автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование задачи синтеза нерассеивающих тел

Московский государственный университет им МВ Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517 96; 537 87

з&о

ЧЕРНОКОЖИМ Евгений Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА НЕРАССЕИВАЮЩИХ ТЕЛ

05 13 18-математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□□3150822

Москва 2007

003158822

Работа выполнена в лаборатории вычислительной электродинамики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им-МВ Ломоносова

Официальные оппоненты

д ф -м н, профессор Лукин Дмитрий Сергеевич, МФТИ (ГУ) д ф -м н., профессор Самохин Александр Борисович, МИРЭА (ТУ) д ф -м н, профессор Тыртышников Евгений Евгеньевич, ИВМ РАН

Ведущая организация Институт радиотехники и электроники РАН

Защита состоится 31 октября 2007 года в 15 30 на заседании диссертационного совета Д 501 001 43 при Московском государственном университете им MB Ломоносова (факультет вычислительной математики и кибернетики) по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, ауд 685

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ им МВ Ломоносова

Автореферат разослан 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета дф-мн, профессор

В В Захаров

Общая характеристика работы

Проблема снижения радиолокационной заметноста представляет как теоретический, так и практический интерес Основные достижения в этой области связаны прежде всего с использованием радиопоглощающих материалов и покрытий, а также с приданием радиолокационным объектам специальной малоотражающей формы Эти и некоторые другие меры в комплексе позволяют уменьшить эффективную площадь обратного рассеяния радиолокационного объекта на несколько порядков В то же время рассеяние в других направлениях — особенно прямое рассеяние — при этом остается значительным, поскольку диаграмма рассеяния всякого достаточно большого непрозрачного для радиоволн тела имеет интенсивный лепесток в направлении распространения электромагнитной волны В частности, «черные» тела рассеивают вперед столь же интенсивно, как и отражающие тела Это обстоятельство делает объекты, малозаметность которых основана на минимизации обратного рассеяния (как в современной технологии «Стеле»), легко обнаруживаемыми путем многопозиционной радиолокации, когда — в отличие от традиционно используемой однопозиционной радиолокации — наблюдение осуществляется при помощи совокупности разнесенных в пространстве приемных и передающих станций Частным случаем многопозиционной радиолокации является двухпозиционная радиолокация «на просвет», когда имеется одна излучающая и одна приемная станция

Использование многопозиционной радиолокации делает малоэффективными как ра-диопоглощающие покрытия, так и другие средства снижения радиолокационной заметноста, основанные на минимизации обратного рассеяния Один из возможных способов сделать объект невидимым для многопозиционной радиолокации — подавить рассеяние во всех направлениях, то есть минимизировать полный поперечник рассеяния ат объекта

Тело, характеризуемое нулевым поперечником рассеяния, естественно назвать нерас-сеивающим или «прозрачным» При этом вовсе не предполагается, что прозрачное тело должно целиком состоять из радиопрозрачных материалов Для нерассеивакицих тел правомерно также использование термина «невидимое тело» Необходимо подчеркнуть, что «прозрачные» (нерассеивающие) тела не тождественны «черным» (неотражающим) телам

Естественно возникает вопрос о принципиальной возможности наделения произвольно заданного тела свойством «прозрачности», т е о возможности приблизить свойства заданного тела при облучении его тем или иным видом электромагнитного поля к свойствам прозрачного тела, например, изменив параметры окружающей среды в окрестности тела или заключив тело в специальную оболочку При этом требуется добиться уменьшения полного поперечника рассеяния оу тела в заданное число раз

В зависимости от средств достижения прозрачности и ограничений на допустимые изменения исходного тела можно дать различные математические формулировки задачи, которую в дальнейшем будем именовать задачей синтеза прозрачного (или нерассеивающего) тела

Задачу синтеза прозрачного тела можно подразделить по признаку использования дополнительных источников энергии на

□ задачу пассивного подавления рассеянного поля, когда дополнительные источники энергии не используются, и

□ задачу активного подавления рассеянного поля, когда используются дополнительные источники энергии в той или иной форме

В свою очередь задачу активного подавления можно подразделить по признаку наличия или отсутствия измерений первичного поля с их последующей обработкой

Кроме того, задачу синтеза нерассеивающего тела можно подразделить на низкочастотную, резонансную и высокочастотную в соответствии с волновыми размерами рассеивающего объекта

Целью настоящей работы является математическое исследование задачи синтеза нерассеивающего (прозрачного) тела как задачи пассивного подавления рассеянного электро-

магнитного поля в области резонансных частот При этом дополнительно требуется, чтобы воздействие на рассеивающие характеристики достигалось без изменения формы и размеров тела, а также без существенных изменений характера его поверхности Последнее требование исключает использование толстых оболочек

Структура я объем диссертации Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложений, и списка литературы из 139 названий Общий объем работы составляет 337 страниц, включая 47 рисунков, 14 таблиц и список литературы

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета МГУ им M В Ломоносова, на научном семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им M В Ломоносова, на научном семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМаК МГУ им M В Ломоносова, на научном семинаре «Математическое моделирование волновых процессов» (Российский новый университет), на Московском электродинамическом семинаре (Институт радиотехники и электроники РАН), на научном семинаре «Вычислительные и информационные технологии в математике» (Институт вычислительной математики РАН), на Ломоносовских чтениях-2005 (МГУ им M В Ломоносова), на международном семинаре «Дни дифракции-2005» (С -Петербург), на международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006г), на Тихоновских чтениях-2006 (ВМиКМГУ)

Содержание диссертации.

Во Введении определяется понятие нерассеивающего или «прозрачного» тела и формулируется общая задача, именуемая в дальнейшем задачей синтеза прозрачного (нерассеивающего) тела Обосновывается актуальность исследования задачи синтеза нерассеивающего тела как средства снижения радиолокационной заметности при использовании многопозиционной радиолокации Дается классификация постановок задачи синтеза нерассеивающего тела по признаку использования дополнительных источников энергии, а также по волновым размерам объекта. Дальнейшее рассмотрение ограничивается случаем идеально проводящих тел резонансных размеров, и задача синтеза прозрачного тела формулируется как задача пассивного подавления рассеянного поля в резонансной области частот В качестве средства подавления рассеянного поля предлагается использовать внутренние переизлучатели Переизлучатель определяется как некоторая область внутри тела, произвольным образом заполненная проводниками и диэлектриками и связанная с внешним пространством посредством малых отверстий или щелей в проводящей границе Остальная часть введения посвящена обзору известных результатов, связанных с задачей синтеза нерассеивающего тела

Обзор известных результатов, постановка задачи и содержание работы по главам.

Даже теоретическая возможность существования нерассеивающих тел не является очевидной Однако, известны примеры тел, свойства которых приближаются к свойствам прозрачного Так, в эксперименте наблюдается сильное ослабление тени, создаваемой металлическим цилиндром при облучении его низкочастотным электромагнитным полем, после заключения цилиндра в диэлектрическую оболочку (A W Adey, 1956 ) Ж -К Сюро (J -С Sureau, 1967) получил условия обнуления отдельных гармоник поля, рассеянного круговым диэлеюрическим цилиндром с коаксяально внедренным в него цилиндрическим металлическим сердечником Эти условия — своего рода условия резонанса -— зависят от диэлектрической проницаемости цилиндра, а также диаметров цилиндра и сердечника При достаточно низких частотах полный поперечник рассеяния етТ цилиндра определяется в основном нулевой гармоникой Удовлетворив только условию подавления нулевой гармоники, можно значительно ослабить рассеянное поле, т е сделать цилиндр почти не рассеивающим («невидимым») При больших частотах, когда высшие гармоники становятся существенными, подавить рассеянное поле таким простым способом уже не удается

Данный пример является иллюстрацией простейшего способа достижения невидимости (в различных смыслах) путем заключения тела в специальную оболочку Чаще всего оболочки применяются для уменьшения отражения волн, называясь при этом радиопогло-

щающими покрытиями Главной целью использования радиопоглощаюпщх покрытий является уменьшение обратного рассеяния, в то время как в задаче синтеза прозрачного тела требуется достичь ослабления рассеяния во всех направлениях Отсюда следует принципиальное различие свойств радиопоглощающих покрытий и оболочек для обеспечения прозрачности Даже в простейших случаях для последних могут понадобиться материалы с необычными, не встречающимися в природе, свойствами

В последнее время были достигнуты значительные успехи в создании композитных материалов с отрицательными или малыми положительными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей — так называемых метаматериалов (JB Pendiy, D Schung, D R Smith et al, А В Вашковский и др ) Ожидается, что в ближайшее время можно будет получать метаматериалы с произвольно задаваемыми значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей В качестве одного из потенциальных применений новых метаматериалов называют возможность достижения невидимости в различных диапазонах волн Следует, однако, отметить, что свойства метаматериалов носят ярко выраженный частотнозави-симый («резонансный») характер

Простейшие способы использования метаматериалов для достижения невидимости рассматривались в работах А. Алу и Н Энгеты (A Alu, N Engheta, 2005) В частности, исследовалась возможность ослабления рассеяние электромагнитных волн диэлектрической сферой путем заключения ее в однородную сферическую оболочку из метаматериала Получены формулы толщины слоя, при которой на данной частоте происходит подавление отдельных сферических гармоник рассеянного поля Если волновые размеры сферического рассеивателя малы, то путем подавления только 7М-гармоники первого порядка, соответствующей излучению электрического диполя, удается значительно ослабить рассеяние, сделав сферу «почти невидимой» Подавление большего числа гармоник при помощи однородного сферического слоя невозможно из-за несовместности условий подавления различных гармоник

Результаты А Алу и Н Энгеты, так же как и результат Ж -К Сюро, дают примеры низкочастотной невидимости, имеющей место, когда характерный размер объекта много меньше длины волны В резонансном и высокочастотном диапазонах распределение параметров среды, при которых электромагнитные волны не испытывают заметного рассеяния на заданном теле, должно быть достаточно сложным Примеры таких распределений были опубликованы У Леонхардтом (U Leonhardt, 2006)

У Леонхардт рассматривает распространение света в плоском двумерном случае Предполагается, что показатель преломления n(z) представляет собой модуль некоторой аналитической функции, интеграл которой определяет конформное отображение физической плоскости z-x + iy на некоторую риманову поверхность Устройство «конформной невидимости» по У Леонхардту должно состоять из двух слоев внешнего слоя, занимающего все пространство вне круга |z|<а, с показателем преломления n(z) = |1-я2/г2[,и внутреннего слоя, в котором n(z) изменяется по определенному закону При этом внутри круга | z |5 а возникает область, в которую свет не проникает («дыра в пространстве») Любое тело, помещенное в эту область, является невидимым

Результат У Леонхардта показывает теоретическую возможность высокочастотной невидимости, хотя практическая реализация этого подхода должна натолкнуться на серьезные трудности, поскольку требуется создать определенное распределение коэффициента преломления во всем пространстве, в том числе со значениями, меньшими единицы, включая нулевое значение Определенную трудность представляет также обобщение результатов на трехмерный случай из-за узости класса трехмерных конформных отображений

Несколько иной подход к построению «оболочек невидимости» был предложен Дж.Б Пендриидр (JB Pendry,D Schung, D R. Smith, 2006) Он основан на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований пространственных координат При таких преобразованиях форма уравнений Максвелла остается неизменной, а меняются лишь

тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей еиц, которые становятся, вообще говоря, пространственно неоднородными и анизотропными Задача сводится к построению среды с заданными распределениями диэлектрической и магнитной проницаемостей Проблема заключается лишь в том, что указанные распределения находятся за пределами непосредственной физической реализуемости и в любом случае требуют использования метама-териалов

Очень заманчивым представляется способ достижения невидимости путем создания на поверхности тела определенного поверхностного импеданса, задачу нахождения которого можно рассматривать как частный случай обратной задачи теории рассеяния по заданной диаграмме направленности определить поверхностный импеданс рассеивателя Эта задача полностью решена в двумерном случае (А Ф Чаплин, А С Кондратьев, 1977, Б М Петров, Ю В Юханов, 1980), а также в случае тел вращения, когда плоская волна падает в направлении оси симметрии тела (Ю А Еремин, А Г Свешников) Характерно, что авторы ограничиваются рассмотрением только пассивного (ReZ > 0) или реактивного (ReZ = 0 ) импеданса, первое из которых трактуется как условие «физической реализуемости» При этом синтез пассивного поверхностного импеданса сводится к задаче минимизации

<P(Z) = |F(Z)-F0||^mm, ReZ>0, (1)

где F(Z) — реализованная диаграмма рассеяния, F„ — заданная диаграмма рассеяния, а || || — некоторая норма

Тождественно нулевая диаграмма рассеяния, соответствующая нерассеивающему телу, является нереализуемой при решении задачи (1) поскольку, поверхностный импеданс в этом случае оказывается пассивным на освещенной стороне и активным (ReZ < 0) — на теневой стороне цилиндра (Б М. Петров, Ю В Юханов, 1980) Следовательно, при помощи реактивного или пассивного поверхностного импеданса может быть реализовано в лучшем случае черное тело

Как правило, непрерывное распределение поверхностного импеданса можно заменить конечным числом импедансных нагрузок Широкие возможности управления характером рассеяния электромагнитных волн проводящими телами при помощи импедансных и, в частности, реактивных нагрузок известно достаточно давно На эту тему было опубликовано большое количество работ, в которых использовались различные методы и ставились различные цели В частности, решалась задача ослабления обратного рассеяния (К Chen, V Liepa, Т Senior, R. Harrington, J Mautz) При этом использовались как распределенные, так и сосредоточенные нагрузки, а в качестве рассеивателей рассматривались как проводящие тела (К Chen, V Liepa, Т Senior) так и «проволочные объекты» (J Lin, К. Chen, R. Harrington, J Mautz) В качестве импеданеной нагрузки для проводящего тела может выступать любая полость внутри тела, а также любая цепь из сосредоточенных элементов или линия передачи Идея метода заключается в том, что, выбирая форму и расположение отверстия связи на поверхности тела, а также характеристики самой нагрузки, можно изменять мощность, рассеиваемую телом в том или ином направлении

Наряду с отдельными импедансными нагрузками, можно использоваться любое количество сосредоточенных или распределенных нагрузок, как независимых, так и связанных между собой в единую цепь В этом случае импедансную нагрузку можно рассматривать как некоторый 2АГ-полюсник, т е цепь с N входами и N выходами, где N — количество используемых нагрузок. Идея такого чисто радиофизического подхода была высказана JI Вайнбер-гом (L Weinberg, 1963) и Р Харрингтоном (R Harrington, 1964) Дальнейшая теория была развита в работах Р Харрингтоном и Дж MaymeM(R Harrington, J Mautz, 1971-1975)

Суть этого подхода состоит в следующем Нагрузку представляют в виде 2N-полюсника с матрицей импедансов [Zr ] Тело (рассеиватель), облучаемое некоторым электромагнитным полем заменяют эквивалентной цепью — 2№полюсником с матрицей импедансов [Zs ] Нагруженное тело (нагруженный рассеиватель) представляет собой два указанных 2Аг-шшосника, соединенных вместе

Нагруженный рассеиватель описывается системой линейных уравнений

связывающей V — вектор-столбец напряжений, возникающих в цепях связи рассеивателя и нагрузки под воздействием внешнего поля, — с / — вектором-столбцом токов Идея метода заключается в том, что, выбирая определенным образом матрицу импедансов можно получить желаемое рассеянное поле

Р Харрингтоном и Дж Маугцем показано (1974), что рассеянное поле можно представить в виде

где Е(7„) — поле, излученное нагруженным рассеивателем при токе 1п Таким образом, возможности управления рассеянным полем при помощи выбора матрицы импедансов нагрузки ] определяются свойством «полноты» системы векторов Щ1п)

В общем случае вопрос о полноте остается открытым Содержательные результаты были опубликованы Р Харрингтоном и Дж Маущем только для матриц импедансов [2Х ] частного вида, а именно — диагональных матриц В частности была рассмотрена (1974) задача получения заданной диаграммы рассеяния по амплитуде (без учета фазы), для чего использовались реактивные нагрузки с диагональной матрицей [X, ] При этом также рассматривались только реактивные нагрузки

П-С Килдал и А А Кишк (Р-Я ЮЫа!, А А КлвЬк, 1996, 2003) рассматривали возможность минимизации обратного и прямого рассеяния цилиндрических диэлектрических структур путем изменения их поперечного сечения, а также нанесения на них периодического покрытия из металлических полос для создания так называемых искусственных «жестких поверхностей» Как и в задаче синтеза прозрачного тела, при этом решается оптимизационная задача, но в отличие от задачи синтеза прозрачного тела, когда ставится задача заданного ослабления рассеянного поля, в последнем случае решается задача максимального ослабления рассеяния путем варьирования заданного набора параметров Получаемые при этом результаты можно отнести к случаю «низкочастотной» невидимости

Управления рассеянием может осуществляться также при помощи «активных» методов К числу активных относится метод ослабления обратного рассеяния путем создания на скрываемом объекте сверхвысокочастотного излучения, амплитуда и фаза которого подстраивается таким образом, чтобы скомпенсировать отраженный в сторону РЛС радиолокационный сигнал Вопрос о возможности достижения прозрачности подобным способом наиболее полно разработан для случая акустических полей Соответствующая теория, построенная В П. Ивановым и восходящая, в свою очередь, к более ранним работам Г Д Малюжинца, носит название теории активного гашения низкочастотных акустических полей Коротко суть этой теории состоит в следующем

Пусть в трехмерном (или двумерном) пространстве расположено некоторое множество областей Ои, часть которых интерпретируется как антенны приемников, а другая часть -— как антенны вспомогательных излучателей В задаче ненаблюдаемости или активного гашения требуется определить число, расположение и волновые размеры тел £>„ так, чтобы по результатам измерения осредненного следа полного поля на поверхности приемников выделить из полного поля падающее поле стороннего источника Далее по падающему полю требуется определить число интенсивности вспомогательных излучателей, чтобы вне сферы, содержащей внутри себя все тела Оп, выполнялось соотношение

где ЩХ) и и^— соответственно потенциалы полного и падающего полей, а IIе — заданная функция Минимизации поля дифракции сводится к системе линейных алгебраических

р(Ю-ишд\\<ре\\,

уравнений, выражающей условия обнуления первых (ЛА+1)2 пространственных гармоник за счет выбора амплитуд вспомогательных излучателей В П Ивановым показано, что при специальном выборе расположения излучателей решение этой системы существует для произвольного N и любой правой части Следует отметить, что достигаемая в результате невидимость является низкочастотной

Как уже отмечалось, целью данной диссертации является математическое исследование задачи синтеза нерассеивающего тела как задачи пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля в области резонансных частот без изменения формы и размеров тела, а также без существенных изменений характера его поверхности В качестве исходных тел рассматриваются идеально проводящие тела, а в качестве средств достижения их прозрачности предлагается использовать внутренние переизлучатели, под которыми понимаются произвольные области внутри данного тела, некоторым образом заполненные идеальными проводниками и непоглощающими диэлектриками и связанные с внешним пространством посредством отверстий или щелей в идеально проводящей границе тела. Предполагается, что суммарная площадь отверстий мала по сравнению с общей площадью внешней поверхности тела 5

Переизлучатель можно интерпретировать как сложную импедансную нагрузку, однако использование термина «переизлучатель» в данном случае предпочтительней, потому что исследование задачи проводится — без использования понятия импеданса — с точки зрения строгой теории дифракции в терминах электромагнитных полей на основе уравнений Максвелла Единственные используемые при этом идеализации — это идеальный проводник, не-поглощающий диэлектрик и бесконечно тонкий экран, принятые в математической теории дифракции

В Главе 1 даны основные определения, связанные с рассеивающими свойствами тел, и приведены различные постановки задачи синтеза нерассеивающего тела Двухпозицион-ный поперечник рассеяния определяется как функция

<г(Э,ФЛ,Фй) = Ът4лИг (2)

где Ррас(к,9,ф) — плотность потока мощности рассеянного поля в точке наблюдения, а Ршд — плотность потока мощности первичного поля — плоской волны, падающей на тело с направления {30,фа) — в окрестности положения тела.

