. Решение уравнения Дирака для атомного электрона в комбинированном сильном магнитном и лазерном поле приводит к кольцевому распределению в резонансном режиме [74], подобно движению волнового пакета свободного электрона в постоянном магнитном и переменном электрическом полях[8]. Наложение статического магнитного поля может усилить скорость ионизации или стабилизировать квантовую систему при воздействии интенсивного лазерного импульса [75]. Тот же эффект наблюдается для модели системы с взаимодействием нулевого радиуса [76]. Более того, не только одноэлектронной, но и многоэлектронной динамикой можно управлять используя конфигурации скрещенных магнитных и электрических полей [77]. Эти наблюдения показывают большие потенциальные возможности контроля динамики классических и квантовых систем, используя оптимизацию различных параметров в комбинации магнитного и электрических полей.

В квантовом случае решение проблемы контроля динамики сводится к решению нестационарного уравнения Шрёдингера, поэтому разработка высокоточных и устойчивых схем крайне важна для предсказания новых эффектов индуцированных сверхкороткими импульсами.

Для аппроксимации решения по временной переменной обычно применяют схемы типа Кранка-Николсона [78 - 80]. Для аппроксимации решения по пространственным переменным обычно используют разложение решения по ортогональному базису с выделением радиальной переменной [81], при этом радиальное решение в предположении его достаточно гладкого поведения аппроксимируют методом конечных элементов [82, 83]. Для быстроосцилирую-щего решения можно выделить аналитически быстроменяющийся фазовый множитель, а для нахождения достаточно гладкой огибающей, применить схему Кранка-Николсона и затем вернуться к исходному решению. В разделе 3.2 такая адаптивная схема реализована, а ее эффективность продемонстрирована на примере эталонной точно решаемой модели двумерного осциллятора в электрическом поле [8]. Ослабление возмущений искомого решения на границе можно обеспечить искусственным введением мягкой поглощающей диафрагмы [84] или комплексного скейлинга в асимптотической области [85]. Ранее также был предложен так называемый метод расщепления волновой функции [86], который использует представление ее в виде суммы асимптотической и взаимодействующей частей. При помощи граничных условий излучения [87] можно физически корректно разрешить этот вопрос. В случае, если наибольший интерес представляет именно поведение вытекшего излучения, перспективным является использование адаптивной схемы в расширяющейся системе координат, представленной в разделе 3.2. Здесь показано, что для интенсивного сверхкороткого лазерного импульса, огибающая волнового пакета определяет распределение по импульсам плотности вероятности ионизации электрона.

Современные лазерные эксперименты стимулируют компьютерное моделирование динамики экзотических малочастичных кулоновских систем. В этом случае конструирование алгоритмов расщепления по физическим параметрам позволяет экономить ресурс ЭВМ [88]. Имеется два важных требования к разрабатываемым схемам и алгоритмам. Они должны быть стабильными и обеспечивать высокую точность по временной и пространственным переменным. С ростом интенсивности лазерных импульсов схема Кранка-Николсона становится неэффективной для аппроксимации оператора эволюции [89], также как и традиционные алгоритмы ее расщепления по физическим параметрам [90]. Поэтому в разделе 3.3. для решения нестационарного уравнения Шредингера разработаны алгоритмы расщепления, основанные на унитарных разложениях оператора эволюции, аппроксимирующих импульсы электрического поля более короткие, чем период классической орбиты электрона в атоме. Этот режим представляет значительный концептуальный интерес, так как перекидывает мост между фотоионизацией и ударной ионизацией атома частицами высоких энергий (см. раздел 2.2). Даны примеры расчета динамики населенностей атома водорода в импульсном резонансном лазерном поле и постоянном магнитном поле, для которых возможны эффекты стабилизации.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Во введение было показано, что актуальной проблемой математического моделирования квантовых систем во внешних полях является разработка как дискретных моделей, так и комплексных алгоритмов и программ, которые реализуют решение рассмотренного выше класса многомерных параметрических и эволюционных краевых задач.

Под комплексным алгоритмом понимается сочетание адаптивного и комбинированного алгоритмов. Первым шагом реализации адаптивного алгоритма является переформулировки или редукции исходной задачи, при которой полученная задача удовлетворяла бы всем условиям применимости имеющегося набора методов и алгоритмов ее решения. Основной способ редукции многомерной краевой задачи состоит в функциональном разложении искомого решения по удачно выбранному ортогональному базису и последующем приведении полученной задачи к алгебраической, доступной для численного анализа и сравнения с интегрируемыми эталонными моделями. Эти преобразования должны учитывать наиболее значимые особенности искомого решения и быть согласованными с условиями применимости выбранного типа аппроксимации задачи. Таким образом, исходная задача разбивается на последовательность задач, для формулировки и решения которых применяются комбинированные алгоритмы.

