автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование цепных дробей для решений дифференциальных уравнений и оценки адекватности математических моделей динамических систем

На пр

Яралиева Бугаят Сарухаповна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОЦЕНКИ АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

12 ДЕК 2013

МАХАЧКАЛА - 2013

005543890

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Для функций f(x), являющихся решениями дифференциальных уравнений, получаемых в качестве моделей технических задач и допускающих разложения в цепную дробь (ЦД)

h (1) 1

где ак, Ък зависят от исследуются вопросы скорости сходимости подходящих дробей

/„(*) = A,

1

к функции f(x).

2. Устанавливается связь интегрально-интерполяционных многочленов, введенных В. Г. Власовым для решения практических запросов кораблестроения, с /„(*) и связь последних со смешанными рядами по классическим ортогональным многочленам, введенными И.И. Шарапудиновым для численного решения дифференциальных уравнений.

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Конечные ЦД появились в «Алгебре» итальянского математика Р. Бомбелли (1572). Бесконечные ЦД впервые были рассмотрены лордом Броункером, первым президентом Королевского общества. Основателем теории ЦД как самостоятельного раздела математики является JI, Эйлер. Разложения в ЦЦ для функций комплексного переменного стали важным средством аппроксимации специальных классов аналитических функций в работах Эйлера, Ламберта, Лагранжа, Гаусса, Галуа, Рамануджана, Пуанкаре, Стилтьеса и др. Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце 19 века для приближения аналитических функций подходящими дробями ЦД, иод общим названием аппроксимаций Паде, в 20 веке стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твердого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики. ЦД посвящены монографии и обзорные статьи.

3. Получены зависимости погрешностей от количества производимых алгебраических операций. Аналогичные зависимости в случае многочленов и рациональных дробей были известны.

4. Разработаны различные алгоритмы решения дифференциальных уравнений.

Степень достоверности и апробация результатов исследования. Все результаты, изложенные в работе, приводятся с подробными доказательствами, докладывались на конференциях (Махачкала, 1998 г., Ростов-на-Дону, 1999 г., Воронеж, 1999 г., 2001 г.) и напечатаны в тезисах названных конференций и в статьях автора (см. список опубликованных научных работ автора).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка использованной литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 86 стр. машинописного текста и списка литературы из 26 наименований.

II. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Для записи ЦД используется выражение

at, Ьк называются элементами ЦД.

Если существует конечный lim/„ = /, то ЦД называется сходящейся;

при этом / называется значением ЦД (1). Если же написанный предел не существует (существует, но равен »), то ЦД (1) называется расходящейся существенно (несущественно).

ЦД (1) эквивалентна (т.е. имеет одинаковые подходящие дроби) обыкновенной ЦД (если а1,а1,... - натуральные числа, то ЦД называется правильной) и представляется в следующем виде:

где

к>\

или ЦД (Ъ0 = 0) вида:

а,

В первой главе «Оценки погрешности модели цепных дробей для различных функций» получены наилучшие рациональные дроби, через подходящие дроби ЦД, для тригонометрических и гиперболичеких функций.

Основными результатами главы 1 являются

1. Пусть = и у = Л х - решения соответственно дифференциальных уравнений у' = 1 + у2, ,у(0) = 0 и у' = 1-у2, у(0) = 0. Тогда, как известно, они разлагаются в следующие ЦД (нас интересуют вещественные значения х):

Теорема 1. Если /„(*)= -Р„ (*)/&.(*) ~ подходящая дробь порядка п для ЦД (2), и последовательность {ет} определена условиями г, = 1,

-2п-1-

X

, х*— + кл, к - целое (2)

2 '

п> 2, то для х2 < 1,13 будут выполняться следующие

п

соотношения:

1) £„(2и-1)!!<!2„(У)<(2Л-1)!!

2) Itgx-Р.ШМ'

И" •)

л4"Г2| п + -

Замечание. г „^ 2 - — ~ 1,357.