Полным поперечником рассеяния (ППР) тела называется интеграл

1 2я п

ат&ъЖ) = ¡¿Ф$о-(&,ф,#0,ф0)ьшЗсг& (3)

о о

В двумерных или цилиндрических задачах используются видоизмененные формулы (2)и(3)

Определение. Тело называется нерассеивающим, или прозрачным, если его полный поперечник рассеяния равен нулю

Данное определение необходимо понимать в контексте определенной постановки задачи рассеяния, поскольку энергия рассеянного поля является, вообще говоря, функцией частоты и зависит от поляризации падающей волны Следует также различать «изотропную прозрачность», когда ат(&0,ф0)^0, и «неизотропную прозрачность», когда сгт(&0,ф0) = 0 при некоторых выделенных направлениях прихода волны (&0,ф0) В общем случае можно говорить о прозрачности по отношению к определенному виду поля например, заданного направления, заданной частоты и заданной поляризации

Близость свойств тела к свойствам прозрачного тела можно охарактеризовать величиной его ППР ат, отнесенной к ППР ег° некоторого «тела сравнения» Поскольку интерес представляет ослабление рассеянного поля не в разы, а на порядки, «степень прозрачности» целесообразно выражать (в децибелах) коэффициентом ослабления рассеянного поля К

К = т°(ат I ^ ) [дБ]

Уменьшение ПНР тела может быть достигнуто двумя способами путем изменения свойств среды, окружающей тело, или путем изменения свойств самого тела В работе рассматривается только второй способ Тогда в самом общем случае задачу синтеза прозрачного (нерассеивающего) тела можно сформулировать следующим образом

Задача 1. Изменить заданное тело таким образом, чтобы ППР измененного тела был в заданное число раз меньше ППР исходного тела

На изменения тела должны быть наложены те или иные ограничения Можно потребовать сохранения формы и размеров тела, а также ограничить изменение свойств его внешней поверхности В этом случае изменение рассеивающих свойств тела достигается за счет изменения его внутреннего заполнения В качестве «тела сравнения» естественно взять тело тех же размеров и формы с неизмененной внешней поверхностью Тогда задачу синтеза прозрачного тела можно переформулировать следующим образом [11,12]

Задача 2. Без изменения формы и размеров тела, а также при малом изменении характера его внешней поверхности требуется изменить внутреннее заполнение тела так, чтобы полный поперечник рассеяния сгТ измененного тела был в заданное число раз меньше полного поперечника рассеяния гг° исходного тела

где s — заданное число

В работе рассматривается возможность подавления рассеянного поля только за счет перераспределения энергии падающего поля, т е без использования дополнительных источников энергии Соответствующую математическую задачу естественно назвать задача пассивного подавления рассеянного поля При этом в формулировки задач 1 и 2 необходимо добавить требование отсутствия дополнительных источников энергии

Совершенно ясно, что сильно поглощающее тело не может быть сделано прозрачным без использования дополнительных источников энергии для компенсации поглощения В этом случае задача пассивного подавления рассеянного поля неразрешима

В дальнейшем задача синтеза прозрачного тела рассматривается применительно к идеально проводящим телам

Предположим, что исходное тело ограничено идеально проводящей поверхностью S Поставим задачу синтеза тела, ограниченного той же поверхностью S, но имеющего в заданное число раз меньший поперечник рассеяния заданной электромагнитной волны, чем исходное тело Для этого предположим, что поверхность S содержит участки sa, имеющие характер границ раздела «вакуум-диэлектрик» (или «воздух-диэлектрик»), называемые отверстиями (или щелями) в границе Будем также предполагать, что суммарная площадь отверстий sa мала по сравнению с площадью поверхности S, те

mes|J.ç0 < S mes S, (5)

a

где S >0 — заданное (малое) число Неравенство (5) выражает условие «малости изменения характера внешней поверхности тела» в формулировке задачи 2

Предположим, что область, ограниченная поверхностью S, заполнена непоглощаю-щими диэлектриками и идеальными проводниками Для задачи рассеяния значение имеет только та часть этой области, в которой может возникать вторичное поле при наличии поля на отверстиях sa Соответствующая подобласть £>0 вместе с заданными в ней распределениями диэлектриков и проводников, а также с совокупностью отверстий s,, в границе, в дальнейшем именуется переизлучателем

Задачу синтеза прозрачного тела в применении к идеально проводящим телам можно сформулировать следующим образом

Задача 3. Для заданного идеально проводящего тела, ограниченного замкнутой поверхностью 5, требуется найти переизлучатель с учетом ограничения (5), при котором обеспечивается выполнение неравенства (4), где <хТ и сг° — полные поперечники рассеяния тела с переизлучателем и исходного тела соответственно, а е — заданное положительное число

При решении задачи синтеза прозрачного тела достаточно ограничиться переизлучателями, описываемыми конечным числом параметров Переизлучатель, описываемый N независимо варьируемыми параметрами а1,а2, , будем называть Лчираметрическим Кроме того, ^-параметрический переизлучатель с М < N щелями (отверстиями) ха будем называть переизлучателем М-го порядка, а число М— порядком переизлучателя

В Главе 2 рассмотрена задача синтеза кругового цилиндра, не рассеивающего поле плоской Я-поляризованной волны, падающей перпендикулярно оси цилиндра [10-12,15]

В параграфе 1 оценивается влияние узких продольных щелей в границе идеально проводящего кругового цилиндра на рассеянное поле и показана принципиальная возможность подавления одной гармоники рассеянного поля путем выбора однородного диэлектрического заполнения внутренности цилиндра [9] Исходным телом в данном случае является круговой идеально проводящий цилиндр радиусом Я, а качестве нагруженного тела выступает однородный диэлектрический цилиндр того же радиуса, границей которого служит бесконечно тонкий идеально проводящий цилиндрический экран с .¿V узкими продольными щелями, расположенными с равным угловым шагом Формулируется задача дифракции плоской Н-поляризованной волны

НГд(х,у) = Ае-а'(хая^у"т9> (6)

на рассматриваемой цилиндрической структуре При этом рассеянное поле представляется в виде

= Н1+НГ", (7)

где — поле, рассеянное идеально проводящим цилиндром с непрерывной границей, а Я ° — возмущение, вызванное наличием щелей

Поле Н^" известно, а для поля Я° вместе с полем Н\, возбуждаемым внутри цилиндра, ставится краевая задача для уравнения Гельмгольца, которая редуцируется к интегральному уравнению

= ЯФ), Фе1\ (8)

г

относительно неизвестной функции

где Еф(В,ф0) — касательная составляющая полного электрического поля на щелях, /(ф)= (К>ф)+НТ"(К,ф), е1 — диэлектрическая проницаемость заполнения цилиндра, О0 и 01 — функции Грина соответственно внешней и внутренней второй краевых задач для

N

уравнения Гельмгольца, а Г — совокупность щелей, Г = , Г^ = {ф р}—1< ф< р] +/},

.1=1

Оператор К(ф) уравнения (8) имеет логарифмическую особенность ядра при совпадении аргументов и, следовательно, является фредгольмовыми в весовых классах Гёльдера Решение уравнения (8) существует и единственно (теорема 2 2)

Ж(Фо) =

Ядро оператора К(й>) представимо в виде

п

2sm-

1 +

л-0

где ап(со) = 0{п~ъ) при п -> °о

Получено приближенное решение уравнения (8) в предположении, что угловая ширина щелей / является малым параметром (/ -> 0) В зависимости от близости частоты <а к полюсам функций а „(со) следует различать два принципиально разных случая нерезонансного и резонансного рассеяния В нерезонансном случае возмущение, вызванное наличием щелей,

24]

есть величина O(ß), / 0, где ß = j^ln ^

Пусть частота со может принимать произвольные значения вблизи одной из собственных частот внутренности цилиндра (этот случай называется случаем резонансного рассеяния) Выберем некоторый полюс а>щ т функции ащ (т), в малой окрестности которого не

содержится полюсов других функций а„(а>) Обозначим через Ф„(ф) и Ф"°"(ф) диаграммы направленности полей Я° и Hf соответственно Утверждение 2.1. Если выполнено условие

0, (9)

, л rtJAKR) „ -АR 2(1+f) „

где т} (со) = V£ --(1 + £)—— н—1--, s = е, / s0, то в суммарной диаграмме направ-

./„(£, Я) и Лг/9

ленности Ф(ф) = Фч°л(ф) + Ф0(ф) п„ -я гармоника обращается в нуль с точностью Oiß)

Условие (9) можно рассматривать как уравнение для определения диэлектрической проницаемости заполнения внутренности цилиндра, при которой происходит подавление я0 -й гармоники при заданной частоте падающего поля а> При фиксированной частоте со несколько условий (9) не могут быть удовлетворены одновременно при помощи выбора одного параметра г, Для подавления большего числа гармоник рассеянного поля данному переизлучателю — внутренности цилиндра -— не хватает «степеней свободы» — независимо варьируемых параметров

Далее решается вспомогательная задача вычисляется электрическое поле, которое должно создаваться на щелях под действием падающего поля при помощи переизлучателя для обеспечения заданного ослабления рассеянного поля С этой целью рассмотрена задача дифракции плоской Я-поляризованной волны (6) на проводящем круговом цилиндре радиусом R с цилиндрическим переизлучателем общего вида с некоторыми дополнительными ограничениями Предполагается, что щели имеют одинаковую угловую ширину 21 и расположены с равным угловым шагом

Рассеянное поле ищется в виде (7) Целью задачи синтеза прозрачного тела является выполнение условия (4), которое в данном случае эквивалентно условию

/¡Ф0С^)н

,2

)+Фт{Ф)\ аф<8\^>т{ф)\ йф, (Ю)

о

Краевая задача редуцируется к интегральному уравнению, аналогичному (8), с той разницей, что 01 — функция Грина внутренней краевой задачи для уравнения Гельмгольца в области переизлучателя Эта функция может быть эффективно построена, если известны функции Грина частичных областей, составляющих переизлучатель

В случае узких щелей (/ —> 0 ) приближенное решение интегрального уравнения задачи можно искать в виде

»ег„

(11)

где ■— постоянные, подлежащие определению Совокупность чисел удобно представить в виде

ЛГ/2 ЫП-1

ч, = со&пР) + , , (12)

МеО И=1

где коэффициенты ¿¡п, определяются единственным образом как дискретное преобразование Фурье функции , заданной на сетке из точек р}, ] -1,2, , Ж

Диаграмма направленности поля соответствующая решению (11), может быть выражена следующим образом

Л ¡2т.

2*0Л Уяг^о

-¡»<2йа+я)/2_

-иг(Мя-»>/2 е Смя-я

я£;_„ (¿„Д)

(2 ^ ж 5*

Я<»(*0Л) *

-иг(Л»н*)/2 е_

-т{Пт-п)!г е Умв-в

I Я®,, (*0Д) Я®_„ (¿0Й)

где <рп - саьпф и ^ = вшп^, Я™ — функции Ханкеля Отсюда, для того чтобы первые N гармоник суммарной диаграммы направленности Фа{ф)+Ф'!"'(ф) были равны нулю, необходимо выполнение равенств

■К 2

N

Ч„

: АкоКЗ»А е~~"°,'2Тп{каВ)<х>5пв, 0 < п < Ак,Ш

(13)

е-1т12Гп(кйЩъх&пв, 1 <.п<-

Условия (13) называются условиями прозрачности для кругового цилиндра Они определяют касательное электрическое поле на N щелях, при котором происходит полное подавление первых N гармоник рассеянного поля, и используются в дальнейшем для нахождения геометрических и материальных параметров переизлучателя

Чтобы обеспечить условие (10) с заданной точностью е, число N должно быть достаточно большим Существование такого числа гарантировано следующим утверждением

Утверждение 2.3. Для любой частоты падающего поля существует число N щелей, достаточное для выполнения условия (10) с заданной точностью е

Для доказательства оценивается величина

||Фо+Ф*1 = №>.(*)+Ф-ЧЛ1 ¿Ф

о

В частности, показано, что при к0Я > 1 для выполнения условия (10) с заданным е достаточно взять М, удовлетворяющее условиям

N>2 ек0Н

N >\о%2 — + 1о%2 N + 4 8

Фактически достаточное число щелей оказывается меньшим В диапазоне 0 1 < к0К < 18 количество щелей, достаточное для ослабления рассеянного поля на 30 дБ, описывается простой формулой

Изменение диаграммы направленности рассеянного поля в зависимости от числа щелей проиллюстрировано рис 1, гдг для к0К = 10 и различных N изображены диаграммы рассеяния цилиндра со щелями, на которых создано электрическое поле, удовлетворяющее условиям прозрачности (13) Для сравнения тонкими линиями изображены диаграммы рассеяния сплошного идеально проводящего цилиндра того же радиуса.

а) N=10

6)1У=14

в) N=18 г) N=22

Рис.1.

Далее исследуется принципиальная возможность создания электрического поля на щелях в границе цилиндра, удовлетворяющего условиям прозрачности (13), при помощи простейших переизлучателей При наличии N щелей в экране для подавления N гармоник рассеянного поля необходимо удовлетворить N условиям (13) Для этого требуется переизлучатель, имеющий ^независимо варьируемых параметров, те переизлучатель АТ-го порядка

Переизлучатели заданного порядка проще всего строить путем объединения независимых переизлучателей меньшего порядка. В параграфе 4 исследуется возможность использования для этого переизлучателей первого порядка, каждый из которых представляет собой некоторый цилиндрический резонатор (цилиндрическую полость), связанный с внешним пространством посредством одной щели и характеризуемый одним варьируемым параметром В качестве такового может использоваться один из его геометрических или материальных параметров Пример указанной структуры представлен на рис 2

Задача дифракции в данном случае формулируется следующим образом Рассеянное поле представляется в виде (7) Поле, возбуждаемое в у-м резонаторе, обозначается через Н1/ 7 = 1, ,ЛГ Поле Я^" известно, а для поля вместе с полями Н\' ставится краевая задача для уравнения Гельмгольца

Рис. 2.

Краевая задача сводится к интегральному уравнению аналогичному (8) Его удобно представить в ввде системы операторных уравнений

J = 'Í>->X (14)

относительно неизвестных - %(Ф) > Ф е Г, > гДе /у = /(Ф) >Фе Г,, = I£000(^ф,Я,ФоШФ«)<1Фо, Ф е (Л +0,

¡Г'

в] — диэлектрическая проницаемость /-го резонатора, — функция Грина 2-й краевой задачи для уравнения Гельмгольца в области сечения /-го резонатора с коэффициентом к*, а] — варьируемый параметр/-го резонатора, а — символ Кронекера

Ядра «диагональных» операторов К^ имеют логарифмические особенности при совпадении аргументов, а ядра «недиагональных» операторов J*k, непрерывны В данном случае параметры переизлучателей входят только в диагональные операторы Следовательно, задача синтеза прозрачного тела сводится к решению независимых уравнений с одной неизвестной

J = \,г,..,N, (15)

»=1

относительно параметров aJ, J =1, .

Утверждение 2.5. Если действительны, то при достаточно малых I выполнение N условий прозрачности (13) не может быть обеспечено при помощи независимых переизлучателей первого порядка.

Доказательство основано на представлении решения (11) в случае узких щелей При этом каждое равенство (15) сводится к следующему

ч 2 НЛЯРу)

=--1п7+-±-(16)

7 п I ЯВД,

где М} — функция ] после вычитания логарифмической особенности, qJ — коэффициенты из представления (11), а Н, — полное магнитное поле вне цилиндра Величины qj и Нг находятся из условий прозрачности (13) При действительных е левая часть (16) действительна, в то время как правая часть содержит неустранимую мнимую часть, что делает равенство (16) невозможным

Далее исследуется возможность использования N72 независимых переизлучателей второго порядка для построения переизлучателя АГ-го порядка, обеспечивающего выполнение N условий прозрачности (13)

Предположим, что каждый переизлучатель связан с внешним пространством посредством двух щелей, одна из которых расположена на освещенной, а другая — на теневой стороне цилиндра. Рассматриваемая структура привязана к определенному направлению падения волны Щели, расположенные симметрично относительно плоскости уОг, проходящей через ось цилиндра и перпендикулярной направлению паления волны, называются сопряженными Номер щели, сопряженной ку-й, обозначается через у* В качестве переизлучателей рассматриваются резонаторы (полоста) с идеально проводящими границами, симметричные относительно плоскости уОг Внутренность цилиндра можно условно разбить на №.2 слоев, каждый из которых содержит один резонатор и две сопряженные щели, связывающие резонатор с внешним пространством Резонатор т-го слоя предполагается зависящим от двух параметров (ат,Ът) Пример нумерации слоев и щелей приведен на рис 3

^—-—X

4 / V. 1

А

V

X 3 х

Рис. 3

Краевая задача, соответствующая задаче дифракции на такой структуре, сводится к системе интегральных уравнений

у = 0,1, 1 (17)

с теми же обозначениями, что и в системе (14), с той разницей, что КдЛ = |екаЬт1к){я,Ф,я,ф0)х,ЛФо¥Ф»,

р„-1

где б, т(к ) — функция Грина резонатора ж-го слоя, одна из щелей которого имеет номер к

Поскольку параметры т-то слоя входят только в два уравнения, задача синтеза распадается на независимые пары нелинейных уравнений относительно (ат,Ьт)

(18)

к=О

Используя представление решения (11) в случае узких щелей, сводим (18) к системе

11 3 (19)

331 п 1 даДя,-ду)

смысл обозначений в которой аналогичен принятому для уравнений (16), а неизвестными являются параметры (а} ,Ъ)), входящие в функции М] {р] ,р})я (Я, р], К, р3.)

В отличие от уравнений (16), которые были комплексными, что сделало в общем случае невозможной их разрешимость в действительных числах, уравнения (19) оказываются действительными Далее выясняются достаточные условия разрешимости системы (19) в действительных числах в виде условий на функции Грина в,} слоев (утверждения 2 7 и 2 8)

Утверждение 2.8. Пусть функция Грина СК] зависит от двух действительных параметров а; и Ь] и в некоторой окрестности точки может быть представлена в виде

Л,, К А)

где функции ещ и ещ таковы, что для любых сопряженных точек М = {И,ф) и М* = (Я, я- ф) справедливы равенства

ещ(М) = ещ(М*1 =

а величина О1^{г,ф,г0,ф0,а],Ь^ как функция а] и Ъ1 не имеет особенностей в некоторой окрестности точки {а]а,Ь]0} Пусть также функции Лщ и А„г непрерывно дифференцируемы по а1 и Ъ} и удовлетворяют условиям

^(ЯувЛо)-О.

а якобиан

1 =

в точке (aJ(¡íbJ0) отличен от нуля. Тогда при достаточно малых / в некоторой окрестности точки (aJO,bJ0) можно найти действительные значения а1 и Ь}, обеспечивающие выполнение условий прозрачности

Доказанные утверждения позволяет строить резонаторы с требуемыми свойствами из простейших элементов Примеры тому даны в конце главы 2 Подробно рассмотрены переизлучатели, структура которых схематично представлена на рис 4

Переизлучатель каждого слоя состоит из двух цилиндрических кольцевых секторов П и Щ, связанных между собой посредством кольцевых секторов I и 1* через щели 2, 2*. 3 и 3* шириной 2у Щели I к 1* угловой ширины 21 связывают переизлучатель с окружающим пространством Стенки всех секторов считаем идеально проводящими и бесконечно тонкими, а их заполнение — однородным, изотропным, диэлектрическим и немагнитным Диэлектрическую проницаемость заполнения секторов I и I* независимо от ; считаем равной а диэлектрические проницаемости заполнения областей П и Ш — равными соответственно и еЪ] Геометрические параметры секторов — р}, а Ь.] — это соответственно угловая ширина и внутренний радиус сектора I, а также угловая ширина и толщина секторов П и Ш. , и — расстояние от оси цилиндра до середин щелей 2 и 3 Размеры щелей I и у считаются произвольно малыми Размеры секторов и диэлектрические проницаемости и £Ъ ] предварительно должны быть выбраны так, чтобы в малой окрестности частоты падающего поля со оказались по одной собственной частоте и а>щ секторов ПиШ соответственно, причем одна из них соответствовала четным, а другая — нечетным собственным колебаниям

Используя функции Грина второй краевой задачи для уравнения Гельмгольца в кольцевых секторах, сводим задачу дифракции к системе интегральных уравнений

+ А? я, + + А= /,, ] = ОД, , N -1,

ы о

+В]{е2_})Х2_] + +А?Хц + = 0, У =0,1, ,N-1 (20)

=0, у = 0,1,. -1

относительно неизвестных выражающих касательное электрическое поле на щелях Диагональные операторы К^, А™', В™(е2]) — это интегральные операторы с логарифмической особенностью ядра, а остальные операторы имеют непрерывные ядра.

