автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.18, диссертация на тему:Кинематический и силовой анализ плоских механизмов параллельной структуры с учетом особых положений и алгоритмов управления

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт млшшове юшл им \ А Благонравова

На правах рукописи

Есина Марина Геннадьевна

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ И СИЛОВОЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С УЧЕТОМ ОСОБЫХ ПОЛОЖЕНИЙ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.02.18 - Теория механизмов и машин

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Институте машиноведения им. A.A. Благонравова РАН

Научный руководитель: Доктор технических наук,

доктор философских наук, профессор Глазунов Виктор Аркадьевич Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор

Псрминов Максим Дмитриевич

Доктор технических наук, профессор Ивашов Евгений Николаевич

Ведущая организации: ИЗТС (Ивановский завод тяжелого

станкостроения)

/С *

Защита диссертации состоится «У/ »¿wtw.i 2004 года п /¿>_часов

на заседании Диссертационного Совета Д 002.059.02 при Институте машиноведения им. A.A. Благонравова Российской академии наук но адресу: 101830, г. Москва, Малый Харитоньевский пер., д. 4, тел. :925-60-28.

С диссертацией можно ознакомиться з библиотеке Института машиноведения им. A.A. Благонравова РАН по адресу: г. Москва, ул. Бардина, д. 4, тел.: 135-55-16.

Автореферат разослан « /S~ » , нсл<&>*. 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат технических наук, доцент

В. А. Дубровский

аоощ

а$осия

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Функциональные возможности манипулядионных механизмов обусловливают их применение во многих отраслях промышленности (машиностроение, приборостроение, автомобилестроение), а также для выполнения работ в экстремальных условиях, для подводных и космических исследований. В зависимости от области использования манипуляционных механизмов роботов определяются их основные технические показатели, к которым относятся число степеней свободы, грузоподъемность, мобильность, рабочая зона, погрешность позиционирования. Если к механизму предъявляются такие требования, как грузоподъемность, жесткость и высокая точность, то предпочтение по сравнению с механизмами с последовательным расположением звеньев отдается механизмам параллельной структуры.

Существенные преимущества механизмов параллельной структуры обусловлены тем, что они воспринимают нагрузку подобно пространственным фермам. Выходное звено механизмов параллельной структуры связано с основанием несколькими кинематическими цепями, каждая из которых оснащена приводом либо налагает некоторое количество связей на движение выходного звена. Поэтому, к недостаткам механизмов параллельной структуры можно отнести ограничение рабочей зоны рассмотренных механизмов, а также относительно небольшую их манипулятивность.

Тем не менее, механизмы параллельной структуры находят широкое применение в двигательных, испытательных и измерительных устройствах. Поэтому исследования механизмов данного класса имеют большое значение, и важной частью данных исследований является разработка управлений движением исходя из заданных требований, предъявляемых к системе. При синтезе закона управления необходимо учитывать такие конфигурации механизма, которые могут приводить к потере управляемости, т. е. особые положения. Для улучшения качества функционирования механизмов необходимо либо составить программную траекторию, обходящую особые положения системы, либо провести управление системой таким образом, чтобы вывести механизм из особого положения и не допустить потери управляемости системой.

На основании изложенного тема данной диссертации, связанная с разработкой алгоритмов преодоления особых положений механизмов параллельной структуры с целью повышения функциональных возможностей этих устройств представляется актуальной.

Целью диссертационной работы является повышение эффективности функционирования манипуляционных механизмов параллельной структуры на основе разработки моделей этих объектов, а также алгоритмов управления с учетом особых конфигураций.

рос. * ■«(-' "

г.; • ..'.,.! 11

Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие задачи:

— разработка алгоритмов кинематического и силового анализа механизмов параллельной структуры и планирование программных траекторий с учетом их особых положений.

— разработка алгоритмов оптимального управления механизмами параллельной структуры с учетом характеристик приводов и особых положений.

— разработка методики использования дополнительных двигателей, позволяющих преодолевать особые положения.

— разработка уточненного критерия особых положений механизмов параллельной структуры, учитывающего характеристики приводов, алгоритм управления и инерционные параметры звеньев.

— проведение моделирования на компьютере и численного эксперимента с целью проверки эффективности разработанных алгоритмов.

Методы исследования.

В работе использовались методы теории механизмов и машин, теории автоматического управления, линейной алгебры, а также компьютерного моделирования.

Достоверпость получаемых результатов обусловлена строгостью математических выкладок, применением общепринятых в теории механизмов допущений, а также результатами численных экспериментов.

Научная новизна обусловлена разработкой оптимального алгоритма управления движением плоского механизма параллельной структуры с учетом перехода через особые положения, а также формулировкой критерия близости к особому положению, связанного с превышением обобщенными моментами своих предельно допустимых значений.

На защиту выносятся

— разработанный алгоритм управления механизмами параллельной структуры, обеспечивающий стабилизацию движения механизма по программной траектории при переходе через особые положения.

— разработанные рекомендации по определению момента времени момента включения дополнительного двигателя с учетом влияния его на характер переходных процессов при переходе механизмов параллельной структуры через особые положения.

— разработанный уточненный критерий особых положений механизмов параллельной структуры, учитывающий характеристики приводов, алгоритм управления и инерционные параметры звеньев.

Практическая значимость работы.

Значимость данной работы для практики состоит в разработанном оптимальном алгоритме управления движением механизма параллельной структуры с учетом особых положений системы и в сформулированном критерии особых положений, учитывающем характеристики двигателей, алгоритм управления и инерционные параметры звеньев. Предложенный в работе критерий определения особых положений позволяет синтезировать

алгоритмы управления, исключающие потерю работоспособности механизма. Эти результаты способствуют повышению эффективности функционирования манипуляццонных механизмов параллельной структуры.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на ХП1 Международном симпозиуме по теории и практике робототехнических систем (ROMANSY) (Польша, Закопане, 2000 г.), на ХШ Международном симпозиуме «Динамика виброударных сильнонелинейных систем» (Москва -Звенигород, 2001 г.), на заседании отделения «Информационные технологии и семиотика» Международной академии информатизации (Москва, 1999 г.), на П научной конференции аспирантов (Иваново, 2000 г.), на научном семинаре кафедры «Строительная механика» Ивановской государственной архитектурно - строительной академии, на семинаре лаборатории «Теории механизмов и структуры машин» Института машиноведения им А.А. БлагонравоваРАН.

Публикации,

Основное содержание диссертации опубликовано в 4 статьях, и 2 тезисах докладов на конференции.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, включающего 149 наименований. Общий объем диссертации составляет 167 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения обосновывается актуальность и новизна темы исследования, формулируются основные задачи диссертационной работы и положения выносимые на защиту, кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются результаты, полученные различными авторами в области исследования пространственных механизмов параллельной структуры. При этом отмечается, что в связи с широким применением механизмов параллельной структуры возникает необходимость глубокого исследования их свойств.

Исследование в данной работе базируется на наиболее фундаментальных результатах, полученных в работах И.И. Артоболевского, К.В. Фролова, Н.И. Левитского, А.Е. Кобринского, Л.Н. Решетова, М.З. Колов-ского, Е.П. Попова, Б. Росса, М. Вукобратовича, А.В. Тимофеева, Д. Уиг-ни, Д. Денавита, Р. Хартенберга, А.Ф. Крайнева, П.А. Лебедева, Н.Г. Бруе-вичаидр.

Важным этапом развития теории механизмов является исследование механизмов параллельной структуры, а также их классификация, которая проведена в работах К. Ханта, А. Ш. Колискора, П.А. Лебедева, А.Ф. Крайнева, В.А. Глазунова.

Серьезной проблемой при управлении пространственными механизмами является учегг особых конфигураций (точек бифуркации, зон сингулярности), в которых возможна потеря управляемости и мгновенная подвижность выходного звена. Критерием особого положения для механизмов с незамкнутыми цепями является вырождение матрицы Якоби. Для замкнутых кинематических цепей применяется критерий, разработанный Ф.М. Диментбергом, согласно которому в особом положении вырождается матрица плюккеровых координат ортов осей кинематических пар. Исследованию механизмов с учетом их особых конфигураций посвящены работы Ф.М. Дименгберга, А.Г. Овакимова, Ю.Л. Саркисяна, Л.И. Тывеса, В.В. Лунева, Д. Анджелеса с соавторами, К. Сугимото, Б. Росса, Д. Даффи, Р.Д. Грегорио, В. Паренти-Кастелли, Ж.П. Мерле и др. Необходимо отметить относительно недавно обнаруженное свойство механизмов параллельной структуры, согласно которому их точки бифуркации образуют континуумы - гиперповерхности, размерность которых на единицу ниже, чем число степени свободы механизмов.

Вторая часть обзора посвящена анализу публикаций в области управления движением пространственных механизмов.

