автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Приближенная оптимизация управления на основе магистральных решений

На право,х рукописи

Гусева Ирина Сергеевна

Приближенная оптимизация управления на основе магистральных решений

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (управление)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I ипг1 2015

005566556

Москва — 2015

005566556

Работа выполнена на кафедре системного анализа НОУ ВПО Институт программных систем «Университет города Переславля им. А.К. Айламазяна»

Научный руководитель:

Расина Ирина Викторовна

доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН Официальные оппоненты:

Бекларян Левон Андреевич доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Центрального Экономико-Математического Института РАН Трушкова Екатерина Александровна доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится «27» апреля 2015 года в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 002.086.02 Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН) по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСА РАН.

Электронные версии диссертации и автореферата размещены на официальном

сайте ИСА РАН http://www.isa.ru.

Электронная версия автореферата отправлена для размещения на официальном сайте ВАК Министерства образования и науки РФ по адресу ref erat_vak@mon. gov.ru 26 февраля 2015 года.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9, ИСА РАН, диссертационный совет.

Автореферат разослан «i#» J!npn:r~ 2015 года.

11

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.086.02, А/iL-

д.т.н., профессор "vZ Пропой А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. За прошедшие полвека, начиная с известных работ Л.С. Понтрягина и Р. Беллмапа, теория оптимального управления превратилась в обширную область исследований, охватывающую разнообразные классы задач, объектов управления и методы их решения, которые нашли отражение в трудах отечественных и зарубежных ученых и возглавляемых ими научных школ и направлений: H.H. Красовский, А.Б. Куржанский, В.Ф. Кротов, A.A. Милютин, Я.З. Цыпкин, С.Н. Васильев, Г.С. Осипов, А.И. Пропой, Ю.С. Попков, JI.A. Бекларян, М.М. Хрусталев, В.В. Токарев, Б.М. Миллер, Е.Я. Руби-нович, А.Г. Чепцов, А.Н. Сесекин, В.А. Дыхта, Г.Н. Константинов, J. Warga, J. Lygeros, А..I. Van der Shaft, H. Schumacher и многие другие.

Усложнение изучаемых объектов неизбежно влечет усложнение их математических моделей и методов исследования, как точных, так и приближенных, реализованных в численных алгоритмах. Важным мотивом развития приближенных методов является тот факт, что из-за сложности исследуемых объектов и применяемого математического аппарата поиск аналитического решения практически невозможен, и это заставляет применять численные методы и алгоритмы, т.е. находить приближенные решения поставленных задач. Разработано достаточно много численных методов, главным образом — итерационных, в работах, Дж. Келли, H.H. Моисеева, И.А. Крылова, Ф.Л. Черноусько, Л.И. Шатровского, Т.М. Энеева, Р.П. Федоренко, В.В. Салмина, В.А. Батурина, И.В. Расиной, В.А. Срочко, Б.Т. Поляка, A.C. Булдаева, А.И. Тятюшкина, А.Ю. Гор-нова и других работах.

Однако итерационные процедуры ведут к искомому решению гарантированно лишь при наличии хорошего начального приближения, для поиска которого универсальных процедур и общих рекомендаций пока не существует, и исследования в этом направлении чрезвычайно важны для повышения эффективности оптимизационных алгоритмов. Отметим выполненные в этом направлении работы (Гурман В. И., Тр.ушкова Е. А., Блинов А. О. Приближенная глобальная оптимизация управления на основе преобразований модели объекта // Автоматика и телемеханика. '2009. № 5. С. 13--23; Тр.ушкова Е. А. Оценка приближенно оптимальных решений на основе преобразований модели объекта // Вестник Бурятского государственного университета. 2011. Вып. 9. Математика и информатика. С. 47-51), в которых сформулирован общий подход к приближенному исследованию, включающий и поиск начального приближения на основе преобразований модели объекта, достаточных условий оптимальности и глобальных оценок и предложен ряд конкретных методов.

з

В диссертации этот подход развивается па основе магистральных решений, характерных для обширного класса вырожденных задач оптимальн го управления, к которому относятся многие прикладные задачи из различнь областей. Это показывает достаточно богатый опыт их исследования, накоплен ный, например, в монографиях (Кротов В. Ф., Букреев В. 3., Гурман В. И. Новые методы вариационного исчисления в динамики полета. М. : Машиностр ение, 1969. 288 е.; Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимальног управления. М. : Наука, 1973. 448 е.; Модели управления природными ресурса ми. Под ред. В. И. Гурмана. М. : Наука, 1981. 264 е.; Краснов И. В., Шапаре Н. Я., Шкедов И. М. Оптимальные лазерные воздействия. Новосибирск : Наука 1989. 92 е.).

