автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрические основы теории многообразий евклидового n-пространства применительно к геометрическому моделированию многопараметрических систем

КИЕВСКИП ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫП ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ТЕОРИИ МНОГООБРАЗИЙ ЕВКЛИДОВОГО п-ПРОСТРАНСТВА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.01.01 — Прикладная геометрия и инженерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Киев — 1892

/

Работа выполнена в Киевском политехническом институте.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор П. В. Филиппов; доктор технических наук, профессор В. Я. Волков; доктор технических наук, профессор И. А. Скидан.

Ведущая организация — ПО им. С. П. Королева.

Научный консультант — заслуженный работник высшей школн, доктор технических наук, профессор А. В. Павлов.

Защита состоится «17» июня 1992 г. в 13.00 часов на заседания специализированного совета Д 068.05.03 в Киевеком инженерно-строительном институте по адресу: 252037, г. Киев-37, Воздухо-флотскии проспект, 31, аудитория 319.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевском инженерно-строительного института.

Автореферат разослан

мая 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук

доцент

в. а. плоски а

ОШ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТУ

Актуальность работы определяется, преяда всего, необходимостью системного подхода к исследовании многообразий, что огкриваэо.' пути л геометрическому моделированию и исследованию ктогопараметрнчесюгг систем техники и производства.

Особо следуот В2де.ттаь проблему строгого, с тсчхп зрения гэохетркя, подхода к ропенив многокритериальных задач оптшаиза-*аги„ В ггоглегрэтеской интерпретации сущность многокритериальной задачи состоят .9 пояска на ¡( -многообразии как геометрической модели сложной зависимости р {ункциЗ (критериев оптимизации) .

к сйачх аргументов такой гота! (возможно, точек) ксмпрошсояо-го окотрэаума, .для которой значения ©гекцей оптимизации будут соответствовать требуемому соотношении медду нами о учетом приоритетности критериев (функций оптимизация).

Существующие подхода решения многокритериальных задач заклю-ч?й-гся, кех: правило, а приведения их к /> однокритзриалькым с последующим ломаромисснам усреднением найденных решений. Геомет-рачеаян яервн5 этап такого решения выглядит как еоеск экстремальных тачек па /> к -гшогообразаяг в обьемяпцих ( I ) -мерных Щ)сстр5нствга по одному кратзрив классическим методой категдаги-чэсхого анализа. Второй этап (усреднение), с точка зрения геометрии, яообщо является некорректным. Действительно, так как р А' -»многообразий иожяо рассматривать ках{ /> проекций к -квогсобразия на ( к+1 )-мерные координатные подпространства в обЬСМЛЕЩвЫ \ к )-мерном пространстве, то ясно, что НаЙ,Ц2НЕШе на первом этапе экстремальные точка по каткому из критериев порознь на яикэтея проекциями одной и той ке точна- к -шогообря-

ЗИЯ. - ' ..

Наконец, для многообразий как многомерных образований необ-ход:с.;о иметь доступные способы отобраяекяя я исследования как с псмо'цъв анзлкткческих вырэяений, так к графических изобрагекий на чертеже. Существующие распространенный модели Л -мерного ' эвклидового пространства либо содерла-г не все 2-мерш:е координатные пдосгдаста, необходкаиз для реязшш тшогохратериальзщ: задач Сзггюри Шоу та, Радэдва, Еука-Зйталя), либо с зозр^стает&м разморадоти пространства их. занкнутыа й-мерные клеткв-соля бистро умекьийстся £ размерах и практически становится яепргггсдши.о: для игобрадакай проекцзй гаогомерннх обгзктоз (изда Ласаана .а Дааядеяко). Таким образом, актуальность ра>ра-Зотуа чертс.гл?.

2 •

Я -ііерзого пространства также не снимается.

Целью работы является создание общей скстемнсй теории многообразий енклидового /2 верного пространства а на ее основа разработка универсальных и надеккых методов конструирования, отображения и исследования многообразий как геометрических моделей шог-опараметрических систем различной црирода, ч їєю;« разработка простых и'доступных алгоритмов решения прикладных задач, в том числе и многокритериальных задач оптимізіцан.

Для достижения главной цели б работе бк'ш поставлены !Гр5ш-ны такие основные задачи:

1. Разработать аналитические и графические осоосбн конструирования и исследования глногообраьай.

2. Прадлокить способы конструирования и Ессдедовгн™:: рациональная кривых пространства как составляющих каркаса многообразий.

3. Установить эьвиоакооть вараметрсз рздаооальши к;ййах и мкогоскЗразмй от объемов соприкасающееся с чзшг. каркасных гидер-симшгексов.

4. Вывести обобщенные фор^лы вачкеданна оогемов Л-саш-лексов,

5. Дать в объемлющем ( р+к )-мерном пространстве общее представление к -многообразия как геометрической модели а-о-икой зс-ДИОШ0ООГИ р функций к аріумзнтов с шслзд^взіим определением точек коьарсыисского зкетремума.

6. Разработать комплексный чертеж П- -мерного пространства, вг.лэчэюпий все 2-мерныэ координатные плоскости,

7. Вывести зависимости кєаду показєтеляь-и искакендк а другими элементами проецирования в прямоугольной и косоугольной аксонометриях общей аффинной координатной система.

3. Разработать алгоритмы геометрического моделирования.и исследования различных многопаракетркческих процессов, в том числе задач прогнозирования к оптимизации, с ЕЛЛЬстрацяеЁ на конфетных примерах.

Методы исследования. В работе использованы методы векторного исчисления, ?/.а тематического анализа, аналиакческой и проективной геометрий /1 -мерного пространства.

Выражение исходных рациональных кривых принято по Надслпнно-Ьу? в г.єг.торком параметрическом ввде. однако с определением параметров ї.рииой в виде отношений ооъемоз соприкасающихся с конвой карка оша ггаерсаклябкоов.

При гсслєдоваакк рациональных кривих прзкезтатая прздлэт.ен-ный я работе метод сепрозоядаюдего гипврогмпдекса, сопрнкйсаЕ-'де-гося о кривой. Нзпрэрывная совокупность последовательных подоке-шї2 спютюксав образует сопровождавшую кривую гиперпоьерх-

чооть { л- ! )-:-.прного торса, ребром возврата гсторого зсть сама крклая; а стнейныги сбразугдаш - соприкасающиеся с крагой шпзр-сашкехсн. Пртд зтсм ма сопрояокдающем кривую гипарторсе выделяется 2~ійрноо линейчатое подмногообразие параметров,, у которого вдпраздяхтшта являются лчняя центров тяг.естя каркасных гипережп-лэксоч сямз исходная кривая.

Ояг^аанкш дукктгмі геедэдованай послуахта основополагающе • тєоретігеасхдв разработай отечественных а зарубекннх ученых:

- до многомзрной прикладной геоматрік: К.И.Валькова, Б.Я.Водкоза, :Ї.С.Дяамрвдзе, И.И .Кетова, ЇЇ.В.Фі'липповз, В.Іі.Пєр-5пт:овоі1, З .С.Фёдорова, Н.Ф.Четзаруілна и их нногочиедяетых уче-^чяоз;

- тс граничаокзи подзлям Ґі -пространства: ВЛ.Дносоза, ії.С.Курнчказг, 2,С.Фёдорова, П.В.Филиппова, ЗЛЬРадещеза, й.М.Дэ-рогьман, З.АЛаввдвчко, Альотаммара, Х.Букэ, Я.Экхарта, П.Еоутэ, З.Ойх-эля к др.; -

- по основам мЕОГс:л»ршэ& гаометраа в аналитическом, гехтор-коч тензорном надомник: Л.С.Атанасяна» Г.Грассмана, А.Кета, Х.Мешшнга: ПгК.гашевского, Б.А.?озенфвльда, Д.Соммерзяля и др.;

- по тооряи кривых линий и поверхностей: В.Е,Михайленко,

А.В.Павлова, И.А.Скидана, А. Л .Подгорного, С .Н .Кова-

лёва а Г .С.Иванова, В.гл.Кэйдыпг, В.С.Обуховой, В.А.Надолинного,

A.И.Подкорктова, В.ІІ .Корабельского, А.М.Теалгна к их учеников;

- по вычислительной геометри«: Е.А.Старсдетко, З.С."^лозова,

B.М.Шіхайлекко, С,Л.Фролова, К.А.Сагонсва, А.Г.Горедакз, В.А.Оси-пова, В.К .Якунина. Ю.И.Бадаева, К.М.Надларова и др.;

- по ахеоаіжетрип: А .В .Павлова, М.В.Бурде, Н.Ф.ЧеткерухЕна, О.Тамми, З.Н.Изрвитевой, МЛ.Юдицксгс л др.

Научная нозизна состоит в создания общей системной теоряи многообразий евклидслого ¡1 -марного про с гра нет л г л .рч ее основе - методой конструирования, отсс'ралега'я к исследования

к -кногооорззий ( {/■/-/), главными составляши:ли которых является:

I. Введенное понята»; оог.его ортосльзідзкса танечного числа линейно незагасних подпространств євклкдоесго ґ'- -проогрансгы

как многомерное обобщение перпендикуляра.

Травкелке направленного ортосиыялзкса, модуль которого равея его объему, к уравнение определяемоi'o ортоошЕлексом подпространства .

2. Обобщение фор^лы вычисления объемов /г. -ошстлекооБ, s том числе через объем ортоктшекса.

Формула вычйслзккл с пну с а угла ыевду двумя данейныш подпространствами через ойъеш определяющих их симплексов (иди через координаты вершин симплексов)«

3» Геометрический сходящийся ряд /I -симплексов, образуешй последовательными преобразованиями обратной взаимной гомотетии с коэффщазкотк гомотетии прсд?.то:и сходгкостк которо-

го есть о'щи2 центр тяьэсти сикплексов.

Теорзш о позиционных сзойствах ¡1 -сжлтшекса к, как следствие ОДЯОй И5 НИХ, pSiOrICTSO ^ , л

£ ^ 1. (к+1)!

4. Уравнение рациональной правой -/2.-го порядка в /2.-игар-ноы пространстве в векторном перзмзтркческок гэд? с опредедеьшш ого параьк?роь чирез объькы сопракасащагвя v. укосных гнперсклп-леноов. з ?esks определение ирнавзан крннок ¿с участкам,

5. Сопровождавшая крзвув поверхность гкаоргороа, лпнсй&ааи образухазп-и которого являатся; сойрпкаог^гшс:: с jq^nCifi 1ярк&ош/е гкперсимляексы.

Зходядее ь гиперторо линейное 2-мерное шдьшогообразис шра-

;j2Tp0i-, НаараЕЛШЦИМБ КОТОРОГО ЯВЛЯЕТСЯ ДЕНЙЯ ЦоНТрОЗ SiKSOiE со-

црпкасаетцгхся каркасных гиперсшлплексоз и сама дрсясл, а cröpssys-ппма - огрезкг прякнх, соедшшязе центру тяготи склалакесг с соог£СтсгЕую,дя?.а* км точкам.' кривой.

