автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Формирование матричных механизмов комплексного оценивания в региональном управлении

004611577

На правах рукописи

С

Казакова Екатерина Анатольевна

ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ КОМПЛЕКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ В РЕГИОНАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ

Специальность 05.13.10 — Управление в социальных и

экономических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 8 0КТ 2010

Воронеж —2010

004611577

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Курочка Павел Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Колпачев Виктор Николаевич

кандидат технических наук, доцент Шабанов Андрей Валерьевич

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Защита диссертации состоится 12 ноября 2010 г. в 14°° на заседании диссертационного совета ДМ 212.033.03 при Воронежском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 394006 г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, д. 84, корпус 3, аудитория 3220, тел. (факс): (4732) 71-53-21.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 12 октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Белоусов В.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Необходимость в разработке систем комплексного оценивания социально-экономического состояния региона постоянно возникает при решении задач регионального управления. Наличие системы комплексного оценивания состояния региона позволяет производить его анализ и принимать решения о выборе направлений регионального развития на его основе, тем самым осуществляя управление. Построение систем комплексного оценивания в таких случаях имеет большую трудоемкость и требует усилий многих экспертов. Существенная часть трудоемкости связана со сложностью анализа самой предметной области, вызванной большим количеством определяющих факторов и их взаимодействием. В то же время, трудности могут вызываться методами, выбираемыми для построения процедуры комплексного оценивания. Ограничения используемого математического аппарата могут усложнять адекватную передачу соотношений в предметной области и приводить к излишне упрощенным моделям, описывающим состояние региона, ограничивая их применимость. В то же время, использование обладающих достаточной гибкостью методов приводит к значительной трудоемкости в задании условий, определяющих процедуру комплексного оценивания, что требует нетривиальной математической подготовки от экспертов и, тем самым, существенно ограничивает практическое применение таких методов при решении задач регионального управления.

В последнее время при решении задач комплексного оценивания получают все большее распространение методы, использующие матрицы свертки для описания процедур оценивания. Их отличительной чертой является использование дискретных шкал для значений критериев, а также последовательное попарное объединение их значений, что приводит к бинарной форме критериальной структуры. Матрицы свертки используются в узлах этой структуры для табличного задания функции, ставящей в соответствие паре дискретных значений критериев значение результата их агрегирования. Такой способ задания процедуры комплексного оценивания обладает значительной гибкостью в силу возможности аппроксимации произвольных функций свертки используемыми матрицами и возможностью учета взаимного влияния критериев, недоступного другим методам. В результате матричные системы комплексного оценивания могут быть использованы для построения значительно более сложных моделей состояния регионов, в чем состоит их существенная практическая ценность. Однако, при решении задач, связанных с комплексным оцениванием, широкое распространение получило построение процедур оценивания на базе метода анализа иерархий, которые отличаются упрощенностью используемой функции оценивания, но допускают произвольную критериальную структуру, а для количественного описания соотношений критериев используют матрицы парных сравнений, не вызывающих сложностей при их формировании у неподготовленных лиц. Причина, сдерживающая широкое распространение матричных методов комплексного оценивания в том, что указанная гибкость матричных методов скрывается рядом серьезных проблем, возникающих при их построении.

Указанные достоинства скрываются рядом серьезных проблем, возникающих при построении матричных систем комплексного оценивания. Использование матричных систем комплексного оценивания требует бинарности критериальной структуры, что дополнительно ограничивает экспертов, ее вырабатывающих. Значительную сложность вызывает также необходимость выбора матриц свертки в узлах критериальной структуры, затрудненного при отсутствии существенного опыта у специалиста, осуществляющего построение процедуры оценивания. Кроме того, отсутствуют средства анализа получаемой процедуры. Так, затруднено прямое определение такой характеристики критерия, которую можно было бы интерпретировать как его "вес" и, соответственно, использовать ее для установления соотношений (сравнений) между критериями. Отсутствие такой характеристики для матричных процедур делают невозможным проверку соответствия заданных и получаемых соотношений между критериями.

Описанные сложности, характерные для матричных процедур комплексного оценивания при решении задач регионального управления, затрудняют их построение и интерпретацию получаемых результатов и, таким образом, сдерживают использование широких возможностей, присущих матричным системам комплексного оценивания. Следовательно, разработка методов построения и анализа матричных систем комплексного оценивания, упрощающих их задание и использование, сделает доступным получение более совершенных и эффективных механизмов оценивания социально-экономического состояния регионов и облегчит решение задач регионального управления, и поэтому является актуальным в научном и практическом плане.

Основные исследования, получившие отражение в диссертации, выполнялись в рамках грантов РФФИ: 07-07-00281 «Разработка методов и алгоритмов для синтеза моделей представления знаний в интеллектуальной системе поддержки принятия решений при управлении образовательной деятельностью технического университета»; 07-08-00455 «Построение математических моделей, разработка методов и алгоритмов информационного обеспечения системы управления качеством образовательной деятельности технического университета».

