Идентификация математических моделей работы двигательной установки по результатам испытаний

Перемысловская, Анна Георгиевна

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Идентификация математических моделей работы двигательной установки по результатам испытаний

кандидата технических наук: Перемысловская, Анна Георгиевна
город: Ижевск
год: 2008
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Идентификация математических моделей работы двигательной установки по результатам испытаний»

Автореферат диссертации по теме "Идентификация математических моделей работы двигательной установки по результатам испытаний"

На правах рукописи

ПЕРЕМЫСЛОВСКАЯ АННА ГЕОРГИЕВНА

УДК 553.6+ 519.6+ 629.7

003452БЫ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАБОТЫ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ

Специальность

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ; 05.07.05 - Тепловые, электроракетные двигатели и энергетические установки летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 /. Г-Тг

Ижевск - 2008

003452661

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Алиев А.В.

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент

Мищенкова О.В.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор, Храмов Сергей Никитич;

доктор технических наук, профессор Ерохин Борис Тимофеевич

Ведущая организация:

Институт прикладной механики УрО РАН (г. Ижевск)

Защита диссертации состоится " 12 " декабря 2008 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.065.04 в ГОУ ВПО Ижевском государственном техническом университете по адресу:

426069, Ижевск, ул. Студенческая, 7, тел./факс: (8-3412)-589185, e-mail: mov@istu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО ИжГТУ и на официальном сайте ИжГТУ: www.istu.ru

Автореферат разослан " J/ " Ок>гп 2008 г.

Учёный секретарь диссертационного сове доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные регулируемые двигательные установки (ДУ), используемые в составе летательных аппаратов, - это сложные технические устройства, экспериментальная отработка которых требует значительных материальных затрат. Актуальным является в максимальной степени замена части экспериментальной отработки ДУ на проведение проектных исследований с использованием технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Достоинством технологии математического моделирования является возможность проведения анализа функционирования проектируемого объекта в широком спектре варьируемых конструктивных параметров, что позволяет уже на первых этапах проектирования установить их оптимальный набор.

Моделирование работы твердотопливной регулируемой двигательной установки (в дальнейшем - ТРДУ) предполагает описание нескольких одновременно протекающих процессов. Это процессы, сопровождающие работу воспламенительного устройства, зажигание твердого топлива, разгар топливного заряда, термогазодинамические и тепловые процессы, обусловленные горением твердого топлива и истечением продуктов его сгорания из камеры двигателя, процессы регулирования параметров ТРДУ. Математические модели перечисленных процессов могут быть построены с использованием фундаментальных законов механики и представлены в виде систем уравнений в частных производных. Однако применение подобных моделей в настоящее время оказывается неприемлемым, что обусловлено их повышенными требованиями к ресурсам (память, быстродействие) используемой вычислительной техники, в том числе, и бортовых ЭВМ. В связи с этим актуальным является представление отдельных элементов математической модели работы ТРДУ в виде относительно простых зависимостей, записываемых как системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений, как системы обыкновенных дифференциальных уравнений и т.п. Для получения подобных представлений элементов математических моделей корректным является применение методов идентификации, опирающихся на надежные экспериментальные результаты.

Актуальным также представляется анализ возможности применения разработанных математических моделей для исследования влияния различных конструктивных факторов на качество работы ТРДУ.

Цель работы состоит в создании эффективных методов и алгоритмов формализации процессов функционирования ТРДУ и его элементов на основе данных натурного эксперимента, а также обоснование применения полученных математических зависимостей в комплексной математической модели функционирования двигательной установки, что позволяет повысить качество проектирования ТРДУ при значительном сокращении материальных затрат, связанных с экспериментальной отработкой подобных двигателей.

Для достижения цели требуется решить следующие задачи:

- установить состав математических моделей, запись которых целесообразно выполнять с использованием эксперимента;

- сформулировать математические методы, обеспечивающие идентификацию моделей с использованием результатов эксперимента, и обосновать их выбор;

- разработать алгоритмы и программные продукты, реализующие методику идентификации математических моделей;

- апробировать разработанные подходы и методики для анализа качества функционирования ТРДУ.

Объектом исследования являются динамические процессы, сопровождающие работу ТРДУ от момента ее включения до завершения работы.

Предметом исследования являются математические методы идентификации моделей функционирования ТРДУ и ее элементов с использованием результатов экспериментальных исследований, а также апробация созданных математических моделей при анализе качества функционирования ТРДУ.

Методы исследования. При решении задач идентификации используются апробированные математические методы. Методы восстановления функций, заданных таблично (численное интерполирование и численное дифференцирование), используются при формализации связи рулевой машины ТРДУ с расходными характеристиками сопловых блоков, а также при формализации законов изменения поверхности горения твердого топлива как функции сгоревшего свода. При установлении законов регулирования и законов нестационарного горения топлива используются основные положения теории математического программирования и методы оптимизации. При формализации влияния воздействия случайных факторов на параметры функционирования ТРДУ используются элементы теории вероятности и математической статистики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается сравнением расчетов с результатами экспериментов. Для решения сформулированных задач используются надежные, апробированные вычислительные методы.

На защиту выносятся:

- методики аппроксимации экспериментальных табличных зависимостей, связывающие расходные характеристики ТРДУ с площадью минимального сечения соплового блока, а также табличных зависимостей, описывающих изменение поверхности горения топливного заряда как функции сгоревшего свода;

- основанная на применении методов математического программирования методика определения коэффициентов, входящих в закон регулирования параметров ТРДУ, а также методика формализации законов нестационарного горения твердого топлива;

- методика моделирования воздействия случайных факторов на качество регулирования ТРДУ;

- результаты численных расчетов, полученные с использованием разработанных моделей, построенных по материалам экспериментов.

Научная новизна диссертационного исследования и результатов, полученных лично автором, заключается в следующем:

методики аппроксимации экспериментальных табличных зависимостей базируются на применении кубических сплайн-функций и обеспечивают высокую точность при проведении расчетов, связанных с интерполированием и с численным дифференцированием восстановленных функциональных зависимостей;

- методика, основанная на применении методов математического программирования и использующая экспериментальные результаты натурного моделирования, обеспечивает качественную формализацию законов, входящих в математическую

модель работы ТРДУ. В частности, установлены оптимальные значения коэффициентов, входящих в закон регулирования давления в камере сгорания ТРДУ, при использовании которых отличие зависимости давления в камере сгорания от его программного значения несущественно. Показана возможность применения методики при формализации закона нестационарного горения твердого топлива;

- созданная методика моделирования стохастических процессов в ТРДУ обеспечивает анализ воздействия случайных факторов на качество работы ТРДУ на первом нерегулируемом этапе ее работы (используется воспроизводимый алгоритмически метод статистических испытаний) и на регулируемом этапе (моделируются возмущения уровня давления в камере сгорания ТРДУ, снимаемые датчиками давления);

- созданная математическая модель функционирования ТРДУ обеспечивает проведение качественного анализа рабочих процессов в камере сгорания двигателя в течение всего рабочего периода, в том числе, и при воздействии случайных факторов, подчиняющихся нормальному закону распределения;

- расчетами установлено, что система регулирования обеспечивает заданное качество работы ТРДУ при наличии возмущающих факторов, воздействующих на уровень давления в камере сгорания, значения которых могут составлять до 5% от номинального уровня давления;

- показано, что воздействие возмущающих факторов периодического характера в камере сгорания могут индуцировать «биения» давления (в расчетах установлено, что при возмущающей частоте колебаний 10 Гц в камере возникают «биения» с частотой 2 Гц);

- установлено, что по мере увеличения внутреннего объема камеры сгорания (в связи с выгоранием твердого топлива) влияние возмущающих факторов на термогазодинамические параметры в ТРДУ ослабевает.

Полученные результаты являются новыми.

Практическая значимость. Разработанные математические методы идентификации моделей по результатам натурных экспериментов, алгоритмы и методики используются в составе комплексной математической модели функционирования ТРДУ и позволяют исследовать динамику развития процессов при различных конструктивных особенностях двигателя и в широком спектре исходных данных по геометрии, по параметрам воспламенительного устройства, по геометрии топливного заряда и т.п. Созданные методики позволяют вести с достаточной для практики точностью прогноз развития внутрикамерных процессов, прогнозировать возможность срыва закона регулирования. Применение перечисленных методик, в целом, позволяет повысить качество проектирования ТРДУ при значительном сокращении материальных затрат, связанных с экспериментальной отработкой подобных двигателей.

Реализация работы состоит в выполнении НИОКР, связанных с проектированием и отработкой ТРДУ и отдельных его элементов в отраслевых предприятиях. Кроме того, материалы, связанные с расчетом ТРДУ, предложены для включения в курсы лекций по дисциплинам «Математическое моделирование», и «Специальные двигатели» (направление 160100 «Авиа- и ракетостроение»),

читаемых на машиностроительном факультете Ижевского государственного технического университета.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований, содержащиеся в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- Международные конференции по внутрикамерным процессам и горению в установках на твердом топливе и ствольных системах (1СЮС-2005, г. Москва, 11-13 июля 2005 г., 1СОС-2008, г. Санкт-Петербург, 8-10 сентября 2008 г.);

- XVI Международная научно-техническая конференция СО-МАТ-ТЕСН 2006, г. Трнава (Словакия), 19-20 октября 2006 г.;

- Всероссийская научно-техническая конференция «Фундаментальные основы баллистического проектирования», г. Санкт-Петербург, 23-26 июня 2008 г.;

- периодические конференции и семинары в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

В полном объеме работа докладывалась на семинарах в ГОУ ВПО Ижевском государственном техническом университете.