Важными моментами управления являются синтез уровня реализации траектории, исследование устойчивости программного движения (А,М. Ляпунов), разработка алгоритмов стабилизации программной траектории. Поэтому актуальными являются результаты, связанные с алгоритмами управления движением механизмов и представленные в работах F. Пола, В.А. Павлова, A.B. Тимофеева, А.Р. Гинзбурга, А.Ф. Верещагина, И.Н. Муфти, Е.П. Попова, М. Вукобратовича и др. П.Д. Крутько разработал алгоритмы управления, синтезированные методом обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функционалов, которые придают управляемой системе свойства малой чувствительности к изменению параметров и возмущающих сил.

Сделан вывод о том, что в области исследования пространственных механизмов достигнуты важные результаты, связанные с задачами о положениях, скоростях, ускорениях. Представлены различные алгоритмы управления, но построение рассмотренных алгоритмов обходит стороной некоторые вопросы, связанные с качественными характеристиками управляемых объектов. В частности, мало изученной является область построения управления движением механизмов с учетом их особых конфигураций.

Во второй главе представлены результаты кинематического и силового анализа плоских механизмов параллельной структуры с учетом их особых положений. Рассмотрение проводится на примере механизма, который предназначено для установки, используемой при лазерной обработке плоских объектов1. Схема механизма представлена на Рис. 1.

1 Крайнев А.Ф., Ковалев Л.К., Васецкий В.Г,, Глазунов В.А. Разработка установок для лазерной резки на основе механизмов параллельной структуры // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №6. С. 84-93.

Рисунок 1.

Здесь имеют место два звена БВ и СЕ, с которыми связаны приводы вращательного действия, установленные на основании, Два других звена АВ и АС шарнирно связаны между собой. Эти звенья перемещают кинематическую цепь АР, которая сопряжена с лазером, установленном на основании. Кинематическая цепь АР включает в себя поступательную пару, расположенную между точками А и Р и шарнирно связанную с основанием в точке Р. Именно вдоль оси вращательной пары Р расположена оптическая ось лазера Луч лазера отклоняется двумя зеркалами, расположенными в точках Р и- А под углом 45° к плоскости механизма и к линии АБ.

В первом пара1рафе данной главы решена задача о нахождении зависимостей между положениями звеньев плоского механизма параллельной структуры. Проведен кинематический анализ механизма параллельной структуры с помощью аналитического метода исследования, заключающегося в составлении векторных уравнений, связывающих скорости отдельных точек звеньев механизма. При этом при заданном законе движения выходного звена определены законы изменения обобщенных координат.

Во втором параграфе данной главы на основе уравнений Лагранжа второго рода построена механическая модель плоского механизма параллельной структуры, описывающая динамику механизма.

В третьем параграфе второй главы решена задача аналитического определения зависимостей между положениями звеньев плоского механизма параллельной структуры с учетом особых конфигураций механизма Проведен анализ особых положений плоского механизма параллельной структуры.

Для решения задачи о положении составлена система уравнений, которая получена в результате проекции замкнутого контура, образованного

J =

8q, Sq,

8Ул §Ул

звеньями DB, BA, АС и CE, на оси Ох, Оу:

í 1, ■ cosq, +12 • cosq^ + ED, = 15 • cosq2 +14 • cosqAC,

1 lrsinq,H'sinqAB+EDy =15-sinq2 +14-sinqAC,

где обозначено: BD=li, АВ=12, AF=13, АС=14, СЕ=15.

Для анализа особых положений механизма найден Якобиан системы геометрических уравнений: 8х , 5х ч

1, -1, - sin (g, - дд )-sin (дАС - д2) sin (q^ - qj '

Sq, 5q 2

Условие sin(qi - qAB)-sm(qAc - q2)=0 определяет границу между различными конфигурациями. Выполнение условия sin(qAc - qAB )=0 означает попадание механизма в особые положения.

Дифференцируя систему (1), получили зависимости между угловыми скоростями звеньев механизма:

Г I, -simu -14 -sinq^ = -I, -sinq, - со, +1, -sinq, -со,, jl, • cosq^ • а>я -14 ■ cosqAC • юАС = -1, • cosq, • со, +1, • cosq2 • а>,.

Определитель полученной системы Д = 1Д- sin(qAC - q^).

При переходе механизма через особое положение определитель рассмотренной системы обращается в нуль. Таким образом, система вырождена. Для вывода системы из особой конфигурации можно воспользоваться тем обстоятельством, что принятие в качестве обобщенных координат углов поворота звеньев BD относительно основания и АВ относительно BD, qi и qa, не приводит к вырожденности системы при переходе через особое положение, поэтому способствует решению поставленной задачи.

Отмечено, что можно синтезировать механизм так, чтобы особое положение данного типа, а также и других типов, отсутствовало. В первом случае для этого достаточно, чтобы сумма длин звеньев АВ и АС была бы больше суммы длин звеньев DE, BD и СЕ. Также можно избежать перехода механизма через особые положения, если поставить определенные ограничения на изменения обобщенных координат.

В четвертом параграфе второй главы проведен силовой анализ плоского механизма параллельной структуры с учетом особых положений. Проведено численное моделирование движения выходного звена по траектории, включающей в себя окрестность особого положения. Поставлена задача отработки выходным звеном механизма параллельной структуры с некоторого момента времени to, принятого за начало отсчета времени, траекторию движения (Рис. 2), заданную уравнениями в параметрической форме следующим образом:

xA(t)=0.5-cos(t+3.7123889); ■ yA(t)=0.7-sin(t+3.7123889)+0.7+0.2• -JlM.

Назначенная траектория движения имеет форму эллипса Особое положение достигается механизмом в момент времени 1 с.

Рисунок 2.

Обобщенные моменты Мщ и Мт, приведенные к ведущим звеньям ВБ и СЕ, способные реализовать назначенную траекторию, принимают при переходе через особое положение недопустимо высокие значения (таблица 1). При этом появляется неуправляемая подвижность.

Таблица 1.

1 с1е1 МП1 М„2

0.7 0.155071 -66 55

0.8 0.072987 -120 120

0.9 0.018915 -400 430

1 10'1* -9.5-1011 9.5-1011

1.1 0.018915 -430 400

1.2 0.072987 -120 120

1.3 0.155071 -55 66

1.4 0.255802 -32 50

Если за приводные пары принять звенья ВО и АВ, то конфигурация, когда звенья АВ и АС вытянуты в одну линию, будет не особой. На основании этого утверждения построено управление движением механизма вблизи особого положения: при переходе через особое положение кратковременно включается дополнительный двигатель с одновременный отюпо-

чением одного ш основных двигателей. Такое управление позволяет избежать неуправляемой подвижности и высоких значений обобщенных моментов.

Управление механизмом вблизи особого положения осуществляют два двигателя, один из которых расположен в сочленении Б, а другой, дополнительный, - в сочленении В. Для определения моментов нагрузки приводов, определяются моменты, приведенные к звеньям ВБ и АВ:

Мп, = Мвп +МСЕ ^+МДС ^ + КА ^ + К0 ^+КН

№ СЕ бЧ, " бЧ, А0 бЧ, Л 5Ч, 0 5я, н 6(1,

М =М +М —+М —

А 1ЛВ СЕ g^ AF gg

:ч

8г бг 5г

Л . р О , и Н "СЕ 2_ 1 ' ""-АС о ' "А о О й„ "'""н о '

Эав «I» ^лп &1ЛВ

где MBd, Мсе, MAf, Mab, Mac -моменты сил инерции звеньев BD, СЕ, AF, АВ, АС, соответственно, Ra - сила инерции точки, в которой сосредоточена масса звена AF, Re, Rh.- силы инерции центров масс звеньев АВ и АС.

Моменты Мщ = М] и Mm = Мдв, приведенные к звеньям BD и АВ, принимают приемлемые значения (Рис. 3) при переходе через особое положение.

25 т М, Нм

— М1 —Mab

Рисунок 3.

Уравнения движения рассмотренного механизма в окрестности особого положения принимаются в виде:

а„ -ч,+а,: -Чав +ь,1 -q,2 +b.2 -С +2ь„ -я,=мш, -q, -Чав +Ь21 -q,2 +ba -qj +2ba -q, -q^ =МП2.

Численное интегрирование полученной системы позволило найти законы изменения обобщенных координат при заданном законе движения выходного звена.

На основании вышесказанного сделаны выводы о том, что для построения наиболее полной модели механизма большое значение имеет

учет его особых положений, так как данные положения могут способствовать потере управляемости движением рассмотренного механизма Особые положения плоских механизмов параллельной структуры образуют зоны вырожденных конфигураций, размерность которых на единицу ниже числа степеней свобода механизма. Одним из критериев особого положения механизма является равенство нулю определителя матрицы Якоби системы, описывающей движение механизма. Также отмечено, что обобщенные моменты, приведенные к ведущим звеньям, при переходе через особое положение принимают неограниченно большие значения. Возможным решением этой проблемы является применение дополнительного двигателя.

В третьей главе решается задача разработки алгоритма управления системой с учетом особых положений при помощи дополнительного двигателя.

