автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрическое моделирование задач восстановления цифровых полутоновых изображений

На правах рукописи УДК 514.88:514.18:519.876:621.856.8

РГВ од

- з яна 2Жр

КУЗЬМЕНКО Дмитрий Владимирович

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЦИФРОВЫХ ПОЛУТОНОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Специальность 05.01.01 «Прикладная геометрия и инженерная графика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре «Прикладной геометрии» Московского государственного авиационного института (технического университета)

Научный руководитель

Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Якунин В.И.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, Наджаров К.М., кандидат технических наук, доцент Кондрус В.В.

Ведущая организация:

- Национальный институт авиационных

технологии

Защита диссертации состоится «28» ноября 2000 года в {Ь часов на заседании диссертационного Совета Д 063.51.07 по специальности 05.01.01- «Прикладная геометрия и инженерная графика» при Московском государственном университете пищевых производств, в ауд. 504, корп. А.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим присылать по адресу: 125080, Москва, Волоколамское шоссе, 11, МГУ Ш1, отдел Ученого секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПП.

Автореферат разослан « » октября 2000 года. Ученый секретарь

специализированного совета,

д.п.н., профессор ^ Акимова И.Н.

1Ш С ¡За ив, о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Интенсивное развитие вычислительной техники вызвало появление совершенно новых областей исследований. С каждым годом, по мере увеличения быстродействия ЭВМ растут возможности решения задач все возрастающей сложности. Данные изменения качественно расширили возможность использования современных научных достижений прикладной геометрии.

Появилась возможность применить аппарат геометрического моделирования для решения задач обработки изображений. Расширился состав лиц, ведущих оптические исследования. Появились новые направления, например, статистические методы в оптике, цифровая обработка сигналов, синтез голограмм с помощью электронно-вычислительных машин и другие. Это привело к интенсивному развитию геометрической оптики.

Задачи, возникающие при обработке изображений, можно разделить на три вида: задачи реализации системы; задачи идентификации системы; обратные задачи (задачи восстановления изображений).

Значительная часть вопросов, возникающих при геометрическом моделировании задач обработки изображений, связана с повышением их качества, апостериорным устранением дефектов аппаратуры, то есть с тем, что в совокупности называется восстановлением изображений. Именно поэтому при работе с изображениями наиболее актуальными являются проблемы совершенствования методов решения задач восстановления изображений, то есть решения обратных задач.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методов и алгоритмов задачи восстановления изображений с учетом определенных по обрабатываемому изображению параметров искажений, вносимых системой формирования изображений.

Для достижения этой цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи:

- исследование процесса формирования изображений и типов искажений, вносимых при формировании изображений;

- разработка методов и алгоритмов задачи моделирования искажений, возникающих при формировании изображений;

- разработка методов и алгоритмов определения параметров искажений, вносимых системой формирования изображений;

- исследование линейных методов восстановления изображений и разработка алгоритма на основе приближенного вычисления инверсной свертки функций в пространственной области;

- исследование нелинейных методов восстановления изображений; исследование влияния ограничений, накладываемых на область допустимых значений, на качество восстановленных изображений;

- разработка алгоритма коррекции найденной границы объекта на изображении с учетом полутонов граничных пикселей;

- разработка и внедрение инженерных методик и программного комплекса для решения задачи бесконтактного измерения параметров объекта.

Научная новизна работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе и обладающие научной новизной, следующие!

- разработан алгоритм нахождения весовой функции системы формирования изображений методом максимального спада градиента яркости;

- разработан алгоритм определения параметров шума на изображении по участку изображения с наименьшей дисперсией сигнала;

- разработан приближенный метод нахождения инверсной свертки функций в пространственной области;

- разработан итерационный алгоритм с автоматическим контролем качества изображения;

- на основе метода цепочного кодирования Фримена разработан метод, позволяющий находить границы объектов на некачествен-. ных изображениях;

- разработан метод коррекции контура объекта на изображении с учетом полутонов граничных пикселей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы методы начертательной, дифференциальной, вычислительной геометрий, геометрической оптики, математической статистики, вычислительной техники и др.

Основные задачи решались с использованием исследований геометров прикладного направления: Четверухина Н.Ф., Котова И.И., Бусыгина В.А., Наджарова K.M., Иванова Г.С., Найханова В.В., Якунина В.И. и других, а также с использованием работ ученых, занимающихся исследованиями в области обработки цифровых изображений: Тихонова А.Н., Василенко Г.И., Ярославского Л.П. и других. Использованы также исследования зарубежных ученых Э.Оппенгейма, Б.Фридена, А.Розенфельда и других ученых.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что предложенные в работе методы обладают высокой универсальностью, алгоритмы на их основе являются простыми и экономичными и легко программируются.

По результатам исследований разработан комплекс программ.

Полученные результаты могут быть использованы на этапе предварительной обработки изображений для устранения искажений, вносимых системой формирования изображений, а также для идентификации параметров системы формирования изображений.

На защиту выносятся:

- алгоритм нахождения весовой функции системы формирования изображений методом максимального спада градиента яркости;

- метод восстановления изображений с помощью приближенного вычисления инверсной свертки в пространственной области;

- итерационный алгоритм восстановления изображений с автоматическим контролем качества изображения;

- модифицированный метод цепочного кодирования Фримена;

- метод коррекции контура объекта с учетом полутонов граничных пикселей.

Реализация результатов исследования. Результаты исследований, выполненных в диссертационной работе, апробированы в виде инженерных методик и программного комплекса и приняты к внедрению на ОАО «Улан-Удэнский завод Электромашина».

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены:

на Российской научно-практической конференции «Образование в условиях реформ: опыт, проблемы, научные исследования» (г.Кемерово, 1997);

на \Ш-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям «КОГРАФ-97» (г.Нижний Новгород, 1997);

на УШ-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям «КОГРАФ-98» (г.Нижний Новгород, 1998). Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано восемь научно-технических работ, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты проведенных исследований.

Структура и объем работы. Структурно диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников, включающего 117 наименований. Диссертация объемом 120 страниц машинописного текста содержит 22 рисунка и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, ее научная новизна и практическая значимость.

В первой главе исследуются методы моделирования пространственно-инвариантных изображений.

Модель на основе уравнения Фредголъма первого рода с ядром типа свертки описывается уравнением:

у- у„ )/(х0, у0 )<1х0с1у0,

где g - искаженное изображение;

к - функция рассеяния точки (ФРТ); /- исходное, неискаженное изображение.

