автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование стохастической и детерминированных задач управления численностями популяций

Введение.

Глава I. Обзор моделей динамики популяций, управление экологическими системами.

1.1. Уравнения, описывающие эволюцию отдельной популяции . . ,,

1.2. Сообщества двух^цд^вли ' более

1.3. Постановка задач управления экологическими системами.

Глава II. Приближенное решение стохастической задачи оптимального управления численностью популяции

2.1. Постановка задачи.

2.2. Решение задачи.

2.3. Приближенные выражения для точки переключения и некоторые результаты численного анализа.

Глава III. Об одной задаче оптимального управления хемостатом.

3.1. Введение.

3.2. Постановка задачи

3.3. Уравнение Беллмана.

3.4. Численное решение краевой задачи.

Глава IV. Исследование установившихся колебательных процессов в хемостате.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Приближенный расчет установившихся колебаний

4.3. Некоторые результаты численных экспериментов

В настоящее время большое внимание уделяется изучению различных задач управления процессами эволюции различных биологических сообществ. Интерес к задачам такого рода связан с появлением новых практически важных задач, связанных с проблемами экологии и защиты окружающей среды, а также с развитием методов искусственного биосинтеза популяций микроорганизмов. Развитие цивилизации сопровождается ростом промышленного производства, увеличением добычи полезных ископаемых, что в свою очередь приводит к отрицательным последствиям, связанным прежде всего с нарушением естественного природного баланса, загрязнением окружающей среды, что приводит к ухудшению условий существования животного и растительного мира не только в пределах каких-то отдельных промышленно развитых регионов, но может иметь и глобальный характер (например, известная проблема сохранения озонового слоя Земли). В связи с этим проблемы рационального использования природных ресурсов и защиты среды обитания приобретают первостепенное значение. Возникает необходимость в разработке новых технологий, позволяющих экономить энергетчиеские затраты, материалы и т.д. Наряду с разработкой энерго- и ресурсосберегающих технологий важную роль играют различные методы активного искусственного воздействия на окружающую среду, позволяющие эффективным образом влиять на условия развития отдельных видов (популяций) различных биологических сообществ. В связи с этим большое значение приобретает разработка методов управления численностями популяций. Учитывая при этом общую тенденцию развития экономичных технологий наибольший интерес приобретает разработка методов оптимального управления отдельными популяциями и биологическими сообществами. Следует отметить > что хотя в последнее время появилось довольно большое число публикаций, посвященных задачам управления (в том числе и оптимального) численностями популяций, описываемых детерминированными моделями эволюционного типа, тем не менее широкий круг практически важных задач оптимального управления биологическими сообществами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, до настоящего времени остается мало изученным. Особо важную роль проблемы управления численностями популяций приобрели в результате развития методов искусственного промышленного биосинтеза, основанные на использовании микробных сообществ. Выращивание полезной биомассы микроорганизмов (бактерий) производится в специальных приборах, называемых хемостатами. Целью управления хемостатом обычно является обеспечение режима работы, соответствующего максимальной производительности полезной биомассы микроорганизмов. Не менее важным являются также задачи анализа динамики популяций в хемостате при различных способах управления входным потоком питательного субстрата. Таким образом, решение конкретных задач управления численностями популяций имеет большое значение при разработке ресурсосберегающих технологий в промышленной микробиологии, а также при выработке оптимальных стратегий использования природных ресурсов в хозяйственных целях.

Много задач, возникающих в экологии, биологии, медицине, промышленной микробиологии и т.д. решаются , о помощью математического моделирования динамики популяций. На сегодняшний день есть большая библиография, относящаяся к этому материалу. Для всех популяций характерны такие процессы как рождение и гибель особей, их расселение, хищничество, конкуренция, паразитизм, распространение заболеваний. Численности популяций находятся под воздействием еще и следующих факторов:

1) связанных с совокупностью биологических процессов в экосистеме: а) внутрипопуляциооные - возрастная, половая или генетическая стуктура популяции, характер расселения особей; б) межпопуляциооные - взаимоотношения между двумя видами оцениваются по результатам их взаимодействия: положительного, отрицательного или нейтрального, в зависимости от того, какое влияние на скорость роста одной популяции оказывает присутствие в данном биологическом сообществе другой популяции;

2) абиотических факторов: а) доступные для экосистемы природные ресурсы, которые могут лимитировать рост численности популяций; б) управляющие природные факторы - параметры среды, не включающиеся непосредственно в состав системы, но влияющие на скорости протекания в системе реакций: например, температура. Эти факторы носят, вообще говоря, случайный характер, поэтому вводят в рассмтрение стохастические модели динамики популяций, они более реалистичны.