Комбинированным алгоритмом реализуется поэтапное решение поставленной задачи. Сначала символьным или численным алгоритмом решается вспомогательная задача. Затем результаты её решения используются в соответствующем численном или символьном алгоритме как входные данные. Например, для класса квантово-оптических моделей с помощью символьных алгоритмов исходная нелинейная задача в новых динамических переменных сводится к линейной алгебраической задаче, а редуцированную таким образом задачу на собственные значения решают стандартными численными алгоритмами.

Во введении было показано, что для построения дискретных моделей и комплексных алгоритмов применяются алгебры динамической симметрии, канонические преобразования, символьные и численные методы. Использование символьных методов позволяет избежать ошибок округления, получить решение поставленной задачи для необходимой области определения исходных параметров, а также рассматривать сингулярные функции и изучать их асимптотическое поведение. Однако промежуточные результаты символьных вычислений, как правило, имеют большой объём, а их преобразование к искомой форме требует значительных компьютерных ресурсов. Поэтому, необходима разработка эффективных комплексных алгоритмов, сочетающих достоинства символьных и численных методов и позволяющих визуализировать исследуемые решения, зависящие от набора физических параметров. Для тестирования разрабатываемых алгоритмов и контроля эффективности их работы необходимо построение эталонных моделей [91].

Целью диссертационной работы является разработка дискретных моделей и комплексных алгоритмов для символьных и численных расчетов физических характеристик квантовых систем во внешних полях и их визуализации с использованием современных компьютерных технологий.

В связи с этим были поставлены и решены следующие задачи по разработке, анализу и апробации комплексных дискретных моделей и алгоритмов:

• нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов

• анализ моделей ионизации в трехчастичных квантовых системах

• решения задачи рассеяния плоских волн на системе квантовых точек

• расчета населённостей водородоподобных атомов во внешних импульсных полях

• построения системы эталонных моделей

• визуализации физических характеристик изучаемых процессов.

Научная новизна. Разработаны и проанализированы алгоритмы нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов системы ангармонических осцилляторов.Разработаны алгоритмы алгебраической теории возмущений для водородоподобных атомов во внешних полях. Разработан комбинированный алгоритм редукции для модели генерации второй гармоники и трехфотонного рассеяния. Построена квантовая модель среднего поля для ударной ионизации атома гелия. Разработан алгоритм коррекции и визуализации траекторий в полуклассической модели ионизации атома гелия. Построена модель эффективного потенциала для систем трех квантовых частиц. Построены модели рассеяния на системе квантовых точек. Разработаны адаптивные алгоритмы для расчета населенностей водородоподобного атома в импульсных полях.

Практическая значимость. Разработаны комбинированные программы символьного решения задач нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов, реализованные на языках MAPLE, MATHEMATICA, REDUCE; произведено сравнение эффективности алгоритмов для нормализации полиномиальных гамильтонианов классической механики методами Биркгофа-Густавсона и Депри-Хори, а также их различных реализаций на указанных языках. Вычислены мультипольные поправки к энергетическому спектру и волновой функции для двух- и трех- мерного водородоподобного атома в однородном и неоднородном электрических полях, реализована модель среднего поля для вычисления сечений процесса ионизации атома гелия. Для нестационарного уравнения Шредингера разработаны программы, реализованные на языках FORTRAN и MAPLE, для расчета динамики населенностей атома водорода в импульсном резонансном лазерном поле и постоянном магнитном поле, для которых возможны эффекты стабилизации. Применение технологии комплексных символьных и численных алгоритмов включает новые возможности визуализации искомых решений, в частности, сложных движений и эволюции волновых пакетов в классических и квантовых системах, а также построения эталонных моделей для тестирования алгоритмов и контроля эффективности их работы. Разработанную комбинированную методику и программы можно применять для расчета характеристик квантовых систем во внешних полях.

Работы выполнялись в рамках совместных проектов по теоретическим и экспериментальным исследованиям квантовых систем во внешних полях, поддержанных грантами РФФИ: 00-02-16337-а "Исследование эффектов, связанных с явлением динамического хаоса при прохождении частиц большой энергии через кристаллы", 00-02-81023-Бел2000а "Интегрируемые модели в квантовой механике и квантовой оптике", 03-02-16263-а "Явление динамического хаоса во взаимодействии частиц большой энергии с кристаллическими структурами" и ФНТП РФ 40.018.1.1.1314 (2003-2004 гг.) "Разработка новых методов диагностики биологических структур на основе прецизионных оптических и спектроскопических измерений".