Для цифровых изображений эта модель выглядит следующим образом:

где п - источник шума.

Необходимость введения шума в уравнение ( 1 ) объясняется тем, что при получении информации об интенсивности изображения невозможно избавиться от шума, вносимого чувствительным элементом. Любой датчик искажает измеряемые им величины за счет собственного шума. Датчики изображений также не являются исключением. Кроме того, шумы неизбежно возникают при квантовании сигнала по уровню.

Частотная модель цифрового изображения может быть представлена с помощью следующего уравнения:

в(к,1)= Г(к,1) Н(к,1), где б, Г и Н - фурье-образы соответствующих функций / к, найденные с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Геометрическую модель процесса формирования изображений можно представить в виде, так называемой, «лучевой модели». Эта модель основана на том, что световое поле (для оптических изображений) рассматривается в виде «элементарных лучей». Процесс формирования идеальных изображений можно представить в виде проецирования энергии из плоскости объекта в плоскость изображения (плоскость проекции объекта). В модели идеальной системы формирования изображение формируется при помощи аппарата параллельного проецирования (Рис. 1). Если же среда формирования является искажающей, то происходит перераспределение энергии в пространстве, то есть отклонение проецирующих линий от прямолинейного распространения (Рис. 2).

Геометрический смысл функции рассеяния точки наглядно виден на Рис. 3. Каждый луч суммарной интенсивности расщепляется на большее число лучей, отклоняющихся от прямолинейной траектории; происходит «расплывание» первоначального точечного источника в дифракционное пятно.

о ю £ °

о.

ю о

Рис. 1. Геометрическая модель идеальной системы формирования изображений

Рис. 2. Геометрическая модель искаженного распространения лучей при формировании изображений

о ю ё °

к я я

О Щ 8 §

Рис. 3. Геометрический смысл ФРТ

Таким образом, процесс переноса энергии из плоскости объекта в плоскость изображения может быть представлен как операция проецирования энергии на плоскость изображения.

Пример моделирования изображения с заданными параметрами искажений показан на Рис. 4. Это изображение сформировано путем свертки идеального изображения с ФРТ, распределенной по нормальному закону с дисперсией равной 1.0, и введением случайного шума с дисперсией равной 5.0.

Рис. 4. Пример смоделированного изображения.

Использование методов моделирования искажений, вносимых при формировании изображений, позволяет значительно упростить процесс разработки алгоритмов восстановления изображений. Для анализа преобразований, происходящих при формировании изображений, строится математическая модель процесса формирования изображений, в которой выделены необходимые параметры.

Работа предлагаемого алгоритма проверяется на смоделированных изображениях, затем алгоритм применяется к реальным изображениям. Этим принципом мы пользовались в наших исследованиях.

Вторая глава посвящена решению задачи идентификации системы формирования изображений.

Показано, что качество изображения зависит от двух факторов - от ФРТ и от зашумленности изображения.

Анализ литературы показал, что ФРТ обычно либо измеряется экспериментально, либо вычисляется путем нахождения на изображении точечных импульсных или линейных протяженных объектов. Такими объектами в оптической астрономии служат звезды, в аэрофотосъемке - кромки дорог и границы теней от сооружений и т.п. Определение ФРТ при этом требует нахождения характерных объектов на изображении, то есть необходимо решение задачи сегментации, которая сама по себе является трудоемкой задачей.

Обработка изображений предполагает использование априорной информации. При проведении съемок часто известен класс, к которому принадлежит изображение. Широко распространенным является класс пространственно-инвариантных изображений с плоскими объектами, не имеющими плавных переходов яркости и сформированных системой формирования с изотропной весовой функцией.

Для данного класса изображений в диссертации предлагается более простой способ нахождения ФРТ. Он основан на том, что границы объекта, на основе которых можно найти ФРТ, на изображении имеют резкий перепад яркости.

Далее в диссертации разработана методика нахождения параметров шума на изображении по участку изображения с наименьшей дисперсией сигнала. Эксперименты показали, что чем больше размер исследуемого участка, тем точнее определяется дисперсия шума. Для размера участка

32x32, при размере изображения 256x256, дисперсия может быть найдена с небольшой погрешностью.

При разработке алгоритмов используются смоделированные изображения. В этом случае можно произвести оценку качества восстановленного изображения, сравнивая его с исходным. Для оценки качества изображения разработана методика оценки точности алгоритмов восстановления изображений по нормированной среднеквадратической ошибке.

Исследования, проведенные в данной главе, и разработанные на их основе алгоритмы, позволили решить задачу идентификации системы формирования изображений, то есть определить качественные характеристики изображений.

В третьей главе проведено исследование линейных методов восстановления изображений.

Анализ многочисленных исследований показал, что наиболее простым подходом при восстановлении изображений является фильтрация изображений при помощи инверсного фильтра. Область его применения ограничена, так как при формировании цифровых изображений неизбежно возникает шум, который усиливается при инверсной фильтрации. Поэтому инверсную фильтрацию удается успешно применить только для мало за-шумленных изображений.

Чтобы предотвратить эффект усиления шума при обратной фильтрации разработаны методы регуляризации. Наиболее универсальным является метод регуляризации, предложенный А.Н.Тихоновым, который позволяет с помощью параметра регуляризации управлять соотношением зашумленности и дефокусировки изображения. На Рис. 5 показано искаженное изображение, представленное на Рис. 4, и затем обработанное по методу А.Н.Тихонова.

Рис. 5. Изображение, восстановленное по методу А.Н.Тихонова.

Выполнение операции свертки функций в частотной области требует преобразования свертываемых функций в частотную область и обратно, в пространственную. Данная операция требует относительно больших затрат времени. Зачастую эти затраты неоправданы, так как ФРТ искаженного изображения обычно имеет небольшую область ненулевых значений. Кроме того, для хранения спектров функций в комплексном виде требуется выделять большой объем памяти ЭВМ.

Нами был разработан алгоритм приближенного вычисления обратной свертки изображения с ФРТ без перехода в частотную область.

Данный алгоритм восстановления не требует нахождения дискретного преобразования Фурье функции изображения и ФРТ. Кроме того, при обработке изображения этим алгоритмом требуются меньшие затраты оперативной памяти. Так для хранения цифрового изображения размером 256x256 пикселей с 256 градациями серого требуется 64 килобайта памяти, для хранения функции рассеяния точки, при малой области ее ненулевых значений, выделяется относительно небольшой массив памяти, размер которого зависит от размера области ненулевых значений ФРТ. При хране-

нии же ДПФ от этих функций с использованием структуры complex языка Borland С++ требуется 2 мегабайта памяти.

