автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Гибридные конечные элементы для автоматизированного проектирования пространственных пластинчатых конструкций

Центральный научно-исследовательский и проектно-экспериментальный институт по методологии, организации, экономике и автоматизации

проектирования (ОАО "ЦНИИпроект")

На правах рукописи

Семенов Павел Юрьевич

ГИБРИДНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЛАСТИНЧАТЫХ

КОНСТРУКЦИЙ

05.13.12 - Системы автоматизации проектирования (строительство)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -кандидат технических наук В.А. Семенов

Москва -1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................3

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. Обзор исследований по построению конечных элементов......................6

1.2. Цель и задачи работы...............................................................................26

2. ПОСТРОЕНИЕ ГИБРИДНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Выбор модели...........................................................................................28

2.2. Вариационный функционал.....................................................................36

2.3. Конечные элементы плоско-напряженного

(плоско-деформированного) состояния.........................................................39

2.4. Изгибные конечные элементы.................................................................47

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕСТИРОВАНИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

3.1. Сходимость построенных конечных элементов.....................................53

3.2. Результаты тестирования элементов плоско-напряженного и плоско-деформированного состояний............................................................55

3.3. Результаты тестирования изгибных элементов.......................................74

3.4. Результаты тестирования элементов плоской оболочки........................87

3.5. Использование новых конечных элементов в ПК семейства МкгоГЕ .. 93

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ .......................................................94

ЛИТЕРАТУРА...............................................................................................96

ВВЕДЕНИЕ

Одно из центральных мест в современных системах автоматизированного проектирования (САПР) строительных конструкций занимают подсистемы прочностных и конструктивных расчетов. Следует отметить, что во многом именно возможности этих подсистем определяют экономичность и надежность результатов для САПР в целом.

В последние годы широкое применение в подсистемах прочностных и конструктивных расчетов пространственных строительных конструкций нашел метод конечных элементов (МКЭ). Как правило, при решении таких задач используются конечные элементы, полученные на основе метода перемещений для применения в плоских задачах. Наряду с тем, что используемые на практике простые элементы несовместны даже в случае плоской геометрии, они обладают и другими существенными недостатками. Так, несогласованность аппроксимаций перемещений в срединной плоскости и поперечного перемещения приводит к разрывам перемещений по линиям излома геометрии (стена-перекрытие). В узлах используется пять степеней свободы - две для плоско-напряженного и три для изгибного состояния или шесть степеней свободы с использованием фиктивной жесткости для вращения относительно нормали к срединной плоскости. Кроме этого, конечные элементы, используемые в широко распространенных подсистемах прочностного расчета (ЛИРА, SCAD и т.п.), построены на основе метода перемещений. Известно, что такие элементы позволяют определять усилия (напряжения) в несущей конструкции с существенно более низкой точностью, чем перемещения. В то же время для строительного проектирования наибольший интерес представляют именно усилия, так как проектирование (например, подбор арматуры) выполняется

по усилиям. Поэтому для получения решения по усилиям с достаточно высокой точностью необходима мелкая конечно-элементная сетка и в результате приходится решать системы уравнений высокого порядка, что является сложной и нерешенной окончательно задачей. Использование элементов, свободных от вышеперечисленных недостатков, позволяет получать решение для усилий с необходимой точностью на более грубых сетках и, следовательно, решать системы уравнений меньшего порядка.

Диссертация посвящена исследованию и разработке высокоточных конечных элементов пространственных пластинчатых систем. Основное внимание уделяется построению таких элементов плоского и изгибного напряженных состояний, которые были бы согласованы и совместны по перемещениям друг с другом.

В диссертации для этого используется гибридный метод, в котором варьируются поле усилий и перемещений по площади элемента и поле перемещений по границе элемента. Изгибные элементы строятся на основе теории толстых плит Миндлина-Рейснера и имеют в узле три стандартные степени свободы - поперечное перемещение и два угла поворота нормали к срединной поверхности. Полученные элементы свободны от эффекта "сдвигового запирания" и могут использоваться для расчета толстых и тонких плит. Элементы для анализа плоско-напряженного (плоско-деформированного) состояния также имеют три степени свободы в узле -два смещения и вращательная степень свободы. Элементы плоской оболочки (тре- и четырехугольные) с шестью степенями свободы в узле (три перемещения и три вращения) строятся путем объединения изгибных и плоско-напряженных элементов без использования фиктивной нормальной вращательной жесткости или других специальных приемов. Интерполяционные функции для линейных степеней свободы выбираются

таким образом, что по линиям излома геометрии (например, стена-перекрытие) перемещения остаются непрерывными. Результаты численного анализа новых элементов иллюстрируют существенно более высокую их точность при вычислении усилий даже на очень грубых сетках. Сходимость построенных элементов подтверждается выполнением ра1;с11-тестов.

Работа выполнена в ОАО "ЦНИИпроект" и ООО "Еврософт" под руководством кандидата технических наук В.А. Семенова.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. Обзор исследований по построению конечных элементов.

