автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.17, диссертация на тему:Идентификация нелинейных динамических систем методами теории детерминированного хаоса

На правах рукописи

РГ6 од

2 о ноя та

Пыко Светлана Анатольевна

ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА (НА ПРИМЕРЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВАРИАБЕЛЬНОСТИ СЕРДЕЧНОГО РИТМА)

Специальности: 05.12.17- Радиотехнические и телевизионные

системы и устройства; 05.11.17- Медицинские приборы и системы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном электротехническом Университете "ЛЭТИ".

Научный руководитель -

кандидат технических наук, профессор Ульяницкий Ю.Д. Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Попечителев Е.П. кандидат физико-математических наук, доцент Смирнов А.В.

Ведущая организация - Государственное унитарное Предприятие "Научно-исследовательский институт "Вектор", Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится "¿гг" ¿/'А/О 2000 г. в '^ час. на заседании диссертационного совета Д 063.36.03 Санкт-Петербургского Государственного электротехнического Университета "ЛЭТИ" по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан

21 « МОо1

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Егорова С.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача идентификации нелинейных динамиче-их систем непосредственно связана с вопросами автоматизации контро-, диагностики и прогнозирования состояния биологических, социальных, юмышленных или иных объектов. В диссертационной работе под иден-фикацией динамической системы понимается построение математиче-ой модели системы и вычисление управляющих параметров модели, со-ветствующих изучаемому физическому объекту. Объектом исследова-[й, описанных в диссертационной работе, является нелинейная динамиче-ая система - сердце как генератор ритма.

Развитие отраслей медицины, анализирующих физиологические ггаы, традиционно связано с созданием математических моделей изучае-лх ритмов. Процесс моделирования физиологических ритмов развивается [клически. Признанная математическая модель некоторого процесса ис-льзуется до тех пор, пока не выявляется ряд явлений, которые не имеют ъяснения в рамках данной модели. Это приводит к усовершенствованию »дели или построению ее на иных принципах. На основании предлагае->й модели получают набор регистрируемых параметров, используемых я диагностики. Чем лучше изучаемая модель отражает свойства реально-объекта, тем более обоснованно может быть выбран набор диагностиче-их параметров и более качественно решена задача диагностики.

Многочисленные исследования, проводимые в последнее десятиле-е специалистами в области обработки физиологических данных матема-ческими методами, позволили установить, что динамика многих физио-гических процессов, протекающих в организме человека, является хао-ческой. Хаотические флуктуации наблюдаются не только в сердечном, | и в дыхательном ритме, в электроэнцефалографических данных, при следовании количества лейкоцитов и содержания гормонов в крови че-века, а также являются неотъемлемым свойством многих других процес-в, управляемых нервной системой. Нелинейная хаотическая динамика ет организму много функциональных преимуществ, позволяя работать в фоком диапазоне условий и легко адаптироваться к изменениям окру-иощей среды. Хаотическое поведение внешне проявляется в вариабель-сга (изменчивости) регистрируемых данных. Уменьшение вариабельно-и, сопровождаемое четко выраженной периодичностью наблюдаемых иных, является проявлением патологических изменений в организме, ж, например, установлено, что вариабельность сердечного ритма умень-1ется по сравнению с нормой за несколько минут, а иногда и за несколько :сяцев перед внезапной остановкой сердца. Проявление хаотической ди-мики у здорового организма, конечно, не означает, что абсолютно все тологические изменения связаны с уменьшением хаотичности и прояв-нием повышенной регулярности. Однако своевременное измерение па-метров хаотического поведения физиологических процессов может об-

легчить задачу диагностики состояния организма и уменьшить вероятность тяжелого заболевания или смерти пациента.

Согласно Рекомендациям Европейского кардиологического общества, изучение применимости методов нелинейной динамики для анализа вариабельности сердечного ритма, а также разработка математических моделей сердечного ритма являются в настоящее время одними из наиболее приоритетных направлений исследований, что подтверждает актуальность темы данной диссертационной работы.

Целью работы является идентификация нелинейной динамической модели (сердца как генератора ритма) на основе теории детерминированного хаоса. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Классификация и сравнительный анализ современных методов исследования вариабельности сердечного ритма.

2. Исследование традиционных способов оценивания основных показателей хаотического поведения методами теории нелинейных динамических систем. Разработка методики и алгоритмов, позволяющих оценить основные показатели хаотического поведения по ритмограмме (последовательности временных интервалов между соседними сердечными сокращениями). Экспериментальное исследование показателей хаотического поведения реальных ритмограмм.

3. Исследование аттрактора сердечного ритма. Оценивание размерности вложения аттрактора сердечного ритма, определяющего порядок его динамической модели. Разработка методов и алгоритмов для исследования сердечного ритма, основанных на

- рассмотрении аттрактора в пространстве главных компонент;

- оценивании старшего показателя Ляпунова;

- определении фрактальной размерности ритмограммы.

4. Разработка метода идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма) на основе теории фрактальной геометрии (решение обратной задачи фрактальных множеств - ОЗФМ). Выбор формы представления матрицы аффинного преобразования для решения ОЗФМ и разработка алгоритма оптимизации ее параметров. Экспериментальное исследование параметров динамической модели реализаций сердечного ритма.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались аналитические методы теории случайных процессов, теории нелинейных динамических систем, теории детерминированного хаоса, теории аффинных преобразований и фрактальной геометрии, а также методы имитационного моделирования.

Новые научные результаты: 1. Исследована возможность применимости традиционных методов теории нелинейных динамических систем для оценивания основных показателей хаотического поведения сердечного ритма. В качестве таких показате-

лей выбраны нижняя граница размерности Хаусдорфа и нижняя граница энтропии Колмогорова. Показано, что общепринятые методы оценивания данных показателей неприменимы при регистрации коротких реализаций, которые являются традиционными для исследования сердечного ритма. Разработаны эффективные для коротких ритмограмм алгоритмы оценивания основных показателей хаотичности. Произведен анализ погрешности предложенных алгоритмов. Исследовано влияние высокочастотного шума, вызванного ошибками формирования ритмограммы, на устойчивость применяемых алгоритмов. Показано, что предварительная фильтрация с помощью фильтра нижних частот позволяет повысить устойчивость оценок основных показателей хаотического поведения.

2. Выполнены экспериментальные исследования показателей хаотического поведения ритмограмм, на основании которых

- определен порядок динамической модели сердечного ритма;

- установлено, что исследуемые показатели являются существенными

признаками в задаче классификации состояния сердечно-сосудистой

системы человека.

3. Разработаны методы и алгоритмы их оценивания, основанные на

- преобразовании аттрактора в пространство главных компонент с оценкой собственных значений корреляционной матрицы измерений;

- оценивании старшего показателя Ляпунова;

- определении фрактальной размерности ритмограммы.

Разработанные алгоритмы учитывают высокую информационную ценность исследуемых показателей хаотичности ритмограмм.

Выполнена экспериментальная проверка предложенных показателей для эталонных ритмограмм.

4. Разработана методика идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма), основанная на использовании методов фрактальной геометрии.

Предложена процедура построения аффинного коллажа по аттрактору сердечного ритма с использованием градиентного метода оптимизации параметров. Теоретически доказана эквивалентность динамической системы, порождающей сердечный ритм, и модели, заданной итерационной системой функций, реализующей аффинный коллаж. Разработана квазиоптимальная процедура построения аффинного коллажа, характеризующаяся меньшими временными и вычислительными затратами. Оптимальная и квазиоптимальная процедуры экспериментально исследованы с применением реальных ритмограмм с известной диагностикой.

Практическая ценность: 1. Разработаны инженерные методики оценивания основных показателей хаотичности сердечного ритма и определены возможные границы их изменения. На базе имеющихся данных установлено, что размерность вложения аттрактора сердечного ритма не превышает четырех, что определяет четвертый порядок динамической модели сердечного ритма.

2. Исследовано влияние ошибок формирования ритмограммы на устойчивость параметров хаотического поведения.

3. Разработаны оптимальная и квазиоптимальная процедуры построения модели сердечного ритма на основе аффинного коллажа.

4. Предложен набор диагностических показателей, оценивающих состояние сердечно-сосудистой системы человека.

