автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Фильтрация с гарантированной точностью в классе сигналов с ограниченными дисперсиями производных

Перечень сокращений.

Введение.

1. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПО

КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ В КЛАССЕ СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ДИСПЕРСИИ ПРОИЗВОДНЫХ.

1.1. Математическая модель воздействий: класс у,.

1.2. Общий принцип оценки точности фильтрации по заданным ограничениям на дисперсии производных входных воздействий

1.3. О задаче у2-робастной параметрической оптимизации частотной передаточной функции.

1.4. Постановка задачи структурного синтеза оптимального линейного фильтра по квадратичному критерию.

1.5. Понятие информативности нового числового ограничения, вносимого в класс у2.

Выводы по главе 1.

2. МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ у2 -РОБАСТНЫХ ФИЛЬТРОВ.

2.1. Вычисление верхней границы дисперсии динамической компоненты ошибки в классе у+2.

2.1.1. Свойство мажорирующего полинома.

2.1.2. Алгоритм поиска оптимального мажорирующего полинома.

2.2. Случай малого числа ограничений на дисперсии.

2.2.1. Применение нормированных частот для получения номограмм оптимизации параметров фильтра.

2.2.2. Графоаналитический метод оптимизации.

2.3. Особенности численной оптимизации при больших количествах параметров фильтра.

Выводы по главе 2.

3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО РОБАСТНОГО ФИЛЬТРА.

3.1. Решение вариационной задачи о нахождении оптимального робастного фильтра в пространстве Ь2. Идеальный фильтр.

3.2. О возможности решения вариационной задачи оптимальной робастной фильтрации при наличии требования физической реализуемости.

Выводы по главе 3.

4. РАСШИРЕНИЕ КЛАССА у2 В ОБЛАСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

СИГНАЛОВ.

Выводы по главе 4.

5. ОБОСНОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ БОКОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПРИ ПОСАДКЕ ВОЗДУШНО-КОСМИЧЕСКОГО САМОЛЕТА НА ЭКРАНОПЛАН.

5.1. Получение априорных сведений о воздействиях в задаче оптимизации законов управления относительным движением при посадке ВКС на экраноплан.

5.2. Структурная схемы бокового канала С АКТ ВКС.

5.3. у2 -оптимизация добротности САКТ ВКС.

Выводы по главе 5.

Любая научная проблема требует на этапе постановки выделить некоторый класс объектов из общего числа, с которыми она будет оперировать, и описать отобранный класс в категориях, понятных исследователю, которые он будет применять при решении задачи. Таким путем составляется модель, от достоверности которой зависит практическая ценность дальнейших исследований. В задачах фильтрации, объектами такой селекции служат многообразия полезных сигналов и шумов. Выбор достоверной модели входных воздействий1 при желательном сохранении ее сравнительной простоты - предмет мастерства исследователя.

Все подходы при таком выборе могут быть условно разделены на две категории: подходы, рассматривающие узкие классы, располагающие полной априорной информацией о воздействиях, примерами которых могут служить, например, классы воздействий с заданными корреляционно-спектральными характеристиками и/или эмпирическими законами распределения; и подходы, выделяющие широкие классы воздействий с существенной априорной неопределенностью.

К достоинствам первого можно отнести возможность достижения более высокого показателя качества за счет точного задания модели входных воздействий. Однако такие фильтры оказываются весьма критичными к возможным отклонениям реального сигнала от принятой модели, упрощающей общую картину; и даже при «сложной» модели, описывающей узкий класс, последний часто не исчерпывает всего многообразия реальных сигналов, действующих в среде. Поэтому при таком подходе весьма важной является оговорка, какова вероятность достижения рассчитанных показателей.

1 Под термином воздействие здесь и далее будем понимать как полезные сигналы так и шумы.

Наоборот, достоинством второго подхода является его грубость или робастностъ [1, 2], т.е. некритичность к изменениям в среде, которая тем выше, чем «шире» принятый класс. Однако и здесь чрезмерное расширение класса входных воздействий недопустимо, т.к. это сильно отражается на достижимых показателях качества, делая часто их непригодными.

Многолетняя практика разрешения подобных противоречий накопила множество компромиссных решений, серди которых можно рассматривать компромиссы, полученные для «узких» классов (модели сигналов с параметрическими вариациями, см., напр., статью «Робастный фильтр Калма-на» [3]) и компромиссы для «широких» классов. К числу последних можно отнести полосовые модели для спектров сигналов [4, 5] (фильтры, реализованные по последней схеме, были названы "ограничивающими"), а также иные модели, широкий обзор которых подробно делается в монографии [6]. Особое место в этой группе занимают адаптивные системы [7, 8], часть параметров или даже часть структуры которых меняется в зависимости от состояния среды, а также связанные с ними проблемы идентификации [9]. Существенный вклад в решение проблем синтеза робастных алгоритмов внесли и хорошо развитые методы Н^-теории [10, 11].