Цель и постановка задач исследования

Цель данной работы состоит в разработке механизмов формирования матричных структур при решении задач комплексного оценивания социально-экономического состояния региона, допускающих произвольные соотношения между факторами.

Достижение указанной цели работы потребовало решения следующих основных задач:

-исследования используемых при решении задач регионального управления методов комплексного оценивания и существующих методов построения матричных механизмов комплексного оценивания;

-разработка методов формирования бинарной структуры на основе произвольной критериальной структуры;

-разработка механизмов анализа описываемых матричными системами процедур комплексного оценивания;

-синтез процедур оценивания на основе легко получаемой информации о количественных соотношениях между факторами;

-разработка алгоритма выбора матрицы свертки на основе экспертной информации о важности факторов;

- адаптации полученных результатов для снижения трудоемкости получения комплексной социально-экономической оценки при решении задач регионального управления.

Методы исследования

В работе использованы методы теории активных систем, анализа иерархий, системного анализа, теории графов, теории оптимизации, математического программирования, теории принятия управленческих решений.

Научная новизна

Научная новизна связана со следующим рядом полученных в работе результатов:

1. Разработан метод определения веса социально-экономического фактора для матричной процедуры комплексного оценивания, отличающийся учетом меры влияния фактора на значение матричного оператора свертки и позволяющий устанавливать степень соответствия требуемых и получаемых соотношений факторов.

2. Предложен алгоритм построения бинарной структуры критериев по матрице парных сравнений, отличающийся учетом соотношений между весами критериев, определяемых той же матрицей парных сравнений и позволяющий отражать имеющиеся зависимости между критериями за счет использования аппарата матриц свертки, что недоступно методам, основанным на методе анализа иерархий (МАИ).

3. Получен метод выбора матриц сверток по матрице парных сравнений критериев, позволяющий снизить трудоемкость работы эксперта при построении матричных структур.

4. Разработан алгоритм классификации матриц свертки, отличающийся тем, что в качестве признаков классификации используется равенство сворачиваемых критериев с точки зрения их важности, а также характер поведения результата свертки для некоторых диапазонов значений критериев, позволяющий осуществлять их выбор в доступных терминах важности критериев и характера поведения агрегированной оценки при их изменении.

Достоверность научных результатов

Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации, включенные в диссертацию, обоснованы корректным использованием математического аппарата. Они подтверждены расчетами на примерах, производственными экспериментами и многократной проверкой при внедрении в практику управления.

Практическая значимость и результаты внедрения

На основании проведенных в работе исследований разработаны методы построения матричных систем комплексного оценивания, использующие уп-

5

рощенные способы задания требований к процедурам оценивания и избавляющие специалистов от ряда сложных и не интуитивных ручных операций, связанных с построением матричных процедур. Применение разработанных в диссертации методов позволяет массово использовать такие системы при комплексном оценивании и существенно сократить трудовые затраты при их построении, значительно расширяя область их практического применения.

Разработанные модели нашли своё применение в практической деятельности ряда муниципальных образований: администрации городского округа г. Воронеж, администрации Хохольского городского поселения Хохольского муниципального района Воронежской области.

Методы и алгоритмы включены в состав учебных курсов «Исследование операций при моделировании социально-экономических систем». «Муниципальное управление», читаемых в Воронежском государственном архитектурно - строительном университете.

На защиту выносятся:

1. Метод определения веса критерия в матричных системах комплексного оценивания, понимаемого в смысле учета меры влияния рассматриваемого критерия на значение матричного оператора свертки.

2. Алгоритм построения матриц свертки, удовлетворяющих ряду стандартных условий, и выражение для их числа в зависимости от размера.

3. Алгоритм классификации матриц свертки, произведенный в терминах важности критериев и характера поведения агрегированной оценки при их изменении.

4. Алгоритм построения бинарной критериальной структуры социально-экономических факторов на основе информации об их количественных соотношениях.

5. Метод синтеза матричных процедур комплексного оценивания при решении задач регионального управления на основе информации о количественных соотношениях объединяемых социально-экономических факторов.

Апробация работы

Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах: II школе - семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Воронеж , ВГАСУ - 2007 г.), международной научной конференции «Современные сложные системы управления» (Старый Оскол, СТИ МИСиС - 2008 г.), 62 - 64 научно-технические конференции «Инновации в сфере науки, образования, высоких техноло-гий»(Воронеж, ВГАСУ 2007-2009 гг.), первой всероссийской научно-технической конференции «Системы организационного поведения» (Москва, ИПУ РАН — 2009 г.).

Публикации По теме диссертации опубликовано 11 научных статей общим объемом 53 страницы (лично автором выполнено 26 с), в том числе 7 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [1], [2] - классификация матриц свертки, произве-

6

денная в терминах важности критериев и характера поведения агрегированной оценки при их изменении; [3] - механизм определения степени влияния критерия и процедура его эффективного вычисления в случае произвольной структуры дерева и выбранных матриц сверток; [4], [9] - алгоритм построения бинарной критериальной структуры на основе матрицы парных сравнений критериев; [5], [б], — алгоритм перечисления матриц свертки, удовлетворяющих ряду стандартных условий, и выражение для их числа в зависимости от размера; [8], [10] - способ выбора матриц сверток и его оптимизации на основе информации матрицы парных сравнений критериев.

