автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Категорный подход к анализу систем преобразования информации

Введение

1. Общая характеристика работы.

2. Краткое содержание работы

Глава I. Линейные стохастические преобразователей информации

1. Введение.

2. Категории линейных стохастических ПИ.

2.1. Измерения сигналов и их зависимость.

2.2. Операции и аксиомы класса ЛПИ.

2.3. Операция композиции.

2.4. Детерминированные ЛПИ.

2.5. Матричные обозначения.

2.6. Произведение.

2.7. Категория линейных ПИ.

2.8. Параллельное произведение.

3. Независимость и похожесть преобразователей информации.

3.1. Основные эквивалентности в категории ЛПИ.

3.2. Независимость ЛПИ.

3.3. Алгебра независимых преобразователей информации

3.4. Категория независимых ЛПИ.

3.5. Основные виды линейных ПИ.

3.6. Декомпозиция преобразователей информации.

4. Информативность линейных преобразователей информации.

4.1. Определение информативности

4.2. Основные свойства информативности.

5. Универсальный и канонический эквиваленты преобразователя информации

5.1. Универсальный эквивалент преобразователя информации

5.2. Свойства универсального эквивалента.

5.3. Канонический эквивалент и алгебраический критерий информативности

6. Интерпретация измерений и семантическая информативность

6.1. Семантическая информативность.

6.2. Оптимальная редукция преобразователей информации

6.3. Простейшая задача редукции.

6.4. Задача редукции с априорной информацией.

6.5. "Частная" задача редукции.

7. Относительная информативность и априорная информация.

7.1. Случайные элементы и распределения в категориях линейных преобразователей информации.

7.2. Относительная информативность случайных элементов

7.3. Свойства относительной информативности.

7.4. Условные линейные преобразователи информации.

7.5. Нормальный эквивалент случайного элемента.

7.6. Критерий сравнения относительной информативности.

7.7. Структура классов эквивалентности для относительной информативности

7.8. Универсальный относительный эквивалент.

7.9. Канонический относительный эквивалент.

7.10. Оптимальность относительно априорной информации.

8. Достаточность и информативность в категории линейных преобразователей информации

8.1. Достаточность в категории ЛПИ.

8.2. Связь взаимной достаточности и информативности.

9. Существование обогащенной категории линейных ПИ SLT.

9.1. Семейство элементарных ПИ.

9.2. Совокупность производных ПИ.

9.3. Конструкция категории SLT.

Глава II. Категория многозначных преобразователей информации

1. Введение.

2. Многозначные преобразователи информации.

2.1. Представление преобразователей информации многозначными отображениями.

2.2. Множества как распределения. Аналогия с теорией вероятностей

3. Байесовские задачи синтеза оптимальных многозначных преобразователей информации

3.1. Задачи синтеза оптимальных ИВС.

3.2. Синтез ПИ, действующих в метрическое пространство.

3.3. Общая линейная модель измерения с аддитивным шумом

4. Категория многозначных преобразователей информации.

4.1. Композиция преобразователей информации.

4.2. Совокупность преобразователей информации как категория

4.3. Произведение преобразователей информации.

4.4. Монотонность.

5. Информативность многозначных преобразователей информации

5.1. Определение отношения информативности.

5.2. Основные свойства информативности.

5.3. Слабая информативность.

5.4. Структура семейства классов эквивалентной информативности

5.5. Структура классов эквивалентности для слабой информативности

6. Канонический эквивалент преобразователя информации и критерий сравнения информативности.

6.1. Канонические преобразователи информации

6.2. Пример.

6.3. Критерий сравнения информативности.

6.4. Произведение покрытий.

6.5. Пополнение покрытия.

6.6. Характеризация слабой информативности. Слабо полые покрытия

6.7. Несколько простых примеров сравнения информативности . . 175 7. Информативность и синтез оптимальных преобразователей информации

7.1. Принятие решений и семантическая информативность.

7.2. Слабая семантическая информативность.

Глава III. Теория нечетких множеств как теория неопределенности и задачи принятия решений в нечетком эксперименте

1. Введение.

2. Нечеткие распределения вместо вероятностных распределений

2.1. Нечеткие распределения.

2.2. Образ распределения, индуцированный отображением.

2.3. Совместное распределение

2.4. Переходное распределение.

2.5. Образ распределения, индуцированный переходным распределением

2.6. Порожденное совместное распределение.

2.7. Условное распределение.

2.8. Независимость.

3. Принятие решений в нечетком эксперименте.

3.1. Нечеткий эксперимент с априорной информацией.

3.2. Принятие решений на основе эксперимента.

3.3. Тривиальная задача принятия решений.

3.4. Задача выбора оптимальной решающей стратегии.

3.5. Задача принятия решений в М-теории.

3.6. Построение оптимальной решающей стратегии в М-теории

3.7. Задачи точечного оценивания в нечетких теориях

3.8. Соотношение между байесовским и минимаксным подходами

4. Категории нечетких преобразователей информации

4.1. Композиция нечетких отображений

4.2. Детерминированные ПИ.

