автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Геометрические методы в некоторых задачах устойчивости и управления

Введение

Содержание

Глава 1. Кусочно-линейные функции Ляпунова и локализация спектра устойчивых матриц.

1.1 Кусочно-линейные функции

Ляпунова.

1.2 Локализация спектра устойчивых матриц.

1.3 Устойчивость градиентных систем.

Глава 2. Множество достижимости для задачи управления с фазовыми ограничениями.

2.1 Принцип Максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями Явление вырождения принципа максимума.

2.2 Множество достижимости для задачи управления с фазовыми ограничениями.

2.3 Основные теоремы.

В последнее время ряд задач, например, в теории управления потребовал обобщения классических теорем прямого метода Ляпунова. Потребовались исследования функций Ляпунова, являющихся выпуклыми функциями и не являющихся, в то же время, непрерывно дифференцируемыми функциями. Первая глава диссертации посвящена исследованию кусочно-линейных функций Ляпунова линейной стационарной системы и вопросам локализации спектра устойчивых матриц. В работах [3 —5] показано, что для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1) необходимы следующие условия: существование функции Ляпунова вида (2) и невырожденность матрицы А. В работе будет доказана достаточность выполнения этих условий для асимптотической устойчивости нулевого решения системы. Приведем основные результаты первой главы. В первом параграфе первой главы получены условия существования функции Ляпунова вида (2) для системы (1).

Рассмотрим линейную стационарную систему 5, описываемую векторным уравнением: йх — Ах вл х е нп),

1) где

А = ап

1п ап1 ••• &пп вещественная матрица с постоянными элементами. Система 5 асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда спектр ст(А) матрицы А лежит в открытой левой полуплоскости {Л Е К : 11е А < 0} комплексной плоскости С. При этом в качестве функции Ляпунова ТУ (ж) для системы £ всегда можно выбрать положительно определенную квадратичную форму

IV (х) = (Вх,х).

Например, можно положить оо

Щ*) = / \\еМх\\2(И. о

Поскольку система (1) однородна, а положительно определенную квадратичную форму на единичной сфере с любой точностью в равномерной метрике можно аппроксимировать кусочно-линейными функциями, то функцию Ляпунова для системы (1) всегда можно построить и в классе кусочно-линейных функций, т.е. в виде у(х)=™!§г(!их)- (2) где и (г = — некоторый набор ненулевых векторов из

Я".

Функция У(х) вида (2) называется функцией Ляпунова системы (1), если выполнены следующие условия

У(я)>0, при \\х\\ф0. (3)

Для каждого решения системы (1) функция (р{Ь) = является невозрастающей.

Заметим, что функция У{х) выпукла и непрерывна на И", поэтому является липшицевой на любом ограниченном множестве.

Вектор функция x(t) является липшицевой на любом конечном отрезке. Отсюда следует, что и функция ip(t), будет липшицева на любом конечном отрезке [Т\,Т2] и почти всюду на нем дифференцируема. Для невозрастания липшицевой функции <p(t) на отрезке [ГЬГ2] необходимо и достаточно выполнения в точках дифферен-цируемости функции неравенства

4>{t) < о.

Предложение 1. Для того, чтобы функция V(x), определенная формулой (2), была функцией Ляпунова системы (1) необходимо и достаточно, чтобы

0 G int conv {l\,. ,/jv} и для любого х G S"-1

Ах, и) < 0 {ieJ(x)), где J(x) — множество индексов, отвечающих активным ограничениям:

J(x) = {i G {!,. ,N} : {U,x) = V{x)}.

Пусть V(x) — кусочно-линейная функция Ляпунова системы (1). Положим

M = {х G R" : V{x) < 1}.

Множество M является ограниченным выпуклым многогранником в R^; будем называть его порождающим многогранником кусочно-линейной функции Ляпунова V(x). Условия, при которых некоторый многогранник M С R" является порождающим многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова V(x) системы (1), определяет следующее утверждение

Предложение 2. Выпуклый многогранник М С R" является порождающим многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова V{x) системы (1) в том и только том случае, если М ограничен, телесен, о е int м и для каждой точки х его границы дМ выполнено неравенство шах (у. Ах) < О, где N(x) — конус, нормальный к М в точке х:

N(x) = {heHn:(h,y-x)<0,ye М}.

