автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрическое конструирование многообразий применительно к процессам обогащения полезных ископаемых

УДК 513.628: 515.2

На правах рукописи

РГ6 од

- з т 2жо

Шангина Елена Игоревна

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ МНОГООБРАЗИЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОЦЕССАМ ОБОГАЩЕНИЯ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

Специальность 05.01.01 Прикладная геометрия и инженерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Московском государственном авиационом институте (техническом университете) на кафедре «Прикладной геометрии».

Научный руководитель: - Заслуженный деятель науки и техники РФ

доктор технических наук, профессор Якунин В.И.

Официальные оппоненты: - Заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор Бусыгин В.А. кандидат технических наук, доцент Зубков В.А.

Ведущая организация - Указана в решении

специализированного совета

Защита состоится "¿8>" ноября 2000г. в час. на заседании диссертационного совета Д 063.51.07 по специальности 05.01.01 "Прикладная геометрия и инженерная графика"при Московском государственном университете пищевых производств в ауд.504, корп. А.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направить по адресу: 125080, Москва А-80, Волокаламское шоссе 11, отдел научного секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ! 111.

Автореферат разослан "¿V октября 2000 г.

Учёный секретарь специализированного совета

Профессор, д.п.н._^ И.Н.Акимова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В настоящее время начертательная геометрия развивается под воздействием поставленных инженерных задач, и её методы находят многочисленное применение в науке и технике.

Начертательная геометрия в процессе своего развития активно использует методы смежных наук, в том числе алгебры, алгебраической геометрии, исчислительной геометрии и др., расширяется круг её теоретических возможностей. В сегодняшнем арсенале уже имеется широкий набор методов, начиная с классических: метода Монжа, аксонометрии, перспективы, до метода двух следов, циклографии Фидлера и др. Вместе с тем, продолжает оставаться актуальной проблема разработки новых методов геометрического моделирования, что позволяет находить требуемые решения разнообразных многопараметрических задач. Кроме этого, желательно, чтобы конструктор имел возможность задавать эти параметры в графическом виде.

В линейных методах многомерной начертательной геометрии наибольший практический интерес представляет проблема построения моделей с минимальным числом проекций, наиболее удобных при решении инженерных задач.

Цель диссертационной работы состоит в разработке метода геометрического моделирования многомерных пространств или многообразий на чертеже с минимальным числом проекций, наиболее удобной при решении прикладных задач, и реализации этой модели применительно к процессам обогащения полезных ископаемых.

Для достижения этой цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи:

-систематизация известных понятий, определений и фактов на основе теоретико-множественного подхода к параметризации;

-разработка и исследование геометрической модели отображения многомерных пространств или многообразий различного числа измерений и различной структуры на чертеже с минимальным числом проекций;

-геометрическое моделирование многокомпонентных систем процессов обогащения полезных ископаемых.

Методика выполнения работы. Решение задач, сформулированных в диссертационной работе, базируется на методах начертательной, многомерной, проективной, алгебраической геометрий, методах исчислительной геометрии и других смежных наук.

Теоретической базой для выполнения диссертационной работы послужили исследования отечественных геометров прикладного направления: Н.Ф. Четверухина, И.И. Котова, С.А. Фролова, H.H. Рыжова, A.M.

Тевлина, В.Е. Михайленко, В.А. Бусыгина, П.В. Филиппова, Г.С. Иванова, В.А. Осипова, A.B. Павлова, В.Н. Первиковой, В .Я. Волкова, А.Л. Подгорного, K.M. Наджарова, А.Д. Тузова, В.И. Якунина и др., а также их учеников.

Научная новизна:

-разработана и изучена модель отображения многомерного пространства различной размерности на основе проекций с числовыми отметками и расслоения множеств на классы эквивалентности, в виде модели с минимальным числом проекций, наиболее практичной и удобной при решении прикладных задач;

-разработаны методики и алгоритмы решения позиционных и метрических задач многомерной начертательной геометрии на предлагаемой модели;

-рассмотрены вопросы, связанные с систематизацией подсчёта параметров в начертательной геометрии на теоретико-множественной основе: факторизация (расслоение) множества определителей; аналитическое задание множества; условие принадлежности и др.

Практическая ценность. Предложенная в диссертационной работе графоаналитическая модель может использоваться для геометрического моделирования процессов многокомпонентных систем. В качестве объекта прикладных исследований построена графическая модель химико-

технологических процессов обогащения полезных ископаемых -грохочения и флотации.

Материалы диссертации включены в учебный процесс УГГГА (Уральская государственная горно-геологическая академия).

На защиту выносятся:

-методика подсчёта параметров заданных многообразий, основанная на теоретико-множественном подходе;

- метод построения и исследования, наиболее удобной при решении прикладных задач, модели отображения многомерных пространств с минимальным числом проекций;

- исследование геометрических многообразий на предлагаемой модели с минимальным числом проекций с помощью дополнительных проекций;

- методика решения прикладных задач обогащения полезных ископаемых на основе модели с минимальным числом проекций.

Апробация работы. Основные результаты доложены:

-на городском семинаре по прикладной геометрии и графике (Екатеринбург), 1988г.;

-на семинарах кафедры "Инженерная графика" УГГГА, 1998-2000гг.;

-на семинаре кафедры "Прикладная геометрия" МАИ, 2000г.;

-на научно-технической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования-транспорту", Екатеринбург УрГАПС, 2000г.;

-на конференции по компьютерной геометрии и графике "КОГРАФ-2000" , Нижний Новгород, 2000г.

Публикации. По теме диссертации имеется 8 публикаций, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований. Опубликовано 1 учебное пособие, 3 методические разработки для студентов УГГГА.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка и приложения. Объём работы составляет 158 страниц текста, 39 рисунков, 2 таблиц, 123 наименований используемых литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы цель и основные задачи исследования. Показана научная новизна и практическая значимость.

В первой главе. "Размерность многообразий пространства п-измерений", даётся краткий перечень .понятий, определений и фактов, которые являются основой построения различных моделей отображения пространств.