В первом параграфе данной главы разработан алгоритм для построения программных траекторий механизма параллельной структуры, который заключается в том, чтобы по заданному перемещению рабочего органа механизма определить изменения обобщенных координат, осуществляющие это перемещение. Практической значимостью разработанного алгоритма является возможность автоматизировать процесс программирования манипулятора. Задача решена с помощью сплайн - аппроксимации множества значений обобщенных координат при заданном законе движения выходного звена механизма. Так как исполнительный механизм с приводами представляет собой сложную динамическую систе2>1у, способную обрабатывать достаточно плавно меняющиеся сигналы, то сплайны для ее представления выбираются достаточно высокого порядка, в частности, начальный и конечный участки траектории описаны полиномами четвертого порядка, а промежуточные - кубическими параболами.

Во втором параграфе третьей главы проведено построение электромеханической модели, описывающей динамику манипулятора с учетом особых положений системы, а также проведено определение вращающих моментов двигателей и управляющих напряжений, реализующих движение по заданной программной траектории выходного звена механизма. Модель механизма принята в виде:

■ ч+®(ч»ч) • ч = м,

Ю= ——М + —— М+к (3)

к ^ к ^ " 4

т т

где

Ь - индуктивность обмотки якорной цепи,

И - элеюрическое сопротивление обмотки ротора,

М - обобщенные моменты, действующие в степенях подвижности,

к„ - постоянный параметр, зависящий от напряжения на входе цепи

возбуждения электродвигателя привода,

кд, - коэффициент вращательного момента,

д - обобщенные координаты, характеризующие пространственное положение механизма.

В результате численного моделирования движения механизма по заданной траектории при трапецеидальном законе изменения скорости движения выходного звена найдены мощности сил, приведенных к звеньям ВБ и СЕ, а также управляющие напряжения, реализующие заданные движения (Рис. 4).

30 22 14 в -2 -10 -18 -26 -34

N. Вт

0,5

-N1 ■

-N2

Рисунок 4.

На Рис. 5 представлены законы изменения ошибок по положению, которые получены в процессе управления движением выходного звена по программной траектории без учета обратных связей системы.

0,03 •

од, рад

0,02 ■ 0,01 • о • •0,01 -0,02 --0,03 -

1.0

0.2

0,4

0.6

0,8

1,2

1,4

-а(|1 - - - -оч2

Сделаны выводы, что управление, не учитывающее обратные связи системы, не удовлетворяет требованиям осуществления назначенной траектории с заданной высокой точностью, и, следовательно, возникает необходимость построения управления движением механизма с введением обратных связей по положению и скорости.

В третьем параграфе данной главы решена задача построения управления движением плоского механизма параллельной структуры по назначенной траектории вблизи особого положения без учета обратных связей системы. Разработан критерий особого положения механизма параллельной структуры, учитывающего специфику работы приводов, связанный с превышением обобщенными силами своих предельно допустимых значений.

Проведено численное моделирование управления движением выходного звена механизма по назначенной траектории, имеющей форму эллипса, включающей в себя окрестность особого положения механизма. Переход через особое положение осуществлен с помощью дополнительного двигателя, управляющим звеном АВ, который включается кратковременно, с одновременным отключением основного двигателя, установленного на основании. Графики изменения приведенных моментов и управляющих напряжений двигагелей представлены на Рис.6 (дополнительный двигатель подключен с момента времени 0.7 с до момента 1.4 с).

м, нгл

50 ■40 ЗО 20 Ю о

~Ю -20 -зо -40 -50

IV. .

/ 1

- ^ 1

-- - 1 ^

о о. за 0.7 1,Об л 4 ■ .«III' '

■ мзь

и в

-юо -

Характер поведения ошибок обобщенных координат при программном управлении без введения обратных связей с учетом перехода через особое положение представлен на рисунке 7.

-0,04 -1

-----ец2-ец11

Рисунок 7.

■ В главе сделан вывод, что управление, не учитывающее обратные связи механизма, не позволяет провести отслеживание назначенной траектории с высокой точностью. Отклонения значений обобщенных координат, полученных в результате управления, от программных значений зависят от начальных возмущений. Управление способствует уменьшению ошибок по положению, но тем не менее дает высокую абсолютную погрешность отслеживания назначенной траектории, имеющую тот же порядок, что и начальные отклонения, Поэтому при построении алгоритма управления движением механизма необходимо учитывать обратные связи системы.

В четвертой главе решается задача разработки алгоритма оптимального управления из условия осуществления программной траектории движения выходного звена механизма, параллельной структуры с учетом особых конфигураций системы. Назначенная траектория задана в параметрической форме в виде законов изменения обобщенных координат.

В первом параграфе проведен синтез алгоритма управления, обеспечивающего-стабилизацию программной траектории манипулятора, что означает асимптотическое убывание вектора динамической ошибки. Алгоритм основан на решении обратных задачдинамики2. Математическая модель движения управляемой системы представлена в виде векторных дифференциальных уравнений (3) с начальными условиями

Для синтеза управления ранее проведена кусочно-полиномиальная аппроксимация программной траектории сплайнами на последовательности отрезков рм, у. Начальный и конечный участки траектории описаны полиномами четвертого порядка, а промежуточные - кубическими параболами.

Задачу конструирования алгоритма управления сформулирована следующим традиционным образом:

требуется построить такое управление, которое переводит систему из начального состояния в окрестность назначенной траектории за конечное

1 Кругько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука Гл. ред. фнз. - мат. лит., 1988,328 с.

время и при последующем движении сохраняет ее в данной окрестности, минимизируя в процессе движения функционал, построенный на отклонениях А(1) = др(0-я(0,

I = )(Д2 + к, • А2 +кг • А2)ск. (4)

«о

В силу тождества

](А> +к„ •А1*+ка.А1')Л = !(&, + у„ - А, +у, ■ Д./а + СДДйД0),

«о «о

задача нахождения минимума функционала } эквивалентна минимизации выражения, стоящего в правой части данного выражения.

Таким образом, минимум функционала реализуется на траекториях, на которых выполняется условие

А, + уа • А, + • А, =0,1=1,2,..., п, (5)

где ую = д/кГ,уц = л/кп +2-у,0, А,(0 = яр>10)-(1).

Для построения управляющих моментов необходимо выполнение требования, чтобы ошибки в переходном процессе qi(t) qJ)i (1) являлись решением уравнения (5).

Из уравнения (5) следует, что назначенная траектория осуществима в случае, когда имеет' место следующее соотношение

Ч. = Чр., + Уп • (Чрд -Ч;) + Уш • к, -Ч,), 1=1,2,..•, П.

или, в векторной форме

Ч = Чр +7, (Яр-41) +Уо-(Чр-Ч)- (б)

Для построения алгоритма управления достаточно при вычислении моментов М использовать выражение <| из уравнения (6) через программное значение ускорения, а также, через вычисленные отклонения обобщенных координат и их скоростей от назначенных значений. Синтезированный алгоритм формирования управляющих моментов, реализующих данные ускорения имеет вид:

Мр =А(ч)•[(!„+ у, •(чр-ч) +Го'(ЧР-Ч)]+В(я,4И- (7)

Требуемое значение каждой компоненты управляющего момента Мр,1 (1=1,...п) определяется по информации, характеризующей состояние управляющего процесса по каждой степени подвижности ). Из

соотношения (7) определяются управляющие моменты, реализующие программную траекторию движения механизма. Для нахождения управляющих напряжений необходимо подставить выражение Мр из (7) во второе уравнение системы (3). Получаем

и М+к.-М-ф (8)

" р к р " 4

Если пренебречь инерционностью электрических цепей по сравнению с механическими, то отпадает необходимость вычисления производной по времени от управляющих моментов. В таком случае получаем следующие выражения для нахождения управляющих напряжений

и =———М +к -М-ф (9)

р к К » - ч I;

в

Управляющие напряжения для каждого исполнительного двигателя формируются по текущим значениям всех обобщенных координат и их производным. Таким образом, рассмотренное управление учитывает взаимные связи в степенях подвижности.

Синтезированное управление предполагает выбор коэффициентов обратной связи. Для нахождения коэффициентов уравнением (5) переписано в стандартном ввде

х.'Д, + 2С,т, - А, +Д, =0, 1 = 1,2,п, (10)

х>1/у10, 2Сл=Уи/у,о> (И)

где т. - постоянные времени, ^ - коэффициент затухания (демпфирования) собственных колебаний, значение которого определяет коэффициент колебательности, исходя из следующей формулы

л = 7ьСг/СприС<1.

В технике автоматических систем наиболее предпочтительным режимом является режим со следующими характеристиками:

коэффициент затухания собственных колебаний С = л/2/2, постоянные у10, у, вычисленные из (11) с учетом значения ^ Уп=л/2/т(, у10=1/т,\ (12)

'' 'Втаком случае длительность переходных процессов Д,({)-> 0 составляет »3-х,, ¡ = 1,2,..., п, а перерегулирование ст «5%. Замкнутая система движения механизма описывается дифференциальными уравнениями:

Ч, + У» • Ч. + У,о' Ч, = ЯР., + У„ • ЧР>! + 7,о' ЯР>,, 1=1,2,..., п. (13)

Закон изменения обобщенных координат, описанный уравнениями (13), является функцией вида:

(0= Сц • е*"' + си • е°л + qrЛ((}, где 1=1,2.....п, (14)

\2 - корни соответственного характеристического уравнения.