6. Анал11Т2чео:.сое кокотгруарованЕв к ~каэгэос!рьз£й (p-r-к ьераого jrpocipgHorsa как теомзтраческсй шдедгч сду£&>£ гажемос--Т!5 уЬ- Сектой аргументов с- поелздуэпсс одрглллйИЕбК ка зек точек КССЖТСМЕОСКОх'О 8К0!Гре»уМа npIßffiKZTejtiAO К pCiMO® КгХГ-Офа-хвркг^ъках з&дчч по киогкк 1фптериш оатаыгэш! эдчсгрэксако г ивдг уркяневия:

структурно содвргацего ^рзрийкяя яяадярчю: в /. -•:.1н-.гсоораз!1й йодивох-ообхи:SEÜ £»изиих райм--р1:ос23й я« к»« mix

.-- : г>д$«ек».ого на ccüoaas;?. походной ксгвой irjiej. нарг-^гагя

мощности модели последовательным введением переменных (прямое геометрическое модегярование);

- получегзого методом касательных подпространств к входному подмногообразии;

- полненного методом отображения проективного пространства;

- полученною на основании исходных подмногообразий различных размерностей и весов, модели^щих наперед заданные :-олг-ея.

7. Параболоида 4-го порядка как частные случаи многообразий: гиперболичег-ие, параболические и элл-чтические, в частности круговые.

обобщенные (по отношения) к извзстяыы) плоские кривые 4-го порядка как сечения параболоидов.

8. Графические модели П. -мерного пространства:

- яффиншй чертея;

- комплексная аксонометрия.

Зависимости «заду показателями искажения и другими элементами аксонометрического проецирования в прямоугольной а косоугольной аксонометрии общей координатой системы,

9. Дискрэтиая каркасная (А—)-сеть к -многообразия с ^ тершей узлгми и ее уплотнение как средс.во графического

отображения лногообразий на \ертеже.

Практическая ценность теори* состоит:

1. В создании аппарата строгого, с точки зрения геометрии, решения многокритериальных задач оптимизации по многим критериям одновременно,

2. Е разр .ботке алгоритмов решения задач прогнозирования мяогопзракетрических процесс чв„

3. З уншаерсе іьности предлояенннх методов ге ома триче с кого моделирования и исследования многопара. .трических систем.

4. В возможности > дета штих наперед заданных условий, ыоделлруг"ихс" соответствующими подмногообразиями.

5. В возможкегги, наряду с аналитическим, графического решения многопарзадетрических задач, ь.лючаг задачи прогнозирования и ОПТЮ'ЧЗЇ 1ДЇ-Ш, В ТОМ числе и ІІО М'"ТИМ критериям ОПТЕШЗаЦЛИ ОДвО-премешю.

Ш-З^ІІЇ—получение научные результаты, составлявшие .ручную новизну и практическую ценность работы.

Реализпц я цао^ты осуществлена в грех направлениях: нес з-редстзенно на производственных г едпркятиях; в каучпо-кс тедовз-

телъских, отраслевых и проблемных лабораториях к академических институтах; в учебном процессе со слушателями факультета повышения квалификации преподавателей вузов при Киевском политехническом институте, а также в учебном процессе при организации и проведении научной работы со студентами.

Основные работы первого направления были выполнены по хоздоговору № 963 с ПО им. С Л.Королёва по теме "Расчет геометрических параметров и разработка конструкций Р.И. для станков с программным управлением в зависимости от одновременного влияния многих факторов" и .по теме "Расчет конструктивных параметров пневмо-гидроусилктелей автоматических систем управления",а также по договору о творческом содружестве с ИПЛ АН Укррины на разработку методики геометрического моделирования производства высокопрочного чугуна (Ей) и определения оптимальных составов комплексных модификаторов с учетом условий производства. В результате внедрения на Ровенском заводе тракторных запчастей технологии производства БЧ, разработанной по закрытой тематике коллективами ИПЛ АН Украи-' ны и лаборатории неорганической химии КЕ7 . в плане республиканской комплексно-целевой научно-технической программы РН.Ц.003, при изготовлении гидростатических трансмиссий только трех типов уборочных комбайнов (по данным расчета института экономики промышленности АН Украины) народнохозяйственный экономический годовой эффект за 1983 и 1984 годы составил, соответственно, 43,4 и 83,1 млн. рублей за счет повышения долговечности эксплуатации деталей и повышения производительности машин, снижения металлоемкости, расхода горючего и издержек при эксплуатации на ремонт. Участие автора реферируемой диссертационной работы заключалось в произведении расчетов оптимальных технологических условий промышленного производства ваграночного ВЧ разработанными в диссертации методами.

Свда же относятся расчет влияния отходов асбесто-керамичес-ких производств на физические свойства цементов и расчет оптимальной производительности листоформовочной машины СМ-343 для Чимкентского комбината асбесто-цементных конструкций, выполненные в порядке научного содружества.

По второму направлению с помощью разработанных в диссертации методов произведены расчеты различных технологических процессов в содружестве с коллективами: кафедры неорганической химии КГУ

(расчет оптимальных режимов гексафторсяликагного вскрытия титанового концентрата, расчет оптимальных технологических условий спекания керамических сплавов на основе титана), кафедры вяжущх материалов КПй (расчет эффективности кремнийорганических интенсифи-каторов помола цементного клинкера), кафедры электротехники КПК (расчет установившихся режимов электрических сетей постоянного тока с /Z потребителями), проблемной научно-исследовательской лаборатории УкрИШПластЦап" (расчет оптимальной производительности форматора червячного типа для производства изделий из пластмасс, расчет оптимальных условий процесса охлаждения ленты на агрегате для изготовления пленки методом раздува и др.), Казах- ' ского технологического института (расчет оптимальных условий процесса гидролиза фурфурола на фуриловый спирт и тетрагидрофурило-вый спирт (т.ф.с.) с последующим гидрированием фурилового спирта в т.ф.с.), Белорусского института инженеров железнодорожного транспорта (расчет физико-механических свойств полиамида ПА-6 в зависимости от вида и количества металлических добавок, оптимизация процесса плазменного напыления полимера на металл) я др.

По третьему направлению научные результаты работы включены в программу курса "Начертательная геометрия многомерного- пространства", читаемого на факультете повышения квалификации преподавателей вузов при. Киевском политехническом институте. Кроме того, отдельные частные положения исследований нашли применение в учебном процессе со студентами при организации и проведении научной работы студентов по кафедре "Начертательная геометрия и графика" КПИ.

Апробация работы. Основное содержание работы было доложено на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Киевского политехнического института (1975-1991 ), н.з республиканской конференции но прикладной геометрии и штекерной графике в г.Киеве (1976), на семинаре "Кибернетика графики" в г.Москве (1967), на межзональной научно-методической конференции вузов Сибири, Урала и Дальнего Востока по прикладной геомет/'и л инженерной графике в г.О:чске (1974), на городской секции 'графиков в г.Киеве (1969), на научном семинаре кафедры технологи:! строения КПИ (1970), ira кафедре силикатов КГГЛ (i960), н& щу-:::ог.; семинаре "Многомерная геометрия и ее приложения" в КПИ (1; 7-51978), на Всесоюзной гюучно-техпичзскол конференция "Гео:."д-';л САП? и автоматизированные систем! производства деталей а

иашин" в г.Орле (1978), на конференции "Применение технических оредотв и эвм в уче'чоы процессе и научных исследованиях" в Омске (1977), на семинаре "Планирование эксперимента" Латвийского научно-исследовательского института легкой яра ллпленности . г.Риге (1970), на секции начертательной геометрии, графски и автоматизации проектирования Ленинградского дома ученых АН СССР в .г .Ленинграде (1989), на кафедре начертательной геометрии и инженерной графики Омскою политехнического института (1991), на кафедрЬ начертательной геометрии и черчения Киевского инженерно-строительного ^статута (1992).

Публикации. По научным результатам, полученным в диссертационной работе, имеется 70 публикаць!, в том числе одна монография в соавторстве, которые достаточно полно отражают теоретические и прикладные•стороны исследований.

Структура и объем работы. Реферируемая работа структурно состоит из введения, пяти глав, заключения, сииска испол-зован-ной литературы и приложения.

Содержательная часть включает 308 страниц машинописного текста, 63 рисунка, 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В глава I введено понятие ортосимплекса S/~ , оошзго ддя^ I заданных в Еп линейячх подпространств (Г= п. — Jbpi, L=1,'")L), который рассматривается как обобщение на Д -пространство полученного сначала перпендикуляра двух линейных подпространств размерностей т и 5 . Вершин ортосимплекса находятся (по одной) в исходных fä -подпространствах.

Квадрат кратчайшего расстояния между двумя линейными подпространствами и Е^ > соответственно с уравнения^

где ¿2а и ^ - направляющие векторы подпространств,

¿"а. и ~ переменные параметры,

определяется выражением:

X

(хг^, ^ 9 - &А

(хг'Л (ХгЦ^ О^гг, аЛ -

(ъ-т От 4 ¿А - - V

'

ОгА,'

~ а/

3 частности, если".? - т. , то полученное выражение превращается в этй^отяоз выраяеняе Корда на для определения кратчайшего расстояния мс-нд7 двумя ГЦ -подпространствам;! (/*7 -плоскостям®).

Внводсшюе внрагмние обобщено ка самый общий случай орто-скмттлекса для С линеГинх р1 -подпространств, заданных век-тогндаа ураг/аен::яка • р£

<Г ■'(г

где ¿7.^ ' - няпраалгпещио векторы задатых подпространств; - перемогший параметры уравнений. Яя условия грмюдяеаности верааа сртоспкпяексэ (по одной) задз^ьи подпространствам аапиксм его выражение в ваде поливек-

Из условия гор^оидвкулярноо'.'й ортос.т1плекоа со вег.то-

Х^/с!! заддшии кодгфостранг.тв ¡¡геем:

Г ¿/-Л-'* 7 , V

[ ^ V. V /V ^ ;- V Ч<,; 'Л;

ураанехаЛ

Так как векторы заданных подпростоенс в язлгатоя

ДИКСЙНО нвзавнсыиньн, то опредедитедь- ыатреды КОЭффШЕЗЕТОВ этой

Системы из ¿уравнений (определитель Трама), составленный из stex векторов, отличен от куля и, следоватеяьно, оксггьх, уравнений обладает единственной системой решений,

Проле подстановки значений параметров c¡¡ з уравЕзнис 'I) наводим уравнение направленного ортосш.птлекса в ввде отсоге-шя определителя ( Zfo -h )~го порядка, который язлкстсяпг.л1.-ь^кторол-;, к числовому определителю Í Ps "го .орядка. Объем ортосишЕвкоз определится модулем этого полагоктора.

Классическая теорема о вычислении объему rt. - оимпдекеч рез-бИБКОЙ его ЕЬ вергину Е противоположную ей Tíijepipaiíb СбобЩВЕй до разбивши на / граней размерностей p¿ ; ¿p¿ /-/-/2;

0 /?~ i) s через объем которые и объем их общего ортосилялек-, са вычисляется объем всего й -симплекса zo <Е<зрыуяе

4= ¿7 iк!П % к-г/ *>), «>

-V п. " -Í л где л - размерность общего ортосимплекса; - объзы ортосюяшекса„ Б частности,. если рсзбизку исходного П. -сшяшекса выполнить на д.зе противоположные грани а ( "де

И—1 формула (2) будет иметь вед

где /-/ - расстояние мезду гранями к

Принимая в (3) р~0 , ¿.—/7-/ » объем точки зе б' эра:— • керную единицу (за единицу с размерностью в нулевой степени:, О! —i и угол i-зйдку точкой и любым подпространством за 90°, получаем, как частный случай, известную классическую теорему о вычислении объема /2 -симплекса разбивкой его на вергд:ну и цровавотоложную ей гипаргрань:

лг J-y -Н.