Глава носит, в основном, реферативный характер, целью которой являлось раскрытие вопросов многомерной начертательной геометрии: о формировании пространства и-измерений; о гиперповерхностях (гиперсетях) многомерного пространства; об условии параллельности к-плоскостей и др. Совершенствование методов геометрического моделирования пространств и многообразий большей размерности точками плоскости предполагает установление взаимно непрерывных и взаимно однозначных отображений. Поэтому исследуется методика конструирования многообразий с позиции теоретико-множественного подхода, а также рассматриваются различные приёмы подсчёта размерности многообразий в виде набора чисел, от которых зависит элемент этого многообразия. Даны приёмы подсчёта параметров неточечных многообразий обычного пространства, а также рассматривается исчислительно-конструктивный метод отображения многомерных пространств на пространства меньших размерностей. Показаны примеры их использования в решении задач, позволяющие проверить корректность постановки заданного условия и определить число её решений.

Приводится формула декартова произведения множеств М!; dim (М1М2, —МО = dimMi + dimM2 +...+ dimMk. (1.1)

Формула размерности пересечения пространств

т + к-п = г, (1.2)

где т, к -размерности пересекающихся пространств. Даётся понятие определителя множества, как набора чисел (объектов), однозначно определяющих элемент М и приводится формула размерности множества М

<ЯтМ=сИт О-сИтЕ, (1.3)

где т=сИт Е -размерность т-множества класса эквивалентности Е определителей одного элемента а еМ;

П=сИт О- размерность /7-множества О всех определителей. Приводится параметрическое число алгебраической поверхности /77-го порядка

р=1п(т+1)_1> (1.4)

пм=1

где п - размерность операционного пространства;

т - порядок поверхности. Приводится формула пересечения / - пространств п

/-= -«(Н>, О-5)

/=1

Известно, что размерность ^-пространства в л-пространстве равна

Р=(п-к)(к+1). (1.6)

Эхо число называется постоянным числом к -пространства. Если к-плоскость проходит через г+1 фиксированную точку, то для её полного определения необходимо дополнить ещё (к+1)-(г+1)=к-гточками. Поэтому число Р степеней свободы к - плоскости, принадлежащей /7-мерному пространству и проходящей через данную /"-плоскость, составляет

Р=(п-к)(к-г), (1.7)

Следует заметить, что формулы (1.6) и (1.7) справедливы только для линейных пространств.

Рассматриваются вопросы параллельности р- и д-пространств (р>С1), содержащиеся в одном (р+<7—^-пространстве, которые пересекаются по г -пространству и имеют несобственное общее (г—1) пространство и приводится известная формула размерности условия к-параллельности

0=/сд(п-р-д+/сс?]. (1.8)

Многообразие прямых в п- мерном пространстве содержит сой(п ^

прямых. Его подмножества, содержащие по со11-1 прямых (аналоги конгруэнции в 3-пространстве) называют гиперсетями. Обычный пример гиперсети - гиперсвязка прямых, то есть со11-1 прямых, проходящих через данную точку. Гиперсеть образуют, например, прямые, пересекающие одновременно скрещивающиеся между собой Рк и Рп'ы пространства, называемые направляющими этой гиперсети.

Порядком алгебраической гиперсети называется число её прямых, проходящих через точку общего положения. Порядок гиперсвязки равен единице; порядок гиперсети с направляющими Р* и Р"'к'1 пространствами также равен единице, если к=1 для /7=3, то получим п-к—1-1. Отображение, сопоставляющее точкам из л-пространства, проходящих через них прямые гиперсети, называются косым проецированием (л-пространства прямыми гиперсети). В аналитической геометрии точкой /7-мерного пространства считают со1 пропорциональных наборов из п+1 чисел. Числа х0, х I, ..., хп любого из этих со1 наборов называют координатами точки. Точки, координаты которых удовлетворяют линейному однородному уравнению

а охо+а.! XI + ...+а„ хп = 0 , (1-9)

заполняют некоторую гиперплоскость; т таких уравнений определяют (п-т) - плоскость, как пересечение соответствующих /77 гиперплоскостей.

Однородное уравнение степени г определяет гиперповерхность Уп-1 (где Г порядок поверхности), пересекающуюся с произвольной прямой в Г

точках; т гиперповерхностей ,,■■■,1 пересекаются в

общем случае по (Т7-/77,)-поверхности порядка г, где Г=Г!Г2■ ... гт

- число точек её пересечения с произвольной /77-плоскостью; V г2 (т=п-2) называют поверхностью (плоскостью); у (т =п— ^-линией.

Особое внимание в этой главе уделяется изучению алгебры'условий конструирования многомерных поверхностей и условий их задания на чертеже.

Вторая глава "Построение модели с минимальным числом проекций объектов различного числа измерений и различной структуры" посвящена построению конструктивных моделей многомерных пространств. Проведён анализ известных способов отображения многомерных пространств. Показано, что в настоящее время наибольший практический интерес в линейных методах моделирования представляет проблема построения моделей с минимальным числом проекций, наиболее удобных при решении прикладных задач.

Известно, что областью отображения в проекциях с числовыми отметками является декартово произведение множества точек плоскости и множества вещественных чисел. Предлагаемая в работе модель с минимальным числом проекций отображения многомерного пространства, строится на этой основе с последующим расслоением заданных многообразий на классы эквивалентности, элементами которых являются одномерные множества (прямые или кривые линии). Причём, отображение п-мерного пространства производится ортогональным проецированием на двумерную плоскость, а точка пространства проецируется в точку плоскости проекций.

Построение, предлагаемой в диссертации модели, выполняется следующим образом. Задаётся система взаимно-перпендикулярных осей координат хь Х2, ...,хп с началом в точке О, то есть 1 х2, х3 ±(х\>о ху), х41(х, пх:2 пх3) и т.д. За основную плоскость проекций выбирается плоскость, задаваемая осями х1: х2 . Оставшиеся оси будут определять (п-3) несобственный центр проекций, который будет задавать, вместе с точкой п-мерного пространства, проецирующие п—2 плоскости, ортогональные основной плоскости проекций (по условию формирования модели).

Известно, что точка П-мерного пространства однозначно задаётся п координатами (числами), две из которых на данной модели определяются графически, а оставшиеся п—2 координат заменяются числами, которые определяют расстояние от точки до основной плоскости проекций по соответствующим осям л: з,х4,..,хп .

