автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование алгоритмов стабилизации линейных нестационарных систем линейными и нелинейными регуляторами

На правах рукописи

Макаров Дмитрий Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ (НА ПРИМЕРЕ ДИНАМИКИ ВЕРТОЛЕТА)

Специальность: 05.13.01 -Системный анализ, управление и обработка информации (управление)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

20)3

Москва, 2013

005060363

005060363

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН), лаборатория №0-2 «Динамические интеллектуальные системы».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Осипов Геннадий Семенович

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Дмитриев Михаил Геннадьевич

Официальные оппоненты: Баркин Александр Иванович

доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт системного анализа Российской академии наук, главный научный сотрудник, лаборатория 11-1

Сачков Юрий Леонидович доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт программных систем им. А.К. Айламазяна Российской академии наук, директор Исследовательского центра процессов управления

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук (г. Москва).

Защита состоится « 24 » июня 2013 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002.086.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт системного анализа Российской Академии наук по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт системного анализа Российской Академии наук (г. Москва, проспект 60-летия Октября, 9).

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9, диссертационный совет.

Автореферат разослан « 23 » мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

А.И.Пропой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Задача стабилизации фазовых координат динамических систем является фундаментальной задачей теории автоматического управления. С течением времени постановка задачи стабилизации постоянно усложняется, что связано с ростом учитываемой неопределенности, обусловленным усложнением объектов управления, повышением требований к надежности и качеству их работы. В соответствии с этим изменяются и методы стабилизации.

Непрогнозируемая среда и существенное изменение свойств самого объекта управления делают задачу стабилизации регулируемых координат нетривиальной. На настоящий момент не существует регулярной и общепринятой концепции структурного и аналитического синтеза регулятора при наличии существенной и неустранимой неопределенности разного рода. Классические методы теории автоматического управления требуют знания точной модели объекта управления, что не всегда может быть обеспечено на практике: например, некоторые параметры могут быть неизвестны априорно или меняться в широком диапазоне в процессе эксплуатации.

Методы управления при неустранимой неопределенности изучаются в быстро развивающейся теории робастного управления. Её зарождение связано с трудами A.A. Маркова, П.Л. Чебышева, С. Фаэдо (S. Faedo). Значительный вклад в теорию внесли отечественные и зарубежные исследователи, среди которых отметим В.Л. Харитонова, ЯЗ. Цыпкина, Ю.И. Неймарка, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова, C.B. Емельянова, С.К. Коровина, В.Н. Афанасьева, Г. Замеса (G. Zames), А. Танненбаума (А. Tannenbaum), Д. Акерманна (J. Ackermann), А. Паккарда (A. Packard).

Широкий класс существующих систем характеризуется наличием как сравнительно быстро, так и медленно протекающих процессов, что позволяет использовать гипотезу о разделении движений. Это приводит к декомпозиции исходной системы на ряд подсистем и, тем самым, открывает возможности для синтеза общего (композитного) управления на основе управлений для полученных подсистем меньшей размерности. Однако такой метод построения управления теоретически обоснован лишь при большой разнице в скоростях протекания процессов двух подсистем. В противном случае необходимо развитие методов синтеза композитного стабилизирующего управления, имеющих более широкие пределы применимости. Описанная декомпозиция исходной системы опирается на теорию сингулярно возмущенных систем, зарождение и развитие которой связано с трудами А.Н.Тихонова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, Р. О'Молли (R. O'Malley) и др. Среди работ по теории управления сингулярно возмущенными системами отметим труды П. Кокотовича (P. Kokotovic), М.Г. Дмитриева, Г.А. Куриной, A.A. Первозванского, В.Г. Гайцгори, В.Я. Глизера, X. Халила (H. Khalil) и др.

Обозначенные особенности задач стабилизации требуют развития специальных методов. В последнее время наблюдается рост работ, посвященных задаче конструирования регуляторов, в частности, для управления нестационарными динамическими системами. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке и исследованию нелинейного робастного стабилизирующего регулятора и развитию метода построения композитного линейного регулятора на основе стабилизирующих регуляторов подсистем исходной системы, выделенных с помощью гипотезы о разделении движений, что свидетельствует об её актуальности.

В качестве моделей объектов управления в работе рассмотрены непрерывные линейные нестационарные системы. С помощью такого класса может быть описан широкий спектр задач автоматизации, например, полученных в ходе линеаризации нелинейных систем около опорных траекторий, являющихся функциями времени. Одним объектом из такого класса является линеаризованная модель продольной динамики вертолета, характеризуемая широким диапазоном изменения значений параметров в заданном коридоре в зависимости от режима полета.

Предмет исследования - задачи стабилизации непрерывных динамических систем с определенными и частично неопределенными коэффициентами.

Целью исследования является разработка эффективных методов робастной стабилизации линейных непрерывных динамических систем с ограниченными неопределенными нестационарными коэффициентами, для которых известны минимальные и максимальные значения, и развитие метода построения композитного стабилизирующего управления линейными непрерывными детерминированными системами на основе стабилизирующих управлений их подсистем.

Задачи исследования:

- Разработать робастный стабилизирующий нелинейный алгоритм, снижающий воздействие неопределенности на качество переходных процессов.

- Исследовать на устойчивость соответствующую замкнутую систему.

- Развить подход к разделению исходной системы на подсистемы с целью построения композитного стабилизирующего управления на основе управлений подсистемами.

- Провести численные эксперименты и анализ работы систем стабилизации с разработанными линейными и нелинейными регуляторами.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы с использованием методов линейной алгебры, теории координатно-операторных и операторных обратных связей, теории управления и теории устойчивости.

Научная новизна.