Условия, при которых многогранник М С R" будет порождающим многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова системы (1), можно сформулировать и в терминах его вершин.

Пусть — вершины ограниченного выпуклого телесного многогранника М С R".

Предложение 3. Для того, чтобы многогранник М был порождающим многогранником некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова системы (1) необходимо и достаточно, чтобы

О G int М и каждый вектор АЬ{ (г = 1,., N) был представим в виде линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами векторов

1 — . .1 — Ьг, 6г+1 — &г", — 6,-.

Предложение 4. Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова вида (2). Тогда нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.

Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова вида (2). Обозначим, далее, через К(А) угол в комплексной плоскости С в вершиной в нуле, биссектрисой которого является полуось Яе Л <

О и радианная величина которого равна 7г(\ —

Теорема 1. Имеет место включение сг{А) с К{А).

Если характеристика ^(5) неизвестна, но для системы (1) удается построить функцию Ляпунова с п образующими, то информацию о расположении спектра а (А) матрицы А можно получить, используя формулируемую ниже теорему 2.

Пусть К^ — угол в комплексной плоскости С с вершиной в нуле, биссектрисой которого является полуось 11е Л < 0 и с радианной мерой —

Теорема 2. Справедливо включение ст{А) С К*г.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1.

Пусть для системы (1) существует функция Ляпунова вида (2) и матрица А невырождена. Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Предложение 5. Пусть многогранник М порождает функцию Ляпунова вида (2) системы (1). Если для каждой вершины Ь{ многогранника М выполнено включение где - множество вершин соседних с Ь{, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Теоремы 1 и 2 позволяют получить информацию о расположении спектра устойчивой матрицы, если известна информация о количестве образующих кусочно-линейной функции Ляпунова. Естественно поставить обратную задачу: как по спектру о(А) матрицы А вычислить характеристику ¿'(¿э). В общем случае удается лишь оценить эту характеристику. Однако если спектр матрицы А веществен, то и(3) удается вычислить.

Теорема 3. Пусть все собственные значения матрицы А отрицательны. Тогда

Теорема 4. Пусть все собственные значения матрицы А отрицательны. Тогда имеет место оценка

АЬ,- е гШ сопеЩ

4)

1/(5) = п + 1.

В третьем параграфе первой главы рассмотрена задача исследованиям условий для асимптотической устойчивости градиентных систем.

Рассмотрим две градиентные системы = У/0(х) (г €11*), # = -?/,(*) («6 Я"),

6)

7)

С изолированным нулевым состоянием равновесия. Однопараме-трическое семейство градиентных систем

Назовем невырожденной деформацией системы (6) в систему (7), если потенциал /(•;*) : -> К- непрерывен по совокупности переменных вместе с градиентом V/(•; •) : П^ —> К, при каждом Л £ [0,1] нуль является изолированной равномерно по Л 6 [0,1] критической точкой потенциала /(•; А) и = Л) (х е п", о < л < 1).

8)

•;0) = /о, /(■;!) = /!.

Справедлива Теорема1.

Пусть существует невырожденная деформация градиентной системы (6) в градиентную систему (7). Пусть нуль — асимптотически устойчивое состояние равновесия системы (6). Тогда нуль—асимптотически устойчивое состояние равновесия системы

Следствие. Пусть в условиях теоремы —V/о(я) = А$х, У/^я) = А\Х. Тогда, если Ао — устойчивая матрица, то и А\ будет устойчивой матрицей. Справедливо равенство для минимального числа образующих кусочно-линейной функции Ляпунова

I/(50) = 1/(50.

Вторая глава посвящена исследованию задач управления системы обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии фазовых ограничений. Подобная задача возникла давно Она, с одной стороны, чрезвычайно важна для практики, так как фазовые ограничения демонстрируют то, что фазовая траектория должна находиться все время движения в заданном подмножестве фазового пространства. Это может быть обусловлено ограниченными возможностями самой системы (например, летательный аппарат обязан все время находиться над поверхностью земли, а организм летчика, управляющего самолетом, не может переносить перегрузки выше определенной нормы, управляемый автомобиль не

С.В. Емельянов, С.К. Коровин, H.A. Бобылев, A.B. Булатов. Гомотопии экстремальных задач. —М.: Наука, 2001 с. 281 может покидать некоторую заранее заданную территорию и т.д.). В физике задачи с фазовыми ограничениями возникают при исследовании многомерных систем с гистерезисными нелинейностями, при описании электрических цепей с диозными и тиристорными преобразователями и во многих других процессах.

