автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование и разработка математических моделей обработки неполных и противоречивых данных на основе логик с векторной семантикой

На правах руко:

Аршннский Леонид Вадимович

Исследование и разработка математических моделей обработки неполных и противоречивых данных на основе логик с векторной семантикой

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы профамм

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ООЗПВ4Б14

Иркутск - 2007

003064614

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Восточно-Сибирский институт Министерства внутренних дел Российской Федерации^

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Столяров Лев Николаевич доктор технических наук, профессор Носков Сергей Иванович доктор технических наук, додент Дунаев Михаил Павлович

Ведущая организация: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

Защита состоится « 27 » сентября 2007 г. на заседании диссертационного совета Д 218.004.01 при ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, д. 15, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Автореферат разослан 24 августа 2007 г.

Ученый секретарь ~

РАН

А-803.

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Предметной областью математического моделирования, как правило, являются технические системы, социально-экономические процессы, природные'явления Такие модели представляют собой выраженные языком математики Приближенные описания того класса явлений реального мира, для анализа которых они создаются Объективность моделируемых предметных областей, их независимость от мнений, суждений, оценок исследователей, статичность и однозначность управляющих ими законов привели к возникновению в области математического моделирования набора концептуальных схем постановки и решения проблем (парадигм), основными из которых являются следующие

1 Парадигма точности Приближенность моделей есть результат их несовершенства вследствие неполноты наших знаний Повышая качество моделирования, учитывая факторы, которыми прежде пренебрегали или о влиянии которых не догадывались, можно бесконечно уточнять модель для адекватного описания действительности

2 Парадигма непротиворечивости Моделируемые сущности и отношения между ними не должны противоречить друг другу

3 Парадигма полноты данных Все утверждения о сущностях и отношениях предметной области полностью обоснованы соответствующими данными и достоверны в рамках конкретной модели

Эти парадигмы характерны для любой отрасли знания, связанной с изучением объективной реальности В 60-70 гг XX века развитие науки привело к ее проникновению в такие области, где значимыми являются субъективные факторы, например мнения экспертов, субъективные оценки надежности и достоверности показаний приборов, полученные в нештатных ситуациях, свидетельства очевидцев и т д С проблемой влияния субъективных факторов приходится сталкиваться в искусственном интеллекте, социологии, дидактике, при разработке систем управления организацией, производством, всюду, где значимую роль играет человеческий фактор В этих областях вышеприведенные парадигмы не работают или применимы с ограничениями Требуется разработ-

3

ка новых моделей и методов для решения таких классов задач В настоящее время исследователями предложен ряд подходов к формализации и учету субъективных факторов в различных областях деятельности1, однако работы в этом направлении далеки от завершения Таким образом, исследование и разработка математических моделей обработки неполных и противоречивых данных, позволяющих учесть влияние субъективных факторов в сфере принятия решений, экспертном оценивании и в других областях человеческой деятельности, является актуальной научной и практической задачей.

Одним из основных инструментов моделирования неполноты и противоречивости данных являются многозначные, главным образом нечеткие логики и их аналоги теория вероятности, теория свидетельств Г Шафера, теория нечетких множеств Л Заде, нашедшие применение в таких областях, как принятие решений, экспертное оценивание, интеллектуальная обработка данных В основе этих подходов лежит использование показателей, характеризующих степень уверенности субъекта в некотором утверждении, или вероятность того, что суждение может быть истинным Показатели имеют вид числа, лингвистического значения или числового интервала Во всех подобных моделях требуется согласование вкладов подтверждающих и опровергающих свидетельств в показатель, что ограничивает возможности обработки и анализа неполных и противоречивых данных В связи с эти необходима разработка новых логик, которые и предлагаются в данной работе

Научная новизна работы. В диссертационной работе предлагается новый класс логик, названных «векторными», основанный на введенном автором понятии вектора истинности Разработана теория векторных логик, согласно которой истинность суждений об объектах, явлениях, процессах и отношениях предметной области описывается вектором с независимыми компонентами (Истина, Ложь) Принимается, что значения компонентов принадлежат отрезку [0,1] (имена компонентов названы аспектами истинности) Значение аспекта Истина формируется мнениями, показаниями приборов, иными субъек-

1 Человеческий фактор в управлении / Под ред Н А Абрамовой. К С Гинсберга, Д А Новикова - М КомКнига, 2006 - 496 с

тивными и объективными данными, подтверждающими суждение, а аспекта Ложь - отрицающими его Отличительной особенностью предлагаемого в диссертации класса логик (названных Р"тр-логиками) и основанных на них логико-математических моделей является то, что вклады подтверждающих и опровергающих данных не следует согласовывать между собой Это освобождает логико-математические модели от излишних ограничений и дает возможность оценивать не только степень достоверности суждений, но и степень их информационной подкрепленности (совокупной силы свидетельств, оценок, мнений), строгости, противоречивости и другие характеристики

Практическая значимость работы. Полученные модели реализованы автором практически в системе автоматизации правдоподобных рассуждений НегасЫ, системах автоматизированного обучения и контроля знаний ТеасИЬаЪ СоипеМа$1ег и ТеаскЬаЬ Тев1Ма$гегь методике экспертной оценки целевых программ пожарной безопасности, методике обработки результатов социологических исследований, методике исследования и анализа случайных временных рядов, анализе рисков

Объектом диссертационного исследования является разработка и исследование 7тр-логик и математических моделей, основанных на этих логиках

Предмет исследования - изучение свойств указанных логик и применение теории Ут?-логик для описания предметных областей, характеризующихся недостатком и противоречивостью сведений об объектах и отношениях предметной области

Целью диссертационного исследования является разработка теории КТР-логик, исследование и разработка на ее основе математических моделей обработки неполных и противоречивых данных и оценка практической применимости этих моделей в прикладных областях

Задачами диссертационного исследования являются: 1 Разработка фундаментальных основ теории Кгр-логик В частности, обоснование перехода к векторному представлению истинности в случае, когда обрабатываемые сведения поступают из разных источников, противоречат друг другу, имеют различный вес и значимость, определение основных операций и отношений над суждениями в 7гр-логиках, построение правил вывода, получе-

5

ние числовых характеристик противоречивости, обоснованности и других свойств суждений

2 Разработка на основе защищаемой теории математических моделей обработки неполных и противоречивых данных, в частности

- моделей рассуждений в условиях неполноты и противоречивости данных,

- модели нестрогих случайных событий, позволяющей вводить субъективные оценки принадлежности элементарного события случайному событию,

- модели множеств с неопределенным и противоречивым содержимым (нестрогие множества), учитывающей субъективные точки зрения на принадлежности элемента некоторому множеству

3 Изучение свойств разработанных моделей и оценка их положения среди известных подходов к анализу и обработке неполных и противоречивых данных В первую очередь это нечеткие логики, теория нечетких множеств и теория вероятностей

4 Оценка возможностей применения данной теории в научных и технических задачах, характеризующихся противоречивостью и неполнотой используемых сведений Наибольший интерес при этом представляют такие области как формализация рассуждений, распознавание образов, анализ рисков, анализ случайных временных рядов, экспертное оценивание, анализ результатов социологических исследований, автоматизированное обучение

Автор выносит на защиту теорию Ктр-логик и основанные на ней модели формализации правдоподобных рассуждений, модель нестрогих случайных событий и модель нестрогих множеств

Апробация работы. Работа была представлена и обсуждалась на 3-й научно-методической конференции Восточно-Сибирского института МВД России (Иркутск, 1998), 4-й научно-методической конференции ВСИ МВД России (Иркутск, 1999), Всероссийском семинаре «Новые информационные технологии в науке, технике и образовании» (Иркутск, 1998), Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 1999), Всероссийском семинаре «Современные подходы к анализу и обработке информации» (Иркутск, 1999), Международной конферен-

6

ции «Бизнес-образование в условиях глобализации мировых процессов» (Иркутск, 1999), Первой международной конференция по мехатронике и робототехнике «МиР'2000» (С -Петербург, 2000), Международной научной конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии управления» (Псков, 2000 г ), Всероссийском семинаре с международным участием «Современные подходы к интеграции информационных технологий» (Иркутск, 2000), Международной конференции «Математика, информатика и управление МИУ'2000» (Иркутск, 2000), VIII Всероссийском семинаре «Нейроинформати-ка и ее приложения» (Красноярск, 2000), XII йаучно-технической конференции Иркутского высшего авиационно-инженерного института (Иркутск, 2002), Всероссийской конференции «Информационные технологии в энергетике, экономике, экологии» (Иркутск, 2002), Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука - 2003 Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск Челябинской обл, 2003), Всероссийской конференции «Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии» (Иркутск, 2003), III Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO'04» (Москва, 2004), Всероссийской конференции с международным участием «Информационные и математические технологии» (Иркутск, 2004), IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO'05» (Москва, 2005), Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании» (Северобайкальск, 2005), V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPR.0'06» (Москва, 2006), Всероссийской конференции «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы -ФАМ'2006» (Красноярск, 2006, ИВМ СО РАН), Международной конференции «Информационные и математические технологии в научных исследованиях» (Иркутск, 2006), Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Павлодар, Казахстан), VI Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO'07» (Москва, 2007) и других

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликована 41 работа, включая 1 монографию, 38 статей и материалов конференций, 2 свидетельст-

7

ва об официальной регистрации программ Основные результаты диссертации опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России (13 работ)

Внедрение результатов диссертации. Разработанные в диссертационном исследовании модели и алгоритмы внедрены в практическую деятельность Центра стратегических исследований гражданской защиты МЧС России, Центра специальной связи и информации ФСО России по Иркутской области, Сибирского филиала Всероссийского НИИ противопожарной обороны МЧС России, Филиала Всероссийского НИИ МВД России по Восточной Сибири, Восточно-Сибирского института МВД России, в учебную деятельность Иркутского государственного технического университета и Иркутского государственного университета путей сообщения

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы из 271 наименования и приложения, содержащего доказательства некоторых теорем Основная часть диссертации содержит 247 страниц текста, 29 рисунков и 16 таблиц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, указана научная новизна и практическая значимость диссертации, представлена структура работы, приведены сведения об апробации и внедрении ее результатов

В первой главе выполняется обзор основных логико-математических подходов к анализу и обработке неполных и противоречивых данных Обсуждаются работы по многозначным логикам, начиная с трудов Н А Васильева, Я Лукасевича и Э Поста Рассматриваются также логики А Гейтинга (1930), К Геделя (1932), С К Клини (1938), ДА Бочвара (1938), ДжМ Данна (1966), К И Бахтиярова (1976) и других авторов Отмечен вклад в это направление таких ученых как Е К Войшвилло, Г Н Зверева, А С Карпенко, Д А Поспелова, Е Д Смирновой, В К Финна, Я В Шрамко, С В Яблонский и других Наиболее близкими по духу к развиваемым в диссертационной работе логикам явля-

ются логики Дж М Данна и К И Бахтиярова Здесь же упоминаются работы Д Нельсона (1949), который одним из первых предложил рассматривать Ложь и Истину как равноправные и конструктивно определяемые логические значения Равноправность и взаимная независимость Истины и Лжи - одна из основ развиваемого в диссертации формализма В главе рассматриваются вопросы моделирования рассуждений на основе нечеткой логики и теории нечетких множеств Л Заде (1965) Кратко перечисляются основные понятия и особенности этих подходов понятия триангулированной нормы и ко-нормы, операции и отношения между суждениями и множествами, вопросы логического вывода и т п В обзор включены работы зарубежных и отечественных исследователей Л Заде, Дж Гогузна, 3 Готгвальда, А Кофмана, Е Мамдани, М Мицумото, Я Павелки, Р Ягера, Р А Алиева, А Н Борисова, Н А Еремина, А Н Жирабока, А Н Мелихова, И Г Перфильевой, С А Орловского, А Р Хачатряна и других В связи с выводом на вероятностных моделях рассматривается концепция субъективной вероятности Отмечается вклад в становление этой концепции Г Джеффриса (1939), Р Карнапа, ДМ (1950), Кейнса (1952), Р Мизеса (1957), Д Пойа (1941), Г Рейхенбаха (1949), Б де Финетти (1937) и других исследователей Рассмотрена теория свидетельств Г Шафера (1976) В этой же главе рассматриваются модели правдоподобных рассуждений, реализованные в таких, ставших уже классическими, экспертных системах как MICYN (модель Шорт-лиффа-Баханана, 1975), PROSPECTOR (вывод на байесовских сетях в терминах шансов, Р О Дуда, П Е Харт, Н Нильсон и др , 1976), INFERNO (вывод с использованием интервального представления вероятности, Дж Р Квинлан, 1983)

Особенностью существующих логико-математических моделей является достаточно грубое моделирование неполноты и противоречивости данных для конечнозначных логик и необходимость согласовывать вклады подтверждающих и опровергающих данных для моделей, основанных на нечетких логиках или их аналогах (в нечетких логиках это обусловлено влиянием соотношения ||а||+||—ia||=l, где ||а|] - истинность суждения а, -1 - символ отрицания) В них затруднительно оценивание информационной подкрепленности и иных полезных характеристик суждений Предлагаемый в диссертации подход, основанный на

9

представлении истинности вектором (Истина, Ложь), позволяет решить эти проблемы

Во второй главе обосновывается переход к векторному представлению истинности при разработке логико-математических моделей интеллектуальной обработки данных Показано, что он необходим в случае многофакторных суждений, истинность которых определяется комплексом независимых факторов (мнений, свидетельств, экспертных оценок, показаний приборов и т.п.) так, что любой из них неустраним без содержательных потерь для восприятия суждения в целом При этом одни факторы могут, например, подтверждать, а другие -опровергать суждение В диссертации под истинностью понимается выраженное в числовой, лингвистической или какой-либо иной форме свойство суждения, характеризующее соответствие суждения отраженному в нем вещественному или идеальному миру {мирам) «Истина» и «Ложь» - имена аспектов (сторон, граней) такого соответствия При этом факторы, подтверждающие суждение а, увеличивают значение аспекта Истина, а факторы, опровергающие а - значение аспекта Ложь Такое представление истинности допускает возможность существования и иных, кроме Истины и Лжи, аспектов истинности (например, «ВозможноДа» и «ВозможноНет», если вести речь о будущих случайных событиях и т п) Поскольку при правдоподобных рассуждениях суждения оцениваются по степени их соответствия реальности, аспекты подразделяем на позитивные и негативные. Считаем, что это соответствие тем лучше, чем больше значения позитивных и меньше значения негативных аспектов Так, Истина - позитивный, а Ложь - негативный аспект истинности Упорядочивая сами аспекты определенным образом в общем случае приходим к формализации истинности суждения а вектором ||а|[=(а',а2, ,а"), где ||а|| - истинность, а1, а1, ,а" е [0,1] - значения ее аспектов Векторное представление оценок истинности суждений - главный пункт отличия защищаемого здесь подхода от того, что было сделано другими исследователями Для рассматриваемых в диссертации логик с аспектами <Истина, Ложь) (т н КТР-логики) используется специальное обозначение || а ||= {а* ,а~) Здесь а - число из ин-

тервала [О, 1], выражающее степень Истины суждения а, а а - число из интервала [0, 1], выражающее степень его Лжи

На основе понятий триангулированной нормы и ко-нормы К Менгера в этой же главе вводятся операции над числами - компонентами векторов истинности композиционное умножение х • у и композиционное сложение х® у, задаваемые аксиомами

