автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование задач практической устойчивости систем с распределенными параметрами и их применение в моделировании оптимальной динамики заряженных пучков

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОЮ ОБРАЗОВАНИЯ УССР

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т.Г.ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

ПРИМАК Михаил Михайлович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ПРАКТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МОДЕЛИРОВАНИИ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ПУЧКОВ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киёв - 1991

/

Работа выполнена в Киевском государтсвенном университе им. Т.Г. Шевченко.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Ф.Г. Геращенко

Официальные оппоненты - доктор (Тмзико-Члатематических наук, профессор Н.Ф. Кириченко кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник Н.Е. Филимонов

Ведущая организация - Ленинградский государственный университет

Защита состоится ' "_[_199/ года в ' I

часов на заседании специализированного совета К 068.18.10 в Н евском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции государст венном университете им. Т.Г. Шевченко по адресу: 252127, г.Кя 127, просп. Академика Глушкова 6, факультет кибернетики, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевског государственного университета им. Т.Г. Шевченко (ул. Владимир '■кая, 58).

Автореферат разослан

199 г.

Учений секретарь специализированного совета

Н.В. Бейко

< j

Йт^ций \ ОБЩАЯ ХАР АКТ ЕР ИСТ ИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопросы практической устойчивости движения имеют большое значение при исследовании многих прикладных эадач в области авиации, динамики машин, ускорительной техники и т.д. Понятие практической устойчивости установилось в результате трудов Н.Г. Четаева ( 1935 г. ), H.H. Моисеева ( 1945 г. ), и нашло свое развитие в работах Ле^шеца, Мишела, Т.К. Сиразетдинова,

H.Ф. Кириченко, Ф.Г. Гаращенко.

Диссертационная работа посвящена разработке математических • методов проверки качества практической устойчивости систем с распределенными параметрами на основе метода Яункционалов Ляпунова. Актуальность исследований в этой области определяется тем, что многие реальные процессы описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных, а метод функций Ляпунова, в настоящее время, является основным методом исследования устойчивости.

Вопросами практической устойчивости процессов с распреде- ■ ленными параметрами занимались <5.Д. Байрамов ( 1975 г. ),

I.М. Зайцев ( 1979 г. ), Р.З. Абдуллин ( i960 г. ), A.A. Марты-нюк ( 1981 г. ), Ф.Г. Гарапенко ( 1985 г.) и др. Рассмотренные в этих исследованиях теоремы определяют достаточные условия устойчивости. В связи с этим, представляет интерес получить необходимые условия практической устойчивости систем уравнений в частных производных как довольно общего, так и конкретных видов для различных мер, определяющих текур(ее и начальное состояния процессов. Важное место в таких исследованиях занимают критерии практической устойчивости, которые позволяют оценить множества начальных распределений исследуемых процессов.

Полученные в диссертационной работе результаты npv снялись для моделирования систем ускорения и ¿[якусировки. Актуальность исследования таких эадач определяется все более возрастающим использованием ускорительной техники в различных областях совре-. менгой науки, а это выдвигает повыиенные требования н качеству пучков, что в свою очередь вызывает необходимость развития мате-м1тиччских методов управления потоками зароенных частиц.

Цель работы ;

- исследование задач практической устойчивости систем с распределенными параметрами как без возмущений, так и с постоянно действующими возмущениями ;

- построение критериев практической устойчивости, позволяющих оценивать множества начальных распределений изучаемых процессов ;

- развитие метода структурно-параметрической оптимизации для процессов, описываемых совместными системами с распределенными и сосредоточенными параметрами ;

- разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения различных задач ускорительной техники на основе методов практической устойчивости и структурно-параметрической оптимизации : нахождение самосогласованных распределений, учет кулоносских сил в оптимизационных процедурах, расчет оптимальных параметров системы отбора мощности.

Методика исследований. Общая методика основана на современных методах исследования устойчивости процессов, теории дифференциальных уравнений в частных производных, методах структурно-параметрической оптимизации систем с распределенными и сосредоточенными параметрами, теории оптимального управления пучками заряженных частиц.

