автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Гиперконечномерные табличные аппроксимации некоторых типов операторов в пространствах L p (R n )

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.П.Огареиа

На правах рукописи

РГб од

3 г

Здоровенко Марина Юрьевна

ГИПЕРКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ТАБЛИЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ £,,(/?")

(05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск — 1997

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшей алгебры Нижегородско] государственного университета имени Н.И.Лобачевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е. И. Гордон.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф. Тишкин, кандидат физико-математических наук, доцент Г.А. Смолкни

Ведущая организация: НИИ математики и механики имени

Н. Г. Чеботарева при Казанском государственном университете.

Защита диссертации состоится "". Ч . . Оус/>7Л.сюд^ .... 1997 п. ... . . час. на заседании Диссертационного Совета К 063.72.01 в Мо] довском государственном университете имени Н.П.Огарева по адресу: 630001

Саранск, ул. Большевистская. 68. МГУ. математический факультет......

.......

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского госуда] ственного у ниверсн г «та.

Автореферат разослан ."' С^гпдЪрц. 1997 ,

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 063.72.04 при Мордовском госуниверситете кандидат физ.-мат.наук. доцет

С.М.Мурюми

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ктуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию медом нестандартного анализа табличных аппроксимаций операторов в проран ствах Lp(Rn).

Построение и исследование табличных аппроксимаций операторов в функ-юпальных пространствах является одной из наиболее актуальных задач при-тадного функционального анализа. Достаточно вспомнить, ч то классическое ловие сходимости разностной схемы краевой задачи для дифференциального >авнения состоит в аппроксимируемости разностным оператором соответству-щего дифференциального оператора и устойчивости разностной схемы.1 Большой круг проблем возникает в связи с аппроксимациями наблюдаемых квантовой механике. В своих работах К). Швингер2 предложил модели->вать наблюдаемые в квантовой механике не неограниченными операторами L2(Rn), как это обычно делается, начиная с Дж. фон Неймана, а после-(вателыгостями операторов в конечномерных пространствах. При этом по-роенные им последовательности, по существу, представляют собой таблич-iie аппроксимации соответствующих неограниченных операторов. Тем самым прос об адекватности предложенных моделей приобрел не только георети-ское, но и практическое значение для приближенного вычисления средних ачений наблюдаемых, их спектров и т.д. Никаких строгих математических оснований сходимости в упомянутых работах предложено не было. Исследование сходимости спектра аппроксимирующего разностного опера-ра к спектру дифференциального оператора в случае краевой задачи для было выполнено Х.Крейссом.® Доказательство сходимост и спектров для ■учая оператора Шредингера с растущим на бесконечности потенциалом, есть с дискретным спектром, было предложено в работах Т.Диджернеса.

'См , например, С.К.Годунов, B.C.Рябенький. Разностные схемы. — М Иа\ка. I973,-100 с.

'Schwinger J. Unitary operator Bases. // Proc. Nal. Acad. Sei. USA. (1960), V. 16. P- 570 579: Schwinger .1.

especial canonical group. // Proc. Nat. Acad Sei. USA. (1960), V. 46, P 1401-1115

3H.Kreiss. Difference approximations for boundary and eigenvalue problems for ordinary differentia! equations // th. Comp. 25 (1972) 605-624.

В.С.Варадараяна и С.П.С.Варадхапа.'1 При этом было покачано, что важнук роль для исследования сходимости спектров играет сходимость самих аипрок симаций в сильной операторной топологии. Тем самым встал вопрос о noeipo ешш и исследовании сходимости конечномерных аппроксимаций операторов гильбертовом пространстве.