6

Теорема 2. Если /„(*)= Р„(.х)/2„(*) — подходящая дробь порядка п для

ЦД(3),то

1) при -ао-<х<оо И п>\ (л) > (2« -1)!! > 2л/2и[ 2"

2) при И < п, 1 Лх-/.(»)!- Jl + ol

е. (*)1 I«4-*

Замечание. Для (*) можно дать оценку и сверху, а именно,

оДх)<П(2*-1 + *2), -°°<х<<»

2. Пусть

2к +1

F(ix)=K

/4

2к + 1

х*2кя, k = ±l,±2,...

(4)

(5)

Известно, что 2.x

е' =1 + -

shx -

*[l + F(*)]

cfa - ' + i

«74

2 • [l + [l + F(x)f - .r2/4' [l + F(.t)]2-^/4'

Кроме того скх = cos ix, shx = -ismix, tgx-=-ithlx .

Теорема 3. Если f„{x)-Pnix)IQAx) ~ подходящая дробь порядка n для ЦД (4), то для любого хе(- е,®) и п такого, что |*| <4/i + 6 будет:

** а„(л) = ¿„(л) для * е £ означает, что 0 < <-, < < е.,, где с1 > 0, с, > 0 не

ЬЛх)

зависят от х е Е и п = 1,2,... .

Pn(x)-ß„x" + ... + //„, ß„ >0 ортонормирована в промежутке (а, b) по весу р(х). Для функции f(x) составим ряд Фурье

iС, {/)рк (*), ск{/) = jp(x)f{x)pk (x)dx.

k'O a

Положим для конечных x e и v = 0,1,2,...

k=0 J

Пусть в (a,b) заданы m точек л, <...<*„,. Если а или b или оба они конечны, то х, могут совпадать с конечными концами промежутка (а,Ь). Поставим задачу: для целых неотрицательных п, т, г построить многочлен относительно * степени не выше п + m(r +1) следующего вида:

n+m(r+l) t-0

который удовлетворял бы условиям

0<v<n (7)

0<i<r (8)

Теорема 7. Многочлен Р„ (*) = ]£ с, Pt(x) удовлетворяет условиям (7)

м

(точек интерполяции нет) тогда и только тогда, когда ct =ck(f), 0<к<п, т.е. когда

Р„ (*)=■?,, (*>/)•

В силу теоремы 7 условиям (7) - (8) при mil можно придать вид: подобрать числа ак, 1 <k<m(r +1) такие, чтобы выполнялось условие:

IcVj&kM'k./). ^J-rn, 0 <i< г (9)

Теорема 8. Пусть определитель системы (9) д,„(г+1) отличен от нуля и

ш(г+1)+1

»(«О

г»(г+1)

Тогда

1

Д М=/ (*) - 5. и, /) - --2 А(*)

и многочлен

Л ».(«о *=1

удовлетворяет всем условиям (7)-(8).

Теорема 9. Если Рп (х) - многочлены Лежандра, а = -1, Ь = 1, то при любом г = 0,1,2,... существует Р„+2,+2(*), причем ^„„(ф)',^,,!!,/).

Пусть Р„(х)=1„(х,а) - многочлены Лагерра, р(х)=х"е", (а,6)=(0,оо),

« = 1, х,=0. Тогда существует р„+г+1(*)=5„(*,/)+2а,1„+,(х,а),

1=1

удовлетворяющий условиям р^ (о) = /(,)(о), 0 <I < г. Это следует из

Теорема 10. При п = 0,1,2,...; г = 0,1,2,... будет

¿„„(0,«) ... Д,+1 = ......... =(-1)(""(""х

4Ш«) ...

X[г(и + а + 2)..Г(и + а + 2 + г)- (л + 1)!...(и + г +х

х[г(а + 1)..г(а + г + 1)Г.пЩи0.

