автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Геометрическое моделирование технологического процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ

На правахрукописи

ЕМЕЛИН Алексей Геннадьевич

Геометрическое моделирование технологического процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ

Специальность 05.13.12 - Системы автоматизации проектирования

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Екатеринбург 2004

Работа выполнена на кафедре прикладной геометрии и информатики ГОУ ВПО "Уральский государственный технический университет -УПИ".

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущее предприятие

доктор технических наук, профессор Вайсбурд Р.А.

доктор технических наук, профессор Антимонов A.M.

кандидат технических наук, доцент Савельев Ю.А.

ЗАО НПО "Уралсистем", г. Екатеринбург

Защита состоится «24» июня 2004 г. в 15 часов в ауд. Р-217 на заседании диссертационного совета К 212.285.02 в ГОУ ВПО "Уральский государственный технический университет - УПИ".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УГТУ-УПИ.

Ваш отзыв в одном экземпляре, заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу: 620002, Екатеринбург, К-2, ул. Мира, 19, УГТУ-УПИ. Ученому секретарю совета.

Телефон (343) 375-45-74, факс (343) 374-53-35.

Автореферат разослан «21» мая 2004 .г

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.285.02 кандидат технических наук

В.А Морозова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Общеизвестно, что фрезерная обработка с применением станков с ЧПУ используется, пожалуй, на каждом машиностроительном предприятии, и не только. Несмотря на широкое распространение оборудования подобного класса, остаётся сложным вопрос качественного управления этими станками. В первую очередь, это вызвано сложностью оценки правильности передаваемой в производство управляющей программы (УП). В настоящее время решение проблемы проверки УП для станков с ЧПУ перед её выполнением на действующем оборудовании осуществляется средствами программных систем, моделирующих фрезерную обработку. Такие системы дают возможность визуально и количественно оценить ход и результат обработки. Однако, несмотря на определённые позитивные моменты, использование подобных систем всё же имеет ряд проблем. В этой связи представляется актуальным поиск методов геометрического моделирования процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ, применимых для их практической реализации в виде программного продукта, выполняющего данное моделирование.

Работа выполнялась на кафедре "Прикладная геометрия и информатика" Уральского государственного технического университета (г. Екатеринбург), в сотрудничестве с ТЦ ИНТЕКС (г. Екатеринбург).

Цель работы

Исследовать геометрическую сторону технологического процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ с целью поиска характерных особенностей и закономерностей, позволяющих создать оптимальные модели и алгоритмы моделирования фрезерной обработки.

Согласно этому были поставлены следующие задачи:

1. Провести анализ существующих методов моделирования фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

2. Построить математическую модель процесса удаления материала из заготовки.

3. Опираясь на существующие модели твёрдотельного описания геометрии, выполнить построение аналитического и аппроксимированного представления тел, образуемых в ходе движения фрезерного инструмента.

4. Разработать программную реализацию алгоритмов моделирования фрезерной обработки, которые должны исполнить роль геометрического ядра системы просмотра и верификации управляющих программ для станков с ЧПУ.

Научная новизна

1. Построены математические модели определения поверхности, заметаемой движущимся инструментом: модели записаны в форме NURBS..

2. Разработан алгоритм построения аппроксимированного представления объёма; заметаемого инструментом. Данный алгоритм позволяет выполнять динамическое изменение точности построения.

Практическая значимость.

Предложен алгоритм геометрического моделирования- фрезерной обработки на станках с ЧПУ, позволяющий получать твёрдотельную модель результата обработки.

На основе этого метода разработана программная реализация задачи построения твёрдотельной модели, описывающей результаты фрезерной обработки. Настоящий программный модуль используется в качестве ядра системы, выполняющей верификацию и симуляцию управляющих программ для станков с ЧПУ.

На практике полученные результаты позволяют говорить о существенном сокращении временных затрат на разработку УП для станков с ЧПУ и повышении их качества при применении предлагаемых методик. Сравнение времени получения результата с показателями аналогичных зарубежных и отечественных системам выявило преимущества предложенных алгоритмов.

Результаты работы автора используются на ряде предприятий машиностроительного комплекса, что подтверждают акты внедрения.

Апробация работы

Основные положения работы обсуждались на конференциях молодых учёных, проходивших в Уральском государственном техническом университете - УПИ в 2002 и 2003 годах, а также докладывались на региональных и городских конференциях.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 9 печатных работах, одна из которых опубликована в центральном рецензируемом журнале, две работы в рецензируемом журнале, одна работа в трудах всероссийской конференции и пять в трудах научных конференций молодых учёных УГТУ-УПИ.

Объём работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов по работе, библиографического списка из 97 источников; изложена на 122 страницах текста и содержит 55 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, показана практическая ценность исследования, приведена структура диссертации.

В первой главе проведён краткий обзор и приведены результаты теоретических работ в области геометрического моделирования удаления материала из тела заготовки и связанных с этим проблем. В обзоре отмечается, что часто решение этих задач основывается на определении объёма, заметаемого движущимся инструментом. Приведена классификация существующих математических моделей, используемых для определения объёмов, заметаемых движущимся телом. Среди моделей выделяется два класса. Первый - это методы, основанные на аналитическом определении заметаемых объёмов, второй - приближённые методы (методы, использующие аппроксимацию и растровые методы). Даётся характеристика способов представления объёмной геометрии применительно к задаче описания объёмов, образуемых при движении геометрического тела. В конце обзора дана постановка задачи.

Во второй главе описаны методы построения тела, заметаемого инструментом на одном участке траектории движения. Отмечается, что определяющее влияние на форму заметаемого тела оказывает движущийся инструмент.

Даётся понятие линии видимого контура, которое используется для формирования аналитического описания поверхности, заметаемой инструментом. Отмечается, что результирующая поверхность, заметаемая инструментом, состоит:

- из поверхности инструмента, видимой в направлении движения вдоль траектории в начальной точке (передняя поверхность);

- поверхности инструмента, видимой в противоположном направлении в конечной точке (задняя поверхность);

- линейчатой поверхности, образованной перемещением линии видимого контура (ЛВК) вдоль траектории.

На основании предложенной структуры решения приводятся условия и алгоритмы построения аналитических поверхностей, образуемых в ходе движения инструмента, заданного участками конуса, сферы и тора.