Для одпопараметрических групп Вейля е'иР и соответствующие резу;п! таты были получены Е.И.Гордоном5 на основе проведенного исследования схо димости конечного преобразования Фурье к интегральному. В этих же раба тах была доказана сходимость аппроксимаций интегральных операторов с ква дратично интегрируемым ядром, построенных при помощи дискретизации и ядер. Одна из основных трудностей при исследовании сходимости табличны аппроксимаций состоит в том, что пространства сеточных функций не вложе ны каким - либо каноническим образом в аппроксимируемое функционально пространство и слабо связаны друг с другом при разных значениях шага табли цы. На абстрактном уровне эта ситуация изучалась в работах Ф.Штумме.и В.А.Треногина, Г.Вайнпкко и др. При этом обычно предполагается Существе; вание ограниченных операторов, отображающих все пространство функций н аппроксимирующие сеточные пространства. Для достаточно хороших, в чао ности непрерывных функций эти операторы должны аппроксимировать таблн цы функций в точках сетки. Как правило, например в случае пространств оператор вычисления таблицы не продолжается на все пространстве поэтому указанные выше операторы приходится строить некоторым специал! ным искусственным образом. Кроме того, указанная конструкция не позволяс доказывать сходимость спектров и приводит еще к ряду технических трудне стей, особенно в случае неограниченных областей, когда сеточное пространств зависит от двух параметров — стремящегося к нулю шага и стремящегося бесконечности диаметра области, в которой составляется сетка.

4Digemes Т. Varadarajan V.S., Varadhan S.P.S. Finite approximations to quantum systems. // Math Physic (1994), V. 6, No. 4, P. 621-648.

5Гордон Е.И. Нестандартные конечномерные аналоги операторов в ¿2(КП)- Сиб матем журнал. - 198 - Т. '29. - 2. - С. 45-59. Гордон Е.П. О преобразовании Фурье в нестандартном анализе. // Изв. в\чо Математика. - 1DS9. - .V'2. - С. 17-25.

Для преодоления этих трудностей последнее время при исследовании ia-гшчных аппроксимаций используется метод нестандартного анализа." При юм подходе рассматриваются се тки, таг которых -- бесконечно малое, а диа-етр области —• бесконечно большое в смысле нестандартного анализа число, получающееся при этом сеточное пространство гиперконечномерно. т.е. его азмерность есть бесконечно большое в смысле нестандартного анализа нату-альное число. При этом исходное функциональное пространство вк. шдыва-гся в нестандартную оболочку этого гиперконечномерного пространства.7

В случае, когда все аппроксимирующие операторы равномерно ограничены. :ш индуцируют ограниченный оператор на этом гиперконечномерном иро-гранстве, а условие аппроксимируемости превращается в условие коммута-1ВН0СТИ соответствующей диаграммы, что позволяет преодолевать некоторые ) описанных выше трудностей. Однако при аппроксимации неограниченных ораторов последовательность аппроксимирующих операторов ие является шномерно ограниченной, соответствующий ей оператор в гиперконечномер-эм сеточном пространстве имеет бесконечно большую норму и не индуцирует •раничепный оператор в нестандартной оболочке. Поэтому для применения етода нестандартного анализа в этом случае необходимо распространить кон-грукцпю нестандартной оболочки на случай оператора бесконечно большой эрмы.

В диссертационной работе строятся и исследуются табличные апнроксима-ш для широких классов операторов с обобщенными ядрами. Исследования доводятся методом нестандартного анализа. При этом разминается иеобхо-гмый аппарат, в частности строятся нестандартные оболочки неогрнпнчен-лх операторов. Следует отметить, что конструкция нестандартной оболочки ■раниченных операторов нашла и другие важные применения при изучении юйств банаховых пространств и операторов в них. в стохастическом анализе

бСм упоминавшиеся ранее работы Е.И.Гордона, а также Wolf, М Р. Ori the approximation of operators and : convergence of the spectra of the approximants. // Suhmitlct to Conference Volume of IWOTA e<] l>> IGoliberg al. (1996).

'Альбеверио С.. Фенстад И., Хеэг-Крон I'., Линдсгрем 'Г. Нестандартные методы в стохастическом анализе математической (физике: Пер.с англ М.:Мнр, 1990. - 016 с.

:!

и математической физике."

Это дает основание предположить, что конструкция нестандартной оболо ки неограниченных операторов также может найти другие применения, помп; приведенных в диссертационной работе.