Предложен и исследован класс нелинейных алгоритмов стабилизации, полученный в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина. Алгоритмы позволяют задавать область в фазовом пространстве, характеризующуюся повышенным коэффициентом усиления основного стабилизирующего контура,

что позволяет снизить воздействия факторов параметрической неопределенности на качество переходных процессов.

Получены условия равномерной асимптотической устойчивости замкнутого контура с предложенным нелинейным регулятором для линейного нестационарного объекта управления.

С помощью введенной в работе функции Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости замкнутой системы для модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета.

Обобщен подход к построению стабилизирующего регулятора на основе разделения движений и матричных неравенств, позволяющий строить обратную связь для исходной системы в виде линейной комбинации регуляторов подсистем.

Проведены численные эксперименты, результаты которых показали эффективность предложенных регуляторов.

Практическая значимость. Предложенные методы и подходы к синтезу систем управления достаточно универсальны и могут быть использованы для решения широкого спектра практических задач, которые хорошо описываются в виде линейных непрерывных нестационарных систем.

Достоверность результатов подтверждена строгими математическими доказательствами теоретических утверждений и результатами численных экспериментов.

Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях: «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике» (Санкт-Петербург, 2012 г.), «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2012), 1-м чешско-русском Форуме молодых ученых (Пльзень, 2012), XV Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения - 2013» (Гродно, 2013), на семинарах ИСА РАН, ИПС РАН и МГУ.

Публикации. Всего по теме опубликовано 9 работ: 3 из них в рецензируемых журналах из списка ВАК РФ, 4 в материалах международных конференций. Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2012615718, дата регистрации: 22.06.2012г.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Общий объем диссертации - 110 страниц, список литературы содержит 97 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, определен предмет исследования, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, практическая значимость полученных результатов, а также приведены данные о структуре и объеме диссертации.

В первой главе приведен обзор (параграф 1.1) методов синтеза управления в условиях неопределенности и методов, основанных на гипотезе о разделении движений. В параграфе 1.2 рассматриваются уравнения движения вертолета в общем виде и некоторые линейные модели продольного движения вертолета, используемые в диссертации в численных экспериментах. Последний параграф первой главы посвящен описанию подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина к синтезу нелинейного управления на основе координатной, координатно-операторной и операторной обратных связей.

Вторая глава посвящена методам построения стабилизирующего управления.

Первый параграф второй главы посвящен описанию одного класса робастных нелинейных регуляторов. Сначала на примере задачи стабилизации угла тангажа вертолета в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина строится модель регулятора второго порядка. Показывается, что предложенный регулятор обеспечивает локальную устойчивость.

Один1 из существующих алгоритмов синтеза регуляторов на основе координатной, координатно-операторной и операторной обратных связей применительно к модели продольной динамики вертолета

dcf

х,=х2, 1 ае Achll = {a = const: -0.97 с"1 <а <-0.45 с'},

х,=ах,+Ьи\' , _ ,, ^ _ , > у m 1 \ ^^

2 1 1 b s Bdasl = {b = const : -6.75 с <b< -6.52 с },

где x„ x2 - угол тангажа и его производная (угловая скорость), а и b -ограниченные интервальные коэффициенты, значения которых определяется режимом полета, и - скалярное управление, вырабатываемое для стабилизации положения равновесия * = 0, приводит к построению системы автоматической стабилизации углового положения вертолета с законом управления

и = » = (2)

Таким образом, построенная система управления обладает

/ç

коэффициентом усиления -, и при <7*:->1 наступает эффект большого

1 -qk

коэффициента усиления. Известно, что применение большого коэффициента усиления снижает воздействие факторов неопределенности (конкретные

1 Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. - М.: Наука. Физматлиг, 1997. -352с.

значения параметров а е Ае1а„Ь е вс1а11) на качество переходных процессов системы (1)-(2).

Далее в рамках подхода к синтезу регуляторов на основе координатной, координатно-операторной и операторной обратных связей автором был предложен новый тип нелинейного управления, модифицирующий управление (2).

Связано это с тем, что практическое применение полученной схемы с большим коэффициентом усиления затруднено ограничениями на амплитуду управляющего сигнала, а также возможностью возникновения автоколебаний и потерей устойчивости при сингулярных возмущениях, меняющих порядок объекта. Поэтому целесообразно модифицировать алгоритм (2) с целью достижения повышенного коэффициента усиления в некоторой области фазового пространства Это достигается с помощью введения

нелинейной по отношению к х1,х1 функции Ы(х,,х2):

Например, если М(хх,х2) = е"(&1 +лп*), где 1,т = сою1>О, то коэффициент

усиления -!- в пространстве (х,,х2) может быть представлен

1-дЩх1зхг)

поверхностью в виде «колокола» (Рис. 1), высота которого определяется параметром ц, а скорость затухания по осям х1,х2 - параметрами I и т.

Далее функция N модифицируется путем добавления угла поворота полученной поверхности относительно оси, проходящей через точку (0, 0) и ортогональной к плоскости х,0х2:

№(х1,х2 ,СС) — ^ _ ^ со$(а)+х2 5т(гс))2 -т(-х{ 5т(а)+*2 соъ(а))2 ,

где а — угол поворота против часовой стрелки в радианах. Для уменьшения вероятности нарушения ограничений на управление угол а выражается через параметр с: а = агс^(1/с).

Таким образом, построенное управление будет иметь вид

¿(сх, + х2) \-qe~

где /р(х1,х2) = -1(х1 со$(а)+х25\п(а))2 -т(-х, 5т(а)+х2 со5(а))2, вектор параметров р = (/,/и,с,£,<?)>(), 0<д<1, а = аг^(1/с).

Пример реализации полученного управления (5) представлен графически на Рис. 2 в виде поверхности под цифрой I.