Для того, чтобы какое-либо множество отобразить на этой модели необходимо выделить класс эквивалентности (взаимно непересекающиеся подмножества и заполняющие всё заданное множество). Такой способ подробно рассмотрен для отображения гиперповерхности четырёхмерного пространства. Вначале заданное многообразие расслаивают гиперплоскостями (фиксированием координаты х3) на однопараметрическое множество 2-поверхностей. Затем, каждую 2-поверхность, инцидентную соответствующей гиперплоскости, расслаивают 2-плоскостями на плоские

кривые линии, получаемые как результат пересечения 2-плоскости с 2- поверхностью в соответствующей гиперплоскости (рис.1).

Рис.1

Найденные линии пересечения ортогонально проецируют соответственными многообразиями на основную плоскость проекций Х) 0 х2 . В общем случае, это множество будет задавать эмпирическую (незакономер-

ную) 3-поверхность четырёхмерного пространства, представленную дву-параметрическим множеством линий.

Подробно рассмотрены вопросы отображения различных многообразий на примере 4-мерного пространства. В этом случае, 2-плоскость представляет собой два семейства прямых уровня п„ т1 (г может принимать любое значение вещественных чисел), пересечение которых даёт прямую тождественных отметок (прямая, каждая точка, которой, имеет одинаковые числовые отметки координат). Поэтому удобно 2-плоскость задавать на этой модели прямой с тождественными отметками и произвольной точкой. Гиперплоскость отображается на этой модели однопара-метрическим множеством 2-плоскостей и поэтому однозначно задаётся двумя параллельными 2-плоскостями.

Нахождение точки пересечения двух 2-плоскостей общего положения четырёхмерного пространства сводится к определению прямых пересечения соответствующих пучков этих плоскостей, с последующим нахождением их общей точки. Эта задача является основной позиционной задачей 4-мерного пространства (т.к. в качестве проецирующего образа является 2-плоскость, по аналогии с основной позиционной задачей 3-пространства) (рис.2). Поэтому решение задач на нахождение общих элементов 2-плоскости и гиперплоскости , а также двух гиперплоскостей четырёхмерного пространства можно свести к вышеописанной задаче.

Однако, как показали исследования, решения задач с увеличением размерности пространства становится трудоёмким. Поэтому, на предлагаемой модели, строят в проекционной связи дополнительную проекцию (профиль), определяемую одной осью основной плоскости проекций и любой другой осью.

В качестве примера отображения известных многообразий на предлагаемой модели рассмотрены вопросы графического задания линейчатых

2-поверхностей, гиперповерхностей Каталана 4-мерного пространства, вопросы их задания с позиций теоретико-множественного подхода. Также рассмотрены позиционные задачи (рис.3).

Рис.3

В диссертации исследуются вопросы расслоения гиперповерхностей Каталана 4-мерного пространства. Для примера рассматривается гиперповерхность Каталана 1-го рода, которая определяется 3-плоскостью параллелизма, тремя одномерными направляющими и 2-мерными образующими, параллельными гиперплоскости параллелизма (рис.3). Так, при

фиксировании параметра х, гиперповерхность расслаивается на однопа-

о

раметрическое семейство линейчатых 2-поверхностей , а при фиксировании параметра Хг- на однопараметрическое множество 2-плоскостей

о

А | , которые могут быть приняты за образующие рассматриваемой гиперповерхности.

Третья глава "Применение предложенной графоаналитической модели с минимальным числом проекций для решения технологических задач процессов обогащения полезных ископаемых" носит прикладной характер и посвящена вопросам практического приложения результатов теоретических исследований, рассмотренных в предыдущих главах, применительно к геометрическому моделированию химико-технологических процессов. В диссертационной работе показана теоретическая и комплексная последовательность решения задач формирования многокомпонентных процессов, начиная с определения количества экспериментальных данных, до получения аналитической зависимости. Затем эта методика применяется для геометрического моделирования многофакторных систем процессов обогащения полезных ископаемых: грохочения и флотации. Основным методом описания процесса в обогащении полезных ископаемых является установление аналитической зависимости, которая выявляется с помощью экспериментальных данных. Так как экспериментальные методы с увеличением числа компонентов системы становятся трудоёмкими, а аналити-

ческие зависимости не очень наглядны, то важное значение имеет привлечение геометрических методов исследования с целью выявления простых и удобных алгоритмов.

Геометрический подход к данной задаче предполагает многофакторные процессы задавать геометрическими многообразиями (отсеками поверхностей) - «--поверхностями отклика. Причём, к - мерная поверхность (1 < к <п-1), где «--количество независимых переменных (факторов), оказывающих влияние на исследуемое свойство (параметр) служит геометрической моделью взаимосвязи между факторами системы, которую называют областью существования факторов (факторное пространство). В этой области каждому возможному набору значений факторов (уровней), которые геометрически описывают состояние объекта, соответствует единственное значение определяемого параметра. При одинаковом числе уровней Р для т факторов количество различных состояний объекта (опытов) определяется по формуле М=Рт (3.1)

Зависимость (3.1) используется в том случае , когда число значений второй, третьей и т.д. переменных одинаково. В противном случае применяется формула

т ¡=1

Процессы грохочения являются стационарными процессами и могут быть описаны линейными зависимостями. Следовательно, возникают задачи расчёта основных характеристик грохотов. Сущность процесса заключается в следующем. Исходная горная масса подаётся на просеивающую поверхность грохота, над которым устанавливаются гидромониторы, регулирующие подачу воды. Так как одна опора грохота является шарнирной , а вторая -амортизатором, поэтому её можно рассматривать как одномассовую колебательную систему с одной степенью свободы. Горная порода больших габаритов перемещается по грохоту, а мелкая просеивается и называется подрешётным продуктом (минусовым классом) (рис.4).

Расчетная схема грохота

Рис.4

Критерием оптимизации грохота является его эффективность (коэффициент обогащения), рассчитываемая по формуле

где а -содержание минусового класса в исходном продукте, % ;

v -содержание минусового класса в подрешётном продукте, % . Предварительно, по априорным данным были установлены факторы, существенно влияющие на параметр Е, выбраны их области определения и интервалы варьирования. Интервалы варьирования приняты такими, при которых заметно изменение хода процесса. В качестве факторов приняты

следующие: хг угол наклона грохота, а0 ; хг - расход воды на грохочение, м3 \мин; х3 - частота пульсаций, с.