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в 5 научных статьях, в 2 отчетах по НИОКР. В изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации основных результатов работы, опубликовано 2 статьи.

Личное участие автора состоит в постановке задач исследования, в разработке математических моделей функционирования ТРДУ, в выборе и модификации используемых вычислительных алгоритмов. При личном участии автора выполнялся постановка, анализ и обработка результатов экспериментальных исследований.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, изложенных на 157 страницах, содержит 45 рисунков и библиографический список, включающий 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснуется актуальность задачи, связанной с созданием и совершенствованием математических моделей функционирования твердотопливных ракетных двигателей, в том числе, и ТРДУ (рис. 1), формулируются цели и задачи исследования. В связи со сложностью ТРДУ как технического объекта в настоящее время не удается обеспечить применение наиболее точных математических моделей, основанных на пространственном представлении процессов с учетом фундаментальных законов механики и теплофизики. Компромиссным решением для практики является построение относительно простых математических моделей, основанных на системах алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, построенных с использованием методов идентификации с учетом экспериментальных результатов. В вопросах, связанных с созданием ТРДУ и математических моделей их функционирования, следует отметить вклад многих отечественных предприятий. В частности, это ФГУП «Московский институт теплотехники», ГРЦ «КБ им. В.П. Макеева» (г. Миасс), НПО «Искра» (г. Пермь),

НПО «Алтай» (г. Бийск), НПО «Союз» (г. Люберцы), НПОА (г. Екатеринбург), НИИАП (г. Москва) и др. Отмечается существенный вклад в создание математических моделей функционирования управляемых двигателей таких ученых (и их научных школ) как Лагутин Б.Н., Шишков A.A., Ерохин Б.Т., Липанов A.M., Федосов Е.А., Лавров Л.Н., Соколовский М.И, Петренко В.И., Феофилактов В.И., Бобылев В.М., Присняков В.Ф. и др.

В первой главе диссертации («Методы идентификации математических моделей по экспериментальным результатам») рассматривается объект исследования - твердотопливная регулируемая двигательная установка (ТРДУ), конструктивная схема которой представлена на рис. 1. В состав ТРДУ входит воспламенительное устройство 1, содержащее трубчатую шашку воспламенительного состава, горение которой обеспечивает поступление во внутренний объем двигателя 2 горячих продуктов сгорания. Продукты сгорания шашки воспламенительного состава прогревают корпус 3 и топливный заряд 4. Топливо после зажигания горит со скоростью, определяемой давлением продуктов сгорания в объеме двигателя и скоростью изменения давления. Продукты сгорания твердого топлива из камеры поступают в газоход 5 и в предсопловой объем двигателя 6, а после разрушения сопловой заглушки 7 — в управляющие сопловые блоки 8. Расход продуктов сгорания через сопловые блоки ТРДУ, начиная с некоторого заданного момента времени, регулируется устройством 9. Продукты сгорания, поступающие в объем камеры 2, далее распределяются в сопловые блоки 8. После разрушения сопловых заглушек изменение площади минимального сечения в сопловых блоках осуществляется постоянно, вплоть до окончания работы ТРДУ в соответствии с заданным законом регулирования давления в камере ТРДУ рпр (?).

Рисунок 1 - Конструктивно-компоновочная схема ТРДУ

1 - воспламенительное устройство; 2- свободный объем камеры двигателя; 3 -корпус камеры; 4 - топливный заряд; 5 - газовод; б—регулятор расхода продуктов сгорания; 7 - сопловая заглушка; 8 - сопловой блок; 9 - рулевой привод

Для решаемой задачи сформулированы допущения и записаны математические модели работы ТРДУ, включающие в свой состав уравнения термогазодинамических процессов в расчетных областях ТРДУ, модели изменения поверхности горения топливного заряда. Модель включает в свой состав системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Уравнения, входящие в математическую модель, решаются совместно при заданных начальных и граничных условиях.

Отмечается, что математическая модель газодинамических процессов в регуляторе расхода газа, содержит комплекс - эффективную площадь

сопловых блоков, определяемую экспериментально как функцию угла поворота <р вала регулятора расхода газа. Применение процедур линейного интерполирования

зависимости (¡jF)c = fjF(tp) не позволяет установить значения производных

d(p

d2(uF)c „

и — ■) • Тем не менее, требования по повышению точности решения задач о d<p

внутрикамерных процессах в ТРДУ, делает необходимым определение значений отмеченных производных. Записанное выше в отношении табличных значений (pF)c = /uF(<p) остается справедливым и при работе с другими табличными зависимостями, устанавливаемыми экспериментально или теоретически. В частности, это определение зависимости поверхности горения твердого топлива как

функции сгоревшего свода - S(e), определение производных —, и др. В ряде

de de г

случаев закон изменения скорости горения твердого топлива как функция уровня рабочего давления в камере сгорания ТРДУ представляется также таблицей.

При построении математической модели работы узлов регулирования ТРДУ используются компоненты пропорционального и интегрального регулирования. В модель регулирования включаются уравнения, связывающие площадь минимального сечения сопловых блоков с углом поворота вала регулятора расхода рулевой машины, уравнения для величины сигнала, вырабатываемого системой управления рулевой машиной и др. Входящие в уравнения регулирования эмпирические коэффициенты имеют табличный вид. Отмечается, что значения эмпирических коэффициентов, входящих в модели регулирования, следует устанавливать идентификацией с применением результатов экспериментальных исследований. Для выполнения идентификации целесообразно использовать методы математического программирования.

Для регулируемых двигателей высокие требования предъявляются к моделям нестационарной скорости горения твердого топлива при переменном давлении в камере сгорания ТРДУ. Модели нестационарной скорости горения могут быть построены с использованием передаточных функций, либо с использованием уравнения теплопроводности в твердом материале. Методы математического программирования могут быть применены и в этих задачах. С использованием косвенных экспериментальных результатов могут быть найдены неизвестные

коэффициенты и зависимости, входящие в модели нестационарной скорости горения.

На работу ТРДУ оказывают влияние многочисленные возмущающие факторы. Отмечается, что оценку влияния возмущающих факторов можно выполнить с использованием аппарата теории вероятности и математической статистики.

Созданная методика расчета процессов в ТРДУ предполагает решение задач на ПЭВМ. В первой главе приводится описание разработанных программных средств по расчету процессов в ТРДУ. Пакет программ WINDOWS - ориентированный и имеет развитый интерфейс. Алгоритмы расчета основаны на применении математических моделей трех типов:

- в виде дифференциальных уравнений, базирующихся на законах сохранения массы, энергии и количества движения;

построенных в аналитическом или табличном виде на основании экспериментальных исследований;

- построенных с использованием аппарата передаточных функций, конкретная форма которых устанавливается с использованием теоретических или (и) экспериментальных исследований.

Во второй главе («Модели процессов, восстановленные по результатам экспериментов, представленных таблицами») рассматриваются пути решения задач аппроксимации данных, представленных таблицами. Проведенный анализ показал, что моделирование процессов функционирования ТРДУ требует применения ряда зависимостей, получаемых в результате трудоемкого расчета или экспериментально и представленных таблицами. Из-за ограниченности вычислительных ресурсов бортового оборудования летательных аппаратов до настоящего времени в расчетах при работе с функциями, представленными таблично, применяются простые алгоритмы линейного интерполирования. Недостатком методов линейного интерполирования является невозможность применения их для расчета производных от табличной функции. Из всех известных методов интерполирования функций, заданных таблично, выделяются интерполирование полиномами Лагранжа и ортогональными функциями, интерполирование методом неопределенных коэффициентов и интерполирование сплайн-функциями.

Проведенные расчеты показали, что наиболее удобными в использовании, в том числе и в программных средствах бортовых ЭВМ, являются методы, основанные на применении кубических сплайнов. Задача построения кубических сплайнов формулируется следующим образом:

- пусть имеется некоторая функция f(x), значения которой /, известны для дискретных значений х, (; = 1, N; х{ <х2<... < хы). Построить систему кубических функций ql(x) = kil + + k3lx 4- x , (/' = 1, N -1), в которой коэффициенты кь ,k2i, k3l Д4, определяются из условий, что в узловых точках х, (точках сопряжения) функция f(x) не терпит разрыва. Кроме того, непрерывными в точках сопряжения остаются первая и вторая производные функции /(х).

Если принять, что значения вторых производных на левой и правой границах таблиц равны нулю, то сформулированная задача может быть записана в виде

следующей системы линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов кь, к2п к3,, к41: + 3*, • /сщ = 0, ку+х,-к2, +х*-къ, +х?-к4, = /,, / = 1,^-1,

+ " ^21 + ■х/+1 " + Л|+1 " 1 = /<+1> ' = 1' N ~ 1, к2, + 2х, • къ, + Зл,2 • ¿4, - ¿2,1+1 _ 2*1+1" ¿3,1+1 _ Зд:,2+1 • ¿4 (+, =0, / = 2, N -1, ¿з, + Зх, ■ к4, - ¿з,+] - Зх,+1 • ¿4,+] =0, = 2, Л' -1, ^3,ЛГ-1 + ' = 0 •

Система (4Л^-4) уравнений для (4ЛГ - 4) неизвестных значений (уравнения (2.5)) коэффициентов , ¿2,, к3:, ¿4( имеет единственное решение, которое может быть найдено стандартными вычислительными процедурами.

