автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Гарантированное оценивание сигналов с ограниченными дисперсиями производных: исследования во временной и частотной областях

На правах рукописи

ГАРАНТИРОВАННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ДИСПЕРСИЯМИ ПРОИЗВОДНЫХ: ИССЛЕДОВАНИЯ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ

Специальность 05.13.01 "Системный анализ, управление и обработка информации (в технике и технологиях)"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения"

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Небылов Александр Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Челпанов Игорь Борисович;

кандидат технических наук, доцент Перлюк Владимир Владимирович

Ведущая организация - Федеральное государственное унитарное предприятие ЦНИИ «Электроприбор» -Государственный научный центр Российской Федерации.

Защита состоится 2005г. в ^5^часов на заседании дис-

сертационного совета Д 212.23302 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения" по адресу: Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, д. 67, ГУАП.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения".

Автореферат разослан "¿¿>" ЛОЛ^-Р 200¿г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор ^

Л.А. Осипов

£е>ъс8

1100409

з

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Во многих задачах управления и обработки информации приходится оценивать сигнал по зашумлешплм измерениям Применение методов оптимального оценивания наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью точного знания структуры и параметров моделей оцениваемого сигнала и шума В связи с этим широкое распространение получила теория роба-сшого оценивания, довольно полно представленная в современной литературе Укажем на работы отечественных авторов: А Б Курэйанского, Я 3 Цыпкина, Ф.Л Черноусько, А.Е. Барабанова, В А Бесекерского, A.B. Небылова, И.Б. Челпанова, Б.Т Поляка, Е Н. Розенвассера и др. Робастные системы можно синтезировать на основе теорий чувствительности или инвариантности, с использованием минимаксного или #«, подходов, путем загрубения моделей входных сигналов и других идей современной теории оценивания

В работе рассматривается робастный подход, основанный на задании априорной информации об оцениваемом сигнале (и, возможно, о шуме) в виде надежных числовых характеристик, таких как ограничения на дисперсии сигнала и некоторых его производных. Настроенная на них система обладает гарантирующими свойствами по отношению ко всем сигналам на входе, удовлетворяющим принятым ограничениям. Областью применения подобного роба-сгаого подхода являются все задачи, для которых актуальна проблема гарантирования точности, а ограничения на дисперсии производных сигналов являются естественными. Например, это характерно при радиолокационном сопровождении движущихся объектов, при управлении посадкой самолета или при съемке геофизических полей Модель в виде верхних ограничений на дисперсии производных адекватно описывает уходы гироскопов и ошибки инерциальных навигационных систем, а также такие возмущения как порывы ветра

В настоящее время построение подобной робастной системы проводится только в частотной области, где сводится к оптимизации ее частотной передаточной функции на основе достаточно сложного алгоритма. Эти обстоятельства не позволяют широко использовать предлагаемый робастный подход для решения практических задач.

Разработка алгоритма оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных, который расширяет возможности решения на его основе практических задачах, определяет актуальность темы выполненной работы

Идея диссертаиионнсш работы заключается в постановке задачи оценивания, когда заданы ограничения на дисперсии производных сигналов, в пространстве состояний при фиксированной неопределенности в модели и привлечении дня ее решения отработанного аппарата фильтрации во временной области, включая современную теорию Яз/Я«, фильтрации.

Цель диссертауионной работы - в рамках общей идеи решить задачу стационарной фильтращш сигнала с ограниченными дисперсиями производных на фоне белого шума и исследовать свойства полученного фильтра

Основные задачи

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи.

- формулирование исходной проблемы в пространстве состояний;

- выбор критерия оптимальности фильтра,

- определите структуры робастного фильтра,

- поиск удобного алгоритма синтеза фильтра;

- нахождение готовых решений для распространенных на практике случаев;

- исследование свойств робастного фильтра;

- разработка удобного для практического применения метода анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных.

Методы исследования В работе использовалась методы статистического и спектрального анализа, методы оптимальной линейной фильтрации, а также методы фильтрации в Я® постановке При анализе использовались методы математического моделирования.

Научим новизна

1 Доказано, что сигнал с ограниченными дисперсиями производных описывается в пространстве состояний, когда неопределенность модели заключается в спектре порождающего сигнала и значениях некоторых параметров

2 Показано, что задача синтеза робастного фильтра может быть решена путем НУЯ«, оптимизации передаточной функции

3 Определена самая простая структура робастного фильтра. Обосновано, что использование фильтра более сложной структуры нецелесообразно

4 Впервые получены аналитические решения задачи робастного оценивания для случаев ограничений нескольких дасперсий производных

5 Предложен метод выделения наиболее значимых из ограниченных дисперсий производных с использованием удобного графического способа путем построения логарифмических спектральных плотностей.

6. Выявлено, что фильтр, построенный при ограничении только на дисперсию л-ой производной, настраивается на нестационарную модель входного сигнала в виде и-кратно проинтегрированного белого шума

Практическая значимость работы

1 Разработанный алгоритм оценивания сигналов при ограничениях на дисперсии их производных упрощает процедуру синтеза робастного фильтра и расширяет область применения рассматриваемого робастного подхода

2 Представленный метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных показал, что зачастую лишь одна из них обеспечивает эту точность, в то время как ограничениями на остальные можно пренебречь. Это позволяет строить эффективные и надежные алгоритмы оценивания. Идея заключается в синтезе фильтра на основе одной значимой дисперсии производной, что усиливает его гарантирующие свойства и делает его малочувствительным в смысле точности оценивания к расстройкам в исходной модели, поскольку фильтр фактически настраивается на нестационарную модель сигнала в виде проинтегрированного белого шума

/

3 Предложенный алгоритм робастного оценивания был успешно применен для решения задачи авиационной гравиметрии при ограничениях на дисперсии аномалии и ее производной Показано, что робастный алгоритм гарантирует приемлемую точность оценивания аномалии и обеспечивает эффективное и надежное оценивание при работе в реальных условиях

4. Найденное представление исходной задачи в пространстве состояний и обоснование ее решения на основе Я2/Я,„ оптимизации передаточной функции открывают возможности для различного рода модификаций и усложнений исходной задачи, а также для построения нестационарного фильтра.

Апробация работы и реализация результатов

Основные научные и практические результаты по теме диссертации докладывались и обсуждались на IV и VI конф молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2002 и 2004 гг.), на заседании научно-методической комиссии ФГУП ЦНИИ «Электроприбор» (Санкт-Петербург, 23.04.04), на Шестой, Седьмой и Восьмой научных сессиях аспирантов ГУАП (Санкт-Петербург, 2003-2005 гг.), на 10-й Межд. студенческой олимпиаде по автоматическому управлению ВОАС'2004 (Санкт-Петербург, 2004 г.), на 16-м симпозиуме ИФАК по автоматическому управлению в аэрокосмических системах (Санкт-Петербург, 2004 г.), а также на 16-м Всемирном Конгрессе ИФАК (Прага, 2005).

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР но гранту Минобрнауки РФ "Сопоставительный анализ робастных и огггамаль-ных алгоритмов оценивания" № 53-3-661-1 и внедрены в ОАО НПП «Радар ММС» по НИР «Интеграция 1» в области создания радиоэлектронных следящих систем

Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами, копии которых даны в приложениях к диссертации

Публикации

Но материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, 2 работы принята в печать

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка из 107 наименований, приложений. Диссертация изложена на 152 страницах, содержит 22 рисунка и 7 таблиц.

Основные положения, выносимые на защиту

1 Алгоритм оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных на фоне белого шума

2 Аналитические решения задачи оценивания сигналов для различных комбинаций ограничений дисперсий сигнала и его двух первых производных.

3. Графический метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных.

4 Результаты решения задачи авиационной гравиметрии с позиции робастного подхода.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, ставится задача оценивания сигнала по зашумленным измерениям у(1) = + и(г); в которых сигнал и шум измерения л(г) предполагаются стационарными в широком смысле центрированными некоррелированными между собой случайными процессами Формулируются цель и задачи исследования, определяются основные этапы реализации поставленных задач.

В первой главе проводится анализ современного состояния проблемы оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных

Первый раздел главы посвящен важным для работы определениям. Здесь рассматриваются характеристики случайных процессов, подчеркиваются необходимые ограничения на спектрально-корреляционные характеристики для выполнения условий непрерывности и дифференцируемости случайных процессов, приводятся выражения, устанав: гиватощие взаимосвязь характеристик случайного сигнала и его производных, вводится понятие случайных сигналов со стационарными приращениями.

Во втором разделе проводится исследование класса оцениваемых сигналов, который обозначается в дальнейшем как Ф^4 Класс сш-налов составляют случайные сигналы, имеющие стационарные производные порядков от Ь до М, дисперсии которых ограничены значениями {Д <®, т.е. сигналы со спектральными плотностями, удовлетворяющими выражению— ( со2'5(®УЮ < £ , / = М>Ь> 0 (11) 2ж 3 '

—ОО

При этом случай, когда г = О, относится к самому сигналу Отметим, что вели-читал {О,}1^ являются ограничениями на обобщенные момента функции 5(0))

относительно четных степенных базисных функций

Здесь демонстрируются многообразие спектральных плотностей, для которых одновременно выполнены соотношения (11) (даже при условии знака равенства в них) и преимущество робастного подхода для оценивания сигналов В третьем разделе главы анализируется существующая процедура синтеза робастного фильтра в частотной облает (т с. фильтра, обладающего гарантирующими свойствами в установившемся режиме по отношению ко всем сигналам на входе из класса <?1 ), и подробно описываются шаги для ее реализации В целом задача состоит в оптимизации функционала вида:

Ь=ь

|>,со2' >|1-Я(/®)|2 1,(1.2) ,=Ь

где N - интенсивность белого шума измерений Структура передаточной функции фильтра #(/'(в) выбирается исходя из инженерных соображений при общей рекомендации, чтобы ее порядок был не менее М

Отмечается, что оптимизация (1 2) наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью выполнения поставленного ограничения, наличием локальных минимумов и большим числом свободных параметров.