В случае конусного инструмента заметаемая им поверхность определяется исходя из утверждения, что линия видимого контура, разделяющая переднюю и заднюю поверхности усечённого конуса, может либо совпадать с окружностью большего основания, либо состоять из двух образующих конуса и двух дуг окружностей основания. Углы а и Р (рис. 1) определяются из соотношений

Рис 1. Точки ЛВК в случае конуса

а = агссос

2-Zt-(R,-R2)

п W

где Я =

В случае сферы линия видимого контура будет совпадать с окружностью большого диаметра или состоять из дуги окружности сечения и дуги окружности, перпендикулярной вектору перемещения с центром, совпадающим с центром сферы.

В случае тора, который, как отмечается, является обобщающим случаем рассматриваемых инструментов, формируемых рациональными квадратичными поверхностями, ЛВК является сложной кривой, составленной из нескольких участков. Приводятся условия её определения.

Приводятся правила построения заметаемых поверхностей в виде NURBS.

Особенности формирования поверхностей, заметаемых движущимся инструментом, используются для построения объёмного представления тел, ограниченных данными поверхностями. Проведена оценка ряда моделей представления объёмной геометрии на предмет возможности их использования для описания образуемых тел. Приводится метод построения заметаемых тел, использующий в качестве модели описания объёмной

геометрии BSP-деревья. Приводятся условия построения "хороших", с определённых позиций, BSP-деревьев (рис. 2).

Отмечается возможность использования данной схемы представления геометрии для описания заготовки и объёмов, заметаемых инструментами, составленными из нескольких "простых" инструментов. Указывается, что получение модели результата обработки может быть достигнуто применением Булевых операций.

В третьей главе рассматривается общий взгляд на возможность построения твёрдотельного представления заметаемых тел в виде единого BSP-дерева для последовательности кадров управляющей программы. Рассматривается возможность ускорения получения результата моделирования путём уменьшения числа выполняемых Булевых операций над BSP-деревьями. Вводится понятие динамического BSP-дерева, т.е. дерева, не требующего перестройки при добавлении в него новых граней (плоскостей).

На основании введённого определения приводится схема формирования динамического BSP-дерева, которое модифицируется при изменении сцены, как показано на рис. 3.

Особо отмечается, что модификация BSP-дерева производится путём простого присоединения участка дерева, описывающего новую часть объёма, к определённой вершине начального дерева, т.е. перестройки ранее полученного BSP-дерева не происходит.

Рис 2. Построение "хорошего" BSP-дерева

Рис 3. Схема расширения динамического BSP-дерева

Далее приводится анализ возможности построения динамического BSP-дерева для тела, образуемого при движении инструмента по произвольной траектории. В результатах этого анализа отмечается возможность такого построения только на определённых участках траектории. Приводится ряд факторов, влияющих на построение динамического BSP-дерева.

Первым фактором является возможность построения динамического BSP-дерева, когда нет врезания участков нового объёма в ранее построенный объём. В противном случае простое присоединение нового участка дерева к ранее построенному приведёт к нарушению связности общего BSP-дерева. Следовательно, необходима полная или частичная перестройка первоначального дерева.

Вторым фактором, влияющим на возможность построения динамического BSP-дерева, является выполнимость объединения первоначального и добавляемого объёмов по общей грани. Другими словами, требуется наличие в начальном BSP-дереве вершины, к которой может быть присоединено дерево нового тела без потери связности вновь формируемого дерева. В приведённом примере (см. рис. 3.) гранями являются 3 и 5. Для подобных граней, по которым происходит соединение двух BSP-деревьев, вводится понятие соединяющая грань.

Далее отмечается влияние выбора соединяющей грани на возможность построения динамического BSP-дерева и его результат. / /

а) б) в)

Рис 4. Влияние выбора начальной грани на возможность построения динамического BSP-дерева: а) последовательность 6)3,1,2,5,4,6,7,8 в) результирующее

граней: 1,2,3,4,5,6,7,8 BSP-дерево

На рис. 4 показан пример такого влияния, когда при одной последовательности выбора граней динамическое BSP-дерево может быть построено, а при другой нет. В результате при формировании динамического BSP-дерева на верхних уровнях расширяемого дерева должны находиться вершины, связанные с гранями, по которым производится соединение двух объёмов (грани 3 и 5).

Далее, рассматривая примеры построения динамического BSP-дерева для последовательных участков управляющей программы, поддерживаем выполнение следующих условий:

1) для обеспечения возможности отката (возвращение на несколько шагов назад в процедуре построения) без полной перестройки BSP-дерева, оно будет строиться так, чтобы поддеревья двух смежных кадров разделялись одной вершиной;

2) результирующее BSP-дерево должно быть по возможности максимально сбалансировано;

3) при построении должны учитываться требования, предъявляемые к созданию "хороших" BSP-деревьев.

Пример построения динамического BSP-дерева, формируемого при движении конусного инструмента по трём последовательным прямолинейным участкам траектории, показан на рис. 5.

Рис 5. Грани, используемые для построения Б8Р-дерева

При вводе некоторого количества дополнительных граней, явно не описывающих заметаемое тело (грани А„ V,), и организации определённым образом граней (1,2,3) (4,5,6) (9,10,11) (14,15,16) (19,20,21) (22,23,24), задающих криволинейные участки поверхности, результирующее Б8Р-дерево, описывающее заметаемый объём на трёх кадрах управляющей программы, будет иметь следующий вид (рис. 6).

Рис 6. Результат построения Б8Р-дерева

Как уже было отмечено, грани (1,2,3) (4,5,6) (9,10,11) (14,15,16) (19,20,21) (22,23,24) образуют области дерева, описывающие криволинейные участки тела и, кроме того, являются областями, допускающими уточнение связанных с ними участков тела.

Далее на основе проведённых экспериментов приводятся правила выбора граней (рис. 7), соединяющих смежные кадры управляющей программы.

Рис 7. Выбор соединяющей грани В заключение рассмотрения методов построения динамического BSP-дерева приводится критерий построения непротиворечивого BSP-дерева. Суть данного критерия заключается в анализе положения новых участков тела в области, отсекаемой соединяющими гранями.