В третьей главе «Решение дифференциальных уравнений с помощью ЦЦ. Другие приложения ЦЦ» рассмотрены две задачи строительной механики. В первом приложении даны разложения часто встречающихся

12

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

04201453702 На правах рукописи

Яралиева Бугаят Сарухановна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОЦЕНКИ АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -кандидат физико-математических наук, доцент Н. Ш. Загиров

МАХАЧКАЛА - 2013г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА I. Оценки погрешности модели цепных дробей для различных функций

§ 1. Тригонометрические и гиперболические функции........................ 21

§ 2. Скорость сходимоси двух цепных дробей.................................... 26

§ 3. Об одной периодической ЦД................................................... 30

§ 4. Модель ЦД для функции Бесселя.............................................. 33

ГЛАВА И. Цепные дроби и интегрально-параболическое интерполирование

§ 1. Интегральное и интегрально-параболическое интерполирование....... 36

§ 2. Связь интегрально - параболического интерполяционного

многочлена с ЦД............................................................................................... 46

ГЛАВА III. Решение дифференциальных уравнений с помощью ЦД. Другие приложения ЦД 55

§ 1. Скорость сходимости ЦД для решений дифференциальных

уравнений..................................................................................... 56

§2. Разбор типовых задач дифференциальных уравнений.................... 59

§3. О теореме Гурвица...................................................................................... 63

§4. Задачи Жуковского..................................................................................... 66

ПРИЛОЖЕНИЕ I 68

ПРИЛОЖЕНИЕ II 71

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 85

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, понятие «функция» в чистой и прикладной математике имеет различное содержание. В первом случае оно воспринимается как конкретное выражение одной переменной через другую; изучение функции сводится к изучению различных свойств этого выражения. В прикладной математике «функция», прежде всего, есть конечная последовательность арифметических действий, с помощью которых из заданного значения одной переменной можно получить значение другой переменной. «Функция» прикладной математики является моделью «функции» чистой математики. Замечательно, что есть множество функций, которые сами по себе являются моделями. Таким множеством является линейное пространство всех алгебраических многочленов или отношений многочленов.

Одной и той же функции можно сопоставить различные модели, выбор которой зависит от решаемой задачи. Для широкого класса функций с точки зрения возможности получения их значений с наперед заданной точностью за наименьшее количество арифметических действий (за наименьшее машинное время) наилучшими моделями являются подходящие дроби цепных дробей. Цепные дроби имеют долгую историю (см., напр., [1]-[4]). Приведем основные обозначения и определения.

Пусть имеются две последовательности многочленов ¿„(х),^*),...; д,(х),а2(*),....

Цепной дробью называется выражение вида

(1)

1=1

АМ.

выражение

= + (2)

называется ее подходящей дробью п - го порядка. Многочлены а,.(;с),6,(х) называются элементами цепной дроби (ЦД).

ЦД (1) записывают и в развернутом виде

и fY), „fifel аг(х) Л) Ь2(х)+"

Если существует конечный lim/„ =/, то ЦД (1) называется сходящейся;

п->оо

при этом / называется значением ЦД (1). Если же написанный предел не существует (существует, но равен бесконечности), то ЦД (1) называется расходящейся существенно (не существенно).

ЦД (1) эквивалентна (т.е., имеет одинаковые подходящие дроби) обыкновенной ЦД (если а,,а2,...~ натуральные числа, то ЦД называется правильной)

«о +К

4=1

( 1 4

(3)

где

гу - h щ - ''"' a2k-\^2k-l _ а\ '' a2k-\^2k

U0 — U0, «24-1 — > и2k ~

ах-...-а2к_х а2-...-а2к

(здесь Ък = Ьк (*), ак = ак (*)).

При Ь0 = О ЦД (1) эквивалентна ЦД

00 f „ \

К

к=1

£l

vly

где

«я

с, =-!-, с„ =——, п> 2.

^ ьп,хьп

Д. Бернулли в 1775 г., [4] поставил и решил задачу: Найти ЦД (1), подходящие дроби fn которой имеют наперед заданные значения Кп, где Кп -заданные числа, из которых никакие три рядом стоящих не равны между собой. Искомая ЦД имеет вид

К | К\~К2 К\ ~К2 (К1 ~ К0 ХК2 ~Къ) [Кп-2 ~ Кп-3 \Кп-\ ~ Кп )

1 + К2-К0 + К,-К, + "' Кп-кп_2 +"'

Пусть заданы две ЦД

к+к

С I \

с

и Ь0+К

*=1 К ик У к=\ \ ик у/

ъ„

\

с подходящими дробями /; и /„ соответственно. Если /„'=/2„ (/„'=/2п+1), и > О, то первая ЦД называется четной (нечетной) частью второй ЦД. Говорят, что первая ЦД получена сужением второй ЦД. Имеет место теорема.