Вторая глава является одной из основных. В ней разрабатывается новый алгоритм гарантированного оценивания сигналов с ограничетшыми дисперсиями производных на основе теории фильтрации во временной области

Здесь решается задача оценивания сигнала, о котором известна лишь его принадлежность классу <2^, когда имеется несколько зашуншенных измерений, в которых шум измерения предполагается белым шумом. В результате находится линейный стационарный фильтр, который обладает гарантирующими свойствами в установившемся режиме по отношению ко всем сигналам на входе из заданного класса входных сигналов.

Самостоятельным результатом проведенных исследований является найденный способ представления сигналов с ограниченными дисперсиями производных в пространстве состояний Доказывается, что если сигнал принадлежит классу <Р}?, то его спектральную плотность $(а>) можно представить в виде:

( М 1М

5(©) =

2>.А /

(2.1)

где {с,}^4 [с2'] - произвольные положительные размерные коэффициенты,

си= 1 сж, а 5„(ю) - некоторая спектральная плотность, имеющая размерность времени (измеряется в [с]) и удовлетворяющая условию

00

[5и,((й)£/то <; 1.

1 00

гк

В результате любой сигнал, для когорого справедливы принятые ограничения на дисперсии производных, описывается уравнениями вида-

А(Г) = +ВЧО.

г(Г)= Сс(Г),

где А, В, С - постоянные (А, В - неоднозначные) матрицы соответствующих размерностей; х(г) - состояние системы, м<(г) - входной сигнал неизвестного спектра и ограниченной единицей дисперсией; г(/) - выходной сигнал.

В целом представление (2.1) позволяет сделать вывод о том, что неопределенность в модели сигнала, который необходимо оценить, заключается в спектре порождающего сигнала №(г) и значениях некоторых параметров Порядок модели оцениваемого сигнала равен М, а число свободных параметров в модели на единицу меньше числа заданных дисперсий производных.

На основе этого результата формулируется задача оценивания сигнала при наличии неопределенности в его модели на фоне белого шума в виде:

s

¿(0= Mt) +Bw(t),

z(t) = Cxx(t), (2 2)

><i)= C2x(t) +Dn{t),

где w(t) - одномерный центрированный порождающий шум неизвестного спектра и ограниченной единицей дисперсией; y(t) - р -мерные измерения, z(t) -сигнал, который необходимо оценить; n(t) - р -мерный, независящий от w(f) цешрированный белый шум измерения единичной интенсивности Предполагается, что начальное состояние системы (2 2) известно и равно лг(0)=0

Необходимо найти линейный стационарный фильтр F, который оценил бы сигнал z по зашумленным измерениям z-Fy Ошибка оценивания z = z - z представляется в виде.

Наиболее распространенным является выбор фильтра F из соображений минимизации дисперсии ошибки, однако при условии, что спектр сигнала vt<i) неизвестен, вычислить ее невозможно, но поскольку сигнал w(i) имеет ограниченную дисперсию можно вычислить оценку сверху для дисперсии ошибки

(2-3)

где I • Ц^ и I • |2 обозначают #«, и #2 нормы передаточной функции. Именно Dj предлагается минимизировать при синтезе фильтра, что наделяет фильтр гарантирующими свойствами в установившемся режиме по отношению ко всем сигналам на входе из класса .

К фильтру F предъявляются минимальные требования' он должен быть устойчивым и для любого начального состояния _*(0) обеспечить l{t) 0 при t -> от, когда шумы w, п = О Фильтр, обладающий такими свойствами, называется допустимым фильтром. Как следует из литературных источников все допустимые фильтры для системы (2 2) задаются уравнениями

¿= Ах + К{у-С2х% z= Q(sXy-C2x),

где Q(s)eRH,0 - произвольное динамическое звено

В результате формулируется задача синтеза робастного фильтра Найти минимальное значение критерия оптимальности

4/ = mf{j(F,{c1}f ,) = !1Г?Х+17т»!2 F-допустимый фильтр], (2.5)

фильтр F' и коэффициенты , при которых J^F*j^V

Самым простым допустимьш фильтром для системы (2 2) является фильтр со стандартной калмановской структурой FK (фильтр (2 4) при Q(s) = 0).

Из литературных источников известно, что выражение (2 3) минимизируется иррациональной функцией, поэтому поиск оптимального решения в классе дробно-рациональных функций приводит к фильтру, порядок которого стремится к бесконечности Из чего следует, что поиск оптимального решения (2.5) не имеет смысла при решении прикладных задач, а важен только в целях нахождения минимально достижимой оценки сверху для дисперсии ошибки

Проведешпле в работе исследования показали, что при решении (2 5) можно ограничиться рассмотрением фильтров РУ. Вывод сделан на основе следующих заключений

- Решение многочисленных примеров показало, что рассмотрение фильтров более сложной структуры, чем Рк. точность оценивания существенным образом не повышает Объяснением этому может служить, в частности, малая чувствительность показателя точности (верхней оценки дисперсии ошибки) к варьированию передаточной функции фильтра

- Задачи Я2 или Я« оптимизации передаточной функции являются близкими к задаче Я2/Я„ оптимизации и решаются фильтром У'"к.

- Задача Я2/Яя оптимизации, когда Я2-норма заменяется верхней храницей, рассчитываемой на основе уравнения Риккати, которому удовлетворяет передаточная функция с ограниченной Я^-нормой, решается фильтром Рк

- Такие важные свойства передаточной функции фильтра, как ее поведение вблизи нуля, частота среза, скорость спадания в области высоких частот, которые в основном определяют качество оценивания, обеспечиваются фильтром ¡'\ Усложнение структуры фильтра приводит к усложнению лишь характера поведения его передаточной функции, при сохранении перечисленных свойств, что не может сильно повлиять на качество оценивания

На основе приведенных заключений задача синтеза робастною фильтра сводится к нахождению такого коэффициента усиления фильтра Рк и набора свободных параметров в выражении (2 1) при которых минимальна верхняя оценка дисперсии ошибки В общем случае задача решается численно, при этом удобно использовать пакет Мапав, поскольку он содержит стандартные функции для вычисления Я2 и Я» норм передаточных функций, а также встроенные процедуры поиска минимума функции нескольких переменных Следует отметить, что при анализе литературных источников было выявлено решение субоптимальной, по отношению к (2 5), задачи на основе выпуклой оптимизации при наличии линейных матричных ограничений

Примечательно, что в рамках нового алгоритма задачу оценивания сигнала с ограниченными дисперсиями производшлх на фоне белого шума можно рассматривать как задачу Н2/Н„ фильтрации, решаемую для сигнала со спектральной плотностью.

-М)(ш) =

и /м ' / ;=1

(а), (2 6)

где 5/(©) имеет размерность времени и обозначает спектральную плотность белого шума единичной интенсивности, а коэффициенты {с, выбраны таким образом, чтобы минимизировать (2 3)

Целесообразно подчеркнуть отличительную особенность решаемой здесь задачи оценивания, которая проявляется в ситуациях, когда в исходной задаче присутствуют несколько сигналов, представляемых ограничениями на спектральные моменты (1 1). Если в систему (2.2) входят два независимых сигнала с ограниченными дисперсиями и и^г), то минимизировать необходимо выражение:

что отличается от постановки задачи Я2/Я„ фильтрации, описанной в литературе

В заключение главы проводится сопоставление предлагаемого алгоритма синтеза робастного фильтра во временной области с разработанным ранее подобным алгоритмом в частотной области и демонстрируется, что новый алгоритм не противоречит существующему (поскольку в ходе синтеза фильтра в рамках нового алгоритма минимизируется (1.2)) и дополняет его новыми возможностями. Оба алгоритма обеспечивают одинаковую потегащально достижимую Б. Основное преимущество нового алгоритма заключается в том, что он позволяет обосновать структуру робастного фильтра, уменьшить число свободных параметров и проводить синтез фильтра с использованием стандартных процедур, встроенных в систему Матьав.

В третьей главе найдены аналитические решения задачи оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных дта наиболее распространенных на практике случаев. Здесь рассмотрены ситуации, когда для оцениваемого сигнала заданы: только и Д; только Д и Д, Д, А и Д. За основу

взят фильтр со структурой Рк.

Для каждого из разобранных случаев приводятся передаточные функции для робастных фильтров, и представляются аналитические выражения для целевых функций оптимизации, параметрами которых являются коэффициенты этих передаточных функций Демонстрируется методика, с помощью которой можно решить задачу робастного оценивания во многих других ситуациях. При этом в самом сложном из рассмотренных случаев, когда ограничены дисперсии сигнала и двух первых его производных, задача синтеза робастного фильтра сводится к нахождению минимума функции четырех переменных.

Следует обратить внимание, что аналитические решения для случаев, когда ограничена одна дисперсия производной, совпали с подобными решениями, обоснованными ранее в частотной области Аналитические решения для случаев ограничений нескольких дисперсий производных получены впервые.