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на 19 международных конференциях:

III - VI International Workshops on Computer Algebra in Scientific Computing, (Самарканд и Бухара, 5-11 октября 2000г.; Констанц, 22-26 сентября, 2001г.; Ялта, 22-27 сентября, 2002г.; Пассау, 20-26 сентября, 2003г.); 6th IMACS Conference on Applications of Computer Algebra (Санкт-Петербург, 25-29 июня 2000г.); 2 международная конференция "Современные направления вычислительной физики", (Дубна, 24-29 июля 2000г.); XXIII International Colloquium Group Theoretical Methods In Physics (Дубна, 31 июля-5 августа 2000 г.); международная конференция "Дифференциальные Уравнения и Системы Компьютерной Алгебры", (Брест, 18-23 сентября 2000г.); International Workshop on Computer Algebra and its Application to Physics, (Дубна, 28-30 июня 2001г.); VII Всероссийская научно-техническая конференция "Новые информационные технологии" (24 апреля 2002г.; 24-25 марта 2004г.). Sixth Workshop on Computer Algebra (Дубна, 27-28 мая 2002г.); VIII International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research (Москва, 2428 июня 2002); Fifth International Congress on Mathematical Modelling (Dubna, 30 сентября - 2 октября 2002г.); 12-th International Colloquium Quantum Groups and Integrable Systems (Прага, 12 - 14 июня 2003г.); XXIII International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions, (Стокгольм ,23-29 июля 2003г.); Focus Symposium on "Quantum Physics and Communication" (Дубна, 30 июля - 2 августа 2003г.); X International Conference on Symmetry Methods in Physics (Ереван, 13-19 августа 2003г.); International Workshop on Laser Physics and Photonics (Саратов, 1-4 октября, 2002г.; 2-7 октября, 2003г.); а также на научных семинарах Научного центра прикладных исследований (НЦеПИ), Лаборатории информационных технологий (ЛИТ), Лаборатории теоретической физики (ЛТФ) Н.Н.Боголюбова Объединённого института ядерных исследований, физико-математического факультета Белгородского государственного университета (БелГУ), НИИЯФ МГУ, РУДН.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 16 публикациях [92 - 107] в виде статей в журналах Программирование, Вычислительные методы и программирование, Журнал физической химии, Journal of physics A, Physics Letters A., SPIE, Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering , в сборнике научных трудов "Новые информационные технологии", докладов в трудах международных конференций, препринтов и сообщений ОИЯИ, программы для расчета динамических характеристик системы ангармонических осцилляторов и водородоподобных атомов во внешних полях официально зарегистрированы в Роспатенте [108 -110]. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и семи приложений. Объём диссертации - 160 страниц, 24 рисунка, 8 таблиц. Список литературы включает 141 наименование.

Заключение

В диссертационной работе разработаны дискретные модели, комплексные алгоритмы и программы для анализа и расчета динамических характеристик квантовых систем во внешних полях. Актуальность темы исследований определяется известными проблемами редукции, понижения размерности и построения устойчивых и экономичных схем численного решения параметрических спектральных и эволюционных краевых задач для многомерного уравнения Шредингера, возникающих при моделировании процессов ударной ионизации атомов, импульсного воздействия лазерных полей на атомы в магнитных ловушках, рассеяния света на системе квантовых точек, генерации второй гармоники оптического атома и трехфотонного рассеяния, как типичных представителей квантовых систем во внешних полях, имеющих важное прикладное значение. Например, их можно рассматривать как прототипы возможных физических процессов в интерференционной микроскопии [139] и в элементах квантового компьютера [12], или магнитных ловушках в эксперименте ATHENA CERN по созданию низкотемпературной плазмы из позитронов и антипротонов и сверхточной спектроскопии антипротонных атомов [141].

В диссертации для формулировки дискретных моделей и адаптивных алгоритмов использовались канонические преобразования, неприводимые представления алгебр динамической симметрии квантовой системы в сочетании со схемами квазиклассического квантования и теории возмущений, методами компьютерной алгебры и численными методами, такими как расщепления оператора эволюции по физическим параметрам, приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям Канторовича, алгебраической редукции Галёркина и конечных элементов.

Для решения этого класса задач автором диссертации предложены оригинальные комбинированные символьные и численные алгоритмы, позволяющие выделить наиболее значимые особенности искомых решений, редуцировать исходные сингулярные параметрические задачи к канонической алгебраической форме с симметричными матрицами ленточной структуры, для которой можно эффективно применять известные методы численного анализа, обеспечивающие сходимость к искомому решению с заданной точностью в требуемой области значений физических параметров, и оптимизировать параметры расчетной схемы.

Проведены анализ и апробация разработанных алгоритмов и программ на точно решаемых и модельных задачах (три частицы с потенциалами нулевого радиуса, двумерный осциллятор в электрическом поле, генерация второй гармоники, рассеяние плоской волны на решетке квантовых точек, атом водорода в постоянном магнитном и импульсном электрическом полях), подтверждающие высокую точность и эффективность разработанных алгоритмов и программ. Показано, что построенные эталонные модели можно использовать для тестирования различных алгоритмов решения рассмотренного класса параметрических краевых задач и контроля эффективности их работы, а также визуализации искомых решений и физических характеристик изучаемых процессов.

