автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование гипотезы Коуза

На правах рукописи

ФЛЁРОВА АННА ЮРЬЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПОТЕЗЫ КОУЗА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008 0031С7318

Работа выполнена в отделе математического моделирования экономических систем Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Шананин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бекларян Левой Андреевич

кандидат физико-математических наук, Рублёв Илья Вадимович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Экономико-Математический институт РАН

Защита состоится 22 juoa_ 2008 г. в " ¡H 00"

на заседании диссертационного совета Д 002.017.04 в Вычислительном Центре имени A.A. Дородницына Российской академии наук по адресу 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д.40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН Автореферат разослан силрли^А 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор

Н.М. Новикова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Известный американский экономист нобелевский лауреат Рональд Коуз (Ronald Coase) предположил1, что, монополист, производящий товары длительного пользования теряет свою монопольную власть и вынужден продавать товары по конкурентной цене. Согласно Коузу, товар, проданный вчера, является совершенным заменителем товара, купленного сегодня, т е производимый сейчас товар конкурирует с товаром, произведённым и проданным ранее Конкуренция может возникнуть, даже если существует только один поставщик Конкурентом монополиста оказывается он сам.

Р Коуз указал две стратегии возвращения монопольной власти:

1 особые договорные и институциональные соглашения. Например, монополист обязуется не продавать товар сверх количества, соответствующего монопольной цене, или принимает решение не продавать товар, а сдавать его в аренду (монополистический лизинг), что позволяет закрепить товар за покупателем,

2. снижение срока службы товара. Действительно, монополистический лизинг «ликвидирует» вторичный рынок товаров длительного пользования, и единственным продавцом товара остаётся монополист. А снижение долговечности товара заставляет потребителей чаще приобретать товар, что увеличивает объемы продаж и доходы монополиста.

Гипотеза Коуза превратилась в аргумент юридической практики. Вот какие выводы делает американский судья Ричард Познер: «Профессор Коуз доказал, что политика монополистического лизинга такого монополиста товара длительного пользования, как United Machinery Corporation,

1 Coase R H Durability and monopoly // Journal of Law and economics 1972 V 15 P 143-149

\

может быть предназначена для преодоления трудностей, встречающихся при попытке назначить монополистическую цену за товар длительного пользования... Возможно, монополистический лизинг следовало бы запретить на этом основании».

Компания «Белл» в 1877 г. приняла решение не продавать телефонные аппараты, а сдавать их в аренду Компания United Machinery Corp, производившая оборудование для изготовления обуви, не продавала своё оборудование, а сдавала в аренду сроком на 17 лет. К монополистическому лизингу прибегали корпорации ЮМ и Xerox. В декабре 2005 года компания Honda представила свою новую разработку, робота - помощника в офисе, согласно заявлениям компании, робот не поступит в продажу, но в скором времени его можно будет взять в лизинг.

Под влиянием работ Коуза были внесены поправки в федеральное антимонопольное законодательство США, запрещающие монополистический лизинг товаров длительного пользования

Актуальным является анализ механизмов восстановления монопольной власти на рынке товаров длительного пользования, проведённый на языке математических моделей.

Целью работы является проверка гипотезы Коуза, исследование границ её применимости, а также исследование предложенных Коузом способов возвращения монопольной власти (монополистический лизинг и снижение долговечности товара) с помощью математической модели рынка товаров длительного пользования, различных по характеристикам выбытия.

Методы исследования. Математическая модель рынка товаров длительного пользования описывается экстремальными задачами, для решения которых использовались принцип максимума для задач импульсного

управления, теория оптимального управления с запаздываниями, методы функционального анализа.

Научная новизна. Коуз основывал свою теорию на интуитивных предположениях, тогда как полный анализ данной гипотезы требует математической четкости. Достаточно обширный класс работ, посвященных анализу гипотезы Коуза, основан на простых двухпериодных моделях. В литературе встречаются попытки построить и динамические модели рынка товаров длительного пользования В числе наиболее известных и широко цитируемых из таких работ можно назвать работы Кана (Kahn С, 1986), Teno (Thepot J., 1998), MC. Осадчего (2002) и некоторых других авторов, основывающих свои исследования на результатах этих трудов В диссертации показано, что формализация задач, описывающих модели, предложенные в этих работах, проведена некорректно2.

В диссертационной работе предложены модели для корректного исследования гипотезы Коуза Эти модели формализованы задачами оптимального импульсного управления С помощью этих моделей было показано, что выполнение гипотезы Коуза зависит от характеристик товара длительного пользования- для товаров с фиксированным сроком службы гипотеза нашла свое подтверждение (при определённых начальных условиях), а в случае экспоненциального выбытия выполнение гипотезы зависит от соотношения нормы выбытия и ставки процента.

Вопреки предположениям Коуза, даже используя монополистический лизинг, монополист может оказаться в условиях конкуренции. В работе показано, что наличие вторичного рынка не оказывает принципиального влияния на поведение монополиста.

Практическая ценность работы. Исследование рынка товаров длительного пользования необходимо для

2 Подробнее см стр 17

совершенствования антимонопольного законодательства и формирования политики регулирования государственного вмешательства на этом рынке.

Апробация работы. В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследовательской работы по проектам:

• плана научно-исследовательской работы отдела математического моделирования экономических систем ВЦ РАН №01.2.007 01866

• аналитической ведомственной целевой программы РНП.2.2 1 1 2467;

• РФФИ (проект № 08-07-00158-а, 07-01-12024-офи, 0501-00942, 05-01-08045-офи_а, 02-01-00854-а);

• РГНФ (проект № 08-02-00347а, 05-02-02349а),

• программы по поддержке ведущих научных школ НШ 2982.2008.01, НШ-5379.2006.1,

• программы фундаментальных исследований РАН № 16 «Математическое моделирование и интеллектуальные системы», программ фундаментальных исследований ОМН РАН № 3 (п. 3.14), РАН № 14 (п 111).

Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• ХЬУ1, научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2003г.

• ХЬУП научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2004г.

• I международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2005, Переславль-Залесский, 2005.

• V Московская международная конференция по исследованию операций ((ЖМ2007), посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева Москва, 2007.

• Вторая Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), Москва, 2007

• II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения H.H. Моисеева. ЭКОМОД-2007, Киров, 2007.

• Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2007, Обнинск, 2007

• L научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва, 2007.

• VII международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'08. Москва, 2008

• Вторая ежегодная конференция "Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе". Санкт-Петербург, 2008.