На рис. 2 представлена зависимость — (/= — безразмерная величина

Л (^)тах

расходного комплекса, х = —^— - безразмерное значение угла поворота вала

«'шах

регулятора расхода газа), восстановленная с использованием линейного интерполирования (кривая 1), полиномов Лагранжа (кривая 2) и кубических сплайнов (кривая 3). Для построения функции /(х) использовалось 11 табличных значений, установленных по результатам экспериментов.

Выполненные расчеты (в том числе, и представленные на рис. 2) показывают, что применение кубических сплайнов обеспечивает высокие по точности значения интерполируемой функции и ее первой и второй производных. В то же время вычислительная трудоемкость (количество арифметических операций и трудоемкость программной реализации) интерполирования кубическими сплайнами ниже, чем при использовании полиномов Лагранжа. В бортовой ЭВМ летательного аппарата нет необходимости воспроизводить весь алгоритм расчета кубическими сплайнами. Коэффициенты кь, к2п к3п к4п используемые в расчетах, могут быть вычислены предварительно, а их значения - введены в программную часть бортовой ЭВМ.

Применение полиномов Лагранжа при большом числе табличных значений (более одиннадцати) показало, что погрешность при восстановлении функций и ее производных становится недопустимо высокой.

Третья глава диссертации - «Модели процессов, восстановленные с использованием методов математического программирования». Задачи математического программирования - удобный инструмент при построении математических моделей по результатам экспериментальных исследований. Постановка таких задач предполагает задание целевой функции Ф(х1,х2,...,хп), экстремальное значение (минимум или максимум) которой необходимо обеспечить, выбором значений поисковых параметров х1,х2,...,х„. Значения поисковых параметров, обеспечивающие оптимальное значение целевой функции Ф(х{,х2>...,х„), называются стационарной точкой.

В работе рассматриваются две задачи, формулируемые как задачи математического программирования и возникающие при моделировании процессов в ТРДУ:

- определение коэффициентов, входящих в закон регулирования давления в камере сгорания ТРДУ;

- определение коэффициентов, входящих в закон для определения нестационарной скорости горения твердого топлива.

Обе задачи по классификации относятся к задачам нелинейного программирования и преобразованием поисковых параметров приводятся к задачам безусловной минимизации. Решение задач осуществляется методом деформируемого многогранника и методом Ньютона. Тестирование выбранных методов решения задач оптимизации осуществлялось решением задачи для функции Розенброка.

Решение первой задачи (о выборе коэффициентов, входящих в закон регулирования) выполнялось для закона регулирования, записанного в виде:

^^^.О+Жч^-^-Ч+^-'^-ОЛ. (1)

¿стах Рпр(0 (<к ~'о) <„ Рпр(0

Здесь Зс((),дстах - величина сигнала, вырабатываемого системой управления ТРДУ, и максимально возможное значение этого сигнала; /0,/к - начало и окончание процесса регулирования. Вид функций /0(а0,/), /1(а1,а2,(),-/2(д3,0, входящих в записанный закон регулирования, и значения коэффициентов в этих законах устанавливаются, исходя из требований по качеству процессов

регулирования ТРДУ. Вполне приемлемым требованием по качеству регулирования является наибольшее соответствие фактически реализуемой в камере ТРДУ зависимости от времени давления продуктов сгорания p(t) программной зависимости p„p{t).

Обоснованный выбор коэффициентов, входящих в функциональные зависимости f0(a0,t), /,(at,а2,0.'/г(аз>0> может быть выполнен решением следующей задачи оптимизации:

- установить значения коэффициентов, входящих в зависимость (1) и обеспечивающих минимум целевой функции Ф(а0,ах,а2,ау), определяемой в виде 'к

Ф(а0 ,alta2,a3)=] (p(t) - р„р О))2 dt.

'о

В последней зависимости коэффициенты ай,аьа2,аъ - поисковые параметры, предельные значения которых (минимальные и максимальные) задаются при решении задачи, i0, tk - начальное и конечное значения времени, внутри которых осуществляется поиск оптимальных значений коэффициентов a0,at,a2,a3. Зависимость p(t) устанавливается решением задачи внутренней баллистики ТРДУ (с учетом регулирующих воздействий), а зависимость pnp(t) задается на основании

программы функционирования ТРДУ.

В решаемой модельной задаче примем, что функциональные зависимости /о(<%.О, /i(«1 t),-f2(а3,/) имеют следующий вид:

/0(а0,О = а0; -1,0 <aQ< 1,0;

У,(a,,а2,t) = а, + • J Рпрdt; 0,0<а1<1,0; 0,0<а2 <100,0; (2)

1к~{0 'о Рпр шах

f2(a3,t) = a2\ 0,0<а3 <10,0.

Коэффициенты ай,ах,а2,а3, входящие в уравнения (2), имеют ограничения. Чтобы решаемая задача стала задачей безусловной оптимизации, следует выполнить, например следующее преобразование коэффициентов а^,ах,а2,аъ -

ß _ max min )__

(«,-«/шах)"(«,-«,min)

Решение сформулированной задачи безусловной оптимизации в созданном программном комплексе по расчету внутренней баллистики ТРДУ выполняется методом деформируемого многогранника. Оптимальное решение для коэффициентов а0,а{,а2,аъ с достаточной для практики точностью обеспечивается при относительно небольшом количестве итераций (не более 15 итераций, поиск оптимальных значений коэффициентов осуществлялся при значениях /0 = 0 с, tK = 4 е.). Расчеты показали, что оптимальными являются значения коэффициентов а0«0,0; « 0,30; а2 « 6,2; а3 « 0,25. В дальнейшем полученные значения коэффициентов а0,аиа2,а3 использовались на всем временном интервале работы ТРДУ.

Проверка разработанной модели процессов в ТРДУ, включающей зависимости по закону регулирования, полученные при решении задачи оптимизации, была выполнена сравнением расчетных и экспериментальных зависимостей изменения давления р(!) в камере сгорания ТРДУ. Эксперименты и расчеты выполнены при следующих основных исходных данных:

- первоначальная температура элементов конструкции ТРДУ - 268 К;

- первоначальное давление воздуха в камере сгорания ТРДУ - 0,0981 МПа;

- масса воспламенительной шашки - 0,25 кг;

- твердое топливо баллиститное с температурой зажигания - 650 К;

- величина внутреннего объема камеры сгорания ТРДУ - 0,0125 м3;

- первоначальная площадь поверхности горения топлива - 0,20 м2;

- программное значение давления на начальном этапе ТРДУ - 3,0 МПа;

- начало работы узла регулирования - / < 4 с.

Эксперименты проводились с использованием многоцелевого стендового ракетного двигателя на твердом топливе, предназначенного для испытаний регулируемых РДТТ с массой до 500 кг. При проведении экспериментов использовались тензометрические датчики ЛХ 412/250, установленные на корпусе камеры сгорания ТРДУ. Тензометрический датчик давления ЛХ412/250 предназначен для измерения быстроменяющихся давлений жидких и газообразных сред в частотном диапазоне от 0 до 1500 Гц. Паспортная погрешность датчика составляет не более 4%. Измерение давления в камере сгорания ТРДУ проводилось в соответствии с требованиями ГОСТ В-21898-76.

1т*" ГГ|

\1 1 п 1

\ V. \

0,0 <0,0 20,0 30,0 40,0 |,с

Рисунок 3 - Сравнение расчетных и экспериментальных зависимостей давления с запрограммированным законом изменения давления

На рис. 3 приводятся программное (сплошная толстая линия), экспериментальное (представлен на графике тонкой линией, отмеченной заштрихованными квадратами) и расчетное (на графике представляется тонкой линией, отмеченной окружностями) значения давления в камере сгорания ТРДУ. Результаты расчетов представляются вполне удовлетворительными и хорошо согласуются с экспериментальными результатами. Отличие расчетной зависимости изменения давления в камере ТРДУ от запрограммированного значения давления относительно невелико и меньше, чем отличие экспериментальной зависимости от программного значения. Этот факт может быть объяснен, например, наличием инструментальных ошибок в системе измерения внутрикамерного давления.

Выполненный цикл исследований (работа ТРДУ при других законах p„p{t), при

других значениях /0 и др.) позволяет сделать следующие выводы о качестве используемых математических моделей и об особенностях функционирования ТРДУ:

- наибольшее отличие всех трех зависимостей p(t), представленных на рис. 3, наблюдается в период времени до включения системы регулирования, на начальном этапе работы ТРДУ. Начальный этап характеризуется совместной работой воспламенительного устройства и топливного заряда и является самым напряженным периодом работы для системы регулирования. Поэтому выбор момента времени, в который включается система регулирования, является принципиальным и требует отдельного исследования;

- значения коэффициентов а0,а{,а2,аъ, входящих в закон регулирования (1), являются функцией принятого на начальном этапе работы ТРДУ значения рабочего давления в камере сгорания;

- существенное влияние на качество переходных процессов оказывает вид функций /о (а0,/), /[ (al, а2, t),-f2 (а3, t), используемых в законе регулирования.

