автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Исследование потенциальной точности параметрической аппроксимации локационных сигналов

Верстаков Евгений Васильевич

Исследование потенциальной точности параметрической аппроксимации локационных сигналов

12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства и телевидения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 9 СЕН 2010

Волгоград-2010

004607974

Работа выполнена на кафедре Радиофизики ГОУВПО Волгоградского государственного университета (ВолГУ, г. Волгоград).

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Ведущее предприятие: ОАО "НИИ Гидросвязи "Штиль" (г. Волгоград)

Защита диссертации состоится « 10 у> 2010 г. в. час. на заседа-

нии Диссертационного совета Д 219.003.01 Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики по адресу: 443010, г.Самара, ул. Л.Толстого 23.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью учреждения, просим направлять по вышеуказанному адресу.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики.

Захарченко Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты:

-доктор технических наук, профессор

Паршин Юрий Николаевич

■доктор технических наук, доцент

Горячкин Олег Валериевич

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета д.ф.-м.н., доцент

О.В. Осипов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

В настоящее время обработка измерительной информации, полученной в результате эксперимента, является сложной комплексной задачей, для решения которой требуется привлечение различных методов фильтрации и математической статистики. Как правило, измерительная информация, исследуемая на конечном интервале времени, имеет ограниченный объем и, кроме полезной информации, содержит в себе помеху случайного характера, которая не позволяет достоверно оценить информационные параметры полезной составляющей обрабатываемого радиосигнала. Для решения задач аппроксимации, а особенно задач экстраполяции, при использовании параметрических методов обработки радиосигналов необходима априорная информация о функциональной модели полезного сигнала, чтобы провести оценку ее параметров по принятой реализации сигнала.

Так, например, в задачах измерения частотных характеристик гидроакустических преобразователей в бассейнах малого объёма кроме случайной составляющей помехи на полезную составляющую сигнала накладываются помехи квазислучайного характера - эхо-сигналы, отражённые от стенок и поверхности бассейна. Данная особенность усложняет задачу оценки параметров сигнала, поскольку для обработки будет доступна лишь часть сигнала, неискажённая её переотражениями. В этом случае для достоверной оценки частотной характеристики гидрофона необходимо экстраполировать данные на временной оси.

В то же время, передаточные функции измеряемых объектов в подавляющем большинстве случаев описываются отношением полиномов. Это позволяет описать их характеристики во временной области суммой экспонент, что даёт априорную информацию о функциональной модели исследуемого сигнала. В этом случае, для оценки параметров экспоненциальной модели можно воспользоваться методом Прони, основным достоинством которого является возможность экстраполяции исследуемого сигнала за пределы интервала наблюдения. Однако вопросу оптимальности и точности аппроксимации измерительной информации с помощью метода Прони в литературе уделено недостаточно внимания.

Основополагающие исследования в теории потенциальной помехоустойчивости, оценок параметров сигналов, а также исследования методов параметрической аппроксимации линейной суммой экспонент связаны с именами таких учёных, как Котельников В.А., Левин Б.Р., Тихонов В.И., Pao С.Р., Казаринов Ю.М., Сосулин Ю.Г., Марпл-мл. C.JL, Beatty L.G., George J.D., Krishnamur-thy Ashok K„ Kumaresan R., Tufts D. W„ Hua Y„ Sarkar Т. К. и др.

Во многих задачах радиотехники при обработке принятого сигнала для параметрического описания данных зачастую пользуются одномерными моделями. Однако некоторые приложения требуют описания исследуемых данных

более высокой размерности, например, параметрическое описание в задачах двумерного спектрального анализа. Двумерный спектральный анализ может использоваться при обработке изображений; гидролокационных, сейсмических и радиолокационных сигналов в случае синтезируемой апертуры, а также при анализе интервала повторения радиолокационных импульсов в зависимости от момента их прихода. Обработка двумерных данных приводит к таким проблемам, как увеличение (по сравнению с одномерным случаем) вычислительных трудностей, а также возникновение проблемы распространения многих одномерных методов на двумерный случай.

Так же как и в одномерных задачах, при двумерном описании пользуются параметрическими моделями, самая распространённая из которых - двумерный экспоненциальный ряд. Как в одномерном, так и двумерном случаях вопросам потенциальной точности уделено недостаточно внимания.

Таким образом, исследование потенциальной точности методов параметрической аппроксимации радиосигналов на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех представляет несомненный научный и практический интерес и является целью диссертационной работы.

Пели и задачи исследования.

Целью диссертационной работы является исследование потенциальной точности аппроксимации радиосигналов с помощью линейной суммы экспонент на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех. Достижение поставленной цели предусматривает решение следующих основных задач:

1. Теоретический анализ методов оценивания нескольких параметров радиосигналов на фоне белого гауссова шума.

2. Анализ потенциальной точности параметрической аппроксимации сигналов, вычисление границ Крамера-Рао для оценок параметров разложения экспоненциальной модели.

3. Исследование точности аппроксимации по методу Прони для одно- и двумерных сигналов и оценка возможности их последующего уточнения.

4. Исследование возможностей использования метода Прони в радиолокации при распознавании и селекции целей.

Научная новизна.

В работе реализован подход к исследованию потенциальной точности аппроксимации и экстраполяции сигналов линейной комбинацией экспонент на основе функционала правдоподобия. Получены аналитические выражения элементов информационной матрицы Фишера для границы Крамера-Рао оценки параметров представления сигналов экспоненциальным рядом.

Исследована помехоустойчивость метода пучка матриц и метода Прони и предложен способ повышения точности оценок параметров разложения сигнала.

Исследована потенциальная точность параметрической аппроксимации двумерных сигналов с помощью линейной комбинации двумерных экспонент. Разработаны модификации метода Прони и метода пучка матриц для двумерных сигналов и исследованы их помехоустойчивость, т.е. близость к границе Крамера-Рао погрешности оценки.

Разработаны способы повышения точности оценки параметров разложения двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони.

Методы исследований. Проведённые в работе исследования базируются на применении методов статистической радиотехники, матричного анализа, линейной алгебры. Экспериментальная часть работы основана на статистическом и компьютерном моделировании с использованием языка программирования Фортран-90 и численных методах прикладной математики.

Положения, выносимые на защиту.

1. Аналитические выражения границы Крамера-Рао оценки параметров разложения сигнала, состоящего из двух комплексно-сопряжённых экспонент без учёта и с учётом начальной фазы.

2. Аналитические выражения для элементов информационной матрицы Фишера для сигналов, описываемых линейной суммой экспонент.

3. Алгоритм повышения точности аппроксимации сигналов по методу Прони, позволяющий уточнить оценки параметров разложения и сравниться по точности с методом пучка матриц.

4. Оценка границы Крамера-Рао для параметров разложения двумерных сигнала, состоящего из двух комплексно-сопряжённых двумерных экспонент.

5. Алгоритмы построения разложения двумерных сигналов для двумерного метода Прони и двумерного метода пучка матриц.

6. Алгоритм повышения точности аппроксимации двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони.

Практическая значимость и реализация результатов работы.