Цель работы. Исследовать сходимость аппроксимаций оператора и[ образования Фурье (ПФ) в пространствах Ьр(В,п) и пространствах обобщошп функций конечным преобразованием Фурье; исследовать сходимость табли ных аппроксимаций операторов дифференцирования и свертки в простри ствах обобщенных функций; построить и исследовать нестандартную оболоч гииерконечномерного симметрического оператора с бесконечно большой ш мой в евклидовом пространстве: исследовать сходимость аппроксимаций 01 раторов с обобщенными ядрами, построенных при помощи дискретизации яд<

Методы исследования. Основным методом является метод нестандар ного анализа. Используется метод исследования табличных аппроксимащ предложенный Е.И.Гордоном9 для ограниченных операторов, причем в ш сертацпи этот метод распространяется на случай неограниченных онератор( Используются также стандартные методы теории линейных онераторюв в с паховых и гильбертовых пространствах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Оснс ными результатами работы можно считать следующие:

— получены необходимые, а также достаточные условия аппроксимируемое интегрального оператора преобразования Фурье (ПФ). действующего из щ странства Ь,,(11") в пространство £,(/?.") С' + ^ = 1. 1 < р < 2). дткретш ПФ. а также операторами, получающимися другими дискретизациями ял интегрального ПФ;

— доказана сходимость табличных аппроксимаций оператора дифферент!] иания в простр)анствах быстро убывающих функций и обобщенных функп

8См предыдущую сноску.

''См. работы, упоминавшиеся ранее.

меренного роста:

- докатана сходимость табличных аппроксимаций оператора свертки в нро-транствах Lp(Rn) и обобщенных функций;

- построена и изучена нестандартная оболочка симметрического оператора с есконечно большой нормой в гиперконечномерном пространстве:

- построены табличные аппроксимации некоторых видов операторов с обоб-генными ядрами, получающиеся дискретизацией ядер этих операторов, и до-азана их сходимость.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический арактер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших нсследовани-х абстрактных разностных схем и аппроксимаций конкретных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

обсуждались на заседаниях научного семинара по нестандартному анали-v математического факультета Вятского госпедуниверснге га. на заседаниях афедры геометрии и высшей алгебры Нижегородского гоеуннверситета. на юедашш отдела теории вероятностей и математической статистики НИИ ма-^матнки и механики им. Н.Г.Чеботарева Казанского тоеупиверситета (1996 г.). а научном семинаре профессора Е.В.Воскресенского но прикладной матема-ике при Мордовском госуниверситете (Саранск. 1997 г.). на Третьей Суслин-хой конференции (Саратов, 1994 г.), на Международной научной конференции Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск. 1994 г.). на Все-усспйской научной педагогической конференции (Киров. 1996 г.). на Между-ародпой научной конференции ''Дифференциальные уравнения. Иптегра. п>-ые уравнения. Специальные функции." (Самара. 1997 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах ггора. список которых приведен п конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух тв, содержащих по пять параграфов, и списка литературы, включающего 65 ^именований. Полный объем диссертации 157 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор работ по т еме диссертации, обоснование актуа ности решаемых в диссертации задач, а также краткое содержание диссср ции.

В первой главе изучаются табличные, аппроксимации операторов ПФ ( §2), дифференцирования (§3) и свертки (§4).- Получены необходимые, а так: достаточные условия наличия таб личной аппроксимации для этих оператор! Строятся табличные представления обобщенных функций медленного рост* финитных обобщенных функций, изучаются табличные аппроксимации опер торов ПФ, дифференцирования и свертки обобщенных функций (§5).

Обозначим через Фд(/) таблицу значений функции / : R" —> R" в узл сетки с шагом Д^' по каждой переменной х} на отрезке \—Aj\Aj\ (j = 1.; Размер полученной таблицы равен N" (N = 2М + 1 ,М — -^т)-

Пусть £д(п) — пространство таблиц F = (F(k)\k = —М,М) 10 размерное Л™. Для линейного ограниченного оператора А : Lp{Rn) —> L?(R") оиреде.т множество Sa таких функций из пространства Lp(lR"), для которых выно.и ются равенства:

¡\f(x)\"dx= lim (па L 1/(Д*)1р),

Н» Л-О V к=-М /

Л/ — =о \U — эс

f \(Af)(r)\4z = lim (RA £ \(Af)(Ak)\'].