Приближенное решение системы (20) ищется в виде (11) для внешних щелей (1 и 2*) и в виде

у ,(/•) = -¡= ...........'У . , . и = 2,3,

для внутренних щелей (2, 2* 3 и 5*), где ] — комплексные числа Тогда система (20) сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных q] и гП} Всего имеется Ш уравнений с ЗА' неизвестными

В задаче синтеза прозрачного тела величины qJ должны быть выбраны из условий прозрачности (13) при в = 0, в результате чего система относительно ) становится переопределенной Для ее совместности необходимо выполнение N дополнительных условий, которые приводят к действительной системе уравнений относительно параметров слоев Система распадается на независимые пары уравнений, соответствующие различным слоям

В качестве неизвестных рассматриваются относительные диэлектрические проницаемости е2) = е2] /е0 и которые предполагаются действительными и удовлетворяющими ограничениям е2]> 1 и £3 J > 1 при фиксированных геометрических размерах секторов Найдены достаточные условия разрешимости уравнений задачи синтеза (теоремы 2 9 и 2 10)

Теорема 2.9. При любом фиксированном допустимом наборе параметров dj, Т}, р1, Кп ], А и / существует такое число и<0 > 0, что при всех уч<-и>0 задача синтеза прозрачного тела разрешима

Построен численный алгоритм, позволяющего решать задачу синтеза нерассеивакяце-го цилиндра для различных значений частотного параметра к0Н в диапазоне 0 1 < к0Я < 10 с коэффициентом ослабления К = -30 дБ Для заданного значения частотного параметра

к0Я = (к0К)лр (частоты прозрачности) выбирается порядок переизлучателя, после чего фиксируются геометрические параметры Далее находится численное решение системы уравнений задачи синтеза, из которой определяются векторы величин ё2 ], ё31

Для определения рассеивающих свойств синтезированных цилиндров параметры, найденные в результате решения задачи синтеза, фиксируются, после чего решается задача дифракции при значениях частотного параметра к0Я, изменяющихся в некотором диапазоне в окрестности (к0К)пр, и вычисляется коэффициент ослабления К Примеры рассчитанных частотных зависимостей коэффициента ослабления приведены на рис 5

В Главе 3 рассмотрена задача синтеза кругового цилиндра, не рассеивающего поле плоской ¿'-поляризованной волны, падающей перпендикулярно оси цилиндра [13] Эта двумерная задача решается трехмерными средствами Требуемое касательное электрическое поле на поверхности цилиндра создается при помощи периодической системы поперечных кольцевых щелей полуширины /, каждая из которых связывает внешнее пространство с некоторым цилиндрическим или кольцевым резонатором конечной высоты с идеально проводящими стенками, имеющим общую образующую с объемлющим цилиндром и заполненным однородным непоглощающим диэлектриком с диэлектрической проницаемостью а] (рис 6) Совокупность резонаторов и щелей играет роль переизлучателя, порядок N которого определяется как количество резонаторов на период Т Этот подход во многом аналогичен использованному раннее в [8] для решения задачи «одномерной невидимости» — «прозрачной проводящей плоскости

Вначале формулируется задача дифракции плоской волны Е^{х,у,г) = Ае'*"', кН^{х,у,2) = Ае'^,

где к = д/^о^о

Рассеянное поле Ерас,Лгас вне цилиндра ищется в виде Ерас = Е° + Е*1", Нрй":=Н0+Н,,а, где Е*"*,Н—поле, рассеянное сплошным идеально проводящим цилиндром, а Е°,Н° — возмущение, вызванное наличием щелей Поле внутри у-го цилиндра обозначается через Е-1, у = 1,2, ,ЛГ Вторичное ищем периодическим по г с периодом Т

Рис.6

Поле Е***, Н*"* известно, а поля / = 0,1,2, ,N, являются решением краевой

задачи для уравнений Максвелла то1 Е-' = гсо^В1, гоШ-7 = -кое¡к',

с условиями периодичности, условиями обращения в ноль тангенциальных составляющих полного электрического поля на идеально проводящих поверхностях, условиями непрерывности касательных составляющих полей на щелях 5}, условиями Мейкснера на краях щелей

и условиями излучения Зоммерфельда

Задача синтеза нерассеивающего тела в данном случае состоит в том, чтобы для заданного е>0 найти е}, /г, и р] (для кольцевых резонаторов), ] =1,2, при которых выполняется неравенство (4)

Решение задачи дифракции ищем в виде разложения в ряд Фурье

1Н-1

,Ыф

Тогда задача дифракции распадается на краевые задачи для отдельных Фурье-компонент Каждая краевая задача для Е-", Ну " сводится к системе интегральных уравнений

I+= /", ] = 1,2, • ,к,

4=1 N

4=1

N

(21)

относительно неизвестных 1 б(^)

г=й

с ^

с Я дополнительными условиями

I

\уг}п{£)1к = 0

ОХ 5е"00 = <аЯ

ЙЕ?

Зг

(г), г €(-/,0,

Далее исследуются свойства системы (21) При каждом ] характеристическая часть оператора К"'у этой системы есть

где Ь — интегральный оператор с логарифмическим ядром, а 5 — сингулярный интегральный оператор с ядром Коши Главный определитель характеристической части —

— никогда не обращается в нуль Оператор К"'1 в этом случае фредгольмов в весовых классах Гёльдера (приложение 3, теорема ПЗ 2)

Операторы системы (21) являются аналитическими функциями частоты со, имеющими полюса, соответствующие резонансам цилиндрических или кольцевых резонаторов Кроме того, корни функций {со) при различных п называются щелевыми резонансами

Пусть расстояние от а до ближайшего резонанса оценивается снизу величиной 0(0],

где ¡3 = , / -> 0 Рассеяние при таких частотах называется нерезонансным, а в про-

тивном случае — резонансным

В параграфе 7 получено решение задачи дифракции в приближении узких щелей (/ -> 0) для нерезонансного и резонансного рассеяния Предполагается, что период структуры Т меньше длины падающей волны Я В этом случае все продольные гармоники рассеянного поля, кроме нулевой, являются затухающими на бесконечности (лемма 3 1)

Показано, что в случае нерезонансного рассеяния решение системы (21) имеет следующие порядки малости

*/-0

1 }

В результате получаем следующую диаграмму направленности поля

Фо (^¿^ЁЕр^-------1

V я- 1 „,...„ ы I

Поскольку Ф0(ф) = 0{/}), подавление рассеянного поля в случае нерезонансного рассеяния невозможно

Далее предполагается, что высота каждого резонатора меньше половины длины волны в среде с волновым числом Введение такого ограничения существенно уменьшает число возможных резонансов, а неизвестная у/" может быть однозначно выражена через неизвестную <р] (лемма 3 3) Тогда векторная система (21) сводится к скалярной системе относительно

^-^ГТ-^^-Ш^Т' ^ = (22)

<{' д//2 - г2 % ы л//2-г2 где С]к — известные величины

Решение системы (22) ищем в виде

где q" — комплексные числа, являющиеся решениями системы линейных алгебраических уравнений

к. 1

Находя решение системы (23) и подставляя его в представления полей, получаем выражение п-й поперечной гармоники поля Е° при г» 1

Рассеянное поле в дальней зоне является ^-поляризованным с точностью 0{12 ) Диаграмма направленности поля Е* представ има в виде

ф\ф) = Уфу* , ф°„ =

В параграфе 8 исследуется задача синтеза прозрачного тела Требуется обнулить N поперечных гармоник рассеянного поля за счет выбора параметров всех N резонаторов При этом я-я гармоника должна подавляться за счет выбора параметров п+ 1-го резонатора

В случае цилиндрических резонаторов единственным варьируемым параметром является относительная диэлектрическая проницаемость В случае кольцевых резонаторов возможно варьирования внутреннего радиуса р)

Требуемые значения диэлектрических проницаемостей ищутся в окрестности полюсов, соответствующих собственным частотам резонаторов, или в окрестности точек, соответствующих щелевым резонансам, с ограничением е >\ Предполагается также, что значения ¿„+1, резонансные для п -й гармоники, не являются резонансными ни для какой другой гармоники В этом случае решения системы (23) выражаются формулами

/Г+0(/?2) Й-*1+Ас;*,,*

0Г Р2ГяС",М1+0(Ръ)

7 < («ГГ'+^^^МГ

?<■+! „п,т1 , О-Г^п ' (25)

аП + Р™-п+1,п*1

Для подавление л-й гармоники необходимо добиться того, чтобы Ф° был равен с обратным знаком коэффициенту

ф«"» =-А •7"(к°Я)

Ф" АЬе ( 1} Н«\к0Щ

Отсюда, для подавления и-й продольной гармоники надо добиться выполнения действительного равенства

"Г+№с„»+ь>+1 = -М-Шй—~+о(Г) (26)

КТ ик0К)\н^(,к0Ц

Лемма 3.5. При достаточно малых /? решение уравнения (26) существует Приближенное решение уравнения (26) в окрестности резонанса цилиндрического резонатора получается следующим

Условия подавления различных гармоник независимы с точностью 0(/?2) Для более точного подавления рассеянного поля необходимо дополнительно минимизировать функционал

В параграфе 9 производится оценка ширины «полосы прозрачности» Ширина диапазона подавления и-й гармоники в окрестности резонанса цилиндрической полости имеет второй порядок малости по Д а в окрестности щелевого резонанса — первый порядок малости то Р (утверждение 3 1)

Построен численный алгоритм, позволяющий решать задачу синтеза нерассеивающе-го цилиндра для различных значений частотного параметра каЯ в диапазоне 0 1 < к0Я < 5 с коэффициентом ослабления К = -30 дБ Для заданного значения частотного параметра к,}Я = (каЯ)т (частоты прозрачности) фиксируется безразмерная ширина щели И Я, безразмерный период Т/Я, безразмерная высота цилиндрических резонаторов к!Я, относительные диэлектрические проницаемости б, а также количество резонаторов на период

Для определения рассеивающих свойств синтезированных цилиндров параметры, найденные в результате решения задачи синтеза фиксируются, после чего решается задача дифракции при значениях частотного параметра к0Я, изменяющихся в некотором диапазоне в окрестности (к0Я)щ, и вычисляется коэффициент ослабления К Примеры рассчитанных частотных зависимостей коэффициента ослабления приведены на рис 7

Рис.7.

Рассмотренные в главах 2 и 3 задачи синтеза относятся к случаям, когда рассеивающее тело имеет цилиндрическую форму, а у падающего поля отсутствует зависимость вдоль направления оси цилиндра Такого рода прозрачность естественно назвать двумерной Принципиальное значение имеет вопрос о возможности обобщения полученных результатов на трехмерный электромагнитный векторный случай Для этого в Главе 4 исследуется задача синтеза сферы радиусом Я, прозрачной по отношению к плоской линейно поляризованной электромагнитной волне [14] Требуемое для прозрачности касательное электрическое поле на сфере создается при помощи N узких кольцевых щелей SJ, образованных сечениями сферы параллельными плоскостями В некоторой сферической системе координат (г,3,ф), щели задаются условиями р]-1<Э<р1+1 Каждая щель связывает внешнее пространство с отдельным переизлучателем, представляющим собой сферический кольцевой сектор = \г,&,ф) р} <г<Я>р3- <9 /2, й<ф<2ж\ с идеально проводящими

стенками, заполненный однородным непоглощающим диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е} (рис 8)

Вначале ставится задача дифракции на указанной структуре плоской линейно поляризованной волны, электрический вектор которой перпендикулярен плоскостям расположения краев щелей

Е?{х,у, г) = Ае'**, кН™>(х,у,г) = Ае**

Представим рассеянное поле Е,ю:,Нрас в области П0 = {(г,&,ф) г>Щв виде суммы

где , Н'ф — поле рассеянное идеально проводящей сферой, а Е°,Н° — возмущение, вызванное наличием щелей Поле, возбуждаемое внутри у-го резонатора, обозначим через

Поле известно, а для полей Е-7,!!7, ] - 0,1,2,. ,ЛГ, ставится краевая задача.

Поля Е-\Н/, удовлетворяют уравнениям Максвелла пЛЕу =/й)д0Н/, пйН-' =-1ФЕ1 Е-7,

в областях QJ, условиям обращения в нуль тангенциальных составляющих полного электрического поля на проводящей границе, условиям непрерывности тангенциальных составляющих полей на щелях, условиям Мейкснера на краях щелей, а также условиям излучения на бесконечности

Задача синтеза нерассеивающего тела в данном случае состоит в том, чтобы для заданного е > 0 найти значениях I, , , й, и р}, у = 1,2,. , N, при которых выполняется неравенство (4)

Далее поля Е-* .Н' в областях Qj выражаются через касательное электрическое поле Е° на щелях, и краевая задача сводится к системе векторных интегральных уравнений относительно векторных неизвестных Щ = с дополнительными условиями

на краях щелей

Поскольку рассматриваемая структура представляет собой тело вращения, все величины входящие в интегральные уравнения можно разложить в ряды Фурье по углу ф

23

0.А) = ЁЗЬ (3>)«»»А • =

|И=0

Тогда система двумерных интегральных уравнений сводится к бесконечной цепочке одномерных интегральных уравнений относительно коэффициентов Фурье Е}та(90),

Введя новые векторные неизвестные ц/'т = гае ^(»Я) = £„,»($),

цгк„ 2(В) - т&), для каждого т запишем систему в виде

~ / = 1,2, (27)

где К•— матричные интегральные операторы

(гг т 1? « К" = Д12

/А I т т

К каждой системе (27) следует добавить N дополнительных условий

р1+1

В каждом «диагональном» операторе К™ можно выделить вполне непрерывную часть и характеристическую часть вида

г» т с

х» =

причем ее главный определитель

. » » « » 2(1 + £.)/с£ А=а а —п а _■ 4 1 "

никогда не обращается в нуль Операторы К ^ при }Фк являются вполне непрерывными

Для систем уравнений (27) доказана теорема существования и единственности (теорема 4 3) Получено решение этой системы в приближении узких щелей (/ 0 )

Операторы системы (27) являются аналитическими функциями частоты со, полюса которых соответствуют резонансам сферических кольцевых резонаторов Корни функций а"-п((0) называются щелевыми резонансами

В случае нерезонансного рассеяния при / 0 решение системы (27), приведенное к стандартному интервалу (-1,1), имеет следующие порядки малости

От 0(1)

Таким образом, является величиной более высокого порядка малости, чем у™,

Решение для резонансного рассеяния получено в предположении, что все секторы являются узкими «1) Это предположение ограничивает число резонансов, и неизвестная

у/™2 может быть однозначно выражена через (лемма 4 12) В результате получаем систему скалярных интегральных уравнений относительно , решение которой ищется в виде

где — константы, являющиеся решениями системы линейных алгебраических уравнений

aj,n9j

(28)

в которой С"к — известные величины

Решения систем (28) используются для решения задачи дифракции Для электрического поля на щелях получаем

_д2_

а вклад компоненты в рассеянное поле пренебрежимо мал по сравнению с вкладом компоненты , и в дальнейших вычислениях его можно не учитывать

Мощность, рассеиваемая сферой с переизлучателем, определяется формулой

во я J

гХХ'

I XX-

<5„(2« + 1) (п-ту J S* v. 5<90 sin <90 8ф0 ) 2 da0

2m(n + Y) (п + тУ (2и + 1) (п-тУ / ЕГ 8Yi,„ jBUm50 дф0 (лСЧКю)' Яу(т) gpac |-/ хп * д#0 \ dcг0 г

(29)

2KklR* ^^2яй(й + 1)(И + /И)1

где ^ - сферические функции Бесселя 3-го рода

Сфера является полностью нерассеивающей, если все интегралы, входящие в формулу (29), обращаются в нуль Отсюда получаются две бесконечные серии условий прозрачности Поскольку у поля Е""" отсутствует ф-я компонента, а вклад ф-й компоненты Е° в интегралы по сфере пренебрежимо мал по сравнению с вкладом «9-й компоненты, эта условия упрощаются до следующих

= « = 0,1,2, 'л = 1>2> - (30)

&9п

7?0 л Jftb

J sin A, J —

(31)

В отличие от общего случая, условия (30) и (31) не являются независимыми В результате — при выбранном направлении падения и поляризации волны — вместо двух бесконечных серий условий получаем одну

Располагая конечным числом щелей можно удовлетворить конечному числу условий прозрачности Ограничим это число величиной М. Вначале решается вспомогательная задача подавления в рассеянном поле гармоник заданного порядка т Система условий прозрачности в этом случае сводится к следующей

Ф^^-^^ЛСНО^^Ц2^) » = М-х (32)

где - присоединенные функции Лежандра, a jn - сферические функции Бесселя 1-го рода

Полагая N = М-т, вводя обозначение t} = cosр} и выбирая в качестве tJ корни функций Лежандра F(0, получаем решение системы (32) в виде

где

1 ¿о

Чтобы вычислить отсюда параметры резонаторов, подставим полученные значения в систему (28)

—-1--+ -2т= Явтр^ф(р^

7 = 1,2, ,М-т (33)

Параметры резонаторов определятся из независимых уравнений (33), поскольку входят только в диагональные элементы матрицы С^ Важно отметить, что уравнения (33) являются действительными Каждое уравнение (33) относительно е} имеет бесконечно много положительных корней (лемма 4 4)

Мощность, рассеиваемая нагруженной сферой, может быть представлена как

о(™)

лЫ)

р^ро

где Р(т) -— суммарная мощность гармоник т-го порядка.

Пусть требуется подавить гармоники порядков от 0 до М- 1 Для подавления гармоник различных порядков используется отдельная система щелей Щели для подавления гармоник т-го порядка должны иметь координаты 3 = агссов^"0, где г,0*' — г-й корень функции Щели, попадающие на «экватор» (& = л/2), заменяются двумя близко и симметрично расположенными щелями При невозможности точного расположения щелей по указанному правилу допускается их смещение Множество индексов щелей и резонаторов, предназначенных для подавления гармоник т-го порядка обозначим через £„ Необходимо подобрать параметры резонаторов так, чтобы для каждого т система щелей Хт максимально ослабляла гармоники порядка т и оказывала слабое воздействие на гармоники других порядков В случае «экспоненциально узких» щелей возможность такого «разделения по порядкам» сводится к вопросу о несовпадении точек вида 2 т2

*>~ за? р}

(соответствующих щелевым резонансам) и корней функций Bim{x) = J_v{xpjIR)Jv{x)-Jv{xpJIR)J_v{x) и - со$хка(И- р}) (соответствующих

резонансам кольцевых резонаторов) при различных т. Тогда при достаточно малых I существуют действительные значения £], ] = 1,2, ,{М~\)(М + 2)/2, при которых суммарная

мощность гармоник рассеянного поля порядков от 0 до Ы -1 есть величина 0{р2) (теорема 4 4)

Построен численный алгоритм, позволяющий решать задачу синтеза нерассеивающей сферы для различных значений частотного параметра к0Я в диапазоне 1 < к0й < 5 Примеры рассчитанных частотных зависимостей коэффициента ослабления К для двух синтезированных структур приведены на рис 9

Рис.9

В общем случае полный поперечник рассеяния является функцией направления распространения и поляризации падающей волны. Рассмотренные в главах 2-4 примеры нерас-сеивающих тел не были изотропными ни по отношению к направлению распространения, ни по отношению к поляризации падающей волны Возникает вопрос о возможности синтеза нерассеивающих тел с изотропными свойствами В связи с этим в Главе 5 исследуется задача о синтезе кругового цилиндра радиусом R, прозрачного по отношению к Я-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра, с дополнительным требованием, чтобы рассеивающие свойства цилиндра не зависели от азимутального направления падения волны [16,17]

Требуемый переизлучатель ищем в виде множества коаксиально вложенных круговых цилиндров радиусами Д0>й,> >RM, R0=R, с идеально проводящими бесконечно тонкими стенками, каждая из которых, за исключением внутреннего цилиндра радиусом RM, снабжена N одинаковыми продольными щелями угловой ширины 21¡, расположенными с равным угловым шагом 2nIN Слои между границами циливдров заполнены однородными изотропными и непоглощающими диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями s¡ (рис 10) Варьируемыми параметрами являются величины £j и Rj j = 1,2, ,М

Рис. 10.