4.3. Произведение нечетких ПИ.

4.4. Совокупность нечетких ПИ как категория преобразователей информации

Глава IV. Инвариантные преобразователи информации

1. Введение.

2. Линейные инвариантные преобразователи информации.

2.1. Пространство сигналов и действие группы.

2.2. Инвариантное линейное отображение и его описание

2.3. Однородные случайные функции

2.4. Преобразователи информации

3. Проблема синтеза оптимальных инвариантных ПИ.

3.1. Инвариантная задача принятия решений.

3.2. Задача синтеза с априорной информацией.

4. Примеры инвариантных преобразователей информации.

4.1. Одномерный дискретный ПИ, инвариантный относительно группы сдвигов.

4.2. Одномерный дискретный ПИ, инвариантный относительно группы сдвигов и отражений.

4.3. Одномерный ПИ с различной дискретизацией пространств

4.4. ПИ на гексагональной сетке

4.5. ПИ на гексагональной сетке с расширенной группой симметрии

4.6. Совокупность одинаковых измерений.

5. Категория инвариантных преобразователей информации.

5.1. Категория инвариантных линейных отображений.

5.2. Инвариантные преобразователи информации как категория ПИ

Глава V. Общая алгебраическая структура классов преобразователей информации

1. Абстрактные преобразователи информации.

1.1. Композиция преобразователей информации.

1.2. Ассоциативность композиции.

1.3. Единичные ПИ.

1.4. Произведение.

2. Категория преобразователей информации.

2.1. Категории: основные понятия.

2.2. Аксиоматическое определение категорий преобразователей информации

3. Информативность преобразователей информации

3.1. Определение отношения информативности.

3.2. Основные свойства информативности.

3.3. Структура семейства классов эквивалентной информативности

4. Информативность и синтез оптимальных преобразователей информации

4.1. Проблемы принятия решений в категориях ПИ.

4.2. Семантическая информативность.

5. Проблемы принятия решений с априорной информацией.

5.1. Распределения в категориях ПИ.

5.2. Байесовские проблемы принятия решений.

6. Примеры классов преобразователей информации.

6.1. Стохастические ПИ

6.2. Категория множеств, как категория ПИ.

7. Универсальный эквивалент преобразователя информации как минимальный факторобъект.

8. Универсальный эквивалент и системы факторизации

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В настоящее время большое внимание уделяется теоретическому описанию процессов получения, обработки, представления и передачи информации, а также проблемам принятия решений при наличии неопределенности.

Различные системы, участвующие в получении и обработке информации, удобно рассматривать как частные случаи, так называемых, преобразователей информации (ПИ). Под преобразователем информации в широком смысле слова понимается как экспериментальная установка или канал передачи данных, так и среда, через которую возмущение от исследуемого объекта передается к детектору, а также и компьютер, осуществляющий обработку полученных данных, и т.д. При исследовании ПИ возникает необходимость как в анализе преобразователей информации, т.е. в разложении их на более простые ПИ, так и в синтезе ПИ, т.е. в построении ПИ, удовлетворяющего заданным условиям, из более простых ПИ. Особый интерес представляет проблема описания "информационных возможностей" данного ПИ, т.е. проблема характеризации той информации, которая может извлекаться с его помощью.

Для решения этих проблема необходим адекватный и достаточно развитый математический аппарат. В частности, этот аппарат должен работать с различными семействами ПИ, в которых определены такие, например, операции, как последовательная и параллельная композиция; иными словами, работать с алгебрами ПИ.

Обычно процессам преобразования информации (например, измерениям) присущ феномен невоспроизводимости (недетерминированности), когда одному и тому же сигналу на "входе" ПИ соответствуют различные значения на его "выходе". Тем самым, ПИ нельзя описать как отображение множества значений "входа" в множества значений "выхода". Действительно, например, в математической статистике эксперимент описывается параметризованным семейством вероятностных мер [8,14], в теории нечетких множеств он описывается семейством нечетких множеств [39,41,64], и т.д.

Заметим, что в различных моделях используются различные способы описания неопределенности (стохастические, многозначные, нечеткие,.), различные способы описания искажений (линейные, инвариантные, разного типа нелинейные,.) и, соответственно этому, различные соответствующие классы ГШ. Всё больший интерес привлекают способы описания неопределенности, отличные от вероятностного. Это связано с тем, что наиболее распространенный и важный способ описания неопределенности — вероятностный (с помощью вероятностных моделей и статистических структур [8]) обладает рядом недостатков. Например, используемые вероятностные распределения далеко не всегда могут быть обоснованы; для вероятностных представлений характерна частотная интерпретация, которая также не всегда соответствует содержанию задачи.1 С другой стороны, в задаче принятия решений (по результатам наблюдений) нередко бывает важна не средняя, а максимально возможная погрешность. Некоторые из таких задач рассмотрены в работах [77,78]. В этих случаях вероятностное описание в некотором смысле "избыточно" описывает ситуацию и более естественным представляется подход, описывающий неопределенность множеством, а эксперимент — многозначным отображением. Наконец, если нас интересует максимально возможная погрешность с "весами", учитывающими различную "возможность" того или иного результата "наблюдения", то естественным кандидатом для описания соответствующего преобразователя информации является нечеткое отображение [39,41,46,71].