По определению, данному в монографии (Гурман В. И. Вырожденные за дачи оптимального управления. М. : Наука., 1977. 304 е.), вырожденность задали оптимального управления связана с наличием в ее математической постанови пассивных дифференциальных связей (как правило, скрытых). Вырожденност существенно затрудняет применение общих методов, зато становится определен ным «благом» при применении специальных методов, общий подход которы состоит по существу в поиске и исключении пассивных связей. В результат исходная задача заменяется точно или приближенно регулярной задачей мень шего порядка (называемой производной), что означает упрощение. Понижени порядка задачи приводит к тому, что решение в общем случае может не удо влетворять исходным граничным условиям регулярным образом, тогда они вы полняются посредством импульсов, если исходные управления не ограничены либо их приближениями в ограниченном множестве управлений. Соответству ющее решение исходной задачи получило название магистрального (Гурман В. И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений / Автоматика и телемеханика, 2003. № 3. С. 61-71).

В ряде случаев, как показывает практика, эффективные методы теорш вырожденных задач можно распространить и на невырожденные с помощьк искусственных приемов, либо приближенной заменой модели объекта. Поэтом^ магистральные решения представляют большой интерес как приближенные гл бально оптимальные решения, которые могут служить эффективными иачаль ными приближениями в итерационных процессах, и использоваться для постр ения эффективных итераций по принципу локализации глобальных решений Все это обуславливает актуальность темы.

Цель диссертационной работьп расширить и систематизироваи класс управляемых дифференциальных систем, для которых возможны маги стральные решения соответствующих задач оптимального управления, разраб

тать процедуру приближенного исследования на этой основе и аиробировать ее на модельных и представительных прикладных задачах.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

1. Изучить свойства класса задач с линейными управлениеми, имеющих магистральные решения, и его связь с задачами оптимального управления общего вида и возможности его эффективного использования на разных этапах исследования (сформулировать общий подход);

2. Разработать методы и алгоритмы реализации магистральных решений для получения начальных приближений в итерационных процедурах;

3. Предложить эффективные итерационные алгоритмы оптимизации с использованием магистральных решений;

4. Сформулировать и решить указанными методами актуальные прикладные задачи.

Методика исследования. В работе используются специальные методы теории вырожденных задач, достаточные условия оптимальности, принципы расширения и локализации, качественная теория дифференциальных уравнений и систем, численные методы интегрирования.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Среди них наиболее важные:

— преобразование управляемой дифференциальной системы общего вида к эквивалентным системам с линейными управлениями, порождающими магистральные решения задач оптимального управления;

схема приближенной оптимизации управления с применением магистраль-пых решений как начальных приближений в итерационных процедурах;

— итерационные алгоритмы, использующие магистральные решения и системы .с линейными управлениями, эквивалентные исходной;

— решения прикладных задач управления квантовыми системами и регионального устойчивого развития в новых постановках.

Теоретическая и практическая значимость результатов. В работе показано, что задачи оптимального управления для дифференциальных систем общего вида могут быть сведены к исследованию систем с линейными управлениями, порождающих магистральные решения. На этой основе разработана многоэтапная схема исследования, апробированная на ряде прикладных задач, имеющих самостоятельное значение, что демонстрирует возможности ее широкою

5

практического применения. Результаты исследований отражены в ряде публикаций и в научных отчетах, выполненных в рамках проектов РФФИ: Xs 08-01-00945-а «Автоматизация алгоритмов возмущений и нелокальных улучшений в нелинейных задачах оптимизации управляемых систем»; № 09-01-90203-Монг_а «Автоматизация средств оптимального управления эколого-экономическими процессами Байкальского региона и Монголии»; № 12-01-00256-а «Исследование импульсных и гибридных управляемых систем на основе дискретно-непрерывных моделей»; № 14-31-50879 мол_нр «Модели управляемых систем для поиска приближенно-оптимальных магистральных решений»; РГНФ: № 11-02-00171-а «Системный анализ стратегий устойчивого развития на примере Бурятской части Байкальского региона».

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата, доказательствами сформулированных утверждений, проведенными численными экспериментами и решениями сложных прикладных задач.

Положения, выносимые на защиту:

1. Преобразование управляемой дифференциальной системы общего вида к эквивалентным системам с линейными управлениями, порождающим магистральные решения задач оптимального управления;

2. Общая схема приближенной оптимизации управления с применением магистральных решений как начальных приближений в итерационных процедурах;

3. Алгоритмы реализации магистральных решений;

4. Решения на основе предлагаемого подхода прикладных задач управления квантовой и эколого-экономическими системами.