Д-0 \ к = -М J

М — яс ДМ — ос

'"Здесь и далее через Д обозначается вектор (Д"'.Д'2>.....Д'"'), через к - вектор (i'i-i'2- ■ к„)

пись к = — М, ht означает', что каждая компонента вектора к изменяется от —Af до -Vi Опера: и отношения для векторов Д и к осуществляются покомпонентно, например: Дк ~ (Д! . , Д'( ДМ = (ДC'jW... , Дt"'Af); П Д = П Д('>; запись |yfc| < М означает, что < М для j = Т7п и тп

Для таблиц Г и С т £д(я) определены скалярное произведение (■. •) и поры || • ||рд по следующим формулам:

(Е,С)д = ПА Е

к=-М

нли=(пд Е если 1<р<оо,

V *=-л/ )

||Л1осД= щах_|ВД|-

к = — М,М

Пространство таблиц £д(?г) с нормой || ■ ||рд будем обозначать через Ер±{п).

Определение 0.2. Пусть Л8 : Ерь^тг) —> Е ^(п) — последовательность ли-ейных операторов, нормы которых ограничены в совокупности: А : Ьр(№) —> -+ Ьч(и.п) -- линейный ограниченный оператор, для которого множество 5д лотно в пространстве Ьр(К"). Будем говорить, что последовательность операторов (Л5)5еи аппроксимирует оператор А, если для всякой функции / из тожества 5д

||Л5[Фд,(/)]-Фд,(Л[/])||?д/^0.

ричем при б' —► ос выполнены условия:

Л'4. ос. Д4 О, Д5 0. ->• оо, Л,А'., -> ос. (1)

Как известно, конечное ПФ задается формулой:

5д№0=ПД Е Е(к) ехр( — 2тт1(к. т )/Л").11 к=-\1

нтегральный оператор ПФ задается формулой:

ЗДМ = (2тгЛ)-"/2 / /(.г) ехр(-^.г. а"

оператор, получающийся дискретизацией ядра оператора У/,, задается фор-¡улой:

= (2тг/г)-"/2ПА Е Е(к) ехр(--|-(Д&, Ат)).

к=-М "

'(¿■,7») = (А'1)П1 + к?т-> + ... + к„т„).

В дальнейшем оператор рассматривается как оператор п з пространс i Lp(R") в L,(R"), а при h = ± операторы $/, и 5"/,д обозначаются просто и Зд соответственно; А4 - шаг сетки по переменной х. А, -- шаг сетки переменной у, причем величины

Aи AjA's ограничены в совокупности. (

В §1.1 показано (теорема 1.11. что если выполнены условия (1) и (2), то и следовательность операторов (ЗдД^ы аппроксимирует интегральный операт ПФ Зт, тогда и только тогда, когда

A, À „.Y., - - 2r. h. ' " - (

В §1.2 показано, что если выполнены условия (1), (2), (3) и величш |AsAsArs — 2nh\'lNnA4 ограничены в совокупности, то последовательность ou раторов (З^дДчен аппроксимирует оператор Если же условие (3) наруш но, в частности, если lim^AsAsArs > 4тrh, то последовательность oiiepaTopi не аппроксимирует оператор 3/, (теорема 1.2).

В §1.3 рассмотрен оператор дифференцирования D'1*' на пространство Шва ца 5(Е") бесконечно дифференцируемых, быстро исчезающих на бесконечн сти функций и показано, что при выполнении условий (1) и (2) последов телъность (-Од^ек дискретных аналогов оператора дифференцирования D^ аппроксимирует оператор D^ на множестве S(R") (теорема 1.3).