Теорема, (см. [4]) ЦД (1) имеет четную (нечетную) часть тогда и только тогда, когда Ъ2п ф 0 (¿2я+1 * 0), п> 1 (л > 0). При этом

К=Ьй, а\ = ахЪ2, Ь'х = а2 + ЪХЪ2, а'г = -а2а3а4, а[ = -а2к_2а2к_хЬ2к_АЪ2к_2, к = 3,4,... К =а2к-Ак +Ь2кЛа2к +Ь2к-Ак), к = 2,3,...

( К = (а, + Ь0ЬХ )/Ьх, а[ = - аха2Ъъ /Ьх, = а2Ъг + Ъх (а3 + Ъ2Ъъ), = ~а2к_ха2кЬ2к+хЬ2к_3, ^ =а2кЬ2Ш + Ь2к_х(а2к+х + Ь2кЬ2к+х), к = 2,3,...)

Существует несколько алгоритмов для вычисления /„(*).

I. Прямой рекуррентный алгоритм (БЯ-алгоритм) заключается в применении рекуррентных формул

Р„=ЬпРп->+аЛ-2,вп=Ь„0„-1+апдп_2, Р0=Ь0, е0=1, Р.х = 1, а, =0. При этом получаются значения Рх,..., Рп_л, £)„ и, совершив еще п-1

делений, получаем значения /,,...,/„_,. Общее количество действий для вычисления /„ равно 4/7 умножений, и сложений и одно деление.

Трудность при работе с БЯ-алгоритмом состоит в том, что хотя последовательность {/„} может сходиться к конечному пределу, последовательности {Рп} и. {()„} могут одновременно стремиться к 0 или к оо, что делает необходимым время от времени производить перемасштабирование во избежание машинного переполнения или исчезновения порядка.

II. Обратный рекуррентный алгоритм (БЯ-алгоритм). Вычисление /„ производится снизу вверх. Начиная с я-го звена ЦД, где п должно соответствовать заданной точности счета, выполняются все указанные

сложения и деления. Этот процесс записывается с помощью следующих рекуррентных соотношений

с(_, =Ъ,_Х+—, i = п,п-\,...,2,\, где с„ = &„.

с,

Подходящая дробь /„ находится из равенства /„ =Ь0 + —. Число действий: п

Сх

сложений и п делений.

Недостатком этого метода является то, что в процессе счета нельзя пользоваться формулой для проверки достигнутой точности, так как для вычисления каждой следующей подходящей дроби нужно все вычисления повторять сначала.

Поэтому представляется интересным получение оценок (сверху и снизу) для f{x)~/„(х), зависящих от п и х, с помощью которых для заданной точности s, при заданных х, мы можем выбрать п.

III. Третий алгоритм основывается на использовании формулы

реализация которой требует большего числа арифметических действий. Лучшим является (FR-алгоритм). Он устойчив в том смысле, что ошибки округления, получающиеся при вычислении /„, или ограничены, или же

растут с ростом п очень медленно. Здесь нужна формула зависимости погрешности от п.

Актуальность темы исследования.

Одной из актуальных проблем теории алгоритмов является поиск оптимальных алгоритмов, т. е. таких, при реализации которых потребуется наименьшее количество арифметических действий или наименьшее машинное время. Практически во всех наиболее часто используемых математических моделях природных явлений, так или иначе, используются дифференциальные уравнения. Поэтому поиск таких алгоритмов, которые

позволяют аппроксимировать решения задач теории дифференциальных уравнений за счет выполнения наименьшего количества арифметических действий, является актуальной проблемой.

Цели и задачи.

Цели работы:

1. Изучить возможность использования подходящих дробей цепных дробей в качестве аппарата аппроксимации специальных функций. Специальные функции выступают как решения дифференциальных уравнений.

2. Получить такие двусторонние оценки погрешности аппроксимации функций подходящими дробями, которые позволили бы выразить количественно погрешность через число используемых арифметических операций.

3. Провести анализ влияния количества операций различных аппаратов аппроксимации на погрешность аппроксимации.

