автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Качественное исследование предельных циклов и оптимальных импульсных режимов в моделях макроэкономической динамики

На правах рукописи

Козлова Ольга Равилевна

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ

ЦИКЛОВ И ОПТИМАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ РЕЖИМОВ В МОДЕЛЯХ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031В1В4.0

Иркутск - 2007

003161640

Работа выполнена в Байкальском государственном университете экономики и права

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Дыхта Владимир Александрович

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

профессор Батурин Владимир Александрович,

Защита состоится 9 ноября 2007 г в II30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.074.01 при Иркутском государственном университете по адресу 664003, г Иркутск, ул К Маркса, 1, ИМЭИ ИГУ

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета (г. Иркутск, б Гагарина, 24)

кандидат физико-математических наук, доцент Терлецкий Виктор Анатольевич

Ведущая организация Институт программных систем РАН

Автореферат разослан Ь октября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ-мат наук, доцент

М.А. Аргучинцева

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Последние 30-40 лет характеризуются широким проникновением методов качественной теории динамических систем и теории управления в экономическую динамику Этот процесс связан не только с развитием математического моделирования социально-экономических систем одним из основных побудительных мотивов является устоявшееся в последнее время осознание того факта, что даже укрупненные нелинейные динамические модели могут обладать весьма сложным поведением решений (предельные циклы, бифуркации, скачки состояния, катастрофы, хаотическая динамика и тд,). Кроме того, экономические модели почти неизменно содержат переменные регулирования, так что их естественно рассматривать как управляемые системы Эти обстоятельства стимулировали своеобразную "ревизию" даже почти классических и хорошо известных моделей макро- и микроэкномики на предмет более полного исследования их свойств и возможностей для экономического регулирования, в том числе оптимального Достаточно цельное представление об этом направлении в экономической динамике можно получить по недавним монографиям А А Петрова, И Г Поспелова, А А Шананина, А А. Самарского, А П Михайлова, В В Лебедева, В -Б Занга, Г Лоренца (Н -W Lorenz), П Флэсчела, Р Франке, У Землера (Р Flaschel, R.Pranke, W.Semmler),

В диссертации основное внимание уделено аналитическому исследованию макромоделей экономического регулирования, содержащих финансовые или денежные потоки (инвестиции или предложение денег) Достижение желательной цели регулирования может осуществляться двояко либо, по аналогии с принципом соответствия Самуэльсона, управление априори задается в позиционной форме (с обратной связью), возможно разрывной по состоянию (например, из-за экстремального поведения инвесторов или неопределенности в их действиях), либо определяется из соответствующей задачи оптимального управления При первом подходе возникает динамическая система с разрывной правой частью - объект, которому в экономической динамике почти не уделялось внимание на математическом уровне строгости, а во втором часто приходится рассматривать нерегулярную (вырожденную) задачу оптимального управления с неограниченным понтрягинским множеством возможных значений управления, допускающую импульсно-траекторное расширение (переход к импульсным управлениям и разрывным траекториям) Как след-

ствие, качественный анализ возникающих моделей существенно осложняется возможным наличием скользящих (импульсно-скользящих) режимов и разрывных магистралей и требует специальных методов, нетрадиционных для экономической динамики (метод эквивалентного управления В И Уткина1, регуляризирукяцего преобразования В,И. Гурмана2 и других результатов из теории импульсного управления) Кроме того, интерес представляют задачи устойчивости в макромоделях экономического роста с денежным рынком, в которых наиболее адекватным представляется непрерывно-дискретное математическое описание динамики Указанные особенности (типичные для моделей с денежными потоками), требующие расширение арсенала методов, использующихся в экономической динамике, определяют актуальность исследования

Цель работы. Расширение и уточнение представлений о динамических свойствах некоторых известных макромоделей экономических циклов и роста, а также их реакции на различные способы управления, исследование для этих моделей задач существования периодических и других особых режимов, устойчивости, оптимального управления, развитие методов их решения

Методы исследования базируются на качественной теории дифференциальных уравнений (методы точечных отображений, эквивалент^ ного управления, дифференциальные неравенства и др), на теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина, достаточные условия оптимальности, методы расширения и редукции к производной задаче), методе сравнения с вектор-функциями Ляпунова

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми Их новизна определяется

- выводом точных условий существования, единственности и устойчивости предельных циклов, полным описанием скользящих движений в разрывной модели Гудвина3'4,

- общим аналитическим решением нелинейной системы дифференциальных уравнений принципа максимума для производной задачи, соответствующей оптимизации инвестиций в модели Гудвина;

1Уткин В И Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой - М Наука, 1974 - 272 с

2Гурман В И Принцип расширения в задачах оптимального управления - М Наука, 1985 — 288 с

3Goodwm R M The non-linear accelerator and the persistence of business cycles /f Econometnca -

1951-V 19, Issue 1 - pp 1-17

4Эрроусмит Д , Плейс К Обыкновенные дифференциальные уравнения Качественная теория с приложениями - Волгоград Платон, 1997 - 243 с

- новой для теории экономического роста постановкой задачи оптимального управления в нелинейной модели Тобина5 и полным решением ее на основе явного построения линии переключения управления (во времени) ,

- применением нового типа и способа построения систем сравнения для анализа устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных систем, позволяющих повысить точность исследования, особенно при большой длительности интервалов временного квантования управлений и измерений, что существенно для экономических моделей

Основные результаты, выносимые на защиту.

1 Полный качественный анализ особых движений (циклов, формальных и реализуемых скользящих режимов, равновесий), их устойчивости, асимптотического поведения и других свойств при всевозможных значениях параметров в модели макроэкономики Гудвина с релейным законом капиталовложений по желаемому уровню фондоотдачи, дополненной учетом амортизации капитала и неопределенности (гистерезисного типа) в действиях инвесторов

2 Алгоритм аналитического построения обобщенных оптимальных траекторий и оптимального по среднему отклонению от желаемой фондоотдачи импульсного (непрерывного в случае безинерционного производства) управления капиталовложениями для модели Гудвина при любых допустимых начальных состояниях и параметрах

3 Постановка задачи оптимизации функционала благосостояния и алгоритм явного построения квазиоптимального импульсного управления денежным предложением при произвольных начальных условиях (в том числе в форме обратной связи) для нелинейной модели экономического роста Тобина с различными производственными функциями

4 Основанные на использовании сублинейных вектор-функций Ляпунова условия и конструктивная методика анализа экспоненциальной устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных (по времени) управляемых систем, включающая вычисление гарантированных количественных оценок всех необходимых показателей динамики (степень затухания, область притяжения и др ),

5 Численное исследование устойчивости экономического роста с желаемым уровнем занятости в модели Филлипса-Бергстрома при дискретном регулировании денежного предложения с длительными промежут-

Б3анг В -В Синергетическая экономика Время и перемены в нелинейной экономической теории -М Мир, 1999 - 335 с

ками

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты показывают, что методы описания и исследования скользящих и импульсных режимов могут играть существенную роль при использовании разрывных позиционных управлений и оптимизации траекторий развития экономических систем. Этот вывод имеет важное практическое значение для прикладной экономической динамики Предложенная методика анализа устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных систем является основой и математическим обоснованием алгоритмов, которые могут быть полностью реализованы программно и служить практическим инструментом в конкретных прикладных исследованиях динамики подобных моделей (не только экономических)

Результаты по оптимальному управлению в моделях Гудвина и То-бина используются в учебном процессе Института математики, экономики и информатики (ИМЭИ) ИГУ (при изучении обязательного курса "Модели динамических процессов в экономике"), Байкальского государственного университета экономики и права (ВГУЭП) на специальности "Математические методы в экономике" (в рамках курса "Динамические модели в экономике"), а также при выполнении курсовых и дипломных работ в указанных вузах

Проблематика работы являлась составной частью исследований, выполнявшихся в ВГУЭП, Интитуте динамики систем и теории управления СО РАН по грантам РФФИ № 04-01-00526, № 06-01-00247.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

- IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая мехаг ника, устойчивость и управление движением" (Иркутск, 2007 г.),

- Международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах управления" (Иркутск, 2006 г.),

- XII, XIII международных Байкальских конференциях "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2001 г , 2005 г),

- III, IV Всероссийских конференциях "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2004 г, 2005 г),

- Всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 2003 г);

- Международной конференции "Dynamical system modelling and stability investigation" (Киев, Украина, 2003 г),

- IFAC Workshop "Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems" (Иркутск, 2003 г),

-63-66 ежегодных научно-практических конференциях БГУЭП, проводимых в рамках недели науки (Иркутск, 2004-2007 гг),

- на семинарах кафедры методов оптимизации ИМЭИ ИГУ и кафедры математики ВГУЭП (Иркутск, 2001-2007 гг)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ Основные результаты представлены в [1-11) В число указанных работ входят 1 статья [1] из перечня "Ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2001-2006 гг,", 2 статьи в научных сборниках [2, 3], 8 текстов докладов [4-11] в материалах международных и российских конференций

Личный вклад автора. Из совместных публикаций [4,7] в диссертационную работу включены результаты, полученные автором самостоятельно и не затрагивающие интересы других соавторов Работа [3] выполнена в нераздельном соавторстве с научным руководителем - д-ром физ -мат наук, профессором Дыхтой В А

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 129 наименований. Общий объем диссертации составляет 145 страниц, включая 38 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор работ по математическим моделям и устойчивости экономических циклов, экономическим задачам оптимального управления, импульсным режимам в них, устойчивости непрерывно-дискретных моделей, приводится аннотация содержания работы

Первая глава посвящена качественному исследованию дополненной учетом амортизации капитала модели макроэкономических циклов Гу-двина со скачкообразными капиталовложениями, зависящими от фондоотдачи (позиционное регулирование)'

еУ = -аУ + ЦК, У) + а, К = 1{К,У)~ёК Здесь У - объем производства, К - основной капитал, а - автономное потребление, з 6 (0,1) - склонность к сбережению, е - параметр инерционности производства, 6 - норма амортизации

Для инвестиций / в §1 1 принимается (по Гудвину) позиционное управление

/ = У) = при ь (2)

\ -кг < 0 при К > 7 У, кз <•«

с разрывом на прямой Ь, заданной уравнением I == К — 7У = 0, где 1/7 > 0 - желаемый уровень фондоотдачи капитала, 1(1) 6 [—к^кг].

