автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование математической модели задачи защиты растений

тадкикскии государственный национальный университет

Диссертационный совет К 065.01.10

ргб од

'I 9 ДЬК ^ЯЯ7 На правах рукописи

уда 519.87.59

о д и н а е в р а и м назарович

ШУЩДОШИЗ МАТЕМАЯ1ЧЕСКОЛ ЫОЩШ ЗШЯИ ЗАЩИТЫ РАСТЕШИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического . моделирования и математических методов в научных отраслях (информатика)

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата 2ийико-матёматических наук

Душанбе 1997

Работа выполнена в Таджикском государственном национальном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор М.К.ШУСИ

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор, академик АН РТ ... УСМАНОВ З.Д., •

кандидат физико-математических наук, доцент ИСМАТОВ Н.Ы.

Ведущая организация - Институт физики атмосферы АН России

Защита состоится "'_" гп 1937г. В Л*?

часов на заседании Диссертационного совета К 065.01.10 пс присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук 'I Таджикском государственном национальном университете (734025, г.Душанбе, ир.Рудаки, 17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского государственного национального университета.

Автореферат разослан "_/_£"_Й*_ 19Э7г.

'Ученый секретарь Диссертационного совета к. ф.-м. п., доцент

ОВДЛЯ ХДРАКТЕРЯСТЖА РАБОТЫ Актуальность теш». Активное проникновение паусшх катодов в практику современного промшлешгаго и сельскохозяйственного производства стала характерной особопностьо какого промена. Это оообото проявляется при рассмотрении вопросов, роаошь1 которых связени с созданном строгха количественно ососноваякшс катодов в проблеме защити урезал п вопросов охрены окрухагщэй среда. Ррпопкэ атзх жшютраггощутцзх торосов шг-оакогяо бзз привлечения' евкнх современных штодов математической пауки в этой области. За'дата планируемого сельскохозяЕствеяного у рога я во всем мире является одной из вакнэашх государсгшгашх задач. Разработка методов защиты урожая о? сольхозврэдателзЗ, естественно, трэбуо? прогноза дшишки биологических популяцкй, сообществ я экосистем при тез аст вшх антропогенных воздействиях. При атом, зкеггзрлмапш па рэальвих системах весьма дороги, иродолгаталыш я часто недопустим, поэтому возникает язобходамость разработки различного родэ математических моделей. При пемоздя математических моделей стадо везкогпич акслзримэнталькое изучат» последствий тех иля тшх плапируешх таропрштхЗ. затрзпшазодсЕ функционирование кркродацх систем, пря?яю эксперименты с котортга педопусташ.

' Вопросптл математического ?.юд&лгроваяш1 динамики чвслвпноста Оиологачэишх популяция еосвягдоны ряд работ оточестаешмх и зарубэгяах учопк. Срада пах нэобходямо вадэлэть за'лзчагэлышо работа Вато Водшторра, Лотка. Р. Май, й.СвирЦюва п ряд других ученах.

В работах профессора Н.Шуси предложена к исследованы задачи управления агроцэнозамя я охреняошмя биологическими популяциями, а такае задачи заэдгти растений с учетса возрастной структуры и пространственного распределения.

Им била полученц необходимые з достаточнне условия существования решения соответствующих задач для случазв, когда «езду видами происходит взаимодействие до закону Больтерра и гекоторим другим законам специального типа.

В настоящей работе" рассмотрена близкие к работам П.Шуей юдоли защити растений, однако (в отютиэ от- шх здесь >асскатрнзеотся произвольные вев- а шутржюпулкЦЕоапаз ювямодействия, которые болей точно отражает с б.5олог2Ч2еаоЗ

wíkk зоешхя рассмотрэнные объекты.

líes и згдачя пссяедовакая. Работа носвядденз разработке етдэл>й и ызтодов исследования задач задата • растений (хлоачатпзс, ее&яидо. рас и др.). Известно, что одаоК из основзш-: проблем сельского хозяйства является вф, активная борьба с пгвдитоляж сельскохозяйственной культуры, которая г-клгчоот задачи. Первая - на оснозо тзояцэВся информация об атроцопозо определяется пороги вредоносности вродател&й и yp--j2:vÁ »^згдхжзоста антомофагов - полезные насококыа (прячоы, эти наршатра определяется на йостах антоглологама по щюаэдегноиу учету опродоленного толя обычно на юо растениях). П;" лученные результаты затем распространяется на остялышх площадях. Вторая задача - использование ядохимикатов подсгсйнпя численности вредителей. Ясно, что такой способ онрздэленая параметров интегрированного метода борьбы (комбзньцрл агротехнического, биологического и химического способов борьбы) из-за нзхваткз и неточности информации н& будаг отразить реальную картину в изучаемом агроценоза. Погону возникает задача формализовать процесс определения порогов вредоносностл ^родителей н уровни аф$8ктавяости (па практика эту задачу обычно называют еодготовительной задачей).