и = , \ (5)

1/(1-qN)

xl, pat)

xJ. pao с

O.Ii? -list*

0.10

xI.piH)

Рис. 1.

0-1» 010 -"AS 11

x2. рад/с

Рис. 2.

Заметим, что (5) является обобщением «стандартного» управления, используемого на большинстве вертолетов (линейный регулятор по состоянию), которое в координатах (х\,хг) имеет вид плоскости (на Рис. 2 она выродилась в прямую II).

Итак, используя (5) имеем следующее уравнение динамики

(6)

d' ( bk \d bkc

-г-Л", = aH--;-г -X, Ч--;-гХ .

1 -qt"^')dt 1 1 -несправедлива следующая

Теорема 1. В некоторой достаточно малой окрестности положение равновесия лг,=0,х,=0 системы (6) асимптотически устойчиво при любых заданных р> 0, 0<g< 1 и а: а = const, а < а<а* ,а* < 0, b\b = const, b~ <b < Ъ*,Ь* <0 .

Далее в первом параграфе приводится обобщение предложенного класса на n-мерный случай и устанавливаются условия устойчивости замкнутой системы.

Регулятор (5) можно записать в общем виде как

и = К(х)х, (7)

где U6R', ieR", К(х) = Цх)К, К(х) = L(x)K, К = const е R"*", ОДеЯ™,

= Hl-?,*"'"*) ',если/ = у R = i

La(x) = -jV" I ' J , R = const e R"*" ,R>0,q, = const,0 <q, <\,i = \,r,j = \,n.

О, если i ^ j

Использование убывающей экспоненты в (7) естественным образом

ограничивает коэффициенты усиления в контурах обратной связи:

^ __ _

lim mini К(х)„ ) —> k.., lim тах(ЛГ(х)„) —»—— ,i = \,r, j =\,п

¿Rx^-t " 1 > 1 Ry—M ■ j ' 1

1-9,

где kjj - элементы матрицы К.

Отметим, что если Я - нулевая матрица или вектор с/, нулевой, то (7) вырождается в обычный линейный регулятор по состоянию. Пусть замкнутая система с управлением (7) имеет вид

х = Л(0х+В(1)К{х)х = Р(х,1), (8)

и в области О = {<е[/0,оо),/0 >0,<Л,Л>0} выполняются условия:

- Д 0,/) = 0;

- А(1), В(1) — непрерывные и ограниченные по I матрицы, для элементов которых известны максимальные и минимальные значения.

Теперь ищем функцию Ляпунова У(х,1) в виде квадратичной формы

У(х,0 = хтР(е)х, Р(1) > 0, (9)

тогда

£г(х,0 = хгР(1)х, Р(х,1) = ^р+М(х,0, (10)

М(х, I) = Р(1)А(х,1) + Аг(х,/)Р(1), А(х, 0 = А(0 + В(1)^(х). Справедлива следующая

Теорема 2. Если найдутся матрицы Р(1)>0 при ¿е [/<,,<»), К, Я>0 и

ЛР

постоянные 0<^|<1, /=1,2,.,.,г, такие что —<0, М(х,1)<0, а также, если в О

Ж

найдутся скалярные непрерывные неубывающие функции а>,(з):а}1(0) = 0,а>1(з)>0 при ¿>0,/=1,2,3 такие, что

^-У(х,1) = хтР(0х<-аз (|И|),

то положение равновесия х = 0 системы (8) асимптотически равномерно устойчиво по Ляпунову в области Б.

Далее в этом же параграфе рассматриваются условия устойчивости положения равновесия * = 0 системы (8) для двумерного случая (и = 2), когда функция Р(1) ищется в виде

V ДА) /ш)

Имеет место

Теорема 3. Если х <е Я2, а > 0 - некоторая константа, матрица Р(1) имеет вид (11) и постоянная положительно определенная матрица Р, матрицы К, Е>0, постоянные 0<<7|<1, /=1,2,...,/-, непрерывные положительные функции $(0,/ = 1,4 могут быть выбраны из условий

фф, > 0.5$,, ф,ф, > 0.5, 2ф2-ф-ф,>0, 2ф2-ф,-ф,>0,

Т ,1 1,2 (12)

х М(х,1)х<-а дг ,

то положение равновесия х=0 в системе (8) равномерно асимптотически устойчиво по Ляпунову в области D.

В конце первого параграфа теорема 3 иллюстрируется на примере робастной стабилизации подсистемы быстрых движений продольной динамики вертолета второго порядка с нестационарными параметрами с помощью регулятора (5).

В параграфе 2.1 на основе метода разделения движений предложен новый, обобщающий известный (предложенный П. Кокотовичем (P. Kokotovic) и Р. Вайлдом (R. Wilde)), подход к построению линейного стабилизирующего управления для управляемой линейной нестационарной системы вида

x = A(t)x+B(t)u, О3)

где х — вектор фазовых координат, и — управление, A(l) и B(t) — известные матрицы соответствующих размерностей.

Управление и ищется в виде линейной композиции управлений подсистем. Для этого исходную систему (13) представляют следующим образом:

y = Ai(t)y+A2(t)z + Bl(t)u,

£z = A3(t)y + Ai(t)z + B2(t)u, ( )

где е - некоторый положительный параметр, не обязательно малый; у, : -фазовые координаты подсистем.

При достаточно малых е > 0 скорость протекания переходных процессов в подсистеме для г из (14) значительно превосходит скорость протекания переходных процессов в подсистеме для у. В этом случае у принято называть «медленной», a z «быстрой» подсистемами (или переменными).

Предположим, что Д,~'(0 существует при всех /е[<0,°о). Тогда построим следующее линейное композитное управление

uc(y,z) = (ciNs(t) + c2M/(t)Ai~i {A, + b2N,(t)))y + c2Mf(t)z, с„с2 =const, (15)

где N,(t), Mf(t) - некоторые матрицы, выбор которых будет описан ниже.