Особенностью подобных разрывных систем является возможность существования автоколебаний (циклов), а также скользящих движений по прямой разрыва на участках, где предельные значения 1~ и производной от / в силу системы (соответственно при I = к\ и / = —к^) имеют разные знаки С использованием известных методов качественной теории ОДУ в диссертации проведен полный анализ возможных типов поведения траекторий модели, их устойчивости и других свойств при любых возможных значениях и сочетаниях параметров Приведем его основные результаты

Пусть у = У2 = Кг = * Ь = Кг - тУ, Уг =

в 8 0 7а — к\(е — 7) 7а + А!2(£-7) а _

7(в-&) ' " 1{в-6е) ' 5-7<Г 7 Утверждения 1.1, 1.2. В случае < 0 точка (Уг,К\) является глобально асимптотически устойчивым равновесием (узлом) с фондоотдачей, отличной от желаемой Прив — бе < 0,7а > кг(е — 7), а также при е — 7 скользящие режимы в системе отсутствуют При остальных значениях параметров на прямой разрыва Ь между Уи, У) имеют место скользящие движения в течение ограниченных промежутков времени (рис 1). Если 1г = 0, равновесие (У, К{) лежит на прямой Ь и при в ф де совпадает с одним из концов зоны скольжения, при в = 5е вся прямая Ь является зоной скольжения

Случай ¿1 > 0 является основным с экономической точки зрения здесь инвесторы достаточно активны, норма амортизации мала Теорема 1,1. Если 1\ > 0, то при е < 7 система (1), (2) имеет единственный асимптотически устойчивый предельный цикл, к тсоторому притягиваются все траектории, отличные от равновесия С = (У", К*) С ростом е размеры цикла убывают, и в пределе при 7 = £ цикл вырождается в глобально асимптотически устойчивую точку равновесия С На отрезке ИМ прямой разрыва Ь, где Лг, М -точки с абсциссами Уи; У^, имеет место скользящий режим, точка С лежит внутри NМ, а ЫМ - внутри цикла Равновесие С является скользящим движением, другие скользящие движения направлены от С и имеют ограниченную длительность (рис 2)

Рис 1 Рис 2

Утверждение 1.3. Если 1\ > 0, е > 7, то циклов в системе нет При а ф 5е на отрезке МИ, где N = (Уи,7Уи), М = (У^уУ^), У'л — шах{У^, 0}, а при з — 8е - на всей прямой Ь имеют место скользящие движения, направленные к глобально асимптотически устойчивому равновесию С внутри зоны скольжения (рис 3).

Скользящие движения во всех этих утверждениях находятся методом эквивалентного управления, осуществляются по закону (е—у)Уа = (-у8 — в)У3 + а и понимаются как обобщенные решения в смысле Филиппова, Те из них, что расположены на участках прямой Ь, где < 0, 1+ > О, 1+ > 1~, в том числе равновесие С, если 1 ф О при / = 0, не реализуемы (например, скользящие режимы на рис 1,2).

При рассмотрении циклов в теореме 1 1 применяется метод точечных отображений Сначала установлено, что любая траектория попадает на отрезок АИ прямой разрыва (рис 2) Затем построено отображение соответствующего АИ отрезка [У^УУ в себя с функцией последования 0(У) = ¿/(Х(У)), где Х(У), Z(X) неявно определяются уравнениями

_У1-Х_=_У!-У_

(Уг - X + [ц - 1)(У - УЛ)У (У - У + (^ - 1)(Уг - У,))"'

г-у2_ _х-Уч_

{г - у2 + {¡л -1) (у„ - у2)Г (х - у2 + -1) (Уц - у2)г'

/1 = з/ (еб) Далее показано существование и единственность неподвижной точки функции б, а, значит, и цикла, и проверкой условия С (У) < 1 доказана его асимптотическая устойчивость

В §1 2 модель Гудвина (1) рассматривается в предположении, что инвесторы осуществляют смену стратегий лишь тогда, когда фондоемкость производства К/У переходит через желаемый уровень 7 с некоторым "запасом" Тогда вместо идеального реле (2) получается реле с гистерезисом, и переключения с / = к\ на I = —ку и обратно осуществляются соответственно на границах Ь\, Ь^ полосы неопределенности, определенных уравнениями 1 — 01 и I — —02, > О

Анализируется только случай, аналогичный условиям теоремы 11

/ ч гг V* а,-59ч 7а + к2(е - 7) - ¿ев2 „ (с циклом). Пусть У = У,и = -7(Я-Де)-' У<г =

7 а — к\ (е — 7) — Ьгв% 7 (в — ¿е)

Теорема 1.2. Если > а — > зд2, £ < 7, то в системе существует единственный асимптотически устойчивый предельный цикл, к которому притягиваются все траектории, кроме равновесия С = (У*, К*) На отрезке ИМ прямой Ь2, где N, М - точки с абсциссами Ув.и, Ул, имеют место скользящие движения, направленные от равновесия С, лежащего внутри ИМ (рис 4) Скользящие режимы и равновесие не реализуемы Вторая глава диссертации посвящена задачам оптимального управления для макроэкономических моделей Гудвина и Тобина

В §2 1, 2 2 рассматривается модель Гудвина из главы 1, в которой теперь для поддержания среднего желаемого уровня эффективности ка-

К* = 7У* - 02

питала рассматривается задача оптимального управления с фазоограни-чениями т

о

К = I — 5К, еУ — —вУ + а + I

Из-за отсутствия ограничений на управление I, эта задача относится к классу вырожденных, может не иметь решения в классе кусочно-непрерывных управлений и требует привлечения теории импульсных процессов

В §2 1 рассматривается упрощенный вариант задачи с е = 0 Результат для него мог быть получен как частный (предельный) случай из общего, тем не менее, в качестве подготовительного дается отдельное решение этой суженной задачи, учитывая, что все построения для нее используются далее в полном варианте Оптимальное управление при любых Ко и параметрах модели получается в данном случае безимпульс-ным (непрерывным)

В §2 2 для решения полной задачи (3) применяется метод В.И Гурмана преобразования к производной задаче канонического вида т

Ф = | У (У - Ь.(и + сц))2сЙ -» М, и > тах{0,-Ху} А Щ),

о

У=~

(4)

+ и, Уо = Ко-£ ^У0 - ^ ,

где у = К — е ^У--^ (в предположении, что запаздывание производив велико в > 8е и 7 > г), и — (в — 8е) (у — —^ - новое управление,

ства

. з-бе п . 7-е л аЬ , 7

А =->0, Ъ„= -—— >0, а„ = —, Ь = —,

£ й — ое о» 8

Согласно принципу максимума Понтрягина (ПМ), являющегося в задаче (4) необходимым и достаточным условием оптимальности, уравне-

Ф

ние д(у, <ф) = у — ЬгО(у) + -— а„Ъ, = 0 на плоскости {у, ф) задает линию

переключения оптимального управления, где либо Н'и = 0, и > О (у), либо Н'п < 0, у = П(у) (Н - функция Понтрягина, ф = 6ф + у — Ь„{и + аФ), ф{Т) = 0) Линии д = 0 в пространстве (у, I) соответствует кривая у(х), х = т € [0,Т], дающая значение оптимальной траектории у*{1) в

момент переключения I = т (если он достигается для данного уо)

Решение задачи (4) основывается на построении и изучении свойств кривой переключения у и типов оптимальных траекторий около нее Путем интегрирования дифференциальных уравнений (ДУ) краевой задачи

1 чЬ

ПМ (с и(у,ф) = тах{м+, £%)}, и+(у,1р) = — (у -а*&* + т~)) в обратном

времени при разных ут для этой кривой получены аналитические выражения, описывающие ее в явном или неявном виде (утверждения 2 2, 2 5) При неявной форме описания доказана корректная разрешимость соответствующих уравнений Установлено, что функция у(х(т)) определена кусочно, непрерывна, строго возрастает, у( 1) = аЪ Конкретный вид ее, число участков задания зависят от соотношений параметров в, 6. е, 7, а,, Ь*, А, Т

Если 0 = 1/6* - 8 > 0, й = Ъ,(5 + Л - ¡3) < 0, х0 = е~6Т < со = (—(1)6^'2г+Х)) то у определена на промежутке (со, 1], у(х) —> —оо при х —* со+ В остальных случаях кривая у(х(т)) определена Vт 6 [О, Т\

Вид кривой переключения, когда ¡3 > 0 (что означает относительно высокую склонность к сбережению и низкие норму амортизации и инерционность производства), й > 0 и горизонт планирования достаточно

велик (т_ = Т + 1п I с1/""— I > 0, с = Ь»/3), показан на рис 5. Функция у(х) в этом случае состоит из четырех участков, соответствующих отрезкам с концами жо, (г_), х+ (где д|0 = 0), с, 1 Интегрированием ДУ ПМ влево из граничных точек участков вплоть до Ь = 0 находятся (явно или неявно) характерные значения 3/00, у®, Уд, уо во множестве начальных состояний, разделяющие разные типы оптимальных траекторий в зависимости от уо