С использованием этих характеристик проведён полный факторный эксперимент и получена аналитическая зависимость для средних значений

По этим результатам построена геометрическая модель в принятых диапазонах изменения рассматриваемых факторов на предлагаемом чертеже с минимальным числом проекций. Для подтверждения достоверности данной геометрической модели проведён промежуточный эксперимент,

(3.3)

Е=89,88-1,12x1 + 1,98x2-1,20x3

(1.5)

определяемый точкой А (рис.5). Полученные графические результаты со-ответств)ЮГ аналитическим расчётам.

95 94

93 92 91 90 89 88 87

86 85

17

20

Рис.5

1,6

1 V

г-4" \\ ' 1.2 2,4

89.87 Лч С

\

'0,8 1.6

\

, 0,8 2,4

23

XI

Предложен алгоритм построения геометрической модели многофакторной системы флотации, которая представлена в виде

(х 1,х21хз,х4)1 (3.4)

где у-параметр оптимизации Е (извлечение меди в концентрат), %;

х,, ¡=1,2,3,4 - факторы процесса флотации (Х) -содержание меди в исходном продукте, % ; хг -время флотации, мин; Хз, Х4 -расход реагентов,

г).

Получена её геометрическая модель в виде чертежа каркасной 4-поверхности и рассмотрен вопрос графического определения наилучшего режима протекания процесса флотации, в принятых диапазонах изменения факторов.

Анализ полученных результатов показывает, что применение этого метода позволяет визуально и точно определять характер протекания процесса. Поскольку, многомерные поверхности на данной модели задаются классами эквивалентности, то исследование этих поверхностей можно сводить к более простым поверхностям; а также значительно сократить количество экспериментов, а значит, и связанные с экспериментом факторы (время, материал, квалифицированные кадры и др.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведены исследования по разработке метода геометрического моделирования. Выполненные исследования позволили получить следующие основные результаты;

1. Систематизация вопросов подсчёта параметров различных многообразий и объединение их с теорией задания геометрических многообра-

зий в «-пространстве, позволили разработать методику конструирования их образов и разработать алгоритмы решения позиционных и метрических задач.

2. Разработана графоаналитическая модель отображения многомерного пространства на основе проекций с числовыми отметками, параллельного проецирования на двумерную плоскость и расслоения заданных множеств на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Рассмотрена задача моделирования этих подмножеств. Показана связь этой модели с известными моделями отображения многомерных пространств (чертежом Радищева, Буке-Схоуте, Эйтеля и др.).

3. На основании теоретических результатов исследования, разработан способ построения моделей многофакторных зависимостей для процессов обогащения полезных ископаемых, на чертеже с минимальным числом проекций. Это позволило разработать удобный для практики простой вычислительный алгоритм решения многофакторных задач.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Бабич В.Н., Шангина Е.И. Подсчёт параметров различных геометрических многообразий. Тезисы докладов юбилейной научно-технической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту". Екатеринбург: УрГАПС, 1996. - с. 46-48.

2. Шангина Е.И. Размерность пересечений. Тезисы докладов семинара-совещания заведующих графических кафедр ВУЗов России "Актуальные проблемы теории и методики графических дисциплин". Пенза: ПГАСА, 1999,- с.79-81.

3. Шангина Е.И. Кинематический анализ секции линии валкового грохота. "Горный журнал", №4 . Екатеринбург: УГГГА, 1999, (в печати).

4. Начертательная геометрия в проекциях с числовыми отметками: Учебное пособие/ Бабич В.Н., ШангинаЕ.И.; Под ред. P.A. Вайсбурда. -Екатеринбург: "Полиграфист", 1999. - 150с.

5. Шангина Е.И. Геометрическое моделирование процессов оптимизации в проекциях с числовыми отметками. Материалы научно-технической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту-2000". Екатеринбург: УрГАПС, 2000 (в печати).

6.Шангина Е.И. Геометрические модели оптимизации. Материалы научно-технической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования - -транспорту - 2000". Екатеринбург: УрГАПС, 2000 (в печати).

7. Бабич В.Н., Шангина Е.И. Анализ классических методов начертательной геометрии. Тезисы докладов научно-технической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту - 2000". Екатеринбург: УрГАПС, 2000 (в печати).

8. Шангина Е.И., Якунин В.И. Построение модели с минимальным числом проекций многомерной начертательной геометрии. Материалы 9-ой и 10-й юбилейной Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам, "Кограф-1999/2000", г. Нижний Новгород, 2000. - с.95-97.

Типография ООО «Телер» 125299, Москва, ул. Космонавта Волкова, 12

Подписано в печать 23.10.2000 г. Формат 60x90/16. Тираж 100 экз. Бумага Тесте Ьавег&Ыфг. 0,75 печатных листа. Заказ № 2796.

Введение.

1.Размерность многообразий пространства п-измерений.

1.1 Формирование пространства п-измерений.

1.2 Вопросы геометрического строения каркасных гиперповерхностей 4-мерного пространства.

1.3 Подсчёт параметров различными способами.

1 АРазмерность пересечения, связывание параметров.

1.5.Условие параллельности.

Выводы.

Построение модели с минимальным числом проекций объектов различного числа измерений и различной структуры.

2.1 Различные геометрические модели отображения многомерных пространств.

2.2 Построение модели с минимальным числом проекций многомерной начертательной геометрии.

2.3 Геометрическое моделирование линейных многообразий многомерного пространства.

2.4. Алгоритмы решения позиционных задач пространства Е4 и их графическое отображение.

2.5. Графическое задание кривых линий, поверхностей и гиперповерхностей на модели с минимальным числом проекций,.

2.6. Гиперповерхности Каталана пространства Е4.

Выводы.

3. Применение предложенной графоаналитической модели с минимальным числом проекций для решения технологических задач процессов обогащения полезных ископаемых.

3.1 Геометрические модели многокомпонентных систем.

3.2 Планирование эксперимента.

3.3 Реализация методов геометрического моделирования применительно к процессам обогащения полезных ископаемых.

3.3.1.Аналитическая и графическая реализация полного факторного эксперимента процесса грохочения.

3.3.2. Конструирование многомерных поверхностей применительно к химико-технологическому процессу - флотация.

Выводы.

Актуальность проблемы. В настоящее время начертательная геометрия развивается под воздействием поставленных инженерных задач, а её методы находят многочисленное применение в науке и технике.

