автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Итерационные методы решения параболических уравнений и некоторых задач оптимизации

РГ6 од

На правах рукописи

ГОЛИЧЕВ Иосиф Иосифович

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕ31ЕШЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ И НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

05.13.16 - применение вычислительной техники математического моделирования и

математических методов о научных исследованиях 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Уфа - 1995

Работа выполнена в отделе теории функций Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Васильев Федор Павлович; доктор физико-математических наук, профессор Хромов Август Петрович; доктор физико-математических наук, профессор Рамаэанов Марат Давидович.

Ведущая организация - Московский энергетический институт.

Защита диссертации состоится " иЛОлЯ._199£год

в / Ч часов на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 при Башгосуниверситете по адресу: 450074,. г.Уфа, ул.Фрунзе, 32, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башгосуниверситета.

Автореферат разослан " ¿ Т " кЛЛ-О^Я-_ 199 ¿""года

Ученый секретарь диссертационного совета

_______Н.Д.Морозкин

Актуальность темы. Многие физические процессы описываются линейными и нелинейными дифференциальными, интегральными и интег-ро-дифференциальными уравнениями. Точное решение-л^аких уравнений удаётся получить в крайне редких случаях, поэтому возникает необходимость построения приближённых методов их решения.

В первых двух главах работы построены итерационные процессы для решения первой и третьей начально-краевых задач для нелинейного параболического уравнения второго порядка с операторными коэффициентами. Нелинейность может входить также и в краевые условия.

В третьей главе проводятся исследования по вопросам аппроксимации собственными, функциями. Данные исследования начаты автором под влиянием задач теории распространения радиоволн и квантовой теории потенциального рассеяния, которые рассматривались в работе [4] , опубликованной в 1972 году. В этой работе предполагалось, что коэффициенты уравнений, определенные характеристиками среды, полностью известны. Однако на практике характеристики среды известны лишь приближённо, не всюду и, кроме того, могут меняться, например, под влиянием вспышек на Солнце. Зато можно получить дополнительную информацию об искомом решении. Полученная таким образом нестандартная задача сводится к экстремальной задаче.

Экстремальные задачи, а также другие задачи, которые сводятся К экстремальным, в частности, и задача теории распространения радиоволн, рассматриваются в четвертой и пятой главах. В четвертой главе разрабатываются метода решения экстремальных задач, основанные на построении итерационных процедур для решения систем оптимальности. Такие системы' часто оказываются нелинейными; даже если процесс описывался линейными уравнениями. Последнее обстоятельство послужило дополнительным стимулом для исследования итерационных процессов при решении нелинейных задач.

Методы, развитые в, настоящей работе; применялись для расчета оптимального варианта покрытия резца, для исследования процессов, в жидких кристаллах для определения начального распределения и мощности источников загрязнений по данным измерений в промежуточно^ точке. Подучены новые быстро сходящиеся итерационные процедуры для решения классических задач, например, задачи для уравнений Бюргер-са, Навье-Стокса, задачи Майера, задачи Коти для эллиптических уравнений .•

Итерационные методы применялись во многих работах, посвященных исследованию и построению приближённых решений задач математической физики. Наиболее часто используется метод Ньютона и его модификации. Существенным недостатком этого метода является то , что он, как правило, сходится лишь при условии достаточной близости начального приближения к искомому решению. Другим недостатком метода Ньютона является необходимость решать на каждом таге хотя и линейное, но достаточно сложное уравнение (с переменными коэффициентами), которое само во многих случаях решается методом последовательных приближений. Другой подход к построению итерационных процессов основан на теории возмущений. Суть этого подхода схематически можно пояснить следующим образом.

Пусть требуется решить уравнение Аи-0 со сложным оператором А ; тогда оператор А представляется как возмущение простого оператора А- &+Я, в* А-Ь и решение исходного уравнения строится как предел решений уравнений Вьи.^ ~ ~ (/С— Г, X,... ) . Такой метод решения будем называть далее методом простых итераций.

Метод простых итераций используется давно, но его систематическое изучение для неограниченных (в частности дифференциальных) операторов началось, по-видимому, с работ Л.В.Канторовича, где показано, как решение линейного самосопряжённого эллиптического уравнения второго порядка сводится к решению последовательности задач для уравнения Пуассона. Для нелинейных эллиптических уравнений и систем аналогичные итерационные процессы изучались в работах Воровича И.И., Красовского Ю.П., Кошелева А.И., Сапаговас М.Н. и ряда других авторов.

Итерационные процессы, построенные в настоящей работе, за исключением результатов § 12, базируются на методе простых итераций'. Для рассматриваемых в первых двух главах задач таким простым (не-воэмущённым) оператором в можно взять оператор теплопроводности

Во. = ~~ • Одаако 80 многих случаях выбор невозмущен-

ного оператора определяется"решаемой задачей и может быть выбран ближе к невозмущённому, чем оператор теплопроводности. В связи с этим в работе рассматривается случай, когда невозмущённый оператор является произвольным линейным равномерно параболическим оператором. .-.■-,•

Поскольку в работе изучаются уравнения с операторными коэффициентами и операторными краевыми условиями, то ряд задач для ин-тегродифференциальных уравнений, уравнений с запаздыванием и с не-

локальными краевыми условиями включаются в рассматриваемый круг задач. Однако необходимость изучения уравнений с операторными коэффициентами вызвана другим обстоятельством. Дело в том, что сходимость простых итераций, которые рассматриваются в первой главе настоящей работы, можно доказать лишь для узкого класса нелинейных уравнений. Как показано в 5 6 и § 7, используя различные априорные оценки, можно существенно расширить круг задач, решаемых модифицированными методами простых итераций. При этом, если даже в исходной задаче нелинейности задавались скалярными функциями, то после применения соответствующих срезок мы приходим к случаю с операторными коэффициентами.

Построению монотонных итерационных процессов,- сводящих решение нелинейного уравнения эллиптического и параболического типов к решению последовательности линейных уравнений того же типа, посвящены исследованиям Аманна X., Саттингера Д., Чвндры Ж., Пачпат-та Б. и др. При этом предполагается существование верхнего и нижнего решения рассматриваемой задачи, которые принимаются за начальные приближения. Кроме того, предполагается, что нелинейность входит лишь в младший член уравнения и имеет вид: -f(^ и), 'fc^

Среди других подходов к решению линейных и нелинейных уравнений, не использующих конечномерных аппроксимаций, можно указать вариационные методы, метод продолжения по параметру и метод эквивалентных уравнений.

Имеется обширная литература по применению итерационных процессов к разностным и галеркинским приближениям краевых и начально-краевых задач. Наиболее полно этот вопрос освещёе в работах Самарского A.A., Николаева Е.С., Марчука Г.И., Хейгемана J1., Янга Д., Митчела Э., Уойта Р.

Недостатком итерационных методов, основанных на конечномерных аппроксимациях является то, что при увеличении точности аппроксимации , (это приводит к увеличению размерности аппроксимированной задачи), скорость сходимости большинства таких итерационных процессов быстро замедляется."