Учитывая, что над кривой переключения и* = щ(у*,'ф*) = и*+) а ниже ее и* = 0(у*), получается следующая структура оптимальных процессов в производной задаче а) При уо > Уо на всем отрезке [0,

и* = —^--а», у*(Ь) описывается уравнением у = /Зу — а,, у*(Т) > аЬ,

и*

если г/о = г/с = а»//?, то у* = ус (равновесие), б) При уй € [¡/д.уо) «■* имеет одно переключение в момент г € [0,Т] До этого момента «*(£) = на [г, Т] и* = 0 в^ При уо € а также при у0 е (уоо, г/о] оптималь-

ное управление будет с двумя переключениями в моменты г1 6 (0,г_), т° е (т,Т) и, соответственно, г1 е (0, г+), г° € (т+)1.)> на [т1, т°] и*(£) = и!(£) г,) При г/о < уоо на всем отрезке [0,Т] «*(£) = -А£/*(£), »•(С) = е-<г+Л)4уо

Рис 5 Рис 6

Получены полные решения задачи (4) с произвольными и для всех других возможных значений параметров Вид кривой переключения у(х(т)) и оптимальные процессы во многих из этих вариантов можно представить, если на рис. 5 ось ординат т = О сдвигать вправо, как показано штрих-пунктирной прямой

Оптимальные обобщенные траектории в исходной модели Гудвина имеют вид

K*{t) = y*(t) + Y\t) = ^ + | при t 6 (0, T],

K* (0) = Kq, Y* (0) = Yq Оптимальное импульсное управление P{t) — K*(t) + ôK*(t) + Ioô(t),

где К* (t) - левая производная, Io = Л"*(0-|-) — Ko, 8(t) - ¿-функция Дирака Импульс возможен только при t = 0, если if*(0-|-) ф /То

Картина поведения оптимальных траекторий в исходных переменных модели У, К показана на рис 6 Символ о обозначает начальные состояния, х - концы траекторий, - начала их непрерывного участка, которые могут быть общими для разных начальных состояний на прямых у — const (по которым происходят скачки)

В целом, оптимальное управление по рассмотренному критерию является эффективным с экономической точки зрения, обеспечивая подъем капитала и объема производства с нужной фондоотдачей, лишь при

/3 > 0 и достаточно высоких начальных Ко > 7У0, Ко > гУо + а//3 В других случаях типичен экономический спад

В §2 3 рассматривается задача максимизации дисконтированного суммарного богатства в макроэкономической модели Тобина.

/

J о

1=1 е~р (х + k)dt -> sup, х > 0, к > О,

x = x(f'(k)-(d + n)-r(k,x))+xu, ®

к = (1 - c)/(fc) — (<i + п — dc)k - c(i: + па:))

Здесь хчк- реальное количество денег и капитал на единицу трудовых ресурсов, d > 0 - скорость амортизации, п > 0 - темп роста населения, с € (0,1), г(х, к) - ожидаемый приток денег на капитал, f(k) - производственная функция В пункте 2 31 f(k) предполагается неоклассической /(0) = 0, f(k) > О, Ьт/'(А) = 00, lim f'(k) = 0.

k—t 0 к—>оо

Вследствие неограниченности управления и - темпа изменения денежной массы М/М - задача рассматривается в классе импульсных управлений и решается преобразованием к производной задаче-

ГТ

I(v)=J e-pty(l-sv)dt-*sup,y>0,ve[0,i\, ^

у = s{f(vy) - dvy) - пу

Здесь у — сх + к, v = к/у - новое кусочно-непрерывное управление

В утверждении 2 7 доказывается, что решение задачи (6) существует V уо > 0 и однозначно определяется принципом максимума

Для его отыскания из условия стационарности H'v = Q функции Понтрягина строится кривая z(t) = v(t) y(t), определяющая (пока v(t) € [0,1]) произведение значений оптимального управления и траектории Последняя при этом удовлетворяет уравнению

y = (l-c)(f(z(t))-dz(t))-ny (7)

Доказывается (утверждения 2.8 - 2.11), что при некоторых дополнительных (достаточно широких) условиях на /, функция z(t), определенная как решение дифференциального уравнения z(t) — (f'(z) - d)(f(z) —d—n — p) Л

——-- f"(z)- c ) ~ " строго убывает и является линией переключения на всем отрезке [0,Т], существует решение y(t) уравнения (7) со свойствами y(t) > z(t) Vi 6 [О,Г], 3i i е [О, Т) y{i) = z(j) С помощью его начального значения у{0) = уо полностью описывается оптимальные процессы в производной задаче

Теорема 2.1. При уо > уо оптимальная траектория у* Vi € [О, Т] находился как решение уравнения (7), v*(t) — z(i)/y*(t) < 1,

Если уо < zq, то v* = 1 на [0, г], y*(t) находится по уравнению у = (1 - c){f{y) - dy) ■ пу — F(y), y*{t) < z{t) на (0,r), где т 6 (О,Т) - единственный момент пересечения y*(t) и z(t), при t> т y*(t) продолжается согласно (7), v*(t) = z(t)/y*(t) < 1

При zq < уо < уо на отрезках [0, то) и (т,Т] у* (t) определяется согласно (7), v*(t) = z{t)/y*{t), v*(t) < 1 при t ф т0,т. На [т0,г] v* — 1, y*(t) определяется из уравнения у — F(y) с у*(т0) — z(r0), y*(t) < z(t) на (т0, т) Здесь tq, т € (О, Т) - первый и второй моменты пересечения y*(t) и z(t) (необходимо существующие)

При любых уо оптимальное управление можно записать в форме синтеза v* = v(t, у) = тт{1; z(t) /у}

Решение производной задачи определяет в исходной модели "идеальную" разрывную траекторию-

k'(t) = «W(t), = (1 - V*(t))y*(t)/cupn t e (0,T], (8) fc*(0) = fco, a;*(0) = Жо При y0 < уо из-за наличия отрезков [0,т] и [то,г], на которых х* = 0 (что явилось следствием замыкания множества допустимых значений управления в производной задаче), разрывная функция (8) не может быть обобщенной траекторией исходной системы Поэтому в данном случае строится максимизирующая последовательность импульсных процессов

Для этого берется ve (t) = mm{»*(i), 1 — е} с произвольным е > 0 и находится соответствующая траектория ys(t) с ys(0) = уо При е —» 0 vs(t) и yE(ß) равномерно сходятся к v*(t) и y*(t), поэтому I(vs) —> I(v*) Разрывные траектории ke(t) и Xе(t) в задаче (5) определяются теперь из формул (8), в которых v*(t), y*(t) заменяются на ve (t), ye(t) Квазиоптимальное импульсное управление имеет вид

иЩ = - -(<* + »)- r(k%t),xs(t))) + aö(t),

где а = 1пж§+ - 1пж0> = -= "(i1 ~ ^e(i))y£(i) -

vs(t)ye(t)) Импульс возможен только в начальный момент

Задача (5) решена также при ослаблении условия /'(оо) = 0 на производственную функцию (п 2 3 2) (линия переключения z(t) определена при этом лишь на (i„, T],t,> 0, z(t„) = оо, оптимальные процессы аналогичны ситуации уо < zo)vl для случая линейной производственной функции (п 2 3 3) В последнем случае в производной задаче присутствуют

участки, когда не только x*(t), но и k*(t) обращаются в нуль Квазиоптимальное импульсное управление может иметь до двух импульсов - в начальный момент и в момент т € (0,Т).

Третья глава посвящена задаче исследования устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных моделей экономической динамики, в которых получение результатов наблюдения экономических показателей и принятие управленческих решений являются дискретными во времени, осуществляясь через регулярные промежутки, не обязательно малые

В §3 1 в общем виде описываются исследуемые модели и ставится заг дача анализа их устойчивости Рассматриваются дискретные системы стабилизации нелинейных непрерывных объектов кусочно-постоянным управлением ик = <p(rjk, zk), формируемым по дискретным же измерениям состояния г)к — ф(хк), хк — as(ifc) Поведение системы описывается гетерогенной математической моделью из взаимосвязанных дифференциальных и разностных уравнений, которую после исключения "ранних" измерений Щ-Р расширением вектора zk можно записать в нормальной форме

х = fc{x,uh), xeIF1, te [ífc.í/n-i), tk = í0 + /сто, /q4

Zk+i = fd(zk,m,Vk+1), ** 6 Jf, na 2 О, Л € Z 4 {0,1,2,...}. w

Замыканием системы (9) и выделением линейной части получается непрерывно-дискретная система (НДС) стандартного вида

х = Aix + Ацхк + Bizk+ H0F0(xk, zk) + HiFi(x, xk, zk), , ч = Л.Ч zk + Ацхк + B2xfc+1 + Н^(хк+1}хк, zk), для которой проводятся все последующие построения Относительно нелинейностей Ft (г = 0,1,2) предполагаются ограничения

\Ft(x', x,z) | < Ф,(вг) е Ят', в, = | иг col (ж', х, z)\ € R1', (11)

где Фг не убывают, непрерывны, Ve € [0,1] Фг(свг) < сФг(0г) (неравенства, модули для векторов и матриц понимаются поэлементно) Изучается экспоненциальная устойчивость НДС (10),(11)

ES (За > 0 ЭМ0 6 R+ ЭМ, € bzf) W(x0, zq) р0(х0, *,) < М0 Ví0 Vt > to pJXt), Щь)) < M„ \¡po(xо, Zq)\\ exp(~a(t - t0)}, (12)

Здесь po = ¡Досо1(жо, zq)\ 6 RT° - заданная векторная норма оценки начальных состояний, р, = | col(ñca;, R¿z)| € Щ - функция, оценивающая текущие состояния, k(t) = [(i — ío)/ro] (целая часть)