В то же время, как показало развитие теории управления, с математической точки зрения исследование задачи управления с фазовыми ограничениями весьма сложно и трудоемко. Даже доказательство принципа максимума Понтрягина, являющегося традиционным методом исследования задач оптимального управления, требует применения весьма сложной математической техники. В то же время, как показано в первом параграфе второй главы, принцип максимума Понтрягина в своей классической формулировке для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями может вырождаться(т.е. выполняется тривиальным образом для любой допустимой траектории), что делает его непригодным для применения. Поэтому во второй главе избран другой путь, основанный на исследованиях множества достижимости изучаемой динамической системы с фазовыми ограничениями. Сформулируем основные результаты второй главы.

Итак, рассмотрим управляемую систему, вида

Ц- = /(*) + В(х)и.

9)

Здесь

X =

Ялг

Ьп(х 1, . . ,Хм) . . . Ьцс(х1, . . .,Хн) ' «1 '

В(х) = и = :

Ьм(хи. •,хдг). • • Ъхк(х 1, • • •, хн) , 1Д/ ик

Вектор х Е назывем фазовым вектором системы, а и Е Ик — управлением.

Значения управляющих воздействий, которые предполагаются кусочно-непрерывными функциями, лежат в некотором множестве и С Сами управляющие компоненты вектор-функции /(х) и матрицы-функции Ь(х) будем считать липшицевыми

Зададим начальное условие для определения решения уравнения (9) х(г0) = х0. Для простоты будем считать, что ж(0) = 0.

Зададим, далее, некоторый момент времени Т.

Множество кусочно-непрерывных управлений гг(^), определенных на промежутке [0, т] и принимающих значения в множестве 17 С обозначим через Ы{т). Для каждого управляющего воздействия и(г) еи (о < г < т) задача Коши пх)+в(х)им ж(0) = 0 имеет единственное решение, которое мы обозначим через

ЩТ)= и и р(Г;«(Г)) (И) о<г<т и(г)еы(т) называется множеством достижимости из точки 0 управляемой системы (9).

В приложениях часто приходится рассматривать систему (9) не на всем пространстве Б/^, а лишь на некотором множестве с? с к", т.е. рассматривать задачу йх

Пусть Управление

Л = /(*) + В(х)и иеи хев х(0) = о. о е т! е.

12) и(г) е ы{т) (о < т < г) называется допустимым, если отвечающая ему траектория системы (9) лежит в множестве ("?. Множество всех допустимых управлений для заданного момента т обозначим через У(т). По определению, справедливы включения

У{т)сЫ{т) (0 <т<Т).

Т>с(Т)= и и Р(тМт)) (13)

О<т<Т и{1)£У(т) называется множеством достижимости за время, не превосходящее Т, из нулевой точки в задаче (12).

Будем считать,что граница дС? множества £ гладкая. Зафиксируем точки х 6 с?(7 и обозначим через п(х) вектор единичной внешней нормали к дС в точке х.

Теорема 5. Пусть выполнено следующее условие

Л*? Й^М'Л*)+ > (14)

Тогда справедливо равенство

VG(T)=V(T)nG. (15)

Замечание 1.

Если U — компактное множество (т.е. U — ограниченно и замкнуто), то в этом случае все решения задачи Коши (10) на промежутке [0,Т] при всевозможных u{t) 6 U лежат в некотором шаре В(Я) С RA. В этом случае теорема 5 допускает следующее уточнение.

Теорема 6. Пусть выполнено следующее условие min min(n(x).f(x) + В(х)и) > 0. (16) xedGf\B{R) u£UK к J,J к ' w ' v '

Тогда справедливо равенство

Vc(T)=V(T)nG. (17)

В ряде случаев фазовые ограничения задаются системой неравенств

1М <О,.,0ь(а?) <0, (18) где д\{х),. ,дк{х) — некоторые функции, т.е. множество О определяется формулой в={хеВ/г :д{(х) <0, ¿ = 1,.,*}. (19)

В этом случае задачу с фазовыми ограничениями будем записывать в виде % = /(*) + В(х)и, и еи, ' (20) дх(х) < 0,. ,дк(х) < 0.