Цэльэ данной работы является моделирование проблем задачи asmara растений (опредзлениэ порогов вредоносности вредителей z уроБггд эффективности полезных насекомых) и разработаси - -годологжчвекой основы нолученшх результатов в научных •:_-годоьашшх и на практике.

катод исследования. В работе используется современные до гашиш» в области исследования математических шделей Сиодотач&асгХ процессов и связанных с наш дафГоренцлалызых уравнений.

Научная новизна. Для осуществления практически необходимого контроля за численностью вредных насекомых разработан и исследован комплекс математических моделей задачи згдиты растения с учетом возрастной структуры . и произвольных тропических функций. При атом, поставлена н решена подготовительная задача зачшты растений. Исследована тагаш катемэтнческая модель за:цитн растений для новой системы

я

нятвгрэ-даффорвтдаалышх уравнения, описнващяг состояние) бкодогичоских систем, в которых начальное значена» является функционалом неизвестного решения. Для широкого класса моделей с учетом возрастных распрвдолошй, и связанных с вкг интегро-деЭДеронциалышми системами изучены попроси получения необходимых и достаточных условий существования резенил задачи завили растений с произвольными трофическими фуггецшид.. Поставлена и рэзвна оптимизационный задача, свясэшшо с подавлением численности вродаых видов биослстем. принцип максиму;« Понтрягина для задач оптимального управлапхя, связанного с модельными .экосистемами с учетом возрастной структуры и произшльяых трофических функция. Создан :»-дткс прикладных прогрев! для рэгешгя задач зетцгта расгояй з проведена' соряя вичпслятельныз: эхсшрт'знтов с юдель-тшц данными.

Теоретическая, вчактэтсскгя к яаучкач штпшс.??», Работ посит теоретический: а врздгкосша харшгт&р. ?ог»;р..?ата. получеявнэ а рсбот э, г,югу? быть использованы' при проектировали мероприятий по ■ зе^дзтэ урогая от сельхозврвдетолэй. С теоретической точки зрения ценность состоит в получении необходимых а достаточных условий существования решения задачи задай рествшй для произвольных графических функций с учето?* возрастной структуры.

Из анализа полученных рэзулътг'тов следует, что ^заработанную методику кота лспользовз-гь для регония задачи трогнозароваиия и планирования, преподавая натурных жензримэнтов для конкретных популяций, биосообществ н жологических систем. Эти результата супостзйало расширяют йсштабы использования интеграровзнпота катода борьбы с »родителями агроценозов л возможности тоорвт^аского анализа юзрастной и временной оргстызендя популяш-?', сообществ я йюсистем. Высокая общность'рассматриввэмнх модзлой я методов [сслэдованая позволяет применять их для изучения но только 1гроценозов, экосистем, ко и задач из областей химии, фязикя -л

• Апробация работы. Материалы диссертации доадвднпаязсь и бсузд&гшсьнз Международной конференция по ызтеиатлчоскоку оделировашш и вычислительного эксперимента (Тспколт,

ежегодна республиканских апрельских конференциях, проводимы, в Таджикском госункверситете, международной конференции' по дифференциальным уравнениям (Душанбе. 1996} и на объединенном ■ заседании кафедр маделирования и информатики, механики, и вычислительных методов и прикладной математики (22.05.1997),

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в работах 11-71.

Объем и структура работы. Диссертационная работа издокеца на 98 страницах машинописного текста, состоит из .введения, двух глаз и списка литературы.

Краткое ссдерсаиио работа В главе I "Математическая задача защиты растений с учетом возрастной структуры и ее решений" сформулированы задач!! зациты в общем виде' и подготовительная задача защиты (т.е. определение порогов вредоносности вредителей и уровни Еффекл-.зности энтомофагов на корнях). НаЗдеш необходимые и достаточные условия разрешимости подготовительных задач заздты растений.