Отметим случай, который может быть характерен для следящих систем, известны дисперсии первой Д и второй Д производных сигнала, а помеха является белым шумом интенсивности N Задача формулируется в виде:

и

¿1(Í) = x7(t), x2(t) = -cx2(t) + + Z)¡40, z(í) = x1(í), y(t) = x{(t) + y[Ñn(t) Уравнение оценки записывается следующим образом:

y(Q, ¿(0 = % СО-

Необходим о найти такой коэффициент усиления К = [ftj fcjf и весовой коэффициент с, при которых минимальна верхняя оценка дисперсии ошибки оценивания, которая в этом случае задается выражением вида:

4(c2Di +Р2)

¿1(0' II -кх 1 р!(0" + V

¿2(0. h.

ni(kl,k2,c) = -

I +к1с + к2

~2(с + А,)

2ч2 '

(с + /с, )2 -(с2 - k¡ у е2Р| + Д2

.fe+Vf

При

при

£2 + с2 < 2к2,

kf +сг*2кг,

что можно сделать численно для конкретных величин £>ь С2 и А'

В третьей главе рассматривается также случай оценки линейного преобразования измеряемого сигнала и демонстрируется, что в отличие от фильтра Калмана, который при имеющихся измерениях обеспечивает одновременно оптимальные оценки для всех составляющих вектора состояния, робастный фильтр обеспечивает оптимальное решение только для заданной С) в системе (2.2) В конце главы приводится обобщение задачи робастной фильтрации на случай цветного шума, а именно когда пгум измерения представляет собой смесь белого шума и цветного шума с известной спектральной плотностью

В четвертой главе исследуются свойства робастного фильтра, и разрабатывается метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных. Исследования здесь провидятся в частотной области

Идея сначала иллюстрируется на примерах, где в целях адекватного учета вклада в точность оценивания каждого из заданных спектральных моментов

{О^ робастные фильтры, построенные по каждому отдельному моменту и одновременно по всем заданным моментам, сопоставляются с фильтром оптимальным для спектральной плотности, обладающей моментами {П! ^

Рассмотренные в этой главе примеры демонстрируют, что задание априорной информации в виде нескольких числовых характеристик (11) дает возможность синтезировать фильтр, по точности лишь немного уступающий оптимальному, для которого задается кривая спектральной плотности (в пределах 20-25% по среднеквадратической ошибке) При этом обычно только один го моментов обеспечивает эту точность, в то время как ограничениями на остальные можно пренебречь Поэтому важно уметь анализировать имеющуюся априорную информацию И такую возможность предоставляет новый алгоритм

В рамках предложенного алгоритма спектральную плотность, на которую настраивается робастный фильтр, (2 6) можно трактовать, как комбинацию с весовыми коэффициентами подобных моделей для каждого из заданных спектральных моментов- - ¡р, /о>2' )$/(оУ), которые представляют собой г-кратно проингарированные белые шумы При оценивании сигнала коэффициенты {с, принимают значения, характеризующие всс информации, которую предоставил о сигнале соответствующий спектральный момент Оптимальные значения этих коэффициентов зависят как от конкретных значений моментов, так и от уровня шумов измерений, и могут быть найдены только в ходе синтеза фильтра Очевидно, что при таком рассмотрении, если ; -ый спектральный момент оказал наибольшее влияние на синтез робастного фильтра, то спектральная плотность (2 6) будет стремиться к Таким образом, построив в логарифмическом масштабе эти функции, можно наглядно оценить, какой момент имеет наибольшее значение, и какой вклад внесли остальные Например, на рис. 1 под буквой (а) представлен вариант, когда при уровне шума N из трех заданных спектральных моментов £>о, и П2 наибольший вес имеет Вариант (Ь) соответствует случаю, когда уровень шума ниже, и основной вес приобретает момент 02 Между обозначенными вариантами существует ситуация, когда важна информация об обоих спектральных моментах и 02, которая

отображается тем, что до точки пересечения кривых 5®(со) и кривая

^(0,1,2)^ повторяет кривую а после - кривую

На следующем шаге предлаг ается отказаться от ограничений на незначимые дисперсии производных Подобный шаг является принципиальным, поскольку ограничения на эти дисперсии не оказывают значительного влияния на точность оценивания, но зато значительно ухудшают робастные свойства фильтра Это связано с тем. что фильтр, построенный при ограничении на одну

Рис. 1. Логарифмические спект- Рис 2 Зависимость ошибки от а при ральные плотности р = 2ж с"1; а = 1 м; N = 0.01 м^с

дисперсию производной, не только обладает гарантирующими свойствами по отношению к сигналам, у которых дополнительно ограничены дисперсии производных и других порядков, но и настраивается на нестационарную модель входного сигнала в виде я-кратно проинтегрированного белого шума.

Приведенная рекомендация хорошо согласуется с различными исследованиями в области построения надежных и простых алгоритмов обработки сигналов, которые показывают, чго использование моделей в виде я-кратно проинтегрированного белого шума является практичным, и разработчики нередко путем аппроксимаций спектральных плотностей прибегают к этому приему В гаком рассмотрении дополнительным преимуществом предлагаемого робастного подхода является его одновременно хороший учет свойств самого оцениваемого сигнала.

Для подтверждения приведенных соображений на примере робастного фильтра, построенного для Д, и фильтра оптимального для дифференцируемого марковского процесса второго порядка, которым можно описать, в час-тотносги, изменение высоты объекта при заданных дисперсии (а ), преобладающей частоте (¡5) и коэффициенте затухания (а), проанализирована чувствительность фильтров к изменению характеристик оцениваемого сигнала При этом изменялся параметр а на интервале 0 1 - 15 с'1. Результаты представлены на рис 2, где кривой 1 соответствует ошибка оптимального фильтра, построенного при а = 1 с'1; кривой 2 - ошибка робастного фильтра для

В\ = <т2 (а2 +Р2), где а = 1 с1 (показана точками), а кривой 5 - ошибка фильтра оптимального для текущего значения параметра а Здесь также приведены зависимости ошибок доя других широко известных робастных фильтров минимаксного фильтра (кривая 4) и //„-фильтра при а = 1 с' и у = 0 12 (кривая 3) Из рисунка следует малая чувствительность робастного фильтра.

В целом выполненные в четвертой главе исследования показывают, что рассматриваемый робастный подход может быть широко использован для построения эффективных и надежных алгоритмов оценивания сигналов

В пятой главе предлагается решение задачи авиационной гравиметрии - определения аномалии ускорения силы тяжести (УСТ) на летательном аппарате при использовании измерений гравиметра и данных об изменениях высоты от спутниковой навигационной системы (СНС), работающей в фазоводифференциальном режиме - на основе идей, предложенных в диссертационной работе.

Актуальность применения робастного подхода к этой задаче обусловлена тем, что при съемке гравитационного поля с самолета важной является проблема задания модели для аномалии, поскольку амплитуда и спектр аномалий значительно искажаются при изменении высоты. Идея заключается в построении фильтра по надежным числовым характеристикам, в качестве которых выбраны ограничения на дисперсии аномалии Во и ее производной В1

С целью исключения из показаний гравиметра неизвестной составляющей вертикального ускорения носителя формируется разность между вторым

интегралом показаний гравиметра и измерением высоты от СНС. Задача заключается в оценивании аномалии £ по измерениям.

где 5g - ошибки гравиметра (белый шум с интенсивностью Я = (5мГал)2с), Ък - ошибка измерений от СНС (белый шум с интенсивностью Я/, =(0,005м)2с)

Для аномалии рассматриваются три модели: модель Джордана (которая широко используется в задачах, требующих статистического описания аномалии УСТ, и соответствует стационарному марковскому процессу 3-го порядка); винеровская модель (или проинтегрированный белый шум, самая простая из возможных) и модель, заданная в виде двух числовых характеристик А Соответствующие им спектральные плотности представлены на рис За, а ам-гоштудао-частшные характеристики (АЧХ) фильтров на рис 36.

Из представленного рисунка следует, что АЧХ но ускорению робасшого

фильтра Нгию) = Яг(_?(9)/(_/(о)2 и фильтра, настроенного навинеровскую модель, по своему виду напоминают классический низкочастотный фильтр. Это обстоятельство делает их, в отличие от фильтра оптимального для модели Джордана, малочувствительными в смысле точности к изменению распределения мощностей сигнала или помехи по частоте. Что подтвердилось при исследовании работы фильтров в условиях изменения значения градиента поля.

Проведенное сопоставление по точности показало (табл 1), что для трех выбранных значений градиента - 10, 5, 3 мГал/км проигрыш в точности оценивания робасгным фильтром аномалии, описываемой моделью

ни ни 1<Н -10* -

-I---■-1-1-л

^(вО^Ч^^в, (ш) , -

10" ю1

---

|#г0®)|

1<И 10' 10" 105 ю-г ю> 1 ""

рад/с и

а) б)

Рис 3 Решение задачи авиационной гравиметрии при градиенте поля ЮмГал/км, дисперсии (ЗОмГал)2, скорости носителя 50м/с а) - спектральные плотности аномалии и помехи, б) - АЧХ фильтров по ускорению. 5(<в), Я(_/ю) -соответствуют модели Джордана, З^со), Нц, (]«>) - соответствуют винеровсхой модели; $г(юХ Яг(/ю) - соответствуют модели в виде числовых характеристик

Таблица 1

Среднекв адратические ошибки оценивания / сглаживания аномалии УСТ, мГал

, мГал/км 3 5 10

Фильтр оптимальный для модели Джордана, се 2/0,3 3,1 / 0,5 5,5/1,0

Фильтр оптимальный для винеровской модели, ое 2,9/ 1Д 4,4/1,8 7,8 / за

Робастный фильтр, 2,85 / 0,9 4,1 / 1,3 6,7/2,2

Робастный фильтр, аег 2,8 / 0,6 3,9/1,0 6,4/1,7

Джордана, (пег) по сравнению с оптимальным фильтром для этой модели составляет 16, 28, и 40 % соответственно При этом фильтр, настроенный на ви-неровскую модель, имеет ошибку большую, чем даже верхняя оценка ошибки <те, которую обеспечивает робастпый фильтр, и которая не будет превышена для всех входных сигналов, удовлетворяющих принятым ограничениям на дисперсию В0 и дисперсию производной А

Следует отметить, что при припяггых исходных данных знание величины Аз практически не оказывает влияние на точность оценивания аномалии, что подтверждается рис За, и ограничение на дисперсию аномалии было снято. Это означает, что робастный фильтр настраивается на модель аномалии в виде проинтегрировашюго белого шума.

В пятой главе дополнительно исследуется возможность построения роба-стного фильтра для оценивания аномалии, когда при обработке могут быть использованы не только прошлые, но и будущие относительно текущей точки измерения (задача сглаживания) Робастный сглаживающий фильтр реализовыва-ется путем пропускания исходного измерения через физически реализуемый фильтр с передаточной функцией а затем обработки в этом же фильтре в обратном времени полученной оценки При этом структура М'а®) выбирается совпадающей со структурой фильтра, полученного при решении задачи робаст-ной фильтрации, т е передаточная функция робастного сглаживающего фильтра представляется в виде:

я; (т®) = Яг'ОюХ;ш)2 = У (-;а>Х»2,

где

О©)3 +/С10'а>)2 +/с20®) + /с3 Коэффициенты Щв>) выбираются исходя из минимизации Ое 2

Ое - вир -ооевкоо

1 1 <Г + со

+ 2я

ч

(кв

Одновременно осуществляется поиск оптимального значения коэффициента с Выявляется, что сто оптимальное значение близко к нулю и, следовательно, величиной Со можно пренебречь.

