автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследования и применение математических моделей управляющих систем с переменной памятью

Академ ¡я наук УкраТни л1нстит^ юбернетики ¡меш В. М. Глушкова

- 1 ПА[? 1993

На правах рукопису АЙСТРАХАНОВ Дмитро Дарамович

УДК 517.968

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ТА ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ КЕРОВАНИХ СИСТЕМ 31 ЗМ1ННОЮ ПАМ'ЯТТЮ

05.13.16 — застосуваннп обчислювальноУ технки, математич-ного моделювання та математичних метод1в у наукових дослщженнях

Автореферат дисертаци на здобуття ученого ступеня кандидата ({изико-математичних наук

КиТв 1993

Робота виконана в 1нститут1 юбернетики ¡мен! В. М. Глуш-кова АН УкраУни.

Науковий кер1вник: доктор ф1зико-математнчних наук

ЯЦЕНКО Ю. П.

ОфщШш опоненти: доктор ф!зико-математичних наук

ЧИКРШ А. О.,

доктор ф1зико-математичннх наук ПЕРЕВЕРЗеВ С. В.

Провшт оргашзащя: КиУвський державний ушверситст

¡меш Т. Г. Шевченко.

Захист вщбудеться « »-19 р. о-

годищ на зааданш спещал1зованоУ ради Д 016.45.01 при 1нститут1 юбернетики ¡меш В. М. Глушкова АН УкраУни за адресою:

252207 КиУв 207, просп. Акаде\пка Глушкова, 40.

3 днсертащею можна ознайомитися у науково-техшчному арх!В1 шституту.

Автореферат роз1сланий « »-199 р.

Учений секретар спещал1'зованоУ ученоУ ради

СИНЯВСЬКИИ В. Ф.

•■■•.. , • 1 . ,',,<-.

ЗЛГАЛЬНЛ ХАРЛКТEPJ5CTИХА КШИ . ' . , Актуадьшсть тёми_._ В умовах дофииггу ресурс i в ыогутни* бом зайезлочеиня житгездатиост! «жсиомиших та т^хнииш систем (ТС) вияшыеться л i kbi дат я ( ггорташчя) аастаригсс №?wGwrtj» ТС. вироОничих патулнастеЛ а ншькимк'тохтко-економиатии зоказгмкп-ми. Ц*я вал» ль корулаякя достгь часто в мала с. tí-г к Оиаж í.Jvktüd-вим, н i д. керувзлия пер«розподiдом psoypctt», запас id ra üiac*. Тому актуальною.прикладною задачею «opt 1 керуеакня -яри модоиагзд:1; розвитку ТС í, задача роьрахучку готики) ctmutwtmw слрйи елом1>ят>в скт-?« а урахупаяиям tímtiíjj тмн1чкога прогресу. (ТП> у в i дясв i дн : й галуоь Мэдйлввання сптаипльних по р>зним тер»ям терштз зашин >?ле«?нтт ТС мае «а&гиде значения для обг-рунтування рзтоналмюго розпод1лу »ас&б1я на тдтгимк? прайса датност! ta ефектаносп .тпюлг систем н;. лотрк5«сму pißHi.

Гг-рспеиткЕним матуюткчним апаратоы ярку nc;/i : бчух с ibtcrpasbhi модлл» э кврэдансю пам'ятто < IM), оз яеляегь с:>боо подаяьшай рол виток шт^грааыш П'ингш;чн'.га >лкгсеко«с*1чз»« лей, ?апрспсноааних В. М. Глуекокнм. i iht>?hc;«ho доел1Д5МД-Г1.лл ь 1нстятут1 KifippH-'TüiU) Ul [i Глубока Д,Ч Украпш. .йиии.т»сяо яов'яаан» a jhöimh класами »'коисм^э-мато'иатичиих шд-.^va. ллч» ярахорують ({.-штор ТП. да ад|йгнився, та иаооыыл estfifritpro ОПИСУЮГЬ процесн скоплении pi5НИХ систем. В> рОЗВИйаХГГЬСЯ s уш-вах д«?Ф»циту росурею. Роагдякут» У го-Сот! игг*граши модел1 ко- , рованкх систем ai ohihho» пам'яттю заенпядш на еждекторшй да-. иашчшА «од«» i в^дображаыгь t-cmifcsn рмси та »*ам*ин?стг усгогб icsacy !!i К'чукорий та я^исгичи/Л штс-г*с продет^л'-чле ■ тес-р^тк*«.-',» дссл»дк*ння г>адач у д<ш««х ат-д^яях. роаеиток чиевльних wtosii« ix розэ'ягку,» popp'-Ста наукам ойгруктораиих, ал»? доога-цьо прел-тих. та НЧЯЧйИХ мс-тодик сношкння ТС. ' Шта робай»:

- роароСка шдиО'.кац»« IM длл д^тих лрикдадиих ТО;

- постановка ноьих >-иwичкич ?пдлч ormwiaaiu ) термин я опоздании ТС з урахуванням ТП. ш эд1йсии?.ся;

- дасл)д:<й;'кн!1 »ikíchoi пэр.гдлп« or:7'.!h'l5bhiíx тргч-.ктс-р^:

- розревю 4¡'.:r.~.l¡:HX íusrv'pütmld рстрахулку сптли^чьипл т'лмп)? i rrpíínopmft cíionjí-.'iííí/i exeí.íi-jiTiii cüctí'íí

lfe-'Трднка "'-"од^лопл аатального п:дг-:.ду до

Д0СЛ1Д>4-'ЯНЯ базугтьел на пдетавг p-:6j т a M. rjjjw.ra. В. Рч 1сано-ра. Ю. ИЯцснко та ¡нг.;::<. У jv^on вгой'.рясторут1.сн ^тоди hc^ihi-

*- 2 - ' ' ' Ляого йуикцюиального ajianisy, тоорш фуккшй Д1йсшк амшю>, • тоорш ¡нтегральннх ришяиь, тс-оры оптимального керування,

• Цаутера яос«зна. Дисерташбиа робота явгяе ссОоо комплзксне дссл1ДОй1н«я теор*тичшк, обчислзопальнмх 1 прикладных аспект!о в ¡Ы >а?роь.чн;:х систем m гшкюя пам'нтти Уперш сформулъовано та ЯК1СНО дос-щджено нов! гмютогт постановки сптим!зац>йш:>с задач <Св) е юдолях, ко розгллд-шгься: митлэашя працевитрат; ьитрат на оновлення та експлуташйних вктрат; киб!р олтимальних вартост» •» .продуктииност! елемспи в систем. Ка осн.от проведеиого доол^д/г^кня ОУ залропоноьано та обгрунтоаано war 1стральний П1ДХ1Д до ш'.илг^у опткмальних темшв . 1 пропсртй оновлоння елоьйлтв систем, У по рее с£ормульовано постановки задач оц!нки та я аб личного анахохдення мапстрадьиих траскторift для pisniix вкладе iв заданна их 1 дно! ш^ормацл, розроблено на5ла»рн1 алгоритм! розв'язаиня )нтег)юфу)ггщюнальиих , ришяиь б¡дносно магистраль Запрэпоновано методики розрахунку оитимазышх t&pmihjb оноэлення Д<ЭЯЮ! х прккдадних систем.

