автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Иерархия стохастических диффузионных моделей газовой динамики

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

ИЕРАРХИЯ

СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

На правах рукописи

Богомолов Сергей Владимирович

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2011

2 2 СЕН 2011

4853600

Диссертационная работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико - математических наук, профессор Днестровский Юрий Николаевич

доктор физико - математических наук, профессор Галкин Валерий Алексеевич

доктор физико - математических наук, профессор Иванов Михаил Федорович

Институт прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН

Защита состоится 5 октября 2011 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Алексей Алексеевич Арсеньев

Автореферат разослан 3 сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор Я&ЛаХ^ Захаров Евгений Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Развитие различных областей науки и современных высоких технологий происходит благодаря интенсивному использованию методов математического моделирования со все ббльшим включением микроскопических представлений об изучаемых процессах. Возникла целая отрасль вычислительного эксперимента, связанная с решением кинетических уравнений, основанная на довольно сложном теоретическом фундаменте и использовании новейшей высокопроизводительной вычислительной техники.

В математике это направление исследований, известное как шестая из проблем Гильберта, представленных им на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже, опирается на работы Больцмана о принципах механики и состоит в построении "математического предельного процесса, который ведет от атомистического видения к законам движения континуума", а именно, получении единого описания газовой динамики, включая все уровни этого описания. Другими словами, важным является вопрос о том, могут ли макроскопические концепции, такие как вязкость или нелинейность, быть поняты микроскопически.

Мы сосредоточимся на построении математических моделей, пригодных для создания на их основе вычислительных методов, которые находятся на стыке между микро (мезо) - и макро - описаниями на примере газовой динамики.

Рассматриваемая проблематика возникает теоретически в любой задаче, решаемой численно. Никакой мощности компьютеров не хватит, чтобы решать задачи только на микроуровне. Многие процессы вполне достаточно изучать в их макроскопических проявлениях. С другой стороны, понятно, что в зада-

чах, решаемых на макроуровне присутствуют области, в которых нельзя обойтись без микроскопического описания (ударные, пограничные и начальные слои). Возникает проблема выделения соответствующих подобластей, или декомпозициии области, и согласования алгоритмов, имеющих различную как физическую, так и вычислительную, основу. Эффективность таких иерархических алгоритмов во многом зависит от качества переходных математических моделей.

Таким образом, развитие методов математического моделирования для решения задач на микро - макро уровнях, в частности, задач газовой динамики, представляет собой важную и актуальную задачу.

Цель работы. Целью работы является создание математических моделей и численных методов для исследования и компьютерного анализа процессов, происходящих в системах, сложность которых обусловлена огромным количеством объектов их составляющих, когда точность расчетов опирается не только на качество вычислительных методов, но и на качество иерархической системы моделей, как стохастических, так и детерминистических, лежащих в основе вычислительных экспериментов.

Методы исследования. В качестве основного аппарата решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы аналитические и численные методы теории случайных процессов, стохастических дифференциальных уравнений, функционального анализа, кинетической теории, в частности, математической теории уравнения Больцмана, молекулярной газовой динамики, теории разностных схем и методов частиц, а также вычислительные эксперименты с помощью программных средств.

Научная новизна, основные результаты. В ДИССвртаЦИИ впервые ПОлучены следующие основные результаты:

1. Построена система нелинейных стохастических дифференциальных уравнений для случайного процесса, описывающего движение молекулы газа из твердых сфер в фазовом пространстве, из которой вытекает уравнение Больцмана как уравнение для плотности генерируемого этим случайным процессом вероятностной меры. Правая часть уравнения для скорости является стохастическим интегралом по пуассоновской мере. Воспроизведение реализаций этого процесса представляет собой основу методов Монте - Карло численного моделирования поведения разреженного газа. Тем самым, во - первых, эта модель является исходной для дальнейшего построения иерархии моделей по числу Кнудсена и, во - вторых, представляет собой математическое основание широко используемых в индустриальной практике вычислительных методов.

2. Сделан переход к системе стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере при умеренных числах Кнудсена. Эта модель служит основой построения стохастического метода частиц. Предложено уравнение типа уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка в фазовом пространстве, которое решается как с помощью разностных методов, так и с помощью детерминированного несглаживающего метода частиц. Для газа из твердых сфер аналитически вычислены коэффициенты, входящие в построенное уравнение Колмогорова - Фоккера - Планка, что приводит к значительно более простым моделям для описания переходных режимов в газовой динамике на мезо - уровне. Такая модель является математически обоснованной альтернативой

для-широко используемых эвристических БГК - моделей и, в частности, lattice Boltzmann моделей. И главное для настоящей работы, она позволяет продвинуться дальше в сторону уменьшения числа Кнудсена.

3. На пути дальнейшего упрощения математических моделей в результате пространственно - временного усреднения получена система уравнений стохастической квазигазодинамики в вероятностном и детерминистическом видах, альтернативная по отношению как к другим квазигазодинамическим системам, так и к системе уравнений Навье - Стокса, непосредственно связанная с порождающими ее микроскопическими моделями и не требующая уравнений состояния для своего замыкания. Входящие в нее малые члены позволяют по - новому организовать и традиционные разностные методы, и методы частиц.

4. С целью преодоления вычислительных трудностей, характерных для задач рассматриваемого типа, построен и апро-бован новый бездиссипативный энтропийно - согласованный метод частиц, который, во - первых, размазывает разрыв на одну ячейку, что говорит о его точности (очень малой диссипативности), и, во - вторых, регуляризирует исходную задачу подобно "энтропийному"условию. Сочетание гибкости методов частиц и набора моделей, как стохастических, так и детерминированных, позволяет в рамках одного класса вычислительных методов строить адаптирующиеся к особенностям решения алгоритмы, сквозные по отношению к микро - макро - описаниям физических явлений, обладающие повышенной точностью численного воспроизведения разрывных решений, экономичные для многомерных задач, легко распараллеливаемые в силу принципа их кон-

струирования и поэтому широко применимые. На примерах различных задач газовой динамики, обладающих разрывными решениями, и динамики несжимаемой жидкости, в которых именно несжимаемость порождает вычислительную сингулярность, исследованы две модификации метода — явная и основанная на методе суммарной аппроксимации, или расщепления.

Достоверность результатов диссертации. Достоверность ТвОреТИЧе-ских результатов обеспечивается использованием апробованно-го математического аппарата, проведением аналитического и компьютерного тестирования. Практические результаты, полученные в работе, подтверждены проведенным анализом результатов расчетов для модельных систем.

Практическое значение полученных результатов. Работа носит фундаментально - прикладной характер. Ее результаты могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по математическому моделированию больших сложных систем, таких как газ и плазма, так и для решения широкого круга практических задач, связанных с различного рода процессами переноса и диффузии, возникающих и в гидроаэродинамике, и в физике плазмы, и в геологии, и в биологии, и в экономике, и в социологии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

Международной конференции по научному компьтингу в химической промышленности - Scientific Computing in der chemischen Verfahrenstechnik, (Hamburg, Germany, 1995 г.);

IV Европейском Конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и технике - IV European Congress on

Computational Methods in Applied Sciences and Engineering -ECCOMAS 2004 (Jyvaskyla, Finland, 2004 г.);

VI Международном Конгрессе по математическому моделированию, (Н. Новгород, 2004 г.);

Международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики11 памяти академика Александра Андреевича Самарского, (Москва, 16 -18 июня 2009 г.);

I Международной конференции по методам частиц - Particles

2009 - International Conference on Particle - Based Methods (Barcelona, Spain, 2009 г.);

V Международной конференции по вычислительной гидродинамике - V European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2010 ( Lisbon, Portugal, 14-17 June

2010 г.);

V Международной Конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к проблемам естествознания" (Обнинск, 14-18 мая 2011 г.);

научно - исследовательских семинарах кафедр автоматизаг ции научных исследований, вычислительных методов, математической статистики, лаборатории математического моделирования в физике факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, кафедры вычислительной математики механике - математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, кафедр информатики и физической механики Московского физико-технического института, семинарах в Вычислительном центре имени A.A. Дородницына РАН, межвузовском семинаре "семи профессоров" , на семинаре Института механики МГУ "Актуальные проблемы геометрии и механики"имени профессора В. В. Трофимова, Ломоносовских чтениях, на семинаре Arbeitsgruppe Technomathematik TU Kaiserslautern, на семинаре

Института физики токомаков "Теория магнитного удержания плазмы "под руководством академика РАН В. Д. Шафранова, на семинаре под руководством A.A. Рухадзе в ИОФ РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 печатных работах. Из них 21 статья опубликована в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы — 278 страниц. Список литературы включает 307 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ставятся цели диссертационного исследования, а также кратко излагается содержание диссертации по главам.

Первая глава диссертации представляет собой краткое и упрощенное описание как рассматриваемой проблематики, так и основных этапов построения иерархии стохастических газодинамических моделей.

Первый параграф главы 1 посвящен постановке задачи в традиционном виде как набора моделей на языке детерминированных функции распределения в фазовом пространстве и макроскопических газодинамических параметров в физическом пространстве.

Точность и эффективность вычислительных алгоритмов газовой динамики могут быть улучшены с помощью построения

иерархии математических моделей, основанных на микро -макро представлениях.

Микро - мезо - макро детерминистические модели.

В основу обычно кладут уравнение Болъцмана

дР дГ 1

с параметром Кп, зависящем от пространственной переменной х и времени При современных высоких требованиях к качеству вычислительных технологий вся область, в которой производится расчет, разбивается на подобласти, обладающие различными значениями числа Кнудсена. Если Кп - порядка единицы, то это - подобласть, требующая использования уравнения Больцмана. В тех областях, где Кп умеренно мал, можно воспользоваться уравнением типа уравнения Колмогорова -Фоккера - Планка

аг ж 1 д(а (ад = 1 1 ау(ад

дг+Удх+Кп <9у ~ Кп2 ¿М в котором коэффициенты (вектор а и матрица а2) определяются столкновительной моделью и при некоторых упрощающих предположениях могут быть вычислены в явном виде [5,19, 25]. Это - нелинейное уравнение относительно семимерной функции распределения в фазовом пространстве, как и уравнение Больцмана, но с более простой структурой: вместо интеграла столкновений стоит оператор переноса с диффузией в пространстве скоростей, который можно называть модельным интегралом столкновений.

В диапазоне умеренных чисел Кп можно получить и макроскопическое описание - уравнения стохастической квазигазодинамики [24, 26, 27, 29]:

dp dpV ld2. D2 . В В В ~W 1 д2 U1

+- -¿(^o+^

Здесь для простоты они написаны в одномерном виде и в случае, когда предполагается следующая связь с коэффициентами, входящими в приведенное выше уравнение Колмогорова

- Фоккера - Планка, (для наглядности, в размерном виде)

а(-)= 7(М), <r(-) = D(x,t), D2h = RT, pV2 1

Кстати сказать, для сопоставления с традиционными макро

- уравнениями можно обозначить

—р = р, Кп-х-р = —р, Кп—^рЕ = —рЬ, 7 7 Pioc 7 Аос

черта означает усреднение.

Для очень малых Кп эти уравнения примыкают к уравнениям Навье - Стокса.

Во втором параграфе главы 1 приведенный микро - макро мостик, записанный на языке детерминистических уравнений, строится с помощью теории случайных процессов, что мы сейчас схематично опишем. При этом возникают стохастические модели, связанные с упомянутыми детерминистическими, но им не идентичные.

п

Стохастические модели и их связь с детерминистическими. Микро.

Мы рассматриваем уравнение Больцмана как уравнение для плотности вероятности случайного процесса {х^Ь]^^)}., описывающего движение некоторой частицы (этим объясняется ис-пользоване индекса "1") в шестимерном фазовом пространстве и удовлетворяющего системе стохастических дифференциальных уравнений:

<&!(*) =«!(*)$, (1) ¿ьх(Ь) = /// 1{в,Х1(Ь),У1(г),х,ь)р(<Н) хйххйьх в£),

где / — функция скачка, р — пуассоновская случайная мера с математическим ожиданием:

1

Ер(йв хйх хс1у х д£) = йу)<И,

т{й9) — заданная функция, определяющая столкновитель-ную модель, Х^с1х,йу) — мера, порождаемая процессом {ж1 ,«!(£)}, что относит рассматриваемую задачу к классу нелинейных марковских систем. Параметр Кп возникает при обезразмеривании задачи:

Кп(х, ¿) = 1/((Рп10С(х,г)х*).

Его физический смысл — отношение локальной средней длины свободного пробега (в качестве которой с точностью до константы у/27г/4 « 1,11 можно взять 1/с?2пгоо(х,4), й - диаметр молекул, п(х, Ь) — их числовая плотность) к характерному размеру задачи ж*.

Введем центрированную меру

д(сШ хйххйу х ей) = р{йО хйххйух. <Й) - -^г~т{йв)\tidx, с1у)<И,

и представим

/J J f (в, xi(s),{s),x,v)m{d9)\s(dx,dv) = -а(| с |)с,

где с = vi — V - тепловая скорость, а о(-) - в нашем случае, функция. Такое представление появляется естественным образом, например, для газа из твердых сфер; оператор в левой части при упрощающих предположениях о виде меры Аs(dx,dv) становится скалярной функцией модуля тепловой скорости в результате того, что удается вычислить этот, вообще говоря, восьмикратный интеграл, о чем будет более подробно сказано в четвертом параграфе главы 3.

Тогда получим второе уравнение системы (1):

dvx{t) = -~о(| с \)(Vl - V)dt + + JJJ f{d,xi(s),vi(s),x,v)q(dd х dx x dv x ds).

Мезо.

Преобразуем его согласно A.B. Скороходу:

а а т г ,,

—Vidt - -—Vdt + Кп Кп

+ jjj f{&, xi(s), vi(s), x, v)q{dd xdxxdvx ds) - dvh или, с учетом первого уравнения нашей системы,

dxi{t) = Vdt +

+аГ1Кп/// f(e,xi{s),vi(s),x,v)q(de xdxxdvx ds)

—a~~lKndv i,

что представляет собой сокращенную запись выражения:

Xi(t + Ai) = x\(t) + J*+At Vdt +

+ It+Ata~lKnIII/(6*,a^i(s),t»i(s),ж,xdxxdvx ds)

— ^a-'Kndvv

В рассматриваемой ситуации параметр Кп является малым, поэтому, в контексте центральной предельной теоремы, предположим, что случайную величину

£ШаГ1КпIII f(6,xi(s),vi(s),x,v)q(de xdxxdvx ds) можно приблизить величиной

a~lKn{-^-<7\t))ll2 • Aw{t), Кп

где Aw(t) — приращение стандартного трехмерного винеровско-го процесса, а матрица

cr2(s) = JIJ f(9,xi(s),vi(s),x)v)m(dd)Xs(dx,dv).

Предполагая, что последний член в уравнении для x\(t) является величиной более высокого порядка малости по Ai, чем предыдущие члены, учитывать его не будем. Таким образом, мы приходим к системе:

dxi(t) = V{-)dt + а_1(-) VKn<r(-j<fo>(i), dv^t) = - V(-))dt + -JL=<j(-)dw(t), (2)

где матрица а является квадратным корнем из матрицы а2: а = (¿г2)1/2, а стохастические дифференциалы понимаются в смысле Ито.

Процесс {a;i(t),ui(i)} порождает меру, плотность F которой удовлетворяет уравнению Колмогорова - Фоккера - Планка:

<% г=1 дх{ Кп ¿=1

= ±1 £ 92

1 Д

& г,.7=1

д2{а~1\/Жп(у)1^Р ^ п&(аГ1о)ц<тцР

+ 2-

дхгдх, дхгдь

и3

где дополнительные два члена в правой части малы по Кп по сравнению с первым.

Макро.

Рассмотрим простейший пример системы (2):

а(-) = сапзЬ{х^) = 7, сг(-) = сопв^х, ¿) = Р.

Обратный оператор а-1 превращается в оператор умножения на величину 1/7; 7 и матрица £> зависят от ж и £. Такой выбор коэффициентов часто используется, например, в контексте модельного интеграла столкновений в форме Фоккера - Планка. Кроме того, для модели газа из твердых сфер это представление имеет место для малых тепловых скоростей. Выражение для этих коэффициентов можно также получить на основе термодинамических соображений и флуктуационно - диссипацион-ной теоремы Эйнштейна.

Представим схему вывода уравнений стохастической квазигазодинамики для этого набора коэффициентов.

Это означает, что нам надо построить уравнение для мер рн^и^и которые порождаются случайными процессами х\(Ь) и ух(Ь). Физический смысл этих мер — эволюция распределений массы, импульса и энергии.

Определим стохастическую эмпирическую меру 1и{йх) соотношением: для любой функции ф € С12\В?) (пространству дважды непрерывно дифференцируемых финитных функций)

/ ф{хЫйх) = 1Е (3)

¿=1

Тогда по формуле Ито где стохастический дифференциал йх берется из системы (2)

/-Е>

йх = У<И + уКп—ёш, 7 £)2

((¿ж)2 = Кп—<И,

получим:

djip(x)fit(dx)

или

Предположив наличие плотности р(ж, t) у стохастической эмпирической меры m(dx), получим стохастическое уравнение неразрывности в виде:

J . dpV 1 д2 D2 ... .д , /тт-D 41J

а взяв математическое ожидание — детерминированное уравнение неразрывности для детерминированной плотности р(х,{]\ др дрУ 1 д2 Б2 .

ОН ~дзГ ~

справедливое для малых чисел Кнудсена. Присутствие правой части отражает "след", оставляемый тепловым движением молекул, или диффузию. Аналогично, для импульса определим векторную меру ^(¿х):

/ф(х)щ(йх) = ~ Еу(х^))ф(хг{г)),

а для энергии - скалярную меру е^йх)\

Iф(х)е^х) = ~ £ у

рассматривая процесс являющийся решением системы (2), как функцию от а^).

Используя стохастическую формулы дифференцирования произведения

¿(уф) = фdv + vdф + dvdф,

<1(~Ф) - Му) + + ¿(у)#,

систему (2)

v2 1

d(~) = v¿v + -(dv)2,

1/, N2 1 D2 , =2

и формулу Ито, где стохастические дифференциалы dx и dv берутся из системы (2)

/-D

dx = Vdt + v Кп—dw, 7

7 -D

dv = -^—(v - V)dt + —¡==dw Kn yJKn

В2дф йуйф = ——<Ц, 7 ох

у2 V2 1 В2

й{~ф) — фьйу + — йф + ьйу<1ф +

£ & «л\ ТЬ

получим уравнение для мер у^йх) и е^х). Обозначив через рУ(х,Ь) плотность меры и^йх) и через рЕ(х,1) плотность меры придем сначала к стохастическим дифференциальным уравнениям движения и энергии, а затем, взяв математическое ожидание, получим детерминированное квазигазодинамические уравнения для плотностей импульса и энергии:

В д д В2 1 д2 В2

если числа Кнудсена малы.

Для идеального газа в силу флуктуационно - диссипацион-ной теоремы В2/27 = Т, и можно обозначить величину рВ2/у через р, придав ей физический смысл давления в соответствии с уравнением состояния идеального газа. Кроме того, при выводе уравнения для энергии мы воспользовались определением полной энергии (в одномерном случае)

Таким образом, получается целый спектр как детерминированных, так и стохастических, моделей газа (в частности, газа из твердых сфер). Все они порождают свои собственные

вычислительные методы.

Вторая глава посвящена рассмотрению исходной для нашего исследования модели газа (1), молекулы которого представляются абсолютно упругими шариками, является простейшей, но не тривиальной, то - есть, основные математические проблемы адекватного описания такой большой системы частиц в ней содержатся. Людвиг Больцман выводил свое уравнение, опираясь на этот образ и начиная с детерминированной системы, вводя случайность на этапе принятия гипотезы молекулярного хаоса - Stossanzahlanzatz. А.В. Скороход изначально рассматривает системы, состоящие из большого числа случайно взаимодействующих частиц, и исследует поведение таких систем при неограниченном возрастании их числа. Существенным отличием подобных систем от систем, рассматриваемых в статистической физике, является именно случайность взаимодействия, тогда как в статистической физике случайность входит только через начальное положение.

В предположении, что взаимодействия между различными парами частиц независимы, и число взаимодействий на одну частицу в единицу времени остается ограниченным, можно исследовать предельное поведение системы при неограниченном возрастании числа частиц. Уравнения движения такой системы в отсутствии (для ясности изложения) внешних полей и сил "дальнодействия" будут стохастическими дифференциальными уравнениями вида

йХг{Ь) =

сад = £ / /(0> *<(*)» х ей), (4)

.7=1

где хг и и,- являются векторами положения и скорости г - той

частицы- в фазовом пространстве Я3 х Я3 (для краткости обозначим его через И, а пару (^¿(¿), «¿(¿)) - через интеграл по стохастической пуассоновской мере на в х [0, оо) (в - поверхность единичной сферы) представляет собой импульсную случайную силу взаимодействия, которая меняет состояние частиц скачкообразно (скачком меняются импульсы взаимодействующих частиц), а именно, скорость г - той частицы в результате столкновения с .7 - той частицей изменяется на величину f(в,Xi{t),Vi(t),Xj,Vj), и функция / называется функцией скачка. Решение уравнения , (¿),... ,а;п(£),ип(£)) будет марковским процессом. Уравнение Колмогорова для распределения процесса (прямое уравнение) играет роль уравнения Лиувилля. Введем "статистическую" функцию распределения:

П ¿=1

{Ха ~ индикатор борелевского множества А нашего фазового пространства) и изучим предельное поведение этой случайной меры при п —> оо.