Наряду с получением условий устойчивости требуется еще построить способы оценивания всех количественных показателей (a, Mq, Mt) свойства ES, а также оценки области притяжения D, начинаясь в которой траектории системы притягиваются к нулю при t —» оо

Для решения задачи применяется метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ), в основе которого лежит редукция изучаемых моделей и их свойств к более простым моделям и свойствам сравнения

В §3 2 дается новый способ построения систем, сравнения (СС) для нелинейных НДС применительно к ВФЛ типа "векторная норма" и модифицируется выбор самой ВФЛ В качестве ВФЛ принимается сублинейная вектор-функция

v{x,z) = \w(x,z)\v 6 Rs, 1 < s < n — щ + «2, w(x,z) = Six + S^z,

где символ "V" означает агрегирование (объединение как max) близких по модулю элементов вектора (строк матриц), 5 = (Si, S^) - (n х n)-матрица (комплексная), преобразующая к почти диагональному виду матрицу А дискретизированной линеаризованной (F% = 0) системы

А = (AAVi, Ли = И"» + Ja>A12, Дг2 = JAlBi,

JAl ± Г Ai\ ± Ail + В2Ли, Л22 = Аз + B2Au. (13)

Jo

С помощью матриц S, S~l элементарно получаются оценки, связывающие значения векторных норм ро, р* и ВФЛ

v(x0,Zq) <HoPo(xo,Zo), р*(х,z) <11л(х,г)(н&пркмер,1la=\SRH \w) (14)

Пусть wk{r) = w(x{tk + r),zk), vk(r) A |wjt(r)|v, vk = v(xk,zk), 4(t) = КМГ, vi(r) 4 K(r) - «,g(r)|\ где ю°к(т) - процесс с wj?(0) = Wfc — w(xk,zk), описывающий на [0,ro) поведение функции w в силу приближенной модели, отличающейся от исходной НДС (10) отсутствием в ее непрерывной части нелинейности Pi

В очевидной оценке vk(r) < -u£(r) + vk(r) для слагаемых г>°, vf. выводятся, соответственно конечное и дифференциальное, неравенства «2(т) < V°(r,vk), D+v{{t) < <pc(t,vi(t),vh), где г € [0,г0), vsk(0) = 0, а для входящих в цР и <р0 (как параметры) значений vk получается разностное неравенство vk+i < <pd{vk,vk{Tь)), к € Z. Правые части 1р°, <рс, ipd во всех этих неравенствах описываются явными формулами через матрицы из описания НДС (10), функции ограничений (11) и матрицы

S, S~l По построению ¡fi°, ipc, fd неубывают no vk, <Pd неубывает, a <pc квазимонотонно неубывает no vf.

С использованием этого и теорем о разностных и дифференциальных неравенствах доказывается основной результат §3 2 Утверждение 3.1. Непрерывно-дискретная система

drc

^Г = <Ре(т, Xе, <), т € [о, то], хЩ = 0, zt+x = <рМ,хсЫ *£)) (15)

является СС для НДС (10), (11) в моменты tk, т.е., если vo = v(x0, z0) < z$, moVkeZ vk = v(x{tk),zk) <

В §3 3 с помощью построенных ВФЛ и СС выводятся искомые условия устойчивости и алгоритмы количественных оценок

Пусть s(r, zc) — хс(т, 0, zc) - сдвиг за время т по траекториям дифференциальной подсистемы (15), s(2°) = s(rQ, z°), Ф¿(zc) = tpd(zc,.s(zc)) С использованием некоторых фактов теории дискретных монотонных систем получается центральный результат раздела

Теорема 3.1 Если множество Е = {zc € Щ. §i{zc) < zc} непусто, то НДС (10), (11) обладает свойством ES При этом, если вектор Мо € Д+ и точка zc G Е таковы, что %оМо < z°, то при ро(%о, zq) < Мо выполняются экспоненциальная оценка (12) с а = -T0ln(mag{^f^})> М* = ft,col(p(3e),2e), где p,(z°) = max {eaT(s(r,z°) + ip°(r,zc))} Многогранник П(Ма) =

Г6[0,7Ь]

{(xq,zo) po(xo,zo) < МЛ, Ма 6 R+ лежит в области притяжения системы (10), (11), если при z§ = IZqМа вдоль решения СС (15) при некотором k € Z будет Zj+1(z§) < z^{zq).

Когда система (10), (11) квазилинейна, те в оценках (11) ||Фг(0г)Ц/Ц#г|| —» 0 при ||0,|| —► 0, для ES необходимо и достаточно, чтобы матрица Л (13) имела спектральный радиус р(Л) < 1 При этом z° € Е может быть выбрана так, что а будет как угодно близко к (-Ыр(Л)/т0)

Теорема вместе со способом выбора матрицы S определяет алгоритмы численного исследования устойчивости и построения необходимых оценок динамического качества рассматриваемых нелинейных НДС, развивающие и уточняющие известные процедуры метода ВФЛ Главным их отличием является использование нового типа гетерогенных СС, что позволяет исключить традиционную предварительную дискретизацию исходной НДС (в нелинейном случае неизбежно связанную с погреш-

ностями), упростить построения, улучшить качество оценок и повысить точность исследования

В §3 4 дается приложение этих алгоритмов к задаче стабилизации "циклического" экономического роста с желаемым уровнем безработицы в нелинейной модели Филлипса-Бергстрома® с производственной функцией, учитывающей технический прогресс с темпом р В отличие от известных результатов, считается (более адекватно реальности), что регулирование предложения денег и определение фактической занятости осуществляются дискретно через промежутки т0

При экспоненциально растущем предложении труда Ьа и денег М с показателями I и т существует "равновесная траектория роста", в которой основной капитал К, выпуск продукции У и численность занятых Ь также экспоненциально возрастают с показателями р + I и, соответс-венно, I, причем имеется "оптимальная" равновесная траектория (ОРТ) со значением т = тп*, сохраняющая желаемый уровень занятости Ь*/Ьа {Ь* - численность занятых в ОРТ) Вследствие присущей экономическим параметрам неопределенности, постоянная т*, однако, не может быть определена достаточно точно, а потому, денежная политика, обеспечивающая желаемую занятость, строится по принципу обратной связи на основе измерения Ь

Возмущенное движение относительно ОРТ описывается системой

х= Ах+В{т-т*)+Н<р(х), = (еа1-оц-1)(аТх+р+1)+а1(аТх) (16)

о3 , /М/М*\ . /К\ , /У\ М Здесь х € й3, X! = 1п (—/ — ), х2 = к х3 = 1п т =

«1 = Ж2 — Жз, го - ставка зарплаты, звездочкой отмечены значения переменных на ОРТ, Л, В, Н, а - постоянные матрица и векторы При типичных параметрах эффективная стабилизация ОРТ до ЕБ достигается управлением т — с\Г] + сгде 7) = \ъ(Ь/Ь*) = (¡ей5 (А Бергстром) В диссертации рассматривается два дискретных аналога этого закона, в том числе наиболее простой для реализации

тк+г-тпк^схщ+х+^щ+^-щ), тпк = тп(Ьк), щ=фк), Ьк = кт0 (17)

Если положить Ык = гк = гпк — т*, то система (16), (17) становится НДС стандартного вида (10), (11), причем квазилинейной. По теореме 3 1 она экспоненциально устойчива, если р(А) < 1• Показано, что при

6Бергстром А Построение и применение экономических моделей — М Прогресс, 1970 - 175 с

таких же, как у А Вергстрома, параметрах экономики ОРТ стабилизируема дискретным управлением (17) с периодом квантования 7о = 1 году (причем степень затухания не хуже, чем в непрерывном случае) Построена также оценка области притяжения.

Исследование демонстрирует возможность эффективного использования полученных результатов и применимость дискретного денежного регулирования с продолжительными промежутками

Публикации по теме диссертации

1 Козлова О Р Оптимальное импульсное управление в модели экономики Гудвина с запаздыванием производства //Вестник Бурятского государственного университета Серия 13- Математика и информатика - Улан-Удэ. Изд-во Бурятского госуниверситета, 2005 - Том 2-С 219-227.

2 Козлова О Р Оптимальное импульсное управление в модели экономики Гудвина с инерционным производством // Оптимизация, управление, интеллект - 2005. - Вып 2(10) - С 91-99

3 Соболева (Козлова) О Р , Дыхта В А Качественный анализ экономических циклов в модели Гудвина // Вестник Иркутского университета - Иркутск Иркут ун -т, 2001 - С 83-84

4 Антипина Н В , Соболева (Козлова) О Р , Багдуева А В Оптимизация инвестиций в некоторых экономических моделях // Тр 12-ой Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля 2001 г - Иркутск, 2001 -Т.6 - С 98-103

5 Козлова О Р Оптимизация капиталовложений в модели экономики Гудвина с желаемой фондоотдачей // Материалы международной конференции "Математика, ее приложения и математическое обраг зование" Улан-Удэ, 24 - 28 июня 2002 г - Улан-Удэ, 2002 - Часть 1, - С. 228-235

6 Козлова О Р Качественный анализ модели экономических циклов Гудвина с амортизацией капитала // Труды Второй ВосточноСибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе Иркутск, 11-13 марта 2003 г -Иркутск Изд-во ИГПУ, 2003 - С 33-38

7 Козлов РИ., Козлова ОР Гибридные системы сравнения для нелинейных непрерывно-дискретных управляемых систем // International conference "Dynamical system modelling and stability investigation proceedings of conference reports Kyiv, May 27-30, 2003 - Kyiv, 2003 - p. 184

8 Козлова О P Качественный анализ модели экономических циклов Гудвина с амортизацией капитала // Труды III Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление Иркутск, 29 июня - 1 июля 2004 г - Иркутск, 2004 - Электрон опт диск (CD-ROM) - 10 с