• научный семинар под руководством академика А А. Петрова в ВЦ РАН им. Дородницына, Москва, 2007

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, и списка использованной литературы Общий объём работы 80 страниц. Список литературы содержит 47 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и научная новизна полученных результатов, приводится краткое содержание работы. Пусть X - объём выпуска товара, Р(Х) - обратная функция спроса, убывающая по X Предположим, что (ХР(Х))" < 0 Будем считать, что

производственные издержки линейно зависят от выпуска, пусть с > 0 - издержки по выпуску единицы товара Пусть Р( 0) > с

Обозначим Хи - выпуск в условиях монополии -решение уравнения

Р'х(Х)Х + Р(Х)-с^0. (1)

Уравнение на выпуск в условиях совершенной конкуренции:

Р{Х) = с (2)

Выпуск в условиях совершенной конкуренции обозначим Хс.

В первой главе приведено общее описание рынка товаров длительного пользования, выбытие которых происходит согласно заданной функции выбытия. Описывается процесс формирования цены на товар длительного пользования с учётом того, что товар может продаваться не только монополистом, но и на вторичном рынке.

Математическая модель рынка товаров длительного пользования представляет собой задачу максимизации прибыли монополиста N(1) за конечный период времени [0,Т], описанную задачей оптимального управления, где управляющий параметр - количество продаваемых потребителю товаров в момент времени I ЩТ) шах,

N(1) = и(000> 0) - с) + гЩ0, г

Х(0= | а{1 - т)и{т)йт,

Ы дт

а(т)

-А(Х(0)+/г(т), т>0;

dp{t,r) | ôp(t,t) dt дт

= p(t, 0)

/

т=0

f a'(0)N r

- MXQ))+m-w{t)

\ Ф) )

u(t)>0,w(t)>0;

N(0) = 0, Хф) = Х0,р(0,т) = р0(т).

Здесь p(t,r) - цена товара длительного пользования возраста т в момент времени t Поведение потребителя описывается с помощью функции полезности, которая зависит не только от объема товара у потребителей, но и от временной структуры товара, и эта зависимость выражается следующим образом: производная функции полезности имеет вид fx{X{t))~ /2(г). Изменение запаса товаров у потребителей X(t) происходит за счет выбытия товаров по функции a(t) и покупки новых товаров в размере u(t). Обозначим ставку дисконта г С помощью управления w(t) монополист может понизить цену на новый товар.

Во второй главе рассмотрен случай монополистического лизинга товаров длительного пользования. Цена на товар определяется обратной функцией спроса Р(Х), убывающей по X, где Х- запас товаров в собственности потребителей.

В случае экспоненциального выбытия, рассмотренном в п 2.1 изменение запаса происходит в результате покупки новых товаров в объеме u{t), а так же амортизации с

темпом выбытия ц> 0 Пусть Х(0) = Х0.

Накопленный доход предприятия N(t) изменяется при продаже товара и зависит от разницы между ценой продажи P(X(t)) и себестоимостью с. Полученный доход

задачей оптимального в классе импульсных

хранится на банковском счету с непрерывно начисляемой ставкой процента г Пусть N(0) = 0.

Задача максимизации прибыли монополиста N(t) за период времени [0,Т] является управления, имеющей решение управлений:

N(T) -> max,

N(t) = u(t)(P(X{t)) -c) + rN{t), (3)

X(t) = u(t)- LiX(t), N(0) = 0, X(0) = X0, u(t) > 0

С помощью принципа максимума для импульсных управлений найдено оптимальное решение этой задачи и доказана теорема о магистрали в сильнейшей форме.

Теорема 1. Оптимальное управление в задаче (3) имеет вид

u(t) = (X-Xo)+S(t) + juX0

fl, ГХо! Л \

—In ,T >

, 1 .x. У + у

+

+

[Хс ~ тах{1, 5(t - Т),

где ¿>(/ - дельта-функция Дирака, сосредоточенная в момент времени (>>)+ = тах{0,_у}

Соответствующая этому управлению

А

оптимальная траектория имеет магистраль X и выглядит следующим образом:

т=

XQ, при t = 0; Х0е~м', при 0<í<min

X, при min<

flm Л

U

,T\<t<T-,

тах{хс,х0е при t = T.

где X - решение уравнения

(М + г)(Р(Х)-с) + МХР^(Х) = 0

л

Справедливо неравенство Хм < X < Хс При

изменении параметра ¡л¡г от 0 до со магистраль X монотонно смещается от вьшуска при совершенной конкуренции Хс к монопольному выпуску Хм Это означает, что гипотеза Коуза справедлива, если /и «г.

На магистрали оптимальное управление и (0 = и = /иХ. Снижение долговечности (увеличение ¡л) помогает монополисту уйти от конкуренции и увеличить прибыль.

На магистраль траектория может попасть двумя

А

способами Если Х0 < X, то в начальный момент продается

А Л

количество товара X - Х0, и(0) -(Х- Х0)3(0), т е

л

траектория делает скачок на магистраль Если Х0 > X, значит, рынок перенасыщен и торговать не выгодно, пока, за счет выбытия (т.е. при и(()-0 и = Х0е~м') количество товаров у потребителей не уменьшится до магистрального значения. В конечный момент времени монополист старается продать максимально возможное

количество товаров, поэтому происходит скачок до конкурентного состояния, если это возможно

В п. 2 2. главы II рассмотрен случай монополистического лизинга для товаров с фиксированным сроком службы а. Такой товар не теряет своих потребительских качеств в течение срока службы. Функция выбытия таких товаров имеет вид а(>) = в {а - (), где

- функция Хевисайда.

Предположим, что в нулевой момент времени монополист начинает продажу нового товара длительного пользования В этом случае задача максимизации прибыли монополиста становится задачей оптимального импульсного управления с запаздываниями N(7) тах,

Щ) = и(0(Р(Х(0) ~с) + гЩ),

Х(() = и(()-и{(~а); (4)

N(0) = О, Х(0) = 0;

и(0 > 0.

Теорема 2. Оптимальным управлением в задаче (4)

к^Т/а

является управление и (/)= ^Г Хс<5^ - ка) Оптимальная

к=о

траектория, соответствующая этому управлению

остается на конкурентном уровне Х*ф = Хс

В этом случае оптимальная траектория устроена следующим образом, в начальный момент времени монополист продает максимально возможное количество товара, цены падают до конкурентных, рынок насыщается и торговля не ведется до того момента, пока не кончится срок

службы товара и запасы обнуляться, затем происходит «импульсная» реализация новой партии товара

В случае товаров с фиксированным сроком службы гипотеза Коуза подтверждается- даже в случае монополистического лизинга количество товаров в собственности потребителей оказывается на уровне, соответствующем совершенной конкуренции. Однако продажи осуществляются не по конкурентной цене.