£1Лйс.аение ойьамс Д -симплекса осуществлено также тем разбевка зго па L p¿ -граней о общей Г' -гранью

'•Пі

А

(4)

ги .

гдй гу1, 5-

если 3 іїгїпсять ¿ = 2. , имеем формулу 0Прл.дззг[и? объема -слшшехйб черее с бьет двух его граней размерностей общей г -гранью ( р = п-ьг )':

В частной:',;, нол-л з (4) принять г — <7 , і :эем шражєв-'з об'ьеце п -(жшлехоа через объемы его і граней с общей вешин.й:

Р Л %

А

(6)

л • 1 г, (Тп^х)

В ч?относта, если і =2 пои Г—О , имеем внрзжепЕ' объема к -с:лллс,:;сї через объемы двух его дополнительных гра^

ней с общей вершиной:

Значения синус., угла медду двумя подпространствами /5" и в выртаоштх (2 * 7) вычисляются через координаты вер-

шин определяющих ::х симплексов (через отношения объемов определяющих их самплексоз и их общего >і -симплекса) по формуло:

1±

У,

:Х<Л I

Хрг" У-рп?1

1

Г

т.

XI

~пе)

е , , / . ' ' . . .

^це Х,у - і -из координаты j их верган симплексов. Доказан»» теорема, что отрезки яряг&к, ссзд^ншкчяе центры

i-яке ста двух граней Л -симплекса Sn размерностей р и

(где р -hfi — -Ч— Í ), пересекаются в центре тяжостг сиизлек-. са ^д, , делящем эти отрезки в отношении /-/ ; р+- / . считая со стороны /> -грани.

Из этой теоремы следует, что цри Р— í? (ДЯЯ HC4STHC.ro /с. ) отрезки ПрЯМЫХ, соединяющие центры тяжести ВрОТПВОПОЛОЕНЫХ граней симплекса, пересекаются в центре его тяжести, котсры?. дзйыт ??ü . отрезки пополам.

По индукции (продолжая разбивку р - и £-гранэй как симплексов Sp е Х^ на две противоположные грани и т.д.) находим, что центр тяжести симплексе Xf. определяется черэз центры тяжести его L ■п7/ - граней ( /'-- /> — -L )-. учтоне две КЗ которых не ЕМеЕТ общих сечений, как Центр проиорцчо-калькнх расстояний с соответствующими им ко^ициоЕтаж пропорциональности,'равными /

Доказывается, что центр тяжести К -скмплекса Sn. совпадает с центром обратной взаимной гомотетии с ьооф^цкйН'Лом гомотетии ^ ■= — -L. , где обратно гомотетичный /í -симплекс Si имеет своими вершинам! центры тяжести гиперграней исходного, & цзктр гомотетии совпадает с обдам центром тяжести X? a S,f При этом центры тяжести -соответствующих граней (в том числа п вершина) лекат на соединящих их отрезках, пересекающихся в центре тяжести симплексов, который делит ети отрезки В ОТНОЗОНЕй 1 : П. : считая со стороны симплекса Si , 2 объем посдеднз-го определяется черяз объем исходного во формуле

На оснований свойства доказанной гомотзтие две соответственные р -грани симплексов • Sn и S/ взаимно параллельна, э их обь:^ относятся как V¡'p : V$ — / ; /2 ^ .На рис. I приведен пример преобразования 3 -мерного симплекса A&CD

Смгпкака SJ, разбивает исходный сыолекс Su. на L частей, складывающихся из П. групп, где ьсй скмшггкс-ы одной групты равнозелкки. Отсюда, как следствие, ктаеу иавенст^о

Л (nri)nOi-4) • " {п-к+1) ' __ i

& {М)1 '

Рассмотренный рад яооледователыих преобразований п -и^глп-декос Sn. обратной .тонэтетик связывает seo ероигводные /г -оиаетакои з .бнегро .сходяздосоя ряд, пределом сходимости кото-

poro является центр тяжести исходного симплекса Sn- (как и всех производных). Т.о. центр тяжести /-£ -симплекса XС РЭ°-сматривается как предел, к которому стремится объем симплекса при последовательном преобразовании рассмотренной обратной гомотетии.

При этом объем к -го симплекса из этого ряда по порядку преобразования определяется через объем исходного по формуле

й ■.

Центры тяжести соответственных I -граней всех производных и исходного П. -симплексов лежат на одной прямой, проходящей через общий центр тяжести П. -СИЫПЛеКСОВ.

В главе' П рассматривается конструирование и исследование {П — к -í- f )-пространственных рациональных кривых (.10-к i-i )-го порядка как составляющих к -многообразий. Уравнение такой кривой записываем в виде

I n-k+i . j

X' - 77 OjXjt , (8)

Z а}г j^o f

• j = o J

где X¿ - координаты точек кривой в аффинном пространстве

. il = 1,2\"'-'j¡n-b + 1 );

X - переменные параметры кривой в степени j ; ¿7j\ - коэффициенты кривой; yCj - координаты каркасных точек кривой. Уразкению (8), представленному в координатной (¡юрка, соответствует векторная корма записи в виде

/ "~кИ 1J

где íj - векторы каркасных точек.

Преобразуем уравнение (6), перепеся начало коордаианюй систегл (точку 0 ) з одну из каркасных точек кривой, напр::.г!р, з точку X' / j 11 приняв за едипташе орта v.-j кооргш^гник" осям Ох*, , Тг ' отрезки X¿_k н x¿ , Xf,,..

(рис. 2). Тогда урзвненяе нр;!нх:;ает вйд:

,/' / r-, J-L-1

х'= • ot41 ; о)

П - »<- f-v I .

Z G;tJ

J

= О .

Примем И—к. точек кривой, которым соответствуют параметры % , ? "' ' "^п-к ' 33 осевое ( П-к-1 )-мерное под- . пространство пучка гиперплоскостей, из которого одна гиперплоскость, проходящая через точку М (К+ ) >•' } кривой, ввделяется в виде

1

/■ Г € е +

Г Г * г + * / 1

XI ц ■>> хг^ ^

Точка пересечения координатной оси Ок^ с гиперплоскостью

(10) определяется выражением

=о.

(10)

о Vг О 1

у-и п Уг, •' * ./ п-к+4 лп-к 1

(п)

Теперь выразим значения координат точек в (II) через вычисленные в (9). Имеем

а0

4 о а,-К

Яп-к+г.

п-к

а0 яЛ

»-к.

а Л • Я^г. а¿VI • •

¿г, Iе ^г.-/-2"- и-о (12)

Я*

Аналогично гиперплоскости (10), проведенной через точку кривой с параметром ф , выделим гиперплоскость, проходящую через точку £ с параметром, равным единице ( 1 ). Координата точки пересечения ее с осью Ох^ » аналогично (12), находится в виде

1 о* . \/' —------

а о 44......

Выразим сложное отношение четырех точек прямой Ох* (где' параметр в точке О кривой равен бесконечности, а в точке у/ - нулю):

Ос

_/'_^_-Л

--:--;—

(

-1

о.

,Мг.....Ь'к Ч^-Л^Ч-*

Т.о. доказано, что слокиое отношение пучка гиперплоскостей с осевым ( П" к-—/ )-мерным подпространством в {/] — к г { [юм прострсксгле для гиперплоскостей, лроходтяцих Ч-'.'РСЗ точки ¡¡радой с параиетраии — ¿7 ■/ ? , равно параметру • .

Т.к. пучок гиперплоскостей проходит через точки

>10003 7"3 точ:<и в /1 -керном проотр-з'.-стсе), то, слсдоьа-

тельно, и рациональная кривая (/7-/с ■/-/ )-го порядка проходит через П-к ■¡'О- точки в {П—к+- / )-мерном пространстве.

Доказанные свойства рациональной кривой могут быть использованы для вычисления коэффициентов уравнения (8) по определяющим кривую точкам. Тек, пусть заданы точки (по Н~к 1-2.

не лежащие в одной гиперплоскости {К~к1 )-мерного пространства). Трем точкам присваиваем, соответственно, значения параметров = оо? 0^ / . За ооевое подпространство цучка гиперплоскостей, проходящих через точки с параметрами = ооу 0, / и точку с искомым параметром У" , принимаем подпространство, определяемое у\~к оставшимися точками. Сложное отношение пучка гиперплоскостей, как было выше доказано, равно значению параметра "/" . Проводя затем осевое подпространство через точку с параметром Т , а одну из точек принимая за точку с искомым параметром, аналогично предыдущему. определяем неизвестный параметр в новой точке и т.д. Определив т.о. параметры во всех точках кривой, получаем на основании уравнения (8) систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов кривой, из которой они вычисляются.

Получены выражения коэффициентов QJ уравнения 1фИвой (8) через отношения объемов каркасных гиперсимплексов в виде

ц; —-*-4—

(13)

V

V;

12 . ..П-к-1-1}£

где:

V

*21 Хгг'~Х2,п-ки Хгв

......К-кн^е

-I 1 — -I 1

v х11 Х?о

Хг/ >¿0

У , V

2- п -кн

Кг,-к-г( I ; )'-< ^ь-кН 0 п-кн ^Л-кнЯ

< ) ; / / у

1 ... 7 1 1 «•' í 1

I

Айййэипно Вы^псланае параметров, как и коэффициентов урав-ягзйй Л -пространственной рациональной кривой, приводится к айЗййёЗйям объемов ссотзэгстзуицпх гиперсимллекссв я их соотно-шенййЗ ПЬ форщгс:

Уг-.-пЧВС : Ам

X,

<4 Vе * *' / ,ч 1

Хи4 1

V -

-. - л • • ' X

V С лч ... Xе '-п 1

„ 5 Д.. ' X й *"' Ли -1

X,1 У* Л л 1 )

х;1- у"» и

з,с ~ тетки кривой 5о:-:чо; со. 0

М у м \ • • лп I

V8 . Vе л

л^ Л п I

г / / ' ^ ' ' ^ ' '

v /1 Л1

" хГ 4

X* ' • Х^ 7

Х^ Хи /

^ггг-г'''*"

- >

• > * ■

! ~

ТОЧКИ кои-

вой, задающие осевое подпространство пучка гиперплоскостей. Приводится исследование параметрического изменения кривизны рациональной кривой ц -го порядка в /I -мерном пространстве по участкам простых дуг.

Для вычисления (П- 1 )-ой кривизна кривой (8) получена фор-

мула

кл-4 -

И • Ос ' О.П Хл

(14)

< ^ „ а.йпч^К^

где: Х? , X„ ~ координаты каркасных точек;

Ос ¿7 С!„ / С1ц ~ коэ^щиентн уравнения кривой;

/г '-'размерность пространства. ¡Выведено уравнение соприкасающейся с кршюй гиперплоскости в виде

Х-1 Хг.

X». \

йГ ■ 1

» < < / / /

А"**?*- ^ А

И г г

= 0.

где /V/ , л.' л; - координаты точек копзои, соот-

' ■' ' 4- ¡ л. — *•'

зетсгвекко, с параметрам Г , Г -гУ^с 2 ¿-«лГ » Зтг

координаты анраааются следующим образом:

Л

t

п.