Так в рамках предложенной эйкональной модели с пост-столкновитель-ными взаимодействиями вычислены сечения реакции ионизации(е-Зе) атома гелия, которые согласуются с недавними экспериментальными данными и позволяют проанализировать вклад радиальных корреляций электронов в атоме. Выполненное с помощью разработанных алгоритмов моделирование динамики атома водорода в суперпозиции импульсного лазерного и посто-. янного магнитного поля показывают возможность стабилизации и контроля населенностей состояний атома при вариации параметров поля.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему первому учителю Н.А. Чеканову, научным руководителям диссертации С. И. Виниц-кому, В.Н. Самойлову и коллегам по работе за всестороннюю поддержку в освоении постановок задач и возможных методов их решения.

1. Э. Уиттекер, Аналитическая динамика, Ижевск:, Удмурдский университет, 1999.

2. Г.Е.О. Джакалья, Методы теории возмущений для нелинейных систем, М.:, Наука, 1979.

3. F.G. Gustavson, On constructing formal integrals of hamiltonian systems, Astronomical Journal. 1966 V.71, p. 670-686.

4. G.I. Hori, Theory of general perturbations with unspecified canonical variables, Publ. Astron. Soc. Japan, 1966. V. 18. p. 287-296.

5. A. Deprit, Canonical tranformations depending on a small parameter, Cel. Mech., 1969. V. 1. p. 12-30.

6. W.A. Mersman, A new algorithm for Lie transformation, Cel. Mech., 1970. V. 3. p. 81-89.

7. P.V. Koseleff, Comparision between Deprit and Dragt-Finn Perturbation Methods, Cel. Mech. 1994. V. 58. p. 17-36.

8. А.Г. Бутковский, Ю.И. Самойленко, Управление квантовомеханически-ми процессами, М.:, Наука, 1984.

9. А.В. Зорин, JI.A. Севастьянов, Математическое моделирование квантовой механики с неотрицательной КФР, Вестник РУДН, Серия Прикладная и компьютерная математика, 2004. т. 4. с. 1-18.

10. Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф., Трутень В.И., Гриненко А.А., Сышенко В.В., Динамика заряженных частиц высоких энергий в прямых и изогнутых кристаллах, УФН 1995 V. 165. р. 1165-1192.

11. К.М. Fralm, R. Fleckinger, D.L. Shepelyansky, Quantum chaos and randum matrix theory for fidelity decay in quntum computations with static imperfection, Eur. Phys. J. D 2004. V. 29. p. 139-155.

12. Физика квантовой информации. Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цайлингера, (Глава 5) М.:, Постмаркет, 2002.

13. Е. Штифель, Г. Шейфеле, Линейная и регулярная небесная механика, М.:, Наука, 1975.

14. Г. Вейль, Теория групп и квантовая механика, М.:, Наука, 1986.

15. М.С. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, New York:, Springer, 1990.

16. А.Г. Сокольский, И.И. Шевченко, Нелинейная нормализация автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде, Ленинград:, Препринт ИТА АН СССР № 8, 1990.

17. А.Г. Сокольский, И.И. Шевченко, О нормализации автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде, Ленинград:, Препринт ИТА АН СССР № 14, 1991.

18. V. Basios, N.A. Chekanov, GITA: А ■ REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians, Сотр. Phys. Comm., 1995. V. 90. p. 355-368.

19. M. Robnik, The algebraic quantization of the Birkhoff-Gustavson normal form, J. Phys. A, 1984. V. 17. p. 109-130.

20. A.S. Nikolaiev, On the diagonalization of quantum Birkhoff-Gustavson normal form, J. Math. Phys., 1996. V. 37. p. 2543-2661.

21. D. Farelly, Т. Uzer, et al., Electronic structure of Rydberg atom in parallel electric and magnetic fields, Phys. Rev. A., 1992. V. 75 p. 4738-4751.

22. C.A. Coulson, The Van der Waals Force between a Proton and a Hydrogen atom, Proc. R. Soc. Edinburgh A, 1941. V. 61. p. 20-26.

23. M. Krogdahl, The interaction of a proton and a hydrogen atom in its excited states, Astrophys. J., 1944. V. 100. p. 311-332.

24. M. Krogdahl, Note on the Stark effect for large quantum numbers, Astrophys. J., 1960. V. 132. p. 906-907.

25. C.A. Coulson, C.M. Gilliam, The Van der Waals Force between a Proton and a Hydrogen atom. II. Excited States, Proc. R. Soc. A, 1947. V. 62. p. 360-368.

26. J.D. Power, Fixed nuclei of two center problem in quantum mechanics, Phyl. Trans. Soc. London A, 1973. V.274, p. 663-702.

27. Р.Я. Дамбург, P.X. Пропин, Об асимптотическом разложении термов задачи с двумя кулоновскими центрами, Известия АН Латв.ССР, сер. физ и техн., 1971. вып. 1. с. 19-23.

28. М.Р. Faifman, L.I. Ponomarev, S.I. Vinitsky, Asymptotic form of effective potential of the Coulomb three-body problem in the adiabatic representation, J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 1976. V. 9. p. 2255-2268.