4. Разработать алгоритмы численного решения задач дифференциальных уравнений с использованием аппарата цепных дробей.

Исходя из целей работы, решены следующие задачи:

1. Построены цепные дроби для основных классов специальных функций.

2. Получены двусторонние оценки аппроксимации специальных функций подходящими дробями заданного порядка.

3. Получены зависимости погрешностей от количества производимых алгебраических операций. Аналогичные зависимости в случае многочленов и рациональных дробей были известны.

4. В работе разработаны различные алгоритмы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна.

Вычисление для функции, заданной разложением в ЦД

л^)=Ьо+к{г

*«1 \°к у

с помощью и - го приближения

» („ \

/п=ь0+К

Ы1

У

производится, как отмечалось, снизу вверх. Этот процесс записывается с помощью рекуррентных соотношений

Пи- 1 = Ьк-1+ТГ> к = п,п-1,...2, Ьп=п„. 11к

Тогда /„(х) = Ь0 +ауц • При этом достижение заданной точности е

проверяется по формуле |/„+,(х)-/„(х)| <е, что очень неудобно, так как для

вычисления каждой следующей подходящей дроби нужно все вычисления повторять сначала. Чтобы избавиться от этого неудобства, нужны двусторонние оценки погрешности |/(х)-/„(х)|.

В работе даются двусторонние оценки скорости сходимости разложений в ЦД элементарных функций и многих специальных функций математической физики и, во второй главе, указываем связь ЦД с интегрально-интерполяционными многочленами, введенными В. Г. Власовым для практических запросов кораблестроения (В. Г. Власов, Интегральное интерполирование и некоторые его приложения, Военмориздат, 1946, 263 с.) и связь последних со смешанными рядами по классическим ортогональным многочленам, введеными И. И. Шарапудиновым (И. И. Шарапудинов, Смешанные ряды по ортогональным многочленам, Теория и приложения, Махачкала, 2004 г., 276 е.). Из результатов параграфов 2 и 3 следует, что «усовершенствованные» частные суммы рядов Фурье по ортогональным многочленам совпадают с суммами, введенными И. И. Шарапудиновым, и они связаны с ЦД соответствующих порождающих функций.

Во многих работах оценка погрешности замены функций подходящими дробями устанавливалась поточечно или с помощью расчетов. В работе

впервые получены двусторонние равномерные оценки погрешностей. Такой подход позволяет получить оценки погрешностей решения дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты работы дополняют теоретические изыскания в области теории цепных дробей и их приложений к решению различных технических задач. Практическая значимость в том, что результаты работы могут применяться при численном анализе математических моделей различных естественнонаучных задач, связанных с динамикой явления.

Степень достоверности и апробация результатов.

Все результаты, изложенные в работе, приводятся с подробными доказательствами, докладывались на конференциях (Махачкала, 1998 г., Ростов-на-Дону, 1999 г., Воронеж, 1999 г., 2001 г.) и напечатаны в тезисах названых конференций и в статьях автора (см. список использованной литературы).

Положения, выносимые на защиту.

1. Приближение тригонометрических и гиперболических функций для вещественных значений аргумента ЦД. Имеет место разложние

1- 3- - 2/1-1-

для всех вещественных г + к - целое, y = tgx является решением дифференциального уравнения у' = 1 + у2, .у(О) = 0 (Д-У-1 )•

Теорема 1. Если Р„(Х)/ЯЛХ) ~ подходящая дробь ЦД (4), то для |х| < х, < у

С,(2и-1)!!<аМ<С2(2л-1)!! (5)

где положительные числа С,, С2 не зависят от х, т.е.

а (х)« (2/1-1)!.

Теорема 2. Для тех же х, |х| < х, < ^ будет

tgx-

ЗМ &М

|2и+1

п4"Г2

' г

п + -к 2,

(6)

Если ^(х) — решение дифференциального уравнения у' = 1-у2, ^(0) = 0 (Д.у.2), то для всех - оо < х < со имеет место разложение

/7гх = — х

1+ 3+ 5+ 2я —1 + Теорема 3. Если Ря(х)/0„(х) - подходящая дробь ЦД (7), то

а(Ф(2«-1)и.