Проведенные исследования позволяют решить ряд практических задач, имеющих важное значение при разработке радиотехнических систем, таких как: распознавания целей в ближней локации, повышение точности измерения параметров и разрешения сигналов, повышение помехоустойчивости работы радиотехнических систем в условиях действия активных и пассивных помех.

На основе использования неравенств Крамера-Рао получены соотношения, позволяющие определять потенциальную точность оценки параметров экспоненциальной модели сигналов на фоне аддитивного шума.

Проведено сравнение двух процедур оценки параметров экспоненциальной модели - метода Прони и метода пучка матриц. Результаты моделирования показали, что погрешность оценок метода пучка матриц ниже в 10-15 раз погрешности оценок по методу наименьших квадратов (МНК) Прони.

Оценены вычислительные затраты по оценке параметров при использовании методов МНК Прони и метода пучка матриц.

Разработаны алгоритмы уточнения оценок параметров разложения экспоненциальной модели, позволяющие по эффективности приблизиться к методу пучка матриц и увеличивающие вычислительные затраты примерно в 1,5 раза по сравнению с первоначальной процедурой оценки.

Результаты диссертационных исследований нашли применение в работах, поддержанных грантом РФФИ (проект № 08-07-00175а), в разработках ОАО «НИИ Гидросвязи «Штиль» (г. Волгоград), а также использованы в учебном процессе Волгоградского государственного университета при чтении специального курса «Современные проблемы радиотехники», читаемом магистрантам ВолГУ.

Апробация работы.

Основные положения и научные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- V, VI и VII Международные научно-технические конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, ПГАТИ, 2006; Казань, КГТУ, 2007; Самара, ПГАТИ, 2008);

- Международная научная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2007);

- Международная научно-техническая конференция к 100-летию со дня рождения В.А. Котельникова (Москва, МЭИ, 2008);

- XV и XVI Международная научно-техническая конференция "Радиолокация, радионавигация, связь" (Воронеж, 2009, 2010);

- Международная научная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2009» (Таганрог-Дивноморское, ТТИ ЮФУ, 2009);

- Шестнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010).

Публикации. По результатам диссертационной работы имеется 22 публикации, среди которых 5 статей в изданиях из списка ВАК РФ, 1 статья в сборнике, 16 материалов и тезисов докладов международных научных и научно-технических конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, библиографии (82 наименования) и приложений. Содержание работы изложено на 182 страницах, включающих 27 иллюстраций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, обозначены цель и основные задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, показаны научная новизна и практическая значимость

работы, сформулированы научные положения, выносимые на защиту, приведено краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена обзору литературы по методам оценок информационных параметров локационных сигналов. Приводятся различные способы оценок в зависимости от имеющихся априорных данных, проводится их качественное сравнение. Рассматривается вопрос о потенциальной точности оценок информационных параметров сигналов. В качестве критерия точности выбирается дисперсия ошибки измерения или оценки параметра. В обширной литературе, в частности, показано, что в классе байесовских оценок наивысшей потенциальной точностью обладает байесовская среднеквадратическая оценка - центр тяжести апостериорного распределения В классе небайесов-

ских оценок наивысшей точностью будет обладать оценка максимального правдоподобия, если существует наиболее эффективная оценка. Кроме того, как следует из асимптотических свойств оценки максимального правдоподобия, эта оценка почти всегда асимптотически имеет наивысшую потенциальную точность.

Потенциальная точность измерения неслучайного параметра Я радиосигнала задается наименьшим значением среднеквадратической ошибки измерения 0"д. Достаточную для практики точность обеспечивает нижняя граница, которая определяется границей Крамера-Рао:

Кроме того, в главе изложено обоснование применения экспоненциального базиса при разложении локационных сигналов на основе задачи калибровки частотных характеристик гидроакустических преобразователей в бассейне малого объёма. Данный базис используется также при построении модели локальных источников, используемой при распознавании целей с помощью многочастотных или широкополосных зондирующих сигналов по собственным резонан-сам без восстановления формы сигнала. Также дается основная информация по параметрической аппроксимации сигналов в виде линейной комбинации экспонент - метод Прони и его основные модификации и метод пучка матриц, основанный на задаче разложения по собственным значениям:

Приводятся способы построения разложения и вычисления его параметров.

Вторая глава содержит анализ потенциальной помехоустойчивости параметрической аппроксимации сигналов экспоненциальным рядом для случая обработки одномерных сигналов.

(1)

(2)

Был использован небайесовский подход для оценки точности аппроксимации сигналов в экспоненциальный ряд. Мерой точности метода оценки неслучайных параметров принимается граница Крамера-Рао, которая показывает наивысшую достижимую потенциальную точность оценки параметров сигнала.

В рамках теории оценок рассчитана многомерная граница Крамера-Рао, являющаяся системой N неравенств:

£>{Л(|Л}>Ф;/, 1 = \,2,...,И,

где Ф~'- ¡'-й диагональный элемент матрицы Ф"1, обратной информационной матрице Фишера, т.е. Л^хТУ-матрице Ф с элементами:

2 д2г{А)

ы0 ал,ал„

1 д2Е(А)

Л-оЛок

N. 8А,дАк

(3)

Здесь Л - вектор неизвестных параметров; - спектральная плотность шума;

г(А) - корреляционный интеграл принятой реализации >>(/) с сигналом х(/, Л);

£(л) - энергия сигнала х(*,Л) на интервале наблюдения [0,7]. Для модели

сигнала, состоящей из 2-х комплексно-сопряжённых экспонент были получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао каждого параметра. Для

сигнала

х(?,А)-24)е^со8Ц/ + <з0), ^ <0, представленного на рис. 1, выражения принимают вид:

«1.

(4)

<Ро

N ЛК1

-Ай{1 + 2—ш.2ср1 си0

соп

Ил

4>®о

V

-^•¡1 + —5т2(4

>___

Л 4>

Рис. 1. Вид модельной временной последовательности (4) в отсутствие шумов.

На рис. 2 представлены результаты статистического моделирования - зависимость среднеквадратической погрешности оценки параметра су0 при аппроксимации сигнала по методу Прони от отношения сигнал/шум. Для каждого отношения сигнал/шум использовано по 400 реализаций модельного сигнала.

сигнал/шум, дБ

Рис. 2. Экспериментальные зависимости среднеквадратической погрешности оценки параметра сой от отношения шум/сигнал.

Из рисунка видно, метод Прони не является оптимальным, т.к. зависимость погрешности оценки параметров лежит выше границы Крамера-Рао на 20-25 дБ.

Кроме того, исследована точность аппроксимации сигналов в зависимости от порядков разложения. На рис. 3 представлена экспериментальная зависимость погрешности аппроксимации исходного сигнала от порядка модели для соотношения шум/сигнал 20дБ:

N

Рис. 3. Экспериментальная погрешность аппроксимации импульсной характеристики гидрофона от порядка модели

Кроме того, для сигнала, содержащего N затухающих экспонент получены аналитические выражения для элементов матрицы Фишера.