Апробация работы. Результаты работы были представлены в докладах и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

— Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения» (г. Переславль-Залесский, 22-26 сентября 2009 1-);

II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, 28 июня - 4 июля 2010 г.);

— III Международная конференция «Инфокоммуникационпые и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ - оз. Байкал, 6-11 сентября 2010

— V Международный симпозиум «Обобщенные постановки решения задач управления» (V International Symposium «Generalized Statement and Solutions of Control Problems») (г. Улан-Батор, Монголия, 13-17 сентября 2010 г.);

— Национальный семинар «Теория оптимального управления и ее приложения» (г. Сюйчжоу, Китай, 21-23 августа 2011 г.);

— Российско-Китайский семинар «Теория оптимального управления и научные вычисления» («Sino-Russian Symposium on Optimal Control and Computing», г. Шанхай - г. ТонЛи, Китай, 5-7 ноября 2012 г.);

— Межрегиональная молодежная школа-семинар «Моделирование социо-эколого-экономических процессов в регионе» (г. Улан-Удэ, 27-29 ноября 2013

г.);

— XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014 (г. Москва, 16-19 июня 2014 г.);

— V Международная конференция «Математика, ее приложения и математическое образование» МПМО-2014 (г. Улан-Удэ, оз. Байкал, 23-28 июня 2014

г.);

— Econometric Analysis Symposium on Economics Issues between Russia and China (г. Улан-Удэ, оз. Байкал, 17-23 августа 2014 г.);

— VII Международный научный симпозиум «Обобщенные постановки и решения задач управления» GSSCP-2014 и Молодежная школа-семинар «Модели и методы исследования систем неоднородной структуры» (г. Геленджик, пос. Дивноморское, 23-30 сентября 2014 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 23-х печатных работах, включая статьи в журналах, трудах конференций, симпозиумов, семинаров, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК Минобр-науки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 104 страницы, включает в себя 31 рисунок и 10 таблиц. Список литературы состоит из 131 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы исследований, сформулирована цель, решаемые задачи работы и методы исследования. Приведен обзор соответствующей литературы, изложены основные сведения о применяемых методах

— принципах расширения и локализации для абстрактных задач оптимизации и достаточных условиях улучшения и оптимальности управления. Показала, научная новизна, практическая и теоретическая значимость результатов.

Глава 1. Основные преобразования и общая схема приближенного исследования на их основе

В данной главе предлагается преобразование общей задачи оптимального управления к эквивалентным задачам с линейными управлениями, для которых характерны магистральные решения, получаемые специальными методами теории вырожденных задал. Формулируется общая схема поиска приближенно-оптимального управления с использованием этих решений и глобальных оценок множеств достижимости управляемой системы.

Рассматривается обыкновенная дифференциальная управляемая система общего вида

i = f{t,x,u), iGT = [t/,tf], iei", «eucf (l)

при традиционных предположениях и задача оптимального управления в стандартной форме

х е Х(£) С Rn, x(tj) = X7, x{tF) е г, I = F{x{tf)) inf. (2)

Определение. Две дифференциальные управляемые системы называются эквивалентными в заданной топологии, если решение одной аппроксимируется последовательностью решений другой в той оке топологии.

Показывается, что системе (1) эквивалентны ослабленные системы:

т

х = f{t,x,u0) + ^2ai{f{t,x,ui) - f(t,x,u0)), т < п; (3)

(=i

Xd{q + 1) = x{tF{q)), x{t,(q + 1)) = xd{q + 1),

rn

x = f(t,x,uo) H- J2ai{f{t,x,ui) - f{t,x,u0)), m < n, (4)

!=1

q = 0,l,...,qF, xd(0)=xi;

m

^Tai < 1, Ui S U, ai > 0.

i=i

x = g{t, x) + h(t, x)w, w £ W(f, x) <zRk, k< n. (5)

Правые части (3) представляют собой выпуклые комбинации правых частей исходной при различных значениях и G U.

s

Система, (4) дискретно-непрерывная (Расина И. В. Вырожденные задачи оптимального управления дискретно-непрерывными процессами // Автомат, и телемех. 2013. № 2. С. 38-52), па каждом дискретном шаге которой действует система (3). При этом исходная задача переписывается как задача верхнего уровня:

х е Х(г) с иг, ~Ф/(о)) = XI, ^(0) = х1г :г^Ы) е Г, I = Р(х%г)) ^ Ы .

Правая част)) (5) представляет собой параметрическое описание выпуклой оболочки множества скоростей (скоростного годографа) системы (1): У(£, х) = /(¿,х,и); \У(£, х) — выпуклое множество в пространстве (го).

Множество решений каждой из этих ослабленных систем шире (не уже), чем множество решений исходной системы. Это непосредственно следует из топ), что все три системы содержат дополнительные управления (ы;, щ), по сравнению с исходной системой. Нетрудно видеть, что при щ = 0 любая из ослабленных систем переходит' в исходную.