В §1.4 рассмотрены табличные аппроксимации оператора свертки. Пус числа p.q и г удовлетворяют условиям:

1 1 1

1 < p.q, г < ос. - + -=1 + -. (

V <1 ''

Дискретный оператор свертки *д : Ера(п) х Eq&(n) -* Ег&(п) задается фо]).м; л ой:

(F *д G)(m) = (П Д) £ F(k)G{rn—k)12 к=-м

12Точка над знаком " означает вычитание в гр> пне вычетов { — Л/. — А/ 4 1......М] но модулю Л' - '¿М -

В работе, показано, что при выполнении условий (1) и (2) пос. гедовагель-юсть дискретных операторов свертки (*д,)*ен аппроксимирует оператор сверт-:и * : Lp(Rn) х L4(Rn) -> Lr(Rn) (теорема 1.4).

В §1.5 построены табличные представления обобщенных функций (ОФ). Тредполагается, что условия (1) и (2) выполнены. Рассмотрим послодова-'елыюсть таблиц F = (Fs)seN (Fs 6 Ep&t(n)), для которых величины j.Fs|pA, ограничены в совокупности. Множество всех таких последовательное гей обо-■начим через С^д. 13 Через £рд обозначим множество таких последователь-

гостей F — (Fs)sey.j, что для любого положительного числа С величины

и

1 Ля Y, ограничены в совокупности. Для каждой последовательно-

:ти F = (Fs)sep! из Срд (£рд соответственно) построим последовательности D^F = (£>д'Fs)s6h. где а £ (N U {0})". Множество получившихся пооледова-ельностей обозначим через с|,д (£рД соответственно).

Пусть it — свободный ультрафильтр на множестве натуральных чисел, хли последовательность таблиц F из с|,д (£рд соответственно) такова, что гля всякой функции / из пространства S(R") (С'о°(К") соответственно) велн-[ины (Fs, Фд.(/)>д. ограничены в совокупности, то формула

адает линейный функционал на пространстве S(Rn) (C(f (W:) соответс твенно). 5 работе доказаны следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть 1 < р < оо и выполнены условия (1). (2).

1) Любая последовательность F из £^д задает финитную ОФ. то есть

'4- е (Cg°(Rn))'.

2) Если д есть ОФ из (C^fR"))' и д = <р{п) для некоторой регулярной ОФ о найдется такая последовательность G из £рД, что ф£ = д.

3) Для всякой последовательности F из £^д и а £ (NU {0})" справедливо равенство: (ф£)<а> = Ф^ы^-

13Здесь Д = (Да),бП.

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть 1 < р < ос и выполнены условия (1). (2).

1) Любая последовательность Г из задает ОФ умеренного роста, то ест

е

2) Если д есть ОФ из (5(К"))' и д = для некоторой регулярной функци ср £ Ьр(Ш.п), то найдется последовательность С из £рд такая, что д =

3) Для всякой последовательности Г из б^д и а £ (Ми {0})" справедлив утверждения:

а) (**)<"> =

б) и Ф^] лежат в (5(К"))'. причем при р < 2 и Л,Л.,Л'.% 1 эт обобщенные функции равны.

4) Если ^ £ Срд, С € и выно.тпены условия (4). то справедливы утве] ждения:

а) Ф£ * Ф& 6 ДО"))' и ф£ * ф£ = фД,д0:

б) * Ф$) £ №"))' и £)(")(фД * Ф£) = Ф

в) * Ф£] € и * Ф£] = $[Ф£] ■ Д

Во второй главе диссертационной работы изучаются табличные аипро1 симации неограниченных симметрических операторов и операторов с обобщен пыми ядрами.

В §2.1 построена нестандартная оболочка А* внутреннего симметрическо! оператора /1 с бесконечно большой нормой, показано, что спектр оператор равен стандартной части спектра оператора /1 и состоит из собственпь значений (теорема 2.2).

В .§2.2 построена спектральная мора оператора и показано, что для и> прерывной ограниченной па спектре п(А^) функции / спранел шво равенств' /(А*) = (/(Л))* (теорема 2.4). В частности, это равенство справедливо дл резольвент.

В §2.4 полученные в §2.1 и §2.2 результаты применяются для изучения т; блинных аппроксимаций стандартного неограниченного симметрического оп ратора А : Ь2(Щ -* Ь2(Щ.

Далее предполагается, что условия (1) выполнены.

