автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей теории трехчастичного кулоновского рассеяния и их применение к задачам атомной физики

На правах рукописи

БИЛЫК Виктор Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ТРЕХЧАСТИЧНОГО КУЛОНОВСКОГО РАССЕЯНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ АТОМНОЙ ФИЗИКИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тольятти - 2008

003456916

Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики Тольяттниского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук

доцент Талалов Сергеи Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Крутов Александр Федорович, кандидат физико-математических наук Радионов Алексей Николаевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО Ульяновский государственный

университет

Защита диссертации состоится " 25 " декабря 2008 г. в часов па заседании диссертационного совета Д212.264.03 в ГОУ ВПО Тольяттннскнй государственный университет по адресу: г. Тольятти, ул. Белорусская, 14, аудитория УНИ-224 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тольяттниского государственного университета.

Автореферат разослан " 24 " ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.2С4.03 кандидат педагогических наук

С. В. Пнвнева

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования

Создание математических моделей, позволяющих численно решать задачи физики атомных столкновений с участием нескольких частиц, по-прежнему является актуальной задачей. Точно решаемые модели в мпогочастнчной квантовой теории кулоновского рассеяния отсутствуют, а сложность приближенного модельного описания систем заряженных частиц заключается в том, что дальнодействующие кулоновскне силы существенно изменяют динамику асимптотического движения рассеивающихся фрагментов. Указанная динамика не является свободной в том смысле, как это понимается в традиционной теории рассеяния для короткодействующих потенциалов.

Математическим выражением этого факта является нарушение обычного асимптотического условия существования волновых операторов рассеяния. Как следствие, обычные многоканальные уравнения Липпмана - Швингера и основанный на них метод резольвентных интегральных уравнении задачи N тел Фадцеева-Вейиберга-Ван-Винтера, дающие теоретическую базу для 1 построения моделей и численных расчетов, оказываются неприменимыми. Причиной тому служит присутствие в ядрах этих уравнений в импульсном представлении особенности, связанной с медленным убыванием кулоновских сил при увеличении расстояния между частицами, что выводит их из класса фредгольмовых.

Однако анализ работ по физике атомных столкновений показывает, что в качестве отправной точки при построении моделей конкретных процессов рассеяния (например, ионизации атома электронным ударом) часто используются результаты и методы стационарной теории рассеяния, развитой н пригодной лишь для короткодействующих, например, ядерных, сил.

Таким образом, для квантовых систем с далыюденствующнми кулонов-скнми силами требуется создание новых моделей процессов столкновения нескольких заряженных частиц, корректно описывающих их аспмптотпче-

ское движение. Разработка таких моделей предполагает использование алгоритмов строгой кулоновской теории рассеяния, основанных па перестройке исходного уравнения Лпппмапа-Швпигера.

Цель работы

Целыо диссертационной работы является разработка корректных математических моделей атомных столкновительиых процессов на основе строгой теории кулоновского рассеяния н построение приближенных методов вычисления амплитуд рассеяния, которые учитывают характерные свойства динамики систем нескольких заряженных частиц.

Научная новизна работы

1. Получено новое интегральное уравнение дипампки трех заряженных частиц, которое является базой для построения корректных математических моделей процессов атомных столкновений. Этот результат достигнут с помощью перестройки уравнения Липпмана-Швннгера для амплитуды развала двухфрагмептпой нейтральной системы при столкновении с заряженной частицей с целыо явного выделения трехчастпчпой кулоповскоп особенности ядра исходного уравнения.

2. В рамках последовательной кулоновской теории рассеяния получено новое приближенное выражение для амплитуды ионизации двухфрагмептпой мпшени, полностью учитывающее члены второго порядка по кратности взаимодействия и равноправным образом учитывающая парные взаимодействия в канале трехчастичиого развала. Данное выражение позволило в рамках строгой кулоновской теории рассеяния провести численные расчеты сечения реакции Н(е, 2е)Я+ в различных кинематических ситуациях.

3. Предложена модификация импульсного приближения для систем заряженных частиц, пригодная для описания слабонеупругпх процессов и

явно учитывающая свойство связности кулоновской 5-матрнцы. Установлена связь развитого метода со стандартным эйкопальным приближением.

4. Получено явное выражение для п-мерной (п ^ 2) двухчастичной ку-лоновской функции Грина в нмнульсном представлении. Доказано, что структура ее особенностей на поверхности энергии не зависит от размерности пространства. Этот результат дает возможность применения шестимерного кулоновского потенциала для описания конечного состояния реакции развала системы трех заряженных частиц.

5. Сформулирован метод сведения задачи рассеяния нескольких заряженных частиц к теории рассеяния в паре гильбертовых пространств; построено новое приближенное выражение волновой функции канала развала.

