автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование некоторых средних характеристик стохастических моделей

На правах рукописи

Сатин Яков Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ СРЕДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Специальность 05.13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3174219

'Ж

Саранск - 2007 /¿^.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики

Вологодского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Зейфман Александр Израилевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Горбунов Владимир Константинович

кандидат физико-математических наук, доцент Шаманаев Павел Анатольевич

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 7 ноября 2007 г., в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета КМ.212.117.07 при Мордовском государственном университете имени Н. П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета имени Н.П Огарева.

Автореферат разослан. 3 октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования Марковские цепи с непрерывным временем играют важную роль в математическом моделировании многих процессов, возникающих в самых разнообразных областях исследований технике биологии, экономике, военном деле и т д Особенно успешными являются применения марковских цепей в теории массового обслуживания и теории надежности

Первоначально такого рода задачи возникли из требований телефонного дела физики и рациональной организации массового обслуживания (билетные кассы, магазины и прочее) в начале предыдущего столетия Первые исследования по этой тематике были приведены в работах А К Эрланга Основные его исследования в этой области относятся к 1908-1922 годам С того времени интерес к проблемам, выдвинутым Эрлангом, значительно возрос Оказалось, что подобные задачи возникают в самых разнообразных направлениях иссте-дований: естествознании технике, экономике транспорте военном деле организации производства и многих других Для решения проблем такого рода примерно в 50-х годах двадцатого века была создана так называемая теория массового обслуживания (англоязычный термин - теория очередей), являющаяся с тех пор активно развивающимся разделом прикладной теории вероятностей

В числе математиков, заложивших основы теории и приложений этой области и сформировавших ее современный облик (в части, близкой к тематикр настоящего исследования) следует отметить Р Л Добрушина, Б В Гнеденко, В В. Калашникова, И П Макарова А II Зейфмана, Н В. Карташова, В. В Анисимова, Е Уап Боогп'а.

\Vhitfa и многих других

Наиболее распространенной из моделей описывающих реальные

системы массового обслуживания является так называемый процесс рождения и гибели - это частный случаи марковского процесса с непрерывным временем и не более чем счетным числом состояний. В основном в работе изучаются именно ПРГ, но затрагиваются и более общие процессы типа рождения и гибели (ОПТРГ) которые широко используются при моделировании эпидемических ситуаций

В работе рассматриваются вопросы, связанные с периодическими режимами^ которые имеют важное значение в прикладной математике при изучении математических моделей в разнообразных областях исследований Периодические решения и устойчивость дифференциальных уравнении изучали многие авторы например, В А Якубович, М Г Крейн, Е. В Воскресенский, А И Перов, М Т.Терехин Цель работы:

Изучение математических моделей процессов рождения и гибели (ПРГ) обпшх процессов типа рождения и гибели (ОПТРГ), сводящихся к системам линейных дифференциальных уравнений Исследование вопросов существования двойного среднего и предельного среднего, и вопросов вычисления этих характеристик, а также скорости сходимости к ним

Методика исследования:

Для решения поставленных задач используется эволюционный оператор (оператор Конпг) и генеральный показатель дифференциального уравнения в банаховом пространстве, и методы их оценки Проблемы вычисления искомых параметров сводятся к изучению дифференциальных уравнений на множестве стохастических векторов В этом случае возникают проблемы, связанные с получением явных оценок генерального показателя Для получения этих оценок используется логарифмическая норма оператора, понятие которой введено

у Лозинского а для операторов в банаховом пространстве изучено Далецким и Крейном В случае ПРГ доказывается существование предельного среднего п получена его оценка. Получена оценка для предельного среднего и двойного среднего через систему с меньшим числом состояний. В случае ОПТРГ предполагается слабая эргодичность Х(1) Доказывается существование и получаются оценки Рассматриваются другие способы вычисления указанных параметров

Научная новизна:

В диссертации найдены новые условия существования предельных средних и способы их вычисления, а также подучены оценки скорости сходимости к этим характеристикам

Практическая значимость результатов: Полученные в работе результаты могут быть использованы в исследовании конкретных систем линейных дифференциальных уравнений и стохастических моделей в технике химии, биологии физике и других отраслях научных знаний

Основные положения, выносимые на защиту:

- Достаточные условия существования среднего и двойного среднего для бесконечного процесса рождения и гибели с периодическими интенсивностями Определение скорости сходимости данных характеристик

- Аппроксимация бесконечного процесса рождения и гибели конечным процессом рождения и гибели Алгоритм нахождения предельных средних характеристик

- Вопросы, связанные с существованием и построением предельных средних характеристик для систем массового обслуживания, описываемых нестационарными процессами рождения и гибели с интенсивностями. близкими к периодическим

Апробация диссертации: Результаты работы докладывались на семинарах кафедры прикладной математики ВГПУ (2005 год) на заседании научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете, семинаре в Римском университете (Италия 2003 год) зимней школе ''Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004) международной школе-семинаре по геометрии н анализу (Ростов-на-Дону, 2004), 24 международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Юрмале (Латвия 2004 год) 25 международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Мапори (Италия 2005 год), на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики и Средневолжского мателштического общества под руководством профессора Б В Воскресенского (Саранск, 2006)

Публикации: Основные результаты опубликованы в [1]-[12] Структура и объем диссертации: Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, приложения, библиографического списка литературы, включающего 71 работу отечественных и зарубежных авторов Работа изложена на 129 листах машинописного текста. Краткое содержание работы:

Во введении дается обоснование актуальности темы диссерта-шш, содержится краткий обзор работ по ее тематике сформулированы основные результаты, полученные в работе

Глава 1 является вспомогательной В ней даются определения предельного среднего и двойного среднего приводится пространство ¿1, логарифмическая норма оператора, ОПТРГ и ПРГ. рассматриваются некоторые свойства подпространств в ¡1. которые будут исполь-

зоваться в дальнейшем

Определение 1 Будем называть функцию о(£) предельным средним для цепи Х{1), если

существует и не зависит от к то Е называется двойным средним для цепи

В §1 главы 2 получены достаточные условия существования среднего и двойного среднего для бесконечного ПРГ с периодическими интенсивностями Рассмотрена аппроксимация бесконечного ПРГ конечным ПРГ

Пусть X (() , t > 0 нестационарный ПРГ с пространством состояний б1 = {0,1, } , и интенсивностями рождения Ап (?), I > 0 и гибели ц„ (*),£> 0, п £ 3

Вероятности состояний ПРГ описываются системой

1ш 1^(0) = *} - <Я01 = 0

для любого к > 0

Определение 2 Если предел

(01)

(0 2)

А„ (?) = упа (г) М0=»?п&(0- " 6 £ (« 3)

где

т = 0, 0 < г/п < п = 0, , 0 < г\п < М п = 1,

(0 4)

Пусть « (t) b (f) неотрицательны 1-периодичны и интегрируемы на [0,1] Более того, предполагается, что для всех f € [0 1]

о (t) < а,6 (i) < b (0 5)

Возьмем последовательность положительных чисел 1 = <L_i = < di < Положим

^(fJ^AitO + Wn-iW-^AH-iit)-—■«(<), ,*>0, (Об) и

a (t) = mf (t), а' = £ a(t) dt, M0= sup fa{u)du, M = eVJ»+n* w = (0 7)

|i-s|<l k к

Введем обозначение A*.\ - марковская цепь, полученная из X(t) с состояниями {0 1, , Л"}

Теорема 1 Пусть существует последовательность {d,} такая, что а* > 0 и и) = mffr>i '^jr1 > 0 Тогда существует предельное среднее <p(t), такое, что (t)¡^Г(О) — fe}—o(i)| 0 при i —J- ос для любого к Более того, верна следующая оценка для к = 0

= *}" ¿(01 < —е-«-* (0 8)

Теорема 2 Пусть существует последовательность {rf,} такая что а" > 0 Тогда для любого t > 0

lE{X(i)iA-(0) = 0} - Я{ВД|А>(0) = 0}| <

(0 9)

где

Wv = mf

EL, d.