Рис 8. Условие начала построения нового BSP-дерева На рис. 8 продемонстрирована схема сужения области пространства, в которой могут находиться новые участки объёма, заметаемые на следующих кадрах программы. Для проверки возможности присоединения нового участка к общему дереву рассматривается положение новых точек

относительно уже существующих в дереве соединяющих граней (на рис. 6 грани I и II).

В случае, если невозможно добавление нового участка в динамическое Б8Р-дерево, процесс построения текущего дерева заканчивается и присоединения к нему новых частей не происходит. Оставшееся поддерево, относящееся к противоречивому участку, становится началом построения нового Б8Р-дерева. В результате окончательный объём, заметаемый движущимся инструментом и удаляемый из заготовки, описывается лесом из Б8Р-деревьев. Последующие операции по получению результата удаления материала проводятся при помощи Булевых операций над Б8Р-деревьями, находящимися в этом лесе.

Далее приводится описание схемы уточнения криволинейных участков заметаемых тел. Под процедурой уточнения понимается динамический процесс увеличения точности начальной аппроксимации участка поверхности за счёт увеличения числа граней, описывающих данный участок поверхности в Б8Р-дереве. Отмечается, что операция динамического уточнения стала возможна вследствие особых правил построения Б8Р-дерева. Особо подчёркивается, что процедура уточнения не требует перестройки начального Б8Р-дерева, а осуществляется путём "разрастания вглубь" определённых участков первоначального дерева.

Последовательно приводятся подобные процедуры для разных типов уточняемых поверхностей - конуса, сферы (тора). На рис. 9 и 10 демонстрируется плоская схема уточнения конусного участка, начиная с его начального представления и заканчивая собственно механизмом уточнения.

Рис 9. Вид участка дерева, допускающего уточнение Грани 1 и 4 на рис. 9 определяют границу снизу внутренней области заметённой поверхности - область А. Однако остаётся ещё одна область, ограниченная гранями (1,2,3) - область В, в которой есть участки, принадлежащие как внутренней (область С), так и внешней областям, т.е. грани-

ца сверху внутренней области. Подобный участок пространства определя-

Рис 10. Уточнение участка поверхности цилиндра

В заключительной части главы известная схема реализации Булевых операций (объединения, вычитания) над BSP-деревьями, предложенная Нейлором и др., применяется для реализации алгоритма получения окончательного результата моделирования, т.е. выполнения объединения BSP-деревьев, соответствующих фрагментам ЧПУ-программы, между собой и вычитания результата из BSP-дерева заготовки.

В четвёртой главе отмечается практическая реализация предложенных методов и моделей, исполняющих роль геометрического ядра системы симуляции и верификации управляющих программ для станков с ЧПУ. Проводится сравнительная характеристика по определённым параметрам существующих систем как отечественных, так и зарубежных, осуществляющих моделирование фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

Таблица 1.

_Сравнение возможностей геометрического ядра систем

Параметр <

Система

VenCut v 5.2

Predator v4.1

GeMMa-3D v8.0

NC Manager v2.5

Наличие средств работы с УП (редактирование УП)

Вращение модели

Требует пересчёта

Требует пересчёта

Требует пересчета

Не требует пересчета

Масштабирование

Требует пересчета

Требует пере счбта

Требует пересчета

Не требует пересчета

Выполнение сечений

Связь УП с геометрией траектории_

Окончание табл 1

Связь геометрии траектории с УП — — — +

Создание сложных инструментов + + Ограниченный набор +

Контроль технологических параметров + + — +

Интеграция с САМ-системами Широкая поддержка систем (CAD, САМ, PDM) Нет Импорт геометрии в STL формате

Работа со стойками Зарубежные стойки Зарубежные стойки — Отечественные стойки

Приводятся результаты экспериментального исследования возможностей предложенного метода геометрического моделирования фрезерной обработки. Анализируются зависимости скорости построения модели от величины управляющей программы. Проводится сравнение времени построения результата моделирования разными методами при работе с одинаковой программой. Для этого возможностями описанной ранее системы симуляции и верификации УП для станков с ЧПУ выполняются следующие построения. Для одинаковых управляющих программ вычисляется результирующая модель двумя разными способами: используя динамическое BSP-дерево; выполняя построение массива несвязанных BSP-деревьев. Выбор управляющих программ для построения производится из следующего условия. Поскольку для реальной управляющей программы единственное динамическое BSP-дерево, описывающее всю траекторию движения инструмента, построено быть не может, выделим ряд часто встречающихся участков, для которых построение единственного динамического BSP-дерева возможно. Например, такими участками являются: дуги окружностей, аппроксимированные разным числом отрезков, и так называемые "пилообразные" участки траектории.

Основываясь на полученных результатах (табл. 2), отмечаем ряд существенных преимуществ предложенного метода:

1. В сравнении с методом, использующим построение отдельных BSP-деревьев, предложенный метод имеет существенный выигрыш по скорости построения "исходного дерева" (табл. 2).

2. Предлагаемая геометрическая модель даёт существенные преимущества при выполнении Булевых операций (табл. 2). Даже без учёта времени на объединение массива деревьев динамическое BSP-дерево за счёт своей внутренней структуры имеет выигрыш в скорости выполнения вычитания BSP-дерева, полученного после объединения массива BSP-деревьев.

3. При визуализации результирующего Б8Р-дерева предложенная в работе модель также имеет преимущества. Однако заметим, что оценки скорости визуализации являются больше относительными, нежели количественными, поскольку они существенно зависят от параметров оборудования.

4. В предложенном методе заметно проявляются меньшие требования к оперативной памяти (ОЗУ).

Таблица 2.

_Средневзвешенные скорости разных этапов построения

Параметры сравнения<

Средняя скорость (кадров/с) Отношение

Однодерево Массив деревьев одно BSP/ массив BSP

исх. уточн. исх. уточн. исх. уточн.

674,2 618,7 22,3 21,7 30,2 28,5

— — 41,9 29,0 — —

1690,7 1351,2 459,8 366,3 3,7 3,7

476,9 417,5 13,4 11,9 35,7 35,2

366,5 294,5 54,9 42,1 6,7 7,0

192,2 159,5 10,7 9,2 17,9 17,3

Построение

Объединение

Вычитание

Итого:

Визуализация

Итого:

Далее приводится оценка влияния скорости выполнения Булевых операций (табл. 3) на полученные положительные результаты (не получены ли положительные результаты за счёт "плохой" реализации Булевых операций). Для этого рассматривается геометрическая API-библиотека называемая BSPSolid - разработка компании J&L Associates (Канада), 2000 г. Как указывается разработчиками, данный API-модуль позволяет выполнять множество Булевых операций (объединение, пересечение, разность и исключающее ИЛИ) над CSG-моделями и моделями в виде BSP-дерева в реальном времени.