На современном уровне развития специализированных компьютеров, когда нет препятствий для реализации сложных законов управления, предпочтение отдается в большинстве случаев адаптивным алгоритмам, т.к., приспосабливаясь к имеющимся условиям функционирования, они способны обеспечить наилучшие показатели качества. Однако в ряде случаев их применение «в чистом виде» невозможно, например, при внезапных изменениях класса воздействий на систему, когда в силу неизбежной инерционности контура адаптации система оказывается неспособной адекватно отреагировать на произошедшие изменения. Кроме того, для обеспечения требуемой надежности приходится применять резервирование вычислительных комплексов, на базе которых реализованы адаптивные законы управления, что приводит к удорожанию всей системы.

Идея робастного подхода [6], заключается в использовании минимальной, но достоверной информации о входных сигналах и шумах и получении в заданном классе приемлемого значения показателя качества. Неоспоримым достоинством робастных алгоритмов фильтрации является их некритичность к резким изменениям условий функционирования в рамках принятого широкого класса. Для них можно также отметить: а) простоту аппаратной реализации; б) точность, обеспечиваемая робастными законами, в ряде случаев оказывается вполне приемлемой и применение дорогостоящих адаптивных алгоритмов не является необходимостью; в) даже если отказ от применения адаптивных алгоритмов нецелесообразен или невозможен, робастный фильтр (РФ) может применяться в комбинированном варианте для оценки работоспособности основного, адаптивного алгоритма. В этих случаях РФ также может выполнять резервную функцию. Приведенные аргументы оправдывают дальнейшее развитие робастной фильтрации.

Классическим примером минимальных достоверных априорных сведений, необходимых для реализации робастного алгоритма, является набор числовых характеристик - верхних границ дисперсий производных сигналов и шумов на входе фильтра. Для этого случая показано [6], что наилучший алгоритм, обеспечивающий наименьшую дисперсию ошибки фильтрации, находится в классе линейных, что делает возможным применение хорошо разработанного математического аппарата линейных преобразований при решении оптимизационных задач для соответствующих фильтров. Получение оценки верхней границы дисперсии ошибки впервые было выполнено М.Г. Крейном и A.A. Нудельманом [34, 35] и стало возможным благодаря методу канонических представлений, предложенному

П.Л. Чебышёвым и A.A. Марковым. Однако условие, при котором такое решение было осуществимо, могло выполняться лишь в очень редких случаях и практического применения данный метод не нашел. В 80-х гг. A.B. Небыловым был предложен аппроксимативный метод оценки точности, который мог применяться без каких-либо ограничений или дополнительных условий. Но получающаяся при этом оценка не являлась точной верхней границей дисперсии ошибки. Это препятствовало решению задач параметрической и структурной оптимизации робастных фильтров для классов у2 [12, 13], т.е. классов сигналов (вообще говоря, нестационарных) с заданными ограничениями на дисперсии производных, и оставляло открытым вопрос о наивысшей гарантируемой точности фильтрации. Кроме того, в перечисленных работах не исследовалась возможность применения имеющихся методов оценки верхней границы дисперсии ошибки для нестационарных сигналов и шумов.

Предметом рассмотрения настоящей работы являются линейные фильтры, для которых входные сигналы принадлежат к классу у2. Показано [2, 6], что подобные числовые ограничения могут быть получены с большой достоверностью. Никаких дополнительных требований внутри самого класса при этом не выдвигается.

В задачу работы входит: 1. Разработка алгоритма оценки точной верхней границы дисперсии ошибки и основанного на нем алгоритма оптимизации параметров фильтра с фиксированной структурой при стационарной модели входного сигнала [14, 15]. 2. Поиск оптимальной структуры фильтра, минимизирующей верхнюю границу дисперсии ошибки и оценка предельной гарантированной точности в классе у2. 3. Получение формулы для точной верхней границы дисперсии ошибки для нестационарных сигналов. В задачу работы также иллюстрация практической ценности полученных результатов на примере оптимизации параметров закона управления боковым движением в системе автоматического управления посадкой

Выводы по главе 5

Приведенный в главе пример демонстрирует возможность и сравнительную простоту получения исходных данных для реализации методов у2-робастной оптимизации. В отличие от методик синтеза систем автоматического управления при известной спектральной плотности воздействия (или корреляционной функции), где процесс получения исходных данных требует проведения ряда экспериментов, выведения приближенной математической формулы, которой могли бы быть описаны все имеющиеся экспериментальные зависимости, статистической проверки выдвинутой гипотезы о соответствии выдвинутой модели экспериментальным данным и получения показателя надежности такой модели, у2-робастная оптимизация системы не требует проведения столь масштабных предварительных работ.