В третьей главе получено разложение функции от оператора tf>(T) в обобщённый ряд тейлора в окрестности оператора . Для эволюционного уравнения «^f^t Y- /¿¿- = О, А- устанавливается связь между разложением в ряд Тейлора, итерационным процессом и известным разложением возмущённой полугруппы. В последнем параграфе третьей главы получена аппроксимация решения нелинейного параболического уравнения второго порядка собственными функциями невозму-

щённого оператора к получена оценка скорости сходимости аппроксимаций.

В большинстве работ определение функции от неограниченного несамосопряжённого оператора в случае, когда функция не является аналитической на бесконечности и разложение в ряд Тейлора даётся через полугруппы операторов. 3 данной работе п. -ый член ряда Тейлора находится явно через Q.— I ~~ , что позволяет получить аппроксимацию элемента у? (Т) по собственным векторам оператора

• Разложение Lf> { Л/£)) по степеням малого параметра ,

когда оператор А (6) - есть оператор Гильберта-Шмидта, получено в работе Далецкого Ю.Л., Крейна С.Г. В работе Койфмана изучался вопрос о том, когда функция (¡7("О от эллиптического оператора , аналитически зависит от коэффициентов. Метод функции от оператора при исследовании краевых и начально-краевых задач развивался в работах Хилле Э. и Филлипса Р., Иосида К., Маслова В.П., Като Т, Дезина A.A., Дубинского Ю.М.

В четвёртой главе рассматриваются некоторые задачи минимизации квадратичного функционала при условии, когда состояние системы описывается эллиптическими или параболическими уравнениями.

Часть рассматриваемых здесь задач изучались с точки зрения условий существования оптимального управления, необходимых, необходимых и достаточных условий оптимальности, а также различных методов приближённого решения.

Среди обширного круга работ в этом направлении отметим, прежде всего, книги Понтрягина Л.С., Болтянского В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В., Беллмана Р., Красовского H.H., а также работы Армана Ж., Бал'акришнана А., Бутковский А.Г., Варга Дж., Васильев Ф.П., Крылов Н.В., Лионе Ж., Моисеев H.H., Осипов D.C., Плотников В.И., Сумин В.И.,.Пшеничный Б.Н., Федоренко Р.П., Хромов А.П.

В настоящей работе исследуются системы условий оптимальности (СУО). Доказываются теоремы существования, уточняется"расположение спектра системы, получаются различные итерационные процессы для её решения. Исследование таких систем проводилось в основном для случая, когда состояние системы описывается параболическим уравнением и без ограничений на управление. Тогда система большинством авторов сводится к оперативному уравнению типа Риккати. Прямому исследованию систем, образующих условие оптимальности, посвящено немного работ. Лионсом и Купером изучен вопрос о разрешимости такой системы при очень жестких ограничениях. . .

В пятой главе рассматриваются применения итерационных мето-

дов и метода функции от оператора к решению задач теории распро-" странения волн, некорректных граничных задач, задач оптимального управления с финальным наблюдением (в-частности задачи Майера) и некоторых обратных задач. По каждой из названных задач имеется достаточно много публикаций. Краткий обзор имеющихся результатов и их сравнение с полученными в данной работе даны в начале и конце каждого из параграфов пятой главы.

Отметим, что задачи, рассматриваемые в пятой главе, изучались, в основном, с точки зрения выявления условий существования " и единственности решения. Основной целью данной работы было построение итерационных процедур для практического решения данных задач. Работы, посвященные изучению задачи с граничным управлением, рассматриваемой в § 22, автору не известны. Эта задача возникла под влиянием задачи теории распространения волн. Более того, в конце § 22 дается алгоритм решения задачи теории распространения волн в условиях, когда неполностью известны характеристики среда. С помощью итерационных процедур, построенных в § 22, можно также решать задачи Кош для эллиптических уравнений, обратные задачи по восстановлению граничных условий, а так*е задачи с нелокальными граничными условиями.

Цель работы - получить итерационные процедуры для решения широкого круга линейных и нелинейных задач сходящихся с любого начального приближения.

Получить аппроксимацию решения дифференциальных и операторных уравнений по собственным функциям невоэмущенного оператора.

Разработать быстросходящиеся итерационные процедуры для решения некоторых задач оптимального управления на основе итерационного метода решения систем условий оптимальности.

Использовать полученные методы для решения конкретных прикладных задач.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Кроме того, является новым и сам подход к построению универсальных итерационных процедур.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы состоит в том, что устанавливается возможность рассматривать широкий круг линейных и нелинейных задач для параболического уравнения как возмущение простейшего уравнения.теплопроводности. В задачах оптимального управления изучена система, образующая условие оптимальности и выявлены причины того, почему стандартные итерационные метода непригодны для её решения.

Практическая ценность работы .состоит в том, что построены эффективные методы приближённого решения параболических уравнений, некоторых задач оптимизации, а также ряда некорректных задач. Сочетание приближённых и аналитических методов в предлагаемых процедурах существенно ускоряет решение рассматриваемых задач.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13 - (Зб^ и излагались в докладах автора на Всесоюзных симпозиумах в Уфе (1976, 1980, 1967 годы). Результаты диссертации докладывались и обсуждались в МГУ на семинарах под руководством А.А.Самарского, Ф.П.Васильева, А.Г.Костючен-ко, Б.М.Левитана, в Математическом институте РАН на семинарах С.М.Никольского, В.П.Михайлова, в Вычислительном центре РАН, в Институте математики и механики Уральского Отделения РАН, в Мйсков-ском энергетическом институте, в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, в Башгосуниверситете и в Уфимском авиа-ционно-технологическом университете.

Объем работы. Диссертация изложена на 482 страницах, содержит 5 глав и одно приложение. Библиография включает 174 наименования.

Прежде чем перейти к изложению содержания работы, введем ос-

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

новные определения и обозначения.

Пусть.5с? - ограниченная или неограниченная область в

нормы, определённые интегралами

обозначим /

6

11 U l(.,¿ = u-ux-ima-K a u_cx-} fj// -t- t/f и /// / . V^ -£ e- ra 6 3 . ^"

Через AjU-) { A (Ct)U^)> [-p, Г, .. ■ n, ) в работе

обозначаются операторы, действующие из l/W з пространство

измеримых на функций. Более точно область определения и область изменения будут задаваться ниже. Полагаем

= M.rajjy Ао (а.),

£ м=-JL t-4

í J J с 1 i

где ¿L.. (х) ■£) - вещественные ограниченные измеримые функции на Q i d и почти всюду в ¿2

U (г +) tpZ< CL¿f (г Щ у < a¿. (я; tflf!*' (1.0)

для любых в естественных Г ../"„• где oL {лс 4-) > o¿ >Л

f1>¿rn- i J 1 J

Обозначим g. (£¿J = = CL. + ¿L ¿t б (U)=

i<~>L L J Jn

Q ra■ tíxj = t- a ¿¿- и положим K.(U)~A.IU)

O ' i TJ XO l 1

- 8. í«J //= £> - «-) • Пусть, далее, ((и cr)j - f(c¿¿r)L

(_ J J S J J Uy '

Atu,»)- fAo(u)u,tr)^c¿t.