Практическое использование:

Результаты диссертационной работы использованы для исследования вариабельности сердечного ритма в ГМУ им. И.П. Павлова, что подтверждается актом о внедрении, приведенным в приложении к диссертации. Ряд результатов был также использован при выполнении НИР РС-25 и РС-28.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались:

- на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ в 1995-2000 гг;

- на Всероссийской конференции-ярмарке "Биомеханика на защите здоровья человека", Нижний Новгород, 9-12 ноября, 1992;

- на II Международной научно-технической конференции "Физика и электроника в медицине и биотехнологии (ФРЭМБ-96)", Владимир, 21-23 мая, 1996;

- на научно-технической конференции "Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 96 (ДИМЭБ-96)", Санкт-Петербург, 2527 июня, 1996;

- на международном симпозиуме "Вариабельность сердечного ритма: Теоретические аспекты и практическое применение", Ижевск, 1996;

- на научно-технической конференции "Радио и волоконно-оптическая связь", Воронеж, 22 - 24 апреля, 1997;

- на научно-технической конференции "Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97)", Санкт-Петербург, 1-3 июля, 1997;

- на Международной научно-технической конференции по мягким измерениям и вычислениям. Санкт - Петербург, 22-26 июня 1998;

- на научно-технической конференции "Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций", Санкт-Петербург, 25-26 ноября, 1998;

- на научно-технической конференции "Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций", Санкт-Петербург, 24-25 ноября, 1999;

- на четвертой Санкт-Петербургской ассамблее молодых ученых и специалистов. Санкт-Петербург, 2-10 декабря, 1999;

- на научно-технической конференции НТОРЭС им. А.С. Попова, Санкт-Петербург, 25 - 29 апреля 2000;

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе три статьи, два авторских свидетельства на изобретение, 11 тезисов докладов на научно-технических конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, десяти приложений и списка литературы, включающего 104 наименования. Основная часть работы изложена на 127 страницах машинописного текста. Работа содержит 78 рисунков, 8 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены цель и задачи исследований, дана общая характеристика работы.

Первый раздел "Методы исследования сердечного ритма" посвящен обзору традиционных методов изучения вариабельности сердечного ритма и определению перспективных направлений дальнейших исследований. Показано, что процедура исследования сердечного ритма может быть разделена на две последовательных стадии: первичную и вторичную обработку. Первичная обработка включает регистрацию электрокардиосигнала, фиксацию в каждом кардиоцикле характерной точки и формирование последовательности временных интервалов между соседними сердечными сокращениями, называемой ритмограммой. Вторичная обработка сводится к определению характеристик полученной на первой стадии последовательности кардиоинтервалов. На основании анализа зарубежных и отечественных публикаций предложена классификация и обзор основных методов исследования вариабельности сердечного ритма (ВСР). В дополнение к общепринятым методам в работе предложено использовать метод, основанный на построении эллипса рассеяния в двумерной системе координат, по одной оси которой откладывается величина текущего кардиоинтервала, а по другой - разность между текущим и предыдущим кардиоинтервалами. В качестве основных количественных характеристик выбраны интеркван-гильные диапазоны по каждой координатной оси. Показано, что, несмотря на несомненную диагностическую ценность, каждый го используемых подходов обладает наибольшей чувствительностью лишь по отношению к эпределенным состояниям сердечно-сосудистой системы пациента. Как эписанные в литературе, так и собственные исследования неоднократно показывали, что близкие по форме и количественным параметрам характе-эистики (пульсовая дисперсия, спектральная плотность мощности, гистограмма, скатгерграмма и т.д.) могут принадлежать пациентам с различными формами заболеваний.

Результаты традиционных исследований позволили сделать предпо-тожение о хаотической природе сердечного ритма. Внешние, признаки хаотического поведения процесса следующие:

1. Процесс выглядит случайным и имеет фрактальную, т.е., самопо-дебную структуру;

2. В его спектральной' плотности мощности наблюдается широкопо-госный шум;

3. Аттрактор данного процесса не является точкой или периодическим циклом.

Данные признаки в полной мере присущи реальным ритмо1раммам, что обусловливает целесообразность дополнения набора регистрируемых параметров ВСР за счет показателей хаотического поведения сердечного ритма. Подобный подход позволяет расширить диагностические возможности программно-аппаратных средств анализа ВСР.

В этом же разделе представлено описание разработанного программно-аппаратного комплекса, позволившего получить набор ритмо-грамм, использованных автором для экспериментального исследования методов анализа ВСР.

Второй раздел "Исследование основных показателей хаотического поведения сердечного ритма" посвящен разработке алгоритмов для оценивания основных параметров хаотического поведения сердечного ритма и исследованию сферы их применимости.

Количественные показатели, позволяющие судить о наличии или отсутствии хаотического поведения системы и о степени хаотичности, являются характеристиками аттрактора этой системы. Основными такими показателями являются размерность Хаусдорфа и энтропия Колмогорова.

Полное исследование аттрактора возможно лишь при знании нелинейного дифференциального уравнения, определяющего функционирование системы. Порядок уравнения определяет размерность фазового пространства, в котором располагается аттрактор, а, следовательно, и число компонент, подлежащих измерению. Наблюдателю же на практике, как правило, доступна лишь одна измеряемая компонента, из которой необходимо извлечь информацию о свойствах модели изучаемого процесса. Согласно теореме Такенса, по одной реализации можно определить нижнюю

границу размерности Хаусдорфа £>2, размерность вложения аттрактора с!

и нижнюю границу энтропии Колмогорова К2 ■

Нижняя граница размерности Хаусдорфа определяется выражением (М{1) ^

In

I«2

1=0

W) 2

Z?2 = Üm-:—-- , где 2 Pi ~ вероятность того, что две

/->0 In/ f=0

точки на аттракторе лежат внутри любой ячейки d - мерного фазового пространства диаметром /, М(1) - число ячеек фазового пространства. .Нижняя граница энтропии Колмогорова определяется соотношением

К2 = - lim lim -In £ Р.2 . ,

/—>0 И—>со Tl ; 'о~ЛП

Ч—'п

де PiQш„in - совместная вероятность того, что траектория динамической истемы на странном аттракторе Х(/ = 0) находится в ячейке г'о;

= г) - в ячейке ;...; Х(/ =лт) - в ячейке 1п. Согласно традиционному подходу, данные показатели определяются помощью выражений

В2 = ит11^); , а»

х,. - ху

- корреляционный

/->0 1п/ ' /^Ол-хои С„+1(/)

де С(/) = lim -L^ef/-

iV-^oo ДГ2 у-

нтеграл, 9 (•) — индикаторная функция, iV—число точек, участвующих в юрмировании оценки С(1).

Для получения оценок в логарифмическом масштабе строятся зави-имости С(1) от / при различных значениях размерности фазового про-транства. Имитация увеличения размерности фазового пространства дос-игается за счет перераспределения отсчетов по теореме Такенса. Значение начиная с которого крутизна кривых перестает изменяться, является

ценкой размерности вложения аттрактора, крутизна - оценкой D2, рас-

тояние между кривыми - оценкой К2 ■

Основной проблемой оценивания нижних границ размерности Хаус-орфа и энтропии Колмогорова при традиционном подходе, основанном на ычислении оценки С(1), является необходимость выбора значения I —> 0, оскольку при уменьшении / и ограниченном объеме выборочных данных езко уменьшается число точек, участвующих в формировании оценок, что риводит к существенному увеличению погрешности оценивания. Данную роблему решают путем увеличения объема выборочных данных. Подоб-ый подход не применим для реализаций, содержащих 512 отсчетов, что вляется традиционным при исследовании ритмограмм.

Для решения данной проблемы, в случае коротких выборок, предла-ается предварительно строить функции распределения вероятности рас-

*

гояний Р (/) между точками аттрактора с расчетом оценки дисперсии огрешности ее оценивания. С этой целью.был проведен анализ .полной руппы погрешностей и получено итоговое выражение для ее определения:

о2<а2кв

кв 12

( „«

где Окв =

1/2

• у

— погрешность, вызванная кван-

тованием электрокардиосигнала, Ъкв - величина шага квантования, Тд- -

время корреляции ритмограммы, ТУ,- - число отсчетов, участвующее в формировании оценки функции распределения вероятности.

В качестве рабочего диапазона значений расстояний между точками аттрактора предложено выбирать линейный участок функции распределения вероятности с оценкой среднеквадратической погрешности, не превышающей 10-15% от значения функции распределений вероятности. В результате подобного подхода удается достичь приемлемой точности оцениваемых характеристик при малом объеме выборочных данных.

Результаты проверки предлагаемых алгоритмов на известных отображениях, описанные в данном разделе работы, подтвердили высокую достоверность получаемых результатов при уменьшении длительности обрабатываемых й- мерных массивов до 125 отсчетов. Таким образом, показаны преимущества применения предлагаемых алгоритмов для анализа хаотического поведения при коротких выборках данных.

В результате исследования реальных файлов данных с помощью предложенного метода экспериментально подтвержден хаотический характер сердечного ритма. Установлено, что для всех рассмотренных данных, отличающихся различными значениями оценок пульсовой дисперсии и типами спектральной плотности мощности, полученные значения нижней

границы размерности Хаусдорфа £>2 не превышают четырех. Данный результат позволяет считать размерность вложения аттрактора равной четырем и при построении макромодели сердечного ритма ограничиться рассмотрением моделей четвертого порядка.

