автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование задач устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем с применением математических моделей и вычислительного эксперимента

На правах рукописи

ЧЕРНОВА Екатерина Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНАЛЬНЫХ СОЦИО-ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ноя 2014 ""¡»о54650

Кемерово —2014

005554650

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Данилов Николай Николаевич

Официальные оппоненты: Глухова Елена Владимировна,

доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник Московского физико-технического института, г. Москва

Кайгородов Степан Петрович,

кандидат физико-математических наук, доцент,

доцент кафедры математической экономики и

прикладной информатики

Института математики и информатики

Северо-Восточного федерального университета

имени М. К. Аммосова, г. Якутск

Ведущая организация: Национальный исследовательский

Томский государственный университет

Защита состоится 22 декабря 2014 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.306.04 при Северо-Восточном федеральном университете имени М. К. Аммосова, расположенного по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Белинского 58, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевероВосточного федерального университета имени М. К. Аммосова, 677000, г. Якутск, ул. Белинского 58, и на сайте www.s-vfu.ru по ссылке htф://s-vfu.ru/lmiversitet/nlkovodstvo-i-struktura/strukturnye-ро&а2йе1етуа/итг/о1йе1^шеПа15юппуШ-$оуе1о\/&ззег^о1$ка1еи/

Автореферат разослан « 'ЗД » октября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Н. А. Саввинова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Разработка моделей динамических систем и решение задач оптимального управления такими системами остается актуальным направлением исследований в современной математике с приложениями к различным областям. Характерной особенностью сложных динамических систем являются присущие им проблемы временной несостоятельности применяемых управленческих принципов и структурной диспропорции. Примерами динамических систем с такой структурой являются системы устойчивого развития регионов.

Концепция устойчивого развития государства в целом и отдельных регионов позволяет обеспечить стабильное и сбалансированное развитие трех секторов жизнедеятельности: экономического, экологического и социального, объединяя в целостную систему принципы экономической эффективности, социальной защищенности и экологической безопасности.

Научные предпосылки концепции устойчивого развития были предложены в начале XX века академиком В. И. Вернадским (учение о биосфере и ноосфере). В 1970-80-е гг. в ряде научных работ (Дж. Форрестера, Д. Медоуза, М. Месаровича и Е. Пестеля, А. Эрреры, В. А. Егорова, Е. В. Рюминой и др.) содержались попытки исследования такой сложной системы, как мировое сообщество, с применением методов системного анализа и имитационного моделирования.

В настоящее время вопросы устойчивого развития человеческого сообщества, отдельных стран, регионов привлекают все нарастающее внимание отечественных и зарубежных специалистов из разных областей знания (И. Ю. Блам, С. Н. Бобылев, Н. П. Ващекин, В. С. Голубев, В. И. Данилов-Данильян, В. А. Коптюг, Г. П. Краснощеков, В. К. Левашов, Д. Медоуз, В. Н. Незамайкин, В. М. Платонов, Г. С. Розенберг, А. Д. Урсул, Е. Г. Чмышенко, А. С. Щеулин, Alan Holland, Barton A. Larson, Keekok Lee, Desmond McNeill, H. Sverdrup и др.), в том числе математиков (В. А. Батурин, К. В. Бычков, С. Н. Васильев, В. И. Гурман, Н. Н. Данилов, М. В. Мажаров, Г. Г. Малинецкий, В. М. Матросов, С. А. Махов, М. Hersh и др.). Большинство работ посвящено анализу понятия и проблематики устойчивого развития на гуманитарном уровне. Что касается применения математических методов к исследованию социо-эколого-экономических систем как сложных динамических систем с секторной структурой, то здесь можно выделить четыре подхода.

Во-первых, работы, касающиеся моделирования «слабой» и «сильной» устойчивостей (И. Ю. Блам, А. А. Голуб, Р. А. Перелет и др.). За основу этой классификации берется интерпретация так называемого «правила сохранения постоянства капитала». Однако предположение о соизмеримости и эквивалентности трех видов капитала является слишком «сильным», поскольку неизбежно возникает вопрос о том, каким образом можно оценить природный и, тем более, человеческий капитал.

Вторая группа работ (работы Г. Г. Малинецкого, В. М. Матросова, И. В. Матросова, К. В. Матросовой, С. А. Махова, W. С. Sanderson и др.) связана с

применением и адаптацией известных «моделей глобального развития» для изучения проблематики устойчивого развития. В ряде работ анализируется вопрос введения управляющих параметров в уравнения динамики и, таким образом, допускается возможность целенаправленного управления и оценка по предпочтительности различных заранее заданных сценариев.

Третья группа работ (работы В. М. Матросова, Е. JI. Торопцева, M. Hersh и др.) основывается на построении абстрактных имитационных моделей с использованием балансовых уравнений в различных секторах. Такие исследования, как правило, либо носят расчетный характер, либо не содержат конкретных видов функций, включенных в уравнения динамики переменных.

Четвертая группа работ (работы В. А. Батурина, С. Н. Васильева, В. В. Воробьева, В. И. Гурмана, И. П. Дружинина, Т. К. Сиразетдинова и др.) связана с исследованиями вопросов устойчивого развития на уровне отдельных регионов, преимущественно с точки зрения функционирования одного из секторов системы.

Среди работ зарубежных авторов можно встретить исследования методологического плана, такие, как обсуждение различных разделов математики с точки зрения применимости тех или иных методов и моделей к исследованию вопросов устойчивого развития (см., напр., работы M. Hersh), модели расчетного характера, касающиеся устойчивого развития в добыче нефти и прав будущих поколений (см., напр., работы Sabry A. Abdel Sabour), критику глобального моделирования (работы H. S. D. Cole, Christopher Freeman и др.). Кроме того, описываются такие имитационные модели, как абстрактная модель «Страны Чудес» (The Wonderland Model of Sustainable Development, см. работы W. С. Sanderson), предназначенная для объяснения сложности построения динамической системы для исследования устойчивого развития; модель развития Сахеля, построенная А. Пикарди и считающаяся первой имитационной моделью устойчивого развития, примененной не на глобальном уровне; интерактивная модель динамики населения и окружающей среды Коста-Рики (работы Gustavo Arria), предназначенная для анализа взаимодействия двух секторов системы; Маври-кийская модель, рассматривающая частные вопросы устойчивого развития (см. работы J. Baguant и др.). Кроме того, встречаются работы, продолжающие исследования в области глобального моделирования (см. работы Francois Е. Cellier, Hilary Flynn, Andrew Ford, Akira Onishi, Masahiro Onishi и др.).

Можно заметить, что во всех анализируемых работах авторами, с одной стороны, не предпринимаются попытки формализации задачи устойчивого развития и перевода на математический язык его основных принципов, разработка и исследование которых, с другой стороны, представляют самостоятельный интерес с точки зрения математики.

Из всего вышесказанного следует актуальность рассматриваемой темы.