Все эти процессы характеризуются следующими общими математическими свойствами: нелинейными зависимостями, эффектами запаздывания, большим числом переменных со сложными взаимодействиями, наличием стохастических величин. Таким образом, для решения различных проблем эксплуатации ресурсов могут быть использованы одни и те же математические методы.

Из всего вышесказанного видно, что характерной особенностью экологических систем является то, что их поведение зависит от большого числа взаимосвязанных факторов, учет которых в полном объеме представляется затруднительным. В связи с этим при исследовании конкретных задач проводятся различные упрощения. Для описания упрощенных моделей используются различные типы уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, интегро-дифференциальные и дифференциальные уравнения в частных производных, уравнения с запаздыванием, стохастические и т.д. Некоторые из них приведены ниже. Надо отметить, что все они выводятся единообразным методом, для чего используется закон сохранения численности популяции (биологического вида).

Приведем примеры некоторых моделей динамики популяций. Более широкий обзор моделей представлен в первой главе.

1) Простейшая модель - это экспоненциальный закон развития видов: = ах, ж(<) = х0еа{*~*о).

Здесь х(¿) - численность особей в момент времени На самом деле в природе такое невозможно, т.к. всякий вид, став слишком многочисленным, сам ограничивает свой рост.

2) Широким классом моделей, используемых, например, для описания лесных биогеоценозов, являются модели так называемого вольтерровского типа: л = ж/(х)' где /(#) - коэффициент прироста, зависящий в условиях ограниченных ресурсов, от численности сообщества.

3) Для описания самоизреживания древостоя можно использовать квазилинейное дифференциальное уравнение запаздывающего типа: а(*)ж(* - т) - Ь{%]х\1 - т) - Щх{1).

ЛЬ

В данной области решение задач естественным образом распадается на два этапа;

1) Вначале нужно провести анализ биологических объектов. Вызывает интерес общая картина поведения свободноразвиваю-щегося природного сообщества или поведения природного сообщества при фиксированных значениях управляющих параметров. Цель исследования в данном случае состоит в том, чтобы предсказать поведение системы, а также выяснить влияние определяемых средой параметров системы на ее динамику.

Решение этих задач в большинстве случаев требует качественного исследования систем уравнений - анализ устойчивых равновесных решений, исследование процесса потери устойчивого равновесия и рождение автоколебаний, анализ случая крайней неустойчивости или так называемых хаотических структур. Существует большое количество работ, посвященных анализу устойчивости экосистем [34,40].

2) Далее встает вопрос эффективности использования внешних воздействий на систему. Нужно их выбрать так, чтобы поведение системы было в каком-то смысле "хорошим", а это определяется критерием качества. Именно задачи оптимального управления представляют наибольший интерес. При управлении популяциями строят управления, обеспечивающие максимальный доход от эксплуатации популяций полезных видов или минимальный ущерб при борьбе с вредителями. Решение задач оптимизации в экологии, биологии, медицине, как правило, должно производиться при дополнительных ограничениях, накладываемых на используемые ресурсы и другие переменные. Задачи управления рассмотрены во многих публикациях [32,33].

Приведем примеры некоторых решенных задач оптимального управления численностями популяций живых организмов. Более подробно и широко подобные задачи рассмотрены в первой главе.

1) Рассматривается модель экологической системы типа "хищник-жертва" для двух видов, где управление предполагается пропорциональным числу жертв и удовлетворяет ограничениям

О < и(0 < 7, г > 0.

Рассматривается случай, когда управление влияет только на жертвы: х = (1 — у)х —их, у = Ь(х — 1 )у.

Нужно выбрать такое управление, прикотором перевод системы из любого допустимого начального состояния в положение нетривиального равновесия осуществляется за минимально возможное время. Исследована структура оптимального управления и доказано, что оно является кусочно-постоянной функцией. Изучена зависимость функции Беллмана (т.е. времени быстродействия) от фазовых координат системы.

2) Рассматривается та же модель динамики популяций, что и в первом примере. Нужно перевести систему из любого допустимого начального состояния в состояние равновесия исходя из минимальности квадрата отклонения траекторий системы от этого положения равновесия [8].