Научная и практическая значимость работы

Научная и практическая значимость работы состоит в том, что разработаны методы корректного учета кулоновскпх эффектов в процессах рассеяния с участием заряженных частиц. В рамках последовательной кулоновской теории рассеяния предложен ряд новых моделей высокоэнергетического рассеяния и основанных на них приближенных методов.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность н достоверность результатов работы обеспечиваются использованием строгих п физически аргументпроваппых методов математической физики н теории интегральных уравнении, согласованностью используемых моделей с апробпровапнымп прнблнжепнымн методами, соответствием результатов расчетов с экспериментальными измерениями.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод выделения трехчастичпой кулоповской особенности в уравнении Лпшшана - Швипгера для оператора перехода в канал развала системы трех заряженных частиц с конечными массами.

2. Приближенные (второго порядка по кратности взаимодействия) аналитические формулы для амплитуды развала двухфрагмептной мишени в случае чисто кулоновского взаимодействия.

3. Модель процесса высокоэнергетнческого столкновения, позволяющая проводить расчеты сечений реакций с образованием трех заряженных кластеров.

4. Явное аналитическое выражение для и-мерпой (п ^ 2) двухчастичной кулоповской функции Грина в импульсном представлении.

Личное участие автора

Автор непосредственно участвовал в качестве соисполнителя во всех этапах проведенных исследований, включая постановку задач, анализ литературы по проблеме, планирование исследований, разработку моделей и алгоритмов решения поставленных' задач, численные расчеты и интерпретацию результатов. Лично автор исследовал аналитические свойства многомерной кулоповской функции Грина и волновой функции. Автору принадлежит также формула для полного сечения рассеяния электрона па атоме в эйкональном приближении н практическая реализация второго борцовского и модифицированного импульсного приближений в тестовых расчетах трнждыдпффе-решшальпых сечении реакции Н(с. 2е)Н+ в различных кинематических ситуациях.

Апробация результатов

Результаты исследований опубликованы в 10 статьях (н'з них 8 - в рецензируемых журналах) п докладывались па Научно - технической конференции студентов п аспирантов (Обнинск, ПАТЭ, 17 апреля 1998 г.), международной конференции "International Confeience он Coincidence Spectroscopy" (Bie.st, France, 23-2G Sept. 1998), молодежном симпозиуме "Ядерная энергетика в третьем тысячелетни" (Обнинск, 12-1G октября, 1998 г.), VI н VII математических чтениях МГСУ "Математические методы н приложения" (Москва, 1999. 2001 гг.), международной конференции "Manv - Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusteis and Surfaces" (Halle/Saale, Geimany, 2G-29 July 2000), I Ii II международных конференциях "Математические идеи П. JI. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2002, 2004 гг.), международной конференции но математической физике и ее приложениям (Самара, 8-13 сентября 2008 г.).

Структура и объем диссертации

Работа изложена па 118 страницах, состоит из введения, трех глав основного текста и заключения, содержит 12 рисунков и список литературы из 99 наименований.

Содержание диссертации

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, дается обзор публикаций по методам решения задач многочастнчного рассеяния н существующим моделям динамики систем заряженных частиц, формулируются общие задачи и цель исследований.

В первой главе излагаются основные результаты нестационарной и стационарной теорий рассеяния для систем нескольких перелятнвнстскнх заряженных частиц. В пункте 1.2 вводятся многоканальные волновые операторы Долларда и Мулерииа-Цннна. лежащие в основе нестационарной теории ку-

.поповского рассеяния

П?„ = в-Нш с,ти*(г)Р„, = в-Нт с,тЧ*е-,и",Рп,

в которых оператор свободной эволюции в канале а, фигурирующий в

стандартном определении волнового оператора, заменяется либо на модифицированный оператор эволюции Долларда либо на оператор Мулерина-Цшша которые учитывают асимптотическое "искаженно траекторий" заряженных частиц. Обсуждаются свойства этих операторов, формулируются соотношения переброса н ценное правило.

В нункте 1.,') осуществлен переход к стационарному формализму теории рассеяния, и для волновых операторов кулоновского рассеяния ГЬ„ |/7п) получено модифицированное уравнение Лннимана - Швингера

= ГгЛЕ» ± '0)1 фоРо) + С„{Е<> ± Щ'пП±пШ- (1)

Отличие этого уравнения от обычного многоканального уравнения Лннимана - Швингера заключается в появлении регулярнзнрующпх операторов

± ге) = V,; + С«{Е„ ± ге) [Я„, V*] = ±геС„(Е„ ± ге)У±, задающих правильное асимптотическое поведение лидирующего члена многочастичной кулоновской волновой функции {/^>/3,, |П+(11/7„). В продолжение пункта 1.3 предложен новый метод вывода модифицированного уравнения Лннимана -Швингера для состояний рассеяния систем двух заряженных частиц без обращения к результатам нестационарной теории.