Для бокового канала САКТ ВКС получено оптимальное значение добротности, при котором гарантированная точность системы будет наивысшей. Для сравнения приведены данные расчетов оптимального значения добротности при других исходных данных.

Таким образом, продемонстрировано, что разработанные в диссертационной работе методы для расчета точности и оптимизации фильтров, могут применяться и для решения задач управления.

Заключение

В работе введен в рассмотрение и исследован класс у2 сигналов с ограниченными дисперсиями производных. Формализованы задачи линейной фильтрации в данном классе по критерию наивысшей гарантированной точности. К основным задачам этой области относятся:

1) алгоритм вычисления точной верхней границы дисперсии динамической составляющей ошибки для случая стационарных сигналов и построение на его основе алгоритма параметрической оптимизации линейных фильтров по выдвинутому критерию;

2) оценка сверху достижимой точности фильтрации в классе у2 и исследование возможности построения фильтра, доставляющего предельную точность;

3) вычисление точной верхней границы дисперсии ошибки для случая расширения класса у2 в область нестационарных сигналов.

Результаты решения первой задачи. На основе доказанного в работе важного свойства мажорирующих полиномов, используемых при оценке дисперсии динамической ошибки сверху, предложена быстрая вычислительная процедура оценки точной верхней границы дисперсии динамической ошибки, основанная на применении симплекс-метода. В результате получено существенное ускорение по сравнению с процедурой, не использующей указанное свойство мажорирующих полиномов при сокращении вдвое числа степеней свободы (т.е. переменных, используемых для итераций во вложенных циклах перебора). Приведены примеры номограмм для параметрической оптимизации линейных фильтров при малом числе оптимизируемых параметров, простроенных при использовании упомянутой выше процедуры вычисления точной верхней границы дисперсии динамической ошибки. Отмечены возможные сложности при реализации алгоритма параметрической оптимизации, указаны возможные пути их преодоления.

Результаты решения второй задачи. Вариационная задача о нахождении ЧПФ оптимального фильтра решена в классе Ь2. Полученная ЧПФ соответствует физически нереализуемому фильтру (идеальный фильтр). Несмотря на физическую нереализуемость данное решение представляет практическую ценность, поскольку благодаря ему стала возможной оценка сверху гарантируемой точности, которая может быть получена в классе у2 с заданными параметрами. На основе такой оценки возможно проведение сравнительного количественного анализа точности фильтров, построенных при одинаковой априорной информации о входных воздействиях. Рассмотрен вариант поиска приближенного решения данной задачи в классе Харди (т.е. физически реализуемого фильтра).

Результаты решения третьей задачи. Исследована возможность применения методов у2 -робастной фильтрации для сигналов, моделью которых являются нестационарные случайные процессы. Условие, при котором фильтр будет обладать свойством робастности, полностью согласуется с доказанным ранее условием для стационарных сигналов. На основе анализа во временной области получена формула, выражающая дисперсию динамической составляющей ошибки через исходные ограничения на дисперсии производных сигнала. Найдена корреляционная функция наихудшего сигнала, доставляющая максимум дисперсии динамической ошибки. Установлено, что точная верхняя граница дисперсии динамической ошибки превосходит соответствующую точную верхнюю границу для стационарных сигналов.

Развитие методов у2-робастной фильтрации в области нестационарных процессов имеет широкие перспективы. Перечислим некоторые из них:

7 «Л

1. Создание нестационарного у2-РФ, использующего данные об изменении во времени ограничений на дисперсии производных воздействия. Создание подобных фильтров и систем автоматического управления на их основе позволит существенно повысить точность при отработке начальных рассогласований.

2. Возможность решения задачи оптимизации стационарного физически реализуемого у2-РФ в классе Харди Н2, выглядит привлекательнее во временной, нежели в частотной области.

3. Разработанная методика расчета дисперсии динамической ошибки дает качественный скачок по сравнению с приведенным во второй главе алгоритмом на основе частотных методов. Появилась возможность рассчитывать дисперсию динамической ошибки одинаково быстро при любом количестве известных ограничений на дисперсии производных воздействия. Это снимает имевшие ранее место ограничения, связанные с малым числом оптимизируемых параметров, а также позволяет реализовать в реальном времени работающий адаптивный у2-РФ, производящий идентификацию класса у2 полезных сигналов и осуществляющий оптимальную настройку параметров фильтра.

4. Решение задач у2-робастной оптимизации временными методами открывает перспективы к исследованию близких классов сигналов уп, построенных на основе ограничений на нормы порядка п, и, в частности, класса уда = : < I< , г = К, К +1,., Щ, где = зир(^(0) •

1 <

Практическое использование полученных в работе результатов подкреплено примером оптимизации параметра бокового канала системы автоматической посадки воздушно-космического самолета на тяжелый экра-ноплан. В ходе решения немалое внимание уделено вопросу получения достоверной априорной информации о воздействиях.