3) Рассмотрена система управления микробиологическим ростом клеток, которая может быть описана билинейной моделью с последействием, учитывающим потерю жизнеспособности клетки за некоторое конечное время г. Для этой модели решена задача синтеза оптимального управления процессом получения заданного уровня биомассы. Получен алгоритм синтеза управления, позволяющего достичь заданного фиксированного уровня выходного продукта при естественных ограничениях на питательные ресурсы системы.

4) Была решена задача управления рыбными ресурсами с запаздыванием, где учитывалось среднее время, через которое особь с момента рождения могла производить потомство [6}.

Модели, как правило, лишь в общих чертах описывают реальное поведение системы (объекта), не учитывают многих факторов, определяющих ее динамику. Попытки же учесть особенности сообщества, роль внешней среды, ведут к резкому усложнению моделей, утрате основных преимуществ - простоты, наглядности, возможности аналитического исследования моделей. Было исследовано, что траектории, полученные теоретически из моделей динамики популяций, и практически - из наблюдений над популяциями, одинаково себя ведут и расхождения между ними невелики. Таким образом, математическое описание динамики популяций вполне соответствует действительности.

В системах живых органимов задачи оптимального управления изучены мало. Отсутствие совершенной, достаточно конструктивной теории управления экологическими системами обусловлено как сложностями адекватного описания системы, возникающими при построении ее математической модели, так и сложностями выработки стратегии получения максимального дохода. Анализ этих вопросов проводится во многих монографиях [2,33,25].

Вопреки очевидной важности стохастических моделей поведения популяций, задачи оптимального управления для таких моделей изучены к настоящему моменту в еще меньшей степени, чем для детерминированных моделей.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основой научных результатов, полученных в диссертации, является детальное теоретическое и экспериментальное исследование конкретные задач оптимального управления численностя-ми популяций. Кроме того, предложен приближенный аналитический метод расчета параметров установившихся колебательных режимов в управляемом хемостате. В диссертационной работе получены следующие результаты.

В задаче управления численностью популяции, описываемой стохастической логистической моделью;

1) получено оптимальное управление в форме синтеза, имеющей вид ступенчатой функции с точкой переключения х*;

2) предложен способ вычисления этой оптимальной точки переключения ж*, базирующийся на использовании обобщенных степенных рядов;

3) найдено приближенное аналитическое выражение для точки переключения ж* при больших значениях параметра системы к, называемого емкостью среды;

4) проведены численные эксперименты, показывающие эффективность полученного квазиоптимального алгоритма управления, вычисленного в аналитической форме;

В задаче оптимального управления хемостатом:

1) построена функция потерь и линии переключения оптимального управления для различных значений параметров задачи;

2) произведен сравнительный анализ оптимального управления с известными эвристическими алгоритмами;

В задаче анализа установившихся колебаний в хемостате:

1) получен^ аналитические формулы для расчета параметров установившихся колебаний в хемостате от частоты ш и от амплитуды ит внешнего воздействия;

2) с помощью этих формул установлен эффект двукратной смены колебательных режимов при увеличении частоты входного воздействия ш, состоящий в том, что выживание и вымирание одной из популяций чередуется с двумя различными режимами сосуществования этих популяций;

3) указанный эффект подтвержден результатами прямого численного моделирования колебательных процессов в хемостате.

Разработанные методы анализа и синтеза управляемых систем популяций позволяют получать эффективные алгоритмы оптимального (квазиоитимального) управления, применимые не только для биологических систем, но также и для объектов иной физической природы.

Все разработанные пакеты программ обладают достаточной универсальностью и могут применяться в решении других задач управления системам^ эволюционного типа.

Полученныр результаты использованы в экспериментальных исследованиях, проводимых в Институте микробиологии РАН, по оптимизации условий культивирования в лабораторном ферментере, что цодтверждается приложенным к тексту диссертации актом внедрения. Данные результаты могут также применяться как при научных расчетах, так и в учебном процессе.

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Н, Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высшая школа, 1998.

2. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия. В кн.: Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. - М.: Мир, 1983. - С. 383-394.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

4. Браверман Э.М., Меерков С.М., Пятницкий Е.С. Малый параметр в проблеме обоснования метода гармонического баланса (в случае гипотезы фильтра) // АиТ. 1975. N0 1,2. С. 5-21, 5-12.

5. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайнщх возмущениях. М.: Наука, 1984.

6. Колосов Г.Е. Об одной задаче управления численностью популяции // Изв, РАН. Теория и системы управления. 1995. N2. С. 181-189.

7. Колосов Г.Е. Нежеметдинова Д.В. Приближенное решение стохастической задачи оптимального управления численностью популяции // Тезисы IV международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", ИПУ РАН, Москва, 1996, С. 119.