Под обобщенным решением из

{/(а)

задачи

'Ъ / Л .. \ \ -и А ^ ^ (ш)) t Аб (и) =о

kfxj , (3,0)

«-гх;^/ = f (4.0)

понимается элемент и. (г

l/ffij

, удовлетворяющий краевому условию (4.0) и интегральному соотношению

- ((U, ir/)) + А (и* г) = (h.,tr/4 0)) ■ (5.0)

. 1 с 1 i

для любого ¿re- М4 л = / /'¿У • сг(7}-0

& f i

почти вевду в 52> , где (Q) - замыкание множества функ-

- ю -

ции из С.'(О.) , равных нулю на 6 .

3 работе рассматривается также задача о нахождении решения . из I/ уравнения (2.СО при начальном условии (3.0) и краевом условии

A.(u) cos Ог,хгг.) + F tu-) ls= О, (6.0)

где - внешняя нормаль к1?5з£? , F - оператор, действующий из V(О) в ( S) . Под обобщённым решением из V(Q.\ задачи (2.0), (3.0), (6.0) понимается элемент tee- l/?Qf , удовлетворяющий интегральному соотношению

- ffu-, Ci')) + А (а, сг) S F {it) trek - О (7 0)

f «S

для любого tГе- W^fQ), равного нулю при

В первой главе работы исследуется вопрос о сходимости следующего итерационного процесса:

+ ¿tu J =Д. dt (а^ ) - /г f ) ,

(8.0)

У ls ~ f- (Ю.О)

Исследуется также сходимость итерационного процесса, определённого соотношениями (6.0), (9.0) и краевыми условиями

- (П.О)

^ ь ^

-где = + (п,л х.) , - проиэволь-

ная функция из \/Ш) , а ег -ограниченная на о функция.

Последовательность } itK }к-а , определённая итерационным процессом (6.0) - (10.0) ( (8.0), (9.0), (II.0) ), называется последовательностью простых итераций решения задачи (2.0) -(4.0) ( (2.0) (3.0), (6.0) ). ь .

Наряду с пространством {/(* ) введём пространство ) с нормой

ÜUli auuryiaoc(i<ttx/I + //uiij-t-t/iu-^jii^ t+üt&JitcLt;

- II -

Учитывая условие (1.0), в пространствах 1Д/ и

(сгд. / можно ввести вспомогательные скалярные произведе-

ния

52 ' ;

/9 6 ^ у ¿'

"А-

а через (. иЛ , [Г ^Т)Й £ обозначим нормы, определённые этими скалярными произведениями.

Везде далее будем считать, что область имеет кусочно-

гладкую границ/» если область ограничена, а если область52 не-ограничена, то будем считать, что область^?/? К^ ( К^ - шар радиуса ^ с центром в нуле) при Я больше некоторого £ имеет кусочно-гладкую границу.

Перейдём к изложению содержания работы, при этом сохраняем номер формул, теорем, лемм и замечаний, которые они имеют в диссертации. Вторая цифра указывает номер параграфа.

I. Как уже отмечалось, в первой главе изучается вопрос о сходимости итерационного процесса (Е.О) - (10.0) ( (6.0), (9.0), (11.05 ) к решению задачи (2.0) - (4.0) ( (2.0), (3.0), (6.0) ). В § I найдены достаточные условия ограниченности, а в § 3 - условия сходимости простых итераций к решению рассматриваемой задачи в метрике пространства V .

Например, доказаны

Лемма 1.1. Пусть выполнено условие (1.0), /г ^ область ограничена,

я- 2, ^ х и7- /¿V, X / /¿ч/й» ¿с <со (1.1)

почти всюду по -Ь на Г( 3 , где параметр ' удовлетворяет условию

¿^^¡¿/г. при п. £ Я, и ^ >1 при = г (2.1)

Пусть далее выполнены условия

Л

] («*■), <с (т ихт^ ь +■ ии.ч л +0* (3.1)

ее, ' "а.

КО.

• при любых иг& I/ ¿1 , где с > о, &с~Со11) » а

ре- п->'г ^ Р ^^¿Ч) при п, <;?_ .. (5.1)

со

Тогда последовательность ^ бе.^ > определённая итерацион-

ным процессом (8.0) - (10.0), при 1^=0 и произвольным ио6-1/ ограничена в пространстве \/ , то есть найдётся такое С^ , что

«и-к Чу ~ сл- - <6Л)

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия леммы 1.1 и условия 4

Qs

i

IJ (Hju-)- /?, ( )cii\< & Ifcc-crV^ £ [[ur]]a/

** L J (3.3)

^ '^в* { "^% Ol \

при любых и ire \JC (Q)^ \IXl/- n tr/l ^C^^ciUro/j и любого их & t/ , где1 ¿ig-fo,*);,

Тогда задача (2.0) - (4.0) имеет единственное решение tc-lx; i) & I/, последовательность ] tc^ J-о Решений задач

(8.0) - (10.0) при любом ^сходится к ¿¿- в I/при ¡с -ь оо и справедлива оценка

■ Н и,- ик Н £ СС£) (&+£)* HU-ио Ну (4.3)

при любом £ > О .

Отметим, что условия (2.3), (3.3) в отличии от условий (3.1), (4.1) локальные (в ограниченном шаре \/ {¿¿} по и. и V ).

Приведён ряд замечаний, позволяющих Ослабить условия лемм 1.1 и теоремы 1.3, если известно существование решения из определённого пространства функций.

В § 2 и 4 также рассматривались вопросы ограниченности и сходимости последовательности простых итераций, но уже в пространстве 2. . При доказательстве теорем этих параграфов встретились серьёзные технические трудности в особенности в случае краевых условий третьего рода. .

В § 5 на примере случая, когда А■ Ш)~ ('<] / Л=- О, . - - J , где с^. ро> ру^ ) - измеримые

функции переменных, показывается, как можно проверить

условия теорем §§ 1-4. Кроме того, показывается, как выбрать дифференциальное выражение ¿01 , чтобы сходимость итерационного процесса была наилучшей.

Предположим, что выполнены следующие условия:

где р такой параметр, что

р'е- , при П и р'е (г схр) при п= -Г _ (2.5)

Пусть функции

дифференцируемы по р —

(Ро Л , - > рЛ _ • ^зна^м ^ /О • Введ®м

матрицу А (Ъ р0 ъ р) <4 (*;*> /I > Р) (¿¿^ и - '/У-

Предположим, что почта всв5ду в О

(3.5)

НА <*> К Ро> р) II £ Д, <4 (4-5)

при любом р& К , где уЗ (от; <г) £ Д >О^ Пусть, кроме того, почти всюду в (2

^ 4 с*-*, д,, р) </, ъ? р) с!й(*ьр>0,р)± х'^

(î~ f, Z, .rv)>^p0ct0 f 3Ç p0> p) s ju;^) (5.5) при любом p€- R , где почти всюду по t на f С? Tj

a параметр Cj^ удовлетворяет условию (2.1).

Теорема 5.1. Пусть область S? ограничена, lté- b^iSс?) , выполнены условия (1.0), (1.1), (2.1),

Д,( и) = U.} U.^.) ( <"=; О . ..j и.) и выполнены

условия (1.5) - (6.5).