29. M.B. Kadomtsev, S.I. Vinitsky, Perturbation theory within the 0(4,2) group for hydrogen atom in the field of distant charge, J. Phys. A: Math. Gen., 1985. V. 18. p. L689-L695.

30. A.G. Abrashkevich, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky, ASYMPT: a program for calculating asymptotics of hyperspherical potential curves and adiabatic potentials, Computer Physics Communications, 2000. V. 125. p. 259-281.

31. Ю.П. Рыбаков, Я.П. Терлецкий, Квантовая механика, М.:, Издательство Университета дружбы народов, 1991.

32. F. Rellich, Storungstheorie der Spectralzerlegung, Math. Ann., 1937, V. 113, p. 600-619, 677-685.

33. P. Курант, Д.Гильберт, Методы математической физики, M.-J1.:, ГИТТЛ, 1951, Т.1, С. 291-296.

34. L.G. Mardoyan, I.V. Puzynin, Т.Р. Puzynina, A.Yu. Tyukhtyaev, S.I. Vinitsky, Nonadiabatic Coupling in the pHe+ System, Physics of Atomic Nuclei, 1998. V. 61. p. 1997-2002.

35. D.V. Pavlov, I.V. Puzynin, S.I Vinitsky, Discrete spectrum of the two center problem of pHe+ atomcule, Дубна, Препринт ОИЯИ E4-99-141, 1999.

36. V.V. Serov, V.L. Derbov, A.I. Bychenkov, D.V. Pavlov, S.I. Vinitsky, Laser-induced and spontaneous formation of Saturnian hydrogen atoms in low-density plasma, SPIE, 2002. V. 4006. p. 185-193.

37. M.J. Rakovic, T. Uzer, D. Farrelly, Classical and quantum mechanics of an integrable limit of the hydrogen atom in combined circularly polarized microwave and magnetic fields, Phys. Rev. A, 1998. V. 57. p. 2814-2831.

38. Малкин И.А., Манько В.И., Динамическая Симметрия и когерентные состояния. М.:, Наука, 1979.

39. M.J. Engenfield, Group Theory and the Coulomb Problem, Victoria:, Monash university, 1972.

40. B.G. Adams, Unified treathment of high order perturbation theory for the Stark effect in a two and three dimension hydrogen atom, Phys. Rev. A, 1992. V. 46. p. 4060-4064.

41. A. Bandilla, G. Drobny, I. Jex, Nondegenerate parametric interactions and nonclassical effects, Phys. Rev. A, 1996. V. 53. p. 507-516.

42. S.P. Nikitin, A.V. Masalov, Quantum state evolution of the fundamental mode in the process of second-harmonic generation, Quantum Opt. 1991. V. 3. p. 105.

43. M.K. Olsen, R. J. Horowicz, L. I. Plimak, N. Treps, C. Fabre, Quantum-noise-induced macroscopic revivals in second-harmonic generation, Phys. Rev. A, 2000. V. 61. p. 021803-1-4.

44. J. Perina, Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena, Reidel:, Dordrecht 1984.

45. Z.Y. Ou, Propagation of quantum fluctuations in single-pass second-harmonic generation for arbitrary interaction length, Phys. Rev. A, 1994. V. 49. p. 2106-2116.

46. R.D. Li, P. Kumar, Quantum-noise reduction in traveling-wave second-harmonic generation, Phys. Rev. A, 1994. V. 49. p. 2157-2166.

47. L.A. Takhtajan, L.D. Faddeev, Uspekhi Math. Nauk, 1979, V. 34. p. 13.

48. V.P. Karassiov, Cluster quasiclassical dynamics in multiphoton scattering models. Analytical results, J. Rus. Laser Res., 1999. т. 20. с. 239-270.

49. V.P. Karassiov, Симметрийный подход в обнаружении скрытых когерентных структур в квантовой оптике: общая перспектива и примеры, J. Rus. Laser Res., 2000. т. 21, с. 370-410.

50. J.H. Eberly, N.B. Narozhny, J.J. Sanchez-Mondragon, Periodic Spontaneous Collapse and Revival in a Simple Quantum Model, Phys. Rev. Lett., 1980. V. 44. p. 1323-1326.

51. В.П. Карасев, Полиномиальные деформации алгебры Ли sl(2) в задачах квантовой оптики, Теоретическая и математическая физика, 1993. т.95. 3-17.

52. V.P. Karassiov, А.В. Klimov, An algebraic approach to solving evolution problems in some nonlinear quantum models, Phys. Lett. A, 1994. V. 189.p. 43-51.

53. В.П. Карасев, Симметрийный подход к анализу когерентных структур в квантовой оптике: основания и примеры, Оптика и спектроскопия, 2001. т.91. с. 543-549.

54. Many-Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces, ed. by J. Berakdar and J. Kirschner (Parts I and II.), New York:, Kluwer Academics/Plenum Publishers, 2001.

55. В.Г. Неудачин, Ю.В. Попов, Ю.Ф. Смирнов, Электронная импульсная спектроскопия атомов, молекул и тонких пленок, УФН, 1999, т. 169. с. 1111-1140.