Oi^iTibjii щншсть. Реоультати роСоти мояуть' бути в и. э-ристшп у н'1угазвр-д0сл!дних opraHiDaumx, со займаоться ,питаниями моделгаашш розвлтку економ^ших i техтчлих систем при ство-ренн! мптоматичного та програиного забоэпечення для задач керу-■вашга продасьми оновлення елемент)» систем, а такол при. к»льк!с-■ нему ДССЛ)ДХ8НН| )итегрэ$.ункц;0нальн!0с plBHEHb, Ир ЕИНИКООТЬ у 0!1тишгац1йних -задачах в 1М.

Бпрорадтання результат! в роОотк. Робота виконувалася у рам-icax гоепдоговiрних ¡ЩР 1нстигуту к!П?риотяки jм. Е. М. Глуккоьа АН Укрупни в lQciS-1992 pp. Ос нови» науково-метсдичт результат« ви-кэристаш у робочкх ыамрюд&х та наукою- технiчних эвРгах га бюджетник та госпдогов»ршши НД? прикладного xapwerepy i передан! у ряд орган iaauiij (м. Ыосква).

Апррбащя робот Результаты роСоти допошдалися на.XIII 1 XIV Республ1канськлх cc-wi нарах по моделкшанню систем, що роэвивз-оться (Славське, 19S9, 1930), I i II семшарах "Прикладн» проб' ломи моделювання та оятим^ацп" (Славське, 1&91. 1S92), науко-во-практичному семiпарi "Д!алог'овз оптитзацы планово-Kt.piBii;« ривокь i проблем;', ii впровадяэния з практику" (Kii:в, 1989), III Респуол1канськ!й конференщ! "1нтегралыи р!вняння у прикладному, шдёлюванн!" (Одоса, l'jBS), РеспуСл!кансък!Г; коиф?ренщ i "Вкетре-шльн! задач! теори иаближгння i ix гастосувгишл" (Kmib, 19jO),

- 3 ~ ; .

I BcecoraHift KointeP^mt i "Пройдам;! енсфгсп(>;р1гашт" (К*«», 1991), V Всесоюзна конфета i по нробламах роааитаи

систем CKhíb, 1991).

<-VHOI;HJ полоюния 'Mc^ïTam i шстити-я y 1'2 я;'У~ кгд-.алих рсСотах. "

Структура г сбеяг [¡оботн^ Дкеертдшя складаездсд. с вотупу. трьох розд1л>в. г.1сно1.ку тл ог/ллсу д i7op-iryr.it. С/;:: я г pcíwth - :Н стпрчюк, ¡г них основного тексту 103 <;70{.чнкз тл 8 рисушие. Список .птератури иклоча-; tCXi наЛл'куюзш.,

OU!CT РОГОТИ

У VCTVJU 0СГРУЯТГ.!!У>:Т1СН ÎUCr.V'Ui.JïlûTI,, иэвизял та ШТН ДОС-лдж-иня, npuvvAc-aa ."."{с-тгл xapaKTepireiifK'i робот».

У nöj^owy И^'Д1.-?! резгдшуто основт р^зультати доед1д>анни Ш. описано 1Ы керспаж« систем з» зшмюв nau'arrw. резглшутс ултеиятичт г ал.'l'a. qp еиинклуть ( ^нт-.гфнсаша, дгсгпозургшмд, сптикмгчиая, доел i длрянл tar ютральнкх йхастикостгя).

У дисортащ t роэглядаггься система ai екгагнг4орм:гд;я Jгж; w критерием с-Ф^кгэт.иост i ix Суш'.плжанкя. Ддл характеристики 7ИЕИССТ1 , такк}(, систем у рсСсп сикориетс-вуетьса пеняття'потентату - еукупиос?! иатёримьиих i духовних юклииогте-Л citcTewt, пил иаяугь бути викориотам для р-с^Б" Ёгання задач, ш стоят:- гл-ред не», йряторкм еФ?ктигностî $уккшзвания слуюггъ -шдтримна по?-теящаду из piEiii, достатиьому для идгйснечня chctonkü евспх Функтй. а окорлоння проводиться такт чинок, ш йотйишал ûyb См но шшшм па :'.:<Д'1н;!И р)гень таттелдгчтнзеть сиет»ыи.

Представим«-' систему у пигляд» А/« 3 < мзждиво $»льне) пхдеиетеме

1) 'oùHoanot (f*ол1г>у- функш » систем«, напркклад запуск про-' дукту):. ' - '

2) KopiEHQí i, зд|Яснюе :;Г,;р, aCi-p''«^!»!«. оСроСку та п^родччу 1И$ормэни про систему t'i öoöiüch; умоьк:;

1-.) сйслуговукчсч (допомюте вкробн«:ггко, траяопортувлдня. .'•f-tpjганнд запас i р. oacùôt' гпдтримкл та гидhobjiphm сбдаднаикя, аз оксплуатуеться. гпдпгмвкл персоналу тояз).