В пункте 1.4 продолжено исследование методики перехода к стационарной теории, и с помощью техники теории рассеяния в паре гильбертовых пространств построено повое представление для волновой функции канала развала многочастичной квантовой системы с кулоиовским взаимодействием

п±\кпр„) = П±\к-,Л) + С(Е ± 10) + [Но, П±]) \кпр„), (2)

где П± = П1±Пг±. и - волновые операторы рассеяния для потенциалов Ух н У>. на которые произвольным образом разбивается потенциал взаимодействия У = V] + 1'2-

Пункт 1.5 посвящен изучению свойств регулярнзпрующнх кулоновских операторов Для этих операторов получено уравнение н построено од-

но из его возможных решений. С использованием многоканальных модифицированных уравнений Лнппмана - Швпнгера и развитого формализма регу-лярнзирующих операторов в пункте 1.6 получены выражения для 5-матриц и амплитуд физических процессов с участием заряженных частиц. В частности показано, что амплитуда реакции а —> (3 выражается через оператор перехода Т0а{г) = (Ф^У3 + У>3С{г)Уа|Ф„) следующим образом:

ЫРц,Ро, Е + 10) = 1пп(^| (У;7(Е - ie)^T|ia{E + 1е)Т+{Е + 1е)\ра). (3)

Подобная процедура перенормировки необходима для устранения в операторе перехода сингулярностей типа (¿Г — Еп)'1!а, которые возникают при выходе параметра X на энергетическую поверхность канала а (2 —> Еа + ¿0):

т0а{г) = ща{г) + {г + ^ - н01з)"»м11а(г)(г + ** - я0«Г". (4)

Наличие кулоновского взаимодействия во входном и/или выходном канале реакции приводит следующему выражению для элементов 5-матрицы:

(Р/^оШ = -2т5(Еа - Е/^а&^Рп, Еп + г'0), (5)

в котором отсутствует несвязный член 6ра6(ра — рр)- Однако, при мягком выключении кулоновского взаимодействия, т. е. при г]а, ту^ —> 0, сильная угловая особенность двухчастичной кулоновской амплитуды в направлении рассеяния вперед порождает несвязное слагаемое и (5) принимает вид (рр\8ра\Ра) = ¿/1а5{ра - Рц) - 2пг5(Еа - Ер)^^,^, Еа+(0), где - амплитуда рассеяния на короткодействующем остатке потенциала.

Глава 2 посвящена описанию трехчастичного континуума для систем частиц с кулоновским взаимодействием. Развит новый прямой метод выделения трехчастичной особенности в уравнении Т(.£) = К^Фо} + Уйо для оператора перехода в канал трехчастичного развала для случая, когда капал а соответствует столкновению двух фрагментов, один из которых является нейтральным, и оператор Т(¿Г), согласно (4), может быть представлен

б виде T(Z) = (Z — Ho)'nM{Z) + R(Z), где матричные элементы операторов M{Z) и R(Z) в импульсном представлении имеют конечный предел при выходе параметра Z на поверхность энергии канала развала.

В пункте 2.2 описана процедура перестройки уравнения Липпмана-Швин-гера для T(Z) с целыо выделения кулоновских особенностей амплитуды рассеяния трех частиц, и исследуются свойства этой амплитуды на энергетической поверхности. С помощью эффективного двухчастичного потенциала U = Л 1/г1 с эффективным зарядом Л7 = т;/с7//х7, вычисляемым по полному кулоновскому параметру т] конечного состояния, уравнение для T(Z) может быть записано в виде

T(Z) = [I + tu(Z)G0(Z))Vn^a) + [I + tv{Z)G0{Z)}{V - U)G0{Z)T{Z), (6)

где tu{Z) - двухчастичная кулоновская амплитуда, соответствующая эффективному потенциалу U. Прямым вычислением соответствующих матричных элементов показано, что дальнодействующий оператор взаимодействия V — U не изменяет характера выделенной кулоновской особенности (Z — Но)"1, содержащейся в I+tu{Z)Go(Z), и что функция (fc7p7|T(iJ-fi£)|pn0) не содержит двухчастичных кулоновских сингулярностей типа (Z — Но)"'а, присутствующих в уравнениях Фаддеева-Вайнберга-ван-Винтера для T(Z). Именно с целыо устранения двухчастичных сингулярностей использовалась перестройка непосредственно исходного уравнения Липпмана-Швингера. Следует отметить, что ядро системы уравнений для операторов M(Z) и R(Z), вытекающей из приведенных построений, ие является компактным и даже связным. Однако представление (6) может быть использовано для построения математически корректных моделей и содержательных приближений при описании процессов столкновений нескольких заряженных частиц, явно учитывающих характерное поведение T{Z) вблизи поверхности энергии.