Неравенство (8) точное. Оно обращаетя в равенство при х = 0. Теорема 4. Для -осххсоо, « = 1,2,... будет

Р»{х)

(7)

(8)

//г х-

Г I 1Л2л+1 е\х\

Тем самым, если у(х) - решение (Д.у.2), то

у(х)~

Рп(х)

вЛх)

е\х\

(9)

к2п;

Через tg х и //г х выражается остальные тригонометрические и гиперболические функции.

2. Пусть последовательность многочленов

Рп(х) = Иихп +... + //„, цп >0

ортонормирована в промежутке (а,Ь) по весу р{х). Для функции /(х) составим ряд Фурье

¿с*(/М(х), ск{/) = \р{х)/(х)Рк(х)ск.

к=0 а

Положим для конечных х<=[а,Ь], у = 0,1,2,... и п = 0,1,...

(х, /) = £ск (/)Рк (х), Д „ (х, /) = /(х) - (х, /), Му+1 (/,р)=\р{х)/{х)кЧх.

к=о

Пусть в (а,Ь) заданы т точек х, <...<хт. Если а или Ъ , или оба они конечны, то х, могут совпадать с конечными концами промежутка (а, Ь). Поставим

и

задачу: для целых неотрицательных п, т, г построить многочлен относительно х степени не выше п + т{г +1)

п+т(г+\)

Рп+ш(г+1)(Х)= ^акХ>С > к=О

который удовлетворял бы условиям

Ми+1(/,р), 0<^<и, (10)

ря(,+1(г+1)(*у)=/(')(*7), 0 < у < т, 0 < / < г . (11)

я

Теорема 5. Многочлен Рп(х) = ^акРк(х) удовлетворяет условиям (10)

к=0

(т = 0) тогда и только тогда, когда ак = ск (/), 0 < к < п, т.е. когда

р. (*МЯ (*,/).

В силу теоремы 5 условиям (10) - (11) при т> 1 можно придать вид: подобрать числа ак, 1 <к<т(г +1) так, чтобы

т(г+\)

1<У<т, 0 < / < г. (12)

Теорема 6. Пусть определитель системы (12) Ат(г+,) отличен от нуля и д»,(/•+:кД*) ~~ определитель, получаемый из Дт(г+,)(х) добавлением первой строки Д„ (х, /), Д„ (х,,/),..., Д(дг)(х,,/),..., Д„ (хя,/),..., Д{яг)(хт,/). Тогда

ЛХ)~Р7+т(г+1)(*) = --Дт(г+1)+1 М*

Аш(г+1)

3. Скорость сходимости двух ЦД. Рассмотрим две ЦД

х

р(х) = К

( v2 / > ( x2/^

/4

2у + 1

Ч У

и Тфг)= А

2& + 1

Первая ЦД сходится для х е (-оо,оо), вторая для х ф 2кк, А: - целое. Известно, что ех, тригонометрические, гиперболические функции выражаются через Г(х) и /ф). Для подходящих дробей этих функций имеем Теорема 7. Для х е (-оо,оо) и |х| < 4п + 6 будет

.2л+2

где

о<л(*)<

16С.

Г—Т

V. е У

Теорема 8. Пусть А е (0,6), х2 <4А. Тогда

,2л+2

4п+1б„Ш„+2(х)1

где

л г 36х_

Д (б - л)2 [1б(2и + 5)4 - х4

и

1-6

(2« +1) !!< ()п (х) < (2п +1)!!.

4. Для решений дифференциальных уравнений

(а + сс'хк )ху' + {р + р'хк )у + уу2 = 5хк, ^(о) = О

и

(1 + хк)/ = 1, у(0) = 0.

Найдены двусторонние оценки погрешности аппроксимации их решений подходящими дробями.

5. Для периодической ЦД К

' I Л

1-г

, часто встречающейся в

приложениях, найдена область ее сходимости.

и)

6. Для функции /(г) = "+т+1 ' - отношения двух бесселевых

функций справедливо разложение

/со-

2 (у + т + \)~ 2(у + т + 2)-'"-2(у + т + п)-"" Найдена область равномерной сходимости и оценка порядка сходимости.