1 )х»у—у»х, хф у=у®х,

2)х' *у<х" »у, при х'<х", х<©у<х" ®у, при х1 <х",

3)х • 1 =х, хФ0 = 1,

4) х • (у • г) = (х • у) • г, х ® (у ® г) = (х ® у) ® г,

5)(1-х).(1-у)=1~ у®х (1 -х)©(1 -у) = 1- ух,

Здесьх,у е [0,1], символы «О», «1»,«-» ит д понимаются обычным образом

Первые четыре пары аксиом - это, соответственно, аксиомы триангулированной нормы и ко-нормы Пятая пара аксиом вводится специально, чтобы обеспечить переход от Ктр-логик к нечетким логикам в случае включения в правила обработки данных соотношения а + а = 1 Примеры операций

х © у — тах(х, у), х • у = тгп(х, у), (1)

х@у = х + у-ху, х»у = ху, (2)

х®у = ттп{\,х+у), х»у = тах(0,х+у-\) (3) Конкретный выбор той или иной пары функций определяется конкретной предметной областью, для которой разрабатывается модель

Здесь же исследуются основные свойства Ктр-логик Вводятся отношения правдоподобия и доминирования (см рис 1), а также эквивалентности и нестрогой импликации между суждениями

Определение 1 Суждение а сильнее суждения Ъ, если а >Ь+ и а > Ь~ Записывать подобную ситуацию будем как а» Ъ Соответственно Ъ слабее а (Ъ « а) Это отношение названо отношением доминирования

Определение 2 Суждение а более правдоподобно (правдоподобнее), чем суждение Ь, если а >Ъ* и а < V Обозначать это будем как а > Ъ Соответственно, суждение Ъ менее правдоподобно, чем а (Ь < а) Данный тип отношения назван отношением ) __

Рис 1 Иллюстрация отношений правдоподобия и доминирования Здесь И=(1,0) (строгая истина), Л = {0, 1} (строгая ложь), Н = (0, 0) (неопределенность), П = (1, 1} (полное противоречие)

Пара отношений правдоподобия-доминирования используется для организации логического вывода, а также позволяет сравнивать суждения между собой, выбирая из них более правдоподобные (отношение правдоподобия) или информационно более подкрепленные (отношение доминирования) С этой целью введен также ряд числовых показателей определенности д, (а) = а © а , противоречия Мп(а) - а • а , достоверности /ил(а) — а ~ а ,

строгости, в форме /л^а) = ¡и^а) - //п(а) = а © а - а • а", или в форме /4(а) = \/ла (а)| = |а - а~\, избыточности /и^а) = а + а - 1, логического дисбаланса /ишс(а) = \а + а~ — 11,

правдоподобия-доминирования, в форме ф(а,Ъ) = (а - Ь')(а~ - Ь~), или в форме <Ца,Ъ) = 2 (а+ - ¿Г)(а~- ¿0 /((а+ - 6+)2 + (а" - б")2)

Пары показателей достоверности-определенности или достоверности-избыточности можно использовать для формирования отношения предпочтения, позволяющего выбирать из нескольких альтернативных гипотез наиболее близкие к строгой истине - (1,0) - и более информационно подкрепленные (рис 2) Это актуально при моделировании правдоподобного вывода

Рис 2 Иллюстрация отношения предпочтения а<Ь < с {с предпочтительнее Ъ Ъ предпочтительнее а) при выборе по показателям достоверности-определенности или достоверности-избыточности

Для построения сложных суждений предлагается использовать следующий набор логических связок

первая форма конъюнкции а&Ь, где ||а & Ь\\ = (а • 6+, а © Ь~), первая форма дизъюнкции av b, где ||a v b\\ = {а+ ® Ъ+, а~ • Ь~),

вторая форма конъюнкции а &2 Ъ, где ||а &2 ¿>11 = (а • Ь*, а • Ъ ), вторая форма дизъюнкции а v2 Ъ, где || а V2 b\\ = {а ® Ь+, а Ф Ь~), первая форма отрицания- —¡а, где ||—>а|| = (а , et), вторая форма отрицания ~а, где ||~а|| = (1 - а , 1 - сГ) Первые формы конъюнкции и дизъюнкции, и обе формы отрицания обобщают на векторный случай классические, а также нечеткие связки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания Их целесообразно использовать для моделирования естественно-языковых связок «И», «ИЛИ», «НЕ» Вторые формы следует применять для учета информационно-подкрепленных суждений, исключая недостаточно определенные Вторые формы конъюнкции и дизъюнкции специфичны именно для векторных логик В классическом и в нечетком случаях они отсутствуют

Третья глава посвящена моделированию рассуждений на основе VTF-логик Здесь рассматриваются два типа вывода содержательный и формальный Под первым понимается вывод, основанный на знании истинности участвующих в нем суждений, т е , фактически, на содержании суждений Под формальным понимается вывод, основанный только на знании структуры предложений безотносительно к их конкретному содержанию Он аналогичен выводу в классической символической логике

В рамках содержательного вывода рассмотрены правила вывода modus ponens (МР) и modus tollens (МТ) Вводятся два сорта импликаций содержательная, представляющая собой суждение вида «Если а, то Ь» с экспертно-определяемой векторной мерой истинности и нестрогая, представляющая собой отношение правдоподобия а < b или доминирования а«Ь Для каждого типа импликации предложены варианты правил МР и МТ Содержательный modus ponens СС-МР)

a,a^b\-b ||й|| = {а • Г, а~ © Г) Через двоеточие указана схема расчета истинности заключения Данное правило может использоваться для содержательного вывода Оно получено в предположении, что истинность заключения равна р|| = ||а & z||, где г есть импликация а-^Ь

Содержательный modus ponens-2 (C-MP2)

а,а->Ь\-Ь ||6|| = <[a+ • i\ а © \a • Г, а Ф f]> Это также правило для содержательного вывода Оно получено в предположении, что «наихудшее» (в смысле отношения правдоподобия) значение истинности заключения b равно ||Ь|| = ||а & г|| и наихудшее значение истинности отрицания -1Ъ равно j|—= \\а & -,г(| Искомое значение |[6|| находится внутри прямоугольника, формируемого векторами ||6||i = ||а 8с г|| и |jZ?||2 = ||-а v г|| (для первой формы конъюнкции и дизъюнкции справедливы соотношения де Моргана -t(avb) = -,a8i->b и -ia&b) = -^av-b ), то есть истинность заключения имеет интервальный характер Это уточненный вариант правила С-МР

По аналогии с правилами С-МР и С-МР2 вводятся правила содержательный modus tollens (С-МТ) и содержательный modus tollens-2 (С-МТ2) Причем следует учесть, что, поскольку в Утр-логиках существуют две формы отрицания, данные правила также существуют в двух формах С-МТ —Ъ, а-> b |- —¡а ||-,а|| = <Ъ' • i, b+ ® Г>,

~b,a^b |- ~а \\~а\\ = <(1 - 6+) • t, (1 - Ъ~) © Г) С-МТ2 -Ь,а-*Ь |- -а lha|| = {[Ь~ • Г, b+ ® г+], [V • Г, 2>+ Ф Г]),

~Ь,а-^Ь |-~а ||~а|| = ([(1 - Ь+) • 6+ © z+], [Ь~ • Г, (1 - b')© Г]>, Первые формы правил С-МТ и С-МТ2 позволяют рассчитать истинность заключения для отрицания, получаемого заменой аргументов «за» на аргументы «против» и наоборот, а вторые - для отрицания, обусловленного незнанием Это разные формы отрицания, а значит и значения истинности заключений, полученных на их основе, также различаются

Еще одно правило вывода использует аналогию между импликацией классической логики и отношениями правдоподобия и доминирования

Правило нестрогого имплицирования (НИ) Если имеется отношение нестрогой импликации в форме отношения правдоподобия а < Ь, или доминирования а«Ь, и

1) если известна истинность |[а||, то

а,а<ЪуЬ \\Ь\\ = ([а+,1],[0,а]), a,a«b\-b p|| = <[a+,l],|>-, 1]),

2) если известна истинность ||6||, то

Ъ,а<Ъ ¡-а ||а|| = ([О, Ь+], [Ь~, 1]>, Ь,а«Ь\-а\\а\\=([0, Ъ\ [0, ¿Г]> Первый подпункт соответствует выводу по МР, второй - выводу по МТ Примерами являются рассуждения типа а, а<а\/Ь\-ачЬ, а, а« сытЬ\- а\/гЪ

Особенностью данной модели рассуждений является расчет истинности заключений на каждом шаге вывода (т н присоединенный вывод) Это может приводить к получению различных значений истинности для одного и того же суждения по разным цепочкам вывода В результате возникает задача, называемая в присоединенном выводе задачей объединения свидетельств В диссертационном исследовании предлагается ее решение на основе правша совмещения, которое для Ктр-логик формулируется так

Правило совмещения (ПС) Если для высказывания а получены векторы истинности \\а\\\ = {а*а~х) и ||я||2 = {а г, а г), то объединенная истинность ||я|| характеризуется вектором [|а|| = (Р\(аСь а2+), -Р2(аГ, аг ))

В качестве функций и Г2() рекомендуется брать композиционную сумму ||а|| = (а\+ Ф а2+, а{~ © <я2~), т е использовать вторую форму дизъюнкции Она обеспечивает симметричное накопление свидетельств по каждому из аспектов

Вторая из рассмотренных в главе моделей рассуждений опирается на понятие формального вывода В этом выводе упор сделан на структуру предложения Показано, что в И^-логиках существуют предложения, истинность которых принадлежит некоторым специально установленным подмножествам множества Л™ = [0, 1]х[0, 1] при любых значениях истинности суждений, образующих предложение (т н устойчивые предложения) В качестве таких областей рассматриваются.

ЛТ - область правдоподобных суждений, для которых а* > а', Л¥ - область неправдоподобных суждений, для которых а < а~, пересечение Лт и ЛР образует область нейтральных суждений где а = а , Лс - область противоречивых суждений, для которых а + а > 1, Ли - область неопределенных суждений, для которых а + а < 1

Пересечение Лс и Ли определяет область нечетких суждений Лрг, для которых справедливо соотношение а+ + сГ = 1, в этой области находятся значения истинности различных нечетких логик (см рис 3)

О + 10 + 1

Рис 3 Области Л\ Л\ Л™, Ли, Лс, Лр2

Также интересен еще один набор областей (см рис 4)

Лр+- область существенно неправдоподобных суждений, Ли+- область существенно неопределенных суждений, Лс+- область существенно противоречивых суждений, ЛТ+- область существенно правдоподобных суждений Доказан ряд следующих теорем

Теорема 1 Множества Ф(ЛТ), Ф(ЛГ), Ф{Л\ Ф{ЛС), Ф(/1|+), Ф(/Г), ЩАС+) не пусты (здесь Ф(М) - множество предложений, устойчивых в области Мсу1ТР)

Теорема 2 Если предложение Даь а2 а„) устойчиво в некоторой области Л\ то предложение/ '(^ь г„), получающееся из/заменой а, произвольными формулами 2, такими, что ||г,|| е [0,1] также устойчиво в этой области

лр+ лс+

ли+ лт+

О + 1

Рис 4 Области Лт\ Лт+, Ли+, Лс+

Теорема 3 Если в некоторой Ктр-логике предложение а устойчиво в области Л или Л (те ае Ф(Л ) или а е <КЛ ) ) и между а и Ь существует отношение правдоподобия а < Ъ, то Ъ также устойчиво в этой области

Теорема 4 Если в некоторой КТР-логике предложение а устойчиво в области Л? (или Лр+) и существует отношение правдоподобия Ъ < а, то Ъ также устойчиво в этой области

Теорема 5 Если в некоторой ^-логике предложение а устойчиво в области Лс (или Лс+ ) и существует отношение доминирования а « Ь, то Ь также устойчиво в этой области

Теорема 6 Если в некоторой Ктр-логике предложение а устойчиво в области Ли (или Ли+ ) и существует отношение доминирования Ь « а, то Ь также устойчиво в этой области

Теорема 2 формулирует правило подстановки, подобное классическому, а теоремы 3-6 - аналоги классических правил вывода МР и МТ, где отношения < и « рассматриваются как аналоги материальной импликации

В диссертации указывается, что «полномасштабная» модель правдоподобных рассуждений должна содержать как элементы содержательного, так и элементы формального выводов Соответствующий пример дан в 7 главе

В четвертой главе проблема моделирования рассуждений на основе УГ¥-логик исследуется для случая интервальных значений аспектов истинности Здесь вводятся интервальные представления операций композиционного умножения и сложения, а также интервальные варианты обеих форм связок конъюнкции, дизъюнкции и отрицания Здесь же формулируются интервальные варианты правил вывода МР, МТ и правила совмещения В связи с этим доказан ряд теорем В частности следующая, формулирующая интервальный вариант правила С-МР2

Теорема 7 Если истинность малой посылки в выводе а, а-^-Ь |- Ъ равна N1 = <[«+ь а\], [а г, ¿Г |]>, а истинность большой - ||а-»&|| = <[/+ь г+2], [Г2, Г ,]>, то истинность заключения |]А|| = ([а+1 • г+ь а", © \а\ • Г2, а© Г]])

Интервальный вариант правила С-МТ2 для обеих форм отрицания при ||А|| = {[ Ь+ и Ъ*2], [Ъ~2, Ъ'{\) имеет вид

—¡Ь, ||-1а|| = ([Ь~2 • г+ь Ь+2 © г+гЗ> [Ъ~г • Г2, Ь+2 © Г{\),

~Ъ,а->Ь \-~а ||~а|| = {[(1- 6+2). ¡\ (1-2Г2)Ф г+2], [(1 -Ь'2)ТЪ (№)© Г,]> Наконец, интервальный вариант правила совмещения, при совмещении на основе второй формы дизъюнкции при ЦаЦ] = <[а+п, а2\\, [¿¡Гц, а~2{\) и ИЬ = <[«+!2, а12], [а"|2, а'гг]) имеет вид

||а|| = ([а+п© а а2Х © а+22], [оГцФ аК2, а1х@ а~22]) (4)

Для выбора наиболее предпочтительного заключения из множества получаемых заключений на окончательном этапе предлагается переходить от интервальных к точечным значениям истинности Например, к серединам интервалов Далее предпочтение можно строить на основе определенных ранее показателей достоверности и определенности

Переход к интервальным значениям истинности позволяет рассмотреть процедуру накопления свидетельств при взаимоисключающих гипотезах и проблему вывода по правилу МР на основе импликаций с дизъюнктивной пра-

вой частью а —> b\V b2 v v Ъп Соответствующий вывод предлагается осуществлять по следующей схеме

a,a->bivb2v vb„\-vb, ||è,|| = ([0, а+* /+], [а~© Г, 1]) /=1

Т е истинность дизъюнктов принимает только интервальную форму Последующее объединение свидетельств согласно (4) уточняет эти интервалы

Интервальная модель реализована в системе автоматизации правдоподобных рассуждений Heraclit, предназначенной для работы в противоречивых и информационно-дефицитных предметных областях

Пятая глава посвящена применению векторизации истинности для моделирования случайных событий В основе лежит понятие вероятности нестрогого случайного события Данная вероятность является векторной величиной и вычисляется как

P{A) = (JJF+{m,A)p{a)> {т,А)р(т)\ (5)