Примените;1ьн0 к задаче сглаживания получено, что различие в точности между робастаым фильтром и фильтром оптимальным для модели Джордана гораздо больше, чем при решении задачи фильтрации (табл 1) По точности ро-бастный фильтр проигрывает оптимальному фильтру примерно в два раза, но в то же время верхняя оценка ошибки сглаживания для робастного фильтра значительно ниже, чем ошибка, которую обеспечивает фильтр оптимальный для винеровской модели аномалии.

В целом из представленных результатов следует, что статистическую модель аномалии УСТ достаточно точно можно описать величиной дисперсии производной аномалии Но даже если существует некоторая неопределенность в значении этой числовой характеристики или ее нестабильность, то робастный фильтр будет надежно работать, поскольку является малочувствительным в смысле точности оценивания к изменению тех числовых характеристик, для которых он синтезировался.

В заключении сформулированы выводы по работе и обозначены основные направления для дальнейших исследований, к которым в первую очередь следует отнести: рассмотрение задачи оценивания, когда дисперсии производных характеризуют не только оцениваемый сигнал, но и шум измерения; разработку эффективного алгоритма для поиска минимума целевой функции оптимизации; построение нестационарного фильтра; решение задачи оценивания в дискретном времени.

В приложениях представлены тексты программ для расчета робастного фильтра для всех рассмотренных случаев, написанные для пакета МаЛсас! 200 И РгоГев-8юпа1, а также приведен с подробными комментариями текст программы в среде Матьав 6.5, которая использовалась для нахождения коэффициентов робастного фильтра при решении задачи авиационной гравиметрии.

Основные результаты работы

1 Продемонстрирована эффективность применения в задачах управления и обработки информации робастного подхода, основанного на оценивании сигналов при известных ограничениях на дисперсии их производных.

2 Проанализирована процедура синтеза и анализа точности робастного фильтра в частотной области, и обозначены основные трудности ее реализации

3. Разработан новый алгоритм гарантированного оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных на основе теории фильтрации во временной области, который включает в себя описание оцениваемых сигналов в пространстве состояний, обоснование структуры робастного фильтра, удобный способ анализа точности фильтра с использованием стандартных процедур, встроенных в систему Мап.ав.

4. Получены аналитические решения задачи оценивания для различных комбинаций ограничений дисперсий сигнала и его двух первых производных

5. Разработан удобный для практического применения графический метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных, основанный на построении логарифмических спектральных плотностей.

6. Исследованы свойства робастного фильтра и сформулированы рекомендации относительно построения эффективных и надежных алгоритмов оценивания сигналов.

7. Предложено решение задачи авиационной гравиметрии с позиции робастного подхода Показано, что для эффективного оценивания аномалии дос-1 а точно задания только величины дисперсии ее производной

Опубликованные работы по теме диссертации

1 Kulakova V.I, Nebylov А V , Stepanov О A Robust estimation versus optimal estimation and their application for airborne gravimetry // 16th IF AC World Congress (July, Prague), 2005.

2. Кулакова В.И , Небылов А В Гарантированное оценивание сигналов с ограниченными дисперсиями производных' типовые примеры аэрокосмических приложений // Авиакосмическое приборостроение - 2005 - № 12, в печати.

3 Кулакова В И , Небылов А.В Гарантированное оценивание сигналов с ограниченными дисперсиями производных // Автоматика и телемеханика, в печати.

4 Kulakova VI, Nebylov А V , Stepanov О A Application of the robust approach to the problem of airborne gravimetry II Ртос 16th IF AC Symposium on Automatic Control m Aerospace (St Petersburg), 2004 P 907-9)2

5. Кулакова В И Решение задачи авиационной гравиметрии при неполной априорной информации о модели аномалий // Сб докл VT конф молодах ученых «Навигация и управление движением» (март 2004) -СПб ФГУП ЦНИИ «Электроприбор» 2005. -С 99-105.

6 Kulakova V1 Robust and optimal solutions comparison for the airborne gravimetry problem // Proc of the 10111 International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad) St Petersburg, Russia May 26-28,2004 P. 199-203

7. Кулакова В И Гарантирование точности интегрированных измерителей параметров движения // Сб. докл. Шестой научной сессии аспирантов и соискателей ГУЛП (апрель 2003) СПб . 2003.-С. 46^7

8. Небылов А.В., Кулакова В И. Оптимизация интегрированных измерителей параметров движения // Сб трудов XI межд. научно-технич семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» -М: МГАПИ, 2002. -С. 369-370

9 Кулакова В И Робастный подход к исследованию интегрированных радиоинерциальных измерителей параметров движения // Материалы IV конференции молодых ученых «Навигация и управлением движением» (март 2002) / Гироскопия и навигация. - 2002. - № 3 -С. 126.

Формат 60x84 1\16 Бумага офсетная. Печать офсетная. _Тираж 100 экз. Заказ № 519_

Отдел оперативной полиграфии ГОУ ВПО «СПбГУАП» 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская , 67

Il í

h

»2 2 38 2

РНБ Русский фонд

2006-4 20308

ч »

А

Í

! I

I

Условные обозначения и сокращения.

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных

1.1. Взаимосвязь характеристик случайного сигнала и его производных.

1.2. Исследование класса оцениваемых сигналов.

1.3. Построение робастного фильтра в частотной области.

Выводы.

Глава 2. Алгоритм оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных во временной области

2.1. Описание сигналов с ограниченными дисперсиями производных в пространстве состояний.

2.2. Постановка задачи оценивания и выбор критерия оптимальности.,.

2.3. Структура робастного фильтра.

2.4. Решение задачи робастной фильтрации.

2.5. Связь временного и частотного подходов.

Выводы.

Глава 3. Аналитические решения и обобщения задачи робастного оценивания

3.1. Случай ограничения дисперсии первой производной сигнала.

3.2. Случай ограничений дисперсий сигнала и его первой производной.

3.3. Случай ограничения дисперсии второй производной сигнала.

3.4. Случай ограничений дисперсий первой и второй производных сигнала.

3.5. Случай ограничений дисперсий сигнала и двух первых производных.

3.6. Случай оценки линейного преобразования измеряемого сигнала.

3.7. Случай цветного шума.

Выводы.

Глава 4. Исследование свойств робастного алгоритма оценивания

4.1. Пример оценивания сигнала при ограничениях на дисперсии сигнала и его первой производной.

4.2. Пример оценивания сигнала при ограничениях на дисперсии его первой и второй производных.

4.3. Метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных, рекомендации относительно построения эффективных и надежных алгоритмов оценивания.

Выводы.

Глава 5. Решение задачи авиационной гравиметрии с позиции робастного подхода

5.1. Постановка задачи авиационной гравиметрии

5.2. Решение задачи авиационной гравиметрии с позиций оптимального и робастного подходов.

5.3. Построение робастного фильтра для задачи авиационной гравиметрии при возможности пост-обработки.

5.4. Выводы о целесообразности применения робастного подхода для решения задачи авиационной гравиметрии.

Во многих задачах управления и обработки информации приходится оценивать сигнал по зашумленным измерениям. Для расчета динамических свойств (т.е. передаточных функций) систем, перед которыми ставится задача оценивания сигнала на входе, привлекается теория фильтрации. В рамках теории фильтрации задача сводится к синтезу фильтра на основе имеющихся априорных сведений об оцениваемом сигнале и шуме, а также выбранном критерии оптимальности.

В диссертационной работе рассматривается задача оценивания сигнала, когда в измерениях y(t) = s{t) + n(t) полезный сигнал s(t) и шум измерения n(t) предполагаются некоррелированными между собой стационарными в широком смысле центрированными случайными процессами. Для описания сигнала и шума используются стохастические модели (спектральные плотности или корреляционные функции), и сведения о законах распределения сигнала и шума не привлекаются. В связи с этим для получения оценки используется линейный фильтр. Полагается, что существует установившееся решение задачи фильтрации, означающее, что ошибка оценивания e{t) = s{t)-s{t), где s(t) - оценка сигнала, является стационарным процессом.

При точном знании структуры и параметров моделей оцениваемого сигнала и шума для решения задачи оценивания используются методы оптимальной линейной фильтрации, когда минимизируется среднеквадратическая ошибка

При этом фильтр может быть синтезирован как в частотной (фильтр Винера), так и во временной (фильтр Калмана) областях [35, 36, 12]. Отметим, что, учитывая центрированность ошибки линейного фильтра при центрированных сигнале и шуме, минимизация среднего квадрата ошибки равносильна минимизации ее дисперсии De.

В прикладных задачах часто возникает ситуация, когда отсутствует точная информация о структуре или параметрах моделей оцениваемого сигнала и шума. В таких случаях применение оптимального фильтра нередко приводит не только к отличию ожидаемых точностей от их реальных значений, но и к расходимости процесса фильтрации, когда ошибка фильтрации неограниченно возрастает [25, 66, 67].

Для преодоления этой проблемы фильтр синтезируют таким образом, чтобы обеспечить приемлемое качество его работы в условиях отличия действительных характеристик сигнала и шума от расчетных. Такие фильтры получили название робастных фильтров [7, 2, 25, 38]. Построению робастных алгоритмов для оценивания сигналов посвящено большое число работ, и по сей день эта область активно развивается. Отметим лишь некоторых из отечественных ученых, принесших вклад в развитие теории робастного оценивания: А.Б. Куржан-ского, Я.З. Цыпкина, Ф.Л. Черноусысо, А.Е. Барабанова, В.А. Бесекерского, A.B. Небылова, И.Б. Челпанова, Б. Т. Поляка, E.H. Розенвассера.