В качестве примера на рис. 4 приводятся результаты расчета влияния зависимости p(t), полученные при различных значениях коэффициента а.\, на качество протекания регулируемого процесса в камере сгорания ТРДУ (а, = var, соответственно, ci\ =0.30, 0.11, 0.08). Анализ приведенных результатов расчетов показывает, что наилучшие результаты (совпадение кривых p(t) и Р„р (')) обеспечиваются при значениях коэффициента d\, полученного при решении задачи оптимизации. Такой же вывод получен в диссертации по результатам исследования влияния коэффициентов а0,а2,ai на качество процесса регулирования.

При определении нестационарной скорости горения твердого топлива на практике может использоваться модель, записанная в виде передаточной функции

£U Л2

Рисунок 4 - Изменениер(0 при различных значениях коэффициента а{

(ах =0.30, 0.11,0.08)

Здесь и = -——, Р = ———-; и, р,ибаз, р6аз - скорость горения топлива, давление и

«&» Рба,

их базовые значения. Коэффициенты с0,сис2,с1й,с1{,(12, входящие в функциональную зависимость скорости горения топлива от давления, могут быть

установлены при известных экспериментальных зависимостях и^кс = и(р, ^^, /)

или 11экс = и(Р, 0 • Формулирование задачи о нахождении коэффициентов с0,сх,с2,с1о,^,^, входящих в уравнение (1), как задачи математического программирования предполагает запись целевой функции, выбор поисковых параметров и системы ограничивающих условий. Значения £/(/), полученные из решения уравнения (1) и значения иэкс(1) при правильно выбранных значениях коэффициентов с0, С[, с2, с!х, с12 должны в максимальной степени совпадать. Это требование позволяет записать целевую функцию в решаемой задаче в виде

Ф = -±---'1\и(1)-ижсп(0\-Л или Ф = _!—'¡(и«)-иэ1:с„(0)2-ж. Решение задачи

'к 'о /0 К ~ Ч /0

обеспечивается при минимальном значении целевой функции Ф. Поисковыми параметрами в задаче являются значения коэффициентов с0, сь с2, с10,с1х, с/2 ■ Границы изменения коэффициентов - вещественные числа, и для произвольного из

шести коэффициентов а могут быть записаны ограничения - amax >a> amin.

Рассматриваемая задача об установлении закона нестационарной скорости горения сводится к задаче безусловной оптимизации преобразованием переменной а к новой переменной А, удовлетворяющей условию оо > А > -со. Связь переменных а и А может быть установлена, например, в виде

А=

(e-«m,„M а-атах)

В работе рассмотрена и другая модель, позволяющая вычислить нестационарную скорость горения твердого топлива. Эта модель основана на решении уравнения теплопроводности, записанного в подвижной системе координат (начало системы координат совпадает с поверхностью горящего топлива):

.дТ дГ. д.дТ. ...

ср(--ы"г~) = —^ —' (4)

et ах дх дх

В уравнении обозначено - t,x - время и пространственная координата, направленная по нормали к поверхности топлива, р,с,Х - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности топлива, Т,и - температура топлива в его прогретом слое и скорость горения.

Уравнение (4) решается при начальных - Г(х,0) = ТН и граничных -

= _^ условиях. Скорость горения твердого топлива

устанавливается, если известен закон для температуры на поверхности горения твердого топлива - Ts = Ts (р).

Задачу о нахождении зависимости Ts=Ts(p) сформулируем следующим образом:

- пусть зависимость температуры Ts на поверхности топлива от давления р

продуктов сгорания может быть представлена в виде Ts =Т{-АТ-———. Здесь

Pi~P\

Pi, р2 - заданные значения давления, а величина давления р удовлетворяет условию р1>р>р2• Установить значения температур Т{,АТ, входящих в зависимость для температуры Ts, если известна эмпирическая зависимость для скорости горения топлива uKC(t), соответствующая давлению в камере сгорания двигателя, которое изменяется по заданному закону p(t).

Решение задачи как задачи оптимизации может быть выполнено следующим образом:

- поисковыми параметрами задачи оптимизации будем считать значения температур Тх, AT, удовлетворяющие условиям Г1тах >7j >7jmin, ДГгаах > ДГ >ЛГтт;

- в качестве целевой будем рассматривать функцию Ф = min —^

'l ucm

В целевой функции величина нестационарной скорости горения твердого топлива u(t) устанавливается решением уравнения (4) с записанными выше начальными и граничными условиями. В граничных условиях величина теплового потока qs

Р(0 = А~

является функцией переменного давления - д5(р) = Ртстист (р)'^Ар)~Та)\ &

В работе приводится пример решения тестовой задачи, в которой в качестве эмпирической зависимости имс(/) использовалась зависимость нестационарной скорости, соответствующая медленно изменяющемуся давлению в камере сгорания

л! V —■ /У^ у /тп

и следующая из теории Зельдовича-Новожилова - и = ысот -(1 + ——------—). В

Р и; Л

г ст

последней формуле к, // - коэффициенты, устанавливаемые из экспериментов, соответствующих стационарно горящему топливу, % - коэффициент температуропроводности топлива. Решение тестовой задачи выполнялось методом Ньютона. Оптимальное решение получено за 8 итераций, при этом произошло уменьшение целевой функции Ф от первоначального значения Ф« 0.4666-Ю-2 с до Ф»0.0841-Ю-2 с.

В четвертой главе диссертации («Модели стохастического анализа процессов регулирования параметров ТРДУ») рассматриваются вопросы, связанные с анализом влияния стохастических факторов на качество внутрикамерных процессов в объеме камеры сгорания ТРДУ. Необходимость анализа влияния стохастических факторов на функционирование ТРДУ обусловлено недетерминированным характером протекания отдельных процессов в камере сгорания. Так, скорость горения твердого топлива, изменение поверхности горения твердого топлива - результаты стохастического процесса горения. Унос теплозащитных материалов и, как следствие, изменение геометрических размеров газовых магистралей, деталей соплового блока - стохастический процесс. Подобных примеров можно было бы привести много.

В работе анализ влияния стохастических факторов на отклонения внутрибаллистических параметров выполняется на этапе до включения системы регулирования и на этапе после ее включения. Для анализа развития отклонений внутрибаллистических параметров на этапе до включения системы регулирования применяется метод статистических испытаний. В соответствии с этим методом для всех рассчитываемых внутрибаллистических параметров накапливается статистика. Статистика формируется проведением серии расчетов, и для каждого из выполняемых расчетов при задании исходных данных учитывается их случайный характер. Конкретные значения исходных данных, имеющих случайный характер, вычисляются с использованием алгоритмов генерирования случайных чисел. При очередном цикле вычисляются более 200 случайных чисел, которые используются при подготовке очередных исходных данных. Такой вариант реализации метода статистических испытаний в максимальной степени моделирует натурное (физическое) моделирование, в котором число экспериментов ограничено и может не превосходить нескольких десятков. Для получения приемлемых для практики результатов достаточно выполнить 50.. 100 статистических испытаний на ПЭВМ.

Анализ выполненных расчетов показывает, что отклонения давления (и, как следствие, дисперсии) являются функцией времени, и это объясняется тем, что на

разных этапах работы ТРДУ влияние на разбросы оказывают различные факторы (горение только воспламенительного состава, совместное горение воспламенительного состава и топлива, горение только твердого топлива). Следует отметить, что в отличие от результатов, характерных для нерегулируемых РДТТ, в ТРДУ увеличение значений отклонений и дисперсий происходит в нарастающем во времени режиме и после завершения работы системы воспламенения. Этот результат закономерен и является следствием закона горения твердого топлива, применяемого в регулируемых двигателях (высокие значения показателя степени v в законе горения, - v > 0,85). После включения системы регулирования отклонения и дисперсии будут значительно снижены, однако следует учитывать, что накапливающиеся разбросы параметров ТРДУ могут оказать влияние на стартовые условия включения регулируемого двигателя.

Наиболее простым способом оценить влияние стохастических факторов на качество работы ТРДУ в период регулирования параметров является представление рабочего давления в камере сгорания p(í) как стохастической функции p(t) = p(t) ■ (1 + 8'{t)). Здесь /5(0 - математическое ожидание значения давления, которое устанавливается решением детерминированной системы уравнений внутренней баллистики, S'(t) - случайная функция. Учитывая дискретный характер работы рулевой машины ТРДУ, можем рассматривать величину S'(t) как случайную величину 8', математическое ожидание которой М(<3') = £' = 0, а среднеквадратическое отклонение as этой случайной величины удовлетворяет нормальному закону распределения. Значение as в расчетах выбиралось таким образом, чтобы выполнялось условие | S'(t) |< <5тах.