В третьей главе рассматривается подход к параметрическому анализу двумерных локационных сигналов, основанный на применении разложения по сумме двумерных экспонент. Проводится исследование потенциальной точности алгоритмов оценки параметров разложения двумерных сигналов аналогичным способом, представленным во второй главе. Основное отличие от одномерного случая заключается в появлении в выражении для функционала правдоподобия второго интеграла по второй размерности:

( 1 т,т, ")

^(Я0|л) = Сехр -— ¡¡[у^-х^А)]2^ (5)

ООО

В данной главе также предлагаются алгоритмы построения разложения двумерного сигнала по линейной сумме двумерных экспонент - модификации метода Прони и метода пучка матриц для двумерных сигналов на основе одномерных алгоритмов и их способов построения решения.

С®

решение СЛАУ относительно решение СЛАУ „(2) относительно "»

я«0

А

поиск корней полинома У/ поиск корней полинома ^1

=!<>,"> у'4 1-0 /-0

* <

формирование формирование

V"

вычисление А,

А=у*хг*

у/яывоя л,, у,, '

Рис. 4. Алгоритмы построения двумерных разложений.

Для сигнала вида = Ае^***'1 соз(й>,Г, +гу2/2) получены выражения для

границы Крамера-Рао оценки параметров разложения двумерного сигнала. Ввиду громоздкости вычислений, выражения для неравенств Крамера-Рао представлены численно.

На рис. 5 представлены зависимости среднеквадратической погрешности

оценки параметров 0)\ и а)2 при аппроксимации двумерного сигнала с помо-

щью предложенных модификаций метода Прони для двумерных сигналов от отношения сигнал/шум, полученные в результате статистического моделирования. Для каждого отношения сигнал/шум использовано по 400 реализаций модельного сигнала по 500 отсчётов каждая.

сигнал/шум, дБ

Рис. 5. Зависимости среднеквадратической погрешности оценки параметров щ (а) и а)2 (б) от отношения сигнал/шум, полученная статистическим моделированием.

-граница Крамера-Рао ♦ - метод Прони первой модификации

■ - метод Прони второй модификации

Из рисунка видно, что среднеквадратическая погрешность модификаций метода Прони для двумерных сигналов лежат достаточно далеко (20-30 дБ) от границы Крамера-Рао, что свидетельствует о потенциальных возможностях совершенствования метода. Кроме того, сравнение предложенных алгоритмов Прони показывает, что разница в точности наблюдается вследствие различных способов оценки корней полиномов у, = exp(arf + jcou)\ z( = ехр(Д + ja>lt), поскольку в модификации, связанной с разностным уравнением, корни полиномов вычисляются независимо друг от друга, в то время как в модификации, основанной на одномерном алгоритме Прони, корни zt вычисляются только после уI. Поэтому ошибки оценок у, влияют на результат оценки z,.

В четвёртой главе приведены результаты численного моделирования разработанных алгоритмов. Проведено исследование эффективности методов

оценки параметров разложения экспоненциальной модели, а также их сравнение.

Разработан алгоритм уточнения полученных значений параметров разложения, используя метод линейной экстраполяции и представляя полученные оценки в виде:

А1=А1°+АА1, Л, = Л° + АЛ, С), = а," + Дга, р, + (6)

где Д0,/3.,0,«,0,^,0 - оценки действительных значений параметров А1,Лпа1,ср1\ ДЛ^ДЛрДсУрЛр, - отклонения от действительных значений. Используя (2) можно подучить систему линейных уравнений относительно отклонений:

N N N N _

АЯЛ+X +X 1А(рЛ , 1=им (7)

4=1 4=1 4=1 4=1

решая которую можно получить действительные значения параметров что позволяет повторить процедуру уточнения. Алгоритм можно представить графически следующим образом:

/О 5 О „О О

А1

формирование Дх[п] = х[п]-х0[п]

решение СЛАУ относительно

АА^АЛ^Аса^А/р^ *

вычисление А^ЛрО),,?,

/вывод /

Рис. 6. Алгоритм уточнения параметров оценки.

На рис. 7 представлена зависимость среднеквадратической погрешности оценки параметров аппроксимации сигнала по методу Прони от отношения сигнал/шум. Для каждого отношения сигнал/шум использовано по 400 реализаций модельного сигнала.

Предложенный алгоритм уточнения позволяет повысить точность на 2030 дБ (рис. 4). Кроме того, погрешность оценки параметров разложения сигнала

методом пучка матриц меньше погрешности оценки по классическому методу Прони в среднем на 20-30 дБ. Однако, сравнивая зависимости погрешности метода пучка матриц с зависимостями уточнённого метода Прони можно заметить, что разница в точности практически исчезает. Таким образом, метод Прони с процедурой уточнения позволяет оценить параметры с точностью, практически равной точности оценки параметров разложения методом пучка матриц с разницей примерно в 1 дБ.

а)

70 00 ао 100 110 120 сигнал/шум, дБ

Рис. 7. Зависимости среднеквадратической погрешности оценки параметров А (а), со0 (б), от отношения шум/сигнал.

-граница Крамера-Рао -е- результаты моделирования

-А- уточнение результатов моделирования

На рис. 8 представлена зависимость среднеквадратической погрешности оценки параметров Я2 и сог от отношения шум/сигнал без уточнения и с уточнением параметров разложения по двумерному методу Прони, а также по методу пучка матриц в модификации для двумерных сигналов. Способ уточнения аналогичен способу, предложенному во второй главе.

Л

Q -20 -40 -60 -60 -100 -120 -140

30 40 50 БО 70 ВО 90 100

сигнал/шум, дБ

20 ¡g^-

о -20 -40 -60 -00 -100 -120 -140

3D 40 60 60 70 ВО 90 100

сигнал/шум. дБ

Рис. 8. Зависимость среднеквадратической погрешности оценки параметров и ш2 от отношения шум/сигнал, полученная статистическим моделированием.

-граница Крамера-Рао ♦ - модификация метода пучка матриц

■ - метод Прони первой модификации А - уточнение метода Прони

Из рисунков видно, что точность оценки параметров разложения двумерного сигнала методом пучка матриц выше точности оценки по методу Прони в среднем на 25-30 дБ. Кроме того, оценка параметров сигнала с помощью модификации метода пучка матриц для двумерных сигналов является эффективной, поскольку практически достигает своей потенциальной точности - погрешность оценки лежит выше границы Крамера-Рао в среднем на 1-2 дБ. Зависимости результатов уточнения метода Прони менее эффективны, чем оценки по методу пучка матриц, однако также лежат недалеко от границы Крамера-Рао (примерно 8-9 дБ).

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

Приложения к диссертационной работе содержат теоретические расчёты и громоздкие выкладки при вычислении элементов информационной матрицы Фишера.

Основные выводы и результаты

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Показано, что одним из широко распространённых методов параметрического описания сигналов является описание с помощью экспоненциального ряда. Кроме того, существует несколько способов вычисления параметров разложения сигнала. Самый известный способ - метод Прони и его различные модификации. Альтернативой методу Прони служит метод, основанный на поиске собственных значений системы - метод пучка матриц.