Кояиу тдеистеш- можна опкеати сшзз»днсЕг«нй«:! виду t

t

РД-fc)« \ mar\<i-cr, ;

OvUl '

•'^W-jcHlruitt) . ¿.T3../J.3, (35

íc С; - потоптал ti ¡денете mi: у pir. -t ; " питома ( одиночна) е'фектяьтс«. у ptK -t Оунвдюкуючо; в тдеиетеш ojuuei едп-litnu'овлзявання {СО),- ер строреиа в рощ т ; ¿cl-fc) - «ma одн!е1 HOiiDî OCi ypjK-t ;m;U.) - «¡льюсть СЮ, mo вводиться у лави. у pifí t ;ovin - часова граница згертання застарелого устаткування,

' '*.; a¿W<-fc, а;Ы>0 <4>

в початков ими удодами

a¿U«b ac0ïO .титЪг CO.-to3. (Б)

Потеши ад си ore ми дорштх сум i лотеицк-шв тдсистем 1з ва-гопими Koeimitirrawa,. цэ вриховуоть паялмпсть шдсистеми для • Фужциазання слетемл та 1снугч» (саханО прсяорци шх «ими у копкротких удавах. Посюдаки mденетеми игаемспов'язань вва-яаеися, шр годовшш видом обладнання е оЗладнзння основиох тдопстемк (¿»1 ), д м«та i нкгах - аабезга-чення fioro найб»лшм ¿4»?кгкикоот1. Тед! мокла покдастк «чсО«Уч.Ы nttl-fc) , де d-ctt) -иев1ДО«иЛ aöo заданий коефиискт г:ропорщйиост1 miä юлькостям;! використоьусаних у ¡пдекетомах 00 (J-i.i). .

Задач! оптимального керування 3j зв'ягками (1) або (2) вин * 'каетъ, ятар «¡поло неыдомих фунед»й ,alt)та ишО в IM 01ЯЬ0>" за число pi внянь i для замкнення-*задач1 додает ьея деякнЛ екстра-малышП Kpiiti'piíi ukoctí

X (m.a^ -» wax (miiO (6)

Штодика якюного досл!джекня повел»нкя розв'яатв задач (1)-(б) 1 Сазусться на рвуженш сОдаст» дспустимих керувшшь mit) OSmtMíM,

при якому неголономн! обмеления на ^¡аэоау амдннуalt)(4) anpjopí гикокуоться, вкьод1 градиенту функцюналу (6) за допомогою ююж-HHKiß Лагранжу, вивчени! одераашн при шому системи ттегро-функцюнзлъиих ртнякь та п вв'язку з розв'язком 03.

ГЪхибка ьагютрального тдходу (переходу В1Д 03 до р1вня»ь для Marici'paJit'ß) пов'яэана з виключеиням- a anajiiay початкових умов (тебто початкояого стану системи). Отриман1 з розв" язакня 1нтегрофункшонэлышх р!внянь режими указують тенденцп, основы» законом:ряост1 оковлення системк. " Шдсутшсть aöo нев1ропдтсть ЕХ1ДН0! 1И^ор:-сщ1 i виправдовуе заетосування приведении методик роэрахукку оптимально tôpmîhîb i kíлыссотi обладкшшя. - ' Друг я й розд i л присвячений жхшджешш 03 у данлх моделях.

■ Будемо аьажати, цо; i) задан! фугаадп эадовольйяоть yseiBi

( В)

Л1 пойдя з константою и . Ус1 пере.Л)че|и фуикцм додатн! та за довольняють обме*»шт-р!вноет1 модел1. при 2) не спадам

пот ; - задовольняе умаш Лшшиця по ч. , оОм-

кена при дошлышх ф^ксованих + ,а тотх мл, па С-и/г ] задовольняе (7),

1. В'Ш'(1)-(3) роаглянуто "клясичну" для матсматичтя еко-нотки задачу максим)зад* 8 ефективноет! ТС з ураяуваиням ищ-ат на оновлення систем, пр тститьен у вианачеши «¿и> , а^и» , •иио.тЭ. таких, шо

т -ь

£;1ТА\т{1т1с1.Т та«

•Ь» сци> т;,си ((2), (5,; , Рс . ХС )*

Дека 2.1. При РД^в С с-ко.^ч юнують един! Функш I

таю, пр В1ДП0В)ДН1 .

Теорема 2.1. Для дов1льних керувань ш;Ы: 04 т((-ьим , ^о я.ч-довольняють на СЧ-оДЧ обмелению

т;Н| < тс(-Ы САД , ПО)

де визначаеться (9), юнують е.дтп неперерзш на С*о,тз

функцп а;Ю , шо задовольнямть (2),Ы),

Таким чином, обме*а?ння (10) е биьш силмшми, шж 17); уем розв'язки задач» оптимального керування (2) ,(0) .(10) ,(5) пал^жггг до облает; допустимик керувань задача (2),(8) ,(4),(Б).

Лама 2.2 дозволяе визначити градиент функцюналу а-^а)

Дв

а'-Ш«

Т , и-ьс т . IV/

На всьсму днтергал1 розв'язок задач! внутрпишм бути на мож*.

Теорема 2.2. юнуг момент 0;<Т .такий, до роав'язок

задач 1 (8) , (2) . Яга о "Э М*»-^ >0 1 для де •

яких ^а никонуеться 'Ь'с

т

■Ьо а

то на деяк1П початков!Я частилI [^.Ос! т;0Ы не зГпгаетьея зт:Ш.

* Тут та дал! у дужках указан! номер обмеквння'шдел! та задан! фукгсцп. Для ВС1Х 03 виконуеться (4),(Б).(7).

- f. -

причому mUu>m;tfcK-t£b¡.c Uo,0;lfc¿>O.

Wan строплю будс-мо назш»ати функцш а.Н\ , tíU««^ , таку, ср l'(S,-t>~0 , t£Uo,<*>) Í якгцо ьона icnye). В дашй радач) мапстра-jíbiD ïpacKTopn вианачаються штегрофункшональним р>бнянням

л> cuUXfc - терм i ни лпаидаци ааетаривих с-лея^нти1., що треба анайти ( TrjMj и служби еж мент i к). а задат i ¡uviíaua-

ютьея тс-мигша ТП i нартютю едоментт ТС, тдпк'рдлуе р^У-яь-таги д0с.П1Дл:-иН)1 дачгл &адач| в односекторшй ! M ( /J. 1 ), для ¡ikoí донрде-н! теореми про маг1С7',у\ль, в силу аких при Тчл онтиыалъна тра>:ктор1Я a*lt>-»a(t> на асимптотичло О^льапй чаотиьч tto.Tl (при Tí» : exit} * ХЫ- til)«,») .fA^to. а гнач^кии |u-i.0 сал^жить r¡-ЛЬКИ 1)1 Д Pf ЛИЧИКИ НОПОГОДЖРННЯ |5Uto\- a0l ) ( Е П. №((•■№, H't'S-1У&2). У дисч>ртацп доел1дм*но на-тупт нглп 03 в олносн'кторш ft IM

;?. Яздача прац<чютрат та r-итрат на оалплишя lipa

a.'yOjiCMj.' pir-iii t;-6?KT»«'HÇicT> ТС м ютиться у вирнач^нщ фуикц»ft mW, ' аа) ,-ttUo.Tl . таких, ¡¡ti

"X s S [ Wu)(i.x ),it)m(tMci-t«nirv.