На рис. 5, 6 приводятся результаты расчетов внутрибаллистических процессов в ТРДУ для случаев, когда давление в камере сгорания устанавливается с поправкой 5'. На рис. 5 величина ¿>max =1%, а на рис. 6 Sm,ix = 2%. На рисунках кривая 1 соответствует «невозмущенному» закону p(t) (величина максимального программного значения давления - ртях = 5,0 МПа), кривая 2 - соответствует изменению давления в камере при наличии возмущений при том же давлении ртт, кривая 3 построена для варианта с возмущениями давления, но при ртйх = 9,0 МПа. Анализ показывает, что влияние случайных отклонений давления при выбранных законах регулирования ТРДУ не оказывает существенного влияния на зависимость p(t). Тем не менее, влияние возмущений на разных временных интервалах работы ТРДУ имеет отличия. Наиболее существенно влияние возмущений на первых программных участках работы ТРДУ (время работы ТРДУ от 5 до 8 секунд). В дальнейшем влияние возмущений ослабляется. Возмущения на участках нарастания или падения давления (переходных участках программного давления) практически не сказываются на характере зависимости p(t). Увеличение уровня программного давления до 9 МПа (кривые 3) приводит к повышению роли возмущений в работе ТРДУ. Характер зависимостей p(t), представленных на рис. 5 и 6 качественно совпадает.

Р!

1 ✓1 ! 1 я

нгаюо з «жато 2000000 0 ао 1 ; 1 1 1 1

1 ! I [

п ! 1 | 1Г\\

1 I

1 1 1 1 1

1 \ п 1 1 V

\ 1 \ . 1 1 \

00 100 20 0 30 0 40 0 *

Рисунок 5. Зависимости давления в камере сгорания от времени, <5т„ = 1%

Р.МПа

8,0

6.0 4.0 2.0 0,0

0,0 40,0 20.0 30,0 40.0 1С

Рисунок 6. Зависимости давления в камере сгорания от времени, ¿>т„ = 2%

На рис. 7 приводятся результаты анализа влияния стохастических возмущений на работу ТРДУ на начальном этапе его функционирования. В расчетах амплитуда возмущений принималась Зтах-5%, а величина свободного объема камеры Ио = 0,040 м3 (в работе выполнен анализ при значениях свободного объема 1У0 = 0,010...0,080 м3). Представленные результаты (для трех вариантов шашки, используемой в составе системы воспламенения, - етах = уаг) и другие расчеты, выполненные в диссертации, позволяют сделать вывод о том, что при оптимальных значениях коэффициентов в выбранном законе регулирования, возмущающие факторы не оказывают существенного влияния на параметры рабочего процесса в ТРДУ, особенно при больших значениях свободного объема.

2 гЯЧх 3

/ •■ - Чу

/ /

1 У /

Рисунок 7. Изменение давления в камере сгорания в начальный период работы ТРДУ, ¿>тах = 5%, = 0.040 м3,етях = уаг

В диссертации приводятся результаты расчетов и для случаев, когда величина <5'(0 - периодическая функция. Расчеты показали, что влияние периодических возмущений на уровень давления в камере сгорания в наибольшей степени проявляется на первых этапах работы (до 8 с времени работы ТРДУ). В последующем влияние возмущений ослабляется, и это обусловлено увеличением свободного объема камеры сгорания двигателя. На переходных этапах изменения давления влияние периодических возмущений практически отсутствует. Анализ показывает, что в рассмотренных частотных интервалах возмущающего воздействия, наибольшее влияние на работу ТРДУ оказывают периодические возмущения с частотой 10 Гц (рис. 8). При этих частотах в камере сгорания ТРДУ инициируются «биения» с частотой ~2 Гц. Для практики - это важный результат.

0Ц \ П

I I I ! | : I

I i I | 2 I i 3 s—

МЦ I \п п /I

l i \

Ч..г„ I I

I \ \

\\ п ч

1 V

Рисунок 8 - Зависимости давления в камере сгорания от времени 8так = 2%

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Рассмотрены математические методы, позволяющие вести обработку экспериментальных результатов, а результаты математической обработки использовать при создании комплексной математической модели функционирования ТРДУ. Из всех математических методов выделяются методы аппроксимации табличных функций с использованием вычислительных методов, методы математического программирования и методы оптимизации, стохастические методы, позволяющие учесть вероятностный характер внутрикамерных процессов.

2. При обработке экспериментальных результатов, представленных таблицами, используются методы аппроксимации, основанные на применении кубических сплайн-функций. К достоинствам этих методов следует отнести возможность выполнения численного дифференцирования с высокой точностью. Показана высокая эффективность методов на примере обработки результатов экспериментов для зависимости расходного комплекса (juF)c от угла поворота вала регулятора расхода и на примере обработки зависимости S(e) - площади поверхности горения топливного заряда как функции сгоревшего свода.

в закон регулирования параметров ТРДУ. Вторая задача - определение зависимости температуры на поверхности горящего топлива как функции давления продуктов сгорания Тх{р) по результатам экспериментальных исследований нестационарной скорости горения твердого топлива.

Применение методов математического программирования позволило установить значения коэффициентов, входящих в закон регулирования давления в камере сгорания ТРДУ. Значения коэффициентов установлены по результатам изменения давления в камере сгорания на начальном этапе работы двигателя ((< 4 с), -наиболее напряженном периоде работы. Расчетами показано, что рассчитанные таким образом значения коэффициентов обеспечивают высокое качество регулирования ТРДУ в течение всего периода его работы. Приводятся примеры расчетов, в которых показано, что отказ от оптимальных значений коэффициентов приводит к снижению качества регулирования в отдельные периоды работы двигателя.

Сформулирована задача оптимизации, позволяющая установить законы нестационарного горения твердого топлива. В одном из вариантов задачи целевая функция строится с использованием решения нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, записанного для прогретого слоя твердого топлива. Разработанные алгоритмы решения сформулированной задачи апробированы на решении тестовой задачи - установление зависимости Тт(р) по результатам известных экспериментальных зависимостей для нестационарной скорости горения твердого топлива.

4. Предложена методика учета стохастического характера рабочих процессов в ТРДУ. На нерегулируемом участке работы ТРДУ стохастические характеристики устанавливаются методом статистических испытаний. Показано, что для топлив, используемых в ТРДУ, рост дисперсий происходит и в квазистационарные режимы работы двигателя, что обусловлено высокими значениями коэффициента V, входящего в закон горения топлива (V > 0,85).

Методика расчета возмущений на регулируемом участке работы ТРДУ основана на учете поправки к значению расчетного давления в камере сгорания (математическому ожиданию) стохастической составляющей заданной амплитуды, математическое ожидание которой равно нулю. Показано, что при оптимально выбранных коэффициентах в законе регулирования, качество работы ТРДУ остается высоким и при воздействии стохастических и периодических возмущений. Кроме того, установлено, что увеличение уровня программного давления приводит к росту отклонений давления от его математического ожидания. Установлено, что с ростом свободного объема камеры сгорания влияние стохастических возмущений уменьшается.

5. Численными расчетами показано, что при воздействии возмущающих факторов периодического характера в камере двигателя могут индуцироваться колебания давления продуктов сгорания меньшей частоты (возникают «биения»). В расчетах получены «биения» с частотой 2 Гц при частоте возмущающих воздействий 10 Гц.

НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Перемысловская А.Г., Алиев A.B., Черепова Е.В. Особенности функционирования ТРДУ на начальном этапе работы // Интеллектуальные системы в производстве, 2008. - №1 (11). С. 10-16.

2. Перемысловская А.Г., Алиев A.B., Черепова Е.В. Анализ начального участка работы ТРДУ // Химическая физика и мезоскопия, 2008. Т. 10. №1. С. 5 -11.

3. Перемысловская А.Г., Алиев A.B., Черепова Е.В., Мищенкова О.В. Идентификация математических моделей работы ТРДУ с использованием экспериментальных результатов // Вестник ИжГТУ, 2008. №2. С. 45 - 47.

4. Перемысловская А.Г., Мищенкова О.В. Модели работы регулируемого РДТТ при воздействии случайных возмущений // Всероссийская научно-техническая конференция «Фундаментальные основы баллистического проектирования», Санкт-Петербург, 23-26 июня 2008 г. СПб.: изд. Балт. ГТУ, Т. 1. - 2008. С. 141 -144.

5. Перемысловская А.Г., Мищенкова О.В. Анализ влияния возмущений на процессы в ТРДУ // Труды 6-ой Всероссийской конференции по внутрикамерным процессам и горению в установках на твердом топливе и в ствольных системах, Санкт-Петербург, 8-9 сентября 2008 г. Ижевск: изд. ИПМ УрО РАН. - 2008.

6. Анализ процессов запуска ТРДУ с учетом динамических характеристик свободного объема ДУ по результатам экспериментальных и теоретических работ. Часть 1. Отчет по ОКР / А.Г. Перемысловская, A.B. Алиев, О.В. Мищенкова и др. Ижевск: ИжГТУ, 2005. 145 с.

7. Анализ процессов запуска ТРДУ с учетом динамических характеристик свободного объема ДУ по результатам экспериментальных и теоретических работ. Часть 2. Отчет по ОКР / А.Г. Перемысловская, A.B. Алиев, О.В. Мищенкова и др. Ижевск: ИжГТУ, 2007.77 с.

О 7

Отпечатано на оборудовании М - факультета ИжГТУ, г. Ижевск, ул. Студенческая,7, тел. (83412)-589185 Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз.