2. Исследована потенциальная точность аппроксимации сигналов с помощью линейной суммы экспонент для различных моделей сигнала. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао, описывающие наивысшую достижимую точность оценки параметров разложения сигнала в ряд Прони.

3. Исследована точность разложения сигналов по методу МНК Прони для различных моделей и параметров сигнала. Полученные статистические результаты моделирования показывают неоптимальность данного метода (точность оценки ниже потенциальной на 2-3 порядка), что приводит к задаче по уточнению параметров аппроксимации.

4. Исследована точность и оптимальность разложения сигнала с помощью метода пучка матриц. Показано, что данный метод эффективнее классического метода МНК Прони. Точность оценки параметров разложения по методу пучка матриц выше точности метода МНК Прони на 15-25 дБ, а расстояние до границы Крамера-Рао составляет примерно 10 дБ.

5. Разработаны алгоритмы повышения точности аппроксимации сигналов по методу МНК Прони. Результаты статистического моделирования показали их эффективность. Алгоритмы позволяют повысить точность метода МНК Прони на 10-20 дБ, что сравнивает его по эффективности с методом пучка матриц.

6. Исследована потенциальная точность разложения двумерной последовательности в ряд двумерных экспонент для модели, содержащей 2-е комплексно-сопряжённые экспоненты. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао, описывающие наивысшую достижимую точность оценки параметров разложения двумерного сигнала.

7. Предложены модификации метода Прони для оценки параметров разложения двумерного сигнала на основе одномерного метода МНК Прони и на основе разностного уравнения, проведено сравнение точности двух модификаций. Как показывают результаты статистического моделирования предложенные алгоритмы метода не являются оптимальными. Точность методов меньше границы Крамера-Рао примерно на 20-30 дБ.

8. Предложена модификация метода пучка матриц для оценки параметров разложения двумерного сигнала на основе одномерного метода, показана эффективность оценки параметров разложения с помощью данной модификации.

Как показывают результаты численного моделирования, предложенный способ оценки параметров разложения двумерных сигналов можно считать оптимальным, поскольку точность метода практически достигает границы Крамера-Рао (разница составляет около 5 дБ).

9. Предложены алгоритмы повышения точности оценки параметров разложения сигнала по двумерному методу Прони, используя алгоритмы для одномерного случая. Проведено исследование точности предложенных методов оценки параметров двумерного сигнала. Эффективность уточнения увеличивается и приближается к потенциальной точности (7-8 дБ до границы Крамера-Рао).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-07-00175а).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Верстаков Е. В. Потенциальная точность оценки параметров разложения сигнала по методу Прони// Физика и технические приложения волновых процессов: Тезисы докладов VI Международной научно-технической конференции: Приложение к журналу «Физика волновых процессов и радиотехнические системы»/ Под ред. В.А. Неганова и Г.П. Ярового. - Казань, 2007. - С.420

2. Брыжин А. А., Верстаков Е. В., Захарченко В. Д Потенциальная точность оценки параметров сигналов методом Прони // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2008. Т.11, №1. - С.6-10.

3. Верстаков Б. В., Захарченко В. Д. Оценка потенциальной помехоустойчивости аппроксимации сигналов методом Прони // Материалы международной научной конференции "Статистические методы в естественных, гуманитарных и технических науках", ч. 3. - Таганрог: Изд. "Антон", ТРТУ, 2006. - С.11-14.

4. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Модификация метода Прони для двумерных сигналов // Материалы международной научной конференции "Системы и модели в информационном мире", ч. 3. - Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2009. -С.10.

5. Верстаков Е. В. Потенциальная помехоустойчивость двумерного метода Прони // Материалы XV международной научно-технической конференции "Радиолокация, радионавигация, связь", Т. 1. - Воронеж: Изд. НПФ «САКВО-ЕЕ» ООО, 2009. - С.67-72.

6. Захарченко В. Д., Верстаков Е. В. Использование интегрального критерия для распознавания вида модуляции при приёме узкополосных сигналов // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе: Труды Международной конференции. Приложение к журналу «Открытое образование». - Ялта-Гурзуф, 2008.-С. 147-148.

7. Захарченко В. Д., Верстаков Е. В. Вопросы точности оценки параметров узкополосных сигналов // Известия Волгоградского государственного техниче-

ского университета: межвузовский сборник научных статей №4(42)/ ВолгГТУ.

- Волгоград, 2008. - с. 102-106.

8. Верстаков Е. В. Точность оценки параметров разложения сигнала методом пучка матриц на фоне помех// Физика и технические приложения волновых процессов: Тезисы докладов VII Международной научно-технической конференции, посвященная 150-летию со дня рождения A.C. Попова: Приложение к журналу «Физика волновых процессов и радиотехнические системы»/ Под ред.

B.А. Неганова и Г.П. Ярового. - Самара, 2008. - С.75

9. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Исследование потенциальной точности разложения сигнала в ряд Прони в условиях помех// Физика и технические приложения волновых процессов: Тезисы докладов VII Международной научно-технической конференции, посвященная 150-летию со дня рождения A.C. Попова: Приложение к журналу «Физика волновых процессов и радиотехнические системы»/ Под ред. В.А. Неганова и Г.П. Ярового. - Самара, 2008. - С.55

10. Верстаков Е. В. Исследование помехоустойчивости аппроксимации локационных сигналов по методу Прони// Тезисы докладов Международной научно-технической конференции к 100-летию со дня рождения В.А. Котельни-кова. - М: Издательский дом МЭИ, 2008. - С.6

11. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Повышение точности аппроксимации сигналов по методу Прони// Материалы международной научной конференции "Инновации в обществе, технике и культуре", ч. 3. - Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2008.-С.6-9.

12. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Оценка границы Крамера-Рао при обработке сигналов методом Прони// Физика и технические приложения волновых процессов: Тезисы докладов V Международной научно-технической конференции: Приложение к журналу «Физика волновых процессов и радиотехнические системы»/ Под ред. В.А. Неганова и Г.П. Ярового. - Самара, 2006. -

C.347

13. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Помехоустойчивость распознавания радиосигналов во временной области при использовании интегрального критерия узкополосности // Излучение и рассеяние электромагнитных волн: Труды Международной научной конференции:/ Т. 2. - Таганрог, Издательство ТТИ ЮФУ, 2007. - С.172-175.

14. Верстаков Е. В., Потенциальная точность модифицированного метода Прони для двумерных сигналов на фоне помех // Излучение и рассеяние электромагнитных волн: Труды Международной научной конференции «Излучение и рассеяние ЭМВ - ИРЭМВ-2009». - Таганрог, Издательство ТТИ ЮФУ, 2009.

- С.453-456.

15. Захарченко В. Д., Верстаков Е. В., Потенциальная точность параметрической аппроксимации радиолокационных сигналов на ограниченном интервале наблюдения в условиях помех // Качинские чтения - (XII). Сборник статей. -Москва, 2008.-С.135-138.

16. Верстаков Е.В. Точность оценки параметров разложения сигнала методом пучка матриц на фоне помех // Успехи современной радиоэлектроники. -2009. №6. - С.79-80.