:()"A-1+»

(010)

<>o X + к

Теорема 3 Пусть существует последовательность {d,} такал, что а* > 0 Тогда для любого t > 0

- он < мь) (он)

Теорема 4 Пусть существует последовательность {d,} такая что а* > 0 « inft>i > 0 Тогда ДРГ имеет двойное среднее Е Более того верны оценки

Е - j*+i £{X(«)|X(0) = 0}du

- Wa*

(012)

Е - I Е{Х,(и)|А_„(0) = 0}Ли < Ч--1

(0 13)

Замечание 1 Неравенство (0 11) позволяет находить предельное среднее с заданной точностью. Для начала находим t при котором первое слагаемое достаточно мало Затем зафиксировав полученное находим N так, чтобы второе слагаемое было достаточно мало \ ос при N —* ос ) Теорема 3 позволяет вычислять предельное среднее с заданной точностью

Замечание 2 Оценки (0 11)и(0 13) состоят из двух слагаемых Для первого и второго слагаемых можно взять различные последовательности с целью их уменьшения

В §2 главы 2 получены достаточные условия существования среднего и двойного среднего для конечного ПРГ с периодическими интенсивностями Рассмотрена аппроксимация конечного ПРГ конечным ПРГ с меньшим числом состояний

В §3 главы 2 рассмотрены системы массового обслуживания, описываемые нестационарными процессами рождения и гибели с ин-тенснвностямн, близкими к периодическим Исследованы вопросы, связанные с существованием и построением предельных средних характеристик

Пусть X (t), f > 0, - вспомогательный' неоднородный ПРГ с пространством состояний S = {0,1 .} интенсивности рождения Лп (t), t > 0. и гибели Цп (t), t > 0 n £ S, которого являются периодическими функциями от времени t с периодом, равным единице Будем предполагать что для вспомогательного процесса выполняются условия стандартные для ситуации с переменными интенсивностями (ОЗ)-(ОЗ)

Рассмотрим теперь основной (' возмущенный'') ПРГ X* (£), t > 0, с тем нее пространством состояний 5 и интенсивностями рождения A* (t), t > 0, и гибели ¡J*t (t), t > 0, n £ S, для которого выполнены аналогичные стандартные условия, а вместо 1-периодичности предполагается, что

K(t) ~ K{t) = An(i), ^„(f) - /tn(i) = jin(t) . (0 14)

где "возмущения' интенсивностеймалы JЛ„{i)j < с, l/in(f)] < с при всех t > 0 и n € S

Как и в предыдущих параграфах предполагается, что векторы вероятностей состояний рассматриваемых процессов описываются соответствующими прямыми системами Колмогорова

Как и ранее, возьмем некоторую последовательность положительных чисел 1 = d-i = d(¡ < di < Аналогично определим функцию (О 6) и некоторые вспомогательные величины (0 7) Введем еще одну величину

Г = &иР(2 + ^ + ^-) (015)

Теорема 5 Пусть существует последовательность {с?,} такал, что а* > 0 inffc>i ^¡г1 > 0, а Г < оо « а* -Тс > 0 Тогда вспомогательный ПРГX{t) имеет l-периодическое предельное среднее <p(t) причем для любого начального условия X*(ü) = к и ecext > 0 справедлива оценка

|£Ч**(№(0) = *}-<>(*)!<

Теорема 6 Пусть выполнены условия теоремы 5 Тогда ПРГ Л"* (f ) имеет предельное среднее e>*(í), причем выполняется неравенство

+ (017)

Замечание 3 В отличие от случая когда интенсивности ПРГ 1-периодичны, предельное среднее <p*(t) для ПРГ X'(t) не обязано быть периодическим, а двойное среднее может и не существовать Однако, некоторый более слабый аналог двойного среднего может быть оценен и в этой ситуации

Введем обозначения (верхнее и нижнее средние) для ПРГ A"*(í) Ё* = ПЫ* ^ [ Е {Л"*(м) )Х*(0) = k} du,

С •'У

Е* = hmt^J- ¡I Е {Х'(и) |Х*(0) = fe} du 11

Заметим, что двойное среднее Е для ПРГ с 1-периодическими ин-тенсивностями находится, как среднее по периоду от предельного среднего: Е = /ц1 <р({) <И. Поэтому из теоремы 6 получаем следствие 1

Следствие 1 Пусть выполнены условия теоремы 5 Тогда ПРГ Х*({) имеет верхнее и нижнее средние, причем выполняется неравенство

_ М« / ГМа1/0\ ^ с. ^ е. , , Мб

Л + H^Sl) < Е* < р < Е+_—_(г 4-

W (а* — Ге) ч а* ) -- - - +W(«'-re) Г+ а* )

(0.18)

Рассмотрим теперь вопросы, связанные с построением предельного, верхнего и нижнего средних для ПРГ X*(t). Введем некоторые вспомогательные понятия Пусть Х,% (t). t > 0 - "'усеченный'' ПРГ с пространством состояний S_\ = {0,1,2. . , Л*} и 1-периодическими антенсивностями рождения A„(i). п € Sa'-ь и гибели ftn(t), п £ Sj/ (и матрипей интенсивностей (')) Нижним индексом X будем обозначать соответствующие характеристики этого процесса.

Положим

WA- = mf£'tdA,71+' (019)

к>0 Л + к

Рассмотрим приближенное вычисление Е {X*(t) |Х*(0) — к} которое позволит вычислить и предельное среднее d>*(t)

Теорема 7 Пусть выполнены условия теоремы 5. Тогда при любых N. к и всех t > 0 выполняется неравенство

IW(0 |А"*(0) = к} - E{Xj,(t) |А"(0) =0}| <

War* W.v«* v '

M

w

Следующее утверждение позволяет приближенно вычислять верхнее и нижнее средние для Х*(£).

Теорема 8 Пусть выполнены условия теоремы 5 Тогда при любом N и всех 1> 0 выполняется неравенство

Такая же оценка справедлива и для Е*

В §1 главы 3 получены достаточные условия существования среднего и двойного среднего для конечного ОПТРГ с периодическими интенсивностями Показаны способы вычисления средних

Пусть А(£) - матрица интенсивностей нашей цепи, далее всюду будем предполагать, что А(£) 1-периодична и интегрируема на [0.1] Введем "усредненную4 матрицу

Определение 3 Состояние г для однородной марковской цепи X(t) называется достижимым, если для любого j существует t, при которых выполняется. pJt(t) > 0.

Теорема 9 Пусть однородная цепь с матрицей интенсивностей Лц имеет достижимое состояние Тогда марковская цепь X(t) с 1-перчодической матрицей интенсивностей A(t) слабо эргодична, имеет 1-периодшеские предельный режим ж (t) и предельное среднее o{t) а

(0 22)

также двойное среднее Е причем найдутся а > 0 и натуральное т„ такие, что при всех натуральных п 1) при всех t > т,п

||р(()-*Ю||<2(1-о)» (0 23)

для любого р(0), 2) при всех £ > т,п

\Е (Л"(/) |Х(0) = *} - о(г)| < 2Л' (1 - а)" (0 24)

для любого к, 3) для любого к

Г"'и1 ешлщо) = к} а -

< 2Х (1 - с*Г (0 25)

В главе 4 приводятся описания некоторых моделей, для которых могут использоваться полученные результаты

В главе 5 рассмотрено применение полученных результатов для решения конкретных задач система с неограниченным числом мест ожидания система с ограниченным числом мест ожидания простейшие модели эпидемий.

Система с неограниченным числом мест ожидания Пусть система в каждый произвольный момент времени может находится в одном из состояний Ео, Е-1, Е2 множество которых конечно пли счетно Пусть, за промежуток длительности ¡г система нз состояния Еп в момент времени I с вероятностью \„{£)к + о(к) переходит в состояние Еп+1 и с вероятностью ц„{1)к + о{К) - в состояние Еп-1 Вероятность того, что система за промежуток времени (£ перейдет в состояние Еп+1, или в состояние Еп-к при к > 1, бесконечно малы по

сравнению с h Вероятность того что система за тот же промежуток времени останется в состоянии Еп равна 1 — Xn(t)h — /J.n(t)h + o(h).