Пусть, далее, почти всюду в Q о JL -ч

.s/ > _ в 0ЙЩем случае и

1 ' если ^ ^ ^

Тогда выполнены условия и утверждения теоремы 1.3 при Supëfrè) .где

ае л

mcLoc [( 1-Jbt /ЦД ll-fijçll,*ели Л . Из условия (8.5) следует, что é? é1 Го, 0-

Учитывая замечание 2.3, условия-(1.5), (2.5) не требуются, если известно, что решение задачи (2.0) - (4.0) существует. Если, например, CL.. = ос (aç-h)( f , . — О

если ¡ФJ ), то условие (8.5) принимает вид: у

а ■—f

{Й й в общем случае и

4 а, . если J = Â*.

Условия (1.5) - (6.5) являются лишь достаточными для выполнения условий (3.1), (4.1), (2.3), (3.3) не являются необходимыми. Действительно, если А0/СС)= dc C^t сс,^^) =-

CCS/nU. -h

, где

С Р - удовлетворяет

условию (2.5)), то условие (3.1), очевидно, выполнено. При п<6 в п. 4 § 10 показывается, что выполнено условие (2.3). Однако условие (5.5) не выполнено.

Таким образом, условия (3.1), (4IÏ) слабее условий (4.5), (5.5) (если Д, (u)~cly t (Л. их) ), но и они являются очень

L с ' J J

жесткими. Например, из (3.1) следует, что Н ± с ( а! + ши,шл6 ч-г),

где параметр удовлетворяет условию (2.5). Откуда следует,

что II А^ /и.) //^ ^ а С ( (4^11^/1,0с ¿у ) , то есть

оператор /\с(и) , как оператор из ЭД/ /и ,

ограничен. ^

Далее будем говорить, что нелинейность в задаче (2.0)-(4.0) ограниченная, если // £ С (ПССИ^ -у-т)

где ¿Г , некоторые банаховы пространства. В рассматриваемых в работах метриках ограниченность оператора Ао (и-) — с10 (у- £ и. их) может иметь место лишь в том случае,

когда функция с1а ^ р0> растёт не быстрее первой сте пени по р .

П. Во второй главе для решения задач (2.0) - (4.0), (2.0), (3.0), (6.0) строятся итерационные процессы, основанные на априорных оценках, что позволяет решать задачи и в случае неограниченной нелинейности.

Срезной (или проекцией) на шар радиуса с центром в нуле в пространстве Банаха £ называется оператор (В)и Е^и)II,

где ер ( £ /иЛ .=■ /Г) )П П, к /и осп Л . Через Р" обозначим

оператор равномерной срезки

А/ , если и.о.] Ь) < Л/

11- , если А/ * МХ) *

М

, если ьоСуг ¿мм. Предполагаем, что операторы Л (и) , 1~(и~) имеют представ-

М

Р Ц,

ления

А (Ц) = А (и, их) (1 = о3Ни) = Р(и 1/х). Обозначим

I

Р ^ % и, и-х) + [Р (ръ ^ Я«ь) -

где р. } С-. (¡- 11 3) - некоторые срезающие операторы,

которые будут определяться априорными оценками.

Наряду с задачами (2.0) - (4.0); (2.0), (3.0), (6.0) рассмотрим

задачу

0) = к(х) . . (5.6)

И-Г30 f (6.6)

'и задачу (4.6), (5.6) с краевыми условиями

А."' 3,1 *(и<3 (7.6)

^ О

Заметим теперь, что итерационный процесс (В.0) - (10.0) для задачи (4.6) - (3.6) запишется в виде

^ - я£ > ? -; - (6.6)

ко

о) ~ кгх), (9.6)

Итерационный процесс (6.0), (9.0), (11.0) для задачи (4.6), (5.6), (7.6) запишется в виде (6.6), (9.6) и

3 Л Л (11.6)

2 (Р ^ & ОС ).

1-1 ' 7

Во второй главе в основном рассматривается случай, когда

А (и) = А А£, / ^ ' . »г.),

¿Си1=- - ос 6.СС,.

- 17 -

Используются априорные оценки

сгаАтаос! и гх; < А/ а) (16.6)

(К

1Тчлитаос I ъ £ Мо сь)г г) еб/

НссА В (1'7)

II к- ¡1 1 = Н 4 Г> И и.ГШм (Ь) \ К, Т 5

(2.7)

I, и. П х = /га^с^ми (3'7)

V

ции л = < Л/. (4.7)

В §§ 6,7 второй главы при условии, что решение задачи существует и удовлетворяет одной или нескольким указанным выше априорным оценкам, находятся способы выбора операторов Р. , С-, (I - 1,1, 3).

Обозначим [/ = ] (Т& \/: 1гга,1 т<г?с / <у/< д/} , че-

рез £ (0. ^обозначим пространство функций из с нормой

гг.аАта'х -вИ^^ . - ПУСГЬ.

п°(й}= ¿-Ж

&СРД „О ,гл ЕР>* я г,

а £ ^ II Ы) - шары с центром в нуле радиуса I I в

пространствах , < '> Доказана,.например, следующая __

Теорема 1.7. Пусть область^зс ограничена, задача (2.0) - (4.0) имеет решение И- в С /£}) с оценкой (16.6) и (1.7). Пусть операторы

А. .(и.) ( С}1~ 1,,... уъ)? Ае ( и^)

удовлетворяют следующим условиям:

А. И ^^'гЛ (22-б)

6£ ^ V» О ' Р>х>

при любых CLtle- <СоТ(T&l/^nE1V8] » где

0¿~*<A/)>0) oí^OL^V), r^KíA/);

■ I l ( Ao <

, (18.6)

O, (I^x-$i4a.,é +

при любых tre 1/^/7 ^ é1 аХс-l/ a éc- Со

Пусть, далее, ¿-Г и. 7= o¿ — .

Тогда решение задачи (2.0) - (4.0) единственно в классе ограниченных функций из '/ , а последовательность j > определённая итерационным процессом (8.6) - (10.6), где р р р" Q Q 9 (По )

1 -Z — А/ * 1 -С Ы) 2. > >

% (П°, i) = Wí« г г, /Ч А t

при любом ueEjQ) Н при любых ytJ WftízfIJt-) сходятся к в пространстве I/ при /с с оценкой

¡\ и - LÍK // ¿ С(£)(в+ё) 1¡CL-U0U , f ~f при bl£>0 , где 0-= (oLx~ (oíyj-ot^ ) .

Пусть, например, /by Г £¿) = А. - (oc^t, а) 3 ¿¿^J-

/хг ^ ¿г., гг^) . Условие (22.6) будет выполнено, если

V7 ^ fj ^ Q, je R*] perZ-K a/1-

Если Л^Б i/fC-r-^J/Joj^n)

почти всюду по Т на , где параметр удовлетворяет

условию (2.1), то выполнено условие (24.6).

Для того, чтобы проверить условие (18.6), можно воспользоваться леммой 2.6. Из неё следует, что если

I ^ ^ t,Ро, л) - ^ я/ * Г^ ^ ¿j +

i ¡prfJ + (Ъ+' * l(3I-6)

- 4, /Л /^ ^' ^ ^

Ч > л с ¿-'л оо'

Л/п1 при и узпри то

выполнено условие (18.6).