Таблица 3.

Временные оценки Булевых операций

Последовательное объединение кубиков Метод/Алгоритм Отношение NCM/BspSolid

Предлагаемый метод (NCM) Не динамическое BSP-дерево (BSPSolid)

Время, с Скорость, куб/с Время, с Скорость, куб/с

10 шт. 0,271 36,9 0,060 166,7 0,22

50 шт 1,472 34,0 10,044 5,0 6,82

100 шт 4,306 23,2 155,304 0,6 36,07

150 шт 11,026 13,6 943,670 0,2 85,59

Полученные результаты показывают отсутствие преимуществ специализированной API-библиотеки в сравнении с методами, реализованными в рассматриваемой системе.

Основные выводы по работе

1. Построены математические модели процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Данные модели относятся к геометрической стороне технологического процесса фрезерования и позволяют моделировать удаления материала из объёма заготовки. Модели основываются на построении тела, заметаемого инструментом при его движении по траектории, заданной управляющей программой.

2. Изложен способ формирования объёмов, заметаемых движущимся инструментом. Согласно ему, представление заметаемых объёмов производится с использованием BSP-деревьев. В работе был предложен метод, расширяющий возможности применения стандартных BSP-деревьев в условиях моделирования процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Метод основан на использовании введённой в настоящей работе схемы построения - динамического Б8Р-дерева. Для создания динамического BSP-дерева объёмы, формируемые на каждом кадре управляющей программы, могут быть разделены между собой одной или несколькими плоскостями. Это свойство позволяет строить результирующее BSP-дерево специального вида. Такое динамическое BSP-дерево с соблюдением определённых условий не требует своей перестройки при добавлении в него новых участков.

Полученное твёрдотельное представление заметаемого объёма в последующем с помощью Булевых операций вычитается из объёма заготовки. Выполнение Булевых операций позволяет получить результат удаления материала в ходе фрезерной обработки.

Твёрдотельная модель результата фрезерования также является BSP-деревом, что позволяет производить с результатом аффинные операции и изменение масштаба, не требующие дополнительных вычислений.

3. Оценка точности полученного твёрдотельного аппроксимированного представления заметаемого объёма производится как отклонение от аналитической поверхности, образуемой в ходе движения инструмента. Для этого были найдены простые аналитические решения в случаях, когда образующая движущегося инструмента составлена из участков конуса, сферы и тора.

В работе предложена схема динамического изменения точности получаемого результата. Точность построения может быть задана изначально, либо изменена после получения результата. При этом изменение точ-

ности не приводит к перестройке ранее полученного результата. Данное свойство существенно расширяет возможности по практическому применению предложенных методов. В случае, когда для оценки правильности выполнения процесса фрезерования достаточно грубого представления, данный результат может быть получен с меньшей точностью, которая при необходимости может быть увеличена. Построение результата с меньшей точностью будет требовать меньшего времени.

4. На основе предложенных алгоритмов разработано геометрическое ядро системы, выполняющей симуляцию и верификацию фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Данная система разрабатывается компанией ТЦ ИНТЕКС (г.Екатеринбург) в сотрудничестве с кафедрами прикладной геометрии и информатики, автоматизации проектирования Уральского государственного технического университета (УГТУ-УПИ), г. Екатеринбург. Модификация системы на основе внедрения в неё указанного геометрического ядра позволила существенно расширить её возможности.

5. Проведены оценки работоспособности изложенных в работе методов и алгоритмов. Для этого было выполнено сравнение возможностей оперирования с твёрдотельной геометрией некоторых систем моделирования фрезерной обработки (отечественных и зарубежных). На основе этих оценок выявлен ряд преимуществ.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Визуализация контроль и редактирование программ ЧПУ/ Кац Е.И., Ва-хатов Ю., Емелин А.Г., Старостин Н.//САПР и графика 2000. № 9.

2. Емелин А.Г. Пакет геометрического моделирования фрезерной обработки на станках с ЧПУ// Вестник УПИ 2000. № 3.

3. Кац Е.И., Емелин А.Г. Пакет моделирования фрезерной обработки на станках с ЧПУ //Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту: Сб. докладов Всероссийской научно-технической конференции УГУПС. Екатеринбург, 2001.

4. Емелин А.Г. Развитие пакета моделирования фрезерной обработки на станках с ЧПУ// Научные труды 1-й Отчетной конференции молодых учёных ГОУ УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2001. С 6-7.

5. Емелин А.Г. NCManager - мы развиваемся// Научные труды 2-й Отчетной конференции молодых учёных ГОУ УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2002. С 31-32.

6. Кац Е.И., Емелин А.Г. Определение поверхности, образованной при движении инструмента [электронный ресурс]: журнал "Прикладная геометрия"/МАИ, 2002. Выпуск 4, № 7.

Режим доступа: http://www.mai.ru/~apg/Volume4/v4_n7.htm

7. Емелин А.Г. Моделирование движения инструмента// Научные труды 4-й Отчетной конференции молодых учёных ГОУ УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2003.

8. Кац Е.И., Емелин А.Г. Применение BSP-деревьев для моделирования технологического процесса фрезерной обработки: [электронный ресурс]: журнал "Прикладная геометрия"/МАИ, 2003. Выпуск 5, № 10. Режим доступа: http://vmw.mai.ru/~apg/Volume5/v5n10.htm

9. Емелин А.Г. Об одном методе быстрого моделирования обработки на станках с ЧПУ// Научные труды 5-й Отчетной конференции молодых учёных ГОУ УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2003.

Подписано в печать 20.05.04 г. Бумага писчая

Уч.-издл.1,02 Усл.печл. 1,03. Заказ 130

Формат 60x84/16 Печать плоская Тираж 100 Бесплатно

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

Ризография кафедры ПГиИ ММФ УГТУ-УПИ

620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

!¡¡ 1 2 5 4 ï

Содержание.

Введение. ф

Глава 1. Модели и методы в моделировании технологического процесса фрезерования. Литературный обзор.