Случайные процессы такого типа являются процессами рождения и гибели Если под Еп понимать событие, состоящее в том, что численность популяции равна п, то переход Еп —> Еп+1 означает, что численность популяции увеличилась на единицу Точно также на переход Е„ Еп-1 следует смотреть как на гибель одного члена популяции.

Задавая A„(i) и /tn(i), можно получить различные модели В частности рассматривается применение к системам массового обслужи-вания(СМО)

Например рассмотрим применение к СМО с неограниченным числом мест ожидания.

Пусть имеется т обслуживающих приборов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для каждого из поступающих в систему требований и одновременно способен обслуживать только одно требование Каждое требование, поступившее в систему начинает обслуживаться немедленно если в ней имеется хотя бы один свободный прибор Когда поступает требование и все приборы заняты то оно сохраняется

Основным предметом поиска является среднее число требований в системе (в единицу времени - предельное среднее, вообще - двойное среднее)

Для данной модели имеем.

А„(£) = А(#), /<ц(£) = 0, fin(t) = n/t(i) при п < то, m/i(i) при п > т.

С те дующий пример показывает, как на практике могут быть использованы полученные результаты

Возьмем X (t) t > 0 нестационарный ПРГ с пространством со-

стояний Е — {0,1 } , и интенсивностями рождения А„ (f) , f > 0 и гибели //„ (i), t > 0 п € Е

Пример 1 Пусть a(t) = 1 + sin2tit и b(t) = 4 + 2co.s2rrt (период Т = lj Согласно (0 3) имеем т/п = //„ = 1, используя (0 4)- получаем L — М = 1 и из (0 5) имеем а = 2, b = 6 Пусть dk = 2к к > 0

Тогда согласно (0 6) a {t) = 1 — sin2nt + cos2vt/ Далее используем (0 7):

а* = /d a (i) dt = 1, М0 = sv»P|t_s|<i (¡ «(«) </« = 1 + ¿ « M = = < 10,W = mfA ^¿i = 1 «WA. = mft>0 =

a

Используя теоремы 1,2 и 3 получаем

|£ {X(t) |Х(0) = 0} - o(É)¡ < 200с_í

{*(*) |Х(0) = 0}-Е{Х, (Í) [ХЛ (0) = 0} I < ^^

Ш - Е {ХА (í) |Лд (0) = 0} I < 200е-е + ^^

По теореме 4 получаем

Г

rt-4-L

Е - I Е {A"(uj |А"(0) = 0} du

< 200е ,

|Е Е {ХЛ (и) }ХЛ (0) = 0} ¿и ^ ^ , 2Д ^

Для того чтобы полученные выше оценки выполнялись, можно взять Ь = 17, N = 39

Таким образом, для Ь — 17,Л' = 39 получаем |Е — 0,38312| < 10~° График 1 для предельного среднего о(1) когда t изменяется от 11 до 18

/ \

\

/

/

Рис i: <p[t), for t 6 [17.18] Простейшие модели эпидемий

Пример 2 Процесс, описывающий модель сезонной эпидемии с двумя типами индивидов: здоровыми (восприимчивыми) и больными, с возможным увеличением (уменьшением) на единицу каждого типа, а также с переходом из одного типа в другой, и максимальным количество индивидов каждого класса Ni, г = 1,2. Будем предполагать, что интенсивности рождения и г%1бели для каждого типа индивидов постоянны и равны 1, а интенсивности заражения и выздоровления есть 0,5 + 0;4cos(2ri) «0.5 + 0,5sin(27ri) соответственно. Вместе с ф(£) ti Е. представляющими собой средние характеристики всей популяции, особый интерес представляют соответствующие средние e>;(f) и Ej для каждого класса индивидов (i — 1,2). Тогда при ЛГ1 = М'2 — 3 получаем а > 0,096847 и для вычисления средних с приемлемой точностью /У, 000001) приходится брать t > 150. При этом находим двойные средние Е^ = 1.005133. Е2 = 0,994866.

На рисунке 2 изображен график среднего <i>i(t) (достаточно взять 150 < t < 151);

на рисунке 3 изображен график среднего

Приложение содержит исходные тексты программы, с помощью которой проводились вычисления.

Рис 2: ф(t), for t € [150,151]

4, /

/

X /

v

Рис 3: <?(«), for t e [150.161]

Автор выража-ет искреннюю благодарность доктору физико - математических наук, профессору Зейфману А.И. за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

[1] Зейфман А.И.. Сатин Я.А. Средние характеристики марковских систем обслуживания // Автоматика и телемеханика, 2007, 9, 122-134

Остальные публикации

[2] S.Leorato, E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova. A. Zeifman (2004). On some limits for nonhomogeneous birth and death processes. Trans.

of 24 Seminai of Stability Problems for Stochastic Models, Jurmala, Latvia, 52-53

[3] S Leorato, E Or&mghei, Ya Satin, G Shilova A Zeifman On some characteristics for nonhomogeneous birth and death processes // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу Ростов-на-Дону, 2004, 283 - 284

[4] A Zeifman, S Leorato Е Orsingher, Ya Satm G Shilova. Some um-vetsal limits foi nonliomogeneous birth and death processes // Queueing Systems 52 ,2006, 139-151

[5] Зейфман A I'L, Сатин Я A , Шилова Г Н , Орсингер Э О построении двойного среднего для неоднородных процессов рождения и гибели //Современные проблемы теории функций и их приложения Тезисы докладов зимней школы Саратов 2004, 283-284

[6] Зейфман А И . Сатин Я А. О некоторых средних характеристиках конечных марковских цепей с непрерывным временем // Стат методы оценивания и проверки гипотез Пермь, ПГУ, 2005, 168-175

[7] Ya Satm, G-Shilova, A Zeifoian On some characteristics for finite nonliomogeneous birth and death processes// Trans of 25 Seminar of Stability Problems foi Stochastic Models. Salerno Italy, 2005 250257

[8] Зейфман А И Сатин Я A , Шилова Г Н Опенки средних некоторых неоднородных процессов рождения и гибели // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу Роетов-на-Дон>, 2006

[9] Зейфман А И , Сатин Я А Об оценках средних характеристик некоторых процессов рождения и гибели // Стат методы оценивания и проверки гипотез Пермь, ПГУ, 2006

[10] Сатин Я А Предельные средние характеристики неоднородных процессов рождения и гибели с периодическими интенснвно-стями // Саранск Средневолжское математическое общество, 2006, препринт N 94

[11] A Zeifman, Ya Satm. G Shilova Bounds of the mean for some nonho-mogeneous birth and death processes // Trans, of 26 Seminar of Stability Problems for Stochastic Models, Sovata-Bai. Romania, 2006, 91-92.

[12] Зейфман А И , Панфилова T Л , Сатин Я А Шилова Г Н Лукина. М А Исследование специальных свойств некоторых линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения Известия РАЕН, 2006, 11. 90-93

Подписано к печати 26 09 2007 г. Бумага «БуеЮОЖу» Объем 1 п л Тираж 110 экз

Отпечатано ООО «ИПЦ «Легия», 160031, г. Вологда, Октябрьская, 19, к. 116

Введение

1 Основные понятия

1.1 Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.И

1.2 Одномерный ПРГ.

1.3 Общий процесс типа рождения и гибели.

1.4 Логарифмическая норма оператора.

1.5 Свойства подпространств в 1\.

2 Процессы рождения и гибели с периодическими ин-тенсивностями

2.1 Бесконечный ПРГ с 1-периодическими интенсивностями

2.2 Конечный ПРГ с 1-периодическими интенсивностями

2.3 Бесконечный ПРГ с интенсивностями, близкими к периодическим

3 Процессы типа рождения и гибели

3.1 ОПТРГ с 1-периодическими интенсивностями.

3.2 Асимптотически эквивалентные ПРГ.

3.3 Процессы, близкие к вырождающимся.

4 Описание моделей

4.1 Использование ПРГ в теории массового обслуживания

4.1.1 Применения к телефонии.

4.1.2 Применение к обслуживанию машин.

4.1.3 Общая схема.

5 Вычисление предельных средних

5.1 Система с неограниченным числом мест ожидания

5.2 Система с ограниченным числом мест ожидания

5.3 Система с неограниченным числом мест ожидания и ин-тенсивностями, близкими к периодическим.