Целью диссертационной работы является разработка методики построения математических моделей динамических многокритериальных систем с секторной структурой и многими параметрами управления применительно к задачам устойчивого развития, изучение вопросов существования оптимально-

го управления такими системами, необходимых и достаточных признаков оптимальности, разработка алгоритмов вычисления оптимальных управлений.

Поставленная цель исследования достигается путем решения следующих конкретных задач.

1. Разработка методики построения математической модели динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими параметрами управления, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени.

2. Исследование вопросов существования траектории устойчивого развития как оптимальной, сбалансированной, состоятельной во времени траектории динамической системы; установление необходимых и/или достаточных признаков оптимальности стратегии устойчивого развития; разработка метода вычисления траектории устойчивого развития.

3. Формализация задачи устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем в форме моделей динамических многокритериальных систем с секторной структурой и многими параметрами управления.

4. Разработка информационного и программного обеспечения задачи устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем (базы данных, алгоритмов вычисления и реализующих их компьютерных программ).

5. Апробация теоретических результатов, полученных с помощью математических моделей динамических многокритериальных систем с секторной структурой и многими параметрами управления, на примере математических моделей двух видов: модели устойчивого развития как модификации модели «Мир-3» и нелинейной оптимизационной модели с управляющими параметрами, построенной на основе статистических данных.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы методы теории оптимального управления, системного анализа, линейной алгебры, теории игр, математической статистики и регрессионного анализа, оптимизации, вычислительной математики. В качестве основы разработанной методики изучения вопросов устойчивого развития использован такой метод научного познания, как математическое моделирование.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.

1. Разработан новый методический подход к построению математической модели динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими параметрами управления, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени, и исследованию устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем при помощи математического моделирования. На основе разработанного подхода построена модификация модели глобального развития Медоуза «Мир-3», подходящая для задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы.

2. Применены принципы сбалансированности и состоятельности во времени траекторий динамической системы в исследуемом классе моделей. Найдены условия существования, доказаны необходимые и достаточные при-

знаки траектории устойчивого развития. Предложен способ формирования стратегии устойчивого развития и построен алгоритм ее вычисления. С помощью теоретико-игрового аппарата получен способ построения целевых фазовых точек.

3. Предложен метод построения математической модели динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими параметрами управления, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени, на основе статистических данных в форме нелинейной модели с управляющими параметрами (модель апробирована на примере задачи устойчивого развития Кемеровской области). Определены условия существования оптимальной траектории; сформулирован численный алгоритм построения оптимальной, сбалансированной, состоятельной во времени траектории. Построенные алгоритмы реализованы в форме нового комплекса программ.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что на основе полученных результатов могут быть построены и исследованы различные классы математических моделей устойчивого развития систем другой структуры и назначения (непрерывных, стохастических и т.д.); полученные в работе теоретические результаты могут быть обобщены на более высокие иерархические уровни устойчивого развития.

Практическая ценность полученных результатов объясняется возможностью использования разработанных алгоритмов и комплекса программ для расчета траекторий устойчивого развития конкретных региональных систем с учетом многих влияющих факторов, а также для определения оптимальных величин капиталовложений в различные сферы устойчивого развития на уровне администраций регионов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Предложен методический подход к построению математической модели динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими параметрами управления, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени, и исследованию устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем на основе предложенных и формализованных принципов управляемости, сбалансированности и состоятельности во времени траектории развития на

долгосрочный период.

2. Построены математические модели динамических систем, имеющие форму многокритериальных задач оптимального управления с закрепленными концами и фиксированным временем, двух видов: как модификация модели глобального развития Медоуза «Мир-3» и нелинейная модель, построенная на основе статистических данных (модели апробированы для задачи устойчивого развития Кемеровской области).

3. Доказаны условия существования, необходимые и достаточные признаки траектории устойчивого развития динамических систем; предложены вычислительные алгоритмы построения оптимальных, сбалансированных, состоятельных во времени траекторий динамических систем и комплекс программ,

осуществляющих расчет оптимальных управлений и построение соответствующих траекторий развития систем.

Личный вклад автора. Постановка целей и задач исследования осуществлялась научным руководителем. Автором самостоятельно были проанализированы отечественные и зарубежные научные результаты в области проблематики устойчивого развития, построены и исследованы математические модели, разработаны вычислительные методы, формализована задача устойчивого развития, осуществлены разработка и отладка комплекса программ.

Апробация диссертационной работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и конкурсах: конкурс «Лучшие рекомендации молодежи стран G 20» в рамках IV Евразийского экономического форума молодежи (IV ЕЭФМ) (г. Екатеринбург,

2013 г.); Международный конкурс научно-исследовательских проектов «EURASIA GREEN» в номинации «Модель рационального природопользования» (г. Екатеринбург, 2013 г.); Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов, аспирантов и молодых ученых по нескольким междисциплинарным направлениям «ЭВРИКА-2011» в номинации «Математическое моделирование в технических и социально-экономических системах» (г. Новочеркасск, 2011 г.); Международный круглый стол «Интеграционные процессы на Евразийском пространстве: проблемы и перспективы развития» (г. Екатеринбург, 2013 г.); Международная научно-практическая конференция «Дни науки - 2012» (г. Прага, 2012 г.); Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании'2010» (г. Одесса, 2010 г.); Международная научно-практическая конференция «Перспективные разработки науки и техники» (г. Пшемысль, Польша, 2011 г.); Международная научно-практическая конференция «Стратегические направления устойчивого развития Байкальского региона» (г. Иркутск, 2010 г.); Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий РФ» (г. Якутск, 2012 г.); Международная научно-практическая конференция «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (Сибресурс-16-2010)» (г. Абакан, 2010 г.); Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации — вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, 2008 - 2011 гг.); Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 2009 - 2011 гг., 2013 г.); Международная научно-практическая конференция «Эволюция научной мысли» (г. Уфа,

2014 г.); Всероссийская молодежная научная школа «Управление, информация и оптимизация» (г. Юрга, 2012 г.).

Результаты, представленные в диссертационной работе, были получены в рамках выполнения краткосрочной поисковой научно-исследовательской работы по теме «Математическое моделирование устойчивого развития экономического региона» в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по лоту,

шифр «2011-1.4-502-004» «Проведение поисковых научно-исследовательских работ в целях развития общероссийской мобильности в области информационных и информационно-телекоммуникационных технологий и вычислительных систем» по Государственному контракту № 14.740.11.0965 от 05.05.2011 г. по теме: «Разработка математических моделей, алгоритмов и Web-приложений для поддержки стратегического управления инновационной организацией».

Оценка результатов исследования.

1. Диплом I степени V (XXXVII) международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей» (2010 г.).

2. Диплом финалиста Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов, аспирантов и молодых ученых по нескольким междисциплинарным направлениям «ЭВРИКА-2011» (2011 г.).