Итак, для приложений представляется актуальным развитие теорий неопределенности, альтернативных к теории вероятностей, и соответствующих им теорий

Анализ применимости вероятностных структур содержится в полемической работе [52]. Например, там сказано "Для того, чтобы моделировать неопределенность при помощи вероятностного механизма, необходимо иметь чересчур много информации, которая не может быть извлечена из доступных данных в большой массе практических задач". Далее Калман приходит к довольно резкому выводу: ". мы должны отрицать, что классические вероятностные структуры классической теории вероятностей, на самом деле, имеют научное отношение к описанию неопределенности. Этот вывод, однако, не отрицает возможности других средств для работы с неопределенностью." принятия решений.

В математической статистике (точнее, в теории оптимальных статистических решений) накоплен богатейший концептуальный опыт, связанный, в частности, с такими понятиями, как совместное и условное распределения, достаточность. Оказывается, что эти понятия имеют глубокий абстрактный смысл и могут быть сформулированы и в тех случаях, когда для описания недетерминированности используются не вероятностные способы. В результате этого многие важные понятия и конструкции теории вероятностей и математической статистики переносятся в более абстрактную ситуацию, когда классы ПИ описываются, например, в алгебраических терминах. Важно, что в этом новом контексте используется методология статистики по работе с неопределенностью; скажем, в задачах принятия решений.

Разные классы ПИ, несмотря на различия, могут иметь много общего. Если сосредоточить внимание на свойствах, общих для различных классов ПИ, то мы придем к математической структуре, играющей большую роль в современной математике, а именно, к структуре категории [2,23,62,63,105]. Поэтому теоретико-категорный анализ различных классов ПИ и их общее аксиоматическое описание в рамках теории категорий представляется весьма актуальным. Подходящие категории рассмотрены в работах [19,67,82,106,108] для стохастических ПИ; [20-22] для нечетких ПИ; [3,4,63,64] для целого класса различных типов ПИ, например, нечетких, многозначных вероятностных и др.

При исследовании ПИ одним из центральных моментов является проблема оценки их информационных возможностей, точнее, проблема сравнения информативности двух ПИ. Возможны различные подходы к определению понятия информативности ПИ. При одном из таких подходов один ПИ семантически информативнее чем другой, если он обеспечивает лучшее качество решения по сравнению с другим в любой задаче принятия решений. При другом подходе один ПИ считается более информативным, чем другой, если посредством некоторого дополнительного ПИ первый из них может быть "преобразован" во второй. Стоит отметить, что на определенных этапах развития статистики важное понятие достаточности было очень близко к данному выше определению информативности (в стохастическом контексте) [6,7,9-11,54,57,61,67,82,99]. Однако, по видимому, в связи с работой

Халмоша и Сэвиджа [101] "классическое" понятие достаточности приобрело другой, более "технический" оттенок.

В классических работах Блекуэлла [9,10] в статистическом контексте исследовалась связь информативности (достаточности по Блекуэллу) и семантической информативности (информативности по Блекуэллу). Эти исследования получили серьезное развитие в работах Сакстедера и Морса [67,82], где подчеркивалось удобство использования теории категорий, а также в работах Ченцова [106, 108], где уже активно использовался аппарат теории категорий. В статье Пытьева [74] исследовалась семантическая информативность линейных ПИ для определенного класса задач принятия решений. Однако, систематическое исследование информативности для альтернативных (не вероятностных) способов описания неопределенности до сих пор не предпринималось.

Предмет данного исследования состоит в изучение различных классов ПИ и в анализе информативности ПИ из этих классов. Такой выбор предмета исследований связано со всё возрастающим интересом к теоретическому описанию сложных информационных систем, систем принятия решений и описанию систем взаимодействующих информационных процессов.

Цель и задачи исследования. Из обширного списка задач, упомянутых в предыдущем пункте, диссертантом были рассмотрены следующие:

• Найти общую алгебраическую структуру различных семейств ПИ, найти аксиоматическое описание категории ПИ и исследовать её свойства.

• Определить понятия информативности в этой категории ПИ. Исследовать понятие информативности, основанное на структурных особенностях класса ПИ (и, тем самым, обобщающее понятие достаточности по Блекуэллу), а также понятие семантической информативности, основанное на рассмотрении ПИ в связи с задачами принятия решений (и, тем самым, обобщающее понятие информативности по Блекуэллу).

• Найти эффективное условие совпадения отношений информативности и семантической информативности в данном классе ПИ.

• Описать семейство классов эквивалентности ПИ из данной категории ПИ (два ПИ считаются эквивалентными, если они имеют равную информативность).

Конструктивно описать алгебраическую структуру этого семейства для ряда категорий ПИ.