Начертательная геометрия в процессе своего развития активно использует методы смежных наук, в том числе, алгебры, алгебраической геометрии, исчислительной геометрии и др., расширяется круг её теоретических возможностей. В сегодняшнем арсенале уже имеется широкий набор методов, начиная с классических: метода Монжа, аксонометрии, перспективы до метода двух следов, циклографии Фидлера и других. Вместе с тем, продолжает оставаться актуальной проблема разработки новых методов геометрического моделирования, что позволяет находить требуемые решения разнообразных многопараметрических задач. Кроме того, желательно, чтобы конструктор имел возможность задавать эти параметры в графическом виде.

В линейных методах многомерной начертательной геометрии наибольший практический интерес предст авляет проблема построения моделей с минимальным числом проекций, наиболее удобных при решении инженерных задач.

В теоретическую область начертательной геометрии большой вклад внесли такие учёные, как Н.Ф.Четверухин, К.И.Вальков, И.С.Джапаридае, И.йКотов, Е.И.Мчедлишвили, Г.С.Иванов и многие другие.

В области практических приложений подученных теоретических методов большой вклад внесли В. А. Бусыгин. Ю С Завьялов. В.Л.Калипнп, И.И.Котов, В.Е.Михайленко, К.М.Наджаров, В.А.Осипов, А.П.Павлов, В.Н.Первикова, А.Л.Подгорный, Н.Н.Рыжов, С.А.Фролов, А.М.Тевлин, А.Д.Тузов, В.И.Якунин и др.

В этот период получила дальнейшее развитие многомерная начертательная геометрия. Существенный вклад в теорию геометрического моделирования многомерного пространства и практику её применения внесли отечественные учёные.

Проф. Н.Ф. Четверухин внёс вклад в разработку методов параметрического исследования изображений, в теорию позиционной и метрической полноты изображений, в теорию аксонометрии многомерного пространства [ 97, 98, 99, 100 ].

Проф. И.И. Котов пользовался понятием многомерной поверхности в созданной им теории конкурирующих поверхностей. Им разработаны графоаналитические методы конструирования поверхностей технических форм, а также плоских и пространственных обводов [ 40, 41, 42, 43], что во многом определило направленность развития как прикладной, так и общей теории поверхностей.

Проф. В.И. Первиковой принадлежат работы в области многомерной аксонометрии и разработка теории обратимых отображений многомерного пространства [ 59, 60, 61, 62, 64, 65 ]. В работе [ 60 ] разработаны способы построения аксонометрических изображений различных геометрических многообразий многомерного пространства применительно к исследованию многокомпонентных систем; рассмотрены общие способы решения основных позиционных задач с нелинейными элементами четырёхмерного пространства, а также указана возможность задания в аксонометрических проекциях нелинейных образов дискретных каркасов. В [ 61 ] исследованы общие свойства комплексных чертежей n-мерных многообразий, построенных по способу двух изображений (проекций) и по способу двух следов, рассмотрены общие вопросы теории отображения гиперповерхностей при каркасном способе их задания.

Многие работы проф. H.H. Рыжова посвящены конструированию поверхностей по определённым дискретным условиям, а также им внесён вклад в теорию параметризации [78, 79, 80 ].

Направлению геометрического моделирования многомерных пространств посвящены работы проф. К.И. Валькова [11,12,13]. Направлению привлечения вычислительных машин для решения геометрических задач графическими методами посвящены работы проф. С. А, Фролова [92. 93].

Проф. В.Я. Вожов на основе исследования теории параметризации и методов исчислительной геометрии разработал классификацию геометрических многообразий многомерного пространства и общие принципы их моделирования. Им выведены формулы расчёта алгебраических характеристик многообразий п-мерного пространства на базе символических исчислений условий [14,15,16,17].

Проф. И. С. Джапаридзе рассмотрены вопросы моделирования пространств и его преобразований, исследованы вопросы построения моделей различных пространств, проанализирована их связь с различными методами изображений, которые применяются в технике [26].

Общие вопросы многомерной геометрии рассмотрены как в работах зарубежных учёных, так и наших: Схоуте [121], Соммервиля [122], Экхарта [117], Буке [116], Рейе [120] Б.А. Г.С.М.Коксгера [37], Розенфельда [77], А.С.Палатника и А.И. Ландау [57], Л.С. Атанасяна [7], П. С. Александрова [5,6], В.П.Радищева [74,75], Д.З.Гордевского и А.С.Лейбина [21], Н.В. Ефимова, Э.Р.Розендорна [28,29] и др.

В геометрии известны различные модели отображения многомерных пространств, предложенные в работах [3,22.26,27,46,48,53,54.55,56,62,68.69, 72,74,75,83,90,115] и др. Однако следует заметить, что каждая модель позволяет решать лишь определённый, сравнительно узкий круг задач. Поэтому продолжает оставаться актуальной разработка новых методов геометрического моделирования.

В линейных методах многомерной начертательной геометрии наибольший практический интерес представляет на сегодня проблема построения моделей с минимальным числом проекций, наиболее удобных для решения прикладных задач.

Цель работы состоит в разработке метода геометрического моделирования многомерных пространств или многообразий на чертеже с минимальным числом проекций, наиболее удобной при решении прикладных задач, и реализация этой модели применительно к процессам обогащения полезных ископаемых.

Для достижения этой цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи:

-систематизация известных понятий, определений и фактов на основе теоретико-множественного подхода к параметризации;

-разработка и исследование геометрической модели отображения многомерных пространств или многообразий различного числа измерений и различной структуры с минимальным числом проекций;

-геометрическое моделирование многокомпонентных систем процессов обогащения полезных ископаемых.

Методика исследований. Решение задач, сформулированных в диссертационной работе, базируется па методах начертательной, многомерной, исчислительной, аналитической, проективной, алгебраической геометрии и других смежных наук. Научная новизна:

-разработана и изучена модель отображения многообразий многомерного пространства различной размерности на основе проекций с числовыми отметками и расслоения множеств на классы эквивалентности, в виде модели с минимальным числом проекций, наиболее практичной и удобной при решении прикладных задач;

-разработаны методики и алгоритмы решения позиционных и метрических задач многомерной начертательной геометрии на предлагаемой модели;

-рассмотрены вопросы, связатппле с систематизацией подсчёта параметров в начертательной геометрии на теоретико-множественной основе: факторизация (расслоение) множества определителей, аналитическое задание множества, условие принадлежности и др.