Снижение долговечности товара не может помочь монополисту избежать конкуренции, но чем меньше срок службы товара, тем быстрее наступает момент новой продажи, т е потребители чаще приобретают товар, и тем больше доход монополиста

Таким образом, предположение Коуза о том, что монополистический лизинг может помочь монополисту избежать конкуренции не подтверждается ни в одном из исследуемых случаев.

В разделе 2 3 второй главы приведен еще один способ получения условий оптимальности для задач о максимизации прибыли монополиста при условии монополистического лизинга Т.к функция издержек линейна, без ограничения общности можем считать издержки нулевыми (или учитывать их в обратной функции спроса)

Доход монополиста за время Т составляет

т ( I \

о

ЩТ) = ¡ег(Г~°Р | а(( - ф(т)с1т

у

Перед монополистом стоит задача найти

к

оптимальное управление вида у(Г) = м(Г) + ]Гс,с>(^-5г),

1=0

максимизирующее этот доход.

7У(Г) -> шах (5)

Составим и исследуем вариацию управления

п (t~й \ т

;=0 V

г=0

где Ф(х):

1, если х б [0,1],

[О, иначе. Положим с - 0 при ] <£ (1, ..,к)

Предложение 1. Если в задаче (5) существует

т

оптимальное управление у(0 = + , то

1=0

должны выполняются следующие условия Xе > О, и(в)Хв = О,

Xя 1 >0 6 [О,Т], ХЬ} =0

где

-Xе = Ё

] о

"1

с;2 + | a(sJ - т)и(т)с1т +

! 5

Г

•¿/2 +

ха(/-0)и(Г)}Л +

Г*

J _

CjZ+ J a(Sj ~ т)и(т)с[т + £ cta(Sj -st))

I S, <Sj

ZCj +

+P

J

CjZ+ | a(Sj -г)и(т)йт+ ^T (c^sj-s,)^

dz +

1 /

Р'

0 V

►I

1S,>Sj

+ Z cka~sk)

!Sk<Sj

"I

CjZ+ J a(st -т)и(т)с!т +

dz

+

т 0

/(T-t)p.

t

j a(t -T)u(z)dr + ^ {cflit-s^)

V-co

is,<t

a(t-s )u{t)

dt

Такой приём позволяет исследовать задачу максимизации прибыли монополиста в случае монополистического лизинга и получать необходимые условия оптимальности для различных случаев функции выбытия

В третьей главе построена модель рынка товаров длительного пользования с учетом возможности продажи товаров на вторичном рынке.

Через p{t) обозначим сложившуюся на рынке цену товара длительного пользования в момент времени /. Поведение потребителя будем описывать с помощью убывающей производной функции полезности /(X)

Разделы 3 1 .-3 6. главы III посвящены товарам с экспоненциальным выбытием Такие товары не теряют

своих потребительских качеств, просто их количество экспоненциально уменьшается.

Как же определяется цена товара? Предположим, что мы заняли сумму p(t)dX и приобрели в момент времени t дополнительное количество товара длительного пользования dX. Использовали этот товар в течение периода времени dt, получив услуги, ценностью f(X(t))dtdX Затем продали в момент времени t + dt,

получив прибыль от продажи e~Mdtp(t + dt)dX, и вернули долг с процентами erdtp{t)dX.

Экономический результат такой операции во избежание арбитража должен быть равен нулю при положительном дополнительном количестве товара dX.

f (X(t))dt + (1 -ju dt)p{t + dt) - (1 + rdt) p(t) = 0, т.е условие отсутствия арбитража, выглядит следующим образом-

р ~ (г + fi)p(t) - f(X(t)).

Однако это уравнение некорректно, потому что на ценообразование может влиять и монополист: он всегда может назначить цену меньшую, чем цена на рынке в данный момент. Для того чтобы учесть влияние монополиста, введем дополнительное управление w(t) > 0, позволяющее монополисту снижать цены Таким образом, цена на товар длительного пользования в момент времени t определяется из следующего уравнения p(t) = (r + ju)p(0-f(X(t))-w(t). Пусть в начальный момент времени р(0) = р0, где р0>с.

Получаем следующую задачу максимизации прибыли монополиста-

ЩТ) -> юах,

М^Р+мЖО-ЛШ-М?);

и(0 > 0,^(0 > 0;

Л(0) = 0, Х(0) = Х0, р(0) = р0

Подобные модели, с некоторыми дополнениями или упрощениями, встречались в литературе3 Авторы этих работ решали задачи оптимального управления, по сути, аналогичные задаче (6). Однако, справедливо следующее утверждение, доказательство которого приведено в диссертационной работе

Предложение 2. Задача оптимального управления (6) не имеет решения

В каком случае покупатель захочет приобрести товар?

Если он не будет ничего покупать, а просто положит деньги, на которые можно было бы приобрести единицу товара, в банк, то он за время Т получит прибыль в размере

регТ. Если он предполагает, что после момента покупки товар больше не будут продавать, и будет его использовать, то он примет решение о покупке в случае, если

СО

р<

о

Можно рассмотреть и другую гипотезу об ожиданиях потребителя. Например, покупая товар, потребитель

3 Thepot J A direct proof of the Coase conjecture I I Journal of Math Economics 1998 V 29 P 57-66

Kahn С Durable goods monopolist and consistency with increasing costs // Econometrica 1986 V 54, N 2 P 275-294

Осадчий MC Динамическая монополия и конкуренция на рынке товаров длительного пользования // Сибирский журнал индустриальной математики Октябрь-декабрь, 2002 tomV №4(12) С 92-109

предполагает количество товаров «на руках» у всех потребителей неизменным, тогда он примет решение о приобретении товара при следующем условии: р < /{Х)!(г + /л), Принципиального отличия для решения задачи эти гипотезы не имеют, что показано в диссертационной работе. Таким образом, мы получили ограничения на фазовую траекторию. Обозначим фазовое ограничение как р < g(X). Задача максимизации прибыли монополиста становится следующей задачей оптимального импульсного управления с фазовыми ограничениями. ЩТ) шах,

/</) = (г+ -/(*('))

«(О > 0,^(0 > о,

Ж(0) = 0, Х(0) = Х0; р(0) = р0.