где F*(а>, А) е [0,1] - мера Истины, a А) е [0,1] - мера Лжи утверждения

F(co, А) - «Элементарное событие m благоприятно для А» или, что то же самое, предиката «со е А» Здесь р(а>) - «обычная» вероятность элементарного события, принадлежащего полной группе событий Q (œ &П) Подобные ситуации возникают в случаях, когда соответствующие элементарные события трудно оценить (субъективно либо объективно) как однозначно благоприятные, либо неблагоприятные с точки зрения А Примером являются рисковые события, если оценивать не только возможный ущерб, но и приобретения от них

Следствием двух форм конъюнкции, дизъюнкции и отрицания в VTF-логиках являются две формы произведения, суммы и противоположного события для нестрогих случайных событий Р(А8сВ) = £ \\F(0, А ) & F С со, В )\р(&) =

ojeQ

iweQ (wefi

P(A8l2B) = ]T \\F(m, A) &2 F (m, В )\\p(co ) =

ffleQ

= < ^[р+(а,А)»Р+(со,В))р(б)), £{F-(a>,A)*F-(a>,B))p(a>))

®eQ <»€ fi

P(AvB) = £ ||Ffo, A)v F(а, В)\p(co) = ¡¡><=n

aeQ <ae Q

P(Av2B) = YÁF(®> F(a>. B)\p(co) =

caeQ

= ( ^{р*(а,А)®Р+(®,В))р(а), ^(р-(т,А)®р-(ф,В))р(а>)),

сое П aeQ

РЫ)= ZhP((0,A)\\p(m) -(^F-(m,A)p(a>), {a,A)p{a))

asQ 1>еП юеП

P(~A) = YÁ~F(m,A)\\p(a) = <1(1-F+(a,A))p{m),^{\-F~ {co,A))p{m))

¿yeQ йеП

При этом первые формы произведения и суммы обобщают произведение и сумму классической теории вероятности, а вторые их формы специфичны только для векторной вероятности Обе формы противоположного события при переходе к обычному пониманию вероятности, когда значения F*{a>, А) и F"(co, А) принимают совместно значения 0 и 1 либо 1 и 0, превращаются в одно и то же противоположное событие в классическом смысле Дополнительно отметим, что если операции • и Ф удовлетворяют свойству

х + у — х®у + х»у, что справедливо, в частности, для (1)-(3), то выполняются равенства Р(А v ¿3) = Р(А) + Р(В) - Р(А& В) и Р(А v2 В) = Р(А) + Р(В) - Р(А&2 В) Несмотря на векторный характер нестрогих вероятностей их можно сравнивать и анализировать на основе скалярных показателей, подобных тем, что введены для суждений

Ро (А) = Р(А+) ® Р(А~) - определенности, р.п (А) = Р(А+) • Р{А~) - противоречия,

Д; (А) = Р(А+) ® Р(А~) - Р(А+) • Р(А~) или &{А) = \ Р(А+) - Р{А')) - строгости,

¡иа (А) = Р(А+) - Р(А~) - достоверности и т п

Также вводятся отношения правдоподобия и доминирования для нестрогих случайных событий

А> В (А правдоподобнее В), если Р+ (А) > Р+ (В) и Р'{А) < Р'{В), а также

А» В (А доминирует над В), если Р+(А) > Р+(В) и Р~(А) > Р'{В) Если Р+(А) = Р+(В) и Р~(А) = Р'(В), то события А и В эквивалентны Для нестрогих случайных событий вводится отношения предпочтения

А У В (А предпочтительнее В), если ¡ля(А) > а при Ц,(А) = рл{В), если ^(А) > /и.0{Б)

В шестой главе рассматривается приложение предлагаемой теории для формализации множеств с неопределенным и противоречивым содержимым (:нестрогих множеств) Основой является векторное представление истинности предиката «х е А»

Определение 3 Нестрогим подмножеством А универсального множества Uназывается множество упорядоченных пар {к,||м||^}, где ueU, а ||м||^е[0,1]" - векторный показатель принадлежности элемента и подмножеству А

Вектор \\и\\А будем интерпретировать как истинность утверждения «иеА» в некоторой ^"-логике Тогда каждый из компонентов иА' вектора ||и||л=(и.Д ,и") характеризует истинность этого утверждения по тому или иному аспекту В случае -логик нестрогие множества задаются парами {и, <и/, и/")}, где и/ - степень согласия (Истина), а и/ - несогласия (Ложь) с указанным утверждением Для нестрогих множеств, получаемых в рамках Ftf-логик, предложен специальный термин сверхнечеткие множества Нестрогое множество А является пустым, если

V ме[/ (||м||4 = (1т/, , linf))

Обозначим его традиционным символом 0 {логический инфинумом hnf есть О для позитивных и 1 для негативных аспектов истинности) Нестрогое множество А совпадает с универсальным, если

V иеU(||и|и = (Isup', , Isup") ),

{логический супремумом Isup есть 1 для позитивных и 0 для негативных аспектов истинности)

Важным понятием теории нечетких множеств является понятие носителя, под которым подразумевается множество (в классическом смысле) всех элементов универсума, для которых /¿(и) > 0 Носителем нестрогого множества А {эирр А ) назовем множество вида

Также обобщением на рассматриваемый случай введены известные в теории нечетких множеств понятия верхней и нижней границы нестрогого множества, нестрогого синглтона, множества уровня, а-сечения и т п Легко вводятся отношения между множествами

Определение 4 Нестрогое множество А является подмножеством нестрогого множества В (В включает А А с: В), если У г (иА' <ь Чв), где >/. - отношение логического порядка, означающее, что иА' > ив для позитивных и щ1< щ' для негативных аспектов истинности

Определение 5. Нестрогое множество А является субдоминантой нестрогого множества В (соответственно В доминирует над А А сс В), если

Определение 6 Нестрогое множество А равно нестрогому множеству В (А = В), если \/г (иА' = ив')

Также вводятся понятия нестрогого отношения и декартова произведения двух нестрогих подмножеств универсумов 11] и и-г Так, декартовым произведением АхВ нестрогих подмножеств А с; Ь\ и 5 с ^ названо нестрогое подмножество декартова произведения универсальных множеств С/]Х{/2 с функцией принадлежности Ц^,и21 АхВ = (и{ л и\, м,2 л и\, , и" л и2), где

Оно легко обобщается на случай произвольного числа нестрогих подмножеств

На основе двух форм связок конъюнкции, дизъюнкции и отрицания для нестрогих множеств вводятся две формы пересечения, объединения и дополнения

ЬсяеА = {и | иеи, ЦиЦ^ Ф {1т/\ , 1т/)}

и\ *и2, если аспекты позитивные, и\ <£>и'г, если аспекты негативные.

Определение 6 Первой формой пересечения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С = АпВтакое, что

Vz

ис =

\

иА • ив, если 1-й аспект позитивным и'4 ®и'в, если i - й аспект негативный

Vz

Определение 7 Второй формой пересечения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С-Ап2В такое, что

Vz (и'с = и' А • и' в)

Определение 8 Первой формой объединения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С = Avj В такое, что

Г \

\и'А © и'в, если 1-й аспект позитивный иА • и'в, еслиг-й аспект негативный

Определение 9 Второй формой объединения двух нестрогих множеств А и В назовем множество С = A kj2 В такое, что

Vz (и'с = m'a © и'в)

Для обеих форм пересечения и объединения справедливы свойства АглВ с А, А ç= А и В и Лг>2.В qç.A, A çç Аи2В

Важную роль в теории нечетких множеств играют также операции концентрирования и растяжения множества, которые основаны на степенных функциях /Ua(u) (Цл(и))к и /и^и) -» (MA(u)f\где Цл(и) - степень принадлежности элемента и множеству А Однако для нестрогого случая, в первую очередь для сверхнечетких множеств, эти функции не обеспечивают переход от сверхнечетких к нечетким множествам при введении связи и/ + иА~ = 1 В связи с этим для концентрирования и растяжения нестрогих множеств предлагается пользоваться следующими выражениями

/■ , , (и'Л'",если аспект и' позитивный, fcon(uA) = \ Д

{(и4) ,если аспект и негативный,

- для концентрирования и

г,,, 1 \ ,ecim аспект и' позитивный,

fdil(u'A) = V А\

[ (и'А) И,если аспект и' негативный,

- для растяжения

Здесь х'к - к-кратное применение операции композиционного умножения, а хвк - операции композиционного сложения со свойствами х»х<хъх®х>х Это, например, функция (2)

Модели нестрогих случайных событий и нестрогого множества позволяют эффективно учесть субъективные факторы в оценке принадлежности элемента (элементарного события) соответствующему множеству, принимая в внимание не только достоверность соответствующих предикатов, но и их информационную подкрепленность

В седьмой главе диссертации представлены приложения разработанных в диссертации моделей к различным предметным областям распознаванию образов, анализу рисков, обработке результатов социологических исследований, экспертному оцениванию, оценке случайных временных рядов.

Распознавание образов представлено следующей задачей Пусть имеется некоторый объект О, описываемый системой признаков Аь А2, , А„, со значениями из множества {0, 1} Также имеется система датчиков 1)ч, где /=1, (1<^<и)иу=1, , 7(г) (Дг) > 1), устанавливающих факт наличия или отсутствия I -го признака, причем каждый датчик настроен на один признак, но каждый признак может устанавливаться более чем одним датчиком (число датчиков для I -го признака задает величина Яг)) С каждым датчиком свяжем, в свою очередь, скалярную меру доверия к его показаниям Ту е [0, 1] Кроме того, имеется некоторая система продукционных правил

К,а(АьА2, , А,„1, А,+1, , А„) —» А„ «выводящих» одни признаки через другие Требуется установить принадлежность объекта к одному из классов К8, где £ = 1, , б, пользуясь утверждениями о наличии у него соответствующих признаков и классифицирующими правилами

Я/(АЬ А2, , Д„) -» Кг Особенностью данной постановки служит «многоканальность» определения признаков несколько датчиков плюс правила вывода Я,А Как правила, так и показания датчиков могут противоречить друг другу Кроме того, часть данных может быть малодостоверна значения Ту близки к 0 Классификация осу-

ществляется как правдоподобный вывод на основе фактов (показаний датчиков) и правил В качестве примера приведено решение задачи классификации летательного аппарата

Продемонстрируем на этой задаче преимущества предлагаемой модели рассуждений по сравнению с классической и нечеткой Предположим, датчик_1 представил свидетельство^, и датчик_2 предоставил свидетельство_2 Пусть в базе знаний системы имеются фрагмент из трех правил

1) ЕСЛИ получено свидетельство^,

ТО имеется конструктивный_элемент_1,

2) ЕСЛИ получено свидетельство_2,

ТО НЕ имеется конструкгивный_элемент_1,

3) ЕСЛИ имеется конструктивный_элемент_1,

ТО обнаружен летательный_аппарат_1

Для простоты считаем показания датчиков и оба правила достоверными Классический вывод в этих условиях приведет к результату «имеется конструктив-ный_элемент_1 И НЕ имеется конструктивный_элемент_1», тек противоречию Нечеткий вывод - к результату «имеется конструктивный_элемент_1 (истинность = 1)» и результату «НЕ имеется конструктивный_элемент_1 (истинность = 1)», те к нарушению условия ||а|| + ||-1й|| = 1 Обе ситуации требуют вызова специальных процедур для их разрешения, которые требуют дополнительных вычислительных ресурсов и могут не привести к результату Предлагаемая в диссертации модель рассуждений без каких-либо дополнительных процедур даст промежуточный результат «имеется конструктивный_элемент_1 (истинность = (1, 1))» и окончательный результат «обнаружен летатель-ный_аппарат_1 (истинность = (1, 1)» При выводе нескольких альтернативных гипотез система отдаст предпочтение гипотезе с наивысшей достоверностью, а при равных достоверностях - гипотезе с наибольшей определенностью Так, например, из двух альтернатив «летательный_аппарат_1 (истинность = (1, 1))» и «летательный_аппарат_2 (истинность = (0 5, 0 5))» предпочтение будет отдано первой При необходимости может быть проанализирована и причина противоречия

Приложение теории Ктр-логик к социологическим исследованиям представлено на примере обработки результатов опроса общественного мнения о состоянии криминогенной обстановки в Иркутской области и оценке деятельности областных органов внутренних дел, а также других государственных и общественных институтов Опрос ежегодно проводится Всероссийским НИИ МВД России в субъектах Российской Федерации, включая Иркутскую область Опросный лист содержит 36 вопросов, часть из которых предполагает неоднозначность ответов в форме «да», «нет», «затрудняюсь ответить» В нем допускаются также варианты частичной уверенности в ответе Например, УДОВЛЕТВОРЕНЫ ЛИ ВЫ МЕРАМИ, ПРИНЯТЫМИ ПО ПОВОДУ ВАШЕГО ОБРАЩЕНИЯ (в милицию)? Варианты ответов 1 - полностью удовлетворен (а), 2 - частично удовлетворен (а), 3 - не удовлетворен (а), 4 - затрудняюсь ответить Рассматривая вопрос как утвердительное суждение типа «Население территории удовлетворено мерами, принятыми по поводу своего обращения в милицию», соответствующие ответы можно рассматривать, как свидетельства за либо против него для случаев 1 и 3 и как свидетельства одновременно «за» и «против» для случая 2 Для удобства пользования при анализе социологических опросов, значения компонентов вектора истинности приведены к интервалу [0, 100]% На основе полученных векторов, пользуясь показателями определенности, противоречия, достоверности, строгости и т д можно оценить соответствующие показатели и для результатов опроса В диссертации обработаны результаты такого опроса, проведенного ВНИИ МВД России на территории Иркутской области в 2005 г

Приложение разработанной теории к области анализа рисков обусловлено тем, что рисковые события можно рассматривать как нестрогие случайные события Считая позитивный компонент нестрогой вероятности показателем неблагоприятности соответствующего случайного события, а ее негативный компонент - показателем благоприятности, риск в целом рассматриваем как векторную величину, оценивающую обе стороны явления В качестве примера

можно рассмотреть риски, связанные с изменением уровня воды в реке Напри-

27

мер, нестрогая вероятность экономических потерь (ЭП), связанных с изменением уровня воды, может быть вычислена по формуле

Р(эп) = (^(Аэпми),^-^ эп)р(И)),

А А

где Р^(к, ЭП) - приведенная к шкале [0, 1] оценка «вредных» последствий достижения рекой уровня к, а Р~(к,ЭП) - аналогичная оценка «полезных» последствий (пользуемся дискретными отсчетами к) То есть явление рассматривается и как опасное, несущее риск (позитивный аспект нестрогой вероятности) и как (возможно) полезное (негативный аспект нестрогой вероятности) Если кроме экономических потерь необходимо принять во внимание и социальные потери (гибель людей), то совокупный риск изменения уровня воды вычисляется как вторая форма суммы двух нестрогих случайных событий

Р(ЭП у2СЯ) = <£ (К ЭП) Ф F+ (к, СП))р(к),^(р~(К ЭП) е 0 )р{Щ )

И к

(социальный риск является «чистым риском» соответствующие события не имеют благоприятных последствий и негативный компонент вектора Р(СП) равен нулю) Если представляет интерес не риск последствий изменения уровня воды «вообще», а, например, риск экономических потерь от паводка (Пв), следует рассчитать нестрогую вероятность первой формы произведения двух событий экономических потерь/приобретений вследствие изменения уровня воды и собственно паводка

Р(ЭП & Пв) = (XПв) ЭП))р{к),^{р-(к,Пв)®р-{к,ЭП))р(к)), й й

где Р(к, Пв) утверждение вида Р(к, Пв) = «Уровень воды к - паводковый»