1.1. Общий взгляд на моделирование технологических процессов в машиностроении.

1.2. Существующие модели симуляции удаления материала.

1.3. Математические модели, используемые для определения объёма, заметаемого движущимся телом.

1.3.1. Дифференциальное уравнение заметания и его расширение.

1.3.2. Методы, использующие параметрическое и неявное представление. ф 1.3.3. Идентификация и отсечение внутренних объектов.

1.3.4. Приближённые методы построения заметаемого объёма.

1.4. Представление объёмной геометрии.

1.4.1. Модели представления геометрии.

1.4.2. Традиционные методы формирования математических моделей твёрдых тел.

1.5. Постановка задачи исследования.

Глава 2. Построение тела, заметаемого инструментом на участке траектории УП. л 2.1. Основные положения в задаче определения поверхности, заметаемой инструментом.

2.2. Построение аналитической поверхности, образованной в ходе движения инструмента.

2.2.1. Построение поверхности, заметаемой коническим инструментом.

2.2.2. Построение поверхности, заметаемой сферическим инструментом.

2.2.3. Построение заметаемой поверхности в общем случае.

2.3. Построение заметаемого объёма на одном участке траектории.

Глава 3. Построение результатов обработки для последовательности кадров.

3.1. Общий взгляд на возможность построения.

3.2. Формирование динамического BSP-дерева.

3.3. Критерий построения непротиворечивого BSP-дерева.

3.4. Уточнение.

3.5. Булевы операции.

3.5.1. Объединение деревьев.

3.5.2. Двоичное разбиение BSP-дерева.

3.5.3. Реализация булевой операции в вершинах дерева.

Глава 4. Практические результаты.

4.1. Программные модули симуляции фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

4.2. Оценка возможностей предложенного метода.

4.2.1. Оценки скоростей выполнения разных этапов моделирования

4.2.2. Оценка возможностей булевых операций.

В различных отраслях промышленности применяется обработка со снятием материала (обработка резанием). Одним из основных видов этой обработки является фрезерная обработка [4], которая по своим возможностям позволяет получать детали достаточно сложной формы.

В силу своей универсальности развитие фрезерной обработки привело к появлению фрезерных станков с числовым программным управлением (ЧПУ), а в настоящее время подобные станки используются, пожалуй, на каждом крупном машиностроительном и других предприятиях.

Однако, несмотря на широкое распространение подобного класса оборудования, остаётся сложным вопрос качественного управления этими станками, в первую очередь из-за сложностей, вызванных оценкой правильности разрабатываемой управляющей программы (УП) без её выполнения непосредственно на станке.

Для решения этой проблемы ведутся разработки моделей и методов моделирования процесса фрезерной обработки [4], каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Основным инструментом для реализации этого моделирования является компьютерная техника.

В основе всех методов геометрического моделирования и имитирования фрезерной обработки лежит задача определения объёма, удаляемого инструментом в ходе обработки [37, 38, 79, 53, 83, 84]. Выделяют два главных подхода в решении указанной задачи: методы, использующие точный аналитический подход и приближённые методы.

В целом, для аналитических методов, таких как: методы, основанные на конструктивной объемной схеме представления геометрии (CGS) [65], методы, определяющие точное представление границ заметаемого объёма [82, 88, 63, 94, 44, 56], методы, использующие R-функции [80] и др. свойственны большие временные затраты и дополнительные требования к вычислительным ресурсам компьютера.

Другая категория методов - приближённые методы. В работах [54] приводятся методы, реализация которых основана на использовании специального оборудования. Авторы работ [57, 81] для решения поставленной задачи используют расширение известного алгоритма Z-буфера. Широкий круг методов приближённого построения тел, заметаемых инструментом, основывается на использовании различных полигональных сеток, задающих движущиеся объекты [53, 60, 87]. В работах [48, 61, 69, 90, 94, 91] применяются методы, основанные на кодировании цвета. Для методов, относящихся к этой категории характерно то, что при решении проблемы временных затрат за счёт уменьшения вычислительной стоимости алгоритмов возникает новый вопрос - оценка точности выполняемых построений.

Несмотря на имеющиеся результаты, в силу уже приведённых причин (сложности вычислений и проблемы оценки построения), вопрос моделирования фрезерной обработки является по-прежнему актуальным.

Работа выполнялась на кафедре "Прикладная геометрия и автоматизация проектирования" Уральского государственного технического университета (г. Екатеринбург), в сотрудничестве с ТЦ ИНТЕКС (г. Екатеринбург). Хочется отметить, что со стороны её директора к.т.н., доц. Каца Евгения Исааковича была оказана значимая помощь в техническом руководстве и сопровождении настоящей работы.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов моделирования фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) построить математическую модель процесса удаления материала из заготовки:

- построить аналитическое и аппроксимированное представление тел, образуемых в ходе движения фрезерного инструмента;

- реализовать методы удаления заметаемых тел из заготовки.

2) разработать программную реализацию алгоритмов.

Автор защищает

1. Математические модели представления аналитической поверхности, заметаемой в ходе движения инструмента;

2. Методы построения аппроксимации аналитического представления, допускающие динамическое уточнение результатов аппроксимации;

3. Программную реализацию симуляции удаления материала в ходе фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем.

1. Построены математические модели построения поверхности, заметаемой движущимся инструментом: модели записаны в форме NURBS.

2. Разработан метод построения аппроксимированного представления тела заметаемого инструментом, который позволяет выполнять построение с изменяемой точностью.

Практическая ценность результатов работы состоит в следующем.

1. Разработана программная реализация задачи построения твёрдотельной модели, описывающей геометрическую форму результата фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Данный модуль включён в качестве ядра системы, выполняющей верификацию и симуляцию управляющих программ для станков с ЧПУ. Полученные результаты позволяют говорить о том, что применение предлагаемых алгоритмов в реализации программного средства позволяет существенно сократить временные затраты на разработку УП для станков с ЧПУ, а также повысить их качество.

2. Результаты работы автора применяются на ряде предприятий машиностроительного комплекса, что подтверждают акты внедрения.

Достоверность научных результатов и выводов обоснована применением методов теории вычислительной геометрии и компьютерной графики. Полученные результаты подтверждаются совпадением результатов расчётов с экспериментальными результатами, полученными при обработке на станках с ЧПУ.