Введем следующие обозначения

00

1. ¡ДХе~"')е-(г+")!Ж = £(Х), тогда фазовое о

ограничение примет вид p<g(X). Заметим, что g{X) убывает по X.

2. X - решение уравнения

(/и + г)(8(Х)-с) + МХ8'х(Х) = О,

а Хс - решение уравнения g(X) = с

3 -Р = 8(Х)

4 Х*=1Хь ПРЫ Ро <

|Х0, при р0 >

где Хх - решение уравнения ¿К^ч) = р0

18

5 и (0 = fiX (t)+ 1 Ur + fi)g(Xß(t))-f{Xß(t)\ где X (t) - решение дифференциального уравнения X = ~—[(r + »)g{X)-f{X)\,

с начальными условиями Х(0) = X*.

6. тм - время, за которое траектория X(t) при

управлении up(t) изменяется от значения X* до значения

X, в случае, когда X* > X. Если X* < X, то т.. = 0.

Теорема 3. Для задачи (7) оптимальное управление существует и имеет вид

u(t) = (X* - X0)S(t) + (Х- X\S(t) + juXe(t -rM) +

+ uß(t)0(zM -t) + (Xc - m'äx{X,XF(T)})+ 8(t -T),

а соответствующая ему траектория выглядит следующим образом

Х0, при t- 0; XM(t), при 0 <t <тм; X, при mm<t<T\ ших{Хс,Хм(Т)], при t = T

X(t) =

Пусть с <р0< g(X(j) Оптимальная траектория в этой

задаче обязательно попадает на ограничение, иначе бы имела решение задача (6) без фазовых ограничений

Задача о наилучшем попадании на ограничение с нефиксированным временем имеет вид

г*

$ег(т~°(р(0 - с)и(1)Л шах

о

= (8)

р(т*) = §(Х(т*)).

«(/) > О, н'(/) > О;

Х(0) = Х„р(0) = р0

Доказательство теоремы 3 основано на следующем утверждении.

Лемма. В задаче (8) время выхода на фазовое ограничение г* = 0 Оптимальное управление

м(0 = (X * ~Х 0ЖО, где X* такое, что ) = р0

Т.е оптимальная траектория попадает на ограничение скачком в первый момент времени.

Отклоняться от ограничения монополисту не выгодно, так как р = g(X) - это максимальная цена, которая возможна за данное количество товара X, понижать ее убыточно, а повышать ее нельзя из-за ограничения Удерживать цену р на уровне g(X) позволяет управление м/. В этом случае мы попадаем в условия задачи (3), решение которой найдено в главе 1

Оптимальные траектории для задач с учётом вторичного рынка и без него очень похожи: при достаточно небольшом начальном запасе товара у потребителей в начальный момент времени происходит скачок на магистраль, где траектория остаётся до последнего момента времени.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

■ Построена модель рынка товаров длительного пользования, позволяющая описывать поведение

монополиста. При различных предположениях о товаре и ситуации на рынке модель представляет собой задачу оптимального импульсного управления, оптимального импульсного управления с запаздываниями, оптимального импульсного управления с ограничениями на фазовую траекторию. Найдены оптимальные решения этих задач, доказана теорема о магистрали в сильнейшей форме.

■Исследование модели показало, что справедливость гипотезы Коуза зависит от характера выбытия товаров длительного пользования. Для товаров, описываемых экспоненциальным законом выбытия, справедливость гипотезы Коуза зависит от соотношения коэффициента выбытия /л и банковской процентной ставки г При

изменении параметра ¡л/г от 0 до со магистраль X монотонно смещается от выпуска при совершенной конкуренции Хс к монопольному выпуску Хм. Гипотеза Коуза справедлива, если ¡л «г Для товаров с фиксированным сроком службы при нулевом начальном запасе товаров у потребителей гипотеза подтверждается Для совершенно долговечных товаров, какие и рассматривал Коуз, гипотеза подтверждается: монополист оказывается в условиях конкуренции.

■ Снижение долговечности товара может помочь монополисту избежать конкуренции в случае товаров с экспоненциальным выбытием, но не в случае товаров с фиксированным сроком службы. Однако, и в том и в другом случае, монополист увеличивает свою прибыль, снижая долговечность товаров.

■Вопреки предположениям Коуза, используя монополистический лизинг, монополист всё равно может оказаться в условиях конкуренции. Более того, наличие торговли на вторичном рынке не оказывает принципиального влияния на поведение монополиста

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО

ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Флерова АЮ, Шананин А А Задача оптимального управления производством товаров длительного пользования. Труды XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика Москва-Долгопрудный МФТИ, 2003г с 138-139.

2. Флерова АЮ Модели вторичного рынка товаров длительного пользования. Труды XLVII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII Управление и прикладная математика. Москва-Долгопрудный- МФТИ, 2004г с. 165-167.

3 Флерова АЮ Шананин А А Анализ динамической модели рынка товаров длительного пользования. Первая международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г, Переславль-Залесский, Россия)- Труды конференции Т 1. - М.. КомКнига, 2005. - с. 343-347.

4. Флерова А Ю Исследование влияния вторичного рынка на поведение монополиста, производящего товары длительного пользования M . ВЦ РАН, 2006.

5. Флерова А Ю Товары длительного пользования с фиксированным сроком службы. Труды V Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2007), посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева. М.: МАКС Пресс, 2007. с. 105-106.

6. A Y Fier ova Mathematical modeling of monopolist's behavior on durable goods market Труды 2-ой Международной конференции «Математическое

моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007) M РУДН, 2007. С 266268.

7. Флерова АЮ Управление производством товаров длительного пользования с учётом монополистического лизинга. Известия РАН: Теория и системы управления, № 6,2007. С.167-176

8. A Yu Fier ova Control of Production of Durable Goods with Account of Monopolistic Leasing // Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, Vol 46, No 6,pp 1001-1010

9 Флерова А Ю Математическая модель рынка товаров длительного пользования с различными характеристиками выбытия. II Всероссийская научная конференция с молодежной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н Моисеева. ЭКОМОД-2007, г Киров, 9-15 июля 2007/Тезисы докладов. - Киров, изд-во. ВятГУ, 2007. С 43.

10 Флерова А Ю Математическая модель рынка товаров длительного пользования с различными характеристиками выбытия II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения НН. Моисеева ЭКОМОД-2007, г Киров, 9-15 июля 2007/Труды конференции. - Киров, изд-во. ВятГУ, 2007. С 43.

i И. Флерова АЮ Поведение монополиста на рынке товаров длительного пользования в зависимости от вида товаров. Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г., Обнинск, Россия)-

Труды конференции. В 2 т. Т.2. - М.: Издательство ЛКИ, 2007. С. 139-141.