Для большинства рассмотренных реализаций экспериментально установлена следующая закономерность. Реализации, отличающиеся малыми значениями оценки пульсовой дисперсии и отсутствием высокочастотного всплеска в спектре мощности, характеризуются, как правило, меньшими

значениями нижней границы энтропии Колмогорова^ - В то же время,

наибольшие оценки К2, в основном, принадлежат данным с ярковыра-. женными спектральными составляющими в области верхних частот и большими значениями оценки пульсовой дисперсий. Таким образом, хао-

л

тические показатели дополняют диагностическую картину, получаемую традиционными методами.

Наряду с общей тенденцией, выявлены реализации, характеризующиеся весьма различными оценками нижней границы энтропии Колмогорова при близких типах спектральной плотности мощности и сопоставимых значениям выборочной пульсовой дисперсии. Подобный факт явно свидетельствует о большей, по сравнению с традиционно регистрируемыми параметрами, чувствительности показателей хаотического поведения к некоторым состояниям сердечно-сосудистой системы человека.

Показано, что предварительная фильтрация ритмограммы с помощью ФНЧ с частотой среза 0.4 Гц, направленная на подавление высокочастотного шума, вызванного ошибками фиксации зубцов электрокардиосиг-нала, позволяет повысить устойчивость оценок нижней границы размерности Хаусдорфа и нижней границы энтропии Колмогорова.

Третий раздел "Методы оценивания вспомогательных показателей хаотического поведения сердечного ритма" посвящен выбору и исследованию набора дополнительных показателей, позволяющих количественно охарактеризовать хаотическое поведение сердечного ритма. В соответствии с определенной размерностью вложения аттракторов сердечного ритма, приводятся результаты их визуального и количественного исследования в четырехмерном фазовом пространстве. Поскольку при графическом представлении данных возможно изображение лишь трех координат, значения четвертой необходимой для.представления аттрактора в пространстве вложения координаты представлены градациями цвета точек. Внешний вид и цветовая окраска аттракторов подтверждают установленный на основании анализа размерности Хаусдорфа четвертый порядок модели сердечного ритма. Результаты обработки экспериментальных данных показывают, что состояние сердечно-сосудистой системы неизбежно отражается на форме и объеме аттрактора сердечного ритма. На основании проведенного исследования можно предположить, что увеличение плотности и уменьшение размера аттрактора, свидетельствуют об ухудшении состояния сердечно-сосудистой системы. В качестве количественных параметров, характеризующих размер и форму аттрактора, предлагается использовать величины размаха и интерквантильные диапазоны для каждой координаты, а также объем эллипсоида вращения, аппроксимирующего его трехмерную проекцию.

Характерный вид и ориентация аттракторов сердечного ритма обусловливают целесообразность применения для их анализа метода главных компонент. Показано, что для аттракторов пациентов с более тяжелой формой сердечно-сосудистых заболеваний более 90% суммарной дисперсии "объясняется " первой главной компонентой. На долю последней компоненты в этом случае приходится менее 1% дисперсии. Увеличение значи-. мости второй, а затем и третьей главных компонент в большинстве случаев предположительно свидетельствует об улучшении состояния здоровья и

может служить диагностическим фактором. В качестве диагностического показателя предлагается использовать набор собственных чисел корреляционной матрицы массива точек аттрактора, определяющих долю суммарной дисперсии, "объясняемой" каждой главной компонентой. .

Рассмотрены теоретические предпосылки, лежащие в основе алгоритмов оценивания старшего показателя Ляпунова, определяющего скорость экспоненциального увеличения расстояния между близкими вначале траекториями по последовательности выборочных данных:

A,(Zo)= lim lim—1л N-vx>E-*ON

= lim —In N-ycN

dfN(X0)

dX(

0

На примере известных отображений показана зависимость точности оцени-ч вания старшего показателя Ляпунова от объема выборочных данных и величины 8 близости траекторий в начальный момент времени. В результате экспериментальных исследований установлено, что оценивание данного показателя по ритмограмме, содержащей 512 отсчетов возможно лишь в том случае, если ее аттрактор характеризуется большой плотностью и значением размерности Хаусдорфа, не превышающим трех. В противном случае необходимо существенное увеличение объема выборочных данных. Если увеличение длительности ритмограммы невозможно, в качестве оценки старшего показателя Ляпунова сверху предлагается использовать оценку нижней границы энтропии Колмогорова.

Исследована фрактальная размерность ритмограммы, характеризующая степень ее самоподобия. Показано, что изменения фрактальной размерности в зависимости от состояния сердечно-сосудистой системы выражены значительно меньше, чем соответствующие изменения нижней границы энтропии Колмогорова. Вместе с тем, применяемый для оценивания фрактальной размерности дисперсионный алгоритм связан с меньшими вычислительными затратами. Оценки фрактальной размерности ритмограммы могут быть полезны при проведении экспресс-анализа сердечного ритма, однако при подробных исследованиях более целесообразным является оценивание нижней границы энтропии Колмогорова, обладающей большей чувствительностью.

Четвертый раздел диссертационной работы "Исследование динамической модели сердечного ритма методами фрактальной геометрии" посвящен описанию предложенного метода идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма) на основе теории фрактальной геометрии.

Идентификация в данном случае сводится к решению ОЗФМ - обратной задачи фрактальных множеств, заключающейся в том, чтобы по виду аттрактора сердечного ритма найти итерационную систему функций (ИСФ), посредством которой он бщ порожден. Метод решения ОЗФМ основан на построении аффинного коллажа

1=1

где (г) представляет собой элементарное аффинное преобразование.

Аффинный коллаж состоит из уменьшенных копий исходного аттрактора, подвергнутых преобразованиям поворота и смещения. В качестве невязки между исходным аттрактором и полученной моделью предложено использовать метрику Хаусдорфа

( \ Г

к(А,В) =

шах

эир

хеу

т£ \х -

/

уеВ

тГ \х - _у| хеЛ

,А,В е Н(с).

В работе показано, что в соответствии с теоремой о коллаже, увеличивая число его элементов и уменьшая коэффициент сжатия, можно аппроксимировать исходный аттрактор с любой заранее заданной точностью.

Теоретически доказана топологическая эквивалентность нелинейной динамической системы, порождающей сердечный ритм, и модели, заданной итерационной системой функций, реализующей аффинный коллаж. Дано теоретическое обоснование и предложены практические рекомендации по реализации процедуры оптимизации аффинного коллажа. На основании теоремы о непрерывности обоснована допустимость использования градиентных методов оптимизации параметров коллажа. Ввиду того, что теорема о коллаже не накладывает ограничений на вид используемых сжимающих функций, для упрощения оптимизации коллажа предложено использовать аффинные преобразования подобия, характеризующиеся одинаковым коэффициентом сжатия по каждой из координат пространства, в котором расположен аттрактор. Выбрана форма представления матрицы коэффициентов аффинного преобразования, основанная на произведении матриц вращения Гивенса. Результирующее аффинное преобразование

имеет вид

5* СОв 01

я-вше,- о о

-¿•эт 01 5-соб 0| О О О 0*0

0 0 0 5

0

соэ 02 -эт 02 0

0 0 Бтвг 0 СО Б 02 0 0 1

х

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 СОБ 03 БШ 63

0 0 — БШ е3 СОЭ 6;

х ХГ + [с\ с2 сЗ С4]1

где 01, 62,63-углы поворота, [с1 С 2 сЗ с4]^ - вектор смещения, "Т" - знак операции транспонирования, 5 - коэффициент сжатия.

Подобное представление позволило уменьшить число параметров коллажа, подвергаемых оптимизации, с 21 до восьми для каждого преобразования. Для упрощения задачи расположения элементов коллажа предложено осуществить предварительный, переход к пространству главных компонент.

Для построения фрактальной модели процесса предлагается использовать алгоритм случайных итераций, позволяющий получить не только сам аттрактор, но и временную последовательность отсчетов, обладающую теми же метрическими свойствами, что и изучаемый процесс, что может быть использовано при создании имитаторов сердечного ритма.

Разработана процедура оптимизации аффинного коллажа из четырех элементов для аттрактора сердечного ритма. Процедура основана на использовании градиентных методов. Невязка Н между исходным аттрактором и моделью составляет менее 8% от протяженности аттрактора в направлении наибольшего рассеяния точек. Дальнейшее уменьшение невязки, если это необходимо, требует увеличения числа элементов коллажа.

Процедура оптимизации параметров ИСФ аттракторов сердечного ритма требует весьма значительных временных и вычислительных затрат. С целью ускорения построения коллажа разработан квазиоптимальный метод определения параметров коллажа аттракторов сердечного ритма, основанный на характерных особенностях их формы.