Среди всех робастных фильтров особый класс образуют гарантирующие фильтры, которые строятся из условия не превышения некоторой оценки сверху для дисперсии ошибки фильтрации при заданной неопределенности в модели и могут рассматриваться как обобщение стандартного оптимального фильтра на случай неопределенности в системе [38, 2, 31, 59, 61]. Среди гарантирующих фильтров широкое распространение получил минимаксный подход [25, 23, 32, 86, 27]. Довольно полным исследованием применения минимаксного подхода в задачах фильтрации в частотной области является статья А. Каа-сама и В. Пура [25].

Многие исследования посвящены построению гарантирующего фильтра с использованием аппарата фильтрации во временной области, когда существуют неопределенности матрицы динамики или интенсивностей шумов в описании формирующего фильтра для оцениваемого сигнала [22, 37, 86, 48]. Отметим работы отечественных авторов: С.П. Дмитриева [14], А.Е. Пелевина [45], их совместную работу [15], Тупысева В.А [56], зарубежных авторов Geromel J. С. [70], [71], U. Shaked и С. Е. de Souza [95], I. R. Petersen и С. MacFarlane [92], Sayed A.H. [94] и других [16,100, 103, 106, 69].

Гарантированного оценивания можно также достигнуть путем настройки фильтра на нестационарные модели, представляемые в виде я-кратно проинтегрированного белого шума [60, 43, 57]. При этом обеспечивается стабильная работа фильтров далее при кусочно-постоянном поведении реальных процессов, а ошибка фильтрации для стационарных процессов не превысит заранее известного уровня. И.Б. Челпановым, Л.П. Несенюком и М.В. Брагинским в работе [60] предложен способ задания модели сигнала в виде я-кратно проинтегрированного белого шума путем спрямления некоторой выбранной спектральной плотности полезного сигнала в точке ее пересечения со спектральной плотностью шума.

Большой интерес привлекли и Нт -фильтры, которые минимизируют максимальный пик спектральной плотности ошибки [89, 4, 96, 68, 72, 101]. Исследования показали, что Яи -фильтры являются малочувствительными в смысле точности оценивания к отличию действительных характеристик сигнала и шума от расчетных [97, 77]. Более того, -фильтры могут быть обобщены на случай неопределенности в модели [87, 65].

В диссертационной работе рассматривается робастный подход, главное отличие которого заключается в том, что априорная информация о сигнале ( и, возможно, о шуме) представляется только в виде числовых характеристик, таких как ограничения на дисперсии самого сигнала и некоторых его производных [38, 8, 40]. Дисперсии производных сигнала связаны с его спектральной плотностью S((£>) соотношениями вида [55]:

1 оо

D . =— i = ~bM, M>L> 0.

Xl 2% J оо

Отметим, что величины {/)А7- являются обобщенными моментами функции

О ' относительно базисных функций и,-(со) = со 1.

Таким образом, если для сигнала выполнены ограничения на дисперсии производных порядков от I до М, равные {Д}^, то для его спектральной плотности справедливы выражения:

-| со [ю2/£(Ю)£/Ю<£>., ¡ = Ь,М, М>Ь>Ъ.

2к -1 '

-00

Такая априорная информация обладает большой достоверностью и может быть получена исходя из эвристических, инженерных соображений даже не прибегая к анализу реализаций процесса. При этом фильтр, опирающийся на информацию лишь о нескольких таких верхних ограничений для дисперсий производных сигнала, гарантирует некоторую заранее заданную допустимую ошибку оценивания, которая не зависит от конкретного вида спектральной плотности сигнала. Этим объясняются робастные свойства такого фильтра.

Подобная априорная информация может показаться довольно скудной, однако в работах [83-85, 24, 29, 30, 41] показано, что такой фильтр обычно лишь немного уступает по точности оптимальному фильтру, построенному для некоторой спектральной плотности, обладающей моментами {Д-}^, и в то же время обеспечивает эффективное и надежное оценивание сигналов даже в условиях некоторой неопределенности или нестабильности самих значений моментов, по которым синтезировался робастный фильтр. Именно поэтому рассматриваемый робастный подход может найти широкое применение во многих задачах управления и обработки сигналов, например при радиолокационном сопровождении движущихся объектов, при управлении посадкой самолета или в задачах связанных с анализом геофизических полей. Модель в виде верхних ограничений на дисперсии производных адекватно описывает уходы гироскопов и ошибки инерциальных навигационных систем, а также такие возмущения как порывы ветра.

В.А. Бесекерским и A.B. Небыловым в работах [7, 38] разработан алгоритм построения фильтра в частотной области для оценивания сигнала, когда информация о сигнале и, возможно, о шуме измерения задана в виде дисперсий производных. Следует также отметить работу В.Н. Калиниченко, в которой развивается этот метод [79]. Согласно существующему алгоритму построение робастного фильтра сводится к оптимизации частотной передаточной функции фильтра, структура которой выбирается исходя из инженерных соображений, по критерию минимума верхней оценки для дисперсии ошибки в установившемся режиме. Сама задача оптимизации решается с использованием численных методов поиска экстремума функции. К сожалению, часто возникают сложности с поиском минимума функции, которые связаны со сложностью вычисления значений функции, наличием локальных минимумов и большим числом свободных параметров. Эти обстоятельства, а также то, что существующий алгоритм предоставляет возможность рассмотреть только установившийся режим оценивания, не позволяют широко использовать данный робастный подход для решения практических задач.

Отметим также работу Ю.Б. Коробочкина и О.Б. Куркина [27], в которой предлагается синтезировать подобный робастный фильтр, используя минимаксный подход, что приводит к иррациональным функциям. Такой подход не дает возможность рассматривать с его помощью сложные задачи.

Разработка алгоритма оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных, который расширяет возможности решения на его основе практических задачах, определяет актуальность темы выполненной работы.

Идея диссертационной работы заключается в постановке задачи оценивания, когда заданы ограничения на дисперсии производных сигналов, в пространстве состояний при фиксированной неопределенности в модели и привлечении для ее решения отработанного аппарата фильтрации во временной области, включая современную теорию Н21Нт фильтрации.

Цель диссертационной работы - в рамках общей идеи решить задачу стационарной фильтрации сигнала с ограниченными дисперсиями производных на фоне белого шума и исследовать свойства полученного фильтра.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- формулирование исходной проблемы в пространстве состояний;

- выбор критерия оптимальности фильтра;

- определение структуры робастного фильтра;

- поиск удобного алгоритма синтеза фильтра;

- нахождение готовых решений для распространенных на практике случаев;

- исследование свойств робастного фильтра;

- разработка удобного для практического применения метода анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных.

Выполненная работа состоит из трех основных частей:

1) исследования во временной области, которые проводятся с целью поиска нового алгоритма гарантированного оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных;

2) исследования в частотной области, где на основе результатов, полученных в первой части, исследуются свойства робастного фильтра, разрабатывается удобный для практического применения метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных, а также формулируются рекомендации относительно построения эффективных и надежных алгоритмов оценивания сигналов;

3) решение прикладной задачи, где предложенные в диссертационной работе идеи успешно применяются для решения задачи авиационной гравиметрии.

В работе использовалась методы статистического и спектрального анализа, методы оптимальной линейной фильтрации, а также методы фильтрации в Яет постановке.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных на фоне белого шума.

2. Аналитические решения задачи оценивания сигналов для различных комбинаций ограничений дисперсий сигнала и его двух первых производных.

3. Графический метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных.

4. Результаты решения задачи авиационной гравиметрии с позиции роба-стного подхода.

Научная новизна:

- доказано, что сигнал с ограниченными дисперсиями производных описывается в пространстве состояний, когда неопределенность модели заключается в спектре порождающего сигнала и значениях некоторых параметров;

- показано, что задача синтеза робастного фильтра может быть решена путем Я2/Ям оптимизации передаточной функции;

- определена самая простая структура робастного фильтра. Обосновано, что использование фильтра более сложной структуры нецелесообразно;

- впервые получены аналитические решения задачи робастного оценивания для случаев ограничений нескольких дисперсий производных;

- предложен метод выделения наиболее значимых из ограниченных дисперсий производных с использованием удобного графического способа путем построения логарифмических спектральных плотностей;

- выявлено, что фильтр, построенный при ограничении только на дисперсию п-ой производной, настраивается на нестационарную модель входного сигнала в виде я-кратно проинтегрированного белого шума.

Материал диссертационной работы изложен следующим образом.

В первой главе проводится исследование класса оцениваемых сигналов. В ней демонстрируются многообразие сигналов, для которых одновременно выполнены ограничения на дисперсии производных, и преимущество робастного подхода для оценивания сигналов. Анализируется процедура синтеза и анализа точности робастного фильтра в частотной области, и обозначаются основные трудности ее реализации.

Вторая глава является одной из основных. Здесь разрабатывается новый алгоритм гарантированного оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных на основе теории фильтрации во временной области.

Самостоятельным результатом проведенных исследований является найденный способ представления сигналов с ограниченными дисперсиями производных в пространстве состояний. Его вывод описан в первом разделе главы, где показано, что любой сигнал с ограниченными дисперсиями производных может быть получен путем пропускания порождающего сигнала с ограниченной дисперсией через формирующий фильтр, причем порядок фильтра не превышает порядка старшей дисперсии производной, имеющей ограниченную дисперсию. Это позволяет описать любой сигнал, удовлетворяющий принятым ограничениям на дисперсии производных, в пространстве состояний, когда неопределенность модели заключается в спектре порождающего сигнала и значениях некоторых параметров.

Во втором разделе главы ставится задача оценивания такого сигнала на фоне белого шума, и устанавливается критерий, по которому выбирается фильтр среди всех допустимых фильтров, как верхняя оценка для дисперсии ошибки оценивания. Эта верхняя оценка складывается из квадрата Н2 -нормы передаточной функции от белого шума измерений к ошибке оценивания и квадрата -нормы передаточной функции от порождающего сигнала с ограниченной дисперсией к ошибке оценивания.