Основные положения работы и отдельные её результаты докладывались на 4 научно-технических конференциях и 3 выставках.

По теме диссертационной работы опубликовано 9 работ, из них 2 статьи.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Список используемых источников составляет 97 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены математические модели процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Эти модели относятся к геометрической составляющей технологического процесса фрезерования и позволяют выполнить моделирование удаления материала из объема заготовки. Модели основываются на построении объёма, заметаемого инструментом при его движении по задаваемой, управляющей программой траектории.

2. Изложен способ формирования объёмов, заметаемых движущимся инструментом. Согласно ему, представление заметаемых объёмов производится используя BSP-деревья. В работе был предложен метод, расширяющий возможности применения стандартных BSP-деревьев в условиях моделирования процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Данный метод основан на использовании введённого в настоящей работе термина, а вместе с ним и схемы построения динамического BSP-дерева. Динамическое BSP-дерево создаётся, используя условие, что участки тел, удаляемые инструментом на каждом кадре управляющей программы, могут быть разделены друг от друга одной или несколькими плоскостями. Это свойство позволяет формировать результирующее BSP-дерево, описывающее заметаемый объём, специального вида. Такое динамическое BSP-дерево при соблюдении некоторых условий п.3.3 не требует своей перестройки при добавлении в него новых участков.

Полученное твёрдотельное представление заметаемого объёма в последующем, применяя булевы операции, вычитается из тела заготовки. Выполнение этой операции позволяет получить результат удаления материала в ходе технологического процесса фрезерной обработки.

Твёрдотельная модель результата фрезерной обработки также представляется посредством BSP-дерева, что позволяет производить с результатом аффинные операции и изменение масштаба, не требующие выполнения дополнительных вычислений.

3. Оценка точности полученного твёрдотельного аппроксимированного представления заметаемого объёма производится в сравнении с аналитической поверхностью, образуемой в ходе движения инструмента. Для этого были найдены простые аналитические решения в случаях, когда образующая движущегося инструмента образована участками конуса, сферы, тора.

В работе предложена схема динамического изменения точности получаемого результата. Точность построения может быть задана изначально, либо изменена после формирования результата. При этом изменение точности не приводит к полной перестройке ранее полученного результата. Это свойство существенно расширяет возможности по практическому применению предложенных методов. В случае, когда для оценки правильности работы технологического процесса достаточно грубого представления, данный результат может быть получен с меньшей точностью, которая при необходимости может быть увеличена. При этом построение результата с меньшей точностью будет требовать меньшего времени.

4. На основе предложенных методов разработано геометрическое ядро системы, выполняющей симуляцию и верификацию фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Эта система разрабатывается компанией ТЦ ИНТЕКС (г.Екатеринбург) в сотрудничестве с кафедрами прикладной геометрии и информатики, автоматизации проектирования Уральского государственного технического университета (УГТУ-УПИ) г. Екатеринбург. Модификация системы на основе внедрения в неё указанного геометрического ядра, позволила существенно расширить возможности системы.

5. Проведены оценки работоспособности изложенных в работе методов и алгоритмов. Для этого было выполнено сравнение возможностей оперирования с твёрдотельной геометрией некоторых систем моделирования фрезерной обработки (отечественных и зарубежных). На основе этих оценок выявлен ряд преимуществ.

1. Абрамов И.В. Введение в машинную графику. М.: МГИУ, 2001-286 с.

2. Бахвалов Н.С. "Численные методы". М. : Наука: ФИЗМАТЛИТ, 1987. 598 с.

3. Гардан И., Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования. М., Мир, 1987. - 272 с.

4. Данилина Н.И. Численные методы М.: Мир, 1976 - 576с.

5. Дж. Девинпорт, И. Сире, Э. Гурнье "Компьютерная алгебра" 1991.

6. Денискин И.Ю. Особенности аппроксимации обводов параметрическими полиномами в форме Берштейна. //Электронный журнал "Прикладная геометрия". 2000. Вып. 2. №2.

7. Деряоин А.Л. "Программирование технологических процессов для станков с ЧПУ" М. Машиностроение., 1984 - 223 с.

8. Жермен-Лакур П.,Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: Кн. 2. Пер. с франц. М.: Мир, 1889. 264 с.

9. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелое В.А. "Сплайны в инженерной геометрии". -М.: Машиностроение 1985. 156 с. УПИ:

10. Ивахненко А. Г. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1987.

11. Имитация процесса обработки детали по готовым управляющим программам для станков с ЧПУ система T-FLEX NC Tracer. -http://topsystems.kiev.ua/

12. Евгений Кац, Юрий Вахатов, Алексей Емелин, Николай Старостин, " NCManager: визуализация, контроль и редактирование программ ЧПУ". "САПР и графика" №9, 2000.

13. Климов Е.В. Графические системы САПР. М., Высшая школа, 1990. -142 с.

14. Ляшко А.Д., Ермолин Е.В. "Численные методы их применение". -1983.

15. Самохин А.Б., Самохина А.С. "Численные методы и программирование на Фортране для персонального компьютера" М. : Радио и связь, 1996. -224 с.

16. Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии М.: Машиностроение 1985 - 156с.

17. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление. М.: Мир, 1973. - 248 с.

18. Сухих Б.И., Вайсбурд Р.А. "Вычислительная геометрия. Основные объекты и преобразования". Свердловск: УПИ, 1989. 92 с.

19. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Математические модели и вычислительные методы. М.: Наука, 1987.

20. Фадеев А.К., Фадеева "Вычислительные методы линейной алгебры" -М.: Физмат 1960. 656с.

21. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М;: Мир, 1982. 304 с.

22. Форсайт Дж., Мальком М., Моулер К. "Машинные методы математических вычислений". М.: Мир 1980. 280 с.

23. Шенен П., Коснар М., Гардан И. И др. Математика и САПР: Кн. 1. Пер. с франц. М.: Мир, 1988. 204 с.

24. Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели. М.: Диалог - МИФИ, 2000. - 464 с.

25. Шпур Г., Краузе Ф. Автоматизированное проектирование в машиностроении. -М.: Машиностроение, 1988. 647 с.

26. Яглом И.М. Математические структуры и математические модели. М.: Наука, 1980.