Поставлена задача дифракции на рассматриваемой структуре поля (6) Рассеянное поле шцем в виде (7) Поле, возбуждаемое ву-м слое , обозначим через Н1

Поля Н1, 0< }<М., являются решениями краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями обращения в нуль нормальных производных Я/ на проводящих границах, ус-

ловиями сопряжения на щелях, условиями Мейкснера на краях щелей и условиями излучения Зоммерфельдадля

Задача синтеза прозрачного тела состоит в выборе параметров ё1=е1!ей, > > Км и таким образом, чтобы обеспечить выполнение неравенства (10) с заданной точностью е

Краевая задача сводится к системе интегральных уравнений

»=0 *=0

(34)

аМ}+'ТМ +Г'А(х},<Рп)<Р„ +{Хг-У/п)¥п]~

\х^Ч>п)Ч>п + (Х,-1= V» К ]- > <Рп )4>п + (хп1, ¥„ ] = 0,0 < у < М,

гельноМ

относительно М неизвестных функций х}

е} дг

, 0<у<М

где Ь — интегральный оператор с ядром —- 1п

л

а) = 8) + , а У]„, Ц1,,, (3„ — известные величины Приближенное решение системы (34) ищем в виде

>/( Рш+1~Ф)(Ф'Рш+1) N

где —- комплексные числа.

При каждом} выражаем сеточную функцию ц} т = д (рт) через дискретное преобразования Фурье ¿¡'п,

N12 N12-1

qJn=XticosnP>» + lL'iJ>:SsmгФ>*>J = 0>1> №-1,т = 0,1, ,N-1

п=0 л=1

Тогда система (34) сводится к системе алгебраических уравнений

ад„°£„+?„°(А„+г„°)-?Х = и = 0,1,. .,N/2, (35)

и = ,N12-1, (36)

+4}М +п)-сЦ-1г{-ег'гг1 = о, о < у <м, о < и <ю2, <37)

МГ^+^^+Г.^-е'^-е'^Г =0, 0<у <М,0<п<М/2, (38)

относительно неизвестных ^, ^5, где ¿„, А„, Щ, Г/, /„ и " - известные величины

В параграфе 4 получено явное решение, системы (35)-(38) Для внешнего слоя имеем

(гГ)2

м*

(гр2 м-«-

где

Аналогичная формула получается для ^ Подставляя найденные значения и ¿¡1' в представления рассеянного поля, находим решение задачи дифракции

Используя условия (13) подавления гармоник рассеянного поля с номерами от 0 до М-1, в формулу (39), получаем систему уравнений задачи синтеза

Ю1

М„ --

(г2)2

я = 0,1, ,м-1

(40)

(КУ

м1-

мГ2-

(г-ГУ мГ

где Вп —асимптотически действительная величина (те 1т Ц, 0 при N -у аз)

Уравнения (40) рассматриваются как уравнения относительно диэлектрических про-ницаемостей ё) М слоев Доказано, что при определенных ограничениях на положения ре-зонансов отдельных слоев решение системы уравнений синтеза (40) существует при достаточно узких щелях (теорема 5 1)

В численных экспериментах для цилиндрических структур, содержащих от трех до пяти слоев, достигалось ослабления более 20 дБ для выбранных значений «частоты прозрачности» (к„И)пр из диапазона 1 < {к0К)пр <36 Примеры рассчитанных частотных зависимостей коэффициента ослабления К для двух синтезированных структур приведены на рис 11

Г

Рис. 11.

В Заключении приведены основные выводы из результатов работы и намечены ближайшие перспективы развития используемого подхода

В Пиложении 1 даны необходимые результаты теории интегральных операторов с логарифмической особенностью ядра по материалам оригинальных работ [1-5] теоремы о фредгольмовости в весовых классах Гёльдера [1, 2, 7] и формулы обращения операторов с логарифмической особенностью ядра в случае малых отрезков интегрирования [3-5,7] В Приложении 2 приведены результаты по обращению оператора

в случае, когда контур интегрирования Г представляет собой систему равных эквидистантно расположенных дуг окружности, а также необходимые следствия этих формул по материалам работы [9] Вычислены результаты применения оператора Ь'1 к тригонометрическим

Эти результаты существенно используются при решении задачи дифракции на круговом цилиндре с продольными щелями (главы 2 и 5)

В Приложении 3 изложены необходимые результаты [6] теории матричных интегральных операторов

где Ь — интегральный оператор с логарифмическим ядром, 5 — сингулярный интегральный оператор с ядром Коши, а а, Ъ, с и <1 — константы, такие что А = ас! ~Ьс ± 0 Доказана фредгольмовость таких операторов в весовых классах Гёльдера. Эти результаты используются при исследовании задач дифракции на круговом цилиндре с поперечными щелями и на сфере со щелями (главы 3 и 4)

Научная новизна и практическая ценность.

Основные новые результаты, полученные в работе, состоят в следующем

1 Предложены новые постановки задачи синтеза прозрачного (нерассеивающего) тела как задачи уменьшения полного поперечника рассеяния данного тела (при падении на него плоской электромагнитной волны) в произвольное, наперед заданное, число раз без изменения формы и размеров тела, с ограничениями на изменения характера его поверхности, а также без использования дополнительных источников энергии [11,13,14] Последнее требование позволяет отнести данную задачу к классу задач пассивного подавления рассеянного поля В случае, когда исходное тело идеально проводящее, задача синтеза прозрачного тела сводится к задаче синтеза переизлучателя (пассивного излучателя), обеспечивающего заданное ослабление рассеяния

2 Исследована задача об оценке влияния узких продольных щелей в идеально проводящем бесконечно тонком цилиндрическом экране на рассеянное поле [9] Выделены случаи нерезонансного и резонансного рассеяния — в зависимости от близости частоты падающего шля к резонансам внутренности цилиндра Найдено, что в случае нерезонансного рассеяния возмущение рассеянного поля является логарифмически малым по угловому размеру щелей, а в случае резонансного рассеяния сравнимо по порядку величины с полем, рассеянным идеально проводящим цилиндром того же радиуса с непрерывной границей Доказана принципиальная возможность подавления одной наперед заданной гармоники рассеянного поля путем выбора однородного диэлектрического заполнения области, ограничиваемой цилиндрическим экраном [9]

3 Исследована задача дифракции плоской //-поляризованной волны на круговом цилиндре, снабженном N продольными щелями угловой ширины /«1 и цилиндрическим пе-

функциям ср„ - со%пф и угп - ътпф, а также найдены моменты

с характеристической частью

реизлучателем общего вида Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений относительно неизвестных, определяющих касательное электрическое поле на щелях. Доказана теорема существования и единственности для этой системы Получен общий вид ее решения и соответствующее ему рассеянное поле для случая узких щелей Найдены условия подавления первых N гармоник рассеянного поля — «условия прозрачности», определяющие требуемое для этого касательное электрическое поле на щелях. Доказано утверждение, что для любой частоты падающего поля и любого е > 0 существует число щелей N, достаточное для подавления рассеянного поля с точностью s при условии, что на щелях создано электрическое поле, удовлетворяющее N условиям прозрачности

4 Исследована возможность построения переизлучателей N-то порядка, обеспечивающих выполенение N условий прозрачности, из переизлучателей первого и второго порядка [10-12] Показано, что условия прозрачности не могут быть удовлетворены при помощи N независимых переизлучателей первого порядка, причиной чего является неразрешимость в действительных числах комплексных уравнений задачи синтеза относительно параметров отдельных переизлучателей Исследована возможность построения требуемого переизлучателя N-то порядка в виде объединения N/2 независимых переизлучателей 2-го порядка Доказано, что при определенных условиях комплексные уравнения синтеза сводятся к N/1 независимым системам двух действительных уравнений относительно двух варьируемых параметров Найдены достаточные условия разрешимости этих систем Показано, что двухпара-метрические переизлучатели с нужными свойствами могут представлять собой резонаторы, полученные в результате малого возмущения некоторого двухпараметрического резонатора с кратной собственной частотой, которой соответствуют две собственные функции противоположной четности [47,48] Предложено два типа таких переизлучателей [12,15]

5 С использованием переизлучателей на основе кольцевых секторов, связанных через щели, решена задача синтеза проводящего кругового цилиндра, прозрачного по отношению к плоской Я-поляризованной волне [12,15] Задача дифракции, поставленная в виде краевой задачи для уравнения Гельмгодьца, сведена к системе интегральных уравнений относительно касательного электрического поля на щелях Доказана теорема существования и единственности решения этой системы В случае узких щелей система интегральных уравнений сведена к системе линейных алгебраических уравнений, решение которой определяет решение задачи дифракции (прямой задачи) Решение задачи синтеза сведено к решению независимых пар нелинейных уравнений, содержащих по две неизвестные — параметры переизлучателей Найдены достаточные условия разрешимости этих систем — при достаточно узких щелях или при достаточно малых h — определяющих ширину кольцевых секторов Решение задачи синтеза кругового цилиндра, прозрачного по отношению к плоской Я-поляризованной волне реализовано в виде численного алгоритма компьютерной программы, позволяющего решать как обратную задачу (задачу синтеза), так и прямую задачу (задачу дифракции) В численных экспериментах впервые найдены параметры нерассеивающих тел (круговых цилиндров) для заданной частоты в резонансном диапазоне Достигаемое ослабление составляет 3040 дБ

6 Исследована задача о синтезе идеально проводящего кругового цилиндра, прозрачного по отношению к плоской JE'-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра [13] Для создания требуемого касательного электрическое поле на поверхности цилиндра предложено использовать переизлучатель, состоящий из периодической системы цилиндрических или кольцевых резонаторов внутри цилиндра и поперечных кольцевых щелей в границе цилиндра, каждая из которых связывает один резонатор с внешним пространством Задача дифракции на указанной периодической структуре сформулирована как краевая задача для системы уравнений Максвелла Последняя сведена к системе интегральных уравнений относительно неизвестных, выражающих коэффициенты Фурье (по азимутальной переменной) касательного электрического поля на щелях в пределах одного периода структуры Выделены случаи нерезонансного и резонансного рассеяния — в зависимости от близости частоты падающего поля к резонансам отдельных резонаторов, а также щелевым резонансам

Найдено, что в случае нерезонансного рассеяния возмущение рассеянного поля является логарифмически малым по угловому размеру щелей, а в случае резонансного рассеяния сравнимо по порядку величины с полем, рассеянным идеально проводящим цилиндром того же радиуса с непрерывной границей Показано, что вклад компоненты электрического поля, параллельной краям щелей, пренебрежимо мал по сравнению с вкладом компоненты, перпендикулярной краям щелей Показано, что при достаточно малом периоде структуры задача подавления рассеянного поля сводится к подавлению только азимутальных гармоник В приближении узких щелей (/«1) система интегральных уравнений задачи дифракции сведена к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных, определяющих касательное поле на щелях. Получены условия подавления отдельных гармоник рассеянного поля, а также уравнения для определения параметров резонаторов — уравнения задачи синтеза Найдены достаточные условия возможности подавления первых N азимутальных гармоник рассеянного поля доказано, что в случае разделенных резонансов (когда для каждой из подавляемых гармоник резонансным является рассеяние только на одном из резонаторов или щелей на период) при достаточно узких щелях первые N гармоник могут быть подавлены за счет выбора параметров N резонаторов на период Решение задач дифракции и синтеза в приближении узких щелей (/ «1) реализовано в виде численного алгоритма В численных экспериментах найдены параметры нерассеивающих тел (круговых цилиндров) для заданной частоты в резонансном диапазоне Достигаемое ослабление составляло -30 дБ

7 Исследована задача синтеза проводящей сферы, прозрачной по отношению к плоской линейно поляризованной электромагнитной волне [14] Исследование проводится в строгой векторной электромагнитной постановке Для создания требуемого касательного электрического поля на поверхности сферы предложено использовать переизлучатель, состоящий из системы узких кольцевых щелей, связывающих внешнее пространство с отдельным сферическим кольцевым сектором, заключенным в идеально проводящие стенки и заполненным однородным непогаощающим диэлектриком Предполагается, что щели образованы сечениями сферы параллельными плоскостями Задача дифракции плоской линейно поляризованной волны на сфере с переизлучателем формулируется как краевая задача для системы уравнений Максвелла. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений относительно касательного электрического поля на щелях Эта двумерная система, в свою очередь, сведена к независимым одномерным интегральным уравнениям относительно коэффициентов Фурье касательного электрического поля на щелях по азимутальной переменой Выделены случаи нерезонансного и резонансного рассеяния — в зависимости от близости частоты падающего поля к резонансам отдельных кольцевых секторов, а также щелевым резонансам Найдено, что в случае нерезонансного рассеяния возмущение рассеянного поля является логарифмически малым по угловому размеру щелей, а в случае резонансного рассеяния сравнимо по порядку величины с полем, рассеянным идеально проводящей сферой того же радиуса Показано, что в случае узких щелей (/ «1) вклад компоненты электрического поля, параллельной краям щелей, пренебрежимо мал по сравнению с вкладом компоненты, перпендикулярной краям щелей и, как результат, векторная система интегральных уравнений сводится к скалярной В приближении узких щелей система интегральных уравнений задачи дифракции сведена к системе линейных алгебраических уравнений Получены условия, выражающие требование подавления заданного числа низших сферических гармоник рассеянного поля — «условия прозрачности» Решена вспомогательная задача — о подавлении сферических гармоник заданного порядка найдено оптимальное расположение щелей и показано, что система уравнений задачи синтеза относительно параметров резонаторов при достаточно узких щелях всегда имеет решение Для подавления сферических гармоник различных порядков предложено использовать отдельные системы щелей и резонаторов Найдены достаточные условия подавления сферических гармоник первых М порядков доказано, что в случае разделенных резонансов (когда для каждой порядка подавляемых гармоник резонансным является рассеяние только на резонаторах и щелях из определенного множества) при достаточно узких щелях сферические гармоники первых М гармоник могут

быть подавлены за счет выбора параметров (М~1)(М + 2)/2 резонаторов. Решения задач дифракции на сфере с переизлучателем и синтеза нерассеивающей сферы в приближении узких щелей (/«1) реализованы в виде численного алгоритма В численных экспериментах найдены параметры нерассеивающих сфер для заданной частоты в резонансном диапазоне Достигаемое ослабление составляло -20 дБ. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что в области резонансных частот существует принципиальная возможность синтеза ограниченных трехмерных нерассеивающих тел в векторном электромагнитном случае

8 Исследована задача синтеза проводящего кругового цилиндра, прозрачного по отношению к плоской Я-поляризованной волне с дополнительным требованием, чтобы рассеивающие свойства цилиндра не зависели или слабо зависели от азимутального направления падения волны [16, 17] Предложена структура перереизлучателя с приближенно изотропными свойствами Задача дифракции на цилиндре с переизлучателем поставлена как краевая задача для уравнения Гельмгольца Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений относительно касательного электрического поля на щелях. Доказана теорема существования и единственности решения этой системы В приближении узких щелей (/ «1) система интегральных уравнений сведена к системе линейных алгебраических уравнений Получено явное решение этой системы, а вместе с ним — решение задачи дифракции Построена система уравнений задачи синтеза для определения параметров переизлучателя, обеспечивающих подавление первых iV гармоник рассеянного поля. Доказана разрешимость системы уравнений синтеза в действительных числах для случая «экспоненциально узких» щелей Решения задачи дифракции и синтеза в приближении узких щелей реализованы в виде численного алгоритма. В численных экспериментах найдены параметры нерассеивающих тел (круговых цилиндров) для заданной частоты в резонансном диапазоне с коэффициентом ослабления К = -20 дБ

Положения диссертации, выносимые на защиту.

а Предложена и исследована новая постановка задачи синтеза «прозрачного» (нерас-сеивакяцего) тела как задачи пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля без изменения размеров и формы тела и с ограничениями на изменения поверхности тела.

0 Поставлены и исследованы плоские и пространственные краевые задачи дифракции электромагнитных волн на круговом цилиндре и сфере с различными переизлучателями Получены решения задач дифракции на круговом цилиндре и сфере с различными переизлучателями в приближении узких щелей

□ Построены системы уравнений задачи синтеза для определения параметров переизлучателей, обеспечивающих заданное ослабление рассеянного поля в задачах дифракции плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на круговом цилиндре и сфере Доказаны теоремы существования решения задачи синтеза нерассеиваю-щего проводящего кругового цилиндра для различной поляризации падающего поля и нерассеивающей проводящей сферы

а Построены алгоритмы решения задач синтеза нерассеивающего кругового цилиндра и нерассеивающей сферы В численных экспериментах получены примеры проводящих круговых цилиндров и сфер, слабо рассеивающих в окрестности заданной частоты резонансного диапазона

□ Доказана принципиальная возможность уменьшения мощности, рассеиваемой проводящими телами, в произвольное число раз

Список основных публикаций по теме диссертации

1 Чернокожин Е В, Шестопалов Ю В О фредгольмовости интегрального оператора с ядром, имеющим слабую особенность // Веста Моек Ун-та. Вычислительная математика и кибернетика -1982 №1 С 23-28

2 Ильинский А С , Чернокожин Е В О регуляризации интегрального оператора с логарифмическими особенностями ядра // Дифференциальные уравнения - 1988 Т 24 №8 С 1433-1437

3 Чернокожин Е В, Шестопалов Ю В Математические методы исследования рассеяния волн открытыми цилиндрическими структурами// Радиотехника и электроника -1997 Т 42 №11 С 1299-1311

4 Чернокожин Е В, Шестопалов Ю В О разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с некомпактной границей// Дифференциальные уравнения -1998 Т 34 №4 С 546-553

5 Shestopalov Yu. V, Smimov Yu.G, Chemokozhm Е V Logarithmic Integral Equations m Electromagnetics -Utrecht VSP,2000

6 Чернокожин E В Собственные волны щелевых линий передачи с круговой симметрией// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники - 2001 №1 С 3-80

7 Chemokozhm Е V, Shestopalov Yu V Resonant and Nonresonant Diffraction by Open Image-Type Slotted Structures// IEEE Trans Antennas Propagat - 2001 V 49 N 5 P 793800

8 Чернокожин ЕВ Прохождение плоской волны через периодическую структуру из двух параллельных проводящих плоскостей, нагруженных решеткой из прямоугольных резонаторов//Электромагшггаые волны и электронные системы -2002 Т 7 №1 С 4-14

9 Чернокожин Е В Рассеяние плоской волны на проводящем цилиндре с несколькими продольными щелями// Электромагнитные волны и электронные системы - 2002 Т 7 №2 С 4-24

10 Чернокожин Е В Создание эффекта прозрачности идеально проводящего цилиндра при помощи пассивной нагрузки из резонаторов// Электромагнитные волны и электронные системы - 2002 Т 7 №9 С 12-32

11 Чернокожин ЕВ Синтез «прозрачного» тела из идеально проводящего цилиндра и системы резонаторов//Радиотехника и электроника. - 2003 Т 48 №7 С 773-786

12 Чернокожин Е В Синтез «прозрачного» цилиндра из идеально проводящего// Электромагнитные волны и электронные системы -2004 Т 9 №1 С 4-20

13 Чернокожин Е В Минимизация поля, рассеянного идеально проводящим круговым цилиндром, при помощи периодической системы цилиндрических или кольцевых резонаторов//Радиотехника и электроника -2004 Т 49 №10 С 1157-1175

14 Чернокожин Е.В Ослабление поля, рассеянного идеально проводящей сферой, при помощи системы кольцевых щелей и сферических кольцевых резонаторов// Радиотехника и электроника - 2005 Т 50 №2 С 171-179

15 Чернокожин Е В Решение задачи синтеза нерассеивающей цилиндрической структуры// Прикладная математика и информатика №20 - М Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2005 С 16-39

16 Чернокожин Е В Синтез изотропного переизлучателя для подавления рассеяния ТЕ-поляризованной волны идеально проводящим цилиндром// Радиотехника и электроника -2006 Т 51 №1 С 37-46

17 Ильинский А С, Чернокожин Е В Синтез нерассеивающего цилиндра в задаче рассеяния плоской электромагнитной волны /Тихонов и современная математика Тезисы докладов секции «Обратные и некорректно поставленные задачи» Международная конференция Москва, 19-25 июля 2006 М Изд отдел ф-та ВМиК МГУ им. М В Ломоносова, 2006 С 74-75

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати 30 08 2007 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 2,0 Тираж 100 экз Заказ 405

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им МВ Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к Тел 939-3890,939-3891 Тел/Факс 939-3891

Введение.