■to Qi-tí т.о. < l¿>

((1). ß , С . à- ).

Тут fct-fcl - par« on i витрати иа епрокцучиши (»> к момент -fe . Л^к'л 2. 3. Jeiiye фуикц!я i О, «вЫ1 . до - pose'я-

гол piBHiUiHH

S -j^^'^ïsSï^-S «ь.

таю, up тдпслпдиа am;r,W>0. У дет' 2. 4. отрннано оцшку адку mit) .

Теорема 2.3., Для дотльних коруг :i>¡t. mWе, таких, '-O mw'n(J.lí «mtw>é M . де ««»¡л. вирнача^-тьоя демсю ?. 3, in-jv i дина м. г.. и-:п» р»-р-вна иа С-Ьо.тЗ , шо находится г гивнпкия il) 4ч'1-г.ц)и alt) . прочему а.ш<. -fc , а'(л.\ $ о , a' ttl £

Зауважання Рокрема. якш бикои.у>л':,о>: умоуи c'ltX Mfi.lt,t)

i ptu^^o , то bhkohyv-тьсй fyimioltx'm .

SîiïBa-vôHJW 2. Якпи c'ttlíO vAù O í c'W í J P^U.t» w0U)tl.xr,

- a « * »

де 1(±)<-Ьь визиач:«ться а рад.т-ü-toa»

-to

ßUttVtWfcUtfll'tfcb 5 {vitU.t^eUldl-Ce-c'l-t), Kiobüo, TO fïi^nitbo. ÏU»

Теорема 2. 4. Град1ент функцюналу у з£1даЧ1 (13),(1) мае вигляд —--- a.w

Uw-hi.^ux^w.

де çç'tt) визначаетьеи (12).

Леш 2. 5. При заданих c(-U .ßlt.-tl ,ttU.rrî,Tfcto:rl, м. в. непоре-рвн!й oîW^'O piвняння (1) П1Днооно неведомо! т. мае елиний розв'язок тЩеЬм^ь^-

Розглянемо питания момивоетi »снуваиня ^нутрлппх розг/жош! задач! (на веьому ттервал! розв'язок «нутришмм бути но iw), Теорема 2. Б. Нехай ь? Ш j о? lt\ . tít-to?] - роз в' язок 03 i 13). ( 1 ). Тод! lchyf. момент q .t-oso^t , такий, вд при -t£(q,t] грчдпнт 1Д,>0 та meitVsmmi«v{-t),a*w=a~¡n«!>,t6.lto.'T,3. Теорема 2.6. Якшр на l-to.TÏ (Hr.-t) не спада« па tr г для денких -t>-to виконуеться Т e.it,-ci , , .

то !снуе тдмножина ücUo7l,m«ö>o, такз, да оптиктьке керунанмл

Таким чином, якдо розв* язок т*Н\Леи<>Л\1 е тугриким в облает» nw.«rt)srr\C-fcK M на деякому иггервал» ttt.tO С t-to.T] . то град i-ент Imtt) повинен доршшвати нулю при. (.-fci,-ti> : - .

í. " ~ есам.х1»

Викликае iHTepee Д0СЛ1ДМ'ння плаотивостей рншяннл (14).

Вяаетивють îj_ При ^ix^U^^Hb^tortt р»вияння (14) мл- рсав'измк aW« i-d.-tfcНв,св> . Д'- константа <t>0 р.изначчетьоя я ме.нюйного р!вняння: Л* (<- есА)/с + при с<к1 (мнетаитя ¿U дГ-J-1 ■

Ввастивють :?. Якщо р!вняння (14) мае розв'язок

oltt) . ■fctlto.oo) i: 1) .ËLiïî-tonst , го фунг гл-t-SfcM=const;

_ rlirl , ftltl

2) простае (спала?), то .fcmum -fc-асм спада-- (яроотаО tío -k . ачаотив^сть а. Я'сш p>(x,tW > О , ^(fcbKfU-b) , то ришяння i 14) мае розв'язок cL(t>r-t-dl,-t6tiro.«>), да ко'-^танта ¿U -Д52>п

' Cl '

3. Задача м>шм>аатг працевитрат, нитрат на оновлоиня !_ екепдуа-татйних шгграт п£й задаиому píehi ефектаиност! тс нолягае в виз-наченн! фуягаиЯ m(-t\ ,аЩ , -fc£ Cto,T], таких, що

Х = ît jmlTiár + S SVc<t)mlxlár + VWmWlá-t- min.

• tamt\ alt) rn,cv, (lo)

(ti), e . ь , £ , <T ).

Тут - питом! експлуатацШП biitpÍtíi в рощ i4 для

одн»е! 00, да створена у рощ тг.

Шохину допустим»« керувань , врахову^чи вигляд р!вняиня (1), оудено гважаги визначеною як i в задачj 2: m«,;ntfc)*iMt)¿ М . 7t-op£Ma 2¿7. Градиент Функдюяалу в задач) (15),(2) маг вигляд »-к» ват»

де визначаеться (12).

Теорема'П. 8., Hexafl mM-fcl ,<ХЧ*) , -bfeUefr) - розв'ягюк СО (15), (2). Тод1 при lcuye momoкт Q ,-totO<T , так;;й, що при -tfe(Q,T3 г рад юн г 1Д>0 i т* Щ s m cx*(t) a a (t), té (0,тД.

Теорема ЯЭ^ Якщр на [-fco.Tl р не спадае пот, г 1 >> q

i для деяких t>-fco виконуел^ся ^

\М< IUi- SI-U.T»- (Su.xfl U-c,

то icuye тдмножша £кС1^о,*г].»ть>0, така, шр оптимально кс-рува-иня m*lt\>mni¡nli:> е..

Позн.ччимо Iii« градиент Функционалу в задач i 2,Im» - град»сит Функцюналу в ;-'адач1 Я То;и м»еце

Дема Град iсити Фукюд)0нал1в tim i tai« пов'яаан! mix собою сгпвыдношенням

I»« « ЗГД. + S t Sáírt - *аВД.г) 3 Ат .