3. Именная стипендия Президента Российской Федерации на 2011/2012 учебный год (аспирантам очной формы обучения образовательных учреждений по направлениям подготовки, соответствующим приоритетным направлениям модернизации и технологического развития российской экономики, по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам).

4. Диплом Ш степени конкурса «Лучшие рекомендации молодежи стран G 20» Конгресса молодых экономистов в рамках IV ЕЭФМ (2013 г.).

5. Сертификат за активное участие на Международном круглом столе «Интеграционные процессы на Евразийском пространстве: проблемы и перспективы развития» в рамках IV ЕЭФМ (2013 г.).

6. Диплом финалиста международного конкурса научно-исследовательских проектов «EURASIA GREEN» в номинации «Модель рационального природопользования» (2013 г.).

7. Почетная грамота ректора КемГУ за победу в финале IV Евразийского

экономического форума (2013 г.).

8. Диплом I степени конкурса научных работ молодых ученых на XII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (2013 г.).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и ее результатов полностью отражено в 21 научных работах автора, в том числе в 3 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК, и 3 статьях в зарубежных изданиях. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, шести приложений и содержит 257 страниц, из них 163 страницы основного текста.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Н. Н. Данилову за всестороннюю помощь, советы и под держку при выполнении настоящей работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение включает обоснование актуальности работы, ее новизны, теоретической значимости и практической ценности, апробации, общую характеристику работы.

Первая глава посвящена формализации задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы как модели динамической системы с секторной структурой и многими параметрами управления. Определяется структура модели и конкретизируется общий вид такой системы.

Под фазовым состоянием системы понимается вектор х = (х1,х1,...,хп), где х,, г = 1,...,и, - совокупность данных, характеризующих ;-й сектор. Предполагается, что все секторы снабжены некоторыми рычагами управления: и = (м,,г/2,...,мл). Пусть [О,Г] - рассматриваемый период развития системы. Обозначим через увектор дополнительных параметров, определяемых путем прогнозирования с применением статистических данных, либо являющихся константами.

Идентифицировав переменные, от которых зависит показатель хбудем строить зависимости следующего вида:

(0=У'С*/ С -1),«1 (0.....и»СО). ¿=1,-,", / = 1,2,...,г, (1)

учитывающие взаимосвязь между всеми секторами системы. К этим п соотношениям, выступающим в качестве уравнений динамики, добавляются начальное и конечное состояния системы, ограничения, а также критерии качества:

= *"СО) = *0". (2)

х\Т) = х\,...,х\Т) = х», (3)

и\Оеи;, ... , и-СОеС/;, ? = 1,2,...,Г, (4)

х1(!)еХ1„ - . *"С0е I = 1,2,..„Г, (5)

У (х',..., х0", и' (■),..., и" (•)) -> шах(тт),

(6)

Г" (^..„^"У (•),-,«"(•)) тах(тт).

Здесь конкретные виды функций Т7', г = 1,...,«, можно формировать исходя из содержательного смысла рассматриваемых показателей. Таким образом, сложной динамической управляемой системой с секторной структурой и дискретным временем называется система вида (1) - (6). Обозначим ее символом хР(х°,Г), подчеркивая начальное условие и продолжительность.

Выделим классы исследуемых в задаче ^(х0^) траекторий:

- допустимая траектория;

— оптимальная (в том или ином теоретико-экстремальном смысле) траектория;

- траектория устойчивого развития.

Понятие сбалансированного развития секторов системы формализуется следующим образом. Предполагается, что конечное состояние х соответствует всем нормативным требованиям и гармоничности (отсутствию диспропорций) рассматриваемых секторов. Поэтому степень сбалансированности текущих состояний х{{) {г = 1 ,...,Т -1) оценивается по отношению к х". Для этой цели вводится понятие «расстояния» р между х(?) и х следующим образом:

" ) " (7)

к

к=1 '=1 где весовые коэффициенты 4к, к = \,...,К, интерпретируются как коэффициенты относительной «важности» к-й компоненты системы. Эти коэффициенты называются коэффициентами гармоничности.

Обозначим через Ж принцип оптимальности (п.о.) в задаче Ш(хй ,Т) (напр., оптимальность по Парето, Слейтеру, максимизация взвешенной суммы критериев, равновесие в той или иной форме и др.).

Определение 1. Оптимальная (в смысле выбранного п. о. IV) траектория х(-) системы ЧЧЛГ) называется сбалансированной на интервале времени [0,Г], если для некоторого фиксированного ¿> >0 выполняются неравенства р,{х,хЦ))й5„ / = 0,1 /=1,...,п.

Введем в рассмотрение Х(х°,Т) - множество оптимальных (в смысле п.о. IV) траекторий в задаче ^(х0,!). Предположим, что Х(х°,Т) Ф 0. Множество

Щх°,Т) = {^(х(-)) = (П*(•)),-,^"«0)) I *(0 е Х(х°,Г)} называется оптимальным значением задачи х°,Т).

Пусть х(-) е Х(х°, Т). Вдоль этой траектории определяется семейство задач, аналогичных задаче Ч^ЛГ): {Ч/(х(0,7,-/у = 0,...,Г}. Текущая задача Ч,(х(0,7'-?) отличается от исходной задачи хР(х0,Г) начальным состоянием и продолжительностью. Оптимальное значение текущей задачи Ч/(х(0,7'-0 обозначим через IV(х(0, Т - 0.

Определение 2. Оптимальная (в смысле п.о. ¡V) траектория х(-) задачи Ч'Сх0^) называется состоятельной во времени на отрезке [0,Г], если выполнены следующие условия: Х(х^),Т - /) Ф 0 для всех ? = 0,...,Г; ^(•)|[,леХ(Зс(0,7'-0, ( = 0,...,Т, где *(-)|[(Л - сужение траектории х(-) на

Определение 3. Траекторией устойчивого развития в модели ,Т) называется такая оптимальная траектория х(-) = {*,(/),...,*„(/)> ^ = 0,...,7"} этой

задачи, вдоль которой выполнены условия сбалансированности и состоятельности во времени.

Обоснуем возможность формализации задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы в качестве примера реализации динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими управляющими параметрами, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени. Состоятельность во времени в данном случае означает, что принципы эффективности развития экономики, высокий уровень благосостояния и культуры, социальные, экологические и общечеловеческие ценности, политические и законодательные каноны поведения людей должны сохраняться на всем пути развития.

Под социо-эколого-экономической системой в диссертационной работе понимается взаимосвязанное множество элементов природного, производственного, социального характера, функционирующих на отдельных территориях.

Под устойчивым развитием социо-эколого-экономической системы понимается взаимосвязанное и сбалансированное развитие трех основных секторов жизнедеятельности — экономического, социального и экологического, которое удовлетворяет потребности настоящего поколения без лишения возможности будущих поколений удовлетворять свои потребности.