Пусть

Ер§\бВ х ей) = —т{йв)И,

ТЬ

где т - конечная мера на 9 (ее конкретный вид мы установим позднее). Тогда в предположении некоторой гладкости коэффициентов уравнения справедливы следующие утверждения 1) и 2).

1) Мера ц[п\А) слабо сходится к некоторой неслучайной мере Аг(А), для которой выполнено уравнение

которое можно рассматривать как обобщенное уравнение Больцмана, что конкретизируется в первом параграфе главы 2.

Во втором параграфе главы 2 изучается предельное поведение отдельной частицы в фазовом пространстве на основании утверждения

2) Пусть начальные значения функций z[n\t),..., z[n\t) (это решение системы уравнений (4) при данном п) сходятся к 4^(0),...,4^(0)- Тогда совместное распределение процессов (z[n\t),.. при п оо сходится к совместному рас-

пределению к независимых процессов (z\(t),..., zk(t)), каждый из которых является марковским процессом, удовлетворяющим системе стохастических дифференциальных уравнений

dxi{t) = vi(t)dt, (5) dvi(t) = / f{e,xi(t),vi{t),x\v')p(d9 x dx' x dv' x dt),

где p - пуассоновская мера на © x Z x [0, оо), для которой

Ep(d9 xdzx dt) = m(d9)Xt(dz)dt.

Отсюда, в частности, вытекает, что частичные функции распределения являются в пределе произведениями одночастичных функций распределения. Если в уравнении (5) формально положить 9 = £, © = Н - единичная сфера,

£ = {cose sin a, sine sin ct, coscc},

m(d6) = d2 | v' - v || cosa | sinada.de, d - диаметр молекул, 0 < а < 7Г,0 < е < 27Г - углы локальной сферической системы координат, ось г которой совпадает с вектором г/ — v, а функцию скачка взять в виде /(•) = £(г> — г/, £), (•,•)- скалярное произведение,

то уравнении (5) превратится в обобщенное уравнение Больц-мана для газа из твердых сфер. Условия доказанных A.B. Скороходом теорем при таком выборе / и т оказываются не выполненными и требуют дальнейшего развития, которое проводится в книге A.A. Арсеньева "Лекции о кинетических уравнениях".

Итак, нашей базовой моделью является система стохастических дифференциальных уравнений (1) для случайного процесса {zi(i),ui(i)}, описывающего движение частицы в шестимерном фазовом пространстве.

В третьей главе с помощью схемы, изложенной в главе 1, но в ее более подробной многомерной версии, в подобластях с умеренными числами Кнудсена делается переход от системы (1) к системе (2), вернее, к ее более точной модификации. Полученная в предыдущем разделе модель (1) основана на представлении о редких столкновениях между частицами, что математически выражается использованием меры Пуассона для ее формулировки. Поэтому можно сказать, что она применима для описания разреженного газа, или в тех областях, где число Кнудсена Кп{х, t) - порядка единицы, где существенны сильно неравновесные эффекты и где не обойтись без численного решения уравнения Больцмана. Это отдельная отрасль вычислительной газовой динамики. Нас интересует вопрос о том, как трансформируется эта модель при уменьшении числа Кнудсена. Основная гипотеза состоит в том, что с уменьшением числа Кнудсена, а значит, ростом интенсивности пуассоновской меры, скачкообразный обобщенный пуассоновский процесс - решение нашей системы (1) - приближается к диффузионному процессу, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходного уравнения.

В первом параграфе главы 3 мы получаем систему

= УМ + у/Кп [а-1 (с) (<г(с) - ст(0))] йщ® = - У)И + (6)

////(е,Х1(8),Ь1(з),х,у)т((1в)\а{с[х,<1у) = —а(| с |)с,

а2(с)(з) = /1! $2{в,х1(з),у1{з),х,у)т{йв)\3(йх,(1г1).

где матрица сг — (сг2)1/2, а стохастические дифференциалы понимаются в смысле Ито. Обозначим:

с = <Т{С)-(Т{0).

Эта система отличается от более грубой системы (2) присутствием в правой части первого уравнения для х^) величины <7(0).

Во втором параграфе главы 3 с помощью фррмулы Ито мы показываем, что случайный процесс {жг^), являющий-

ся решением системы (6), порождает меру \^с1х,с1у), плотность Р(х,ь,Ь) которой удовлетворяет уравнению типа уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка (мы сохраняем то же обозначение для меры, хотя теперь эта мера порождается диффузионным, а не пуассоновским, процессом, но по - прежнему, протекающим в фазовом пространстве):

г=1 дХ{ Кп г=1

Кп2 ¿,7=1 дугду]

21,^=1 дх{дх3

где дополнительные два слагаемых в правой части малы по Кп по сравнению с первым.

В третьем параграфе главы 3 мы рассматриваем вопрос о консервативности, а именно, выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии как моментов функции распределения F(x,v,t), удовлетворяющей полученному в предыдущем параграфе уравнению Колмогорова - Фоккера - Планка.

В четвертом параграфе главы 3 вычисляются коэффициенты в правой части уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка, которые можно называть вектором "сноса"а и матрицей "диффузии" а2 в пространстве скоростей, в приближении, когда при их вычислении для газа из твердых сфер делается упрощение в виде локальной максвелловости и изотропности по тепловой скорости с функции распределения F внутри соответствующих пятикратных интегралов. Эти коэффициенты получаются в следующем виде:

а(с) = + 2 - ¿)

+е-с2(2С + ^)], . (7)

a2l2(c) = пТ3/2^с1С2%), (8)

остальные элементы ковариационной матрицы a2{F) выглядят аналогично приведенным, ст2 зависит от F, потому что с зависит

от Р. В выражениях для а и а2 обозначено: с = с!¡\[Т\ где п', ё и Т' — безразмерные числовая плотность, тепловая скорость и температура,

ег т =

Глава 4 посвящена проблеме перехода из фазового пространства положений и скоростей в физическое пространство, или от кинетических уравнений к уравнениям газовой динамики, или от микро (мезо) - к макро - описаниям. Схема этого перехода содержится в главе 1 и приведена выше.

В первом параграфе главы 4 мы получаем, применяя формулу Ито, уравнение неразрывности с самодиффузией, которое является следствием обобщенного уравнения для стохастической эмпирической меры ц^х) (3) и стохастического в частных производных уравнения неразрывности, как схематично это было сделано выше.

Второй и третий параграфы главы 4 посвящены получению трехмерных уравнений эволюции импульса и энергии, а также их плотностей, стохастических и детерминированных.

В четвертом параграфе главы 4 мы выписываем полученную стохастическую квазигазодинамическую систему в декартовых координатах в развернутом виде:

д з Р+ £

д

-П

дь

д2

1 дх.

№ =

1 (в2

Кп

2 I Р

7 /у /

2 ¿,¿=1 дxiдxj

3 д

- £ о—

дх.

Е-Ч

1 ^ I

и делаем упрощающие замечания относительно коэффициентов

(!¥.) (с использованием результатов (7), (8) четвертого

V 7/у \ч '%]

параграфа главы 3), что позволяет в наиболее простом случае записать (обезразмеренную) стохастическую, квазигазодинамическую систему (9) следующим образом:

Присутствие малого диффузионного члена в правой части уравнения неразрывности является математическим следствием исходной вероятностной модели и использования стандартных методов стохастического анализа, в частности, формулы Ито. С точки зрения физики, этот член отражает сглаживание градиента плотности за счет теплового движения молекул — фундаментального свойства, присущего газовой среде. Если

(10)

(¿ = 1,2,3),

ДЭМ) , Хд2((к/рЮс)рЕ) ,=1 дх3 дх]

в газе провести виртуальную границу между соседними областями, обладающими различными термодинамическими свойствами, и мысленно "раскрасить"в разные цвета молекулы, в них находящиеся, то процесс диффузии станет совершенно очевидным. В теории диффузионных процессов имеется теорема о возможности бесконечно долгого пребывания траектории на границе.

Полученная стохастическая квазигазодинамическая система (9) или (10) отличается от системы уравнений Навье - Стокса не только по способу построения, но и по своей структуре.

Мы провели некоторые вычислительные эксперименты с помощью достаточно простых и хорошо известных разностных методов, чтобы продемонстрировать связь стохастической квазигазодинамики с распространенными моделями и показать возможность использования в газодинамических расчетах иерархии моделей (1), (6), (9), о чем мы сообщаем в пятом параграфе главы 4. Приведенные примеры расчетов тестовых задач показывают, что уравнения стохастической квазигазодинамики (10), рассматриваемые в данной работе, могут служить моделью динамики вязкого газа и основой вычислительных алгоритмов. Двумерное течение в каверне демонстрирует количественное совпадение решения с эталоном. Структура фронта одномерной ударной волны проявляет качественное соответствие физической картине. Поскольку коэффициенты в уравнениях (10) взяты в первом приближении, и новая макроскопическая модель не претендует на описание процессов с числом Кнудсена, близким к единице, результат следует считать весьма хорошим.

Глава 5 посвящена развитию вычислительного инструментария для рассматриваемых задач [6, 8, 21]. Методы частиц явля-

ются ведущими в численном моделировании явлений, описываемых кинетическими уравнениями. Что же касается макроскопических уравнений, прежде всего уравнений газовой динамики, методы частиц, которые изначально были изобретены именно для газовой динамики, сталкиваются с проблемой искусственных флуктуаций, характерных для задач гиперболического типа. Как правило, такие задачи, в следствие их многомерности и нелинейности, предъявляют повышенные требования к применяемым вычислительным методам, что особенно остро проявляется последнее время в связи с супервычислениями, когда обилие и подробность получаемых результатов ставят вопросы о наличии и величине содержащихся в них артефактов.

В первом параграфе главы 5 детерминированный метод чат стиц выделяется из других вычислительных методов (конечно -разностного и конечных элементов ) по способу дискретизации искомой функции, метод частиц строится для уравнения переноса, для которого он является наиболее естественным и поэтому продуктивным, приводятся основные факты по его обоснованию, дается понятие о стохастических (по пуассоновской и винеровской мерам) методах частиц, дается классификация методов частиц по способам получения правых частей в системе уравнений движения частиц и предлагается новый энтропийно - согласованный бездиссипативный метод частиц, который, во -первых, размазывает разрыв на одну ячейку, что говорит о его точности, очень малой диссипативности, и, во - вторых, регу-ляризирует исходную задачу подобно "энтропийному"условию. С алгоритмической точки зрения, метод отличается малым числом обменов после этапа сдвига частиц и большим числом независимых операций при перестройках частиц на этапе коррекции, что естественным образом делает его особенно привлекательным для распараллеливания.

Суть метода частиц поясним на простейшем примере линейного уравнения переноса. Она состоит в том, что исходный (в данном случае детерминированный) процесс, N реализаций которого являются решением системы

= (И)

порождает меру с плотностью и(х, t) по формуле

V<£> : /и(х, t)ip(x) dx = ±-Z tp(Xi(t)), (12)

J iv t=l

или

u(x,t) = ^ts(x-xi(t)), (13)

iv i=i

дифференцируя которую с использованием правила дифференцирования сложной функции (или формулы Ито в стохастическом случае)

и формулы (12), где вместо <р берется </?',

1 N dip(x)

— Y,<p'{xi)a{t,xi(t)) = J a{t,x)u{x,t)-^+dx,

мы приходим к обобщенному

~ I и(х, t)ip(x) dx-J a{t, х)и{х, dx = 0, (14)

a затем (после интегрирования по частям) дифференциальному

du(x,t) + d(a(t,x)u(x,t)) = Q ^

dt дх

уравнению переноса.

Таким образом, если координаты частиц (или узлы квадратурной формулы (12)) изменяются в соответствии с (И), верным оказывается уравнение (14). Решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений (И), мы получаем слабое решение уравнения переноса.

Во втором параграфе главы 5 предложенный метод частиц развивается применительно к системе уравнений, откуда появляется альтернатива использования либо явного метода, либо метода суммарной аппроксимации (или расщепления). Рассматривается система уравнений газовой динамики без вязкости -уравнений Эйлера, так как проблема моделирования разрывных решений возникает для такой задачи, а малая естественная вязкость этой проблемы не снимает.

Дальнейшее продвижение метода дается в третьем параграфе главы 5 и состоит в решении двумерных задач, а также задач несжимаемой жидкости, в которых возникают дополнительные трудности, связанные с несжимаемостью.

Все вопросы построения и исследования методов частиц решаются на основе созданного программного комплекса, возможности которого демонстрируются результатами тестирования программ и сравнения с другими известными методами и эталонными решениями.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Основные публикации по теме диссертации

[1] C.B. Богомолов. О сходимости метода суммарной аппроксимации для системы уравнений Власова. // Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, No. 3, с. 510 - 518.

[2] C.B. Богомолов. Сходимость метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана. // Журнал вычисл. ма-тем. и матем. физики, 1988, т.28, No.l, с. 119 - 126.

[3] C.B. Богомолов. Флуктуация метода частиц для уравнения Власова. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т.28, No. 2, с. 290 - 292.

[4] C.B. Богомолов, В.А.Лебедев. Сходимость разностной схемы Эйлера решения системы стохастических дифференциальных уравнений метода частиц для уравнения Больцмана. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т. 28, No. 8, с. 1264 - 1267.

[5] C.B. Богомолов. Стохастическая модель гидродинамики. // Математическое моделирование, 1990, т. 2, No.11, с. 85 - 88.

[6] C.B. Богомолов. Метод частиц для уравнения Бюргерса. // Математическое моделирование, 1991, т. 3, No. 12, с. 115 -119.

[7] S. V. Bogomolov. Stochastic Model of Hydro Dynamics. // Mathematical models and computer simulations, 1993, v.l, No.2, p. 113 - 117.

[8] C.B. Богомолов. Метод частиц с весами для уравнения Бюргерса // Математическое моделирование, 1994, т.6, No.5, с. 77 - 81.

[9] S. V. Bogomolov. MikroSIM: A Toolbox for Dynamical Processes Simulation. - Proc. Scient. Comp, in der chemisch. Verfahrenstechnik, Hamburg, 1995.

[10] C.B. Богомолов, A.A. Замараева, Х.Карабелли, K.B. Кузнецов. Консервативный метод частиц для квазилинейного

уравнения переноса. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1998, т.38, No.9, с. 1602 - 1610.

[11] C.B. Богомолов, К. В. Гаврилюк, С. И. Мухин. Течение газа в трубопроводах при наличие стока. // Математическое моделирование, 1998, т.10, No.10, с. 8 - 18.

[12] C.B. Богомолов, К.В. Кузнецов. Метод частиц для системы уравнений газовой динамики. // Математическое моделирование, 1998, т.10, No.7, с. 93 - 100.

[13] С.В.Богомолов, Д.Н.Михайлов. Численные расчеты распространения сейсмических волн на основе нелинейной вяз-коупругой модели. // Физика Земли, 1999, No.3, с. 18 - 24.

[14] C.B. Богомолов. Повышение точности метода расщепления для уравнения Больцмана. // Математическое моделирование, 1999, т.11, No.10, с. 100 - 105.

[15] Ya.V. Kudryavtsev, A.D. Litmanovich, A.G. Makeev, S.V. Bogomolov. Macromolecular reaction and interdiffusion in a compatible polymer blend. The role of H - bonding. //Macromol. Theory Simul., 1999, v.8, p. 161 - 171.

[16] С.В.Богомолов, Е.В.Захаров, С.В.Зеркалъ. Моделирование волн на мелкой воде методом частиц. // Математическое моделирование, 2002, т.14, No.3, с.ЮЗ - 116.

[17] С.В.Богомолов. Метод частиц. Несжимаемая жидкость. // Математическое моделирование, 2003, т.15, No.l, с. 46 - 58.

[18] С.В.Зеркалъ, Е.В.Захаров, C.B. Богомолов. Моделирование движения потоков различной природы по наклонной поверхности методом частиц. // Вюник Харгавського на-щонального ушверситету. Сер1я "Матем. моделюв.. 1нформ.

техн.. Автомат, системи управлшня. 2003, No. 590, с. 114 -123.

[19] С. В. Богомолов. Уравнение Фоккера - Планка для газа при умеренных числах Кнудсена. // Математическое моделирование, 2003, т. 15, No.4, с. 16 - 22.

[20] S. V. Bogomolov. An Entropy Consistent Particle Method for Navier-Stokes Equations. Proc. IV European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering -ECCOMAS 2004, Jyvaskyla, Finland.

[21] С.В.Богомолов. К обоснованию несглаживающего метода частиц.// Математическое моделирование, 2004, т. 16, No. 7, с. 92 - 101.

[22] С.В.Богомолов. Non - Smoothing Entropy Consistent Particle Method. VI Международный конгресс по математическому моделированию, Н. Новгород, 2004.

[23] С.В.Богомолов, Д.С. Звенков. Явный метод частиц, несгла-живающий газодинамические разрывы. // Математическое моделирование, 2007, т. 19, No. 3, с. 74 - 86.

[24] С.В. Богомолов. Об одном подходе к получению стохастических моделей газодинамики.//ДАН, 2008, т. 423, No. 4, с. 458 - 461. S. V. Bogomolov. An Approach to Deriving Stochastic Gas Dynamics Models, Doklady Mathematics, 78, 2008, p. 929 - 931.

[25] C.B. Богомолов. О модели Фоккера - Планка для интеграла столкновений Больцмана при умеренных числах Кнудсена. // Математическое моделирование, 2009, т.21, No. 1, с. 111 - 117.

[26] С. В. Богомолов. Уравнения квазигазодинамики. // Математическое моделирование, 2009, т.21, No. 12, с. 145 - 151.

[27] С.В.Богомолов. Стохастические модели газовой динамики. Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики "памяти академика Александра Андреевича Самарского, Москва, 16 - 18 июня 2009.

[28] S. V. Bogomolov. Stochastic Models of Gas Dynamics and Particle Methods. - Proc. Particles 2009 - International Conference on Particle-Based Methods, E. Onate and D.R.J. Owen (Eds), CIMNE, Barcelona, 2009.

[29] S. V. Bogomolov. Stochastic Quasi Gas Dynamics Equations as a Base for Particle Methods. - Proc. V European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2010, J. C. F. Pereira and A. Sequeira (Eds), Lisbon, Portugal, 14-17 June 2010.

[30] С.В.Богомолов, Л.В. Дородницын. Уравнения стохастической квазигазодинамики. Случай вязкого газа.// Математическое моделирование, 2010, т.22, No. 12, с. 49 - 64.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 24.08.2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 2,0. Тираж 150 экз. Заказ 344.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И СТРУКТУРА РАБОТЫ

1.1 Микро - мезо - макро детерминистические модели.

1.2 Стохастические модели и их связь с детерминистическими

1.2.1 Микро.

1.2.2 Мезо.

1.2.3 Макро.

1.2.4 Некоторые упрощенные модели для газа из твердых сфер

2 ГАЗ ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР КАК СИСТЕМА СЛУЧАЙНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

2.1 Система стохастических уравнений для п частиц и предельное уравнение для меры

2.2 Случайный процесс, описывающий движение частицы в фазовом пространстве

3 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (УМЕРЕННЫЕ ЧИСЛА КНУДСЕНА)

3.1 Система уравнений для диффузионного процесса, описывающего движение частицы в фазовом пространстве.

3.2 Уравнение Колмогорова - Фоккера - ПланкаЮБ

3.3 Консервативность

3.4 Коэффициенты сноса и диффузии в пространстве скоростей для газа из твердых сфер

УРАВНЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КВАЗИГАЗОДИНАМИКИ

4.1 Уравнение неразрывности с самодиффузией

4.2 Эволюция импульса.

4.3 Распределение энергии.

4.4 Система уравнений стохастической квазигазодинамики

4.5 Результаты расчетов.

ЭНТРОПИЙНО - СОГЛАСОВАННЫЙ БЕЗ

ДИССИПАТИВНЫЙ МЕТОД ЧАСТИЦ

5.1 Основания метода, частиц.

5.1.1 Дискретизация (детерминированные методы).

5.1.2 Уравнение переноса.

5.1.3 К обоснованию метода.

5.1.4 Вероятностный подход (стохастические методы).

5.1.5 Варианты метода частиц.

5.2 Методы частиц для системы уравнений газовой динамики.

5.2.1 Явный метод.