После замыкания (14) регулятором (15) имеем y = À,(t)y+Â2№ c= = 4(t)y+4(t)z,

где Д( 0 = 4(0 + B,(i)ATy, A1(t) = A2(t) + Bi(t)K1, À}(t) = AJ(t) + B2(t)Ky,

Ât(t) = Ai(t) + B1(t)KI, Ку = clN1(t)+c1Mf(i)A;,(A} + В.Л'Д/)), K2=c2Mf(t).

Введем следующие условия

I. Положение р = 0 системы

р = (Â, (0 - Â2 (r)Â4-' (<)Â3 (о) р (17)

равномерно асимптотически устойчиво и известна такая квадратичная форма ртN{t)p,N(t) > 0, что её производная в силу (17) есть квадратичная форма ~PTQ\P с некоторой постоянной матрицей g, > 0.

II. ЯеЯ(л4(0))<о, Убб[/0,оо).

При выполнении этого условия всегда существует единственная положительно определенная матрица М(О) - решение уравнения Д,'(0)Л/+М44(0) = -(22, в>10, <22 - заданная положительно определенная постоянная матрица;

III. Матрицы M(t),

dA,(t) dt

непрерывные и ограниченные на [<0,°°).

Введем также следующие матрицы:

/ЭД = А;'(0А3(0,

Л(0 = А,(<)-Аг(0А4-1(0А3(0,

dt

в,=

dM{!) 1 {mA2(t))T M(t)+M(t)k(t)\(t), Q*

Щ+^E + KR

M

NA,+1 —+KRj U

dt

Справедлива следующая

Теорема 4. Пусть наряду с /-/// выполнены условия:

- все матрицы в (16) непрерывны;

- матрица А4~'(0 существует для каждого <><0;

- матрицы ДГДО, й>0, б2>0, ¿>0, £>3 >0 и числа с,>0, с2>0, е>0 таковы, что регуляторы ч,(у) = ^,(1)у и и/(у,г) = М/(1)г/, являются стабилизирующими соответственно в подсистемах

У. = (А,—А2А4~'А3 )у1 + (В,-А2А4-'В>,, , _ А, (О. +В2(0ц

где =2-А4''(А3у + В2и1), и имеет место неравенство

&-£(£+й)>0, (18) тогда для всех е > 0 из (18) регулятор (15) является стабилизирующим в системе (14) и соответствующая замкнутая система является равномерно асимптотически устойчивой.

Замечание 1. Условие (18) обобщает соответствующее условие из известной работы' и совпадает с ним при достаточно малом £>0 и

Замечание 2. Фактически при построении композитного стабилизирующего регулятора для быстрой подсистемы используется метод замороженных коэффициентов (условие II теоремы), широко применяемый на практике. Известно, что в общем случае этот метод является эвристическим и не гарантирует устойчивость замкнутой системы. В данной работе метод

1 Wilde R.R., Kokotovic P. V. Stability of singular perturbed systems and networks with parasitics // IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-17, №2, 1972. pp. 245-246.

замороженных коэффициентов дополняется разрешимостью матричного неравенства (18), что в совокупности обеспечивает достаточные условия асимптотической равномерной устойчивости замкнутой системы.

Третья глава посвящена численным экспериментам.

В первом параграфе главы исследуется эффективность нелинейного регулятора с помощью двух задач стабилизации угла тангажа вертолета. В обеих из них осуществлялось сравнение с линейными регуляторами со статическими значениями параметров, которые широко применяются для пилотируемых вертолетов1,2. Перейдем к рассмотрению первой задачи.

Оценим эффективность предложенного нелинейного регулятора (5) на примере задачи стабилизации угла тангажа вертолета на двух режимах полета в условиях наличия реально существующих ограничений на управление. В качестве модели объекта управления использовалась (1). Вектор параметров p = (l,m,c,k,q) регулятора (5) и значения параметров линейного пропорционально-дифференциального (ПД-) регулятора, работающего по закону и = Ках1 + Кшх2, определялись путем численной условной оптимизации с помощью разработанной программы (свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2012615718).

Введем интегральный критерий оценки качества J=J(p) и определим задачу условной оптимизации как

J(p) —> min .

psP

Класс Р, задающий условия оптимизации с учетом ограничений на допустимое управление и условий устойчивости замкнутой системы, определенных в теореме 1, для регулятора (5) имеет вид р\ = 0, Pl = со,/ = 14 -р[= 0, р\ = 1;

Мр) = k™(/>)|-0.02; уг{р) = |й_(р)|-0.02, где Yj(p) - нелинейные по отношению к компонентам вектора р функции, задающие ограничения, и^(р) и й^ (р) — максимальная амплитуда и скорость управляющего сигнала и за время наблюдения переходного процесса Т при заданном векторе настроек р. Аналогичным образом определяется класс Р для ПД-регулятора.

Оптимизация произведена для двух функционалов:

т г

•А(Р) = Jtf + u2)dt,J2(p) = Jo,2 + +»2+ U )dt.

о о

Время наблюдения и начальные условия для модели (1): Г=10 с, ^(O^O.l рад, х2 (0) = 0 рад/с. Интегрирование осуществлялось методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом 0.001 с. Оптимизация производилась для двух режимов

1 Петросян Э.А. Аэродинамика соосного вертолета. - Пол и гон-пресс, 2004.

2 Padfield G.D. Helicopter flight dynamics: the theory and application of flying qualities and simulation modelling. -Washington DC: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2007. - 641 p.

полета: висения (Ух = 0 узлов) и прямолинейного полета с воздушной скоростью (/=140 узлов («250 км/ч). Далее скорость Ух указана в узлах.