Глава 1. Постановка задачи синтеза нерассеивающего тела.

1.1. Основные определения.

1.2. Задача синтеза прозрачного тела: различные постановки

1.3. Формальная постановка задачи синтеза прозрачного тела.

1.3.1. Задача дифракции на теле сравнения.

1.3.2. Задача дифракции на нагруженном теле.

1.3.3. Задача синтеза нерассеивающего тела.

1.3.4. Порядок переизлучателя.

1.4. Отличия постановки задачи синтеза прозрачного тела в двумерном случае.

1.4.1. Задача дифракции на теле сравнения.

1.4.2. Задача дифракции на нагруженном теле.

1.4.3. Задача синтеза нерассеивающего тела.

Глава 2. Синтез кругового цилиндра, не рассеивающего поле плоской Я-поляризованной волны.

2.1. Влияние продольных щелей в идеально проводящем цилиндрическом экране на рассеянное поле и подавление отдельных гармоник рассеянного поля.

2.1.1. Редукция краевой задачи к интегральному уравнению.

2.1.2. Решение интегрального уравнения задачи.

2.1.3. Решение в случае нерезонансного рассеяния.

2.1.4. Решение в случае резонансного рассеяния. Подавление одной гармоники рассеянного поля.

2.2. Дифракция плоской Я-поляризованной волны на проводящем круговом цилиндре с цилиндрическим переизлучателем общего вида.

2.2.1. Постановка краевой задачи.

2.2.2. Редукция краевой задачи к интегральному уравнению.

2.2.3. Представление решения интегрального уравнения в случае узких щелей.

2.2.4. Вычисление рассеянного поля.

2.3. Вычисление электрического поля на щелях для решения задачи синтеза прозрачного тела.

2.3.1. Магнитное поле на щелях в задаче синтеза прозрачного тела.

2.4. Создание требуемого поля на щелях при помощи простейших переизлучателей.

2.4.1. Невозможность пассивного подавления рассеянного поля при помощи независимых переизлучателей первого порядка.

2.4.2. Принципиальная возможность пассивного подавления рассеянного поля при помощи независимых переизлучателей второго порядка.

2.5. Примеры двухпараметрических переизлучателей.

2.5.1. Переизлучатель на основе двух прямоугольных цилиндрических резонаторов.

2.5.2. Резонатор на основе цилиндрических кольцевых секторов.

2.6. Решение задачи синтеза нерассеивающего цилиндра с использованием переизлучателей на основе кольцевых секторов.

2.6.1. Постановка краевой задачи.

2.6.2. Редукция краевой задачи к системе интегральных уравнений.

2.6.3. Приближенное сведение интегральных уравнений к алгебраическим.

2.6.4. Решение задачи дифракции.

2.6.5. Решение задачи синтеза.

2.6.6. Описание численного алгоритма.

2.6.7. Численные результаты.

Глава 3. Синтез кругового цилиндра, не рассеивающего поле плоской £-поляризованной волны.

3.1. Постановка задач дифракции и синтеза.

3.2. Представления полей вне цилиндра.

3.3. Представление полей внутри цилиндрических резонаторов.

3.4. Представление полей внутри кольцевых резонаторов.

3.5. Редукция краевой задачи к системе интегральных уравнений.

3.6. Исследование системы интегральных уравнений.

3.7. Решение задачи дифракции.

3.7.1. Введение ограничения на период структуры.

3.7.2. Решение задачи дифракции в случае нерезонансного рассеяния.

3.7.3. Ограничение числа резонансов.

3.7.4. Решение задачи дифракции в случае резонансного рассеяния.

3.8. Решение задачи синтеза.

3.9. Оценки ширины полосы прозрачности.

3.10. Описание численного алгоритма.

3.11. Численные результаты.

Глава 4. Синтез нерассеивающей сферы.

4.1. Постановка задачи синтеза нерассеивающей сферы.

4.2. Постановка задачи дифракции.

4.3. Представления потенциалов полей.

4.3.1. Потенциалы возмущений вне сферы.

4.3.2. Потенциалы поля, рассеянного идеально проводящей сферой.

4.3.3. Потенциалы падающего поля.

4.3.4. Потенциалы полей внутри резонаторов.

4.3.5. Вычисление гармонической составляющей потенциалов.

4.3.6. Вывод интегральных представлений потенциалов полей внутри резонаторов.

4.4. Редукция задачи дифракции к системе интегро-дифференциальных уравнений.

4.5. Исследование системы интегральных уравнений.

4.5.1. Сведение системы двумерных уравнений к цепочке систем одномерных уравнений.

4.5.2. Особенности ядер операторов.

4.5.3. Приближение узкого сектора.

4.5.4. Свойства диагональных операторов.

4.5.5. Свойства недиагональных операторов.

4.5.6. Теоремы существования и единственности.

4.6. Решение систем интегральных уравнений в приближении узких щелей.

4.6.1. Решение в случае нерезонансного рассеяния.

4.6.2. Решение в случае резонансного рассеяния.

4.7. Решение задачи дифракции.

4.8. Мощность, рассеиваемая сферой со щелями.

4.9. Условия прозрачности и задача синтеза.

4.10. Решение вспомогательной задачи: подавление гармоник заданного порядка m

4.11. Решение задачи синтеза нерассеивающей сферы.

4.11.1. Случай экспоненциально узких щелей.

4.12. Описание численного алгоритма.

4.13. Численные результаты.

Глава 5. Синтез нерассеивающего кругового цилиндра, изотропного по отношению к направлению прихода падающей волны.

5.1. Постановка краевой задачи.

5.2. Редукция краевой задачи к системе интегральных уравнений.

5.3. Редукция интегральных уравнений к линейным алгебраическим.

5.4. Решение задачи дифракции.

5.5. Уравнения задачи синтеза.

5.6. Теорема существования.

5.7. Приближение тонких слоев.

5.8. Описание численного алгоритма.

5.9. Численные результаты.

Проблема снижения радиолокационной заметности представляет как теоретический, так и практический интерес. Основные достижения в этой области связаны прежде всего с использованием радиопоглощающих материалов и покрытий, а также с приданием радиолокационным объектам специальной малоотражающей формы [2, 34, 49, 60, 104, 111, 117]. Эти и некоторые другие меры в комплексе позволяют уменьшить эффективную площадь обратного рассеяния радиолокационного объекта на несколько порядков. В то же время рассеяние в других направлениях — особенно прямое рассеяние — при этом остается значительным, поскольку диаграмма рассеяния всякого достаточно большого непрозрачного для радиоволн тела имеет интенсивный лепесток в направлении распространения электромагнитной волны [16, 102]. В частности, «черные» тела рассеивают вперед столь же интенсивно, как и отражающие тела [22]. Это обстоятельство делает объекты, малозаметность которых основана на минимизации обратного рассеяния (как в современной технологии «Стеле» [104, 117]), легко обнаруживаемыми путем многопозиционной радиолокации, когда — в отличие от традиционно используемой однопозиционной радиолокации — наблюдение осуществляется при помощи совокупности разнесенных в пространстве приемных и передающих станций [5, 30, 75, 137]. Частным случаем многопозиционной радиолокации является двухпозиционная радиолокация «на просвет», когда имеется одна излучающая и одна приемная станция (рис. 0.1).

Цель

Цель

Рис. 0.1. Расположение элементов одно- и двухпозиционной радиолокационной системы: (а) однопозицнонная PJIC; (б) двухпозиционная PJIC (по [16]).

Использование многопозиционной радиолокации делает малоэффективными как радиопоглощающие покрытия, так и другие средства снижения радиолокационной заметности, основанные на минимизации обратного рассеяния. Один из возможных способов сделать объект невидимым для многопозиционной радиолокации — подавить рассеяние во всех направлениях, т. е. минимизировать полный поперечник рассеяния ат, определяющий полную мощность поля, рассеиваемого телом во всех направлениях, отнесенную к плотности потока мощности первичного поля в окрестности объекта.

Тело, характеризуемое нулевым поперечником рассеяния, естественно назвать нерассеивающим или «прозрачным». При этом вовсе не предполагается, что прозрачное тело должно целиком состоять из радиопрозрачных материалов. Для нерассеивающих тел правомерно также использование термина «невидимое тело». Необходимо подчеркнуть, что прозрачные (нерассеивающие) тела не тождественны черным (неотражающим) телам.

Естественно возникает вопрос о принципиальной возможности наделения произвольно заданного тела свойством «прозрачности», т.е. о возможности приблизить свойства заданного тела при облучении его тем или иным видом электромагнитного поля к свойствам прозрачного тела, например, изменив параметры окружающей среды в окрестности тела или заключив тело в специальную оболочку. При этом требуется добиться уменьшения полного поперечника рассеяния сгт тела в заданное число раз.

Близость к прозрачному телу удобно оценивать отношением аТ1 а\, где <т° — полный поперечник рассеяния некоторого «тела сравнения». Поскольку интерес представляет ослабление рассеянного поля не в разы, а на порядки, степень прозрачности целесообразно выражать (в децибелах) коэффициентом ослабления рассеянного поля К, определяемым как

К = 101ё(<тг/<т°) [дБ].

В зависимости от средств достижения прозрачности и ограничений на допустимые изменения исходного тела можно дать различные математические формулировки этой задачи, которую в дальнейшем будем именовать задачей синтеза прозрачного тела.

Даже теоретическая возможность существования нерассеивающих тел не является очевидной (за исключением тривиального случая, когда тело состоит из материала, диэлектрическая и магнитная проницаемости которого не отличаются от свойств окружающей среды). Тем не менее, можно привести простой пример тела, свойства которого приближаются к свойствам прозрачного. В 1956 г. А.\¥. Аёеу [79] описал наблюдаемое в эксперименте сильное ослабление тени, создаваемой металлическим цилиндром при облучении его низкочастотным электромагнитным полем, после заключения цилиндра в соответствующую диэлектрическую оболочку. В дальнейшем это явление было теоретически проанализировано Ж.-К. Сюро (J.-C. Sureau) [132], который получил условия обнуления отдельных гармоник поля, рассеянного круговым диэлектрическим цилиндром с коаксиально внедренным в него цилиндрическим металлическим сердечником (рис. 0.2). Эти условия — своего рода условия резонанса — зависят от диэлектрической проницаемости цилиндра, а также диаметров цилиндра и сердечника. Только одна из гармоник может быть обнулена, поскольку условия подавления отдельных гармоник противоречат друг другу. При достаточно низких частотах, когда радиус цилиндра мал по сравнению с длиной падающей плоской волны, полный поперечник рассеяния стт цилиндра определяется в основном нулевой гармоникой, которая преобладает над остальными. Удовлетворив только условию подавления нулевой гармоники, можно значительно ослабить рассеянное поле, т.е. сделать цилиндр почти не рассеивающим («невидимым» по терминологии Ж.-К. Сюро). При больших частотах, когда высшие гармоники становятся существенными, подавить рассеянное поле таким простым способом уже не удается.

Рис. 0.2 Структура «невидимого» цилиндра по J.-C. Sureau [132].

Данный пример является иллюстрацией простейшего способа достижения невидимости (в различных смыслах) путем заключения тела в специальную оболочку. Чаще всего оболочки применяются для уменьшения отражения электромагнитных волн, называясь при этом радиопоглощающими покрытиями. Отметим, что действие радиопоглощающих покрытий основано на хорошо известных физических принципах: Z интерференции волн и преобразовании электромагнитной энергии в тепловую [1, 28, 40, 134]. Перспективным для создания покрытий, не отражающих радиоволны, является также использование киральных и биизотропных сред [54, 56, 110, 121]. Эффективность применения радиопоглощающих покрытий характеризуется коэффициентом отражения плоской волны, нормально падающей на бесконечную идеально проводящую плоскость, на которую нанесено покрытие.

Главной целью использования радиопоглощающих покрытий является уменьшение обратного рассеяния, в то время как в задаче синтеза прозрачного тела требуется достичь ослабления рассеяния во всех направлениях. Отсюда следует принципиальное различие свойств радиопоглощающих покрытий и оболочек для обеспечения прозрачности. Так, увеличение поглощения является положительным фактором при минимизации обратного рассеяния, поскольку приближает свойства рассеивателя к свойствам черного тела. Напротив, поскольку нерассеивающие тела обязательно являются непоглощающими, оболочки для обеспечения прозрачности обычно предполагают состоящими из непоглощающих материалов.

Совершенно очевидно, что задача синтеза прозрачного тела принципиально сложнее, чем задача о подавлении обратного рассеяния, и попытки ее решения могут натолкнуться на необходимость использования материалов с необычными, не встречающимися в природе, свойствами. В последнее время были достигнуты значительные успехи в создании композитных материалов с отрицательными или малыми положительными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей — так называемых метаматериалов (A.B. Вашковский и др., J.B. Pendry и др.) [9, 116, 122, 124, 125, 131]. В частности, стало возможным получение материалов — «левых сред» — с отрицательным коэффициентом преломления [116, 124], предсказанных A.B. Веселаго [11, 12], в которых наблюдаются такие необычные явления, как обратное преломление на границе раздела среда-вакуум, распространение волн с отрицательной групповой скоростью, когда направление потока энергии противоположно волновому вектору, и другие эффекты. Ожидается, что в ближайшее время можно будет получать метаматериалы с произвольно задаваемыми значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей [125]. В качестве одного из потенциальных применений новых метаматериалов называют возможность достижения невидимости в различных диапазонах волн, включая оптический диапазон [125]. Следует, однако, отметить, что свойства синтезированных метаматериалов носят ярко выраженный частотнозависимый («резонансный») характер.

Простейшие способы использования метаматериалов для достижения невидимости рассматривались в работах А. Алу и Н. Энгеты (А. Alu, N. Engheta) [80, 81]. В частности, в [81] исследована возможность ослабления рассеяние электромагнитных волн диэлектрической сферой путем заключения ее в однородную сферическую оболочку из метаматериала. Получены формулы толщины слоя, при которой происходит подавление отдельных сферических гармоник рассеянного поля. В случае, когда волновые размеры сферического рассеивателя малы, в рассеянном поле доминирует ГМ-гармоника первого порядка, соответствующая излучению электрического диполя. Подавив только эту гармонику, удается значительно ослабить рассеяние, сделав сферу «почти невидимой» [81]. Подавление большего числа гармоник при помощи однородного сферического слоя невозможно из-за несовместности условий подавления различных гармоник.

Задачи рассеяния волн принято делить на три категории, связанные с волновыми размерами рассеивающего объекта: низкочастотную, резонансную и высокочастотную [47]. Результаты А. Алу и Н. Энгеты [81], так же как и результат Ж.-К. Сюро [132], дают примеры низкочастотной невидимости, имеющей место, когда характерный размер объекта — диаметр сферы или цилиндра — много меньше длины волны.

Совершенно ясно, что в резонансном и высокочастотном диапазонах распределение параметров среды, при которых электромагнитные волны не испытывают заметного рассеяния на заданном теле, должно быть достаточно сложным. Примеры таких распределений в приближении геометрической оптики были опубликованы У. Леонхардтом (U. Leonhardt) в 2006 году [112, 113].

У. Леонхардт рассматривает распространение света в плоском двумерном (цилиндрическом) случае. Для обеспечения невидимости необходимо найти такое распределение показателя преломления п среды, при котором лучи огибали бы заданную область пространства и возвращались бы на траекторию, асимптотически приближающуюся к невозмущенной траектории. У. Леонхардт вводит понятие оптического конформного отображения. Для этого предполагается, что показатель преломления n(z) представляет собой модуль некоторой аналитической функции g(z). Тогда интеграл от g(z) определяет конформное отображение w(z) физической плоскости z -x + iy на некоторую риманову поверхность (рис. 0.3). Показатель преломления п на этой поверхности тождественно равен единице.

При помощи функции

0.1) физическая плоскость отображается на двулистную риманову поверхность, верхний лист которой соответствует внешности круга \ г \< а, а нижний лист — внутренности этого круга. Траекториям лучей на физической плоскости соответствует прямые на римановой поверхности. Прямые, не пересекающие линию разреза, проведенную через точки ветвления ±2а, соответствуют лучам, огибающим круг \г\<а на физической плоскости. Прямые, пересекающие линию разреза и переходящие на нижний лист римановой поверхности, соответствуют лучам, попадающим внутрь круга \г\<а. Чтобы вывести такие лучи из круга на первоначальную траекторию, на нижнем листе римановой поверхности задается распределение показателя преломления вида где м>} — одна из точек ветвления, а г0 — заданное число. В этом случае траектории лучей на нижнем листе римановой поверхности, берущие начало на разрезе, описав эллипс, оказываются в исходной точке, но на другом берегу разреза, после чего переходят на верхний лист, где вновь становятся прямыми — продолжениями траектории прихода (рис. 0.4). На физической плоскости этому соответствует выход луча из круга \г\<а и возвращение на траекторию, асимптотически приближающуюся к траектории, не возмущенной препятствием. X

Рис. 0.3. Оптическое конформное отображение физической плоскости на риманову поверхность (по [113]). Цифрами 1-3 обозначены траектории соответствующих лучей. Волнистая линия соответствует разрезу.

Рис. 0.4. Траектории лучей на верхнем (прямые) и нижнем (эллипсы) листах римановой поверхности (по [113]). .

Множество эллиптических траекторий ограничивается кругом \м>-м'1 |< г0.

Следовательно, область на нижнем листе римановой поверхности вне этого круга представляет собой область, свободную от лучей. На физической плоскости этой области соответствует некоторая область внутри круга \г\<а, в которую свет не проникает («дыра в пространстве» [ИЗ]). Любое тело, помещенное в эту область, является невидимым.

Таким образом, устройство «конформной невидимости» по У. Леонхардту должно состоять из двух слоев: внешнего слоя, занимающего все пространство вне круга \г\< а, с показателем преломления п(г) = |1 -а2 , и внутреннего круга, в котором показатель преломления определяется функциями (0.1) и (0.2). На границе слоев происходит преломление лучей по закону Снеллиуса. Некоторую проблему представляет возможность отражения лучей на границах слоев. По утверждению У. Леонхардта, отражение может быть существенно уменьшено путем замены границы раздела слоев плавным переходом или при помощи неотражающих покрытий.

Результат У. Леонхардта показывает теоретическую возможность высокочастотной невидимости, когда справедливо приближение геометрической оптики. Практическая реализация этого подхода в его нынешнем виде должна натолкнуться на серьезные трудности. Во-первых, требуется создать определенное распределение коэффициента преломления практически во всем пространстве или, по крайней мере, в достаточно большой области пространства. Во-вторых, требуемое распределение представляет собой гладкую функцию, изменяющуюся в широких пределах от нуля до больших положительных значений. Определенную трудность представляет также обобщение результатов на трехмерный случай, поскольку, согласно теореме Лиувилля [120], класс трехмерных конформных отображений очень узок и сводится к композициям конечного числа преобразований четырех видов: переноса, подобия, ортогональных преобразований и инверсий.