Оценка (16.б) не всегда может быть эффективно найдена» поэтому рассматривается случай, когда известны лишь оценки (1.7) и

(4.7). В этом случае полагаем (5д/ (Е ,£) ( или

>• • £

— 7^7/л СТ. А/ / А Я'Н р 0 +- И.М/иоИ. 1(Т

' м Е +

Условия (22.6), (24.6^ должны выполняться при любых ' ^ Е^ ^(О-), а условие (18.6) - при любых

Условия (24.6), (18.6) - это условия Липшица для операторов А;. (и-) , А0( ^«я;) , которые приходится проверять в различных "функциональных пространствах. В случае третьих краевых условий потребуется условие Липшица на оператор рси) в краевых условиях. В работе (см. леммы 2.6, 1.7, 2.6, 4.7 - 6.7) приведены достаточные условия выполнения условий Липшица в ограниченных шарах различных функциональных пространств.

Рассматривается вопрос о сходимости итерационных'процессов вида (8.6) - (10.6) ( (8.6), (9.6), (11.6) ) в метрике пространства 2 . При этом требуется более сильные, чем в случае пространства \/ , априорные оценки и большая гладкость данных задачи, зато-нелинейность может быть более высокой степени.

Использованные выше срезающие операторы есть проекции на шар с центром в нуле в соответствующем пространстве Е . Во многих случаях удаётся получить оценку вида

// ^ (ъ 4 - Ъ) н ^ у (-в, ,(х)

где у^-^Спри "£->0 . Тогда для решения задачи на интервале [±0> t0i-hJ более эффективно использовать срезку на шар с центром в точке с.

В § 8 приведены некоторые приёмы получения интегральных априорных оценок. Факт существования таких оценок при использованных условиях хорошо известен. В этом направлении имеется большое число работ. Нашей задачей было найти входящие в оценки постоян-

ные, причём как можно точнее. Точность априорных оценок сильно влияет на скорость сходимости итерационных процессов. Второй задачей этого параграфа являлось нахождение.оценок вида (к). Далее в § II и главе 1У мы неоднократно встречаемся с трудностями, связанными с получением эффективных априорных оценок. В некоторых • случаях, например, нам приходится находить постоянные в теоремах вложения и мультипликативных неравенствах.

В § 9 показано, что полученные в работе итерационные процессы можно использовать для построения положительного решения и доказательства теорем существования. Кроме того, доказана устойчивость полученных итерационных процессов.

Ряд примеров на применение полученных методов приведены в §§ 9-11, среди которых уравнение Бюргерса и уравнения Навье-Стокса.

В конце § 10 прбводится сравнение построенных итерационных процессов с известными итерационными методами.

' В последнем параграфе второй главы для решения задачи

построена модификация итерационного метода Ньютона на основе использования априорных оценок, сходящаяся с любого начального приближения.

Ш. Основной целью Ш-ей главы являлось получение аппроксимаций решения возмущенной начально-краевой задачи собственными функциями невозмущенного оператора, которые получены в последнем параграфе главы 15). Здесь использованы два подхода к решению поставленной задачи. Первый основан на использовании результатов ■ первых двух глав. Второй подход используется в случае линейной задачи и основан на разложении функции от оператора в ряд Тейлора, которое получено в первом параграфе главы (§ 13). В § 14 уста-навливается__свяэь между разложением в ряд Тейлора и итерациями.

Пусть / и Ь - линейные замкнутые операторы в гильбертовом пространстве И , удовлетворяющие следующим условиям:

I. Ре ( Ни /Д рт (¿^ ¿¿з и-)\б С /?е (¿^

\/и<~0(1), где а £' , с, ¿~&Т>

П. ОС^С ( ОГ^Х область определения формы (и^(/)

ассоциированной с оператором ) ;

ш• ! £<?. Г (Т^и, и.) ~ и)11 < 0i ¿¿и, «],

I ^ С (^^ О.) - 4_ Г", «Л/ 5 1/и€-0(Т),

где

1У. Операторы ? 1а существуют и ограничены. Здесь ¿^(и^сг) -¿> (и.; 1Г)-<Х- ((¿;(г).

Пусть ^ 2 ; У комплексной

плоскости задана функция у^-г] , удовлетворяющая следующим условиям:

(A). Функция уг2.) аналитична и ограничена в полуплоскости

(B). Найдётся последовательность спрямляемых дуг /С^ , лежащих в полуплоскости П^ , уходящих в бесконечность при х) ->оо и примыкающих к прямой бЬ- , таких, что

У при У-

' ро

(С)/ У (0.^^)1 /¿/з(<оо , где г

контур, охватывающий числовую область оператора. /

При сделанных предположениях мояно. с помощью контурного интеграла определить функцию от оператора у7/Д) гак, что на операторах й / она имеет смысл. ,_

Теорема 2.13." Пусть операторы / и удовлетворяют условиям 1-1У, р. функция - условиям (А) - (С). Тогда

__С*а £ '

уг и 9 / , \sfc-H, аб.13)

^(17.13)

где интеграл сходится абсолютно и

Заметим, что если / и Л коммутативны и оператор /? = 7"— ¿1) ограничен, то

Тогда разложение (16,13) есть разложение функции 7) по степеням оператора , то есть - ряд Тейлора в окрестности оператора /л . ' -■>

В случае, если оператор ¿л^ самосопряжён и. вполне непрерывен, получены формулы для аппроксимации элемента

по собственным векторам оператора 1л , где используется лишь матрица

= Т(ес> ?/) - \ ^ и зна-

чения функции и её производных в точках ( ^ - собственные значения оператора А , а - соответствующий собственный вектор).

Решение широкого круга задач можно представить в виде функций от оператора ( см. [<П - [7 7 ).

В § 14 полученные результата применяются к теории полугрупп. Показано,-что в этом случае

ср*

есть /с-ый член известного . разложения полугруппы. При этом ограничения на возмущение порождающего оператора существенно слабее известных. Важно также подчеркнуть, что в ранее имеющихся результатах равномерная сходимость разложения гарантируется на интервале С <■7 ,

В нашем случае доказывается равномерная сходимость на интервале

гсД)

В § 15 результаты §§ 13,14 проиллюстрированы на примере аппроксимации решения задачи для параболического уравнения второго ■ порядка по собственным функциям оператора Лапласа. Одно из преимуществ формул аппроксимации состоит в том, что приближение решения ¿Г^пО в любой момент времени t ив любой точке х-е-52 мы можем сразу получить, зная матрицу Т( €-С} ¿у ) (/— ^.

Используя результаты первой и второй главы, нетрудно получить аппроксимацию решения задачи (2.0) - (4.0) собственными функциями невозмущенного оператора. Нетривиальным является здесь оценка точности полученных аппроксимаций. В § 14 получены такие оценки в зависимости от гладкости данных задачи.