Научная новизна работы. Исследованы вопросы практической устойчивости систем ди^еренциальных уравнений в частных производных довольно общего вида. Доказаны теоремы о практической устойчивости различных процессов при постоянно действующих возмущениях, причем последние могут входить как в уравнения движения, так и в граничные условия. В явном виде построены V ~ Функционалы Ляпунова для отдельных уравнений и систем, удовлетворяешь условиям существования и единственности решения. На основе общих теорем получены критерии практической устойчивости и оценки областей начальных распределений линейных и нелинейных систем уравнений в частных производных, уравнений параболического и гиперболического типов. Развит метод структурно-парометри'-'сской оптимизации для процессов, описываемых совместнимч системами с распределенными и сосредоточенными параметрами. На основе рал-

работанной методики получены оценки самосогласованного поля пучка и области колебаний для частиц с большой плотностью пространственного заряда.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанная в диссертации методика исследований позволила доказать необходимые и достаточные условия практической устойчивости систем с распределенными параметрами по двум мерам. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях в этой области, т.к. данная работа не охватывает все известные на настоящее время процессы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных.

Построенные критерии практической устойчивости различных систем позволяют определять области начальных распределений задач Коши и области постоянно действующих возмущений для некоторых процессов. Если система зависит от свободных параметров, то используя развитие в работе оптимизационные подходы, улучшить оценки областей устойчивости можно путем решения соответствующих минимаксных задач.

На основе методов практической устойчивости и структурно-параметрической оптимизации в диссертации разработано алгоритмическое и программное обеспечение для решения различных задач ускорительной техники, тзклвчахэдее учет кулоновских сил в оптимизационных процедурах и расчет оптимальных параметров системы отбора мощности.

Апробация работы. Основные результаты докладывались к обсуждались на Всесоюзной научной конференции "Метод функций А.М. Ляпунова в современной математике" /Харьков, 1986г./, на Всесоюзной научно-технической конференции "Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами" /Одесса, 1987г./, на пятой Всесоюзной Чегаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением /Казань, 1987г./, на второй Северо-Кавказской региональной конференции "функционально-дифференциальные уравнения" Л'ахачклла, 1989г./, на третьей Всесоюзной конференции по физи-ко-хи.шчоским взаимодействиям в механике неоднородных структур /Ужгород, 1989 г./, !п седьмой Всесоюзной конференции "Управле-

нив в механических системах" /Свердловск, 1990г./, в Черновицком госуниверситете /Черновцы, 1991г./, Московском высшем техническом университете им. Н.Э. Баумана /Москва, 1991г./. Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ. Структура работа. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка основной использованной литературы /119 наименований/.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследований, дается постановка задач исследования, краткий обзор основных работ, связанных с темой диссертации, а также краткое изложение содержания диссертации.

В первой главе рассматриваются общие теоремы о практической устойчивости систем с распределенными параметрами. Первый параграф содержит вспомогательные сведения. Вводятся понятия начальной меры ^СфЗ V. динамической меры Мера [ЧрЗ определяет область начальных распределений = , а мера задает ограничения на процесс на промежутке времени причем рЕ^^З везде предполагается непрерывной при ¿=£в по мере • Дается определение Т } — устойчивости невозмущенного процесса ЦКэс^ЭзО по мерам

р и ^ . Практическая устойчивость рассматривается относительно начальных условий. Вводится определение практической устойчивости при постоянно действующих возмущениях из некоторого класса © , определяемого мерой . В связи с использованием положительно постоянных функционалов Ляпунова при Формулировке и доказательстве теорем о практической устойчивости, рассматриваются соответствующие определения для V" -Функционалов.

Во втором'параграфе доказан ряд теорем, позволяющих иссле довать качество практической устойчивости различных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Везде речь идет о поведении решения только на конечном ннтертле времени [¿.,Т.

Решение может быть неустойчивым в обычном смысле, т.е. для любого наперед заданного > 0 ыогет не существовать 2>(Й)>0 такого, что P[CD(bc,jd),

при Jrt < Решение мокет быть неустойчивым так

же в большом, т.е. когда начальные возмущения являются конечными или сколь угодно большими, но оно может быть практически устойчивым в смысле введенного определения »¿о,Т}- -устойчивости.