Объем и структура работы.

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем работы составляет 122 страниц, 24 рисунка, 7 таблиц. Библиография включает 119 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе рассмотрены методы построения комплексных оценок, использующиеся при решении задач регионального управления. Состояние региона, как и любой другой сложной системы, характеризуется большим количеством определяющих социально-экономических факторов со сложным характером их влияния. Рассмотрение существующих методов построения комплексной оценки показало, что выделение таких факторов для региона, установление взаимосвязей между ними, а так же имеющихся количественных соотношений требует привлечения большого количества экспертов из соответствующих социальных и экономических областей, а поэтому является весьма трудоемкой задачей. В то же время, выбор метода формирования комплексной оценки может существенно усложнить эту задачу за счет наличия дополнительных требований о виде информации, формализующей структуру социально-экономических факторов и соотношения между ними, а может в немалой степени обесценить труд экспертов в силу ограниченности математического аппарата, используемого для формирования оценки и невозможности адекватной передачи полученных соотношений между факторами. Анализ множества используемых методов построения комплексной оценки показал, что многие методы не допускают возможности взаимного влияния критериев за счет использования различных вариантов взвешенной суммы для формирования значения оценки, в то время как ряд методов налагают дополнительные требования на допустимую структуру объединяемых факторов и, тем самым, увеличивают трудоемкость работы экспертов.

В качестве альтернативы широко распространенным методам в главе рассматриваются матричные механизмы комплексного оценивания. Несмотря на связанную с дискретностью оценок объединяемых факторов определенную грубость в формировании комплексной оценки, они позволяют аппроксимиро-

7

вать произвольные агрегирующие функции. Обусловленная этим гибкость используемого для формирования оценки математического аппарата выгодно отличает данный метод от других, в то же время, ограничивая сложность выбора решающей функции за счет табличного способа задания. Возникающая возможность учета взаимного влияния социально-экономических факторов при его использовании в задачах комплексного оценивания в региональном управлении позволяет упростить работу экспертов при выделении определяющих состояние региона факторов. В то же время, имеющаяся гибкость математического аппарата требует немалого опыта от экспертов при выборе элементов матриц. Произвольный характер получаемой решающей функции значительно затрудняет анализ характера влияния фактора на оценку. Кроме того, метод применим лишь для бинарных структур факторов, в то время как широко используемый метод анализа иерархий допускает использование произвольных древовидных структур объединяемых критериев. Все это значительно увеличивает трудоемкость использования матричных механизмов комплексного оценивания при решении задач регионального управления и ограничивает практическое получение моделей состояния региона, делающих возможным более точный учет получаемых соотношений между социально-экономическими факторами. В результате рассмотрения указанных сложностей в использовании матричных механизмов комплексного оценивания при решении задач регионального управления, в конце главы сформулированы цели и задачи работы, направленные на разработку методов построения матричных процедур комплексного оценивания, снижающих трудоемкость задания, использования и анализа таких процедур и, тем самым, существенно расширяющих область их практического применения.

Во второй главе рассматривается матричный оператор свертки, оперирующий над аргументами, принимающими дискретный набор значений и определяющийся как комбинация бинарной древовидной структуры свертки и матриц, определяющих результат свертки в узлах дерева. Показано, что принятые в литературе стандартные свойства оператора свертки в случае простейшего матричного оператора свертки

¿ggM(x,y)*""x,, х,уе[\..Щ (1)

соответствующего матрице М = от,у размера принимают следующий вид: AggM(x) = mxx=x

Agg и (U) = «u =1 и AggM (N,N) = mNN = N (2)

a8Sm (*iAggM (x2,y2) <=> m< mX2

ту-тИ< 1 при i-k<\,k<i и j-l<\,l<j (3)

Используемый способ задания матричного оператора свертки существенно затрудняет анализ его поведенческих свойств. Во-первых, операторы, определяемые с использованием матриц свертки, не обладают естественным обра-

s

зом определяемой меры влияния своих аргументов на результат свертки. Во-вторых, табличный (матричный) способ задания функции свертки критериев затрудняет понимание характера влияния аргументов на результат свертки, чем усложняет выбор матрицы, а многократное применение этой операции, описываемое деревом свертки, только усложняет ситуацию.

Проблема определения меры влияния аргументов на значение матричного оператора свертки решена в данной работе на основе двух результатов. Первый состоит в предложении следующего способа определения веса аргумента:

Определение 1. Численная мера влияния аргумента на значение матричного оператора свертки может быть определена как отношение суммы изменений значения оператора при изменении значения аргумента к полной сумме изменений (для изменения каждого критерия).