Предложенный алгоритм значительно в меньшей степени усиливает шумовую составляющую, чем алгоритм инверсной свертки с усечением полосы частот, но проигрывает по этому параметру фильтрации по методу А.Н.Тихонова.

К достоинствам линейных методов восстановления изображений, рассмотренных в данной главе, можно отнести простоту их алгоритмизации и малые временные затраты на обработку изображений, что позволяет создавать системы обработки изображений, работающие в режиме реального времени.

К недостаткам линейных методов можно отнести то, что с их помощью можно успешно обрабатывать только те изображения, которые отличаются малой степенью искажений и зашумленности. При плохом качестве восстанавливаемых изображений лучшие результаты дают нелинейные методы восстановления изображений.

Четвертая глава посвящена разработке нелинейных методов восстановления изображений.

Наибольшее распространение среди нелинейных методов восстановления изображений получили итерационные методы, которые позволяют приблизить решение к точному за несколько итераций. Причем на каждом промежуточном этапе обработки полученное изображение можно скорректировать в соответствии с априорной информацией об изображении.

Исследования, проведенные во второй главе диссертационной работы, позволили разработать итерационный алгоритм с автоматическим контролем качества изображения. Данный алгоритм позволяет исключить участие оператора, отслеживающего качество изображения.

Результат работы итерационного алгоритма приведен на Рис. 6. Из рисунка видно, что при обработке итерационным алгоритмом на выходном изображении четко выделена текстура фона и объекта.

Анализ литературы показал, что устранение шума на изображении производится либо с помощью медианной фильтрации, либо с помощью усечения высокочастотной составляющей спектра изображения. Оба эти метода приводят к потере контрастности изображения.

Для устранения этого эффекта нами разработан метод устранения шума, не влияющий на контрастность изображения.

Метод основывается на том, что шум имеет импульсную природу, и размер импульса обычно не превышает одного пикселя. Суть метода заключается в поиске и устранении таких импульсных выбросов шума.

Многие задачи обработки изображений, такие как сегментация изображения, распознавание объектов на изображении, требуют предварительного нахождения границ (контуров) объектов на изображении. Для этого производится операция бинаризации изображения. При нахождении контура объекта на бинарном изображении, совокупность граничных пикселей имеют неровную, ломаную форму. Для сглаживания неровностей границы в диссертации разработан метод коррекции контура объекта. Метод основан на переходе к вещественным координатам точек границы.

Для обнаружения границы объекта разработана модификация метода цепочного кодирования Фримена, более устойчивая к сбоям, вызванным плохим качеством обрабатываемого изображения.

а) исходное изображение

б) изображение после обработки

Рис. 6. Пример обработки изображения итерационным алгоритмом.

Рассмотренные в данной главе итерационные методы позволяют успешно решать задачу восстановления изображений при сильной степени искажений. К недостаткам итерационных методов можно отнести то, что они требуют значительно больших затрат времени на обработку изображений из-за необходимости многократного повторения операции свертки функций изображения и ФРТ. Поэтому при создании систем обработки изображений, работающих в режиме реального времени, используют линейные методы. Разработанный нами метод борьбы с шумом позволяет путем анализа яркостей пикселей уменьшить импульсные выбросы шума. Анализ яркостей пикселей контура объекта позволяет скорректировать найденную границу объекта на изображении за счет перехода к вещественным координатам точек границы. Этим обеспечивается более достоверное нахождение границы объекта на изображении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведены исследования задач геометрического моделирования: процесса формирования изображений, задач идентификации системы формирования изображений и задач восстановления изображений.

Выполненные исследования позволили получить следующие основные результаты:

1. Анализ литературных источников показал, что процесс формирования изображений описывается в виде уравнения свертки функции изображения с весовой функцией системы формирования изображений. При дискретизации изображений неизбежно возникает шум, который, в общем случае, описывается нормальным законом распределения.

2. Проведенный анализ работ по нахождению искажений, вносимых системой формирования изображений, позволил сделать вывод о том, что весовая функция системы формирования изображений находится, как правило, с участием оператора. Предложенный в работе метод нахождения функции рассеяния точки по искаженному изображению с изотропной ФРТ позволяет исключить участие оператора на этапе определения параметров весовой функции системы формирования изображений.

3. Разработан метод нахождения дисперсии шума на изображении по участку изображения с минимальной дисперсией сигнала.

4. Разработан метод нахождения инверсной свертки в пространственной области. Алгоритм, реализующий данный метод, требует меньшего объема памяти для реализации свертки и при малом размере ненулевой области ФРТ позволяет значительно сократить время вычисления свертки.

5. Разработан итерационный метод восстановления изображений с автоматическим контролем качественных характеристик, позволяющий исключить участие оператора в процессе восстановления изображений.

6. Модифицирован метод цепочного кодирования Фримена с целью повышения устойчивости его работы при плохом качестве изображений.

7. Разработана методика коррекции граничных пикселей объекта на изображении на основе данных о яркости граничных пикселей. Данная методика позволяет повысить точность нахождения границ объекта на изображении за счет перехода от целочисленных координат границы к вещественным.

Данная работа может быть продолжена в следующих направлениях:

1. Вывод зависимости между параметрами искажений и качеством изображения, учитывающей класс, к которому принадлежит изображение.

2. Создание метода определения параметров искажений для пространственно неинвариантных изображений.

3. Создание нелинейных статистических методов восстановления изображений, работающих без участия оператора, с учетом определенных по изображению параметров искажений.

4. Исследование задач восстановления цветных изображений.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Дамдинова Т.Ц., Цыдыпов Ц.Ц., Кузьменко Д.В., Суворов Е.А. Повышение точности распознавания контуров системами технического зрения на основе анализа яркости граничных точек изображения // Материалы Российской научно-практической конференции «Образование в условиях реформ: опыт, проблемы, научные исследования». - Кемерово: КТИПП, 1997. - С.108.

