автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование обтекания проницаемых тел и других задач аэрогидродинамики методом крупных частиц на МВК "Эльбрус-2"

" /1 /Н .г/ '' ^

/ , ■■ . ^

ИНСТИТУТ ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Акжолов Маматжан Жолдошевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПРОНИЦАЕМЫХ ТЕЛ И ДРУГИХ

ЗАДАЧ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ КРУПНЫХ ЧАСТИЦ НА

МВК "ЭЛЬБРУС-2"

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Почётный Академик

Академий Наук Киргизии и Туркменистана,' Академик Королевской Академии наук Испании, Заслуженный деятель науки и техники России, доктор физико-математических наук, профессор Ю.М. ДАВЫДОВ

Оглавление

Стр.

Введение....................................................................... 5

Глава 1. Метод крупных частиц для расчета обтекания проницаемых тел................................................................ 14

§1.1. Математическая постановка задачи и исходные уравнения обтекания проницаемого тела..................................................... 14

§1.2. Математические модели проницаемости при внешнем обтекании тела............................................................................. 15

§1.3. Алгоритмы расчета..................................................... 17

1.3.1. Основные этапы метода крупных частиц и разностные уравнения ...............................................................................17

1.3.2. Постановка начальных условий и граничных условий на внешних границах расчетной области.......................................... 20

1.3.3. Численные модели граничных условий на проницаемом тонком теле.....................................................................................................................................22

§1.4. Исследование эффективности решения нелинейных задач математической физики на многопроцессорном вычислительном комплексе "Эльбрус-2" методом крупных частиц ............................... 24

§1.5. Анализ влияния на численное решение краевых условий на внешних верхней и правой границах расчетной области................... 34

§1.6. Исследование сходимости и точности решения................. 37

§1.7. Методические исследования и тестовые расчеты. Сравнение с экспериментальными и другими данными................................... 55

Глава 2. Результаты исследования обтекания тонкого проницаемого тела при различных коэффициентах проницаемости и скоростях набегающего потока.......................... 61

§2.1. Параметрические исследования кинематических моделей .... 62

2.1.1. Линейная кинематическая модель................................. 62

2.1.2. Квадратичная кинематическая модель............................ 88

2.1.3. Обобщённая нелинейная кинематическая модель............... 99

§2.2. Параметрические исследования динамических моделей....... 129

2.2.1. Линейная динамическая модель.................................... 129

2.2.2. Квадратичная динамическая модель............................... 145

2.2.3. Обобщённая нелинейная динамическая модель................. 160

§2.3. Результаты расчетов обтекания тонкого проницаемого тела

парашютообразной формы по полуэмпирической модели проницаемости ..............................................................................................................................173

§2.4. Методическое исследование течений на различных разностных сетках............................................................................ 188

2.4.1. Зависимость структуры течения при обтекании проницаемого тонкого тела от значений сеточных параметров.......................188

2.4.2- Исследование влияния коэффициентов проницаемости на

картину обтекания пластины при оптимальных сетках..................... 198

§2.5. Расчет пространственно-трехмерного обтекания парашюта под различными углами атаки на дозвуковом и сверхзвуковом режимах

207

Глава 3. Метод крупных частиц на неортогональных сетках................................................................................ 213

§3.1. Разработка алгоритма метода крупных частиц для треугольных сеток............................................................................. 213

3.1.1. Разностная схема в пространственно-двумерном случае ..... 213

3.1.2. Пространственно-трехмерная разностная схема на треугольной сетке.........................................................................218

3.1.3. Исследование сходимости разностной схемы на треугольной сетке с помощью дифференциальных приближений....................................223

§3.2. Разработка алгоритма метода крупных частиц для шестиугольных сеток...................................................................... 226

3.2.1. Разностная схема в пространственно-двумерном случае ..... 226

3.2.2. Пространственно-трехмерная разностная схема на шестиугольной сетке....................................................................... 229

3.2.3. Дифференциальные приближения разностной схемы на шестиугольной сетке..............................................................................................................................231

§3.3. Результаты расчетов на ортогональных и неортогональных

пространственно-трехмерных сетках............................................ 233

§3.4. О выполнении групповых свойств в методе крупных частиц...... 245

Заключение.................................................................... 252

Литература ................................................................... 254

Введение

В настоящее время практика выдвигает широкий спектр сложных задач аэрогидродинамики. Их решение крайне необходимо при разработке актуальных проблем машиностроения, экологии, металлургии, энергетики, технологии, конструирования тормозных устройств летательных аппаратов, космических объектов и т. п. Требования, предъявляемые к исследованиям этих задач в настоящем и будущем, являются чрезвычайно жесткими. Экспериментальные исследования для них технически трудны, экономически дороги и во многих случаях даже невозможны. Единственным, реальным путем их исследования является численный эксперимент. Использование численного моделирования при решении этих проблем весьма перспективно, так как оно даёт наиболее полную информацию в короткие сроки. Важную роль здесь также играет экономический фактор: численный эксперимент обычно экономически существенно дешевле любого натурного физического эксперимента. К тому же это даёт уникальную возможность исследовать влияние на исследуемый процесс разных параметров как отдельно, так и в любой их комбинации. В качестве инструментов для исследования в данной работе выбраны мощные и современные численный метод и вычислительная система: метод крупных частиц [31, 35, 40, 120] и многопроцессорный вычислительный комплекс (МВК) "Эльбрус-2" [16-18]. Как метод, так и вычислительная система - это отечественные разработки. Использование метода крупных частиц на МВК "Эльбрус-2" или на других подобных мощных вычислительных системах позволяет решить актуальные сверхсложные задачи, которые до этого не удавалось решить другими методами и на других (менее мощных) вычислительных системах.