5.4 Простейшие модели эпидемий.

Актуальность темы.

В данной работе методами теории дифференциальных уравнений исследуются марковские цепи с непрерывным временем и дискретным пространством состояний, описывающие некоторые классы прикладных задач, связанных в основном с теорией массового обслуживания.

Первоначально такого рода задачи возникли из требований телефонного дела, физики и рациональной организации массового обслуживания (билетные кассы, магазины и прочее) в начале предыдущего столетия. Первые исследования по этой тематике были приведены в работах А. К. Эрланга. Основные его исследования в этой области относятся к 1908-1922 годам. С того времени интерес к проблемам, выдвинутым Эрлангом, значительно возрос. Оказалось, что подобные задачи возникают в самых разнообразных направлениях исследований: в естествознании, в технике, экономике, транспорте, военном деле, организации производства и многих других. Для решения проблем такого рода примерно в 50-х годах двадцатого века была создана так называемая теория массового обслуживания (англоязычный термин - теория очередей), являющаяся с тех пор активно развивающимся разделом прикладной теории вероятностей.

В числе математиков, заложивших основы теории и приложений этой области и сформировавших ее современный облик (в части, близкой к тематике настоящего исследования), следует отметить Р. JI. Добрушина, Б. В. Гнеденко, В. В. Калашникова, И. П. Макарова, А. И. Зейфмана, Н. В. Карташова, В. В. Анисимова, Е. Van Doorn'a, W.Whitt'a и многих других.

Наиболее распространенной из моделей, описывающих реальные системы массового обслуживания, является так называемый процесс рождения и гибели - это частный случай марковского процесса с непрерывным временем и не более чем счетным числом состояний, в котором за малый промежуток времени реальны только изменения текущего состояния не более чем на единицу. Вероятности состояний процесса рождения и гибели (далее ПРГ) описываются (всюду в дальнейшем это предполагается выполненным) так называемой прямой системой Колмогорова - системой линейных дифференциальных уравнений специального вида. В первоначальных исследованиях предполагаюсь, что модели массового обслуживания описываются стационарными ПРГ (это означает, что соответствующая система Колмогорова имеет постоянную матрицу коэффициентов, которые называются интенсивностями переходов), с содержательной точки зрения такая ситуация соответствует тому, что "интенсивности" поступления и обслуживания требований в систему не зависят от времени. Понятно, что такое предположение достаточно далеко от реальности. В связи с этим, начиная с 70-х годов прошлого века (см. [7]), начались исследования нестационарных моделей теории массового обслуживания. Таким моделям соответствуют системы линейных дифференциальных уравнений с переменной матрицей интенсивностей. Основными задачами для стационарных моделей являлись построение предельных (так называемых стационарных) вероятностей состояний, оценка скорости сходимости к ним, построение различных вероятностных характеристик исследуемых моделей (в частности, математического ожидания числа требований в системе). Понятно, что точное решение таких задач для нестационарных систем в общей ситуации невозможно. Поэтому в настоящей работе вводятся два важных и очень полезных для теории массового обслуживания понятия, связанных с математическим ожиданием - так называемые предельное среднее и двойное среднее. Для изучаемых классов моделей удается доказать существование этих характеристик, оценить скорость сходимости к ним, указать методику приближенного их построения и соответствующие оценки.

Такого же рода задачи рассматриваются в работе и для более широкого класса марковских процессов - так называемых общих процессов типа рождения и гибели (ОПТРГ). ОПТРГ - это частный случай марковского процесса с непрерывным временем и конечным или счетным числом состояний, в котором имеются несколько типов "частиц", и ненулевыми предполагаются "интенсивности" изменения количества "частиц" одного типа не более чем на единицу, либо переход "частицы" из одного типа в другой. ОПТРГ являются реалистическими моделями в химии, иммунологии, физике. Стационарные процессы такого вида исследовались, например, в [4],[39],[32],[53],[8], [23],[34]. Матрица интенсивностей ОПТРГ имеет существенно более сложную структуру, поэтому построение предельных характеристик даже в стационарной ситуации представляет собой не слишком простую задачу. Тем более важной и интересной для изучения соответствующих моделей представляется нестационарная ситуация, исследуемая в настоящей работе.

Цель работы.

Доказать существование, получить оценки, указать методику вычисления так называемых предельного среднего и двойного среднего для ПРГ и ОПТРГ с конечным и счетным числом состояний. Рассмотреть применение разработанных методов для конкретных классов моделей, в основном из теории массового обслуживания.

Методика исследования.

В работе исследуется прямая система Колмогорова, имеющая вид: пт

Я = АЦ)х, (0.0.1) где х({) - вектор-столбец вероятностей состояний описываемого процесса, а - матрица специального вида.

В основном рассматривается случай счетного пространства состояний процесса, которому соответствует счетная система (0.0.1), отождествляемая с дифференциальным уравнением в пространстве последовательностей 1\. Для исследования решений этой системы приходится опираться в основном на методы и понятия, разработанные в книге [9]. Эти методы с небольшими модификациями, как правило, применимы и для рассматриваемых задач. При этом исследуются решения системы (0.0.1), лежащие в множестве стохастических векторов П, то есть в множестве векторов с неотрицательными координатами и единичной /1-нормой.

При этом основные проблемы возникают при получении явных оценок нормы оператора Коши Для получения этих оценок основным инструментом является логарифмическая норма оператора, понятие которой введено в [21], а обобщение на случай операторов в банаховом пространстве было проведено в [9].

В случае ПРГ сначала доказывается существование предельного среднего и получается его оценка с использованием логарифмической нормы оператора и перенормировок, предложенных в работах [38],[43],[54], [56],[57]. Затем рассматривается возможность аппроксимации процессом с меньшим числом состояний (то есть конечными системами вида (0.0.1) меньшей конечной размерности) и получаются оценки такой аппроксимации. В качестве окончательного результата получаются оценки для предельного среднего и двойного среднего, и кроме того, разработана методика их численного построения.

В случае ОПТРГ используются дифференциальные неравенства для доказательства асимптотической устойчивости системы (0.0.1) на множестве 0 в случае большой, но конечной размерности Далее исследование проводится по той же схеме.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

При исследовании рассматриваемых систем прямое исследование системы (0.0.1) на асимптотическую устойчивость не представляется возможным, поскольку норма от оператора Коши равна 1.

Поэтому при изучении ПРГ применяются методы, аналогичные введенным в работах [38], [43],[54],[56],[57]. Обычно в этом случае решение задачи сводится к вопросу существования особой последовательности выполнении ряда условий и переходу к другому (вспомогательному) пространству последовательностей.

В случаях ОПТРГ используются методы, связанные с дифференциальными неравенствами, см, [54],[15], [59].

Проблемы аппроксимации нестационарных моделей обслуживания в других ситуациях рассматриваются в работах [48], [38], [49].

Содержание работы.

Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на параграфы.

Выход

Основные модули программы находятся в ипкЗ.рав, пех1сЦ£раз, эит.раз. Только их содержимое приводится.