2. Исследование точностных характеристик систем технического зрения, используемых для автоматической оцифровки контуров плоских деталей сложной формы: Отчет по НИР; руководитель В.В. Найханов,- НИР «Геометрические аспекты интеллектуальных робототехнических комплексов» №ГР 01960007999,- Улан-Удэ, 1997,- 57с. Отв. исп. Жимбуева Л.Д., Аюшеев Т.В., Дамдинова Т.Ц., Кузьменко Д.В. и др.

3. Распознавание плоских объектов по их цифровым изображениям: Отчет по НИР; руководитель В.В.Найханов,- НИР «Геометрические аспекты интеллектуальных робототехнических комплексов»

№ ГР 01960007999.- Улан-Удэ, 1997,- 59 с. Отв. исп. Дамдинова Т.Ц., Жимбуева Л.Д., Цыдыпов Ц.Ц., Кузьменко Д.В. и др.

4. Якунин В.И., Кузьменко Д.В. Метод коррекции границы изображения в системах технического зрения по полутонам// Тезисы докладов 7-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям «КОГРАФ-97».-КНовгород: Изд-во НГТУ.- 1997.- С. 35.

5. Кузьменко Д.В. Модифицированный метод цепочного кодирования Фримена // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика. Межвузовский научно-методический сборник кафедр графических дисциплин вузов РФ, выпуск З.Н.Новгород: НГАСУ,- 1998.- С.90.

6. Жимбуева Л.Д., Кузьменко Д.В., Найханова Л.В. Метод коррекции границы изображения по полутонам // Тезисы докладов 8-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям «КОГРАФ-98».- Н. Новгород: Изд-во НГТУ,- 1998.- С. 134-135.

7. Найханов В.В., Кузьменко Д.В. Методы определения площади объекта в системах технического зрения// Материалы 8-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим технологиям «КОГРАФ-98»,- Н.Новгород: Изд-во НГТУ,- 1998.-С.153-154.

8. Кузьменко Д.В. Исследование параметров искажений, вносимых при формировании цифровых изображений// Электронный журнал «Прикладная геометрия», Вып.2. №2, июль, 2000г (http://www.mai.ru/~apg/).

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ.

1.1 Анализ процесса формирования изображений.

1.1.1 Геометрическая модель процесса формирования изображений.

1.2 Анализ процесса оцифровки изображений.

1.2.1 Модель формирования цифровых изображений.

1.3 Частотная модель формирования цифровых изображений.

1.4 Алгоритмизация процесса формирования цифровых изображений.

Выводы по главе 1.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ.

2.1 Основные параметры искажений, вносимых системой формирования изображений.

2.2 Аппаратные и программные средства, используемые при формировании цифровых изображений.

2.3 Нахождение весовой функции системы формирования изображений методом максимального спада градиента яркости.

2.4 Определение параметров шума на изображении.

2.5 Определение качественных характеристик восстановленного изображения.

Выводы по главе 2.

3. ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

3.1 Восстановление изображений при помощи инверсного фильтра.

3.2 Борьба с помехами при восстановлении изображений.

3.3 Метод регуляризации решения по А.Н.Тихонову.

3.3.1 Выбор параметра регуляризации.

3.4 Восстановление изображений с помощью инверсной свертки в пространственной области.

Выводы по главе 3.

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ.

4.1 Итерационные методы восстановления изображений.

4.1.1 Итерационные алгоритмы с ограничением на область допустимых значений.

4.1.2 Итерационный алгоритм с автоматическим контролем качества изображения.

4.2 Устранение шума, вносимого системой формирования изображений, в пространственной области.

4.3 Коррекция контура объекта на изображении в пространственной области.

4.3.1 Модифицированный метод цепочного кодирования

Фримена.

4.3.2 Метод коррекции контура объекта с учетом полутонов граничных пикселей.

Выводы по главе 4.

Интенсивное развитие вычислительной техники, наблюдающееся в последние десятилетия, вызвало появление совершенно новых областей исследования. С каждым годом по мере увеличения быстродействия, уменьшения стоимости и размеров интегральных микросхем растут возможности решения задач все возрастающей сложности. Данные изменения качественно расширили возможность использования современных научных достижений прикладной геометрии.

Развитие вычислительной техники позволило применить аппарат геометрического моделирования [35] для решения задач обработки изображений. Так, например, процесс формирования изображений представляет собой операцию проецирования из плоскости объекта на плоскость изображения (плоскость проекций). Воздействие вычислительных машин привело ко многим изменениям в оптических исследованиях. Расширился состав лиц, ведущих оптические исследования. Оптикой стали заниматься геометры, программисты и другие специалисты [25, 30, 57, 59, 83]. Вычислительные машины вдохнули новую жизнь в некоторые области исследований, такие, как испытание оптических систем, медицинская оптика и другие, и создали собственные новые направления, например, статистические методы в оптике, цифровая обработка сигналов и синтез голограмм с помощью электронно-вычислительных машин и другие. Таким образом, использование вычислительной техники привело к интенсивным исследованиям в оптике и ее геометрической составляющей.

Возможность представления оптических эффектов в виде геометрической модели в значительной степени заменила необходимость знания оптики, как таковой. Подобная ситуация наблюдается не только в классической оптике, но и в других областях науки, занимающихся обработкой изображений как электромагнитных волн (например, радиолокация, рентгенография, инфракрасное тепловидение), так и акустических [51] (гидролокация, ультразвуковое зондирование и др.) и неволновых процессов (например, статические электрические и магнитные поля).

Для анализа и классификации задач, возникающих при обработке изображений, рассмотрим модель формирования изображений. Данную модель можно описать уравнением следующего вида: где £> - искажающий оператор, действующий на входную последовательность / и дающий выходную последовательность g. Задачи, возникающие при обработке изображений, можно разделить на три вида:

1. Если входной сигнал и искажающий оператор известны, а выходной сигнал необходимо определить, то задача относится к классу задач реализации системы. Задача реализации системы решается, например, при моделировании искажений, вносимых при формировании изображений.

2. Если известны вход и выход, и необходимо определить искажающий оператор, то задача относится к классу задач идентификации системы. Эта задача решается при определении искажений, вносимых при формировании изображения.

3. Задача, в которой необходимо определить входной сигнал по известному искаженному выходному, известна как обратная задача. К обратным задачам относятся подавление шума, обращение свертки, экстраполяция сигнала.

Параметры искажений, вносимых при формировании изображений, в общем случае, неизвестны. Поэтому для синтеза алгоритмов обработки изображений удобнее воспользоваться не реальными изображениями, а изображениями, смоделированными с заранее заданными параметрами. Апробация на смоделированных изображениях позволяет исследовать алгоритмы обработки изображений для предельных случаев искажений, например, отсутствие шума или сильная зашумленность изображений, которые затруднительно, а зачастую и невозможно получить с помощью реальных систем формирования изображений.