В 51 для точечных моделей, т.е. когда численность гог;глящБ1 зависит от. времени, для моделей с учетом временно-возрастных распре делений, магматически

сформулирована так называемая подготовительная задача, зсещц рэстешй. Пусть имеется моделышй агроцекоз трех трофически-: уровней Tima "растения", "врэдшго насекомые", "полезные насекомые", в который поступает 'внешний ресурс (удобрение ил:: вода) со скорость» Q. Биомассы (или численности) соотьетстзувдих уровней обозначил-через 1=0,1,2,3, где Па - означает массы внеанвго ресурса. Предположим, чти состояние модельного агроценоза описывается при помощи следующих уравнений:

"К - Q+

К *»¿t(B0.nt.i¡,>. ' (Ы)

^ - -fo> к = WW-

Где функции Р/ = P£f.J - соответствующие удельные скорости £оста биологических видов агроценоза, = Nt(t), i=2.3 ; суммарные численности соответственно вредных и полезных насекомых по тем возрастам,' которые вредят сельхозкультуре п уничтожают вредителей (для точечных моделей Ni = 1=2,3), i - время, t е fO,ikJ, tk = corcat < со, a - возраст, О < a < ю.

Для модельного агроценоза <1.1) задаются начальные i-условия:

ffilt-o=iit' (1.2) •

г® ;

j Bt(N,l.t№, 1=2,3. (1.3)

где ■ = Bt(ff,a,t) > О - функция рождаемости: вредных и; полезных насекомых.

Сформулируем подготовительную задачу завдты в терминах точечного модельного агроценоза (1.?), (1.2), т.е. Ht(a,t) з n((t). ^

■ Введем Nj = -1- J N^tjdt. £=7777, т>0. Дусть Л* й

заданный уровень биомассы растения, менее которого не должна стать ее средняя биомасса:

Bj > ^ . А* € [flf". С*1' -<1'-5>

и рассмотрим неравенства:

< At. Я? Й-я;."- (1.6)

где' Лд неизвестные положительные числа, -

неотрицательные константы.

Следуя . работам профессора Юяусн И., введем следуйте . определения

Спрэделеппэ I. Величину - назовем порогом вредоносности вредных насекомых, а Jj - уровнем эффективности полезных насекомых (знтомофаги). Определение 2. Задачу нахождения параметров И^, из (1.5), (1.6) гфи заданном ' планируемом уровне I? * (Г" назовем подготовительной задачей

защиты растений модельного агроценоза (1.1). (1.2).

илредглеяне а. Окажем, что подготовительная задача защиты имеет решение, если при некотором заданном ^ Л^™*] имеет место условие (1.5ь (1.6). Подготовительная задача защгга растений для модельных агроценосов с учетом возрастного состава (1.1), (1.и, (1.3), формулируется аналогичным образом если ввести обозначения:

vrn а(, ß/t заданные неотрицательные числа, i-2,3.

По:хзт сказаться, что при некоторых значениях параметров и £ункш£ (трорггескиэ функции, функций рождаемости и смертности и Ю-> рпсс^этренцного модального агроценозо подготовительная Tiasa-iE: растений кояет не иметь решений, т.е.

яоравонзтва (1.5), (1.6) но выполняются. Тогда приходится psca^j, задачу оптимизации водаты растений. Это означает, что ярохзэ ¿рэдателсС применяются интегрированный метод борьбы (коуллекс агротехнических, химических и биологических кзролриятий) для зациты растения. Математически, это состоит ро ведении членов -ц , -<' . 'D)Na + FIf3 соответственно в ггрйгих частях 3-го к' 4-го ур^нзлий системы (1.1). Здесь - функция "доза-эффект" от применения дозы JD=D(t); F-P(t) - биологическое управление, т.е. удельная скорость впускай,m полезных насекомых на поле. Агротехнические мероприятия'учтены введением члена Q=Q(t) в правой чяоти 1-го уравнения. Предполагается, что параметры управления (Q,P,D)*u, и £ U, U - допустимое шокество (кусочно-непрерывные и ограниченные).

Такал образом, задача оптимального управления (оптимизация процесса защиты) модельным агроцэнозом (1.1), (1.2) состоит в наховдениа такого управления u=u*fi) € U, для которого функционал стоимости

г*

идп

ОО в .

Юл)' 1 ] /°(П1,Пг,П!),и)аж11 + |

(1.7)

принимает. свое наименьшее значение, где. /"(.), <рС.) заданные неотрицательные функции своих аргументов. Задача оптимального управления для модельных агроценозов (1.1М1.3) и (1.1)-(1.4) формулируется аналогичным образом.