От ж?, задач! притаманн! ус i властипс-сп П0П(?реднг.01 задач», 6»льшо того, мал страдi оадач 2 и 3 с-пнчищ.чсть при \вО

(якщо темни грйсгг.ння продуктивное х та екеплунтадй"чх вг.т?ат но-вих 00 стпвпадаиптО.

Уластив! cyt. При pUftV «^Sti.'O^owl.^bj« to*vfc рипмна»!i.I¿«(tbO мае роэв'язок altW-t-dL .tfc U0.->> , Д? константа <A/>o иазнччастюя 3 нс-лиийяого р!Бняння: (t»í)dl-v Qi£l [«-e0*!* Л* О , при с«1 конс-

i--1 с mí

танта d*-0 — .

' c(l*fft _ с

Властивють Я. Якшо jUWomt , Ь (с,*) «tomb a& i iu.tU xplt.t),

рдвняння мае роив'я;>ек a(-t) . tfcUo.eo) к l) «.«mit . то

nlfwfc Plít ^

функц!я -b-oU-tWconvb . 2) e-ilí. уг-остгк (елчд.ю). фу>;кп;я -fc-oat) спадзе (вростаг) по -t- .

Рлаотив»сть 3. Яка?о ptx.-fc)- —- >0 . Stt.±)*S". ¿U)»fc¿tt.t) т-> пштм T^lfcbO маг poí'E';Koo-rí aitb-t-cL ,-tfctV«') . fr клнотанта d'

4. RjSfvia виСо£»у. шти^иъиР! pajvrocTj. К- у

г.изнач«ии1 функци? , ,a(-t) .tfet-te.T] , тм-.т. ik t t'

I"" 5 (- [ - j.H'íml-fcVici-t - «м ■ V .

Ь am fc.m.a-

- о -

((E), f>l , H , P ).

Тут - mua ново* ОС) у рзц» t ; " u> »r-v

ховуе гростання продуктивисет» ( г4».->ктквност> ) 2)Д щ ни. \ BIдпотдио пгграт на рсгройку.та г.провадхоння нсви: '.О я 'г . jvitvt) - рфективтсть у роц! t 00, введено! » ron: tr .

Як i для задач» 1, обмэжриня кл «¿рузаннл зампю.-гься 0:лы жгрсткими (10). при яких о'л-К-лмгня (-1) «jiptopi Теорема 2.10. Град»вит ({ункшоисиу в гад;Ш (t6),í?) «к киг-лл

ImlO - - ^C-fcï S £ЛъМ)-$х(.<хМХ) p. ( tfa иП) 1 ,

fr-tit

mW I S Mt.TiKPitAWftVáT-il,

. , -ь

до çC4t) гизначасться П?).

.lt. Icnye «c i.»-ht O .-fcotQST . тахнЯ, so n;ir -tfeíO.T] розв'язок 03 {lß). í 2) m"Ut),n,*It) надопслькя'Г сп<.ыидно:йч1;--ям . .tfcl-и.т] . д>.' ! V_ - Mih'iM-Uüiü

допустим! i в силу оймо-вди. ( 10) » 0< Jr S

Теогрмз 2..12.. Яка; ио спада*- по -Ь , ptlr.fc) hp onrcuc по t i виксиу.'тюа т

l)(p.(^VA>dvo ; Г) 5м-с.иЫи-> ~ :

3) hp.U.O-PxlU^îdr > л.ч д,-.л.-л,.х -t>-fco. то »сн/e л>Д-

шсхкнз ûCl-UTj .п.ць>о, таге», о оптимально к^гупанни m"H) .¿fit) Ctльпк? га м i н ;ко допустим», tfcb.

Заувахеинл. Умоги т*ор».ч/и аи-дди мжоиуггьеи на достптню роздкисг

1КГ0Р>,:1Л1 t-к..ТД . ЯВДЛ p)j(T.t) К'"" ирЛМУ'Г по ну/Л np;t T-t¿*->".

Властна i ort. t.. Си;т>-ма ршклк:- Im-О .1»«0 при p.(j)«

•pvrt.-».)ie*c?o маг резв' я?ск "Jio« tfc tto»).

до константа d>0 вилнч'петьея ta н-'-липЛяого ptяняикй j . -«А/* _ ca. - i-v е m о.

5. Задача ркйсйг олткюдьи.у fl^:-1!».?. Tí подягае

V низнач-мш » tyiücuft mit), alt) . гЫ .ttlt.Tl, таких, ri' т t с

max

(-'>. . рг . Р ■ \ . ъ о < г < гш<1.

Тут t(t) - П!Д1':»-ш!л пр-.дукг-.пн.-ст» <У1> cTccpc-üi-a

•t - i*itr;-:vrît im п.гл-йт-'НгЧ г.р-^дуктирнлгг» k-.'poi 0-> н.ч

ц«-, X(-t) - н:ча <<•. аклоггннч компотлгч предуктиь:!' <.•;

чо?их i. !• i;; зо^чяоих г'о л' i-.-./T'..".: и.

¡7)

'..:•.;' - 10 -T(3piB (якда так1 фактора В1дсутн1, то faM ~ "авто-

Аошшй nporpsc", пр врлховуе фактори, якj валежать вгд теиершньо-ГО J«icy.

• ' Задача (17) з фозовими обмелениями (4) вводиться до задач! з биаыи аорстю'.ми сбмеженнями тi.шеи на керуганнл mit) виду (30). Теорема 2.13. Град i сит фукюоекалу в задач! '17), (2) мае вигляд a-'tei х

I^ltu SI l fl.W - p, (ait» \ dx - xw ,

* . ' ait» T .

mltl j J>iM<AuJ.T

* -t да Qf4t) влэначаеться (12). Заувад^ння. Г'рад > с ht XI мае вигляд

г ^

\ SjiituïPMclu-^liï, tx^HW),

$jkl*Y$mlx)cLx<iu + \ M^PMctu-àai.t^tsa-'H.V 4 t» а-'КП

"Для того, аЗи задача мала матстралыи властивост1, ..i-

обХ1ДНо. щрб система риснянь IAtfc\»0 1 мала розв'ягок на

деякоыу н;тервал1 (Qi.Q^ct-UTl. Показано, до при природнiй поведаю модвльних елгмент»в внутр)вшх редимю оптимально керуван-ня 1* не 'може мат и: * о аОо . .

Задачу (17) «окна формально подойти на опткм1»ашю по ^ 1 оптим1защю по т. (зз'язан1 через нев»домий параметр /и ). Якир fuki'fco , то якщэ тдетавить ^ у Ii.o, отрииаемо ршшння для мап-стральних режимов.