27. Abdel-Malek, К. and Yeh, H.J., "Determining Intersection Curves Between Surfaces of Two Solids," Computer-Aided Design, Vol. 28, No. 6-7, pp. 539549 (1996).

28. Abdel-Malek, К. and Yeh, H. J., "On the Determination of Starting Points for Parametric Surface Intersections," Computer-Aided Design, Vol. 29, No. 1, pp.21-35 (1997).

29. Abdel-Malek, K. and Yeh, H.J., "Geometric Representation of the Swept Volume Using Jacobian Rank Deficiency Conditions", Computer Aided Design, Vol. 29, No. 6, pp. 457-468 (1997).

30. Abdel-Malek, K., Yang, J., Blackmore, D., Joy, K., " Swept Volumes: Foundations, Perspectives, and Applications", International Journal of Shape Modeling.

31. Abdel-Malek, K. and Othman, S., "Multiple sweeping using the Denavit-Hartenberg Representation Method", Computer-Aided Design, Vol. 31, pp. 567-583 (1999).

32. Abdel-Malek, K., Yang, J., Blackmore, D., "Closed-form swept volume of implicit surfaces",Proceedings of the 26th ASME Design Automation Conference, Baltimore, MD (2000).

33. Abdel-Malek, K. and Yang, J., "Method and Code for the Visualization of Multivariate Solids", Proceedings of the 26th ASME Design Automation Conference, Baltimore, MD (2000).

34. Ahn, JC, Kim, MS, Lim, SB, "Approximate general sweep boundary of 2D curved object", CVGIP: Computer Vision Graphics and Image Processing, Vol. 55, pp. 98-128 (1997).

35. Al-Daccak, M.J., Angeles, J., "Reduced calculation of volumetric properties of sweep-generated solids", ASME (Publication) DE Computer-Aided and Computational Design Advances in Design Automation v 19 pt 1, pp. 157-162(1989).

36. Akin, J. E., Computer-Assisted Mechanical Design, Prentice Hall, Englewod Cliffs, NJ (1990).

37. Andrew S. Winter and Min Chen "Image-Swept Volumes" -EUROGRAPHICS 2002 / G. Drettakis and H.-P. Seidel Volume 21 (2002), Number 3

38. Bajaj, C.L., Hoffman, C.M., Lynch, R.E., and Hopcroft, J.E.H., "Tracing Surface Intersections," Computer Aided Geometric Design, Vol. 5, pp. 285-307 (1988).

39. Barnhill, R.E. and Kersey, S.N., "A Marching Method for Parametric Surface/Surface Intersection," Computer Aided Geometric Design, Vol. 7, pp. 257-280 (1989).

40. Barnhill, R.E., Farin, G., Jordan, M., and Piper, B.R., "Surface/surface Intersection," Computer Aided Geometric Design, Vol. 4, pp. 3-16 (1987).

41. Blackmore, D., Leu, M. C., "A differential equation approach to swept volumes", Proceedings of Rensselaer's 2nd International Conference on Computer Integrated Manufacturing, pp. 143-149 (1990).

42. Blackmore, D.; Leu, M.C., "Analysis of swept volume via Lie groups and differential equations", International Journal of Robotics Research, v 11 n 6, pp. 516-537(1992).

43. Blackmore, D., Leu, M.C., Shih, F., "Analysis and modeling of deformed swept volumes", Computer Aided Design, 26(4), 1994, 315-326.

44. Blackmore, D., Leu, M.C., Wang, L.P., Jiang, H., 1 "Swept volumes: a retrospective and prospective view", Neural, Parallel & Scientific Computations, Vol. 5,81-102(1997).

45. Blackmore, D., Leu, M.C., Wang, L.P., "Sweep-envelope differential equation algorithm and its application to NC machining verification", Computer Aided Design, v 29 n 9, pp. 629-637 (1997).

46. Blackmore, D., Samulyak, R., Leu, M.C., "Trimming swept volumes", Computer Aided Design, v 31 n 3, pp. 215-223 (1999).

47. Chappel I. Т., „The use of vectors to simulate material removed by numerically controlled milling", Computer AidedDesign, Vol. 15, No. 3, pp.156158, (1983).

48. Chou, C.J., Lee, Y.S., "A shape generating approach for multi-axis machining G-buffer models," Computer Aided Design, Vol. 31, pp. 761-776 (1999).

49. Dobkin David, Guibas Leonidas, Hershberger John, Shoeyink Jack "An Efficient Algoritm for Finding the CSG Representation of a simple polygon" -Digital, September 10, 1989.

50. Elber, G. and Kim, M.S., "Offsets, sweeps, and Minkowski sums", Computer-aided Design, Vol. 31 (3), pp. 163 (1999).

51. Adam Finkelstein "Solid Modeling", Princeton University COS 426, Spring 2003'

52. Georg Glaeser, Eduard Groller "Efficient Volume-Generation During the Simulation of NC-Milling"

53. T. van Hook, "Real Time Shaded NC Milling Display", Computer Graphics, Vol. .20, No. 4, (Proc. SIGGRAPH'86), pp.15-20 (1986).

54. Hoffman, С M, "Geometric and Solid Modeling, An Introduction", Morgan Kaufman, Ic., San Mateo, CA, 1989.

55. Hu, Z.J., and Ling, Z.K., "Swept volumes generated by the natural quadric surfaces", Comput. &Graphics, 20(2), 1996, 263-274.

56. Hui K.C., "Solid sweeping in image space- application in NC simulation", The Visual Computer, Vol.10, pp.306-316 (1994).

57. Y. Huang, J.H. Oliver, "NC Milling Error Assessment and Tool Path Correction", Computer Graphics Proceedings, Conference Proceedings July 24-19, 1994, (Proc. SIGGRAPH '94), pp. 287-294.

58. R.B. Jerard, R.L. Drysdale, K. Hauck, J. Magewick, and B. Schaudt, "Methods for Detecting Errors in NumericallyControlled Machining of Sculptured

59. Surfaces", IEEE Computer Graphics and Applications , 0272-1716/89, pp.2639 (1989).

60. Jerard R.B, Hussaini S. Z., Drysdale R.L., and Schaudt В., "Approximate methods for simulation and verification ofnumerically controlled machining programs", The Visual Computer , Vol. 5, pp.329-348 (1989).