Современные электронные вычислительные машины дали в руки исследователей эффективные средства для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания.

Роль математических моделей далеко не исчерпывается проблемой познания закономерностей. Их значение непрерывно возрастает в связи с естественной тенденцией к оптимизации технических устройств и технологических схем планирования эксперимента. В процессе познания, стремясь создать детальную картину исследуемых процессов, мы приходим к необходимости строить все более сложные математические модели, которые в свою очередь требуют универсального и тонкого математического аппарата. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которые непрерывно совершенствуется вместе с самой вычислительной техникой.

В "домашинную" эпоху решались достаточно простые задачи с использованием аналитических методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, с применением аппарата специальных функций (функций Бесселя, полиномов Эрмита и др.) и т. п.

По мере усложнения задач для решения стали использоваться приближенные вычисления. Вначале при решении элементарных практических задач использовались простейшие приёмы приближенных вычислений (например, вычисление подинтегральной суммы методом трапеций). Для их проведения было достаточно ручных калькуляторов (типа арифмометра Феликс). Электронные вычислительные машины здесь были ещё не нужны.

Дадим классификацию вычислительных методов [22, 40, 87, 88, 105], используемых на ЭВМ, по поколениям в соответствии с принятой классификацией по поколениям вычислительных систем [15,40, 104].

1-е поколение. Практика выдвинула для исследования достаточно сложные задачи, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения решаются методами Эйлера, Эйлера с пересчетом, Адамса, Рунге-Кутта и др. Им адекватны ламповые ЭВМ первого поколения (МЭСМ, БЭСМ, БЭСМ-1, Стрела, Урал-1, Урал-2, М-20 и т.п.) [81,104].

Д-е поколение. Практика потребовала решения достаточно сложных задач, описываемых уравнениями математической физики. Вначале эта потребность

возникла в аэрогидродинамике [2, 76, 80, 84, 85, 91, 92, 103, ИЗ] и других разделах механики сплошных сред, атомной физике [Ц? 12, 19, 21, 72, 77, 89, 95, 96, 115]. Путём преобразования исходных дифференциальных уравнений и использования известных свойств получаемых решений, постановка задач упрощалась. Для сверхзвуковых сжимаемых течений здесь использовался метод характеристик, для дозвуковых сжимаемых течений - метод интегральных соотношений, для несжимаемых течений - метод дискретных вихрей и т. п. Этому поколению методов адекватно П-е поколение ЭВМ - транзисторные вычислительные машины (типа БЭСМ-4, М-220 и т.п.), хотя, конечно, эти методы можно применять и на более совершенной вычислительной технике.

Ш-е поколение. Практика потребовала в рамках единого алгоритма получить решения в смежных областях течения: как в дозвуковой, так и сверхзвуковой, с возможностью расчета поверхностей разрыва (ударных волн, контактных поверхностей, волн разрежения). Математически это означает требование обеспечения решения в областях различного типа (гиперболических, эллиптических, параболических) и на границах между ними. Для этого были предложены методы сквозного счета. К ним относятся методы Русанова, распада разрыва (Годунова), Лакса, Лакса-Вендроффа, Харлоу, Мак-Кормака и др. Данному Ш-му поколению методов адекватно Ш-е поколение ЭВМ - вычислительные машины на больших интегральных схемах (БЭСМ-6, ЕС-1060 и т. п.) [81,102, 104].

Для того, чтобы обеспечить непрерывный (сквозной) счет через поверхности разрыва без выделения особенностей, необходимо присутствие в разностных схемах определённого диссипативного механизма. Эта диссипация может обеспечиваться двумя способами: за счет искусственной вязкости (как, например, в схемах Русанова, Харлоу, Лакса-Вендроффа) и за счет аппроксимационной вязкости (как, например, в схемах Лакса, Годунова). Введение искусственной вязкости - это прием, позволяющий получить размазывание поверхности разрыва путём явного введения нефизичных диссипативных членов. Например, искусственного вязкостного давления Ландшофа (Ьапс181к^:0:

_ ди - ju0 С h—~ при

ди

q=

о

ди

при — > О,

OS

где с ~ массовая скорость звука, h - размер ячейки в направлении s, Шо - эмпирический коэффициент его величина подбирается так, чтобы эффективная ширина ударного слоя / для характерных условий была бы приемлемой; практически / = (5-й 0)h- Эта искусственная вязкость q аддитивно добавляется к термодинамическому давлению р и в расчетах участвует эффективное давление Р = р + q. Введение искусственной вязкости - это весьма грубый приём достижения устойчивости разностной схемы. Он начал активно применятся в 1950-х - 1960-х годах. При этом физическая и математическая постановки задачи искажаются, а исходную систему дифференциальных уравнений подменяет другая система. В результате полученная численная модель не адекватна исходной математической модели и исследуемому физическому процессу.