Теорема 2.14. Кехай m*(t) i .tfct-ie.T,] розв'язок 03 (17) ,(2).

Тод! 1снуе момент Q ,4.-e6 Q<T. такпй. ср при te (Q,Tl градht Tm*<0 ,Тг»<0 i m'it^m^irvl-bY .-ttto.Tj.

Теорема Z. 1г.. Якдцз ft.te) не спадаг по t , pt(,t)>ci.>o . Plfc\?£>0 . îh-тервоп C-tofTÎ достатпьо велшеий (Т-*»»1 ) i виконуеться "^>0 або P4t)>0 , то юнуе тдмножина д с t-fco.Tl ,m«ù>0, така щр оптима-лъне 1«рування rn*Ct}>nwott:). o*l-t)>l. , t£ ь

Теорема 2.16., Ясир P4tKO, гШ<0, ЪШо.т}ЛъЫ* О .Tfc to.tel. P,'k)iO, то на достатиьо великому ттервал» tie.TJ 03 (17) ,(2) мае два роз-в'язки (локалыи максимуми): нульовий (тривiальний) розв'ягок m*tlt)BO ,Qc1tt)«Qo,l"U>0)t6tt0)Tl,Ta нетрив1альний розв'язок mjtt) , • <x\fcO .'i\Cfc) , такий, щр на деякому де î-t0jr3 виконуеться

- п -

met у иаетупний результат про структуру оашпхъного • ¡í. рувания , цр уточите теореми 2.14. g, г 5 (у ïcc-рек». ?.. J 5 ni я иа

. ¿л л

летать до негрив»ального розе язку ^ ).

Теорона Икяр j¡40>0. то структура оггишальгего »«пуглння

wat- е!1 г ляд Г ги), 1: 6 Ï b.f-o

Ъ'ИЛ« 1 О . -tí. (|*,V3,-fc0í .

Зауражчшя При Р'(ШО для ju мае uteua снькгл

¡•*->Т- (м mav ^lu^/(Pl-fc)P4fc\ raía. ¡i,(ulV ioSUÍT 4s5uST

Рауваа*?ння При P'UKO', fcaa'H-to) для ¡u и;« ajcu> cumta

|ia>t - max ^lu) / rçïrv p«.cu)p(i».v

-u«ust -fcoíuct

Р. аилу Tvopí'uH ?.. 16 mo «¡a сАчкслити фут-туш

r ~

h W ♦ S Ы-sld-C ♦ ) Tttíá-C, 11

•so

-te t*

ßiW* ^loWdt « JlWdlT.tfe (p.Tl, ■so te

830 na Но. {*") издана, a na (p.TJ зшюжить т\яът В1Д !№1Нм<"»азго параметра рл . toöto на C-ta.^ р.'упча Б мае зластавсеп, 0,'.:î3j.ki до власткнеот» й гада'м 4.

Ra штурвал i L-fco.p-Л роргхлнемо р«р,нянкя длз мопстрал! а :

ç-itv 1

Ii.ltЬ \ t t ?>о Ы - ( alxft ]ár - >СМ - О-

■fe ,

Отримпнйй вира.-) яла градн'нтя ?б»га*«ея а tm«0 »а пзда-ц 1, Or»», задачи 5 ма«: мапстрчлып яластигостi по m*(tb<f(t).' $о • описан i у розд»Л1 2.2. а тлей*, л кал р»випння мае ' «¡дикий розв'язок S , .то иа ал'.м.тгетичю Салмшй части:! i ¡¡т-рва-л у l-to^î г^тим-ш.на трпсктсры а* прямуе до a npiiT-t,*«. П;; fin яку оптимальных трапа-чаЛ пьилкотрлп ihv. на првкл'ш. _ tMjKWï крит-р!í: oiiTíiHircmn (1V¡ таким чнн.-м:

~ t x • *

^l^.lt^^UMflulptWmWclt-^W^Wtlr-XttKHMá-t:-« ma*

loam то -to Ч.<л,с

TfifiPÄ "л.1^. H ад »»'ht 4-Унтиснхту а задач) (lß),(25 ш-г рягляд

t

I ' It) - SlfMt) 5 j¡(T)íár,

г t * r.wh.vmi t»-":t <-'■ 12). 1 и:';' 4I'í-ííc» .\ад 1ча а сид.'.зм>;1бнкм K-p;rxvpít н ¡1С»)

достаткьо лрнродних припущеннях про поведжку ыодельних Функшй, иоддСних тим, го використовувалися в 1нших розглянутих задачах, мае малстралым влаогквость При цьоыу властивост) малстрал! лод1би1 властивостям задач1 2, а саме постШюму тепу ТП i ' ооспйниз вартсст! в1дпов1дао пост»йний тершн слуиби 00.

■ Проведено гмютовний ашшэ отриыаних результате. Так, у задач I 2 змют вгаетивостей т!акий: при пс Т1йя1й вартост1 нових 00 ) при шдсутност» виливу фактора тепер1шнъого моменту часу на ёф*ктияи»сть 00 постен) термам службн в>дпов1даогь експо-тенщйному вростанию ефективност» 00 1 иоспйним темпам ТП, причем-/ при-зр<;станн1 тимпу ТП терм!Н служби змевиуеться 4 навпаки. Якцо ефективн»сть 00 не заложить В1Д моменту створення I варт!сть прямо пропсрц»йна и ефективност 1. то терши служби пост!йний.

В третьему на основ1 досл1дхення як!сних власти-

востей »нтегрофункц'ональних р1внянь для мзлетральних траектОр»й ьисунуто мс>лив1 постановки задач визначе'иня оптимальнее терши>в оновлення елемс-нтю систем, розроблено, иаблилен! алгоритми IX розв'язанння та алгоритми »дентиф!каци Ш, розглянуто моделюван-Ня деяких прикладних систем. • •

Роэглянемо Р1ВНЯННЯ ыдносно иев1домо! ос(£) :

' де о:-' - оСернена до эс Функц1я; - терм1н служби елеметчв.

Р1вклння (19) нале дать до рашш не дбсл1джуваного типу. Яюсне Д0сл1Дл®ння р!вняння (19) (И. П. Яценко, 1989) покззало, ар воно мае дуле нетритальШ властивост!. то ускладншть його чкселыжЯ розв' язок.