Начиная с самых ранних разработок метода конечных элементов (МКЭ), заметное количество работ было посвящено анализу плит и оболочек. Различные подходы, теории, вариационные принципы использовались, чтобы обойти трудности, возникающие при анализе пластин и оболочек общего вида. Однако, несмотря на большое количество исследований, посвященных этому вопросу, все еще требуются дальнейшие усилия для снабжения инженеров надежной, эффективной и точной вычислительной программой для решения различных сложных оболочечных задач.

Уравнения теории тонких пластин [4] (плоские оболочки) в линейном случае состоят из двух несвязанных систем уравнений, одна из которых описывает плоское напряженное состояние, а другая описывает изгиб пластины. Поэтому часто работы посвящаются отдельно изгибным или плоско-напряженным элементам.

В рамках истории метода конечных элементов интерес к изгибным элементам плиты возник очень давно. В начале 60-х годов ряд элементов был предложен такими исследователями как Clough [43], Adini [19], Melosh [83], Tocher [115]. Эти элементы, как и большинство элементов того периода, были элементами метода перемещений, основанными на теории тонких плит Киргофа.

К середине 60-х годов вариационные основы МКЭ стали более понятны и в связи с этим пришло осознание важности свойства совместности элементов, без которого сходимость не всегда может быть

получена. Поскольку теория Киргофа изгиба пластин ведет к уравнению четвертого порядка для прогиба, то в функционал энергии входят вторые производные. Следовательно, элементы, основывающиеся на этой теории, должны обладать С1 -непрерывностью, и требование совместности в задачах изгиба плит означает непрерывность поперечного перемещения и первых производных от поперечного перемещенияи (углов поворота нормали к срединной поверхности) по границе между элементами. Большинство ранних изгибных элементов были несовместными. В [43] рассматриваются три ранее введенных несовместных треугольных элемента с 3-мя степенями свободы в узле, построенных на основе полиномов третьей степени в локальных г, у -координатах. В [105] рассматриваются некоторые вопросы построения и сходимости несовместных изгибных элементов.

Успех в достижении полной совместности легче всего пришел в случае прямоугольных элементов. Bogner et al. [40] разработал совместные прямоугольники с 16-ю и 32-мя степенями, которые проявили хорошие свойства сходимости. Однако стало необходимым использование вторых производных от перемещения как степеней свободы. В элементе с 16-ю степенями свободы было использовано кручение. Как было показано позднее Irons и Draper [70], невозможно получить совместный элемент, используя простые полиномы и только три геометрические степени свободы в узле.

Удовлетворить условиям совместности в треугольных элементах оказалось особенно трудным. И последовал ряд различных подходов.

Чтобы получить совместный элемент с использованием только трех геометрических степеней свободы, Bazeley et al. [36] ввел неполиномиальные (superimposing non-polynomial) функции формы. Зенкевич [134] этот тип функций перемещений определил как "совместные функции формы с

узловой сингулярностью". Это определение отражает тот факт, что вторые производные или кривизны не определены однозначно в узлах элемента. В [36] представлены несовместный и совместный элементы. Несовместный элемент удовлетворяет перемещениям как жесткого целого и состояниям с постоянными деформациями. Функции формы выражены в площадь-координатах и приводятся в [10,134]. Важным недостатком этого элемента вследствие несовместности является то, что он не сходится к точному решению для некоторых модельных сеток. Совместный элемент получен соответствующей суперпозицией полиномиальных и рациональных функций формы в площадь-координатах. Вследствие наличия рациональных функций требуется схема численного интегрирования очень высокого порядка (16 точек в [36]) для вычисления матрицы жесткости. Приводится также модификация этого элемента, полученная заменой истинных вторых производных от функций формы на сглаженные производные. Эти псевдопроизводные есть линейный вариант (в смысле метода наименьших квадратов) истинных вторых производных, и в результате только три точки численного интегрирования необходимы для получения матрицы жесткости.

Clough [43] ввел, как определил Gallagher [56], "подход подобластей", в котором треугольник разбивался на три подтреугольника. При получении матрицы для всего элемента подразумевалась совместность вдоль границ подтреугольников. Неполные кубические полиномы (9 слагаемых) использовались в каждой подобласти для прогиба, и нормальная производная вдоль внешнего края каждой области изменяется линейно. Элемент также был сформулирован через площадь-координаты [44]. Однако формулировка включает громоздкие алгебраические операции и элемент достаточно жесткий. Другие исследователи также использовали подход подобластей или его вариации. В [45] описан треугольник с 9-ю степенями

свободы, при построении которого использовались два подтреугольника. Авторам удалось добиться непрерывности нормальной производной вдоль трех сторон, но поперечное перемещение не является непрерывным вдоль одной стороны [57].