Данный предикат строгий (принимает значения И = <1, 0) при к > ккр, либо

Л = (0,1) в противном случае), а потому последнее выражение принимает вид

Р(ЭП& Пв) = ( ^РЧЬ,ЭП)р(к), £р(к)+ %р-(к,ЭП)р(к))

и>икр н<ькр и>ькр

Видно, что позитивная часть вектора определяется неблагоприятными экономическими последствиями чрезмерного подъема воды, а негативная - вероят-

ностью недостижения водой критической отметки ккр плюс благоприятными последствиями такого подъема, если он все же произойдет

В контексте анализа рисков вероятность первой формы противоположного нестрогого случайного события Р{-Л) интерпретируется как антитеза риску

- «фарт», а вторая - Р{~А) - как показатель отсутствия риска

В приложении, связанном с экспертным оцениванием, рассмотрена методика векторного оценивания экспертами целесообразности финансирования разнообразных целевых программ Методика рассмотрена в связи с задачей оптимального распределения финансов по целевым программам пожарной безопасности на основе кусочно-линейного критерия вида

у( 0 = тт{а1х1 (?),а2Х2 (0; ,<хтхт(Г)}, где а, (а, >0)- экспертно-задаваемые показатели важности программы, а х, (/)

- локальные критерии их эффективности, имеющие стоимостное выражение Мнения экспертов следует учитывать не только при выборе показателей а„ но и при формировании самого критерия у{1) Проблемой является то, что не только мнения разных экспертов могут противоречить друг другу, но и каждый отдельный эксперт может иметь противоречивое отношение к той или иной программе В рамках развиваемой теории такое оценивание может быть представлено вектором (а+,а~), где величина а+ выражает степень уверенности эксперта в необходимости финансирования программы, а а-- в необходимости отказа от нее Все оценки считаем принадлежащими интервалу [0,1] (те

а',аГ е[0,1]) В рамках методики эксперту предлагается выбрать по одной оценке из двух наборов «финансировать крайне необходимо» (а* =1), «финансировать» {а* =0,75), «финансирование возможно» (а* =0,5), «нет мнения в пользу» (а* =0) - позитивный набор, и «финансирование возможно, но вряд ли целесообразно» (а* =0,25), «есть сомнения в целесообразности финансирования» (<я~ = 0,25), «финансирование нецелесообразно» (а~ = 0,5), «не

финансировать» (<яу =0,75), «не финансировать ни при каких обстоятельствах» {а~} =1); «нет мнения против» (а~ = 0) - негативный набор Суммарное

значение оценок экспертов вычисляется как среднее арифметическое частных оценок отдельных экспертов

1 т 1 т

Значения а* и а ~ отражают частное мнение у-го эксперта по г-й программе В

целом следует придерживаться следующей схемы формирования критерия у(1).

Если определенность низкая, то программу следует отправить на дополнительную экспертизу, иначе

- если достоверность положительна и выше некоторого порога, программа включается в перечень про1рамм, подлежащих финансированию,

- если достоверность отрицательна и ниже некоторого порога, программа исключается из перечня,

- если достоверность близка к нулю (случай значительного противоречия в оценках экспертов) решение о включении/невключении в перечень принимается индивидуально

Значения показателей а, далее устанавливаются на основе меры достоверности или пары мер достоверности и определенности

Применение теории векторных логик к задаче анализа случайных временных рядов (ВР) рассматривалось С Н Нечуйвитером (МФТИ) ВР - это последовательность (возможно бесконечная) объектов, которая порождается некоторым процессом (генератором) На практике, интерес представляют конкретные сценарии поведения генератора Нечуйвитером введен трехкомпо-нентный вектор оценки меры возможности перехода генератора от сценария к сценарию, где первый компонент выражает меру устойчивости перехода в пределах выбранного сценария второй - меру неустойчивости (переход генератора к другому сценарию), третий - меру устойчивости пребывания генератора в одном из сценариев из множества и \ 5, где и совокупность всех возможных сценариев На основе этой меры введены показатели достоверности и устойчи-

вости пребывания генератора в выбранном состоянии и т д Использование векторной меры доверия позволило сразу (не проводя расчетов для всех возможных сценариев) оценивать возможность реализации конкретного сценария по сравнению со всей их совокупностью

Восьмая глава посвящена описанию программных систем, в которых реализована защищаемая теория Это система разработки электронных учебных курсов TeachLab CourseMaser, система разработки программ автоматизированного тестирования TeachLab CourseMaser и система автоматизированных рассуждений Heraclit Программы работают в ОС Windows и зарегистрированы в Роспатенте

В системах TeachLab CourseMaser и TeachLab CourseMaser векторное оценивание истинности реализовано в алгоритмах адаптивного тестирования Под адаптивностью понимается способность программы выстраивать набор тестов таким образом, чтобы общая значимость заданий, с точки зрения глубины усвоения материала, была примерно одинакова для каждого тестируемого Значимость заданий устанавливается разработчиком теста Она характеризует насколько знание ответа на тот или иной вопрос важно с точки зрения преподавания В соответствии с векторным оцениванием, правильные ответы увеличивают значение позитивного (А+), а неправильные - негативного (А~) аспектов вектора истинности (А+, А~) утверждения о том, что «Обучаемый освоил предмет» Накопление информации идет до тех пор, пока определенность, вычисляемая как /¿0 (А) = А + ФА' = min(l, А+ + А ~), не достигнет заданного порога Достоверность цд{А)= А+ - А~ служит для перевода векторной оценки,

например, в более привычную - пятибалльную Будучи встроенной в систему автоматизированного обучения, такая схема тестирования позволяет более гибко управлять ходом обучения, обнаруживая не только факт знания или незнания предмета, но и вскрывая противоречивость знаний, когда обучаемый имеет как хорошие знания так и серьезные пробелы в них

Система Heraclit предназначена для разработки систем автоматизированных рассуждений для предметных областей с неполной и противоречивой информацией Модель знаний - продукционная, правые части продукций могут

31

содержать дизъюнкцию Процедура вывода включает элементы формального и содержательного выводов в рамках исчисления высказываний Истинность фактов и продукций может представляться как в «точечной», так и в «интервальной» форме Используемые правила вывода С-МР2, НИ и ПС (со второй формой дизъюнкции) Отношение предпочтения основано на показателях достоверности и определенности В выводе участвуют только те факты и правила, достоверность и определенность которых выше заранее задаваемого порога Система апробирована на базе знаний по наладке электрооборудования Она показала способность учитывать совокупную силу подтверждающих и опровергающих свидетельств при диагностировании причин неисправности Диагностирование на моделях рассуждений, основанных на классической и нечеткой логике, такой возможностью не обладает

В Заключении перечисляются основные результаты диссертационного исследования В приложение вынесены доказательства некоторых теорем

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 Разработана теория Ктр-логик Обосновано векторное представление истинности, разработан формальный аппарат векторных логик

Векторное представление истинности эффективно при использовании многофакторных суждений, истинность которых определяется совокупностью факторов (показаний приборов, свидетелей, оценок и мнений экспертов и т п), которые с различным весом подтверждают или опровергают суждения В качестве весовых значений могут выступать их значимость, надежность, убедительность и иные субъективные и объективные показатели

В Гтр-логиках существуют по две формы связок конъюнкции, дизъюнкции и отрицания Первые формы конъюнкции и дизъюнкции обобщают классическую и нечеткую конъюнкцию и дизъюнкцию, а вторые формы характерны только для векторного представления истинности и могут использоваться для объединения свидетельств Две формы отрицания носят смысл отрицания как

перестановки аргументов «за» и «против» (первая форма) и отрицания как незнания (вторая форма) Они различаются в векторном случае Введены отношения правдоподобия и доминирования между суждениями Предложены скалярные меры для оценки определенности, противоречивости, строгости, достоверности и других свойств суждений

Нечеткие логики являются частным случаем Ктр-логик, если справедливо соотношение а + а - 1

2 Разработана модель правдоподобных рассуждений Введено понятие содержательного и формального вывода в К^-логиках и сформулированы правила вывода

Для содержательного вывода предложены схемы расчета истинности заключений, сделанных по правилам modus ponens и modus tollens Также введено правило совмещения для объединения свидетельств Рассмотрены случаи «точечных» и «интервальных» значений вектора истинности Во втором случае предложена схема расчета истинности заключений для импликации с дизъюнктивной правой частью

Для реализации формального вывода введено понятие предложения, устойчивого в некотором подмножестве множества допустимых значений истинности ЛТР Предложено рассматривать четыре основных подмножества Лт -область правдоподобных суждений, Лр - область неправдоподобных суждений, Лс - область противоречивых суждений и Ли - область неопределенных суждений, а также их подобласти Лт+с Лт, Лр+с Лр, Лс+с Лс и Ли+с Ли Доказано, что множества предложений, устойчивых в этих областях, не пусты На основе отношений правдоподобия и доминирования для формального вывода сформулирован соответствующий вариант правила modus ponens Доказано существование правша подстановки, аналогичного классическому

Отмечено, что «полномасштабный» вывод в данном классе логик включает в себя этапы и содержательного, и формального выводов

3 Разработана и исследована модель нестрогих случайных событий Сформулировано понятие нестрогого случайного события и введены основные операции и отношения над ними

Установлено, что для нестрогих случайных событий существуют по две формы произведения и суммы, и две формы противоположного события, а также отношения правдоподобия и доминирования между нестрогими случайными событиями По аналогии с Ктр-логиками введены числовые характеристики нестрогих случайных событий противоречивости, определенности, строгости, достоверности Установлено, что рисковые события могут квалифицироваться как нестрогие случайные события

Показано, что классическая теория вероятности может рассматриваться как частный случаи теории нестрогих случайных событий, если предикат принадлежности элементарного события а случайному событию А всегда строго истинный или строго ложный

4 Разработана и исследована модель множеств с неопределенным и противоречивым содержанием Сформулировано понятие нестрогого множества, введены основные понятия, операции и отношения для нестрогих множеств

Определено декартово произведение нестрогих множеств На основе логических операций и отношений Гтр-логик для них определены по две формы объединения и пересечения, а также определены отношения включения, доминирования и равенства Даны понятия подмножества и субдоминанты нестрогого множества Введены понятия носителя нестрогого множества, его верхней и нижней границы, нестрогого синглтона, множества уровня, а-сечения, универсального и пустого нестрогого множества Установлено, что для концентрирования и растяжения нестрогих множеств непригодны степенные функции, используемые в теории нечетких множеств В диссертации для этого предложены степени операций композиционного умножения и сложения соответственно

Показано, что классические нечеткие множества могут рассматриваться как частные случаи нестрогих множеств, если для компонентов соответствующих векторов истинности выполняется соотношение а + а = 1

34

5 Показана возможность практического применения разработанных логико-математических моделей в различных предметных областях Это распознавание образов, социология, анализ рисков, экспертное оценивание, анализ случайных временных рядов

Модели и алгоритмы реализованы также в программных комплексах автоматизированного обучения TeachLab CourseMaster, автоматизированного тестирования TeachLáb TestMaster и системе автоматизированных рассуждений Нега-clit.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, рекомендованных ВАК•

1 Аршинский Л В. Содержательный и формальный вывод в логиках с векторной семантикой//Автоматика и телемеханика - 2007 -№1 -С 153-162

2 Аршинский Л В Основания векторизации истинности в логико-математических моделях обработки данных // Проблемы управления - 2006 - № 5 - С 63-67

3 Удилов В П, Аршинский Л В, Зиневич С В и др Методика принятия экспертных решений о финансировании программ пожарной безопасности на основе техники векторного оценивания // Пожарная безопасность - 2006 - № 6 -С 85-88

4 Аршинский ЛВ, Пугачев А А Программный комплекс диагностики знаний TeachMaster//Информатика и образование -2002 - №7 - С 68-74

5 Аршинский Л В Применение многозначных логик в задачах анализа и обработки данных // Вестник Бурятского университета Серия 13 Математика и информатика -2006 -Вып 3 -С 3-11

6 Аршинский Л В О полноте векторного представления истинности в логиках с векторной семантикой // Вестник Иркутского государственного технического университета -2006 -№ 4(28) -Т 2 - С 47-49

7 Аршинский Л В Упорядочение суждений в векторных логиках с произвольным числом аспектов истинности // Вестник Иркутского государственного технического университета Сер Кибернетика -2006 - №2(26) - С 126-128

8 Аршинский JIВ Скалярное оценивание суждений в векторных логиках с произвольным числом аспектов истинности // Вестник Иркутского государственного технического университета Сер Кибернетика - 2006 - № 2(26) - С 128-131

9 Аршинский Л В Особенности накопления свидетельств при неточном выводе с использованием векторных логик // Вестник Иркутского государственного технического университета - 2004 - №3 (19). - С. 45-49

10 Аршинский Л.В, Баранов С А Использование техники векторного оценивания в автоматизированной обучающей системе PROCON // Управление в системах Вестник Иркутского государственного технического университета Сер Кибернетика -2000 -Вып 4 - С 64-69

11 Аршинский Л В Моделирование языковых связок «И», «ИЛИ», «НЕ» средствами векторной логики // Управление в системах Вестник Иркутского государственного технического университета Сер Кибернетика - 2000 - Вып 3 -С 12-18

12 Аршинский Л В Нестрогая квантификация // Управление в системах Вестник Иркутского государственного технического университета Сер Кибернетика - 1999 - Вып 2 - С 3-9

13 Аршинский Л В. Использование нестрогого вывода в задачах распознавания // Управление в системах Вестник Иркутского государственного технического университета Сер Кибернетика - 1998 -Вып1 -С 15-21

В других изданиях

14 Аршинский Л В Векторные логики основания, концепции, модели -Иркутск Иркут гос ун-т, 2007 - 228 с

15 Аршинский Л В , Пугачев А А Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «TeachLab TestMaster 2005» в Роспатенте от 10 07 2006, № 2006612429

16 Аршинский Л В Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «Heraclit» в Роспатенте от 7 11 2006, № 2006613062

17 Многозначные логики с векторной семантикой / Аршинский JIВ , ВСИ МВД России- Иркутск, 2003- 46 с Рус- Деп. в ВИНИТИ 13 02 03, №281-В2003

18 Аршинский JIB Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий Аршинский JIВ , ВСИ МВД России - Иркутск, 2004 -35 с - Рус - Деп в ВИНИТИ 06 08 2004, № 1376-В2004

19 Аршинский JIB Методы обработки нестрогих высказываний - Иркутск Изд-во Восточно-Сибирского института МВД России, 1998 -40 с

20 Аршинский JIВ Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий и оценке риска // Проблемы анализа риска - 2005 - Т 2 -№3 -С 231-248

21 Аршинский JIВ Особенности присоединенного вывода с использованием правила modus ponens в логиках V""" // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем -2004 -Вып 1 -С 76-83

22 Аршинский JIВ, Удилов В П Программный комплекс совершенствования системы принятия управленческих решений при организации деятельности ОВД и ГПС // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем -2005 -Вып 2 - С 81-90

23 Аршинский JIВ Многозначные логики с векторной семантикой // Logical Studies - 2004 - № 12 - Режим доступа к журн http //www logic ru/LogStud/12.