Свойства регуляризирующих операторов, парной кулоновской амплитуды и процедура вычисления матричных элементов амплитуды рассеяния (3), изученные в главе 1, приводят к серии эквивалентных представлений для амплитуды развала нейтральной мишени при столкновении с заряженной ча-

стпцей: 1) через Т-оператор

1(к.,р.п р,1\ Е + Ю) = ехр ^—п] 1п ^ + г Е х (7)

(Ф-^^^^'ЧФ,^0) + - ЩСа(Е + Ю)Т(Е + гО)|р„°)'

где - кулоновская искаженная волна в паре 7 с потенциалом [/,

2 к2

Л,; = г],12) через точную волновую функцию системы, соответствующую начальному каналу |Ф^(/Л>°))

Е + г0) = (Я>-(1,)р.,\(У - £/)|Ф+(р„°)> ехр ^ + г ЕЛ^ !

3) через матричные элементы оператора

Е + г0) = \ ^ ехр + + Ш)|р„0>.

(8)

Заметим, что в системе трех частиц возможны три варианта формулы (7) с различными значениями индекса 7, нумерующего пары частиц.

В пункте построено явное выражение для функции Грпна ди(К, Л"', Z) п-мерного кулоновского потенциала £7 = А/Я, Я € К" (п ^ 2) в импульсном представлении и изучены ее особенности на поверхности энергии и дискретный спектр гамильтониана Щ + (У. Полученное выражение при п — 3 согласуется с известными результатами Окубо-Фельдмана н Швингера. Исследование ди(К.2) и асимптотик матричных элементов вида (К\дц(Е)\$) с гладкой функцией }{К') при X —* К2/(2т) позволяет заключить, что тин особенности ди{%) на поверхности энергни не зависит от размерности пространства. На основании этого в пункте 2.4 установлено, что при определенном выборе интенсивности потенциала II (п = 0) он, наряду с трехмерным парным кулоповскпм потенциалом А7/г7, может играть роль эффективного в задаче двух частиц во внешнем кулоновском поле, в рамках которой часто рассматривается реакция (е, 2е). Предполагается, что в выбранной системе

единиц R = {гi, г2} и К = {ki, к'а}- При этом шестпмерная двухчастичная кулоновская i-матрица tu(Z) будет иметь на поверхности энергии те же особенности, что и амплитуда развала системы двух заряженных частиц в кулоновском поле. Этот факт позволяет с помощью введения шестнмерного кулоновского потенциала получить представления для амплитуды развала и волновой функции, которые особенно пригодны для определения этих величин методом /С-гармоник.

В третьей главе диссертации рассмотрены приближенные методы решения задачи о рассеянии заряженной частицы на двухфрагментной мнше-нн. В пункте 3.2 изучены свойства решений метода convergent close-coupling, п показано, что этот метод, будучи примененным к задаче ионизации, не воспроизводит известные свойства решении уравнения Липпмана-Швингера, рассмотренные в главах 1 и 2, вследствие необоснованной замени некомпактного ядра уравнения компактным. В пункте 3.3 па основе проведенного в главе 2 выделения глобальной трехчастнчиой кулоновскои особенности и перестройки уравнения Лнппмана - Швнпгера, получено приближенное выражение для амплитуды развала двухфрагментной мишени при столкновении с третьей частицей для случая чисто кулоновского взаимодействия, которое полностью учитывает члены первого и второго порядка по кратности взаимодействия. Полученный результат имеет вид

tB2(kp,p°,E + iO) = Nexp (9)

где ./V-1 = J2 "^"ехР (iV In тг) ■ Доказано, что отброшенные члены не содержат вклада первого и второго порядка по кратности взаимодействия. Ключевым пунктом доказательства является разложение в ряд по кратности взаимодействия матричного элемента (Ф~(£)|/), где f(k) - гладкая функция:

<Ф"(£)|/> = ехр Г(1 + iV)f(k) + (10)

+ J dk' (*-(k)\VGo(E + i0)\&) (/(£') - /(£)) + ... ,

которое является прямым следствием результатов пункта 2.3. Представление (7) с помощью (10) сводится к формуле

ехр [г{А - X,)) ife.ft0, Е + г0) = {^(kJp^V - £0|Ф«Р„°>+ + ехр Г(1 + - U)Gq(E + iQ)T(E + ¿0)|po°>+ (И)

+(члены порядка выше второго),

а результат (9) достигается при определенном выборе коэффициентов в линейной комбинации формул типа (11) с различными 7.