• Изучить свойства универсального эквивалента данного ПИ. Найти критерий существования универсального эквивалента для данного ПИ. Найти явное описание универсального эквивалента данного ПИ для ряда категорий ПИ.

• Развить байесовский подход к задачам принятия решений как для ряда конкретных категорий ПИ, так и для аксиоматически заданной категории ПИ.

• Изучить вид оптимальной решающей стратегии для категории инвариантных ПИ и развить метод для построения такой стратегии.

• Построить обогащенную категорию линейных ПИ, позволяющую гибко описывать взаимную зависимость различных ПИ без привлечения теоретико-вероятностных конструкций (типа общего вероятностного пространства). Формализовать понятие случайного элемента в аксиоматически заданной категории ПИ.

• В терминах аксиоматически заданной категории ПИ описать базовые понятия и конструкции теории вероятностей и математической статистики, играющие основную роль в задаче принятия решений.

• Развить методологию теории статистических решений в не стохастическом контексте, а именно, в контексте теории категорий.

Методы исследования базируются на аппарате теории категорий и методологии теории оптимальных статистических решений. При исследовании свойств различных категорий ПИ используются соответствующие методы: линейные операторы и псевдообращение, нечеткие множества, теория вероятностей, теория групп и др. Для алгоритмической реализации некоторых результатов используются методы численного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные новые результаты:

• Получено теоретико-категорное описание ряда конкретных классов ПИ и аксиоматическое описание произвольной категории ПИ.

• Предложено два определения информативности ПИ и найдены условия их эквивалентности. В категориях линейных, многозначных ПИ и аксиоматически заданной категории ПИ установлено существование такой одной задачи принятия решений, что относительно неё семантическая информативность совпадает с информативностью.

• Показано, что классы эквивалентности ПИ (для отношения эквивалентности "быть равной информативности") образуют частично упорядоченный ограниченный абелев моноид. Получено явное описание этого моноида для категорий линейных и многозначных ПИ.

• Доказано существование универсального эквивалента данного ПИ (в категории линейных ПИ и в аксиоматически заданной категории ПИ).

• Развит байесовский подход к задачам принятия решений и доказан байесовский принцип (в категориях линейных, многозначных, нечетких ПИ и в аксиоматически заданной категории ПИ).

• Построена обогащенная категория для категории линейных ПИ.

• Для категории инвариантных ПИ и инвариантной задачи принятия решений доказано существование оптимального инвариантного решающего правила; в частном случае это правило компьютерно реализовано.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты и разработанные в ней методы могут найти применение при изучении и построении сложных информационных систем, систем принятия решений, при анализе систем взаимодействующих информационных процессов. Развитые в диссертации общие подходы позволяют использовать методологию теории статистических решений при альтернативном (не стохастическом) описании недетерминированности и, в частности, в экспертных системах, базирующихся на теории нечетких множеств. Результаты, полученные при рассмотрении упомянутых типов ПИ (линейных, многозначных, нечетких и инвариантных), могут использоваться при практическом сравнении информативности двух ПИ и при практическом построении соответствующих систем принятия решений. Алгоритмы, полученные в работе, компьютерно реализованы и могут быть использованы, например, для построения практических систем обработки изображений (с потенциально неограниченным полем зрения). Разработанные подходы могут быть положены в основу исследования новых категорий ПИ, в частности, категорий динамических недетерминированных ПИ (с дискретным, а затем и непрерывным временем). Предполагается, что с помощью этих категорий удастся описать потоки информации и другие информационные взаимодействия, развивающиеся во времени. Развитый в работе единый подход к проблеме преобразования информации может быть полезен для лучшего понимания информационных процессов, происходящих в сложных технических и живых системах.

Апробация. По результатам диссертации делались доклады на Международной конференции по информационным технологиям для анализа изображений (1st Int. Conf. on Information Technologies for Image Analysis and Pattern Recognition ITI-APR'90, USSR, Lviv, 1990), на XIV Международной конференции по Когерентной и Нелинейной Оптике КиНО'91 (С.-Петербург, 1991), на XI Всесоюзном Симпозиуме по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах (Томск, 1991), на Международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике (13th World Cong, on Computation and Applied Mathematics IMACS'91, Ireland, Dublin, 1991), на Первом Европейском Математическом Конгрессе (The First European Mathematical Congress, Paris, France, July 1992), на Европейском семинаре по математике в инженерном образовании (7th SEFI European Seminar on Mathematics in Engineering Education, Eindhoven, The Netherlands, 1993), на Международной конференции по приложениям нечеткой логики (Applications of Fuzzy Logic Technology II, Orlando, FL, USA, 1995) на Международной конференции по информатике и управлению (International Conference on Informatics and Control, ICI&C97, St. Petersburg, Russia, 1997), на VII Международной конференции "Интеллектуальные системы и компьютерные науки" (Москва, 1997), а также на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ (1988-1998), факультета математики университета штата Монтана (Missoula, 1996), кафедры математической логики и кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ (1998).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [94], [95], [96], [97].