24 Аршинский JI В О семантиках классической логики // Logical Studies -2000 -№5 -Режим доступа к журн http //www logic ru/LogStud/05

25 Аршинский JI В Моделирование множеств с противоречиями на основе векторного представления истинности // Идентификация систем и задачи управления Труды VI международной конференции SICPRO'07 - М ИПУ РАН им В А Трапезникова, 2007 - С 716-724

26 Аршинский Л В Использование противоречивых оценок истинности при анализе случайных событий // Идентификация систем и задачи управления Труды V международной конференции SICPRO'06 - Москва ИПУ РАН им В А Трапезникова, 2006 - С 2111-2125

27 Аршинский Л В Интервальное оценивание истинности в системах автоматизированных рассуждений на основе V11"-логик // Идентификация систем и задачи управления Труды IV международной конференции SICPRO'05 - Москва ИЛУ РАН им В А Трапезникова, 2005 -С 1061-1074

28 Аршинский Л.В Логический вывод при принятии решений на основе логик с векторной семантикой // Идентификация систем и задачи управления Труды III международной конференции SICPRO'04 - Москва ИЛУ РАН им В А Трапезникова, 2004 - С 396-412.

29 Аршинский Л В Программная система логического вывода на основе У^-логик // Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании Труды международной конференции - Павлодар ТОО НПФ «ЭКО»,2006 - Т 1 -С 146-150

30 Аршинский Л В Оценивание рисков как нестрогих случайных событий // Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф' Труды VIII Всероссийской конференции - Кемерово Инс-т угля и углехимии СО РАН, 2005 -С 392-405

31 Аршинский Л В Особенности логического вывода в системах принятия решений на основе логик с векторной семантикой // Снежинск и наука - 2003 Современные проблемы атомной науки и техники Труды Международной научно-практической конференции -СнежинскЧел обл изд-воСГФТА,2003 -С 113114

32 Аршинский Л В Векторное представление истинности в управляющих системах, основанных на правилах // Сб трудов Первой международной конференция по мехатронике и робототехнике МиР'2000 - СПб НПО Омега БФ Омега, 2000 - т2 - С 27-31

33 Аршинский Л В Векторное представление истинности в проблеме искусственного интеллекта // Интеллектуальные системы и информационные технологии управления Труды Международной научной конференции - СПб Изд-во СПбГТУ, 2000 - С 155-158

34 Аршинский Л В Принципы построения нейронных сетей для моделирования операций векторной логики // Нейроинформатика и ее приложения Мате-

риалы УШ Всероссийского семинара. / Под общей ред. А.Н.Горбаня. - Красноярск: ИПЦКГТУ, 2000. - С. 11-12.

35. Аршинский Л.В. Математические модели интеллектуальной обработки неполных и противоречивых данных на основе логик с векторной семантикой // Информационные и математические технологии в научных исследованиях: Труды XI международной конференции. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2006. - Ч. П. - С. 141-152.

36. Аршинский Л.В. Технологам оценивания рисков на основе теории нестрогих случайных событий // Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании: Труды X Байкальской Всероссийской конференции, - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. - 4,1. - С. 281-288.

37. Аршинский Л.В. Оценка истинности взаимоисключающих свидетельств средствами векторной логики Н Информационные и математические технологии: Труды Байкальской Всероссийской конференции. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2004.-С. 188-194.

38. Аршинский Л.В. Особенности формальной дедукции в логиках с векторной семантикой // Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии: Труды Всероссийской конференции. - Иркутск: ИСЭМ СО РАД 2003.-Ч. 1.-С. 197-203.

39. Аршинский Л.В, Об устойчивости аксиом классического исчисления высказываний в логиках с векторной семантикой // Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии: Труды Всероссийской конференции. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2003. - Ч. 2. - С. 236-239.

40. Аршинский Л.В. О применении векторной логики в задачах распознавания И Материалы XII научно-технической конференции ИВАИИ. — Иркутск: ИВАИИ, 2002. - Вып.2. - С. 10-11.

41. Аршинский Л.В., Христюк И.М., Ширяева КК. Контроль знаний по математике с использованием тестов на ЭВМ // Труды Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе. - Иркутск: ИГПУ, 1999. - С. 194-196.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ В ПРОБЛЕМЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРАВДОПОДОБНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

1Л. Проблемы применения принципов противоречия и исключенного третьего в интеллектуальной обработке данных.

1.2. Многозначные логики Васильева, Лукасевича и Поста.

1.3. Другие системы многозначных логик.

1.4. Нечеткие множества, нечеткие логики, нечеткий вывод.

1.5. Правдоподобные рассуждения на основе вероятностей. Теория свидетельств Шафера.

1.6. Выводы по главе.

ГЛАВА 2. ДВУХАСПЕКТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ЛОГИКИ С АСПЕКТАМИ.

ИСТИНА И ЛОЖЬ.

2.1. Основания к векторизации истинности.

2.2. Понятие вектора истинности.

2.3. Композиционное сложение и композиционное умножение.

2.4. Отношения между высказываниями. Сравнение векторов истинности.

2.5. Операции для работы со сложными суждениями.

2.8. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ РАССУЖДЕНИЙ НА ОСНОВЕ VTF-ЛОГИК.

3.1. Формальная и содержательная дедукции.

3.2. Виды импликаций в логиках VTF.

3.3. Содержательный вывод в Уп'-логиках на основе правил modus ponens и modus tollens.

3.4 Объединение свидетельств.

3.5. Формальная дедукция в логиках VTF.

3.7. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ФОРМАЛИЗАЦИЯ РАССУЖДЕНИЙ ПРИ ИНТЕРВАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИСТИННОСТИ.

4.1. Интервальность истинности при нестрогом выводе.

4.2. Операции с интервальными значениями истинности.

4.3. Присоединенный вывод при интервальных значениях истинности посылок.

4.5. Объединение свидетельств.

4.6. Вывод на импликациях с дизъюнктивной правой частью.

4.7. Выводы по главе.

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ЛОГИК ДЛЯ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ.

5.1. Вероятность простого нестрогого события.

5.2. Вероятность сложного нестрогого события.

5.3. Свойства нестрогих вероятностей.

5.4. Меры над нестрогими вероятностями.

5.5. Сравнение нестрогих вероятностей.

5.6. Выводы по главе.

ГЛАВА 6. ФОРМАЛИЗАЦИЯ НЕСТРОГИХ МНОЖЕСТВ.

6.1. Основные понятия и определения.

6.2. Отношения между нестрогими множествами.

6.3. Операции над нестрогими множествами.

6.4. Выводы по главе.

ГЛАВА 7. ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ ВЕКТОРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИСТИННОСТИ.

7.1. Распознавание образов.

7.2. Социологические исследования.

7.3. Анализ рисков.

7.4. Экспертное оценивание.

7.5. Анализ случайных временных рядов.

ГЛАВА 8. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОЛОГИИ ВЕКТОРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИСТИННОСТИ.

8.1. Инструментальная среда разработки электронных учебных курсов

ТеасЬаЬ Соиг8еМа81ег.

8.2. Инструментальная среда разработки тестирующих программ

ТеаскЬаЬ TestMaster.

8.3. Инструментальная среда разработки систем автоматизированных рассуждений НегасШ.

Актуальность проблемы. Вторая половина XX в. охарактеризовалась стремительным развитием комплекса научно-технических дисциплин, объединенных общим термином «информационные технологии». Одно из ключевых мест в нем занимают технологии искусственного интеллекта (ИИ) (о месте и роли ИИ в общем комплексе информационных технологий см. напр. [105]). Начав формироваться в 50-х годах прошлого века практически одновременно с вычислительными технологиями, эта проблема в 70-е годы обрела полноценное содержание, включающее в себя такие важные и актуальные на сегодня направления, как распознавание образов, экспертные системы (ЭС), системы поддержки принятия решений, автоматизированное доказательство теорем и т.п. В свою очередь в области ИИ важное место оказалось отведено неклассическим логическим исчислениям. Это связано с тем, что попытка построить, например, консультирующие и экспертные системы натолкнулась на принципиальные трудности, связанные со сложностью и неоднозначностью предметных областей, для которых они разрабатывались. Классическая логика - основа всей современной логики, да и подавляющего большинства научных методологий - оказалась мало приспособленной к работе со сложной, неоднозначной, неполной и противоречивой информацией, которая характерна для многих прикладных задач. Она вполне пригодна (и зачастую единственно пригодна) для получения четких, ясных и недвусмысленных ответов на такие же четкие и ясные вопросы, что характерно, скажем, для автоматизированного доказательства теорем. Однако попытка использовать методы классической логики для моделирования «реальных», а не «идеальных» предметных областей наталкиваются на необходимость оперировать неточными и противоречивыми данными.

Еще Аристотель, разделяя «диалектические умозаключения» и «высказывающую речь» [8], считал первые уместными для обыкновенной жизни, а вторую - для получения «абсолютного знания» о ней. Использование диалектики, согласно ему, позволяет вести споры и строить правдоподобные (он также пользовался термином «эвристические») умозаключения на основе ограниченного и недостаточного представления о мире, характерного для «обычной жизни». В то же время «высказывающая речь», могущая, по его мнению, быть только истинной или ложной, должна «нести знание». В течение столетий эта концепция хорошо работала в науке и воспринималась как единственно верная. Особенно в таких абстрактных ее областях, как математика. Однако уже тогда возникали сложности. Так, до сих пор активно обсуждаются такие древние логические парадоксы, как антиномии Зенона, парадоксы «Лжец», «Куча», «Протагор и Еватл» и т.п. [89] На рубеже Х1Х-ХХ вв. к ним добавились парадоксы теории множеств: Рассела, Кантора, Бурали-Форти, которые затронули уже основания математики [108]. Развитие экспериментальных наук породило индуктивную логику, выводы которой являются не точными, а только правдоподобными (см. напр. [109]).

Предметной областью математического моделирования, как правило, являются технические системы, социально-экономические процессы, природные явления. Модели представляют выраженные языком математики приближенные описания того класса явлений реального мира, для анализа которых они создаются. Объективность моделируемых предметных областей, их независимость от мнений, суждений, оценок исследователей, статичность и однозначность управляющих ими законов привели к возникновению в области математического моделирования набора концептуальных схем постановки и решения проблем (парадигм), основными из которых являются следующие.

1. Парадигма точности. Приближенность моделей есть результат их несовершенства вследствие неполноты наших знаний. Повышая качество моделирования, учитывая факторы, которыми прежде пренебрегали или о влиянии которых не догадывались, можно бесконечно уточнять модель для адекватного описания действительности.

2. Парадигма непротиворечивости. Моделируемые сущности и отношения между ними не должны противоречить друг другу.

3. Парадигма полноты данных. Все утверждения о сущностях и отношениях предметной области полностью обоснованы соответствующими данными и достоверны в рамках конкретной модели.

Эти парадигмы характерны для любой отрасли знания, связанной с изучением объективной реальности. В 60-70 гг XX века развитие науки привело к её проникновению в такие области, где значимыми являются субъективные факторы, например: мнения экспертов, субъективные оценки надежности и достоверности показаний приборов, полученные в нештатных ситуациях, свидетельства очевидцев и т.д. С проблемой субъективного приходится сталкиваться в ИИ, социологии, дидактике, при разработке систем управления организацией, производством, всюду, где значимую роль играет человеческий фактор. В этих областях вышеприведенные парадигмы не работают или применимы с ограничениями. Требуется разработка новых моделей и методов для решения этих классов задач. В настоящее время исследователями предложен ряд подходов к формализации и учету субъективных факторов в различных областях деятельности [143], однако работы в этом направлении далеки от завершения. Таким образом, исследование и разработка математических моделей обработки неполных и противоречивых данных, позволяющих учесть влияние субъективных факторов в сфере принятия решений, экспертном оценивании и в других областях человеческой деятельности, является актуальной научной и практической задачей.

Одним из основных инструментов моделирования неполноты и противоречивости данных являются многозначные, главным образом нечеткие логики и их аналоги: теория вероятности, теория свидетельств Г. Шафера, теория нечетких множеств Л. Заде, нашедшие применение в таких областях, как принятие решений, экспертное оценивание, интеллектуальная обработка данных. В основе этих подходов лежит использование показателей, характеризующих степень уверенности субъекта в некотором утверждении, или вероятность того, что суждение может быть истинным. Показатели имеют вид числа, лингвистического значения или числового интервала. Во всех подобных моделях требуется согласование вкладов подтверждающих и опровергающих свидетельств в показатель, что ограничивает возможности обработки и анализа неполных и противоречивых данных. В связи с эти необходима разработка новых логик, которые и предлагаются в данной работе.

Научная новизна работы. В диссертационной работе предлагается новый класс логик, названных «векторными», основанный на введенном автором понятии вектора истинности. Разработана теория векторных логик, согласно которой истинность суждений об объектах, явлениях, процессах и отношениях предметной области описывается вектором с независимыми компонентами (Истина; Ложь). Принимается, что значения компонентов принадлежат отрезку [0,1] (имена компонентов названы аспектами истинности). Значение аспекта Истина формируется мнениями, показаниями приборов, иными субъективными и объективными данными, подтверждающими суждение, а аспекта Ложь - отрицающими его. Отличительной особенностью предлагаемого в диссертации класса логик (названных Ктр-логиками) и основанных на них логико-математических моделей является то, что вклады подтверждающих и опровергающих данных не следует согласовывать между собой. Это дает возможность оценивать не только степень достоверности суждений, но и степень их информационной подкрепленности (совокупной силы свидетельств, оценок, мнений), строгости, противоречивости и другие характеристики.

Практическая значимость работы. Полученные модели реализованы автором практически в системе автоматизации правдоподобных рассуждений НегасШ, системах автоматизированного обучения и контроля знаний ТеасИЬаЬ CourseMaster и ТеасИЬаЬ TestMaster, методике экспертной оценки целевых программ пожарной безопасности (тема НИР «Разработка научно-обоснованных нормативов сил и средств подразделений ГПС, ПСС государственного учреждения Приморского края»), методике обработки результатов социологических исследований (по договору с ВНИИ МВД России), методике исследования и анализа случайных временных рядов, анализе рисков.

Объектом диссертационного исследования является разработка и ис

Тлт следование V -логик и математических моделей, основанных на этих логиках.

Предмет исследования - изучение свойств указанных логик и применение теории К1Т-логик для описания предметных областей, характеризующихся недостатком и противоречивостью сведений об объектах и отношениях предметной области.

Целью диссертационного исследования является разработка теории Ктр-логик, исследование и разработка на ее основе математических моделей обработки неполных и противоречивых данных и оценка практической применимости этих моделей в прикладных областях.

Задачами диссертационного исследования являются:

1. Разработка фундаментальных основ теории КТР-логик. В частности, обоснование перехода к векторному представлению истинности в случае, когда обрабатываемые сведения поступают из разных источников, противоречат друг другу, имеют различный вес и значимость, определение основных опера

ТР ций и отношений над суждениями в V -логиках, построение правил вывода, получение числовых характеристик противоречивости, обоснованности и других свойств суждений.

2. Разработка на основе защищаемой теории математических моделей обработки неполных и противоречивых данных, в частности:

- моделей рассуждений в условиях неполноты и противоречивости данных;

- модели нестрогих случайных событий, позволяющей вводить субъективные оценки принадлежности элементарного события случайному событию,

- модели множеств с неопределенным и противоречивым содержимым (нестрогие множества), учитывающей субъективные точки зрения на принадлежности элемента некоторому множеству.

3. Изучение свойств разработанных моделей и оценка их положения среди известных подходов к анализу и обработке неполных и противоречивых данных. В первую очередь это нечеткие логики, теория нечетких множеств и теория вероятностей.