56. I.E. McCarthy, Е. Weigold, (е, 2е) spectroscopy, Phys. Rep. 1976. V. 27. p. 275-371.

57. Ю.В. Попов, Л. Авалди, Р. Камиллони, Дж. Стефани, ЖЭТФ, 1986. т. 90. с. 1191.

58. Ю. Ф. Смирнов, В. Г. Неудачин, Письма в ЖЭТФ, 1966. т. 3, 298.

59. Yu.V. Popov, С. Dal Cappello, К. Kouzakov, (e,3e) electronic momentum spectroscopy: perspectives and advantages, J. Phys. B, 1996. V. 29. p. 59015908.

60. P.Bolognesi, C.C.Jia, A.Lahmam-Bennani, and L.Avaldi, Abstracts of Int. Conf. on Electron and Photon Impact Ionization and Related Topics, Metz, 2002, p. 34.

61. С.И. Виницкий, С.И. Ларсен, Д.В. Павлов, Д.В. Проскурин, Эффективное адиабатическое приближение в задаче трех тел с короткодействующими потенциалами, Ядерная Физика, 2001. т. 64, с. 37-47.

62. A. Amaya-Tapia, S.Y. Larsen, J.J. Popiel, Three-Body Phase Shift in One-Dimensional 2+1 Scattering, Few-Body Syst., 1997. V. 23. p. 87-109.

63. H. Bethe, R. Peierls, Proc. Roy. Soc.(London) A, 1935. V. 148. p. 146-156.

64. E. Fermi, Sul moto dei neutroni lenti, Ricerca Scientifica, 1936. V. 7. p. 13-52.

65. Ю. H. Демков, В. H. Островский, Метод потенциала нулевого радиуса в атомной физике, Л.:, изд-во ЛГУ, 1975.

66. С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, X. Хольден, Решаемые модели в квантовой механике, М.:, Мир, 1991.

67. V.L. Shablov, V.A. Bilyk, Yu. Popov, Status of the convergent close-coupling method within the framework of the rigorous Coulomb scattering theory, Phys. Rev. A., 2002. V. 65. p. 042719-042722.

68. I. Bray, A.T. Stelbovits, Comment on "Status of the convergent close-coupling method within the framework of the rigorous Coulomb scattering theory", Phys. Rev. A., 2002. V. 66. p. 036701-036702.

69. Д.Е.Кумпяк, В.П.Цветков, Массивная нейтральная дираковская частица в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда, Теоретическая и математическая физика, 2000. т. 125, с.343-352.

70. F.H.M. Faisal, Y.I. Salamin, Electron dynamics and photon-emission spectra in an ultrashort laser pulse and a uniform magnetic field, Phys. Rev. A, 1999. V. 60. p. 2505-2516.

71. Y.I. Salamin, F.H.M. Faisal, Ultrahigh electron acceleration and Compton emission spectra in a superintense laser pulse and a uniform axial magnetic field, Phys. Rev. A, 2000. V. 61. p. 043801-1-10;

72. P. Krekora, R.E. Wagner, Q. Su, R. Grobe, Dirac theory of ring-shaped electron distributions in atoms, Phys. Rev. A, 2001. V. 63. p. 025404-1-4.

73. A.D. Bandrauk, H.Z. Lu, Enhanced ionization of the molecular ion H^ in intense laser and static magnetic fields, Phys. Rev. A, 2000. V. 62. p. 0534061-10.

74. V.M. Rylyuk, J. Ortner, Decay of a weakly bound level in a monochromatic electromagnetic field and a static magnetic field, Phys. Rev. A, 2003. v. 67. p. 013414-1-9.

75. P. Schlagheck, D. Pingel, P. Schmelcher, Collinear helium under periodic driving: Stabilization of the asymmetric stretch orbit, Phys. Rev. A, 2004. V. 68. p. 053410-1-13.

76. O.A. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, М.:, Наука 1973.

77. Е.А. Волкова, A.M. Попов, А.Т. Рахимов, Квантовая механика на персональном компьютере. М.:, URSS 1995.

78. М. Klews, W. Schweizer, Three-dimensional kicked hydrogen atom, Phys. Rev. A, 2001. V. 64. p. 053403-1-5.

79. К. Флетчер, Численные методы на основе метода Галеркина, М.:, Мир, 1988.

80. В.Г. Корнеев, Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности, JI.:, изд-во ЛГУ, 1977.

81. Г. Стренг, Дж. Фикс, Теория метода конечных элементов, М.:, Мир, 1977.

82. A. Goldberg, B.W. Shore, Modelling laser ionisation, J. Phys. B, 1978. V. 11. p. 3339-3347.

83. C.W. McCurdy, C.K. Stroud, Eliminating wavepacket reflection from grid boundaries using complex coordinate contours, Computer Phys. Commun., 1991. V. 63. p. 323-330.