Эквивалентность устанавливается следующей теоремой:

Теорема 1. Пусть х(Ь) — непрерывная траектория любой из систем (3), (4), (5) на ограниченном отрезке Т, тогда существует последовательность {жд(£)} кусочно-гладких решений системы (1), сходящаяся на Т равномерно к х{£).

Для модели (5) при естественных предположениях возможно непосредственное преобразование к производной системе (Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука. Физматлнт, 1997, гл. 2)

у = г}хд{г,х) + 1]и х в СК*,у) = {х : у = ф,х)}, (6)

и, соответственно исходной задаче — к производной задаче. Здесь у = Т](1,х) (у 6 К"-', I > к) — интеграл (инвариант) предельной системы

Иг

-^- = Ы1,х)и>, юеЖк. (7)

ат

Траектория решения производной задачи, называемого идеальным магистральным, кусочно-непрерывна в пространстве (Гурман В. И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений). Однако она может быть аппроксимирована траекториями исходной системы (5) с любой точностью при достаточно большом управлении ш. Такое преобразование рекурсивно, что позволяет многократно понижать порядок производной системрл.

В общем случае ослабленной системы (3) фиксируются некоторые

кусочно-постоянные программы «¡»(¿) = щ,,, ц & [£9,£?+1) и на каждом таком

э

интервале делается переход к производной системе (0) с параметрами Щц. Такая дискретно-непрерывная модель аппроксимирует с любой точностью непрерывную дифференциальную систему, называемую сопровождающей, которая также ведет к идеальному решению.

Предлагается следующая схема исследования исходной задачи.

1. Строится внешняя оценка области в пространстве (£,х), заполняемой допустимыми траекториями.

2. Выполняется преобразование исходной задачи к задачам с линейными управлениями.

3. Выбирается одна из указанных задач и находится ее идеальное магистральное решение.

4. Производится аппроксимация полученного идеального магистрального решения допустимым решением эквивалентной задачи.

5. Полученное магистральное решение принимается в качестве начального приближения и уточняется некоторым итерационным методом.

6. Уточненное решение эквивалентной задачи реализуется как скользящий режим исходной системы общего вида, в частности оказывается ее допустимым решением.

Построения на этапе 1 позволяют косвенно учесть отброшенные ограничения па линейные управления путем их замены подходящими фазовыми ограничениями.

Поиск идеальной магистрали может проводиться итерационными методами применительно к производной задаче.

Глава 2. Реализация этапов общей схемы

В этой части исследование проводилось для вариантов общей схемы, ориентированных на рассматриваемые далее прикладные задачи, а именно, для ослабленной системы с выпуклым скоростным годографом, при предположении о коммутативности некоторого набора столбцов матрицы К{1,х).

На этапе 1 строятся простые (параллелешшедные) оценки границ допустимой области по методике (Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. С. 59).

На этане 2 предлагается два достаточно простых алгоритма представления аффинной оболочки, основанные на дискретной аппроксимации исходного множества и конечным набором из т точек, каждой из которых соответствует некоторый вектор скорости х) = /(£, х, щ), I = 1,..., т.

10

На этапе 3 рассматриваются всевозможные сочетания коммутирующих столбцов матрицы h(t,x) и для каждого сочетания — система

х = g{t,x) + hi{t,x)iui + h2{t,x)w2, (8)

где /го(£, х) — подматрица, с коммутирующими столбцами, hi(t, х) — подматрица, с остальными столбцами. Для (8) строится производная система вида

y = gl'{t,y,z) + h{t,y,z)wl. (9)

Замена скоростного годографа (9) его аффинной оболочкой приводит к системе вида (5), что позволяет перейти рекурсивно к производной системе следующей ступени, и т.д.

На этапе 4 идеальное магистральное решение в окрестностях точек разрыва траектории заменяется допустимым решением с достаточно большим управлением w2 G W2. При неограниченном W2 это обеспечивает приближение к идеальному с любой точностью, иначе — с ограниченной точностью. Применяется метод экстремального прицеливания H.H. Красовского, который сводит поиск аппроксимирующего управления к конечномерной оптимизации при каждом /. При больших W2 используется замена времени по правилу dl/dr = 1/|и>г|. Верхняя оценка приближения определяется следующими неравенствами:

1(т) -Ы1 <&■= 1{т~п) - /(?»),

где т G D — допустимое решение исходной задачи, т — идеальное магистральное решение.