4. Оценка возможностей применения данной теории в научных и технических задачах, характеризующихся противоречивостью и неполнотой используемых сведений. Наибольший интерес при этом представляют такие области как формализация рассуждений, распознавание образов, анализ рисков, анализ случайных временных рядов, экспертное оценивание, анализ результатов социологических исследований, автоматизированное обучение.

Автор выносит на защиту теорию КТР-логик и основанные на ней модели формализации правдоподобных рассуждений, модель нестрогих случайных событий и модель множеств с неопределенным и противоречивым содержимым.

Структура и объем диссертации. Во введении дается краткое описание проблемы и выполненного диссертационного исследования. В первой главе предлагается обзор состояния дел в области моделирования правдоподобных рассуждений. Во второй главе излагаются обоснования развиваемого в диссертации аппарата векторных логик с аспектами Истина и Ложь. Здесь вводятся основные понятия, операции и отношения между суждениями. В третьей главе рассмотрен вопрос моделирования логического вывода на основе рассматриваемых логик. Четвертая глава посвящена развитию данного аппарата на случай интервального представления истинности. Здесь же затронута проблема моделирования рассуждений на продукциях с дизъюнктивной правой частью. В пятой и шестой главах излагается материал, связанный с приложением идеи векторизации истинности к описанию случайных событий и множеств с неопределённым и противоречивым содержимым (нестрогих множеств). Седьмая глава посвящена приложениям данной методологии к распознаванию образов, анализу рисков, социологии, оценке случайных временных рядов и т.п. В восьмой главе описана реализация моделей и алгоритмов в программных системах, предназначенных для разработки компьютерных обучающих и тестирующих программ ТеаскЬаЪ CourseMaster и ТеасЫаЪ

TestMaster, и среде для разработки систем автоматизированных рассуждений Heraclit. В Заключении перечисляются основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту. Перечень использованной литературы дан в разделе Литература. В Приложение вынесены доказательства некоторых теорем.

Апробация работы. Работа была представлена и обсуждалась на 3-й научно-методической конференции Восточно-Сибирского института МВД России (Иркутск, 1998), 4-й научно-методической конференции ВСИ МВД России (Иркутск, 1999), Всероссийском семинаре «Новые информационные технологии в науке, технике и образовании» (Иркутск, 1998), Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 1999), Всероссийском семинаре «Современные подходы к анализу и обработке информации» (Иркутск, 1999), Международной конференции «Бизнес-образование в условиях глобализации мировых процессов» (Иркутск, 1999), Первой международной конференция по мехатронике и робототехнике «МиР'2000» (С.-Петербург, 2000), Международной научной конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии управления» (Псков, 2000 г.), Всероссийском семинаре с международным участием «Современные подходы к интеграции информационных технологий» (Иркутск, 2000), Международной конференции «Математика, информатика и управление. МИУ'2000» (Иркутск, 2000), VIII Всероссийском семинаре «Ней-роинформатика и ее приложения» (Красноярск, 2000), XII научно-технической конференции Иркутского высшего авиационно-инженерного института (Иркутск, 2002), Всероссийской конференции «Информационные технологии в энергетике, экономике, экологии» (Иркутск, 2002), Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука - 2003. Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск Челябинской обл., 2003), Всероссийской конференции «Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии» (Иркутск, 2003), III Международной конференции

Идентификация систем и задачи управления. 81СР110'04» (Москва, 2004), Всероссийской конференции с международным участием «Информационные и математические технологии» (Иркутск, 2004), IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления. 81СРЯО'05» (Москва, 2005), Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании» (Северобайкальск, 2005), V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления. 81СР1Ю'06» (Москва, 2006), Всероссийской конференции «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы - ФАМ'2006» (Красноярск, 2006, ИВМ СО РАН), Международной конференции «Информационные и математические технологии в научных исследованиях» (Иркутск, 2006), Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Павлодар, Казахстан), VI Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления. 81СР1Ю'07» (Москва, 2007)и других.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликована 41 работа, включая 1 монографию, 38 статей и материалов конференций, 2 свидетельства об официальной регистрации программ. Основные результаты диссертации опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Внедрение результатов диссертации. Разработанные в диссертационном исследовании модели и алгоритмы внедрены в практическую деятельность Центра стратегических исследований гражданской защиты МЧС России, Центра специальной связи и информации ФСО России по Иркутской области, Сибирского филиала Всероссийского НИИ противопожарной обороны МЧС России, Филиала Всероссийского НИИ МВД России по Восточной Сибири, Восточно-Сибирского института МВД России, в учебную деятельность Иркутского государственного технического университета и Иркутского государственного университета путей сообщения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования получены следующие основные результаты.

1. Разработана теория VTF-логик. Обосновано векторное представление истинности, разработан формальный аппарат векторных логик.

Векторное представление истинности эффективно при использовании многофакторных суждений, истинность которых определяется совокупностью факторов (показаний приборов, свидетелей, оценок и мнений экспертов и т.п.), которые с различным весом подтверждают или опровергают суждения. В качестве весовых значений могут выступать их значимость, надежность, убедительность и иные субъективные и объективные показатели.

В КТР-логиках существуют по две формы связок конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Первые формы конъюнкции и дизъюнкции обобщают классическую и нечеткую конъюнкцию и дизъюнкцию, а вторые формы характерны только для векторного представления истинности и могут использоваться для объединения свидетельств. Две формы отрицания носят смысл отрицания как перестановки аргументов «за» и «против» (первая форма) и отрицания как незнания (вторая форма). Они различаются в векторном случае. Введены отношения правдоподобия и доминирования между суждениями. Предложены скалярные меры для оценки определенности, противоречивости, строгости, достоверности и других свойств суждений.

Нечеткие логики являются частным случаем ГТР-логик, если справедливо соотношение <3++if= 1.

2. Разработана модель правдоподобных рассуждений. Введено понятие

TF содержательного и формального вывода в V -логиках и сформулированы правила вывода.

Для содержательного вывода предложены схемы расчета истинности заключений, сделанных по правилам modus ponens и modus tollens. Также введено правило совмещения для объединения свидетельств. Рассмотрены случаи «точечных» и «интервальных» значений вектора истинности. Во втором случае предложена схема расчета истинности заключений для импликации с дизъюнктивной правой частью.

Для реализации формального вывода введено понятие предложения, устойчивого в некотором подмножестве множества допустимых значений ис

TP т тинности Л . Предложено рассматривать четыре основных подмножества: А

- область правдоподобных суждений; AF - область неправдоподобных суждес и ний; Л - область противоречивых суждений и Л - область неопределенных суждений, а также их подобласти: А с: Л , Л сЛ , Л сz Л и А сЛ , Доказано, что множества предложений, устойчивых в этих областях, не пусты. На основе отношений правдоподобия и доминирования для формального вывода сформулирован соответствующий вариант правила modus ponens. Доказано существование правила подстановки, аналогичного классическому.

Отмечено, что «полномасштабный» вывод в данном классе логик включает в себя этапы и содержательного, и формального выводов.

3. Разработана и исследована модель нестрогих случайных событий. Сформулировано понятие нестрогого случайного события и введены основные операции и отношения над ними.

Установлено, что для нестрогих случайных событий существуют по две формы произведения и суммы, и две формы противоположного события, а также отношения правдоподобия и доминирования между нестрогими случай

TF ными событиями. По аналогии с V -логиками введены числовые характеристики нестрогих случайных событий: противоречивости, определенности, строгости, достоверности. Установлено, что рисковые события могут квалифицироваться как нестрогие случайные события.

Показано, что классическая теория вероятности может рассматриваться как частный случаи теории нестрогих случайных событий, если предикат принадлежности элементарного события со случайному событию А всегда строго истинный или строго ложный.

4. Разработана и исследована модель множеств с неопределенным и противоречивым содержанием. Сформулировано понятие нестрогого множества, введены основные понятия, операции и отношения для нестрогих множеств.

Определено декартово произведение нестрогих множеств. На основе логических операций и отношений КТР-логик для них определены по две формы объединения и пересечения, а также определены отношения включения, доминирования и равенства. Даны понятия подмножества и субдоминанты нестрогого множества. Введены понятия носителя нестрогого множества, его верхней и нижней границы, нестрогого синглтона, множества уровня, а-сечения, универсального и пустого нестрогого множества. Установлено, что для концентрирования и растяжения нестрогих множеств непригодны степенные функции, используемые в теории нечетких множеств. В диссертации для этого предложены степени операций композиционного умножения и сложения соответственно.

Показано, что классические нечеткие множества могут рассматриваться как частные случаи нестрогих множеств, если для компонентов соответствующих векторов истинности выполняется соотношение а + а - 1.

5. Показана возможность практического применения разработанных логико-математических моделей в различных предметных областях. Это распознавание образов, социология, анализ рисков, экспертное оценивание, анализ случайных временных рядов.

Модели и алгоритмы реализованы также в программных комплексах автоматизированного обучения ТеаскЬаЪ CourseMaster, автоматизированного тестирования ТеаскЬаЪ Тея1Ма81ег и системе автоматизированных рассуждений НегасШ.

1. Акимов В.А., Лесных В.В., Раднаев H.H. Риски в природе, техносфере, обществе и экономике. - М.: Деловой экспресс, 2004. - 352 с.

2. Алексеев В.Б. О числе простых базисов в k-значной логике // Дискретный анализ. Вып. 19. Новосибирск, 1971. - С.3-10.

3. Алексеев В.Б., Емельянов Н.Р. Метод построения быстрых алгоритмов в k-значной логике // Матем. заметки. 38, вып. 1, 1985. С.148-156.

4. Алексеев В.Б. О числе функций в некоторых замкнутых классах частичной k-значной логики // Дискретная математика.Т. 1, вып. 1.1989. С.32-42.

5. Алиев P.A., Абдикеев Н.М., Шахназаров М.М. Производственные системы с искусственным интеллектом. М.: Радио и связь, 1990.-262 с.

6. Алиев P.A., Церковный А.Э., Мамедова Г.А. Управление производством при нечеткой исходной информации,- М.:Энергоатомиздат,1991,- 201 с.

7. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.

8. Аристотель. Сочинения. В 4-х т., т. 2. / Ред. З.Н.Микеладзе.- М.: Мысль, 1978.- 687 с.

9. Аристотель. Сочинения. В 4-х т., т. 3 / Вступ. статья и примеч. И.Д.Рожанский,- М.: Мысль, 1981,- 613 с.

10. Аристотель. Сочинения. В 4-х т., т. 4 / Пер. с древнегреч.; Общ. ред. А.И.Даватура,- М.: Мысль, 1984,- 830 с.

11. Аршинский J1.B. Методы обработки нестрогих высказываний. Иркутск. Изд-во Восточно-Сибирского института МВД России, 1998. - 40 с.

12. Аршинский JI.В. Использование нестрогого вывода в задачах распознавания // Управление в системах: Вестник Иркутского государственного технического университета. Сер. Кибернетика 1998. - Вып.1. - С. 15-21.

13. Аршинский Л.В., Христюк И.М., Ширяева Н.К. Контроль знаний по математике с использованием тестов на ЭВМ // Труды Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе. Иркутск: ИГПУ, 1999. - С. 194-196.

14. Аршинский Л.В. Нестрогая квантификация // Управление в системах: Вестник Иркутского государственного технического университета. Сер. Кибернетика. 1999. - Вып.2. - С.3-9.

15. Аршинский Л.В., Баранов С.А. Векторное оценивание в системах автоматизированного контроля знаний // Бизнес-образование в условиях глобализации мировых процессов: Тез. докл. Иркутск: БИММ ИГУ, 1999.

16. Аршинский Л.В. Векторное представление истинности в управляющих системах, основанных на правилах // Первая международная конференция по мехатронике и робототехнике «МиР'2000»: Сб. трудов. СПб.: НПО Омега БФ Омега, 2000. - Т. 2. - С. 27-31.

17. Аршинский JI.B. О семантиках классической логики // Logical Studies Электронный ресурс., 2000. №5. - Режим доступа к журн.: http://www.logic.ru/LogStud/05.

18. Аршинский Л.В. Моделирование языковых связок «И», «ИЛИ», «НЕ» средствами векторной логики // Управление в системах: Вестник Иркутского государственного технического университета. Сер. Кибернетика. 2000. - № 3. - С.12-18.

19. Аршинский Л.В., Баранов С.А. Использование техники векторного оценивания в автоматизированной обучающей системе PROCON // Управление в системах: Вестник Иркутского государственного технического университета. Сер. Кибернетика. 2000. - № 4. - С.64-69.

20. Аршинский Л.В. О применении векторной логики в задачах распознавания // Материалы XII научно-технической конференции ИВАИИ. Иркутск: ИВАИИ, 2002. - вып.2. - С. 10-11.

21. Аршинский Л.В., Пугачев А.А. Программный комплекс диагностики знаний TeachMaster // Информатика и образование. 2002. - №7. - С.68-74.

22. Многозначные логики с векторной семантикой / Аршинский Л.В.; ВСИ МВД России,- Иркутск, 2003,- 46 е.: Рус,- Деп. в ВИНИТИ 13.02.03, № 281-В2003.

23. Аршинский Л.В. Особенности формальной дедукции в логиках с векторной семантикой // Математические и информационные технологии в энергетике, экономике, экологии: Труды Всероссийской конференции. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2003. - Ч. 1. - С. 197-203.

24. Аршинский Л.В. Оценка истинности взаимоисключающих свидетельств средствами векторной логики // Информационные и математические технологии: Труды Байкальской Всероссийской конференции. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2004. - С. 188-194.

25. Аршинский Л.В. Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий Аршинский Л.В.; ВСИ МВД России. Иркутск, 2004. - 35 с. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004, №1376-В2004.

26. Аршинский Л.В. Особенности накопления свидетельств при неточном выводе с использованием векторных логик // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2004. - №3 (19). - С. 45-49.

27. Аршинский Л.В. Особенности присоединенного вывода с использованием правила modus ponens в логиках VTF // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. 2004. - Вып. 1. -С. 76-83.

28. Аршинский Л.В. Многозначные логики с векторной семантикой // Logical Studies Электронный ресурс., 2004. № 12. - Режим доступа к журн.: http://www.logic.ru/LogStud/12.

29. Аршинский JI.B. Приложение логик с векторной семантикой к описанию случайных событий и оценке риска // Проблемы анализа риска. 2005. -Т. 2. - № 3. - С.231-248.

30. Аршинский JI.B. Моделирование неопределенности логиками с векторной семантикой // V Всероссийская ФАМ конференция: тезисы докладов, 3-5 марта 2006 г. / под ред. Д.В.Семеновой. Красноярск: Изд-во Красноярского гос. ун-та, 2006. - С.56.

31. Аршинский Л.В. Программная система логического вывода на ос1. XFнове V -логик // Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании: Труды международной конференции. Павлодар: ТОО НПФ «ЭКО», 2006. - Т. 1 - С. 146-150.

32. Аршинский Л.В., Пугачев А.А. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «TeachLab TestMaster 2005» в Роспатенте от 10.07.2006, №2006612429.

33. Аршинский Л.В. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «Heraclit» в Роспатенте от 7.11.2006, № 2006613062.

34. Аршинский Л.В. Упорядочение суждений в векторных логиках с произвольным числом аспектов истинности // Вестник Иркутского государственного технического университета. Сер. Кибернетика. 2006. - № 2 (26). - С. 126-128.