Опираясь на приведенные определения и результаты анализа данной проблематики на гуманитарном уровне, выделим следующие основные требования, предъявляемые к математической модели устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы:

- наличие трех подсистем, соответствующих трем секторам - социальному, экономическому, экологическому;

- наличие в модели параметров управления развитием региональной системы на долгосрочном интервале времени и всех ограничений и условий, отражающих положения концепции устойчивого развития;

- учет гармоничного многоцелевого характера развития региональной системы;

- формализация основных принципов и факторов устойчивого развития.

Приведем формализованную постановку задачи устойчивого развития

(Задачи УР) региональной социо-эколого-экономической системы.

Задача УР. Найти такую траекторию развития региональной социо-эколого-экономической системы 3с(-) = {х,(0>—>*,,(0>' = 1>—в задаче хР(:с0,7'), которая удовлетворяет следующим условиям:

1) х,(0)=х,°, х,{Т) = х], / = 1,...,и;

2) показатели (6) вдоль траектории х(-) достигают оптимальных (в некотором смысле) значений;

3) выполнены условия сбалансированности и состоятельности во времени траектории, то есть

¿ = 0,1,...,7\ i = l,...,n, X(x(t),T-0*0, *(•)|[i>r]eX(x(t),T-t),t = 0,...,T.

Во второй главе строится модификация модели глобального развития «Мир-3» как модель динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими управляющими параметрами, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени, подходящая для задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы.

Модификация глобальной модели «Мир-3» как приспособленной для исследования задачи устойчивого развития на региональном уровне выполнена с учетом следующих предпосылок:

— численность населения региона, как и в модели «Мир-3», разбивается на четыре диапазона возрастов: от 0 до 15 лет, от 15 до 45 лет, от 45 до 65 лет, от 65 лет и старше;

— считаются известными расходы регионального бюджета (обозначим через I(t)), численности населения во втором и четвертом диапазонах возрастов (обозначим через p2(t) и р4(?) соответственно), а также величины желаемой и предельной фертильностей (обозначим соответственно через 5, (t) и B2(t)), которые определяются путем прогнозирования с применением статистических данных региона;

— постоянными считаются следующие параметры модели: WA — стоимости ввода в эксплуатацию одного гектара земли, 1Х — доли сельскохозяйственных инвестиций, идущей на разработку новых площадей, ZIA - скорости генерации загрязнения, - характерного времени абсорбции загрязнения; вероятности Du, / = 1.....4, умереть индивидууму в различных диапазонах возрастов;

— скорость увеличения ранее возделанных земель, разрушенных почвенной эрозией, считается прямо пропорциональной количеству уже имеющихся таких земель с коэффициентом а — const; аналогично — природные ресурсы считаются убывающими с постоянным темпом /7;

— вводится показатель благосостояния населения, прямо пропорциональный уровню сервиса и обратно пропорциональный численности населения;

— в качестве управляющих воздействий используются доли бюджета, ежегодно направляемые в промышленность (обозначим через м, (?)), производство услуг (и2(0), производство пищи (u3(t)), на восстановление почвы, разрушенной эрозией (и4(/)), на восстановление ресурсов (или их вторичную переработку, и5(г)), на ликвидацию загрязнений (и6(/)) и на контроль за рождаемостью (u1(t)).

Построенная модель ,7*) имеет вид многокритериальной задачи оптимального управления. В качестве фазовых переменных рассматривались: в экономическом секторе - индустриальный и сервисный капиталы в году t (обозначим через л:,(i) и x2(t) соответственно), площади невозделанных, но при-

годных к обработке земель и разрушенных почвенной эрозией земель (обозначим через лг3(0 и х4 (/)), в экологическом секторе - уровни природных ресурсов и загрязнения (обозначим через х5(() и х6(()), в социальном секторе — численность населения в первом диапазоне возрастов (х7(г)).

Построенная модель х(х°,г) включает следующие элементы:

уравнения движения:

1-

J_

+ /(0и,(0, x2(/) = x2(t-l)

1-

+ I(t)u2(t),

*з(0 = *з С-1)-

х5 « = х5 (/-1)(1-/?) ■

I(t)u3(t)Ix

WA

4R

; x,(t) = xA(t-\)(\ + a)-

»4 то

Яе

, X6(t) = x6(t-1)

/

То 1г

+ Z,.

Д0ив(0

1р

4z

t = 1 т

где Tf, Ts — фиксированные времена износа основных фондов промышленных и сервисных предприятий соответственно, qE - стоимость восстановления одного гектара земли, qR - стоимость восстановления единицы ресурса, qz - стоимость очистки единицы загрязнения, qp - максимальное количество средств, выделяемых на контроль за рождаемостью;

— краевые условия:

*j (0) = х), j = 1,...,7, Р, (0) = рЧ, i = 2,3,4, х, (Т) = х-, j = 1.....7;

— ограничения на управляющие параметры:

¿иДО + GC< 1, Uj(f)>//ДО,J = 1.....7;

У=1

где Gc — доля отчислений в производство товаров народного потребления, //ДО — минимально возможная доля финансирования, направляемая в определенный сектор в каждый момент времени (год) t;

— фазовые ограничения:

хДО>0,у=3,...,7, x5(t + 1) —х5(0^0, t = 0,...,T-I;

— функционалы качества:

1=1 т

«(•)eU 7

( 7 N

F2(*0,M(-)) = £/(0

r=i ^ >i

ы MO "<>sU

—> mm,

»(•)eU

где м(-) = {м(0),м(1),...,м(Г-1)} (u(t)=(u,(t),...,u1(t))) - допустимое управление системы х(х°,г), U - множество всех допустимых управлений.

Для формализации принципа сбалансированности в задаче х(х°,г), как и ранее, обозначим гармоничные целевые состояния экономического, экологического и социального секторов соответственно через хЕ =(х1,х2,хг,х4), x'N = (х"5,х'6), x's =Ху. Тогда понятия сбалансированной, состоятельной во времени траекторий и траектории устойчивого развития в задаче 1.{х°,Т) можно ввести аналогично, как это было сделано для задачи >1'(х0,7т) (см. определения 1-3).

Обозначим задачу И(х°,Т), где в качестве принципа оптимальности рассматривается максимизация взвешенной суммы критериев (8), через Е,(х0,Г). Далее задачу Y(x°,T) будем называть основной задачей УР, а задачу Т.1(х°,Т) - задачей УР с приоритетами.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть в задаче Е,(х°,Г) выполнены следующие условия:

1) условия существования допустимой траектории: u°j(t)>juj(t),

у=1,...,7; ¿M°(i)<l-Gc, t = \,...,T\ к?<к\, i = 0,...,r-l, где k)>Q, 7=1,...,7, / = 1,...,Г-1, - некоторые неотрицательные действительные числа,

кj = 1, кj — Xj jXj ,

2) условия существования сбалансированной траектории: рк{х ,x°)<Sk, k~0,E,N,S, а при к)> 1 выполняется ограничение х°/х]<2[к) -1)/(к'} +1), 7=1,...,7, t = \,...,T-\.