В рассматриваемой задаче будем называть найденные параметры оптимальными. На Рис. 3 представлены переходные процессы для «стандартного» и предложенного регуляторов на двух рассматриваемых режимах с соответствующими параметрами, оптимальными для режима висения по критерию У,. Режим висения выбран в качестве рассматриваемого потому, что наихудшие характеристики устойчивости вертолеты имеют именно на этом режиме, используемом при выполнении многих практических задач.

0.1

0.08 0.06 0.04 0.02 0

Рис. 3. Переходные процессы для регулятора (5) и ПД-регулятора.

На Рис. 3 номер I соответствует переходным процессам регулятора (5), а номер II - ПД-регулятора. Здесь и далее индексами «а» и «Ь» обозначено моделирование при Ух=0 и Ух = 140 соответственно. Как видно, на всех режимах полета переходный процесс с регулятором (5) обладает уменьшенным перерегулированием и сокращенным временем вхождения в пятипроцентный коридор ошибки (±0.005 рад) по сравнению с переходным процессом с ПД-регулятором. Процессам 1а и Ib соответствуют меньшие значения У, по сравнению с IIa и IIb.

На Рис. 4 представлены переходные процессы для регулятора (5) (кривые 1а и Ib) и ПД-регулятора (кривые Па и IIb) при Ух = 0 и ^ = 140 с

соответствующими оптимальными по J1 для режима висения параметрами.

0.1

DOS 0.06 0.04 0.02 о -0 02

01 23456789 10

Рис. 4. Переходные процессы для регулятора (5) и ПД-регулятора.

\ XI, рад

\ і

......

/мь

\ч 0.01 рад

іа" ______ ---11 с! ;t. с

\ х1, рад

.....V;.........г........г....... X : 1

% : ; llh

Ы — — O.Ol рад 1 t. С

" iNiä

Кривым Ia и Ib соответствуют уменьшенные по сравнению с IIa и IIb перерегулирование и значения критерия J2 и сокращенное время вхождения в пятипроцентный коридор ошибки.

Таблица 1 содержит сравнительные характеристики двух регуляторов по введенным критериям.

Таблица 1. Сравнительная характеристика регуляторов.

Регулятор Л А

Уж=0 Vx = 140 Vx=0 Vx = 140

пд- 0.008954 0.008888 0.01393 0.01360

(5) 0.008162 0.008216 0.01337 0.01322

л/,% 8.85 7.56 4.02 2.79

Итак, на одном из самых ответственных и сложных в пилотировании режиме - режиме висения — нелинейный регулятор обладает наибольшим преимуществом: улучшает показания критериев Jt и J2 ПД-регулятора примерно на 9 и 4 процентов соответственно. При «полете» с большой продольной скоростью выигрыш по У, и J2 составляет около 8 и 3 процентов. Отметим, что оптимизация по J2 приводит к более гладким, но «затянутым» переходным процессам, чем оптимизация по У,.

Перейдем к описанию второй задачи, в которой с помощью численного моделирования исследуется эффективность нелинейного регулятора (5) в различных условиях функционирования. Для выполнения экспериментов с помощью программного обеспечения MATLAB и системы Simulink реализованы:

- модели продольной динамики вертолета второго и четвертого порядков;

- модель регулятора (5);

- модель привода исполнительного органа;

- модель атмосферной турбулентности.

Испытания выполнены в соответствии с определенными сценариями и критериями оценки качества управления. Сценарий испытания задает режим полета вертолета и характеристики атмосферной турбулентности.

Ограничения на максимальную амплитуду и скорость управляющего сигнала определим следующим образом: «„„ = 0.02 рад и = 0.02 рад/с.

Для оценки качества работы регуляторов определим два критерия:

1т 1 т J, = -1(0.04252 + 0.0031й)_.2 + u2)dt, J, = -\(Эг + co2)dt.

2 о 2 о

Определение значений параметров регулятора (5) осуществлялось с ПОМОЩЬЮ приведенной выше численной условной оптимизации ПО Jз для модели, соответствующей режиму висения. Регулятор с найденным параметрами будем обозначать как NL opt.

Рассматривались также линейные регуляторы РЭ20р1 и РБ40р1, аналитически рассчитанные по моделям продольного движения вертолета второго и четвертого порядков. Р020р1 и РЭ40р1 являются оптимальными по для соответствующей модели на режиме висения.

Средние значения J) и Jt для всех реализованных регуляторов и модели продольного движения четвертого порядка приведены в таблице 2.

Таблица 2 - Средние значения J, и Jt для реализованных регуляторов

Режим полета J,: Средние значения J, и Jt для различных регуляторов

J4 PD20pt PD40pt NL opt

К=о J, 8,6832Е-04 8,6466Е-04 7.4905Е-04

А 1,4218 Е-02 1.3684Е-02 1.0658Е-02

Vx =140 J, 9,3754Е-04 1.0796Е-03 1.0243Е-03

J. 1.5709Е-02 1,7273 Е-02 1.3108Е-02

Среднее для ■л 9,0293Е-04 9,7215Е-04 8,8666Е-04

обоих режимов J, 1.4963Е-02 1,5478 Е-02 1,1883Е-02

Регуляторы PD2opt и PD4opt увеличивают среднее значение J3 регулятора NL opt примерно на 2 и 10 % соответственно, а значение J4 — на 26 и 30%. На одном из самых ответственных и сложных режимов полета - режиме висения - NL opt также превосходит линейные регуляторы PD2opt и PD4opt: на 16 и 15% по критерию J, и на 33 и 28% по критерию Jt.

Таким образом, построенный нелинейный регулятор эффективнее рассмотренных линейный аналогов по средним значениям предложенных критериев.