Unit3.pas unit Unit3;

Коши, координаты, график, средняя, решение дифура, fresultdi furlntegral S impson, countsrednee interface

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Grids,nextdif,summ, ExtDlgs, ComCtrls; const bordx=50; bordy=50; strL=10; strW=5; colorconst=0; by=10; type

TForm3 = class(TForm) Button 1: TButton; Button2: TButton; GroupBoxl: TGroupBox; Image l:TImage; Panel l:TPanel; sg: TStringGrid; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit; Label2: TLabel; Label3: TLabel; Button3: TButton; Panel2: TPanel; Label4: TLabel; Labels: TLabel; Edit4: TEdit; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; Label6: TLabel; Edit7: TEdit; Label7: TLabel; Button5: TButton; Button6: TButton; Button7: TButton; Koshi: TStringGrid;

Button8: TButton; spd: TSavePictureDialog; Button9: TButton; opend: TOpenDialog; LabeI8: TLabel; Edit8: TEdit; Label9: TLabel; Edit9: TEdit; ButtonlO: TButton; Label 1: TLabel; Editl: TEdit; Buttonll: TButton; od: TOpenDialog; Buttonl3: TButton; Edit 12: TEdit; Label 10: TLabel; CheckBoxl: TCheckBox; procedure ButtonlClick(Sender: TObject); procedure Button2Click(Sender: TObject); procedure Button3Click(Sender: TObject); procedure Button7Click(Sender: TObject); procedure Button8Click(Sender: TObject); procedure Button6Click(Sender: TObject); procedure Button5Click(Sender: TObject); procedure Button9Click(Sender: TObject); procedure ButtonlOClick(Sender: TObject); procedure ButtonllClick(Sender: TObject); procedure Button 13Click(Sender: TObject); procedure FormCreate(Sender: TObject); procedure CheckBoxlClick(Sender: TObject); private {Private declarations} fr: integer; procedure SetR(dat:integer); public firstvector,nilvector:typarr; property CountR: integer read fr write SetR; procedure fresultdifurIntegralSimpson(var temp,srednee:typarr); procedure graphicShow(bt:extended;arr:typanr); procedure init;

Procedure show;

Procedure show2; procedure SetCoord(max,min,period,maxy,miny:extended); function countsrednee (var srednee:typarr;n,r:integer):extended; {Public declarations} end; var

Form3: TForm3; implementation uses NewDifur, Unit2, Unit5; {$R *.dfm} procedure TForm3.ButtonlClick(Sender: TObject); begin close; end; procedure TForm3.Button2Click(Sender: TObject); begin form 1.close; end; procedure Tform3.SetR(dat:integer); var k:integer; begin fr:=dat; sg.RowCount:=dat+l; for k:= 1 to dat do sg.Cells[0,k] :=inttostr(k); Koshi.RowCount:=dat+l; Koshi .ColCount :=dat+1; end;

Procedure TForm3.show; var temp,srednee:typarr; k,kk:integer; tmp:extended; max,min,mx,my,mx,my:extended; procedure genEi(i:integer;var tmp:typarr); begin tmp:=nilvector; tmp[i]:=l; srednee:=nilvector; end; begin for kk:-l to n size do nilvector[kk]:=0; for k:=l to strtoint(form 1.edit 1.text) do begin genEi(k,temp); {в arr заносится ek, зануляется srednee} fresultdifurIntegralSimpson(temp,srednee); for kk:=l to strtoint(forml.edit 1.text) do

Koshi.CeUs[k,kk]:=floattostr(temp[kk]); {сохраняется u(kk,k)} используя srednee можно получить \int(bt)A(et) u(kk,k) (s)ds} end; max:=0; for kk:=l to strtoint(form 1.edit 1.text) do begin min:=l; for tostrtoint(forml.editl.text)do begin tmp:=strtofloat(Koshi.Cells[k,kk]); if tmp<min then begin min:=tmp; mx:=k;my:=kk; end; end; if min>max then begin max:=min; mx:=mx; my:=my; end; end; edit8.text:=floattostr(mx)+'' + floattostr(my)+'' + floattostr(max); end;

Procedure TForm3.show2; var temp,srednee:typarr; kk:integer; et,bt,tmp:extended; begin temp:=firstvector; fresultdifurIntegralSimpson(temp,srednee); bj:=strtofloat(edit4.text); et:- strtofloat(edit5.text); form5.Memol .Lines.Clear; for kk:=l to strtoint(edit9.Text) do begin tmp:=countsrednee(srednee,strtoint(edit9.Text),kk); form5.Memo 1 .Lines. Add(floattostr(tmp/(et-bt))); end; end; procedure Tform3.fresultdifurIntegralSimpson (var temp,srednee:typarr); var bt,et,h:extended; n:integer; begin bt:=strtofloat(edit4.text); et:= strtofloat(edit5.text); h:= strtofloat(edit6.text); n:=strtoint(forml .editl .text); initKl; resultdifurNOTsrednee(0,bt,h,n,temp); resultdifurIntegralSimpson(bt,et,h,n,temp,srednee); end; procedure Tform3.init; var x,y:integer; begin forx:=l to form2.sg.RowCount-l do for y:=l to form2.sg.RowCount-1 do begin arrKoef[x,y]:=dat.Create(form2.sg.Cells[x,y]); end; end; procedure TForm3.SetCoord(max,min,period,maxy,miny:extended); var k,t,TMP,tmp2,tmpp:integer; step:extended; st: string; begin image 1 .Canvas.font.name:-arial'; tmp:=imagel .Canvas.Pen.Color; image 1 .Canvas.Pen.Color:=colorconst; t:=10; for k:=0 to t do begin image 1 .Canvas.TextOut(0, round(imagel.Height-bordy-k/10*(imagel.Height-2*bordy)), floattostr(miny+k/t*(maxy-minY))); image 1 .Canvas.MoveTo(bordx, round(imagel .Height-bordy-k/10*(imagel .Height-2*bordy))); imagel .Canvas.LineTo(imagel .width-bordx, round(imagel. Height-bordy-k/10* ( image 1 .Height-2* bordy))); end; step:=min; if max>0 then while step<=max do begin imagel.Canvas.MoveTo(bordx+round(step*(imagel.Width-2*bordx)/(max-min))-round(min* (image 1. Width-2 * bordx)/(max-min)), bordy); imagel.Canvas.LineTo(bordx+round(step*(imagel.Width-2*bordx)/(max-min))-round(min*(imagel.Width-2*bordx)/(max-min)), round(imagel .Height-bordy)); imagel.Canvas.TextOut(bordx+round(step*(imagel. Width-2*bordx)/(max-min))-round(min* (image 1 .Width-2*bordx)/(max-min))imagel.Canvas.TextWidth(floattostr(step)) div 2, round(imagel.Height-bordy)+by,floattostr(step)); step:=step+period; end; imagel.Canvas.TextOut((imagel.Width-imagel.Canvas.TextWidth(editl2.text)) div 2, imagel.Height-bordy div 2,editl2.text); imagel.Canvas.MoveTo(bordx,imagel.Height-bordy); image 1 .Canvas.LineTo(bordx,bordy div 2); for k:= -strW div 2 to strW div 2 do begin image l.Canvas.MoveTo(bordx,bordy div 2); image l.Canvas.LineTo(bordx+k,bordy div 2 + strL); end; st:=imagel .Canvas.font.name; imagel.Canvas.font.name:- Symbol'; tmpp:=imagel.Canvas.TextWidth('j')*5 div4; image l.Canvas.TextC)ut(0,bordy div 2,'j'); image 1 .Canvas.font.name:=st; if strtoint(edit9.Text)> 1 then begin tmp2:=image 1 .Canvas.font.Size; imagel .Canvas.font.Size:=imagel .Canvas.font.Size-3; imagel.Canvas.TextOut(tmp,bordy div 2 + 3*imagel.Canvas.font.Size div 2 +2,editl.Text); tmpp:=tmpp+image 1 .Canvas.TextWidth(edit 1 .Text); imagel .Canvas.font.Size:=tmp2; end; image l.Canvas.TextOut(tmpp,bordy div 2,'(t)'); imagel. Canvas.MoveTo(bordx, imagel. Height-bordy); imagel.Canvas.LineTo(imagel. Width- bordx div 2,imagel.Height-bordy); for k:= -strW div 2 to strW div 2 do begin imagel.Canvas.MoveTo(imagel.Width- bordx div 2,imagel.Height-bordy); imagel.Canvas.LineTo(imagel.Width- bordx div 2 - StrL,image 1.Height-bordy -k); end; imagel.Canvas.TextOut(imagel.Width- bordx div 2,imagel.Height-bordy,'t'); image 1 .Canvas.Pen.Color:=tmp; end; procedure TForm3.Button3Click(Sender: TObject); var arr:typarr; begin if strtoint(edit9.Text)— 1 then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9.Text)=l then funct:=functl else funct:=funct2; arr:=firstvector; graphicShow(0,arr); end; procedure TForm3.graphicShow(bt:extended;arr:typarr); var h,endt,res,maxY,minY,begint:extended; n:integer; tttt,pp,pp2:integer; FirstBegt:extended; procedure Setline 1 (x,y,max:extended); begin image 1 .Canvas.LineTo(round(bordx+x/max*(imagel .width-2*bordx)), round(image 1. Height+minY * (image 1 .Height-2 *bordy)/(Max Y-min Y)-(bordy+y*(image 1 .Height-2*bordy)/(Max Y-min Y)))); inc(tttt); end; begin tttt:=0; begint:=strtofloat(edit4.text); endt:=strtofloat(edit5 .text); h:=strtofloat(edit6.text); n:=strtoint(forml .editl .text); pp:=strtoint(editl .Text); pp2 :-strtoint(edit9 .Text); maxY.-strtofloat(edit2.text); minY:=strtofloat(edit3 .text);