5.2.2 Метод суммарной аппроксимации

5.3 Двумерный случай. Несжимаемая жидкость 225 5.3.1 Двумерное уравнение переноса

5.3.2 Двумерное уравнение Бюргерса

5.3.3 Учет градиента давления.

5.3.4 Рождение — гибель частиц.

Потребности современной высокотехнологичной промышленности и различных областей науки приводят к интенсивному развитию методов математического моделирования на основе все большего включения микроскопических представлений об изучаемых процессах. Возникла целая отрасль вычислительного эксперимента, связанная с решением кинетических уравнений, основанная на довольно сложном теоретическом фундаменте и использовании новейшей высокопроизводительной вычислительной техники.

В математике это направление исследований, известное как шестая из проблем Гильберта, представленных им на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже, основано на работах Больцмана о принципах механики [1] и состоит в построении "математического предельного процесса, который ведет от атомистического видения к законам движения континуума", а именно, получении единого описания газовой динамики, включая все уровни этого описания. Другими словами, интригующим является вопрос о том, могут ли макроскопические концепции, такие как вязкость или нелинейность, быть поняты микроскопически.

Мы сосредоточимся на построении математических моделей, пригодных для построения на их основе вычислительных методов, которые находятся на стыке между микро (мезо) - и макро - описаниями на примере газовой динамики. Количество публикаций по этой тематике совершенно необозримо, мы приводим только некоторые из них в качестве примеров.

Рассматриваемая проблематика возникает теоретически в любой задаче, решаемой численно. Никакой мощности компьютеров не хватит, чтобы решать задачи только на микроуровне. Этого и не нужно: многие процессы вполне достаточно изучать в их макроскопических проявлениях. С другой стороны, становится все более понятно, что в задачах, решаемых на макроуровне часто присутствуют области, в которых нельзя обойтись без микроскопического описания. Возникает проблема выделения соответствующих подобластей, или декомпозициии области, и согласования алгоритмов, имеющих различную как физическую, так и вычислительную, основу. Эффективность таких иерархических алгоритмов во многом зависит от качества переходных математических моделей.

Примерно ТО процентов суперкомпьтерного времени используется» на аэрогидродинамические расчеты. Стратегии развития промышленных программ, например Airbus, выражаются девизом "Меньше экспериментов, больше вычислений". Такой девиз относится к любой развивающейся технологии и хорошо осознан многими правящими элитами. Вызовы, стоящие перед математическим моделированием [2, 3, 4], являются темой многочисленных докладов, которые делают на конференциях представители промышленности, например [5, 6, 7, 8]. Состояние дел таково, что имеющиеся на рынке дорогостоящие пакеты прикладных программ такие, как FLUENT, несмотря на их огромные возможности, позволяющие использовать миллионы точек сетки, ее адаптацию к расчетной области, изощренный сервис для пользователя, тем не менее не справляются в полном объеме с задачами, которые необходимы инженерам для оптимизации конструируемых изделий.

Требуется все большая точность вычислений, все большее количественное совпадение результатов расчетов с экспериментальными данными, что достигается с помощью как повышения точности существующих апробированных вычислительных методов, так и перехода к иерархическим, гибридным, многомасштабным (multiscale), многосеточным (multigrid) методам [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15; 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 16, 17, 18, 19]. Эта тематика является ведущей во всех журнал по прикладной математике. К слову, SIAM (Society for Industral and Applied Mathematics) выпускает новый междисциплинарный журнал Multiscale Modeling and Simulation, посвященный такого сорта проблемам.

Самым общим является подход, когда в моделировании используются макро микро - и нано - модели, вплоть до квантовомеханических. Естественно, что такая цепочка в полном объеме вряд ли реализуема в ближайшее время. Большим достижением на этом пути является создание коллективного обзора - "Энциклопедии низкотемпературной плазмы" под редакцией В.Е. Фортова [20].

Остановимся сначала на некоторых работах, в которых присутствует микроскопическая составляющая.

Методы решения микроскопических уравнений Стохастические методы частиц

Наиболее признанным, даже эталонным, является метод прямого статистического моделирования, Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) Method, пионером компьютерного освоения которого считается Г. Берд [31, 32, 33], хотя идеи алгоритмов статистического моделирования содержатся в работах М.А. Леонтовича [36], М. Каца [37], да по сути, восходят к самому Л. Больцману [38]. ОБМС метод состоит в том, что поведение порядка 1025 молекул приближается информацией о поведении сотен тысяч или миллионов из них, столкновения считаются случайными, и их вероятность определяется исходя из физических соображений относительно характера столкновительных моделей, что является ключевым моментом метода. В связи с этим возникает проблема оценки точности получаемых алгоритмов. Этот метод является ведущим в индустрии расчетов течений разреженных газов, поэтому проблема его обоснования, а значит, и контроля точности вычислений, необходимого элемента любого современного пакета прикладных программ, до сих пор востребована, является пищей для содания новых модификаций метода и привлекает большой интерес исследователей [40, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 10, 49 , 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Можно сказать, что задача о сходимости этого метода привела к интенсивному развитию целого раздела теории вычислительных методов, а именно, теории аппроксимаг ции задач для скачкообразных случайных процессов, которая восприняла и одновременно дала толчок к углублению соответствующей части теории случайных процессов [57, 58, 273, 60, 61, 62].

Теперь ясно, как построить случайный процесс, чтобы соответствующая ему мера удовлетворяла некоторому кинетическому уравнению. А численную реализацию набора траекторий этого процесса можно называть стохастическим методом частиц. Таким образом, появилась математическая основа, формализующая первоначально эвристические алгоритмы и позволяющая строить модели и методы, обладающие более высокой эффективностью.

На наш взгляд, наиболее подходящим основанием для выполнения этой задачи служит теория стохастических дифференциальных уравнений [62, 60, 41].

Детерминированные разностные методы

Как отмечают Ф.Г. Черемисин, В.В. Аристов с коллегами [21, 22, 50], методы статистического моделирования позволили решить ряд очень сложных и важных задач динамики разреженного газа (особенно для сверзвуковых течений), но эти популярные подходы, несмотря на несомненные достоинства, имеют недостатки. С помощью этих методов сложно решать нестационарные задачи; дозвуковые течения для моделирования методами Монте - Карло требуют больших затрат вычислительных ресурсов из - за статистического шума; в отличие от прямых методов статистические подходы с трудом могут быть обобщены для неявных схем и для схем с порядком точности выше, чем первый; построение гибридных схем, где статистические решения сращиваются с регулярными решениями по уравнениям Навье - Стокса требуют значительных усилий. Это является еще одним фактором, способствующим поиску эффективных методов прямого решения уравнения Болъцмапа [21, 50]. В серии статей, одними из последних среди которых является цитируемые выше работы, описываются важнейшие черты построения прямых подходов и показаны основные направления приложения их в моделировании различных течений. Формулируются основные типы консервативных схем для кинетического уравнения: макроскопические, или гидродинамические, и микроскопические, или кинетические. Описываются схемы консервативного метода расщепления. Рассматривается детерминистический метод решения с точным интегрированием по углам в операторе столкновений. Освещаются принципы построения параллельных схем и способы их реализации с декомпозицией по процессорам в физическом или скоростном пространствах. Раскрывается смысл и способы конструкции кинетически - континуальных численных схем, позволяющих аппроксимировать уравнения сплошной среды (уравнения Эйлера и Навье - Стокса). Определяется методика создания гибридных методов, где в зависимости от степени неравновесности в области течения применяются либо кинетические, либо кинетически - континуальные численные схемы. Описываются особенности вводимого гибридного единого метода UFS (Unified Flow Solver). Приводятся примеры различных задач кинетической теории газов, изучаемых на основе прямых методов решения уравнения Больцмана. Эти работы демонстрируют не только важность проблемы численного решения последнего, но и показывают, что успех в моделировании поставленной задачи во всей ее полноте зависит от качества построения более простых моделей и их стыковки с микроскопическими моделями.

Имеется набор задач (например, спуск летательного аппарата в высоких слоях атмосферы), в которых приходится одновременно в разных частях пространства решать и стыковывать уравнения Навье — Стокса и уравнение Больцмана, на что нацелены методы декомпозиции области.

Модельные уравнения

Многие авторы стараются ограничиться модельными уравнениями в фазовом пространстве вместо исходного уравнения Больцмана, а также (либо только лишь) макроскопическими уравнениями типа Навье - Стокса в физическом пространстве, однако несущими в себе малые поправки обусловленные их микроскопическим происхождением, так называемыми кинетическими схемами. Такой подход диктуется неотложностью численного решения все расширяющегося круга задач, в которых присутствует микроскопическая часть.

Одной из старейших и имеющих наиболее простой вид моделей является модель БГК интеграла столкновений Больцмана. Она основана на представлении о стремлении функции распределения к локальному максвеллиану в результате столкновений молекул, более никак не связанная математически с видом этого интеграла и обладающая экспоненциальной нелинейностью по функции распределения в отличии от квадратичной нелинейности в самом интеграле столкновений [32]. Несмотря на это, многочисленные расчеты с ее использованием приводят к разумным результатам, и количество всевозможных ее модификаций и приложений все расширяется [64, 65, 66, 67, 68].

Учет пространственной неоднородности течения при вычислении локального максвеллиана в модели БГК приводит к используемым многими авторами, особенно для несжимаемой жидкости, lattice Boltzmann схемам [69, ТО, 71, 72, 73, 74, 75, 76], которые, по сути, представляют собой один из вариантов метода частиц для модели БГК, привязанный к неподвижной сетке. Возрастающее влияние на вычислительную динамику жидкостей таких методов отражается в материалах V European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2010. Целая секция на этой конференции была посвящена исключительно использованию lattice Boltzmann схем и методов частиц для моделирования сложных физиологических штоков, по болшей части, задач гемодинамики. Здесь были представлены результаты интенсивных, проводимых в Швейцарии, США, Италии, Германии, Японии с помощью супер - компьютеров, исследований медицинских проблем [77, 78, 79, 80, 81, 86, 87, 88, 82, 83, 84, 85]. Большие надежды возлагаются на ускорение методов частиц, благодаря распарралеливанию по быстрым графическим процессорам [89, 90].

Кроме модели БГК, развиваются и другие модели интеграла столкновений: ЭС - модель, модель Шахова, современный обзор применения которых дается в статьях [91, 92, 93, 94]. В последнее время возник вплеск интереса к модели дискретных ординат [95, 96, 97, 98, 99, 100].

Специально отметим модель Фоккера - Планка интеграла столкновений, появившуюся на эвристическом уровне еще в сороковых годах [101, 102] и обладающую, в отличие от БГК, квадратичной нелинейностью, как и сам интеграл столкновений Больцмана [32], но не нашедшую широкого применения в численных расчетах в силу, вероятно, открытости вопроса о структуре коэффициентов, ее определяющих.

Часто используются всевозможные гибридные методы, то - есть методы, сочетающие в себе расчеты на основе микроскопических модельных уравнений с макроскопическими расчетами [103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112].

Есть и подход Лариной и Рыкова, основанный на вычислительных упрощениях в численном решении уравнения Больцмана при умеренных числах Кнудсена.

Кинетические схемы и уравнения квазигазодинамики

Отдельной областью исследований становиться построение кинетических схем и моделей квазигазодинамики. Львиная доля расчетов приходится на макроскопическую часть, в которой стараются учесть микроскопическую информацию. Такое направление вычислительной газовой динамики называют кинетическими, кинетически - согласованными, квазигазодинамическими схемами [113,114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 137, 138].

Выбор правильной математической модели важен не только для физики, но и для вычислительной математики. Последняя сталкивается с трудностью описания негладких газодинамических течений. Для преодоления этой проблемы используется целый набор различных подходов. Многие считают, что достаточно научиться хорошо численно моделировать решение уравнений Навье — Сток-са. Среди необозримого набора работ на эту тему выделим те, которые используют регулязирующие добавки. Целое направление вычислительных методов носит название кинетически - согласованных разностных схем, идея получения которых основана на разностной дискретизации уравнения Больцмана и применении метода расщепления, являющегося основным источником эффекта сглаживания в итоговом вычислительном алгоритме. Имеется также подход, нацеленный на получение абстрактных (непосредственно не связанных с кинетическим описанием газа) добавок в уравнения Навье — Стокса [113].

Гидродинамический предел

Из сказанного выше вытекает важность обоснованности вычислительных моделей с точки зрения их связи с представлениями теоретической, в частности, статистической, физики. Так как речь идет о микро - макро переходе, то нас интересует диффузионная аппроксимация уравнений больцмановского типа, или скачкообразных процессов, а также дальнейшего перехода к макроскопическим уравнениям, или гидродинамическому пределу.

Большие усилия были потрачены на изучение этой проблемы как задачи исследования поведения функции распределения в фазовом пространстве, удовлетворяющей ин-тегро - дифференциальному уравнению с малым параметром (числом Кнудсена). Причем изначально предполагается, что функция распределения представима в виде равновесной части (максвеллиана) плюс малая добавка, пропорциональная малому параметру (поправки более высокого порядка, как правило, не учитываются, за исключением уравнений Барнетта, которые приводят к неустойчивым решениям, хотя продалжаются попытки их регуляризации). Такое разложение носит имя Гильберта и используется для получения приближения Чепмена -Энскога, которое служит основанием для системы уравнений Навье - Стокса и вычисления коэффициентов вязкости и теплопроводности, в нее входящих. Останавливаться на этом классическом разделе кинетической теории более подробно мы не будем. Приведем только некоторые недавние работы, относящиеся к такому подходу [139, 140, 142, 141].

В.В. Козлов [143], изучая задачу о слабых пределах решений обобщенного кинетического уравнения Власова при неограниченном возрастании времени, которая имеет существенное значение при переходе от микро- к макроописанию, когда изучается поведение средних (наиболее вероятных) значений динамических величин, показывает, что теория слабых пределов решений уравнения Ли-увилля тесно связана с идеями и методами эргодической теории. Рассматриваемый случай представляет большие трудности, упирающиеся в нетривиальную проблему существования инвариантных счетно - аддитивных мер динамических систем в бесконечномерных пространствах.

Результаты общего характера применяются к изучению континуумов взаимодействующих частиц и статистических свойств плоских течений идеальной жидкости.

Достаточно подробный современный обзор работ по математическим аспектам перехода от уравнения Больц-мана как уравнения в частных производных для функции распределения к уравнениям Эйлера и Навье - Сток-са представлен L.Saint-Raymond [148]. Описываются различные способы масштабирования времени и пространства, метод относительной энтропии, ренормализованные решения, принадлежащие DiPerna и Lions [149]. Указанные подходы часто используются в последнее время для получения результатов по гидродинамическому пределу. Этот обзор можно дополнить еще рядом статей, находящихся в близком поле идей [150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161].

Диффузионная аппроксимация Метод функции распределения

Задача перехода не к предельным гидродинамическим уравнениям. когда малый параметр устремляется к нулю, а к диффузионным приближениям, когда параметр мал, но присутствует, возникает в различных ситуациях, от физики до биологии, медицины и социологии. Классическим является учет преобладающих скользящих столкновений (где малым параметром является угол отклонениния, значит, и приращение скорости), приводящий к уравнениям типа Ландау - Фоккера - Планка [162, 163, 62, 32, 33, 164].

Ю.Л. Климонтович [165] показал с позиций теоретической физики возможность единого описания кинетических и гидродинамических процессов на основе некоторого обобщенного кинетического уравнения без использования теории возмущений относительно числа Кнудсена. Выводится это уравнение исходя из представлений о "точке" и соответствующем инфинитезимально малом объеме сплошной среды в кинетическом и гидродинамическом описаниях неравновесных процессов в больцманов-ском газе и полностью ионизованной плазме. Кроме обычного нтеграла столкновений, который учитывает диссипацию через перераспределение частиц по скорости, обобщенное кинетическое уравнение содержит дополнительный диффузионный член, приводящий к появлению само - диффузии в макроскопических уравнениях.

Во второй половине 60-х годов, как пишет С.Г. Рау-тиан [168], возникла новая область приложения физической кинетики - нелинейная лазерная спектроскопия, характеризующаяся условиями, совершенно необычными с точки зрения традиционной кинетической теории: основной агент лазерной спектроскопии - плоская монохроматическая волна, резонансно взаимодействующая с газом, создает резкую структуру в распределении по скоростям для атомов, находящихся на оптически комбинирующих энергетических уровнях. Ширина этой структуры может быть значительно меньше, чем общая (максвеллова) ширина распределения. В противоположность этому, традиционные физические представления, ассоциирующиеся с диффузионным приближением, явно или неявно исходили из картины сравнительно плавных неравновесных составляющих распределения по скоростям. Второе и важное обстоятельство связано с большими спектральными плотностями мощности лазерного излучения и создания значительных концентраций возбужденных состояний, которые приводят к описанию миграции атомов, сильно отличающемуся от пригодных в основном состоянии. Изучениє упомянутых и ряда других проблем нелинейной спектроскопии привело к ревизии условий применимости диффузионного приближения.

Большое внимание уделяется современному развитию диффузионных приближений в кинетических системах в серии статей Р. Degond с соавторами [169, 171, 172, 170, 173], в которых отмечается, что операторы столкновений обычно проявляют множество стадий релаксации, и прежде, чем достигается полная релаксация к максвел-ловскому равновесию, система проходит через серию состояний, которые можно определить как частичные равновесия. Динамику последних в различных задачах физики плазмы можно описать с помощью набора моделей -сферических гармонических разложений и модели переноса энергии. Идея получения таких моделей опирается на наблюдение, которое показывает, что релаксация импульса, как правило, наступает быстрее, чем релаксация энергии, особенно в плазме в силу очень большого различия масс электронов и ионов или в полупроводниках, где фононная энергия много меньше энергии электронов. Поэтому для лучшего описания физики при умеренных вычислительных затратах необходимо построить промежуточную модель той стадии, когда наступила релаксация импульса, но до наступления релаксации энергии. В этом случае мы вправе предполагать, что функция распределения изотропна по скорости вследствие релаксации импульса, но пока не максвеллова. Предлагаемый метод состоит в разделении оператора столкновений на упругий (производящий релаксацию импульса в результате изменения углов скоростей после столкновений) и неупругий (отвечающий за релаксацию энергии вследствии изменения модулей скоростей сталкивающихся частиц) операторы. Вводятся сферические координаты в пространстве скоростей, и "настоящее" столкновение разделяется на два фиктивных этапа. Предполагается, что упругое рассеяние доминирует над неупругим, и с помощью различных масштабирующих гипотез получается иерархия моделей, тоньше, чем грубые гидродинамические модели, описывающая физические явления и имеющая более широкую область применения.

С помощью теории положительных полугрупп асимптотический анализ разнообразных систем в естественных науках, обнаруживающих многомасштабное поведение, таких как модели рождения - гибели, описывающие развитие медикоментозной сопротивляемости раковых клеток, уравнение эволюции клеток крови, сингулярно возмущенные модели миграции рыбы, рассматривается J. Banasiak [174] . Показывается, как взаимодействие положительности и компактности приводит к довольно сильным результатам во многих направлениях от проблем корректности и поведения систем на больших временах, включая возникновение хаоса, до раличных диффузионных асимптотик, сохраняющих грубую структуру исходных моделей. Как парадигма многих биологических систем, где происходит мутация и эволюция, М. Chaplain [175] обсуждает различные аспекты роста раковых опухолей с использованием смеси континуальных моделей (обыкновенных, с запаздыванием, в частных производных дифференциальных уравнений - уравнений реакции - диффузии - таксиса) и индивидуально - ориентированных моделей (типа клеточных автоматов, поддающихся, кстати сказать, формализации с помощью стохастических дифференциальных уравнений). Широкий класс уравнений больцмановского типа, применяемых для моделей эволюции многоклеточных систем в биологии, приводится в работах N. Bellomo и его коллег [176]. В них показано, насколько разнообразные виды диффузионных явлений можно получить в результате асимптотического' анализа, в котором ключевую роль играет соответствующее движению клеток и биологической активности масштабирование времени. Моделирование макроскопических явлений в билогических тканях методами механики сплошной среды означает, в классическом понимании, вывод соответствующеих эволюционных уравнений для макроскопических переменных, которые должны описывать физическое состояние системы. Феноменологический вывод опирается на стандартные требования сохранения массы, импульса, энергии и замыкается феноменологическими моделями состояния. Фундаментальная, часто нерешенная, проблема состоит в том, что эти модели обычно выводятся для равновесных состояний в то время, как эволюционные уравнения должны работать вдали от равновесия. Случай билогических тканей особенно труден для математики. Поведение системы едва ли может быть ограничено простыми математическими соотношениями, а равновесные состояния могут даже не быть идентифицированы. В некоторых случаях система стремится удалиться от равновесия вместо приближения к нему. Выживаемость и репродукция кардинально отличают биологию от физики. В принципе, аналогичные кинетической теории процедуры могут быть применены для получения макроскопических уравнений для биологических систем, рассматриваемых как большие системы взаимодействующих клеток. Такой подход поволяет избежать полностью феноменологического вывода. Однако возникают дополнительные трудности, связанные с тем, что клетки - активные частицы, которые харектиризуются не только положением и скоростью, но и дополнительным микроскопическим состянием (активностью), представляющем билогические функции на клеточном уровне; кроме того, микроскопические взаимодействия могут порождать явления распространения и разрушения.