Основанием для предлагаемых построений служат конструкции членов аппроксимирующей последовательности при неограниченном управлении, а также магистрального решения следующей представительной задачи (с доказательством теоремы о его точности):

у = д(1, у, z), y(tj) = у,, J = Fv(y(tf), z(tF)) -»■ inf,

Z = U, U e [limin, Umax], z(ti) = ZF

В целом, в результате многоступенчатой аппроксимации соответствующая программа адг(^) приобретает выраженный переключательный характер, причем число переключений растет с увеличением числа ступеней. Это наглядно проиллюстрировано при приложении данного подхода к известной задаче Фуллера третьего порядка (Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 2002. Т. 90. С. 5-189), где производные задачи различных ступеней получаются простым исключением дифференциальных связей.

и

На этапе 5 строится алгоритм итерационного улучшения приближенного магистрального решения как начального приближения, применимый на различных этапах общей схемы, на основе известного метода Кротова глобального улучшения. Проведена серия вычислительных экспериментов, позволяющая выявить важные свойства метода, в частности, возможность улучшения неподвижных элементов — неоптимальных экстремалей Понтрягина.

Предложена модификация метода, в которой исходное множество скоростей заменено его выпуклой оболочкой. Это повышает его эффективность, поскольку сводит основную операцию к максимизации линейной формы относительно управления на выпуклом множестве, которое может быть существенно шире исходного скоростного годографа. Для практического приложения к сложным системам реализована версия алгоритма с наиболее простой, линейной функцией Кротова в среде MAPLE, на основе которой в [10] разработана дискретно-непрерывная модификация на языке С++, ориентированная на параллельные вычисления.

Глава 3. Прикладные задачи

В этой главе рассматривается ряд прикладных задач, для решения которых применяются разработанные выше методы и алгоритмы.

3.1. Оптимизация процесса передачи возбуждения

в спиновой цепочке

Решается задача наискорейшего перевода квантового состояния из начального в заданное конечное спиновой цепочки, описываемой уравнением Шре-дингера (Murphy М., Montangero S., Giovannetti V., Calarco Т. Communication at the Quantum Speed Limit Along a Spin Chain // Phys. Rev. Lett. 2010. URL: http://arxiv.org/abs/1004.3445vl) как задача финитного управления:

z — —iH(u, v)z, ze C", ao)

Я = tfn + diag{/ij(f, v)}u, ul<n„ <u< uvp, bEVcS',

71

t€[t/M z(i/) = 2/, J = F(^F)) = ^|^(£F)-z;|2^inf, (11)

3=1

где л — комплексное состояние, и, v — действительные управления, Щ — действительная симметричная матрица взаимодействия спинов, hj(v) — действительные непрерывные функции, z* Е Сп — заданное состояние.

п 71

С учетом динамического инварианта 5" = \zj{ti)\2 = S \zj[t)\2 фупк-

}=1 j=L

ционал (функция F(z)) сводится к линейному.

Ищется только идеальное магистральное решение (при неограниченном

и), поскольку оно отвечает представлениям физиков об импульсном характере

12

управляющих воздействий, а реальные ограничения пока неизвестны. В соответствии с предложенной общей схемой исходная система (10) заменяется эквивалентной ослабленной системой с выпуклым множеством скоростей (совпадающим в данном случае с аффинной оболочкой). Соответствующая производная система (в комплексной форме)

... , '£(hj(vk)Tk) -¿ЕСьЫъ),

w = —zdiag{e к }rtodiag{e к }и>

(12)

содержит несколько скалярных управлений (г^). Производная задача исследуется для следующих данных: hj(v) = (j — 1 — и)2, j = 1, п; матрица Но — трех-диагональная, состоящая из элементов а у, i,j ~ 1, га, таких что ац = апп — —1, а>12 = an(n-i) = ai:(i-i) = ai(i+i) = I? aii = 2 при i = 2,n — 1, остальные a^ нулевые.

Для исследуемой задачи найдено, что к = 3 независимо от числа спинов п. Проведены вычислительные эксперименты с применением метода Кротова глобального улучшения для случаев спиновой цепочки длины п = 3, 4 и 5 системы. Расчеты проводились для различных с нахождением наименьшего времени перехода в заданное состояние zt, когда рассматриваемый функционал обращается в 0. На рисунке 1 представлены соответствующие программам управлений (для 3-х, 4-х и 5-и спинов) расстояния до заданной точки. На рисунке 2 приведены результаты расчетов для 3-х спинов в сравнении с расчетом по методу из статьи (Baturina О., Gurinan V., Ras in a I. Optimization of Excitation Transfer in a Spin Chain // 5th I.AC International Workshop on Periodic Control Systems. 2013. Periodic Control Systems. V. 5. Part 1. P. 177-180), которые демонстрируют выигрыш во времени перехода примерно 25%.