Основная теорема о l£0>T} - устойчивости

доказана для систем уравнений довольно общего вида

ЭфСа^) / ЭСр, сЛ^Ч

Cf (зс Д) = фСас) ,х£ЙсГ.

Теорема 2.1. Если для системы /I/ существует непрерывный по £ , положительно постоянный по мере р Функционал не возрастающий на решениях системы для любых С|)(ос)€ Сгв , таких что vtf СэС/'О»'^ 1 ^ 1 и удовлетворяющий условиям

G-{ip:v[4>tJ <i}, {cp:v[cp,t .¿е^Г],

то невозмущенноа решение системы /I/ - ус-

тойчиво.

Показана обратимость этой теоремы для систем уравнений в частных производных, удовлетворяющих условиям Коян-Ковалевской, для чего построен соответствующий "V -функционал

гп-f

----,

J sup p[ip(«A*']H

rn- cj)(oc) e срсх.ё) e ^ , £ e [-¿D,T ] .

Z.Z. E<\tv счст^чл /I/ удопявтяооявт условиям Ko-•пц-lton—IWI'rO И Х'ВЛ , ¿О, Т} - устойчивой, то

„уГ..-,тг,уГ,,, ц«.Пр. ptmHuf •!•- i , пплчтитслънп постоянный по мере ф V-Ц'М iio;:^ Г Vp^.i J , II® в гилу РОЯКуиеиНЫХ

процессов и удовлетворяли!*' условиям <а„ 0 ^ 1}

{СР-. ^ 1} с: с^ , ^ е [¿о>Т] .

Условия Кошп-Ковплевской определяют существование и единственность решения. Выше приведенная теорегп останется справедливой для любых систем,с распределенными параметрами, удовлетворяющих условиям существования и единственности.

Для указанных систем уравнений и конкретных видов множеств начальных распределений доказаны необходимые ьи достаточные условия »"¿о>Т}' - устойчивости. Так, для линейного уравнения в частных производных первого порядка

<р(зс,£0) = СрСос) е = [срезе): ^ ф2(ос)с1 ос 4С*}

с ограничениями на процесс

- (срСсс^):

¿г

V - функционал построен в следующем гиде

----—-7- •

.....

.'•Л

Для линейнмк систем г рпсирадвлгинмуи параметр,-гчи V _ фуИКВДК.ЧГЫШ ЮТНО строить в ПИД5 ППТ^ГучЛ н;.1х (>(," г ред гпоЯгтг-ая;». 1! раСотг уг-^р'"0'10 ■'Г'1-'-

тической ус той'-.про г тр. тлкпх сигт«»' 1.11'"' ";:)стго-чг" г- ' т- •* тру Ю'ГП'о (].ункцн'И1ч::л.

В § 3 рассматриваются вопросы практической устойчивости систем уравнений в частных производных при постоянно действующих возмущениях

Ш,^,--0, ' /3/

срСаг^о^^ОхО • /4/

Теорема 3.1. Если для системы /2/ с начальными условиями /4/ и граничньми условиями /3/ существует непрерывный по , положительно постоянный по мере функционал ЛГ[Ср,"63 и число 0<£ <1 такие, что для любых возмущений Г^ (• ) >

0 Функционал ^"[Ср^ 1 не возрастает на траекториях срек^еФЛдля любых ±е.[-¿„.ТД

и верны включения

, то невозмуатенное решение системы /2/ {С.^.еАД^ -устойчиво.

Показана возможность исследования системы с постоянно действующими возмущениями по системе без возмущений, если последние входят в уравнения рассматриваемого процесса аддитивно. Иногда на практике необходимо выполнение свойства

устойчивости всего лишь для одного момента времени . 3 этом случае говорят о качестве внвпней {С-о,1"!^,©, ¿„»Т} - устойчивости. В работе доказана соответствующая теорема для систем уравнений с постоянно действующими возмущениями вида /2/.