'Постоянные са и сц зависят от начальных условий кинематических переменных (0), ¿1, (0) и определяются по следующим формулам

■ е -д,(о) _ _Ш-К-д,(о),. 2 _

си--л л > си--л-« >1 - •••»

к-к к-к

Используя условия (12), получаем

Яе Хл = -л/2/(2 • х),1ш = ±л/2 /(2 • т), к = 1,2.

Таким образом, в установившемся движении при 1 —> аз выполняются соотношения для обобщенных координат я, (1)->

Получаем, что, начиная с некоторого заданного момента времени при соответствующем подборе коэффициентов обратной связи произойдет затухание переходных процессов А, -» 0. В таком случае в процессе управления движение исполнительного механизма осуществляется по назначенной траектории с момента времени Г, Заметим, что в силу инерционности приводной системы и исполнительного механизма действительная траектория движения будет с некоторым запаздыванием воспроизводить программную. Величина времени запаздывания зависит не только от инерционности системы, но и от коэффициентов обратной связи.

Во втором параграфе данной главы проведено численное моделирование движения выходного звена механизма параллельной структуры по заданной траектории с помощью разработанного алгоритма оптимального управления движением. Алгоритм управления движением нелинейной системы основан на решении обратной задачи динамики.

Рассчитаны коэффициенты обратных связей и на основе решения обрагной задачи динамики построено управление, которое способствует осуществлению движения выходного звена механизма по назначенной траектории с заданной погрешностью. При численном моделировании получены следующие значениями коэффициентов обратной связи:

у.0 =1,1-10\ у., =4.714-10, при£. = 4112,т = 0,03.

Характер изменения ошибок по обобщенным координатам при рассмотренных значениях коэффициентов представлен на Рис. 8.

Проведение численных экспериментов по моделированию движения механизма с помощью оптимального алгоритма при различных значениях начальных отклонений по обобщенным координатам и их скоростям показало, что начальные возмущения не оказывают существенного влияния на переходные процессы. Соответствующий выбор коэффициентов обратной связи позволяет добиться требуемых переходных процессов <1| (0 Чр (*)> 1=1Д. При этом достигается высокая точность отслеживания назначенной траектории.

В третьем параграфе четвертой главы проведено моделирование движения выходного звена механизма параллельной структуры по заданной траектории вблизи особого положения при помощи разработанного алгоритма оптимального управления. Для выявления особых положений механизма применяется уточненный критерий, учитывающий, характеристики двигателей, алгоритм управления и массово-инерционные характеристики звеньев. Согласно данному критерию, если механизм приближается к особому положению, то обобщенные моменты, превышают свои номинальные величины более чем в два раза

До включения дополнительного двигателя за вектор обобщенных координат принимается вектор q(t) = ^(1), а за вектор обобщенных сил - вектор М = {Мво, МСЕ}, где Мвк, Мое - моменты сил, приведенных к звеньям ВО и СЕ. Вблизи особого положения, в связи со включением дополнительного двигателя с одновременным отключением одного из основных, вектор обобщенных! координат имеет компоненты и Яи , где - угол поворота звена ВБ относительно неподвижного основания, Яи - угол поворота звена АВ относительно звена ВО. При этом обобщенные моменты Мво и Мдв приведены к звеньям ВБ и АВ.Нахождение элементов матриц А(ф и ф) показано ранее.

Управляющие моменты при оптимальном управлении находим по формуле (7). Ошибки, полученные в результате оптимального управления, представлены на рисунке 9.

В параграфе проведено моделирование движения выходного звена по заданной траектории с помощью оптимального управления при различных значениях масс звеньев. Рассматривались случаи, когда масса каждого из звеньев механизма принимала следующее значение: 5 кг, 10 кг, 20 кг.

Численное экспериментирование, результаты которого представлены на рисунке 10, показало, что максимальные значения моментов включения дополнительного двигателя при приближении к особому положению составляют:

для первого случая (га=5 кг) - 0.84 с, для второго ( т=10 кг) - 0.85-с, для третьего (ш=20 кг) - 0.8 с.

I

-400 т-----V"

-500 --------\

-600 -1-----*

-М1(т=5 кг)-М1(т=10 кг)----М1(щ=20 кг)

Рисунок 10

Отмечено, что во всех рассмотренных случаях определитель матрицы Якоби, описывающей движение системы, имеет одно и тоже значение и, только благодаря уточненному критерию особого положения (превышение обобщенными моментами своих предельно допустимых значений, определенным образом связанными с номинальным моментом) наиболее точно определяется приближение к особому положению.

Таким образом, введенный критерий особого положения механизма, основанный на сравнении требуемых моментов и номинальных, учитывает характеристики двигателей, массово - инерционные параметры звеньев, а также используемый алгоритм управления.

В главе сделан вывод, что дополнительный привод позволяет избежать неуправляемых движений, а алгоритм оптимального управления, построенный на основе решения обратной задачи динамики и учитывающий обратные связи по положению и скорости, дает возможность минимизировать ошибки по положению, скорости и ускорению. Выбор коэффициентов дифференциального уравнения динамической ошибки на основе параметров переходного процесса позволяет добиться требуемого характера изменения ошибки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ В работе получены следующие основные результаты.

1. Решена задача о положениях механизма параллельной структуры на основе алгоритма, связывающего координаты входного и выходного звеньев. Разработан алгоритм кинематического анализа плоского механизма параллельной структуры с учетом особых положений с помощью векторных уравнений, связывающих скорости отдельных точек звеньев механизма. Разработан алгоритм для построения программных траекторий механизма параллельной структуры с учетом особых положений.

2. Проведен силовой анализ механизма параллельной структуры, основанный на решении обратной задачи динамики с учетом особых положений. Получены характеристики управления, не учитывающего обратные связи механизма, при переходе через особые положения. Определены отклонения значений обобщенных координат, полученные в результате этого управления, в зависимости начальных возмущений.

3. Получены соотношения, определяющие наличие либо отсутствия особых зон механизмов параллельной структуры. Определены способы устранения неуправляемой подвижности механизмов параллельной структуры в особых положениях, Обосновано применение дополнительного двигателя при переходе через особое положение.

4. Проведен синтез алгоритма управления, обеспечивающего стабилизацию движения по программной траектории механизма с учетом особых положений. Определены коэффициенты обратных связей на основе коэффициентов дифференциального уравнения динамической ошибки и дар.ще^ой щт/эщош щощс.са. Разработаны рекомендации но времени включейия* дополнительного двигателя с учетом влияния его на характер поведения динамической ошибки.

5. Проведено численное моделирование движения механизма параллельной структуры по заданной траектории при переходе через особое положение с целью проверки эффективности разработанного алгоритма оптимального управления. Разработан уточненный критерий особых положений манипуляционных механизмов параллельной структуры учитывающий характеристики двигателей, инерционные параметры звеньев, а также алгоритм управления.

По работе сделаны следующие выводы.

I. Для построения наиболее полной модели механизма большое значение имеет учет его особых положений, так как данные положения могут способствовать потере управляемости движением рассмотренного механизма. Особые положения плоских механизмов параллельной структуры образуют зоны вырожденных конфигураций, размерность которых на единицу ниже числа степеней свободы механизма. Одним из критериев особо-

го положения механизма является равенство нулю определителя матрицы Якоби системы, описывающей движение механизма.

2. Управление, не учитывающее обратные связи механизма, не позволяет провести отслеживание назначенной траектории с высокой точностью при переходе через особые положения. Отклонения значений обобщенных координат, полученные в результате такого управления, зависят от начальных возмущений и обусловливают высокую абсолютную погрешность отслеживания назначенной траектории, имеющую тот же порядок, что и начальные отклонения,

3. Требуемые обобщенные моменты механизма параллельной структуры при переходе через особое положение имеют недопустимо большие значения, поэтому возникает необходимость применения дополнительного двигателя, способного должным образом скорректировать нагрузку. Механизм не имеет особых положений, связанных с потерей устойчивости, если он имеет следующие параметры:

о специально подобранные конструктивные особенности, о ограничения на значения обобщенных координат, о оснащен дополнительным приводом.

4. Возможным решением проблемы появления неуправляемой подвижности механизма параллельной структуры вблизи особого положения является осуществление управления с помощью подключения дополнительного двигателя с одновременным обесточиванием одного из основных двигателей в некоторой окрестности особого положения. При этом момент включения дополнительного двигателя не оказывает существенного влияния на характер поведения динамической ошибки. Для практической реализации алгоритма управлением механизма целесообразно включение дополнительного двигателя, начиная с того времени, когда моменты двигателей превосходят свои номинальные значения не более чем в два раза. Выбор коэффициентов дифференциального уравнения динамической ошибки на основе параметров переходного процесса позволяет добиться требуемого характера изменения ошибки.