Предлагаемый коллаж состоит из четырех элементов,. Первые два элемента коллажа направлены вдоль оси, соответствующей первой главной

компоненте, и характеризуются коэффициентом сжатия

' ^

= - 0.5 •

1 +

Л

где Ь\ - протяженность аттрактора в направлении первой главной компоненты; ¿2 - протяженность аттрактора в направлении второй главной компоненты. Смещение этих элементов относительно центра тяжести аттрактора вдоль оси первой главной компоненты составляет, соответствен-

но, Н—- (1 — ^ 1) и--- (1 — 51). Смещегшя первых двух элементов кол-

2 2

лажа вдоль остальных трех осей координат равны нулю. Третий и четвертый элементы коллажа имеют нулевые смещения относительно центра тяжести аттрактора вдоль всех главных компонент. Третий элемент характе-

¿2

ризуется коэффициентом сжатия .У3 =- и ориентирован вдоль оси вто-

А

рой главной компоненты. Четвертый элемент коллажа имеет коэффициент ¿3

сжатия 54 = — и ориентирован вдоль оси третьей главной компоненты. к

Применительно к рассмотренным ритмограммам невязка /г между исходным аттрактором и моделью, полученной при построении квазиоптимального коллажа не превышает 15% от протяженности аттрактора в направлении наибольшего рассеяния точек.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведены классификация и сравнительный,анализ современных методов исследования вариабельности сердечного ритма.

2. Исследована возможность применения традиционных методов теории нелинейных динамических систем для оценивания основных показателей хаотического поведения сердечного ритма. В качестве основных количественных показателей, позволяющих судить о наличии или отсутствии хаотического поведения в системе и степени его выраженности, выбраны нижняя граница размерности Хаусдорфа и нижняя граница энтропии Колмогорова, которые могут быть определены по измеренной ритмограмме. На примере анализа отображений, хаотические свойства которых известны, показано, что традиционные методы оценивания данных параметров позволяют получить достоверные результаты лишь при больших объемах выборочных данных (не менее 2000 отсчетов). При регистрации коротких реализации, что является традиционным для исследования сердечного ритма, общепринятые методы оценивания нижней границы размерности Хаусдорфа и нижней границы энтропии Колмогорова признаны неприменимыми.

3. Для оценивания основных показателей хаотического поведения при малых объемах выборочных данных разработаны алгоритмы, основанные на построении функции распределения вероятности расстояний между точками аттрактора динамической системы. Произведен анализ погрешности

предложенных алгоритмов. Показано, что получаемая погрешность в основном определяется объемом выборки и видом функции распределения вероятности расстояний между точками аттрактора.

4. Экспериментально определена размерность вложения аттракторов сер-дёчного ритма. Полученное значение, равное четырем, обусловливает выбор четвертого порядка динамической модели сердечного ритма.

5. Экспериментально исследованы показатели хаотического поведения реальных ритмограмм. Для исследованных ритмограмм оценки нижней границы размерности Хаусдорфа лежат в пределах от 2.75 до 3.96; оценки нижней границы энтропии Колмогорова - в пределах от 0.667 до 1.403. Полученные результаты позволяют предположить, что во многих случаях основные показатели хаотичности могут быть более чувствительными к состоянию сердечно-сосудистой системы, чем традиционно регистрируемые характеристики.

6. Исследовано влияние высокочастотного шума, вызванного ошибками формирования ритмограммы, на устойчивость применяемых алгоритмов. Показано, что для реализаций, в спектре мощности которых явно присутствует высокочастотный шум, вызванный ошибками формирования ритмограммы, предварительная фильтрация с помощью фильтра нижних частот позволяет повысить устойчивость оценок основных показателей хаотического поведения. Установлено, что частота среза подобного фильтра близка к 0.4 Гц.

7. Разработаны методы и алгоритмы для исследования хаотического поведения сердечного ритма, основанные на

- рассмотрении аттрактора в пространстве главных компонент;

- оценивании старшего показателя Ляпунова;

- определении фрактальной размерности ритмограммы. Произведены экспериментальное исследование данных характеристик для реальных ритмограмм и анализ их чувствительности по отношению к основным показателям хаотического поведения и традиционным показателям.

8. На основе теории фрактальной геометрии разработан метод идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма), позволяющий по аттрактору сердечного ритма решить обратную задачу фрактальных множеств. Используемый метод основан на построении аффинного коллажа.

9. Выбрана форма представления матриц аффинных преобразований, содержащая минимально возможное число ненулевых параметров. Обоснована возможность применения градиентных методов оптимизации параметров коллажа, а также разработан алгоритм оптимизации. Для упрощения задачи расположения элементов коллажа предложено осуществить предварительный переход к пространству главных компонент.

10. Теоретически обоснована эквивалентность динамической системы, порождающей сердечный ритм, и модели, заданной итерационной системой функций, реализующей аффинный коллаж.

11. С целью уменьшения временных и вычислительных затрат, неизбежных при полной оптимизации параметров аффинного коллажа, разработана квазиоптимальная процедура, позволяющая получить аффинный коллаж, состоящий из четырех элементов. Расположение и степень сжатия элементов коллажа определяются размерами исходного аттрактора и не требуют оптимизации. Для реальных ритмограмм экспериментально исследована невязка между исходным аттрактором и квазиоптимальным коллажем. Показано, что уменьшение невязки возможно при увеличении числа элементов коллажа и уменьшении коэффициентов сжатия.

12. Разработаны инженерные методики и программное обеспечение для определения показателей хаотического поведения и параметров динамической модели сердечного ритма.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пыко С.А. Анализ вариабельности сердечного ритма с позиций теории детерминированного - хаоса // Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций: Тез. дбкл. научн.-техн. конф.- Санкт-Петербург, 25-26 ноября, 1998,-С. 39-40.

2. Пыко С. А. Оценивание показателей хаотического поведения физиологических процессов при малых объемах выборочных данных // Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций: Тез. докл. научн.-техн. конф-Санкт-Петербург, 24-25 ноября, 1999-С. 109-111.

3. Пыко С.А. Нелинейные методы анализа сердечного ритма: Тез. докл. научн.-техн. конф.. НТОРЭС им. A.C. Попова.- Санкт-Петербург, 25 - 29 апреля, 2000 - С.22-23.

4. Алмазов В.А., Заславская О.М., С.А.Пыко, Ю.ДУльяницкий и др. Показатели вариабельности ритма сердца у больных гипертонической болезнью, взаимосвязь с параметрами гемодинамики и структурно-функциональным состоянием миокарда // Артериальная гипертензия.-1997,-N2,-С. 7-11.

5. A.C. 1466707 СССР, МКИ 4А61В5/02. Детектор R-зубца. /Бородин A.B., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. (СССР).- № 4285044/28-14; Заявл. 14.07.87; Опубл. 23.03.89, Бюл. №34.-С.Ю.

6. A.C. 1602450 СССР, МКИ 5 А61В5/02. Устройство контроля физической нагрузки./ Бородин A.B., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. (СССР).- № 4457863/30-14; Заявл. 11.07.88; Опубл. 30.10.90, Бюл. №40.- С.12-13.

.7. Богданович В.А., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. и др. Перспективы разработки робастных методов исследования вариабельности сердечного

ритма // Обработка сигналов и полей в радиотехнических устройствах и системах - СПб, 1997- С.3-8,- (Изв. ГЭТУ; Вып. 508).

8. Заславская О.М., Пыко С.А. Некоторые аспекты построения модели электрокардиосигнала // Обработка сигналов и полей в радиотехнических устройствах и системах.- СПб, 1997 - С. 18-21,- (Изв. ГЭТУ; Вып. 508).

9. Богданович В.А., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. и др. Статистические методы исследования вариабельности сердечного ритма // Радио и волоконно-оптическая связь: Тез. докл. научн.-техн. конф.- Воронеж, 22 - 24 апреля, 1997 - С.657 - 668.

Ю.Гулиев H.A., Давиденко Д.Н., Пыко С.А., Смирнов Б.И. и др. Методический прием и устройство для интегральной оценки функциональных резервов адаптации организма // Биомеханика на защите здоровья человека: Тез. докл. Всероссийской конференции-ярмарки,- Нижний Новгород, 9-12 ноября, 1992,- С. 70-71.

П.Богданович В.А., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. и др. Разработка и исследование методов оценивания спектральной структуры сердечного ритма // Физика и электроника в медицине и биотехнологии (ФРЭМБ-96): Тез. докл. II международн. научн.-техн. конф- Владимир, 21-23 мая, 1996.- С. 17-19.

12. Богданович В.А., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. и др. Программно-аппаратный комплекс для анализа спектральной структуры вариабельности сердечного ритма // Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 96 (ДИМЭБ-96): Тез. докл. научн.-техн. конф- Санкт-Петербург, 25-27 июня, 1996 - С. 276-278.

13. Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д., Шляхто Е.В. и др. Показатели вариабельности ритма сердца у больных гипертонической болезнью // Вариабельность сердечного ритма: Теоретические аспекты и практическое применение : Тез. докл. международн. симпозиума - Ижевск, 1996.

14. Богданович В.А., Заславская О.М., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. Исследование влияния частоты дискретизации электрокардиосигнала на точность спектрального анализа вариабельности сердечного ритма // Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97): Тез. докл. научн.-техн. конф- Санкт-Петербург, 1-3 июля, 1997- С. 283285.