Несколько иной подход к построению «оболочек невидимости» был предложен Дж. Б. Пендри и др. (J.B. Pendry, D. Schurig, D.R. Smith) [125] также 2006 г. Он основан на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований пространственных координат. Для построения оболочки, скрывающей тело, необходимо отобразить заданную область пространства на указанную оболочку. Например, для построения круговой цилиндрической оболочки с внутренним и внешним радиусами а и Ь, соответственно, производится отображение цилиндрической области 0 < г < Ъ на кольцевую область а<г'<Ъ [125]. При таких преобразованиях форма уравнений Максвелла остается неизменной, а меняются лишь тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей s и |i [125], которые становятся, вообще говоря, пространственно неоднородными и анизотропными. Таким образом, задача сводится к построению среды с заданными распределениями диэлектрической и магнитной проницаемостей. Проблема заключается лишь в том, что указанные распределения могут находиться за пределами физической реализуемости и в любом случае требуют использования метаматериалов, которые, как правило, частотнозависимы.

В октябре 2006 г. Дж. Б. Пендри, Д.Р. Смит и др. [130] опубликовали результаты о проведении двумерного эксперимента, в котором медный цилиндр был скрыт при помощи цилиндрической оболочки из метаматериалов. Фактически при помощи нескольких слоев метаматериала была сымитирована анизотропная среда с материальными параметрами = I. Л2 гга\* Рг = - , Ив=1- (°-3)

Ь-а) К г )

В эксперименте удалось получить требуемую картину обтекания цилиндра полем, однако не удалось исключить отражение от оболочки, поскольку оболочка с материальными параметрами (0.3) является неотражающей только при условии Ь» а.

Кроме того, построенной оболочке было присуще довольно сильное поглощение.

Поперечник рассеяния не измерялся, поэтому количественное выражение невидимости, достигаемое в эксперименте, остается неизвестным. Необходимо также подчеркнуть, что требуемая картина обтекания цилиндра полем наблюдается на одной частоте, и при изменении частоты быстро разрушается.

Распределение показателя преломления, требуемое для достижения невидимости, теоретически может быть достигнуто путем изменения свойств среды в окрестности скрываемого объекта — например, путем создания вокруг объекта плазменной оболочки (плазменного поля). Трудности на пути практической реализации этого подхода очевидны. Кроме того, теоретические вопросы влияния плазмы на рассеяние электромагнитных волн достаточно сложны. Известно, что при определенных условиях плазма проявляет свойства непоглощающего диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, меньшей единицы [133]. Имеется ряд работ, в которых исследуется рассеяние электромагнитных волн на простейших телах — круговых цилиндрах и сферах, окруженных плазменной оболочкой [92, 127, 133, 138, 139]. Отмечено, что наличие плазменной оболочки может приводить как к увеличению, так и к уменьшению поперечника обратного рассеяния [127, 133], Характерна также сильная зависимость рассеивающих свойств плазмы от частоты падающего поля [138]. При определенных условиях плазма проявляет свойства поглощающей среды [87], поэтому ее можно использовать для ослабления отражения волн. Имеются сведения об успешном применении плазменных образований для уменьшения поперечника обратного рассеяния летательных аппаратов [83].

Очень заманчивым представляется способ достижения невидимости путем создания на поверхности тела определенного поверхностного импеданса. Задача нахождения требуемого для этого импеданса является частным случаем обратной задачи теории рассеяния: по заданной диаграмме направленности определить поверхностный импеданс рассеивателя [31]. В двумерном случае эта задача носит название задачи синтеза импедансного цилиндра и формулируется следующим образом [39].

Пусть на поверхности цилиндра, ограниченного дифференцируемой поверхностью S с контуром нормального сечения р(ф), выполняются импедансные граничные условия n, Е] = -Z[n, [п, нЦ.

Требуется найти распределение поверхностного импеданса Z, обеспечивающее заданную диаграмму рассеяния F{<j)) при падении на него Я-поляризованной волны.

Решение этой задачи получено Б.М. Петровым, Ю.В. Юхановым и др. в работах [38, 39, 61]. В монографии Ю.А. Еремина и А.Г. Свешникова [21] решена задача синтеза поверхностного импеданса для тел вращения в случае, когда плоская волна падает в направлении оси симметрии тела. Характерно, что авторы [21, 38, 39, 61] ограничиваются рассмотрением только пассивного ( Яе 2 > 0) или реактивного (11е2 = 0) импеданса, причем условие Яе2 > О трактуется как условие «физической реализуемости» [21]. Дело в том, что наличие положительной действительной части у импеданса говорит о поглощении энергии поля на границе, а наличие у него отрицательной действительной части (активный импеданс) говорит о выделении энергии на границе. Если первое достаточно легко физически реализуемо (например, при помощи поглощающей среды), то реализация второго значительно сложней и требует использования активных элементов и дополнительных источников энергии [136] или «активных» покрытий [45]. По этой причине активный импеданс в задачах синтеза импедансных поверхностей обычно рассматривается как неприемлемый.

Синтез пассивного поверхностного импеданса сводится к задаче минимизации где Р^) — реализованная диаграмма рассеяния, Рй — заданная диаграмма рассеяния, а || | — некоторая норма.

Не всякая диаграмма рассеяния является реализуемой при помощи пассивного поверхностного импеданса, поскольку нуль функционала ¥(2) может находиться за пределами множества 11е 2 > 0. В частности, нереализуемой является тождественно нулевая диаграмма рассеяния, соответствующая нерассеивающему телу. Действительно, как следует из формулы импеданса для нерассеивающего цилиндра с образующей р{ср) где <р0 — направление падения волны, а W0 — импеданс свободного пространства, поверхностный импеданс в этом случае принимает действительные положительные значения на освещенной стороне и действительные отрицательные — на теневой стороне цилиндра. Следовательно, при помощи реактивного или пассивного поверхностного импеданса может быть реализовано в лучшем случае черное тело [39].

Как правило, непрерывное распределение поверхностного импеданса можно заменить конечным числом импедансных нагрузок. Широкие возможности применения импедансных и, в частности, реактивных, нагрузок для управления характером рассеяния электромагнитных волн известно достаточно давно [128, 136]. На эту тему было опубликовано большое количество теоретических работ, в которых применялись различные методы и ставились различные цели [82, 88, 89, 95, 96, 99-101, 114, 115, 118,

XP(Z) = ||F(Z)-F0||^min, Re 2 > 0,

39]:

0-4)

128, 136]. В частности, решалась задача ослабления обратного рассеяния [88, 89, 95, 114, 115]. При этом использовались как распределенные [88, 89, 95, 114], так и сосредоточенные нагрузки [99, 100, 115], а в качестве рассеивателей рассматривались как проводящие тела [88, 89, 114], так и «проволочные рассеиватели» [99, 115]. Подробный обзор различных реализаций и применений импедансных нагрузок и структур содержится в работе [37].

Коротко остановимся на принципах действия и способах описания импедансных нагрузок. Пусть импедансная нагрузка идеально проводящего тела связана со свободным пространством через отверстие А в его идеально проводящей поверхности S, охватывающей область V В качестве импедансной нагрузки может выступать любая полость DcF, примыкающая к границе S изнутри. Импедансной нагрузкой может также служить любая цепь из сосредоточенных элементов или линия передачи. Тело с нагрузкой принято называть нагруженным, а такое же тело без нагрузки — ненагруженным. Идея метода заключается в том, что, выбирая соответствующим образом форму и расположение отверстия связи А на поверхности S, а также характеристики самой нагрузки, можно изменять мощность, рассеиваемую телом в том или ином направлении.

Для определения поля, рассеянного нагруженным телом при воздействии на него некоторого первичного поля, необходимо решить задачу дифракции на идеально проводящем теле с отверстием в границе и полостью внутри, т.е. электродинамическую задачу о связи двух объемов — внешности области V и некоторой внутренней области D через отверстие А. Задачи такого рода в настоящее время достаточно хорошо изучены. Их исследованию и решению посвящено большое количество работ (см., например, [19, 24, 27, 44, 48, 57, 76, 91, 97, 103, 105, 119, 123, 135]). Вопросы разрешимости такого рода задач наиболее полно исследованы в монографии A.C. Ильинского и Ю.Г. Смирнова [25], посвященной дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах произвольной формы. К сожалению, в каждом конкретном случае нахождение решения задачи дифракции на теле с полостью — за редким исключением — требует применения численных методов. Это обстоятельство сильно затрудняет возможность оптимизации поля, рассеянного нагруженным телом, для чего желательно иметь если не явное решение задачи дифракции, то хотя бы ее приближенное решение. В связи с этим чаще всего применяется упрощенный подход [114, 115], когда нагрузке приписывается некоторое значение полного сопротивления (импеданса) или полной проводимости (адмиттанса).

Поле, рассеянное нагруженным телом при воздействии на него первичного поля, представляют в виде суперпозиции поля (ЕМ,НМ), рассеянного ненагруженным телом, и поля (Е(Г),Н(Г)), излучаемого отверстием связи. Из определенных физических соображений полное электрическое поле в отверстии А ищут в виде где — закон изменения поля в отверстии, е — направление вектора Е в отверстии, а С — неизвестная константа.

В простейших случаях поля (ЕМ,Н(5)) и (Е(,'),Н('')) известны или могут быть найдены. Приравнивая полные проводимости отверстия связи снаружи и изнутри, получают уравнение для определения амплитудной постоянной С. Таким способом были рассчитаны поперечники обратного рассеяния нагруженного кругового цилиндра [88, 89], нагруженной сферы [114] и нагруженной прямоугольной пластины [95], что позволило решить на «радиофизическом» уровне строгости задачу об ослаблении обратного рассеяния простейшими идеально проводящими телами при помощи импедансной нагрузки.

Остановимся на результатах по ослаблению обратного рассеяния нагруженной сферой [114]. В качестве отверстия связи рассматривалась кольцевая щель, образованная сечениями параллельными плоскостями, перпендикулярными направлению падения плоской волны, а в качестве нагрузки — радиальная полость переменной глубины (рис. 0.5). Для различных значений угла 3, определяющего расположение щели, и для малых значений параметра д, задающего ширину щели, были рассчитаны комплексные значения импеданса нагрузки, при которых обратное рассеяние равно нулю. В частности, для экваториально расположенной щели оказалось, что при некоторых значениях частотного параметра кЯ , где к — волновое число, а Я — радиус сферы, равенство нулю обратного рассеяния может быть достигнуто только при активном сопротивлении нагрузки (т.е. при «отрицательном сопротивлении»). Требование, чтобы сопротивление нагрузки было пассивным, приводит к тому, что рассматриваемая нагрузка при этих значениях параметра кЯ обеспечивает не полное подавление обратного рассеяния, а только его ослабление.

Что касается проволочных рассеивателей, то, в частности, в работе [115] исследовалась задача ослабления обратного рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально проводящем круговом проволочном витке при помощи включения в него двух сосредоточенных нагрузок. Предполагается, что плоская линейно поляризованная волна падает перпендикулярно оси проводника. Характерно, что, как и в примере с нагруженной сферой, в некоторых частотных интервалах равенство нулю обратного рассеяния может быть достигнуто только при активном сопротивлении нагрузки. г

Рис. 0.5. Сфера, нагруженная на щель (по [114]).

Наряду с отдельными импедансными нагрузками можно использовать любое количество сосредоточенных или распределенных нагрузок, как независимых, так и соединенных в цепь. В этом случае импедансную нагрузку можно рассматривать как некоторый 2Лг-полюсник, т.е. цепь с N входами и N выходами, где N — количество используемых нагрузок [46]. Идея такого чисто радиофизического подхода была высказана JI. Вайнбергом (L.Weinberg) [136] и Р. Харрингтоном (R. Harrington) [96]. Дальнейшая теория была развита в работах [100, 101, 118], в которых используется теория модального разложения рассеянного поля [93, 98].

Суть этого подхода состоит в следующем. Нагрузку представляют в виде 2N-полюсника с матрицей импедансов [ZL ]. Тело (рассеиватель), облучаемое некоторым электромагнитным полем (Е!,Нг) заменяют эквивалентной цепью — 2А^-полюсником с матрицей импедансов [Zs ]. Нагруженное тело (нагруженный рассеиватель) представляет собой два указанных 2тУ-полюсника, соединенных вместе (рис. 0.6).

НАГРУЗКА ос г

-еЧ ос ос Л

РАССЕИВАТЕЛЬ

Рис. 0.6 Схема нагруженного рассеивателя (по [118]).

Тогда нагруженный рассеиватель описывается уравнением г = -[г3 + г1]1, (0.5) где V — вектор-столбец напряжений ¥п, возникающих в цепях связи рассеивателя и нагрузки под воздействием внешнего поля; I — вектор-столбец токов /и, возникающих в цепях связи под воздействием вектора напряжений V .

Рассеянное электрическое поле Е " ищут в виде суперпозиции

Е^Ео-Ё^+г^Г, где Е0 — рассеянное поле при разомкнутых цепях связи, Е — вектор-строка, составленная из векторов Еп, представляющих собой рассеянное поле в случае, когда в пй цепи течет единичный ток, а все остальные цепи разомкнуты.

Идея метода заключается в том, что, выбирая определенным образом матрицу импедансов [2, ], можно получить желаемое рассеянное поле Е5. Чтобы определить, в какой степени это возможно, переходят к базису токов, в котором матрица - + 2Ь~\ является диагональной. В результате, как показано в [118], рассеянное поле можно представить в виде где Е0 — рассеянное поле в случае, когда все цепи связи разомкнуты, Яп и 1п — соответственно собственные значения и собственные векторы, получаемые при решении задачи на собственные значения [Х}1 = ЦК\1 с матрицами [i?] = — [Z + Z*] и [X] = —[Z~Z*], а Е(/й) — поле, излученное

2 2/ нагруженным рассеивателем при токе 1п. Таким образом, возможности управления рассеянным полем при помощи выбора матрицы импедансов нагрузки [Z, ] определяются свойством «полноты» системы векторов Е(7и ).

В общем случае вопрос о полноте этой системы остается открытым. Содержательные результаты были опубликованы только для матриц импедансов [ZL] частного вида, а именно — диагональных матриц [100, 101, 118]. Так, в [100] рассматривается задача получения заданной диаграммы рассеяния по амплитуде (без учета фазы). Для этого используются реактивные нагрузки с диагональной матрицей [ZL]. Требуется приблизить заданную действительную диаграмму направленности F линейными комбинациями полей векторов Е(7и ) с действительными коэффициентами ап на множестве из М точек сферы.

Задача сводится к минимизации функционала м N

-Е рт т=1 И=1 на множестве действительных чисел ап, где Рт — амплитуда вектора Г, а £ит — значение вектора Е(/„) в т-й точке.

Такой же подход использовался в работе [101] для оптимизации обратного рассеяния простейших проволочных объектов, причем решалась задача не минимизации, а максимизации этой величины. Так же как ив [100], рассматривались только реактивные нагрузки.

Говоря о рассматриваемой модели рассеивателя как многополюсника, следует иметь в виду, что данный подход представляет собой абстрактную схему, требующую физического наполнения в каждом конкретном случае. Наиболее очевидную физическую интерпретацию эта схема имеет в случае проволочных рассеивателей, состоящих из тонких проводников с внедренными в них импедансными нагрузками, линейными размерами которых можно пренебречь. Эта схема также может быть применена в случае проводящих тел с малыми отверстиями или узкими щелями в границе, когда поле на отверстиях связи имеет простейшую структуру. Однако и в этом случае наполнение данной схемы физическими параметрами не является простым, так как необходимо в том или ином приближении решать задачу рассеяния на ненагруженном теле, рассеяния на отверстиях связи, а также проникновения электромагнитного поля внутрь нагруженного тела. Этим вопросам посвящены, в частности, работы [97, 105, 119, 123, 135]).

Понятие нерассеивающего тела близко к используемому в теории антенн понятию минимальнорассеивающей антенны [50, 94, 106, 126] определяемой как согласованная антенна без потерь, которая становится «невидимой для внешнего поля» [126] (т.е. нерассеивающей) будучи подключенной к подходящей реактивной нагрузке. В работе [126] построены примеры минимальнорассеивающих антенн, однако все они соответствуют случаям «низкочастотной невидимости».

Рассеивающие свойства тела определяются не только характером его поверхности, но и его формой. Как известно, одним из средств снижения радиолокационной заметности, реализованным в технологии «Стеле», является оптимизация формы объекта с целью максимального ослабления обратного рассеяния. Для этого была создана программа численной минимизации поперечника обратного рассеяния на множестве многогранников при наличии дополнительных ограничений [2, 104, 117]. Математической основой для решения этой задачи явился метод краевых волн П.Я. Уфимцева [55]. Принципиальный недостаток данного способа ослабления обратного рассеяния заключается в том, что аэродинамика оптимизированных объектов в значительной степени оказывается в подчиненном положении по отношению к обеспечению невидимости. Что касается возможности достижения прозрачности, то добиться ее путем изменения формы тела нельзя без изменения свойств поверхности тела. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть формулу поверхностного импеданса нерассеивающего цилиндра (0.4). Данный вывод не касается поверхностей с теми или иными «патологическими» свойствами, когда понятие поверхностного импеданса не применимо.

В работах [107-109] рассмотрены возможности минимизации обратного и прямого рассеяния цилиндрических диэлектрических структур путем выбора их поперечного сечения, а также нанесения на них периодического покрытия из металлических полос для создания так называемых искусственных «жестких поверхностей» с целью, например, уменьшения влияния антенных опор на диаграмму направленности антенны. Как и в задаче синтеза прозрачного тела, при этом решается оптимизационная задача, но в отличие от задачи синтеза прозрачного тела, когда ставится задача заданного ослабления рассеянного поля, в последнем случае решается задача максимального ослабления рассеяния путем варьирования заданного набора параметров. Получаемые при этом результаты можно отнести к случаю «низкочастотной» невидимости.

Коротко остановиться на проблеме существования невидимого рассеивателя, т.е. такого диэлектрического тела, у которого рассеянное поле тождественно обращается в нуль. В работах Ю.А. Еремина и А.Г. Свешникова [20, 21] рассмотрена соответствующая двумерная задача. Доказано, что множество невидимых рассеивателей, вообще говоря, не пусто, но такие рассеиватели в случае их существования являются невидимыми только для вполне определенного внешнего поля, а малейшее изменение частоты или формы внешнего поля выводит рассеиватель из класса невидимых.

Рассмотрим теперь вопрос о возможности синтеза прозрачного тела при помощи «активных» методов управления рассеянием. К числу активных относится, например, метод ослабления обратного рассеяния путем создания на скрываемом объекте сверхвысокочастотного излучения, амплитуда и фаза которого подстраивается таким образом, чтобы скомпенсировать отраженный в сторону РЛС радиолокационный сигнал [34]. Известны примеры успешного применения такого метода для обеспечения незаметности летательных аппаратов [84, 86]. Вопрос о возможности достижения прозрачности подобным способом наиболее разработан для случая акустических полей. Соответствующая теория, построенная В.П. Ивановым [23] и восходящая, в свою очередь, к более ранним работам Г.Д. Малюжинца [32, 33], носит название теории активного гашения низкочастотных акустических полей. Задаче синтеза прозрачного тела в этой теории соответствует задача ненаблюдаемости. Изложим кратко основные результаты этой теории.

Пусть в трехмерном (или двумерном) пространстве расположено некоторое множество областей Вп, п = \,.,Ы. В области В вне областей £>л полное поле и(И)(х,у,г) — потенциал скорости — удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца где / — финитная функция. На бесконечности ставится условие излучения.

На части границы Г, области И заданы однородные или неоднородные краевые условия первого, второго или третьего рода, соответствующие собственным шумам тела I),. На границе множества областей Оп, интерпретируемых как антенна приемников микрофонов), заданы однородные условия у1/(М)|г =0, п = 2,.,Ых. Множество областей Вп, п — N^ +\,.,М, интерпретируется как антенна вспомогательных излучателей, а на их границах заданы неоднородные условия у1]{И) |г = /„, п = Ы1 +1 , где /и — непрерывные функции, у которых отличны только нулевая и первая Фурье-гармоники.