? О; Т

-о

Е

}- ї 5&І

X

!~0

J~0

Соприкасавшеюся о кривой гиперплоскости, заданные каркасными симплексами, мелко рассматривать как дискретные (л>-/ )-мерные линейгчз 'ліразуеакс ггшерторса, ребром возврата которого служит иезле^емая редкойчьная кривая. Несвзравная совокупность соїгрикзпакіїгиисся гиперплоскостей образует одцопарамэтрическое их множество, один олэмэпт которого определяется значением параметра Г •

Поогрггча линия центров гяжйогк каркасних г^пзроимпжексоя и устчновлечы ззлкскксст:і координат центров тяжести'от параметра f . Это позволчло видолать из сопровождающем крязую гаперторсе З-мерное мкгообразче параметров, направлііиииг'л которого являются лч-пия центров тя-кзети каркасных спсмплексэв и сама кривая, а линейные образующие проходят через соответственные точки напроаляхкдох с одним и тем же значением параметра /

2 главе 1Д приведены цреддояеанке подходы и способі: копструировааяя раціональних ¡\ -многообразий с алгоритмами их исследования:

I. Рашгоналълое /<" -многообразие евкл'лдового П. -пространства конотруирузтоя нч основании ( ґ) - к ■!- / ) -цространстБЗГшкх ращ'.онал.ьччх яриных {П-к і )-го порядка, рассмотренных во второй главе. Бела в уразиеяяи (8) кривой изменять переменная па-ракотр, придавая- ему всевозможные фикскрозаяаие значения, полупим набер рациональных кривых зо взякмио параллельны к і І )-¡лордах подпрс/сі'пснствах, 3-гея набор ліінаіі рассмоїрие-четал к^і: каркас 2-миогообр.1.сяя в (./?- к г2. )-мерном подпрзсарэл-??;«. V.гг-е-ішіг спедугяцай параметр многообрззтя, аналогично коне тру .мл 2-т«ногообразир одного семейства, цредюсашАДО карст з 3-:г:ог образяя и т.д. дс получения требуемого А -№ки"ооб?..-зкл и ¡1 -простраасїзз. Т.о.'урознекке солуче-ато кгіогє'^є-г.::!

щает уравнения входящих в наго рдцконзйЫйС кривых,, зий и т.д. до ( к-1 )-мгрннх, « г.сз соотааляшце мгсгсобраайй организуются о помощью переменных параметров в мхгагоступончг.таЛ каркас. Тогда получецкоэ ^.ижонзе рассматриваемся как г-ксгоогу--пенчаткй определитель к -шогообраакя в виде непрерывного чуо-гощ>усного каркаса. Уравнена® имэат выраяение

Г - -и. ■■■; —---:---——-¡¿-О,-....

I = С

где: ' ^ ,,.....,

2 Я; и » — « 4 /

где:

~гП! I/ л— '-о у 4 Л. у .

(18)

где:

гА>= ---т~'—

I "О 1 у

хде: 'й^-Сот^, , }

нф+1 ;

У П" I I-1

> п г (!•>

Ыо 1 1

(ггр?. il к 'Xf^fJ'.'

- ce л çf ),

где 0J. (ßs) ~ коэффициента уравнения многообразия и все" его сост .влягалх подмногообразий, соответствующие текущему параметру ¿/5 к) .

Как ¡: дно кз уравнения (16), структура его записи -клклает уравнения его псд:л:огс. бразчй нитдих размерностей. Так выражение (17) твАмется утознскием непрерывных каркасов ( к- / ) -'*.зр~ них подшогосоразяй, соответстБуюдих определенным значения.',! параметра И:, , Ahsïïo:oiv~. каркасные ( к -Z )~?лерные подмногообразия ьн",слггются заданием зн» £еапй параметра IX^„j 3 уравнении (L. ) я т.д. Вь'рзгтениз '19) -вллется уравнением не1ферывннх к.рка-ооа 2-г.;ернь;х под.\:ногооорази:1Г соответствующих отг* деленным фи"си-роза;;ят/: значениям щратдетра //j , а коадое из этях 2-подт.шого-'X'rjdD'ö: y.iiuo'KeT Hsirr-'pKBHHÎ каркаи кз рациональных кривых (20), рпзделятощцхся п-.рс1.мтром l/f

В практике, .л,ля удобства s за переменяна параметры IX (- ~ X ■'-> иногда координаты, т.в. направ-

ляют по ксордина'л-ны.м оста. На рж.. 3 схематически иллюстрируется Лтру1-тур';се наделение днекрзтпого каркаса / -многообразия на пр: -«ope З-много^бразия П5-мерного пространства (не теряя обз-нос-м ргсоулдеянл), При иименАчии первого шраме.ра (гфидазая ":Ufni:pob'v;^«c; значен.л параметру Соп$1~ ) выдзляютсл каркасные 2-под:.ксгообр зая /7^ /77, ■■■ 7 XJ; , находящихся во взаимно параллельных гиперплоскостях уровня. Каьдое из выделенных таким обрзао:,! й-поданогообразий несет па себе непрерывный, к. ркао 3 -пространстве нньх кги.еых, каждая из которых определяется следующем иараметрог« X/f /д^-- В общем олу ..¡е к -;.:кс о-с'рпзкя, H -jrpoc'tjauoTBa выделяются {П-к+1 )•-г*х>0'грапстьз»РИй кривые. На взаимном пеппс^чеичл к~{ гиперплоскостей ур ' (Xu-rot,si ,X„-. -censt,, .'X/n-k+z образуете.? {n-ki-f ). Mcpuoe ио„нро'- jpciw.iio, hocyssee кривуы каркаса A -к:'огосброз::я. Olj.oc количество ¡...'"лл кг каса рс-но

./7 г>1/ .

для !.. Jj'Aoï "1 пряйвр'д f/i~S к ' ^ , >''') ~

количество лияя."- .'рхаса равно /''Л,/?^ -¡ "k-fZ. T.'.ww:. Г; обегай /7<i /7 ' ^ . .. , П,^ , логяцгх г> к:ги okocvhx уроляч

Ху^'Х/^Яу.

t , ооозначим; исо.'r^'joïi eiiHo:

Ні, HZ,-"j HWz )

Такое обозначение срєяу указывает ка і4'й:^длєх:посїь кривей каркаса соотвзтствувким гиперплоскостям уровня, к-'/.

Вообще каркас- к -многообразия ^одержит £ -мерннх

подшюгообрззий,' находящихся в {П-кій. )~!.герных подпространствах уровня. Кавдое из (n-kt-f, )-подпространств определяется системой из к — гиперплоскостей уровня как их взачмкое лорес^иние.

2. Конструирование к -многообразий прямым геометрическим моделированием многопараывтркчеокях систем осуществляется ли той же схеме рис. 3, только в обратном направлении. За по.одкые принимаются {Л ~~ к 4- j )-пространстве eihho кривее в .местной {tn-к -h ■/' )_ мерной системе координат. Каждая из кривых определяется системой из Ґ! -к уравнений с одни.« параметром (системой г>—Х проекций при графическом задании) и строится на огке-лашш экспериментальных данных. Затем кривив распространяются хеп.'ерг.вно по второму параметру (координате), в результате чего образуются 2-иернне подмногообразия каркаса. Полученное 2-псдмногосбразия распространяется по третьему параметру, образуя 3-r.:ep:ire подмногообразия к •т.д.,до получения на последнем (її-к )-ом этапе уравнения к -многообразия.

Пусть уравнения кривых имеют вид

~ í&y./^-i; и,} ДД І--6-V

у ■ 1 '

лл- к 4-2.

х'^ = ccns-i , где üj-Xii-k •

- коэффициента уравнений ¿фК£ЫХ.

Установив зависимости уравнений от второго параметра в виде

А; %'k-, (22)

где -• коаффкцяекты уравнений, юдставим их в (21). В ре-

зультате получаем уравнения 2-керішх тдодогообраз'Лі, зчэдояшх от текущие параметров к ,где Ц sX^-k *Í>t¿zX„-ki.z '

)(»-кч jUi^z^jjfj, . і 23}

Уу-ít-í -l&r.íij

Р-зспросгганя;: получегшые 2-пэдшогообразия (.23) гс третьему параметру Ь;7> (путем сравнения их уравнений а установления за-в'юпмойтз хоод&ичиентов <5/. от ¿/г ), находим ¿равнения З-гтолмЕогоо^разий каэкасч и т.д. На (^ - )-см этапе определяем ур^чнокка асгсчюго Л" -многообразия:

, Х/7-ми

гдч , - уравнений,

¿/^ . .. > Му - яь^акеннне параметры, соответственно, тоэдест-

взакяе координатам Природа пароманких и характер их заоямосвязи определяют вид к. -многообразия, у которого размерность !< всегда равна числу независимых перем-.;.'нкх. Б случае, если искогзго шсгообр-а-

зил слсгш« доя' д-атетгл^еского описания, го сна апярсксямирузтсн более простак (с уои-га^эчной по точности стгшцыз приближения) :<ли; вообще, кускр.мп псостых многообразий, ссатекозанкыыа ло оомкм ( к ~ / )-:конн\» границам. При этом количество зостг-вляюскх ку^-коп опр-гдзяле'гел зависимости от слотлостн многообразия либо йилустако, либо С ¿^ОПНйСЙ разбивкой нс участки чзрез определенные иптетшали.

3. Предаояен таг-хб ызтод конструирования многообразий с помоги« касательных пространств. Пусть тлеется Л? -многообразие с уравнен« £ <

I — -^ ,, --^--> (24)

¿г

С. Л) =<3

где: /г - порядок заданного многообразия;

Уо ) &К ~ переменные однороднне параметры; ¿г - радиусы-векторы каркасных точек; - коэффициента уравнения кривей. Уравкзнио касательного проективного /< -мерного пространства в производной точке ( и О ; Ц/с ) исходного многообразия И!,".еет вид

к _ к к _ ¿"'-о !("-:)-о___ _' „х-1

/ - ТГ ~ К ;

где: 1л0 Ц¡с • переменные однородные параметры.

Зададимся в касательном пространстве (¿о) некоторым л? -мзрг' ним многообразием ..с уравнением

Тогда, при движении касательного подлрост; лнстт (25). во всех своих положениях касающегося направляющего иногообреЪая (24), {¡V -многообразие ошшет гиперповерхность размерности ь. порядка £гП ■ V (где • £ - порядок /V -многообразия) в объеы-лвщем пространстве размерности • Уравнение образуемой

гиперповерхности имеет вид:

¡с+гп _ к.*™

! - к+м _ к+п, ' С 27)

.Л' и.; ...I а. -

4. Рассматривается конструирование.многообразий нелинзглым отображением проективного пространства. Пусти- в входном проэк-тивном Л -мерном пространстве задана коордкЕйтная проективная система ■ ■ ■ ? 14ц. • Запишем уравнение, связ:.лающее векторы точек проективного пространства, в парамстоическом виде:

Г - —; ^

I = 1 '

где: ¿7/ ~ переменные коэффициенты;

~ .радиусы-векторы каркасных точек; Ц,- - текущие однородные параметры, Стобраакм ясходцую просх'т^вкувз ейигеку -гакгвд образок, что$£. г результате ооразовапосъ аедакейлое .К. --П1-остра ас тво: уравканке которого иредог-азк, в вдде

/•-v--

/ —

'¿"V У/} //Г и!;

IС ^

(29)

Введены определения: I) параметра % «азызщюьг однородными, еаж СН'Мг.ТЗ показателей у НИХ ПООТС-йЯ?.а ДЛЯ С-СОГ С

уравнения; 2) уравнешя (28) а (29) нейнвакугск црйгедв&кямз; 3) пэрядгок олбраж&кзя кезовем порядок гралнгкая (Г;Э), равный сумме гохе^а'.гелей однородных параметров ¡V в одзол ез сг&ае» йа урав5:&ни/1 ' чЕолй'^еля ели знаменателя); ч1-) пр юбрггозанзе-э

пространство назовем нелинейным проективним пространством.