12 Флерова АЮ Математическая модель вторичного рынка товаров длительного пользования с различными характеристиками выбытия Труды 50-ой научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII Управление и прикладная математика. Том 1 - М. МФТИ, 2007. С.94-96.

13 Флерова АЮ Задачи оптимального управления, возникающие при исследовании гипотезы Коуза. Труды VII международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'08. Москва, 28-31 января 2008 г. Институт проблем управления им AB Трапезникова РАН М.. Институт проблем управления им. A.B. Трапезникова РАН, 2008. С 1292-1295.

Основные результаты диссертации представлены в работах [4, 7, 10]. В совместных работах задачи поставлены и направление их решений выбрано совместно с профессором А.А Шананиным, автору принадлежит реализация выбранных направлений исследования-формулировка и доказательство утверждений, изучение свойств оптимальных траекторий

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати 15 04 2008 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 1,5 Тираж 100 экз Заказ 171 Тел 939-3890 Тел /Факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им МВ Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

Введение.

Глава I. Модель рынка товаров длительного пользования.

1.1. Монополия и конкуренция: обозначения.

1.2. Описание рынка товаров длительного пользования.

Глава II. Монополистический лизинг.

2.1. Экспоненциальное выбытие.

Постановка задачи.

Замечание 1. Расчёт дохода монополиста.

Замечание 2. Ловушка Коуза.

Выводы.

2.2. Товары с фиксированным сроком службы.

2.3. Необходимые условия оптимальности (общий случай).

Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с экспоненциальным выбытием.

Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с фиксированным сроком службы.

Выводы.

Глава III. Монополист и вторичный рынок товаров длительного пользования.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Обоснование фазовых ограничений.

3.3. Задача с фазовыми ограничениями.

Решение задачи оптимального импульсного управления с фазовыми ограничениями.

3.4. Модели Канна, Тепо, Осадчего.

3.5. О виде фазовых ограничений.

3.6. Влияние вторичного рынка.

3.7. Дополнение: вторичный рынок товаров с фиксированным сроком службы.

Известный американский экономист Рональд Коуз (Ronald Coase) предположил, что, монополист, производящий товары бесконечно длительного пользования (совершенно долговечные товары) или владеющий ими изначально, теряет свою монопольную власть. В результате он вынужден продавать товары длительного пользования по конкурентной цене. Конкуренция может возникнуть, даже если существует только один поставщик.

Согласно Коузу, товар, проданный вчера, является совершенным заменителем товара, купленного сегодня, т.е. производимый сейчас товар конкурирует с товаром, произведённым и проданным ранее. Получается, что с монополистом конкурирует тот, кого он не одолеет никогда: он сам. По мысли Коуза, эта конкуренция совершенна.

В своей работе Durability and monopoly [1] Коуз выдвинул следующее интуитивное предположение: монополист насытит рынок, продавая товар по монопольной цене, но не остановится на этом, когда спрос на товар по монопольной цене станет равным нулю, так как имеет возможность продать ещё дополнительное количество товара по более низкой цене. Чем больше товара он будет выбрасывать на рынок, тем быстрее будет падать цена. Если процесс продолжается, то цена упадёт до конкурентной цены. Зная это, покупатели не будут приобретать товар, пока цена не достигнет конкурентной. Справедливость своей гипотезы Коуз обосновывал с помощью результатов статической модели монополии, тогда как постановка задачи требует применения динамической теории.

Потребитель, покупающий товар длительного пользования сегодня, вряд ли купит такой же товар завтра. Таким образом, товары, которые предлагает монополист в два различных периода, представляют собой заменители, а не дополнители.

Приведём иллюстрацию гипотезы Коуза для самого простого статического случая [2]. Предположим, что существуют семь потребителей. Эти потребители имеют «готовность платить» или «оценку» v = l,2,.,7 соответственно; v -настоящая дисконтированная стоимость потока услуг, начиная с момента покупки и далее. Каждый потребитель может извлечь полезность только из одной единицы товара длительного пользования. Предположим, что никаких затрат на производство этого товара не требуется и сам товар долговечен.

Допустим сначала, что монополист делает в первом периоде предложение раз и навсегда. Монополист назначает монопольную цену 4 (при .этом монополист получает максимально возможную монопольную прибыль, равную 16). Теперь рассмотрим многопериодную модель. Предположим, что монополист назначает цену 4 в первом периоде, а потребители с оценкой не ниже 4 принимают её. В начале второго периода остаточный спрос монополиста составляют потребители с оценками от 1 до 3. В этом случае монополист склонен назначить более низкую цену для второго периода. Например, если второй период является последним периодам продаж монополиста, он назначает монопольную цену, соответствующую остаточному спросу, т.е. цену 2. Теперь рассмотрим, что произойдёт, когда потребители в первом периоде понимают, что у монополиста ex post появится стимул снизить цену во втором периоде. Потребители с высокими оценками, возможно, всё ещё будут согласны платить цену 4, так как они склонны приобрести товар. Тем не менее, потребитель с оценкой 4, например, не купит товар, поскольку он получил бы нулевой излишек, тогда как, подождав какое-то время, он мог бы получить положительный излишек. Таким образом, ожидание будущего снижения цены вызывает снижение спроса в первом периоде.

Гибкость, которой обладает монополист для регулирования цен во времени, на самом деле, причиняет ему ущерб. Действительно, для него было бы лучше, если бы он мог ex ante принять на себя обязательство не торговаться, т.е. не снижать цены после того, как потребители с высокой оценкой купят товар. Это объясняется тем, что потребители ждут того момента, когда монополист снизит цену. Потери прибыли монополиста в условиях отсутствия обязательств становятся очень высокими при частых ценовых корректировках. Гипотеза, выдвинутая Коузом, утверждает, что при нарастающей частоте ценовых корректировок прибыль монополиста стремится к нулю. Все торговые операции совершаются практически мгновенно по ценам, близким к предельным затратам (как в случае конкуренции).

Монополист может сократить количество товара, переходящего в следующий период, снижая продолжительность срока службы товара. При этом увеличивается остаточный спрос, а, следовательно, и цена следующего периода.