9 Козлова О Р Оптимизация суммарного богатства в модели экономики Тобина // Труды секции Математической экономики XIII Байкальской международной школы-семинара " Методы оптимизации и их приложения Иркутск, Байкал, 3-7 июля 2005 г - Иркутск Изд-во ИСЭМ СО РАН, 2005 - С 179-184

10 Козлова О Р Обобщенные решения в одной задаче оптимального управления для модели макроэкономики Тобина // Материалы международного симпозиума "Обобщенные решения в задачах управления" Улан-Удэ, 5-7 июля 2006 г - Улан-Удэ Изд-во ВСГ-ТУ, 2006 - С 57-58

11 Козлова О Р Исследование устойчивости нелинейной непрерывно-дискретной модели Филлипса-Бергстрома с помощью ВФЛ // VIII Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения Алушта, 10-17 сентября 2006 г / Таврический национальный ун-т - Симферополь ДиАйПи, 2006 -С 85

Автореферат

ИД 06318 от 26 11.01. Подписано в печать 3 10 07 Формат бумаги 60x90 1/16 Бумага офсетная Печать трафаретная Учпечл 1,5. Уч.-издл 1,33. Тираж 100 экз. Заказ 5038

Издательство Байкальского государственного университета экономики и права, 664015, Иркутск, ул Ленина, 11 Отпечатано в ИПО БГУЭП

Введение

1 Качественное исследование модели экономических циклов Гудвина

1.1 Существование, устойчивость циклов и скользящие режимы в модели с релейной позиционной стратегией капиталовложений и амортизацией капитала.

1.2 Анализ экономических циклов при гистерезисном характере капиталовложений

2 Аналитическое построение оптимального управления в некоторых моделях макроэкономики

2.1 Оптимизация капиталовложений в модели Гудвина по желаемому уровню фондоотдачи

2.2 Оптимальное импульсное управление в модели Гудвина с инерционным производством.

2.3 Приближенно оптимальное импульсное управление предложением денег в задаче оптимизации богатства для модели экономического роста Тобина.

2.3.1 Нелинейная модель с неоклассической производственной функцией.

2.3.2 Ослабление неоклассических условий на производственную функцию.

2.3.3 Двухимпульсное оптимальное управление для модели с линейной производственной функцией . 102 2.3.4 Численное моделирование оптимальных процессов

3 Исследование устойчивости нелинейных моделей экономической динамики с дискретным управлением

3.1 Непрерывно-дискретные динамические модели и постановка задачи исследования устойчивости.

3.2 Построение ВФЛ и непрерывно-дискретной системы сравнения

3.3 Условия устойчивости и количественные оценки.

3.4 Исследование устойчивости модели циклического роста Филлипса-Бергстрома с дискретным денежным регулированием

Последние 4-5 десятилетий характерны бурным развитием теории нелинейных динамических систем и теории управления как самостоятельных направлений в математике вообще [4, 8, 14, 16, 38, 64, 67,72,80,94,118] и как адекватного аппарата моделирования и анализа социо-экономических систем в частности [32,40,75,81,84,107,116]. Имеется целый ряд причин, объясняющих повышенный интерес специалистов к указанным направлениям науки. Для нелинейной динамики основным внутренним стимулирующим мотивом является, на наш взгляд, открытие весьма сложных и экзотических типов поведения траекторий, относящихся к хаотической динамике, странным аттракторам [24,26,32,58,100,116,120]. Что же касается теории управления, то отмеченный период просто совпал со становлением второй (после автоматического управления) ступени ее развития - значительными продвижениями в нелинейной теории устойчивости, ростом ее прикладной роли [1,22,33,34,56,63,67,99], а также появлением теории оптимального управления с фундаментальным принципом максимума Л.С. Понт-рягина [85] и связанных с ней важных ответвлений: теории инвариантности, выживаемости, достижимости и т.д. управляемых динамических систем [41,80,103]. С другой стороны, широкое использование в экономическом моделировании методов динамической теории систем, устойчивости и управления вполне естественно: для экономических процессов роль стабилизации (устойчивости) является краеугольной, и подавляющее большинство моделей являются регулируемыми (т.е. управляемыми). Кроме того, поскольку экономику часто определяют как науку о рациональном распределении ограниченных ресурсов, большинство как практических задач хозяйственной деятельности, так и вопросов экономической теории связаны с выбором наилучшего в каком-то смысле варианта поведения, т.е. с оптимальным управлением.

Данную работу можно отнести к области нелинейной экономической динамики. В качестве объекта исследования выбраны известные нелинейные динамические модели: модель экономических циклов Гудвина [102,110], модель экономического роста Тобина [32,125,126] (главы 1, 2), а также "гибридный" аналог модели циклического роста Филлипса-Бергстрома [15], предложенный автором (глава 3). Общей связующей особенностью исследуемых в диссертации моделей является их нерегулярность, (разрывность в широком смысле): в главе 1 модель Гудвина, замкнутая позиционным управлением релейного типа, оказывается разрывной (по состоянию); в главе 2 поставленные в этой модели, а также в модели Тобина задачи оптимального управления оказываются вырожденными [27,28,59] - требующими перехода к обобщенным, разрывным траекториям (импульсно-траекторное расширение задачи [29, 31, 71]); кусочно-припасованые модели, рассматриваемые в главе 3, могут, в частности описывать непрерывно-дискретные траектории, порождаемые разрывным позиционным или импульсным управлением.

Этим особенностям анализируемых моделей в литературе по экономической динамике вообще и в теории экономического роста, в частности, уделялось явно недостаточное, фрагментарное внимание; соответственно, специальные методы, потребовавшиеся для исследования не тради-ционны (хотя для физико-технических приложений используются достаточно давно). Упомянем также, что некоторые из полученных результатов представляют интерес и непосредственно для соответствующих областей теории управления (например, отсутствие оптимального процесса в модели Тобина даже в классе импульсных режимов, как показано в §2.3; метод анализа устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных динамических моделей в главе 3).

Охарактеризуем кратко модели циклов и роста, основанные на нелинейных взаимодействиях между переменными, которые исследуются в диссертации (заметим, что модели роста и циклов, по-видимому, вообще можно считать "полигоном" для различных математических методов экономической динамики).

Многие нелинейные модели экономических циклов, считающиеся классическими (модели Калецкого, Кальдора, Гудвина [110,112-114]), до сих пор служат предметом обобщения и дополнения, поскольку оказались очень содержательными в плане динамических свойств.

Специфика возникновения циклов в одной из них - модели Кальдора [112], - состоящей только из рынка благ, проистекает из нелинейности функций сбережения и инвестиций и изменения (сдвига) этих функций. В начале 70-х годов с использованием теоремы Пуанкаре-Бендиксона было доказано существование предельного цикла [106]; позднее модификация модели явилась одним из первых приложений теории катастроф в экономике [127], вслед за которой во многих работах также исследовалась хаотическая динамика, возникающая в различных дополнениях модели Кальдора [107,108].

Исследования Кальдора [112] тесно связаны с более ранними работами Калецкого [113,114]. Ядром модели Калецкого является учет запаздывания в принятии решения об инвестировании и осуществлении капитальных вложений, а также нелинейная функция прибыли, связанная с выпуском. Сдвиги этой функции в результате изменения капитала могут генерировать циклические колебания [107,109,116,121].

Гудвин в своей основополагающей работе 1951 г. [110] представил несколько версий модели, основанной на взаимодействии мультипликатора и акселератора с нелинейной функцией капиталовложений. Модель включает в себя только рынок благ, опирается на основное макроэкономическое тождество закрытой экономики и описывается в непрерывном времени. В первой версии функция капиталовложений предполагается кусочно-линейной с тремя значениями, затем она заменяется на гладкую нелинейную функцию, имеющую характер функции типа "насыщение", вводится инерционность производства, а затем и запаздывание реальных капиталовложений относительно принятия решения о их необходимости. Посредством графического интегрирования Гудвин показал существование единственного устойчивого предельного цикла в последней модификации модели для типичных значений экономических параметров.

Специалисты по математической экономике многократно обращались к этой модели. В 1953 г. было представлено решение модели на электронно-аналоговой машине, подтвердившее выводы Гудвина о существовании единственного предельного цикла, кроме того, выявившее, что в модели могут возникать и другие периодические процессы [124]. Не так давно Лоренц рассмотрел модель Гудвина при более общих предпо-ложенииях об автономных инвестициях и потреблении как колебательную систему (forced oscillator), в которой возможно хаотическое движение [108,116]. Пу, объединяя идеи Хикса и Гудвина, предложил модель с кубической функцией инвестиций, в которой сочетаются катастрофические эффекты и хаотическая динамика [86,120].

Строгое математическое доказательство устойчивости и единственности предельного цикла в непрерывной модели Гудвина для значений параметров, при которых стационарная точка модели неустойчива, было дано только в 1996 г. Сасакурой [122]. Данная работа послужила толчком к возобновлению интереса к модели, породив дальнейшие ее исследования. С помощью компьютерного моделирования для значений параметров, при которых в системе существует устойчивая стационарная точка, было показано сосуществование устойчивого предельного цикла и неустойчивого предельного цикла, окружающего устойчивую точку равновесия [117]. Также путем компьютерного моделирования исследовалось влияние на предельный цикл асимметрии функции инвестиций и наличия только одного из крайних значений ("пол" или "потолок") этой функции [123].