Сформулируем модификацию теоремы 5 на этот случай.

Пусть х £ (2. Обозначим через 1{х) — множество таких индексов г, для которых д{( х) = 0.

Множество 1{х) отвечает активным ограничениям, т.е. если для некоторого х

1{х) ф 0, то х е дв, где С? определяется формулой (19). Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть выполнено условие тах т£(Удг-(а;),/(а;) + В(х)и) > 0.

Тогда

VG{T)=V(T)nG. Рассмотрим случай линейной управляемой системы йх йЬ Ах + В • и иеи.

Здесь и •• • «1ЛГ ' XI '

А = х = : (¿N1 • • ■ аия . ХК .

Ъп . - к ' щ '

В = и = :

Ьи 1 • . Ь^к . ик . и — некоторое множество в Г1К. Начальное условие положим нулевым: ж(0) = 0.

Пусть, далее, Т > 0 — некоторый фиксированный момент времени.

Пусть матрица А — симметрическая:

А = А*.

Пусть, далее ео — нормированный собственный вектор матрицы А, которому отвечает простое положительное собственное значение Ао:

Ае о = Аоео*

Обозначим через Е0 — одномерное подпространство, натянутое на ео, а через Е° — ортогональное дополнение к ео. Определим фазовое ограничение в задаче (21) неравенством = {жеН":(а:,ео)<С}, где С > 0. Таким образом, наша задача принимает вид и € 1Г, (х,е0) < С, *(0) = 0.

22)

Пусть Т>с(Т) — область достижимости в задаче (22). Приведем условия, при которых vG(т) = v(T) п где Т>(Т) — область достижимости в задаче без фазовых ограничений. Они имеют вид.

Ы [СХ0 + (е0, Ви)] > 0.

Рассмотрим теперь случай линейной управляемой системы с линейным фазовым ограничением общего вида

Гж = Лх + Вщ иеи,

Х1а) < ь, я(0) = 0.

23)

Здесь а € КА — некоторый фиксированный вектор, Ь — некоторое фиксированное число. Относительно матрицы А мы снимем предположение о ее симметричности, а будем предполагать, что множество II С компактно и лежит в некотором шаре с центром в начале координат пространства и радиуса г: и С В (г) = |М| < г}.

Оценим радиус шара с центром в начале координат пространства в котором лежат все траектории при 0 < I < Т задачи Коши

Ш = Ах + Ви

И ^ (24) ж(0) = О при всевозможных и{Ь) (0 <t <Т), лежащих в £/: и(0 Е 11 (О <Ь<Т).

Оказывается, все траектории задачи Коши (24) при всевозможных управлениях «(£) Е II на промежутке [О,Т] лежат в шаре В (Я) С ВА радиуса

Я = Т • \\В\\ - г • в1И1г.

Рассмотрим теперь границу области фазовых ограничений

0 = {хвПм :(х,а) <Ь},

Эта граница является гиперплоскостью

11 = {х еП" : {х,а) = Ь].

Вектор внешней нормали к П — это вектор а. Рассмотрим пересечение П с шаром В (Я), радиус которого определен формулой (24):

Пусть при х G П П B(R) выполнено неравенство

Ах, а) + inf(Bu,a) > 0.

Тогда область достижимости Vq{T) в задаче (23) совпадает с пересечением области достижимости Т>(Т) в задаче без фазовых ограничений с полупространством

Па,б = {®€11*:(:е,а)<Ь}.

Верна также следующая теорема Теорема 8. Пусть выполнено следующее условие inf infЫх), fix) + В(х)и) > 0. xedGnv(T) иеик v ' v ' '

Тогда справедливо равенство

T>g{T) = V(T) П G.

Основные результаты главы 2 посвящены построению множества достижимости для задачи управления с фазовыми ограничениями. Основные теоремы второй главы содержат условия, позволяющие строить множество достижимости для задачи управления с фазовыми ограничениями, если известно множество достижимости для подобной задачи без фазовых ограничений для различных типов задач. Таким образом, весьма непростая задача построения множества достижимости для задачи управления с фазовыми ограничениями может быть сведена к гораздо более хорошо изученной.