Переход к гидродинамическим уравнениям для кинетических моделей консервативных экономик, в которых плотность богатства (благосостояния) зависит от такого параметра, как склонность индивидуумов к инвестициям, обсуждается в статье В. During и G. Toscani [177]. Так же, как и в кинетической теории разреженных газов, замыкание моделей зависит от информации об однородных стационарных распределениях богатства (максвелли-анах), определяемых кинетической моделью. Используемый оператор столкновений является оператором Фок-кера - Планка [178], полученным как соответствующая асимптотика модели больцмановского типа, включающей и обмены между агентами рынка, и спекулятивную торговлю [179]. Верификация моделей проводится с помощью численных расчетов с различными законами вариаций склонности к инвестированию.

Методы теории случайных процессов

В последнее время для исследования микро - макро переходов появляется все большее число работ, основанных не на изучении детерминированных интегро - дифференциальных уравнений для функции распределения, а на использовании теории случайных процессов.

В обзорах S. Albeverio [180], F. Flandoli [181] и Y.G. Sinai [182] стохастический анализ опирается на математический анализ уравнений Навье - Стокса, начатый J. Leray (1933) и А.Н. Колмогоровым (1941) и носящий название "теория турбулентности". N. Wiener, по его автобиографическим замечаниям, развивал теорию броуновского движения как первый шаг к созданию бесконечномерного анализа, способного справиться с проблемами турбулентности. В приводимых обзорах, следуя предложению А.Н. Колмогорова, к детерминированным уравнениям Навье - Стокса добавляются малые стохастические возмущения ("белый шум") для того, чтобы построить инвариантные меры и затем выяснить, что происходит, когда шум убирается. Уравнения, возникающие на этом пути, называются стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных Навье - Стокса. Сходный подход для описания эволюции распределения зарядов в фазовом пространстве под действием случайного поля представлен Е.М. Бениаминовым [183]. Отправляясь от стохастических моделей из N уравнений Ланже-вена, Р.-Н. Chavanis и С. Sire [184] получают нелинейное уравнение Фоккера - Планка для эволюции функции распределения в фазовом пространстве, описывающей морфогенез биологических колоний, и переходят к гидродинамическим моделям, опираясь на обобщенные термодинамические соображения (энтропия Tsallis [155]).

M. Lachowicz [185] исследует проблему соотношения между разными масштабами описания при математическом моделировании роста опухоли, опираясь на математический аппарат непрерывных (линейныхj полугрупп марковских операторов для микро - шкалы стохастически взаимодействующих объектов (клеток, индивидуумов); непрерывных нелинейных полугрупп, относящихся к решениям билинейных нелокальных кинетических уравнений больцмановского типа для мезо - шкалы статистических объектов; динамических систем, описываемых уравнениями реакции - диффузии - хемотаксиса, для макро - шкалы плотностей взаимодействующих объектов.

В стиле современной теории случайных процессов написана статья V. Capasso и D. Morale [186], посвященная моделированию социального поведения взаимодействующих индивидуумов в биологических популяциях, интересных, помимо прочего, тем, что в таких системах возникают явления самоорганизации. Авторы показывают, как макроскопические свойства системы зависят от взаимодействий на микроскопическом уровне, в частности, как соответствующие законы больших чисел влекут сходимость эволюционных уравнений для эмпирических пространственных распределений взаимодействующих индивидуумов к нелинейным уравнениям реакции - диффузии для так называемого среднего поля, когда общее количество индивидуумов становится достаточно большим. Предлагаются модели социального поведения на основе систем стохастических дифференциальных уравнений, включающих как "силы" притяжения/отталкивания, так и внешние "силы". Для строгого вывода асимптотитече-ских интегро - дифференциальных уравнений используются критерии компактности в метрических пространствах вероятностных мер и анализируются проблемы существования слабых решений.

При квантовых измерениях с прямой детекцией фотона, эволюция открытых квантовых систем обычно описывается стохастическими уравнениями для меры (master equations) со скачками [187]. Из этих уравнений можно получить эвристические диффузионные модели, аппроксимирующие исходные уравнения, и доказать, используя технику марковских производящих операторов, их сходимость.

На наш взгляд, наиболее полно связь между математическим аппаратом теории кинетических уравнений и методами стохастических дифференциальных уравнений отражена в книге A.A. Арсеньева [62]. В ней изложены основные математические факты, на которых базируются современные методы численного решения кинетических уравнений: метод прямого статистического моделирования для уравнения Больцмана и метод частиц для уравнений Власова и Ландау - Фоккера - Планка. Она позволяет подключить все богатство теории случайных процессов к исследованиям в кинетической теории, в частности, к построению иерархии микро - макро моделей газовой динамики.

Программа такого построения, не привязанная, правда, к конкретным физическим моделям, а поэтому относящаяся к некоторым модельным задачам, позволяющим довести математические рассуждения до законченных теорем, содержится в книге A.B. Скорохода [60]. Если A.A. Арсеньев исходит из обобщенных кинетических уравнений для меры, то A.B. Скороход начинает с рассмотрения большой системы стохастических объектов с вероятностным законом взаимодействия, а именно, во второй главе [60] рассматривается асимптотическое поведение системы случайно взаимодействующих частиц при неограниченном возрастании их числа, устанавливается существование предельного распределения для нормированного числа частиц в областях, асимптотическая независимость движений отдельных частиц, получены предельные уравнения движения для одной частицы, а также найдены условия, при которых эти уравнения превращаются в стохастические диффузионные уравнения. В предисловии A.B. Скороход пишет: "Меня давно интересовала возможность строго математически получить из уравнений движения системы частиц вероятностное броуновское движение. Этот интерес в значительной мере и стимулировал все исследования, проводимые в книге. Мне кажется, что ситуацию с броуновским движением и диффузионными процессами здесь удалось несколько прояснить."

Дробно - устойчивые распределения

Эта недавно появившаясь область моделирования ряда важных явлений с помощью теории случайных процессов прекрасно представлена в обзоре В. В. У Чайкина, В.Ю. Королева, В.В. Саенко [188].

Устойчивые распределения. Важнейшим результатом теории вероятностей, как в теоретическом смысле, так и в отношении приложений, является Центральная предельная теорема. Из бесконечного множества мыслимых распределений она выделяет нормальное (гауссово) распределение как единственное из распределений с конечной дисперсией, которое служит предельным распределением для нормированных сумм независимых случайных величин. На основе гауссова распределения возникла концепция гауссова случайного процесса, породившая в конечном итоге мощную ветвь вероятностной науки — теорию случайных процессов. Она связала нормальное распределение с дифференциальными уравнениями диффузионного типа (первого порядка по времени и второго — по координатам) и обеспечила тем самым многочисленные его приложения в теоретической физике.

Выдающийся французский математик Поль Леви установил, что если отказаться от ограничения конечной дисперсией, то обнаруживается целый класс предельных распределений, названных им устойчивыми. Устойчивость здесь понимается в том смысле, что сумма двух независимых случайных величин (случайных векторов), распределенных по устойчивому закону, снова распределена (с точностью до линейного преобразования) по тому же закону. Они и только они могут выступать в роли предельных распределений, и никакое другое распределение уже не может появиться в рассматриваемом пределе.

Подобно гауссову распределению, ставшему основой для винеровского процесса, моделирующего броуновское движение, устойчивые законы служат основой случайного процесса, названного Леви - движением. Леви - движение однородный во времени марковский процесс с независимыми приращениями, переходная вероятность которого характеризуется устойчивой плотностью.

Как и броуновское движение, Леви - движение автомодельно, его плотность выражается через устойчивую плотность как функцию алгебраической комбинации пространственной и временной переменных.

Дробно - устойчивые плотности. Трудно переоценить роль, которую играет в теории диффузии броуновское движение. Тем не менее, нашлись конкретные физические явления переноса, потребовавшие для своей интерпретации Леви - движение [189, 190, 191, 192]. Следующий шаг в направлении расширения этого класса распределений был сделан М. Котульским, появились термины: дробно

- устойчивые плотности и дробно - устойчивые случайные величины [194, 196]. Входящие в определение дробно - устойчивые, случайные величины распределены по устойчивым законам, являющимся предельными в стандартной схеме суммирования независимых случайных величин. Можно указать также схему суммирования, предельными распределениями в которой оказываются сами дробно - устойчивые распределения.

Дробные производные. Второе важное обстоятельство, объединяющее дробно - устойчивые плотности, связано с их отношением к уравнениям в дробных производных [193,195]. Устойчивые плотности являются фундаментальными решениями уравнений с первой производной по времени и дробными производными по координатам.

Турбулентная супердиффузия и полеты Леей. Важнейшим свойством низкотемпературной плазмы и плазмы вообще является турбулентный характер ее движения, порождающий турбулентную диффузию. Специфика турбулентной диффузии обусловлена действием на частицу вихрей разных размеров, существующих в турбулентной среде. Расстояние между двумя пробными частицами может существенно измениться за короткое время только под действием вихря, размеры которого сравнимы с этим расстоянием. Именно так обстоит дело в турбулентной среде, которая заполнена вихрями самых разных размеров. Физическая интерпретация роли дробной степени лапласиана в этих уравнениях сводится к тому, что случайные траектории частиц, соответствующих этим процессам, в отличие от броуновских траекторий, не являются непрерывными, а представляют собой сгустки (кластеры), хаотически разбросанные в пространстве, являются случайными фракталами. Выполняющая такое движение частица некоторое время как бы "топчется"в окрестности относительно небольших размеров, затем внезапно "уле-тает"на большое расстояние и начинает ,|топтаться"там. Такой тип движения называют "полетами Леви" (или движением Леви по аналогии с броуновским движением) по имени открывшего устойчивые распределения французского математика. В целом физический процесс, в котором диффузионный пакет расширяется быстрее, чем в нормальном случае, называется супердиффузией [197].

Методы частиц

В компьютерном моделировании задач, о которых шла речь выше, особое место занимают методы частиц. Математические модели сложных систем, состоящих из большого числа взаимодействующих объектов, написанные на языке уравнений их движения, представляют собой основу для применения методов частиц, одного из представителей, наряду с разностными и конечно - элементными, современных вычислительных методов.

Газовая динамика — наиболее аналитически и численно разработанный раздел науки для апробации использования алгоритмов, опирающихся на идеологию методов частиц. Кинетическая теория газов, или их микроскопическое описание, основана и развита еще Дж. Максвеллом, Л. Больцманом, А. Эйнштейном, П. Ланжевеном и многими другими. Макроскопические уравнения газовой динамики имеют более долгую историю. Используемый математический аппарат охватывает теорию случайных процессов на языке стохастических дифференциальных уравнений и методы решения нелинейных интегро — дифференциальных уравнений, включая задачи с малым параметром. К этому инструментарию следует добавить соответствующие разделы вычислительных методов, основанные на различных способах дискретизации: метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод частиц, стохастический и детерминированный.

В центре нашего внимания будет находиться метод частиц. Во - первых, метод частиц как численный метод решения системы стохастических дифференциальных уравнений по пуассоновской мере является ведущим для моделирования газа на микроскопическом уровне (в контексте уравнения Больцмана). Во - вторых, в газовой динамике важными являются процессы переноса, для которых наиболее естественным средством численного анализа выступает метод частиц. В - третьих, в макроскопической газовой динамике главные трудности связаны с численным воспроизведением разрывных решений, а метод частиц по своей сути является способом получения обобщенного решения. В - четвертых, он является экономичным для многомерных задач, так как число уравнений, описывающих поведение частиц, пропорционально числу измерений, а не растет при увеличении размерности степенным образом. В - пятых, метод частиц легко распараллеливается.

Таким образом, метод частиц является наиболее интересным претендентом на роль сквозного алгоритма, позволяющего моделировать газ в широком диапазоне изменения его параметров, переходя от микроскопического к умеренному (по значению малого параметра, называемого числом Кнудсена) и далее, к макроскопическому описаниям.

Умеренное описание означает, что переход от моделей типа уравнения Больцмана к моделям сплошной среды, представляемым системой уравнений Навье — Стокса, происходит через модели, связанные с уравнением Фоккера — Планка.

Интерес научного сообщества к методам частиц проявляется, например, в факте проведения конференции: Particles 2009 - First International Conference on Particle-Based Methods (Fundamentals and Application), которая является одной из тематических конференций Европейского сообщества по использованию вычислительных методов в прикладных науках (European Community in Computational Methods in Applied Sciences (ECCOMAS), www. eccomas. org), а также одной из конференций специального интереса Международной ассоциации по вычислительной механике (IACM) (www.iacm.info). PARTICLES 2009 была адресована к состоянию дел как в фундаментальных основаниях, так и в приложениях вычислительных методов, основанных на представлениях с помощью частиц, позволяющих эффективно решать самые разнообразные задачи инженерных и прикладных наук. Значительные продвижения в последнее время были сделаны в развитии метода дискретных элементов (discrete element method - DEM), гидродинамического метода сглаженных частиц (smooth particle hydrodynamic method - SPH), конечно - элементного метода частиц'(particle finite element method - PFEM), метода материальных точек (material point method), методов молекулярной динамики (atomistic and quantum mechanics - based methods) и многих других. Соединение этих методов со стандартными вычислительными процедурами, например, с методом конечных элементов или бессеточными методами, открывает новые возможности в решении сложных задач в науке и инженерии с учетом тонких представлений на нано, микро и макро масштабах. Применения методов, основанных на представлениях с помощью частиц, собранных на конференции, относились к задачам геомеханики и горного дела, промышленным процессам литья, взаимодействия жидкости и конструкций с учетом эффектов потоков со свободной поверхностью для проектирования береговых и морских объектов, при которых необходимы сведения о волновых нагрузках в портах, морских сооружениях, их влияние на судовую гидродинамику, процессам ударного разрушения, нано - микро - макро эффектам в науках о материалах и биомедицинском инжиниринге, молекулярной динамике, квантовой механике, плавлению полимеров при пожарах и подобным проблемам. Доклад автора "Стохастические модели газовой динамики и методы частиц" [306] на этой конференции был посвящен представлению работ по построению иерархии газодинамических моделей и соответствующих вычислительных методов (а именно, методов частиц).

В настоящей работе мы постараемся дать краткое общее описание идей метода частиц, имея в виду его возможности в построении вычислительного стержня сквозных алгоритмов для микро - макро моделирования газовой динамики. Мы не будем подробно пересказывать всевозможные модификации метода, отсылая читателя, например, к пионерским работам Ф.К. Харлоу середины пятидесятых годов [198], первым итогам применения вычислительных методов в физике плазмы [199], классическому учебному пособию Р. Хокни, Дж. Иствуда [200] или недавним книгам Ю.Н. Сигова [201], Ю.Н. Григорьева, В.А. Вшивкова, М.П. Федорука [203, 204], М.Ф. Иванова, В.А. Гальбурта [202], подробным обзорам указанных авторов [205, 208, 206], а также Г.И. Змиевской [211], С.М. Ермакова [209], И.Ф.Потапенко [210],В.В. Веденяпина, Ю.А. Волкова [212], Н. Neunzert, J. Struckmeier, М. Junk, А. Klar, A. Meister, S.V. Raghurama Rao, G. Venkiteswaran [213, 214, 215, 216, 217, 218, 219] и многих других авторов. На стыке между конечно - разностными методами и методами частиц находятся подходы, описанные в книгах О.М. Белоцерковского, Ю.М. Давыдова [220], K.M. Маго-медова, A.C. Холодова [221, 222], обзорах В.М. Головизни-на, А.П. Фаворского [223, 224], Н.В. Арделяна, К.В. Кос-мачевского, М.Н. Саблина [225]. Наиболее близки предлагаемому автором настоящей работы изложению циклы работ А. А. Арсеньева, A.B. Лукшина, С.Н. Смирнова [62, 61, 41, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235].

Постараемся сделать некоторые обобщения. Кроме того, внимательный анализ основ метода позволяет прийти к его новым эффективным вариантам.

Дискретизация: три способа представления функций. Детерминированные методы

Математическое моделирование некоторого явления состоит в определении независимых переменных, функций этих переменных и действующих на них операторов. Численное моделирование требует дискретизации. Три способа дискретизации функций приводят к трем классам вычислительных методов: конечно - разностным методам, методу конечных элементов или методу частиц.

Конечно - разностная дискретизация оставляет минимальную информацию о независимой переменной и об исходной функции, а именно — сетку и сеточную функцию. Метод конечных элементов требует еще и систему базисных функций. Метод частиц представляет собой слабую аппроксимацию функции, т.е. замену ее конечной суммой 6 - функций Дирака, или приближенное представление обобщенной функции с помощью квадратурной формулы, в которой неизвестными являются узлы, а веса одинаковы или заданы. Такие квадратурные формулы носят имя Чебышева. Эта связь между узлами квадратурной формулы должна выполняться для любой финитной пробной функции, т.е. для любой области интегрирования, в том числе и для малой. Этот факт необходимо учитывать при выборе узлов и коэффициентов квадратурной формулы. Только лишь увеличение числа узлов — не экономично. Простейшим является представление о .рассматриваемой функции как о ступенчатой. Таким образом, площадь (в одномерном случае) под графиком функции заменяется набором, например, частиц - прямоугольников, центры которых — координаты частиц, что соответствует формуле прямоугольников приближенного интегрирования. Итак, если задана некоторая функция, имеем узлы и веса, и наоборот, если в результате вычислений получились новые узлы и веса, можем восстановить искомую функцию.

Исторически сложилось так, что в естествознании наиболее распространенным является язык дифференциальных уравнений. Поэтому мы и начали с представления классических функций. Хотя исходными являются уравнения движения большого числа объектов, и нас интересуют их решения, т. е. положения и скорости этих объектов, которые подробно описывают состояние системы, а степень подробности может в последствии быть сокращена переходом к представлениям с помощью классических функций. Сразу же отметим, что в результате получаются алгоритмы, моделирующие гораздо более широкий круг явлений, включая задачи с разрывными решениями. Таким образом, метод частиц состоит в построении и решении системы стохастических (или детерминированных) дифференциальных уравнений для случайных процессов в (фазовом) пространстве, которые порождают меры, плотности которых являются классическим решением рассматриваемой задачи.

Уравнение диффузии со сносом (или конвекции — диффузии)

Рассмотрим диффузионный процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением по винеров-ской мере. Он связан с обратным уравнением Колмогорова и в случае, когда мера вероятности перехода имеет плотность, — с прямым уравнением Колмогорова, или уравнением Фоккера - Планка. Теория диффузионных процессов является хорошо развитым разделом современной математики и связана с именами А.Н. Колмогорова, К. Ито, Г. Маккина, И.И. Гихмана, A.B. Скорохода, С. Ватанабэ, Н. Икэда и многих других [237, 238, 239,

240, 241]. Она отражена в целом ряде учебных пособий [242, 243, 244, 245, 246]. Эта тория влечет за собой алгоритмы стохастического метода частиц, а именно, для того, чтобы решить уравнение диффузии надо смоделировать случайный процесс и уметь вычислить плотность вероятности распределения его значений в нужный момент времени. Численные методы, связанные с этим подходом, довольно быстро развиваются [247, 248, 211, 272, 219].

Процессы с разрывами

Большой класс физических явлений, например, движение молекул в разреженном газе, описывается стохастическим дифференциальным уравнением по мере Пуассона. Плотность вероятности этого процесса подчиняется интегро - дифференциальному уравнению типа уравнения Больцмана. Широко известные методы Монте - Карло численного решения последнего, о которых шла речь выше, относятся к классу стохастических методов частиц для разрывных процессов.

Варианты метода частиц

Получение уравнений движения частиц является фундаментом метода, но не исчерпывает всех его вычислительных особенностей. Очень важным этапом построения эффективных численных алгоритмов является оптимальная ' аппроксимация 6 - функций, необходимая для вычисления скорости движения частиц. На этом этапе должна быть построена система обыкновенных или стохастических дифференциальных уравнений в виде, пригодном для применения вычислительных методов, дающих ее решение. Тут и возникает некая классификация метода по способу получения правых частей в системе уравнений движения частиц. Чтобы изложить основные идеи этого этапа построения алгоритмов метода частиц, нам достаточно будет рассмотреть простейший пример одномерного квазилинейного уравнения переноса. Вычисление скорости движения частицы в произвольной точке есть решение задачи о восстановлении функции по аппроксимирующей ее конфигурации частиц Эта задача может быть решена по-разному.