SetCoord(endt,begint,strtofloat(edit7.text),maxY,minY); FirstBegt:=begint; resultdifurNotSrednee(bt,begint,h,n,arr); res:=countsrednee(arr,pp2,pp); image 1 .Canvas.MoveTo(round(bordx), round(imagel .Height+minY* (image 1 .Height-2* bordy)/(Max Y-min Y)-(bordy+res*(imagel.Height-2*bordy)/(MaxY-minY)))); while begint<endt do begin resultdifurNotSrednee(begint,begint+h,h,n,arr); res:=countsrednee(arr,pp2,pp); {OpncaHHe Setline(x,y,max)} Setline 1 (begint-FirstBegt,res,endt-FirstBegt); //image 1.Refresh; begint:=begint+h; end; end; procedure TForm3.Button7Click(Sender: TObject); begin

Koshi.Visible:=notKoshi.Visible; imagel .Visible:=not imagel .Visible; end; procedure TForm3.Button8Click(Sender: TObject); begin if strtoint(edit9.Text)=l then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9.Text)=l then funct:=functl else funct:=funct2; show end; procedure TForm3.Button6Click(Sender: TObject); begin if spd.Execute then imagel. Picture.SaveToFile(spd.FileName); end; procedure TForm3.Button5Click(Sender: TObject); begin image 1 .Canvas.brush.Color :=image 1 .Picture.bitmap.TransparentColor; imagel .Canvas.FillRect(imagel .ClientRect); end; procedure TForm3.Button9Click(Sender: TObject); var k,kk:integer; i:textfile; begin if opend.Execute then begin

AssignFile(i, opend.FileName); rewrite(i); for k:= 1 to Koshi.colcount do begin forkk:= 1 to Koshi.colcount do write(i,Koshi.Cells[k,kk]:25); writeln(i); end; closefile(i); end end; procedure TForm3.ButtonlOClick(Sender: TObject); begin form5. ShowModal; end; function TForm3.countjsrednee (var srednee:typarr;n,r:integer):extended; var tmp,tmp2:extended;mt,k,k 1 ,k2,k3,count,kk:integer; begin count:=strtoint(forml .Edit 1 .Text); tmp:=0; case n of 1: for k:=l to count do tmp:=tmp+srednee[k] * (k-1);

2: case r of 1: for k:=0 to round(sqrt(count))-l do begin tmp2:=0; for kk:=0 to round(sqrt(count))-l do tmp2:=tmp2+srednee[kk+k*round(sqrt(count))+l]; tmp:=tmp+tmp2*k; end; for k:=0 to round(sqrt(count))-l do begin tmp2:=0; for kk:=0 to round(sqrt(count))-l do tmp2 :=tmp2+srednee[k+kk *round(sqrt(count))+1 ]; tmp:=tmp+tmp2*k; end; end; 3: begin mt:=count; for kl:=l to count do if (kl*kl*kl=count) then mt:=kl; case r of 1:

1,10,19,20-дно forkl:=0to mt-1 do begin tmp2:=0; fork2:=0to mt-1 do for k3:=0 to mt-1 do tmp2:=tmp2+srednee[k2+kl *mt+k3*mt*mt+l ]; tmp:=tmp+tmp2*kl; end;

2:

1,2,3,4 -дно for kl:=0 to mt-1 do begin tmp2:=0; for k2:=0 to mt-1 do for k3:=0 to mt-1 do tmp2 :=tmp2+srednee [k2+k3 *mt+k 1 *mt*mt+l ]; tmp:=tmp+tmp2*kl; end;

3:

1,4,7,10,13 -дно forkl:=Otomt-l do begin tmp2:=0; for k2:=0 to mt-1 do for k3:=0 to mt-1 do tmp2:=tmp2+srednee[kl+k2*mt+k3*mt*mt+l]; tmp:=tmp+tmp2*k 1; end; end; end; end; countsrednee:=tmp; end; procedure TForm3.Buttonl lCIick(Sender: TObject); begin if strtoint(edit9.Text)=l then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9.Text)=l then funct:=functl else funct:=funct2; show2; end; procedure TForm3.Buttonl3Click(Sender: TObject); var temp,srednee:typarr; k,kk,n:integer; et,bt,h: extended; procedure genEi(i:integer;var tmp:typarr); begin tmp:=nilvector; tmp[i]:=l; end; begin forkk:=l ton size do nilvector[kk]:=0; temp:=firstvector; initKl; if strtoint(edit9.Text)=l then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9.Text)=l then funct^functl else funct:=funct2; bt:= strtofloat(edit4.text); et:= strtofloat(edit5.text); n:=strtoint(forml .edit 1 .text); h:=strtofloat(edit6.text); resultdifurNOTsrednee(0,bt,h,n,temp); resultdifurIntegralSimpson(bt,et,h,n,temp,srednee); for k:=l to strtoint(forml.edit 1.text) do begin if et>bt then sg.Cells[l,k]:=floattostr(srednee[k]/(eJ-bt)) else sg.Cells[l,k]:='error'; sg.Cells[2,k]:=floattostr(temp[k]); end; end; procedure TForm3.FormCreate(Sender: TObject); begin sg.Cells[2)0]:='PeineHHe ¿m4>ypa'; if checkbox 1.Checked then funct:=functl else funct:=funct2; if checkbox 1.Checked then arrC:=arrCl else arrC:=arrC2; end; procedure TForm3.CheckBoxlClick(Sender: TObject); begin if (Sender as tcheckbox).Checked then funct:=functl else fiinct:=funct2; if (Sender as tcheckbox).Checked then arrC:=arrCl else arrC:=arrC2; end; end. nextdif.pas

Рассматривается система dp/dt=A(t)p(t). Вектор р содержится в массивах типа typarr.

Масивы передаютя в процедуру как параметры - переменные для ускорения вычислений. Тип dat описывается в модуле summ. Позволяет ускорить вычисления. Используются формулы "Классического" метода Рунге Кутты.

Перед использованием продедур данного модуля, необходимо быть уверенным, что funct присвоено funct 1 или funct2. } unit nextdif; interface uses summ,Math; const nsize= 1500; type typarr=array [l.nsize] of extended; var, kl,tmpkl:array[l.nsize,-1.4] of extended; // содержит коэффициенты. arrKoef:array[l.nsize,l.nsize] of dat; // содержит A(t); тип dat описывается в модуле summ; arrKoefcont:array[ 1 .nsize,l ,.nsize] of extended; funct: function (k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):extended; arrC:procedure (t:extended; n:integer); procedure resultdifurN OTsrednee(begt,maxt,h : extended ;n : word ; var arnarray of extended); procedure resultdifurIntegralSimpson(begt,maxt,h:extended;n:word; var arr:array of extended;var srednee:array of extended); function funct l(k,n,koef:integer;t:extended;var arnarray of extended;c:integer) -.extended; function funct2(k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):extended; procedure arrCl(t:extended; n:integer); procedure arrC2 (trextended; n:integer); procedure initKl; implementation procedure initKl; var y:integer; begin for y:=l to nsize do kl[y,-0]:=0; end; function functl(k,n,koef:integer;t:extended;var arrrarray of extended;c:integer):extended; var temp2,temp:extended; kk:integer; { учитываются только элементы стоящие на главной диагонали и на двух рядом стоящих диагоналях } begin temp2::=0; for kk:= max(l,k-l) to min(k+l,n) do temp2:=temp2+arrKoefcont[k,kk]; // <суммаэлементов в столбце> temp:=-temp2*(arr[k-1 ]+kl [k,koef]/c); for kk:= max(l,k-l) to min(k+l,n) do temp:=temp+arrKoefcont[kk,k] *(arr[kk-l ]+kl [kk,koef]/c); functl:=temp; end; function funct2(k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):extended; var temp2,temp:extended; kk:integer; begin temp2:=0; for kk:= 1 to n do temp2:=temp2+arrKoefcont[k,kk]; // <сумма элементов в столбце> temp:=-temp2*(arr[k-l ]+kl [k,koef]/c); for kk:= 1 to n do temp:=temp+arrKoefcont[kk,k]*(arr[kk- l]+kl [kk,koef]/c); funct2:=temp; end; procedure arrC 1 (t:extended;n:integer); var xrinteger; begin forx:=l to n-1 do begin arrKoefcont[x,x+1]:= arrKoef[x,x+1 ] .result(t); arrKoefcont[x+l ,x] := arrKoef[x+l ,x].result(t); end end; procedure arrC2(t:extended;n:integer); var x,y:integer; begin for x:=l to n do for y:=l to n do arrKoefcont[x,y] := arrKoef]x,y] .result(t); end; procedure next(n:word;t,h:extended;var arr:array of extended; var arr2:array of extended);