В конце главы рассматриваются примеры построения композитного регулятора и приводятся соответствующие численные эксперименты.

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертационной работы.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Предложен и исследован класс нелинейных алгоритмов стабилизации, полученный в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина.

2. Получены условия равномерной асимптотической устойчивости замкнутой системы с предложенным нелинейным регулятором для линейного нестационарного объекта управления.

3. С помощью введенной в работе функции Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости замкнутой системы для модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета.

4. Получено обобщение теоремы о построении линейного композитного стабилизирующего регулятора в линейной нестационарной системе.

5. Выполнена экспериментальная программная реализация нелинейного и линейного композитного регуляторов, реализована программа параметрической оптимизации нелинейного регулятора (получено Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ). Выполнены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых регуляторов.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

Публикации в журналах, входящих в перечень ВАК

1. Емельянов C.B., Макаров Д.А. Стабилизация угла тангажа вертолета на различных режимах полета с помощью координатно-операторной и операторной обратных связей // Искусственный интеллект и принятие решений. 2011. №4. С. 6880.

2. Дмитриев М.Г., Макаров Д.А. Построение линейного регулятора с помощью разделения движений // Информационные технологии и вычислительные системы. 2012. №4. С. 3-12.

3. Зубарев Д.В., Макаров Д.А., Панов А.И., Яковлев К.С. Принципы построения многоуровневых архитектур систем управления беспилотными летательными аппаратами // Авиакосмическое приборостроение. 2013. №4. С. 10-28.

Прочие публикации

4. Makarov D.A. Class Of Nonlinear Regulator For Dynamical Control Systems With Undetermined Coefficients // Proceedings of 1st Czech-Russian Forum of Young Scientists, 19-22 April 2012, Plzen, Czech Republic. Pp. 11-12.

5. Макаров Д.А. Параметрическая оптимизация нелинейной системы автоматической стабилизации угла тангажа вертолета // Теория и практика системного анализа: Труды II Всероссийской научной конференции молодых ученых. -T. II. Рыбинск: РГАТУ имени П.А. Соловьева. 2012. С. 4-14.

6. Макаров Д.А., Дмитриев М.Г. Численное исследование автоматической стабилизации угла тангажа вертолета // Высокие технологии, экономика, промышленность. Т. 1: Сборник статей Тринадцатой международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике". 2426 мая 2012 года, Санкт-Петербург, Россия / под. ред. А.П. Кудинова. СПб.: Издательство Политехи, ун-та. 2012. С. 186-188.

7. Макаров Д.А. Нелинейная система автоматической стабилизации угла тангажа вертолета // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XII Международной конференции. Москва, ИПУ РАН, 5 июня - 8 июня 2012 г. М.: Изд-во ИПУ РАН. 2012. С. 227-229.

8. М.Г. Дмитриев, Д.А. Макаров. Построение стабилизирующего регулятора в линейной нестационарной системе на основе регуляторов подсистем // XV Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (ЕРУГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2013): тез. докладов Международной научной конференции. Гродно, 13 - 16 мая 2013 г. - Часть 1. - Мн.: Институт математики HAH Беларуси. 2013. С. 75-76.

Авторские свидетельства, патенты, информационные карты и алгоритмы:

9. Макаров Д.А. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ «Программа условной оптимизации параметров системы стабилизации сложного технического объекта в условиях неопределенности». № 2012615718, 22.06.2012г.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА В СОВМЕСТНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

В работе [1] предложен вид нелинейной обратной связи, в [6] проведено численное исследование предложенного закона управления. В [2, 8] предложено обобщение теоремы о построении линейного композитного стабилизирующего регулятора. В [3] представлен обзор современных методов синтеза регуляторов на примере задачи управления беспилотными летательными аппаратами.

Формат 60x90/16. Заказ 1685. Тираж 110 экз.

Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов.

Отпечатано в ООО "ФЭД+", Москва, Ленинский пр. 42, тел. (495)774-26-96

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт системного анализа Российской академии наук

На правах рукописи

0420135^420

Макаров Дмитрий Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ (НА ПРИМЕРЕ ДИНАМИКИ ВЕРТОЛЕТА)

Специальность: 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка

информации (управление)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук,

профессор Г.С. Осипов

Научный консультант -

доктор физико-математических наук,

профессор М.Г. Дмитриев

Москва-2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................3

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РОБАСТНОГО И КОМПОЗИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ И МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЕРТОЛЕТА.........................................................................................................10

1.1. Обзор методов синтеза управления в условиях неопределенности и методов, основанных на гипотезе о разделении движений...............10

1.1.1. Робастная устойчивость, стабилизация и управление для линейных систем.......................................................................................10

1.1.2. Композитное управление...............................................................26

1.2. Уравнения движения вертолета...........................................................30

1.2.1. Уравнение движения вертолета в общем виде............................30

1.2.2. Некоторые линейные модели продольной динамики вертолета.35

1.3. Координатная, координатно-операторная и операторная обратные связи................................................................................................39

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ.....................................................................................................42

2.1. РОБАСТНЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГУЛЯТОР.......................................................42

2.1.1. Стабилизация угла тангажа вертолета для двумерной модели. 42

2.1.2. Обобщение исследуемого нелинейного алгоритма стабилизации.............................................................................................54

2.1.3. Условия устойчивости в общем виде...........................................55

2.1.4. Условия устойчивости для двумерного случая...........................57

2.1.5. Построение функции Ляпунова для двумерного случая на примере динамики вертолета..................................................................60

2.2. Композитный линейный регулятор.....................................................66

2.2.1. Постановка задачи..........................................................................68

2.2.2. Схема декомпозиции управляемой системы и структура регулятора..................................................................................................69

2.2.3. Построение функции Ляпунова....................................................72

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЕРТОЛЕТА..............................................77

3.1. Исследование робастного нелинейного регулятора.......................77

3.1.1. Параметрическая оптимизация нелинейной системы автоматической стабилизации угла тангажа вертолета........................77

3.1.2. Стабилизация угла тангажа вертолета в различных условиях работы........................................................................................................82

3.2. Исследование композитного линейного регулятора......................91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................97

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ......................................99

ПРИЛОЖЕНИЕ А.............................................................................................108

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

109

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Задача стабилизации фазовых координат динамических систем является фундаментальной задачей теории автоматического управления. С течением времени постановка задачи стабилизации постоянно усложняется, что связано с ростом учитываемой неопределенности., обусловленным усложнением объектов управления, повышением требований к надежности и качеству их работы. В соответствии с этим изменяются и методы стабилизации.