Р. Коуз указал две стратегии возвращения монопольной власти:

1. особые договорные и институциональные соглашения. Например, монополист обязуется не продавать товар сверх количества, соответствующего монопольной цене, или принимает решение не продавать товар, а сдавать его в аренду (монополистический лизинг), что позволяет закрепить товар за покупателем;

2. снижение долговечности товара.

Действительно, монополистический лизинг «ликвидирует» вторичный рынок товаров длительного пользования, и единственным продавцом товара остаётся монополист. А снижение долговечности товара заставляет потребителей чаще приобретать товар, что увеличивает объёмы продаж и доходы монополиста.

Гипотеза Коуза превратилась в аргумент юридической практики. Вот какие выводы делает американский судья Ричард Познер: «Профессор Коуз доказал, что политика монополистического лизинга такого монополиста товара длительного пользования, как United Machinery Corporation, может быть предназначена для преодоления трудностей, встречающихся при попытке назначить монополистическую цену за товар длительного пользования. Возможно, монополистический лизинг следовало бы запретить на этом основании».

Компания «Белл» в 1877 г. приняла решение не продавать телефонные аппараты, а сдавать их в аренду. Компания United Machinery Corp., производившая оборудование для изготовления обуви, не продавала своё оборудование, а сдавала в аренду сроком на 17 лет. К монополистическому лизингу прибегали корпорации IBM и Xerox. В декабре 2005 года компания Honda представила свою новую разработку: робота - помощника в офисе, согласно заявлениям компании, робот не поступит в продажу, но в скором времени его можно будет взять в лизинг.

Возможно, действия этих компаний были вызваны не столько противостоянием угрозе снижения цен из-за отказа потребителей покупать товар иначе как по конкурентной цене, сколько стремлением ликвидировать или монополизировать рынок подержанной продукции и прикрепить к себе потребителей на весь период использования товаров длительного пользования в части послепродажного обслуживания. Кроме того, монополистический лизинг позволяет осуществлять ценовую дискриминацию первого рода путём назначения более высокой арендной платы более активным пользователям.

Под влиянием работ Коуза были внесены поправки в федеральное антимонопольное законодательство США, запрещающие монополистический лизинг товаров длительного пользования.

Дж. Бюлоу (Bulow, 1982, 1986) [3,4] рассматривает простую двухпериодную дискретную модель рынка товаров длительного пользования для различных типов предприятий. Решается задача максимизации прибыли монополиста за два периода. Автор рассмотрел возможность выбытие товаров и наличия вторичного рынка (во второй период товар может продавать не только монополист, но и купившие товар в первый период). Показано, что доход монополиста, продающего товары, ниже дохода монополиста, сдающего товары в аренду. Чтобы повысить свой доход, монополист, продающий товары, специально уменьшает срок службы товаров, что заставляет покупателя чаще делать покупки.

Вопрос об оптимальной продолжительности срока службы товара для случая монополистического лизинга рассматривается в работе [5]. Опираясь на тот факт, что монополист является владельцем запаса товаров длительного пользования в каждый момент времени, автор делает выводы о том, что у монополиста есть стимул выбирать долговечность, чтобы минимизировать межвременные производственные затраты. «Запланированное устаревание» отсутствует, монополист не производит товар с нерентабельно коротким жизненным циклом для того, чтобы вынудить потребителей совершать покупки.

Н. Стоки (Stokey, 1982) показала [6], что исследовать гипотезу Коуза можно только в непрерывном времени. Покупатель будет считать товар, проданный завтра, совершенным заменителем товара, проданного сегодня, если не придётся терпеть убытки в ожидании до завтра, чтобы купить товар, т.е. только если момент «завтра» - следующий момент продаж, наступает через бесконечно малое время. Рассмотрена динамическая модель с бесконечным горизонтом планирования, для этой модели найдено равновесие, которое является пределом (единственных) равновесий в вариантах этой модели с конечным горизонтом планирования. Опираясь на предположение о рациональности потребительских ожиданий, Стоки показала, что в равновесном состоянии цены на товар бесконечно длительного пользования становятся конкурентными (т.е. равными предельным издержкам, которые считаются постоянными). Т.е. рынок наполняется «в мгновенье ока» и торговля прекращается.

Вслед за Бюлоу, Буковецки и Хилтон [7] показывают, что поведение монополиста зависит от отсутствия угрозы входа в отрасль. Монополист продал бы некоторое количество товара, если бы он пытался сдержать вход соперника. Продажи снижают потенциальный спрос для новичка, тогда как аренда не обязывает потребителей оставаться с укоренившейся фирмой в случае входа новой фирмы.

В работе [8] приведен вывод гипотезы Коуза, когда оценки покупателей отличаются от производственных затрат монополиста. В данном случае гипотеза Коуза говорит о том, что монополист продаёт по цене, близкой к самой низкой оценке покупателя.

Ж. Тепо (Thepot, 1988) [9] приводит прямое доказательство гипотезы Коуза с использованием теории оптимального управления и динамического программирования для случая нулевых предельных издержек и абсолютно долговечных товаров. Рассматриваются два вида монополии: монополия, пользующаяся доверием, и монополия, непользующаяся доверием. В работе [10] Ч. Кан (Kahn, 1986) строит динамическую модель рынка товаров длительного пользования и делает попытку доказать, что в случае возрастающих предельных издержек гипотеза Коуза несправедлива. М.С. Осадчий [11], опираясь на модели Кана и Тепо, исследует рынок более подробно, используя средства математической экономики, рассматривая различные варианты поведения монополиста. Аналогичную задачу, но с учётом возможности амортизации товара, пытается решить и JI. Карп (Кагр, 1996) [12], используя понятие «сильного марковского абсолютного равновесия» (Strong Markov Perfect

Equilibrium). Однако в этих четырёх работах можно указать неточности в применении математических методов.

В работе С. Рейнольдса (Reynolds, 2002) [13] описана экспериментальная проверка гипотезы Коуза: рассмотрен случай одного продавца-монополиста и четырёх покупателей. В эксперименте принимали участие студенты экономических школ, которые, в качестве покупателей, могли приобрести единицу товара или не приобретать товар в течение одной сессии. Мотивацией к покупке товара служила возможность последующей «перепродажи» товара «экспериментатору» по заранее оговорённой цене. Результаты этой проверки подтверждают гипотезу Коуза: как для больших, так и для малых периодов, в которые осуществляется торговля, цены на товары длительного пользования оказались значительно ниже, чем на обычные товары в той же модели.

Большой класс работ посвящен рассмотрению гипотезы Коуза с теоретико-игровой точки зрения.