Рассмотрен вопрос практической устойчивости краевой задачи для линейного уравнения первого порядка относительно возмущения граничных условий. Доказано утверждение и получен* оценка области допустимых возмущений граничных условий. Вторая rj.nB.-i посляпана п основном критериям проверки качества практической устойчивости с использованием чяпярьтл Аункциоич-лов Ляпунова и вопроси* етруктугно-параивтрппсскоЛ оптимргчш'и спг"1'*>м с: ряг-пг^«*; г-'ннмп» и со"таоточ»нтми тлрч.нетрчми. Оценки уеТоИ-'-ИРО.'ТИ П1.яуч»1М ДТ> р1.-».1т*.Г-'Н"Ч РИДОВ М*р, ОПрвД«-

лшощих текущее и начальное состояния системы.

В начале рассматривается критерий устойчивости линейных

систем

п

dcp ¿

И p=i r /5/

для которых область начальных распределений представима в виде а область ограничений на процесс выписывается следующим образом

= {cp(cc,¿): - i 4 (cc¿) clac <-1,

Утверждение 4.1. Система дифференциальных уравнений /5/ имеет качество £Cr«>,c3:-5£,'¿o>T} - устойчивости, если в»этол-ияется неравенство

$ ^ e^FC^F^^FC^e^olxol^ С ^min min ■-

Здесь = a матрица определя-

ет интегральную квадратичную Форму V [tf,í ] = SА з^л»^ *

* P(oc,^)cf>C^,¿)c5|3Coí<^ , строятся по наперед заданной, отрицательно-постоянной форме ZC •

Затем приводятся критерии устойчивости нелинениых систем. Для процессов, описываемых такими системами, с Фазольми ограничениями /6/ и начальными рлепредолонигми из области

Go= fa^O- S olocs},

S3 "

критерий (jo,®?-^ , ¿ojTJ1 - устойчивости определяется неравенством

С ^ тпггь тпгп jfi^-y ^ Т] =

где удовлетворяет соотношению

Smn^ г Г ] ! ' '

)<f(x,t0)&(zc) ср («Л) doc

sa

Далее были получены оценки областей устойчивости для других видов множеств и

= тпахС|>*(жЛ)ЬС*)срС^) «С* }>

DC € й

fcp(cri): maze K=pf}t

X€ £2.

Отдельным плрагр?4'0м рассмотрен в главе вопрос практической устойчивости задач параболического и гиперболического типов. Для них построены соответствуйте "V" - Функционалы и получены оценки областей начальных распределений, причем последние строились на основ; двух методов: меторд собственных функций и функций Грина. Дня зад^ч параболического типа

Здесь области Суа и имели следующий вид

£2

Утверждение 5.1. Задача Коши для уравнения параболическо-з типа имеет качество {Сго,4"?^ , ~Ьо> Т } - устойчивости, если верно неравенство

Л 3 - ~ тазе \ с1 сс, /7/

где Л1 - минимальное собственное значение оператора задачи Дирихле, ь правая часть неравенства /7/ всегда больше нуля.

Т.К. для уравнения теплопроводности решение выписывается через функции Грина, то можно получить соответствующий критерий практической устойчивости.

Утверждение 5.3. Смешанная задача для уравнения теплопроводности имеет качество "У - устойчивости по начальным данным, если для любых"выполнено условие

сЧ._2_

да'

Здесь \ \

¿,

^ Сгр(рс,зс', - Функция Грима уравнения теплопровод-

ности.

Г1олуч*на оценка области устойчивости длт случая линейных ограничен!,Я на процесс

.сг.

где - интегрируемая, наперед заданная функция.

Длл уравнений гиперболического типа построен аналогичны!*.

"V - Функционал и доказаны соответствупше критерии практической устойчивости.

Во второй гл*ве рассматривается тш; же структурно-параметрический подход к релению задач оптимизации систем с распределенной и сосредоточенными пярдатрям!«. Он №»ет определенные преимущества, потому что методы численного решения урягнений в частных ппоиявопнм* малоприменимы для определения оптимальных рети.'ош Функционирования технических систем в свяли с болылимн затратеми машинного времени ЭЗМ. Так, при реиении оптимизационных задач ускорнт-лмрй техники, необходимо знать напряпеннос-тч и с'Ч'отмтглс пол"й в точке ускоряющей онсте-