Определение 2.1. Последовательность самосопряженных операторов s)s6k аппроксимирует оператор Л, если для всякого числа A G €\R (А £ BesA) эаниченная в совокупности последовательность самосопряженных оиерато-в R\(AS) = (XI - Л5)-1 аппроксимирует ограниченный самос:опряжеиный ератор R\(A) = (XI — А)-1 в смысле определения J.I. В настоящем параграфе доказаны следующие утверждения: Наличие аппроксимации достаточно проверять не для всех чисел А из мио-:ства С \ R, а только для одного произвольного (предложение 2.4). В случае ограниченного оператора А определение аппроксимируемости 1.2 вносильно определению аппроксимируемости 1.1 для ограниченных опера-ров (предложение 2.3).

Для непрерывной функции г(>, исчезающей на бесконечноети (г." € С" (R)). из проксимируемости оператора А последовательностью самосопряженных опе-торов (Л.,)4-ем следует аппроксимируемость оператора г1>(А) последовательного операторов (v{As))se^ (предложение 2.5).

Если область Do является существенно]'! областью определения оператора и для любой функции / из Dq

1ИЛФд,(/)]-ФА,(Л/)||2Д'!=5О.

последовательность операторов (.4s)sen аппроксимирует оператор А в смы-е определения 1.1 (предложение 2.1). Верно и обратное утверждение (предложение 2.2).

В §2.5 рассмотрены оператор А : S(R) —> S(R) и порожденный чтим опера-ром билинейный функционал Б на S(R) х S{R) :

B(f,g)= f {Af)(y)g(y) dy — (Af,<i).

Доказано (теорема 2.5). что непрерывный билинейный функциона i В имеет д:

B(f,9) = J J r>(x.y)fM(x)g(y)dxdu.

? функция 9(д\ у) непрерывна, полиномиально ограничена но с и ограничена

по у, причем

По функции у(х. у) определим последовательность матриц Д, : В6(к, гп) = А3 • 9(Д^:,Л57Т?,,) к, т = -М,. Мв.

Оказывается, что если функция <р(х,у) полиномиально ограничена но х

ограничена по у. причем на бесконечности убывает не медленнее, чем —

У

(<т > 0). то последовательность операторов Аь = ВаБд' аппроксимирует огг ратор А (предложение 2.6).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессор; Е.И.Гордону за постановку задачи, постоянное внимание и моральную по; держку.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Здоровенко М.Ю. О гииерконечной аппроксимации преобразования Фу:>. // Деп. в ВИНИТИ. 691-В94. - 1994. - 10 с.

2. Здоровенко М.Ю. О приближении интегрального преобразования Фурье нечномерными аналогами. // Тезисы докладов международной коиферен-и "Дифференциальные уравнения и их приложения." - • Саранск. - 1994. -18.

3. Здоровенко М.Ю. О дискретных аналогах обобщенных функций из [Rn))'. Третья Суслииская конференция. // Тезисы докладов. Россия, ратов. - 1994 г. С. 39.

4. Гордон E.H.. Здоровенко М.Ю. Табличные аппроксимации некоторых граторов с обобщенными ядрами. // Тезисы докладов Международной науч-'1 конференции "Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения, ециальные функции."' Россия. Самара. - 1997 г. С. 90 97.

5. Здоровенко М.Ю. О табличной аппроксимации самосопряженных оне-горов в L2{R). // V Международная конференция женщин - математков атематика. Экономика." Тезисы докладов. Россия. Ростов-на-Дону. ->7 г. С. 15.

6. Здоровенко М.Ю. Гиперконечная аппроксимация операторов преобразо-шя Фурье, дифференцирования и свертки. // Деп. в ВИНИТИ. ,\ü2422-B97. 397. - 39 с.

7. Здоровенко М.Ю. Гиперконечные аналоги обобщенных функций. Деп. в НИТИ. .V2421-B97. - 1997. - 17 с.

S. Здоровенко М.Ю. О ядре оператора в пространстве Шварца. // Bei i iiik ккого педуниверситета. Матем. Информ. Физика, вып. 3. С. 10 13.