15. Заславская О.М., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. и др. Система анализа вариабельности сердечного ритма человека: Тез. докл. международн. научн.-техн. конф. по мягким измерениям и вычислениям. - Санкт-Петербург, 22-26 июня, 1998 -С.246-248.

16. Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. Разработка и исследование алгоритмов для оценивания параметров хаотического поведения физиологических процессов: Тез. докл. четвертой Санкт-Петербургской ассамблеи молодых ученых и специалистов. - Санкт-Петербург, 2-10 декабря, 1999 - С.58.

Список сокращений и обозначений

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЕРДЕЧНОГО РИТМА

1.1. Проводящая система сердца. Сердечный ритм

1.2. Электрокардиосигнал. Формирование ритмограммы

1.3. Традиционные методы исследования ритмограммы во временной области

1.4. Спектрально - корреляционный анализ сердечного ритма

1.5. Нелинейные методы анализа сердечного ритма

1.6. Программно-аппаратный комплекс для измерения и ввода в персональный компьютер значений кардиоинтервалов

1.7. Постановка задачи

1.8. Выводы

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ХАОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СЕРДЕЧНОГО РИТМА

2.1. Описание аттрактора нелинейной динамической системы по одной реализации измеряемого процесса

2.2. Исследование границ применимости традиционного подхода к оцениванию показателей хаотического поведения динамической системы

2.3. Оценивание показателей хаотичности при малых объемах выборочных данных

2.4. Погрешность оценки основных показателей хаотического поведения при малых объемах выборочных данных

2.5. Экспериментальное исследование параметров хаотического поведения сердечного ритма

2.6. Экспериментальное исследование влияния высокочастотного шума на устойчивость оценок показателей хаотического поведения сердечного ритма

2.7. Выводы

3. МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ХАОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СЕРДЕЧНОГО РИТМА

3.1. Виды аттракторов сердечного ритма

3.2. Исследование аттракторов сердечного ритма методом главных компонент

3.3. Исследование динамических свойств аттракторов сердечного ритма

3.4. Исследование фрактальной размерности сердечного ритма

3.5. Выводы

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СЕРДЕЧНОГО РИТМА МЕТОДАМИ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

4.1 Обратная задача фрактальных множеств

4.2 Решение ОЗФМ методом аффинного коллажа

4.3 Об эквивалентности динамических систем

4.4 Оптимизация коллажа при решении ОЗФМ

4.5 Методы построения фракталов с помощью ИСФ

4.6 Экспериментальное исследование ИСФ аттракторов сердечного ритма

4.7 Выводы 163 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сердечно-сосудистая система человека является одной из наиболее сложных биологических систем и занимает основополагающее место с точки зрения обеспечения жизнедеятельности организма. Она чутко реагирует на малейшие изменения в состоянии внутренних органов и окружающей среда. Визуальное наблюдение электрокардиограммы пациента традиционно является одним из основных способов получения информации о ее состоянии. Наряду с этим в последние годы медицинские учреждения проявляют все больший интерес к методам автоматизированного контроля состояния сердечно-сосудистой системы человека. Инструментальный подход в кардиологии (как и в других отраслях медицины) традиционно базируется на сопоставлении некоторых количественных показателей, свойственных норме и различным патологиям. Диагностика при этом полностью опирается на соответствие измеряемых параметров данным, накопленным в результате предыдущего опыта и на выводы, полученные другими методами (клинические анализы, история болезни и т.д.). Так, например, благодаря многолетним наблюдениям кардиологов-практиков и исследователей стало известно, что определенные патологии сердечно-сосудистой системы приводят к специфическим изменениям формы электрокардиограммы (ЭКГ). Поэтому измерение взаимного положения, формы и размеров зубцов ЭКГ стало важнейшей составляющей процесса диагностики сердечнососудистых заболеваний. Развитие техники позволило наряду с ЭКГ фиксировать также последовательность временных интервалов между соседними сердечными сокращениями - ритмограмму. Процесс сопоставления параметров ритмограммы с другими данными о состоянии пациента привел к установлению явной связи между показателями вариабельности сердечного ритма и состоянием организма. Внедрение вычислительной техники в медицинские учреждения позволило расширить круг регистрируемых показателей ритмограммы, добавив к среднему значению частоты сердечных сокращений и пульсовой дисперсии спектральную плотность мощности (СПМ) сердечного ритма. Исследователями было замечено, а затем подтверждено большим статистическим материалом, что вид СПМ центрированной ритмограммы связан с определенными изменениями в состоянии сердца. Были предложены некоторые количественные параметры для оценки этих изменений. И лишь после того, как эти параметры были признаны в медицинских кругах, начались исследования их физиологического обоснования. Следствием подобного подхода является, например, тот факт, что не все особенности СПМ сердечного ритма имеют сейчас объяснение с точки зрения физиологии.

Таким образом, процесс признания тех или иных количественных параметров ценными с точки зрения диагностики основывается на сопоставлении этих параметров с иными имеющимися данными. При этом факт совпадения изменений регистрируемого показателя с изменениями сердечно-сосудистой системы, подтвержденными другими методами, является не менее существенным, чем физиологическое обоснование результатов измерений.

Участие специалистов в области математики и технических наук в решении диагностических задач должно быть направлено на разработку методики, алгоритмов и аппаратуры для наиболее достоверного оценивания тех процессов, которые протекают в сердце; извлечения максимального объема информации о его состоянии и выявления тех показателей, которые оказываются наиболее чувствительными к изменениям состояния сердечно-сосудистой системы.

Развитие отраслей медицины, анализирующих физиологические ритмы, традиционно связано с созданием математических моделей изучаемых ритмов. Так, например, известны модели дыхательного ритма, позволяющие объяснить его особенности; модели, описывающие изменение количества клеток крови во времени и многие другие. Обзор биологических ритмов и математических методов их описания приведен в [1]. Процесс моделирования физиологических ритмов развивается циклически. Признанная математическая модель некоторого процесса используется до тех пор, пока не выявляется ряд явлений, которые не имеют объяснения в рамках данной модели. Это приводит к усовершенствованию модели или построению ее на иных принципах. На основании предлагаемой модели получают набор регистрируемых параметров, используемых для диагностики. Чем больше показателей фиксируется, тем более достоверно может быть решена задача диагностики, так как разные показатели имеют различную чувствительность к конкретным патологиям.

Предполагаемая диссертационная работа посвящена проблеме идентифи- V лУ кации нелинейной динамической системы — сердца как генератора ритма. Решение подобной задачи должно опираться на свойства и физиологические характеристики сердца, а также на основополагающие свойства изучаемого процесса - сердечного ритма.

В отличие от традиционного подхода к исследованию сердечного ритма в рамках данной работы учитываются его хаотические свойства. Развиваемый в диссертационной работе подход означает, что ритмограмма рассматривается как хаотический детерминированный процесс, порождаемый нелинейной динамической системой.

Многочисленные исследования, проводимые в последнее десятилетие специалистами в области обработки физиологических данных математическими методами, позволили установить, что динамика многих физиологических процессов, протекающих в организме человека, является хаотической. Хаотические флуктуации наблюдаются не только в сердечном, но и в дыхательном ритме, в электроэнцефалографических данных, при исследовании количества лейкоцитов и содержания гормонов в крови человека, а также являются неотъемлемым свойством многих других процессов, управляемых нервной системой [1, 2]. Нелинейная хаотическая динамика дает организму много функциональных преимуществ. Системы, в которых проявляется детерминированный хаос, способны работать в широком диапазоне условий и поэтому легко адаптируются к изменениям окружающей среды. Хаотическое поведение внешне проявляется в вариабельности (изменчивости) регистрируемых данных. Уменьшение вариабельности, сопровождаемое четко выраженной периодичностью наблюдаемых данных, является проявлением патологических изменений в организме. Так, например, установлено {2], что вариабельность сердечного ритма уменьшается по сравнению с нормой за несколько минут, а иногда и за несколько месяцев перед внезапной остановкой сердца. Проявление хаотической динамики у здорового организма, конечно, не означает, что абсолютно все патологические изменения связаны с уменьшением хаотичности и проявлением повышенной регулярности. Однако своевременное измерение параметров хаотического поведения физиологических процессов может облегчить задачу диагностики состояния организма и уменьшить вероятность тяжелого заболевания или смерти пациента.

В связи с тем, что методики и алгоритмы, направленные на изучение вариабельности сердечного ритма, завоевали прочные позиции в клинической и исследовательской медицине, рабочая группа Европейского кардиологического общества и Северо-Американского общества стимуляции и . электрофизиологии разработала Рекомендации, регламентирующие характер и направления исследования ВСР [3].