1У. Четвёртая глава посвящена изучению некоторых задач оптимального управления. Используя синтез оптимального управления (то есть представление и- А С у и., Ри.) оптимального управления через состояние ^^ и сопряжённое состояние , соответству-

ющие М' ), получаем систему вида:

т„ + врт*Р ~сг</=с)} (12.16)

которую будем называть системой условий оптимальности (СУО).

- 23 -

В § 16 исследуется СУО общего вида (12.16). Пусть задана тройка гильбертовых пространств [/ «с. /V с {// , где V плотно вложено в И , а Г - сопряженное к V I относительно Н ) пространство.

Будем предполагать, что выполнены условия:

1Г Т действует из V в V [ В* £ С£„ £ ГЦ Е^,

' О & ( Е > Е„ - гильбертовы пространства);

' > <7 т ~г * /II \

1р. Оператор А~> ограничен ( Ц С7 ) ;

Г^. Оператор Р" действует из ¿^ в ¿^ и для любых 2 , найдётся такой ограниченный неотрицательный оператор

что РГг+ла) — £7г) = ьг)лв (н сх,

Ег).

Теорема 1.16. Пусть выполнены условия 1т - 1о, а

\ 1е0

последовательность } ^ ^ , определена с помощью ите-

рационного процесса

тУ/с = / - , тук = еС*(Сук+#)* (16.16)

+ 5 е - Ео^Я ' Решение уравнения

Тогда система (12.16) имеет единственное решение и при любом у € {/

йУ-УкНуЗСоС^л. нвниСн¿-у/1^ I

/I р-Яс'^Ч //О/^^-у^ ) . (17.16)

Условие можно заменить, либо условием

либо условием

£ Г.- //-< Се£(НА),

Доказана теорема об устойчивости итерационного процесса (16.16).

В §§ 18, ,19 приведён ряд примеров на применение теорем § 16 в случае, когда состояние системы описывается эллиптическим или

параболическим уравнением, а управление входит либо в правую часть, либо в граничные условия.

Показано, что скорость сходимости предлагаемого метода такая же как у метода наискорейшего спуска. Однако в методе наискорейшего спуска для определения параметра спуска на каждом шаге итерации нужно дополнительно решить серию уравнений и сопряжённых: уравнений состояния. По сравнению с градиентным методом при фиксированном параметре спуска ¿L , предлагаемым в работе Главин-ски, Лионса процецесс (16.16) имеет значительное преимущество по скорости сходимости.

В § 17 рассмотрены некоторые частные случаи системы (12.16), для решения которых можно построить более эффективные итерационные процессы.

Рассмотрим систему

Ty+i>Ip = ¿, Tp-CCjL^, (i.17)

vj&lßehi, Т^Т*, D(T)=H . пусть УС~Н*Н}

v (R)= D(T)' о[Т) и R^ (J*c,r) .

Лемма I.I7. Пусть выполнено условие lZ и (ТУуУ^Ъку11*; ^У е .Тогда S(R)<S-

]1&С/J^ll //С/1

Здесь S ( - спектр оператора R. .

Результат несколько неожиданный, если учесть, что числовая область оператора Q при j/h> оо может уходить к — со Действительно, пусть Т~1, С~0 и (г, --z) . Тогда

(Rur, иг)ж = (1-±р) 1/(^/1^ •

Т е o_j> е м a I.I7. Пусть выполнены условия леммы 1.17 и оператор I ограничен. Тогда система (I.I7) имеет единственное решение ( ^ р) Ж при любых J о // , а итерационный процесс

iK+e^-^x-^frh (12.17)

сходится в пространстве Ж при любых Ч0 * Р €г Й с оценкой

Ítp-Рк (I + Ii у-ук II ere) (н И t/iy-x и ). .

Здесь рхЭ и 0_,1) явно определяются по данным задачи.

Итерационный процесс (12.17) не требует обращения оператора состояния и сходится со скоростью геометрической прогрессии.

Ряд задач с дифференциальным оператором состояния / удаётся свести к^случаю с ограниченным оператором состояния путем замены у — /.2 (У~ ¿ 2-) > гДе Ь ~ некоторый более

простой оператор. Тогда оператор / переходит в оператор Г =

— ? -Л — "Л -т— I \

= 11 (~Т- Т ь*- ) . В этом' случае при реализации итерационного процесса (12.17) приходится обращать оператор ¿л .

Отметим, что во всех выше названных методах скорость сходимости замедляется при и знаменатель сходимости ^^ ~ (Т ) -> / , Далее в работе построены два таких итерационных процесса, что их показатель сходимости^ при любых > О . ^ Первый приём используется для решения системы

Г /-у-/© = / ,

и состоит в решении последовательности систем

^ /и -у*,, - г4.- ^

Для задач оптимизации ^ / , / . Тогда если положить

^ р ^ ( ¿¡^ А ) , то на каждом шаге итерацион-

ного процесса. (26.17) требуется решить систему вида:

Решение последней системы можно представить в форме

Если известны собственные значения и собственные вектора оператора , то нетрудно выписать разложение по этим векторам решение системы ( у, р)

Применение указанного метода продемонстрировано на примере задачи: найти ¡И ( И ¿/¿Г 2// 2 -у 111ГЦ'г'}9

где - решение эллептического уравнения с управлением в правой части. В этом случае за оператор Ь выбирается оператор, по. рождённый дифференциальным выражением - и А +■ у и однородными

краевыми условиями Дирихле. Собственные вектора оператора ¿л нетрудно найти в случае, если, например, - параллелепипед

или шар.

Другой приём построения итерационных процессов, имеющих равномерную по параметру ^ скорость сходимости основан на разложении функции от оператора. Этот приём подробно рассмотрен в § 23 главы У. Частным случаем задач, решаемых таким образом, является задача Майера. То есть задача перевода системы, состояние которой описывается параболическим уравнением, из одного заданного в другое заданное состояние за данный период времени .

В § 20 рассматривается задача с нелинейным уравнением состояния: найти

т4 Д ^ от) - ¿Л - * Д ^ 7, (1.20)

где обобщённое решение из Ш^(Ък) задачи

Здесь и определено в (9.16), -ограниченная область из

Если оптимальное управление ¿¿- существует, то оно имеет синтез СС- р) , а соответствующие ему

удовлетворяют системе

+ & у} - ВРи =

•С [рЗ + ¿у ъу): - СГу . - , р^-0. (33-20)

Доказаны теоремы существования решения системы (33.20) и при некоторых ограничениях строятся итерационные процессы для её решения.

У. В пятой главе рассматриваются применения итерационных ме- ■ тодов и метода функции от оператора к некоторым конкретным задачам.

В § 21 рассматривается задача распространения радиоволн вокруг идеально проводящей Земли, окружённой слоем анизотропной ионосферы, в которой магнитное поле Земли Н0 вертикально, а распределение электронной концентрации и частоты столкновений электронов с нейтронами С*-) не зависит от угловых координат.

- 27 -

Пусть , # , у* - сферические координаты с полюсом в центре Земли. Предположим, что источник излучения задается вектор-функцией г &■) , в частности, может иметь вид (-(-г. &)=

р | , то есть источник сосредоточен в точке

7- "Ь у О и направлен вертикально. Здесь > где

Си- - радиус Земли.