Практическая ценность. Предложенная в диссертационной работе графоаналитическая модель может использоваться для геометрического моделирования процессов многокомпонентных систем. В качестве объекта прикладных исследований построена графическая модель химико-технологического процессов обогащения полезных ископаемых - грохочения, флотации.

Материалы диссертации также используются автором в учебном процессе Уральской государственной горно-геологической академии (УГГГА),

На защиту выносятся:

-методика подсчёта параметров заданных многообразий, основанная на теоретико-множественном подходе;

-метод построения и исследования, наиболее удобной при решении прикладных задач, модели отображения многомерных пространств с минимальным числом проекций;

-исследование геометрических многообразий на предлагаемой модели с минимальным числом проекций с помощью дополнительных проекций;

-методика решения прикладных задач обогащения полезных ископаемых на основе модели с минимальным числом проекций.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены: -на городском семинаре по прикладной геометрии и графике (Екатеринбург), 1998г.;

-на научно-технической конференции и семинарах УГГТА, 1998-2000г.г.; -на семинаре кафедры «Прикладная геометрия» МАИ, 2000г; -на научно- технической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту 2000», Екатеринбург, УрГАПСДООО.

-па научно-технической конференции по начертательной геометрии и графике (Нижний Новгород), 2000г.

Публикации. По теме диссертации имеется 8 публикаций, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований. Опубликовано 1 учебное пособие, 3 методические разработки для студентов УГТТА.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка, включающего 123 наименования и приложения. Диссертация объёмом 158 страниц машинописного текста содержит 39 рисунков и 2 таблицы.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3

Исходя из постановки проблемы развития теории геометрического моделирования в технологических процессах обогащения полезных ископаемых и рассмотренных в этой главе геометрических методах моделирования многокомпонентных зависимостей, используемых в литературе, были получены следующие результаты:

-разработана теоретическая и комплексная последовательность решения задач многокомпонентных процессов, начиная с определения количества экспериментальных данных, обработки их методами математической статистики, получения аналитической зависимости;

-на основе теоретических данных, рассмотренных во второй главе, получена геометрическая модель многокомпонентной системы процесса грохочения;

-разработана методика графического определения оптимального протекания процесса грохочения, заключающаяся в отыскании наилучшего результата или режима;

-получена математическая модель в виде аналитической зависимости эффективности грохочения от угла наклона грохота, расхода воды, частоты пульсаций, которая подтверждает достоверность геометрической модели;

-предложена методика конструирования поверхностей многокомпонентных систем процессов флотации.

Таким образом, разработанные в третьей главе методы конструирования многомерных эмпирических поверхностей применительно к процессам грохочения и флотации на модели с минимальным числом проекций, обеспечивают возможность использования методов многомерной начертательной геометрии для решения общих задач процессов обогащения полезных ископаемых.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведённые теоретические и прикладные исследования позволили решить поставленные в диссертационной работе задачи и получить следующие результаты:

1. Систематизация вопросов подсчёта параметров различных многообразий и объединение их с теорией задания геометрических многообразий в п-пространстве, позволили разработать методику конструирования их образов и разработать алгоритмы решения позиционных и метрических задач.

2. Разработана графоаналитическая модель отображения многомерного пространства на основе проекций с числовыми отметками, параллельного проецирования на двумерную плоскость и расслоения заданных множеств на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Показана связь этой модели с известными моделями отображения многомерных пространств (чертежом Радищева, Буке-Схоуте, Эйтеля и др.).

3. На основании теоретических результатов исследования, разработан способ построения моделей многофакторных зависимостей для процессов обогащения полезных ископаемых, на чертеже с минимальным числом проекций. Это позволило разработать удобный для практики, простой вычислительный алгоритм решения многофакторных задач.

1. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. -М.: Металлургия, 1969.-2Юс.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. -М.: Наука, 1976. -279с.

3. Аносов В.Я. К вопросу об изображении многокомпонентных систем. Метод спиральных координат // Изв. Сектора физ. хим. анализа. Т.9, №5. - 1936. - с.5-25.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. -М.: Наука, 1977. -344с.

5. Александров П.С. Теория размерности и смежные вопросы. Статьи общего характера. -М.: Наука, 1978 -432с.

6. Александров П.С., Пасынков В.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973. -576с.

7. Атанасян A.C. Основы многомерной геометрии. Учпедгиз -М., 1963.

8. Аффи А., Эйзен Р. Статистический анализ: Подход с применением ЭВМ. -М.: Мир, 1982. -486 с.

9. Березкина Л.Я. К теории поверхностей многомерного пространства. Изд. Рижского института инженеров гражданской авиации -Рига, 1965.

10. Ю.Бененсон В.Д. Влияние некоторых факторов на скорость флотации и металлургические результаты. Канд. дисс. техн. наук. Свердловск, 1956. -168 с.

11. Вальков К.И. Лекции по основам геометрического моделирования. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1975. - 180с.

12. Вальков К.И. Линейные преобразования многомерного пространства как средство геометрического моделирования в науке и технике. Докт. дисс., Л., 1964.

13. Вальков К.И., Дралин Б.И., Клементьев В.Ю., Чукова М.Н. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика. М.: Высшая школа, 1997.-495с.

14. Волков В.Я., Куликов Л.К. Геометрическое моделирование в курсе начертательной геометрии // Учебное пособие. Омск: ОмГТУ, 1995. - 60с.

15. Волков В.Я. Исследование многомерных тангенциально вырожденных поверхностей применительно к многофазным равновесиям многокомпонентных металлических систем. Автореферат канд. дисс.- М., 1969.-130с.

16. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и её приложения. Автореферат докт. дисс. -М: 1983

17. Вольберг O.A. Основные идеи проективной геометрии. М.: ГТТИ, 1948. -194с.

18. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. -М.-Л.:ГТТЛ, 1949. -512с.

19. Гильберт Д., Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. -М.:Наука, 1981.- 344с.

20. Гордевский Д.З., Лейбин A.C. Популярное введение в многомерную геометрию. Харьков: ХГУ, 1964 - 191с.

21. Гумен Н.С. Графоаналитическое отображение некоторых геометрических образов многомерного евклидова пространства на подпространства низших измерений применительно к решению некоторых технических задач. Автореф. дисс. канд. техн. наук. Киев, 1969. - 28с.