Так, для случая простейшего матричного оператора свертки (1), вес аргументов оказывается равным

И

ту ЕмО'У.-"'*) 5

-ту)+2*4¿им К+1 -«!,) для первого и второго аргумента, соответственно. Определение (1) может быть обобщено на случай произвольного оператора свертки с непрерывными аргументами, удовлетворяющего соответствующим аналогам свойств (2), причем вес /-го аргумента оказывается пропорциональным следующей интегральной

характеристике: ]

Щ ~ f(Лgg(xl,...,x¡_¡,1,хм,...,х„)-^(х^...,^,,0,хм,..,дг„ ¿х/+]..Яхк (6)

о

Прямолинейное использование определения (1) в случае произвольного матричного оператора требует полного перебора всего множества возможных значений аргументов оператора, размер которого экспоненциально растет с количеством аргументов (Л/* вариантов, где ¿-количество сворачиваемых аргументов). Устранить эту проблему и перевести определение веса аргументов в общем случае в практическую область призван второй результат данной главы, полученный для случая произвольной структуры дерева свертки и произвольного выбора матриц размера МхМ, используемых в матричном операторе свертки, удовлетворяющем комбинации условий (2) и (3). При рассмотрении последовательности матриц Мц, ке[\..т], находящихся в узлах дерева свертки на пути от рассматриваемого критерия К, до вершины дерева, показано, что ко-

личество случаев, в которых изменение АГ, приводит к изменению значения на уровне дерева свертки, соответствующему матрице М А, к/<т,, может быть определено (в рекурсивной форме) как:

^ = ^ (7)

г 1

где 4е {1,2} - последовательность индексов, указывающих, соответствует ли поддерево, содержащее интересующий аргумент, первому (1к = 1) или второму (1/с = 2) аргументу оператора на соответствующем уровне дерева, Ык(М,1) - количество элементов в к -м столбце матрицы М, принимающих значение /, а м'^ -матрица "частных производных"для -го аргумента, полученная из матрицы МА как матрица приращений, возникающих при увеличении аргумента. Соответственно, полное число случаев, при которых изменение значения критерия К, приводит к изменению значения матричного оператора определяется как:

* = (8) г-1

что может быть использовано для определения значений выражений вида (4). Выражение (8) формализует эффективный способ вычисления весов критериев в смысле определения 1 (по сравнению с полным перебором вариантов значений критериев) в случае произвольного матричного оператора, удовлетворяющего условиям (2) и (3) и решает вопрос простоты использования определения 1 при практическом применении.

В продолжение второй главы рассматриваются вопросы перечисления допустимых в смысле условий (2) и (3) матриц свертки и определения их количества в случае произвольного размера, а также подход к способу выбора матриц свертки, позволяющий исключить необходимость непосредственного задания значений их элементов экспертом, формирующим матричную процедуру комплексного оценивания. Способ определения числа допустимых матриц для размеров 3x3 и 4x4 обобщен на случай матриц свертки произвольного размера. В работе показано, что в силу первого пункта условий (2) верхнетреугольная и нижнетреугльная части матрицы свертки могут быть заданы независимо, что делает количество возможных матриц свертки полным квадратом. Также показано, что для к-го столбца нижнетреугольной части матрицы, включающего диагональный элемент, в котором первый элемент (соответствующий первой строке снизу) принимает значение т, описываемый вектором длин участков, состоящих из последовательных элементов рассматриваемого столбца, имею-

к-т

щих одинаковые значения {/,'}, /е[0..к-т\ где = к3 количество допустимо

мых вариантов к+1-го столбца, описываемого вектором {/,*+1}, /е [О..к+1-т],

к+1-т

+1 = к +1,описываемого в рекурсивной форме как:

1=0

л',,, = <N1^ ■ ¡1т +1> М1т_г + (И1т_2 ■ 11„ +1>N„_3 (9)

где - число вариантов для подвектора {/,*+1}, /е [0../], / <к-т, когда первый элемент к+1-то столбца имеет значение т+1, а А'2 - количество допустимых вариантов такого же подвектора в случае, когда первый элемент к+7-го столбца имеет значение т+1. В совокупности с условиями (2) и (3) выражение (9) формализует способ перебора вариантов столбцов/строк матриц свертки и позволят эффективно реализовать способ определения их числа. Полученное с использованием выражения (9) число вариантов допустимых в смысле условий (2) и (3) матриц свертки для имеющих практическое значение их размеров пр'иведено в таблице 1.

Таблица 1

Количество матриц, удовлетворяющих стандартным условиям и условию непрерывности, для различных их размеров

Размер 3X3 4X4 5X5 6X6

Количество 36 784 40804 5071504

Размер 7X7 8хХ 8 9X9 10X10

Количество 1502027536 1058766913296 1774688678718916 7069269148436956176

Следующий результат главы связан с построением классификации матриц свертки размером 3x3, обладающей следующими свойствами:

1. Небольшое количество признаков классификации. Это позволяет сократить количество вопросов об их значениях, необходимое для однозначного определения матрицы свертки.