Для многих алгоритмов обработки изображений необходимо априорно знать параметры искажений, вносимых при формировании изображений. Знание этих параметров позволяет также оценить качество изображения. Поэтому нами будет уделено значительное внимание задаче идентификации системы. Анализ литературы показал, что нахождение параметров системы формирования изображений, то есть решение задачи идентификации системы, производится, в основном, с участием оператора, который или выделяет на изображении характерные области, или производит предварительную съемку тестовых изображений. В данной работе предложена методика определения параметров искажений, вносимых системой формирования изображений, по искаженному изображению без участия оператора.

Можно утверждать, что значительная часть вопросов, возникающих при геометрическом моделировании задач обработки изображений, связана с повышением их качества, апостериорным устранением дефектов аппаратуры, то есть с тем, что в совокупности называется восстановлением изображений. Именно поэтому, при работе с изображениями наиболее актуальными являются проблемы совершенствования методов решения класса задач, относящихся к обратным.

Вследствие влияния на изображения аддитивного аппаратного шума, включая шум квантования, ограничения по пространству, связанного с формированием кадра и ошибок в определении параметров системы формирования изображений, задача восстановления искаженных изображений обладает сильной степенью некорректности. В сочетании с необходимостью обрабатывать большие объемы данных рассматриваемая задача представляет трудную научно-техническую проблему.

Первые работы по восстановлению изображений были начаты в шестидесятых годах в связи с подготовкой полета на Луну. В середине шестидесятых появляются работы, посвященные обработке аэрофотоснимков, а к началу семидесятых годов проблема восстановления изображений становится самостоятельной областью исследований. Первая монография по восстановлению изображений была издана в 1977г. [89]. В настоящее время ежегодно в различных журналах и сборниках публикуются сотни статей, посвященных этой теме [11, 19, 38, 55, 68, 97, 99, 101]. В последнее время получен ряд новых важных результатов. Если раньше восстановление изображений подразумевало поиск некоторого оптимального фильтра [12, 18, 24, 37, 48, 65], то сейчас все большее применение находят нелинейные методы [1, 16, 109, 117]. В последнее время широкое применение получили специализированные цифровые процессоры, что резко увеличило быстродействие алгоритмов обработки изображений и расширило спектр применения методов восстановления изображений.

Все вышеизложенное обусловило актуальность данной работы.

Цель наших исследований заключается в разработке методов и алгоритмов задачи восстановления изображений с учетом определенных по обрабатываемому изображению параметров искажений, вносимых системой формирования изображений.

Для достижения этой цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи:

- исследование процесса формирования цифровых изображений и видов искажений, вносимых при формировании изображений;

- разработка методов и алгоритмов решения задачи моделирования искажений, возникающих при формировании цифровых изображений;

- разработка методов и алгоритмов решения задачи определения параметров искажений, вносимых системой формирования изображений;

- исследование линейных методов восстановления изображений, разработка алгоритма на основе приближенного вычисления инверсной свертки функций в пространственной области;

- исследование нелинейных методов восстановления изображений;

- исследование влияния ограничений, накладываемых на область допустимых значений, на качество восстановленных изображений;

- разработка алгоритма коррекции найденной границы объекта на изображении с учетом полутонов граничных пикселей;

- разработка и внедрение инженерных методик и программного комплекса для решения задачи бесконтактного измерения параметров объекта.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе и обладающие научной новизной, следующие:

- разработан алгоритм нахождения весовой функции системы формирования изображений методом максимального спада градиента яркости;

- разработан алгоритм определения параметров шума на изображении по участку изображения с наименьшей дисперсией сигнала;

- разработан приближенный метод нахождения инверсной свертки функций в пространственной области;

- разработан итерационный алгоритм с автоматическим контролем качества изображения;

- разработана модификация метода цепочного кодирования Фри-мена, позволяющая находить границы объектов на некачественных изображениях;

- разработан метод коррекции контура объекта на изображении с учетом полутонов граничных пикселей.

Для решения поставленных задач были использованы методы начертательной, дифференциальной, вычислительной геометрий, геометрической оптики, математической статистики и вычислительной техники и др. Основные задачи решались с использованием исследований геометров прикладного направления: Четверухина Н.Ф., Котова И.И., Бусыгина В.А., Наджарова K.M., Иванова Г.С., Найханова В.В., Якунина В.И. и других, а также с использованием работ ученых, занимающихся исследованиями в области обработки цифровых изображений: Тихонова А.Н., Василенко Г.И., Ярославского Л.П. и других. Использованы также исследования зарубежных ученых Э.Оппенгейма, Б.Фридена, А. Розен-фельда и других ученых.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что предложенные в диссертационной работе методы обладают высокой универсальностью, алгоритмы на их основе являются простыми, экономичными и легко программируются.

По результатам исследований разработан комплекс программ.

Полученные результаты исследований могут быть использованы на этапе предварительной обработки изображений для устранения искажений, вносимых системой формирования изображений, а также для идентификации параметров системы формирования искажений.

Результаты исследований в виде инженерных методик и программного комплекса были апробированы и приняты к внедрению на ОАО «Улан-Удэнский завод Электромашина».

Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены: на Российской научно-практической конференции «Образование в условиях реформ: опыт, проблемы, научные исследования» (г.Кемерово, 1997); на УН-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям «КОГРАФ-97» (г.Нижний Новгород, 1997); на УШ-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям «КОГРАФ-98» (г.Нижний Новгород, 1998).

По теме диссертационной работы опубликовано восемь научно-технических работ, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты проведенных исследований.

Структурно диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников, включающего 117 наименований. Диссертация объемом 120 страниц машинописного текста содержит 22 рисунка и 2 таблицы.

Выводы по главе 4

В данной главе проведены исследования нелинейных методов восстановления изображений.

Проведенные нами исследования позволили сделать следующие выводы:

1. Наибольшее распространение среди нелинейных методов восстановления изображений получили итерационные методы.

2. Итерационные методы характеризуются простотой программирования и допускают простой учет важных для задачи восстановления изображений ограничений непосредственно в схеме итерационного алгоритма.

3. Итерационные методы позволяют успешно решать задачу восстановления изображений при сильной степени искажений.