Методы "частица — сетка"(или методы "частиц в ячейке")

Если мы ищем решение как классическую функцию, то от 6 - функций мы должны перейти к их аппроксимациям классическими функциями на основании определения д - функции как предела последовательности неотрицательных финитных функций, значения которых в точке ее сосредоточения стремятся к бесконечности, а площадь под их графиками остается равной единице. Этот предел, конечно, не является равномерным. При этом мы можем восстанавливать функцию в небольшом числе точек (например, принадлежащих некоторой пространственной сетке), а необходимые значения скорости движения частиц вычислять с помощью интерполяции. Это и есть суть методов типа "частица — сетка". Небольшое количество арифметических действий в таких методах очевидно, также как и их грубость. Правда, в задачах физики плазмы, где преобладают дальнодействующие силы кулоновского типа, эти методы проявили себя вполне работоспособными .

Методы "частица — частица"

В задачах блнзкодействия, к которым относится газовая динамика, необходимо использование более точных, но локальных, приближении, т. е. суммировать надо не по всем частицам, а только по множествам ближайших соседей. Значительные вычислительные затраты по поиску этих соседей могут быть существенно сокращены предварительной сортировкой частиц по крупным ячейкам так, что в итоге получаются алгоритмы с числом действий порядка 0(N), но, конечно, более медленные, чем методы "частица — сетка".

Метод сглаженных частиц (SPH - Smoothed Particle Hydrodynamics). Этот метод является вариацией предыдущего, и пользуется большой популярностью. Он основан на представлении функции в заданной точке через свертку самой функции с 5 - ядром, в которой 6 - функция аппроксимируется сглаживающим ядром, а интеграл приближается с помощью квадратурной формулы, узлами которой являются координаты частиц. Этим методом можно пользоваться в том случае, когда нам не требуется как можно более точно передавать разрывы решения.

Несглаживающий энтропийно - согласованный метод частиц. Приведенные выше модификации метода основаны на сглаживании 5 - функций и ориентированы на получение классических решений. Поэтому их применение приводит к сглаживанию разрывных решений, которое можно уменьшить увеличением числа частиц, либо сужением носителей аппроксимирующих функций или сглаживающего ядра.

Еще раз подчеркнем, что метод состоит из двух составляющих — замене исходной бесконечномерной или очень большого числа измерений (как в случае прямого статистического моделирования поведения молекул газа) системы системой уравнений движения N частиц и аппроксимации правых частей в этих уравнениях. Природа погрешностей, возникающих на этих этапах различна.

Погрешность первого типа регулируется только числом моделирующих частиц, потому что мы не вольны изменять вид уравнений движения частиц, определяемый исходной задачей. Это налагает на аппроксимацию второго типа требование неприкосновенности положений частиц, или точек локализации 5 - функций.

Последние же могут быть приближены какими угодно функциями, лишь только обладающими свойствами, указанными в определении. Однако это не совсем так. 'Для получения оптимальных алгоритмов мы должны наложить на эти функции дополнительные требования. Если мы хотим моделировать разрывные решения, то необходимо потребовать, чтобы частицы в соседних точках не перекрывались, т.е. эти частицы не должными быть "широкими". С другой стороны, они не должны быть слишком "узкими": это не имеет значения для слабой аппроксимации функции в точках, но приводит к большим численным флуктуацням. Это явление было отмечено на заре моделирования методом частиц задач физики плазмы при использовании модели "плоских листов что привело к построению методов "частиц в ячейке". Численные флуктуации особенно губительны для задачах газовой динамики, что стало причиной долгого забвения метода частиц в этой области. Но необходимость в бездиссипатив-ных алгоритмах (для решения, к примеру, задач с турбулентностью) приводит к возрождению интереса к методам частиц. Мы хотим увеличить точность представления функции с помощью квадратурной формулы без увеличения числа узлов ./V, т.е. построить некую специфическую квадратурную формулу, учитывающую характер поведения функции в промежутках между узлами. Эти замечания указывают на то, что оптимальной является такая аппроксимация 6- функций, при которой соседние частицы "соприкасаются". Хотя мы не будем жестко требовать этого от наших алгоритмов.

Таким образом, задача ставится так: по заданной конфигурации частиц построить аппроксимацию суммы 5 -функций "соприкасающимися"функциями. Эта задача может быть решена построением ячеек Дирихле: расстояния между частицами делятся пополам, тогда каждая частица получается составленной из двух частей, которые надо еще представить в виде одной П - образной функции. Потребовав полной (с обоими соседями) "соприкасаемо-сти"мы получим несимметричные относительно положения частицы.

Требование же симметричности частиц приводит к выделению ближайшего соседа ("соприкасаемость "достигается только с ним). Несмотря на нарушение свойства "полной соприкасаемости мы получаем алгоритмы, выделяющие соседей по степени их влияния на рассматриваемую частицу, что делает метод более чувствительным. Кроме того, симметрия частиц значительно облегчает построение алгоритмов для многомерных задач.

Завершим изложение основных принципов конструирования тех методов частиц, которые мы развиваем, важным соображением, приведшим к появлению в названии одной из статей "Консервативный метод частиц"явной тавтологии — методы частиц тем и хороши, что являются консервативными по построению, поэтому этот термин в названии кажется лишним. Дело в том, что "правильная "аппроксимация, о которой мы только что говор или, различна в различные моменты времени, т.к. (неприкосновенные) координаты частиц все время меняются в соответствии с уравнениями движения. На каждом шаге по времени нужно строить новую аппроксимацию, если в результате смещения центров частиц произошло их перекрывание, то избавится от него можно и нужно, изменяя только одну из частиц. Какую? Это зависит от дополнительных свойств исходной задачи, т.е. физической модели. Например, решая уравнение для импульса, перестройку частиц мы будем проводить так, чтобы не противоречить закону сохранения энергии.

Отметим здесь же, что такая перестройка частиц ведет к усилению естественной пространственной адаптации метода частиц, присущей ему изначально как методу построения точек сетки, каковыми можно назвать координаты частиц.

В результате применения описанных соображений даже для линейного уравнения переноса получается нелинейный алгоритм, содержащий много логических операций. Это не удивительно: при построении разностных схем для уравнения переноса также вводят "лимитеры"для того, чтобы обеспечить монотонность метода.

Несмотря на долгую историю своего развития, вычислительные методы для задач газовой динамики требуют дальнейшего улучшения, о чем свидетельствует неубывающий поток публикаций на эту тему. Разрабатываются новые разностные схемы, увеличивается интерес к методу частиц, который, в отличие от разностного подхода, основанного на аппроксимации уравнений в частных производных на заданной сетке, моделирует исходные процессы переноса на основе замены огромного числа молекул или бесконечномерной сплошной среды набором конечного числа частиц, что приводит к построению аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений для координат этих частиц, которые можно называть адаптивной сеткой, дискретизацией этой системы по времени и получению алгоритмов иной, по сравнению с традиционными разностными, природы. На этом пути возникают альтернативы, относящиеся к способу вычисления правых частей в системе обыкновенных дифференциальных уравнений движения частиц. Мы предложили такой способ, который направлен на сохранение разрывных решений. Оказалось, он во многом перекликается с одним из направлений развития теории обобщенных решений квазилинейных уравнений, связанных со введением "энтропийного"условия для определения самого понятия решения нелинейной задачи.

Как известно, задача Коши для квазилинейного уравнения переноса является некорректной в силу неединственности своего решения. Проблема выделения класса корректности привела ко введению дополнительного "энтропийного "условия и построению "метода исчезающей вяз-кости"и "метода сглаживания"для доказательства теорем существования и единственности.

Способ восстановления плотности меры по конфигурации и распределению весов частиц является главным этапом в применении метода частиц. В случае квазилинейного уравнения он должен быть дополнен еще проверкой условия того, чтобы высота той частицы, которая выросла в результате взаимодействия с другой частицей, не превысила высоты последней. Это условие появляется из сопоставления поведения дискретного алгоритма с поведением точных решений тестовых задач, их физическим смыслом и аналогично введению аксиоматики типа "энтропийного "условия, что приводит к принципу максимума и ограниченности вариации решения квазилинейного уравнения. Отметим, что предлагаемый нами алгоритм является конкретизацией "условия Олейник" — требование принадлежности некоторой величины интервалу значений он превращает в конкретное значение этой величины.

Таким образом, мы имеем алгоритм решения задачи, дискретизнрованной с помощью представления обобщенного решения (меры) набором частиц, существенной частью которого является способ построения плотности этой меры. А восстановление плотности меры по дискретной информации можно рассматривать как регуляризацию исходной задачи. Обоснованность описанного способа регуляризации вытекает из приведенных выше соображений и подтверждается многочисленными численными экспериментами.

Для систем нелинейных уравнений газовой динамики, допускающих разрывные решения, нам не известны математические результаты по выделению классов корект-ности аналогично тому, как это сделано для одного уравнения с помощью "энтропийного" условия.

Наш подход состоит в том, что мы аппроксимируем плотность массы, плотность импульса и плотность энергии разными наборами частиц, которые эволюционируют в соответствии с соответствующими законами сохранения газовой динамики. Кроме того, мы используем определенные процедуры, обеспечивающие корректность задач, допускающих разрывные решения.

Присутствие силы в правой части уравнения для импульса приводит к перераспределению последнего между соседними частицами, аппроксимирующими меру, в соответствии с конкретным видом силы, например, в задаче об ударной волне в невязком газе она определяется только градиентом давления, а в моделях мелкой воды — еще и силой тяжести. Такое перераспределение влияет на объем частиц, но не на их положение.

Таким образом, алгоритм метода частиц представляет собой их сдвиг, изменение формы и объема. При этом мы должны придерживаться определенных правил, учитывающие более высокую сложность модели, представляемой не одним уравнением, а их системой.

В начальный момент времени мы дискретизируем меры, соответствующие массе, импульсу и энергии тремя наборами частиц, получая тем самым три набора начальных координат, объемов и форм частиц.

Далее, вводя сетку по времени, производим сдвиг частиц по явным формулам метода Эйлера (можно использовать и неявные схемы, и схемы более высокого порядка аппроксимации, однако опыты показали, что не этот этап является ключевым в нашем методе).

Второй, определяющий этап, в котором и состоит особенность нашего подхода, — это перестройка формы частиц и изменение их объема (для частиц, моделирующих импульс и энергию).

В результате сдвига частицы могут наползать друг на друга (перекрываться) или разлетаться, теряя сопрнка-саемость. Чтобы избавиться от этого эффекта, который нарушает аппроксимацию искомой меры дискретным набором частиц, мы изменяем форму,частиц так, что они, во - первых, остаются симметричными относительно своих центров и, во - вторых, примыкают к одному из соседей, как мы уже описывали это выше применительно к уравнению переноса. Частицы - кандидаты на изменение формы определяются теми же, что и выше, правилами отбора, которые в случае конкретной модели приобретают ясный физический смысл: при перекрывании частиц, моделирующих плотность массы в уравнении неразрывности, изменяться (сужаться и вырастать) будет та, плотность которой ниже. "Энтропийное"условие, которое выглядит довольно искусственным для квазилинейного уравнения переноса, в данном случае становится совершенно прозрачным: после своего возрастания высота частицы (плотность массы) не может превысить высоту (плотность) той, которая повлияла на это возрастание. Эти же рассуждения относятся и к частицам, моделирующим плотность импульса, с тем изменением, что вместо плотности массы следует обратиться к плотности кинетической энергии.

Что касается изменения объемов частиц, то он определяется обычными термодинамическими соображениями. Однако дополнительно вводится правило, по которому импульс передается только между примыкающими частицами, а разностные производные вычисляются на шаблонах, определяемых центрами и границами соответствующих частиц.

Описанные принципы послужили основой численных экспериментов, представленных в ряде работ, в которых содержится также более подробное изложение применяемых алгоритмов [281, 282, 283, 284, 286, 288, 290, 291, 292, 294, 295, 296, 298, 299, 300, 301].

В заключении же настоящего раздела сделаем терминологические замечания. Рассматриваемые нами методы мы называем методами частиц по нескольким причинам. Во-первых, такое название очень точно передает их суть: способ построения, особенности реализации, физическую интерпретацию. Во-вторых, это название было, видимо, одним из первых и появилось вместе с появлением самого метода при моделировании плазмы. В - третьих, кроме физики плазмы (уравнения Власова, Фоккера -Планка, Ландау) , оно является общепринятым (хотя и не без конкурентов) в других областях микро - моделирования, связанных с другим кинетическим уравнением — уравнением Больцмана для описания разреженного газа и полупроводниковых приборов. Поэтому мы предпочитаем наше название другим терминам, таким, как "без-сеточные"методы, методы подвижных конечных элементов, полностью лагранжевы методы, методы на неструктурированных сетках, методы маркеров, методы Монте -Карло, методы прямого статистического моделирования и т.п.

Нам представляется, что название сквозной несглажи-вающий (бездиссипативный) энтропийно - согласованный метод частиц отражает суть нашего подхода к построению варианта метода частиц, который, во - первых, размазывает разрыв на одну ячейку, что говорит о его точности, очень малой диссипативности, и, во - вторых, регуляризирует исходную задачу подобно "энтропийно-му"условию. Сочетание гибкости методов частиц и набора моделей, как стохастических, так и детерминированных, позволяет строить алгоритмы, направленные на решение задач, в которых необходимо учитывать полную иерархию описания газа (от кинетического представления до представления в виде сплошной среды) в рамках одного класса вычислительных методов — метода частиц, что дает возможность в едином ключе изучать модели объектов в тех случаях, когда существенно как микро так и макро - представление об их структуре; такой подход приводит к построению гибких, самоадоптирующихся к особенностям решения алгоритмов, сквозных по отношению к микро - макро - описаниям физических явлений, обладающих повышенной точностью и широтой применения.

Один подход к построение иерархии моделей, газовой динамики

Исходя из вышесказанного, нам видится целесообразным следующий подход к построению иерархии моделей газовой динамики, позволяющих реализовывать адаптивные алгоритмы на базе различных вариантов метода частиц.

Газ можно рассматривать как сплошную среду или как совокупность огромного числа молекул, что влечет за собой разное математическое описание: систему уравнений Навье - Стокса или уравнение Больцмана.

Поведение молекул газа описывается системой детерминированных уравнений Ньютона, или Гамильтона. Предельный переход (грэдовский предел) приводит к уравнению Больцмана для одночастичной функции распределения. Метод частиц, дискретизирующий последнюю, дает систему стохастических дифференциальных уравнений по мере Пуассона. С другой стороны, эту же систему можно вывести, используя методику A.B. Скорохода, непосредственно, сразу вводя случайную модель взаимодействия молекул. Если снова устремить к бесконечности число частиц, то получим предельное уравнение движения одной частицы в самосогласованном поле, или уравнение для соответствующего случайного процесса, реализации которого можно интерпретировать как траектории движения моделирующих частиц.

Базовой для нас является модель случайного процесса, описываемого системой стохастических дифференциальных уравнений по пуассоновской мере, которая относится к классу нелинейных марковских систем. Плотность меры, порождаемой этим случайным процессом, удовлетворяет уравнению Больцмана, а численное решение этой системы стохастических дифференциальных уравнений представляет собой стохастический метод частиц, или метод Монте - Карло, наиболее признанный метод решения задач на микро - уровне. Такие методы очень трудоемки и требуют огромных компьютерных ресурсов, что не позволяет использовать их для полномасштабного решения задач газовой динамики. Поэтому необходима декомпозиция всей области на отдельные части, для львиной доли которых достаточно более грубых моделей.

Параметром, определяющим какую модель использовать, является число Кнудсена. Если оно мало, то интенсивность пуассоновской меры велика, и систему стохастических дифференциальных уравнений по пуассоновской мере можно приблизить системой стохастических дифференциальных уравнений по мере винеровской, получая при этом соответствующие вектор сноса и матрицу диффузии в V— пространстве. Случайный процесс, который является решением последней системы, порождает меру, плотность которой удовлетворяет уравнению Колмогорова - Фоккера - Планка, что показывается на основе применения формулы Ито.

Многие авторы рассматривают вопрос о том, какие математические модели лежат на пути перехода от уравнения Больцмана к уравнениям газовой динамики. На наш взгляд, здесь можно выделить два этапа: получение предельного по отношению к уравнению Больцмана, но по-прежнему, в фазовом пространстве х — V переменных, уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка, а затем — еще один, диффузионный предел, то - есть переход в х— пространство, в результате чего должна получится система макроскопических уравнений квази - газо(гидро) - динамики. На физическом уровне строгости эта проблема изучалась еще Ландау, а затем другими авторами, о чем упоминалось выше.

Для газа с умеренными числами Кнудсена мы получим уравнение типа уравнения Колмогорова - Фоккера -Планка, аналогичное классическому, но отличающееся от него как по способу вывода, так и по параметрам интегрирования, что приводит к дальнейшим упрощениям. Это нелинейное уравнение переноса в фазовом (ж, у) - пространстве с диффузией по скоростной переменной V. Альтернативой его численного решения по отношению К СТО- ' хаотическому (по винеровской мере) методу частиц, который вытекает из описания случайного процесса как решения системы стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере, является детерминированный^ метод частиц в сочетании с методом суммарной аппроксимации (или расщепления). Точнее, метод частиц решает не дифференциальное уравнение Колмогорова - Фоккера

- Планка для плотности меры, а соответствующее обоб- ' щенное уравнение для меры, снимая тем самым жесткие ограничения на гладкость функции.

Мы покажем, как с помощью аналитического вычисления ряда многократных интегралов можно получить в явном виде приближенные коэффициенты в уравнении Колмогорова - Фоккера - Планка в фазовом пространстве для моделирования газа из твердых сфер при переходных (от кинетического к макроскопическому описанию) числах Кнудсена.

Далее, на пути к уравнениям Навье - Стокса при уменьшении числа Кнудсена, есть еще один этап, который можно назвать стохастической квазигазодинамикой, а именно, переход из фазового (ж, у) - пространства в х - пространство с сохранением флуктуационных членов. Этот переход мы произведем также, пользуясь системой стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере, вводя стохастические меры массы, импульса и энергии, получая методами стохастического исчисления (с помощью формулы Пто) для их плотностей стохастические дифференциальные уравнения, которые после усреднения по пространству и времени приводят к детерминированной системе дифференциальных уравнений — стохастической системе уравнений квазигазодинамики. Каждый из перечисленных этапов порождает свою модель газовой динамики.

Такие модели получаются на основе ряда допущений, точность которых оценить теоретически довольно сложно. Поэтому, безусловно, для определения места каждой модели необходимы вычислительные эксперименты. В частности, практически важным является вопрос о возможности еч; использования для моделирования газа при числах Кнудсена, порядка 0,1 — 0,01. Мы обсудим это в дальнейшем па некоторых примерах.

Рассматриваемое нами направление математического моделирования возникло и развивается в ответ на потребность создания оптимальных средств математического моделирования явлений, связанных с движением большого числа микроскопических объектов разной природы.

Построение иерархии таких газодинамических моделей и вычислительных методов для их реализации, а именно, детерминированных и стохастических методов частиц (которые экономичны для многомерных задач, распараллеливаются естественным образом, эффективны для областей сложной формы, обладают высокой точностью, что проявляется в минимальном размазывании разрывов), является целыо наших исследований. В настоящей работе мы сосредоточимся именно на получении различных моделях, связанных друг с другом.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ставятся цели диссертационного исследования, а также кратко излагается содержание диссертации по главам.

Первая глава диссертации представляет собой краткое и упрощенное описание как рассматриваемой проблематики, так и основных этапов построения иерархии стохастических газодинамических моделей.

Первый параграф главы 1 посвящен постановке задачи в традиционном виде как набора моделей на языке детерминированных функции распределения в фазовом пространстве и макроскопических газодинамических параметров в физическом пространстве.

Точность и эффективность вычислительных алгоритмов газовой динамики, особенно динамики разреженного газа, могут быть улучшены с помощью построения иерархии математических моделей, основанных на микро -макро представлениях.

В основу обычно кладут уравнение Больцмана с параметром обезразмеривания Кп, зависящем от пространственной переменной х и времени При современных высоких требованиях к качеству вычислительных технологий вся область, в которой производится расчет, разбивается на подобласти, обладающие разными свойствами. Если Кп - порядка единицы, то это - подобласть, требующая использования уравнения Больцмана. В тех областях, где Кп умеренно мал, можно воспользоваться уравнением типа уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка , в котором коэффициенты определяются столкновительной моделью и при некоторых упрощающих предположениях могут быть вычислены в явном виде [283, 297, 303]. Это - нелинейное уравнение относительно семимерной функции распределения в фазовом пространстве, как и уравнение Больцмана, но с более простой структурой: вместо интеграла столкновений стоит оператор переноса с диффузией в пространстве скоростей, который можно называть модельным интегралом столкновений.

В диапазоне умеренных чисел Кп можно получить и макроскопическое описание - уравнения стохастической квазигазодинамики [302, 304, 305, 307], коэффициенты которых связаны с коэффициентами, входящими в упомянутое выше уравнение Колмогорова - Фоккера - Планка.

Для очень малых Кп эти уравнения примыкают к уравнениям Навье - Стокса.