Пчп онг*п»тчпп характеристик электромагнитного поля негр мяпел!'ппг"ть уп»г>неч!'я Максвелла. Структурно-плрат'ягрииескг!! подход поя»оа«»т, при Фиксированных параметрах, вычислять иапря-гагмотт-.' пол»!' ю аналитическим формулам в яаптимостя от пропт-очкстя-инмх гооп|«иаг. Пг'Ч^-нпгиа таких «Теркул дяет т<грмп по тг:" ,ч!!!'»>"'ки пучков. В рчботв исследогчп

»"'•го'' оппч'уаяпри систем, ураяияняг: д'чэттот4 кото-

Т"'х "огне предст.'п'ть в т"'д»

- £ и('г/.оО, <л'), /8/

Эб 4 еос,- ' йа," 7

где dR } oi - вектор оптимизируемых параметров.

Для процессов, описываемых уравнениями /В/, рассматривались критерии качества

min ФОхСт));

оiedbc

min motoc. <=|э(ас),

o/eGci areXCT.oO где X(T,oÖ= {ас!эс=ос(Т,ас0)эс0),ос0е00};

-mm max

oieÖc« ¿e[£.,T3

min motze, max. f$?(pc(i,

oli).

«eßj ccee<Jo ¿etio/T]

Третья глава посвящена вопросам применения алгоритмов пратичес-■ кой устойчивости систем с распределенный параметрами к задачам оптимизации динамики заряженных пучков. Рассмотрен структурно-параметрический подход в задачах управления пучками заряженных частиц. Получены оценки самосогласованного поля и области колебаний частиц для пучков с большой плотностью пространственного заряда. Описан метод расчета замедляющих систем в линейных резонансных ускорителях и приведены результаты численных расчетов.

Структурно-параметрический подход применен к вышеизложенным уравнениям движения, где скалярная функция d) соответствующая потенциалу внешнего и собственного полей, удовлетворяет уравнению Пуассона .

¿jäi -accf ^

Здесь р (ОС/£,©0 - плотность объемного заряда пучка в точке ОСе £2 в момент времени ¿fc ["¿„,ТЗ., - диэлектрическая постоянная.

Приближенное решение находится методом Ритца в виде линейной комбинации

1о

и(ос£,с1) =

_ г=1

где = набор ЗГ линейно независимых функций.

Б § 8 рассмотрен вопрос практической устойчивости самосогласованного поля пучка и выводится оценка области колебаний частиц для пучков с большой плотностью пространственного заряда. Для отыскания Ееличины напряженности собственного поля пучка

—— в каждой точке 2сГО.Т1 необходимо ре-аать следующую краевую задачу

1 э

А эг ) Со

Г ЗГ\ ЭР

V«! =0.

|г=1г. ЗГ 1г = 0

Предположим, что в момент 2» = О известно начальное распределение собственного поля пучка ^

о

а область ограничений имеет следующий вид о

Тогда достаточные условия »^Т^1 - устойчи-

вости определяются неравенством у ^

С^ [ь Убогое \ г ^(^^-рС^О^с^г)2] ,

1 40Ч не [О/Г] ^ /

а необходимее условия можно доказать, построив соответствующий "\Г - функционал Ляпунова

На осноса предположения существования стационарного распределения фазовой плотности, при котором компоненты собственного поля пучка линейно зависят от поперечных координат, получена оценка области колебаний частиц для пучков с большой плотностью пространственного заряда. Здесь вопрос практической устойчивости рассматривается относительно возмущений граничных условий, расположенных на боковой поверхности эллиптического цилиндра, определяющего пучек заряженных частиц.