В этом случае поле 1/^1 / , возбуждаемое этим источником, списывается уравнением ( ¿/^ - вертикальная, а I/ - горизонтальная составляющие ¿/ )

где /*• 7 - матрица дифференциальных выражений, коэффициенты которых определяются через функции (С^) -Кроме того, выполняются краевые условия

ограничено

при О и при &

7Г .

В случае, когда Л^/^-О}

а источник Г направлен вертикально, {/— 0 . Тогда О-задача (1.21), (2.21) принимает вид

¿„е. Ъ 4 О.

\1-CL

Первоначальное решение этой, задачи, найденное Магдональдом ещё • ■ з 1903 году, состояло в ^изложении мля-по собственным функциям

оператора ^^) • К сожалению, полу

ченные таким образом разложение сходится очень медленно. Ватсон и Пуанкаре предложили метод преобразования ряда к другому, быстро сходящемуся. Метод состоит в том, что строится функция комплексного переменного с полюсами в собственных значениях

(п = ■\> '..,') оператора и вычетом в этой точке, совпа-

дающим с п--ым членом ряда. Тогда ряд можно заменить контурным

и

интегралам по контуру / . При этом оказывается, что лодантегра-льная функция имеет также другие полюса ("я- г, 2., - -. ) .

Деформируя контур Г и беря вычеты по полюсам 3"л= t получаем другой ряд, который оказывается сходится очень быстро.

Пусть ft <>ZJ ■> ^ ( ju^tJ) решение оператор-

ного уравнения ftif f (оператор /-¡^ определяет-

ся дифференциальным выражением и краевыми условиями (2.21) в (CL со) , а у^ (>.&■} - решение операторного уравнения

/ / /

У^ 3 Уд, = У^г, . В 5 21 доказано, что решение задачи

(I.2I), (2.21) имеет представления в виде функций от оператора

или ^ ^

J (б-2I)

. (6^-21) Для задачи (3.21), (4.21) разложение Магдональда по собственным функциям оператора совпадает с разложением (б7. 21), а пре-

образовать^ ряд Ватсона, Пуанкаре совпадает с разложением (6*21).

Более быстрая скорость сходимости разложения (б2".21) по . сравнению с разложением (6 .21) объясняется тем, что плотности спектров операторов и приблизительно равны, но функ-

чем функция ^ ( >t Ъ)

Постановка задачи (I.2I), (2.21) принадлежит соавтору работы [4"3 профессору П.Е.Краснушкину. Автором данной работы получены представления решения (6.21), доказана полная непрерывность и полнота системы собственных и присоединенных векторов оператора , получено разложение решения по этим векторам. В рассмотренной выше задаче предполагается, что коэффициенты уравнений, определённые через функции /V£ ft-) , (

известны. Однако на практике эти функции известны лишь приближенно и,кроме того, могут меняться, например, под влиянием вспышек на Солнце. В этих случаях — А/£ (т-г ^ &■), V~P С1, <£ <&-] . Однако в атмосфере эти функции остаются постоянными. Кроме того, наибольший интерес представляет поведение решения вблизи поверхности Земли.

Автором было предложено два варианта сведения рассматриваемой задачи к экстремальной, использующие 'результаты измерения поля (J на трассе полета .

«Г . . " « ---'

уия (Ъ при 3 стремится к нолю значительно быстрее

Я- ^ . < » . \

- 29 -

Первый подход применим к случаю, когда функции А/^ 1 неизвестны, но зависят только от ^ . Метод состоит в том, что решается экстремальная задача

JfV) = ^ У }иd¿ , (26.21)

ч V г

где У у - решение задачи (1.21), (2.21), а (Г = М гг.) , -Кг// У • Учитывая симметрию решения ¿У , нетрудно заметить, что г- \ (г, Ч>, 3 < } .

В работе [IТ] предложен алгоритм приближённого решения задачи (26.21), (1.21), (2.21), основанный на разложении функции от оператора, полученное в 5 13.

Второй подход применим к случаю, когда Л/ ^ Л/£ ^ е?-)^

^ 2Л., ^ ¿з) .но используется тот факт, что

известны при- ^^ (в атмосфере), Ъ-, % .

В этом случае минимизируется функционал (26.21), где -решение задачи (1.21) с краевыми условиями (2.21) при и

Регуляризованный вариант этой задачи рассматривался в § 16. Итерационные методы для решения некорректных граничных задач построены в § 22. В частности, предлагается итерационная процедура для решения задачи (1.2.1), ("2.21), (26.21), (27.21).

Частным случаем задачи, рассматриваемой в § 22, является также задача Коши для эллиптических уравнений. В § 23 рассматривается задача

С^/сг} = 1-/1 МГНц-* 1Ь<£, (1-23)

где И' И ^ > И ' ^Н^ ' ~ нормы в гильбертовых пространствах

Н , Ну , не И , 0<Т<сх> - обобщен-

ное решение задачи

Здесь управления 1Г. (I- Тг....т)могут иметь и не иметь зависимость от "¿Г , а II либо всё пространство управлений Ну либо шар в этом пространстве.

В случае, когда операторы Р. - оператор» умножения на скалярные функции Я. (-¿-) получены явные представления оптимального

управления при и нормального оптимального управления

при в виде функции от оператора ¿ь . На основании этих

представлений найдены необходимые, необходимые и достаточные условия разрешимости задачи при ]и~0 . Представление оптимального управления в виде функции от оператора используется для получения критерия разрешимости задачи быстродействия с ограничением

1"Г//Ни ~ ^ • Если . например, т~1 , )

У (й^го) с однородными краевыми условиями первого или третьего рода, то задача на,быстродействие имеет решение тогда и только тогда

Здесь ¿(г, ¿г) - (г*)с/зс для первой краевой задачи и

для третьей краевой задачи.

Если собственные значения и собственные функции, а в более общем случае спектральное разложение оператора /л известно, то полученные представления явно определяют оптимальное управление.

При более общих предположениях относительно оператора р1Г

т

- 51 сГ. получены быстро сходящиеся итерационные про-

цессы, включая случай ^—О . При этом на каждом шаге итерации при уи О последовательно решается параболическое и зллиптичес* кое уравнение.

В работе изучались некоторые обратные задачи, при этом они рассматривались как вариационные, и основное внимание уделялось разработке итерационных методов для их эффективного решения. При построении итерационных процедур существенно используются методы, разработанные автором. Например, для решения задачи по восстановлению функции (сг~ 1/~Стс) или {Г= ут'я; г9) в уравнении

с начальными и краевыми условиями

# <4 С) ^ о , %(*, -ё / ~ о (2.24)

с дополнительным условием

В конце работы в Приложении приведены результаты расчетов четырех конкретных задач.

Проведён расчет задачи, соответствующий случаю распространения сверхдлинных радиоволн в средних широтах на морских трассах в летний день. Исследовалась зависимость собственных значений радиального оператора от высоты,нижнего края ионосферы и длины радиоволн. Проводилось вычисление высоты нижнего края ионосферы по данным измерения излучения на трассе полета.

Исследовалось тепловое состояние в зоне резания инструментом с твердым интенсификатором охлаждения. Для расчетов использовались известные математические модели,*при исследовании которых возникают трудности, связанные с тем, что задача трехмерная, нелинейная, коэффициенты дифференциальных уравнений негладкие, а источник имеет S^- образный характер.