В третьем разделе определяется самая простая структура робастного фильтра, и приводится обоснование, что использование фильтра более сложной структуры нецелесообразно. На основе этого заключения в четвертом разделе главы описывается алгоритм синтеза робастного фильтра, который по сравнению с алгоритмом в частотной области обладает меньшим числом свободных параметров и обеспечивает более простой способ вычисления значений целевой функции оптимизации. В последнем разделе устанавливается связь предложенного временного и разработанного ранее частотного алгоритмов синтеза робастного фильтра и демонстрируется, что новый алгоритм не противоречит существующему алгоритму и дополняет его новыми возможностями.

В третьей главе найдены готовые решения задачи оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных для наиболее распространенных на практике случаев. Здесь рассмотрены ситуации, когда для оцениваемого сигнала заданы: только А; А и А; только А; А и А; А, А и А- Приведены передаточные функции для робастных фильтров, и представлены аналитические выражения для целевых функций оптимизации, параметрами которых являются коэффициенты этих передаточных функций. Продемонстрирована методика, с помощью которой молено решить задачу робастного оценивания во многих других ситуациях. Аналитические решения для случаев ограничений нескольких дисперсий производных получены впервые.

Также в третьей главе рассматривается случай оценки линейного преобразования измеряемого сигнала и демонстрируется, что в отличие от фильтра Калмана, который при имеющихся измерениях обеспечивает одновременно оптимальные оценки для всех составляющих вектора состояния, робастный фильтр обеспечивает оптимальное решение только для конкретной выбранной компоненты вектора состояний (или линейного преобразования вектора состояний). В конце главы приводится обобщение задачи робастной фильтрации на случай цветного шума, а именно когда шум измерения представляет собой смесь белого шума и цветного шума с известной спектральной плотностью.

В четвертой главе исследуются свойства робастного фильтра, и разрабатывается удобный для практического применения метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных. Исследования в этой главе проводятся в частотной области, а выделение значимых дисперсий производных производится удобным графическим способом путем построения логарифмических спектральных плотностей.

Идея вначале иллюстрируется на методических примерах, где робастные фильтры, построенные по каждому отдельному спектральному моменту и одновременно по всем заданным спектральным моментам, сопоставляются с фильтром оптимальным для конкретной спектральной плотности, обладающей этими моментами. В примерах наглядно демонстрируется, что фильтр, опирающийся на информацию лишь о нескольких числовых характеристиках, незначительно уступает по точности оптимальному фильтру, для которого задается кривая спектральной плотности. При этом зачастую лишь один из спектральных моментов оказывает сильное влияние на точность оценивания, в то время как ограничениями остальных можно пренебречь. После этого показывается, что робастный фильтр, синтезированный для одного спектрального момента, настраивается на нестационарный сигнал в виде проинтегрированного белого шума. Таким образом, делается вывод о том, что предлагаемый робастный подход позволяет построить фильтр, который обладает надежностью фильтра, настроенного на нестационарную модель входного сигнала, но при этом хорошо учитывает свойства самого оцениваемого сигнала.

В пятой главе предлагается решение задачи авиационной гравиметрии — определения аномалии ускорения силы тяжести (УСТ) на летательном аппарате при использовании измерений гравиметра и данных об изменениях высоты от спутниковой навигационной системы - на основе идей, предложенных в диссертационной работе. В этом случае информация об аномалии представлена в виде двух числовых характеристик: ограничений на дисперсию аномалии и дисперсию ее производной. Проводится сопоставление по точности и чувствительности предложенного робастного решения с оптимальным решением для некоторых распространенных моделей аномалии, и обсуждается эффективность применения рассматриваемого робастного подхода для решения задачи авиационной гравиметрии. Дополнительно исследуется возможность построения робастного фильтра для оценивания аномалии УСТ, когда при обработке могут быть использованы не только прошлые, но и будущие относительно текущей точки измерения (задача сглаживания).

Основой для четвертой и пятой глав диссертационной работы послужили результаты, полученные в период стажировки в ФГУП РФ — ЦНИИ «Электроприбор» с 01.11.2003 по 30.04.2004 (руководитель - д.т.н. Степанов O.A.) [24].

В заключение приведена общая характеристика диссертационной работы, сформулированы основные выводы по ее результатам, и обозначены направления для дальнейших исследований.

В Приложениях представлены тексты программ для расчета робастного фильтра для всех рассмотренных случаев, написанные для пакета Ivlathcad 200Ii Professional, а также приведен с подробными комментариями текст программы в среде Ivlatlab 6.5, которая использовалась для нахождения коэффициентов робастного фильтра при решении задачи авиационной гравиметрии.

Основные результаты настоящей работы сводятся к следующему.

1. Продемонстрирована эффективность применения в задачах управления и обработки информации робастного подхода, основанного на оценивании сигналов при известных ограничениях на дисперсии их производных.

Этот результат получен путем сопоставления робастного алгоритма с оптимальным алгоритмом, для которого задается спектральная плотность сигнала, которое показало, что задание априорной информации в виде нескольких числовых характеристик (1.1) дает возможность синтезировать фильтр, по точности лишь немного уступающий оптимальному (в пределах 20-25% по средне-квадратической ошибке). В то же время робастный алгоритм обеспечивает эффективное и надежное оценивание сигналов, даже в условиях некоторой неопределенности или нестабильности самих значений числовых характеристик, по которым синтезировался робастный фильтр.

2. Проанализирована процедура синтеза и анализа точности робастного фильтра в частотной области, и обозначены основные трудности ее реализации.

В работе подробно описаны шаги, которые необходимо сделать разработчику в ходе синтеза робастного фильтра. Показано, что на первом этапе разработчику необходимо задать структуру фильтра, на втором - реализовать достаточно сложный алгоритм анализа точности фильтра с фиксированными коэффициентами, на третьем - найти оптимальные значения этих коэффициентов путем минимизации функции, переменными которой являются коэффициенты фильтра. При этом разработчики встречают сложности с поиском минимума фушсции, которые связаны с трудоемкостью вычисления значений функции, наличием локальных минимумов и большим числом свободных параметров. И хотя современные мощные средства автоматизации проектирования делают доступным проведение синтеза такого робастного фильтра, сложность решения задачи и большие временные затраты необходимые на то, чтобы разобраться в процедуре синтеза фильтра, делают существующий подход неудобным для широкого круга разработчиков. Одновременно с этим применение рассматриваемого робастного подхода желательно во многих задачах обработки сигналов.

3. Разработан новый алгоритм гарантированного оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных на основе теории фильтрации во временной области.

Основой новому алгоритму стало найденное представление сигналов с ограниченными дисперсиями производных в пространстве состояний. В работе доказано, что сигнал с ограниченными дисперсиями производных описывается в пространстве состояний, когда неопределенность модели заключается в спектре порождающего сигнала и значениях некоторых параметров. При этом порождающим сигналом для модели является сигнал с ограниченной дисперсией, порядок модели соответствует порядку старшей производной, имеющей ограниченную дисперсию, а число свободных параметров в модели на единицу меньше числа ограниченных дисперсий производных.

Следующим шагом показано, что задача синтеза робастного фильтра может быть решена путем Н21НГЛ оптимизации передаточной фушсции. Это позволило определить самую простую структуру робастного фильтра и привести обоснование, что использование фильтра более сложной структуры существенным образом качество оценивания не повышает.

В результате предложен алгоритм синтеза робастного фильтра во временной области, который по сравнению с алгоритмом в частотной области обладает меньшим числом свободных параметров и обеспечивает простой способ вычисления значений целевой функции оптимизации, поскольку использует для этого стандартные процедуры, встроенные в систему Матьав (процедуры вычисления #2,#оо норм передаточных функций).

Показано, что предложенный алгоритм синтеза робастного фильтра во временной области не противоречит существующему частотному алгоритму и дополняет его новыми возможностями. Оба алгоритма обеспечивают одинаковую потенциально достижимую верхнюю оценку для дисперсии ошибки.

Таким образом, разработанный алгоритм оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных упрощает процедуру синтеза робастного фильтра, делает ее более удобной для разработчиков и расширяет возможности использования предлагаемого робастного подхода в практических задачах.

4. С использованием нового алгоритма получены аналитические решения задачи оценивания для различных комбинаций ограничений дисперсий сигнала и его двух первых производных.

Продемонстрирована методика, с помощью которой можно решить задачу робастной фильтрации во многих других ситуациях. Отметим, что аналогов полученных с использованием нового алгоритма аналитических решений для случаев ограничений нескольких дисперсий производных в частотной области не существует.

5. Разработан удобный для практического применения графический метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных, основанный на построении логарифмических спектральных плотностей.

6. Исследованы свойства робастного фильтра и сформулированы рекомендации относительно построения эффективных и надежных алгоритмов оценивания сигналов.

Выявлено, что фильтр, построенный при ограничении только на дисперсию п-ой производной, настраивается на нестационарную модель входного сигнала в виде «-кратно проинтегрированного белого шума.

Рекомендации относительно построения эффективных и надежных алгоритмов оценивания сигналов заключаются в том, чтобы выделить наиболее значимую из ограниченных дисперсий производных и синтезировать фильтр, используя лишь эту числовую характеристику. При этом усиливаются гарантирующие свойства фильтра, и повышается его надежность, поскольку фильтр фактически настраивается на нестационарную модель сигнала в виде проинтегрированного белого шума.

7. Предложено решение задачи авиационной гравиметрии с позиции роба-стного подхода.

В этом случае априорная информация об аномалии УСТ представлялась в виде двух параметров: ограничений на дисперсии аномалии и ее производной. Проведенные исследования выявили, что в рассмотренных примерах с реальными значениями числовых данных знание величины дисперсии аномалии практически не влияет на точность оценивания, и, таким образом, при синтезе фильтра можно ограничиться только одним параметром (дисперсией производной аномалии). Показано, что робастный фильтр гарантирует приемлемую точность оценивания аномалии УСТ и, поскольку фактически представляет собой классический низкочастотный фильтр, обеспечивает эффективное и надежное оценивание аномалии УСТ при работе в реальных условиях.