2. Небольшое количество значений признаков. Соответственно, требуется небольшое количество вариантов ответов на вопрос о значениях признака, что позволяет не вызывать лишних затруднений у эксперта при выборе ответа.

3. Возможность интерпретации признаков и их значений в форме, доступной для понимания экспертом, не имеющим детальных представлений об используемых механизмах формирования комплексной оценки.

' Использование такой классификации позволяет осуществлять выбор матрицы свертки в терминах значений ее признаков, а не путем задания значений элементов матрицы, и тем самым упрощает задание матриц свертки. В качестве признаков классификации были выбраны равенство сворачиваемых критериев с точки зрения их важности, а также характер поведения результата свертки для некоторых диапазонов значений критериев. Это позволило сформировать схемы опроса, представленные на рисунках 1 и 2, имеющих среднюю глубину 3 ^

при ~ 3.2 среднем количестве вариантов ответов, что удовлетворяет сформулированным условиям для такой классификации и значительно упрощает выбор матриц свертки экспертом, формирующим матричную процедуру комплексного оценивания.

; Одинаковая важность аргументов

| Поведение комплексной оценки ар» максимальном значении первою аргумента

Не

изменяется

3 3 3 3

2 2

1 2 3

Уменьшается только при минимуме второго аргумента Сразу уменьшается при уменьшении второго аргумента

• Может значение комплексной оценки быть минимальным I при среднем значении одного из аргументов

Равномерно уменьшается при уменьшении второго аргумента

Рис. 1. Схема опроса при одинаковой важности аргументов

| Болыиал мжмост* первого аргумента

Рис. 2. Схема опроса в случае большей важности первого аргумента

Далее во второй главе представлен подход к формированию матричной процедуры комплексного оценивания, базирующийся на результатах, полученных в предыдущих частях. Важным вопросом при построении и использовании такой процедуры представляются ограничения на допустимую критериальную структуру и вид количественной информации о соотношениях критериев, получаемых от экспертов в оцениваемой области. Важность обоих вопросов свя-

зана с тем, что соответствующий выбор определяет удобство при формализации экспертных знаний в оцениваемой области и/или при использовании уже сформированных массивов экспертной информации. Разработанная процедура допускает произвольную древовидную критериальную структуру в качестве входной, тем самым не накладывая дополнительных ограничений, а в качестве входной информации о количественных соотношениях критериев использует матрицы парного сравнения критериев, предоставляя такую же степень удобства в задании экспертной информации, как и семейство методов анализа иерархий (МАИ), но позволяя адекватно отражать имеющиеся взаимозависимости между критериями за счет использования аппарата матриц свертки, что недоступно методам, основанным на МАИ.

В основе предлагаемого подхода лежит процедура перестроения критериальной структуры в бинарную на основе информации, получаемой из матрицы парных сравнений критериев, а также выбора используемых матриц свертки на основе соотношений между весами критериев, определяемой той же матрицей парных сравнений. Перестроение критериальной структуры производится для каждого поддерева целей, для элементов которого в МАИ задается матрица парных сравнений критериев.

Построение дерева свертки начинается с упорядочивания критериев согласно следующему определению:

Определение 2. Для заданной матрицы парных сравнений критериев Я размера ИхИ для группы критериев {К/}, где элемент г0 в г'-ой строке задает степень предпочтительности 7-того критерия по отношению к /-тому, будем

считать_/-й критерий не менее важным, чем г'-й критерий, если П — ^ 1.

Соответствующая перестановка критериев позволяет привести матрицу сравнений к блочно-диагональному виду (рис. 3).

Кр, Кр, Кр, Кр4 Кр, Кр6 Кр,

Кр, 1 1 2 3 1/6 3 5

Кр, 1 1 1 2 3 4 5

Кр, 1/2 1 1 2 3 4 1/5

КР4 1/3 1/2 1/2 1 2 2 2

Кр, 6 1/3 1/3 1/2 1 5 6

Кр, 1/3 1/4 1/4 1/2 1/5 1 5

Кр, 1/5 1/5 5 1/2 1/6 1/5 1

Кр2 Кр, Кр, Кр, Кр4 Кр6 Кр,

Кр2 1 I 3 I 2 4 5

Кр, 1 1 1/6 2 3 3 5

Кр, 1/3 6 1 1/3 1/2 5 6

Кр, 1 1/2 3 1 2 4 1/5

Кр4 1/2 1/3 2 1/2 1 2 2

Кр6 1/4 1/3 1/5 1/4 1/2 1 5

Кр, 1/5 1/5 1/6 5 1/2 1/5 1

Рис. 3 Пример исходной матрицы парных сравнений (слева) и переупорядоченной в смысле определения 2 матрицы парных сравнений (справа)

Такой вид позволяет использовать следующую процедуру для формирования основной структуры дерева свертки:

Процедура 1. Критерий, соответствующий блоку, находящемуся выше и левее на диагонали (более "важному"), сворачивается с результатом свертки критериев, соответствующих блокам, находящимся правее и ниже его на диагонали (менее "важным").