61. Johnstone J.K., and Williams J.P., "A rational model of the surface swept by a curve EUROGRAPHICS'95,Vol.14, pp.77-88 (1995).

62. J&L Associates BspSolid v 1.2 -http://www.ncf.carleton.ca/~ds755/BspSolid.htm

63. Karen (Liping) Wang "AN N2LOGN ALGORITHM FOR GENERATING SWEPT SOLIDS IN NC VERIFICATION" Department of Mechanical Engineering The City College of the City University of New York New York, NY 10031

64. Karim Abdel-Malek, Jingzhou Yang, Denis Blackmore "On Swept Volume Formulations: Implicit Surfaces" EUROGRAPHICS 2001 / A. Chalmers and T.-M. Rhyne Volume 20 (2001), Number 3.

65. Y. Kawashima, K. Itoh, T. Ishida, S. Nonaka, and K. Ejiri, "A flexible quantitative method for NC machining verification using a space-division based solid model", The Visual Computer , Vol. 7, pp.149-157 (1991).

66. Kieffer, J., and Litvin, Т., "Swept volume determination and interference detection for moving 3-D solids", Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, 113,1991, 456-453.

67. Kim, M.S., Moon, S.R., "Rotational sweep volumes of objects bounded by algebraic curves", Proceedings of the 1990 IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp. 311-316. (1990).

68. Leu, M C.; Wang, L; Blackmore, D, "Verification program for 5-axis NC machining with general APT tools", CIRP Annals Manufacturing Technology, v 46 n 1 1997, pp. 419-424.

69. Ch. Liu, and D.M. Esterling et al. „Dimensional Verification of NC Machining Profiles Using Extended Quadtrees", Computer Aided Design, Vol. 28, No. 11, pp.845-842 (1996).

70. Madrigal, C. and Joy, KI, "Generating the Envelope of a Swept Trivariate Solid," Proceedings of the IASTED International Conference on Computer Graphics and Imaging, Palm Springs, California, October 25-27 (1999).

71. Maekawa, Т., "An overview of offset curves and surfaces", Computer-aided Design, Vol. 31 (3), pp. 165-173 (1999).

72. Menon, J.P., Robinson, D.M. "Advanced NC verification via massively parallel raycasting, " ASME manufacturing Review, Vol. 6, 141-154 (1993).

73. Menon, J.P., Voelcker, H.B. "Toward a comprehensive formulation of NC verification as a mathematical and computational problem", Proceedings of the 1992 Winter Annual Meeting of ASME, Vol. 59, Anaheim, С A, pp. 147-164(1992).

74. Naylor Bruce, "Constructing Good Partitioning Trees", AT&T Bell Laboratories, Murray Hill, NJ

75. Naylor Bruce, Amanatidest John, William Thibaultf "Merging BSP Trees Yields Polyhedral Set Operation" Computer Graphics, Volume 24, Number 4, August 1990, pp. 116-124.

76. Olfe, D. В., Computer Graphics for Design, From Algorithms to Autocad, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.

77. Peters, J., Nasri, A., "Computing Volumes of Solids Enclosed by Recursive Subdivision", Computer Graphics Forum, Vol. 16(3), pp. 89-94 (1994).

78. Predator VIRTUAL CNC™ http://predator-soflware.com

79. David Roth, Sanjeev Bedi, Fathy Ismail, Stephen Mann. "Surface Swept by a Toroidal Cutter 5-Aixes Machining Submitted to CAD" x

80. Rvachev V.L., "Methods of Logic Algebra in Mathematical Physics", Kiev: Naukova Dumka Publishers, p259,(1974).

81. Saito Т., and Takahashi Т., "NC Machining with G-Buffer method", Computer Graphics, Vol. 25, No. 4, (Proc.SIGGRAPH '91), pp.207-216 (1991).

82. Sourin A.I., and Pasko A.A., "Function Representation for Sweeping by a Moving Solid", IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, Vol. 2, No. 2, March 1996, pp.11-18 (1996)

83. Stephen Mann, Sanjeev Bedi "Generalization of the Imprint Method for Swept Surface Generation"

84. Stephen Mann, Sanjeev Bedi "The Swept Surface of an Elliptic Cylinder" -University of Waterloo Waterloo, Ontario, N2L 3G1 CANADA

85. Stephen A. Ehmann and Ming C. Lin "Accurate and Fast Proximity Queries Between Polyhedra Using Convex Surface Decomposition" Department of Computer Science, University of North Carolina, Chapel Hill, U. S. A.

86. Yang M. and Lee E., "NC verification for wire-EDM using an R-map", Computer Aided Design, Vol. 28, No. 9,pp.733-740 (1996).

87. Yun C. Chung, Jang W. Park, Hayong Shin, Byong K. Choi. "Modeling the surface swept by a generalized cutter for NC verification" Compute Aided Designer, 30(8): 583-594, 1998.

88. VERICUT Module: Machine Simulation, Optimize NC Programs, Verify NC Programs http://www.vericut.com/

89. Voelker H.B., and Wang K.K., "The Role of Solid Modeling for Swept Volume of Moving Solids." SAE TechnicalPaper no. 810195, Feb. 1981.

90. Wang S.W. and Kaufmann A., "Volume Sculpting" ACM Symposium on Interactive 3D-Graphics, Monterey CA., pp. 151-156.

91. Wang, G., Sun, J. and Hua, X., "The sweep-envelope differential equation algorithm for general deformed swept volumes", Computer Aided Geometric Design, Vol. 17, pp. 399-418 (2000).

92. Wang, W.P. and Wang, K.K., "Real-time verification of multi-axis NC programs with raster graphics", Proc.IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, pp. 166-171 (1986).

93. Wang, W.P., Wang, K.K., "Geometric modeling for swept volumes of moving solids", IEEE Computer Graphics and Applications, 6(12), 1986, 8-17.

94. Weld, J.D.; Leu, M.C., "Geometric representation of swept volumes with application to polyhedral objects", International Journal of Robotics Research, Vol. 9 n 5, pp. 105-117(1990).

95. Wellman, B.L., "Technical Descriptive Geometry", McGraw-Hill Book Company, New York, (1957).

96. M. Yang and E. Lee, "NC verification for wire-EDM using an R-map", Computer Aided Design, Vol. 28, No. 9,pp.733-740 (1996).