Структура записи расположения коэффициентов числителя и знаменателя позволяет записать их, соответственно, в виде тензоров

1а'чП\1=А, і | = В, \ =

Тогда свойства расгаютргнкого отображения когно охарактеризовать с понощь» этих тензоров: I) порядок отображения'определяется валентностью тензоров А ■■ 3 и всегда равен, следовательно, числу П1 ; 2) порядок нелинейности преобразованного /г -пространства (порядок конструируемого многообразия) равен порядку отображения, т.е. зал.ентчости тензоров А и & ; 3) ранг тензоров

А и # ' на единицу больше размерности Л -пространства, а число компонентов равно (/'т--/ У*, где № разно валентности тензоров А а В : 4) компоненты тензоров А и 3 , индексы которых содержат равные количества одинаковых цифр, равны кекду собой (например, — Н и т.д.); 5) тензоры А и 6 со-

стоят из м-м строк (столбцов) а (УИ-1 )/>7'7 стобцов (строк); в тензорах /} и В выделяются ( «+ -/ і"'"2 миноров ранга А'^ і' , сЕжіетрич'шх относительно своих главных диагоналей; 6) первый индекс у компонентов тензоров А и В указывает на порядковый номер его строки (столбца), а последний - на порядковый нэз«ер столбца (строки) своего минора; средние т-2 индексы у компонентов тензоров указывают на порядковые номера миноров в тензорах; при этом все (/)/■/ )индзксы (соответствующе такому яр числу миноров) располагаются в возрастающей последовательности.

5. Конструирование к -многообразия по многим наперед заданным условиям, которые геометрически моделируются подмногообразиями различных размерностей и весов, состоят в следующем. Пусть имеется о подмногообразий размерностей Д ( -Г - /, , где

1 і > И~ і ) соответственно весов /• ^ (0-i-.fi "-/), пропорциональных степенн достоверности моделируюцтлся иш информации. Виразим их параметрическим;; уравнениями

(30)

где - текущие параметры.

Требуется найти ¡с чжог'ообразие, в том іда: ином смысле н.:/луч-ЕИМ СбрСРОГ ГфИбЛХч'ЭГЛ'Л'-С.Ч \,С учетом весов) к исходна. й<гдадк:: искомое лмогообразае спстс^оГ: уравнений

->Х»> А«,'">4»)=°,

где X; - текущие координаты; А ¿у - коэффициенты.

Применяя один из известных методов математической статистки для оценки приближений, ВЫЧИСЛИ!.! коэффициенты уравнений (31).' Примем, например, распространенный метод наименьших квадратов. Составим выражение

£ % =1 г- ¿ц РМ?... ж1 н т

где через Г обозначена разность соответствующих уравнений систем (31) и системы

% С Г,..., р, • -

Теперь коэффициенты Ац искомого • к -многообразия определяются известными способами из условия

При исследовании частных случаев образования многообразий предложенным способом (при £ =2 , О , рг < ? ,>1=3 ) были получены поверхности ( к -2 ) 3-мерного пространства, названные в работе параболоидами 4-го порядка (гиперболическими* параболическими и эллиптическими, в частности круговым::). Приводится классификация параболоидов 4-го порядка а исследование их свойств. 3 ре^крате, в качестве примеров, приведены несколько из них на рисунках 4 9.

Как плоские сечения параболоидов получены непрерывные се-мзчотва кривых 4-го порядка, которые могут рассматриваться как гбсбщаняя известных замечательных кривых (улиток Паскаля, лемнискат Бернулли, овалов Кассини, конхоид Нгкокеда), ковке кривые { / -образные, V -образные, паргболичесхиг и гиперболические параболы), среди которых следует выделить алгебраические аналоги

изяестннх трансцендентных кривих (квадрагрнсы, эпициклоиды, четн-рехцектрового овала), Некоторые из названных кривых приведены з таблице.

В глазе ІУ рассматриваются предложенные графические модели многомерного пространства в ваде аффчкного чертежа и комплексной аксонометрия. приводится граелческое задание на чертеже дискрстгпх )-сетчатых каркасов "ногообрзэий с построением их плоских сочэниЛ и определением точек компромиссного экстремума. На рис. .ТО представлен каркас 3-многообразия 5-мерного пространства на аффинном черте&я, а на рис. II - построенные ги-періїлоекііе сэчения этого многообразия. Рассмотрено построение пересечения З-многоо^разня секущим 3-меркнм подпространством урок;'я, параллель!:«!;: подпространству проекций Х3 ,Х• Саку-га в иовдрсстоакетао задчно системой двух гиперплоскостей уровня X2 -и Х/^-Х/і. ♦ Гиперплоскость Хг - пересекает заданное З-мыогообризпв в по '¿-подмногообразию (3^1-6=2;. Каудзч из л^чиіі каркаса всех 2-іюдмногообрг.зий, онределяуц'.'лея соответствующим семейством линий, пересекается секущей гиперплоскость з точке (.1-1-4-5=0). Если полученные точки, принадлежащие линиям каркаса одного и того не 2-под:.:ногсобразия (соответствующего одному к таму из индексу /,/У) ... , >у11 ), соединить плавной кршюй, то она рассматривается как линия пересечения соответствующего 2-подоногообр'3 5ия из каркаса исходного 3-многообразия гиперплоскость« Хг- У.І (2+4-5=1). Набор из тл<их лижі! представляет собоіі дискретный каркас 2-многообразия, полученного от пересечения !1 сходного З-мж^гиобразпя с іплерплоскостью У2 ~^г (3^4—5—2). На рис. II рассмотренные ошрадаи отображены на сТ>1.иіі-иом чартере. След-прсекцик ¿ -І секущей гиперплоскости хг~Х' на плоскости проекций ПХ1Хг проведена параллельно оси ОХ, . На пересечении і~і с проекциями кривых каркаса определены проекции точек.пересечения гиперплоскости Хг- со всеми поищет. Затем яяиюш связи, параллельными Охг > переносим вели-чиш координат отих течек вдоль 0хг на ось ОХі (ил чер-г-.-.е ход переноса оі:;ечвн стрелками). Через полученные точки на ог;.

О/. 1 ітрор.одл'1'0-4 линии азязи, параллельные осям Охі г СХ', , соответственно, в плоскостях проекций Ох^Х% ? ■■ Н-ч

пересечении лкк/Л связи с проекциями соот^тст.-гулт/.х г:

делены проекции точек пересе-иняя гичеп.і/.ос:.осїн с ооо то г .г. .сваи крязымп. Так точка -И п.^'дакі уц гг/уджка >ї. (і

плоскости ОХ2. • Аналогично построены проекции остальных точек. Соединив проекции точек, принадлежащих кривым одного к того ;;е 2-подмногообразия каркаса одной и ток яе гиперплоскости уровня ¡1 Г*!7 )» имеем проекции в О/^Хт, кривых

' 1 Г ( , являющихся проекциями линий пересечения секущей гиперплоскости Х2 ~ Х^ с 2-мерными подмногообразиями каркаса исходного З-многообразия. Аналогично построены проекции этих кривых — / ™ г , /(г~ "■ ~ р • > - 7

Мц-^чг----в плоскости ОХ-,Х^ по проекциям

// 7/г,">, />»7 / , /-^г ;

соответственно на следах-проекциях.гиперплоскостей уровня, в которых содержатся соответствующие кривые.

Если рассмотреть построенные линии сечений совместно, то они в своей совокупности представляют собой кривые дискретного каркаса 2-мерного подмногообразия, являющегося искомым сечением исходного 3-многообразия секущей гиперплоскостью Хг ~ Хд • (3+4-5^2),

Аналогично строятся сечения :.;ногообрззия подпространствами уровня меньшего числа измерений.

Теперь полученное 2-мерное многообразие, заданное на черте-" не дискретным каркасом построенных выше ланий, предстоит пересечь гиперплоскостью уровня X4 - Х^ . Для ЭТОГО В ПЛОСКОСТИ ОХ?ХІ строим след-проекцию j секущей гиперплоскости Х^ - Х.у , параллельную оси О/^ . На пересечении. с проекция:,ж ли-

ний определяем-проекции точек пересечения ,4/ , А ЇЇ , , /\ и переносим линиями связи значения их координат вдоль оси

¿) Х1 на проекции соответствующих кривых в системе ОХ у X$ и на следы-проекции каркасных гиперплоскостей уровня в системе . О Х7 л'г « Полученные проекции точек пересечения соединяем кривыми, являющимися проекция;',»: искомой линии пересечения. На черте-Ее ОТИ проекции обозначены А 'і А„ А у И А"А!',„ А"^ В ПЛОСКОСТЯХ проекций ОХ^У$ и ОХ1Ху СООТВЄТСТВЄНЧО.

На чертежах рассмотрен дискретный каркас 3-многообразия 5-пространства, доведенный до одномерных линий, образование и структурная связь которых схематически представлены на ряс. 12. Вообще же, дискретный каркас к -многообразия формируется из ^„ -мерных подмногообразий { і к - і ), когда £ -многообразия Бздед/штся последовательным введением к-й систем гшзр-

плоскостей уровня. Беля при этом принимать во внимание все образуемые сечспия /< -многообразия CöKyU'HMJJ ГИПСрПЛОСКОО'хЯМН уровня, то образуемая криволинейная конфигурация представляет собой )-сетчатнй дискретный каркас. На рис. 12 в аксонометрии схематически представлен каркас З-многообразия £ь с выделон-ішї.ні на нем всеми 2-мерннми подмногообразиями в гиперплоскостях

уролня у,- = х/, , хр1 и хл,.

Подмногообразия каркаса обозначены, соответственно, f/^ pi. "' > ilm, !I Її?, її г. т" ) . На взаимном пересечзкі': 2-под-

мкогосбразкй определена общие для каждой парк кривію линии.

В результате, полученный 2-гиперсетчатый {к-'і,- $-f- <?■ ) дискретный каркас включает два семейства ¡¿-подмногообразий (в количествах ґн-, и /у?2. > соответственно). При этом пары 2-под-многсобразий из разных семейств имепт общие узловые уривне, лежащие в 3-подпространстзах уровня. Количество кривых равно произведению W^W? . Узловые кривые являются одновременно линиями дискретних каркасов соответствующих 2-подггаогообразкй - представителей разных семейств, пороященних двумя пучками гиперплоскостей уровня и ). Поскольку, с точки зрения геометрии, все переменные X/ равноценны, образование каркаса к -многообразия по рассмотренному алгоритму возможно осуществить ^ способами, в частности, с общими узловыми кривыми - способами (где С^^ есть число сочетаний из П. по ¡г—й, ). Так, для иллюстрируемого конкретного - случая кроме приведенного на рис, 12 каркаса (выделяемого пучками гиперплоскостей Ху = ConSf и Х^-соп) возможно образование каркаса с помощью следуюмих пар пучков гиперплоскостей уровня:

~ сон SY-; Xz - S+; ° /и -cor.i-h;

^-Ujhsi-j = со піт ; • X/f=£o»S+

4 х1~аті+- • ь ^-consh; 6 У-j-to''il; (33)

= 8 il=U>»S-t-, 9

X2 = ü>»ii-; Xi = ">ns+; X? =COJtjl,

В качестве примеров на рис. 13 и рис. 14 приведены схемы образования гиг.ерсетчатнх каркасов З-мкогообразия 5-пространства для случаев I и 4 из (33).