35. Аршинский Л.В. Скалярное оценивание суждений в векторных логиках с произвольным числом аспектов истинности // Вестник Иркутского государственного технического университета. Сер. Кибернетика. 2006. - № 2 (26).-С. 128-131.

36. Аршинский Л.В. Основания векторизации истинности в логико-математических моделях обработки данных // Проблемы управления. 2006. -№ 5. - С. 63-67.

37. Аршинский Л.В. Применение многозначных логик в задачах анализа и обработки данных // Вестник Бурятского университета. Серия 13: Математика и информатика. 2006. - Вып.З. - С. 3-11.

38. Аршинский JI.B. О полноте векторного представления истинности в логиках с векторной семантикой // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2006. - № 4 (28). - Т.2. - С. 47-49.

39. Аршинский Л.В. Содержательный и формальный вывод в логиках с векторной семантикой // Автоматика и телемеханика. 2007. - № 1. - С. 153162.

40. Удилов В.П., Аршинский Л.В., Зиневич C.B. и др. Методика принятия экспертных решений о финансировании программ пожарной безопасности на основе техники векторного оценивания // Пожарная безопасность. 2006. -№6.-С. 85-88.

41. Аршинский Л.В. Векторные логики: основания, концепции, модели. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2007. - 228 с.

42. Бахтияров К.И. Об одном подходе к формализации парадоксальных ситуаций // Философские науки. 1976. - №1. - С.52-62.

43. Бахтияров К.И. Многоаспектный подход в логике: дисс. д.ф.н. 09.00.07 «Логика». Москва: МГУ, 1989.

44. Бахтияров К.И. Компьютеризация логики // Философские науки. -1990.-№9.-с.117-122.

45. Бахтияров К.И. Логика с точки зрения информатики: бестселлер в духе Льюиса Кэрролла (12 этюдов). М.: Едиториал УРСС, 2002. - 128 с.

46. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М.Прохоров. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: «Большая российская энциклопедия»; СПб.: «Но-ринт», 2000. - 1456 с.

47. Борисов А.Н., Алексеев A.B., Крумберг O.A. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. Рига: Знатне, 1982. - 256 с.

48. Борисов А.Н., Алексеев A.B., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. -305 с.

49. Борисов А.Н., Крумберг O.A., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. Рига: Зинатне, 1990. -184 с.

50. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. 1938. - Т. 4. - № 2. - С.287-308.

51. Брокгауз Ф.А.-Ефрон И.А. Гераклит Эфесский // Энциклопедический словарь (репринтное воспроизведение издания 1890г.). М.: ТЕРРА, 1991. - Т. 15.

52. Быков A.A., Акимов В.А., Фалеев М.И. Нормативно-экономические модели управления риском // Проблемы анализа риска. 2004. - Т. 1. - №2. -С.125-137.

53. Васильев H.A. О частных суждениях, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного четвертого. Казань, 1910.

54. Васильев H.A. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989.-264 с.

55. Васюков В.Jl. Львовско-Варшавская школа. Две парадигмы в рамках одной школы // Статья на http://www.philosophy.ru/iphras/library/phnauk2/ SCIENCE7.htm.

56. Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. и нем. / Под ред. Б.В.Бирюкова и А.Н.Паршина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.-400 с.

57. Витгенштейн Л. Логико-философский трактат / Пер. с нем. М.,1958.

58. Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. М.: Изд.-во МГУ, 1988. - 140 с.

59. Войшвилло Е.К. Символическая логика (классическая и релевантная): Филос.-методол. аспекты. М.: Высшая школа, 1989. - 150 с.

60. Древнекитайская философия. Собр. текстов в 2-х т. М., 1972-1973.

61. Дунаев М.П. Экспертные системы для наладки электроприводов. -Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2004. 138 с.

62. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике. М,: Радио и связь, 1990.

63. Еремин H.A. Моделирование месторождений углеводородов методами нечеткой логики // Москва, Наука, 1995. 462 с.

64. Жизненный путь и основные сочинения Г.В. Лейбница // http://historic.ru/ "Historic.Ru: ВСЕМИРНАЯ ИСТОРИЯ".

65. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение для принятия приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 165с.

66. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня: Пер. с англ. М.:3нание, 1974. - С.5-48.

67. Заде Л. Нечеткая логика / Копия перевода ГПНТБ. N 190786. - М., 12.9.89. - 10 с. - Пер. ст. Zadeh L. из журнала: Computer. - 1988. - 21 - № 4. -Р. 83-93.

68. Зайцев Д.В., Маркин В.И. Воображаемая логика-2: реконструкция одного из вариантов знаменитой логической системы Н.А.Васильева // Электронный журнал "Logical Studies". 1999. - N 2 http://www.logic.ru/LogStud.

69. Зайцева Л.В., Новицкий Л.П., Грибкова В.А. Разработка и применение автоматизированных обучающих систем на базе ЭВМ. Рига. Зинатне, 1989.- 174 с.

70. Зверев L.H. Частотная логика альтернатива классической логике в новых информационных технологиях // Информационные технологии. - 1998. - № 2. - С.2-10.

71. Зверев L.H. Логические аппроксимации, лапласовы оценки и корреляционная логика // Информационные технологии. 1999. - №2. - С.35-40.

72. Зверев L.H. Оценка точности логических приближений и границ применимости классической и неклассической логик в системах моделирования и принятия решений //Информационные технологии. 1999. - №12. -С. 10-20.

73. Зверев L.H. Неклассические логики в задачах идентификации // Идентификация систем и задачи управления: Труды международной конференции SICPRO'2000. Москва, 2000. - С. 1607-1616.

74. Змитрович А.И. Интеллектуальные информационные системы. -Мн.: НТОО «ТетраСистемс», 1997. 368 с.

75. Ивин A.A. Логика. Учебное пособие. Издание 2-е. М.: Знание, 1998.-240 с.

76. Искусственный интеллект. в 3-х кн. Кн. 2. Модели и методы: Справочник / Под ред. Д.А.Поспелова - М.: Радио и связь, 1990. - 304 с.

77. Кайберг L. Вероятность и индуктивная логика. М.: Прогресс, 1978.

78. Карпенко A.C. Многозначные логики. М.: Наука, 1997. - 223 с.

79. Карпенко A.C. Логика на рубеже тысячелетий // Электронный журнал "Logical Studies". N5. 2000. http://www.logic.ru/LogStud/.

80. Кессиди Ф.Х. Гераклит М.: Мысль, 1982 - 200 с.

81. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2 изд. М.: Наука, 1950.

82. Костюк Т.П. Реконструкция логических систем H.A. Васильева средствами современной логики: Дис. канд. филос. наук / Московский государственный университет (МГУ). Защищена 1999.06.03. - 128 с.

83. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.-432 с.

84. Крамер Г. Математические методы статистики. М., 1948.

85. Ларичев О. П., Мошкович Е. М. Качественные методы принятия решений: Вербальный анализ решений. М.: Наука: Физматлит, 1996. - 207с.100. ,Ледбниц Г.В. О мудрости // Сочинения. В 4 т. М., 1984. Т.З. С. 97100.

86. Марселлиус Д. Программирование экспертных систем на Турбо Прологе / Пер. с англ.- М.: Финансы и статистика, 1994.-256 с.

87. Марченков С.С. S-классификация функций многозначной логики // Дискретная математика. Т. 9, N 3, 1997. С. 125-152.

88. Марченков С.С. А-классификация идемпотентных функций многозначной логики // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. Т.6, N 1, 1999 -С. 19-43.

89. Марченков С.С. S-классификация функций трехзначной логики. -М.: Физматлит, 2001 80 с.

90. Массель Л.В., Болдырев Е.А., Горнов А.Ю. и др. Интеграция информационных технологий в системных исследованиях энергетики / под ред. Н.И. Воропая. Новосибирск: Наука, 2003. - 320 с.

91. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1984. -4.-1216 стб.

92. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Л. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990. - 272 с.

93. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ./ Под ред. С.И.Адяна. 3-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.-320 с.

94. Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика,- Мн.: Харвест, 2002,352 с.

95. Непейвода H.H. Прикладная логика. Учебное пособие. Ижевск.: изд. Удм. ун-та, 1997. - 385 с.

96. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. - 206 с.

97. Перфильева И.Г. Приложения теории нечетких множеств // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Мат. статистика. Теор. кибернет. / ВИНИТИ. 1990. - 29. - С.83-151.

98. Пантелеев В.И., Перязев H.A. Обобщенная интерпретация переменных и 8-значная логика // Природные ресурсы, экология и социальная среда Прибайкалья. Иркутск, 1995. - Т. III. - С. 268-271.

99. Пантелеев В.И., Перязев H.A. Логика предикатов при обобщенной интерпретации переменных // Вестник Бурятского университета. Сер. 13: Математика и информатика. 2005. - Вып. 2. - С. 39-44.

100. Пирс Ч.С. Начала прагматизма. Т.2. Логические основания теории знаков. М: Алетейа, 2000. - 352 с.

101. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. под ред. С.А. Яновской. М.: Наука, 1975. - 464 с.

102. Полещук О.М., Фролова В.А. Рейтинговые оценки состояния городских насаждений на основе методов теории множеств // Изв. высш.уч.зав. «Лесной журнал», 2003. № 2-3. - С.7-14.

103. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления. М.: Энергоиздат, 1981. - 231с.

104. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано М: Мир, 1993. -512 с.

105. Розоноэр Л.И. О семантике противоречивых формальных теорий // Семиотика и информатика. 1993. Вып 33. - С. 71-100.

106. Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. I. // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 6. - С. 113-124.

107. Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. II. // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 7. - С.97-104.

108. Рузавин Г.И. Философия науки. Вып. 2: Гносеологические и логико-методологические проблемы. 1996. - С. 163-190.

109. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1993. 315 с.

110. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. Организация систем / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991. - 224 с.

111. Сидоренко Е.А. Логическое следование и условные высказывания. -М, 1983.

112. Смирнов В.А. Логические взгляды Н.А.Васильева // Очерки по истории логики в России. М., 1962 С.242-257.

113. Смирнова Е.Д. Вопросы семантики паранепротиворечивых логик // Logical Studies. 1999. - № 2. - http://www.logic.ru/LogStud.

114. Соловов А. В. Проектирование компьютерных систем учебного назначения. Самара: Самарский аэрокосмический университет, 1993. - 104 с.

115. Соснин П.И., Канаев О.Г., Афанасьев А.И. Процессоры обработки нечеткой информации. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1988. - 76 с.

116. Тейз А., Грибомон П., Луи Ж. и др. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию: Пер. с франц.- М.: Мир, 1990. 432 с.

117. Упанишады / В пер. А.Я.Сыркина. М.: Наука, 1967.

118. Уотермен Д. Руководство по экспертным системам: Пер. с англ-М.Мир, 1989.-388 с.

119. Философская энциклопедия / Гл. ред. Ф.В. Константинов. М.: Советская энциклопедия, 1964. - Т. 3. - 584 с.

120. Финн В.К. О возможностях формализации правдоподобных рассуждений средствами многозначных логик // VII Всесоюзный симпозиум по логике и методологии науки. Киев: Наукова думка, 1976. - С. 82-83.

121. Финн В.К. Правдоподобные выводы и правдоподобные рассуждения // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1988. - Т. 2. - С. 2-84.

122. Фреге Г. Логика и логическая семантика. М.: Аспект Пресс.-512 с.

123. Фреге Г. Мысль: Логическое исследование // http:// www. auditech.ru/books/O Irr.htm.

124. Хачатрян A.P. Анализ классических методов объединения свидетельств в экспертных системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1987. -№5.-С. 67-73.

125. Хемминг Р.В. Численные методы / Пер. с англ. М., 1968.

126. Чанышев А.Н. Курс лекций по древней философии: Учеб. пособие для филос. фак. и отделений ун-тов.- М.: Высшая школа, 1981. 374 с.

127. Человеческий фактор в управлении / Под ред. H.A. Абрамовой, К.С. Гинсберга, Д.А. Новикова. М.: КомКнига, 2006. - 496 с.

128. Шрамко Я.В. Обобщенные истинностные значения: решетки и мультирешетки // Логические исследования. М.: Наука, 2002. - Вып. 9. -С.264-291.

129. Шрамко Я.В. Американский план для интуиционистской логики 2: обобщенные интуиционистские модели // Logical Studies. 2000. - № 5 http://www.logic.ru/LogStud.

130. Элти Дж., Кумбс М. Экспертные системы: концепции и примеры / Пер. с англ. и предисл. Б.И.Шитикова.- М.:Финансы и статистика, 1987.-191 с.

131. Эйнгорин М.Я. Матричные построения в K¿ -значной логике. -Н.Новгород: ИПФ РАН, 2000. http://www.uic.nnov.ru/~emy/mnogolog.html.

132. Ackermann W. Begründung einer Strengen Implication // JSL. 1956.1. V.21.

133. Aho A. The Design and Analysis of Computer Algorithms. Menlo Park, California, 1976.

134. Almukdad A., Nelson D. Constructive falsity and inexact predicates // Journal of Symbolic Logic. 1984. -V. 49. - P.231-233.

135. Arruda A.I. On the imaginary logic of N.A.VasiFev // Non-Classical Logics, Model Theory and Computability. Amsterdam: North-Holland Publ. Сотр., 1977.-P.3-24.

136. Asenjo F.G. La idea de un calculo de antinomias // Seminario Matemático. La Plata, 1954.

137. Bakhtiarov C. Arithmetization of Classical and Non-Classical Logic // Proceedings of First World Conference of the Fundamentals of Artificial Intelligence. Paris, 1991. - P.73-80.

138. Barnett J. Computational methods for a mathematical theory of evidence // Proc. 7-th IJCAI. Vancouver, 1981. - P. 868-875.

139. Belnap N. A useful four-valued logic // J.M.Dunn and G.Epstein (eds.). Modern Uses of Multiple-Valued Logic. Dordrecht: D. Reidel Publish. Co., 1977. -P. 8-37.

140. Belnap N. How a computer should think // G. Ryle (ed.). Contemporary Aspects of Philosophy. Stocksfield: Oriel Press Ltd., 1977. - P. 30-55.

141. Belnap N.D. A formal analysis of entailment / Technical Rep. Yale Univ., 1960. -N 7.

142. Brady R.T. Depth relevance of some paraconsistent logic // Studia Logica. 1984. - XLIII. - N 1/2.

143. Bull J. An Investigation of Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, 1854.

144. Bundy A. Incidence calculus: a mechanism for probabilistic reasoning // J. of Aut. Res. 1985. - V. 1. - N. 3. - P. 263-283.

145. Bundy A. Correctness criteria of some algorithms for uncertain reasoning using incidence calculus//J. of Aut. Res. 1986. -V. 2. -N. 1. - P. 109-126.

146. Carnap R. Logical Foundations of Probability. Chicago, 1950.

147. Carnap. R. Introduction to semantics. Cambr. (Mass.), 1946.

148. Costa N.C.A. da. Calculus propositionnels pour les systems formels inconsistants // Compes Rendus Acad. Sci. 1963. - V. 257. - P.3790-3792.

149. Costa N.C.A. da, Alves E.N. Relations between paraconsistent logic and many-valued logic//Bull, of the Section of Logic. 1981. -V. 10. -N. 4. - P.185-191.

150. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by multivalued mapping // Annals of Mathematical Statistics. 1967. - 38. - P. 325-339.

151. Dempster A.P. A generalization of Bayesian inference // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 1968. - 30. - P. 205-247.