Благодарности. Интерес автора к исследованию информативности возник после изучения работ профессора Ю. П. Пытьева и многочисленных бесед с ним. Я глубоко признателен Юрию Петровичу за инициацию этих исследований и доброжелательное внимание к моей научной работе. Результаты этих исследований постоянно обсуждались с профессором В. А. Любецким и докладывались на его семинаре на механико-математическом факультете МГУ. Автор глубоко благодарен Василию Александровичу за многочисленные ценные замечания по теме исследований и моральную поддержку. Автор выражает благодарность участникам семинара в Институте проблем передачи информации РАН под руководством профессоров Л. А. Баса-лыго и М. С. Пинскера, участникам семинара кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ под руководством профессоров А. В. Михалёва, В. Н. Латышева и В. А. Артамонова за плодотворные дискуссии. От всей души благодарю коллектив кафедры математики физического факультета МГУ (заведующие кафедрой профессора А. Г. Свешников и В. Ф. Бутузов), на которой моя научная деятельность возникла, продолжалась и получала неизменную поддержку в течение многих лет.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Arbib M. A., Manes Е. G. Arrows, Structures and Functors. New York: Academic Press, 1975.

3. Arbib M. A., Manes E. G. Fuzzy machines in a category II Bull. Austral. Math. Soc., 13, P. 169-210, 1975.

4. Arbib M. A., Manes E. G. Fuzzy morphisms in automata theory II Category Theory Applied to Computation and Control. Lecture Notes in Computer Science № 25, Springer-Verlag, P. 80-86, 1976.

5. Armstrong M. A. Groups and Symmetry. N.Y.: Springer, 1988.

6. Bahadur R. R. Sufficiency and statistical decision functions И Ann. Math. Statist., 25, P. 423-462, 1954.

7. Bahadur R. R. A characterization of sufficiency II Ann. Math. Statist., 26, P. 286-293, 1955.

8. Barra J.-R. Notions foundamentales de statistique mathématique. Dunod: Paris, 1971 (русский перевод: Барра Ж.-Р. Основные понятия математической статистики. М.: Мир, 1974).

9. Blackwell D. Comparison of Experiments II Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. University of California Press, P. 93-102, 1951.

10. Blackwell D. Equivalent Comparison of Experiments II Ann. Math. Stat., 24, № 2, P. 265-272, 1953.

11. Blackwell D., Girschick M. A. Theory of games and statistical decisions. Wiley Sons, New York, 1954 (русский перевод: Блекуэлл Д., Гиршик M. А. Теория игр и статистических решений. ИЛ, 1958).

12. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.

13. Боровков А. А. Математическая статистика. Оценка параметров, проверка гипотез. М.: Наука, 1984.

14. Боровков А. А. Математическая статистика. Дополнительные главы. М.: Наука, 1984.

15. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.

16. Wald A. Statistical decision functions. Wiley Sons, New York, 1950 (Русский перевод Вальд А. Статистические решающие функции. В кн. Позиционные игры, 1967).

17. Вариченко JI. В. Абстрактные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов. Киев, 1986.

18. Василенко Г. И., Тараторин А. М. Восстановление изображений. М., 1986.

19. Giry М. A Categorical Approach to Probability Theory II Categorical Aspects of Topology and Analysis. Lecture Notes in Mathematics № 915. Berlin: SpringerVerlag, P. 68-85, 1982.

20. Goguen J. A. L-Fuzzy Sets II J. Math. Anal, and Appl., 18, P. 145-174, 1967.

21. Goguen J. A. Categories ofV-sets II Bull. Amer. Math. Soc., 75, P. 622-624, 1969.

22. Goguen J. A. Concept representation in natural and artificial languages: axioms, extensions, and applications for fuzzy sets II Int. J. Man-Machine Studies, 6, P. 513-561, 1974.

23. Goldblatt R. Topoi. The Categorical Analysis of Logic. North Holland, 1979 (русский перевод: Голдблатт P. Топосы. Категорньш анализ логики. М.: Мир, 1983).

24. Голубцов П. В., Пытьев Ю. П. Распределение ресурса времени измерений в эксперименте И Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3 Физ. Астрон., 24, № 5, С. 46-50, 1983.

25. Голубцов П. В., Пытьев Ю. П., Чуличков А. И. Задачи оптимального измерения гауссовского сигнала II Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3 Физ. Астрон., 26, № 6, С. 17-21, 1985.

26. Голубцов П. В., Пытьев Ю. П., Чуличков А. И. Принципы использования тестовой информации при построении модели II V Всесоюзный симпозиум по модульным информационно-вычислительным системам. Кишинев: Штиинца, Р. 245-247, 1985.

27. Голубцов П. В., Пытьев Ю. П., Сухорукова Г. В., Чуличков А. И. Синтез ИВК оптимального измерения сигналов II Автоматизация научных исследований. Тезисы докладов XIX Всесоюзной школы, Новосибирск: изд. Ин-та автоматики, Р. 155, 1985.