В теории экономического роста (в части постановок и исследования задач оптимального управления применительно к динамическим моделям) превалируют модели, основанные на использовании только рынка благ, подобные широко известным неоклассическим моделям Рамсея, Со-лоу и их различных модификаций [9,11,35,37,101]. Начиная с середины 60-х годов, весомый вклад развитие в теорию роста с точки зрения математического моделирования и оптимизации весомый вклад внесли Касс (1965, 1966), Голдман (1968), Купманс (1965,1967), Мирлис (1967), Фар-релл и Хан (1967), Эрроу (1968), Шелл (1967, 1969), Курц (1968), Голдар (1974), Самуэльсон (1965, 1968) и др. (см. [11,37,101]).

Одна из наиболее известных моделей роста, учитывающая еще и денежное обращение, - модель Тобина [32,125,126], для которой изучены равновесия, их устойчивость, а также некоторые колебательные режимы поведения цен. Однако в теории оптимального экономического роста модели с денежным рынком практически отсутствуют.

Актуальность темы. Широкому проникновению методов качественной теории динамических систем и теории управления в экономическую динамику способствует устоявшееся в последнее время осознание того факта, что даже укрупненные нелинейные динамические модели могут обладать весьма сложным поведением решений (предельные циклы, бифуркации, скачки состояния, катастрофы и т.д.). Кроме того, экономические модели почти неизменно содержат переменные регулирования, так что их естественно рассматривать как управляемые системы. Эти обстоятельства стимулировали своеобразную "ревизию" даже почти классических и хорошо известных моделей макро- и микроэкноми-ки на предмет более полного исследования их свойств и возможностей для экономического регулирования, в том числе оптимального. Достаточно цельное представление об этом направлении в экономической динамике можно получить по недавним монографиям A.A. Петрова, И.Г. Поспелова, A.A. Шананина [84]; A.A. Самарского, А.П. Михайлова [87]; В.В. Лебедева [61,62]; А.Д. Смирнова [88]; JI.C. Тарасевича и др. [90], B.JI. Макарова, A.M. Рубинова [65], В.-Б. Занга [32]; Г.Лоренца (Н.-W. Lorenz) [116]; П.Флэсчела, Р.Франке, У.Землера (P.Flaschel, R.Franke, W.Semmler) [107].

В диссертации основное внимание уделено аналитическому исследованию макромоделей экономического регулирования, содержащих финансовые или денежные потоки (инвестиции или предложение денег). Достижение желательной цели регулирования может осуществляться двояко: либо, по аналогии с принципом соответствия Самуэльсона, управление априори задается в позиционной форме (с обратной связью), возможно разрывной по состоянию (например, из-за экстремального поведения инвесторов или неопределенности в их действиях), либо определяется из соответствующей задачи оптимального управления. При первом подходе возникает динамическая система с разрывной правой частью - объект, которому в экономической динамике почти не уделялось внимание на математическом уровне строгости, а во втором часто приходится рассматривать нерегулярную (вырожденную) задачу оптимального управления с неограниченным понтрягинским множеством возможных значений управления, допускающую импульсно-траекторное расширение (переход к импульсным управлениям и разрывным траекториям). Как следствие, качественный анализ возникающих моделей существенно осложняется возможным наличием скользящих (импульсно-скользящих) режимов и разрывных магистралей и требует специальных методов, нетрадиционных для экономической динамики (метод эквивалентного управления В.И. Уткина, регуляризирующего преобразования В.И. Гурмана и других результатов из теории импульсного управления). Кроме того, интерес представляют задачи устойчивости в макромоделях экономического роста с денежным рынком, в которых наиболее адекватным представляется непрерывно-дискретное математическое описание динамики.

Указанные особенности (типичные для моделей с денежными потоками), требующие расширение арсенала методов, использующихся в экономической динамике, определяют актуальность исследования.

Цель работы. Расширение и уточнение представлений о динамических свойствах некоторых известных макромоделей экономических циклов и роста, а также их реакции на различные способы управления; исследование для этих моделей задач существования периодических и других особых режимов, устойчивости, оптимального управления; развитие методов их решения.

Методы исследования базируются на качественной теории дифференциальных уравнений (методы точечных отображений, эквивалентного управления, дифференциальные неравенства и др.), на теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина, достаточные условия оптимальности, методы расширения и редукции к производной задаче), методе сравнения с вектор-функциями Ляпунова.

Качественные методы исследования особых режимов в нелинейных динамических моделях. С точки зрения современной качественной теории динамических систем модели экономических циклов относятся к классу нелинейных систем, в которых возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь свойствами самой системы [19]. Такие периодические движения A.A. Андронов назвал автоколебаниями, в отличие от вынужденных или параметрических колебаний [4,13,19]

Для нелинейных систем, каковыми являются автоколебательные системы, одним из эффективных методов изучения динамики, особенно в случае систем невысокого порядка, является метод точечных преобразований (отображений). Этот метод был предложен Пуанкаре, заложившим основы современного качественно-геометрического подхода к анализу нелинейных динамических систем, а затем развит Брауэром, Бирк-гофом и другими. Своим дальнейшим развитием этот метод обязан A.A. Андронову, который ввел его в теорию автоматического регулирования и теорию нелинейных колебаний. Итог работы научной школы A.A. Андронова по разработке и приложениям метода точечных преобразований был подведен в книге [4]. Эволюция метода и его дальнейшие применения связаны с работами Ю.И. Неймарка, A.C. Алексеева, H.H. Баутина, Е.А. Леонтович, В.В. Петрова и других. Метод точечных отображений представил собой аппарат для нахождения предельных циклов в фазовых пространствах нелинейных динамических систем и объяснения механизмов возбуждения и устойчивости автоколебаний, для получения ряда результатов по теории бифуркаций и т.п. Наиболее полно метод точечных преобразований изложен в [19,77]. Применение метода в задачах управления ориентацией космических аппаратов рассмотрено в [25].

Часто автоколебания характерны для разрывных систем (или "кусочно-сшитых" по терминологии из [13]), т.е. систем дифференциальных уравнений, допускающих разрывы правых частей. Характерной особенностью таких уравнений является то, что они не удовлетворяют теоремам о существовании и единственности классического решения, кроме того, правая часть на границе разрыва чаще всего вообще не определена. Одним из подходов решения этой задачи является доопределение уравнений скольжения - уравнений, описывающих движение изображающей точки по поверхности разрыва [2,30,92,95]. Естественно, при таком доопределении возникает элемент неоднозначности, и с инженерной точки зрения необходимо выбрать такие доопределениия, которые позволяют правильно описывать движения, происходящие в реальных системах [2,30,92]. Наиболее распространенным в настоящее время является доопределение разрывных уравнений, предложенное А. Ф. Филипповым [2,92,95]. К решениям в смысле Филиппова для "кусочно-сшитых" систем приводит и удобный с практической точки зрения метод выделения и описания скользящих режимов, предложенный В.И. Уткиным и называемый "методом эквивалентного управления" [92,93].

Скользящий режим может специально вводиться в систему, когда этот вид движения обладает желаемыми динамическими свойствами (например, невосприимчивостью по отношению к различным возмущениям) [2,30,92]. В ряде случаев именно на движении в скользящем режиме реализуется оптимальное управление [93], вследствие чего скользящие режимы систематически используются в теории особых и импульсных управлений [23,27].

Методы оптимального управления в экономических моделях. В отличие от задач оптимального управления в неоклассических моделях роста Рамсея, Солоу, Шелла и т.д. [11,37,101], представляющих собой регулярные задачи, решающиеся с помощью классического принципа максимума Понтрягина, задачи оптимального управления в моделях макродинамики, рассматриваемые в данном исследовании, являются вырожденными (нерегулярными) вследствие неограниченности множества возможных значений управления [27,59]. Подобные задачи, первоначально поставленные как классические, как правило, не имеют решения в обычном классе измеримых ограниченных управлений с непрерывными траекториями, а потому множество допустимых управлений расширяется до импульсных.

Оптимальное импульсное управление представляет собой интенсивно развивающийся раздел динамической оптимизации, в котором изучаются процессы с разрывными траекториями и обобщенными управлениями импульсного типа - векторными мерами и другими распределениями (обобщенными функциями) [29,31,57,71,98,119,129].

Кроме задач с неограниченным множеством допустимых управлений, важным стимулом к развитию данной теории является моделирование процессов, управление которыми осуществляется в течение таких коротких промежутков времени, что их можно характеризовать как мгновенные, а результаты воздействия приводят к быстрому изменению процесса

- скачкам фазовой траектории моделируемой системы. Формализация таких процессов невозможна без перехода к управлениям импульсного типа и динамическим системам с разрывными траекториями. Примеры подобных ситуаций можно найти в механике, квантовой электронике, робототехнике, экологии и, конечно, экономике (наглядным примером импульсного воздействия в макроэкономике могут служить так называемые монетарные импульсы - резкие изменения денежной массы в обращении, которые вызывают скачкообразные изменения ценовых уровней) [27,29,31,59,76,82].

Задачам оптимального импульсного управления в экономических моделях посвящены многие работы. Например, в [29] рассмотрены задачи, относящиеся к области микроэкономики и финансовой математики. Задачи из области маркетинга в моделях Эрроу-Нерлофа и Видала-Вулфа

- исследованы в [5]. Применительно к макроэкономическим моделям задачи импульсного управления изучались в [79] (задача оптимизации нор^„ мы процента, ставки зарплаты и конечного потребления в модели циклического роста Филлипса), [82] (динамическая модель оптимального развития многоотраслевой экономики). Задачи оптимального, в том числе импульсного управления в эколого-экономических моделях рассмотрены в [12,28,29,73,74,76] и др. Численные методы решения вырожденных задач изложены в [12,20].

Непрерывно-дискретные динамические модели и анализ их устойчивости методом сравнения с вектор-функциями Ляпунова (ВФЛ). Непрерывно-дискретные динамические модели давно и успешно используются в теории управления при исследовании технических объектов с импульсным, либо цифровым управлением [36,60,83]. Иная ситуация складывается в математической экономике.