84. R.W. Heather, An asymptotic wavefunction splitting procedure for propagating spatially extended wavefunctions: application to intense field photodissociation of H2, Comput.Phys.Commun., 1991. V. 63. p. 446-459.

85. К. Boucke, H. Schmitz, H.-J. Kull, Radiation conditions for the time-dependent Schrodinger equation: Application to strong-field photoionization, Phys. Rev. A, 1997. V. 56. p. 763-771.

86. Г.И. Марчук, Методы расщепления, M.:, Наука 1988.

87. A. Matos-Abiague, К.A. Kouzakov, Comment on "Three-dimensional kicked hydrogen atom", Phys. Rev. A, 2003. V. 68. p. 017401.

88. M.R. Hermann, J.A. Fleck jr., Split-operator spectral method for solving the time-dependent Schrodinger equation in spherical coordinates, Phys. Rev. A, 1988. V. 38, p. 6000-6012.

89. Дж. Макгрегор, Д. Сайке, Тестирование объектно-ориентированного программного обеспечения, Москва-Санкт-Петербург-Киев:, изд. Dia soft, 2002.

90. А.А. Гусев, Н.А. Чеканов, В.А. Ростовцев, С.И. Виницкий, И. Увано, Сравнение алгоритмов для нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов, Программирование 2004. N5. с. 27-36.

91. A.A. Гусев, В.В. Красильников, Н.А.Чеканов, Полуклассическое описание двумерного атома водорода в однородном магнитном поле, Журнал физической химии, 2000. т. 74. с. 101-104.

92. A.A. Гусев, B.H. Самойлов, В.А. Ростовцев, С.И. Виницкий, Алгебраическая теория возмущений для атома водорода в слабых электрических полях. Программирование 2001. №1. с. 27-31.

93. V.P. Karassiov, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, Polynomial Lie algebra methods in solving the second-harmonic generation model: some exact and approximate calculations, Phys. Lett. A, 2002. V. 295. p. 247-255.

94. A.A. Gusev, Yu.V. Popov, P.S. Vinitsky, Semiclassical model of double ionization of Helium atom, SPIE, 2002. V. 4706, p. 199-205.

95. K.A. Кузаков, О. Чулуунбаатар, A.A. Гусев, С.И. Виницкий, Ю.В. Попов, (е-Зе) реакции при средний энергиях: визуализация эффектов среднего поля в атоме, Дубна, препринт ОИЯИ, Р4-2002-218, 2002.

96. О. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, S.Y. Larsen, S. I. Vinitsky. Three identical particles on a line: comparison of some exact and approximate calculations, J. Phys. A, 2002. V. 35. p. L513-L525.

97. A.A. Gusev, 0. Chuluunbaatar, D.V. Pavlov, S.Y. Larsen, S.I. Vinitsky, On effective adiabatic approach to the three-body problem. J. of Comput. Methods in Sciences and Eng., 2004. V. 2, p.3-8.

98. Yu.V. Popov, V.V. Sokolovsky, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, Separable potentials like a bridge between continuous and discrete scattering theories, SPIE, 2004. V. 5476, p. 75-80.

99. B.B. Соколовский, Ю.В. Попов, A.A. Гусев, С.И. Виницкий, Использование потенциалов нулевого радиуса в качестве алгоритма решения квантовой задачи рассеяния. Вычислительные методы и программирование 2004. т. 5. с. 83-95.

100. Popov Yu.V., Kouzakov К. A., Gusev А.А., Vinitsky S.I. Model of interaction of zero-duration laser pulses with an Atom, SPIE, 2003, V. 5069, p. 33-42.

101. V.L.Derbov, M.S.Kaschiev, V.V.Serov, A.A.Gusev, S.I.Vinitsky. Adaptive numerical methods for time-dependent Schroedinger equation in atomic and laser physics, SPIE, 2003. V. 5069, p. 52-60.

102. A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, M.S. Kaschiev, S.I. Vinitsky, High accuracy splitting algorithms for the time-dependent Schrodinger equation with a train of laser pulses, SPIE, 2004. V. 5476, p. 100-114.

103. A.A. Гусев, С.И. Виницкий, B.A. Ростовцев, B.H. Самойлов, Н.А. Чеканов, Нормализация и квантование полиномиальных гамильтонианов (программа для ЭВМ), Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004611478 от 2004 г. (Роспатент).

104. Н. Waalkens, A. Jung, H.R. Dullin, Quantum monodromy in the two-centre problem, J. Phys. A: Math. Gen., 2003. V. 36. p. L307-L314.

105. Yo. Uwano, Prom the Birkhoff-Gustavson normalization to the Bertrand-Darboux integrability condition, Journal of Physics A, 2000. V.33. p. 66356653.

106. A.A. Gusev, N.A. Chekanov, G. Baumann, V.A Rostovtsev, S.I Vinitsky, On quantization of the planar hydrogen atom in uniform magnetic fields, Symmetries and Integrable Systems, A.N. Sissakian (Ed.), Dubna, JINR D2-99-310, 1999. p. 51-62.