17. Верстаков Е.В., Захарченко В.Д. Исследование потенциальной точности разложения сигнала в ряд Прони в условиях помех // Успехи современной радиоэлектроники. - 2009. №8. - С.78-80.

18. Верстаков Е.В., Захарченко В.Д. Модификация метода Прони при аппроксимации двумерных сигналов на фоне помех // Радиолокация и радиосвязь: Доклады 3-й всероссийской научно-технической конференции. -М.: Москва, 2009. Т.2.-С.184-187.

19. Верстаков Е.В., Захарченко В.Д., Ступацкий О.И. Оценка точности обработки двумерных сигналов методом Прони // Физика и технические приложения волновых процессов: Материалы докладов VIII Международной НТК: Приложение к журналу "Физика волновых процессов и радиотехнические системы". СПб: Политехника, 2009. С.46-47.

20. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Потенциальная точность представления двумерного сигнала рядом Прони // Известия Волгоградского государственного технического университета: межвузовский сборник научных статей №4(42)/ ВолгГТУ. - Волгоград, 2010. - с.76-79.

21. Верстаков Е. В. Аппроксимация двумерных сигналов с помощью метода Прони // Радиолокация, радионавигация, связь: Материалы XVI международной НТК (RLNC-2010). Т.1. - Воронеж: Изд. НПФ «САКВОЕЕ» ООО, 2010. -С.22-28.

22. Верстаков Е. В. Способ повышения точности разложение сигналов методом Прони на ограниченном интервале наблюдения // Шестнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, г. Волгоград, 22-29 апреля 2010 г.: Материалы конференции. - Екатеринбург, Волгоград: Изд-во АСФ России, 2010. - С.545-547.

Подписано в печать 22.07 2010 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 196.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062 Волгоград, просп. Университетский, 100.

Введение.

Глава 1. Оценка параметров сигналов в радиотехнических системах.

1.1. Содержание задач измерения параметров сигналов.

1.2. Оценка случайных параметров.^

1.2.1. Байесовские оценки случайных параметров.^

1.2.2. Минимаксный метод.

1.3. Оценка неслучайного параметра.

1.3.1. Граница Крамера-Рао.

1.3.2. Оценки по максимуму правдоподобия.

1.3.3. Интервальное оценивание.

1.4. Потенциальная точность измерения параметров.

1.5. Метод Прони и его модификации.

1.5.1. Модификация МНК.^

1.5.2. Модификация Битти.

1.6. Разложения на основе анализа собственных значений. Метод пучка матриц.

1.7. Задачи исследования.

1.8. Выводы.

Глава 2. Исследование потенциальной точности параметрической аппроксимации одномерных сигналов.

2.1. Оценка потенциальной точности разложения сигналов по методу Прони для модели без учёта начальной фазы.

2.2. Точность разложения сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы.

2.3. Точность аппроксимации метода пучка матриц.

2.4. Использование метода Прони в задачах радиолокации

2.5. Выводы.

Глава 3. Исследование потенциальной точности параметрической аппроксимации двумерных сигналов.

3.1. Модификации метода Прони для двумерных сигналов (модификация 1).

3.2. Оценка потенциальной помехоустойчивости двумерного метода Прони.

3.3. Модификация метода Прони для двумерных сигналов на основе линейно-разностного уравнения (модификация 2).

3.4. Модификация метода пучка матриц для двумерных сигналов.

3.5. Выводы.

Глава 4. Исследование эффективности методов оценки параметров разложения экспоненциальной модели

4.1. Повышение точности аппроксимации сигнала по методу Прони для модели сигнала без учёта начальной фазы

4.2. Повышение точности аппроксимации сигнала по методу Прони для модели сигнала с учётом начальной фазы

4.3. Сравнение точности модификаций двумерного метода Прони

4.4. Повышение точности двумерного метода Прони второй модификации

При решении задач обработки сигналов зачастую используются параметрические модели при их описании. В ряде случаев это обусловлено спецификой помеховой обстановки. Так, например, при обработке радиолокационного сигнала необходима априорная информация о функциональной модели полезного сигнала, чтобы провести оценку ее параметров по принятой реализации.

В ряде радиотехнических задач сигнал, приходящий в момент t= О, поражает помеха, появляющаяся с некоторой задержкой т, вследствие чего на входе приемника имеем: y(t) = a(t)x(t) + a(t - T)Ç(t) (B.l)

Таким образом в ряде случаев мы располагаем непораженной частью сигнала x(t), t е (0, т).

В измерительной практике зачастую возникает задача оценки временных характеристик каузальных систем с сосредоточенными параметрами, описываемых линейными дифференциальными уравнениями вида

N-1 ,п М-\ im

В.2) п=О ш т=О ш где x(t) и y(t) - сигналы на входе и выходе системы.

Импульсная характеристика h(t) таких систем может быть представлена экспоненциальным рядом при t > 0: м , (в.з) к=1 где - полюсы передаточной функции системы (Яе /Ц<0), А^ — вычеты в этих полюсах.

При формировании коротких радиолокационных сигналов методом ударного возбуждения антенных систем, полученный сигнал представляет собой импульсную реакцию системы и может быть с достаточной точностью аппроксимирован рядом (В.З).

Для задач описания таких сигналов целесообразно экстраполировать их значения путем соответствующей обработки с учетом априорной информации о структуре, которой может служить параметрическое описание (В.2). Одним их наиболее эффективных средств получения такого представления является метод Прони [15,16,18].

Метод Прони - это метод моделирования выборочных данных в виде линейной комбинации экспонент [15]: м

Х(0 = (В.4) к=1 на интервале ¿е[0,Г], где М - заранее известное количество членов (порядок) разложения, Ак,Хк - комплексные константы. С помощью этого метода осуществляется аппроксимация данных с использованием некоторой детерминированной экспоненциальной модели при эквидистантной выборке {х^.} , где хк — х(кАТ).

Применение традиционных методов обработки радиотехнических сигналов при измерении характеристик гидролокационных излучателей и приемников не учитывает ряд специфических особенностей измерительных систем гидроакустики.

Достаточно эффективным средством борьбы с переотражениями является переход к импульсному зондированию и регистрации отклика до прихода первого сигнала, отраженного стенками бассейна. При таком методе, однако, удается зарегистрировать только часть сигнала на ограниченном временном интервале, в то время как для расчета его спектральных характеристик необходим весь сигнал.

Для таких задач целесообразно экстраполировать значения сигнала путем их соответствующей обработки с учетом априорной информации о его структуре, которой может служить параметрическое описание (В.4).

В настоящее время существуют и применяются различные методы аппроксимации экспериментальных данных, отличающиеся выбором базисных функций. Критерий выбора базисных функций обычно основывается на информации о виде исследуемого процесса и удобстве расчета. В тоже время, практически ничего не известно об оптимальности и точности аппроксимации измерительной информации, особенно в задачах экстраполяции экспериментальных данных. Для таких задач наиболее эффективным и распространённым способом параметрического описания служит описание в виде линейной комбинации экспонент, например, в задачах распознавания целей при широкополосном зондировании.