Во втором параграфе главы 1 приведенный микро -макро мостик, записанный на языке детерминистических уравнений, строится с помощью теории случайных процессов. При этом возникают стохастические модели, связанные с упомянутыми детерминистическими, но им не идентичные.

Мы рассматриваем уравнение Больцмана как уравнение для плотности вероятности случайного процесса {х^), г>1(£)}, описывающего движение частицы в шестимерном фазовом пространстве и удовлетворяющего системе стохастических дифференциальных уравнений по пуассоновской случайной мере с заданными / — функцией скачка и р — пуассоновской случайной мерой с математическим ожиданием, определяюемым столкновительной моделью и А<1у) — мерой, порождаемая процессом (¿), }, что относит рассматриваемую задачу к классу нелинейных марковских систем.

Параметр Кп возникает при обезразмеривании задачи:

Kn(x,t) = 1 /(d2nioc(x,t)x*).

Его физический смысл — отношение локальной средней длины свободного пробега (в качестве которой с точностью до константы V^tt/4 ~ 1,11 можно взять l/d2nioc(x, t), d - диаметр молекул, п(х, t) — их числовая плотность) к характерному размеру задачи ж*.

Вводя центрированную меру и и преобразуя нашу систему стохастических дифференциальных уравнений по пуассоновской случайной мере согласно A.B. Скороходу с учетом того, что в рассматриваемой ситуации параметр Кп является малым, в контексте центральной предельной теоремы, предположим, что рассматриваемый нами обобщенный пуассоновский случайный процесс можно приблизить диффузионным.

Тогда наша система стохастических дифференциальных уравнений по пуассоновской случайной мере превращается в систему стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере и процесс (:ci(i), V\(t)} порождает меру, плотность F которой удовлетворяет уравнению Колмогорова - Фоккера - Планка.

Если коэффициенты этого уравнения зависят только от ж и t, то можно перейти к макроскопической системе уравнений. Такой выбор коэффициентов часто используется, например, в контексте модельного интеграла столкновений в форме Фоккера - Планка. Кроме того, для модели газа из твердых сфер это представление имеет место для малых тепловых скоростей. Выражение для этих коэффициентов можно также получить на основе термодинамических соображений и флуктуационно - диссипа-ционной теоремы Эйнштейна.

Ниже мы представим схему вывода уравнений стохастической квазигазодинамики для такого набора коэффициентов, опираясь на формулу Ито.

Это означает, что нам надо будет построить уравнение для мер, которые порождаются случайными процессами х\ (t) и г>х (i). Физический смысл этих мер — эволюция распределений массы, импульса и энергии.

Таким образом, получится целый спектр как детерминированных, так и стохастических, моделей газа (в частности, газа из твердых сфер). Все они порождают свои собственные вычислительные методы.

Вторая глава посвящена рассмотрению исходной для нашего исследования модели газа, молекулы которого представляются абсолютно упругими шариками, является простейшей, но не тривиальной, то - есть, основные математические проблемы адекватного описания такой большой системы частиц в ней содержатся. Людвиг Больцман выводил свое уравнение, опираясь на этот образ и начиная с детерминированной системы, вводя случайность на этапе принятия гипотезы молекулярного хаоса - Stossanzahlanzatz. A.B. Скороход изначально рассматривает системы, состоящие из большого числа случайно взаимодействующих частиц, и исследует поведение таких систем при неограниченном возрастании их числа. Существенным отличием подобных систем от систем, рассматриваемых в статистической физике, является именно случайность взаимодействия, тогда как в статистической физике случайность входит только через начальное положение.

В предположении, что взаимодействия между различными парами частиц независимы, и число взаимодействий на одну частицу в единицу времени остается ограниченным, можно исследовать предельное поведение системы при неограниченном возрастании числа частиц. Уравнения движения такой системы в отсутствии (для ясности изложения) внешних полей и сил "дальнодействия" будут стохастическими дифференциальными уравнениями для Х{ и и1. которые определяют положение и скорость частицы в фазовом пространстве В? х В?, а интеграл по стохастической пуассоновской мере представляет собой импульсную случайную силу взаимодействия, которая меняет состояние частиц скачкообразно (скачком меняются импульсы взаимодействующих частиц), а именно, скорость г - той частицы в результате столкновения с з - той частицей изменяется на величину /(#, ^00) Ч?')> и функция / называется функцией скачка. Решение уравнения (£х(£), ух^), ., хп(Ь), г>п(£)) будет марковским процессом. Уравнение Колмогорова для распределения процесса (прямое уравнение) играет роль уравнения Лиувил-ля. Введем "статистическую" функцию распределения и изучим предельное поведение этой случайной меры при п —У оо.

При предположении некоторой гладкости коэффициентов уравнения справедливы следующие утверждения 1) и 2).

1) Мера ц[п\Л) слабо сходится к некоторой неслучайной мере Л/(А), для которой выполнено уравнение, которое можно рассматривать как обобщенное уравнение Больцмана, что конкретизируется в первом параграфе главы 2.

Во втором параграфе главы 2 изучается предельное поведение отдельной частицы в фазовом пространстве на основании утверждения

2) совместное распределение рассматриваемых процессов при п —У оо сходится к совместному распределению к независимых процессов, каждый из которых является марковским процессом, удовлетворяющим системе стохастических дифференциальных уравнений по пуассонов-ской мере, математическое ожидание которой определяется мерой, порождаемой самим процессом {xi(t), vi(t)}. Отсюда, в частности, вытекает, что частичные функции распределения являются в пределе произведениями одно-частичных функций распределения.

Условия доказанных A.B. Скороходом теорем для газа из твердых сфер оказываются не выполненными и требуют дальнейшего развития, которое проводится в книге A.A. Арсеньева [62].

Итак, нашей базовой моделью является система стохастических дифференциальных уравнений по пуассонов-ской мере для случайного процесса {xi(t), ^i(i)}, описывающего движение частицы в шестимерном фазовом пространстве.

В третьей главе с помощью схемы, изложенной в главе 1, но в ее полнокровной многомерной версии, в подобластях с умеренными числами Кнудсена делается переход от системы по пуассоновской мере к системе по винеров-ской мере.

Полученная в предыдущем разделе модель основана на представлении о редких столкновениях между частицами, что математически выражается использованием меры Пуассона для ее формулировки. Поэтому можно сказать, что она применима для описания разреженного газа, или в тех областях, где число Кнудсена Kn(x,t) - порядка единицы, где существенны сильно неравновесные эффекты и где не обойтись без численного решения уравнения Больцмана. Это отдельная отрасль вычислительной газовой динамики. Нас интересует вопрос о том, как трансформируется эта модель при уменьшении числа Кнудсена. Основная гипотеза состоит в том, что с уменыпением числа Киудсеиа, а значит, ростом интенсивности пуас-соновской меры, скачкообразный обобщенный пуассонов-ский процесс - решение нашей системы - приближается к диффузионному процессу, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходного уравнения.

В первом параграфе главы 3 мы получаем такую систему.

Во втором параграфе главы 3 с помощью формулы Ито мы показываем, что случайный процесс {^(г),*;!^)}, являющийся решением этой системы, порождает меру \tidx, <&>), плотность .Р(ж, V, которой удовлетворяет уравнению типа уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка (мы сохраняем то же обозначение для меры, хотя теперь эта мера порождается диффузионным, а не пуассоновским, процессом, но по - прежнему, протекающим в фазовом пространстве).

В третьем параграфе главы 3 мы рассматриваем вопрос о консервативности, а именно, выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии как моментов функции распределения .Р(ж,г>, ¿), удовлетворяющей полученному в предыдущем параграфе уравнению Колмогорова - Фоккера - Планка.

В четвертом параграфе главы 3 вычисляются коэффициенты в правой части уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка, которые можно называть вектором 11 сноса" а и матрицей "диффузии" сг в пространстве скоростей, в приближении, когда при их вычислении для газа из твердых сфер делается упрощение в виде локальной максвел-ловости и изотропности по тепловой скорости с функции распределения Р внутри соответствующих пятикратных интегралов.

Глава 4 посвящена проблеме перехода из фазового пространства положений и скоростей в физическое пространство, на языке математики, от кинетических уравнений к уравнениям газовой динамики, или от микро (мезо) - к макро - описаниям. Схема этого перехода содержится в главе 1 и приведена выше.

В первом параграфе главы 4 мы получаем, применяя формулу Ито, уравнение неразрывности с самодиффузией, которое является следствием обобщенного уравнения для стохастической эмпирической меры ¿¿¿(е/х) и стохастического в частных производных уравнения неразрывности, как схематично это было сделано выше.

Второй и третий параграфы главы 4 посвящены получению трехмерных уравнений эволюции импульса и энергии, а также их плотностей, стохастических и детерминированных.

В четвертом параграфе главы 4 мы выписываем полученную стохастическую квазигазодинамическую систему в декартовых координатах в развернутом виде и делаем упрощающие замечания относительно ее коэффициентов с использованием результатов четвертого параграфа главы 3, что позволяет в наиболее простом случае записать стохастическую квазигазодинамическую систему.

Присутствие малого диффузионного члена в правой части уравнения неразрывности является математическим следствием исходной вероятностной модели и использования стандартных методов стохастического анализа, в частности, формулы Ито. С точки зрения физики, этот член отражает сглаживание градиента плотности за счет теплового движения молекул — фундаментального свойства, присущего газовой среде.

Полученная стохастическая квазигазодинамическая система отличается от системы уравнений Навье - Стокса не только по способу построения, но и по своей структуре.

Мы провели некоторые вычислительные эксперименты с помощью достаточно простых и хорошо известных разностных методов, чтобы продемонстрировать связь стохастической квазигазодинамики с распространенными моделями и показать возможность использования в газодинамических расчетах иерархии моделей, о чем мы сообщаем в пятом параграфе главы 4. Приведенные примеры расчетов тестовых задач показывают, что уравнения стохастической квазигазодинамики, рассматриваемые в данной работе, могут служить моделью динамики вязкого газа и основой вычислительных алгоритмов. Двумерное течение в каверне демонстрирует количественное совпадение решения с эталоном. Структура фронта одномерной ударной волны проявляет качественное соответствие физической картине. Поскольку коэффициенты в уравнениях взяты в первом приближении, и новая макроскопическая модель не претендует па описание процессов с числом Кнудсена, близким к единице, результат следует считать весьма хорошим.

Глава 5 посвящена развитию вычислительного инструментария для рассматриваемых задач [284, 286, 299]. Методы частиц являются ведущими в численном моделировании явлений, описываемых кинетическими уравнениями. Что же касается макроскопических уравнений, прежде всего уравнений газовой динамики, методы частиц, которые изначально были изобретены именно для газовой динамики, сталкиваются с проблемой искусственных флуктуаций, характерных для задач гиперболического типа. Как правило, такие задачи, в следствие их многомерности и нелинейности, предъявляют повышенные требования к применяемым вычислительным методам, что особенно остро проявляется последнее время в связи с супервычислениями, когда обилие и подробность получаемых результатов ставят вопросы о наличии и величине содержащихся в них арте - фактов.

В первом параграфе главы 5 детерминированный метод частиц выделяется из других вычислительных методов (конечно - разностного и конечных элементов ) по способу дискретизации искомой функции, метод частиц строится для уравнения переноса, для которого он является наиболее естественным и поэтому продуктивным, приводятся основные факты по его обоснованию, дается понятие о стохастических (по пуассоновской и винеров-ской мерам) методах частиц, дается классификация методов частиц по способам получения правых частей в системе уравнений движения частиц и предлагается новый энтропийно - согласованный бездиссипативный метод частиц, который, во - первых, размазывает разрыв на одну ячейку, что говорит о его точности, очень малой диссипа-тивности, и, во - вторых, регуляризирует исходную задачу подобно "энтропийному"условию. С алгоритмической точки зрения, метод отличается малым числом обменов после этапа сдвига частиц и большим числом независимых операций при перестройках частиц на этапе коррекции, что естественным образом делает его особенно привлекательным для распараллеливания.

Суть метода частиц пояснил! на простейшем примере линейного уравнения переноса. Она состоит в том, что исходный (в данном случае детерминированный) процесс, N реализаций которого являются решением системы порождает меру с плотностью и(х, ¿) по формуле

Г 1 "

V(р : / и(х, ь)<р(х) ёх = — (2) г=1

ИЛИ

1 * г=1 дифференцируя которую с использованием правила дифференцирования сложной функции (или формулы Ито в стохастическом случае) д с1х-(1;) и формулы (2), где вместо (р берется (р\ 4>'&)а{ь, ^(¿)) = / а(£, х)и(х, Ь) ^^ сЬ, г=1 мы приходим к обобщенному

J и(х, Ь)(р(х) с1х — У а(1,х)и(х, ^^^ 6,х = 0, (4) а затем (после интегрирования по частям) дифференциальному дГ~+ Тх (5) уравнению переноса.

Таким образом, если координаты частиц (или узлы квадратурной формулы (2)) изменяются в соответствии с (1), верным оказывается уравнение (4). Решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1), мы получаем слабое решение уравнения переноса.

Во втором параграфе главы 5 предложенный метод частиц развивается прилтенительно к системе уравнений, откуда появляется альтернатива использования либо явного метода, либо метода суммарной аппроксимации (или расщепления). Рассматривается система уравнений газовой динамики без вязкости - уравнений Эйлера, так как проблема моделирования разрывных решений возникает для такой задачи, а малая естественная вязкость этой проблемы не снимает.

Дальнейшее продвижение метода дается в третьем параграфе главы 5 и состоит в решении двумерных задач, а также задач несжимаемой жидкости, в которых возникают дополнительные трудности, связанные с несжимаемостью.

Все вопросы построения и исследования методов частиц решаются на основе созданного программного комплекса, возможности которого демонстрируются результатами тестирования программ и сравнения с другими известными методами и эталонными решениями.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

Международной конференции по научному компьтингу в химической промышленности - Scientific Computing in der chemischen Verfahrenstechnik, (Hamburg, Germany, 1995 г.);

IV Европейском Конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках и технике - IV European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering - ECCOMAS 2004 (Jyvaskyla, Finland, 2004 г.);

VI Международном Конгрессе по математическому моделированию, (Н. Новгород, 2004 г.);

Международной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти академика Александра Андреевича Самарского, (Москва, 16 - 18 июня 2009 г.);

Международной конференции «Particles 2009 - International Conference on Particle - Based Methods» (Barcelona, Spam, 2009 г.);

Международной конференции по вычислительной гидродинамике - V European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2010 ( Lisbon, Portugal, 14-17 June 2010 г.);

Научно - исследовательских семинарах кафедр автоматизации научных исследований, вычислительных методов, математической статистики, лаборатории математического моделирования в физике факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, кафедры вычислительной математики механико - математического факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, кафедр информатики и физической механики Московского физико-технического института, семинарах в Вычислительном центре имени А. А. Дородницына РАН, межвузовском семинаре "семи профессоров" , на семинаре Института механики МГУ "Актуальные проблемы геометрии и механики "имени профессора В. В. Трофимова, Ломоносовских чтениях, на семинаре Arbeitsgruppe Technomathematik TU Kaiserslautern, на семинаре Института физики токомаков кТеория магнитного удержания плазмьиь под руководством академика РАН В.Д. Шафранова, на семинаре под руководством A.A. Рухадзе в ИОФ РАН.

Заключение

1. L. Boltzmann. Uber die Prinzipien der -Mechanik: Zwei Akademische Antrittsreden. Leipzig : S. Hirzel, 1903.

2. A.A. Самарский, А.П. Михайлов. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.

3. Н. Neunzert. Mathematics as a Key to Key Technologies. // Berichte des Fraunhofer-Instituts fur Techno- und Wirtschaftsmathematik (ITWM Report), 1999, No. 16 (http://kluedo.ub.uni-kl.de).

4. H. Neunzert. Mathematics as a Technology: Challenges for the next 10 Years. // Berichte des FraunhoferInstituts fur Techno- und Wirtschaftsmathematik (ITWM Report), 2004, No. 68 (http://kluedo.ub.uni-kl.de).

5. W. Haase. CFD Validation Meets Best-practice Guidelines. //Proc. IV European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS 2004, Jyvaskyla, Finland.

6. P. Rostand. Status and challenges of aeroshape design of future aircrafts.// European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2006, TU Delft, the Netherlands.

7. A. Flaig. Eco-Efficient by Design Challenges for Aerodynamics Engineers for Future Aircraft

8. Design. //8th World Congress on Computational Mechanics (WCCM8) and 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008) June 30 IJ July 5, 2008, Venice, Italy.

9. J.-C. Courty. Industrial Constraints and Requirements for Aeronautical Flow Control Applications. //Proc. V European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2010, J. C. F. Pereira and A. Sequeira (Eds), Lisbon, Portugal, 14-17 June 2010.

10. B. van Leer. Upwind and High-Resolution Methods for Compressible Flow: From Donor Cell to ResidualDistribution Schemes (Review). // Commun. Comput. Phys., 2006, Vol. 1, No. 2, pp. 192-206.

11. O. M. Belotserkovskii, V. A. Zharov, Htun Htun, Yu. I. Khlopkov. Monte Carlo Simulation of Boundary Layer Transition. // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009, Vol. 49, No. 5, p. 887.

12. G. I. Savin, B. N. Ghetverushkin, A. V. Gorobets, T. K. Kozubskaya, S. A. Sukov, O. I. Vdovikin, B. M. Shabanov. Gasdynamic and Aeroacoustic Simulations on the MBC-100M Supercomputer. // Doklady Mathematics, 2008, Vol. 78, 1 3, p. 932.

13. A. Lukschin, Н. Neunzert, J. Struckmeier. Coupling of Navier Stokes and Boltzmann Regions. // HERMES Aerodynamics R/Q Program meeting, VKI, 1992.

14. W. E, B. Engquist, X. Li, W. Ren, E. Vanden-Eijnden. Heterogeneous Multiscale Methods: A Review. //Commun. Comput. Phys., 2007, Vol. 2, No. 3, pp. 367-450.

15. R. de Borst, S.J. Hulshoff, S. Lenz, E. A. Munts, H. van Brummelen, W.A. Wall. Multiscale Methods Computational Fluid and Solid Mechanics. // European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2006, TU Delft, the Netherlands.

16. T. Belytschko. Multiscale Computational Methods for Failure. // там же.

17. P. Ladeveze. The Latin Method: A Paradigm for Multiscale and Multiphysics Computational Methods. // там же.

18. Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008.

19. V.I.Kolobov, R.R.Arslanbekov, V.V.Aristov, A.A.Frolova, S.A.Zabelok. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement. // Journal of Computational Physics, 2007, Vol. 223, p.589-608.

20. V.A. Titarev. Numerical Method for Computing Two Dimensional Unsteady Rarefied Gas Flows in Arbitrarily Shaped Domains. // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009, Vol. 49, No. 7, p.1197-1211.

21. K. Morinishi. A Continuum/Kinetic Hybrid Approach for Multi Scale Flow Simulation.// European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2006, TU Delft, the Netherlands.

22. K. Morinishi. Numerical simulation for gas microflows using Boltzmann equation. // Computers and Fluids, 2006, Vol. 35, Issues 8-9, p. 978-985.

23. C. Bianca, F. Pappalardo, S. Motta. The MWF method for kinetic equations system. //Computers and Mathematics with Applications 57 (2009) 831-840.

24. W. Jager. Modelling and Simulation of Multi-Scale Systems in Biosciences.//Ргос. IV European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS 2004, Jyvaskyla, Finland.

25. G. Hu, D. Li Multiscale phenomena in microfluidics and nanofluidics. // Chemical Engineering Science., 2007, Vol. 62, Issue 13, p. 3443-3454.

26. G.-P. Ostermeyer. The mesoscopic particle approach. // Tribology International, 2007, Vol. 40, Issue 6, Pages 953-959.

27. A. Klar ; N. Marheineke ; R. Wegener. Hierarchy of mathematical models for production processes of technical textiles. // Berichte des FraunhoferInstituts fur Techno- und Wirtschaftsmathematik (ITWM Report), 2009, No. 156 (http://kluedo.ub.uni-kl.de).

28. Г. Берд. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

29. К. Черчинъяни. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.

30. С. Cercignani. Rarefied Gas Dynamics: From Basic Concepts to Actual Calculations. Cambridge University Press, 2000.

31. C. Cercignani. Slow Rarefi ed Flows:Theory and Application to Micro-Electro-Mechanical Systems. -Birkhaeuser Verlag, Basel Ц Boston Ц Berlin, 2006.

32. Editors: C. Cercignani, P. Gabetta.Transport Phenomena and Kinetic Theory: Applications to Gases, Semiconductors, Photons, and Biological

33. Systems. Birkhaeuser Verlag, Basel Ц Boston Ц Berlin, 2007.

34. M.A. Леонтович. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов. // ЖЭТФ, 1935, т. 5, вып. 3-4, с. 211-231.

35. М. Кац. Вероятность и смежные вопросы в физике-М.: Мир, 1965.