Аффинные чертежи рассмотренных каркасов аналогичны приведенному па рис. II, на котором все тз ке узловые кривые каркаса огруппированы но пучку . Учитывая обозначения кривых

на рис. II, группировку возможно осуществить и по узлам второго пучка Х.+ - Сг/^Г и т.д.

После постро&апя сечений удюгообраьня, заданного на эпаре дискретнім каркасом {>1 -к+і )-пространственных линий, сскуцйми подпространствами уровня становится понятным, -что подгоне каркас могло сколь угодно уплотнить. Для этого достаточно построить ряд вспомогательных гиперплоских сечений многообразия гиперплоскостями уровня Х\ - У/} Х'? ? ■ * - ^ параллельными гиперплоскости Х^-ХС • После этого построить сечения гиперплоскостями Ху - , '■'■) паРяллелыши'л гиперплоскости Х^ // . В обратном ука энному на чартере направлении переносим координати

X, точек пересечения гиперплоскостей.о кривыми каркаса предаду- . цих сечений (гиперплоскостями Х™? ' ■ ■ ) нз соответст-

вующие уровни/'— ( I"— ¿'" ? ,, , ь плоскостях Ох1Хг и О X"Хз • Соединив полученные точки, лежащие в одних и тех лЄ й-поданогообрамях ксходеюго каркаса, строит/, проекции промежуточных линий мекду первоначально заданными кривыми исходного каркаса.

Кроме аффинного чертежа в работе рассматриваются аксонометрические проекции аффинной натуральной координатной системы. В основу доследований по аксонометрии полокепы: метод многократных последовательных перепрооцкрованай в Еп Н.Бергикк, залион-мость ¿..Адамара для расстояний мезду /I/ точкам ' и дика исследования аксонометрии косоугольных осей 4.В.Павлова.

Получено обобщение зависимости £.Адпмара для расстояний ду /V точками ыа -мерный случаи, которая имеет вид

О

См^Т О 1 (34) = 0,

(Мн-М,)2 0 1-

1 1 1 о

Установлено зависимость положения // точок от ранга

і:».триод /І (и рангов миноров шшшнї порядков):

Іі

* г г

X.

11

х

1Ы

=А

Хп2 ' '' X»л/ I

-ые координаты /(-ой точки.

где - г

Размерность /V подпространства, в котором располагаются точки, вседа равна: /V ~ р — { .

На рис. 15 изображена перзал ступень прямоугольного пере-проецироагьшя натуральной аффинной системы па гиперплоскость, заданную п. точками Д/7 } ... , МУ1

V) /V. ^ ,

жения ПО аксонометрическим ОСЯМ 01/Ч1 ... 7 О^М» через

О-,!1/-. - '

Л - .¿У'* Л

Обозначим показатели лека-

'У :

71 7 <?н» ки л

На основании зависимости 134; для точек / Ц, ■ ''/>, и после подстановки сюда значений отрезков ме:-?ду точками, найденных из соответствующих треугольников, определяем соотношение между показателями искажения и углами меаду осями натуральной система И уГЛаМИ !яедду аксонометрическими ОСЯМИ в виде системы двух определителей (А7 ь2 )-го порядка вида (34). Выполнив последовательно п-р перепроецирояаний в итоге получаем ( У!-р )-крат-нув ортогональную аксонометрии. Результирующие показатели искажения по аксонометрически,! осям выракаится через промеку точные в цепи яерепроецированай по формулам:

и

{ * Г ' -

л

С*,

- - "7/7 " 1 '

Доказано, что многократная ортогональная аксонометрия мохат рассматриваться ¡'"к результат одноразового проецирования натурально'"! аффинной систе:.я проецирующим подпространством , перпендикулярным подпространству проекци"! /5'р .

Аналогичные зависии&сти получены тактсе для многократной ко соугольной аксонометрии, з которые входят тают углы мезду поправлениями проецирования и подпрострпнствамя проеэдш.

Рассматривается такте построение параллельной аксонометрии непосредственным проецированием в /3 л' на подпространство проекций Е^ ( '1 ь р •*:-■>'>-■/ ) параллельно подпространству

Пусть в с. имеем натуральную а^риннуа саств!^ , заданную базисом § ->■■■-) > который будеь рассматривать относительно

ортогонального базиса. Подпространство проекций .гг ^ зададим ортонормировании.] базисом с^-р . Направление проецирова-

ния зад-здкм ортоиормированчым базисом Ял 5 Л>> » Орто-

гонально дополнительный базис подпространства обозначил:

В1} ..., й . Проекции, на £г/Э параллельно подпространству обозначим ¿\ . Тог*"а имеем .

Определ®.! коэффициента ^/у из условия, чтобы скалярные произведения векторов и А ( ■ ) было равным нулю, т.е. _

Теперь имеем ' у _

ЖЛ>Ю</и Ь^.^-Л (35) •

Введем обозначение

(36)

Приняв обозначение (36), икаем _ ч

Ж С*I-, ЪУЬ&" ^Л; Ч7я*п

Исключая чз уравнений (35) и (37) воличшш ... -У- ' , получаем С 67 )

(38)

где:

• Б

Я,/,) -

( А.; ' ' ' С , А»-/;

/ '

33 _

Теперь определяем модуль :

Показатели искажения но аксонометрическим осям определяются отношениями: ^ ¡^1

'Пояошш | о*,' [ равным натурально!'! масштабно;, единице, а | о)' I -

аксонометрической иапи^яокой единицеопределим сумгу квадратов .

пот' зателей искажения по иксс-.ометшчссг.;:?: осям в виде: " -> >1- Р X г

?2 и? — .г? ¿7 > («)

1=1 • >-- * .

Полонив, в частности, что рассматривается ортооазис /^-пространства, а проецирующее подпространство - ортогон; .ьно дополнительное по отношению к подпространству проекций £, имеем частный случай выракенкя (40) зависимости су?.сш квадратов показателей искажения для орт-а^оналм"^ аксонометрии прямоугольной натуральной системы: г, ^

¿7 ¿// = (41)

/ - 1

Заметил, что зависимость (41) !ло:;;ет быть получека тривиально методом :.ч.З.Бурде, предложенного пм для 3- пространства и за--клрттзивюгоо* в цркведазяк натуральной системы (базиса) в такое расположение, чтобы его Р вектороз оказались парэлл_дья;>...и к

. Тогда иокес-иад* хсзвхвняя до этим /- осян рзвнн единице, а осга.тьпз.-о П-Р вектороз образуют ортогонально допсянктвяьксе псдпр^отансуь^ Еп' ^ , оо?падаадзв с проецирующим подпреет-ранстьо:.'. и, еявдовз'геяьно. пока за те:.. кскаавяяя по зткм Ь-р соям равны нуля.

В глазе У излагаются методика и алгоритм решения цр1 ¡ладпше задач с при/онс-кие« рв?рабо-гагнсй теории.

Докапано, что размерность мнегсобра-«!« кгк.гпг.кетрл- ¡схой сложкоГ завксслосга р фу.-.-щ'-й к аргументов зезгдг разна к .

Иалагаатач методика к алгоритм поиска точек кокпро'лсейого »лстрзтсма /фичэкЕтелъис к регикню ьнохокрп'герг.атгьчнх зя^ч ',:•> Н9СК0>Я-"ПМ кр'итеркьь ОПТ"-'".''^ТД'и- одновременно. Сущности изгода йлидеявая. Пусть имеется -:/.ногообрзу«<? как модель ч?.:ос-.а 'гун'г.::ий дрг^мгнтоэ. ¿«данное уравнения:'.!.

т'де X/ - функции оатш.мэсшц; У,' •- аргументы; k-h-p

Тогда, если функция (42) имеет локилдлшй эксгр.>\;ум в н.'йравло;«-:;'. встречном гипсрплсскостч

- Ь (43)

гд'З - веса ойтимнльнооти функций огам«йзаьйк, ьрзпясшгае-

ше км, то t'.0Ec:r-43 гкетрвгячьоде значения. лдрс.»кг>& ззредг&от-ся при решила системы YL уравнений

144)

"I

/11

6Л

t/Xj

П ' I - ■f ... Р • f-t ' ; - -

U ? <,J ~ ';'">\ f 'TJ ; J / О'

У'

При этом весам опгпмадьнпстп Л; приписывается, соответственно, знаки "ь" или "-" в завксшэс va от геданш зтихмазярогагь или минимизировать функщ-ш огммаз'^сак. Нч рис. 16 наглэдн? »•-■ш.С'О-.гри-руетсд прзалер решения многокритериальной деда<&. l<> двум пратараяь. ( X/ • и а; ) графичзски на чертеже для случая /<-•/ (когда многообразен является линия) ка одной 2-мзрной етоскостк из комплексного чертежа (эпюра). Для построения слада-проекции ыапрезкча-иеи гиперплоскости (43) в виде прямой ( К1 - i +2-/,'-/) отлетпн отрезки не осях схуккций ÛX/ и ûxj > обратные значениям /{■ и , с учетом знака. Так, для определения экстремальней точки Д/з с максимизацией /.j и минимизацией Xj , ссот--ветотвенно, с весами приоритетности ,Ау и А/ , где со знаком "+", а 2; - "-", откладываем отрезки и\ по осям и К! и 0^1 , соответственно. Аналогично определены' направления 'следоз-нроекнлл направляющих гиперплоскостей для поиска экстремальных точек Mi- (максимизация ^ и ^ ), ■ Mz (минимизация X/ 11 X/ ). /Va (ь'-акоимизтия Х,'^ я «иятызецгя Xj' ) •

Приводятся примеры решения конкретных технических зацич (ттс л ? воде tjj е иных к научно-исследовательских) аналитический: и графическим способами.

3 приложение вынесены табличные данные, графика, адгоритан к' програши реденяя задачи fia оптимальность.

5 А К Л В Ч Е Н Я Е

В диосортацисі'лои работе лодведеш итоги паучкшг исследований автора по разработке геометрических основ теории многообразии и созданию системного подхода к их исследованию. На базе изложенной теории разработано мзтодк конструирования, отображения и исследования многообразий как геометрических моде «о ¡1 мтогопарамет-ричгских зависимостей различной природы, в результате чего ас луче ни униварсалыше и простые способы формализованного геометри-ческог-о реегкия разлад .г.'.*. техничеекчх задач. ь '¿ом числе и многокритериальных ПО НЄСК4Л.->К<М критериям оптимизации одновременно.

Из пояучекш:: а^учше: результатов наиболее ¡»кинчи » теоретическом з практическом напрямленнях Авляич'са; <

1. Общее прс-дстагяешіа зависимости t> функции к аргументов одним к -1.;ногообрзу!'йм в объемлющем ( рU )-мерном пространстве я создєішс строгого, о тот-'и зрения геометрии, аппарата поиска точек компромиссного зкетрекума применителько ч решению многокритериальных задач по многим критерия'.! оптимизация одновременно.