Во многих задачах радиолокации при обработке принятого излучения для параметрического описания данных зачастую пользуются одномерными моделями. Однако некоторые приложения требуют описания исследуемых данных более высокой размерности, например, двумерное параметрическое описание в задачах двумерного спектрального анализа, обработка радиолокационных изображений, например, для оценки двумерных частот. При распознавании цели в радиолокации - определение точек рассеяния (т.н. «блестящие точки»), расположение свойства которых зависит от геометрии цели.

Двумерный спектральный анализ может использоваться при обработке изображений; гидролокационных, сейсмических и радиолокационных сигналов в случае синтезируемой апертуры, а также при анализе интервала повторения радиолокационных импульсов в зависимости от момента их прихода. Обработка двумерных данных приводит к таким проблемам, как увеличение (по сравнению с одномерным случаем) вычислительных трудностей, а также возникновение проблемы распространения многих одномерных методов на двумерный случай. Кроме того, недостатки одномерных методов переходят и на двумерный случай обработки сигнала.

Так же как и в одномерных задачах, при двумерном описании пользуются параметрическими моделями, самая распространённая из которых - двумерный экспоненциальный ряд. Как в одномерном, так и двумерном случаях вопросам потенциальной точности уделено недостаточно внимания. Таким образом, исследование потенциальной точности методов параметрической аппроксимации радиосигналов на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех представляет несомненный научный и практический интерес.

Целью диссертационной работы является исследование потенциальной точности аппроксимации радиосигналов с помощью линейной суммы экспонент на ограниченном интервале наблюдения на фоне помех. Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Теоретический анализ методов оценивания нескольких параметров радиосигналов на фоне белого гауссова шума.

2. Анализ точности потенциальной точности параметрической аппроксимации сигналов, вычисление границ Крамера-Рао для оценок параметров разложения экспоненциальной модели.

3. Исследование точности аппроксимации по методу Прони и методу пучка матриц для одно- и двумерных сигналов и оценка возможности их последующего уточнения.

4. Исследование возможностей использования метода Прони.

Рассмотрен подход к исследованию потенциальной точности аппроксимации и экстраполяции сигналов линейной комбинацией экспонент на основе функционала правдоподобия. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао оценки параметров представления сигналов экспоненциальным рядом.

Исследована помехоустойчивость метода пучка матриц и метода Прони и предложен способ повышения точности оценок параметров разложения сигнала.

Исследована потенциальная точность параметрической аппроксимации двумерных сигналов с помощью линейной комбинации двумерных экспонент. Разработаны модификации метода Прони и метода пучка матриц для двумерных сигналов и исследованы их помехоустойчивость. Разработаны способы повышения точности оценки параметров разложения двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони.

Положения, выносимые на защиту.

1. Аналитические выражения границы Крамера-Рао оценки параметров разложения сигнала, состоящего из двух комплексно-сопряжённых экспонент без учёта и с учётом начальной фазы.

2. Аналитические выражения для элементов информационной матрицы Фишера для сигналов, описываемых линейной суммой экспонент.

3. Алгоритм повышения точности аппроксимации сигналов по методу Прони, позволяющий уточнить оценки параметров разложения и сравниться по точности с методом пучка матриц.

4. Оценка границы Крамера-Рао для параметров разложения двумерных сигнала, состоящего из двух комплексно-сопряжённых двумерных экспонент.

5. Алгоритмы построения разложения двумерных сигналов для двумерного метода Прони и двумерного метода пучка матриц.

6. Алгоритм повышения точности аппроксимации двумерных сигналов с помощью двумерного метода Прони.

Проведенные исследования позволяют решить ряд практических задач, имеющих важное значение при разработке радиолокационных систем, таких как: распознавания целей в ближней локации, повышение точности измерения параметров и разрешения сигналов, повышение помехоустойчивости работы в условиях действия активных и пассивных помех.

1. Использование неравенств Крамера-Рао при определении потенциальной точности оценки параметров разложения сигналов для оценки оптимальности процедуры.

2. Проведено сравнение двух процедур оценки параметров экспоненциальной модели - метода Прони и метода пучка матриц. Результаты моделирования показали, что погрешность оценок метода пучка матриц ниже в 10-15 раз погрешности оценок по методу наименьших квадратов (МЕЖ) Прони. В тоже время вычислительные затраты для получения оценок данных методов диаметрально противоположны - временные затраты по оценке параметров методом МНК Прони на несколько порядков меньше, чем при использовании метода пучка матриц.

3. Разработаны алгоритмы уточнения оценок параметров разложения экспоненциальной модели, позволили по эффективности приблизиться к методу пучка матриц и увеличивающие вычислительные затраты примерно в 1,5 раза по сравнению с первоначальной процедурой оценки.

Методы исследований. Проведённые в работе исследования базируются на применении методов статистической радиотехники, матричного анализа, линейной алгебры. Экспериментальная часть работы основана на статистическом и компьютерном моделировании с использованием языка программирования Фортран-90 и численных методах прикладной математики.

Результаты диссертационных исследований нашли применение в работах, поддержанных грантом РФФИ (проект № 08-07-00175а), в разработках ОАО «НИИ Гидросвязи «Штиль» (г. Волгоград), а также использованы в учебном процессе Волгоградского государственного университета при чтении специального курса «Современные проблемы радиотехники», читаемом магистрантам ВолГУ.

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложений.

Заключение

В настоящей диссертационной работе исследован ряд вопросов, связанных с потенциальной точностью методов экстраполяции локационных сигналов на ограниченном интервале наблюдения. Подводя краткий итог исследования, отметим следующие основные результаты.

1. Исследована потенциальная точность метода Прони для различных моделей сигнала. Получены аналитические выражения для границы Крамера-Рао, описывающие предельно достижимую точность оценки параметров разложения сигнала в ряд Прони.

2. Исследована потенциальная точность и оптимальность разложения сигнала с помощью метода пучка матриц. Показано, что данный метод эффективнее классического метода МНК Прони. Результаты статистического моделирования показали, что точность оценки параметров разложения по методу пучка матриц в среднем выше точности метода МНК Прони на 20-30 дБ, а расстояние до границы Крамера-Рао составляет примерно 10 дБ.

3. Предложены алгоритмы повышения точности аппроксимации сигналов по методу МНК Прони, показана их эффективность. Алгоритм позволяет повысить точность метода Прони на 10-20 дБ, что сравнивает его по эффективности с методом пучка матриц.

4. Исследована потенциальная точность разложения двумерной последовательности отсчётов в ряд двумерных экспонент для модели, содержащей две комплексно-сопряжённые экспоненты. Получены оценки границы Крамера-Рао, описывающие наивысшую достижимую точность оценки параметров разложения двумерного сигнала.

5. Предложены модификации метода Прони для оценки параметров разложения двумерного сигнала, проведено сравнение точности двух модификаций. Предложена модификация метода пучка матриц для оценки параметров разложения двумерного сигнала на основе одномерного метода, показана эффективность оценки параметров разложения с помощью данной модификации. Точность метода практически достигает границы Крамера-Рао (1-3 дБ разницы).