Следует отметить, что при выводе формулы (9) ограничение на число заряженных частиц в конечном состоянии системы нигде существенно не нс-пользуется. Таким образом, (9) остается справедливой и в случае реакций полного развала мишени при столкновении с заряженной частицей, например, реакций типа #е(е, 3е)#е2+. В этом конкретном случае суммирование в (9) ведется по всем шести парам частиц 7 в конечном состоянии реакции.

В пункте 3-4 рассматривается вопрос о построении приближенного выражения для амплитуды реакции Я(е, 2е)Я+, полностью учитывающего эффекты второго порядка по кратности взаимодействия, в рамках задачи о движепнп двух заряженных частиц во внешнем кулоиовском ноле. В качестве эффективного потенциала, помимо Un = М2/Г12, приводящего к представлению для амплитуды типа (7) с 7 = (12), и шестнмерного кулоновско-го потенциала X/R, можно использовать н = Ai/ri + А2/Г2, где Ai н Аг - обычные петеркоповские эффективные заряды, связанные соотношением \\ГП\/к\ + А2ТО2//С2 = Щ + Цг — i). Аналог формулы (11) с потенциалом [/1,2 имеет вид

ехр (i{A-Aia))t{hk2,k0) = <ФГ(^1)Фг (^2)1(1^ - С/1,2)|Ф2^о> + + ехр (-|rj) Г(1 + im)T{\ + iñ2){hh\{V - U1,2)G0{E + iO)T(E + iO)\k0)+

-f (члены порядка выше второго). (12)

Коэффициенты линейной комбинации формулы (11) с 7 = (12) и представления (12) могут быть подобраны так, чтобы достичь результата, аналогичного

(9). При этом необходимо положить А1 = Л2 и Л12 = А1 /(1 4- А1) (в атомных единицах). Полученное представление для амплитуды, которое может использоваться наряду с (9) для расчета сечения реакции Н(е, 2е)Н+ в тех кинематических ситуациях, которые характеризуются малой отдачей ядра мишенн, выражается довольно громоздкой формулой п здесь не приводится.

Пункт 3.5 посвящен построению высокоэпергетнческого приближения для задач фрагментации н ионизации двухфрагментпой мишени при столкновении с заряженной частицей. Исходным пунктом проведенного рассмотрения является выражение для состояния рассеяния трехчастичной системы, которое используется для построения импульсного приближения и остается справедливым в кулоповском случае

1фо(Ро°)> = / ^12|Ф^(^з))|Ф24з(АГ2З))Ф(,(А:12), (13)

где есть волновая функция рассеяния в паре 7 (7=(13),(23)), Д'12

- относительный импульс в составной системе а—(12), а функция Ф(1(^12) характеризует амплитуду вероятности того, что частицы, принадлежащие паре а, имеют импульсы к\з и А'2з- Волновая функция конечного

состояния [3 записывается аналогичным образом, и выражение для элементов 5-матрнцы процесса без перестройки а —/3 имеет вид:

<Ыр,*>Рг,°) = У У <Й?12 Ф;,(А:12)ФО(^12)51з(^1З,А?1З)52З(4^2З)- (14)

Согласно свойству связности (5), элементы 5-матрнцы не содержат ¿-функции закона сохранения импульса, как в случае рассеяния на короткодействующем потенциале. Окончательный результат представляется в виде интеграла по плоскости, перпендикулярной вектору + уц:

II-

(15)

где ц переданный импульс, _ регуляризованная двухчастичная куло-

повская амплитуда пары 7 на поверхности энергии, - формфактор

мишени для перехода а —> ¡3.

Сделаем несколько замечаний относительно формулы (15). Во-первых, полученное выражение для ¿-амплитуды процесса рассеяния заряженной частицы 3 на связанной паре (12), также состоящей нз заряженных частиц, справедливо при рассмотрении неупругих процессов (а ф 0). Амплитуда же упругого рассеяния может быть представлена в виде (15), когда суммарный заряд составной системы отличен от нуля, вследствие того, что именно в этих случаях 5'(йп(р^,рп0) является связной, и справедливо представление (5). При этом формула (15), в отличие от случая короткодействующих сил, содержит только так называемое "теневое" слагаемое, что является прямым следствием формулы (5).