иегод [

ч —-- метод 2

N

О 0.5 1 1.5

Рис. 1:

Рис. 2:

3.2. Эколого-экономические задачи

В этой же главе исследуются эколого-экономические модели. Разнообразные виды таких моделей широко распространены на практике и их исследованием занимались представители разных научных школ и направлений, в том

13

числе, С.А. Пегов, В.В. Токарев, A.B. Горстко, Л.А. Бекларян, Ф.А. Сурков, В.Н. Бурков, Д.А. Новиков, Г.А. Уголышцкий и многие другие.

Рассматривается агрегированная версия модели региона (Моделирование социо-эколого-экономической системы региона. Под ред. В. И. Гурмана, Е. В. Рюминой. М. : Наука, 2001. 175 е.), описывающая взаимную динамику экономической и природной составляющих с учетом инноваций:

с= (Е - А)у - Ви- Azz - Bzuz - Ä'v - Bvuv, г = f + N(r — f) — Cy — Du - Dzuz + Czz, k = u-[5]k, kz = uz ~[Sz]kz, k» = uv -\6v]kv, (13)

0<y< r(Jfc), 0 < г < Tz(kz)., 0<v< T(kv), 0 = -(v + Hinv + Hdlf)(9 - 0), 0(0) = 0.

Здесь у, z, v — выпуски продукции, активного природовосстановлення, активных инноваций, с — конечное потребление; (к, kz, kv), (Т(к) , Tz(kz), Г'(ку)), (и, uz, ы"), (5, 5Z, 5V) — основные фонды, мощности и инвестиции и темпы амортизации; г — индекс состояния природной среды; 0,0 — инновационный индекс (агрегированное описание изменения за счет инноваций коэффициентов Л, Аг, В, Bz, С, D, Cz, Dz и других параметров) и его предельное значение; f(t) — заданная функция (опорная), например получаемая из статистического прогноза; A, Az, Av и В, Bz, Bv — коэффициенты прямых и фондообразующих затрат; С и N — коэффициенты прямого воздействия экономики на природную среду и ее самовосстановления; D, Dz — коэффициенты воздействия расширения мощностей; Hinv, Hdif — коэффициенты, отражающие влияние инвестиций и диффузии инноваций. В качестве критерия оптимальности рассматривается максимум функционала благосостояния П/г = П(^-) — конечное значение накопленного дохода за вычетом штрафа за нарушение экологических ограничений:

П = (рс - S{r))ept, (14)

при заданных ограничениях и заданном состоянии в начале периода:

П(0) = 0, k(0) = h, kz(0)=kzn, kv(0)=kl r(0) = Гц, 0(0)= 0,

где р — индекс цен; S — штраф за нарушение экологических ограничений; р — коэффициент дисконтирования.

На этой модели исследуются три задачи оптимального управления. Первая — оптимизация чисто экономического роста как модификация известной классической задачи, учитывающая управление инновациями. Вторая задача — оптимизация стратегий устойчивого развития региона при идеализированных допущениях с целью оценки предельно допустимых затрат на инновационную

деятельность в условиях дефицита реальных статистических данных. Третья

14

задача — более детальное изучение одного из допустимых вариантов решений второй задачи с учетом реалистических ограничений модели.

Это вырожденные задачи, где классические методы напрямую не применимы. Однако подход, основанный на магистральных решениях, высоко эффективен. В отличие от предыдущих решений, в первой и третьей задачах учитываются ограничения на инновационные и природо-восстановнтельные мощности, в результате чего получается магистраль второй ступени, требующая более сложной реализации.

Наиболее сложной и представительной является третья задача, решаемая в два этапа. На первом выполняется двукратное преобразование к производным задачам. Найденное магистральное решение (второй ступени) разрывно. Его траектория, представляет собой чередование нескольких непрерывных магистралей. Для реализации магистрального решения в исходном классе допустимых процессов применяется алгоритм с минимальным числом переключений исходных. Расчеты проводились по данным, характерным для Байкальского региона. На рисунке 3 представлено магистральное решение и его аппроксимация при достаточно большом ограниченном управлении, для которых Пр = 7485 и 7154 (млрд. руб.) соответственно.

Полученное решение уточнялось затем в итерационной процедуре на полной исходной модели в более сложном программном комплексе. В результате решения перечисленных задач получены практически значимые выводы, подтверждающие эффективность предложенного подхода.

В заключении представлены основные научные результаты работы и намеченные направления дальнейших исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена многоэтапная процедура приближенной оптимизации управлений с использованием магистральных решений;

2. Показано, что любая управляемая дифференциальная система общего вида может быть преобразована к эквивалентным системам с линейными управлениями, порождающими магистральные решения задач оптимального управления;

3. Разработаны алгоритмы, реализующие многоэтапную процедуру оптимизации, ориентированные на решение сложных прикладных задач;

4. Предложенная процедура приближенного решения апробирована на модель-пых примерах- и прикладных задачах управления квантовыми системами и оптимизации стратегии развития региона.