Припустимо, ир Р(-Ь) 1 - неперервно диференшйован», Я0>0 , Р'СМ , Я*)> О , 1 обмежимося випадком неперервних розв'язк1В х(ьк°Ь . В залежност! В1Д обсягу в»домо! »нформацп вин;1кають-три р1зн1 задаш розв'язання р!вняння (19): Задача А^ При заданих РиСШкЛ.и^НвДЛ 1

1до задоволькяють р1внянни (19), внзкачити розв'язок ъсСх) при

1/або те 1ч>"Ч-4Л»-ЬЛ. ... Задача К_ При заданих 1эсНи1 (момент хЮ наперед не-

в1д0мий) оц1 нити розв'язок ,г6 ^/х-Ч-ьП.

Задача При заданих 1 РИЛ.'ЬбC-fce.til.-t,-!(,■».>4 оцшгги псвед1- -н'ку .розг*яэку р^.Х

Розв'язск задач! А. Шш перев1рк!з впхриаяня (19). при эсМжц>&

- 13 -

xelv'to] для Ii роз»'азку вимораотрьуетьси tu и-. .-ичи

ДЫ x<-fc використаио яг.не рекур«?ктнв спишднскюнкя

•XLxUF-^PlTb f'lxVF'ixUÄ-'U^xll, а для х>ч>"Ч-Н ^

эг'(х)= х V тг^ tF{t>-Vtvíl-Вэлеревн!сть яри г»* i t.oflt) bktíkíu? ¡з ричшння (19}. Розв'язки sett) единим чином визяачамть ея дот и, доки и*.- оуде порушена монотонн i сть эсШ . Запраппновано та прогрчмно реал;;'-,.>1\чч • ефективн! конструкт i обчисдения оберн*них функщй, в» заеиигчп» на ттерполяци оОериеио! функцм.

Роав' яаск задач! К Е'чай f(x) задана або mows бути чаелкм-но визначена (апрокеимогана) на деякому ыдгчзк;.' * ! ,

•Ь, - ф1 «сований момент; aett) надежд нет дома, а також ?<л.аан1 .чн.ч • чеиня ftfc> í S4t) . При даз»й мипмалыпй пюдтя Гнформяпп рщ-вяния (19) мае неединий розв' язок. Будемо вукати такий роя?.' згок

sctxwcx-dl, re U,' f'íO'

де с,dl - параштри, ау> виэначаються im скетеми ржнянь (19) i

щр зводиться до pi вняиня ЫДНОСПО "i*ct-cL

t

tFW-FW+JHtíllPW-T-r-Snu^dLul. Ht)F4t) fJm

1 - ^ -¿ , f»

пр мае единий роза'гок . Для розв'лзку (£1) рооохвуто алгоритма

'типу папропонов'ших (Kl П. Яцеико, 1088) цла обеднения nepiaaofit-a.'HOi

фуикци. Таьчзх »апропсиовано алгоритма ннаходяряия згладлэяого роз-

в'язку р1вкяння (1'3) у вйгляд! парабоги.

Роэв'язок задач¡ С. Алгоритм базуеться на o6'ejmaiiHi алгоритм! в для задач А 1 Б. а його обгрунгування - па результат;.« теоретичного. д0сл1дження асимптотики.. розв'язк1 в (19) ШНЯценио, 1989).

Дан! алгоритм« программо реализован! у с: клад i щалогово: э ■комплексу на ПЕСМ для розв'язання приклядних задач ощнки термина та темп!в лювдекня складких ексном»чних та т?хн!чних систем.

Axrof i'ti.m »дентиФшкш í моделей г снован! на введешь деяких допомтшх 'ппотез (допущень) про фуикшввашш об'екту, що модэ-лкеться на яередютори. Це дозволяе зроОити з?чачу 1деитифиеац1 i такою, !доб вона мала розв'язки, епачно знизити ступень невигначе-. пост! .та викорлстовувати потоки регдаыентоваь'о! ^нформацп.

А еаме, для ТС ефективн!сть можна визначзти у вигляд1

- МП fkC-H (22)

ср враховуе три таз? i основн! фактори:

1) "зД1йсн'?нкй прогрес" (зростання ефективност» нових 00 18-за наяшюст» ТП) ярахор.у^ться миожииком р,, С"с1 :

Z) "аг.тсномний прогрес" (зм»нн ефективност! через фактори, up аалелст. Bin Tonepiúfflíjoro часу) враховуетюя мнохшком ;

3) пашння е^ктипиост» СО вк:«:д1ДОк ф»акчного »вносу а эрос- ' таниям ix h i ку ррахоЕу?тьея мнз*л;:ком г1,£>0-

¿LI9v. При внконашп умовн (£'2) аадашт н'яти додатшх ФУНКШЙ c(-t) , Pl-t) , V'í-t) , fcU) .MU in ДОСТаТШ.О Великому !)1Т>?р-eajsi txo.TÎ , ?-качс-н!1я гг дозволлс шин юти »донтифжур.ати Ш (t)-(S), toûto единим чином визначитк i на» три модольн» функц» i ,alt) , mi-c). Icette.Tî ,-tt l-to.TÎ a.U«V

У задач» 4 ц»на hûbdi СО с жгидомим коруваншш. Тому аадача (допткфжац! i 1Ы (1)-(3) «егканачйиа, » для ii *ссь*язання Tpt»5n

ввести дгдатково еаланеове р»р.някия

*

Ф Ы - ^ ¿"с,

acta

де Ф(-Ь) - zöc-кг оснорнкх фонд ib. IL-x aft такох рикону-ться учора

m{at-c^a4t)£m0, те [to.a-'teoï'l.-bt w")

шл огначас рiJt'iUTMiряиЛ иипд ? експлуатац» : на »нтервал! txí.a'txeü СЮ. стЕоронях г*а ¡V-ннод taltt^.Tol , лричому константи a"4tcA. m0 напоред ног.»дом».

TiY.rt«i\ -A- go., При викснашп умов ( L'2), ( í'3) г*дакна п'яти додатн>х функцш С (tí , ФЫ , PCfcV, , ß.(-fc) на доотатшо великому ¡;nvp-нал» tto.Ti . значения б" доурсля-: одкевначно вианачити »на:» чо-тири модельюt функци mttl, at-ti . fctt-l. , r t t-r0.T...-t«.

До pt'4i( при доетдеяю теорем поСудовано конструктив* i алгоритм;! ¡дентиф|кац! ¡ IM ( î{ß>.