Критерии, принадлежащие одному блоку, состоящему из единиц, имеют одинаковый вес по отношению друг к другу и составляют подгруппу критериев. Соответствующая им часть дерева свертки может быть сформирована в результате использования следующей процедуры:

Процедура 2. Критерии подгруппы разбиваются произвольным образом на пары и формируют самый нижний уровень поддерева. Критерии в паре сворачиваются с использованием матрицы, обеспечивающей одинаковую важность критериев по отношению к результату их свертки. В случае нечетного размера диагонального блока, оставшийся критерий переносится на следующий уровень поддерева, где может участвовать в свертке с результатами сверток выбранных пар критериев.

Процедуры 1 и 2 позволяют сформировать бинарное дерево свертки для поддерева целей во входной критериальной структуре. Последовательное их применение позволяет перестроить входную критериальную структуру в бинарную и использовать ее в матричных процедурах комплексного оценивания, избавляя от необходимости ручного перестроения.

Выбор используемых матриц свертки основан на предложенном определении 1 весов критериев для произвольного матричного оператора свертки, позволяющем подбирать матрицы свертки таким образом, чтобы максимально приблизить получаемое соотношение весов критериев для полученной структуры дерева свертки к задаваемому матрицей парных сравнений критериев. Выбор осуществляется в два этапа. При использовании процедур 1 и 2 в узлах дерева свертки объединяются критерий А", с поддеревом свертки критериев меньшей важности согласно порядка, устанавливаемого определением 2, поэтому на первом этапе в качестве начального выбора матрицы свертки в соответствующем узле используется та, что наилучшим образом приближает следующее отношение весов:

При свертке подгруппы критериев [/'... ¡+N,-1] одинаковой важности размера Л',-используется другое соотношение для весов подгруппы и поддерева критериев меньшей важности:

Это позволяет осуществить начальный выбор матриц свертки для заданных матрицей парных сравнений соотношений между критериями. На втором этапе осуществляется оптимизация выбора матриц свертки путем замены их на эквивалентные или близкие с точки зрения соотношений весов аргументов. Цель оптимизации состоит в том, чтобы максимально удовлетворить задаваемые матрицей Л попарные соотношения между весами сворачиваемых критериев и тем самым передать задаваемые экспертом соотношения между критериями в

(10)

(П)

матричной процедуре комплексного оценивания. Минимизируемое в ходе оптимизации выражение имеет следующий вид:

2 ^ №. _±_ V и_.. ^ I

- Гц

(12)

где IV, - вес /-го критерия, вычисленный при выбранных структуре дерева и матриц свертки.

Предложенный подход к построению структуры дерева свертки и выбору матриц свертки на основе анализа матриц сравнений критериев позволяет упростить эти сложные операции, необходимые при использовании матриц свертки для формирования КО.

В третьей главе на ряде примеров рассматриваются результаты реализации предложенного подхода к построению матричных процедур комплексного оценивания. Полученная реализация позволяет:

- загружать описание критериальной структуры вместе с описанием матриц парного сравнения критериев, представленное в ХМЬ-формате;

- генерировать структуру бинарного дерева сверток;

- осуществлять начальный выбор матриц свертки и производить его оптимизацию;

- определять веса критериев согласно определению 1;

- определять отклонения полученного набора весов от соотношений, задаваемых матрицами парных сравнений критериев согласно выражению (12);

- если для исходной критериальной структуры был задан набор заранее определенных весов критериев (например, по МАИ, определять для него отклонения согласно выражению (12);

- сохранять описание дерева свертки и выбранных матриц в ХМЬ-формате.

и может быть использована как отдельная библиотека (сторонними приложениями), а может бьггь интегрирована с графическим пользовательским интерфейсом, позволяющим задавать исходную критериальную структуру и набор матриц парных сравнений критериев, а также визуализировать получаемое (бинарное) дерево сверток и используемых матриц.

Полученная реализация была использована для построения матричных процедур комплексного оценивания на основе матриц парного сравнения критериев для ряда примеров. Использование выражения (12) в указанных примерах позволило произвести сравнение получаемых с помощью предложенной процедуры результатов с таковыми для МАИ.

В таблице 2 объединены результаты сравнения предложенного подхода с таковыми для МАИ на ряде рассмотренных примеров. Из нее можно заключить, что использование предложенной процедуры построения матричных систем комплексного оценивания в совокупности с процедурой оптимизации выбора используемых матриц свертки позволяет осуществлять построение значительно более гибких решающих функций при сохранении удобства в задании критериальной структуры и простоты получения количественной информации

о соотношениях критериев, присущих МАИ, при сравнимой точности в передаче количественных соотношений критериев.

Таблица 2

Сравнение расхождений соотношений критериев с задаваемыми матрицей парных соотношений критериев для векторов весов, получаемых предлагаемой процедурой построения матричных систем оценивания и МАИ. Конечное расхождение соответствует результату применения предложенной процедуры оптимизации выбора матриц свертки.