В Рекомендациях, в частности, указывается, что спектрально-временные методы анализа вариабельности сердечного ритма (ВСР) к настоящему времени достаточно хорошо изучены и дальнейшие их усовершенствования должны быть направлены лишь на увеличение точности получаемых оценок и разработку программно-аппаратных средств для полностью автоматического измерения параметров ВСР. Вместе с тем, утверждается, что алгоритмы, направленные на исследование динамики кардиоинтервалов и переходных состояний ВСР разработаны недостаточно, в то время, как наличие подобных методов и алгоритмов могло бы существенно улучшить понимание процессов, приводящих к различным изменениям в сердечном ритме.

Согласно Рекомендациям Европейского Кардиологического общества и Северо-Американского общества стимуляции и электрофизиологии, изучение применимости методов нелинейной динамики для анализа вариабельности сердечного ритма, а также разработка математических моделей и алгоритмов для лучшей адаптации принципов измерений к физиологической природе сердечного ритма являются в настоящее время одними из наиболее приоритетных направлений исследований, что подтверждает актуальность темы данной диссертационной работы.

Актуальность работы подтверждается также тем, что ряд исследований проводился в рамках НИР РС-25 и РС-28, а также присуждением грантов для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов Санкт-Петербурга 1997 и 1998 гг и гранта СПбГЭ ТУ 1999-2000 гг.

При проведении исследований использовались аналитические методы теории нелинейных динамических систем, теории детерминированного хаоса, теории аффинных преобразований и фрактальной геометрии, а также методы имитационного моделирования.

Основные и промежуточные результаты были представлены на 11 Российских и международных конференциях [4-14], а также на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ 1995-1999 гг.

По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 2 авторских свидетельства.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

4.7. Выводы

Глава 4 диссертационной работы посвящена решению методами фрактальной геометрии задачи идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма) в широком смысле.

Идентификация нелинейной динамической системы в данном случае сводится к решению обратной задачи фрактальных множеств, заключающейся в том, чтобы по виду аттрактора сердечного ритма найти итерационную систему функций, посредством которой он может быть порожден. Обратная задача фрактальных множеств сформулирована в разделе 4.1. В разделе 4.2 рассмотрен метод ее решения, основанный на построении аффинного коллажа. Аффинный коллаж состоит из уменьшенных копий исходного аттрактора, подвергнутых преобразованиям поворота и смещения. В качестве невязки между исходным аттрактором и полученной моделью предложено использовать традиционно применяемую для этой цели метрику Хаусдорфа. Показано, что в соответствии с теоремой о коллаже, увеличивая число его элементов и уменьшая коэфициент сжатия, можно аппроксимировать исходный аттрактор с любой заранее заданной точностью.

В разделе 4.3 приведено теоретическое обоснование эквивалентности нелинейной динамической системы, порождающей сердечный ритм, и модели, заданной итерационной системой функций, реализующей аффинный коллаж.

В разделе 4.4 дано теоретическое обоснование и предложены практические рекомендации по реализации процедуры оптимизации аффинного коллажа. На основании теоремы о непрерывности обоснована допустимость использования градиентных методов оптимизации параметров коллажа. Ввиду того, что теорема о коллаже не накладывает ограничений на вид используемых сжимающих функций, для упрощения оптимизации коллажа предложено использовать аффинные преобразования подобия, характеризующиеся одинаковым коэффициентом сжатия по каждой из координат пространства, в котором расположен аттрактор. Выбрана форма представления матрицы коэффициентов аффинного преобразования, основанная на произведении матриц вращения Гивенса. Подобное представление позволило существенно уменьшить число параметров коллажа, подвергаемых оптимизации. Для упрощения задачи расположения элементов коллажа предложено осуществить предварительный переход к пространству главных компонент.

В разделе 4.5 рассмотрены два основных метода, применяемые для практического формирования фрактала, после того, как определены параметры аффинного коллажа. Для построения фрактальной модели сердечного ритма предложено использовать алгоритм случайных итераций, позволяющий получить не только сам аттрактор, но и временную последовательность отсчетов, обладающую теми же метрическими свойствами, что и изучаемый процесс.

В разделе 4.6 приведены результаты построения ИФС применительно к реальным ритмограммам. Ввиду того, что полная оптимизация параметров аффинного коллажа является весьма длительной и трудоемкой, разработана квазиоптимальная процедура, позволяющая получить аффинный коллаж, состоящий из четырех элементов. Расположение и степень сжатия элементов коллажа определяются размерами исходного аттрактора и не требуют оптимизации. Полученные значения невязки между исходным аттрактором и квазиоптимальным коллажем не превышают 15% от наибольшей протяженности аттрактора, что можно считать весьма приемлемым результатом. Показано, что дальнейшее уменьшение невязки возможно при увеличении числа элементов коллажа и уменьшении коэффициентов сжатия, что требует дополнительных временных и вычислительных затрат.

165

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью диссертационной работы являлось решение задачи идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма) на основе теории детерминированного хаоса. Под идентификацией динамической системы в работе понималось построение математической модели системы и вычисление ее параметров.

В отличие от традиционного подхода, в рамках данного исследования при построении модели сердечного ритма и разработке алгоритмов для оценивания ее характеристик учитывались хаотические свойства сердечного ритма. При этом ритмограмма рассматривалась как хаотический детерминированный процесс, порождаемый нелинейной динамической системой (сердцем как генератором ритма).

Проведенные исследования позволили получить следующие результаты.

1. Проведены классификация и сравнительный анализ современных методов исследования вариабельности сердечного ритма.

2. Исследована возможность применения традиционных методов теории нелинейных динамических систем для оценивания основных показателей хаотического поведения сердечного ритма. В качестве основных количественных показателей, позволяющих судить о наличии или отсутствии хаотического поведения в системе и степени его выраженности, выбраны нижняя граница размерности Хаусдорфа и нижняя граница энтропии Колмогорова, которые могут быть определены по измеренной ритмограмме. На примере анализа отображений, хаотические свойства которых известны, показано, что традиционные методы оценивания данных параметров позволяют получить достоверные результаты лишь при больших объемах выборочных данных (не менее 2000 отсчетов). При регистрации коротких реализации, что является традиционным для исследовании сердечного ритма, общепринятые методы оценивания нижней границы размерности Хаусдорфа и нижней границы энтропии Колмогорова признаны неприменимыми.

3. Для оценивания основных показателей хаотического поведения при малых объемах выборочных данных разработаны алгоритмы, основанные на построении функции распределения вероятности расстояний между точками аттрактора динамической системы. Произведен анализ погрешности предложенных алгоритмов. Показано, что получаемая погрешность в основном определяется объемом выборки и видом функции распределения вероятности расстояний между точками аттрактора.

4. Экспериментально определена размерность вложения аттракторов сердечного ритма. Полученное значение, равное четырем, обусловливает выбор четвертого порядка динамической модели сердечного ритма.

5. Экспериментально исследованы показатели хаотического поведения реальных ритмограмм. Для исследованных ритмограмм оценки нижней границы размерности Хаусдорфа лежат в пределах от 2.75 до 3.96; оценки нижней границы энтропии Колмогорова - в пределах от 0.667 до 1.403. Полученные результаты позволяют предположить, что во многих случаях основные показатели хаотичности могут быть более чувствительными к состоянию сердечно-сосудистой системы, чем традиционно регистрируемые характеристики.

6. Исследовано влияние высокочастотного шума, вызванного ошибками формирования ритмограммы, на устойчивость применяемых алгоритмов. Показано, что для реализаций, в спектре мощности которых явно присутствует высокочастотный шум, вызванный ошибками формирования ритмограммы, предварительная фильтрация с помощью фильтра нижних частот позволяет повысить устойчивость оценок основных показателей хаотического поведения. Установлено, что частота среза подобного фильтра близка к 0.4 Гц.

7. Разработаны методы и алгоритмы для исследования хаотического поведения сердечного ритма, основанные на

- рассмотрении аттрактора в пространстве главных компонент,

- оценивании старшего показателя Ляпунова;

- определении фрактальной размерности ритмограммы. Произведены экспериментальное исследование данных характеристик для реальных ритмограмм и анализ их чувствительности по отноше нию к основным показателям хаотического поведения и традиционным показателям.

В. На основе теории фрактальной геометрии разработан метод идентификации нелинейной динамической системы (сердца как генератора ритма), позволяющий по аттрактору сердечного ритма решить обратную задачу фрактальных множеств. Используемый метод основан на построении аффинного коллажа.

9. Выбрана форма представления матриц аффинных преобразований, содержащая минимально возможное число ненулевых параметров. Обоснована возможность применения градиентных методов оптимизации параметров коллажа, а также разработан алгоритм оптимизации. Для упрощения задачи расположения элементов коллажа предложено осуществить предварительный переход к пространству главных компонент.

Ю.Теоретически доказана эквивалентность динамической системы, порождающей сердечный ритм, и модели, заданной итерационной системой функций, реализующей аффинный коллаж.