В терминах функций профиля это означает, что кулоновская функция профиля записывается в виде сос(Ь) = —{рЬ)2"1, где р - относительный импульс сталкивающихся частиц, а функция профиля двухфрагментного рас-сеивателя равна ш(Ь) = —и>1з(Ь1з)ш2з(Ь2з), гДе ^-уФ-у) ~ функция профиля для пары 7, тогда как в традиционном варианте эйконалыюго приближения кулоновская функция профиля записывается в виде шс(Ь) = 1 — (рЬ)2"', что явно противоречит свойству связности двухчастичной кулоновской 5-матрицы. При помощи методов регуляризации формально расходящихся матричных элементов кулоновской теории рассеяния также явно показано, что полученное приближенное выражение для амплитуды при мягком выключении кулоновского взаимодействия дает стандартную формулу Ситенко-Глаубера.

В пункте 3.6 в рамках эйконального приближения получено выражение для полного сечения рассеяния заряженной частицы на атоме с помощью оптической теоремы. В случае рассеяния бесструктурной заряженной частицы на нейтральном атоме для полного сечения получена формула, напоминающая выражение для полного сечения рассеяния в первом борцовском приближении

аы = (А 1п 2у + В), А = (Ф«|4|Фа), (16)

V

где ¿х - оператор проекции дипольного момента на плоскость, перпендикулярную импульсу налетающей частицы. Коэффициент В выражается через

одно- и двухчастичные переходные (0 —> г) плотности poi(bi) и /ог^ьМ и несет в себе информацию о корреляционных эффектах в атоме-мишени. При этом необходимо иметь в виду, что с точки зрения строгой теории многочастичного кулоновского рассеяния, изложенной в главе 1, выражение для амплитуды процесса ионизации в первом борцовском приближении не является корректным, так как оно не содержит необходимых кулоновскнх сннгулярно-стей. Полученный результат показывает, что отсутствие этих сингулярностей в амплитуде первого борцовского приближения не влияет (или слабо влияет) на величину полного сечения рассеяния. Кроме того в (1G) явно выписана поправка к члену с In г;.

Заключительный пункт главы посвящен обсуждению результатов численных расчетов сечения реакции (е, 2е) на атоме водорода во втором борцовском и импульсном приближениях в различных кинематических ситуациях.

На основе формулы (9) были проведены тестовые численные расчеты триждыдифференциального сечения (ТДС) реакции ионизации атома водорода электронным ударом. В первой серии расчетов вычислялось сечение реакции (е, 2е) в компланарной асимметричной кинематике, характеризующейся малыми переданными импульсами, когда энергия выбитого электрона Е2 много меньше энергии рассеянного Е\. Результаты расчетов для двух значений энергии падающего электрона Е0 = 250 эВ и 150 эВ представлены на рис. 1 в сравнении с абсолютными экспериментальными данными и первым борцовским приближением. На графиках представлена зависимость рассчитанного триждыдифференциального сечения (в а. е.) от угла $2 рассеяния медленного электрона при фиксированных значениях энергии Е2 и угла рассеяния быстрого электрона i?i.

Во втором борцовском приближении было рассчитано также сечение реакции (е, 2е) в компланарной кинематике с равными энергиями электронов в конечном состоянии (energy sharing) Е\ = Ег и t?i = + л при околопороговых значениях энергии Eq налетающего электрона и симметричной кинематике.

Рис. 1: Трпждыдпфференциалыюе сечение реакции //(<. 2c)//"r п асимметричной кинематике (пторое борпопское приближении)' (а) /Гц = 200 эВ. Е> = ~> чН. à i = S": (б) E,t — ÍÓO iB. Ei — Г> чВ. (Л = l(i\ 'Гонкая линия мл графиках расчет i; рамках стапдар1-пого первого úopiioiH'Koio приближения мпода искаженных поди (DW'BA).

Рис. 2: Трнждыднффсрсшшальносссчснно реакции H (г. 2с)Н+ п асимметричной кинематике (пмпу.п.спое приближение)- (a) En = '250 эВ. Е-, = 5 эВ. ¡J¡ = 8°: (б) Еп = 250 эВ. Е, = 11 чВ. i)¡ = Г,°

Проведенные тестовые расчеты показывают удовлетворительное согласие вычисленных и экспериментальных сечении в широком диапазоне энергий налетающего электрона в различных кинематических ситуациях, что свидетельствует о работоспособности построенных приближений. Отметим, что оба подхода, приводящие к выражениям (9) и (15). применимы лишь в области достаточно высоких энергий столкновения. Наблюдаемое согласие с экспериментальными данными в области низких энергий иллюстрирует важность учета обсуждавшихся характерных свойств динамики систем заряженных частиц: корректное описание асимптотического движения в канале развала дает существенное улучшение согласия расчета с экспериментом по сравнению с первым борцовским приближением метода искаженных волн (0\\"ВА).