Нахождение p(t+h) (результат заносится в arr2) используя p(t) (из arr) методом Рунге-Кутта 4 порядка h - шаг. n- число уравнений в системе

Перед использованием необходимо обнулить kl[r,0] (если отличны от 0), где г изменяется от 1 до п. Можно для этого использовать initKl. Использование указателей на типизированные массивы может привести к однократному вызову аггС (вместо трех, что есть сейчас), что ускорит вычисления (используя особенности работы с шагом) var k:word; begin arrC(t,n); for k:=l to n do kl [k, 1 ]:=h*funct(k,n,0,t,arr, 1); arrC(t+h*0.5,n); for k:=l to n do kl [k,2]:=h*funct(k,n, 1 ,t+h*0.5,arr,2); arrC(t+h*0.5,n); for k:=l to n do kl[k,3]:=h*funct(k,n,2,t+h*0.5,arr,2); arrC(t+h,n); for k:=l to n do kl [k,4]:=h*funct(k,n,3 ,t+h,arr, 1); for k:=l to n do arr2[k-l]:=arr[k-l]+(kl[k,l]+2*(kl[k,2]+kl[k,3])+kl[k,4])/6; end; procedure resultjlifurNOTsrednee(begJ,max J,h:extended;n:word; var arr:array of extended);

Начальные значения находятся в arr (p(begt)).

Приводит к изменению содержимого агг (содержит p(maxt)). h - шаг. п- число уравнений в системе } var t:extended; begin t:=begt; if begt<maxt then while h>0 do begin next(n,t,h,arr,arr); t:=t+h; if t>=maxt then h:= maxt -1; end; end; procedure resultdifurIntegralSimpson(begt,maxt,h:extended;n:word; var arr:array of extended;var srednee:array of extended);

Нахождение интеграла.

Начальные данные находятся в arr (p(begt)). Для установки в агг нужных данных можно воспользоватся процедурой resultdifurNOTsrednee.

Поиск данных осуществляется методом Симпсона. Значение интеграла (от begt до maxt) помещаются в srednee.

Приводит к изменению содержимого агг (содержит p(maxt)). h - шаг. п- число уравнений в системе

Замечание: maxt-begt должно делится на 2 (т.е. между maxt и begt должно быть четное число шагов, причем последний шаг должен заканчиватся на maxt) } var k:word;tt:extended; chet:boolean; begin chet:=false; for k:=0 to n-1 do srednee[k]:=arr[k]; tt:=begt; while (tt< maxt-h)or chet do begin next(n,tt,h,arr,arr); tt:=tt+h; if chet then for k:=0 to n-1 do srednee[k]:=srednee[k]+2*arr[k] else for k:=0 to n-1 do srednee[k]:=srednee[k]+4*arr[k]; chet:=not chet; end; for k:=0 to n-1 do srednee[k];=(srednee[k]-arr[k])*h/3; end; begin end. sum.pas

Быстрое вычисление часто используемых выражений. unit summ; interface type dat=class private l,r:dat; znak:char; chislo extended; public constructor create(st:string); destructor destroy; function result(t:extended):extended; end; implementation destructor dat. destroy; begin l.Free; r.Free; inherited; end; function dat.result(t:extended):extended; begin case znak of result:=l.result(t)+r.result(t); '-':result:-l.result(t)-r.result(t); l*,:result:=l.result(t)*r.result(t); 7':result:=::l.result(t)/r.result(t); s':result:=sin(l.result(t)); c':result:=cos(l.result(t)); e':result:=exp(l.result(t)); q':result:=sqrt(l.result(t)); ':result:=chislo; firesult:^; end; end; constructor dat.create(st:string); function coun(st:string):boolean; var count, k: integer; begin count:=0; if st[l]o'(' then begin coun:=false; exit; end else begin fork:=l to length(st)-l do begin if st[k]='(' then inc(count); if st[k]—>' then dec(count); if count=0 then begin coun:=false; exit; end; end; end; coun:=true; end; var k:word; code: integer; countenword; begin while pos(',',st)>0 do st[pos(7,st)] :='.'; counter:=0; while coun(st) do st:=copy(st,2,length(st)-2); for k:=length(st) downto 1 do begin if st[k]-)' then inc(counter); if st[k]='(' then dec(counter); if ((st[k]='+') or (st[k]--')) and (counter=0) then begin l:=dat.create(copy(st, 1 ,k-1)); r:=dat.create(copy(st,k+1 ,length(st))); znak:=st[k]; exit; end; end; for k:=length(st) downto 1 do begin if st[k]—)' then inc(counter); if st[k]- (' then dec(counter); if ((st[k]='*') or (st[k]='/')) and (counter=0) then begin l:=dat.create(copy(st, 1 ,k-1)); r:=dat.create(copy(st,k+1 ,length(st))); znak:=st[k]; exit; end; end; ifst-1'then znak:-t' else if copy(st,l,3)='sin' then begin znak:-s'; l:=dat.create(copy(st,4,length(st))); end else if copy(st,l,3)='cos' then begin znak:-c'; l:=dat.create(copy(st,4,length(st))); end else if copy(st,l,3)-expr then begin znak:-e'; l:=dat.create(copy(st,4,length(st))); end else if copy(st,l,2)='pi' then begin znak:chislo:=3.1415926535897932384626433832795; end else if copy(st,l,4)-sqrt' then begin znak:-q'; l:=dat.create(copy(st,5,length(st))); end else begin znak:- '; val(st,chislo,code); end; begin end.

1. Анисимов В.В. Оценки отклонения переходных характеристик неоднородных марковских процессов. Укр. мат. ж., 1988, 40, 699706

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том II. Москва. 1960.

3. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальный уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

4. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969

5. Воскресенский Е. В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой метод Ляпунова // Дифференциальные уравнения, 1999. - N6. - С.729-732.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576с.

7. Гнеденко Б.В., Макаров И.П. (1971). Свойства решений задачи с потерями в случае периодических интенсивностей. Дифференциальные уравнения. 7, 9, 1696-1698.

8. Гнеденко Б.В.; Коваленко, И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966

9. Далецкий Ю.Л. Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва.: Наука., 1970.

10. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Издательство Московского Университета, 1998.- 480с.

11. И. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФЛМ. 1963.

12. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Мир, 1978.

13. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. Москва. Издательство московского университета. 1978.

14. Зейфман А.И. (1985). Общие процессы типа рождения и гибели и простейшие стохастические модели эпидемий, Автоматика и телемеханика, б, 128-135.

15. Зейфман А.И. (1989). Некоторые свойства системы с потерями в случае переменных интенсивностей. Автоматика и телемеханика, 1, 107-113.

16. Зейфман А.И. Стохастические модели. Процессы рождения и гибели. Вологда.: Издательство "Русь", 1994.

17. Калашников В.В. Качественный анализ сложных систем методом пробных функций. М.: Наука, 1978

18. Карташов H.B. Сильно устойчивые цепи Маркова. В сб. Проблемы устойчивости стохаст. моделей. М.: ВНИИСИ, 1981, 54-59.

19. Карташов Н.В. Критерии равномерной эргодичности и сильной устойчивости для цепей Маркова с общим фазовым пространством. Теория вероятн. и мат. статист. , 1984, вып 30, 65-81.