5. Закон управления, построенный на основе решения обратной задачи динамики и учитывающий обратные связи по положению и скорости, отвечает требованиям оптимального управления движения механизма по заданной траектории при переходе через особые положения. Синтезированный закон управления способствует асимптотическому убыванию динамической ошибки, то есть выполняет функцию стабилизации движения по программной траектории. Уточненный критерий особых положений манипуляционных механизмов параллельной структуры должен учитывать характеристики двигателей, инерционные параметры звеньев и алгоритм управления - этим требованиям соответствует критерий, представленный в диссертации.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах.

1. Глазунов В.А., Есина М.Г., Быков Р.Э. Управление механизмами параллельной структуры при переходе через особые положения. // Пробл. машиностроения и надежности машин. Машиноведение. 2004. № 2. С.78-84.

2. Глазунов В.А., Крайнев А.Ф., Рашоян Г.В., Трифонова АЛ., Есина М.Г. Моделирование зон особых положений механизмов параллельной структуры. /Проблемы машиностроения и надежности машин. Машиноведение, 2000 № 2, с. 97-104.

3. Есина М.Г. Моделирование оптимального управления пространственными стержневыми системами. / П научная конференция аспирантов: материалы конференции Иванов, архит. - строит, акад., 2000, Иваново, С. 74.

4. Glazunov V., Kraynev A., Rashoyan G., Terekhova A., Esina M Structure Synthesis of Parallel Manipulators. / Theory and Practice of Robots and Manipulators. (RoManSy), Proceedings of ХШ CISM-IFToMM Symposium, Springer Wien New York, 2000, p. 235-240.

5. Глазунов B.A., Болнокин B.E., Рашоян Г.В., Терехова А.Н., Есина М.Г., Цыбин A.B. Механическая интерпретация проблемы бифуркаций и теории катастроф. / Динамика виброударных сильнонелинейных систем. ХШ Международный симпозиум. Тезисы докладов. Москва - Звенигород, 2001, с. 36.

6. Глазунов В.А., Есина М.Г. Некоторые аспекты взаимосвязи проблем управления маницуляционными и социальными системами. / Международная академия информатизации. Сборник научных трудов отделения «Информационные технологии и семиотика», Москва, 1999, с. 123-127.

КОПИ - ЦЕНТР св.7:07:10429 тираж 100 экз. Тел. 185-79-54 Москва м.Бабушкинская ул. Енисейская 36 комната №1 (Экспериментально-производственный комбинат)

г л

РНБ Русский фонд

2007-4

16817

V )

Введение

Глава 1. Обзор методов исследования механизмов параллельной структуры и управляющих систем с учетом характеристик приводов.

1.1. Методы исследования механизмов параллельной 7 структуры.

1.2. Анализ приводных систем манипуляционных механизмов 19 при разных законах управления.

1.3. Цель и задачи диссертационной работы.

Глава 2. Моделирование манипуляционных механизмов параллельной структуры без учета характеристик приводов.

2.1. Кинематическое моделирование плоских механизмов 30 параллельной структуры.

2.2. Моделирование силовых соотношений плоских 42 механизмов параллельной структуры.

2.3. Кинематическое моделирование плоских механизмов 59 параллельной структуры с учетом особых положений.

2.4. Динамическое моделирование плоских механизмов 70 параллельной структуры вблизи особого положения.

Глава 3. Моделирование плоских механизмов параллельной структуры с учетом характеристик приводов.

3.1. Построение сплайн - функции изменения обобщенных 84 координат манипуляционных механизмов параллельной структуры.

3.2. Определение законов изменения управляющих напряжений на основе обратной задачи динамики.

3.3. Построение законов движения на основании управляющих напряжений с учетом особых конфигураций системы.

Глава 4. Моделирование законов управления механизмами параллельной структуры на основе решения обратной задачи динамики.

4.1. Определение коэффициентов обратной связи, 119 минимизирующих ошибки при движении по траектории.

4.2. Моделирование движения механизма по траектории при 126 использовании закона управления с учетом обратной связи.

4.3. Моделирование законов движения механизмов 137 параллельной структуры с учетом уточненного критерия особых положений.

Функциональные возможности манипуляционных механизмов обусловливают их применение во многих отраслях промышленности, в таких, как машиностроение, приборостроение, автомобилестроение, подводные и космические исследования, а также для выполнения работ в экстремальных условиях. В зависимости от области использования роботов определяются их основные технические показатели, к которым относятся число степеней свободы, грузоподъемность, мобильность, рабочая зона, погрешность позиционирования. Если к механизму предъявляются такие требования, как грузоподъемность, жесткость и высокая точность, то предпочтение по сравнению с механизмами с последовательным расположением звеньев отдается механизмам параллельной структуры. Существенные преимущества механизмов параллельной структуры определяются тем, что они воспринимают нагрузку подобно пространственным фермам.

Выходное звено механизмов параллельной структуры связано с основанием несколькими кинематическими цепями, каждая из которых оснащена приводом либо налагает некоторое количество связей на движение выходного звена. Поэтому к недостаткам механизмов параллельной структуры можно отнести ограничение рабочей зоны рассмотренных механизмов, а также относительно небольшую их манипулятивность.

Тем не менее, манипуляторы параллельной структуры находят широкое применение в двигательных, измерительных и испытательных устройствах. Исследования механизмов данного класса имеют большое значение, и важной частью данных исследований является разработка управлений движением механизмов, исходя из заданных требований, предъявляемых к системе. При синтезе закона управления необходимо учитывать такие конфигурации механизма, которые могут приводить к потере управляемости механизмом, т. е. особые положения механизма. Для улучшения качества функционирования механизмов необходимо либо составить программную траекторию, обходящую особые положения системы, либо провести управление системой таким образом, чтобы вывести механизм из особого положения и не допустить потери управляемости системой.

На основании изложенного тема данной диссертации, связанная с разработкой алгоритмов преодоления особых положений механизмов параллельной структуры с целью повышения функциональных возможностей этих устройств, представляется актуальной.

Целью диссертационной работы является повышение эффективности функционирования манипуляционных механизмов параллельной структуры на основе разработки моделей этих объектов, а также алгоритмов управления с учетом особых конфигураций.

Для достижения поставленной цели рассмотрены и решены следующие задачи: разработка алгоритмов кинематического и силового анализа механизмов параллельной структуры и планирование программных траекторий с учетом их особых положений. разработка алгоритмов управления механизмами параллельной структуры с учетом характеристик приводов и особых положений. разработка методики использования дополнительных двигателей, позволяющих преодолевать особые положения. разработка уточненного критерия особых положений механизмов параллельной структуры, учитывающего характеристики приводов, алгоритм управления и инерционные параметры звеньев. проведение моделирования на компьютере и численного эксперимента с целью проверки эффективности разработанных алгоритмов.

Исследование проводилось с помощью методов теории механизмов и машин, теории автоматического управления, линейной алгебры, а также компьютерного моделирования.

В соответствии с поставленными целями и задачами и выбранными методами исследования изложение в данной работе построено следующим образом.

В первой главе проведен обзор методов исследования механизмов параллельной структуры и управляющих систем с учетом характеристик приводов, поставлены и обоснованы задачи исследования. Сделан вывод о том, что в области исследования пространственных механизмов достигнуты важные результаты, связанные с задачами о положениях, скоростях, ускорениях. Представлены различные алгоритмы управления, но построение рассмотренных алгоритмов обходит стороной некоторые вопросы, связанные с качественными характеристиками управляемых объектов. В частности, мало изученной является область построения управления движением механизмов с учетом их особых конфигураций.

Во второй главе проведено построение механической модели кинематики и динамики плоского механизма параллельной структуры; решены прямая и обратная задачи кинематики рассмотренного механизма кинематики с учетом особой конфигурации системы.

В третьей главе решена задача планирования программной траектории, определены законы изменения управляющих напряжений, исходя из обратной задачи динамики, разработан алгоритм управления системой с учетом особых положений при помощи дополнительного двигателя. Проведен расчет системы на ЭВМ для плоского механизма параллельной структуры при разных законах движения выходного звена с учетом особых положений механизма.

Четвертая глава посвящена разработке оптимального алгоритма управления из условия осуществления программной траектории движения выходного звена механизма параллельной структуры с учетом особых положений системы. Кроме того, разработан уточненный критерий особых положений манипу-ляционных механизмов параллельной структуры, учитывающий характеристики двигателей, инерционные параметры звеньев, а также алгоритм управления. Проведено моделирование движения рассмотренного механизма по назначенной траектории, включающей в себя окрестность особого положения, при использовании синтезированного закона управления и расчет ошибки по положению и скорости на ЭВМ.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

В работе получены следующие основные результаты.

1. Решена задача о положениях механизма параллельной структуры на основе алгоритма, связывающего координаты входного и выходного звеньев. Разработан алгоритм кинематического анализа плоского механизма параллельной структуры с учетом особых положений на основе векторных уравнений, связывающих скорости отдельных точек звеньев механизма. Разработан алгоритм для построения программных траекторий механизма параллельной структуры с учетом особых положений.

2. Проведен силовой анализ механизма параллельной структуры, основанный на решении обратной задачи динамики, с учетом особых положений. Получены характеристики управления, не учитывающего обратные связи механизма, при переходе через особые положения. Определены отклонения значений обобщенных координат, полученные в результате этого управления, в зависимости начальных возмущений.