11.С целью уменьшения временных и вычислительных затрат, неизбежных при полной оптимизации параметров аффинного коллажа, разработана квазиоптимальная процедура, позволяющая получить аффин

168 ный коллаж, состоящий из четырех элементов. Расположение и степень сжатия элементов коллажа определяются размерами исходного аттрактора и не требуют оптимизации. Для реальных ритмограмм экспериментально исследована невязка между исходным аттрактором и квазиоптимальным коллажем. Показано, что уменьшение невязки возможно при увеличении числа элементов коллажа и уменьшении коэффициентов сжатия.

12.Разработаны инженерные методики и программное обеспечение для определения показателей хаотического поведения и параметров динамической модели сердечного ритма.

1. Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: ритмы жизни: Пер. с англ.- М.: Мир, 1991.-248 с.

2. Goidberger A.L., Rigney D.R., West B.J. Chaos and fractals in human physiology // Scientific American. -1990. -N2.-P. 35-41.

3. Рекомендации. Вариабельность сердечного ритма. Стандарты измерения, физиологической интерпретации и клинического использования // Вестник аритмологии.- 1999.- N11.- С. 53-78.

4. Богданович В.А., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. и др. Статистические методы исследования вариабельности сердечного ритма // Радио и волоконно-оптическая связь: Тез. докл. научн.-техн. конф.- Воронеж, 22 24 апреля, 1997.-С.657-668.

5. Ю.Заславская О.М., Пыко С.А., Ульяницкий Ю.Д. и др. Система анализа вариабельности сердечного ритма человека: Тез. докл. международн. научн.-техн. конф. по мягким измерениям и вычислениям. Санкт-Петербург, 22-26 июня, 1998 .- С.246-248.

6. Пыко С.А. Анализ вариабельности сердечного ритма с позиций теории детерминированного хаоса // Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций: Тез. докл. научн.-техн. конф- Санкт-Петербург, 25-26 ноября,1998.-С. 39-40.

7. Пыко С. А. Оценивание показателей хаотического поведения физиологических процессов при малых объемах выборочных данных // Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций: Тез. докл. научн.-техн. конф Санкт-Петербург, 24-25 ноября, 1999-С. 109-111.

8. С.А.Пыко. Нелинейные методы анализа сердечного ритма: Тез. докл. научн.-техн. конф. НТОРЭС им. А.С. Попова Санкт-Петербург, 25 - 29 апреля, 2000- С.22-23.

9. Баевский P.M., Газенко О.Г., Вожов Ю.Н. и др. Математические методы оценки сердечного автоматизма и их применение в космической медицине// Проблемы вычислительной диагностики: Сб. ст.-Л.: Наука, 1969 С. 7-15.

10. Жемайтите Д.И. Ритмограмма как отражение особенностей регуляции сердечного ритма // Ритм сердца в норме и патологии: Сб. ст.- Вильнюс, Каунасский Медицинский институт, 1970 С. 99-111.

11. Wolf М.М., Varigos G.A., Hunt D., Sloman J.G. Sinus arhithmia in acute myocardial infarction // Med J Australia.-1978.- N2.- P. 52-53.

12. Ewing D. J., Martin C.N., Young RJ.m Clarke B.F. The value of cardiovascular autonomic function tests: 10 years experience in diabetes // Diabetic Care.-1985.-N8.-P. 491-498.

13. Жемайтите Д.И., Kycac В., Янушкевичус 3. Автокорреляционный и спектральный анализ синусового ритма сердца // Cor Vasa, Ed. Ross 1973-N15(2).-С. 108-120.

14. Bigger J.T., Fleiss J.L et al. Frequency domein measures of heart period variability and mortality after miocardial infarction // Circulation 1992 - N85-P. 164-171.

15. Баевский P.M. Физиологические измерения в космосе и проблемы их автоматизации. М.: Наука, 1970.-194 с.

16. Баевский P.M. Прогнозирование состояния на грани нормы и патологии. -М.: Медицина, 1978,- 128 с.27 .Heart rate variability. Standards of measurements, physiological interpretation, and clinical use // Europian heart journal 1996 - N17 - P. 354-381.

17. Рябыкина Г.В., Соболев A.B. Анализ вариабельности ритма сердца // Кардиология.- 1996.-N10.-С. 87-98.

18. Барабанов C.B. и др. Физиология сердца: Учебное пособие/ под ред. Б.И. Ткаченко. СПб: Специальная литература, 1998. -128 с.

19. Справочник по клинической электрокардиографии / Вечерский Г.А., Баранов Л.Г., Лисютин В.Г. Мр.: Беларусь, 1985.-79 с.

20. Физиология человека. Учебник для институтов физической культуры. Изд. 5-е. Под ред. Н.В.Зимкина. М.: Физкультура и спорт, 1975.-496 с.

21. Бала Ю.М., Никитин А.В., Фуки В.Б. Атлас практической электрокардиографии. Воронеж: изд-во Воронежского Университета, 1983.- 125 с.

22. Титомир Л.И. Электрический генератор сердца. М.: Наука, 1980.-c.371.

23. Баум О.В., Дубровин Э.Д. Физико-математическая модель генеза электрокардиограмм // Биофизика.- 1971 -Т. 16 N5- С.898-903.

24. Иванов Г.Г., Смитнев А.С., Простакова Т.С. и др. Поздние потенциалы и спектрально временное картирование предсердного зубца Р у больных с пароксизмальной формой мерцательной аритмии // Кардиология- 1996-N11- С.28-41.

25. Иванов Г.Г., Смитнев А.С., Простакова Т.С. и др. Поздние потенциалы предсердий// Кардиология 1996-N11.- С.42-49.

26. De Vel О. Y. R-wave detection in the presence of muscle artifakts // IEEE Trans Biomed Eng.-1984,- V. BME-11.- P.715.

27. Кардиомониторы. Аппаратура непрерывного контроля ЭКГ: Учеб. пособие для вузов . Под ред. А.Л.Барановского, А.П.Немирко. -М.: Радио и связь, 1993.

28. Калиниченко А.Н. Петров Г.А. Двумерное представление QRS комплексов при обработке ЭКГ // Радиоэлектроника в медицинской диагностике: Докл. третьей международн. научн.-техн. конф. - Москва, 29 сент. - 1 окт., 1999-С. 99-103.

29. Калиниченко А.Н. Алгоритм обнаружения желудочкового комплекса ЭКГ-Л., 1990-С. 50-55-(Изв. Ленингр. электротехн. ин-та; Вып.428).

30. Friesen G.M., Jannett Т.С. et al. A comparison of noise sensitivity of nine QRS detection algorithms // IEEE Trans Biomed Eng.- 1990.- V.37.- P.85-98.

31. A.C. 1466707 СССР, МКИ4А61В5/02. Детектор R-зубца. /А.В.Бородин, С.АПыко, Ю.Д.Ульяницкий (СССР).- № 4285044/28-14; Заявл. 14.07.87; Опубл. 23.03.89, Бюл. №34.- С.10.

32. A.C. 1602450 СССР, МКИ5 А61В5/02. Устройство контроля физической нагрузки./ А.В.Бородин , САПыко, Ю.Д.Ульяницкий (СССР).- № 4457863/30-14; Заявл. 11.07.88; Опубл. 30.10.90, Бюл. №40.- С.12-13.

33. Березный Е.А., Рубин А.М. Практическая кардиоритмография. С.Пб.: НПО «Нео», 1997.-120 с.

34. Соболев A.B., Лютикова Л.Н., Рябыкина Г.В. и др. Вариация ритмограммы как новый метод оценки вариабельности сердечного ритма // Кардиология.-1996- N4- С.47-52.

35. Баевский P.M., Барсукова Ж.В., Берсенева А.П. и др. Оценка функционального состояния организма на основе математического анализа сердечного ритма. Владивосток, 1987.-60 с.

36. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения/ пер. с англ. под ред. И.С. Рыжака. -М.:Мир, 1990 584 с.

37. Harris F. J. On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier Transform //IEEE Proc.- 1978,- V.66.- P. 51-83.

38. Berger R.D., Akselrod S., Gordon D., Cohen R.J. An efficient algorithm for spectral analysis of heart rate variability // IEEE Trans Biomed Eng.- 1986-N33.-P. 900-904.

39. Богданович B.A., Пыко C.A., Ульяницкий Ю.Д. и др. Перспективы разработки робастиых методов исследования вариабельности сердечного ритма // Обработка сигналов и полей в радиотехнических устройствах и системах.- СПб, 1997.-С.3-8.-(Изв. ТЭТУ; Вып. 508).

40. Babloyantz A., Destexhe A. Low-dimentionai haos in an instance of epilepsy // Proc. Natl. Acad. Sci. -1986.-N83.-P. 3613-3517.

41. Борисов В.И., Боровков H.H., Матусова А.П., Рейман А.М. Программа комплексного автоматизированного анализа изменений синусового ритма.