Изложим краткое содержание работы. Работа состоит из трех глав и двух приложений.

В первой главе собраны оценки погрешностей моделей цепных дробей для различных функций.

§ 1 (Приближение тригонометрических и гиперболических функций ЦД) состоит из двух пунктов.

I. Здесь изучается скорость сходимости ЦД функции у = которая является решением дифференциального уравнения

у' = \ + у2, у(0)=0. Имеет место разложение ([2], с. 120)

2 г2 г2

= — — ... —-- ... (13)

1- 3- -2п-\- 4 }

для всех комплексных г + к - целое. (Это разложение было впервые

получено Ламбертом в 1770 г. [3])

Известно ([5], с. 49, 109), что разложение функции y = tgz в степенной ряд имеет вид

_^22к(2и -1),

где В2к -числа Бернулли выражаются через дзета функцию Римана ¿;(z) равенством

\ln) к=1 л

сходится для |zl< —.

i i 2

Имеют место следующие 2 теоремы.

Теорема 1. Если при некотором х, Зх2 <5 двойное неравенство

e„(2n-l)»<Qn(x)<{2n-\)\\ (14)

имеет место для двух значений п = к и п = к +1, к- некоторое число, то при тех же значениях х (14) останется в силе и при п = к + 2.

Здесь ех =1, еп =£„_, - -у, п>\, Q„(x) - знаменатель и-той подходящей

п2

п2

дроби /„ (х) = Рп {x)/Qn (х) ЦД (13). Нетрудно заметить, что еп i 2--« 0,35.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 при х2 <1,13 будет

\tgx-Pn{x)/Qn{x]

|2и+1

«4"Г2

f 1Л' пл— 2

v ^у

где ап ~Ьп означает 0<с, <ап/Ьп <с2 <оо, г - гамма функция Эйлера.

II. Известно ([2], с. 121), что при -оо<х<оо имеет место разложение

thx =

х х

.. —- ... . (15)

1 + 3 + 2п -1 + 4 У

Если /п{х) = Рп(х)/Яп(х) ~ «-тая подходящая дробь ЦЦ (15), то имеют место следующие две теоремы. Теорема 3. Для - оо < х < со

а,М*(2и-1)!. (16)

Неравенство (16) точное. Оно обращается в равенство при х = 0. Теорема 4. При -оо<х<со, п = 1,2,... будет

| ihx-fn(x\-

/ | | \ 2/7 + 1

е х

к2п;

(17)

Кроме названных теорем в § 1 указываются рациональные дроби, хорошо приближающие я/гх, скх, бшх, собх.

Параграфы 2 и 3 посвящены двум часто встречающимся в приложениях ЦЦ. В частности, в §2 доказаны две теоремы.

00

Теорема 1. Если F(x)= К

{ 2 / Л X /

/4

2v + 1

v у

■ая подходящая

дробь, то для любого х е (- оо, оо) и п такого, что |х| <4п + 6 будет

.2п+2

F(x)~ /„(*) = (-1)" , J +

«"'аМа^М

причем

0 <i?„(x)<

i66;+l -х4

и Qn{x)>2^2n

(2п^п К е .

Теорема 2. Если /„(х) = уп "~ая подходящая дробь ЦД К

'/4

1 21/ + 1 '

Ч

У

сходящейся при х * 2Ъг, к = ± 1, ±2,...,то при А е (0,б), х2 < 4А будет

^(/х) - /„ (х) = (-1)" + [! + Л (х)],

Г(1х)-/„(х)=(-1)

п

6 + Ля(х)],

где

^ / _ -зох_

ЛХ)-{б-А)г^б(2п + 5У-х*\

\г\ > 1; если же щ < 1 она сходится к г.

В четвертом параграфе первой главы исследованы модели ЦД для функций Бесселя.

Доказан следущий результат.

константа в О зависит только от и и не зависит от п.

Глава вторая состоит из двух параграфов.

§1. Интегральное и интегрально-параболическое интерполирование посвящен идеям, развитым впервые В.Г.Власовым. Как показывают недавние результаты И.И. Шарапудинова, интегрально-параболические многочлены с пользой могут быть использованы при решении дифференциальных уравнений. П