Характерные результаты расчетов сечения ионизации в асимметричной кинематике по формуле (15) в импульсном приближении для заряженных частиц показаны на рис. 2.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Сформулированы математические модели процессов рассеяния с участием нескольких заряженных частиц. Данные модели основаны на развитом в диссертационной работе прямом методе выделения глобальной трех-частпчной кулоновской особенности уравнения Лнннмана - Швннгера для Т-амплптуды развала двухфрагментной мпшенн. Показано, что это уравнение имеет решение вида Т(2) = (Z — На)"!М^) + /?(■£). где матричные элементы оператора М(2) регулярны на поверхности энергии, а матричные элементы оператора 11^) равны нулю. Одновременно показано, что матричные элементы Г-онератора рассеяния системы не имеют парных сингулярно-стей типа (2 —Яо)"'", которые возникают при использовании для нахождения Т{Е) уравнений Фаддеева.

2. В рамках строгой кулоновской теории рассеяния разработаны алгоритмы построения приближенных выражений второго порядка по кратности взаимодействия для амплитуды полной ионизации, агомн-мшпенн заряжен-

ной частицей. Модель с конечными массами трех сталкивающихся заряженных частиц симметричным образом учитывает парные корреляции в нх движении в канале трехчастпчного развала, что достигается с помощью определенном выбора параметров модели. При построении второго борцовского приближения метода искаженных волн для реакции (е, 2е) в рамках модели двух частиц во внешнем силовом поле показано, что эффективные заряды потенциалов частица-кулоновскнй центр должны совпадать Aj = А2, а эффективный заряд пары частиц А12 связан с Ai соотношением А12 = Ai/(1 + Ai) (в атомных единицах).

3. Предложена модификация импульсного приближения для систем заряженных частиц, явно учитывающая свойство связности кулоновской S-матрицы, пригодная для моделирования слабонеупругих процессов столкновения. Установлена связь развитого метода со стандартным эйкональным приближением теории рассеяния для короткодействующих потенциалов.

4. Реализован комплекс процедур на языке FORTRAN, и в рамках построенных моделей проведены численные расчеты сечения реакции ионизации атома водорода быстрым электроном в различных кинематических ситуациях. Обнаружено значительное улучшение согласия с существующими экспериментальными данными по сравнению с первым борцовским приближением.

5. Получено явное выражение для n-мерной (n ^ 2) двухчастичной кулоновской функции Грина в импульсном представлении и изучены ее особенности на поверхности энергии. Доказано, что структура особенностей не зависит от размерности пространства. Этот факт позволяет использовать многомерные кулоповские потенциалы A/R, где R G IR", п ^ 2, в качестве эффективных потенциалов, моделирующих мпогочастичпую кулоновскую особенность. Изучена возможность применения шестнмерного кулоповского потенциала для построения моделей конечного состояния реакции развала системы трех заряженных частиц н получено выражение для амплитуды реакции (е, 2е) с шестимерпой кулоновской искаженной волной.

Публикации

В рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК

1. Bilyk V. A.. Shablov V. L.. Krstic P. S. and Schultz D R. Coulomb effects in the interaction of a charged particle with a two-fragment system // Л. Phys. A: Alatli. Gen. - 1998. - V. 31. - P. -1743-4754.

2. Бнлык В. А., Назарьев И. И. Кулоповские эффекты в процессах рассеяния двухфрагментных квантовых систем // Известия вузов, сер. Ядерная энергетика. - 1998 - №3. - С. 55-G7.

3. Бнлык В. А., Шаблов В. Л., Попов Ю. В. Вычисление полного сечения высокоэнергетпческого рассеяния на атоме в эйкональном приближении !! Вестник МГУ, сер. физика, астрономия. - 1999. - Т. 41. - №4. - С. 12-lß.

4. Shablov V. L., Bilyk V. A., Popov Yu. V. Status of the conveigent close-coupling method within the frame of the rigorous Coulomb scattering theory " Phys. Rev. A. - 2002. - V. 65. - 042719.

В других изданиях

5. Шаблов В. Л., Бнлык В. А., Попов Ю. В. Метод резольвентных интегральных уравнений в задаче о рассеянии трех частиц с кулоновским взаимодействием // Фундаментальная и прикладная математика. - 1998. - Т. 4. - Вып. 4. - С. 1207-1224.

6. В. А. Бнлык. Асимптотические выражения для полного сечения рассеяния иона на атоме // Тезисы докладов научно - технической конференции студентов и аспирантов. - Обнинск: ИАТЭ, 17 апреля 1998 г. - С. 41.