Список публикаций по теме диссертации

1. Бобылева О.Н. Области достижимости управляемых систем в задачах с фазовыми ограничениями // Дифференциальные уравнения, 2002, том 38, Я 11, с. 1563 - 1564.

2. Бобылева О.Н., Пятницкий Е.С. Кусочно-линейные функции Ляпунова и локализация спектра устойчивых матриц // Автоматика и телемеханника, N 9, 2001, с. 25 - 36.

3. Бобылева О.Н. О кусочно-линейных функциях Ляпунова линейных стационарных систем // Автоматика и телемеханника, Ai 4, 2002, с. 26 - 35.

4. Бобылева О.Н. К проблеме построения областей достижимости управляемых систем при наличии фазовых ограничений // Нелинейная динамика и управление, вып. 2. М.: Физматлит, 2002, с. 329 - 332.

5. Бобылева О.Н. Оценки числа образующих кусочно-линейных функций Ляпунова линейных систем // Труды института. Том XVII. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 2002, с. 10 - 19.

6. Бобылева О.Н., Пятницкий Е.С. К проблеме локализации спектра устойчивых матриц // Труды Института проблем управления РАН. 2001. Том. XII. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 2001, с. 70 - 80.

7. Бобылева О.Н. Об одной характеристике устойчивых линейных систем. // Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Тезисы докладов. Москва, РУДН 2002, с. 15.

Заключение

Первая глава диссертации посвящена вопросам устойчивости линейных стационарных систем и локализации спектра устойчивой системы с использованием аппарата, основанного на использовании кусочно-линейных функций Ляпунова. При исследовании кусочно-линейной функции Ляпунова рассматривается одна из ее характеристик, а именно, число ее образующих. При доказательстве основных результатов главы использовались свойства так называемых порождающих многогранников функции Ляпунова. В качестве вспомогательных результатов в главе 1 формулируются условия, гарантирующие, что некоторая кусочно-линейная функция будет являться функцией Ляпунова для системы, а также условия для порождающих многогранников, обеспечивающие, что некоторый выпуклый многогранник будет порождающим многогранником для некоторой кусочно-линейной функции Ляпунова. В качестве основных теорем сформулированы результаты, устанавливающие связь числом образующих кусочно-линейной функции Ляпунова и расположением спектра системы. В частности, теорема 1 позволяет установить угловую область, в которой целиком расположен спектр исследуемой системы, если удается построить функцию Ляпунова с минимальным числом образующих. Аналогичная первой теорема 2 устанавливает связь между угловой областью, в которой содержится спектр системы и конечным (не обязательно минимальным) числом образующих.

Вторая глава работы исследует некоторые вопросы теории управления. Вводная часть главы 2 посвящена проблеме, с которой иногда можно столкнуться при решении задач управления с фазовыми ограничениями с помощью принципа максимума Понтря-гина. Наличие фазовых ограничений может привести к существенным вычислительным трудностям, а также может обеспечить вырождение принципа максима. Поэтому исследуется построение множества достижимости для задачи управления с фазовыми ограничениями, что может быть полезно в некоторых случаях, когда принцип максимума Понтрягина становится неинформативен из-за наличия фазовых ограничений.

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

2. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления I, II, III // АиТ. 1986. 3, 4, 5. С. 63 73, 5 - 15, 38 - 49.

3. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Критерий устойчивости и селекторно-линейных дифференциальных включений // ДАН СССР. 1987. Т. 297. 1. С. 37 40.

4. Molchanov А.P., Pyatniskiy Ye.S. Criteria of asymptotic stability of differential and difference inclusions encountered in control theory // Systems and Control Letters. 1989. No 13. P. 59 64.

5. Рокафеллар P.T. Выпуклый анализ. M.: Мир, 1973.

6. Никайдо Ч. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.

7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.

8. Hirsch A. Sur les racines d'une equation fondamentale // Acta Math. 1902. 25. P. 367 370.

9. Schur I. Uber die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen // Math. Ann. 1909. 65. S. 488 510.

10. Browne E.T. The characteristic roots of a matrix // Bull. Amer. Math. Soc. 1930. 36. P. 705 710.

11. Perron О. Theorie der algebraischem Cleichungen. Berlin: De Gruyter, 1933.

12. Brauer A. Limits for the characteristics roots of a matrix // Duke Math J. 1946. 13. P. 387 395.

13. Desplanques J. Theoreme d'algebre // J. de Math. Spec. 1887. 9. P. 12 13.

14. Гершгорин C.A. Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // ИАН СССР, сер. физ.-матем. 1931. С. 749 754.