В целом найденное в работе представление исходной задачи в пространстве состояний и обоснование ее решения на основе Нп!оптимизации передаточной функции открывает возможности для различного рода модификаций и усложнений исходной задачи, а также для построения нестационарного фильтра. Поэтому к направлениям для дальнейших исследований в первую очередь следует отнести: решение задачи оценивания, когда дисперсии производных характеризуют не только оцениваемый сигнал, но и шум измерения; разработку эффективного алгоритма для поиска минимума целевой функции оптимизации; решение задачи оценивания в дискретном времени; построение нестационарного фильтра.

Практическая значимость работы

1. Разработанный алгоритм оценивания сигналов при ограничениях на дисперсии их производных упрощает процедуру синтеза робастного фильтра и расширяет область применения рассматриваемого робастного подхода.

2. Представленный метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных показал, что зачастую лишь одна из них обеспечивает эту точность, в то время как ограничениями на остальные можно пренебречь. Это позволяет строить эффективные и надежные алгоритмы оценивания. Идея заключается в синтезе фильтра на основе одной значимой дисперсии производной, что усиливает его гарантирующие свойства и делает его малочувствительным в смысле точности оценивания к расстройкам в исходной модели, поскольку фильтр фактически настраивается на нестационарную модель сигнала в виде проинтегрированного белого шума.

3. Предложенный алгоритм робастного оценивания был успешно применен для решения задачи авиационной гравиметрии при ограничениях на дисперсии аномалии и ее производной. Показано, что робастный алгоритм гарантирует приемлемую точность оценивания аномалии и обеспечивает эффективное и надежное оценивание при работе в реальных условиях.

4. Найденное представление исходной задачи в пространстве состояний и обоснование ее решения на основе Н21Нт оптимизации передаточной функции открывают возможности для различного рода модификаций и усложнений исходной задачи, а также для построения нестационарного фильтра.

Апробация работы и реализация результатов

Основные научные и практические результаты по теме диссертации докладывались и обсуждались на IV и VI конф. молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2002 и 2004 гг.), на заседании научно-методической комиссии ФГУП ЦНИИ «Электроприбор» (Санкт-Петербург, 23.04.04), на Шестой, Седьмой и Восьмой научных сессиях аспирантов ГУАП (Санкт-Петербург, 2003-2005 гг.), на 10-й Межд. студенческой олимпиаде по автоматическому управлению ВОАС'2004 (Санкт-Петербург, 2004 г.), на 16-м симпозиуме ИФАК по автоматическому управлению в аэрокосмических системах (Санкт-Петербург, 2004 г.), а также на 16-м Всемирном Конгрессе ИФАК (Прага, 2005).

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту Минобрнауки РФ "Сопоставительный анализ робастных и оптимальных алгоритмов оценивания" № 53-3-661-1 и внедрены в ОАО НПП «Радар ММС» по НИР «Интеграция 1» в области создания радиоэлектронных следящих систем.

Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами, копии которых даны в приложениях к диссертации.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем диссертаиии. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка из 107 наименований, приложений. Диссертация изложена на 152 страницах, содержит 22 рисунка и 7 таблиц.

Заключение

В работе решена задача стационарной фильтрации сигнала с ограниченными дисперсиями производных на фоне белого шума с использованием новой предложенной в диссертационной работе идеи. В рамках достижения поставленной цели были решены такие важные задачи, как формулирование исходной проблемы в пространстве состояний, выбор критерия оптимальности фильтра, обоснование структуры робастного фильтра, поиск удобного алгоритма синтеза фильтра. Новый алгоритм позволил найти готовые решения для распространенных на практике случаев и обнаружить не выявленные раньше свойства робастного фильтра.

1. Афанасьева Л.В., Боярский Э.А. Дробышев Н.В., Конешов В.Н. О погрешностях «портретов» гравиметрических аномалий, полученных по измерениям с воздуха / Геофизический вестник. 2002. № 4. С. 13-15.

2. Бабкин Н.В., Макшанов A.B., Мусаев A.A. Робастные методы статистического анализа навигационной информации / Под ред. И. Б. Челпанова. Л.: ЦНИИ «Румб», 1985.

3. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.

4. Барабанов А.Е., Первозванский A.A. Оптимизация по равномерно частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 3-18.

5. Бесекерскш. В.А., и др. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для студ. вузов спец. «Радиотехника» / В.А. Бесекерский, A.A. Елисеев, A.B. Небылов и др.; Под ред. В.А. Бесекерского.- М.: Высш. шк., 1985.

6. Бесекерский В.А., Небылов A.B. Робастные системы автоматического управления. М.: Наука, 1983.

7. Бесекерский В.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1970.

8. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976.

9. Болотин Ю.В., Голован АА., Парусников H.A. Математические модели аэрогравиметрических систем на базе корректируемого гироинрециального блока//Вестн. Моск. Ун-та. Сер 1, Математика. Механика. 2003. № 4.

10. Ван Трис. Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции / Пер. с англ. под ред. проф. В.И. Тихонова. М.: Энергия, 1973.

11. Грушинский. Основы гравиметрии. -М.: Наука, 1983.

12. Дмитриев С.П. Высокоточная морская навигация,- СПб.: Судостроение, 1991.

13. Дмитриев СЛ., Пелевин А.Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. Изд. 2-е перераб.- СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004.

14. Дмитриев СЛ., Литвиненко Ю.А. Гарантирующая настройка фильтра Калмана при неопределенности параметров модели погрешности навигационных систем //Научно-технический журнал «Гироскопия и навигация». 2005. № 1.С. 58-68.

15. Дьяконов В. MATLAB 6: учебный курс. СПБ.: Питер, 2001.

16. Еремаченко A.A. Методы синтеза линейных систем управления низкой чувствительности. -М.: Советское радио, 1981.

17. Железняк Л. К. Отечественные аэрогравиметрические комплексы // Разведка и охрана недр. декабрь 2002.

18. Железняк Л. К., Конешов В.И. Современные методы изучения гравитационного поля мирового океана. СПб.: ГНЦ РФ - ЦНИИ «Электроприбор», 2002. С. 9-13.

19. Железняк Л.К., Конешов В.Н., Попов Е.И., Несенюк Л.П., Пещехонов В.Г. и др. Создание и внедрение гравиметров двойного назначения для измерений с морских и воздушных носителей // Научно-технический журнал «Гироскопия и навигация». 2004. №1. С. 149 152.

20. Ивановский Р.И., Игнатов A.A. Теория чувствительности в задачах управления и оценки. JL: ЦНИИ «Румб», 1986.

21. Иргер Д. С. Об оптимальной фильтрации по минимаксному критерию //• Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1966. №5. С. 137-144.

22. Исследование эффективности использования алгоритмов робастной фильтрации: Отчет по стажировке аспиранта ГУАП Кулаковой В. И. за период с 01.11.03 по 30.04.04 / Руководитель O.A. Степанов. ЦНИИ «Электроприбор», 2004. 68 с.

23. Кассам С. А., Пур Г.В. Робастные методы обработки сигналов: Обзор // ТИИЭР. 1985. Т. 73. №3. С. 54-100.

24. Корн. Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников иинженеров / Пер. с англ. -М: Наука, 1968.

25. Коробочкш Ю.Б., Куркин О.Б. Линейная минимаксная фильтрация стационарного случайного процесса в условиях априорной частичной неопределённости относительно спектральной плотности // Автоматика и телемеханика. 1986. № 8. -С. 25-33.

26. Крайн М.Г. Идеи П.Л. Чебышева и A.A. Маркова в теории предельных величин интегралов и их дальнейшее развитие // Успехи математических на1 ук. 1951. Т.6. вып. 4(44). С. 3-120.

27. Кулакова В. И. Решение задачи авиационной гравиметрии при неполной априорной информации о модели аномалий // Труды VI конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» -СПб.: ГНЦ РФ —

28. ЦНИИ «Электроприбор». 2005. С. 99-105.

29. Кулакова В. И. Гарантирование точности интегрированных измерителей параметров движения // Шестая научная сессия аспирантов и соискателей ГУАП: Сб. докл. / СПб. 2003. С. 46-47.

30. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. -М: Наука, 1977.

31. Куркин О.М., Коробочкин Ю.Б., Шаталое С.А. Минимаксная обработка информации. М.: Энергоатомиздат, 1990.

32. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В трех книгах. -М.: Советское радио, 1975.

33. МедичДж. Статистические оптимальные линейные оценки и управление / Пер. с англ. под ред. A.C. Шаталова. М.: Советское Радио, 1972.

34. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. / Под ред. Н.Д. Егупова.- М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

35. Миллер Г.Б., Поиков А.Р. Фильтрация случайного процесса в статистически неопределенной линейной стохастической системе // Автоматшса и телемеханика. 2005. № 1.

36. Небылов A.B. Гарантирование точности управления. -М.: Наука. Физмат-лит, 1998.

37. Небылов А. В. Измерение параметров полета вблизи морской поверхности. СПбГААП. СПб., 1994.

38. Небылов А. В. Робастные алгоритмы комплектования дискретного позиционного датчика и непрерывного датчшса ускорений // Автоматика и телемеханика. 1994. № 5. С. 56-65.

39. Несенюк Л.П. Аналитические инженерные методы синтеза оптимальных линейных фильтров: Материалы школы «Математическая теория навигации и управлении движущимися объектами». —М.: Издво МГУ, 1983. -С. 27-29.

40. Несенюк Л.П., ЧелпановИ.Б. Структурные и частотные методы синтеза оптимальных преобразований в навигационных системах. JL: ЦНИИ "Румб", 1994.-55с.

41. Пантелеев В. Л. Основы морской гравиметрии,- М.: Недра, 1983.

42. Пелевин А.Е. Наблюдаемость состояния для стохастических систем с ин-тервально заданной матрицей динамики // Научно-технический журнал «Гироскопия и навигация». 1998. № 4.

43. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

44. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

45. Ривкин С.С., Ивановский Р.И., Костров A.B. Статистическая оптимизация навигационных систем. Л.: Судостроение, 1976.