Еще один класс схем построения совместных изгибных элементов использует полиномы более высокого порядка. Этот класс относится к уточненным элементам или элементам более высокого порядка. Элемент с узлами в середине сторон, имеющий 21 степень свободы и использующий полные полиномы пятого порядка для функций перемещений, был разработан одновременно Argyris [28], Bell [37], Irons [68], Visser [122]. Определение нормальной производной вдоль стороны элемента полиномом третьего порядка исключило необходимость иметь три узла в серединах сторон. В результате элемент с 18-ю степенями свободы был разработан одновременно также тремя разными группами: Argyris [28], Bell [37], Cowper etal[ 48].

Совместные изгибные элементы не только трудно получить, но за исключением элементов более высокого порядка они также были найдены слишком жесткими. Наблюдался заметный скептицизм в необходимости удовлетворять условиям С1 непрерывности и многие исследователи искали альтернативные подходы.

Значительное улучшение подхода Baseley было представлено Irons, Razzaque [71] посредством "замещающих (substitute) функций формы" и "техники сглаживания производных". Замещающие функции формы заменяли некоторые определенные члены в первоначальных функциях. Степень наивысшего полного полинома не меняется и производные в функционале энергии аппроксимируются методом наименьших квадратов

[134]. Элементы несовместны, исключая предел при уменьшении размера элемента.

Другие исследователи экспериментировали с полными квадратичными полиномами и получили "треугольник с постоянными моментами". Двойник этого элемента в случае плоского напряженного состояния есть "треугольник с постоянными деформациями".

Однако другие исследователи искали элементы, основывающиеся на альтернативных вариационных принципах. Одним из логичных выборов является принцип минимума дополнительной потенциальной энергии, дающий "равновесную формулировку". В принципе, все что требуется - это выбрать интерполяционные функции для напряжений или изгибающих моментов внутри элемента. Выбранные функции должны обеспечивать равновесие в каждой точке конструкции и удовлетворять силовым граничным условиям на границах. Однако, как описано у Зенкевича [134], это достигалось редко непосредственно с напряжениями как переменными. Одна из основных трудностей возникает при удовлетворении кинематических граничных условий.

Начальная работа в этой области была сделана de Veubeke [119]. Чтобы избежать излишнего анализа сил, он формировал непосредственно матрицы податливости элементов, инвертировал их, чтобы получить матрицы жесткости, и продолжал работать с решением в перемещениях. Проблемы возникли тогда, когда собранная матрица жесткости оказалась положительно полуопределена, указывая на кинематическую неустойчивость конструкции.

Другой способ использовать принцип дополнительной энергии состоит в использовании подхода "сил" или "податливости", где избыточный (redundant) набор самоуравновешивающихся сил принимается за

неизвестные. В конечно-элементном анализе сложности с автоматическим выбором избыточной системы сил заставили отказаться от этого подхода.

Значительные прояснения и упрощения в использовании равновесного метода можно приписать Morley [86,87], Elias [53], которые реализовали использование элементных функций напряжений. Напряжения вычисляются по вторым производным от этих функций и, следовательно, функции напряжений должны обладать С1-непрерывностью. Однако выбор этих функций делается проще посредством "принципа двойственности". Эти аналогии интенсивно обсуждались в литературе Southwell [108], de Veubeke и Зенкевич [121], Morley [86], Elias [43], Sander [106]. Несмотря на вклад Morley, Elias, все еще существуют трудности с выбором функций напряжений, определения нагруженного состояния и точного определения граничных условий для функций напряжений. Перемещения также не обладают однозначными значениями, т.к. получаются интегрированием деформаций. Более детальное обсуждение процесса получения решения с использованием принципа минимума дополнительной энергии дается в текстах Gallagher [58], Зенкевич [134].

Некоторые другие последовавшие формулировки сделаны с использованием множителей Лагранжа, чтобы ослабить требования непрерывности вдоль межэлементных границ и таким образом понизить требование совместности до С0-непрерывности. Использование этих модифицированных функционалов привело к гибридным и обобщенным смешанным методам. Термин "гибридный" используется для обозначения формулировок, где один набор неизвестных может быть исключен на уровне элемента. Термин "обобщенный смешанный" используется для обозначения формулировок, где оба набора неизвестных остаются в глобальной системе уравнений.

и

Первым разработанным гибридным методом был гибридный метод для напряжений Пиана [92,93]. Используя модифицированный принцип минимума дополнительной энергии, Пиан выбрал полиномы для напряжений по области элемента и перемещений по периметру элемента. Последние играют роль множителей Лагранжа для обеспечения межэлементного равновесия. Этот метод известен как гибридный метод в напряжениях (hybrid stress method).

Другие исследователи, такие как Tong [116], Kikuchi и Ando [76], разработали различные гибридные подходы для перемещений на основе модифицированных форм принципа минимума потенциальной энергии.

Виды функционалов для реализации гибридных подходов в напряжениях и перемещениях анализируются в [131]. Различные вариационные постановки задач теории упругости и схемы метода конечных элементов, основанные на этих постановках, описаны в [13].

Гибридные элементы в напряжениях для решения задач изгиба пластин были предложены многи