28. Голубцов П. В., Пытьев Ю. П., Чуличков А. И. Построение оператора редукции по тестовым измерениям II Дискретные системы обработки информации. Устинов, Удмуртский гос. ун-т., Р. 68-71, 1986.

29. Голубцов П. В., Пытьев Ю. П., Чуличков А. И. Задача оптимальной редукции в физическом эксперименте // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3 Физ. Астрон., 27, № 2, С. 8-12, 1986.

30. Голубцов П. В., Пытьев Ю. П., Филатова С. А. Измерительно-вычислительная система для лидарного мониторинга атмосферных примесей II Оптика атмосферы, 4, № 10, С. 1011-1019, 1991.

31. Голубцов П. В., Филатова С. А. Оптимальная локальная редукция для пространственно-инвариантных измерительных систем II Математическое моделирование, 2, № 11, С. 61-66, 1990.

32. Golubtsov P. V. Measurement Systems: Algebraic Properties and Informativity И Pattern Recognition and Image Analysis, 1, № 1, P. 77-86, 1991.

33. Голубцов П. В. Филатова С. А. Учет инвариантности в измерительно-вычислительных системах формирования изображений II XIV Межд. Конф. по Когерентной и Нелинейной Оптике КиНО'91, С-Петербург, Т.1, Р. 82-83, 1991.

34. Голубцов П. В. Филатова С. А. Измерительно-вычислительная система формирования и коррекции изображений в атмосферной оптике II XI Всес. Симп. по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах, Томск, Р. 106, 1991.

35. Голубцов П. В. Информативность в категории линейных измерительных систем И Пробл. передачи информ., 28, № 2, С. 30-46, 1992.

36. Голубцов П. В., Филатова С. А. Многозначные измерительно-вычислительные системы II Мат. моделирование, 4, № 7, С. 79-94, 1992.

37. Golubtsov P.V. Probability and Fuzzy Sets in Engineering Education II Proc. 7th SEFI European Seminar on Mathematics in Engineering Education, Eindhoven, The Netherlands, P. 16, 1993.

38. Голубцов П. В. Теория нечетких множеств, как теория неопределенности и задачи принятия решений в нечетком эксперименте II Пробл. передачи информ., 30, № 3, С. 47-67, 1994.

39. Голубцов П. В. Относительная информативность и априорная информация в категории линейных преобразователей информации II Пробл. передачи информ., 31, № 3, С. 3-23, 1995.

40. Golubtsov P. V. Fuzzy logical semantics of Bayesian decision making II SPIE Proceedings Vol. 2493. Applications of Fuzzy Logic Technology II, Editors: Bruno Bosacchi, James C. Bezdek, P. 228-239, 1995.

41. Golubtsov P. V. Categories of Information Transformers and the Concept oflnfor-mativity II Proceedings of the International Conference on Informatics and Control (ICI&C97), St. Petersburg, Russia, Vol. 2, P. 512-517, 1997.

42. Голубцов П. В. Информативность в категории многозначных преобразователей информации II Пробл. передачи информ., 34, № 3, С. 60-80, 1998.

43. Голубцов П. В. Аксиоматическое описание категорий преобразователей информации II Пробл. передачи информ. (в печати), 18 е., 1998.

44. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974.

45. Dubois D., Prade Н. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. New York: Academic Press, 1979.

46. Zadeh L. A. Fuzzy Sets II Inform, and Control, 8, P. 338-353, 1965.

47. Заде JI.A. Тени нечетких множеств II Пробл. передачи информ, 2, № 1, С. 37^4, 1966.

48. Zadeh L.A. Similarity Relations and Fuzzy Orderings 11 Inform. Sci, 3, P. 177-200, 1971.

49. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

50. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

51. Калман Р.Е. Идентификация систем с шумами II УМН, 40, № 4(244), С. 27-41, 1985.

52. Каппелини В. Цифровые фильтры и их применение. М., 1983.

53. Kullback S., Leibler R. A. On information and sufficiency II Ann. Math. Statist., 22, № 1, P. 79-86, 1951.

54. Kullback S. Information theory and statistics. Wiley Sons, N. Y., 1959 (русский перевод: Кульбак С. Теория информации и статистика. Наука, 1967).

55. Lang S. Algebra. Addison-Wesley, Reading, 1968 (русский перевод: Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968).

56. LeCam L. Sufficiency and approximate sufficiency II Ann. Math. Statist., 35, P. 1419-1455, 1964.

57. LeCam L. On the information contained in additional observations II Ann. Statist., 2, P. 630-649, 1974.

58. Lehmann E. L. Comparison of experiments for some multivariate normal situations. In: Karlin, Amemiya, Goodman. Studies in econometric time series and multivariate statistics. Academic Press, New York, 1983.

59. Lehmann E. L. Comparing location experiments И Ann. Statist., 16, P. 521-533, 1988.

60. Леман Э. Теория точечного оценивания. M.: Наука, 1991.