8. Колмановский В,Б., Носов В.Н. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

9. Красносельский A.M. Частотные критерии в задаче о вынужденных колебаниях систем автоматического регулирования // АиТ. 1980. No 9. С. 23-30.

10. Красносельский A.M. Вынужденные периодические колебания в сложных нелинейных системах // АиТ. 1983. No 10. С. 76-82.

11. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. -М.: Наука, 1977.

12. Нежеметдинова Д.В. Одна задача управления хемостатом // Тезисы научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, МГИЭМ, Москва, 1998, С. 64.

13. Нежеметдинова Д.В. Одна задача управления хемостатом // Тезисы V международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", ИПУ РАН, Москва, 1998, С. 77.

14. Нежеметдинова Д.В. Об одной задаче оптимального управления хемостатом // Автоматика и телемеханика, 1999, принята в печать.

15. Нежеметдинова Д.В, Исследование установившихся колебательных процессов в хемостате // Тезисы научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, МГИЭМ, Москва, 1999, С. 16.

16. Паников Н.С. Синтетическая хемостатная модель как средство описания сложного динамического поведения микроорганизмов // Микробиология. 1991. т. 60. Вып. 3. С. 431-441.

17. Попов Е.П. Расчет нелинейных автоматических систем на основе гармонической линеаризации. М.: Наука, 1959.

18. Попов Е.П., Пальтов И,П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960.

19. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

20. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

21. Стратонович Р. Л, К теории оптимального управления. Асимптотический метод решения диффузионного альтернативного уравнения // АиТ. 1962. No И. С. 1439-1447.

22. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применения в теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966.

23. Уатт К.Е. Экология и управление природными ресурсами. -М.: Мир, 1971.

24. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. Гостехиздат, 1955.

25. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

26. Afanas'ev V.N., Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Mathematical theory of conrol systems design Dordrecht Kluwer Acad. Publ. 1996.

27. Bailey J.E., Ollis D.F. Biochemical engeneering fundamentals. New York McGraw-Hill, 1977.

28. Butler G.J., Hsu S.B., Waltman P. A mathematical model of the chemostat with periodic washout rate SIAM J. Appl. Math. 1985. V. 45. P. 435-449.

29. Butler G.J., Wolkowitcz G.S.K, A mathematical model of the chemostat with a general class of functions describing nutrient uptake SIAM J. Appl. Math. 1985. V. 45. P. 138-150.

30. Clark C.W. Bioeconornic modelling and fisheries managements. N.Y.: J. Willey, 1985.

31. Goh B.S. Management and analysis of biological populations. Elsevier Sci. Amsterdam: Publ. Company, 1980.

32. Gopalsamy K. Equations of mathematical ecology, Kluwer Academic Press, Netherlands, 1992.

33. Hsu S.B., Hubbel S., Waltman P. A mathematical theory for single-nutrient competition in continuous cultures of micro-organisms SIAM J. Appl. Math. 1977. V. 32. P. 366-383.

34. Kolosov G.E. Exact solution of a stochastic problem of optimal control by population size // Dynamic Systems and Applications. v.4. No 1. 1996. P.1Q2-U0.

35. Kolosov G.E., Negemetdinova D.V. Optimal control of stochastic logistic model // Proceedings of The Third International Workshop, IFAC "Singular solutions and perturbations in control systems", Pereslavl- Zalessky, Russia, 1997, PP. 92-93.

36. Kolosov G.E., Negemetdinova D.V. Optimal control of stochastic logistic model // Proceedings of The Third International Workshop, IFAC "Singular solutions and perturbations in control systems", Oxford, 1997, PP. 127-132.

37. Kolosov G.E., Negemetdinova D.V. Stochastic problems of optimal fisheries managements // Proceedings of XVth World IMACS Congress, Berlin, Springer, 1997, v.5, PP. 15-20.

38. Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations, Kluwer Academic Press, Netherlands, 1992.

39. Panikov N.S. Mechanistic mathematical models of microbial growth in bioreactors and in natural soils: Explanation of complex phenomena // Mathematics and Computers in Simulation, 42 (1996), 179-186.

40. Smith Hal L. Competitive coexistence in an oscillating chemostat SIAM J. Appl. Math. 1981. V. 40. No 1. P. 498-522.

41. Swan G.W. Application of optimal control theory in biomedicine. -N.-Y.: M.: Dekker, 1984.