15

50-

-50-

-100-

I :

Ii

d

L.__I

jy правление

'правление«

npaanet

m,

k: ;

■J ■. l\

1 ;

1 \ anhpo ссимацн : ■ f• i I- f-

100 1 \

!

■ 1 : ' l< ' ' \ : \

/■!■:■ : n Mi nicrpajii

/-Ni

Jt

0- ; -i i 0 i :i 5 ,..11 -2

: ^k •sm

n»

-600-5(10 40t)

■MM 200-

-tee

/зппро

магистраль

CM

10

15

20 '

Г509-

-200-

H»

aimpoKt

м^гистрал!

10

15

Рис. 3:

В перспективе предполагается проведение исследований других вариантов общей схемы с выполнением вычислительных экспериментов, в частности вариантов, где не выполняется условие коммутативности для матричного коэффициента при линейном управлении, построение более точных оценок допустимой области, построение алгоритмов улучшения управления с использованием магистрального подхода и дискретно-непрерывных моделей.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в рецензируемых журналах из списка рекомендованных ВАК:

1. Гусева И. С., Трушков В. В. Реализация магистральных решений высших порядков // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2010. —- Вып. 9. Математика и информатика. — С. 29-34. URL: http://elibrary.ru/item.asp?id= 15112833

2. Гусева И. С. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций // Вестник Бурятского гос. ун-та. —

2011. — Вып. 9. Математика и информатика. — С. 19-25. URL: http: //elibrary.ru/item.asp?id=16403722

3. Ни Минь Кань, Гусева И. С. Оптимизация развития региона при ограниченных мощностях природо-восстановительного и инновационного секторов // Автомат, и телемех. — 2011. — № 7. — С. 13-19. URL: http: //elibrary.ru/item.asp?id=16501887

4. Pacuna И. В., Блинов А. О., Гусева И. С. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2011. — Вып. 9. Математика и информатика. — С. 36-42. URL: http://elibrary.ru/item.asp?id=16403725

Публикации в других изданиях:

5. Ачитуев С. А., Гусева И. С. Об одной задаче оптимального управления в эколого-экономической модели // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2008. — Вып. 9. Математика и информатика. — С. 138-145. URL:http://elibrary. ru/item.asp?id=l1576930

6. Ачитуев G. A., Гусева И. С. Оптимизация стратегии устойчивого развития региона // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2009. — Вып. 9. Математика и информатика. — С. 10-17. URL: http://elibrary.ru/item.asp?id= 12924359

7. Будаева Д. Ц., Гусева И. С., Насатуева С. Н. Влияние инвестиций и прямых инновационных затрат на оптимальные стратегии развития региона // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. —

2012. - Т. 3. - № 5(14). - С. 23-32. URL: http://psta.psiras.ru/read/ psta2012_5_23-32.pdf

8. Гурман В. И., Гусева И. С. Модели управляемых систем, порождающие магистральные решения задач оптимального управления // Программные системы: теория и приложения : электрон, научи, журн. — 2013. — Т. 4. — № 4(18). - С. 107-125. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2013_4_ 107-125.pdf

9. Гурман В. И., Гусева И. С., Фесько О. В. Задача управления квантовой системой //В кн.: XII Всероссийское совещание но проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. - М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. - С. 1434-1442. ISBN 978-5-91450-151-5. URL: http: //elibrary.ru/item.asp?id=22223476

17

10. Гурман В. И., Гусева И. С.. Фесько О. В. Магистральные решения в задаче управления квантовой системой // Программные системы: теория и приложения : электрон, научи, журн. — 2013. — Т. 4. — № 4(18). — С. 91-106. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2013_4_91-106.pdf

11. Гурман В. IL, Расина И. В., Гусева И. С. Преобразования дифференциальных управляемых систем для поиска приближенно-оптимального управления // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. - 2014. - Т. 5. - № 4(22). - С. 123-157. URL:http://psta.psiras. ru/read/pst a2014_4_123-157.pdf

12. Гурман В. IL, Расина II. В., Гусева И. С. Приближенная оптимизация процессов управления /'/ Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО'14): материалы V Международной конференции, 23-28 июня 2014 г., г. Улан-Удэ, Байкал. - Улан-Удэ : Изд-во ВСГУТУ, 2014. - С. 89-94. ISBN 978-5-89230-504-4.

13. Гурман В. И., Расина И. В., Гусева И. С., Насагпуева С. Н., Фесько О.