IV-е поколение. Так как методы сквозного счета позволяют получать достаточно надежные результаты лишь в тех случаях, когда a'priori известна структура решения (иначе III-е поколение методов - методов сквозного счета - может давать не только количественные расхождения, но и качественные ошибки), возникла необходимость создания принципиально нового, существенно более мощного поколения методов, учитывающего глубокие нелинейные свойства разностных схем. Это современное поколение методов численного эксперимента, ярким представителем которого является метод крупных частиц, позволяют в прямом смысле ставить вычислительный эксперимент: исследовать принципиально новые физические явления без априорной информации о структуре решения [395 40, 121-127]- IV-му поколению численных методов адекватны сверхбыстродействующие супер-ЭВМ: МВК "Эльбрус-2", МКП (ЭВМ с модульно-конвейерным процессором), Cray и т. п.[17; 18, 104]- Алгоритмы метода крупных частиц успешно и легко адаптируются к этим многопроцессорным вычислительным ком-

плексам: его алгоритмы можно распараллеливать, что дает возможность максимально полно загружать вычислительный комплекс. Адаптация алгоритмов метода крупных частиц к векторно-конвейерной вычислительной системе подробно была рассмотрена в специально посвященной этим вопросам монографии [47, 61], в главе монографии [40] и в ряде статей [32,48, 50, 58-60 и др.].

Алгоритм метода крупных частиц может быть успешно отображен на архитектуру современных и перспективных супер-ЭВМ: многопроцессорных ЭВМ, многомашинных вычислительных комплексов с нетрадиционной архитектурой [58, 60], вычислительных машин потоков данных (data flow), систологических машин и т. п. [43? 44, 61].

Современное понимание метода крупных частиц заключается в его обобщении на многопараметрический класс разностных схем и в нахождении оптимального (для данной предметной области и конкретной вычислительной среды) алгоритма из этого класса. Многопараметричность вводится как на уровне разностных схем для внутренних точек расчетной области, так и на уровне разностных граничных условий. Полученные в результате оптимизации в пространстве разностных схем алгоритмы максимально эффективны, любые другие алгоритмы менее эффективны (либо менее точны, либо дают немонотонное решение, либо не удовлетворяют необходимым физическим законам (например, сохранения) и т. д.).

Конструктивная идея вычислительной математики, как известно, заключается в том, что один и тот же алгоритм применяется ко всем внутренним точкам расчетной области. Следующим шагом к единообразию вычислений является применение одного и того же алгоритма как во внутренних точках расчетной области, так и на границах: внешних и внутренних.

Однако однородности алгоритма недостаточно для получения однородных результатов: необходимо также обеспечить однородность вычислительной среды.

На уровне физических и математических моделей однородность среды обеспечивается, как правило, автоматически. Исследуются физические решения в механике сплошной среды, являющейся однородным объектом. Находятся аналитические решения систем уравнений газовой динамики в банаховом пространстве, являющимся однородной средой, и т.п. Эти однородные пространства обладают одинаковыми свойствами во всех своих точках.

На уровне вычислительных моделей эта априорная однородность может не осуществляться. Это происходит из-за специфических свойств дискретного вычислительного пространства, принципиально новых по сравнению со свойствами непрерывных пространств (например Ьг).

Дифференциальное представление разностного оператора

00 00 Л= 1Рв(Аг)|(Аг)Г = 3+ 1Р„(Дг)|(Дг)Г

а=О а=1

зависит от сеточного вектора А г = 1 Ах + ] Ау + к Аг. Поэтому решение разностного оператора также зависит от А Г .

Ю.М. Давыдовым введено понятие однородности и изотропности вычислительного пространства:

1) Вычислительное пространство будет однородным, если во всех его дискретных точках сеточный вектор А ? неизменен по величине и направлению.

2) Однородное вычислительное пространство будет полностью изотропным, если все компоненты (проекции на все координатные оси) его сеточного вектора будут одинаковыми. Если в пространственно-трехмерном случае будут равными проекции сеточного вектора только на две координатные оси, то такое пространство называется частично изотропным (частично изотропным по х - у, например)

Эти однородные вычислительные пространства получили названия "пространства Давыдова": "однородное пространство Давыдова" и "изотропное пространство Давыдова" [63, 79, 86, 105].

Таким образом, вводится понятие однородного алгоритма: единообразного алгоритма для всех точек расчетной области.

Заметим, что в современной вычислительной механике использование адаптивных сеток, приводит к неоднородности вычислительного пространства, что влечет за собой неправильный как количественный, так и возможно качественный результат [27,30, 40].

Необходимость работать в однородном вычислительном пространстве автор