20. Карташов Н.В. Неравенства в теоремах эргодичности и устойчивости цепей Маркова с общим фазовым пространством. Теория вероятн. и ее применен. 1985, 30, 230-240, 478-485.

21. Лозинский С.М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения. Изв. ВУЗов. Матем., 1958, N 5, 52-90

22. Понтягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331с.

23. Тараскин В.Ф. Периодический режим процессов рождения, гибели и иммиграции и их приложении в здравоохранении. В кн.: Теория массового обслуживания. Тр. III Всесоюз. школы совещания. М.: МГУ, 1976, т.2 , с. 105-112.

24. Терехин М. Т.; Ретюнских Н. В. Периодические решения нелинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N 4. С. 566-569

25. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. Москва.: Мир.1990.

26. Anderson, W.J. (1991). Continuous-time Markov Chains. Springer, New York.

27. J.R. Artalejo and M. J Lopez-Herrero, Analysis of the busy period for the MfM/c queue: an algorithmic approach, J. Appl. Probab. 38 (2001) 209-222.

28. Brockwell, P.J. (1986). The extinction time of a general birth and death process with catastrophes. J. Appl. Probab. 23, 851-858.

29. Cairns, B. and Pollett, P. (2003). Persistence times for a general birth, death and catastrophe process. Preprint.

30. P. Coolen-Schrijner and E.van Doom, On the convergence to station-arity of birth-death processes, J.Appl. Probab. 38 (2001) 696-706.

31. Doom E., van. Stochastic monotonicity and queueing applications of birth-death processes. Lect. Not. Statist., v.4. p.1-118

32. Bartlett M. Stochastic population models in ecology and epidemol-ogy. L.: Metheun and Co. Ltd., 1960.

33. Dietz K. Epidemics and rumours: A survey. -J. Roy. Statist. Soc., ser. A, 1967.

34. Dietz K., Downtoun F. Carrier-borne epidemics with immigration. I. Immigration of both susceptibles and carries. J. Appl. Prob., 1968, v. 5, N 1, p. 31-42.

35. V. Giorno and A.Nobile, On some time-nonhomogeneous diffusion approximations to queueing systems, Adv. Appl. Probab. 19 (1987) 974-994.

36. Jacka, S.D. and Roberts, G.O. (1995). Weak convergence of conditioned processes on a countable state space. J. Appl. Probab. 32, 902-916.

37. Kendall D. Determenistic and stochastic epidemics in closed populations. Proc. of 3th Berkely symp. on Math. Statist, and Prob., 1956, v. 4. p. 149-165.

38. Di Crescenzo A. and Nobile A.G. Diffusion approximation to a queueing system with time dependent arrival and service rates // QUESTA. 1995. V. 19. P. 41-62.

39. Goel N., Richter-Dyn N. Stochastic models in biology. N. Y.: Acad. Press, 1974

40. B.Gnedenko and A.Soloviev, On the conditions of the existence of final probabilities for a Markov process. Math. Operationsforsh. Stat., (1973)379-390.

41. B.L.Granovsky B.L. and A.I.Zeifman, Nonstationary Markovian queues, J. Math. Sci. 99 (2000) 1415-1438.

42. Granovsky, B and Zeifman, A. (2004). Nonstationary Queues: Estimation of the Rate of Convergence. // Queueing System 46 V.46. P.363-388

43. Granovsky, B and Zeifman, A. (2004). Nonstationary Queues: Estimation of the Rate of Convergence. Queueing Systems 46, pp. 363388.

44. Griffeath D. Uniform coupling of nonhomogeneous Markov chains. J.Appl.Prob., 1975, 12, 753-763

45. Johnson J., Isaacson D. Conditions for strong ergodicity using intensity matrices. J.Appl.Prob. 1988, 25, 34-42

46. Karlin, S. and McGregor, J.L. (1957). The classification of birth and death processes. Trans. Amer. Math. Soc. 86, 366-400.

47. Margolius, B. (1999). Some path analysis of the MtfMt/c queue, Queueing Systems. 31, 59-93.

48. Mandelbaum A. and Massey W. Strong approximations for time-dependent queues // Math. Oper. Res. 1995. V. 20. P. 33-64.

49. Massey W.A. and Whitt W. On analysis of the modified offered-load approximation for the nonstationary Erlang loss model // Ann. Appl. Probab. 1994. V.4. P. 1145-1160.

50. Pakes, A.G. (1987). Limit theorems for the population size of a birth and death process allowing catastrophes. J. Math. Biol. 25. 307-325.

51. L.Saloff-Coste, 1996, Lectures on finite Markov chains, Lecture Notes in Math.,1665, 301-413.

52. Scott M., Isaacson D. Proportional intensities and strong ergodicity for Markov processes. J.Appl.Prob., 1983, 20, 185-190

53. Yang G., Chiang G. On interrival times in simple stochastic epidemic models. J. Appl. Prob., v. 19, N 4, p. 835-841.

54. Zeifman A.I. Stability for contionuous-time nonhomogeneous Markov chains // Lect. Notes Math. 1985. V. 1155. P. 401-414.

55. Zeifman A.I. Truncation Error in a Birth and Death System, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1988, 28, 6, 210-211.

56. Zeifman A.I. On the estimation of probabilities for birth and death processes //J. Appl. Probab. 1995. V. 32. P. 623-634.

57. Zeifman A.I. Upper and lower bounds on the rate of convergence for nonhomogeneous birth and death processes // Stoch. Proc. Appl. 1995. V. 59. P. 157-173.

58. Zeifman A.I. (1998). Stability of birth and death processes. J. Math. Sci., 1998, v.91, N3, 3023 3031.

59. Zeifman A.I On the weak ergodicity of nonhomogeneous continuous time markov chains.

60. S.Leorato, E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova, A. Zeifman (2004). On some limits for nonhomogeneous birth and death processes. Trans. 24 Seminar of Stability Problems for Stochastic Models, Jurmala, Latvia, 52-53

61. S.Leorato, E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova, A. Zeifman On some characteristics for nonhomogeneous birth and death processes // Труды участников международной школы-семинара' по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2004, 283 284.

62. S.Leorato, E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova, A. Zeifman. Some universal limits for nonhomogeneous birth and death processes. // Queueing System, 2006, 139-151.

63. Зейфман А.И., Сатин Я.А., Шилова Г.Н., Орсингер Э. О построении двойного среднего для неоднородных процессов рождения и гибели //Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов зимней школы. Саратов, 2004, 283-284.

64. Зейфман А.И., Сатин Я.А. О некоторых средних характеристиках конечных марковских цепей с непрерывным временем // Стат. мет. оцен. и проверки гипотез. Пермь, ПГУ, 2005, 168-175.

65. Ya.Satin, G.Shilova, A.Zeifman On some characteristics for finite nonhomogeneous birth and death processes//Trans. 25 Seminar of Stability Problems for Stoch. Models, Salerno. Italy, 2005, 250-257

66. Зейфман А.И., Сатин Я.А., Шилова Г.Н. Оценки средних некоторых неоднородных процессов рождения и гибели // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2006.

67. Зейфман А.И., Сатин Я.А. Об оценках средних характеристик некоторых процессов рождения и гибели // Стат. методы оценивания и проверки гипотез. Пермь, ПГУ, 2006.

68. Сатин Я.А. Предельные средние характеристики неоднородных процессов рождения и гибели с периодическими интенсивно-стями. // Саранск: Средневолжское математическое общество, 2006, препринт N 94.

69. A.Zeifman, Ya. Satin, G. Shilova Bounds of the mean for some nonho-mogeneous birth and death processes // Trans, of 26 Seminar of Stability Problems for Stochastic Models, Sovata-Bai, Romania, 2006, 91-92.

70. Зейфман А.И., Панфилова Т. JI., Сатин Я. А., Шилова Г. Н., Лукина М. А. Исследование специальных свойств некоторых линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН, 2006, 11, 90-93.

71. Зейфман А.И., Сатин Я.А. Средние характеристики марковских систем обслуживания // Автоматика и телемеханика, 2007, 9, 122-134