152. Dubois D.J., Prade H.M. Operation on fuzzy numbers // Int. J. Syst. Sci. 1978. - V. 9. - N. 16. - P. 613-626.

153. Dubois D.J., Prade H. Fuzzy logics and the generalized modus ponens revised // Cybern. and Syst. 1984. - V. 15. - N. 3-4. - P. 293-331.

154. Duda R.O., Hart P.E., Nilsson N. Subjective Bayesian Methods for Rule-Based Inference Systems // Proceeding of the National Computer Conference, AIFIPS. 1976. - 45. - P.1075-1082.

155. Duda R.O., Gaschnig J, Hart P.E., Konolige K., Reboh R., Barrett P, Slocum J. Development of the PROSPECTOR Consultation system for Mineral Exploration. Final report, SPI Projects 5821 and 6451, SPI International Inc., Menlo Park/Ca, 1978.

156. Duda R.O., Gaschnig J, Hart P.E. Model design in the PROSPECTOR consultant program for mineral exploration / D.Michie (ed.) // Expert systems in the Microelectronic Age. Edinburgh: Edinburgh University Press, 1979.

157. Dunn J.M. Algebra of Intensional Logics. Doctoral Dissertation University of Pittsburg, Ann Arbor, 1966.

158. Dunn J.M. Intuitive semantics for first-degree entailment and "coupled trees" // Philosophical Studies. 1976. - V. 29. - P.149-158.

159. Dunn J.M. Relevant Logic and Entailment // Handbook of Philosophical Logic. Vol. Ill: Alternatives to Classical Logic / D.Gabbay and Guenthner (eds.). -Dordrecht: D.Reidel Publishing Company, 1986. P. 117-224.

160. Finetti de B. La Prévision, ses lois logiques, ses sources subjectives // Annales de l'Institut Henri Poicaré. 1937. - 7. - P. 1-68.

161. Fraassen B. van. Singular terms, truth-value gaps, and free logic // The Journal of Philosophy. 1966. - V. 63. - P.481-495.

162. Frank H.J. On the simultaneous associativity of F(x, y) and x+y- F(x,y) II Aequationes Math. 1979. - 19. - P. 194-226.

163. Fukami S., Mizumoto M, Tanaka K. Some considerations on fuzzy conditional inference // Fuzzy Sets and Syst. 1980. - V. 4. - N. 3. - P. 243-273.

164. Gerla G. Nonstandard entropy and energy measures of a fuzzy set // J. Math. Anal, and Appl. 1984. - V. 104.-N. 1.-P. 107-116.

165. Ginsberg M. Multivalued logic // Proc. of AAAI-86. Fifth National Conference on Artificial Intelligence. Los Altos: Morgan Kaufman Publishers. - 1986. - P. 243-247.

166. Ginsberg M. Multivalued logics: a uniform approach to reasoning in AI // Computer Intelligence. 1988. - 4. - P.256-316.

167. Goguen J. A. L-fuzzy sets // Journal of Mathematical Analysis and Application. 1967. - 18,-P. 145-174.

168. Gödel K. Zum intuitionistischen Aussgenkalkul // Anzeiger der Akademie der Wissenschaften Wien, mathematisch, naturwissenschaftliche Klasse. Bd. 69, 1932. S. 65-66.

169. Gordon J., Shortliffe E. A method for managing evidential reasoning in a hierarchical hypothesis space // Artif. Intell. 1985. - V. 26. - N. 3 - P. 323-357.

170. Gottwald S. Treatise on Many-Valued Logics, Leipzig, 2000. - 604 p.189. 123.Graham B.P., Newell R.B. Fuzzy adaptive control of a first-order process // Fuzzy Sets and Syst. 1989. - V. 31. - № 1. - P.47-65.

171. Häjek P. Fuzzy logic and arithmetical hierarchy // Fuzzy Sets and Syst., 1995. 73. - P.359-363.

172. Häjek P. Fuzzy logic and arithmetical hierarchy II // Studia Logica. 1997. -58. -P.129-141.

173. Häjek P., Paris J., Shepherdson J. Rational Pavelka predicate logic is a conservative extension of Lukasiewicz predicate logic // Journal Symbolic Logic., 2000.- 65.-P.889-682.

174. Hamacher H. Über logische Aggregationen nicht-binär explizierter Entscheidungskriterien. Frankfurt/Main: Rita G. Fischer Verlag, 1978.

175. Heyting A. Die Formalen Regeln der intuitionistisehen Logik // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin, 1930.-S. 42-46.

176. Jeffreys H. The theory of probability. Oxford, 1939.

177. Kaufmann A. Introduction to the theory of fuzzy subsets. Vol. 1. Fundamental theoretical elements. N.Y.: Academic Press, 1975.

178. Kemeny J. A new approach to semantics // J. Symbolic Logic. 1956. -V. 21.-N 1/2.

179. Keynes D.M. Treatise on probability. L., 1952.

180. Kim J., Pearl J. A computation model for combined counsel and diagnostic reasoning in inference systems // Proc. 8-th IJCAI. Karlsruhe, 1983. - P. 190-193.

181. Kleene S.C. On a notation for ordinal numbers // The Journal of Symbolic Logic. 1938. - V.3. - P.150-155.

182. Klement E.P. Some mathematical aspects of fuzzy sets: triangular norms, fuzzy logic, and generalized measures // Fuzzy Sets and Syst. 1997. - № 90. -P.133-140.

183. Klement E.P., Mesiar R., Pap E. Triangular Norms. Dordrecht: Klu-wer, 2000.

184. Loo S.G. Measures of fuzziness // Cybernetica. 1977. - V. 20. - N. 3. -P. 201-210.

185. Lukasiewicz J. Farewell lecture by professor Jan Lukasiewicz, delivered in the Warsaw University Lecture Hall on March 7, 1918 // Lukasiewicz J., 1970. -P. 84-86.

186. Lukasiewicz J. On three-valued logic // Lukasiewicz J., 1970. P. 87-88.

187. Lukasiewicz J. Many-valued systems of propositional logic // Polish Logic / S. McCall ed., Oxford: Oxford University Press, 1967.

188. Lukasiewicz J. Interpretacja liczbowa teorii zdan // Ruch Filozoficzny. T. 7. S. 189-205 (англ. пер.: A numerical inteipretation of theory propositions // Lukasiewicz J., 1970.-P. 153-178).

189. Lukasiewicz J. Elementy logoki matematycznej. Warszawa, 1929. (англ. пер.: Elements of mathematical logic. -N.-Y., 1963.).

190. Lukasiewicz J. Z zagadnien logiki і filozofii. Pisma wybrane, Warszawa: PWN, 1961.

191. Mamdani E.H., Assilian S. An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller // Int J. Man-Mach. Stud. 1975. - 7. - P. 1-13.

192. Mares E.D. Relevance Logic // Stanford Encyclopedia of Philosophy, 1998. http://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance.

193. Menger K. Statistical metrics // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1942. - 8 -P.535-537.

194. Menger K. Selected Papers in Logic and Foundation, Didactics, Economics. Dordrecht: Reidel, 1979.

195. Mises R. Probability, Statistics and Thruth. N.Y., 1957.

196. Miyakoshi M., Shimbo M. Solution of composite fuzzy relational equations with triangular norms // Fuzzy Sets and Syst. 1985. - № 3. - P. 53-63.

197. Mizumoto M., Fukami S., Tanaka K. Several methods for fuzzy conditional inferences // Proc. 18th IEEE Conf. Decis. and Contr. Fort Lauderdale, Fla., 1979 N.Y., 1979. - 2. - P.777-782.

198. Mizumoto M., Fukami S., Tanaka K. Some methods of fuzzy reasoning / M.M.Gupta, R.K.Ragade, R.R.Yager (eds.) // Advances in fuzzy set theory and applications. Amsterdam: North-Holland, 1979. - P.117-136.

199. Mizumoto M. Note on the arithmetic rule by Zadeh for fuzzy conditional inference // Cybern. and Syst. 1981. - 12. - P. 247-306.

200. Mizumoto M. Fuzzy reasoning with «if. then. else.» // Lasker G.E. (ed.) Applied Systems and Cybernetics. Pergamon Press, 1981. - Vol. VI. - P. 2927-2932.

201. Mizumoto M., Zimmermann H.-J. Comparison of fuzzy reasoning methods // Fuzzy Sets and Syst. 1982. - V. 8. - N. 3. - P.253-283.

202. Mizumoto M. Fuzzy reasoning under new compositional rules of inference//Kybernetes. 1985. - V. 14.-N. 2. -P. 107-117.

203. Moore R.E. Interval Analysis, 1966.

204. Morgan de A. Formal Logic. London: Open Court, 1847.

205. Mukaidano M. A set of independent and complete axioms for fuzzy algebra (Kleene algebra) // ISMVL. 11th. Oklahoma. 1981. P.27-34.

206. Nauta Lemke H.R. van, Kickert W.J. M. The application of fuzzy set theory to control of warm water process // Journal A. 1976. - V. 17. - N. 1. - P.8-18.

207. Nelson D. Constructible falsity // Journal of Symbolic Logic. 1949. -V. 14.-P.16-26.

208. Novak V. Fuzzy sets and Their Applications-Bristol: Adam Hilger,1989.

209. Novak V. On the syntactico-semantical completeness of first-order fuzzy logic. I-II // Kybernetica. 1990. - Vol.26. - P.47-66, 134-154.

210. Pappinghaus P., Wirsing M. Nondeterministic three-valued isotonic and guarded truth-functions // Studia Logica. 1983. - V. 9. - N 2/3. - P. 1-22.

211. Pavellca J. On fuzzu-logic. I-III // Zeitschr. math. Logik Grundl. Math. -1979. V. 25. - P.45-52, 119-134, 447-464.

212. Pearl J. Fusion, propagation, and structuring in belief networks // Artif. Intell. 1986. - V. 29. - N. 3 - P. 241-288.

213. Pedrycz W. Identification in fuzzy systems // IEEE Trans. Syst., Man. and Cybern. 1984. - V. 14. - N. 2. - P. 361-366.

214. Polya G. Heuristic reasoning and the theory of probability // Amer. Math. Monthly. 1941. - 48. - P. 450-465.

215. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary proposition // American Journal of Mathematics. 1921. - V. 43. - N. 3. - P. 163-185.

216. Prest G. The logic of paradox // Journal of Philosophical Logic. 1979. - V. 8.-N2.

217. Priest G. Hyper-contradictions // Logique et Analyse. 1984. - V. 27. -N. 2.-P. 237-243.

218. Priest G., Tanaka K. Paraconsistent Logic // Stanford Encyclopedia of Philosophy, 1996. http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent.

219. Quine W.V. Carnap and logical truth // Synthese. 1960. - 2.

220. Quinlan J.R. INFERNO: a causations approach to uncertain inference // The computer J. 1983. - V. 26. - N. 3. - P. 255-269.

221. Rasiowa H. An Algebraic Approach to Non-Classical Logics. War-szawa: PWN, 1974.

222. Reichenbach H. The theory of probability. Los Angeles, 1949.

223. Restall G. Four-valued semantics for relevant logics (and some their rivals) // Journal of Philosophical Logic. 1995. - V. 24. - N. 2. - P. 143-154.

224. Restall G. Simplified Semantics for Relevant Logics (and some of their rivals) // Journal of Philosophical Logic. 1993. - V. XXII. - P. 481-511.

225. Rosser J.B., Turquette A. Manu-Valued Logics. Amsterdam, 1952.

226. Routley R. American plan completed: alternative classical-style semantics, without stars, for relevant and paraconsistent logics // Studia Logica. 1984. -V. 43.-N. 1-2.-P. 131-158.

227. Routley R. Plumwood V., Meyer R.K., and Brady R.T. Relevant Logics and Their Rivals. Atascadero, Ridgeview, CA, 1982.

228. Russell B., Whitehead A.N. Principia Mathematica, Vol. I-III. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1910-1913.

229. Sembi B.S., Mamdani E.H. On the nature of implication in fuzzy logic // Proc. 9th Int. Symp. Multiple-Valued Logic, Bath, 1979. N.Y., 1979. - P. 143-151.

230. Sette A.M. On propositional calculus P\ II Mathematica Japonica. -1973.-V. 16. P.173-180.

231. Scala H.J. On many-valued logic, fuzzy sets, fuzzy logic and their applications // Fuzzy Sets and Syst. 1978. - V. 1. - P. 293-311.

232. Schweizer B., Sklar A. Espaces métriques aléatoires // Comptes Rendus Acad. Sei. Paris, 1958. - Ser. A. 247. - P. 2092-2094.

233. Schweizer B., Sklar A. Statistical metrics spaces // Pacific J. Mathematics. 1960. - 10. - P.313-334.

234. Schweizer B., Sklar A. Associative functions and statistical triangle inequalities // Publicationes Mathematicae Debrecen. 1961. - 8. - P. 169-186.

235. Schweizer B., Sklar A. Associative functions and abstract semigroups // Pubis math. 1963. - V. 10. - N. 1-4. - P.69-81.

236. Schweizer B., Sklar A. Probabilistic Metrics Spaces. N.Y.: Elsevier, 1983.-XII, 275 p.

237. Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton and London: Princeton University Press, 1976. - 297 p.

238. Sheniy P., Shafer G. Preparating belief functions with local computations //IEEE Expert. 1986,-V. 1. - N. 3. - P.43-52.

239. Shortliffe E.H., Buchanan B.G. A model of inexact reasoning in medicine // Mathematical Bioscience. 1975. - 23. - P.351-379.

240. Shortliffe E.H. Computer-Based Medical Consultation: MYCIN. N.Y.: American Elsevier, 1976.

241. Tsukamoto Y., Nikiforuk P.N., Gupta M.M. On the comparison of fuzzy sets using chopping // Prep. 8th World Congr. IFAC, Kyoto. 1981. - 4. - P. 46-52.

242. Visser A. Four-valued semantics and liar // Journal of Philosophical logic. 1984. - V. 13,- N. 2. - P.181-217.

243. Weber S. A general concept of fuzzy connectives, negatives and implications based on t-norms and t-conorms // Fuzzy Sets and Syst.-1983.-1 l.-P.l 15-134.

244. Yager R.R. On a general class of fuzzy connectives // Fuzzy Sets and Syst. 1980. - V. 4. - N. 3 - P. 235-242.

245. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control.-1965.-8.- P.338-353.

246. Zadeh L.A. Probability measures of fuzzy events // J. Math. Anal, and Appl. 1968. - V. 23. - N. 2. - P. 421-427.

247. Zadeh L.A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning // Inform. Sci. (USA). 1975. - 8. - P. 199-250, 301-357; 1975.-9.-P.43-80.

248. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Syst. 1978. - V. 1. - N. 1. - P. 3-28.

249. Zadeh L.A. Possibility theory as a basis for representation of meaning // Sprache und Ontologie. Akten 6. Internat. Wittgenstein Symposium, Kirchberg/Wechsel, 1981. Wien: Holder-Pichler-Tempski, 1982. - S. 253-262.

250. Zadeh L.A. Inference in fuzzy logic // Proc. 10th Int. Symp. Multiple-Valued Logic, Evanston, 111., 1980.-N.Y., 1980. P.124-131.

251. Zadeh L.A. The role of fuzzy logic in the management of uncertainty in expert systems // Fuzzy Sets and Syst. 1983. - V. 11. - N. 2. - P. 199-227.