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Перемысловская, Анна Георгиевна

Перечень сокращений, условных обозначений, единиц и терминов

Введение

Глава 1 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ РЕЗУЛЬТАТАМ

1.1 Моделирование термогазодинамических процессов в ТРДУ

1.1.1 Описание процессов и принимаемые допущения

1.1.2 Уравнения газодинамических процессов в объеме ТРДУ

1.2 Моделирование скорости горения на переходных режимах работы ТРДУ

1.3 Математические модели регулирования параметров ТРДУ

1.4 Программная реализация методики расчета процессов в ТРДУ 46 Выводы по главе

Глава 2 МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ, ВОССТАНОВЛЕННЫЕ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ

ТАБЛИЦАМИ

2.1 Методы приближения функций

2.2 Применение сплайн-функций для восстановления табличных функций 63 Выводы по главе

Глава 3. МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ, ВОССТАНОВЛЕННЫЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1 Постановка задач, возникающих при моделировании как задач выбора и задач оптимизации

3.2 Методы решения задач математического программирования

3.3 Применение методов оптимизации для расчета коэффициентов в законе регулирования давления в камере сгорания ТРДУ

3.4 Применение методов оптимизации для расчета коэффициентов в модели для определения нестационарной скорости горения

Выводы по главе

Глава 4. МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ

РЕГУЛИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ТРДУ

4.1 Возмущающие факторы, воздействующие на рабочие процессы в ТРДУ. Общие положения

4.2 Развитие возмущающих факторов на начальном этапе работы ТРДУ

4.3 Развитие возмущающих факторов на основном этапе работы ТРДУ

Выводы по главе

Введение 2008 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Перемысловская, Анна Георгиевна

В процессе своей деятельности исследователю приходится заниматься изучением сложных систем, к которым можно отнести системы из самых разных областей естествознания и техники. Изучение подобных систем требует привлечения больших материальных ресурсов, которые не всегда оказываются доступными. Стремление решить исходную задачу требует ее упрощения. Такое упрощение может быть достигнуто в том случае, когда удается пренебречь отдельными свойствами системы, несущественными на том или ином этапе изучения этой системы. Свойства упрощенной системы полностью не воспроизводят свойства исходной системы. Однако достойных альтернатив методам изучения сложных систем, связанных с упрощением исходной постановки задачи, нет, и поэтому такие методы широко применяются в практической деятельности.

Технология изучения сложной системы, связанная с ее упрощением и изменением части свойств называется моделированием, упрощенная система называется моделью [6,58,61,71,97]. Качество принимаемых при упрощении сложной системы допущений и их количество может быть самым разнообразным, а потому и количество моделей системы, вообще говоря, может быть каким угодно. Модели, применяемые в технике, могут быть аналогового типа (основаны на физическом подобии), либо абстрактные. Абстрактные модели - это модели, которые построены средствами мышления, сознания. Из всей совокупности абстрактных моделей наиболее формализованными являются математические модели, в которых объект или его функционирование представляются, как правило, с использованием математических соотношений.

Математическое моделирование сложных систем может осуществляться с различной степенью детализации и точности. Это может быть обусловлено совокупностью требований, предъявляемых к разрабатываемым моделям, а также способам получения этих моделей. На практике находят применение табличные, аналитические, феноменологические и фундаментальные модели.

Табличные модели - это наиболее простые в построении модели, которые могут характеризоваться конечной совокупностью элементов системы и которые можно разместить по какой-либо иерархической схеме (структуре). Табличные модели можно относить к математическим моделям по той причине, что эффективная работа с таблицами может осуществляться при использовании математического аппарата (например, применением алгоритмов интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования и пр.). Произвольный элемент таблицы может характеризоваться совокупностью количественных и (или) логических (качественных) параметров. Причем размерность таблицы определяется не обязательно количеством параметров, характеризующих каждый элемент системы.

Аналитические модели - это модели поведения сложной системы (или технического объекта), записанные в виде алгебраических уравнений либо совокупности алгебраических и логических уравнений. Такие модели не требуют применения сложной вычислительной техники, но в то же время, не обладают универсальностью и могут быть применены лишь в жестко ограниченных диапазонах изменения значимых параметров.

Феноменологические модели - это более сложные модели, решение которых может оказаться затруднительным без применения вычислительной техники. Феноменологические модели - это приближенные модели, в которых отдельные микроскопические или мелкомасштабные процессы и объекты представляются совокупностью макроскопических процессов.

Фундаментальные модели - это модели, в которых изучаемая система (объект, явление) рассматриваются в максимально возможной по учету деталей постановке. Изучение свойств подобных моделей представляется наиболее трудоемким, а потому в настоящее время можно привести лишь незначительное количество задач, решаемых в такой постановке.

Применяемые в настоящее время комплексные математические модели, описывающие сложные технические объекты или (и) процессы их функционирования, содержат в той или иной степени все группы математических моделей — табличные, аналитические, феноменологические и фундаментальные. Основной критерий использования того или иного варианта модели обусловлен материальными средствами, необходимыми для изучения технического объекта методами математического моделирования. Тенденции развития математического моделирования состоят в постепенном переходе от относительно простых моделей к все более сложным. Стимулирующим воздействием при этом является стремительное развитие вычислительной техники.

Современная вычислительная техника и перспективы ее дальнейшего развития позволяют уже сейчас вести разработку математических моделей на уровне, именуемом численным или вычислительным экспериментом [11,12,79,82,111,113]. Основными чертами, соответствующими технологии вычислительного эксперимента, являются, в частности, системный подход (предполагает взаимосвязанность всех этапов решения задач, включая моделирование, алгоритмизацию, программирование и проведение расчетов на ЭВМ), возможность гибкого изменения физической постановки отдельных блоков решаемой задачи с целью выяснения характера протекающих физических процессов и др.

По мере развития мощности электронно-вычислительных машин роль вычислительного эксперимента постоянно возрастает, и это обусловлено следующими факторами:

- снижающаяся коммерческая стоимость эксплуатации ЭВМ позволяет существенно сократить объемы дорогостоящего натурного моделирования за счет увеличения объемов численного моделирования;

- с использованием вычислительного эксперимента удается получить результаты, получение которых трудоемко либо вообще невозможно при натурном моделировании;

- вычислительный эксперимент предоставляет возможность установления физических закономерностей в исследуемых сложных явлениях.

В дальнейшем изложении ограничимся рассмотрением подходов, используемых, в основном, при разработке математических моделей для твердотопливных ракетных двигательных установок (ТРДУ).

В создании современной теории и математических моделей для ТРДУ существен вклад таких ученых (а также их научных школ) как Лагутин Б.Н. [74], Федосов Е.А., Лавров Л.Н. [49], Соколовский М.И. [49,102], Петренко В.И. [77,102], Феофилактов В.И., Бобылев В.М. [1,15], Присняков В.Ф. [72] и др.

Отдельные из перечисленных выше технических и научных проблем изложены в научно-технических статьях, научных монографиях и в учебниках. В частности, вопросы, связанные с разработкой схем регулирования и конструкций ТРДУ, имеются в работах [1,21,22,28,33,38,40,46,6467,77,102,104,105,115]. Вопросы, связанные с рабочими процессами в ТРДУ и их математическими моделями излагаются, например, в работах [3,4,18,19,24,39-47,53,56,75,92,93,103,113,116-118]. Вопросы, связанные с моделированием и исследованием процессов в ТРДУ являются темами традиционных международных и Российских конференций, происходящих на отраслевых предприятиях, в академических институтах и в учебных заведениях (в частности, [20,60,62,73,85-90,96,98-101,107,123]).

При разработке методов идентификации математических моделей по результатам экспериментальных исследований используются современные подходы и методы, развитые в работах [10,27,31,343 7,48,52,70,106,108,112,114,119,120].

Актуальность темы диссертационной работы. Современные регулируемые двигательные установки (ДУ), используемые в составе летательных аппаратов, - это сложные технические устройства, экспериментальная отработка которых требует значительных материальных затрат. Актуальным является в максимальной степени замена части экспериментальной отработки ДУ на проведение проектных исследований с использованием технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Достоинством технологии математического моделирования является возможность проведения анализа функционирования проектируемого объекта в широком спектре варьируемых конструктивных параметров, что позволяет уже на первых этапах проектирования установить их оптимальный набор.

Моделирование работы регулируемой двигательной установки на твердом ракетном топливе (в дальнейшем - ТРДУ) предполагает описание нескольких одновременно протекающих процессов. Это процессы, сопровождающие работу воспламенительного устройства, зажигание твердого топлива, разгар топливного заряда, термогазодинамические и тепловые процессы, обусловленные горением твердого топлива и истечением продуктов его сгорания из камеры двигателя, процессы регулирования параметров ТРДУ. Математические модели перечисленных процессов могут быть построены с использованием фундаментальных законов механики и представлены в виде систем уравнений в частных производных. Однако применение подобных моделей на практике оказывается неприемлемым, что обусловлено их повышенными требованиями к ресурсам (память, быстродействие), используемой вычислительной техники в том числе, и бортовых ЭВМ. В связи с этим представляется актуальным представление отдельных элементов математической модели работы ТРДУ в виде относительно простых зависимостей, записываемых как системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений, как системы обыкновенных дифференциальных уравнений и т. п. Для получения подобных представлений элементов математических моделей корректным представляется применение методов идентификации, опирающихся на надежные экспериментальные результаты.