Вышеизложенные результаты использовались при расчете замедляющих систем в линейных резонансных ускорителях. Оптимизация систем отбора мощности проводилась на основе метода структурно-параметрической оптимизации, изложенного во второй главе. Структурно система отбора мощности представляет собой ^ периодов. Продольное движение каждой частицы пучка на периоде описывается системой дифференциальных уравнений

** ^ * ытш М.....Вт'сРт)'

—:—« -х--г=~===Ь1 ** *>т •

с|& . Л

Здесь ^ , СРг - энергия и фаза 2 -й частицы, напряженность внешнего высокочастотного поля, о^ - вектор оптимизируемых параА1етров, Е2гС^.Ч,1>—¡^тп^тп) - кулоновская сила I -й частицы, удовлетворяющая уравнению Лапласа, имеюгце-цу в циллиндрических координатах следующий вид

¿ЛЬ. + о

Задача определения оптимальной замедляющей структуры состоит в нахождении таких ее параметров, которые обеспечивают наименьшее фазовое расширение пучка и максимальный отбор энергии. В качестве параметров оптимизации, на первом этапе решения задачи, рассматривались длины трубок дрейфа и ускоряющих зазоров, на втором этапе - параметры внешнем высокочастотного поля. Критерии качества, соответствующие этчм этапам» были следующими

7П1П таге. 1 1пазс (!).(%)-гпгп ср■(£) >

Т тл

а

1 = 1,тп -1

В результате оптимизации энергетические характеристики пучка удалось улучшить в 3 раза. Результаты численных расчетов

иллюстрируются рисунками и таблицами.

В заключении даны основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для систем дифференциальных уравнений в "астных производных, удовлетворяющих условиям существования и единственности решения, доказаны необходимые к достаточные условия практической устойчивости.

2. Исследован вопрос практической устойчивости систем с распределенными параметрами при постоянно действующих возмущениях. Последние могут входить как в уравнения движения, так и в Граничные условия задачи.

3. Получены критерии проверки качества практической устойчивости линейных и нелинейных систем с распределенными параметрами для различных видов мер, определяющих текущее и начальное состояния процессов.

4. Построены п явном виде "V" - функционалы Ляпунова и определены оценки областей начальных распределений задач параболического и гиперболического типов.

5. Разв!Т метод структурно-параметрической оптимизации для процессов, описываемых совместными системами с распределенными

и сосредоточенными параметрами.

6. Получены оценки самосогласованного поля и области колебаний частиц я пучках с большой плотностью пространственного заряда.

7. Проведен вычислительный эксперимент и получены'оптимальные параметры функционирования замедляющих систем отбора мощности.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Примак U.U..Страшнов И.В. Расчет и оптимизация параметров ус-коряюще-фокусиргующего канала с учетом несимметрии поля,- В кн.: Опыт создания и внедрения методов средств проектирования и расчета динамических систем и процессов с учетом показателей сложности.'Тез. докл..Москва,1985,с.87.

2. Геращенко Ф.Г.,Примак М.М.Дарченко И.И. Исследование задач практической устойчивости численными методами и оптимизация динамики заряженных пучков.- В кн.: Метод функций A.M. Ляпунова в современной математике. Тез. докл..Харьков,1986,с.120.

3.Геращенко Ф.Г.,Примак U.U.,Страшнов И.В. Задача оптимальной . фокусировки ускоряющим полем в линейном ускорителе.- Вестник

Киев, ун-та. Ыоделир. и оптим. сложных систем,1987,№6,с.27-33.

4. Геращенко Ф.Г.,Панталиенко Л.А..Примак W.U. Практическая устойчивость, чувствительность и оптимизация динамики пучков.-

S кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. Тез. докл.,Казань, 1987,с.28.

5. Белоносова Ж.Ю.,Примак М.М. Применение метода структурно-параметрической оптимизации для решения задач отбора мощности.-

В кн.: Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами. Тез. докл.,Киев,1987,с.127.

6. Гаращенко Ф.Г.„Примак М.М. Критерии устойчивости систем с распределенными параметрами.- Автоматика, 1987, Ю, с.43-47.

7. Гаращенко Ф.Г.,Примак K.M. Численные оценки областей практической устойчивости и их приложение.- В кн.: $ункционально-дкф-ференциальные уравнения и их приложения. Тез. докл.,Махачкала, 1989,с.59.

8. Примак М.М. О практической устойчивости систем с распределенными параметрами.- Вестник Киев, ун-та. Ыоделир. и оптим. сложных систем,1990,№9,с.72-75.

9. Гаращенко Ф.Г.,Примак М.М. Исследование практической устойчивости систем с распределении)«: па ^метрами.- В кн.: Управление

в механических cnctevix. Тез. док t..Сверпловск,Т990,с.25.