42. Автоматизация в медицине и экологии: Тез. докл. международн. Научн.-техн. конф- Самара, 1991- С. 31-33.

43. Истомина Т.В., Е.А.Ломтев, О.А.Скотникова. Хаотическая динамика в нарушениях сердечного ритма // Мед. техника 1999.-N1 - С. 34-35.

44. Yamamoto Y, Hughson R.L. On the fractal nature of heart rate variability in humans: effects of data length and beta-adrenergic blockade // Am j Physiol.-1994.- Jan, 266 (1 Pt 2).- R. 40-49.

45. Yamamoto Y, Nakamura et al. On the fractal nature of heart rate variability in humans: effects of vagal blockade // Am j Physiol. -1995.- Oct, 269(4 Pt 2).-R.830-837.

46. Signoroni M.G. Cerutti S., Guzetti S., Parola R. Non-linear dynamics of cardiovascular variability signals // Methods Inf Med. -1994.- Mar, 33(1).- P. 81-84.

47. Yeragani V.K., Srinevasan К et al. Fractal dimension of heart rate time series: an effective measure of autonomic function // J Appl Physiol 1993, Dec 75(60).- P. 2429-2438.

48. Chau N.P., Chanudet X., et al. Fractal dimension of heart rate and blood pressure in healthy subjects and in diabetic subjects // Blood Press. - 1993- Jun, 2(2).-P. 101-107.

49. Бакусов, Зулкарнеев Исследование фрактальных характеристик ритма сердца // Вестник новых медицинских технологий.- 1997 Т.4.- N3.- С. 6769.

50. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988240 с.

51. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San Francisco, 1982.

52. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. Freeman, San Francisco, 1977.

53. Пайтген X.-0., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. Пер. с англ. М.: Мир, 1993-176 с.

54. Grassberger P., Procaccia I. On the Characterization of Strange Attractors I I Phys. Rev. Lett.- 1983.-V.50.

55. Т.С.Паркер, Л.О.Чжуа. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР.- 1987.- Т.75.- N8.- С. 6-40.

56. Farmer J.D. Information Dimension And The Probabilistic Structure Of Haos // Z. Naturforsh.- 1982.-N37a.-P.l 304-1321.

57. Shannon C.E., Weaver W. The Mathematical Theory Of Information, University of III. Press. Urbana, 1949.

58. Takens F. Lecture Notes In Math. Springer, Heidelberg New York, 1981, p.898.

59. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov Entropy from a Chaotic Signal // Phys. Rev.-1983,-N29A.- P.2591-2599.

60. Hentshel H.G., Procaccia I. The Infinite Number of Dimension of Probabilistic Fractals and Strange Attractors // Physica.- 1983.- 8D.- P.435-441.

61. Ben-Mizrachi A.,Grassberger P., Procaccia I. The Characterization of Experimental (Noisy) Strange Attractors // Phys. Rev.- 1984.-29A.- P. 975-983.

62. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений. Л.: Энершатомиздат, 1986,256 с.

63. Мельников А.В. Идентификация объектов на основе фрактальных моделей нелинейной динамики. Автореф. канд. дисс., Санкт Петербургский государственный технический университет, Санкт -Петербург, 1998.

64. Дубров А.М. Обработка статистических данных методом главных компонент. М.: Статистика, 1978 - с.98.

65. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Пер. с англ. -М.: Финансы и статистика, 1986. -366 с.

66. Morrison D.F. Multivariate Statistical Methods. New York: Mc Graw-Hill, 1976.

67. Мун Ф., Хаотические колебания, M.: Мир, 1990.

68. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. УМН, 1977 - Т.32 - С. 4, 55.86 .Н. Kantz. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett.- 1991.- A185.- P.77-87.

69. M.T.Rosenstein, J.J.Collins, C.J.De Luka. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica- 1993- D 65 P. 117-123.

70. Б. Мандельброт. Фракталы h возрождение теории итераций // Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. Пер. с англ. М.: Мир, 1993.- 176 с.

71. Barnsley M.F., Fractals Everywhere, Academic Press, New York, 1988.

72. Bassingthwajght J.B., Rajmond G.M. Evaluation of the dispersional analysis method for fractal time series // Ann. Biomed. Eng.- 1995- Jul-Aug- 23(4).- P. 491-505.

73. Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Сов. Энциклопедия, 1988. - 847 с.

74. Пархоменко А.Н. «Детерминированный хаос» и риск внезапной сердечной смерти // Тер. Архив. 1996.- N4(68).- С.43-44.

75. Дьюни Ф.К., Аффинное преобразование и фрактальные структуры // В мире науки,- 1990.-N7,- С. 82-86.

76. Abenda S., Local moments and inverse problem // Inverse problems- 1992-V.8.-P. 739-750.

77. Barnsley M.F., Sloan A.D. A better way to compress images // Byte- 1998-V.13.-N1.-P. 215-224.178

78. Barnsley M.F., Harringt A.N. The calculus of fractal interpolation functions // Journal of approximation theory 1989- V.57.-N1 - P.14-34.

79. Clarke R.J. Fractals and Image representation // Electronics & Communication Engineering Journal.- 1990.- V.5.-N4.- P. 233-239.

80. Егорова С.Д., Кириллов А.Л. Цифровое кодирование изображения радужной оболочки методами фрактальной компрессии: Тез. докл. научн.-техн. конф. НТОРЭС им. А.С. Попова Санкт-Петербург, 25 - 29 апреля, 2000.-С.63-64.

81. Hutchinson J.E. Fractals and self-similarity // Indiana University Journal of Mathematics.-1981.- V.30.- P. 713-747.

82. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления: Пер. с англ.- М.: Мир, 1999.- 548 с.

83. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. -М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1988.- 552 с.

84. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ.- М.: Мир, 1989655 с.

85. Sxx( 1 )=sum(gl .*gl)-stmax*mean(gl )*mean(gl); Sxx(2)==sum(g2.*g2)-stmax*mean(g2)*mean(g2): Sxx(3 )i=sum(g3. *g3 )-stmax*mean(g3 )*mean(g3); Sxx(4)=sum(g4.*g4>stmax*mean(g4)*mean(g4);for nr=l:nmax

86. Sxy(l)=sum(gl .*yl )-stmax*mean(g 1 )*mean(y 1):

87. Sxy(2 )=sum(g2. *y2)-stmax*mean(g2)*mean(y2);

88. Sxy(3 )=sum(g3. *y3 )-stmax*mean(g3 )*mean(y3);

89. Sxy(4)=sum(g4.*y4)-stmax*mean(g4)*mean(y4);1. D2(m)=Sxy(m)/Sxx(m);dispCOiieHKH D2 для разм 1 4');disp(D2(m));end;b03=mean(y3)-D2(3)*mean(g3);b04=mean(y4)-D2(4)*mean(g4);1. K2=b03-b04;dispCOueHKa энтропии K2');disp(K2);

90. Хауедорфова размерность disp('D2 при d =1');

91. S1 xx^sum(vl. *vl )-j 1 *mean(vl )*mean( vl ); Slxy=sum(vl ,*wl )-j 1 *mean(vl )*mean(wl ); D2(l)=Slxy/Slxx; disp(D2(l));

92. BB(l)=mean(wl )-D2(l)*mean(vl); disp('D2 при d =2');

93. S2xx=sum(v2 *v2)-j2*mean(v2)*mean(v2);

94. S2xy=sum(v2.*w2)-j2*mean(v2)*mean(w2);1. D2(2>=S2xy/S2xx;disp(D2(2));

95. BB(2)=mean(w2)-D2(2)*mean(v2); disp('D2 при d =3');

96. S3xx=sum(v3. *v3 )-j3 *mean(v3 )*mean( v3); S3xy=sum(v3. * w3 )-j3 *mean(v3 )*mean( w3 ); D2(3 )=S3xy/S3xx; disp(D2(3));

97. BB(3)=mean(w3)-D2(3)*mean(v3); disp('D2 при d =4');

98. S4xx=sum(v4. * v4)-j4*mean(v4)*mean( v4);

99. S4xy=sum(v4.*w4)-j4*mean(v4)*mean(w4);1. D2(4)=S4xy/S4xx;disp(D2(4));

100. BB(4)=mean(w4)-D2(4)*mean(v4); disp('D2 при d =5');

101. S5xx=sum(v5. * v5 )-j 5 *mean( v5 )*mean( v5 ); S5xy=sum(v5. * w5 )-j 5 *mean(v5 )*mean(w5 ); D2(5)=S5xy/S5xx;189disp(D2(5));

102. BB(5 )=mean( w5 )-D2(5)*mean(v5 );

103. ГргтЙЗТазмах по 3 координате %д\п',тах(г2)-шт(г2));ргтЙ('Размах по 4 координате %§\п',тах(гЗ)-тт(гЗ));а=зог1(г);а1=80г1(г1);а2=80г1(г2);аЗ=зог1(гЗ);