Начальное расхождение Конечное расхождение Расхождение весов МАИ

Тестовый пример 0.14425 0 0

Модель оценки и отбора экспертов 1.18889 1.01111 0.72531

Модель оценки у язв им остей объектов к противоправным действиям 1.6461 0.874695 1.26198

Заключительный пример, рассмотренный в третьей главе, иллюстрирует возможности предложенного подхода по анализу уже построенных матричных процедур. Для этого основанный на использовании выражения (8) способ определения весов критериев был использован на примере процедуры оценивания социально-экономической ситуации в Ленинском р-не г. Воронежа. Указанная процедура использует около 30 критериев нижнего уровня, объединяемых сложной критериальной структурой (рис. 4), полученной в результате совместной работы нескольких экспертов. Использование выражения (8) позволило определить веса критериев для заданной критериальной структуры и выбранных экспертами матриц свертки, таким образом, выделив те из них, которые оказывают наибольшее влияние на значение комплексной оценки. Показанная на основе этого подхода возможность анализа получаемых матричных процедур комплексного оценивания является существенной для оценки адекватности построенной процедуры, необходимой в реальных приложениях.

Субсммиа

СЦФМЙИМ* ЖКХ 1 ) 4 4

2 1 1 <

1 1 I )

1 1 2 )

Эмннкм

пр*»лри«1М.

раежмм I

Рис. 4. Основная структура дерева свертки, описывающая получение значения комплексной оценки социально-экономического развития Ленинского района г.Воронежа

В целом, предложенный подход позволил значительно упростить построение и анализ матричных процедур комплексного оценивания, что существенно сокращает затраты труда экспертов и значительно расширяет возможно-

сти практического применения матричных механизмов комплексного оценивания при решении задач регионального управления.

В заключении приводятся основные теоретические и практические результаты и выводы диссертационной работы. Приложение содержит материалы о внедрении результатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Перечислим основные результаты работы:

1. Проанализированы существующие методы комплексного оценивания, а также методы построения матричных механизмов комплексного оценивания, использующиеся при решении задач регионального управления.

2. Построен метод перестроения произвольной критериальной структуры в бинарную иа основании матриц парных сравнений критериев.

3. Получен механизм анализа матричных систем комплексного оценивания на основе предложенной процедуры определения веса аргумента произвольного матричного оператора свертки.

4. Разработан метод синтеза матричных процедур комплексного оценивания на основании информации о матрицах парных сравнений критериев, допускающий произвольные структуры социально-экономических факторов.

5. Построен метод выбора матриц свертки на основании полученной их классификации, позволяющий осуществлять их выбор в терминах сравнительной важности аргументов и характера поведения результата свертки в зависимости от изменения аргументов.

6. Произведена адаптация полученных результатов для построения и анализа матричных систем, получаемых при комплексном оценивании в задачах регионального управления.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Власова, Е. А. Методы разработки программ повышения безопасности дорожного движения [Текст] / Е.А. Власова, В.Д. Кондратьев, А.И. Половин-кина // Системы управления и информационные технологии. Науч. тех. журнал. - 2007. - № 4,2 (30).- С. 232-235.

2. Власова, Е. А. Механизм комплексной оценки объектов в системах организационного управления [Текст] / С.А. Баркапов, Е.А. Власова // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т.5, №4,-С. 147-150.

3. Власова, Е. А. Определение степени влияния критерия на комплексную оценку [Текст] / Е.А. Власова, А.Е. Кравцов // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т.5, №5. - С. 33-36.

4. Власова, Е. А. Построение дерева сверток для комплексной оценки на основе матрицы парных сравнений критериев [Текст] / Е.А. Власова, Ю.А.

Карпов II ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета.-2009.-Т.5, №5.-С. 187-191.

5. Власова, Е. А. Комплексная оценка в задачах управления программами [Текст] / Е.А. Власова, И.Ф. Набиуллин // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т.6, №8. —С. 145-148.

6. Власова, Е. А. Об определении количества канонических матриц свертки [Текст] / С.А. Баркалов, Е.А. Власова // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т.6, №8. - С. 151-153.

7. Казакова, Е. А. Автоматизированное построение матричных процедур комплексного оценивания на основе оптимизационного подхода [Текст] / Е.А. Казакова, П.Н. Курочка // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета. -2010. -№10. -С. 131-136.

Публикации в других изданиях

8. Власова, Е. А. Модель построения комплексных оценок на основе матриц логической свертки [Текст] / Е.А. Власова, П.Н. Курочка // Системный анализ и его приложения: учебное пособие // С.А. Баркалов [и др.]. - Воронеж: Научная книга. - 2008. - С. 265-275.

9. Власова, Е. А. Определение структуры дерева сверток [Текст] / Е. А. Власова, И. Ф. Набиуллин // Международная научно-практическая мультикон-ференция «Управление большими системами - 2009». - М.: ИПУ РАН. - 2009. -С. 215-219.