Тогда в задаче Y.x(x°,Т) существует траектория устойчивого развития. Третья глава посвящена исследованию построенной в форме задачи оптимального управления модели, рассматриваются вычислительные аспекты задачи, доказываются основные утверждения.

В следующих двух утверждениях приводятся необходимый и достаточный признаки сбалансированности оптимальной траектории системы Е,(х°,Г).

Теорема 2. Оптимальная сбалансированная траектория х(-) задачи Е,(х°,Г) удовлетворяет условиям:

< ¿Г (*,• (0), 7 = 1,...,4; £< sr (*, (0) ,1 = 5,6; £ < Sf (*7 (0), где оптимальная траектория Зс(-) определяется соотношениями: Xj(t)~

= )' х,° + Z [(а, У' (р] (туйj (г) + У] (г))], j = \,...,1, t = Т, a йу(г)- оптималь-

Г=1

ные значения управляющих параметров.

Теорема 3. Пусть х(-) - оптимальная траектория задачи 2,(х°,Г), и выполняется следующее условие:

х* =х,(Г) = (ау)гх°+Х[(ау)г-'(^(0«,(О + ГДО)],

Для того чтобы траектория х(-) была сбалансированной, достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

7 = 1,..,4; ^,<<5.Г(^(0)/2, 7 = 5,6; £ <£Г(*7(0);

<У0 = +5n +5S,

^■max _

^mrn

где оптимальная траектория х(-) определяется соотношениями: Xj{t)-= (a j )' + X [(«,)'-' (ßj (т)П/т) + у, (г))], у = 1,-J, t = l,...,T, а «,(/)- оптималь-

Г=1

ные значения управляющих параметров. Здесь

max х, (t), <яйёё Эг: х, (/) < х*, t = 0,1,..., Т -1,

(=0,1.....т-1 J ' 1

. х,(1)<х]

min x,(t),äneexAt)> х] Vi = 0,l,...,r-1, (=0,1,... j-i 1 1 1

min xAt),äMex,(t)> x'. Vi = 0,1,...,Г-1,

(=0,1.....T-1 1 1 1

max x. (0, апёё 3t: x, (t) < x*, t = 0,1,...,Г -1, (=0,1,....r-l 1 '

sr=fc -хг)а;)2. -Г

¿Г (*, (>))=, 5Г(Xj(0) = ^/sr, 7= l,-.,4, ¿Г(*,(')) = > ¿Г(*Д0) = ^/sf , 7 = 5,6.

¿г (*7 (0) = ss /зг> ¿fn (*7 (0) = ^ /sf • Величины Xraax, позволяют проверить, в каком направлении должны изменяться фазовые переменные задачи для достижения целевых фазовых точек. Смысл введенных обозначений Е™х, EJm состоит в определении соответственно максимальной и минимальной относительной разницы в развитии между целевым и текущим состояниями системы с учетом относительной «важности» j-й компоненты системы. Величины 8™*, ö™m, к = E,N,S, показывают, во сколько раз величины Е™\ Zf" отличаются от предельных значений 8к, к = E,N,S, по каждому из секторов в каждый момент времени. Введем в рассмотрение величины:

_/' = 1,...,7, представляющие собой оптимальные значения управляющих параметров модели в момент Т, полученные в результате применения метода динамического программирования.

Теорема 4. Пусть в задаче X, (х°, Т) выполнены следующие условия:

1) условия на параметры уравнений движения:

Че Чг 2-30 15 Т5 Т, Т3

(Я,(0-52(0)<0,г = /1,/2,Г;

2-30 дР

2) условия на коэффициенты целевого функционала:

, .

Ч 4z т,

4z

Р2-

(ПУ

4zTz

(Т,)2 {Т°2у

Тогда оптимальные управления, имеющие вид

«] (0 = fa С,), Hj С2)> wj(П} j = 1,3,-..,7,

«2 0 =

j=i j* 2

j=1 J* 2

приводят систему E^jc0,?") из начального состояния х° в конечное состояние X — (^Xj., xN, xs j.

Теорема 5. Оптимальная траектория задачи Х,(л:0,Г) является состоятельной во времени.

Для вычисления траектории устойчивого развития системы в параграфе 3.5 предлагается алгоритм, основанный на методе динамического программирования Р. Беллмана. Разработанная на основе данного алгоритма программа на языке Object Pascal в среде Delphi 7 позволяет выявить общие качественные тенденции динамики переменных, произвести анализ чувствительности результатов по отношению к различным заложенным в модель предположениям. В диссертационной работе рассматривается численный пример применения данной программы для расчетов по статистическим данным Кемеровской области.

В четвертой главе строится и анализируется математическая модель динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими управляющими параметрами, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени, на основе статистических данных в форме нелинейной оптимизационной модели с управляющими параметрами (модель апробирована на примере задачи устойчивого развития Кемеровской области).

При определении фазовых состояний и других параметров модели за основу брались индикаторы устойчивого развития социо-эколого-экономических систем, предложенных Комиссией ООН по устойчивому развитию.

Среди социальных индикаторов при построении фазовых уравнений были выбраны следующие: численность населения в году t (обозначим через х, (t) ), число умерших (d{t)), число родившихся (b(t)), миграционный прирост (m(t))\ численность населения с доходом ниже прожиточного минимума (х2(/)), доходы населения (х3 (/)); удельный вес детей, обучающихся в общеобразовательных учреждениях (хл (/)); число больничных учреждений (х5 (г) ); число семей, состоящих на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях (x6(i)).

Набор параметров экологической подмодели содержит следующие величины: объем сброса загрязненных сточных вод (обозначим через х7 (t) ); посевные площади сельскохозяйственных культур по хозяйствам всех категорий (xs(f)); лесовосстановление (х9(/)); выбросы в атмосферу загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников (х10(/)).

И наконец, параметры экономического развития включают следующие: валовой региональный продукт (хп(/) ), валовое накопление основных фондов (х12(0); производство тепловой энергии (x13(i)), добыча полезных ископаемых (х14(0); количество убыточных предприятий и организаций (х15(/)).

В этой главе в качестве общих управляющих параметров модели для всех трех секторов рассматриваются доли бюджета региона, направляемые в год t в национальную экономику (обозначим через и,(О), жилищно-коммунальное хозяйство (m2(î)), охрану окружающей среды (н3(0), образование (и4(г)), культуру (us(t)), здравоохранение (ub(t)) и социальную политику (it-,(t)). Обозначим через vf (t) = ui (t)I(t), i = 1.....7, - расходы бюджета региона в i -ю сферу в год t.