36. Болъцман Л. Избранные труды.-М.: Наука, 1984

37. В.Е, Яницкий. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации неравновесного газа. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1973, Т.13, No.3, с.505-510.

38. A.B. Лукшин, С.Н. Смирнов. Об одном эффективном стохастическом алгоритме решения уравнения Больцмана. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1989, Т.29, No.l, с. 118-124.

39. H. Babovsky. On a Simulation Scheme for the Boltzmann Equation. // Math. Meth. in the Appl. Sei., 1986, vol. 8, p. 223.

40. Иванов M. С., Рогазинский C.B. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Математическое моделирование, 1989, T.I, No.7, с. 130-145.

41. Михайлов Г.А., Рогазинский C.B. Весовые методы Монте Карло для решения многочастичных задач, связанных с уравнением Больцмана // ДАН, 2002, Т.383, No.6, с.731-734.

42. Хисамутдинов А.И., Сидоренко JI.II. Алгоритмы метода Монте Карло с непрерывным временем для кинетического уравнения разреженных газов // Математическое моделирование, 1994, Т.6, No.2, с.47-60.

43. М.Я. Маров, А.Е.Королев, В.П.Осипов, А.А. Са-мылкин. Имитационное моделирование струйных течений и диссипатпвных потоков методом переменных весовых множителей. // Математическое моделирование, 2009, Т.21, No.9, с. 34-42.

44. М.В. Якобовский. Параллелельный алгоритм генерации последовательностей псевдослучайных чисел. // Математическое моделирование, 2009, Т.21, No.6, с. 59-68.

45. Pulvirenti M., Wagner IV., and Zavelani Rossi M. B. // Convergence of particle schemes for the Boltzmann equation. European J. Mech. В Fluids 1994, V.13, No.3, p.339-351.

46. P. Kowalczyk, A. Palczewski, G. Russo, Z. Walenta. Numerical solutions of the Boltzmann equation: comparison of different algorithms. //European Journal of Mechanics B/Fluids 27 (2008) 62Ц74.

47. О.И. Додулад, Ю.Ю. Клосс, Ф.Г. Черемисин. Моделирование распространения ударной волны в микро канале на основе решения уравнения Больцмана. // Математическое моделирование, 2010, Т.22, (в печати).

48. F. Filbet, G. Russo. High order numerical methods for the space non-homogeneous Boltzmann equation. //Journal of Computational Physics 186 (2003) 4571,1480.

49. J.M. Burt, I.D. Boyd. A low diffusion particle method for simulating compressible inviscid flows. // Journal of Computational Physics 227 (2008) 46531^4670.

50. T.M.M. Homolle, N.G. Hadjiconstantinou. A low-variance deviational simulation Monte Carlo for the Boltzmann equation. // Journal of Computational Physics 226 (2007) 2341IJ2358.

51. S. Longo, P. Diomede. A Monte Carlo model for seeded atomic flows in the transition regime. // Journal of Computational Physics 228 (2009) 38511,13857.

52. J.B. Goodman, K. K. Lin. Coupling control variates for Markov chain Monte Carlo.// Journal of Computational Physics 228 (2009) 7127IJ7136.

53. Tanaka H. Probabilisic treatment of the Boltzmann ' equation of Maxwellian molecules // Z. Warhsceinlichkeitstheorie und verwandte Gebeite, 1978, B. 46, No. 1, s. 67-105.

54. Sznitzmann A.-S. Equations de type de Boltzmann, spatialement homogeneous // Z.

55. Warhsceinlichkeitstheorie und verwandte Gebeite, 1984, B. 66, No. 4, s. 559-592.

56. К A. Oelschlager. Martingale approach to the law of large number for weakly interacting stochastic processes. // The Annals of Probability, 1984, V.12, No2., p.458.

57. A.B. Скороход. Стохастические уравнения для сложных систем. М.: Наука, 1983.

58. А.А. Арсенъев. О приближении решения уравнения Больцмана решениями стохастических дифференциальных уравнений Ито // Журнал вычисл. ма-тем. и матем. физики, 1987, Т.27, No.3, с.400-410.

59. А.А. Арсенъев. Лекции о кинетических уравнениях. М.: Наука, 1992.

60. С. Cercignani, М. Lampis, S. Lorenzani. On the Reynolds Equation for Linearized Models of the Boltzmann Operator. / / Transport Theory and Statistical Physics, 36:257Ц280, 2007.

61. К. Aoki, P. Degond, L. Mieussens. Numerical Simulations of Rarefied Gases in Curved Channels: Thermal Creep, Circulating Flow, and Pumping Effect. // Commun. Comput. Phys. Vol. 6, No. 5, pp. 919-954.

62. A.S. Fernandes, W. Marques Jr. Kinetic model analysis of time-dependent problems in polyatomic gases. // Physica A 373 (2007) 97-118.

63. K.H. Prendergast, K. Xu. Numerical hydrodynamics from gas-kinetic theory. //J. Comput. Phys. 109 (1993) 53-66.

64. S. Jiang, G. Ni. A second order 7 - model BGK scheme for multimaterial compressible flows. // Applied Numerical Mathematics 57 (2007) 5971,1608.

65. R. Yanoa, K. Suzukia, H. Kuroda. Numerical analysis of relativistic shock layer problem by using relativistic Boltzmannljkinetic equations.// Physica A 381 (2007) 8-21.

66. K. Mattila, J. Hyvaluoma, J. Timonen, T. Rossi. Comparison of implementations of the lattice-Boltzmann method.// Computers and Mathematics with Applications 55 (2008) 15141,11524.

67. P. Asinari, T. Ohwada. Connection between kinetic methods for fluid-dynamic equations and macroscopic finite-difference schemes. // Computers and Mathematics with Applications 58 (2009) 841-861.

68. M. Tsutahara, T. Kataoka, K. Shikata, N. Takada. New model and scheme for compressible fluids of the finite difference lattice Boltzmann method and direct simulations of aerodynamic sound. Computers Fluids 37 (2008) 79IJ89.

69. S. Mari, D. Ricot, P. Sagaut. Comparison between lattice Boltzmann method and Navier-Stokes high order schemes for computational aeroacoustics.// Journal of Computational Physics, Volume 228, Issue 4, 2009, 1056-1070.

70. L. Szalmas. Multiple-relaxation time lattice Boltzmann method for the finite Knudsen number region.// Physica A 379 (2007) 401IJ408.

71. I. Ginzburg, F. Verhaeghe, D. dPHumi'eres. Two-Relaxation-Time Lattice Boltzmann Scheme:

72. About Parametrization,Velocity, Pressure and Mixed Boundary Conditions. // Commun. Comput. Phys. Vol. 3, No. 2, pp. 427-478.

73. S. Palpacelli, S. Succi. The Quantum Lattice Boltzmann Equation: Recent Developments. // Commun. Comput. Phys. Vol. 4, No. 5, pp. 980-1007.

74. X. He, G. DiLckwiler, D.J. Valentino. Lattice Boltzmann simulation of cerebral artery hemodynamics.// Computers Fluids 38 (2009) 789Ц796.

75. G. Silva; V. Semiao. Lattice Boltzmann Method in Non Inertial Reference Frames.// там же.

76. P. Koumoutsakos. Particle Methods for Multiscale and Multiphysics Simulations.// там же.

77. A. Peters; S. Melchionna; S. Succi; E. Kaxiras. Leveraging Theory from Cosmodynamics for Multi -Scale Cardiovascular Simulation.// там же.

78. К. Tsubota; S. Wada; H. Liu. Computer Simulation of Tank Treading and Tumbling Motions of Red Blood Cells under the Influence of the Natural State of an Elastic Cellular Membrane .// там же.

79. R. Lima; T. Ishikawa; Y. Imai; T. Yamaguchi. Confocal Micro-Flow Visualization of Blood Cells.// там же.

80. S. Melchionna. Blood Flows via Suspended Particles and Lattice Boltzmann Methods.// там же.

81. Т. J. Spencer; I. Halliday; С. M. Care; L. A. HidalgoBastida; S. H. Cartmell. Lattice Boltzmann Modelling Apllied to a Bioreactor for Bone Tissue Engineering.// там же.

82. Т. Fukui; К. Morinishi. Numerical Simulation of Blood Flows in a Vessel with Valves Based on Virtual-Flux Methods.// там же.

83. В. Chopard; D. Lagrava; J. Latt; O. Malapmas; R. Ouared. A Lattice Boltzmann Modeling of Bloodflow in Cerebral Aneurysms .// там же.

84. A. G. Hoekstra. Multiscale Coupling of a Lattice Boltzmann Simulation of Blood Flow to Cell- and Tissue-Level Processes: the Case of In Stent Restenosis.// там же.

85. F. Janoschck; J. Harting; F. Toschi. A Simplified Particulate Model for Coarse-Grained Hemodynamics Simulations.// там же.

86. M. Schonherr; M. Geier; M. Stiebler; M. Krafczyk. A Lattice Boltzmann 3D-GPU-Implementation on NonUniform Grids.// там же.

87. J. Habich; T. Zeiser; G. Hager; G. Wellein. Performance Modeling and Optimization for 3D Lattice Boltzmann Simulations on Highly Parallel On-Chip Architectures: GPUs Vs. Multi-Core CPUs.// там же.

88. E.M. Шахов, В.А. Титарев. Аппроксимация уравнения Больцмана и кинетические модели. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред.

89. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 79-100.

90. V.A. Titarev. Conservative numerical methods for model kinetic equations.// Computers Fluids 36 (2007) 1446Ц1459.

91. P. Andries, J.-F. Bourgat, P. Tallec, B. Perthame. Numerical comparison between the Boltzmann and ES-BGK models for rarefied gases.// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 191, Issue 31, 2002, 3369-3390.

92. I.G. Brykina, B.V. Rogov, G.A. Tirskiy. Continuum models of rarefied gas flows in problems of hypersonic aerothermodynamics. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Volume 70, Issue 6, 2006, 888-911.

93. A.V. Bobylev, M.C. Vinerean Construction of Discrete Kinetic Models with Given Invariants. //J. Stat. Phys. (2008) 132: 153Ц170.

94. N. Bemhoff, A. Bobylev. Weak shock waves for the general discrete velocity model of the Boltzmann equation. // Commun. Math. Sci. Volume 5, Issue 4 (2007), 815-832.

95. H. BabovskyA numerical model for the Boltzmann equation with applications to micro flows.// Computers and Mathematics with Applications 58 (2009) 791-804.

96. F. Sharipova, L.M. Gramani Cumin, D. Kalempa. Heat flux between parallel plates through a binary gaseous mixture over the whole range of the Knudsen number.// Physica A 378 (2007) 183Ц193.

97. C. S. Scherer, J. F. Prolo Filho, L. B. Barichello. An analytical approach to the unified solution of kinetic equations in rarefied gas dynamics. I. Flow problems.// Z. angew. Math. Phys. 60 (2009) 701,1115.

98. C. S. Scherer, J. F. Prolo Filho, L. B. Barichello. An analytical approach to the unified solution of kinetic equations in rarefied gas dynamics. II. Heat transfer problems.// Z. angew. Math. Phys. 60 (2009) 651-687.

99. S. Chandrasekhar. Stochastic Problems in Physics and Astronomy.// Rev. Modern. Phys., 1943, vol. 15, No.l, p. 1.

100. J.G. Kirkwood. The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes.// J. Chem. Phys., 1946, vol.14, No.3, p. 180.

101. M. Baro, N. Ben Abdallah, P. Degond, A. El Ayyadi. A ID coupled Schroi'dinger drift-diffusion model including collisions.// Journal of Computational Physics 203 (2005) 1291^153.

102. N. Crouseilles, P. Degond, M. Lemou.A hybrid kinetic/fluid model for solving the Boltzmann-BGK equation.// Journal of Computational Physics, 199 (2004) 7761^808.

103. N. Crouseilles, P. Degond, M. Lemou.A hybrid kinetic-fluid model for solving the Vlasov-BGK equation.// Journal of Computational Physics, Volume 203, Issue 2, 2005, 572-601.

104. S. Tiwari, A. Klar, S. Hardt. A particle-particle hybrid method for kinetic and continuum equations. // Journal of Computational Physics, Volume 228, Issue 18, 2009, 7109-7124.

105. M. Fujita, Y. Yamaguchi. Mesoscale modeling for self-organization of colloidal systems.// Current Opinion in Colloid Interface Science, In Press, Corrected Proof, Available online 11 June 2009.

106. G.C. Cheng, R.P. Koomullil, B. K. Soni. Multidisciplinary and multi-scale computational field simulationsMAlgorithms and applications.// Mathematics and Computers in Simulation 75 (2007) 161IJ170.

107. JJ. Lantermann, D. Haenel. Particle Monte Carlo and lattice-Boltzmann methods for simulations of gasyparticle flows. //Computers Fluids 36 (2007) 407IJ422.

108. P. Degond, A. El Ayyadi. A Coupled Schroedinger Drift-Diffusion Model for Quantum Semiconductor Device Simulations.// Journal of Computational Physics 181, 222IJ259 (2002).

109. L. Desvillettes. Some aspects of the modeling at different scales of multiphase flows. //Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. (2009), doi:10.1016/j.cma.2009.08.008.

110. J.M. Mantas, M.J. Mantas. Efficient deterministic parallel simulation of 2D semiconductor devices based on WENO-Boltzmann schemes.// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 198 (2009) 693IJ704.

111. N.B. Maslova. Nonlinear Evolution Equations. Kinetic Approach. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1993.

112. K. Xu. A Gas-Kinetic BGK Scheme for the Navier-Stokes Equations and Its Connection with Artificial

113. Dissipation and Godunov Method. // Journal of Computational Physics, Volume 171, Issue 1, 2001, 289335.

114. G. May, B. Srinivasan, A. Jameson. An improved gas-kinetic BGK finite-volume method for three-dimensional transonic flow. // Journal of Computational Physics, Volume 220, Issue 2, 2007, 856-878.

115. Y.-H. Shi, J. Y. Yang. A gas-kinetic BGK scheme for semiclassical Boltzmann hydrodynamic transport. // Journal of Computational Physics, Volume 227, Issue 22, 2008, 9389-9407.

116. S.V.R. Rao. New Numerical Schemes based on Relaxation Systems for Conservation Laws. // Berichte des Fraunhofer-Instituts fur Techno- und Wirtschaftsmathematik (ITWM Report), 2002, No. 250 (http://kluedo.ub.uni-kl.de).

117. P. Degond, P. Deluzet, A. Sangam, M.-H. Vignal. An Asymptotic Preserving scheme for the Euler equations in a strong magnetic field. // Journal of Computational Physics 228 (2009) 3540IJ3558.

118. X. Chen, H. Rao, E.A. Spiegel. Macroscopic equations for rarefied gas dynamics. // Physics Letters A, Volume 271, Issues 1-2, 2000, 87-91.

119. T. Qian, X.-P. Wang, P. Sheng. Molecular Hydrodynamics of the Moving Contact Line in Two-Phase Immiscible Flows (REVIEW ARTICLE). // Coramun. Comput. Phys. Vol. 1, No. 1, pp. 1-52.

120. K. Xu, X. He, C. Ca. Multiple temperature kinetic model and gas-kinetic method for hypersonicnon-equilibrium flow computations. // Journal of Computational Physics, Volume 227, Issue 14, 2008, 6779-6794.

121. T. Ohwada. On the Construction of Kinetic Schemes. // Journal of Computational Physics 177, 156Ц175 (2002).

122. T. Ohwada, S. Fukata. Simple derivation of highresolution schemes for compressible flows by kinetic approach. // Journal of Computational Physics 211 (2006) 424Ц447.

123. A.B. Сафронов. Кинетические схемы для уравнений газодинамики. // Вычислительные методы и программирование, 2009, т. 10, с.62.

124. Б.Н. Четверушкин. Кинетически — согласованные схемы в газовой динамике. М.: Изд - во Мое. ун -та, 1999.

125. А.В. Лукшин, Б.Н. Четверушкин. теории кинети-1 чески согласованных разностных схем. // Математическое моделирование, 1995, т.7, No. 11, с. 109Ц125.

126. Б.Н. Четверушкин. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004.

127. Т. Г. Елизарова. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.

128. Т. Г. Елизарова. Квазигазодинамические и квазигидродинамические уравнения для численного моделирования вязких течений. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия

129. Б, том VII 1/2, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме. - М.: Янус-К, 2008, с. 318 - 332.

130. Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственно-временном осреднении. М.Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009.

131. Гуров Д.В., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений жидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений // Матем. моделирование. 1996. Т. 8. N 7. С. 33-44.

132. Н. Brenner. Fluid mechanics revisited.// Physica A 370 (2006) 190Ц224.

133. H. Brenner. Bi-velocity hydrodynamics. //Physica A 388 (2009) 3391-3398.

134. A. Bardow, H.C. Oettinger. Consequences of the Brenner modification to the NavierlJStokes equations for dynamic light scattering. // Physica A 373 (2007) 88Ц96.

135. S.K. Dadzie, J.M. Reese, C.R. Melnnes. A continuum model of gas flows with localized density variations. //Physica A 387 (2008) 6079Ц6094.

136. D. Dutykh, С. Acary-Robert, D. Bresch. Numerical simulation of powder-snow avalanche interaction with an obstacle. //arXiv:0901.2781vl physics.geo-ph] 19 Jan 2009.

137. P. Degond, M. Lemou, Jose L. Lopez. A kinetic description of anisotropic fluids with multivalued internal energy. // European Journal of Mechanics B/Fluids 22 (2003) 487Ц509.i

138. S.K. Loyalka, E.L. Tipton, R.V. Tompson. ChapmanlJEiiskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials I: Simple, rigid-sphere gas. // Physica A 379 (2007) 417Ц435.

139. H. H. Калиткин, И. А. Панин. О сходимости приближений Чепмена-Энскога при расчете электронных транспортных коэффициентов. // Матем. моделирование, т.20, еб (2008), 86-98.

140. J. Dolbeault, P. Markowich, D. Oelz, С. Schmeiser. Non linear Diffusions as Limit of Kinetic Equations with Relaxation Collision Kernels. // Arch. Rational Mech. Anal. 186 (2007) 133Ц158.

141. B.B. Козлов. Обобщенное кинетическое уравнение Власова. // Успехи математических наук, 2008, т.63, вып. 4 (382).

142. В.В. Козлов. Ансамбли Гиббса и кинетика бесстолк-новительнои среды. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 243292.

143. Н. Poincare. Reflexion sur la thcorie cinetique des gaz //J. Phys. Theoret. et appl.,4eser- 1906.-V.5.-p.369-403 (Пер. на русск. язык: Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов. В кн.: Избранные труды. T.III. М.: Наука. - 1974. - с.385-412).

144. В. В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М. - Ижевск: ИКИ, 2002.

145. L. Saint-Raymond. Hydrodynamic Limits of the Boltzmann Equation. Lecture Notes in Mathematics 1971, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

146. R.J. DiPerna, P.-L. Lions. On the Cauchy problem for the Boltzmann equation: global existence and weak stability results, Ann. of Math. 130 (1990), 321-366.

147. F. Rezakhanlou, C. Villani. Entropy Methods for the Boltzmann Equation. Lecture Notes in Mathematics 1916, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

148. L. Saint-Raymond. From BoltzmannYs kinetic theory to Euler^s equations.// Physica D 237 (2008) 20281^12036.

149. F. Golse. From the Kinetic Theory of Gases to Continuum Mechanics. (Preprint arXiv:1009.4502vl) (2010).

150. C. Dogbe. On the entropy method for the hydrodynamical limit of some kinetic theory models.// Mathematical and Computer Modelling 48 (2008) 1791,1190.

151. C. Dogbe. Fluid dynamic limits for gas mixture I. Formal derivation. // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, Vol. 18, No. 9 (2008) 16331,11672.

152. C. Tsallis. Computational applications of nonextensive statistical mechanics. //Journal of Computational and Applied Mathematics 227 (2009) 51-58.

153. L. Saint-Raymond. Hydrodynamic limits: some improvements of the relative entropy method. // Ann. I. H. Poincare IJ AN 26 (2009) 705IJ744.

154. F. Golse, L. Saint-Raymond. The incompressible NavierlJStokes limit of the Boltzmann equation for hard cutoff potentials. // J. Math. Pures Appl. 91 (2009) 508IJ552.

155. M. Bostan, T. Goudon. High-electric-field limit for the VlasovIJMaxwelllJFokkeryPlanck system. //Ann. I. H. Poincare y AN 25 (2008) 12211,11251.

156. R. Esposito, M. Pulvirenti. From Particles to Fluids. Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, Volume1.l, Edited by S. FRIEDLANDER D. SERRE, 2004, ELSEVIER.

157. A. Perez-Madrid. Statistical mechanical theory of an oscillating isolated system: The relaxation to equilibrium. // JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS 48, 103302 (2007).