В задаче ненаблюдаемости требуется определить число N], расположение тел Д, и их волновые размеры так, чтобы по результатам измерения осредненного следа полного поля на поверхности приемников выделить из полного поля падающее поле стороннего источника. Далее, по падающему полю требуется определить число N и функции fn, п = , чтобы в области О* — внешности сферы, содержащей внутри себя все тела Вп, выполнялось соотношение где ие — заданная функция.

Схема гашения поля излучения и дифракции ограниченного выпуклого тела состоит в следующем (рис. 0.7). Начало системы координат помещают внутри тела . На сферах и 5*2 радиусов и Я2 (< К2) располагают центры сферических приемников радиусом ах (у = 1,2; т = 1,.,Ма на сфере радиусом (^ < Я2 < Я3) — центры излучающих сфер 83т радиусом а2. Тело 5*01 лежит внутри сферы радиусом , а область сторонних источников расположена за пределами сферы радиусом 7?3.

Решение задачи ненаблюдаемости или активного гашения состоит из нескольких этапов. Вначале решается задача измерения. Трудности, возникающие при этом, связаны с неустранимой погрешностью, которую дифракционное поле вносит в измерение падающего поля. Поэтому задача измерения включает в себя и задачу разделения полей. В [23] получена конечная система алгебраических уравнений для определения бесконечного числа амплитуд сферических гармоник поля дифракции на телах 5 и собственного излучения тела 5'01 и вспомогательных излучателей и падающего стороннего поля.

Приемники £ определенным образом помещают на сфере радиусом Яд, после чего по измерениям полного поля находят приближенные значения амплитуд сферических гармоник падающего поля. ч /\ \

3 %у

7 XI "Л'

Рис. 0.7. Схема гашения поля излучения и дифракции выпуклого тела: О — микрофоны; ® — вспомогательные излучатели; ^И^ источники сторонние

На втором этапе решается задача активного гашения. Минимизация поля дифракции сводится к системе линейных алгебраических уравнений, выражающей условия обнуления первых (7/ + 1)2 пространственных гармоник за счет выбора амплитуд вспомогательных излучателей. Показано, что при специальном выборе расположения излучателей решение этой системы существует для произвольного N и любой правой части. Получена оценка числа N. Достигаемая в результате невидимость является низкочастотной.

Подводя итог сделанному обзору, сделаем следующие выводы. Задачу синтеза нерассеиваюгцего (прозрачного) тела можно подразделить по признаку использования дополнительных источников энергии на задачу пассивного подавления рассеянного поля, когда дополнительные источники энергии не используются, и задачу активного подавления рассеянного поля, когда используются дополнительные источники энергии в той или иной форме.

В свою очередь задачу активного подавления можно подразделить по признаку наличия или отсутствия измерений первичного поля с их последующей обработкой.

Кроме того, задачу синтеза нерассеивающего тела можно подразделить на низкочастотную, резонансную и высокочастотную в соответствии с размерами рассеивающего объекта. Если обозначить характерный размер рассеивающего тела через d, а длину падающей волны через Л, то к низкочастотным можно отнести задачи, в которых d « Л, к резонансным, когда Л < d < ЮЛ ик высокочастотным, когда d » ЮЛ (границы диапазонов достаточно условны). Таким же образом, в зависимости от волновых размеров рассеивателя спектр частот можно условно подразделить на низкочастотную, резонансную и высокочастотную области.

Целью настоящей работы является математическое исследование задачи синтеза нерассеивающего (прозрачного) тела как задачи пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля в области резонансных частот. При этом дополнительно требуется, чтобы воздействие на рассеивающие характеристики достигалось без изменения формы и размеров тела, а также без существенных изменений характера его поверхности. Данные требования исключают использование оболочек (во всяком случае — толстых).

В качестве исходных тел рассматриваются идеально проводящие тела, а в качестве средств достижения их прозрачности — внутренние переизлучатели, под которыми понимаются произвольные области внутри данного тела, некоторым образом заполненные идеальными проводниками и непоглощающими диэлектриками и связанные с внешним пространством посредством отверстий или щелей в идеально проводящей границе тела. Предполагается, что суммарная площадь отверстий sa мала по сравнению с общей площадью внешней поверхности тела S mesjj^ «mesS, (0.6) a что является формальным выражением требования отсутствия «существенного изменения характера внешней поверхности» тела. Тогда задачу синтеза прозрачного тела можно сформулировать следующим образом: для заданного идеально проводящего тела, ограниченного замкнутой поверхностью S, требуется найти такое распределение непоглощающих диэлектриков и идеальных проводников в области Д ограничиваемой поверхностью S, и такую совокупность отверстий sa в границе с учетом ограничения (0.6), что полный поперечник рассеяния <гТ полученного в результате тела был в заданное число раз меньше поперечника рассеяния а ° исходного идеально проводящего тела.

Переизлучатеяь представляет собой структуру с произвольным числом варьируемых параметров (сколь угодно большим), и выбирается для достижения заданной степени ослабления рассеянного поля.

Переизлучатель можно интерпретировать как сложную импедансную нагрузку, однако использование термина «переизлучатель» в данном случае предпочтительней термина «импедансная нагрузка» прежде всего потому что переизлучателю не приписывается никаких значений импеданса, а рассмотрение задачи дифракции на теле с переизлучателем проводится не с точки зрения теории цепей, а с точки зрения строгой теории дифракции в терминах электромагнитных полей на основе уравнений Максвелла. Единственные используемые при этом идеализации — это идеальный проводник, непоглощающий диэлектрик и бесконечно тонкий экран, принятые в математической теории дифракции.

В работе продемонстрирована принципиальная возможность придания проводящим телам резонансных размеров свойств нерассеивающих тел путем наделения их подходящими переизлучателями, состоящими из идеальных проводников и обычных диэлектриков. Использование материалов с необычными свойствами (метаматериалов или плазмы) не предполагается. В качестве исходных тел рассматриваются простейшие идеально проводящие тела: бесконечный круговой цилиндр и сфера.

Работа состоит из введения, пяти глав, трех приложений и заключения.

В главе 1 даны основные определения, связанные с рассеивающими свойствами тел, и сформулирована общая задача синтеза прозрачного тела как задача пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля — вначале как физическая задача, а затем формально-математическая, основанная на строгой постановке краевой задачи для системы уравнений Максвелла. Даны формальные определения используемых в дальнейшем понятий переизлучателя и порядка переизлучателя.

В главе 2 исследована простейшая задача синтеза прозрачного тела — о наделении идеально проводящего кругового цилиндра свойствами тела, прозрачного по отношению к плоской //-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра, путем выбора подходящего внутреннего переизлучателя, связанного с внешним пространством посредством продольных щелей в границе цилиндра [68-70]. Вначале решена вспомогательная задача о рассеянии плоской Я-поляризованной волны на круговом цилиндре с бесконечно тонкими идеально проводящими стенками, снабженными N узкими продольными щелями (/ « 1, где I -— угловая полуширина щели) [67]. Исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца сведена к интегральному уравнению с логарифмической особенностью ядра относительно касательного электрического поля на щелях. С использованием формулы обращения логарифмического интегрального оператора на системе малых дуг окружности получены приближенные выражения для амплитуд гармоник рассеянного поля. Показано, что при достаточно большом N и при определенном выборе однородного диэлектрического заполнения внутренности цилиндра можно подавить одну из гармоник рассеянного поля с заданным номером [67]. Для подавления большего числа гармоник внутренность цилиндра должна иметь большее число «степеней свободы» (варьируемых параметров). Располагая N щелями в экране — границе цилиндра, можно подавить самое большее N гармоник рассеянного поля. Для этого на щелях необходимо создать вполне определенное касательное электрическое поле. Отсюда получены N условий прозрачности — условия подавления первых N гармоник рассеянного поля [69, 70]. Показано, что вклад высших гармоник рассеянного поля может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно большого N [69, 70]. Таким образом, хотя полное подавление рассеянного поля при фиксированном числе щелей невозможно, можно ослабить рассеянное поле в произвольное наперед заданное число раз, если взять достаточно большое количество щелей, т.е. возможно «потенциально полное» подавление рассеянного поля. Далее исследована возможность синтеза Ы-параметрического внутреннего заполнения цилиндра (переизлучателя Л^-го порядка) на основе N независимых однопараметрических переизлучателей [68, 69]. При этом каждый переизлучатель связан с внешним пространством посредством одной щели, на которой он должен обеспечивать создание требуемого электрического поля. В качестве переизлучателей используются произвольного вида резонаторы, характеризуемые одним варьируемым параметром. В приближении узких щелей получены уравнения относительно параметров резонаторов и доказана неразрешимость этих уравнений в действительных числах [68, 69]. Отсюда сделан вполне ожидаемый вывод, что прозрачный цилиндр при данной поляризации поля не может быть реализован на основе независимых переизлучателей первого порядка без использования активных нагрузок [68, 69]. Далее исследована возможность построения переизлучателя Л^-го порядка из N12 независимых двухпараметрических переизлучателей [68-70]. При этом каждый переизлучатель связан с внешним пространством посредством двух «сопряженных» узких щелей (I«1), одна из которых расположена на освещенной, а другая — на теневой стороне цилиндра. Фактически внутренность цилиндра состоит из изолированных слоев, ориентированных вдоль направления падения волны. В качестве переизлучателей рассматриваются резонаторы (полости) с идеально проводящими границами. В приближении узких щелей получены уравнения для определения двух независимо варьируемых параметров резонаторов [68, 69]. Найдены достаточные условия разрешимости полученных уравнений в действительных числах [68, 69]. В частности, показано, что требуемый резонатор может быть получен в результате малого возмущения резонатора с кратной собственной частотой, которой соответствуют две собственные функции противоположной четности [68, 69]. Данное условие с учетом необходимости вписывания переизлучателя в цилиндр является достаточно жестким, что делает задачу синтеза весьма сложной. Для доказательства принципиальной возможности синтеза прозрачного цилиндра в резонансной области необходимо указать примеры резонаторов с указанными свойствами. Предложено два типа таких переизлучателей. Дальнейшее исследование проводится для переизлучателей, состоящих из четырех цилиндрических кольцевых секторов, связанных между собой и с внешним пространством узкими продольными щелями. Поставлена задача дифракции на цилиндре с переизлучателями в случае, когда параметры областей считаются заданными [70, 73]. При этом исходная задача формулируется в виде краевой задачи для системы уравнений Гельмгольца относительно продольного магнитного поля в различных областях. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений с логарифмической особенностью ядра относительно касательного электрического поля на щелях. После подставления в эту систему значений полей, определяемых из условия обращения в нуль первых N гармоник рассеянного поля, в приближении узких щелей (/«1) получена система уравнений задачи синтеза для определения параметров переизлучателей [70, 73]. Показано, что параметры различных переизлучателей определяются независимо. Доказана разрешимость задачи синтеза в действительных числах [70, 73]. Приведены примеры численного решения задачи синтеза для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабления рассеянного поля в малой окрестности заданной частоты на несколько порядков [73].

В главе 3 рассмотрена другая задача синтеза — о наделении идеально проводящего кругового цилиндра свойствами тела, прозрачного по отношению к плоской Е-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра [71]. Эта двумерная задача решается трехмерными средствами. Требуемое касательное электрическое поле на поверхности цилиндра создается на поперечных кольцевых щелях, каждая из которых связывает внешнее пространство с некоторым цилиндрическим или кольцевым резонатором конечной высоты. Щели и резонаторы вместе с объемлющим их внешним цилиндром составляют периодическую структуру (аналогичный подход использовался при решении задачи «одномерной невидимости» — построении нерассеивающей проводящей плоскости [66]). Задача дифракции на этой структуре исследуется в строгой трехмерной электродинамической постановке. Вначале формулируется краевая задача для системы уравнений Максвелла. Далее рассеянное поле и поле в резонаторах выражаются через азимутальные гармоники электрического и магнитного поля, для которых также формулируется краевая задача. Краевая задача сводится к системе интегральных уравнений относительно неизвестных, выражающих коэффициенты Фурье касательного электрического поля на щелях в пределах одного периода структуры. Для каждой щели и каждого коэффициента Фурье записывается одна пара уравнений, в каждой из которых одно из уравнений имеет логарифмическую особенность ядра, а другое является сингулярным интегральным уравнением. При этом на одну из двух компонент каждой неизвестной накладывается дополнительное условие (аналогичные системы встречаются в теории щелевых линий передачи и подробно исследованы в [65]). Показано, что при достаточно малом периоде структуры все продольные гармоники рассеянного поля, кроме нулевой, затухают на бесконечности и задача сводится к подавлению только азимутальных гармоник [71]. Азимутальные гармоники рассеянного поля подавляются при помощи независимого подбора собственных частот резонаторов. В приближении узких щелей (/«1) система интегральных уравнений задачи дифракции сводится к системе алгебраических уравнений относительно поперечного электрического поля на щелях. Отсюда и из условий прозрачности получена система уравнений задачи синтеза. Доказано, что при любой заданной частоте и при достаточно узких щелях первые N азимутальных гармоник рассеянного поля могут быть подавлены при помощи соответствующего подбора параметров N резонаторов на период [71]. Приведены примеры численного решения задачи синтеза для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабления рассеянного поля в малой окрестности заданной частоты на несколько порядков [71].

Полученные в главах 2 и 3 решения задачи синтеза прозрачного тела дают примеры «двумерной невидимости» в резонансном диапазоне. Принципиальное значение имеет вопрос о возможности переноса полученных результатов на трехмерный электромагнитный случай, т.е. о возможности «трехмерной невидимости». В главе 4 рассмотрена простейшая из трехмерных задач синтеза прозрачного тела — о наделении идеально проводящей сферы свойствами тела, прозрачного по отношению к плоской линейно поляризованной электромагнитной волне (синтез «прозрачной» сферы) [72]. Требуемое для прозрачности касательное электрическое поле на сфере создается на множестве узких кольцевых щелей, образованных сечениями сферы параллельными плоскостями. Каждая щель связывает внешнее пространство с отдельным переизлучателем — резонатором, представляющим собой сферический кольцевой сектор с идеально проводящими стенками, заполненный однородным диэлектриком. Задача дифракции плоской волны на сфере с переизлучателями рассматривается в строгой электродинамической постановке — как краевая задача для системы уравнений Максвелла. Путем разложения по сферическим гармоникам рассеянное поле и поле, возбуждаемое внутри резонаторов, выражаются через неизвестное касательное электрическое поле на щелях, относительно которого получена система интегральных уравнений. Эта система состоит из пар уравнений упомянутого выше вида: одно из уравнений имеет логарифмическую особенность ядра, другое является сингулярным интегральным уравнением. При этом на одну из компонент векторных неизвестных накладывается дополнительное условие. Отсюда получены условия прозрачности, выражающие требование подавления заданного числа низших сферических гармоник рассеянного поля [72]. Задача сильно упрощается при учете различного поведения составляющих касательного электрического поля на щелях: в случае узких щелей (/ «1) вкладом составляющей, параллельной краям щелей, можно пренебречь, в результате чего векторная система интегральных уравнений приближенно сводится к скалярной [72]. Для этого случая получены уравнения для определения параметров кольцевых резонаторов и доказана их разрешимость в действительных числах при достаточно узких щелях [72]. Приведены примеры численного решения задачи синтеза прозрачной сферы для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабления рассеянного поля в малой окрестности заданной частоты на несколько порядков [72].

Прозрачные тела, построенные в главах 2-4, не являются изотропными ни по направлению падения волны, ни по направлению поляризации первичного поля. В этой связи возникает вопрос о принципиальной возможности синтеза «прозрачных» тел с изотропными в том или ином смысле свойствами. В общем случае требуется обеспечить изотропность по трем направлениям: двум пространственным углам, определяющим направление распространения падающей волны, и углу, определяющему плоскость поляризации. В главе 5 рассмотрена возможность увеличения количества направлений изотропности тела на единицу путем выставления дополнительного требования в формулировке задачи синтеза. Для этого поставлена задача синтеза кругового цилиндра, «прозрачного» по отношению к плоской //-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра, независимо от азимутального угла падения волны [74]. В отличие от задачи, решенной в главе 2, требуемый переизлучатель должен обладать свойствами, не зависящими от азимутального угла. В главе 5 такой переизлучатель строится из коаксиально вложенных круговых цилиндров с идеально проводящими бесконечно тонкими стенками, каждая из которых снабжена N одинаковыми продольными щелями, расположенными с равным угловым шагом. Слои между границами цилиндров заполнены однородными изотропными и непоглощающими диэлектриками. Параметрами, варьируемыми в задаче синтеза, являются радиусы цилиндров и диэлектрические проницаемости заполнений. В данном случае переизлучатель А^-го порядка не сводится к сумме изолированных переизлучателей меньшего порядка. Исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца относительно продольного магнитного поля сведена к интегральному уравнению с логарифмической особенностью ядра относительно касательного электрического поля на щелях. В приближении узких щелей система интегральных уравнений сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы получено в явном виде, что позволяет явно выразить решение задачи дифракции [74]. Найденное решение после подставления в него условий обнуления нескольких первых гармоник дает систему уравнений задачи синтеза для определения параметров отдельных слоев переизлучателя. Для случая экспоненциально узких щелей доказана разрешимость системы уравнений синтеза в действительных числах. Предложен итерационный алгоритм решения этой системы. Определена область локализации решений в случае тонких слоев. Приведены примеры численного решения задачи синтеза изотропного прозрачного цилиндра для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабление рассеянного поля на несколько порядков в малой окрестности заданной частоты [74].

В приложении 1 приведены основные сведения из теории операторов с логарифмической особенностью ядра в весовых классах Гёльдера, в том числе по результатам оригинальных работ [26, 62-64, 90, 129].

В приложении 2 изложены оригинальные результаты по обращению оператора с логарифмическим ядром на системе дуг окружности [67]. Выведены формулы действия обратного оператора на тригонометрические функции, в том числе асимптотические формулы для случая малых дуг. Получены формулы для моментов — результатов скалярного умножения на тригонометрические функции результатов применения обратного оператора к тригонометрическим функциям.

В приложении 3 на основе работы [65] изложены необходимые результаты теории матричных интегральных операторов специального вида.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

Предложена и исследована новая постановка задачи синтеза «прозрачного» (нерассеивающего) тела как задачи пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля без изменения размеров и формы тела и с ограничениями на изменения поверхности тела.

Поставлены и исследованы плоские и пространственные краевые задачи дифракции электромагнитных волн на круговом цилиндре и сфере с различными переизлучателями. Получены решения задач дифракции на круговом цилиндре и сфере с различными переизлучателями в приближении узких щелей.

Построены системы уравнений задачи синтеза для определения параметров переизлучателей, обеспечивающих заданное ослабление рассеянного поля в задачах дифракции плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на круговом цилиндре и сфере. Доказаны теоремы существования решения задачи синтеза нерассеивающего проводящего кругового цилиндра для различной поляризации падающего поля и нерассеивающей проводящей сферы.

Построены алгоритмы решения задач синтеза нерассеивающего кругового цилиндра и нерассеивающей сферы. В численных экспериментах получены примеры проводящих круговых цилиндров и сфер, слабо рассеивающих в окрестности заданной частоты резонансного диапазона.

Доказана принципиальная возможность уменьшения мощности, рассеиваемой проводящими телами, в произвольное число раз.

По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 13 в журналах из списка

ВАК.

Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета

МГУ им. М.В. Ломоносова; на научном семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им.

М.В. Ломоносова; на научном семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им.

М.В. Ломоносова; на научном семинаре «Математическое моделирование волновых процессов»

РосНОУ); на Московском электродинамическом семинаре (ИРЭ РАН);

Заключение

Результаты данной работы позволяют сделать следующие выводы.

Возможность наделения проводящих тел свойствами нерассеивающего (прозрачного) тела существует.

Этого можно добиться без использования дополнительных источников энергии — за счет перераспределения энергии падающего поля при помощи переизлучателей.

Использование метаматериалов не является обязательным условием достижения прозрачности.

Задачу поиска требуемых переизлучателей удается решить в случае простейших идеально проводящих тел: круговых цилиндров и сфер.

Единственная серьезная проблема, присущая используемому подходу, — это узкополосность достигаемого эффекта, возможности преодоления которой в данной работе не рассматриваются.