Уравнения движения для каждого из показателей получены путем построения авторегрессионной модели или при помощи конечных разностей первого порядка, то есть с учетом предшествующих значений выбранных фазовых переменных, известных из статистических данных. Полученная модель □(х°,Г) является дискретной задачей оптимального управления со многими критериями качества.

Уравнения подмодели социального сектора:

х, (0 = х, (i -1) + b(t) + m(t) - d{t), x2(t) = е"'л{'-'\а22 + «23vi(0 + «24V2(0 + a25v6(t)), x3(f) = я31х3(/ -1) + a32v,(0 + a33v2(/) + a34, ' x4(/) = a41(x4(i — l))0,5 + a42(v4(i))°'5 +a43(v7(i))0'5 + a44, x5 (/) = x5 (/ -1) + a5, ln(v6 (i)) + a S1 ln(v7 (/)) + a5 3, *6 (0 = *6(r-l) + a61 ln(v, (i)) + a62 ln(v2 (i)) + a6Jv6 (i) + aM.

Уравнения подмодели экологического сектора:

'x1 (t) = x1{t~\) + all ln(V[ (f )) + an ln(v3 (/)) + an, (t) = x8(i-l) + agl ln(v, (0) + an ln(v4 (/)) + a83, ' x9 (i) = x9 (/ -1) + a91 (v, «Г (v2 (0)"'",

(0 = Хю(' _ 1) + «10,1 In(v,(r)) + «,0,2V2 (0 + «10,3 V3 (0 + °10,4-Уравнения подмодели экономического сектора:

I (0 + («11,1 + «11,2V1 WX«1 1,3 + «I1,4V6 (0 + an,5 (y6 (0)2),

xn(t) = xn(t-\) + alue°™vM, • *I3 (0 = + 0,3.1 lnOl (0) + «13,2 V2 (0 + «13,3 >

x14 (0 = aI4.,xI4 (t - l)(v, (0)"'" (v2 (0)"'4'3,

*15 (0 = «15,1 ln(*15 (* ~ О) + «15,2 V1 (0 + «15,3 ■ Граничные условия модели:

xj(0) = xaj,xj(T) = xj, j = 1,...,15, Ограничения на управляющие параметры модели:

¿v,(0£/(0,vf(/)*0, i = 1.....7, t = \,...,T.

¡=i

Фазовые ограничения модели: х,(0 > 0, j = 1,...,15, ху.(0 < /i24, j = 2,4, > VjX^t), j = 5,8, х13(/) < fx^xfy),

t = \,...,T.

Критерии качества в социальном секторе:

Рг , v(-)) = t х2 (0 -> min, F3vQ) = max,

F4(x°,vQ) = ¿X4(i) -> max, F5(x°,v(-)) = ¿x6(f) -> min , Критерии качества в экологическом секторе:

F6(x°X•)) = ¿*,(0-> min, F7(x°,v(•)) = ¿х10(0-> min,

ы v()sV TÜl K')6V

Критерии качества в экономическом секторе:

= ¿^->max, F9(x°,v(-)) = ¿x]2(r) ->max,

" X, (/) ■ vt )sV " v( )sV

T

^io(*V(0) = £*1S(0 min.

Для доказательства существования оптимальной траектории в задаче П(х°,Т) предполагается, что экспертным путем определены граничные значения следующих переменных: в экономическом секторе — максимальное число убыточных организаций (обозначим через z15); в экологическом секторе — наибольший объем сброса сточных вод (z7) и минимальная посевная площадь

(в социальном секторе - максимальная численность населения (г,); а также

минимальная величина расходов бюджета {2).

Кроме того, вводятся следующие обозначения, связанные с поведением

допустимых траекторий системы П(х°,Г):

аГ = тах{2-1е(-°|--г,1"а12"'|"Иг2)/о,л'' ,(а„)"' (- а^ - а32а,)}

аГ

о-™" = тах{(2а63)~'(- ам - ап1п(«,2) - аЬ21п(а2г)\ (а25)~'(- а24аг - а2Ъах)\

= («25)"'((>"24 - «22 - «23«! " «24 «2}

= тах|2е(/'!г'1 Ь(1"2))/аи,(а„(- а^"0'5 - а42 («4)0'5)}, аГ = {апУ^\ц2А -а44)-а42(«4)0'5)

7

Здесь а,, г = 1,.. .,7, - некоторые числа, причем ]Га, =1, а,> 0, / = 1.....7. Пере-

м

численные условия содержат только известные величины и являются несложными для проверки.

Теорема 6. Пусть в задаче П(х°,Т) выполнены следующие условия:

1Ч — <3151 1Пг15 - (3151 _ _ 1 ^ _}_ (АГ1-<г,1-2,-а„1п(ог|2))/(о,г2) <1 .

«15,12 2 £

2) <?Г < > < 1, <т,шах > 0, г = 2,6,7. Тогда множество допустимых траекторий X задачи П(х°,Т) непусто и компактно.

Обозначим задачу О(х0,Г), где в качестве п.о. Ж понимается принцип максимизации взвешенной суммы критериев, через П1(х°,7').

Теорема 7. Пусть в задаче О10°,7') выполнены условия теоремы 6. Тогда в задаче ПДх0,?1) существует оптимальная траектория.

Примем теперь в качестве п.о. Ж в задаче П(х°,Т) п.о. Парето. Эту задачу обозначим через О, (х°, Т).

Теорема 8. Пусть в задаче П2(*°,Г) выполнены условия теоремы 6. Тогда в задаче П2(х°,Т) существует оптимальная (в смысле Парето-оптимальности) траектория.

Дополнив для дальнейших расчетов модель Л^х0,!) уравнениями демографической динамики и одним критерием качества в сфере демографии:

новую задачу с уточненной демографической динамикой обозначим через П3(х°,Т). Сформулируем алгоритм вычисления оптимальной, сбалансированной, состоятельной во времени траектории в модели С1](х°,Т).

Этап I. Определение граничных условий модели (6°, т°, , х*, 7=1,...,15, Г), экспертных оценок для сбалансированной траектории у =1, ...,15, дк, к = 0,Е,Ы,8), параметров модели на плановом отрезке времени (/(/), t = 1,...,Г), параметров ограничений 7=5,8,9,13,14) и экспертных оценок весовых коэффициентов функционала качества (Лк, к = 1,...,10).

Этап II. Применение численного метода «бегущей волны» И. А. Вателя и А. Ф. Кононенко, для поиска оптимальной, состоятельной во времени траектории системы О3(х0,Г), включающее реализацию следующих шагов.

Шаг 2.1. Задается начальное приближение к решению задачи о максимуме взвешенной суммы критериев с учетом ограничений задачи.

Для выбора начального приближения можно воспользоваться временными рядами по имеющимся статистическим данным рассматриваемой системы.