Цель работы состоит в создании эффективных методов и алгоритмов формализации процессов функционирования ТРДУ и его элементов на основе данных натурного эксперимента, а также обоснование применения полученных математических зависимостей в комплексной математической модели функционирования ТРДУ, что позволяет повысить качество проектирования ТРДУ при значительном сокращении материальных затрат, связанных с экспериментальной отработкой подобных двигателей.

Для достижения цели требуется решить следующие задачи:

- установить состав математических моделей, запись которых целесообразно выполнять с использованием натурного эксперимента;

- сформулировать математические методы, обеспечивающие идентификацию моделей с использованием результатов натурного эксперимента, и обосновать их выбор;

- разработать алгоритмы и программные продукты, реализующие методику идентификации математических моделей;

- апробировать разработанные подходы и методики для анализа качества функционирования ТРДУ.

Предметом исследования являются математические методы идентификации моделей функционирования ТРДУ и ее элементов с использованием результатов натурных экспериментов, а также апробация созданных математических моделей при анализе качества функционирования ТРДУ.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается сравнением расчетов с результатами натурных исследований. Для решения сформулированных задач используются надежные, апробированные вычислительные методы.

На защиту выносятся:

- методика моделирования воздействия случайных факторов на качество регулирования ТРДУ; результаты численных расчетов, полученные с использованием разработанных моделей, построенных по материалам натурных экспериментов.

Научная новизна диссертационного исследования и резуя полученных лично автором, заключается в следующем: - методики аппроксимации экспериментальных табличных завись базируются на применении кубических сплайн-функций и обесп высокую точность при проведении расчетов, связанных с интерполиров с численным дифференцированием восстановленных функциок зависимостей; методика, основанная на применении методов математи татов, оптимальные значения коэффициентов, входящих в закон регулии давления в камере сгорания ТРДУ, при использовании которых зависимости давления в камере сгорания от его программного := несущественно. Показана возможность применения методик= формализации закона нестационарного горения твердого топлива; - созданная методика моделирования стохастических процессов обеспечивает анализ воздействия случайных факторов на качестве— ТРДУ на первом нерегулируемом этапе ее работы (ncnczz воспроизводимый алгоритмически метод статистических испытан! регулируемом этапе (моделируются возмущения уровня давления сгорания ТРДУ, снимаемые датчиками давления);

- созданная математическая модель функционирования ТРДУ обес проведение качественного анализа рабочих процессов в камере двигателя в течение всего рабочего периода, в том числе, и при воз случайных факторов, подчиняющихся нормальному закону распредели

- расчетами установлено, что система регулирования обеспечивает качество работы ТРДУ при наличии возмущающих факторов, воздейс на уровень давления в камере сгорания, значения которых могут сост 5% от номинального уровня давления; ческого программирования и использующая экспериментальные результаты на=г моделирования, обеспечивает качественную формализацию законов, в>г-в математическую модель работы ТРДУ. В частности, уста—

Турного "Ходящих говлены

-^^рования отличие шчения при

ТРДУ работы

->~пьзуется - й) и на ^ камере

Иечивает сгорания s .Действии

Пия; заданное твующих — Являть до

- показано, что воздействие возмущающих факторов периодического характера в камере сгорания могут индуцироваться биения давления (в расчетах установлено, что при возмущающей частоте колебаний 10 Гц в камере возникают биения с частотой 2 Гц);

Полученные результаты являются новыми.

- Международные конференции по внутрикамерным процессам и горению в установках на твердом топливе и ствольных системах (ICOC-2005, г. Москва, 11-13 июля 2005 г., ICOC-2008, г. Санкт-Петербург, 8-10 сентября 2008 г.);

- XVI Международная научно-техническая конференция СО-МАТ-ТЕСН 2006, г. Трнава (Словакия), 19-20 октября 2006 г.;

- периодических конференциях и семинарах в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в 4 научных статьях, в 5 отчетах по НИОКР. В изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации основных результатов работы, опубликовано 2 статьи.

Заключение диссертация на тему "Идентификация математических моделей работы двигательной установки по результатам испытаний"

Выводы по главе 4

1. Выполнен анализ факторов, воздействующих на рабочие процессЕ»з:э протекающие в камере сгорания ТРДУ на различных этапах его работы^. Рассматриваются математические способы, позволяющие выполнить оценк^у воздействия возмущающих факторов на качество работы ТРДУ. Отмечается:^ что применение математического аппарата теории автоматического регулирования оказывается неудобным при решении внутрибаллистическгг>с задач в камере сгорания ТРДУ.

2. На начальном этапе работы ТРДУ развитие возмущающих факторов устанавливается с использованием метода статистических испытаний. Сут:Е> метода состоит в статистической обработке серии расчетов рабочих процессор в ТРДУ. В каждом расчете все исходные данные, оказывающие влияние на рабочие процессы, устанавливаются с учетом их стохастического характера (по заданному математическому ожиданию и дисперсий по каждому параметру} При определении новых значений исходных данных, имеющих стохастический характер, предполагается, что все они подчиняются нормальному закона-распределения. На начальном этапе работы ТРДУ система регулирования не функционирует. Показано, что разбросы давления продуктов сгорания на этозуг этапе могут оказаться существенными даже на квазистационарном участке работы нерегулируемого двигателя. Это обусловлено высокими значениями показателя v в законе для скорости горения (у > 0,85).

3. На основном участке работы ТРДУ его внутрибаллистические параметры регулируются в соответствии с заданной программой, что позволяет снизить воздействие возмущающих факторов. Воздействие возмущающих факторов при работе узла регулирования учитывается заданием отклонений давления в камере сгорания. Отклонения давления подчиняются нормальному закону распределения, если они носят случайный характер, либо выбираются в соответствии с периодическим законом.

4. Показано, что при выбранных значениях коэффициентов, входящих в закон регулирования (установлены решением задачи оптимизации), воздействие возмущающих факторов не оказывается катастрофическим, и работа ТРДУ происходит в штатном режиме. Наиболее напряженным является выход ТРДУ на режим. Показано, что воздействие возмущающих факторов на начальном этапе работы ТРДУ снижается при увеличении свободного объема камеры.

5. Установлено, что при воздействии возмущающих факторов, имеющих периодический характер (~10 Гц), в камере сгорания могут инициироваться низкочастотные колебания (биения) с частотой 2 Гц.

Заключение

2. При обработке экспериментальных результатов, представленных таблицами, используются методы аппроксимации, основанные на применении кубических сплайн-функций. К достоинствам этих методов следует отнести возможность выполнения численного дифференцирования с высокой точностью. Показана высокая эффективность методов на примере обработки результатов экспериментов для зависимости расходного комплекса (jnF)c от угла поворота вала регулятора расхода и на примере обработки зависимости S(e) - площади поверхности горения топливного заряда как функции сгоревшего свода.

3. Показана возможность формулировки задач о выборе конструктивных параметров ТРДУ как задач математического программирования и задач безусловной оптимизации. Одна задача - задача о выборе коэффициентов, входящих в закон регулирования параметров ТРДУ. Вторая задача — определение зависимости температуры на поверхности горящего топлива как функции давления продуктов сгорания Ts(p) по результатам экспериментальных исследований о нестационарной скорости горения твердого топлива.

4. Применение методов математического программирования позволило установить значения коэффициентов, входящих в закон регулирования давления в камере сгорания ТРДУ. Значения коэффициентов установлены по

143 результатам изменения давления в камере сгорания на начальном этапе работы двигателя (7 < 4 с), - наиболее напряженном периоде работы. Расчетами показано, что рассчитанные таким образом значения коэффициентов обеспечивают высокое качество' регулирования ТРДУ в течение всего периода его работы. Приводятся примеры расчетов, в которых показано, что отказ от оптимальных значений коэффициентов приводит к снижению качества регулирования в отдельные периоды работы двигателя.

5. Сформулирована задача оптимизации, позволяющая установить законы нестационарного горения твердого топлива. В одном из вариантов задачи целевая функция строится с использованием решения нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, записанного для прогретого слоя твердого топлива. Разработанные алгоритмы решения сформулированной задачи апробированы на решении тестовой задачи - установление зависимости Ts (р) по результатам известных экспериментальных зависимостей для нестационарной скорости горения твердого топлива;

6. Предложена методика учета стохастического характера рабочих процессов в ТРДУ. На нерегулируемом участке работы ТРДУ стохастические характеристики устанавливаются методом статистических испытаний. Показано, что для топлив, используемых в ТРДУ, рост дисперсий происходит и в квазистационарные режимы работы двигателя, что обусловлено высокими значениями коэффициента v, входящего в закон горения топлива ( у > 0,85 ).

7. Численными расчетами показано, что при воздействии возмущающих факторов периодического характера в камере двигателя могут индуцироваться колебания давления продуктов сгорания меньшей частоты (возникают «биения»). В расчетах получены «биения» с частотой 2 Гц при частоте возмущающих воздействий 10 Гц.

Библиография Перемысловская, Анна Георгиевна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Абугов Д.И., Бобылев В.М. Теория и расчет ракетных двигателей твердого топлива. М.: Машиностроение, 1987. - 272 с.

2. Аверсон А.Э., Барзыкин В.В., Мержанов А.Г. Применение математического аппарата нестационарной теплопроводности в теории зажигания // Тепло- и массоперенос при физико-химических превращениях. Т.2. — Минск: Наука и техника, 1968. — 464 с.

3. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей.- М.: Машиностроение, 1980. 464 с.

4. Алиев А.В. Исследования рабочих процессов в тепловых двигателях и установках // Вестник ИжГТУ: Периодический научно-теоретический журнал Ижевского государственного технического университета. -Ижевск: изд. ИжГТУ, 2001. Вып.1. С. 18-22.

5. Алиев А.В. Пакет прикладных программ «Твердотопливный двигатель» // Каталог инновационных разработок Ижевского государственного технического университета. Ижевск: изд. ИжГТУ, 2001. - С. 24.

6. Алиев А.В. Математическое моделирование в энергомашиностроении. Часть 1. Построение математических моделей. Ижевск: изд. ИжГТУ, 2001.- 164 с.

7. Алиев А.В., Мищенкова О.В. О применении метода линеаризации при решении некоторых задач внутренней баллистики // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2007, Т.2, №4 (7). С.25-38.

8. Алиев А.В., Паклина Н.В. Пакет программ по анализу начального участка работы РДТТ // Второе собрание УрРНЦ РАРАН, Собрание УрО Научного Совета РАН по горению (Миасс, февраль 1997 г.). Ижевск: изд. ИПМ УрО РАН, 1997. - С. 113-124.

9. Ассовский И.Г. Физика горения и внутренняя баллистика. М.: Наука, 2005.-357 с.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-600 с.

11. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520 с.

12. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц. Вычислительный эксперимент. — М.: Наука, 1982. 391 с.

13. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Исследование теплообмена в условиях высокоинтенсивной свободной конвекции // Теплообмен, 1974. Советские исследования / Под ред. М.С. Стыриковича. М., 1975. С. 169- 175.

14. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. - 768 с.

15. Бобылев В.М. Ракетный двигатель твердого топлива как средство управления движением ракет. — М.: Машиностроение. 1992. - 162 с.

16. Вилюнов В.Н. Теория зажигания конденсированных веществ. -Новосибирск: изд. Наука, 1984. 187 с.

17. Виницкий A.M. Ракетные двигатели на твердом топливе. М.: Машиностроение, 1973. -348 с.

18. Внутренняя баллистика РДТТ / РАРАН; А.В. Алиев и др.; Под ред. A.M. Липанова, Ю.М. Милехина. М.: Машиностроение, 2007. - 504 с.

19. Внутрикамерные процессы и преобразование энергии в космических энергосистемах / Б.Т. Ерохин, В.М. Быцкевич, В.Н. Дурнев и др. М.: ВИНИТИ РАН, 2001. - 480 с.

20. Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и в ствольных системах: 4-ая международная конференция (ICOC-2002), Россия, Москва, 12-16 нояб. 2002 г. Ижевск: изд. ИПМ УрО РАН, 2004.499 с.

21. Волков Е.Б., Мазинг Г.Ю., Соколовский В.Н. Твердотопливные ракеты. История, теория, конструкция. М.: Машиностроение, 1992. - 288 с.

22. Волков Е.Б., Сырицын Т.А., Мазинг Г.Ю. Статика и динамика ракетных двигательных установок. Книга 1. Статика. — М.: Машиностроение, 1978. 224 с.

23. Волков В.Т., Ягодников Д.А. Исследование и стендовая отработка ракетных двигателей на твердом топливе. М.: изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 296 с.

24. Газодинамические и теплофизические процессы в ракетных двигателях твердого топлива / A.M. Губертов, В.В. Миронов, Д.М. Борисов и др.; Под ред. А.С. Коротеева. — М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

25. Гинзбург И.П. Трение и теплопередача при движении смеси газов. JL: изд. ЛГУ, 1975. - 302 с.

26. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. -416с.

27. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. -400с.

28. Гребенкин В.И., Кузнецов Н.П., Черепов В.И. Силовые характеристики маршевых твердотопливных двигательных установок и двигателей специального назначения. Ижевск: изд. ИжГТУ, 2003. - 356 с.

29. Гренандер У., Фрайбергер В. Краткий курс вычислительной вероятности и статистики. М.: Наука, 1978. 192 с.

30. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. -М.: изд. МГУ, 1990. 201 с.

31. Гришин В.К. Статистические методы анализа и планирования эксперимента. М.: изд. МГУ, 1975. 128 с.

32. Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. М.: Наука, 1981. 183 с.

33. Двигатели специального назначения импульсного типа на твердом топливе. Основы проектирования, конструкция и опыт отработки / И.М. Гладков, Ю.П. Ермаков, Б.Я. Малкин и др. — М.: ЦНИИ информации, 1990,- 116 с.

34. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966.-664 с.

35. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.-368 с.

36. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: изд. Нолидж, 2001.- 1296 с.

37. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1977.- 128 с.

38. Дюнзе М.Ф., Жимолохин В.Г. Ракетные двигатели твердого топлива для космических систем. М.: Машиностроение, 1982. - 260 с.

39. Ерохин Б.Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирование РДТТ. -М.: Машиностроение, 1991. 560 с.

40. Ерохин Б.Т. Теория, расчет и проектирование ракетных двигателей. М.: изд. МГАПИ, 2004. - 864 с.

41. Ерохин Б.Т., Липанов A.M. Нестационарные и квазистационарные режимы работы РДТТ. М.: Машиностроение, 1977. - 200 с.

42. Зельдович Я.Б., Лейпунский Я.И., Либрович В.Б. Теория нестационарного горения пороха. М.: Наука, 1975. - 132 с.

43. Иванов С.М., Цуканов Н.А. Регулирование давления в полузамкнутом объеме при горении твердых топлив с показателем степени в законе горения больше единицы // Физика горения и взрыва. 2000. - Т. 36; № 5. -С. 45-56.

44. Иванов С.М., Цуканов Н.А. Оценка динамических характеристик нестационарного горения твердого топлива в полузамкнутом объеме по измерениям регулируемого двигателя // Физика горения и взрыва. 2002. -Т. 38; № 1.-С. 80-91.

45. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. — М.: Высшая школа, 1982. -200 с.

46. Исследование ракетных двигателей на твердом топливе / Под ред. М. Саммерфилда. М.: Изд. Иностранной литературы, 1963. -440 с.149

47. Калинин В.В., Ковалев Ю.Н., Липанов A.M. Нестационарные методы проектирования узлов РДТТ. М.: Машиностроение, 1986. - 216 с.

48. Кирьянов Д.В., Кирьянова Е.Н. Вычислительная физика. М.: Полибук Мультимедиа, 2006. 352 с.

49. Конструкция ракетных двигателей на твердом топливе / Л.Н. Лавров, А.А. Болотов, В.И. Гапаненко и др. М.: Машиностроение, 1993. - 215 с.

50. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. Цикл лекций. М.: Машиностроение, 2004. - 576 с.

51. Кузьмин М.П., Лагун И.М. Нестационарный тепловой режим элементов конструкции двигателей летательных аппаратов. М.: Машиностроение,1980. 240 с.

52. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. - 608 с.

53. Кулкарни А., Кумар М., Куо К. Обзор исследований процесса воспламенения ТРТ // Ракетная техника и космонавтика, 1982. Т. 20. №3. С. 97-99.

54. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: Справочное пособие. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 367 с.

55. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск: Наука СО. 1982.280 с.

56. Липанов A.M., Алиев А.В. Проектирование ракетных двигателей твердого топлива. М.: Машиностроение, 1995. - 400 с.

57. Лыков А.В. Тепломассообмен (справочник). М.: Энергия, 1972. - 560 с.

58. Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988.

59. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука,1981.

60. Моделирование рабочих процессов в РДТТ: Труды семинара; Под ред. М.А. Ильгамова, И.Х. Фахрутдинова; Казанский физико-технический институт АН СССР. Казань: изд. КФТИ АН СССР. - 77 с.

61. Молчанов А. А. Моделирование и проектирование сложных систем. -Киев: Выща школа, 1988.

62. Нестационарное горение и внутренняя баллистика: Доклады 3 Международной конференции (Workshop), Санкт-Петербург, 26-30 июня 2000 г. С.Петербург: изд. БГТУ (Военмех). В 2-х томах, 2000.

63. Новожилов Б.В. Нестационарное горение твердых ракетных топлив. М.: Наука, 1973.- 176 с.

64. Органы управления вектором тяги твердотопливных ракет / Р.В. Антонов, В.И. Гребенкин, Н.П. Кузнецов и др. Под ред. Н.П. Кузнецова. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - 552 с.

65. Основы проектирования твердотопливных управляемых баллистических ракет. Часть 1 / Ю.М. Николаев, С.Д. Панин, Ю.С. Соломонов, М.П. Сычев. М.: изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 104 с.

66. Основы проектирования твердотопливных управляемых баллистических ракет. Часть 2 / Ю.М. Николаев, С.Д. Панин, Ю.С. Соломонов, М.П. Сычев. М.: изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 140 с.

67. Основы теории автоматического управления ракетными двигательными установками / А.И. Бабкин, С.В. Белов, Н.Б. Рутковский, Е.В. Соловьев. -М.: Машиностроение, 1986. -453 с.

68. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / B.C. Авдуевский, Б.М. Галицейский, Г.А. Глебов и др. М.: Машиностроение, 1975. - 624 с.

69. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

70. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 280 с.71

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00