Как отмечает, например, А.Бергстром [15, с. 8-11], многие математические модели экономической динамики, рассматриваемые в теоретической литературе, принадлежат к непрерывному типу, тогда как в прикладных эконометрических исследованиях модели обычно представляют в виде конечно-разностных уравнений. Последнее связано с тем, что результаты наблюдения экономических переменных обычно получаются дискретно во времени, многие управленческие или поведенческие решения также принимаются через регулярные промежутки времени (раз в месяц, год, .). Естественно поэтому, что при описании многих управляемых экономических процессов более адекватными могут оказаться разнородные (гетерогенные) математические модели в виде совокупности взаимосвязанных дифференциальных и разностных уравнений.

Когда объект управления является линейным и стационарным, использование таких непрерывно-дискретных моделей, вообще говоря, не вносит ничего принципиально нового, так как с помощью матричных экспонент и интегралов от них, можно точно (с точностью до погрешностей вычисления этих экспонент) перейти к модели с единым дискретным временем в форме конечно-разностных уравнений [36,60,83]. В нелинейном случае исследование обычно также базируется на сведении гетерогенной модели к дискретной. Однако из-за невозможности получения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений эта дискретизация неизбежно становится приближенной, причем ошибки растут с увеличением периодов временного квантования управления и измерений.

Поэтому при строгих исследованиях динамики нелинейных непрерывно-дискретных систем, в частности при решении задач устойчивости, возникает необходимость учета дополнительных погрешностей, обусловленных аппроксимацией [10,111,118]. От того, насколько хорошо удастся оценить эти погрешности, во многом зависит качество исследования в целом, особенно в случаях, когда кроме проверки факта устойчивости требуется вычисление различных количественных показателей, характеризующих динамику. Для экономических процессов, в которых промежутки между моментами принятия решения и (или) между наблюдениями могут быть не малыми, названная проблема приобретает принципиальное значение.

В работах [17,18,21,128] с целью оценивания ошибок, вносимых дискретизацией, был предложен подход, основанный на идеях метода сравнения с вектор-функциями Ляпунова (ВФЛ). Погрешности приближений рассматривались как некоторые неопределенности, ограниченные найденными оценками. Для исследования устойчивости и диссипативно-сти полученной дискретной системы также применялся метод ВФЛ [69], что в совокупности позволило существенно повысить точность исследований, особенно в части построения количественных оценок прямых показателей динамического качества (точности стабилизации, степени устойчивости, области притяжения и др.). Были разработаны конструктивные алгоритмы анализа, подтвердившие свою эффективность при решении ряда конкретных прикладных задач [18,44,70,115].

Здесь для одного достаточно широкого класса нелинейных моделей предлагается дальнейшее развитие этих алгоритмов, отличающееся тем, что предварительная дискретизация изучаемой нелинейной системы вообще не проводится. Это достигается за счет использования нового типа непрерывно-дискретных систем сравнения и уточнения процедуры их построения. С помощью разработанной методики далее проводится исследование устойчивости экономического роста в модели Филлипса-Бергстрома [15] при дискретном денежном регулировании.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Их новизна определяется:

- выводом точных условий существования, единственности и устойчивости предельных циклов, полным описанием скользящих движений в разрывной модели Гудвина;

- общим аналитическим решением нелинейной системы дифференциальных уравнений принципа максимума для производной задачи, соответствующей оптимизации инвестиций в модели Гудвина;

- новой для теории экономического роста постановкой задачи оптимального управления в нелинейной модели Тобина и полным решением ее на основе явного построения линии переключения управления (во времени);

- применением нового типа и способа построения систем сравнения для анализа устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных систем, позволяющих повысить точность исследования, особенно при большой длительности интервалов временного квантования управлений и измерений, что существенно для экономических моделей.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Полный качественный анализ особых движений (циклов, формальных и реализуемых скользящих режимов, равновесий), их устойчивости, асимптотического поведения и других свойств при всевозможных значениях параметров в модели макроэкономики Гудвина с релейным законом капиталовложений по желаемому уровню фондоотдачи, дополненной учетом амортизации капитала и неопределенности (гистерезисного типа) в действиях инвесторов.

2. Алгоритм аналитического построения обобщенных оптимальных траекторий и оптимального по среднему отклонению от желаемой фондоотдачи импульсного (непрерывного в случае безинерционного производства) управления капиталовложениями для модели Гудвина при любых допустимых начальных состояниях и параметрах.

3. Постановка задачи оптимизации функционала благосостояния и алгоритм явного построения квазиоптимального импульсного управления денежным предложением при произвольных начальных условиях (в том числе в форме обратной связи) для нелинейной модели экономического роста Тобина с различными производственными функциями.

4. Основанные на использовании сублинейных вектор-функций Ляпунова условия и конструктивная методика анализа экспоненциальной устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных (по времени) управляемых систем, включающая вычисление гарантированных количественных оценок всех необходимых показателей динамики (степень затухания, область притяжения и др.).

5. Численное исследование устойчивости экономического роста с желаемым уровнем занятости в модели Филлипса-Бергстрома при дискретном регулировании денежного предложения с длительными промежутками.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты показывают, что методы описания и исследования скользящих и импульсных режимов могут играть существенную роль при использовании разрывных позиционных управлений и оптимизации траекторий развития экономических систем. Этот вывод имеет важное практическое значение для прикладной экономической динамики. Предложенная методика анализа устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных систем является основой и математическим обоснованием алгоритмов, которые могут быть полностью реализованы программно и служить практическим инструментом в конкретных прикладных исследованиях динамики подобных моделей (не только экономических).

Результаты по оптимальному управлению в моделях Гудвина и Тобина используются в учебном процессе Института математики, экономики и информатики (ИМЭИ) ИГУ (при изучении обязательного курса "Модели динамических процессов в экономике"), Байкальского государственного университета экономики и права (БГУЭП) на специальности "Математические методы в экономике" (в рамках курса "Динамические модели в экономике"), а также при выполнении курсовых и дипломных работ в указанных вузах.

Проблематика работы являлась составной частью исследований, выполнявшихся в БГУЭП, Интитуте динамики систем и теории управления СО РАН по грантам РФФИ № 04-01-00526, № 06-01-00247.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

- IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Иркутск, 2007 г.);

- Международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах управления" (Иркутск, 2006 г.);

- XII, XIII международных Байкальских конференциях "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2001 г., 2005 г.);

- Ill, IV Всероссийских конференциях "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2004 г., 2005 г.);

- Всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 2003 г.);

- Международной конференции "Dynamical system modelling and stability investigation" (Киев, Украина, 2003 г.);

- IFAC Workshop "Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems" (Иркутск, 2003 г.);

- 63 - 66 ежегодных научно-практических конференциях БГУЭП, проводимых в рамках недели науки (Иркутск, 2004-2007 гг.);

- на семинарах кафедры методов оптимизации ИМЭИ ИГУ и кафедры математики БГУЭП (Иркутск, 2001-2007 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6,7,45-54,89].

Личный вклад автора. Из совместных публикаций [6,7,45] в диссертационную работу включены результаты, полученные автором самостоятельно и не затрагивающие интересы других соавторов. Работа [89] выполнена в нераздельном соавторстве с научным руководителем - д-ром. физ.-мат. наук, профессором Дыхтой В.А.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 129 наименований. Общий объем диссертации составляет 145 страниц, включая 38 рисунков.

1. Айзерман И.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 140 с.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. 1,2 // Автоматика и Телемеханика. 1974. - №7. - С. 33-47; М. -С. 39-61.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 429 с.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М: Физматгиз, 1959. - 916 с.

5. Антипина Н.В. Достаточные условия оптимальности импульсных процессов и их приложения : Дис. канд. физ.-матем.наук. Иркутск, 2003. - 165 с.

6. Антипина Н.В., Дыхта В.А., Козлова O.P. Приложение теории оптимального импульсного управления к экономическим системам // Труды конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск, 2003. - С. 142.

7. Антипина Н.В., Соболева (Козлова) O.P., Багдуева A.B. Оптимизация инвестиций в некоторых экономических моделях //Тр. 12-ой Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2001. - Т.6. - С. 98-103.

8. Арнольд В.И. Теория катастроф / 3-е изд., доп. М.: Наука, 1990. - 128 с.

9. Ашманов С.А. Ввведение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. - 296 с.

10. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, Сибирское предприятие РАН, 1997. - 175 с.

11. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. - 496 с.

12. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ., 1960. -400 с.

13. Бергстром А. Построение и применение экономических моделей. -М.: Прогресс, 1970. 175 с.

14. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941. -320 с.

15. Бурносов C.B., Козлов Р.И. Состояние и перспективы развития ППП по построению количественных оценок динамики и синтезу нелинейных управляемых систем методом ВФЛ // Интеллектуализация программных средств. — Новосибирск: Наука, 1990. С. 142-152.

16. Бурносов C.B., Козлов Р.И. Исследование динамики нелинейных систем с неопределенностью и возмущениями на основе метода ВФЛ, I, II // Известия РАН, Техническая кибернетика. 1994. - К2 4. - С. 56 - 63; 1994. - № 6. - С. 117-125.

17. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в тереорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 384 с.

18. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 148 с.

19. Васильев С.Н., Козлов РИ. Качественная теория логико-динамических систем // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды II Международной конференции. Самара: Самарский научный центр РАН, 2000. - С. 175-186.

20. Воронов A.A. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматики и телемеханика. 1982. - N2 5. - С. 6-28.

21. Гамкрелидзе Р.В. О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР. 1962. - т. 143, № 6. - С. 1243-1245.

22. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Хаотическая динамика простых систем // Природа. 1981. - № 2. - С. 7-44.

23. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М. Наука, 1976. - 368 с.

24. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва - Ижевск, 2002.- 560 с.

25. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977. - 304 с.

26. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. 2 изд.- М.: Наука, Физматлит, 1997. 288 с.

27. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000. - 256 с.

28. Емельянов С.В., Уткин В.И. и др. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1979. - 592 с.

29. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991. - 256 с.

30. Занг В.-В. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М: Мир, 1999. - 335 с.

31. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 496 с.

32. Зубов В.И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение. М.: Высшая школа, 1973. - 272 с.

33. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979. - 304 с.

34. Иванов В.В., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983. - 336 с.

35. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс, 2002. - 576 с.

36. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

37. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744 с.

38. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. 838 с.

39. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. -280 с.

40. Козлов Р.И. Сублинейные ВФЛ в исследовании нелинейных систем управления с неопределенностями и структурными возмущениями // Оптимизация, управление, интеллект. 2000. - Вып. 5(2). - С. 268-277.

41. Козлов Р.И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 2001. - 137 с.

42. Козлов Р.И., Бурносов С.В. Синтез цифровых систем гироскопической стабилизации упругих космических аппаратов методом ВФЛ // Динамика и управление космическими объектами. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1992. С. 85-101.

43. Козлова О.P. Оптимизация капиталовложений в модели экономики Гудвина с желаемой фондоотдачей // Материалы международнойконференции "Математика, ее приложения и математическое образование". Улан-Удэ, 2002. - Часть 1. - С. 228-235.

44. Козлова O.P. Качественный анализ модели экономических циклов Гудвина с амортизацией капитала // Труды Второй ВосточноСибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе. Иркутск: Изд-во ИГПУ, 2003.- С. 33-38.

45. Козлова O.P. Качественный анализ модели экономических циклов Гудвина с амортизацией капитала // Труды III Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление". (CD). Иркутск, 2004. - 10 с.

46. Козлова O.P. Оптимальное импульсное управление в модели экономики Гудвина с инерционным производством // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 2005. - Вып. 2(10). - С. 91-99.

47. Козлова O.P. Обобщенные решения в одной задаче оптимального управления для модели макроэкономики Тобина // Материалы международного симпозиума "Обобщенные решения в задачах управления". Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2006. - С. 57-58.

48. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости. М.: Физмат-гиз, 1963. - 248 с.

49. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ГИФМЛ, 1959. - 211 с.

50. Красовский H.H. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. - 476 с.

51. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

52. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 448 с.

53. Куо В. Теория и проектирование цифровых систем управления. -М.: Машиностроение, 1986. 488 с.

54. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: Изограф, 1997. — 224 с.

55. Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики. M.: НВТ-Дизайн, 2002. - 256 с.

56. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962. - 484 с.

57. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Го-стехиздат, 1950. - 472 с.

58. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. - 336 с.

59. Мартынюк A.A., Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского // Дифференц. уравнения. 1980. -Т.16, M. - С. 38-49.

60. Матросов В.M. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. -384с.

61. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. I, II. // Дифференц. уравнения.- 1967. Т.З, т. - с. 395-409; Т.З, №5. - С. 839-848.

62. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. / Под ред. А.А.Воронова, В.М.Матросова. М.: Наука, 1987. - 312 с.

63. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М. : Наука, 2005. - 429 с.

64. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

65. Модели управления природными ресурсами. / Под ред. В.И. Гурмана. М.: Наука, 1981. - 264 с.

66. Моделирование социо-эколого-экономической модели региона/ Под ред. В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. М.: Наука, 2001. - 175 с.

67. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. -280 с.

68. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Новосибирск: Наука, Сибирское предприятие РАН, 1999. - 185 с.

69. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в тереории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

70. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 448 с.

71. Никифорова И.А. Максимизация суммарного потребления в основной модели циклического роста. // Тр. 11-й Байкальской межд. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 1998. - Т.З. - С. 139-142.

72. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. - 512 с.

73. Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977. - 248 с.

74. Основы теории оптимального управления. / В. Ф.Кротов, Б.А. Ла-гоша, С.М. Лобанов и др.; Под ред. В.Ф.Кротова. М.: Высшая школа, 1990. - 430 с.

75. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987. - 480 с.

76. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 544 с.

77. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. - 388 с.

78. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 2000. - 200 с.

79. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. Изд. 2-е, испр. - М.: Физматлит, 2004. -320 с.

80. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию: Учебное пособие для вузов. М.: ГУ ВШЭ, 2000. - 351 с.

81. Тарасевич Л.С., Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика: Учебник / Общая редакция Л.С. Тарасевича.Изд. 3-е, перераб. и доп. Спб.: Изд-во СПбГУЭФ, 1999. - 656 с.

82. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

83. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974. - 272 с.

84. Уткин В.И. Скользящие движения в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. - 367 с.

85. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. - т. 141, вып. 2. - С. 343-374.

86. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 224 с.

87. Финогенко И.А. О правосторонних решениях одного класса разрывных систем. 1,2 // Автоматика и телемеханика. 2001. - №9. -С. 149-159; 2001. - №11. - С. 95-108.

88. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

89. Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксация экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993 - 232 с.

90. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 208 с.

91. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. -240 с.

92. Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту // Сб. "Математическая экономика" под ред. Митягина B.C. М.: Мир, 1974. - С.7-45.

93. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. Волгоград: Платон, 1997. - 243 с.

94. Aubin J.P., Frankovska H. Set-Valued Analysis Bikhauser Verlag, Basel, Boston, 1990. - 461 p.

95. Borne P. Nonlinear systems stability. Vector norm approach. // Systems and control Encyclopedia, Vol.5, Pergamon Press, 1987.

96. Borne P., Perruquetti W., Richard J.P. Vector Lyapunov Functions: Recent developments for stability, robustness, practical stability and constrained control // Nonlinear studies, Vol.3, Carfax Publ. Company, Cambridge, 1996.

97. Chang W.W., Smyth D.J. The Existence and Persistence of Cycles in a Nonlinear Model: Kaldor's 1940 Model Re-Examined // Review of Economic Studies. 38. - pp. 37-44.

98. Flaschel P., Franke R., Semmler W. Dynamic Macroeconomics. Instability, Fluctuations and Growth in Monetary Economics. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, 1997. - 455 P

99. Gabisch G., Lorenz H.-W. Business Cycle Theory. 2nd ed. Berlin -Heidelberg - New-York: Springer-Verlag, 1989.

100. Gandolfo G. Mathematical Methods and Models in Economic Dynamics. North Holland Publishing Company, 1971.

101. Goodwin R. M. The non-linear accelerator and the persistence of business cycles // Econometrica. 1951- V. 19, Issue 1. - pp. 1-17.

102. Hu B., Michel A.N. Stability analysis of a class of non-linear multi-rate digital control systems //Circuits, Systems and Signal Processing. -1999. 18. - pp. 43-57.

103. Kaldor N. A Model of the Trade Cycle // The Economic Journal. -1940. 50 - pp. 78-92.

104. Kalecki M. A Macrodynamic Theory of Business Cycle // Econometrica. 1935. - 3. - pp. 327-344.

105. Kalecki M. A Theory of the Business Cycle // Review of Economic Studies. 1937. - 4. - pp. 77-97.

106. Lorenz H.-W. Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

107. Matsumoto A., Suzuki A. Coexistence of Multiple Business Cycles in Goodwin's 1951 Model // The Institute of Economic Research, Chuo University, Tokyo 2006. - 21 p. - www2.chuo-u. ac.jp/keizaiken / discussno87.pdf

108. Michel A.N., Wang K., Hu B. Qualitative theory of dynamical systems: the role of stability preserving mappings. 2nd Edition. Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, 2001. - 708 p.

109. Motta M., Rampazzo F. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls // Differential and Integral Equations. 1995. - V.8, N2. - pp. 269-288.

110. Puu T. Attractors, Bifurcations and Chaos: Nonlinear Phenomena in Economics. Heidelberg: Springer-Verlag, 2000.

111. Rosser J.B. Complex dynamics and Post Keynesian economics // in Setterfield M. (ed.) Complexity, Endogenous Money And Macroeconomic Theory: Essays in Honour Of Basil J. Moore. Edward Elgar. Cheltenham, UK. Northampton, MA, USA. - 2006. - pp. 74-98.

112. Sasakura K. The business cycle model with a unique stable limit cycle // Journal of Economic Dynamics and Control. 1996. - V. 20, Issues 9-10. - pp. 1763-1773.

113. Sordi S. "Floors" and/or "ceilings" and the persistence of business cycles./ In Puu T., Sushko I. Business cycle dynamics. Models and tools. Springer-Verlag. Berlin, 2006. - pp. 277-298.

114. Strotz R.H., McAnulty J.C., Naines J.B. Goodwin's nonlinear theory of the business cycle: an electro-analog solution // Econometrica. 1953. -V. 21 (3).-pp. 390-411.

115. Tobin J. Money and economic growth // Econometrica. 1965.- V. 33, N. 4. - pp. 671-684.

116. Tobin J. A General Equilibrium Approach to Monetary Theory //J. Money, Credit, Banking. 1969 - V. 1 - pp. 15-29.

117. Varían H.R. Catastrophe Theory and the Business Cycle // Economic Inquiry. 17 - pp. 14-28.

118. Vassilyev S.N., Kozlov R.I., Sivasundaram S. Toward a qualitative theory of systems with discrete-continuous time and impulsive effects 11 Proc. of ICNPAA-2000, vol.2, European Conference Publishers, Cambridge, UK, 2001. pp. 667-680.

119. Vinter R.B., Pereira F.M. A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories // SIAM J. Contr. and Optim. 1988. - V.26, N1. - pp. 205-229.