Непрогнозируемая среда и существенное изменение свойств самого объекта управления делают задачу стабилизации регулируемых координат нетривиальной. На настоящий момент не существует регулярной и общепринятой концепции структурного и аналитического синтеза регулятора при наличии существенной и неустранимой неопределенности разного рода. Классические методы теории автоматического управления требуют знания точной модели объекта управления, что не всегда может быть обеспечено на практике: например, некоторые параметры могут быть неизвестны априорно или меняться в широком диапазоне в процессе эксплуатации.

Методы управления при неустранимой неопределенности изучаются в быстро развивающейся теории робастного управления. Её зарождение связано с трудами A.A. Маркова, П.Л. Чебышева, С. Фаэдо (S. Faedo). Значительный вклад в теорию внесли отечественные и зарубежные исследователи, среди которых отметим В.Л. Харитонова, ЯЗ. Цыпкина, Ю.И. Неймарка, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова, C.B. Емельянова, С.К. Коровина, В.Н. Афанасьева, Г. Замеса (G. Zames), А. Танненбаума (А. Tannenbaum), Д. Акерманна (J. Ackermann), А. Паккарда (A. Packard).

Широкий класс существующих систем характеризуется наличием как сравнительно быстро, так и медленно протекающих процессов, что позволяет использовать гипотезу о разделении движений. Это приводит к

декомпозиции исходной системы на ряд подсистем и, тем самым, открывает возможности для синтеза общего (композитного) управления на основе управлений для полученных подсистем меньшей размерности. Однако такой метод построения управления теоретически обоснован лишь при большой разнице в скоростях протекания процессов двух подсистем. В противном случае необходимо развитие методов синтеза композитного стабилизирующего управления, имеющих более широкие пределы применимости. Указанная декомпозиция исходной системы опирается на теорию сингулярно возмущенных систем, зарождение и развитие которой связано с трудами А.Н.Тихонова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, Р. О'Молли (R. O'Malley) и др. Среди работ по теории управления сингулярно возмущенными системами отметим труды П. Кокотовича (Р. Kokotovic), М.Г. Дмитриева, Г.А. Куриной, A.A. Первозванского, В.Г. Гайцгори, В .Я. Глизера, X. Халила (Н. Khalil) и др.

Обозначенные особенности задач стабилизации требуют развития специальных методов. В последнее время наблюдается рост работ, посвященных задаче конструирования регуляторов, в частности, для управления нестационарными динамическими системами. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке и исследованию нелинейного робастного стабилизирующего регулятора и развитию метода построения композитного линейного регулятора на основе стабилизирующих регуляторов подсистем исходной системы, выделенных с помощью гипотезы о разделении движений, что свидетельствует об её актуальности.

В качестве моделей объектов управления в работе рассмотрены непрерывные линейные нестационарные системы. С помощью такого класса может быть описан широкий спектр задач автоматизации, например, полученных в ходе линеаризации нелинейных систем около опорных траекторий, являющихся функциями времени. Одним объектом из такого класса является линеаризованная модель продольной динамики вертолета,

характеризуемая широким диапазоном изменения значений параметров в заданном коридоре в зависимости от режима полета.

Предмет исследования - задачи стабилизации непрерывных динамических систем с определенными и частично неопределенными коэффициентами.

Целью исследования является разработка эффективных методов робастной стабилизации линейных непрерывных динамических систем с ограниченными неопределенными нестационарными коэффициентами, для которых известны минимальные и максимальные значения, и развитие метода построения композитного стабилизирующего управления линейными непрерывными детерминированными системами на основе стабилизирующих управлений их подсистем.

Задачи исследования:

- Разработать робастный стабилизирующий нелинейный алгоритм, снижающий воздействие неопределенности на качество переходных процессов.

- Исследовать на устойчивость соответствующую замкнутую систему.

- Развить подход к разделению исходной системы на подсистемы с целью построения композитного стабилизирующего управления на основе управлений подсистемами.

- Провести численные эксперименты и анализ работы систем стабилизации с разработанными линейными и нелинейными регуляторами.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы с использованием методов линейной алгебры, теории координатно-операторных и операторных обратных связей, теории управления и теории устойчивости.

Научная новизна.

Предложен и исследован класс нелинейных алгоритмов стабилизации, полученный в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина. Алгоритмы

позволяют задавать область в фазовом пространстве, характеризующуюся повышенным коэффициентом усиления основного стабилизирующего контура, что позволяет снизить воздействия факторов параметрической неопределенности на качество переходных процессов.

Получены условия равномерной асимптотической устойчивости замкнутого контура с предложенным нелинейным регулятором для линейного нестационарного объекта управления.

С помощью введенной в работе функции Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости замкнутой системы для модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета.

Обобщен подход к построению стабилизирующего регулятора на основе разделения движений и матричных неравенств, позволяющий строить обратную связь для исходной системы в виде линейной комбинации регуляторов подсистем.