Шаг 2.2. Выбирается р = 3 и далее улучшается начальное приближение посредством варьирования траектории на участке |!к^к+р], к = 0,...,Т-р. При этом значения всех фазовых переменных в точках ¡к и гк+р считаются заданными, апеременные (7 = 1,...,17, 1 = \,...,р — \) и управляющие параметры и*+? (г = 1,...,7, <7 = 0,...,77 — 1) являются неизвестными. Общее число неизвестных равно 16(р — 1) + 6р = 50, для их определения имеется 16р = 48 уравнений. Разница между числом неизвестных и числом уравнений равна г = 6р-16 = 2 — это

количество свободных параметров на варьируемом участке. В качестве свобод-

к+1 к+2

ных параметров принимаются доли м, , и, .

Для численного решения системы сорока восьми нелинейных уравнений, которые для краткости перепишем в следующей форме:

Ях# + к-\),и(! + к))-х;(! + к) = 0, к = 0,...,2, 7 = 2,...,17, 1 = 1,...,Т-2, с нелинейными ограничениями, которые обозначим:

0, / = 1,...,64,

можно применить известные методы штрафных и барьерных функций, прямого поиска и др., где для минимизации целевой функции, имеющей вид:

+ к~!).«(' + *))-*;(' + к)У, г = 1,...,Г - 3,

>2 к=0

используются градиентный метод, метод сопряженных градиентов и т.д.

Шаг 2.3. При варьировании участка траектории длины р формулируется задача минимизации функции:

А^ = £ [- Л ¿(0/*1 (0 + Л1х1 (Г) - Л, х3(/)/*, (0 - Л4х4 (/) +Л5х6(/) +

ык

+ Л6х7 (0 -Л7х10(О~Л3хп (0/лг, (е) - Л9хп (/) - Л10х]5 (»] от \6р + г переменных хУ (] = 2,...,\1,1 = к + \,...,к + р-1) и ы?

,д=к,...,к + р-1). Последовательно даются приращения ±к каждой

из г = 2 независимых величин. Если AFk уменьшается при выполнении ограничений задачи, то всем величинам на варьируемом участке присваиваются новые значения. В противном случае значения величин сохраняются.

Шаг 2.4. Варьируемый участок длиной р сдвигается на величину одного

шага к = 1.

Шаг 2.5. Шаги 2.3 - 2.5 повторяются, до тех пор пока не будет достигнут конец траектории {к~Т - р).

Этап III. Проверка условий сбалансированности для построенной оптимальной траектории.

Описанный алгоритм реализован в программе «Решение задачи устойчивого развития Кемеровской области» на языке Object Pascal в среде Delphi 7. Применение данной программы возможно для определения оптимальных величин бюджетных отчислений в различные сферы устойчивого развития на уровне администрации региона. С целью автоматизации проведения подобных расчетов в работе также предложена реализация в Microsoft Office Excel 2003 при помощи языка программирования Visual Basic for Applications 6.3. базы данных для хранения статистической информации по Кемеровской области. На собранной информации модель была апробирована, полученные результаты по оптимальному распределению бюджетных отчислений на рассматриваемом интервале времени сравнивались с фактическими данными.

В заключении приведены выводы и оценка результатов работы.

1. Разработанный методический подход к построению математической модели динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими параметрами управления, функционирующей согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени, и основанный на нем подход к количественному и качественному анализу проблематики устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем базируются на формализованных в работе принципах оптимальности, сбалансированности и состоятельности во времени траектории системы.

2. Одним из способов исследования рассматриваемого класса динамических систем (на примере задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы) является применение построенной автором математической модели как модификации модели глобального развития Медо-уза «Мир-3» в форме задачи оптимального управления с закрепленными концами и фиксированным временем окончания. Для предложенной модификации модели «Мир-3» найдены условия существования траектории устойчивого развития, необходимые и достаточные признаки. В качестве инструмента поиска целевых фазовых точек предлагается использовать теоретико-игровой подход. Доказанные условия существования дают возможность определить нижнюю границу для уровня всех фазовых переменных в начальный момент времени. Признаки сбалансированности траектории определяют условия на коэффициенты гармоничности для каждого из секторов системы. Доказанные утверждения об оптимальности траектории наглядно демонстрируют взаимовлияние

между секторами системы и включают условия на параметры уравнений движения и на коэффициенты целевого функционала.

3. Для вычисления оптимальной, состоятельной во времени траектории предлагается алгоритм, основанный на методе динамического программирования Р. Беллмана. Разработанная на его основе программа позволяет выявить общие качественные тенденции динамики основных переменных, произвести анализ чувствительности результатов по отношению к различным заложенным в модель предположениям. В работе рассматривается численный пример применения этой программы для расчетов по данным Кемеровской области.

4. Вторым способом исследования рассматриваемых динамических систем является применение построенной автором нелинейной модели с управляющими параметрами, основанной на статистических данных системы. В работе впервые описывается способ построения модели такого рода, который рассматривается на примере статистических данных Кемеровской области по трем секторам (экономическому, экологическому и социальному). Для предложенной модели доказаны условия существования оптимальной траектории, базирующиеся на наличии экспертных оценок минимально и максимально возможных значений фазовых переменных по различным секторам.

5. Для расчета оптимальной, сбалансированной, состоятельной во времени траектории в построенной модели предложен численный алгоритм, где поиск оптимальной, состоятельной во времени траектории основывается на методе «бегущей волны» И. А. Вателя и А. Ф. Кононенко. Разработанный алгоритм реализован в виде программы. С целью автоматизации проведения подобных расчетов для задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы в работе также предложена реализация базы данных для хранения статистической информации по Кемеровской области, на которой модель была апробирована; полученные результаты сравнивались с фактическими данными.

В приложениях содержатся описание модели «Мир-3» (Приложение 1), симплекс-таблицы для поиска условно-оптимальной стратегии развития региональной системы в конечный момент времени (Приложение 2) и таблицы, содержащие характеристики модели устойчивого развития региональной системы с применением статистических данных (Приложение 4), листинги программных реализаций алгоритмов расчета оптимальных траекторий для двух моделей устойчивого развития региона (Приложения 3, 6), программной реализации базы данных (Приложение 5).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах, рекомендованных ВАК РФ

1. Чернова, Е. С. Построение эконометрической модели устойчивого развития региона (на примере Кемеровской области) [Текст] / Е. С. Чернова // Региональная экономика: теория и практика. - М.: Издательский дом Финансы и Кредит, 2012. - №21(252). - с. 60-64.

2. Чернова, Е. С. Методика определения конечного состояния региона как целевой точки устойчивого развития с помощью теоретико-игрового подхода [Электронный ресурс] / Е. С. Чернова // Известия Иркутской государственной экономической академии (Байкальский государственный университет экономики и права). - 2010. - №6. - URL: http://eizvestia.isea.ru/reader/

article.aspx?id=l 3954.

3. Чернова, Е. С. Исследование системы образования региона при помощи математического моделирования в контексте устойчивого развития [Текст] / М. В. Косенкова, Е. С. Чернова // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2011 - Вып. 3 (47). - с. 69-76.