4. К недостаткам итерационных методов можно отнести то, что они требуют значительно больших затрат времени на обработку изображений из-за необходимости многократного повторения операции свертки функций изображения и ФРТ.

5. Существующие методы борьбы с шумом приводят к потере контрастности изображений.

6. При нахождении контура объекта на бинарном изображении, совокупность граничных пикселей имеют неровную, ломаную форму.

На основе исследований итерационных алгоритмов и исследований, проведенных во второй главе диссертационной работы, разработан итерационный алгоритм с автоматическим контролем качества изображения.

На основе исследований методов борьбы с шумом на изображении был разработан алгоритм устранения шума, не влияющий на контрастность изображения.

Исследования методов нахождения границ объектов на изображении позволили:

- модифицировать алгоритм цепочного кодирования Фримена, с целью повышения устойчивости его работы при плохом качестве изображений;

- разработать метод и алгоритм коррекции контура объекта на изображении с учетом полутонов граничных пикселей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведены исследования задач геометрического моделирования: процесса формирования изображений, задач идентификации системы формирования изображений и задач восстановления изображений.

Выполненные исследования позволили получить следующие основные результаты:

1. Анализ литературных источников показал, что процесс формирования изображений описывается в виде уравнения свертки функции изображения с весовой функцией системы формирования изображений. При дискретизации изображений неизбежно возникает шум, который, в общем случае, описывается нормальным законом распределения.

2. Проведенный анализ работ по нахождению искажений, вносимых системой формирования изображений, позволил сделать вывод о том, что весовая функция системы формирования изображений находится, как правило, с участием оператора. Предложенный в работе метод нахождения функции рассеяния точки по искаженному изображению с изотропной ФРТ позволяет исключить участие оператора на этапе определения параметров весовой функции системы формирования изображений.

3. Разработан метод нахождения дисперсии шума на изображении по участку изображения с минимальной дисперсией сигнала.

4. Разработан метод нахождения инверсной свертки в пространственной области. Алгоритм, реализующий данный метод, требует меньшего объема памяти для реализации свертки и при малом размере ненулевой области ФРТ позволяет значительно сократить время вычисления свертки.

5. Разработан итерационный метод восстановления изображений с автоматическим контролем качественных характеристик, позволяющий исключить участие оператора в процессе восстановления изображений.

6. Модифицирован метод цепочного кодирования Фримена с целью повышения устойчивости его работы при плохом качестве изображений.

7. Разработана методика коррекции граничных пикселей объекта на изображении на основе данных о яркости граничных пикселей. Данная методика позволяет повысить точность нахождения границ объекта на изображении за счет перехода от целочисленных координат границы к вещественным.

8. Разработаны и внедрены инженерных методики и программный комплекс для решения задачи бесконтактного измерения параметров объекта.

104

Анализ проведенных исследований и полученные результаты позволили выявить направления дальнейших исследований. Они могут быть продолжены в следующих направлениях:

1. Вывод зависимости между параметрами искажений и качеством изображения, учитывающей класс, к которому принадлежит изображение.

2. Создание метода определения параметров искажений для пространственно неинвариантных изображений.

3. Создание нелинейных статистических методов восстановления изображений, работающих без участия оператора, с учетом определенных по изображению параметров искажений.

4. Исследование задач восстановления цветных изображений.

1. Аристов В.В., Башкина Г.А., Боплаев Ю.Г. и др. Регуляризация при улучшении искаженных сверткой изображений с помощью оптико-цифровой фильтрации.- Автометрия, 1978, №3, С.110-115.

2. Ахмед Н., Pao К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ.- М.: Связь, 1980.- 248с.

3. Байкова А.Т. Восстановление изображений в радиоинтерферометрии на базе обобщенных методов нелинейной оптимизации: Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н.: 01.03.02. -СПб, 1994.- 232с.: ил.

4. Бакушинский А.Б. Замечание об итеративном методе Брауна-Волконского// Экономика и мат. методы.- 1981, т. 17, №1, С. 196199.

5. Бакушинский А.Б. Замечания об одном классе регуляризирую-щих алгоритмов// ЖВМ и МФ.- 1973, т. 13, №6, С. 1596-1598.

6. Бакушинский А.Б. К обоснованию принципа невязки// Дифференциальные и интегральные уравнения, Вып.2.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 1973, С.117-126.

7. Бакушинский А.Б. О построении регуляризирующего алгоритма при случайных помехах// ДАН СССР.- 1969, т. 189, №2, С.231-233.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.199 е.: ил.

9. Баракат Р., Даллас У., Фриден Б., Мерц JL, Педжес Р., Риглер А. Компьютеры в оптических исследованиях: Пер.с англ./ Под ред. Б.Фридена.- М.: Мир, 1983.- 488 е.: ил.

10. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974.

11. Березин Н.Г., Ильин Е.Е., Морозова С.Л., Столяров К.В. Восстановление резкости фотоизображений методом когерентно-оптической фильтрации// Тр. ГОИ.- JL: 1979, т.44, вып. 178, С.11-21.

12. Бэрч Дж. Алгоритмы машинного синтеза фильтра пространственных частот,- ТИИЭР, 1967, т.55, №4, С.135.

13. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах,- М.: Наука, 1986.

14. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов,- М.: Сов. Радио, 1979.- 272 с.

15. Василенко Г.И., Грибкова В.М., Моисеев Л.Ф. Алгоритмы улучшения качества изображений.- В кн.: Методы дешифрования природных объектов по их многозональным изображениям/

16. Под ред. А.П.Тищенко, И.А.Жакова.- Л.: Гидрометеоиздат, 1976.- 254с.

17. Василенко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений." М.: Радио и связь, 1986.- 304 е., ил.

18. Гапоненко Ю.Л. Метод дискретной функции Грина для линейных некорректных задач// ДАН СССР.- 1976, т.229, №2, С.269-271.

19. Голуб М.А., Сойфер В.А. Комплекс программ и алгоритмы оптимизации синтеза пространственных фильтров// 2-я Всесоюзная конференция по автоматизации научных исследований на основе применения ЭВМ.- М.: 1977, С.138-142.

20. Гончарский A.B. Обратные задачи оптики// Вестн. Моск. унта. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика.- 1986, №3, С.59-77.

21. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой// ДАН СССР,- 1972, т.203, №6, С.1238-1239.

22. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки// ЖВМ и МФ.- 1973, т.13, №2, С.294-302.