107. Yo. Uwano, On a bifurcation in the quantum system for an approximation to the Henon-Heiles system , Physica D, 1989. V.35. p. 1-33.

108. V.S. Melezhik, Three-dimensional hydrogen atom in crossed magnetic and electric fields, Phys. Rev. A, 1993. V. 48. p. 4528-4538.

109. V.S. Melezhik, Nonperturbative behavior of a hydrogen atom in a van der Waals field, Phys. Rev. A, 1995. V. 52. p. R3393-R3396.

110. A.G. Abrashkevich, D.G. Abrashkevich, M.S. Kaschiev, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky, HSEIGV. A program for computing energy levels and radial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic approach, Dubna, Preprint JINR Ell-97-335, 1997.

111. A.K. Dhar, M.A. Nagarajan, F.M. Israilev, R.R. Whitehead, Persistence of two-state resonances in a hydrogen atom under the influence of a periodic impulsive field, J. Phys. B, 1983. V. 16. p. L17-L22.

112. S. Yoshida, C.O. Reinhold, J. Burgdorfer, Quantum localization of the kicked rydberg atom, Phys. Rev. Lett., 2000. V. 84. p. 2602-2605.121. http://www.netlib.org/eispack

113. Д.А. Варшалович, A.H. Москалев, В.К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, JI.:, Наука, 1975.

114. A. Ballesteros, S.M. Chumakov, On the spectrum of a Hamiltonian defined on suq(2) and quantum optical models, J. Phys. A, 1999. V.32, p. 6261-6269.

115. C. L. Kirschbaum, L. Wilets, Classical many-body model for atomic collisions incorporating the Heisenberg and Pauli principles, Phys. Rev. A, 1980. V. 21. p. 834-841.

116. J.S. Cohen, Quasiclassical effective Hamiltonian structure of atoms with Z=1 to 38, Phys. Rev. A, 1995. V. 51. p. 266-277.

117. V.A. Knyr, V.V. Nasyrov, Yu.V. Popov, Application of the J Matrix Method for Describing the (e, 3e) Reaction in the Helium Atom, JETP, 2001. V. 92. p. 789-794.

118. С.П. Меркурьев, Л.Д. Фаддеев. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. Москва: Наука, 1985.

119. A.M. Popova, Yu.V. Popov, On the specific features of the theory of scattering of two quantum particles by a third massive particle, J. Phys. A, 1983. V. 16. p. 2743-2749.

120. В.П. Маслов. Асимптотические методы и теория возмущений. М.:, Наука, 1988.

121. R.A. Bonham and D.A. Kohl, Simple Correlated Wavefunctions for the Ground State of Heliumlike Atoms, J. Chem. Phys., 1966. V. 45, p. 24712473.

122. H.A. Bethe, E.E. Salpeter, Quantum mechanics of one and two electron atoms, Berlin:, Springer-Verlag, 1957.

123. Yu.V. Popov, N.M. Kuzmina, EWBA calculations for the relativistic (e,2e) experiments, J. Phys. B, 1993. V. 26. p. 1215-1220.

124. Ю.В.Попов, О.Чулуунбаатар, С.И.Виницкий, У.Анкарани, К.Даль Кап-пелло, П.С.Виницкий, Теоретическое исследование реакций р -+- Не —» Н -f Не+ и р -f Не —> Н + Не++ + е при сверхмалых углах рассеяния водорода, ЖЭТФ, 2002. т. 122. с. 717-722.

125. J.N. Silverman, О. Platas, F.A. Matsen, Simple Configuration-Interaction Wave Functions. I. Two-Electron Ions: A Numerical Study, J. Chem. Phys., 1960. V. 32. p. 1402-1406.

126. A. Kheifets, I. Bray, A. Lahmam-Bennani, A. Duguet, I, Taouil, A comparative experimental and theoretical investigation of the electron-impact double ionization of He in the keV regime, J. Phys. B, 1999. V. 32, p. 5047.

127. O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, I.V. Puzynin, S.I Vinitsky, High Accuracy Variational Iteration Scheme for the Multichannel Scattering Problem,

128. Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering, 2004. V. 4, p. 9-14.

129. A.JT. Зубарев. Вариационный принцип Швингера в квантовой механике, М.:, Энергоиздат, 1981.

130. V.A. Andreev, K.V. Indukaev, The Problem of Subrayleigh Resolution in Interference Microscopy, Journal of Russian Laser Research 2003. V. 24. p. 220-236.

131. С.И. Виницкий, В.JI. Дербов, В.М. Дубовик, Б.Л. Марковски, Ю.П. Сте-пановский, Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике, УФН, 1990. т. 160. с. 1-49.

132. М.Н. Holzscheiter, М. Charlton, Reports on Progress in Physics, 62, 1-60 (1999); M. Amoretti et al (ATHENA Collaboration), Physics Letters В 590, 133-142 (2004).