Относительно входных Функций Р(С.ф£Г.{=1573. , системы (1.1) предооложим, что они удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности соответствующих дифференциальных задач с функциональными условиями я, кроме того, из биологической сущности задачи вытекает, что В{(.) > 0, ' /(.) > О, <о(.)'> О,

< О,

< о, , > о, < о, \1(В) > О. > о, t>J ®

§2 посвящен решениям подготовительной задачи в случае, когда модельный агроцекоз (1.1)-(1.2) находится в стационарном рекжло.

Теореиэ. Пусть взаимодействие мезду видами агроценоза (1.1)-(1.2) происходит по закону Вольтерра, т.е.

щ

) - -ао]}Л> V > » »<ДА ~ «А - \

(1.3)

V ) = - аЛ ~ тг> V ) =Ка-А - £Лп -

где а£, й{, ,тг{, е биологические параметры популяций. Тогда для того, чтобы имело место соотношение (1.5) необходимо п достаточно, чтобы имело место (1.6), 'причем

/<! =

К

к а }? = —Ь—— э а

Л* -

А' Я

(1.9)

а

к а

Заметим, что = —¡^— достигается только в системе "ресуро-

■ * ш . ( '

сельхозкультура", а Н^ = - . в системе

"ресурс-сельхозкультура-вредные насекомые". Для существования

решения подготовительной задачи управления агроценозаш

т4т

необходимо, чтобы 5 > ь I ' . • Здесь «о, в Общем случае,

предложен алгоритм решения рассматриваемой задачи и приведены ряд полезных замечаний.

Параграф 3 посвящен нестационарной задаче защиты раст&ий в рамках точечных моделей и в случае, когда взаимодействие мевду видами происходит по закону (1.8). Доказана теорема о необходимых и достаточных условиях существования задачи защиты растений на достаточно большом промежутке времени.

В § 4 рассматриваются задачи защиты растений в случае, когда трофическая функция системы "вредане насекомые, полезные насекомые" биологической системы "растение, вредителя растений, естественные враги вредителей" являются, вообще говоря, достаточно общими. При атом рассматривается следующая модельная биосистема

К = - МА - «Л

(1.10)'

к, = КаЛК ~ ~ К = кг7(Пг)И, -

Здесь У » 7(К) трофическая функция взаимодействия вредйых и полезных насекомых с обычными свойствами:'

■т)>0, Л№->о. < о (1.Ц)

"" (ЯГ

Здесь доказана следущая теорема: Пусть 7(Ю>0, -да- > О,

- < 0, шх - } ■ < а < а. Тогда для того, чтобы имело

место условие . с необходимо и

достаточно, чтобы наполнялись неравенства Н0(1) <

¿1 > где

<т 1х КЯ я. , я С-1)

Л" 4- I V**«. «Г - ^Г - -ОТ - аУ *"ТГ>Г.

1 1

_ " ^ 1 л.

Г = ——— -•——--£— Тп—у /¿>1 , Г - произвольное

а а ат *( '

положительное число из рассматриваемого промежутка

Далее, в этом параграфе рассматривается точечная модельная биосистема типа (1.1о), в которой для всех биологических видов трофические функции берутся произвольными со свойства?,® (1.11) и для нее получены необходимые и достаточные условия существования роптания задачи защиты растений.

§ 5 посвгщеп получения необходимых л достаточных условий существования и определения решения задачи растений с учетом возрастной структуру у вредных и полезных насекомых при произвол г .гак тро$ических функциях. Модельная система при этом тлеет вид:

<27

ИГ-^-а/Л.

с:; „

= - '

о!Гг з!Г

-ж- + = - V« - тл-.

й?!Т, 0$ _ ~от~ * ~ - -

да.-

га

а

®

/гзго.г; - I взаа,!;г)1гза,г№.

" о

где Вг(.), Ъ3(.) являются, соответственно, ксьффжтиектэми рождаемости вррдпнх и полезных насекомых.

В шестом параграфе рассматривается задача оптимального управления, которая связана о проблемой защиты, даст,ещй!;'';-о учетом возрастной структуры у насекомых. Математически ..эта задача формулируется следущим образом. Пу йть-'функцки Ht = S^t), 1*0,1; « Nt{a.t), (=2.3 удовлетворяют

условиям: , "

~ЗГ~ - Q + . : . '.