Ш'

1. В.Н. Козлов, В.Е.Куприянов, В.Н. Шашихин. Вычислительная математика и теория управления: Учеб. Пособие. СПб.: Изд. СПбГТУ, 1996. 284 с.

2. Бесекерский В.А., Небылов А.В. Робастные системы автоматического управления. М., «Наука», 1983.

3. Ершов А. А., Липцер Р.Ш. Робастный фильтр Калмана в дискретном времени // Автоматика и телемеханика.-1978.-№3.-с.60-69.

4. Poor H.V. On robust Wiener filtering // IEEE Trans. AC. -1980.-V.AC-25, #3.-P.531-536.

5. Kassam S.A., Tong Leong Lim. Robust Wiener filters // Journal of the Franklin Institute.-1977.-V.304, #4/5.

6. Небылов А.В. Гарантирование точности управления. М., Наука. Физматлит, 1998.

7. К.-П. Шульце, К.-Ю. Реберг. Инженерный анализ адаптивных систем: Пер. с нем. М.: Мир, 1992. - 280 с.

8. Widrow В., Stearns S.D. Adaptive Signal Processing. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1985.

9. Я.З. Цыпкин. Информационная теория идентификации. М.: Наука, Физматлит, 1995. 336 с.

10. Френсис Б.А. Заметки по теории управления по критерию Н00 // Вестник МГТУ, вып.1, 1991, с.17-25.

11. Барабанов А.Е., Первозванский А.А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теориия) // Автоматика и телемеханика. 1992. №9. -с.3-18.

12. V.N. Kalinichenko, A.V. Nebylov. The extreme guaranteed accuracy of filtering for a class of signals (y2-robust optimization). Preprints of the 11-th

13. AC International Workshop on Control Applications of Optimization, Saint-Petersburg, Russia, 2000, Vol. 2, pp. 34-39.

14. B.H. Калиниченко. О потенциальной гарантированной точности фильтра, построенного для класса сигналов с ограниченными дисперсиями производных (оптимальная у2-робастная фильтрация). Академия навигации и управления, Санкт-Петербург, 2000.

15. В.Н. Калиниченко. Параметрическая оптимизация линейного фильтра для класса входных сигналов с ограниченными моментными характеристиками. Академия навигации и управления, Санкт-Петербург, 1999.

16. Nebylov А.V., Tomita N. Optimization of Motion Control at Landing of Aerospace plane on Ekranoplane. 36th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit. Reno, NV, USA, 1998 (AIAA 98 0305)

17. Nebylov A.V., Tomita N. Control aspects of aerospace plane docking with ekranoplane for water landing. 14th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace. Seoul, Korea, 1998, p.389-395.

18. И.И. Данилюк. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975.

19. В.Н. Калиниченко, А.В. Небылов. Анализ исходных данных при синтезе линейного фильтра с ограничениями на дисперсии производных. Автоматика и телемеханика, №7, 2000.

20. Карпелевич Ф.И. и Садовский JI.E. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. М., 1967.

21. Карманов В.Г. Математическое программирование, 2 изд., М.,1980.

22. Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического регулирования.

23. M.JI. Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев. Вариационное исчисление. М.: «Наука», 1973.

24. Математический энциклопедический словарь. Под ред. A.M. Прохорова. М.: «Советская энциклопедия», 1988.

25. A.V. Nebylov, A.M. Zheludev, V.N. Kalinichenko. Combinations of Kalman and robust filtering for navigation data processing. The Third International Conference on Gyroscopic Technology and Navigation. Russian Academy of Sciences. St.-Petersburg, 1996.

26. A.M. Zheludev, V.N. Kalinichenko. Combinations of Kalman and Robust filtering for Navigation Data Processing. 5th International Student Olympiad On Automatic Control, St.-Petersburg, October 2-6, 1996.

27. Бортовые системы управления полетом. Под ред. Ю.В. Байбородина. М.: «Транспорт», 1975.

28. Ю.А. Розанов. Случайные процессы. М.: Наука, 1971.

29. GPS World. 1990. may/june. P. 12.

30. Navigation. 1988. Vol.35.#l. P.23-40.

31. Navigation. 1990. Vol.37.#l. P.39-52.

32. А.В. Небылов. Измерение параметров полета вблизи морской поверхности. С.-Петербург, СПГААП, 1994.

33. Крейн М.Г. Идеи П.Л. Чебышёва и A.A. Маркова в теории предельных величин интегралов и их дальнейшее развитие // Успехи математических наук. 1951. -Т.6, вып. 4(33). -С. 3-120.

34. Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.