61. MacLane S. Categories for the Working Mathematician. Graduate texts in mathematics № 5. New York: Springer, 1971.

62. Manes E. G. Algebraic Theories. Graduate texts in mathematics № 26. New York, Springer, 1976.

63. Manes E. G. A Class of Fuzzy Theories II J. Math. Anal, and Appl., 85, P. 409-451, 1982.

64. Martin Fr., Petit J. L., Petit-Littaye Comparaison des expériences И Ann. Inst. Henri Poincaré, В 7, № 2, P. 145-176, 1971.

65. Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А., Скорняков Л. А., Шестаков И. П. Общая алгебра. Том 1. М.: Наука, 1990.

66. Morse N., Sacksteder R. Statistical Isomorphism II Ann. Math. Stat., 37, № 2, P. 203-214, 1966. (Русский перевод: Морс H., Сакстедер P. Статистический изоморфизм II Математика, 12, № 6, С. 147-160, 1968.)

67. Neveu J. Bases Mathématiques du Calculus des Probabilités. Masson et Cie, Paris, 1964 (русский перевод: Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969).

68. Оппенгейм А. В., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М., Связь, 1979.

69. Оппенгейм А. В. (ред.) Применение цифровой обработки сигналов. М., 1980.

70. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой информации. М.: Наука, 1981.

71. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

72. Пытьев Ю. П. Псевдообратный оператор. Свойства и применения // Мат. сб., 118, № 5, С. 19-49, 1982.

73. Пытьев Ю. П. Задачи редукции в экспериментальных исследованиях II Мат. сб., 120, № 2, С. 240-272, 1983.

74. Пытьев Ю. П. Математические методы интерпретации эксперимента. М.: Высшая школа, 1989.

75. Пытьев Ю. П. Методы анализа и интерпретации эксперимента. М.: Изд. МГУ, 1990.

76. Pyt'ev Yu. Р Measurement Computer Systems of Superhigh Resolution II Pattern Recognition and Image Analysis, 1, № 1, P. 54-76, 1991.

77. Пытьев Ю.П. К теории нелинейных изл1ерителъно-вычислительных систем II Мат. моделирование, 4, № 2, С. 76-94, 1992.

78. Пытьев Ю.П. Основы теории возможностей. Методы оптимального оценивания и принятия решений. 1. Мера возможности: определение, свойства II Вестник Моск. ун-та. Физ.-Астрон., № 3, С. 3-7, 1997.

79. Пытьев Ю.П. Основы теории возможностей. Методы оптимального оценивания и принятия решений. 2. Мера необходимости: определение, свойства, интегрирование по возможности и по необходимости II Вестник Моск. ун-та. Физ.-Астрон., № 4, С. 3-7, 1997.

80. Пытьев Ю.П. Основы теории возможностей. Методы оптимального oi}e-нивания и принятия решений. 4. Максимальное продолжение возможности II Вестник Моск. ун-та. Физ.-Астрон., № 1, С. 3-6, 1998.

81. Sacksteder R. A Note on Statistical Equivalence II Ann. Math. Stat., 38, № 3, P. 787-795, 1967.

82. Sacksteder R. On products of experiments II Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 10, № 3, P. 203-211, 1968.

83. Stepniak C., Torgersen E. Comparison of linear models with partially known covariances with respect to unbiased estimation II Scand. J. Statist., 8, P. 183-184, 1981.

84. Stepniak C., Wang S. G., Wu C. F. J. Comparison of linear experiments with known covariances II Ann. Statist., 12, P. 358-365, 1984.

85. Swensen A. R. Deficiencies between linear normal experiments II Ann. Statist., 8, P. 1142-1155, 1980.

86. Torgersen E. Comparison of experiments when the parameter space is finite II Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 16, P. 219-249, 1970.

87. Torgersen E. Comparison of translation experiments II Ann. Math. Statist., 43, P. 1383-1399, 1972.

88. Torgersen E. Measures of information based on comparison with total information and with total ignorance II Ann. Statist., 9, P. 638-657, 1981.

89. Torgersen E. Comparison of some statistical experiments associated with sampling plans II Probability and Mathematical Statistics, 3, P. 1-17, 1982.

90. Torgersen E. Ordering of linear models II J. of Statist. Planning and Inference, 9, P. 1-17, 1984.

91. Torgersen E. Comparison of Statistical Experiments. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press, 1991.

92. Fergusson T. S. Mathematical Statistics. A decision theoretic approach. Academy Press, New York and London, 1967.

93. Filatova S. A., Golubtsov P. V. Invariance in Optimal Synthesis of Image Formation Measurement Computer Systems II Proceed. 13th World Cong, on Computation and Applied Mathematics IMACS'91, Ireland, Dublin, July 22-26, Vol.3, P. 1010, 1991.

94. Filatova S. A., Golubtsov P. V. Invariant Measurement Computer Systems II Pattern Recognition and Image Analysis, 1, № 2, P. 224-235, 1991.