6. Предложены способы повышения точности оценки параметров разложения сигнала по двумерному методу Прони, используя алгоритмы для одномерного случая. Проведено исследование точности предложенных методов оценки параметров двумерного сигнала. Эффективность уточнения увеличивается и приближается к потенциальной точности (7-8 дБ до границы Крамера-Рао).

По результатам выполненного исследования была подана заявка на патент Российской Федерации «Способ увеличения точности параметрической аппроксимации сигналов по методу Прони» (авторы Верстаков Е.В., Захарченко В.Д., per. № 2008149741 от 16.12.2008).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-07-00175а).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору В.Д. Захарченко за постоянное и внимательное руководство.

Автор считает приятным долгом поблагодарить д.т.н., профессора В.В. Латышева (МАИ) и к.т.н., доцента В. Г. Андреева (РРТУ), которые обсуждали с ним ряд вопросов, отражённых в рукописи.

Автор благодарен сотрудникам кафедры радиофизики и кафедры теоретической физики ВолГУ, и отдельно д.т.н., профессору Литюку В.И. (ТТИ ЮФУ) за многочисленные ценные замечания и обсуждение работы.

1. Попов В. П. Основы теории цепей. — М.: Высшая школа, 1985. -496 с.

2. Радиотехнические системы / Ю. П. Гришин, В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов и др. М.: Высшая школа, 1990. - 496 с.

3. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — Госэнергоиздат, 1956.

4. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с.

5. Сосулин Ю. Г. Теоретические основы радиолокации и навигации. -М.: Радио и связь, 1992. 304 с.

6. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Советское радио, 1968. 504 с.

7. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их приложения: Пер с англ./Под ред. Ю. В. Линника. М.: Наука, 1968. - 548 с.

8. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

9. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Советское радио, 1982.-624 с.

10. Вакман Д. Е. Асимптотические методы в линейной радиотехнике. -М.: Советское радио, 1962. 247 с.

11. Френке Л. Теория сигналов. М.: Радио и связь, 1973. — 344 с.

12. Чураков Е. П. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 256 с.

13. Проектирование радиолокационных приемных устройств /

14. А. П. Голубков, А. Д. Далматов, А. П. Лукошкин и др.; Под ред. М. А. Соколова. — М.: Высшая школа, 1984. — 335 с.

15. Справочник по гидроакустике / А. П. Етютов, А. Е. Колесников, Е. А. Корепин и др. — Л.: Судостроение, 1988. 384 с.

16. Марпл — мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его применения: Пер. с англ. М: Мир, 1990. - 584 с

17. Beatty L. G. and George J. D. Use of the complex exponential expansions as a signal presentation for underwater acoustic calibration // J. Acoust. Soc. Am., 1978. - Vol. 63, № 6.

18. Krishnamurthy Ashok K. Glottal source estimation using a sum of exponentials model // IEEE Trans. Signal Process. 1992. - Vol. 40, № 3.-P.682-686.

19. Цифровая обработка широкополосных сигналов в измерительных системах. Отчет о НИР / Волгоградский государственный университет. № ГР 01.87.0094804. - Волгоград, 1988. - 149 с.

20. Белодедов М. В., Игнатьев В. К. Определение параметров сигнала автогенератора по алгоритму Прони // Стабилизация частоты: Тезисы докладов межотраслевых научных конференций, совещаний, семинаров, ч.2. ВИМИ, 1989. с.77-79.

21. Вакин С. А., Шустов Л. Н. Основы радиопротиводействия и . радиотехнической разведки. М.: Сов. радио, 1968. — 448 с.

22. М. П. Атражев, В. А. Ильин, Н. П. Марьин. Борьба с радиоэлектронными средствами. -М.: Воениздат, 1972.

23. Никитин А. В. Цифровой параметрический спектральный анализ широкополосных сигналов: Дис. канд. физ.-мат. наук. -Волгоград, 1995.

24. Никитин А. В., Юшанов С. В. Оценивание мгновенной частоты широкополосных сигналов с медленно меняющимися амплитудой и фазой на основе метода Прони // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. - Т. 9. - № 2. - С. 57 — 63.

25. Никитин А. В., Юшанов С. В. Измерение мгновенной частоты широкополосных сигналов на коротком интервале наблюдения // Измерительная техника. 2008. - № 2. - С. 50-54.

26. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Сов. радио, 1981.-416с.

27. М.В. Андреев, О.О. Дробахин, А.Г. Новомлинов, В.Г. Короткая, А.В. Сазонов Модификация метода Гельфанда-Левитана для решения одномерной обратной задачи с помощью метода пучка матриц // Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня. № 2, 2002 С. 9-13.

28. Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции развития / Под ред. А. И. Канащенкова и В. И. Меркулова. М.: Радиотехника, 2003. — 416 с.

29. Barbieri М. М., Barone P. A Two-Dimensional Prony's Method for Spectral Estimation // IEEE Transactions On Signal Processing. -1992. -Vol. 40, № 11. P 2747-2756.

30. Attasi S. Modeling and recursive estimation for double indexed sequences // In System Identification-Advances and Case Studies, R.K. Mehra and D. G. Lainiotis, Eds. New York: Academic. 1976. - P. 289347.

31. M. R. Osborne, G. K. Smyth. A modified Prony algorithm for exponential function fitting // SIAM J. Sci. Statist.Comput. Vol. 16 - P. 119-138.

32. R. Kumaresan, D. W. Tufts. Accurate parameter estimation of noisy speech-like signals // Proc. IEEE Int. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP 82) 1982. - P. 1357-1361.

33. R. Kumaresan, D. W. Tufts. Estimating the parameters of exponentially damped sinusoids and pole-zero modeling in noise // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process. 1982. - Vol. ASSP-30. Vol. 6. - P. 833-840.

34. R. Kumaresan, D. W. Tufts, L. L. Scharf. A Prony method for noisy data: Choosing the signal components and selecting the order in exponential signal models // Proc. IEEE, 1984. - Vol. 72, №. 2. - P. 230-233.

35. Y. Hua, Т. K. Sarkar. Matrix pencil method and its performance // Proc. IEEE ICASSP. 1988. - P. 2476-2479.

36. Y. Hua, Т. K. Sarkar. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped/undamped sinusoids in noise // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. May 1990. - Vol. 38. - P. 814— 824.

37. M. Kahn, M. S. Mackisack, M. R. Osborne, G. K. Smyth. On the consistency of Prony's method and related algorithms // J. Comput. Graphical Statist. 1992. - Vol. 1 - P. 329-349.

38. M. S. Mackisack, M. R. Osborne, G. K. Smyth. A modified Prony algorithm for estimating sinusoidal frequencies // J. Statist. Comput. Simulation. 1994. - Vol. 49. - P. 111-124.

39. Т. K. Sarkar, O. Pereira. Using The Matrix Pencil Method to Estimate the Parameters of a Sum of Complex Exponentials // IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1995. - Vol. 37, № 1. - P. 48-55.

40. Фалькович C.E. Оценка параметров сигнала. M: Сов. радио, 1970. -336с.