22. Гуревич Г.Б. Проективная геометрия. -М.: 1960 -320с.

23. Гуревич В., Волмен Г. Теория размерности. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948 - 232с.

24. Данциг Д. Линейное программирование, его применение и обобщение. М.: Прогресс, 1966. - 289 с.

25. Джапаридзе И.С. Конструктивные модели отображения проективных преобразований пространства. Тбилиси: ГПИ, 1964 -127с.

26. Джапаридзе И.С. Начертательная геометрия в свете геометрического моделирования. -Тбилиси: Ганатлеба, 1983. -208с.

27. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1978. -576с.

28. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. -М.: Наука, 1970. -528с.

29. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. М.: Машиностроение, 1995. -224с.: ил.

30. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. -М.: Машиностроение, 1998. 157с.

31. Козин В.З. Экспериментальное моделирование и оптимизация процессов обогащения полезных ископаемых. М.: Недра, 1984. - 112с.

32. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л.: ГОНТИ, 1939. -400с.

33. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. -М.: Просвещение, 1966.- 648с.

34. Комиссарук A.M. Основы аффинной геометрии на плоскости. Минск: Высшая школа, 1967. -296с.

35. Корн Г. Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1973- 795с.

36. Котов И.И. Аналитическая геометрия в пространстве и начертательная геометрия поверхностей. -М.: МАИ, 1968. 147с.

37. Котов И.и. Каркасные поверхности зависимых сечений. Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. 11 тем. сб. научных трудов МАИ. 1974. - вып. 296 - с.4-8.

38. Котов И.И. Методологические основы и пути развития прикладной геометрии. Сб трудов МАИ, №195, вып.5. М.: МАИ, 1970.

39. Котов И.И., Якунин В.И., Иванов Г.С. Учебное пособие по начертательной геометрии на базе ЭВМ. -М.: МАИ, 1977. 53с.

40. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -М.: Наука, 1971. 432с.

41. Ламбин Л.Н. Полнота изображений в многомерной начертательной геометрии и её приложения к многокомпонентным системам. Канд. дисс.-М.: МАИ, 1962.-169с.

42. Лодочников В.Н. Простейшие способы изображения многокомпонентных систем. Изв. ИХФА АН СССР, т.2, вып.2, 1924. 255с.

43. Малеев Ю.А. Поверхности Каталана применительно к изучению диаграмм состояний многокомпонентных систем, канд. дисс. М. 1972.- 130с.

44. Мемке Р. Новые построения пространственной графостатики, УМН, вып. 7, 1940. -С.31- 72.

45. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

46. Михайленко В.Е., Обухова B.C., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев: Будивельник, 1972. 208с.

47. Михайленко В.Е Прикладная геометрия архитектурных оболочек. Автореферат докт. дисс. -Киев: 1971

48. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. -644с.

49. Мчедлишвили Е.А. Методы изображений. Тбилиси,: ГПИ, 1974.

50. Мчедлишвили Е. А. Проективная геометрия и плоскостное отображение пространства. Тбилиси,: ТГУ, 1974. - 267с.

51. Наумович H.B. Комплексный чертёж n-мерного пространства и его применение. Труды конференции по прикладной геометрии ВУЗов Северного Кавказа. Новочеркаск, 1967. -с.74-92.

52. Наумович Н.В. Об одном методе начертательной геометрии четырёхмерного евклидова пространства // Тр. Моск. науч.-метод.семинара по начертательной геометрии и инж. графике. 1958. - Вып. 1.-е. 146-161.

53. Палатник A.C. Ландау А.И. Фазовые равновесия в многокомпонентных системах. Харьков: Изд. ХГУ, 1961.

54. Пеклич В.А. Элементы теории множеств начертательной геометрии. Сб. научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып 7. М.: МАИ, 1979.

55. Первикова В.Н. Геометрические основы чертежей многомерных фигур. М.: МАИ, 1982, с.44.

56. Первикова В.Н. Аксонометрические изображения и применение их для исследования многокомпонентных систем. Дисс. канд. техн. Наук. М.: МАИ, 1955,- 384с.

57. Первикова В.Н. Теория обратимых отображений многомерного пространства. Дисс. докт. техн. Наук. М.: МАИ, 1975.

58. Первикова В.Н. Комплексный чертёж n-мерного евклидова пространства на к-мерной плоскости. В кн.: труды Московского научно-методического семинара по нач. геом. и инж. графике. М.: МВССО, 1963. с. 172- 179.

59. Первикова В.Н. основы обратимых отображений линейного пространства в применении к чертежам многомерных фигур. В кн.: Вопросы прикладной геометрии. Труды МАИ, М.: МАИ, 1966, с. 157-171.

60. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии. -М.: Наука, 1976.

61. Первикова В.Н., Коробова Д.М., Решетникова A.A. Чертежи поверхностей п-мерного пространства и их инженерное приложение. В кн.: геометрические преобразования и прикладная многомерная геометрия. - М.: МАИ, 1973, с.68-86.

62. Перельман Ф.М. Методы изображения многокомпонентных систем.- М.: Изд. АН СССР, 1959, с. 130.

63. Перельман Ф.М. Изображение многокомпонентных систем по методу В.П. Радищева//Изв. Сектора физ.-хим. анализа, 1953. -т.22. с.21-32.

64. Погорелов A.B. Геометрия. М.: наука. 1983. - 288с.

65. Подгорный A.JI. Геометрическое моделирование пространственных конструкций. Автореферат докт. дисс. Киев: КИСИ, 1975.

66. Подылина М.Г. Отображение 4-пространства на плоскость по методу проекций с двумя числовыми отметками и его применение для исследования многокомпонентных сплавов. Канд. дисс. Техн. Наук. М.: МАИ, 1963. -145с.

67. Полежаев В. Д. Непрерывно-каркасные и параметрические методы конструирования многообразий применительно к моделированию многофакторных процессов. Автореферат канд. дисс. Киев: КИСИ, 1989. -20с.

68. Радшцев В.П. К теоретическому изучению многокомпонентных взаимных систем. Изв. Сектора физ.-хим. анализа-М.: АН СССР, 1953, т22, с.33-63.

69. Радищев В.П. О применении геометрии четырёх измерений к построению равновесных физ.- хим. анализа. М.: АН СССР , 1947, т. 15, №5. С.5-35.

70. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. -M.-JL: ГОНТИ, 1938.-336с.

71. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, !966.-544с.

72. Рыжов H.H. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей, сб. математика, прикладная геометрия, т.26, вып. 3 -М.: труды УДН, 1967. -с.2-16.

73. Рыжов H.H. Начала геометрического моделирования.- М.: МАДИ-ТУ , 1999,-62с.

74. Рыжов H.H. О теории каркаса. Труды УНД им. П.Лумумбы 1963. - вып. 1.-с.9-19.

75. Савелов A.A. Плоские кривые. М.: Физматгиз, 1960. -293с.

76. Семендяев К. А., Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука. 1983. - 721с.

77. Солодовникова Э.В. Моделирование многомерного пространства методом проекций с числовыми отметками и некоторые её приложения, канд. дисс. Д., 1974. 167с.

78. Таггарт Д. Справочник по обогащению полезных минералов, (русский перевод). Т.2. 1923, с. 280-314.

79. Тарчевская И.Г. Физико химические основы флотационных методов обогащения. - Свердловск: УТИ, 1991. - 78с.

80. Тевлин A.M. Конструирование каркасных поверхностей. Труды МАИ. -1975.-вып. 331-с. 90-93.

81. Теоретические основы формирования моделей поверхностей. Учебное пособие под ред. В.И. Якунина. -М.: МАИ, 1985. 51с.

82. Курс начертательногй геометрии на базе ЭВМ под редакцией Тевлина A.M. М.: Высшая школа, 1983. - 175с.

83. Уайлд Д. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967. - 267с.

84. Филиппов П.В. Многомерная начертательная геометрия и её применения. -Л.: Наука, 1979. 298с.

85. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982. - 304с.

86. Фролов С. А. Методы преобразования ортогональных проекций. -М.: Машгиз, 1963. 144с.

87. Фролов С.А. Кибернетика и инженерная графика. М.: Машиностроение, 1974.-222с.

88. Хикс Ч. Основные принципы планирования Эксперимента. М.: Мир, 1976. -406 с.

89. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1976.-406 с.

90. Хоффер Э., Лундерштед Р. Численные методы оптимизации. М.: Машиностроение, 1981. - 192с.

91. Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 1968.-276с.

92. Четверухин Н.Ф. Полные и неполные изображения. Условные изображения и параметрический метод.// Вопросы современной нач. геометрии (под ред. Н.Ф. Четверухина. М.: Гостехиздат, 1947.

93. Четверухин Н.Ф. О графической геометрии // Вопросы прикладной геометрии. М.: МАИ. - 1972. - вып. 246. - с. 5-9.

94. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969. -367с.

95. Шангина Е.И., Бабич В.Н. Анализ классических методов начертательной геометрии. Научно техническая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту - 2000», тезисы докладов. -Екатеринбург. 2000.

96. Шангина Е.И., Бабич В.Н. Подсчёт параметров различных геометрических многообразий. Юбилейная научно-техническая конференция (УрГАПС 40 лет). «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту». - Екатеринбург. 1996.Тезисы докладов 118с. -47с.

97. Шангина Е.И., Бабич В.Н. Начертательная геометрия в проекциях с числовыми отметками // Учебное пособие под ред. P.A. Вайсбурда. Екатеринбург: Полиграфист, 1999. - 150с.

98. Шангина Е.И. Геометрические модели оптимизации. Научно -техническая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования -транспорту 2000. - Екатеринбург.2000.

99. Шангина Е.И. Геометрическое моделирование процессов оптимизации в проекциях с числовыми отметками. Научно техническая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту - 2000. -Екатеринбург. 2000.

100. Шангина Е.И. Кинематический анализ секции линии валкового грохота. «Горный журнал» №4. Екатеринбург: УГГГА, 1999.

101. Шангина Е.И. Размерность пересечений. Тезисы докладов семинара -совещания заведующих графических кафедр ВУЗов России «Актуальные проблемы теории и методики графических дисциплин». Пенза.: ПГАСА, 1999.-с. 79-81.

102. Шангина Е.И., Якунин В.И. Построение модели с минимальным числом проекций многомерной начертательной геометрии. Научно-техническая конференция. Нижний Новгород: НГТУ, 2000.

103. Шенон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. -М.: Мир, 1978.-418 с.

104. Шубов Л.Я., Иванков С.И. Щеглова Н.К. Флотационные реагенты в процессах обогащения минерального сырья: Справочник: В 2 кн.\ Под ред. Л.В. Кондратьевой,- М.Недра, 1990. Кн.1. - 400с., Кн.2. - 263с.

105. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. От проективной геометрии к неевклидовой. -М.: Просвещение. 1979. - 160с.

106. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. -М.: МАИ, 1980. 86с.

107. Якунин В.И. Методологические вопросы геометрического конструирования технических объектов// Начертательная геометрия имашинная графика в практике решения инженерных задач.

108. Омск: изд. ОмПИ, 1987.-е. 4-7.

109. Якунин В.И. Современные проблемы и перспективы научных исследований в прикладной геометрии //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1986.-е. 12.

110. Bertini Е. Einfuhrung in die projektive Geometrie mehrdimensionaler Räume, über A. Duschek, Wien, Seidel, 1924.

111. Boeke H.E. Eine Anwendurng mehrdimensionale Geometrie auf chemischmineralogische Fragen // Neues Jahrb. für mineralogie.- 1916. Bd.2. - p. 109148.

112. Echart L. Der vierdimensionale Raum, Leipzig Berlin, 1929.

113. Eitel W. Uber Vielstoffsysteme, Zeitch. f. anorg. u. allg. Chemie, Bd. 100, Leipzig, 1917.

114. Muller E. Vjrlesungen über darstellender Geometrie, Bd. 1. Die linearen Abbildungen, Leipzig U. Wien, 1923.

115. Reye Th. Die Geometrie der Lage. Bd 1, 2, 3. Leipzig, 1923. - 536p.

116. Schoute P.H. Mehrdimensionale Geometrie.- Leipzig, 1902. T.2. - 295 p.

117. Sommerville D.M.V.An introduetion to the geometry of N dimentions. -London, 1929.

118. Veronese G. Behandlung der projektivischen Verschindenen Demensionen durch das Prinzip des Projezierens und Schneidens. Math. Annalen, Bd. 19, Leipzig, 1882.