95. Filatova S. A., Golubtsov P. V. Invariance Considerations in Design of Image Formation Measurement Computer Systems II Proceedings of SPŒ, V. 1960, Automatic Object Recognition III, Ed. Firooz A. Sadjadi, P. 483^194, 1993.

96. Fisher R. A. A mathematical examination of the methods of determining the accuracy of an observation by the mean error and by the mean square error II Monthly Notices, R. Astron. Soc., 80, P. 758-770, 1920.

97. Fisher R. A. On the mathematical foundation of theoretical statistics H Philos. Trans. Roy. Soc. London Sec. A, 222, P. 309—368, 1922.

98. Fraser D. A. S. Statistical models and invariance // Ann. Math. Statist., 38, № 4, P. 1061-1067, 1967.

99. Halmos P. R., Savage L. J. Application of the Radon-Nikodym theorem to the theory of sufficient statistics. II Ann. Math. Statist., 20, P. 225-241, 1949.

100. Hansen O. H., Torgersen E. Comparison of linear normal experiments И Ann. Statist., 2, P. 367-373, 1974.

101. Hasegawa M., Perlman M. D. On the existence of minimal sufficient subfield II Ann. Statist., 2, P. 1049-1055, 1974.

102. Hayer H. Theory of Statistical Experiments. Springer-Verlag, New York, 1982.

103. Herrlich H., Strecker G. E. Category Theory. Allyn and Bacon, 1973.

104. Ченцов H. H. Категории математической статистики II ДАН СССР, 164, № 3, С. 511-514, 1965.БИБЛИОГРАФИЯ291

105. Ченцов Н. Н. Инвариантные функции потерь в задачах математической статистики II УМН, 22, № 1, С. 178-180, 1967.

106. Ченцов Н. Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.: Наука, 1972.

107. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.Работы автора по теме диссертации

108. Голубцов П. В., Филатова С. А. Оптимальная локальная редукция для пространственно-инвариантных измерительных систем II Математическое моделирование, 2, № 11, С. 61-66, 1990.

109. Golubtsov P. V. Measurement Systems: Algebraic Properties and Informativity II Pattern Recognition and Image Analysis, 1, № 1, P. 77-86, 1991.

110. Голубцов П. В. Филатова С. А. Учет инвариантности в измерительно-вычислительных системах формирования изображений II XIV Межд. Конф. по Когерентной и Нелинейной Оптике КиНО'91, С-Петербург, Т.1, Р. 82-83, 1991.

111. Голубцов П. В. Филатова С. А. Измерительно-вычислительная система формирования и коррекции изображений в атмосферной оптике II XI Всес. Симп. по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах, Томск, Р. 106, 1991.

112. Голубцов П. В. Информативность в категории линейных измерительных систем // Пробл. передачи информ., 28, № 2, С. 30-46, 1992.

113. Голубцов П. В., Филатова С. А. Многозначные измерительно-вычислительные системы И Мат. моделирование, 4, № 7, С. 79-94, 1992.

114. Golubtsov P.V. Probability and Fuzzy Sets in Engineering Education II Proc. 7th SEFI European Seminar on Mathematics in Engineering Education, Eindhoven, The Netherlands, P. 16, 1993.

115. Голубцов П. В. Теория нечетких множеств, как теория неопределенности и задачи принятия решений в нечетком эксперименте // Пробл. передачи информ., 30, № 3, С. 47-67, 1994.

116. Голубцов П. В. Относительная информативность и априорная информация в категории линейных преобразователей информации II Пробл. передачи информ., 31, № 3, С. 3-23, 1995.

117. Golubtsov P. V. Fuzzy logical semantics of Bayesian decision making II SPIE Proceedings Vol. 2493. Applications of Fuzzy Logic Technology II, Editors: Bruno Bosacchi, James C. Bezdek, P. 228-239, 1995.

118. Golubtsov P. V. Categories of Information Transformers and the Concept oflnfor-mativity II Proceedings of the International Conference on Informatics and Control (ICI&C97), St. Petersburg, Russia, Vol. 2, P. 512-517, 1997.

119. Голубцов П. В. Информативность в категории многозначных преобразователей информации II Пробл. передачи информ., 34, № 3, С. 60-80, 1998.

120. Голубцов П. В. Аксиоматическое описание категорий преобразователей информации II Пробл. передачи информ. (в печати), 18 е., 1998.

121. Filatova S. A., Golubtsov P. V. Invariance in Optimal Synthesis of Image Formation Measurement Computer Systems II Proceed. 13th World Cong, on Computation and Applied Mathematics IMACS'91, Ireland, Dublin, July 22-26, Vol.3, P. 1010, 1991.

122. Filatova S. A., Golubtsov P. V. Invariant Measurement Computer Systems // Pattern Recognition and Image Analysis, 1, № 2, P. 224-235, 1991.

123. Filatova S. A., Golubtsov P. V. Invariance Considerations in Design of Image Formation Measurement Computer Systems II Proceedings of SPIE, V. 1960, Automatic Object Recognition III, Ed. Firooz A. Sadjadi, P. 483^194, 1993.