Проведены численные эксперименты, результаты которых показали эффективность предложенных регуляторов.

Практическая значимость. Предложенные методы и подходы к синтезу систем управления достаточно универсальны и могут быть использованы для решения широкого спектра практических задач, которые хорошо описываются в виде линейных непрерывных нестационарных систем.

Достоверность результатов подтверждена строгими математическими доказательствами теоретических утверждений и результатами численных экспериментов.

Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях: «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике» (Санкт-Петербург, 2012 г.), «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2012), 1-м чешско-

русском Форуме молодых ученых (Пльзень, 2012), XV Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения - 2013» (Гроддо, 2013), на семинарах ИСА РАН, ИПС РАН и МГУ.

Публикации. Всего по теме опубликовано 9 работ: 3 из них в рецензируемых журналах из списка ВАК РФ [1-3], 4 в материалах международных конференций [4-7]. Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и 2-х приложений. Диссертация содержит 110 страниц, 24 рисунка, 9 таблиц, 97 наименований в списке используемой литературы.

В первой главе приведен обзор (параграф 1.1) методов синтеза управления в условиях неопределенности и методов, основанных на гипотезе о разделении движений. В параграфе 1.2 рассматриваются уравнения движения вертолета в общем виде и некоторые линейные модели продольного движения вертолета, используемые в диссертации в численных экспериментах. Последний параграф первой главы посвящен описанию подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина к синтезу нелинейного управления на основе координатной, координатно-операторной и операторной обратных связей.

Вторая глава посвящена методам построения стабилизирующего управления. Параграф 2.1 посвящен описанию одного класса робастных нелинейных регуляторов. Сначала (раздел 2.1.1) на примере задачи стабилизации угла тангажа вертолета в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина строится модель регулятора для системы второго порядка. Показывается, что предложенный регулятор обеспечивает локальную устойчивость при постоянных неопределенных параметрах модели объекта управления, обладающих определенными свойствами. В разделах 2.1.2 и 2.1.3 приводятся обобщение предложенного нелинейного регулятора на п-мерный случай и условия устойчивости замкнутой системы. Далее (раздел

2.1.4) с помощью предложенной в работе функции Ляпунова рассматриваются условия устойчивости положения равновесия двумерной системы, которые иллюстрируются (раздел 2.1.5) на примере робастной стабилизации модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета. В параграфе 2.2 на основе метода разделения движений предложен новый, обобщающий известный (разработанный П. Кокотовичем (P. Kokotovic) и Р. Вайлдом (R. Wilde)), подход к построению линейного стабилизирующего управления для управляемой линейной нестационарной системы. В разделе 2.2.1 осуществляется постановка задачи, определяются требования к исходной системе. В разделе 2.2.2 приводится схема декомпозиции управляемой системы и структура регулятора: в исходной управляемой системе выделяются условно медленная и быстрая подсистемы, а итоговое управление ищется в виде линейной композиции стабилизирующих управлений подсистем. Далее, в разделе 2.2.3, с помощью функции Ляпунова приводится доказательство равномерной асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия замкнутой системы с предложенным регулятором.

Третья глава посвящена численным экспериментам. В первом параграфе главы исследуется эффективность нелинейного регулятора с помощью двух задач стабилизации угла тангажа вертолета (разделы 3.1.1 и 3.1.2), учитывающих ограничения на допустимое управление. В обеих из них осуществлялось сравнение с линейными регуляторами со статическими значениями параметров, которые широко применяются для пилотируемых вертолетов. В конце главы (параграф 3.2) рассматриваются примеры построения композитного регулятора и приводятся соответствующие численные эксперименты.

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертационной работы. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Предложен и исследован класс нелинейных алгоритмов стабилизации, полученный в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина.

2. Получены условия равномерной асимптотической устойчивости замкнутой системы с предложенным нелинейным регулятором для линейного нестационарного объекта управления.

3. С помощью предложенной в работе функции Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости замкнутой системы для модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета.

4. Получено обобщение теоремы о построении линейного композитного стабилизирующего регулятора в линейной нестационарной системе.

5. Выполнена экспериментальная программная реализация нелинейного и линейного композитного регуляторов, реализована программа параметрической оптимизации нелинейного регулятора (получено Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ). Выполнены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых регуляторов.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РОБАСТНОГО И КОМПОЗИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ И МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЕРТОЛЕТА.

1.1. Обзор методов синтеза управления в условиях

неопределенности и методов, основанных на гипотезе о разделении движений.

1.1.1. Робастная устойчивость, стабилизация и управление для линейных систем.

Задача стабилизации является одной из фундаментальных для теории автоматического управления (ТАУ). Развитие техники, необходимость обеспечивать заданные свойства нетехническим системам (биологическим, экономическим, социальным и другим), постоянно повышающие требования к качеству и надежности работы систем управления и другие факторы обуславливают постоянное усложнение постановки задачи стабилизации и управления.

Первоначальные постановки задач были сформулированы и решены для полностью определенных линейных стационарных объектов, которые в матричном представлении могут быть записаны в виде

х = Ах + Ви, (1-1)

где х и и - векторы фазовых координат и управления размерности Я" и Яг соответственно, А и В - постоянные матрицы соответствующих размерностей. Вектор управления предполагается линейно зависимым от х. На настоящий момент для таких объектов управления существует обширный список литературы, посвященный вопросам стабилизируемости, управляемости, наблюдаемости и другим аспектам [10-20].

Однако зачастую на практике модель объекта управления может быть известна не полностью, что вносит неопределенность в постановку задачи.

На настоящий момент сформировался ряд особых направлений ТАУ, посвященных созданию и исследованию методов решения задач с неопределенностью [21-30.$1]ш. робастное управление, адаптивное управление, теория инвариантности. Можно выделить следующи