158. B.B. Markiv, LP. Omelyan, M.V. Tokarchuk. Nonequilibrium statistical operator in the generalized molecular hydrodynamics of fluids. // Theoretical and Mathematical Physics, 154(1): 75Ц84 (2008).

159. Л.Д. Ландау. Кинетическое уравнение в случае Ку-лоновского взаимодействия. // ЖЭТФ, 1937, т.7, вып.2, с. 203.

160. Н.Н.Калиткин, Д.П.Костомаров. Математические модели физики плазмы (обзор). // Математическое моделирование, 2006, том 18, номер 11, стр. 67-94.

161. R. Alexandre, С. Villani. Sur ^approximation de Landau en physique des plasmas. // Ann. I. H. Poincare Ц AN 21 (2004) 61Ц95.

162. Ю.Л. Климонтович. О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических процессов. // Теор. и матем. физика, 1992, т.92, No.2, с. 312.

163. Г. Репке. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1990.

164. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках.-М.: Мир, 1986.

165. С. Г. Раутиан. Диффузионное приближение в задаче о миграции частиц в газе. // Успехи физических наук, 1991, т.161, No.ll, с. 151.

166. Degond, P., Latocha, V., Garrigues, L., Boeuf, J. P. Electron Transport in Stationary Plasma Thrusters. //Transp. Theory and Stat. Phys., (1998) 27, 203Ц221.

167. Degond, P., Lemou, M. On the viscosity and thermal conduction of fluids with multivalued internal energy. //European J. Mech. B/fluids, (2001), 20, 303Ц327.

168. Ben Abdallah, N., Desvillettes, L., Genieys, S. On the convergence of the Boltzmann equation for semiconductors towards an energy-transport model. //J. Stat. Phys., (2000) 98, 835Ц870.

169. Degond, P. An infinite system of diffusion equations arising in transport theory: the coupled spherical harmonics expansion model. //Math. Methods and Models in the Applied Sciences, (2001) И, 903Ц932.

170. Degond, P., Lemou, M. Turbulence models for incompressible fluids derived from kinetic theory. //J. Math. Fluid Mech.,(2002) 257Ц284.

171. J. Banasiak. Positivity in Natural Sciences. In: Multiscale Problems in the Life Sciences: From Microscopic to Macroscopic. Lecture Notes in Mathematics 1940, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

172. N. Bellomo, A. Bellouquid, M. A. Herrero. From microscopic to macroscopic description of multicellular systems and biological growing tissues. //Computers and Mathematics with Applications 53 (2007) 647Ц663.

173. B. Buring, G. Toscani. Hydrodynamics from kinetic models of conservative economies. // Physica A, 384 (2007), р.493Ц506.

174. J.P. Bouchaud, M. Mezard. Wealth condensation in a simple model of economy. //Physica A, 282 (2000), p. 536Ц545.

175. S. Cordier, L. Pareschi, G. Toscani. On a kinetic model for a simple market economy. //J. Stat. Phys. 120 (2005), р.253Ц277.

176. S. Albeverio, B. Ferrario. Some Methods of Infinite Dimensional Analysis in Hydrodynamics: An Introduction. (In: SPDE in Hydrodynamic: Recent Progress and Prospects. Lecture Notes in Mathematics 1942, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.)

177. F. Flandoli. An Introduction to 3D Stochastic Fluid Dynamics. там же.

178. Y.G. Sinai. Mathematical Results Related to the NavierlJStokes System. там же.

179. E.M. Вениаминов. Диффузионные прцессы в фазовом прстранстве и квантовая механика. //ДАН, 416 (2007), е 1, с. 31-35.

180. P.-H. Chavanis, С. Sire. Kinetic and hydrodynamic models of chemotactic aggregation. //Physica A 384 (2007) 199Ц222.

181. M. Lachowicz Links Between Microscopic and Macroscopic Descriptions. In: Multiscale Problems in the Life Sciences: From Microscopic to Macroscopic. Lecture Notes in Mathematics 1940, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

182. V. Capasso, D. Morale Rescaling Stochastic Processes: Asymptotics. In: Multiscale Problems in the Life Sciences: From Microscopic to Macroscopic. Lecture Notes in Mathematics 1940, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

183. C. Pellegrini, F. Petruccione. Diffusion Approximation of Stochastic Master Equations with Jumps. (Preprint arXiv:0907.3996vl) (2009).

184. V.V. Uchaikin, V.M. Zolotarev. Stable Distributionsand their Applications. Utrecht.: VSP, The Netherlands, Chance and Stability, 1999.

185. B.M. Золотарев Одномерные устойчивые распределения. М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

186. К.Б. Чукбар. Квазиффузия пассивного скаля-ра//ЖЭТФ,т. 109, е4, 1996, с.1335-1348.

187. А. V. Chechkin, V. Yu. Gonchar. Fractional kinetics for relaxation and supcrdiffusion in a magnetic field // Physics of plasmas, т.9, el, 2002, c.78-88.

188. A.I. Saichev, G.M. Zaslavsky. Fractional kinetic equations: solutions and applications // Chaos, v.7, N4, 1997, p.753-764.

189. V.N. Kolokoltsov, V.Yu. Korolev, V.V. Uchaikin. Fractional stable distributions. //Journal of Mathematical Sciences, V. 105, e6, 2001, c.2569-2576.

190. B.B. Учайкин. Метод дробных производных. Ульяновск: Изд-во Артишок, 2008.

191. В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев и др. Дробно-устойчивые распределения. В сб. Стохастические модели структурной плазменной турбулентности. Под ред. В.Ю.Королева и Н.Н.Скворцовой. - М.: МАКСПРЕСС, 2003, с.291-360.

192. Вычислительные методы в физике плазмы. (Ред. Б. Олдера, С. Фернбаха и М Ротенберга] перевод под ред. Ю.Н. Днестровского, Д.П. Костомарова.) М.: Мир, 1974, с. 514.

193. R. W. Hockney, J. W. Eastwood. Computer simulation using particles. McGraw-Hill, 1981. Имеется перевод: Хокни P., Иствуд Дне. Численное моделирование методом частиц. - М.: Мир, 1987.

194. Ю.С. Сигов. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физике плазмы. Избранные труды. (Сост. Г.И. Змиевская, В.Д. Левченко.) М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

195. М.Ф. Иванов, В.А. Гальбурт. Численное моделирование динамики газов и плазмы методами частиц. -М.: МФТИ, 2000.

196. Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков. Численные методы "частицы в - ячейках". - Новосибирск: Наука, 2000.

197. Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков, М.П. Федорук. Численное моделирование методами частиц в - ячейках. - Новосибирск: изд - во СО РАН, 2004.

198. М.Ф. Иванов, В.А. Гальбурт. Стохастические методы решения уравнений Фоккера-Планка. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е.

199. Фортов), Серия Б, том VII 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 580-597.

200. М.Ф. Иванов, В. А. Галъбурт. Стохастический подход к численному решению уравнений ФоккераЦ-Планка. // Математическое моделирование, 2008, т. 20, No. 11, с. 3 27.

201. Ю.Н. Григорьев. Статистические методы частиц-в-ячейках. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII -1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 567 - 579.

202. СМ. Ермаков. Метод Монте-Карло. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII - 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 523 - 539.

203. Г. И. Змиевская. Модель флуктуационной стадии фазового перехода. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII - 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 101 -125.

204. В.В. Веденяпин, Ю.А. Волков. Уравнение Власова и метод частиц. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII - 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 126 - 139.

205. Н. Neunzert, J. Struckmeier. Particle Methods for the Boltzmann Equation. // Acta Numerica, 1995, p.417.

206. A. Meister, J. Struckmeier (Eds.). Hyperbolic partial differential equations. Theory, numerics and applications. Braunschweig: Vieweg Verlag, 2002.

207. J. Struckmeier. Numerical Simulation of the Boltzmann Equation by Particle Methods. in: N. Bellomo, M. Pulvirenti (Eds.). Modeling in Applied Sciences - A Kinetic Theory Approach -Birkhauser, 2000.

208. M. Junk, J. Struckmeier. Consistency Analysis of Mesh-Free Methods for Conservation Laws.// GAMMMitteilungen, 2001, No. 2, p.99.

209. A. Klar, H. Neunzert, J. Struckmeier. Transition from Kinetic Theory to Macroscopic Fluid Equations: A Problem for Domain Decomposition and a Source for New Algorithms.// Transp. Theory Stat. Phys., 2000, vol.29, No. 1/2, p.93.

210. S. V. Raghurama Rao. New Numerical Schemes based on Relaxation Systems for Conservation Laws. //Berichte der Arbeitsgruppe Technomathematik (AGTM Report), 2002, No.249; URL:http: //kluedo.ub.uni-kl.de/volltexte/2002/1392/

211. G. Venkiteswaran. A Particle Method for Fokker-Planck Equations in High Dimensions. Doktorder Naturwissenschaften Dissetation. Universitaet Kaiserslautern, 2003.

212. O.M. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. Метод крупных частиц. М.: Наука, 1982.

213. K.M. Магомедов, A.C. Холодов. Сеточно характеристические численные методы. - М.: Наука, 1988.

214. Ан.В. Лукшип, С.Н. Смирное. Об одном стохастическом методе решения уравнения Больцмана. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т. 28, No. 2, с. 293 298.

215. А. А. Арсеньев, А. В. Лукшип. Математические основы метода частиц и моделирование полупроводниковой плазмы. // Математическое моделирование, 1989, т. 1, No. 1, с. 108-119.

216. А. А. Арсеньев. Обоснование метода прямого статистического моделирования в одной задаче кинетической теории газов. // Математическое моделирование, 1989, т. 1, No.3, с. 135 145.

217. А. А. Арсеньев. О точности метода макрочастиц при статистическом моделировании кинетических уравнений. // Математическое моделирование, 1989, т. 1, No. 4, с. 134 139.

218. А. В. Лукшин. Стохастические алгоритмы математической теории пространственно неоднородного уравнения Больцмана. // Математическое моделирование, 1989, т. 1, No. 7, с. 146 - 159.

219. А. А. Арсеньев. О двух математических моделях описания пучка заряженных частиц в газе. // Математическое моделирование, 1989, т.1, No.9, с. 101 109.

220. А. А. Арсеньев. Обоснование метода прямого статистического моделирования в одной задаче кинетической теории газов, // Математическое моделирование, 1989, т. 1, No.ll, с. 92 95.

221. А. А. Арсеньев, О. Е. Буряк О связи между решением уравнения Больцмана и решением уравнения Ландау Фоккера - Планка. //Матем. сб., 1990, т. 181, No. 4, с. 435 - 446.

222. А. А. Арсеньев. Замечание о методе частиц для квантового уравнения Лиувилля.// Математическое моделирование, 1991, т. 3, No. 2, с. 151 156.

223. А. В. Лукшин, А. К. Маслов, И. В. Полимати-ди, С. Н. Смирнов. Стохастическая модель прохождения ультрарелятивистских электронов через толстый монокристалл. // Математическое моделирование, 2000, т. 12, No. 1, с. 25 44.

224. A.N. Kolmogoroff. Ueber die analitischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. // Math. Ann., 1931, v. 104, p. 415-458. Русский перевод:

225. Колмогоров A.H. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи математических наук, 1938, 5, с. 51 -96.

226. Ито К. Вероятностные процессы.Вып. 1,2 М.: ИЛ, 1963.

227. Ито КМаккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: "Мир 1968.

228. И.И. Гихман, A.B. Скороход. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Нукова думка, 1968.

229. С. Ватанабэ, Н. Икэда. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. -М.: Наука, 1986.

230. Королюк B.C., Портепко Н.И., Скороход A.B., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистикс.-М.: Наука, 1985.

231. Б. Оксендалъ. Стохастические дифференциальные уравнения. М.: Мир, 2003.

232. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

233. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

234. Миллер Б.М., Панков А.Р. Случайные процессы в примерах и задачах. М.: Изд. МАИ, 2001.

235. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. //ДАН СССР, 1986, т.288, No. 4, с. 777 780.

236. Kloeden P.E., Platen Е., Schurz Н. Numerical solution of SDE through computer experiment. Springer -Verlag, Berlin, 1994, 292 p.

237. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов.-СПб.: Наука, 1999. '

238. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах.-М.: Мир, 1976.

239. А. А. Арсенъев. Уравнение Больцмана. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е.

240. Фортов), Серия Б, том VII 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 17-26.

241. С. Villani. A review of mathematical topics in collisional kinetic theory. Handbook of mathematical fluid dynamics. Vol. 1. North-Holland Amsterdam, 2002, p. 71-305. (http://www.umpa.ens-lyon.fr/ cvillani)

242. О. Э. Ланфорд III. О выводе уравнения Больцмана. В кн.: Неравновесные явления: уравнение Больцмана, под ред. Дж. JI. Либовица и Е.У. Монтролла. -М.: Мир, 1986.

243. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974.

244. Неравновесные явления: уравнение Больцмана. М.: Мир, 1986.

245. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985.

246. Галкин В.А. Анализ математических моделей: системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. М.: БИНОМ, 2009.

247. В.В. Веденяпин. Обобщения и модификации уравнения Больцмана. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия Б, том VII - 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-К, 2008, с. 27-43.

248. W.Braun, К.Нерр. The Vlasov dynamics and its fluctuations in the 1/N limit of interacting classical particles. // CMP.-1977.-V.56.-P.101.

249. Р.Л.Добрушин. Уравнения Власова. // Функцион. анализ и его прил. 1979.-T.13,No2.-C.48.

250. В.П. Маслов. Уравнение Власова. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы (ред. В.Е. Фортов), Серия В, том VII - 1/3, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме.-М.: Янус-" К, 2008, с. 209-242.

251. Б.А. Трубников. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме. // Вопросы теории плазмы. Ц М.: Госатомиздат, 1963, вып. 1, с. 98-182.

252. U. Ghia, K.N. Ghia, С. T. Shin. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes équations and a multigrid method // J. Comput. Physics, 1982, v.48, No.3, pp.387-411.

253. A.A. Самарский. Теория разностных схем. M.: Наука, 1983.

254. Л. В. Дородницын, Б.Н. Четверушкин. Об одной неявной схеме для моделирования дозвукового течения газа // Матем. моделирование. 1997. Т. 9. N 5. С. 108-118.

255. Дородницын Л. В. Неотражающие граничные условия для газодинамических задач в нелинейной постановке. // Прикладная математика и информатика N 11. Москва: МАКС Пресс, 2002. С. 38-74.

256. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

257. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Изд - во МГУ, 1999.

258. В. Я. Голъдин, H.H. Калиткин, Т.В. Шитова. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений.// Журнал вычисл. матем. «и матем. физики, 1965, т.5, No.5, С.938.

259. О.А.Олейник. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. // ДАН СССР, 1954, 99, No.3, с.451.

260. С. Н.Кружков. Обобщение решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка. // ДАН СССР, 1969, 187, No.l,c.29.

261. Н.Н.Кузнецов. Слабые решения квазилинейных уравнений первого порядка и численные методы их расчета. // Mathem. Models and Numerical Methods. Banach center publications, Vol.3, PWN-Polish Scientific Publishers, 1978 Warsawa.

262. K.A.Oelschlager. Martingale approach to the law of large number for weakly interacting stochastic processes. // The Annals of Probability.-1984.-'V. 12-No2.-P.458.

263. В.П.Маслов. Уравнения самосогласованного поля. // Современные проблемы математики, Т.11, M., ВИНИТИ, 1978, с. 153.

264. Б.Л. Рождественский, H.H. Яненко. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

265. А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелое, А.Ю Семенов. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.

266. Л.Д. Ландау, В.М. Лифшиц. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

267. Л.И. Седов. Механика сплошной среды. М. : Наука, 1994.

268. C.B. Богомолов. О сходимости метода суммарной аппроксимации для системы уравнений Власова. // Дифференц. уравнения, 1981, т.17, No. 3, с. 510 -518.

269. C.B. Боголюлов. Сходимость метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т.28, No.l, с. 119 126.

270. C.B. Богомолов. Флуктуация метода частиц для уравнения Власова. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т.28, No. 2, с. 290 292.

271. C.B. Богомолов, В.А.Лебедев. Сходимость разностной схемы Эйлера решения системы стохастических дифференциальных уравнений метода частиц для уравнения Больцмана. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т. 28, No. 8, с. 1264 1267.

272. C.B. Богомолов. Стохастическая модель гидродинамики. // Математическое моделирование, 1990, т. 2, No.ll, с. 85 88.

273. C.B. Богомолов. Метод частиц для уравнения Бюр-герса. // Математическое моделирование, 1991, т. 3, No. 12, с. 115 119.

274. S. V. Bogomolov. Stochastic Model of Hydro Dynamics. // Mathematical models and computer simulations, 1993, v.l, No.2, p. 113 117.

275. C.B. Богомолов. Метод частиц с весами для уравнения Бюргерса // Математическое моделирование, 1994, т.6, No.5, с. 77 81.

276. S. V. Bogomolov. MikroSIM: A Toolbox for Dynamical Processes Simulation. Proc. Scient. Comp, in der chemisch. Verfahrenstechnik, Hamburg, 1995.

277. C.B. Богомолов, A.A. Замараева, Х.Карабелли, K.B. Кузнецов. Консервативный метод частиц для квазилинейного уравнения переноса. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1998, т.38, No.9, с. 1602 -1610.

278. C.B. Богомолов, К. В. Гаврилюк, С. И. Мухин. Течение газа в трубопроводах при наличие стока. // Матем. моделирование, 1998, т. 10, No. 10, с. 8 18.

279. C.B. Богомолов, К.В. Кузнецов. Метод частиц для системы уравнений газовой динамики. // Математическое моделирование, 1998, т. 10, No.7, с. 93 100.

280. С.В.Богомолов, Д.Н.Михайлов. Численные расчеты распространения сейсмических волн на основе нелинейной вязкоупругой модели. // Физика Земли, 1999, No.3, с. 18 24.

281. C.B. Богомолов. Повышение точности метода расщепления для уравнения Больцмана. // Математическое моделирование, 1999, т.11, No. 10, с. 100 105.

282. Ya.V. Kudryavtsev, A.D. Litmanovich, A. G. Makeev, S. V. Bogomolov. Macromolecular reaction and interdiffusion in a compatible polymer blend. The role of H bonding. //Macromol. Theory Simul., 1999, v.8, p. 161 - 171.

283. С.В.Богомолов, Е.В.Захаров, С.В.Зеркалъ. Моделирование волн на мелкой воде методом частиц. // Математическое моделирование, 2002, т.14, No.3, с.103 116.

284. С.В.Богомолов. Метод частиц. Несжимаемая жидкость. // Математическое моделирование, 2003, т. 15, No.l, с. 46 58.

285. С. В. Богомолов. Уравнение Фоккера Планка для газа при умеренных числах Кнудсена. // Математическое моделирование, 2003, т. 15, No.4, с. 16 - 22.

286. S. V. Bogomolov. An Entropy Consistent Particle Method for ' Navier-Stokes Equations. Proc. IV European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS 2004, Jyvaskyla, Finland.

287. С.В.Богомолов. К обоснованию несглаживающего метода частиц.// Математическое моделирование, 2004, т. 16, No. 7, с. 92 101.

288. С.В.Богомолов. Non Smoothing Entropy Consistent Particle Method. VI Международный конгресс по математическому моделированию, Н. Новгород, 2004.

289. С.В.Богомолов, Д.С. Звенков. Явный метод частиц, несглаживающий газодинамические разрывы. // Математическое моделирование, 2007, т. 19, No. 3, с. 74 86.

290. С. В. Богомолов. Об одном подходе к получению стохастических моделей газодинамики.//ДАН, 2008, т.423, No.4, с.458. S. V. Bogomolov. An Approach to

291. Deriving Stochastic Gas Dynamics Models, Doklady Mathematics, 78, 2008, p. 929 931.

292. C.B. Богомолов. О модели Фоккера Планка для интеграла столкновений Больцмана при умеренных числах Кнудсена. // Математическое моделирование, 2009, т.21, No. 1, с. 111 - 117.

293. С.В. Богомолов. Уравнения квазигазодинамики. // Математическое моделирование, 2009, т.21, No. 12, с. 145 151.

294. С.В.Богомолов. Стохастические модели газовой динамики. Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики "памяти академика Александра Андреевича Самарского, Москва, 16 -18 июня 2009.

295. S. V. Bogomolov. Stochastic Models of Gas Dynamics and Particle Methods. Proc. Particles 2009 -International Conference on Particle-Based Methods, E. Onate and D.R.J. Owen (Eds), CIMNE, Barcelona, 2009.

296. S. V. Bogomolov. Stochastic Quasi Gas Dynamics Equations as a Base for Particle Methods. Proc. V European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD 2010, J. C. F. Pereira and A. Sequeira (Eds), Lisbon, Portugal, 14-17 June 2010.

297. С.В.Богомолов, JI.В. Дородницын. Уравнения стохастической квазигазодинамики. Случай вязкого газа./ / Математическое моделирование, 2010, т.22, No. 12, с. 49 64.