2. Определение многообразия непрер«нинм г. дискретным )--сетчатым каркасами из ( П- к )-пространственных рациональных кривых (л-А. т / )-1'0 порядка с віічиолєниом параметров и коэффициентов уразнеииГ; чс-рез объели соприкасающихся. с конвой каркасних гилерсимпдег.ссв.

3. Обобщеннее форнуж вычисления объемов Д-симплексов с до-<азгтельство>'! ряда геореы о метрических и аффякнкх свойствах

¡1-снмллеисоп, Я ТОМ числе обобазшшх теорзм но определении центра тяжести ,4 -симплекса.

Как следствие, конченная формула вычисления' синуса угла между двум лянзЗижи подпроотранезяами чзрез объемы определящих их симплексов (или через КООрД1"'ЗТК ВеріІМН определяющих НУ 0ІІМШ13К-

СОа) .

<\. Введенное понятие ортооимплекоз как многомерного обоб'.ц; -нт пэрплнглиудяра ляпавшу. подарострс-нагг с зпчасью его ураБ."»-іік.1 з адло направленного (Я- )-'лорлого с.'.гї'лекса, модуль

чоїзрпго измеряется аб со лютик;,- ' значением оСч^га оутозикллзкоб, где ¿ "исло лпиейнт: подпространогз, - их разкорнои-

тк ( j'і ) я -Ч - рззмзрность сбт/і:.ілсі!'.'.?70 пространства.

5. СЖ>ляуі!*ся геометричеокий ряд /¿-ск^чекоов', находядих-яя ьс взаимном обратном гомотетично.'. сооткзтстлггя о

зе

гомоте :и уг , пределом сходимости которого есть общий

центр тяжести симплексов.

Как следствие полученное оавенство

А (п ь-рп (п-і)- -- (п-к н) _ ,1

6. Иссдедойанпе ПрОСТрОКСТВеННЫХ рациональкіїх ЦрИБНХ с по— ¡.юи-к: сонроводдиг^их кривую соприкасав ;гося гиперлиыплекса с вержшамк в каркасных точках и обузу єаїого к:.; гиперторса, у которого ребром возврата есть сама кривая, а ланейшаш образующими -к-фкзенке і'Епероиїшлексн, а также позер^нос":* параметров с нз-правлйЮіЦїми в виде линии центров тявеззд каркасних олмилеьоов и СРМОН Г.рИЧОЙ И л'шепныля образующими з виде отрезков прямих, соединяющих центры тякєсти сопровождающих симплексі ї с соответ-Л'цуу-щими им тачкам1.', кривой.

7. Споены конструирования многообразий в счде аиялитачеоко- . го уравнения:

а) структурно включающего л сеол уравнен:!? всех входящих подмногообразий .зших размерностей дс линии вклэтитально; -

б) полученного лряши геометрически кодемфовзпаен много-поргкетрпчеокой сйс ¿»кн пооледовгтольнії» иа^пг-ітн'^гл моізюоїи модели путем последовательного вв^дени- иврочзкких;

в) получаемого нелинейным отобра;;они.з:л проективного прост-ранс..я;

г) образуемого производздим подмногообразием, русполоэггаи-н в годпрос-іранстве, которое остается клоа-ге,? ,ши ко второму исходному нодмпогообрлзщо;

д) полученного усреднением ^ исходішх поданої-"сог-азий рязлачшгх рззмориомей и весов, моде лиру ;:-і;.кх мкогке папере« заданные исходные условия.

8. Обобщеилп;-: ( /с~£,)-сетчатий дц-- -'ратіщй каркас /( -многообразия с обніми ср -маркими узловыми поданоїоо-буазп-ди и его уплотнение ка-; средство да-" графического зада .як а исследования

к -многообразий на чертеке.

9. П-зраболоадш -1-го порядка <тапер.,^личсокпе, "анаболические и зллипгачесіие, з чаотноотл кругевие) так частіше случаи

1\ -к^гогообраз.:?., их класпЕТлкацчя к сгоЯоты.

К"к средств!:*.!, получегые непі ¡сянке сзмеі'ства с. "общей: стоек:::; 4--'0 пор/иг-с, чг>ст;-:г::.,::т случая--:/-; ::отсрцх явлл. лсл.

ігк.-іе іізвєСі'йнє кр:їіз;:с .<'ч; лемниската Ксрн^лли, опалі: Касокна,

коаховд? Нахжеда, улатке Паскаля; полученных нових замечательных іфьшх 4-го породна: X ~ 2 У -сбразных, гиперболической параболу. кз трех ьзтьей с параллельны® пря:>"о;линейкыми зск.'.шї'отат.м как алгебраического аналога квадратрисы - трансцендентной кривой ДР.

10, Аффинный чертеж, содержащий все 2-марные плоскости проек- ' В'.Я, л комплексная аксоноійїшя как модели И -пространства.

Пслуггкгше зависимости шгту показателями искажения по аксо-ас-.четричьсхим о еда к другима элементами проецирования дія афїяк-но:4. каїуклькой снаг?мы в чрямоугслькой и косоугольной аксонометриях.

__ Л г-п.

■..и Зависимость мекд» расстояни^та /V точек в с: и глгеркйй' яаолздезания яззииного их расположения.

12. Ляіорктмн аналитического к графического определения на кногообраяш: точек локального компромиссного экстремума примзни-тельао к рсаешсо №:огскрк?еряалышх задач по многим критерия!.: оаушаїзации ояио^рзкзняо б учетом различной их приоритетности.

13. Методика рэпа гая технических задач предложении.® в работа методами о конЕреі'2!и.і2 примарами. (Приведен алгоритм и составленная программа для определения осложняя касательной к нногс-обрззию гипзрглоскос'гл, параллельной направляющей, применительно

к вычисления! оптжалытях геометрических параметров режущгх инструментов применительно к ?аводским условиям и материалам ІЮ ' жз.'С .П.Королёва), ,

14. Участи'? аптора диссертации в республиканской целевой комплексной научно-технической программе Ри.Ц.ООЗ "Материалоемкость", подпрограмма РН.ЗЇ.02.Ц. включая задание, ,03.02, в результате чего были выполнены расчеты оптимально:-: условий проведения процесса ваграночной плавки высокопрочного чугуна (БЧ) по новой технологии я производствен®« условиях согласно договора о адуртеекои содружеств". По данным заводских ясинтакий прочность ВЧ возросла в 8 * 10, "п пластичность - ч 15 раз по сравнению с контрольными образца?.®. Е результате внедрения данной технологии получения ВЧ только на Ровенском заводе трактоонн:-: запчастей для изготовления отливок кз ВЧ длят гидре статических їрапсмяоскіі

г тслько при йзгоговлчіікі; я эксплуатации трех видов уборо'.лкх комбатов годовой зфэк-хт (по -расчетам института экономики проипя-лзь'кости Украины) составил за 1983 к 1984 годы 43,4 и 83,1 итгк. ъ;:б ,, соответствен;,о.

Результаты исследований диссертационной работы оозецааы в таких оснсвішх публикациях:

1. ГулЙН Н.О. Пріиеяение многомерной геометрия при РСЕ2:;ИИ некоторых технических задач // Технология и ^¿^сматазаїшя машиностроения. - Киев: Техніка, IS70. - В. 6. - С. IS-25.

2. T'y мен U.C., Павлов А.З. Граїо-аналитический способ решения некоторых пногоисрзмотр'/чєских задач хонструкрозааия п технологии /'/ Вестник КІШ, cjd. хим. маш. и технол. - Киев: KI7, I9S3.

- В. 6. - С. 160-163.

3. Гумен U.C., Стародуб Н.П. Определение давления выхода нчевиоусхлптели сопло - заслонка // Технол. и автомат, мэаино-строепия. - Києе: Техніка, І9В8. - В. 5. - 0. 123-129.

4. Гумен H.С. Графо-аналкткческое исследование многчпарау.?т-рических систем со взаимно завпсимиж параметрами // Ио:;кд. геом. и инк. графика. - Киев: Будівельник. 1371. - В. 12= - 0. 97-102.

5. Гумен Н.С., Чередниченко Л.С. Графо -аналитические ныразе-ние обобщенной зависимости скорости л времени фильтрации каолиновых суспензий при вакууме // Хим. тсхнсл. - Кие«; Наукова думка (отдел, хим. и x"lv. технол. АК УССР.н У..?, рогат/б л. нразлония Всесовзн. хим. общества им. Л.И.Менделеева), 1971. - й 55.

- С. 10-14.

6. Гумен Н.С., Гуреев В.Л. 0 методе геометрического моделирования в исследовании и расчете установившихся режимов электрических сетей постоянного тока //' Прикл. геом. и ипж. rp.àf.-'.tKa.

- Киев: Будівельник, 1975. - В. 20. - С. SV-7I,

7. Пашенко А.А., Гумен U.C., Гумгн 3.0. Графо-апзлитичзски.й М'ЛСД ОЦйНКИ Э^АеКТИГНССК: ИСПОЛЬЗОГ'СЇІИЯ К£к?'/?ШЙОргаНКЧЄСЙІгХ ннтецс;фп-:аторов помола // (ж-ико-хкм. механика и дпофильнсстъ дисперсных систем, - Киев: Наукова думка, 1963, - С. 223-2G7.

В. Гумен Н.С., Мулярчук И.Ф., Татарчук В .И. Графо-аиздиткл* с-ко? определение оптимальных рекямое гекоафтсрсиликатного золригія титлнового концентрата // Хим. технол. - Киев: Наукова дамка (отдел, хим. и хим. технол. АН УССР к Уг.р. р'-спубл. правления Всос.'/сзп. хим. общества им. Д.".?,'ондслеива), 1975, - Б. 6. -С. 11-15.

Р. Чередниченко JÎ.C., Гумен U.C., Гумен Б.С. Геометрическое >.ьл-ол;:ро?.".нйа некоторых ;ушогопарн:.'.етрич.?ских систем химической •гех.-.олоі'иКл - ¥:лчг: Зада пжола, IS77. - 108 с.

10. Гу:.:ен u.c. Оо одном методе исследования кногопараглетря-

чссхпх систем / Рьсп. кон5. по прикл. геом. у. и:-::*:, графике. Тезисы докладов. - Киев: Наукова думка, 1976. - С. 15-16.

11. Гумон Н.С. О геометрическом исследовании многопараметрп-чзских систем / Реферативная ¡шформация о законченных научн.-псследов. работах в вузах УССР (Прикл. геем, и кня. графика).

- Киев: Вища школа, 1977. - В, I, - С. 3-1.

12. Гумен H, С. Гргфячсское определение максимального и мтаи-мального значений фу^хпй многих переменных применительно к решению задач оптимизации многофакторных процессов // Геометрограаня.

- Риге: РГП1, IS77. - 3. 2. - С. 60-81.

13. Гумен Н,С. Оптимизация мне. ^параметрических процессов по нескольким параметрам / Рефзр. инферм. о законченных научн.-псслзд. работах в вузах 7ССР. (Прикл. геом.' и инж. графика).

- Киев: Вгаца школа, 1978, - 3. 2. - С. 10-11.

14. Гумен R.C., Сарнацкая Е.В. К усреднению многообразий /./ Прикл. г-есм. и инк. графика. - Киев: Буд1вельник, 1978.

- В. 25. - С. 55.