23. Грузман И.С. Двухэтапные методы первичной обработки многомерных сигналов и изображений при действии помех:

24. Диссертация на соискание ученой степени д.т.н.: 05.13.14. Новосибирск, 1997.- 350с.: ил.

25. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику.- М.: Мир, 1970.

26. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов: Пер. с англ.- М.: Мир, 1988.- 488 е., ил.

27. Дамдинова Т.Ц. Автоматизация процессов восстановления и распознавания плоских объектов сложной формы по цифровым изображениям: Диссертация на соискание ученой степени к.т.н.: 05.01.01.-Москва, 1998.- 146с.: ил.

28. Довнар Д.В. Методы обработки линейно зарегистрированного изображения и информационные характеристики качества оптических систем: Диссертации на соискание ученой степени к.ф.-м.н.: 01.04.05.- Могилев, 1993.- 149 е.: ил.

29. Долгих М.Н. Развитие и реализация быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований с рекурсивной структурой в системах обработки изображений: Авторефератдиссертации на соискание ученой степени к.т.н:05.13.16. -Минск, 1993. -20 е.: ил.

30. Емелин Н.В., Красносельский М.А. К теории некорректных задач// ДАН СССР,- 1979, т.244, №4, С.805-808.

31. Жимбуева Л.Д. Исследование точностных характеристик систем технического зрения при восстановлении контуров плоских деталей: Диссертации на соискание ученой степени к.т.н.: 05.01.01.- Н.Новгород, 1999.- 149 е.: ил.

32. Залманзон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и в других областях.- М.: Наука, 1989.- 496с.: ил.

33. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах// ДАН СССР,- 1962, т.145, №2, С.270-272.

34. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.- М.: Наука, 1978.

35. Иванов Т.С. Теоретические основы начертательной геометрии: Учебное пособие. -М.: Машиностроение, 1998. 158с.: ил.

36. Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение: Пер. с англ.- М.: Энергоатомиз-дат, 1983.- 360с.: ил.

37. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1970.- 720 е.: ил.

38. Кочетовский С.М. Разработка системы формирования и реконструкции изображения в медицинском томографе на ядерном магнитном резонаторе: Диссертации на соискание ученой степени к.т.н.: 01.04.13.- СПб, 1997,- 136 е.: ил.1.l

39. Крапухин Д.В. Итерационные методы реконструкции изображений в малоракурсных томографических системах: Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н: 05.11.16. -М., 1991. -21 с.

40. Кузьменко Д.В. Исследование параметров искажений, вносимых при формировании цифровых изображений// Электронный журнал «Прикладная геометрия», Вып.2, №2, М.: июль, 2000г (http : //www. mai. ru/~apg/).

41. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех.- М.: Сов. Радио, 1978.- 296с.

42. Кучеренко К.И., Очин Е.Ф. Двумерные медианные фильтры для обработки изображений// Зарубежная радиоэлектронника.-1986.-№6,-С.50-61.

43. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.- Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

44. Лавров С.С. К обоснованию методов восстановления изображений на основе выпуклых критериев качества.- СПб, 1997.-34с.

45. Лейт Э.К. Комплексные пространственные фильтры для коррекции изображений,- ТИИЭР, 1977, т.65, №1, С.23-37.

46. Лисковец O.A. Теория и методы решения некорректных задач// Итоги науки и техники. Математический анализ, т.20.- М.: ВИНИТИ, 1982, С.116-178.

47. Литвинов В.Л. Исследование и разработка методов и алгоритмов предварительной обработки изображений в задачах электронной микроскопии: Диссертация на соискание ученой степени к.т.н.: 05.13.01,- СПб, 1997,- 146с.

48. Лобкис О.И. Дифракционные эффекты и формирование изображения в акустическом микроскопе: Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд.физ-мат.наук:01.04.06. -М., 1991. -20 е.: ил.

49. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы.- Новосибирск: Наука, 1975.- 536с.

50. Миркин Л.И., Рабинович М.А., Ярославский Л.П. Метод генерирования коррелированных гаусовых псевдослучайных чисел на ЦВМ.- ЖВТиМФ, 1972, №5, с. 1353-1357.

51. Молчунов Н.В. Восстановление изображений, искаженных оптически плотными атмосферными рассеивающими слоями: Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н.: 01.04.05.-Томск, 1992.- 135с.: ил.

52. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи// Итоги науки и техники. Математический анализ.- М.: ВИНИТИ, 1973, С.129-178.

53. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и о выборе параметра регуляризации// ЖВМ и МФ.- 1966, т.6, №1, С.170-175.

54. Найханов В.В. Методы и алгоритмы геометрического моделирования процессов очувствления и навигации роботов на базе систем технического зрения: Диссертация на соискание ученой степени д-ра техн. наук: 05.01.01. М., 1997. - 406 е.: ил.

55. Найханов В.В., Кузьменко Д.В. Методы определения площади объекта в системах технического зрения//Материалы 8-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим технологиям КОГРАФ-98.- Н.Новгород: изд-во НГТУ.-1998,- С.153-154.

56. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1984.

57. Обработка изображений и цифровая фильтрация/ Под ред. Хуанга Т., М.: Мир, 1979.

58. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.- М.: Мир, 1975.

59. Попов Д.А. О применении гладких регуляризаторов для вычисления свертки.- ДАН СССР, 1984, т.276, N1, с.38-42.

60. Потеев М.И., Сизиков B.C. Повышение разрешающей способности измерительных устройств путем компьютерной обработки результатов измерений: Учебное пособие.- СПб, 1992.-58с.

61. Применение цифровой обработки сигналов/ Под ред. Оппен-гейма Э.: Пер. с англ.- М.: Мир, 1980,- 552 с.

62. Прэтт У.К. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ.-М.: Мир, 1982. 328 е.: ил.

63. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений.- М.: Наука, 1968,- 288 е.: ил.

64. Пытьев Ю.П. Задача улучшения качества изображений.- ДАН СССР, 1979, т.245, №1, с.315-319.

65. Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений с помощью вычислительных машин: Пер.с.англ. М.: Мир, 1972.232 е., ил.

66. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа.- М.: Наука, 1980,- 366 е.: ил.

67. Сарв Л. Одно семейство нелинейных итерационных методов для решения некорректных задач// Изв. АН ЭССР. Сер.Физика-математика, 1982, №3, С.261-268.