7. В.А. Бнлык, И.И. Назарьев. Кулоповские эффекты в процессах рассеяния двухфрагментных квантовых систем // Тезисы докладов научно -технической конференции студентов и аспирантов. - Обнинск: ИАТЭ, 17 апреля 1998 г. - С. 42-43.

8. V.L. Shablov, V.A. Bilyk, Yu.V. Popov. The Multichannel Coulomb Scattering Theory and Its Applications to (e,2e) Reactions // Abstracts of Int. Conf. on Coincidence Spectroscopy (Brest, France, 23-26 Sept. 1998), p. 48.

9. V.L. Shablov, V.A. Bilyk, Yu.V. Popov. The momentum representation of the two-body Coulomb Green's function in n-dimensional space // Abstracts of Int. Conf. on Coincidence Spectroscopy (Brest, France, 23-26 Sept. 1998), p. 49.

10. B.JI. Шаблов, В.А. Билык. Функция Грпиа для кулоновского потенциала в К" // Тезисы докладов молодежного симпозиума "Ядерная энергетика в третьем тысячелетии". - Обнинск: 12-16 октября, 1998 г. - С. 42.

11. В.Л. Шаблов, В.А. Билык, Ю.В. Попов. Метод сведения задачи многочастичного кулоновского рассеяния к теории рассеяния в паре гильбертовых пространств // В сб. "Математические методы и приложения" (Труды VI математических чтений МГСУ). - М.: Союз, 1999. - С. 133-137.

12. V.L. Shablov, V.A. Bilyk and Yu.V. Popov. Effective charges and the second Born approximation for (e,2e) reaction amplitude // Abstracts of the Int. Conf. "Many - Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces" (Halle/Saale, Germany, 26-29 July 2000), p. 39.

13. V.L. Shablov, V.A. Bilyk and Yu.V. Popov. An application of the multichannel Coulomb scattering theory to (e,2e) reactions // Abstracts of the Int. Conf. "Many - Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces" (Halle/Saale, Germany, 26-29 July 2000), p. 38.

14. В.Л. Шаблов, В.А. Билык, Ю.В. Попов. Функция Грина для кулоновского потенциала в К" // В сб. "Математические методы и приложения" (Труды VI математических чтений МГСУ). - М.: Союз, 1999. - С. 137-142.

15. Shablov V. L., Bilyk V. A., Popov Yu. V. The momentum representation of the two-body Coulom Green's function in n-dimentional space // Journal de Physique IV. - 1999. - V. 9. - №PrG. - P. 59-G3.

16. Shablov V. L., Bilyk V. A., Popov Yu. V. The multichannel Coulomb scattering theory and its applications to (e, 2e) leactions // Journal de Physique IV. - 1999. - V. 9. - jY'PrG. - P. G5-G9.

17. Shablov V. L., Bilyk V. A., Popov Yu. V. An application of the Coulomb scattering theory to ionization processes: effective charges and the second Born approximation // In: "Many-Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusteis and Surfaces ed. J. Berakdar and J. Kirschner, Kluwer Academic/Plenum Publishers, London. - 2001. - P. 71-80.

В.Л. Шаблов, В.А. Билык, Ю.В. Попов. Метод сильной связи каналов в рамках строгой теории многочастнчного кулоновского рассеяния // В сб. "Математические методы н приложения" (Труды VIII математических чтений МГСУ). - М.: Союз, 2001. - С. 53.

Билык В. А., Назарьев И. П., Попов Ю. В., Шаблов В. Л. Развитие точных и приближенных методов теории многочастнчного кулоновского рассеяния и их применение к реакциям высокоэнергетнческого рассеяния па атомах и ядрах // В сб. трудов регионального конкурса научных проектов РФФИ - Калуга в области естественных наук. - Калуга: Эпдос. -2001. - Вып. 2. - С. 207-224.

20. Шаблов В. Л., Билык В. А., Попов Ю.В. О статусе ССС-метода в рамках строгой теории многочастнчного кулоновского рассеяния // Фундаментальная п прикладная математика. - 2002 - Т. 8 - Вып. 1. - С. 281-287.

21. Билык В. А. Кулоновская функция Грина для уравнения Дирака. - Международная конференция по математической физике и ее приложениям (8-13 сентября 2008 г.). Тезисы докладов. - Самара, СамГУ. - 2008. - С. 38-40.

18.

19.

'Ь

Подписано к печати с оригинал-макета Печать - оперативная Гарнитура

07.11.2008

Бум. офисная 80 г/м2 Computer Modern

Формат бум. 21 х 29, 71/2 1,1 п.л.

Тираж 100 экз.

Редакцнонно-издательский центр Тольяттнпского государственного университета. 445G67 г. Тольятти, Самарская обл., ул. Ленинградская, 14.