46. Розенвассер E.H. Линейная теория цифрового управления в непрерывном времени. -М.: Наука, 1994.

47. Розенвассер E.H., Юсупов Е.М. Чувствительность систем управления. —М.: Наука, 1981.

48. Свешников A.A. Прикладные методы теорий случайных функций. -Л.: СУДПРОМГИЗ, 1961.

49. Степанов O.A. Связь алгоритмов оптимальной стационарной фильтрации и сглаживания // Научно-технический журнал «Гироскопия и навигация». 2004. № 1.С. 16-27.

50. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. -М.: Наука, 1987.

51. Тупысев В.А. Гарантированное оценивание состояния динамических систем в условиях неопределенности описания возмущений и ошибок измерений // Научно-технический журнал «Гироскопия и навигация». 2005. № 2. С. 47-55.

52. Тупысев В.А. Использование винеровских моделей для описания уходов гироскопов и ошибок измерения в задаче оценивания состояния инерци-альных навигационных систем // Научно-технический журнал «Гироскопия и навигация». 2002. № 3. С. 23-32.

53. Хименко В.И. О нормированных спектральных моментах стационарных случайных процессов // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1976. Т. XIX. №8. С. 1188-1192.

54. Цыпкин ЯЗ., Позняк A.C. Оптимальные и робастные алгоритмы оптимизации при наличии коррелированных помех // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. № 6. С. 1330-1333.

55. Челпанов И.Б., Несенюк Л.П., Брагинский М.В. Расчет характеристик навигационных гироприборов.- Л.: Судостроение, 1978.

56. Черноусъко Ф. Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенности с помощью эллипсоидов, I, II, III // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 3, 4, 5.

57. Abdelmoula F. Ein Beitrag zur Bestimmung der Erdbeschleunigungsanomalien an Bord eines Flugzeuges. Aachen: Shaker. 2000 (Berichte aus der Luft-und Raumfahrttechnik) Zugl.: Braunschweig, Techn., Univ.

58. Bernstein D., Haddad W. Steady-state Kaiman filtering with an Нж error bound // Syst. Contr. Lett. 1989. V. 12. P. 9-16.

59. Bolotin Y. V., Golovan A.A., Parusnikov N.A. Off-line processing tasks for iner-tial gravimetry system GT-1A // Proc. of the 9th Saint-Peterburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2002

60. С. E. de Souza, Shaked U., Fu M. Robust Яю filtering for continuous time varying uncertain systems with deterministic input signal // IEEE Trans. Signal Proc. 1995. V. 43, P. 709-719.

61. Chung R.C., Belanger P.R. Minimum-sensitivity filter for linear time-invariant stochastic systems with uncertain parameters // IEEE Trans. Automatic Control. 1976. V. AC. P. 98-100.

62. D 'Appolito J. A., Hutchinson С. E. Low sensitivity filter for state estimation in the presence of large parameter uncertainties // IEEE Trans. Automatic Control. 1969. V. AC-14. P. 310-312.

63. Doyle J. C., Glover K., Khargonelmr P. P., Francis B. A. State-space solutions to standard Я2 and Ffm control problems // IEEE Trans. Auto. Control. 1989. V. 34. P. 831-847.

64. Fu M., C.E. de Souza, Zhi-Quan L. Finite-horizon robust Kaiman filter design // IEEE Trans. Signal Proc. 2001. V. 49(9). P. 2103-2112.

65. Geromel J. C. Optimal linear filtering under parameter uncertainty // IEEE Trans. Signal Processing. 1999. V. 47(1). P. 168-175.

66. Geromel J. C. Robust filter design for uncertain systems defined by both hard and soft bounds // IEEE Trans. Signal Processing. 1996. V. 44 (5). P. 10631071.

67. Grimble M.J., Elsayed A. Solution of the Яет optimal linear filtering problem for discrete-time systems // IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing. 1990. V. 38. P. 1092-1104.

68. Haddad W., Berstein D., Mustafa D. Mixed-norm H2/H,„ regulation and estimation: the discrete-time case // Syst. Contr. Lett. 1991. V. 16. P. 235-247.

69. Haide В., Hassibi B, Kailath T. Mixed H2/Hm estimation: preliminary analytic characterizations and a numerical solution // Proc. of the 1996 IFAC World Congress (San Francisco, CA). 1996.

70. Haider В., Hassibi В., Kailath T. State-space structure of finite-horizon mixed H2/Ha filters // Proc. American Control Conference (Albuquerque, NM). 1997.

71. Hassibi В., Kailath T. On nonlinear filters for mixed Я2/Ягоеstimation // Proc. American Control Conference (Albuquerque). 1997.

72. Hassibi В., Kailath T. Tracking with an H-infinity criterion // Proc. of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. 1997. P. 3594-3599.

73. Jordan S.K. Self-consistent statistical models for gravity anomaly and undulation of the geoid// Geophys. Res. 1972. V. 77. No 20. P. 3660- 3670.

74. Kalinichenko V.N., Nebylov A. V. Guaranteeing the filtering accuracy for non-stationary processes with bounded dispersions of derivatives // The 1st IFAC International Symposium on System Structure and Control (Prague). 2001.

75. Kennedy S.L. Precise acceleration determination from carrier-phase measurements // Journal of the Institute of navigation. 2003. V. 50. No. 1.

76. Khargonekar P. P., Rotea M. A., Baeyens E. Mixed Я2/Яот filtering // Internal J. Robust Nonlinear Control. 1996. V. 6(4). P. 313-330.

77. Khargonekar P., Rotea M. Mixed Я2/Яот filtering // Proc. IEEE CDC'92. 1992. P. 2299-2304.

78. Kulakova V.I. Robust and optimal solutions comparison for the airborne gravim-etry problem // Proc. of the 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). St. Petersburg, Russia. May 26-28, 2004. P. 199-203.

79. Kulakova V.l., Nebylov A. V., Stepanov O.A. Application of the robust approach to the problem of airborne gravimetry // Proc. 16th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace (St. Petersburg), 2004. P. 907-912.

80. Kulakova V.l., Nebylov A. V., Stepanov O.A. Robust estimation versus optimal estimation and their application for airborne gravimetry // 16th IFAC World Congress (July, Prague), 2005.

81. Leondes C., Pearson J. A minimax filter for systems with a large plant uncertainties // IEEE Trans. Automatic Control. 1972. V. AC-17(2).

82. Li H., Fu M. A linear matrix inequality approach to robust До filtering // IEEE Trans. Signal Processing. 1997. V. 45. P. 2338-2350.

83. Megretski A. On the order of optimal controllers in the mixed Я2/#со control // Proc. CDC-94. 1994. P. 3173-3174.

84. Nagpal K.M., Khargonekar P.P. Filtering and smoothing in an Иш setting // IEEE Trans. Auto. Control. 1991. V. AC-36. P. 152-166.

85. Nebylov A. V. Ensuring control accuracy // Lecture Notes in Control and Information Sciences, 305, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany. 2004

86. Olesen A. V., Forsberg R., Keller K., Gidskehaug A.G. Airborne Gravity Survey of The Polar Sea North of Greenland // EAGE 61st Conference and Technical Exhibition (Helsinki, Finland). 1999.

87. Petersen I. R., MacFarlane C. Optimal guaranteed cost filtering for uncertain discrete-time systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. V. 6. P. 267-280.

88. Rotstein H., Sznaier M. H2/Hm filtering theory and an aerospace application // Internat. J. Robust Nonlinear Control. 1996. V. 6(4). P. 347-366.

89. Sayed A.H. A framework for state space estimation with uncertain models // IEEE Trans. Automatic Control. 2001. V. 46(7). P. 998-1013.

90. Shaked U., С. E. de Souza. Robust minimum variance filtering // IEEE Trans. Signal Processing. 1995. V. 43(11). P. 2474-2483.

91. Shaked U., Theodor Y. //«-optimal estimation: A tutorial //Proc. 31st IEEE CDC. 1992. P. 2278-2286.

92. Shen X., Deng L. A dynamic system approach to speech enhancement using the-filtering algorithm // IEEE Trans. Speech and Audio Processing. 1999. V. 7(4). P. 391-399.

93. Sznaier M. An exact solution to general SISO mixed H2I Hm problems via convex optimization // IEEE Trans. Auto. Control. 1995. V. AC-39(12). P. 25112517.

94. Theodor Y., Shaked U. A dynamic game approach to mixed H2/Hm estimation // Internal J. Robust Nonlinear Control. 1996. V. 6(4). P. 331-345.

95. Theodor Y, Shaked U. Robust discrete-time minimum variance filtering // IEEE Trans. Signal Processing. 1996. V. 44(2). P. 181-189.

96. Theodor Y., Shaked U., С. E. de Souza. A game theory approach to robust discrete-time ^-estimation // IEEE Trans. Signal Processing. 1994. V. 42. P. 1486-1495.

97. Wang J., Dwaik F., Jekeli C. INS, GPS, and photogrammetry integration for vector gravimetry // Proceedings of the International symposium on kinematic systems in geodesy, geomatics and navigation (Banff, Canada, June 3-6) 1997.

98. Wang Z., Huang В. Robust H2IHX filtering for linear Systems with error variance constraints // IEEE Trans. Signal Proc. 2000. V. 48 (8). P. 2463-2467.

99. Wang Z, Unbehauen H. Robust Я2/Яю state estimation for systems with error variance constraints: the continuous-time case // IEEE Trans. Auto. Control. 1999. V. AC-44(5).

100. Wang Z., Unbehauen H. Robust H2IHX state estimation for discrete-time systems with variance constraints // IEEE Trans. Auto. Control. 1997. V. AC-42(10). P. 1431-1435.

101. X/e L., Soh Y.C., С. E. de Souza. Robust Kalman filtering for uncertain discrete-time systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. V. AC-39. P. 1310-1314.

102. Zhou K., Glover K., Bodenheimer В., Doyle J. Mixed H2 and Нш performance objectives I: Robust performance analysis // IEEE Transactions on Automatic Control. 1994. V. 39(8). P. 1564-1574.