Гуль, Зонненшайн и Уилсон [14] (Gul, Sonnenschein and Wilson, 1986), в предположениях, аналогичных Стоки, представляют доказательство гипотезы Коуза при условии, что покупатели используют «стационарные стратегии» (принимают решения, зависящие только от текущей цены). Однако в этой работе показано, что в модели с бесконечным горизонтом планирования может быть найден континуум равновесных состояний, отличных от «равновесия Коуза».

Осабел и Денекер [15] (Ausubel, Deneckere, 1989) в своей работе показали, что равновесие Коуза можно использовать для доказательства существования другого нестационарного равновесия: как только монополист откланяется от этого гипотетического равновесия, он теряет доверие покупателей и возвращается к равновесию Коуза, что приводит к уменьшению его дохода. Т.е. это случай, пользующейся доверием монополии, когда монополист связывает себя дополнительными обязательствами.

Багноли, Салан и Швербинский [16] (Bagnoli, Salant and Swierzbinski, 1989) рассматривают случай конечного числа покупателей: это разумно с точки зрения постановки эксперимента, но в этом случае монополист имеет возможность различать покупателей с точки зрения назначения цены, и таким образом, получать большую прибыль.

Основная задача данной работы - исследовать поведение монополиста на рынке товаров длительного пользования. С целью проверки гипотезы Коуза построена динамическая модель рынка товаров длительного пользования. Проанализированы предположения Коуза о восстановлении монопольной силы. В диссертационной работе исследованы не только товары с «классической» экспоненциальной функцией выбытия, но и товары с фиксированным сроком службы.

Актуальность работы. Актуальным является анализ механизмов восстановления монопольной власти на рынке товаров длительного пользования, проведённый на языке математических моделей.

Практическая г{енность. Исследование рынка товаров длительного пользования необходимо для совершенствования антимонопольного законодательства и формирования политики регулирования государственного вмешательства на этом рынке.

Научная новизна. Коуз основывал свою теорию на интуитивных предположениях, тогда как полный анализ данной гипотезы требует математической чёткости. Достаточно обширный класс работ, посвященных анализу гипотезы Коуза, основан на простых двухпериодных моделях. В литературе встречаются попытки построить и динамические модели рынка товаров длительного пользования. В числе наиболее известных и широко цитируемых из таких работ можно назвать работы Кана [9] (Kahn С., 1986), Тепо [10] (Thepot J., 1998), М.С. Осадчего (2002) [11] и некоторых других авторов, основывающих свои исследования на результатах этих трудов. В диссертации показано, что формализация задач, описывающих модели, предложенные в этих работах, проведена некорректно1. В диссертационной работе предложены модели для корректного исследования гипотезы Коуза. Эти модели формализованы задачами оптимального импульсного управления. С помощью этих моделей было показано, что выполнение гипотезы Коуза зависит от характеристик товара длительного пользования: для товаров с фиксированным сроком службы гипотеза нашла свое подтверждение (при определённых начальных условиях), а в случае

1 Подробнее см. главу III. экспоненциального выбытия выполнение гипотезы зависит от соотношения нормы выбытия и ставки процента.

Вопреки предположениям Коуза, даже используя монополистический лизинг, монополист может оказаться в условиях конкуренции. В работе показано, что наличие вторичного рынка не оказывает принципиального влияния на поведение монополиста.

Апробация работы. В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследовательской работы по проектам:

• плана научно-исследовательской работы отдела математического моделирования экономических систем ВЦ РАН № 01.2.007 01866

• аналитической ведомственной целевой программы РНП.2.2.1.1.2467;

• РФФИ (проект № 08-07-00158-а, 07-01-12024-офи, 05-01-00942, 05-01-08045-офиа, 02-01-00854-а);

• РГНФ (проект № 08-02-00347а, 05-02-02349а),

• программы по поддержке ведущих научных школ НШ-2982.2008.01, НШ-5379.2006.1,

• программы фундаментальных исследований РАН № 16 «Математическое моделирование и интеллектуальные системы», программ фундаментальных исследований ОМН РАН № 3 (п. 3.14), РАН № 14 (п. 1.11).

Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• XLVI, научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2003г.

• XLVII научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2004г.

• I международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2005, Переславль-Залесский, 2005.

• V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2007). Москва, 2007.

• Вторая Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), Москва, 2007.

• II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева. ЭКОМОД-2007, Киров, 2007.

• Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2007, Обнинск, 2007.

• L научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва, 2007.

• VII международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'08. Москва, 2008.

• Вторая ежегодная конференция "Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе". Санкт-Петербург, 2008.

• научный семинар под руководством академика А.А. Петрова в ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, Москва, 2007.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Коуз выдвинул гипотезу о том, что монополист на рынке товаров длительного пользования теряет свою монопольную власть и оказывается в условиях конкуренции, и предположил, что монополист может вернуть монопольную власть, используя монополистический лизинг.

Гипотеза Коуза нашла свое полное подтверждение только для совершенно долговечных товаров (товаров без выбытия). Действительно, при нулевой функции выбытия торговля происходит только в первый момент времени, рынок мгновенно насыщается до конкурентного значения и торговля прекращается. Однако это состояние конкуренции достигается при монополистическом лизинге, т.е. предположение Коуза о том, что монополистический лизинг помогает монополисту избежать конкуренции, не нашло подтверждения даже в этом тривиальном случае.

В ходе исследования удалось установить следующий важный факт. Большое влияние на поведение монополиста оказывает вид выпускаемого товара длительного пользования, характеризуемый функцией выбытия. В случае товаров с фиксированным сроком службы, запас товаров у потребителей всегда находится на конкурентном уровне (при нулевых начальных условиях) в согласии с гипотезой Коуза. В этой ситуации монополистический лизинг не влияет на поведение монополиста так, как предполагал Коуз. Снижение долговечности товара также не помогает избежать конкуренции, однако увеличивает доход монополиста, заставляя покупателей чаще приобретать товар.

На рынке товаров, описываемых экспоненциальным законом выбытия, справедливость гипотезы Коуза зависит от соотношения коэффициента выбытия /1 и банковской процентной ставки г. Для этой задачи доказана теорема о магистрали в сильнейшей форме. Магистраль определяется особым режимом, и причем она монотонно смещается при изменении параметра — от 0 до со от г значения выпуска при совершенной конкуренции к значению монопольного выпуска. Это означает, что гипотеза Коуза справедлива, если ju«r. Монополист может оказаться в условиях конкуренции, сдавая товары в аренду. Однако, снижая долговечность товара (увеличивая параметр ju), монополист действительно может избежать совершенной конкуренции, приблизив свой выпуск к монопольному.