3. Получены соотношения, определяющие наличие либо отсутствие особых зон механизмов параллельной структуры. Определены способы устранения неуправляемой подвижности механизмов параллельной структуры в особых положениях. Обосновано применение дополнительного двигателя при переходе через особое положение.

4. Проведен синтез алгоритма управления, обеспечивающего стабилизацию движения по программной траектории механизма с учетом особых положений, это означает асимптотическое убывание вектора динамической ошибки. Определены коэффициенты обратных связей на основе коэффициентов дифференциального уравнения динамической ошибки и параметров переходного процесса. Разработаны рекомендации по времени включения дополнительного двигателя с учетом влияния его на характер поведения динамической ошибки.

5. Проведено численное моделирование движения механизма параллельной структуры по заданной траектории при переходе через особое положение с целью проверки эффективности разработанного алгоритма оптимального управления. Разработан уточненный критерий особых положений манипуля-ционных механизмов параллельной структуры учитывающий характеристики двигателей, инерционные параметры звеньев, а также алгоритм управления.

В результате сделаны следующие выводы.

1. Для построения наиболее полной модели механизма большое значение имеет учет его особых положений, так как данные положения могут способствовать потере управляемости движением рассмотренного механизма. Особые положения плоских механизмов параллельной структуры образуют зоны вырожденных конфигураций, размерность которых на единицу ниже числа степеней свободы механизма. Одним из критериев особого положения механизма является равенство нулю определителя матрицы Якоби системы, описывающей движение механизма.

2. Управление, не учитывающее обратные связи механизма, не позволяет провести отслеживание назначенной траектории с высокой точностью при переходе через особые положения. Отклонения значений обобщенных координат, полученные в результате такого управления, зависят от начальных возмущений и обусловливают высокую абсолютную погрешность отслеживания назначенной траектории, имеющую тот же порядок, что и начальные отклонения.

3. Требуемые обобщенные моменты механизма параллельной структуры при переходе через особое положение имеют недопустимо большие значения, поэтому возникает необходимость применения дополнительного двигателя, способного должным образом скорректировать нагрузку. Механизм не имеет особых положений, связанных с потерей устойчивости, если он имеет следующие параметры:

• специально подобранные конструктивные особенности,

• ограничения на значения обобщенных координат,

• оснащен дополнительным приводом.

4. Возможным решением проблемы появления неуправляемой подвижности механизма параллельной структуры вблизи особого положения является осуществление управления с помощью подключения дополнительного двигателя с одновременным обесточиванием одного из основных двигателей в некоторой окрестности особого положения. При этом момент включения дополнительного двигателя не оказывает существенного влияния на характер поведения динамической ошибки. Для практической реализации алгоритма управлением механизма целесообразно включение дополнительного двигателя, начиная с того времени, когда моменты двигателей превосходят свои номинальные значения не более чем в два раза. Выбор коэффициентов дифференциального уравнения динамической ошибки на основе параметров переходного процесса позволяет добиться требуемого характера изменения ошибки.

5. Закон управления, построенный на основе решения обратной задачи динамики и учитывающий обратные связи по положению и скорости, отвечает требованиям оптимального управления движения механизма по заданной траектории при переходе через особые положения. Синтезированный закон управления способствует асимптотическому убыванию динамической ошибки, то есть выполняет функцию стабилизации движения по программной траектории. Уточненный критерий особых положений манипуляционных механизмов параллельной структуры должен учитывать характеристики двигателей, инерционные параметры звеньев и алгоритм управления - этим требованиям соответствует критерий, представленный в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлены результаты разработки математической модели плоского механизма параллельной структуры и алгоритма оптимального управления движением рассмотренного механизма с учетом его особых конфигураций.

Данная разработка включила в себя: разработку алгоритмов кинематического и силового анализа механизмов параллельной структуры и планирование программных траекторий с учетом их особых положений. разработку алгоритмов управления механизмами параллельной структуры с учетом характеристик приводов и особых положений. разработку методики использования дополнительных двигателей, позволяющих преодолевать особые положения. разработку уточненного критерия особых положений механизмов параллельной структуры, учитывающего характеристики приводов, алгоритм управления и инерционные параметры звеньев. проведение моделирования на компьютере и численного эксперимента с целью проверки эффективности разработанных алгоритмов.

Основной задачей и научной новизной данной работы является то, что разработан оптимальный алгоритм управления движением плоского механизма параллельной структуры с учетом перехода через особые положения, а также формулировкой критерия близости к особому положению, связанного с превышением обобщенными моментами своих номинальных значений.

1. А.с. 558788 СССР, МКИ В 25 J 1/02. Манипулятор /В.Н. Данилевский. // Открытия. Изобретения. 1977. № 19. С.35-36.

2. А.с. 1174256 СССР, МКИ В 25 J 11/00. Манипулятор модульного типа / К.С. Арзуманян, А.Ш. Колискор//Открытия. Изобретения. 1985. №31. С.65-66.

3. А.с. 1289675 СССР, МКИ В 25 J 11/00. Манипулятор /К. С. Шоланов // Открытия. Изобретения. 1987. № 6. С.59.

4. Ас. 1303398 СССР, МКИ В 25 J 9/00. 1-координатный пространственный механизм / К.С. Арзуманян, А.Ш. Колискор//Открытия. Изобретения. 1987. № 14. С.74.

5. А.с. 1315290 СССР, МКИ В 25 J 1/02, 9/20. Манипулятор / Р.И. Али-задзе, Н.Р. Тагиев, AM. Темиров // Открытия. Изобретения. 1987. №21. С.72.

6. Арзуманян К.С., Колискор А.Ш. Синтез структур 1-координатных систем для исследования и диагностирования промышленных роботов / Испытания, контроль и диагностирование гибких производственных систем. М.: Наука, 1988. С.70-81.

7. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин: Учеб. для втузов. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 640 с.

8. Артоболевский И.И., Левитский Н.И., Черкудинов С.А. Синтез плоских механизмов. М.: Физматгиз, 1959.1084 с.

9. Астанин В.О., Сергеенко В.М. Исследование металлорежущего станка нетрадиционной компоновки // Станки и инструмент. 1993. № 3. С. 5-8.

10. Ассур Л.В. Исследование плоских стержневых механизмов с точки зрения их структуры и классификации. Изд. С.-П. Полит, института, отдел математики: т. 27, 1918.

11. И.Афонин В.Л. Управление технологическими роботами и гибкими модулями. М.: Наука, 1991.143 с.

12. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

13. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 631 с.

14. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. М.: Радио и связь, 1991, 256 с.

15. Борцов Ю.А., Бутузов В.Ф. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1984.

16. Верещагин А.Ф., Генерозов В.Л. Планирование траектории исполнительного органа манипуляционного робота. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1978, №2.

17. Воробьев Е.И. Алгоритм моделирования динамики механизмов манипуляторов и промышленных роботов ./ Меха ника машин 1978. Вып. 53 С.8-16.

18. Воробьев Е.И., Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: Наука, 1991.262 с.

19. Вукобратович М. , Стокич Д. Неадаптивное и адаптивное управление. М.: Мир, 1989. 376 с.

20. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория и приложения. М.: Наука, 1985. 384 с.

21. Вукобратович М. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы. М.: Мир, 1976. 543 с.

22. Гинзбург А.Р., Тимофеев АВ. Об адаптивной стабилизации программных движений механических систем. Прикладная математика и механика, т. 41, №5, 1977, с. 859 - 869.

23. Глазунов В.А. Использование теории винтов в задачах механики манипуляторов // Машиноведение. 1989. № 4. С.5-10.

24. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространственные механизмы параллельной структуры. М.: Наука, 1991. 95 с.

25. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф., Модель Б.И. Принципы классификации и методы анализа пространственных механизмов с параллельной структурой // Пробл. машиностроения и надежности машин. 1990. № 1. С.41-49.

26. Глазунов В.А., Муницына Н.В. Оптимальное проектирование манипуляторов параллельной структуры для агрессивных сред текстильного производства // Изв. ВУЗов. Технология текстильной промышленности. 1994. С. 8589.

27. Глазунов В.А., Муницына Н.В. Использование программы расчета плоских механизмов параллельной структуры в учебном процессе / Сб. статей II научно-технической конференции ИИСИ, Иванове. 1995./С. 12.

28. Глазунов В.А, Плотникова Н.В. К решению задач о положениях и скоростях пространственных механизмов параллельной структуры // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1993. № 1. С. 9-14.

29. Глазунов В.А, Рашоян Г.В. Вывод 1-координатных манипуляторов из особых положений. // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1990. №7. С. 9-12.У2

30. Джолдасбеков У.А. Графо аналитические методы анализа и синтеза механизмов высоких классов. Алма-Ата: Наука, 1983. 256 с.

31. Диментберг Ф.М. Винтовое исчисление и его приложения в механике. М.: Наука, 1965. 200 с.

32. Диментберг Ф.М. Определение положений пространственных механизмов. М.: Изд-во АН СССР, 1950.142 с.

33. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения. М.: Наука, 1978.327с.

34. Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: Наука, 1982. 335 с.

35. Диментберг Ф.М., Саркисян Ю.Л., Усков М.К. Пространственные механизмы. М.: Наука, 1983. 95 с.

36. Заблонский К.И., Монашко Н.Т., Щекин Б.Н. Оптимальный синтез схем манипуляторов промышленных роботов. Киев: Техника, 1989.152с.

37. Зельдович Я.Б., Мышис АД. Элементы прикладной математики. . М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит. 1967. 648 с.

38. Зубов В.Н. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.495 с.

39. Иванов Ю.В., Лакота Н.А. Гибкая автоматизация производства РЭА с применением микропроцессоров и роботов: Учебное пособие для вузов. -М.: Радио и связь, 1987.-464 е.: ил.

40. Кинематика, динамика и точность механизмов. / Справочник. Под ред. Г.В. Крейнина. М.: Машиностроение, 1984. 224 с.

41. Кобринский А.А., Кобринский А.Е. Манипуляционные системы роботов. М.: Наука, 1985. 344с.

42. Кобринский А.А., Кобринский А.Е. Построение оптимальных двигательных манипуляционных систем. Машиноведение №1, 1976. С. 12-18.

43. Козлов В.В., Макарычев В.П., Тимофеев А.В., Юревич Е.И. Динамика управления роботами. М.: Наука, 1984. 328с.

44. Козлов В.В., Тимофеев А.В., Юревич Е.И. Построение и стабилизация программных движений автоматического манипулятора с электрическими приводами В кн.: Робототехника. Л.: ЛПЙ, 1979.С.76-86.

45. Козлов Ю.М. Адаптация и обучение в робототехнике. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит, 1990.248 с.

46. Колискор А.Ш., Правоторова Е.А. Исследование точности движения охвата промышленного робота в пространстве // Машиноведение. 1989. №1. С.56-63.

47. Колискор А.Ш. Разработка и исследование промышленных роботов на основе 1-координат. // Станки и инструмент. 1982.№12.С.21-24.

48. Коловский М.З. Динамика машин. Л.: Наука. 1964.390 с.

49. Коловский М.З., Петров Г.И., Слоущ А.В. Об управлении движением замкнутых рычажных механизмов с несколькими степенями свободы. ПМ и М 2000 №4, С 82-88.

50. Коловский М.З., Слоущ А.В. Основы динамики промышленных роботов. М. Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1988.240 с.

51. Корендясев А.И., Саламандра Б.Л., Серков Н.А. и др. Развитие и внедрение методов анализа и синтеза механизмов промышленных роботов./ Робототехника: новые этапы развития / М.: Изд.-во РАН. 1993. С.74-82.

52. Корендясев А.И., Саламандра Б.Л., Тьюес Л.И. и др. Манипу-ляционные системы роботов. / Под ред. А.И. Корендясева. М.: Машиноведение, 1989.472 с.

53. Крайнев А.Ф. Функциональная классификация механизмов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. № 5. С. 10-20.

54. Крайнев А.Ф., Глазунов В.А. Новые механизмы относительного манипулирования // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №5. С. 106-117.

55. Крайнев А.Ф., Глазунов В.А., Муницына Н.В. Построение рабочих зон манипулятора параллельной структуры и двухкритериальная оптимизация его параметров //Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1994. № 1-3. С. 3-7.

56. Крайнев А.Ф., Ковалев Л.К., Васецкий В.Г., Глазунов В.А. Разработка установок для лазерной резки на основе механизмов параллельной структуры // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №6. С. 84-93.

57. Крайнев А.Ф., Механика от греческого mechanice (te'chne) искусство построения машин. Фундаментальный словарь. М.: Машиностроение, 2000. 904 е., ил. 51

58. Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. М., Машиностроение. 1987. 560 с.

59. Крайнев А.Ф. Функциональная классификация механизмов. //Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. №5.С. 10-20.

60. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука Гл. ред. физ. мат. лит., 1988, 328 с.

61. Крутько П.Д., Лакота Н.А. Алгоритмы автоматического управления приводных систем.-Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, №3, с. 151 -161.

62. Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления движением манипуляционных роботов. ДАН СССР, т.255, 1980, с.40 43.

63. Крутько П.Д., Попов Е.П. Обратные задачи динамики управляемых систем и оптимальные процессы // Докл. АН СССР.- 1982.- т.263, №5.

64. Крутько П.Д., Попов Е.П. Управление исполнительными системами роботов. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит. 1991,336с.

65. Кулаков Ф.М. Организация супервизорного управления роботами-манипуляторами.-Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1976, №5, 6; 1977, №1.

66. Кулаков Ф.М. Супервизорное управление манипуляционными роботами. М. Наука, 1986.

67. Лебедев П.А. Кинематика пространственных механизмов. М.: Машиностроение, 1967.279 с.

68. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1990, 592 с.

69. Лунев В.В., Мисюрин С.Ю. Решение задачи о положениях механизма методом многоугольников Ньютона // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №2. С. 26-31.

70. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М. - Л.: Гостехиздат, 1950. - 387 с.

71. Мардер Б.О., Рашоян Г.В. Об особых положениях 1-координатных механизмов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1990. №6. С. 39-43.

72. Медведев B.C., Лесков А.Г., Ющенко А.С. Системы управления манипуляционных роботов. М.,1978, 348с.

73. Метод функции Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск: Наука. Сиб, Отделение, 1987, 308с.

74. Мохамед М., Даффи Д. Непосредственное определение мгновенной кинематики роботов с параллельным расположением приводов // Тр. Амер. о. -ва инженеров механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1985. №2. С. 229-232.

75. Овакимов А. Г. Об особых положениях одноконтурных пространственных механизмов с несколькими степенями свободы // Машиноведение. 1989. №4. С. 11-18.

76. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф., Алексеева Л.А. Управление динамической моделью шагающего аппарата. Препринт ИПМ АН СССР, 1974, №20.

77. Павлов В.А, Тимофеев А.В. Вычисление и стабилизация программного движения подвижного робота манипулятора. - Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1976, №6.

78. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота- манипулятора. М.: Наука, 1976. 103с.

79. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.-453с.

80. Попов Е.П. Роботы манипуляторы. М.: Знание, 1974.

81. Попов Е.П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. М.: Наука, 1978.400с .

82. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления / Б. Н. Петров, В. Ю. Рутковский, И. Н. Крутова, С. Д. Земляков. М.: Машиностроение, 1972. -260 .

83. Потапенко Е.М. Робостное управление роботом. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. №3. 1993. С. 183-190.

84. Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы. М. Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит.-ры.1989. 432 с.

85. Сергеев АВ. Исследование динамики механизмов перемещения платформенного типа с параллельными системами приводов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1990.№6. С. 28-34.

86. Системы управления промышленными роботами и манипуляторами / Под редакцией Е. И. Юревича. Л.,1980.184 с.

87. Солодовников В. В., Шрамко Л. С. Расчет и проектирование аналитических самонастраивающихся систем с эталонными моделями. М. Машиностроение, 1972. - 270 с.

88. Сугимото К. Анализ кинематики и динамики манипуляторов с параллельным расположением приводов методами моторной алгебры // Тр.

89. Амер. о. ва инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1988. №1. С. 279-286.

90. Тимофеев АВ. Адаптивные робототехнические комплексы. J1. Машиноведение. 1988.392с.

91. Тимофеев А.В. Построение адаптивных систем управления программным движением. М.: Энергия, 1980, 107с.

92. Тимофеев А.В. Построение программных движений и управление роботом манипулятором с учетом его кинематической избыточности и динамики. - Автоматика, №1,1976, с. 71 - 81.

93. Тимофеев АВ. Управление роботами. Л.: ЛГУ, 1986,217с.

94. Тимофеев А.В., Экало Ю.В. Устойчивость и стабилизация программного движения робота-манипулятора.-Автоматика и телемеханика, 1976, №10.

95. Тывес Л.И., Маркович С.В. Оптимальное по быстродействию управление движением робота по собственной траектории // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. № 5. С. 76-82.

96. Фомин В.Н., Фрадков АЛ., Якубович В.А Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981, 447 с.

97. Фролов К.В., Сергеев В.И., Колискор А.Ш. Исследование механических параметров промышленных роботов 1-координатными методами/ Тр. II советско-югославского симпоз. по робототехнике. Белград.1984.С.147-151.

98. Хант К.Х. Кинематические структуры манипуляторов с параллельным приводом // Тр. Амер. о- ва инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1983. №4. С. 201-210.

99. Чернов В.Ф. Исследование локальности перемещений выходного звена 1-координатных механизмов //Двенадцатая Юбилейная конференция.

100. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит.,1989. 368 с.

101. Юревич Е.И. и др. Управление роботами от ЭВМ.-Л.: Энергия,t1980.-261с.

102. ЯнгД. Робототехника.-JL: Машиностроение. 1979.

103. Ali А.М., Hmaid Y. Kinematics and Inverse Kinematics of a Parallel-Actuated Robot // Modelling, Simulation and Control. ASME Press. 1988. Vol. 14. .No 1. P. 53-64.