B., Усенко О. В. Сценарные расчеты стратегий развития региона // Вестник Бурятского гос. ун-та. — 2014. — Вып. 1. Экономика и менеджмент. —

C. 60-73. URL: http://www.bsu.ru/content/page/1456/Vestnik_Ekon._i_ menedzhent_na_pechat_160414.pdf

14. Гурман В. IL, Расина И. В., Фесько О. В., Гусева И. С. Приближенная оптимизация управляемых процессов // VII Международный научный симпозиум «Обобщенные постановки и решения задач управления» (GSSCP-2014) : сборник трудов международного симпозиума, 26-30 сентября 2014 г., г. Геленджик - пос. Дивноморское, Краснодарский край — М. : AHO «Изд-во физико-математической литературы», 2014. — С. 64-69. ISBN 978-5-94052236-2.

15. Гурман В. IL, Фесько О. В., Гусева И. С., Насатуева С. Н. Итерационные процедуры на основе метода глобального улучшения управления // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. — 2014. — Т. 5. - № 2(20). — С. 47-61. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2014_ 2_47-61.pdf

16. Гусева И. С. Задача оптимизации стратегии устойчивого развития региона // В кн.: Моделирование социо-эколого-экономических процессов в регионе [электронный ресурс]: мат-лы межрегион, молодежной школы-семинара. Вып. 3. - Улан-Удэ : Изд-во БНЦ СО РАН, 2013. - С. 14-21. ISBN 978-57925-0403-5

17. Густа И. С. Магистральные решения второго порядка // II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи»: Тезисы. — Иркутск, 2010. - С.23.

18. Гусева И. С. Магистральные решения высокого порядка // Инфокоммуни-кационные и вычислительные технологии и системы: Материалы III Международной конференции. — Улан-Удэ : Изд-во Бурятского госуниверситета, 2010. - С. 107-109. 107-109.

19. Гусева II. С. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций // The Proceedings of V International Symposium «Generalized Statement and Solutions of Control Problems» (Материалы V Международного симпозиума «Обобщенные постановки решения задач управления») — Улан-Батор, 2010. --С. 80-86.

20. Гусева И. С. Моделирование стратегии развития региона // Математика: материалы XLVII Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск, 2009. - С. 35-36.

21. Гусева И. С. Оптимизация стратегии устойчивого развития региона // Теория управления: новые методы и приложения : Тезисы докладов Молодежного симпозиума с международным участием. — Переславль-Залесский : ИПС РАН, 2009. - С. 30-31.

22. Гусева И. С., Насатуева С. Н. Оценка эффективности инновационных процессов в социо-эколого-экономической системе региона //В кн.: XII Всероссийское совещание но проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 1619 июня 2014 ]'.: Труды. - М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. -С. 5637-5642. ISBN 978-5-91450-151-5. URL: http ://elibrary. ru/item. asp? id=22224792

23. Achituev S. A., Guaeva I. S., Ochirbat В., Khaltar D. Optimization of region sustainable development strategy // Scientific transaction of Ulaanbaatar University. - 2009. - № 5. - Pp. 38-49.

Личный вклад автора в публикации.

В |1| предложен алгоритм аппроксимации в классе кусочно-непрерывных управлений, нашедший свое развитие в работах [3, 4], где разработаны два алгоритма аппроксимации магистрального решения и применены к расчетам для условного региона. В [5| на вычислительном эксперименте проведена работа по адаптации метода улучшения первого порядка к однопродуктовой полиотраслевой модели экономики, а в [6, 23] применен метод последовательного улучшения к решению социо-эколого-экономической задачи. В ]7] и |22] проведены

вычислительные эксперименты в форме зависимостей максимальных значений функционала благосостояния от значений коэффициента прямых затрат в инновационном секторе с параметром влияния инвестиций, связанных с расширением производства. В [8] дано обоснование выбора класса моделей, реализована процедура исследования и проведен вычислительный эксперимент, а в |9, 10, 14] реализовано магистральное решение в классе допустимых процессов и проведены вычислительные эксперименты на задаче управления квантовой системой. В [12] на вычислительном эксперименте показана работа схемы приближенной оптимизации, а в [11] сформулирована и доказана теорема о преобразовании дифференциальной управляемой системы общего вида к ослабленным системам. В [13] проведены сценарные расчеты стратегий развития региона с учетом роста восстановительных и инновационных мощностей. В [15] проведены вычислительные эксперименты, направленные па исследование возможностей улучшения неоптимальных неподвижных элементов.

Подписано в печать 12.03.2015. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,3- Тираж 100. Заказ 46.

Издательство Бурятского госуниверситета 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а riobsu@ginaiI.com

Отпечатано в типографии Издательства БГУ 670000, г. Улан-Удэ, ул. Сухэ-Батора, За