В других изданиях

4. Chernova, Е. S. Conditions For Optimality of Trajectories In One Model For Sustainable Development of Economie Région / E. S. Chernova // «Dny vëdy -2012». - Dil 82. Matematika: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o -stran. 80-85.

5. Чернова, E. С. Применение метода динамического программирования для построения оптимальной траектории в одной модели устойчивого развития экономического региона [Текст] / Е. С. Чернова // Materialy УП Miçdzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji «Perspektywiczne opracowama

nauk^ i technikami - 2011» Volume 51. Matematyka.: Przemysl. Nauka i studia, 2011 -str. 61-64.

6. Чернова, E. С. Состоятельность во времени траекторий в одной модели устойчивого развития региона [Текст] / Е. С. Чернова // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании'2010 (Су-част проблеми та шляхи ix виршення в наущ, транспорт!, виробницт та освт '2010). - Том 8. Физика и математика. - Одесса: Черноморье, 2010. - с. 16-18.

7. Чернова, Е. С. Вычисление оптимальной траектории в модели устойчивого развития региона, построенной в форме модифицированной глобальной модели «Мир-3» [Текст] / Е. С. Чернова// Вестник Кемеровского государственного университета: журнал теоретических и прикладных исследований. - 2009. - № 2. - с. 48-51.

8. Чернова, Е. С. Анализ условий управляемости в одной задаче оптимального управления, представляемой как модель устойчивого развития экономического региона [Текст] / Е. С. Чернова // Проблемы повышения эффективности региона : материалы II Всерос. науч. конф. с междунар. участием, по-

свящ. 50-летию Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та им. акад. М. Ф. Решетнева; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. - Красноярск, 2010. - с. 98-102.

9. Чернова, Е. С. Построение и исследование математической модели устойчивого развития экономического региона в форме модифицированной глобальной модели Медоуза «МИР-3» [Текст] / Е. С. Чернова // Сборник работ победителей отборочного тура Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов, аспирантов и молодых ученых по нескольким междисциплинарным направлениям, г. Новочеркасск, октябрь-ноябрь 2011 г. / Мин-во образования и науки РФ, Юж.-Рос. гос. техн. ун-т.(НПИ). - Новочеркасск: Лик, 2011. - с. 549-552.

Ю.Чернова, Е. С. О формализации процедуры расчета траектории устойчивого сбалансированного развития региональной социо-эколого-экономической системы [Текст] / Е. С. Чернова // Eurasia Green: материалы Международного конкурса научно-исследовательских проектов молодых ученых и студентов / [отв. за вып. М. В. Фёдоров, Э. В. Пешина, Г. Ю. Пахальчак]. - Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2013. - с. 24-27.

П.Чернова, Е. С. Применение регрессионного анализа для построения математической модели устойчивого развития экономического региона (на примере Кемеровской области) [Текст] / Е. С. Чернова // Ш Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации»: Тез. докл. / Под редакцией В. И. Васильева. - Якутск: Изд-во «Сфера», 2012. - с. 81-84.

12.Чернова, Е. С. Применение кусочно-непрерывных функций при моделировании устойчивого развития региона [Текст] / Н. Н. Данилов, Е. С. Чернова // Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (СИБ-РЕСУРС-16-2010): доклады (материалы) 16-й Международной научно-практической конференции, Абакан, 4-6 окт. 2010 г. / отв. ред. Н.В. Замятин, В.Н. Масленников. - Томск: САН ВШ; В-Спектр, 2010. - с. 100-102.

13.Чернова, Е. С. О сбалансированности траекторий в одной задаче устойчивого развития социальной системы [Текст] / Е. С. Чернова // Эволюция научной мысли: сборник статей Международной научно-практической конференции. 21 февраля 2014 г. - Ч. 2. / отв. ред. A.A. Сукиасян. - Уфа: РИЦ БашГУ 2014 г.-с. 196-199.

14.Чернова, Е. С. Математическое моделирование динамики устойчивого развития региональной эколого-социально-экономической системы на основе модифицированных моделей глобального развития [Текст] / Е. С. Чернова // Управление, информация и оптимизация в машиностроении: сборник трудов Всероссийской молодежной научной школы / Юргинский технологический институт. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012 - С 283-286.

15.Чернова, Е. С. Сбалансированность траекторий в модели устойчивого развития региона, построенной в форме модифицированной глобальной модели «Мир-3» [Текст] / Е. С. Чернова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009): Материалы VIII Всероссийской научно-

практической конференции с международным участием (13-14 ноября 2009 г.). - Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2009. -Ч. 1. - с. 318-323.

16.Чернова, Е. С. Об одной модели демографических процессов в Кемеровской области в контексте устойчивого развития [Текст] / Е. С. Чернова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2010): Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (19-20 ноября 2010 г.) - Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2010. - Ч. 1. — с. 161-164.

17.Чернова, Е. С. Построение математической модели системы образования региона в контексте устойчивого развития [Текст] / Е. С. Чернова, М. В. Косенкова // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011. -4.2.-е. 71-74.

18.Чернова, Е. С. Об одной модели устойчивого развития региона [Текст] / Е. С. Чернова // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: материалы III (XXXV) Международной научно-практической конференции. - Кемерово: ООО "ИНТ", 2008. - Вып. 9. - Т. 1. - с. 223-224.

19.Чернова, Е. С. Методология применения глобальных моделей при исследовании проблем устойчивого развития [Текст] / Е. С. Чернова // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: материалы IV

(XXXVI) Международной научно-практической конференции. - Кемерово: ООО "ИНТ", 2009. - Вып. 10. - Т. 2. - с. 209-211.

20.Чернова, Е. С. Обзор математических моделей, применяемых при исследовании вопросов устойчивого развития региона [Текст] / Е. С. Чернова // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: материалы V

(XXXVII) Международной научно-практической конференции / Кемеровский госуниверситет. - Кемерово: ООО «ИНТ», 2010. - Вып. 11. - Т. 2. - с. 188-190.

21.Чернова, Е. С. Построение общей схемы эконометрической модели устойчивого развития региона [Текст] / Е. С. Чернова // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: материалы VI (XXXVIII) Международной научно-практической конференции / Кемеровский госуниверситет: в 2-х т. - Кемерово: ООО «ИНТ», 2011. - Вып. 12. - Т. 2. - с. 207-208.

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

22.Чернова, Е. С. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012610516. Поиск оптимального решения задачи устойчивого развития региона / А. А. Захарова, Е. С. Чернова. - Заявка № 2011618195; Зарегистр. в реестре программ для ЭВМ 10.01.2012.

Подписано в печать 21.10.14. Формат 60x84/16. Гарнитура «Тайме».

Печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 2,1. Тираж 100 экз. Заказ № 273 Издательский дом Северо-Восточного федерального университета, 677891, г. Якутск, ул. Петровского, 5.

Отпечатано в типографии ИД СВФУ