104. Behi F. Kinematic Analysis for a Six-Degree-of-Freedom 3-PRPS Parallel Mechanism // IEEE J. Robot and Automat. 1988. Vol. 4. X" 5. P. 561-565.

105. Alisade R.J., Tagiyev N.R. Kinematic Analysis of High Class Multi-Loop Spatial Mechanisms, Robots and Manipulators / Proc. of the 7th World Congr. on TMM. Seville. Spain. 1987. Vol. 1. P. 313-316.

106. Bottema 0., Roth B. Theoretical Cinematic. Amsterdam., etc.North. Holland Publ. Co. 1979. 558 p.

107. Danescu G., Jacquet P., Dahan M. The singular Configurations of an Un-rotational Manipulator. // IX Word Congress on the TMM. Pr. Milano, Italy. 1995. P. 1961-1965.

108. Do W.Q.D. Yang D.C.H. Inverse Dynamic Analysis and Simulation of a Platform Type of Robot. // J. Robot. Syst. 1988. .N" 3. P. 209-227.

109. Dzholdasbekov U.A., Baigunchekov Zh.Zh. High Class Spatial Mechanisms / The Theory of Machines and Mechanisms: Proc VII World Congr., Spain,) Seville. 1987. P. 309-313.

110. Fichter E.F., McDowell E.D. A Novel Design for a Robot Arm // Advancer in Computer Technology, an ASME Publication, 1980. P. 250-256.

111. Fichter E.F., McDowell E.D. Determination the Motions of Joints on a Parallel Connection Manipulators / Proc. 6th World Congr. oflFToMM. Delhi. 1983. P.1003-1006.

112. Funabashi H., Takeda Y. Determination of singular points and Their Vicinity in Parallel Manipulators Based on the Transmission Index // IX Word Congress on the TMM. Pr. Milano, Italy. 1995. P.l977-1981.

113. Glazunov V.A., Kraynev A.F., Rashoyan G.V., Trifonova AN. Singular 1 Zones of Parallel Structure Mechanisms. / Pr. X World Congress on TMM, Oulu,

114. Finland, 1999, p. 2710-2715.

115. Gosselin C., Angeles J. The Optimum Kinematic Design of a Planar Three-Degree-of-Freedom Parallel Manipulator// Trans. ASME. Vol. 110: 1988. P. 3-10.

116. Gosselin C., Angeles J. The Optimum Kinematic Design of a Spherical Three-Degree-of-Freedom Parallel Manipulator // Trans. ASME J. Mech., Trans, and Automat. Design, 1989. Xй 2. P. 202-207.

117. Stewart Platform // J. Robot. Systems. 1989, .No 6. P. 706-720.

118. Hara A., Sugimoto K. Synthesis of Parallel Micromanipulators // Trans. ASME J. Mech., Trans, and Automat. Design, 1989. Xs 1. P. 34-39.

119. Harris D.M.J. A Hidraulic Parallel-Linkage Robot. // IX Word Congress on the TMM. Pr. Milano, Italy. 1995. P. 1695-1699.

120. Hunt K.H. Geometry of Robotic Devices. // Institution of Engineers Austral Mechanical Engineering: Transaction. 1982. Vol. 7. .No 4. P. 213-220.

121. Hunt K.H. Kinematic Geometry of Mechanisms // London: Oxford Uni-т- versity Press. 1978.465 p.

122. Hunt К. Structural kinematics of in-parallel-actuated robot arms./ ASME. Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, Vol. 105, 1983, p. 705-712.

123. Jokoi К., Kaneko M., Tanie K. Direct Compliance Control of Parallel Link Manipulators / Eight CISM IFToMM Symp. of Theory and Practice of Robots and Manipulators. 1990. Cracow, Poland. P. 243-250.

124. Kahn M.E., Roth B. The near minimum time control of open loop articulated kinematic chains. Dinamic Systems, Measurement and Control. - Trans. ASME, 1971, J. Dinamic Systems, Measurement and Control September, 164-172.

125. Kerr D.R. Analysis, Properties and Design of a Stewart-Platform Transducer// Trans. ASME. J. Mech., Trans, and Automat. Design. 1989. X° 1. P. 25-28.

126. Lee K.M., Shan D.K. Dynamic Analysis of a Three-Degree-of-Freedom in-Parallel Actuated Manipulator//Ibid. P. 361-367.

127. Lee K.M., Shan D.K. Kinematic Analysis of a Three-Degree-of-Freedom in-Parallel Actuated Manipulator// IEEE J. Robot, and Automat. , 1988. .No. 3. P. 354-360.

128. Luh J.Y.S., Lin G.S. Optimal Path Planning for Mechanical Manipulators. J. Dinamic Systems, Measurement and Control, Trans, of the ASME, 1981, v. 103, No. 2, 142-151.

129. Merlet J.P. Force-Feedback Control of Parallel Manipulators // Proc. IEEE Intern. Conf. Robot, and Automat., Philadelphia. Wash. 1988. Vol. 3. P. 14841989.

130. Merlet J.P. Singular configurations of parallel manipulators and Grass-man geometry // Intern. J. Robotic Res. 1989, Vol.8, № 5, p. 45-56.

131. Mohamed M.G., Duffy J. A Direct Determination of the Instantaneous Kinematics of Fully Parallel Robot Manipulators // Trans. ASME: Joum. of Mechanisms, Transmission and Automation in Design. 1985. Vol. 107. P. 226-229.

132. Mohamed M.G., Sanger J., Duffy J. Instantaneous Kinematics of Fully-Parallel Devices/Proc. 6th World Congr. on TMM. New Delhi. 1983. Vol.1. P. 7780.

133. Mufti I.N. Model reference adaptive control for manipulators, a review. Syroco 85, pp 111-116.

134. Parenti-Gastelli V., Innocenti C. Direct displacement analysis for some classes of spatial parallel mechanisms // 8 CISM-IFToMM Simp. On Theory and Practice of Robots and Manipulators 1990 Vol. 5. P. 134-142.

135. Rathbun G.P., Dunlop G.R. Commercurate Positioning of a Step-motor Actuated Stewart Platform / The Theory of Mechanisms and Mashines. Proceed, of the 7-th World Congres. Spain. 1987. P. 1481-1484.

136. Samuel AE., Ridley P. Motion and Control of a Flexible robot Gripper / Proc. "85 1CAR": Intern. Conf. Adv. Robot, Japan. Tokyo. 1985. P. 295-302.

137. Sandell N.R., Varaiya P., Athans M., Saffonov M.G. Survej of decentralized control methods for large- scale systems. -IDEE Trans. On Automatic Control, 1978, AC-23, 108-128.

138. Saridis N.G., Lee C.S.G. An Approximation Theory of Optimal Control for Trainable Manipulators. IEEE Trans. On Systems, Man. and Cybernetics, 1979, v. SMC 9, No.3,152-159.

139. Sarkisyan Y.L., Parikyan T.F. Analysis of Special Configurations' of Parallel Topology Manipulators / Eight C1SM IFToMM Symp. of theory and Practice of Robots and Manipulators, 1990. Cracow. Poland. P. 131-139.

140. Sklar M., Tesar D. Dynamic Analysis ofGibrid Serial Manipulator Systems Containing Parallel Modules // Joum. of Mechanisms, Transmission and Automation in Design. 1988. Vol. 110. P. 109-115.

141. Sorii M., Kolarski M., Ferraresi C., Borovac В., Vucobratovic M. Mechanics of Turin Parallel Robot. // IX Word Congress on the TMM. Pr. Milano, Italy. 1995. P. 1880-1885.

142. Stewart D. A Platform With Six Degrees of Freedom // Proc. Inst. Mech. Eng. 1965/66. Vol. 180. Pt 1. №15. P. 371-386.

143. Sugimoto K. Kinematic and Dynamic Analysis of Parallel Manipulators by Means of Motor Algebra // Trans. ASME: Joum. of Mechanisms, Transmission and Automation in Design. 1987. Vol. 109. № 1. P. 3-7.

144. Sugimoto К., Duffi J., Hunt K.H. Special Configurations of Spatial Mechanisms and Robot Arm // Mechanisms and Mashin Theory. 1982. Vol. 17. JMo2. P. 119-132.

145. Yang T. A Method of Position Analysis of Spatial Complex Multi-loop Chains by Imaginary Inputs / Proc. 4th International Symposium on Linkageg and CAD "SYROM'85". Bucharest. Romania. 1985. P. 458-462.

146. Патент № 2060135. Установка для лазерной резки / А.Ф. Крайнев, Б.Г. Васецкий, JI.K. Ковалев, В.А. Глазунов, А.К. Алешин // Б. П.- 1996. № 1. - С.5-7.

147. Патент № 2062197. Установка для лазерной резки / А.Ф. Крайнев, Б.Г. Васецкий, Л.К. Ковалев, В.А Глазунов, А.К. Алешин // Б. И. 1996.

148. Патент № 2062198. Установка для лазерной резки / А. Ф. Крайнев, Л.К. Ковалев, В.А Глазунов, А.К. Алешин // Б. И. 1996.