15. Гумен Н.С., Сарнацкая Е.В., Надолинный В.А. Конструирование п. -пространственных кривых п -го порядка // Прикл. геом. и пня. графика. - Киев: БудХвельник, 1978. - В. 25.

- С. 16-18,

16. Гумен U.C., Сарнацкая Е.В. 0 решении на ЭВМ многопараметрических задач о помощью многообразий / Геом. САПР и автоматизированные системы производства деталей к узлов машин. (Тезисы докладов): Орёл-М. - Ч. I. - M., 1978. - С. 17-20.

17. Гумен Я.С., Сарнацкая Е.В. О решении некоторых технологических задач с псмоЕгиз усреднения многообразий // Вестник КИИ, сер. хим. май. и технол. - Киев: КГУ, 1380.. - В. 17. - С. 104-106.

18. Гумен Н.С., Надолинный В.А., Сарнацкая Е.В. Об одно?.? нелинейном отображении проективного пространство // Прикл. геом. и

графика. - Киев: Буд1зэльник. IS82. - 3, 34. - С. 123-125, 13. Гумен Н.С., ?,;ат)хелмк А.М. О параболоидах 4-го пор-дул: двуполостном гиперболическом, параболическое и трехпслостном .-ллпиткчеоком, з частности круговом // Прикл, геом, к инл. графика. - Кьев: ЕудХвелькнк, 1933. - В. Зс. - С, 35-37.

20. гумек U.C., Скорин М.Ф., Кравчук В.1Т. Пзр^сюлоиг' 150Г.«Г?.^ как гэомотркчеекпе места точек, равноудаленных от точки и кругового цилиндра /V Ррикл. госм,' и йьа. графика. - Киев: Буд! вельник, 1956. - В. 42. - 0. 123-125.

21. Гумен H.С., Сарнацкая Е.В. Объемная каркасная сеть гй-. перповерхкости из у семейств гкпершюскях сечений û общими £ -мэрными узлами и ее загущение / Двп. в Укр.НИШТ»і,

$ 1701, У г.. 85. - 10 с.

22. Гумен Н.С., Верцанова Е.В. Параболоида 4-го порядка: двуполосткый гиперболический с взаимно соприкасающимися полостя-Iж, параболический к однополосткый эллиптический, а частности круговой !/' Прикл. геем, ц иня. графика. - Киев: Будівельних, 1Э88. - В. 45. - С. 73-76.

23. Гумен Н.С., Верцанова Е.В. Исследование параболоидов 4-го порядка // Прккл. геом, и енз. графика. -Кр.єе: Будівельник, 1339. - В. 47. - С. 34-39.

24. Павлов А.В., Равская Н.С., Гумен Н.С.. Сарнацкая Е.В. Применение гиперповерхностей для моделирования технологических задач / Деп. в Укр.ЕФИТИ, » 1968. - Ун. 87. - 17 с.

25., Гумен Н.С., Скорин М.Ф. О задании многообразий как Гео-метричзехих моделей многопараметрических зависимостей / Метод, материалы по вопросам преп. граф, дкоц. - їіиеон: НИ, 1986;

- С. 93-97.

26. Гумен Н.С. Двуполосткый эллиптический параболоид 4-го порядка с однонаправленными и взаимно пересекающимися по двум окружностям полостями / Деп. з Укр.НЙШТК, й 311. - Ук. 88.

- 18-е.

27. Гумен Н.С. Одноголосі ный эллиптический паребололщ 4-го порядка с направляющими параболами во встрзчпых плоскостям:

/ Деп. в Укр.НШНТИ, № 310. - Ук. 88. - 9 с.

28. Гумен U.C. Днуполостнкй зллиптнчес.-М параболоид 4-го порядка с разнонаправленными и взаимно соприкасающимися в двух точках полостями /Деп. в Укр.НИЖГЙ» fô I0IÏ. - Ук. 88. - 13 о »

29. Гумен Н.С., Смеричхо 0.3. Кинематическое образование параболоидов 4-го порядка // Прикл, геом, и инж. графика. -Киев: Будівельник, 1988. - В. 46. - С. 67-69.

30. Павлов А.В., Гумен Н.С,, Сарнацкая й.З. Исследование закона изменения чрияизнк-рациональной кривой П -го порядка, заданной уравнением в векторном параметрическом виде // Ирихл. гзом, и аня. графіка. - Киев: Будівельник. 1987. - В. 44.

- С. 8-12.

31. Гумен Н.С. Метод конструирования гиперповерхностей с помогло касательных пространств // Пракл. геом. и низ, графика.

- Киев: Будівельник, 1989. - В. 48. - С. 48-49.

32. Гумен Н.С., Смеричко О.В. Параболоиды 4-го порядка как геометрические места точек, равноудаленных от тора и прямой, параллельной его оси // Прякл. геом. и инж. графика. - ІСиев: Будівельник, 1991. - В. 51. - С. 46-52.

33. Гумен Н.С. О размерности общего ортосимплекса'конечного множества линейно независимых подпространств // Прикл. геом. и инн. графика. - Киев: Будівельник, 1990. - В. 49. - С. 40-42.

34. Гумен Н.С., Чяоу Жуйппн. Двуполостный пароболоид вращения 4-го порядка со взаимно пересекающимися в общей вершине полостями // Прикл. геом. и инж. графика. - Киев: Будівельник, IS90. - В. 50. - С. 62-64.

35. Гумен Н.С., Изволенская А.Е. Двуполостный гиперболический параболоид 4-го порядка с разнонаправленными и разобщенными полостями / Деп. з Укр.НИИНТИ, & 758. - Ук. 90. - 22 с.

36. Гумен Н.С., Хмзленко A.C. Двуполостные гиперболические параболоиды 4-го порядка с однонаправленными и взаимно пересекающимися по двум общим прямым полостями / Деп. в Укр.НИИНТИ,

И 757. - Ук. 90. - 12 с.

37. Гумен Н.С. Двуполостный эллиптический параболоид 4-го порядка с однонаправленными и взаимно пересзкающимися в двух точках полостями о общими улитками Паскаля / Деп. з Укр.НИИНТИ, й 66. - Ук. 91. - 17 с.

38. Гумен Н.С.„ Покидышев Г.С. Однополостный эллиптический парэбслоид 4-го порядка с окружностями, прямой, обобщенными лем-насхатаыа с одной осью симметрии и улитками одновременно / Деп. в Укр.НИИНТИ, й 604. - Ук. 91. - 16 с.

39. Гумен Н.С., Павлов A.B. Зависимость мезду элементами аксонометрического проектирования в прямоугольной многомерной аксонометрии // Прикл. геом. и инк. графика. - Киев: Будівельник, 1965. - В. 3. - С. 123-127.

40. Гумен М.С. До питання про дослідження багатовимірних аксонометричних систем // Вісник КІП, сер. хім. май. та технол. -Київ: КДУ, 1966. - В. 3. - С. 96-105.

41. Гумен.Н.С. Зависимость меяду элементам аксонометрического проектирования в многомерной косоугольной аксонометрии

// Прикл. геом. и иня. графика. - Киев: Будівельник, 1967.

- В. 5. - С. 207-213.

42. Гумен Н.С. Довільний репер віднесення багатовимірного

простору та його відображення на підпростір

(іП — -І ) паралельно заданому підпростору ( )

// Вісник КПІ, сер. хім. маш. та техн. - Київ: КДУ, 1368. - В. 4.

- С. 146-150.

43. Гумен Н.С. Аксонометрические проекции осевых систем отнесения многомерных пространств // Вестник КПИ, сер. хим. маш. и технол. - Киев: КПГ, 1968. - В. 5. - С. 3-7.

44. Гумен ІІ.С. К определению пнтра тяжести симплекса

// Вестник КПИ, сер. хим. мат. и техн. - Киев: КГУ, 1973. - В. 10.

- С. 37-40.

45. Гумен Н.С., Татарчук В.И. Об одном свойстве симплекса // Прикл. геом. и инж. графика. - Киев: Будівельник, 1973. -В. 17. - С. 182-186.

46. Гумен Н.С., Сарнацкая Е.В. К использованию метода геометрических мест при конструировании кривых линий и поверхностей . // Геометрография. - Рига: РІШ, 1974. - В. I. - С. 58-66.

47. Гумен Н.С., Овтина А.И. О решении одной задачи п -мерного евклидова пространства на аффинном чертеже / Там же.

- С. 101-III.

48. Гумен Н.С. К вычислению объема /г -симплекса // Прикл. геем, и инж. графика. - Киев: Будівельник, 1975. - В. 19.

- С. 92-95.

'49. Гумен Н.С. 0 кусочной аппроксимации многообразий как геометрических моделей многопараметрических систем / Материалы межзональной научн.-метод, конф. вузов Сибири, Урала и Дальнего Востока по прикл. геом. и инж. графике. - Омск: ОмПИ, 1975. .

- С. 162-163. •

50. Гумен Н.С. Вычисление объемов п. -симплексов разбивкой ■ на части-// Прикл. геом. и ишх. графика. - Киев: Будівельник, 1976. - В. 21. - С. 63-68.

51. Гумен М.С. Загальний перпендикуляр двох м:;мобі:мшх лінійних пїдпросторів різніте розмірностей та найкоротша відстань мій ними / Деп. б Укр.ИдіНЇІ, 1599. - Ук. 91. - Є 0.

52. Гуі'.єм М.С. Загальний ортосимшгекс для УП лінійних ш-мобіїаіих пїдпросторів роакіраостел 4- -піостору

( Рі-Д-бЛ-/ ; ) то обчислення його об11 ему } Деп.

з Укр. ІСІІНТІ, 1538. - Ук. 91. - Є о.

53. Гумен ;л.С., Саунндька Е.З. кл-хлітлчке коиструкв^анл ра-ціопальькх гпіоаиниоо'.'е?: п -ляміриою простору / Деп. в Укр.ІчДТІІТІ, Г 1С01. - У",'. 91. - ї.

І

4-ї

т2 2

/ \х, I Í Д

І1г

Puc.13

Рис. і 5

4 .

Рис. 16

-2cR(x*+f)-0.

Обобщенная л end иска та сжатия

+2cR (х*+уг)-0.

X

Обобщенная лемниската растяжения

8 частности, при С^О-- лемниската Верну пли

Грй2~~Г----—--—|---

......Урабненив | Изображение

Табл.

\1

Л ' I п л г

\Л

\ -

\

\

V.

ч

3

/ /'

У // /

о/ ^—

\ ч

"К \

Наименование

Х-образная криоая с одной осью симметрии. Асимптоты - ! асе бстречные рама-парпмеюрщеские 1 параболы ?■>

гипербола 4-со порядка с ддьня осями симметрии. Асимптоты-х образ- \ | ная ,*рибая с бдция ! осями симметрии.

к . А -!.'■•

•* 4Яг(хг*1/у

> >! I

•г

Г

А*— к. лп\<г_ /А =

11

а

!

/"К

ОМА.

/ ; Г> \

/ ; I \

.« I I 1 !

! Гмероаличесж \ {парабола 4-вз \ 1 тядна с тремя | деткам/ \

(слг&бро'ичзокий \ а наляг кдадр трищ

у'цигрЫичгскья \ парабола 4-ее \ парадно .

\6?>прсч;гые парисзлу-

^ _ >"> • • - ^ Г ЛиТУ '' К. ■•" V/. '

¡МО ■Я&'.меюршАг

V