41. Оптимальный прием пространственно-временных сигналов в радиоканалах с рассеянием / Под ред. С. Е. Фальковича. М.: Радио и связь, 1989

42. Захарченко В.Д. Способ оценки средней частоты широкополосных доплеровских сигналов. Патент РФ №2114440 от 27.06.98 // Изобретения. Заявки и патенты. 1998. - № 18(11). - С. 344.

43. Захарченко В.Д. Оценка средней частоты доплеровских сигналов методом дробного дифференцирования // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. — Т. 2, № 3-4. — С. 39-41.

44. C. Ying, H. Chiang, R. Moses, L. Potter. Complex SAR Phase History Modeling Using Two Dimensional Parametric Estimation Techniques // Symposium on Algorithms for Synthetic Aperture Radar III, SPIE 2757, Orlando, FL. Apr. 10, 1996.

45. J. Sacchini, W. Steedly, and R. Moses. Two-Dimensional Prony Modeling and Parameter Estimation // IEEE Transactions on Signal Processing.-Nov. 1993. Vol. 41, № 10. - P. 3127-3137.

46. W. Steedly, R. Moses. The Cramer-Rao Bound for Pole and Amplitude Estimates of Damped Exponential Signals in Noise // International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP 1991), Toronto, Ontario, Canada May 14-17, 1991.

47. I. Jouny, F. Garber, R. Moses. Radar Target Identification Using the Bispectrum // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems -Jan. 1995.-Vol. 31, № l.-P. 69-77.

48. Слюсар В.И. Интерпретация метода Прони для решения дальномерных задач // Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника. — 1998.-Том 41, № 1.- С. 35 -39.

49. Казаков В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М: Сов. радио, 1973. - 232с.

50. Финкелынтейн М. И. Основы радиолокации: Учебник для вузов. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1983. — 536 с.

51. Поиск, обнаружение и измерение параметров сигналов в радионавигационных системах / Под ред. Ю. М. Казаринова. М.: Сов. радио, 1975.

52. Вакман Д. Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности в радиолокации. -М.: Сов. радио, 1965.

53. Теоретические основы радиолокации / Под ред. Я. Д. Ширмана. — М.: Сов. радио, 1970.

54. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 488 с.

55. Голуб Дж., Ван Лоан Ч. Матричные вычисления / Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

56. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М: Мир: 1989. - 655с.

57. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576с.

58. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука. — 1970.

59. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. — М.: Сов. радио, 1971.

60. Захарченко В.Д. Интегральный критерий узкополосности радиотехнических сигналов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2000. -№10.-С. 923-925.

61. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983.

62. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Советское радио, 1978.

63. Островитянов Р.В., Басалов Ф.А. Статическая теория радиолокации протяженных целей. — М.: Радио и связь, 1982. 232с.

64. Борзов А.Б. Анализ вторичного излучения элементарных отражателей сложных радиолокационных сцен // Научная библиотека журнала "Конверсия в машиностроении". 1999. - №2. -С.6-11.

65. Васильев E.H., Гореликов А.И., Ефимова И.Г. Дифракция электромагнитного импульса на конечном круговом конусе // Изв. Вузов СССР. Радиофизика. 1981. - Т.24, №3. - С.343-348.

66. Астанин JI. Ю. Костылев A.A. Методы теоретического и экспериментального исследования нестационарного рассеяния и излучения электромагнитных волн // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. — №9 — С.3-27.

67. Небабин В. Г., Сергеев В.В. Методы и техника радиолокационного распознавания. — М.: Радио и связь, 1984. 152 с.

68. S.M. Kay, L. Marple. Spectrum analysis A modern perspective // Proc. IEEE. - 1981.-Vol. 69, № 11.-P. 1380-1419.

69. Рабинер JI., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов./ Пер. с англ. — М.: Мир, 1978.

70. Сосулин Ю.Г., Паршин Ю.Н., Гусев С.И. Адаптация параметров алгоритмов фильтрации случайных процессов методом максимального правдоподобия // Радиотехника. 1999. - №10. -С.67-75.

71. Паршин Ю.Н., Гусев С.И. Оптимальный прием дискретных сообщений системой обработки с оптимальной пространственной структурой // Радиотехника и электроника. 2000. - Т.45, №3. -С.305-312.

72. Паршин Ю.Н., Гусев И.С. Обнаружение дискретных сигналов в радиосистемах с оптимальной пространственной структурой // Цифровая обработка сигналов. 2007. - №1. - С. 34-40.

73. Брыжин А. А., Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Потенциальная точность оценки параметров сигналов методом Прони // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2008. Т.11, №1. -С.6-10.

74. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Модификация метода Прони для двумерных сигналов // Материалы международной научной конференции "Системы и модели в информационном мире", ч. 3. — Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2009. С.10.

75. Верстаков Е. В. Потенциальная помехоустойчивость двумерного метода Прони // Материалы XV международной научно-технической конференции "Радиолокация, радионавигация, связь", Т. 1. Воронеж: Изд. НПФ «САКВОЕЕ» ООО, 2009. - С.67-72.

76. Захарченко В. Д., Верстаков Е. В. Вопросы точности оценки параметров узкополосных сигналов // Известия Волгоградского государственного технического университета: межвузовский сборник научных статей №4(42)/ ВолгГТУ. Волгоград, 2008. -с. 102-106.

77. Верстаков Е. В. Исследование помехоустойчивости аппроксимации локационных сигналов по методу Прони// Тезисы докладов Международной научно-технической конференции к 100-летию со дня рождения В.А. Котельникова. М: Издательский дом МЭИ, 2008.-С.6

78. Верстаков Е. В., Захарченко В. Д. Повышение точности аппроксимации сигналов по методу Прони// Материалы международной научной конференции "Инновации в обществе, технике и культуре", ч. 3. Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2008. - С.6-9.

79. Захарченко В. Д., Верстаков Е. В., Потенциальная точность параметрической аппроксимации радиолокационных сигналов на ограниченном интервале наблюдения в условиях помех // Качинские чтения (XII). Сборник статей. - Москва, 2008. - С. 135138.

80. Верстаков Е.В. Точность оценки параметров разложения сигнала методом пучка матриц на фоне помех // Успехи современной радиоэлектроники. 2009. №6. - С.79-80.

81. Верстаков Е.В., Захарченко В.Д. Исследование потенциальной точности разложения сигнала в ряд Прони в условиях помех // Успехи современной радиоэлектроники. 2009. №8. - С.78-80.

82. Верстаков Е.В., Захарченко В.Д. Модификация метода Прони при аппроксимации двумерных сигналов на фоне помех // Радиолокация и радиосвязь: Доклады 3-й всероссийской научно-технической конференции. -М.: Москва, 2009. Т.2. С. 184-187.

83. Верстаков Е. В. Аппроксимация двумерных сигналов с помощью метода Прони // Радиолокация, радионавигация, связь: Материалы XVI международной НТК (RLNC-2010). Т.1. Воронеж: Изд. НПФ «САКВОЕЕ» ООО, 2010. - С.22-28.