Приведён расчет модельной задачи для эволюционных уравнений Навье-Стонса. Показано, что с точностью до третьего знака решение задачи можно свести к последовательному решению 12-15 задач для уравнения теплопроводности.

Выполнен расчет асимптотики решения задачи для двухмерного уравнения Синус-Гордона.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для широкого класса нелинейных параболических уравнений построены итерационные процессы, использующие априорные оценки, сходящиеся к решению с любого начального приближения.

2. Исследовано согласование априорных оценок со степенью нелинейности

3. Получена аппроксимация возмущенных операторных уравнений собственными и присоединенными функциями невоэмуленного оператора.

4. Получены новые быстросходящиеся итерационные процессы для решения некоторых вариационных задач, на основе исследования систем условий оптимальности.

5. Построены итерационные процессы для решения некоторых обратных задач.

6. Проведены численные расчеты ряда конкретных задач на основе разработанных автором методов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах.

1. Голичев И.И. О дискретности спектра несамосопряженных операто-ров//ДАН СССР. 1970. 191, № 6.

2. Голичев И.И. б дискретности спектра и полноте системы собственных и присоединенных векторов несамосопряжённых дифференциальных операторов/Датем.заметки. 1971. 9, № 4. ''

3. Голичев И.И. Исследование спектра несамосопряжённых операторов с комплексными коэффициентами при старших производных. Канд. диссертация. Математический ин-т им. В.А.Стекпова АН СССР. 1970. 67 с.

4. Голичев И.И., Краснулшин П.Е. Спектрально-истокообразные разложения в теории распространения волн и квантовой теории' потенциального рассеяния//Георет. и матем.физика. 1972, т.Х, № 3. 370-387. 7

5. Голичев И.И. О некоторых дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространствеТ/ДШХС£Рг1^74, т.214, № 5. 969-992.

6. Голичев И.И. Метод эталонных задач в расчете тепловых и электрических полей. В сб.: Расчеты тепловых и электрических полей. М.: Наука. 1977.

7. Голичев И.И. О некоторых дифференциальных уравнениях в гильбертовом проетранетве//В сб.: Исследование по теории аппроксимации функций. Уфа: Башкирский филиал АН СССР. 1979. 35-62.

Б. Голичев И.И. Аппроксимация элемента из области значений функций от оператора//ДАН СССР. 1979, т.245, № 3. 527-530.

9. Голичев И.И. Аппроксимация рещения краевых и смешанных задач// Тез.докл. Всесоюзн. симпозиума по теории аппроксимаций в комплексной области. Уфа. i960, с.41.

10. Голичев И.И. Аппроксимация решений некоторых краевых и смешанных задач//ДАН СССР. i960. Т.250, № 3. 535-539.

11. Голичев И.И; Об одном методе приближённого решения задач оптимального управления//ДАН СССР. i960. Т.254, № 4. '/80-784.

12. Голичев И.И. Аппроксимация функции от оператора//В сб.: Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа:БФАН СССР.. 1902. 15-34.

13. Голичев И.И. Аппроксимация рещения некоторых краевых и смешанных эадач//В сб.: Вопросы аппроксимации функций вещественного

. и комплексного переменных. Уфа: БФА СССР, 1963. 62-80.

14. Голичев И.И. Аппроксимация решения смешанных задач для параболического уравнения//В сб.: Исследования по теории аппроксима-

ции функций. Уфа: БФАН СССР. 1964. 50-56.

15. Голичев И.И. О решении нелинейных задач для параболических уравнений методом последовательных приближений//ДАН СССР. 1965, т.260, * 5. 1040-1044.

16. Голичев И.И. Решение параболических уравнений с операторными коэффициентами методом последовательных приближений//Тез. докл. Всесоюзн. школа по теории операторов в функциональных пространствах. Ч. Щ. Челябинск. 1966. С.32.

17. Голичев И.И. Решение некоторых задач оптимального управления методом итераций//В сб.: Вопросы аппроксимаций функций вещественного и комплексного переменных. Уфа: Б5АН СССР. 1966. 139-147.

18. Голичев И.И. Некоторые итерационные методы решения задач с .граничным управлением на основе принципа максимума. Препринт. Уфа: БШ СССР. 32 с.

19. Голичев И.И. Решение некоторых задач оптимального управления методом итераций//ДАН СССР, 1967» Т.293, 4; 761-785.

20. Голичев И.И. Сходимость некоторых итерационных процессов для эволюционных уравнений. Тез. докл. Всесоюзн. симпозиума по теории приближения функций. Уфа. 1967. '51-52.

21. Голичев И.И. Некоторые итерационные методы решения задач для параболических уравнений//ДАН СССР.1988. Т.300, № 4. 782-765.

22. Голичев И.И. Некоторые итерационные метода решения эволюционных задач, основанные на априорных оценках//В сб.¡Численные методы в прикладной математике. Уфа: Башкирский науч.центр УрО АН СССР: 1969.

23. Голичев И.И. О спектре одной системы, определяющей оптимальное управление//В сб.: Исследования по теории приближений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1969 ч С.30-33.

24. Голичев И.И.'Решение, некоторых задач для параболических уравнений методом последовательных приближений;, Уфа: БНЦ УрО АН 'СССР. 1989. 173 с.

25. Голичев И.И. Аппроксимация решения одной .задачи со стартовым управлением//В сб.: Теория операторов. Уфа: БНЦ-УрО АН СССР. 1988.

26. Голичев И.И. Некоторые итерационные методы решения систем условий оптимальности/УНрепринт. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 31 с.

27. Голичев И.И., Лукманов Р.Л. Метод разложения функции от оператора э некоторых задачах оптимального управления//Матем. заметки. 1990. 47, * 4. С.17-25.

26. Голичев И.И. Трехслойный итерационный метод типа метода Нью-тона/УДАН СССР. 1990. 314, » I. С.45-49.

29. Голичев И.И. Итерационные процессы ньютоновского типа, основанные на априорных оценках//Препринт. Уфа: БНЦ. 1991. 57 с.

30. Голичев И.И. Метод функции от оператора и итерационные процессы в некоторых задачах оптимального управления//Изв.'АН СССР. Матем. 1991. 55, 1> 4. Б15-€37.

31. Голичев И.И. Трехслойный итерационный метод типа метода Ныо-тона//В сб.: Исследования по комплексному анализу. БНЦ УрО РАН. 1992.

32. Голичев И.И, Итерационный метод решения некоторых обратных задач//Доклады РАК. 1993. 332. № 6.

33. Голичев И.И. Итерационный метод решения некорректных граничных задач//!:'., вычиел. матем. и матем. физ. 1993. 33, I.

34. Голичев И.И. Итерационные методы решения уравнений Навье-Стокса//В сб.: Исследование по комплексному- анализу. 1933. УНЦ РАН.

35. Голичев И.И. Восстановление начального распределения примесей по данным измерений в промежуточной точке/Деэисы докладов научного семинара "Проблемы экологического мониторинга". Уфа. 1994, с.37.