68. Сергеев В.В. Методы цифрового моделирования оптико-электронных систем дистанционного формирования и обработки изображений: Диссертации на соискание ученой степени д.т.н.: 05.13.16,- Самара, 1993.- 494 с.:ил.

69. Сондхи М. Реставрация изображений: устранение пространственно-инвариантных искажений// Обработка изображений при помощи цифровых вычислительных машин/ Под ред. Г.Эндрюса: Пер. с англ.- М.: Мир, 1979.- 219 с.

70. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// ДАН СССР.- 1963, т. 151, №3, С.501-504.

71. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач,- М.: Наука, 1979.- 286 с.

72. Тихонов А.Н., Арсенин В .Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. -М.: Наука, 1987.- 160 е.: ил.

73. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В. Некорректные задачи обработки изображений// ДАН СССР.- 1987, т.294, №4, С.832-837.

74. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация.- М.: Наука, 1983.- 200с.

75. Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма первого рода.- УМН, 1956, т. 11, вып. 1, с.233-234.

76. Фурсов В.А. Идентификация моделей систем формирования изображений по малому числу наблюдений/ Под ред. В.А.Сойфера и Б.М.Шамрикова. -Самара, 1998. -217 е.: ил.

77. Харкевич А.А. Спектры и анализ.- М.: Гос. изд-во физ-мат. лит., 1962.- 236 е.: ил.

78. Цыдыпов Ц.Ц. Восстановление формы объектов по полутоновой информации: Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук: 05.01.01. -М., 1998. -19 е.: ил.

79. Шафер Р., Мерсеро Р., Ричарде М. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений.- ТИИЭР, 1981, т.69, №4, с.432.

80. Щербаков М.А. Нелинейная фильтрация сигналов и изображений: Учеб. пособие/ Щербаков М.А. -Пенза, 1999. -165 е.: ил.

81. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику.- М.: Радио и связь, 1987,- 296с.: ил.

82. Ярославский Л.П., Мерзляков Н.С. Цифровая голография.-М.: Наука, 1982,- 219с.: ил.

83. Andrews Н.С., Hunt B.R. Digital image restoration. New Jersey: Prentice-Hall, 1977. - 238 p.

84. Bates R.H.T., McDonnel M., Gough P. Imaging through randomly fluctuating media.- IEEE Trans., 1977, v.Com-65, p.135-139.

85. Brown B.R. Computer synthesis of holograms and spatial filters// Application of holography, ed. By Barrekette. N.Y., 1971, p.215-227.

86. Brown B.R., Lohman A.W. Complex spatial filtering with binary masks.- Appl. Opt., 1966, v.5, N6, p.967-969.

87. Bryngdahl O. Geometrical transformation in optics.- JOS A, 1974, v.64, N8, p.1092-1099.

88. Campbell K., Wecksung G.W., Mansfield C.R. Spatial filtering by digital holography.- Opt. Eng., 1974, vol.13, N3, p.175-188.

89. Casasent D., Kraus M. New transformation for optical signal processing.- Opt. Communs, 1976, vol.19, N2, p.212-216.

90. Frieden B.R. On arbitrarily perfect imagery with a finite aperture.- Opt.Acta, 1969, vol.16, p.795-807.

91. Frieden B.R. Restoration with maximum likehood and maximum entropy.- J. Opt. Soc. Amer., 1972, v.62, p.511-518.

92. Gabor D.A. Light and information// Progress in optic, ed. E.Wolf, N.Y., 1961, p.109-153.

93. Gershberg R.W. Superresolution through error energy reduction.-Optica Acta, 1974, v.21, N9, p.709-720.

94. Gull S.F., Daniel G.J. Maximum entropy image restoration.- Nature, 1978, v.272, p.686.

95. Helstrom C.W. Image restoration by the method of least squares.-JOSA, 1967, v.57, p293-303.

96. Huang T.S., Barker D.A., Berger S.P. Iterative image restoration.-Appl. Opt., 1975, v.14, p.1165-1168.

97. Jaroslavski L.P. Shifted discrete fourier transform// International conference on digital signal processing, Florence (Italy), 1978, p.177-180.

98. Mammone R., Eichmann G. Restoration of discrete Fourier spectra using linear programming.- J. Opt. Soc. Amer., 1982, v.72, p.987-993.

99. Lee W.H. Filter design for optical data processors.- Patt. Rec-ogn., 1970, vol.2, N5, p.127-137.

100. Mammone R., Eichmann G. Superresolving image restoration using linear programming.- Appl. Opt., 1982, v.21, p.496-501.

101. Montgomery W.D. Optical applications of von Neuman's alternating projections theorem.- Opt. Lett., 1982, v.7, N1, p. 1-3.

102. Morton J.B., Andrews H.C. A posteriori method of image restoration." J. Opt. Soc. Amer., 1979, v.69, p.280-290.

103. Motsuoka K., Shigematsu T., Ichioka Y., Suzuki T. Iterative image restoration by means of optical-digital hybrid system.- Appl.

104. Opt., 1982, v.21, p.4493-4499.

105. Papoulis A. A new algorithm in spectrum analisis and band-limited extrapolation.- IEEE Trans., 1975, v.CAS-22, p.735-742.

106. Pratt W.K. Generalized Wiener filtering in the walsh domaine.-IEEE Trans., 1972, vol.C-21, p.636-651.

107. Rushforth C.K., Crawford A.E., Zhou Y. Least-squares reconstruction of objects with missing high-frequency components.-J. Opt. Soc. Amer., 1982, v.72, p.204.

108. Stark H., Cahana D., Habelter G.J. Is it possible to restore an optical object from it's low-pass spectrum and it's truncated image?- Opt. Lett., 1981, v.6, N6, p.-259-260.

109. Stark H., Cahana D., Webb H. Restoration of arbitary finite-energy optical objects from limited spatial and spectral information.- J. Opt. Soc. Amer., 1982., v.72, p.993-1001.

110. Tsujiuchi J. Correction of optical images by compensatio of abberra-tions and by spatial frequency filtering.- Progr. Opt., 1963, vol.2, Ed. E.Wolf, p. 133-180.

111. Van der Lugt A.E. Signal detection complex spatial filtering.- IEEE Trans. Inform. Theory, 1964, vol.IT-10, p. 139-145.

112. Wernece S.J., D'Addario L. Maximum entropy image reconstruction.- IEEE Trans., 1977, v.Comm-26, N4, p.351-364.