Ближайшими перспективами развития используемого подхода являются:

1) Обобщение результатов работы на проводящие тела произвольной формы в двумерном и трехмерном случаях;

2) Исследование возможности расширения полосы прозрачности;

3) Постановка физических экспериментов с нерассеивающими телами.

1. Айзикович Б.В., Лапшин В.Ю. и др. Методы анализа и расчета радиолокационных характеристик поглотителей электромагнитных волн, кромок и изломов поверхностей сложной геометрической формы// Зарубежная радиоэлектроника. -1994. №4-5. С. 41-53.

2. Ананьин Э.В., Ваксман Р.Г., Патраков Ю.М. Методы снижения радиолокационной заметности// Зарубежная радиоэлектроника. 1994. №4-5. С. 5-21.

3. Арабаджи В.В. Неотражающая коммутационная микроструктура// Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. №5. С. 613-625.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М: Наука, 1973.

5. Бляхман А.Б., Рунова И.А. Бистатическая эффективная площадь рассеяния и обнаружение объектов при радиолокации на просвет// Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. №4. С. 424-432.

6. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982.272 с.

7. Валакис Дж.Л., Сеньор Т.Б.А. Применение одного класса обобщенных граничных условий к рассеянию на диэлектрической полуплоскости с металлической подложкой// ТИИЭР. 1989. Т. 77. С. 176-186.

8. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

9. Вашковский A.B., Локк Э.Г. Обратные поверхностные электромагнитные волны в композитных структурах, использующих ферриты//Радиотехника и электроника. -2003. Т. 48. №2. С. 169-176.

10. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970.- 380 с.

11. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и ц// Успехи физических наук. 1967. Т. 92. №3. С. 517-526.

12. Веселаго В.Г., Глушков М.В., Прохоров A.M. Сверхвысокочастотные свойства плазмы твердого тела// Радиотехника и электроника. -1967. Т. 12. №7. С. 1220— 1226.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М: Наука, 1983.- 512 с.

14. Вопросы перспективной радиолокации/ Отв. ред. A.B. Соколов. М.: Радиотехника, 2003. - 522 с.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963.

16. Глейзер Дж.И. Некоторые результаты по определению двухпозиционной ЭПО сложных объектов// ТИИЭР. -1989. Т. 77. №5. С. 8-18.

17. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука, 1971,- 1108 с.

18. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных операторов. М.: Наука, 1980.- 416 с.

19. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987.

20. Еремин Ю.А. К проблеме существования невидимого рассеивателя в теории дифракции// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. №4. С. 684-687.

21. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. -М.: Изд-во МГУ, 1992.- 184 с.

22. Захарьев J1.H., Леманский A.A. Рассеяние волн «черными» телами. М.: Сов. Радио, 1972.-288 с.

23. Иванов В.П. Задачи дифракции волн в низкочастотной акустике. М: Наука, 2004.470 с.

24. Ильинский А.С, Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М: Высшая школа, 1991.

25. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции. М.: ИПРЖР, 1996.- 176 с.

26. Ильинский A.C., Чернокожин Е.В. О регуляризации интегрального оператора с логарифмическими особенностями ядра // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24.№ 8. С. 1433-1437.

27. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. М.: Изд-во МГУ, 1989.

28. Казанцева Н.Е., Рывкина Н.Г., Чмутин И.А. Перспективные материалы для поглотителей электромагнитных волн сверхвысокочастотного диапазона// Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. №2. С. 196-209.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.- 576 с.

30. Касперс Д. Двухпозиционные и многопозиционные радиолокационные системы// Справочник по радиолокации/ Ред. М.Сколник. Т. 4. Пер. с англ. М.: Сов. Радио, 1978. С.193-216.

31. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Пер. с англ. М: Мир, 1987.-312 с.

32. Малюжинец Г.Д. Нестационарные задачи дифракции для волнового уравнения с финитной правой частью// Труды АКИН. 1971. Вып. XV. С. 124-139.

33. Малюжинец Г.Д. Определение диаграммы направленности по данным измерений в ближнем поле (плоская задача)// Труды АКИН. 1971. Вып. XV. С. 193-202.

34. Масалов С.А., Рыжак A.B. и др. Физические основы диапазонных технологий типа «Стеле». С.-Петербург: Военный Инженерно-космический университет им. А.Ф. Можайского, 1999.- 164 с.

35. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. Пер. с япон. М.: Мир, 1977,- 504 с.

36. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.512 с.

37. Петров Б.М., Семенихин А.И. Управляемые импедансные покрытия// Зарубежная радиоэлектроника. 1994. №6. С. 9-16.

38. Петров Б.М., Шарварко В.Г. Обратная задача рассеяния для импедансного цилиндра// Изв. вузов. Радиоэлектроника. -1975. Т. 18. №12. С. 90.

39. Петров Б.М., Юханов Ю.В. Обратная задача рассеяния для импедансного цилиндра произвольного сечения// Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1980. Т. 23. №9. С. 78-81.

40. Пирумов B.C., Алексеев А.Г., Айзикович Б.В. Новые радиопоглощающие материалы и покрытия// Зарубежная радиоэлектроника. 1994. №6. С. 2-8.

41. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. Пер. с нем. М.: Мир, 1979.-496 с.

42. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

43. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

44. Репин В.М. Численный метод решения задачи об электромагнитной связи объемов через отверстия// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1971. Т. 11. №1. С. 152163.

45. Розанов К.Н., Преображенский Е.А. Синтез активных радиопоглощающих покрытий на основе сложных сред, составленных из активных электрических диполей// Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. №7. С. 858-864.

46. Сазонов Д.М., Гридин А.Н., Мишустин Б.А. Устройства СВЧ. М.: Высшая школа, 1981.

47. Сеньор Т. Обзор аналитических методов оценки поперечных сечений рассеяния// ТИИЭР. 1965. Т. 53. №8. С. 948-959.

48. Смирнов Ю.Г. О разрешимости векторных задач дифракции в областях, связанных через отверстия в экране// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. №9. С. 1427-1440.

49. Современная радиоэлектронная борьба. Вопросы методологии/ Отв. ред. В.Г. Радзиевский. -М.: Радиотехника, 2006.- 422 с.

50. Справочник по антенной технике. Т.1./ Отв ред. Л.Д Бахрах, Е.Г. Зелкин,-М.гИПРЖР, 1997.

51. Справочник по специальным функциям/ Ред. М. Абрамович, И.М Стиган. М: Наука, 1969.

52. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М: Наука, 1979.

53. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М: Наука, 1966.- 724 с.

54. Третьяков С.А. Электродинамика сложных сред: киральные, биизотропные и бианизотропные материалы// Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. №10. С. 1457-1470.

55. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. Радио, 1962.

56. Федоренко А.И. Решение задачи рассеяния электромагнитной волны на однородном киральном цилиндре методом поверхностных интегральных уравнений// Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. №3. С. 381-393.

57. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях// Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20. №1. С. 23-38.

58. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. -М: Наука, 1969,- 656 с.

59. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. Пер. с нем. М.: Мир, 1964.

60. Цветнов В.В., Демин В.П., Куприянов А.И. Радиоэлектронная борьба: радиомаскировка и помехозащита. М.: Изд-во МАИ, 1999.- 240 с.

61. Чаплин А.Ф., Кондратьев A.C. Синтез кругового импедансного цилиндра по полю в дальней зоне// Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22. №3. С. 505-510.

62. Чернокожин Е.В., Шестопалов Ю.В. О фредгольмовости интегрального оператора с ядром, имеющим слабую особенность // Веста. Моск. Ун-та. Вычислительная математика и кибернетика. 1982. №1. С. 23-28.

63. Чернокожин Е.В., Шестопалов Ю.В. Математические методы исследования рассеяния волн открытыми цилиндрическими структурами// Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. №11. С. 1299-1311.

64. Чернокожин Е.В., Шестопалов Ю.В. О разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с некомпактной границей// Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. №4. С. 546-553.

65. Чернокожин Е.В. Собственные волны щелевых линий передачи с круговой симметрией// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. -2001. №1. С. 3-80.

66. Чернокожин Е.В. Прохождение плоской волны через периодическую структуру из двух параллельных проводящих плоскостей, нагруженных решеткой из прямоугольных резонаторов// Электромагнитные волны и электронные системы. -2002. Т. 7. №1. С. 4-14.

67. Чернокожин Е.В. Рассеяние плоской волны на проводящем цилиндре с несколькими продольными щелями// Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. Т. 7. №2. С. 4-24.

68. Чернокожин Е.В. Создание эффекта прозрачности идеально проводящего цилиндра при помощи пассивной нагрузки из резонаторов// Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. Т. 7. №9. С. 12-32.

69. Чернокожин Е.В. Синтез «прозрачного» тела из идеально проводящего цилиндра и системы резонаторов// Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. №7. С. 773-786.

70. Чернокожин Е.В. Синтез «прозрачного» цилиндра из идеально проводящего// Электромагнитные волны и электронные системы. 2004. Т. 9. №1. С. 4-20.

71. Чернокожин Е.В. Минимизация поля, рассеянного идеально проводящим круговым цилиндром, при помощи периодической системы цилиндрических или кольцевых резонаторов// Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49. №10. С. 1157-1175.

72. Чернокожин Е.В. Ослабление поля, рассеянного идеально проводящей сферой, при помощи системы кольцевых щелей и сферических кольцевых резонаторов// Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. №2. С. 171-179.

73. Чернокожин Е.В. Решение задачи синтеза нерассеивающей цилиндрической структуры// Прикладная математика и информатика. №20. М: Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2005. С. 16-39.

74. Чернокожин Е.В. Синтез изотропного переизлучателя для подавления рассеяния Г£-поляризованной волны идеально проводящим цилиндром// Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51. №1. С. 37-46.

75. Черняк B.C. Многопозиционная радиолокация. М.: Радио и связь, 1993.

76. Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. Киев: Наукова думка, 1987.- 288 с.

77. Шиффер М., Спенсер Д.К. Функционалы на конечных римановых многообразиях. Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1957.

78. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.

79. Adey A.W. Scattering of Electromagnetic Waves by Coaxial Cylinders// Can. J. Phys. -May 1956. V. 34. P 510-520.

80. Alu A., Engheta N. Pairing a Epsilon-Negative Slab with a Mu-Negative Slab: Resonance, Tunneling and Transparency// IEEE Trans. Antennas Propagat. 2003. V. 51. N. 10. P. 2558-2571.

81. Alu A., Engheta N. Achieving Transparency with Plasmonic and Metamaterial Coatings// Phys. Rev. E. 2005. V. 72.- 016632.

82. Andreasen M.G. Scattering from Cylinders with Arbitrary Surface Impedance// Proc. IEEE. -1965. V. 53. N 8. P. 812-817.

83. Barrie D. Russians Eye Plasma Fields to Cut Cruise Missiles RCS// Aviation Week & Space Technology. -10/21/2002.

84. Barrie D. France Pursues Active Stealth for Cruise Missiles RCS// Aviation Week & Space Technology. 06/17/2002.

85. Blacksmith P, Hiatt R.T., Mack R.B. Introduction to Radar Cross-Section Measurements// Proc. IEEE. 1965. V. 53. N. 8. P. 901-920.

86. Brosselin S. L'avion "invisible"// Science&Vie. 1985. V. 8. №815. P. 68-76.

87. Carlile R., Cavalli A. et al. Absorption of Energy from a Large Amplitude Electromagnetic Pulse by a Collisionless Plasma// IEEE Trans. Antennas Propagat. -1979. V. 27. N. 5. P. 596-603.

88. Chen K.M. Minimization of Backscattering of a Cylinder by Double Loading// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1965. V. 13. N. 2. P. 262-270.

89. Chen K.M., Liepa V. Minimization of Backscattering of a Cylinder by Central Loading// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1964. V. 12. N. 5. P. 576-582.

90. Chernokozhin E.V., Shestopalov Yu.V. Resonant and Nonresonant Diffraction by Open Image-Type Slotted Structures// IEEE Trans. Antennas Propagat. 2001. V. 49. N. 5. P. 793-800.

91. Cwik T. Coupling into and Scattering from Cylindrical Structure Covered Periodically with Metallic Patches// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. V. 38. N. 2. P. 220-226.

92. Fidele J. Resonant Scattering from a Conducting Cylinder Clad with an Anisotropic Plasma// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1973. V. 21. N. 6. P. 818-826.

93. Garbacz R.J., Turpin R.H. A Generalized Expansion for Radiated and Scattered Fields// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1971. V. 19. N. 3. P. 348-358.

94. Gately Jr. A.C., Stock D.J.R., Ru-ShaoCheo R. A Network Description for Antenna Problems// Proc. IEEE. 1968. V. 56. N.7. P. 1181-1193.

95. Green R. The Echo Area of Small Rectangular Plates with Linear Slots// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1964. Y. 12. N. 1. P. 101-104.

96. Harrington R.F. Theory of Loaded Scatterers// Proc. Elec. Eng. Apr. 1964. V. 111. P. 617-623.

97. Harrington R.F. Resonant Behavior of a Small Aperture Backed by a Conducting Body// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1982. V. 30. N. 2. P. 205-211.

98. Harrington R.F., Mautz J.R. Theory of Characteristic Modes for Conducting Bodies// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1971. V. 19. N. 5. P. 622-628.

99. Harrington R.F., Mautz J.R. Control of Radar Scattering by Reactive Loading// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1972. V. 20. N. 4. P. 446^54.

100. Harrington R.F., Mautz J.R. Pattern Synthesis for Loaded JV-Port Scatterers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1974. V. 22, N. 2. P. 184-190.

101. Harrington R.F., Mautz J.R. Optimization of Radar Cross Section of TV-Port Loaded Scatterers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1974. V. 22. N. 5. P. 697-701.

102. Hiatt R.E., Siegel K.M., Weil H. Forward Scattering of Coated Objects Illuminated by Short Wavelength Radar// Proc. IRE. 1960. N. 9. P. 1630-1635.

103. Hosono H. Scattering of a Modulated Pulse by a Circular Cylinder with Longitudinal Slots: Reaction in the Cylinder// Radio Science. 1995. V. 30. N. 6. P. 1681-1687.

104. Jones J., Thurber M. Stealth Technology: the Art of Black Magic. Blue Ridge Summit, PA: AERO, 1989. - 150 p.

105. Kabalan K.Y., Harrington R.F. et al. Characteristic Modes for Slots in a Conducting Plane, TE Case// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1987. V. 35. N. 2. P. 162-168.

106. Kahn W.K., Kurss H. Minimum Scattering Antennas// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1965. V. 13. N. 5. P. 671-675.

107. Kildal P.-S., Olsen E., Aas J.A. Losses, Sidelobes, and Cross Polarization Caused by Feed-Support Struts in Reflector Antennas// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1988. V. 36. N. 2. P. 182-190.

108. Kildal P.-S., Kishk A.A. Reduction of Forward Scattering from Cylindrical Objects using Hard Surfaces// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1996. V. 44. N. 11. P. 1509-1520.

109. Kishk A.A. Analysis of Hard Surfaces of Cylindrical Structures of Arbitrary Shaped Cross Section Using Asymptotic Boundary Conditions// IEEE Trans. Antennas Propagat. -2003. V. 51. N. 6. P. 1150-1156.

110. Kluskens M.S., Newman E.H. Scattering by a Chiral Cylinder of Arbitrary Cross Section// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. V. 38. N. 9. P. 1448-1455.

111. Knott E.F., Shaeffer J.F., Tuley M.T. Radar Cross Section: Its Prediction, Measurement, and Reduction. Dedham, MA: Artech House, 1986.- 462 p.

112. Leonhardt U. Notes on Conformal Invisibility Devices// arXiv: physics/0605227. V. 2. 26 May 2006.

113. Leonhardt U. Optical Conformal Mapping// Science 23 Jun. 2006. V. 312. P. 1777-1780.

114. Liepa V. V., Senior T.B.A Modification to the Scattering Behavior of a Sphere by Reactive Loading// Proc. IEEE. 1965. V. 53. N. 8. P. 1004-1011.

115. Lin J.L., Chen K.M. Minimization of Backscattering of a Loop by Impedance Loading — Theory and Experiment// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1968. V. 16. N. 3. P.299-304.

116. Luo C., Johnson S.G. et al. All-Angle Negative Refraction without Negative Effective Index// Phys. Rev. B. 2002. V. 65.- 201104.

117. Lynch D.A. Introduction to RF Stealth. Raleigh, NC: SciTech, 2004.- 575 p.

118. Mautz J.R., Harrington R.F. Modal Analysis of Loaded iV-Port Scatterers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1973. V. 21. N. 2. P. 188-199.

119. Mautz J.R., Harrington R.F. An is-Field Solution for a Conducting Surface Small or Comparable to the Wavelength// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1984. V. 32. N. 4. P. 330-340.

120. Monge G. Application de l'analyse á la géométrie. Paris, 1850. P. 609-616.

121. Monzon J.C. Scattering by a Biisotropic Body// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1995. V. 43. N. 11. P. 1288-1296.

122. O'Brien S, Pendry J. Photonic Band-Gap Effects and Magnetic Activity in Dielectric Composites// Journal of Physics: Condensed Matter. 2002. V. 14. P. 40354044.

123. Papatheodorou S, Mautz J.R., Harrington R.F. The Aperture of a Circumferential Slot in a Circular Cylinder// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1992. V. 40. N. 2. P. 240244.

124. Pendry J.B. Negative Refraction// Contemporary Physics. 2004. V. 45. N. 3. P. 191-202.

125. Pendry J.B., Schurig D., Smith D.R. Controlling Electromagnetic Field// Science. -23 Jun. 2006. V. 312. P. 1780.

126. Rogers P.G. Application of the Minimum Scattering Antenna Theory to Mismatched Antennas// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1986. V. 34. N. 10. P. 12231228.

127. Rusch W., Cavour Yeh. Scattering by an Infinite Cylinder Coated with an Inhomogeneous and Anisotropic Plasma Sheath// IEEE Trans. Antennas Propagat. -1967. V. 15. N. 3. P. 452-457.

128. Schindler J.K., Mack R.B., Blacksmith Jr., P. The Control of Electromagnetic Scattering by Impedance Loading// Proc. IEEE. 1965. V. 53. N. 8. P. 993-1004.

129. Shestopalov Yu.V., Smirnov Yu.G., Chernokozhin E.V. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics. Utrecht: VSP, 2000.

130. Schurig D. et al. Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies //Science Express/www.sciencexpress.org/19 October 2006/10.1126/science.l 133628.

131. Smith D.R., Pendry J.B., Wiltshire M.C.K. Metamaterials and Negative Refractive Index// Science. 6 Aug. 2004. V. 305. P. 788-792.

132. Sureau J.-C. Reduction of Scattering Cross Section of Dielectric Cylinder by Metallic Core Loading// IEEE Trans. Antennas and Propagat. 1967. V. 15. N. 5. P. 657-662.337

133. Swarner W.G., Peters L. Radar Cross Section of Dielectric or Plasma Coated Conducting Spheres or Circular Cylinders// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1963. V. 11. N. 5. P. 558-569.

134. Vinoy K.J., Jha R.M. Radar Absorbing Materials: From Theory to Design and Characterization. Boston: Kluwer Acad. Pub., 1996.- 190 p.

135. Wang T., Harrington R.F., Mautz J.R. Electromagnetic Scattering from and Transmission Through Arbitrary Apertures in Conducting Bodies// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. V. 38. N. 11. P. 1805-1814.

136. Weinberg L. New Techniques for Modifying Monostatic and Multistatic Radar Cross Section// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1963. V. 11. N. 6. P. 717-719.

137. Willis N J. Bistatic Radar. Boston: Artech House, 1991.- 400 p.

138. Wong W., Cheng D. High-Frequency Scattering from a Conducting Cylinder with an Inhomogeneous Plasma Sheath// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1969. V. 17. N. 2. P. 208-215.

139. You-Lin Geng, Xin-Bao Wu, Le-Wei Li, Bo-Ran Guan. Electromagnetic Scattering by an Inhomogeneous Plasma Anisotropic Sphere of Multilayers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 2005. V. 53. N. 12. P. 3982-3989.