■ж-" ■

дГ. dNt „ •

-ж~ * -ш- - Я,Гя(*уВ+Ял) - WW*,-

д!Га dNe

г®

Nj(O.t) « J BjOTj.t.tm, J=2,3

f 0 < uru < u *

u*(Q.P,D)iU = { u*u(t)-. | •

L . u С t J-кусочно-непрерывная фунидагО

Задача оптимального управления состоит в~ нахоадении ф „

такого u e U, для которого

со се

I(P.D,Q) - J J f (N ,Нг,!! .uJCUtt * J ip(t(i,Ft,Ь'л,и)с1а\, -

о о » « • >0 1*»

принимает свое минимальное значение.

Используя пршщшт максимума Понтрягнна для данной задачи получено необходимое условие минимума.

В главе 2 "Численный мэтод решения задачи защшш растений F. результаты вычислительных экспериментов" рассматриваются вопросы разностной аппроксимация задачи еаныта растений и сходимость расзшш соответствую;?^ разностной щпфоксимирувдей задачи к рокениг. исходной двЗФзранциальяой задачи зааиты растений.

В 5 I приведен численный алгоритм решения исходной модельной задачи защиты растения и соответствующие трофические функции. Для численной аппроксимации и проведения выделительных , экспериментов рассматривается

следующая модельная задача:

' <1 г Г0(1Г0)ЯЛ.

Iж.

_о

~аг иг

он, зя, ~

иг- * - ~ -

опя З11я , '

-Ж- + -Ж- * - е^ - я,*..

(1.12)

{=2,3

ч

где ; - трофические функции, - коэффициенты

•рождаемости, <3, й£, а{, р{, е - биологические параметры популяций. Система (1.12) сводится к система интегральных уравнений, которая для последующей реализации па ЭВМ загоняется дискретной системой уравнений. Соответствующая дискретная модель при этом аппроксимирует исходную задачу с точностью

§ 2 посвящен изложению алгоритма обобщенного метода наименьших квадратов для определения неизвестных коэффициентов модельной задачи:

11

и(а,О) = По(а), аз

Алгоритм обобщенного метода наименьших квадратов, применяется для находжения коэффициентов взаимодействий матрицы сообщества.

В § 3 приведена структура вычислительной модели и описаны

прикладные программыг входящие в эту вычислительную модель.

§ А посвящен инструкциям по работе с вычислительной модель». Дается описание и приводятся возможности каадой программы. Указана-последовательность расположения данных для каждой программы. ■

В 5 5 приведены результаты вычислительных експериментов с модельными биологическими системами. Большинство вкспериментов проведены для системы хищник-жертва, где жертвой является паутинный клещ, а хищниками - его естественные враги -энтомофаги. Из анализа численных результатов следует, что они удовлетворительно аппроксимируют натурные данные.

В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководители M.K.feyca за постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Одпнаев 1>«М. Исследование точечной математической модели э'ййиты ра№Ний с произвольными трофическими функциями.

Докл. АН Респ. Таджикистан, 1-. XXIX, Л 9-10, 1996г.

2. Кйгуси U., «ййнаев Р. Математическая модель защиты седьска-±озяйстВеи?юго урожая . - Вестник ТГУ 1996, JH, стр.38.

3. Одшаев Р.И., £»уси М. Исследование математической модели защиты рпстегай с учетом возрастной структуры. Тезисы докл. Апрельской научно-теоретической конференции профессорлга-преподавательского состава ТГУ,. - Душанбе,

, 1994, 0/29.

4. ОдКнаг,» Р.Н., Инуси М. Оптимизационная задача защите растеряй и ее. исследование. Кн. Проблемы эковоШческо1чз г социального развития Таджикистан. ДузРйбе, 1997. С.272-274.

5. OfötHüeB Р., Шуей U. О решении одного класса да^орещиальшх задач с интегральными ограничениями. Гаавск докл. Международной конференции дифференциальные '/рпвтя&я с сингулярными. коэффициентами. - Душанбе, 17-19 чокзр.ч 1996г. С.Б5.

6- йдинаев P.E., Гкуси М. Исследование математической шдэлн защиты растений с учетом возрастной структуры, в общем

случае. Тезисы докл. Международной конференции по математическому моделированию и' вычислительного эксперимента (Ташкент, 1994).

Юпусз М., Одинаев Р.,.йсматов Н., Дналилов X. Исследование Математических моделей экосистем 3-х трофических уравнений. Душанбе, ТГУ, 1996..- 23о. '

31/Х-1807 г.Заксэ 35.Тираж 100 ккз.

Ротапринт ТГИУ,Душанбе,ул.Лахути 2.