Итак, из представленного исследования гипотезы Коуза можно сделать следующие основные выводы: справедливость гипотезы Коуза зависит от закона выбытия товаров длительного пользования, в рассмотренных случаях монополист мог оказаться как в условиях конкуренции, так и монополии; монополистический лизинг товаров длительного пользования не позволяет вернуть монопольную власть вопреки предположению Коуза; снижение долговечности товара не позволяет понизить уровень запасов товаров у потребителей, однако приносит дополнительный доход, так как покупатели чаще приобретают новый товар.

1. Coase R.H. Durability and monopoly // Journal of Law and economics. 1972. V.15. P.143-149.

2. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: теория организации промышленности. СПб.:

3. Экономическая школа, 2000.

4. Bulow J. Durable-goods monopolists // Journal of Political Economy. 1982. V.90. P.314332.

5. Bulow J. An economic theory of planned obsolescence // Quarterly Journal of Economics.1986. V. 101, N 4. P. 112-128.

6. Swan P., Optimum Durability, Second Hand Markets, and Planned Obsolescence, Journal of

7. Political Economy. V. 80. 1972. P. 575-585.

8. Stokey N.L. Rational expectation and durable goods pricing // Bell Journal of Economics. 1981. V. 12, N 1. P. 112-128.

9. Thepot J. A direct proof of the Coase conjecture // Journal of Math. Economics. 1998. V.29.1. P.57-66.

10. Kahn C. Durable goods monopolist and consistency with increasing costs // Econometrica. 1986. V.54,N2. P.275-294.

11. Осадчий M.C. Динамическая монополия и конкуренция на рынке товаров длительного пользования // Сибирский журнал индустриальной математики. Октябрь-декабрь, 2002. том V. № 4 (12). С. 92-109.

12. Karp L. Depreciation erodes the Coase Conjecture // European Economic Review. 1996. V.40. P.473-490.

13. Reynolds S. An Experimental Investigation Of Coase's Conjecture on Durable-Goods Monopoly Pricing // Research in Experimental Economics, Vol. 9: Experiments Investigating Market Power, Elsevier Science Ltd., 2002. P.139-163.

14. Gul F., Sonnenschein II, Wilson R. Foundations of dynamic monopoly and the Coase conjecture // Journal of Economic Theory. 1986. V.39. P.155-190.

15. Ausubel L., Deneckere R. Reputation in bargaining and durable goods monopoly // Econometrica. 1989. V.57, N 3. P.511-531.

16. Bagnoli M., Salant S., & Swierzbinski J. Durable-Goods Monopoly with Discrete Demand // Journal of Political Economy. 1989. V.97. P. 1459-1478.

17. Дыхта В.А., Самсонюк O.H. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

18. Дыхта В.А. Необходимые условия оптимальности импульсных процессов при ограничениях на образ управляющей меры // Изв. вузов: Математика. 1996. №12. С.1-9.

19. Куржанский А.Б. Оптимальные системы с импульсными управлениями. Дифференциальные игры и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975, с. 131-156.

20. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К управлению линейной системой обобщенными воздействиями. Дифференциальные уравнения. 1969. Т.5. N 8, с. 1360-1370.

21. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005.

22. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы:. модели и приложения. М.: Наука, 1991.

23. Ащепков JI.T. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука, 1987. 226 с.

24. A. Bressan, F. Rampazzo. Impulsive Control Systems with Commutative Vector Fields. J. of Optimization Theory and Applications, vol. 71 (1991), pp.67-83.

25. F.M.F.L. Pereira and G.N. Silva. Necessary conditions of optimality for vector-valued impulsive control problems. Systems and Control Letters 40, 2000, pp. 205-215.

26. G.N. Silva and R.B. Vinter. Necessary conditions for optimal impulsive control problems. SI AM J. Control Optim., 35 (1997), pp. 1829-1846.

27. R.B. Vinter and F.M.F.L Pereira. A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories. SIAM J. Control Optim., 26 (1988), pp.205-229.

28. Ашманов С.А. Линейное программирование. M.: Наука, 1981.

29. Dorfman R., Samuelson P. A., Solow R. M. Linear programming and economic analysis. N.Y.: McGrow Hill, 1958.

30. БекларянЛ.А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Введение в линейную теорию // Матем. заметки, 1998, 63(4), 483—493.

31. Бекларян Л.А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и связанные с ними метрические инварианты// ВИНИТИ. 1999. Т.67. С.161-182.

32. Бекларян Л.А. Задача оптимального управления для систем с отклоняющимся аргументом и ее связь с конечно-порожденной группой гомеоморфизмов R, порожденной функциями отклонения// ДАН СССР. 1991. Т. 317, N6, С. 1289-1294.

33. Бекларян Л.А. Об одном методе регуляризации краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// ДАН СССР. 1991. Т. 317, N5, С. 1033-1038.

34. Бекларян Л. А. Уравнения опережающе-запаздывающего типа и решения типа бегущей волны для бесконечномерных динамических систем СМФН, 2003, 1, с. 1829.

35. Харатишвили Г. Л., Тадумадзе Т. А. Формулы вариации решения дифференциального уравнения с запаздывающими аргументами и разрывным начальным условием. Матем. сб., 2005,196:8, с. 49-74.

36. Харатишвили Г. Л., Тадумадзе Т. А. Нелинейные оптимальные системы управления с переменными запаздываниями. Матем. сб., 1978, 107(149):4(12). С. 613-633.

37. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т.1. М.:Мир, 1991.

38. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями. Известия АН СССР. Серия техническая кибернетика. 1984. №4. С. 60-68.

39. Арутюнов А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. ДАН СССР. Т. 304, 1989. № 1. С. 11-14.

40. A. Arutyunov, D.Karamzin, F. Pereira. A nondegenerate maximum principle for the optimal control problem with state constraints. 2005. SIAM J.Control Optim. V.43. №5. p.1812-1843.

41. D. Yu. Karamzin. Necessary extremum conditions in the optimal control problem with state constraints. Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47, No. 7, 2007, pp. 1073-1100.

42. F.M.F.L. Pereira. A maximum principle for impulsive control problems with state constraints // Computational and Applied Mathematics. Vol.19. N.2. 2000. pp. 137-155.

43. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Доклады Академии наук СССР. 1963. том 149. №4. С.759-762.

44. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

45. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

46. Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. МГУ, Мех-Мат. 2004.