Алгоритми »д?ктиф»кац»i Ш (i)-(3) еклздгшть основу жфзр-шщйяого габропичения гадач мэдрлювакля тормгшв оно&пенна на б,аз i IM.

ВИС1ЮВКЙ ГО P0ÏOTJ Огмонн i результат»: роботи:

1. Запропсшовано IM керованих динги.«-;чнн'< систем г склмиофс.р-мгиизовано» оценкою ефрктюшзст! ix фуикц1ываиия для гадач модедю-вання процес i в оновлення елсментн; екснсгсчнкх: та техшчних систем в уьгавах-ТП.. Сформудьорано ряд нсвих ú?.

Z. Вкконано яги сие досл1д«сняя ааиропонованше 03: отрикхно :ч:-рази град»ент»в фунгааокал1Е. дсведечб теореми про гсор.едшку трае-

raropifl на малому та великому планово»^ ттервая!, шв<:?мо аскматс* -тичиу новед»нку оптимальних тра«к?ор»й, прознал»зогено »-■aricT^wu •властирост» задач. Поведено зм»стовний аналгэ отримпних результат; 3.

Я lh GCHOBi лроведеного досл»длоння 03 гаяропоко»ано > сбг-рунтовано мапстралмшЯ п»дх»д до аналдну еттималы;!« те* ni:; i пропори»й оновления елемонт»п систем, Виведеио ¡ мгеч'?!>о '.нт^грз функц!бн;ш>н1 р|е»якяи для мапегральннх траекторий роаглянутих СО. Еивчено як1сну попедтку мэпстральиих траектор»? я залелксс?» в»д темп i в ТП.

-i. С-формульовано постановки задач сщнки та наЗдиззного :на-ходжрння мапстралышх трагктсрМ! для р»зиих випадклв авдздчя вх»дно1 tHitopM'mi j, роароЗлено яабляжг-И1 алгоритма розь' азггна 1нтегрофункц»оналышх рквиянь »»дносно маг i с?ралея, и тому чиол1 розрахован» на мнпмлт.ну вх1дну »нформацш »го систему.

5. Розроблено сс.чсии »нфориатйного аайозпечоккя задач мод«-. люнанпя та методики розрахунку оптимальних тертят оновления дея-raix прикладных систем на оаз» »нтогральних моделей.

Основш положения дисертац;i надруковаш у роботах:

1. Айстраханов Д. Д. со идентификации интегральных моделей систем с управляемой памятью // Интегральны« уравнения ь прикладном моделирован»:;!: Tea. докл. 3-й Респ. науч. -техн. конф. , Одесса. 15-17 ноле. 1989г. - Kilo и, 1089. - С. У.

2. Айстраханов Д. Д. , Дяшко О. В. 0 причинении многог.аркантио--го прогноза для обоснования планово-управлснчсских решений // Диалоговая оптимизация планово-управленческих решений и проблему внедрения ее в практику: Те?., докл. науч. -иракт. семинара •■ Ки~ ео, 1989. - С. 2-3.

3. Айстраханов Д. Д. Методы идентификац'"' ядер интегралъинх динамических моделей // Распознавание и оптимальное управление ра-' звитием cncTf к: Материалы семинара, Славе кос», Р.8 Февр.-7 марта 1939г. - Кие), 1990. - С. 4-3. - Деп. в BMÍKTH 22.30.30, f.'fí442 В-90.

4. Айстраханов Д. д,., Галиев У. Е. , Нленко Ю. П. Оптимизация алгоритмов приближнного решения интегральных уравнений Вольтеора с переданной память» // Экстремальны* задачи тйср.»и приближения и их 'прило.чзнил: Те.у. докл. респ. науч. конф. - Киев; Кн-г математики

ан усср, 1эт - с. е.

Б. Оптимизация траекторий развития и обновления макросистем в условиях технического прогресса / Д. Д. Айстраханов, У. Е. Галиев, RA. Илук, К! Я. Яценко // Р.-я Рсееош. конф, г;- гробл. управления

- 1С -

развитием систем: Тег. докл. - Киев, 1991. -4 2. - 0.5-6. .

6. Задачи минимизации трудо- и энергозатрат на базе интег-рялышх моделей / Д. Д. Айстраханов. Е А. Ищук, А. LI Кондрахин, Ю. П. Яценко ft Проблемы знергосберемлиия: Тез. докл. Бсесокр. науч. - • техн. кокф. - Киев, 1991. - 4 2. - О. 1 Ой-109.

7. Айстраханов Д. Д. , '/¿цук В. А. , Яценко XIII О моделировании ог.тим."1л:»нкх сроков обновления многокомпонентных технических сио.тем // Нрикладнда проблемы моделирования к Оптимизации: Материалы смлшара. Олнеское. 3-8 марта 1<891г. - М. , 1991.-С. 3-4.

а. Айстраханов Д. Д. » Яценко й, П. , Мщук 11 А. Магистральный подход в иктегральмпс моде&лх многофункциональных систем с переменной память» // Прикладные проблемы моделирования и оптимизации: Материалы 2-го Междунлр. семинара, Сдавское. 1-6 марта 19S2r. - Киев. 1992. - С. 4-8. - Sen. 12. 08. 02, N 2CZR В-92.

Я. Айстраханов Д. Д., Тохтзсулов II И. . Яценко Ю. IL Проблеш моделирования обновления производственных сиотем в ссвременных экономических условиях // Информатизация производственных систем в современных окономкческих условиях, •• Киев: Ин-т кибернетика им. В. М. Глузжова АН Украины. 1992. - С. ¿3-26.

10. Айстраханов Д. Д. , Яцунко М. II Исследование задачи минимизации затрат в адносекторной интегральной издали с угцкшлжмой памятно // Модели ¡: методы исследования операций, теории риска и надежности. - Киев: Кн-т ..кибернетики им. В. U. Глускова АН Укрзшш, 2992. - С. &Г.-58.

И. Айстраханов Д. Д. , Яценко Кл П. ирибдедошж? алгоритма моделирования оптимальных сроков обновления экономических систем // Кибернетика и систомннл■ анализ. - 1992. - í! S. • С. IG'.i-i/T-i.

12. Айстраханов Д. Д. , й. А., Яленко ЛЯ. Магистранта*

подход ü моделирован»»:) рациональных теьшо» свнодо-изя крупномасштабных систем в условиях технического прогресса // Электрон, моделирование. - 1992. - К 6. - 0.3-9.