15. Fan Ку. Note on circular disks containing the eigenvalues of matrix // Duke Math. J. 1958. 25. P. 441 445.

16. Frobenius G. Uber Matrizen aus positiven Elementen // Sitzungs-ber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 1908. P. 471 476.

17. Маркус M., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.

18. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

19. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М.: Изд —во АН СССР, 1963. —140 с.

20. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования (обзор) // ЛиТ. — 1968. — 6. — С. 5 —36.

21. Либерзон М.Р. Новые результаты по абсолютной устойчивости нестационарных регулируемых систем (обзор) // ЛиТ. — 1979 — 8. — С. 29 —48.

22. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости и движения. —М.: Физматгиз. 1959. — 211 с.

23. Пятницкий Б.С. О равномерной устойчивости при параметрических возмущениях // Дифференц. уравнения. — 1973/ — Т. 9, 7. — С. 1262 —1274.

24. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивоть нестационарных нелинейных систем // Лит. — 1970/ — 1. — С. 5 —15.

25. Молчанов А.Н. Пятницкий Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. I —III // ЛиТ. — 1982. — 1. —С. 19 —27; 2. — С. 17 —28; 3. —С. 29 —41.

26. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. —М.: Наука, 1985. — 224 с.

27. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978. —400 с.

28. Алимов Ю.И. О применении прямого метода Ляпунова с дифференциальным уравнением с неоднозначными правыми частями // ЛиТ. — 1961. — 7. —С. 817 —830.

29. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973. — 427 с.

30. Мейлахс A.M. О существовании функций Ляпунова для па-реметрически возмущенных линейных систем // Сложные системы управления. — Киев: Ин -т кибернетики АН УССР, 1980. —С. 11 —15.

31. Камецкий В.А., Пятницкий Е.С. Итеративный метод построения функций Ляпунова и его численная реализация на ЭВМ // ЭВМ в задачах управления: Сб. тр. — М.: Ин -т проблем упр., 1983 —С. 61 —74.

32. Демьянов В.Ф. Малоземов В.Н. Введение в минимакс. — М.: Наука, 1972. — 368 с.

33. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программировагния. — М.: Наука, 1976. —192 с.

34. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B., Оптимальное управление. — М.:Наука, 1979.

35. Арутюнов A.B. Возмущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Математический анализ. — 1989. — Т.27. —С. 147 —235/

36. Арутюнов A.B. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // Докл. АН СССР.

37. Арутюнов A.B., Асеев С.М. Принцип максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Невырожденность и устойчивость. // Докл. РАН. —1994. — Т.334, 2. —С. 134 —137

38. Арутюнов A.B., Асеев С.М., Благодатских В.И. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями // Мат.Сб. —1993/ —Т.184. 6. —С. 3 —32

39. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. —М.: Наука, 1969.

40. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах // Докл. АН СССР. —1959. —Т. 125, 3/ —С/ 475-478.

41. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. — М.:Изд-во МГУ, 1970.

42. Дубовицкий А.Я, Дубовицкий В.А. Необходимые условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограничений // УМН. —1985. — Т. 40, 2. —С. 175 — 176.

43. Дубовицкий А.Я, Дубовицкий В.А. Принцип максимума траекторий, границы которых лежат на фазовой границе. — Препр., Черноголовка, 1988.

44. Дубовицкий А.Я, Дубовицкий В.А. Условия поточечной нетривиальности принципа максимума в регулярной задаче оптимального управления // Тр. Ин-та прикл.мат.Тбил. ун-та. — 1988. —Т.27. —С. 1634 —1640.

45. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Изд. 2. М.: Наука, 1969.

46. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. Изд. 2. М.: Наука, 1969.

47. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

48. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

49. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

50. Арутюнов A.B., Асеев С.М. Принципы максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // Докл. РАН. 1994. Т. 334, 2. С. 134 137.

51. Емельянов С.В., Коровин С.К., Бобылев H.A., Булатов A.B. Гомотопия экстремальных задач. —М.: Наука, 2001. —350 с.