10. Власова, Е. А. Автоматизированное построение комплексной оценки на основе матриц сверток [Текст] / Е.А. Власова, Ю.А. Карпов // Системы организационного поведения (первая всероссийская научно-техническая конференция). - М.: НПЦ «Модуль». - 2009. - С. 95-99.

11. Власова, Е. А. Об определении числа матриц свертки при условиях тождественности, ограниченности изменений и монотонности комплексной оценки [эл. диск] / Е.А. Власова // Материалы 64-й всероссийской науч.-практ. конф. профессорско-преподавательского состава, научных работников и аспирантов «Инновации в сфере науки, образования и высоких технологий» — Воронеж. - 2009. - 2 с.

Подписано в печать 8.10.2010. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Уч.-изд. л.1,1. Усл.-печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ № 508

Издательство учебной литературы и учебно-методических пособий Отдел оперативной полиграфии Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 394006 г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

ВВЕДЕНИЕ.

1 Методы комплексного оценивания в региональном управлении

1.1 Методы построения моделей сложных систем. Методы комплексного оценивания.

1.2 Выводы по первой главе и постановка задачи.

2 Построение матричной процедуры комплексного оценивания на основе матрицы парных сравнений критериев

2.1 Операторы свертки. Матричный оператор свертки.

2.2 Матричный оператор свертки.

2.3 Матричные системы комплексного оценивания.

2.4 Вес аргументов матричного оператора свертки

2.5 Классификация матриц свертки.

2.6 Построение матричных процедур комплексного оценивания на основе матрицы парных сравнений критериев

2.7 Выводы по второй главе

3 Применение методов анализа и построения матричных систем комплексного оценивания.

3.1 Тестовый пример

3.2 Модель оценки и отбора экспертов

3.3 Модель оценки уязвимостей объектов к противоправным действиям

3.4 Анализ модели комплексного оценивания социально-экономического развития Ленинского района г. Воронежа

3.5 Выводы по третьей главе.

Актуальность работы

Необходимость в разработке систем комплексного оценивания [25, 28] социально-экономического состояния региона [6, 7, 14, 26] постоянно возникает при решении задач регионального управления. Наличие системы комплексного оценивания состояния региона позволяет производить его анализ и принимать решения о выборе направлений регионального развития на его основе, тем самым осуществляя управление. Построение систем комплексного оценивания в таких случаях имеет большую трудоемкость и требует усилий многих экспертов. Существенная часть трудоемкости связана со сложностью анализа самой предметной области, вызванной большим количеством определяющих факторов и их взаимодействием. В то же время, трудности могут вызываться методами, выбираемыми для построения процедуры комплексного оценивания. Ограничения используемого математического аппарата могут усложнять адекватную передачу соотношений в предметной области и приводить к излишне упрощенным моделям, описывающим состояние региона, ограничивая их применимость. Использование обладающих достаточной гибкостью методов приводит к значительной трудоемкости в задании условии, определяющих процедуру комплексного оценивания, что требует нетривиальной математической подготовки от экспертов и, тем самым, существенно ограничивает практическое применение таких методов при решении задач регионального управления. В последнее время при решении задач комплексного оценивания получают все большее распространение методы, использующие матрицы свертки для описания процедур оценивания [81]. Их отличительной чертой является использование дискретных шкал для значений критериев, а также последовательное попарное объединение их значений, что приводит к бинарной форме критериальной структуры. Матрицы свертки используются в' узлах этой структуры для табличного задания фуикции, ставящей в соответствие паре дискретных значений критериев значение результата их агрегирования. Такой способ задания процедуры комплексного оценивания обладает значительной гибкостью в силу возможности аппроксимации произвольных функций свертки используемыми матрицами и возможностью учега взаимного влияния критериев, недоступного другим методам. В результате матричные системы комплексного оценивания могут быть использованы для построения значительно более сложных моделей состояния регионов, в чем состоит их существенная практическая ценность. Однако, при решении задач, связанных с комплексным оцениванием, широкое распространение получило построение процедур оценивания на базе метода анализа иерархий, которые отличаются упрощенностью используемой функции оценивания, но допускают произвольную критериальную структуру, а для количественного описания соотношений критериев используют матрицы парных сравнений, не вызывающих сложностей при их формировании у неподготовленных лиц. Причина, сдерживающая широкое распространение матричных методов комплексного оценивания в том, что указанная гибкость матричных методов скрывается рядом серьезных проблем, возникающих при их построении. Указанные достоинства скрывается рядом серьезных проблем, возникающих при построении матричных систем комплексного оценивания. Использование матричных систем комплексного оценивания требует бинарности критериальной структуры, что дополнительно ограничивает экспертов, ее вырабатывающих. Значительную сложность вызывает также необходимость выбора матриц свертки в узлах критериальной структуры, затрудненного при отсутствии существенного опыта у специалиста, осуществляющего построение процедуры оценивания. Кроме того, отсутствуют средства анализа получаемой процедуры. Так, затруднено прямое определение такой характеристики критерия, которую можно было бы интерпретировать как его 11 вес"и, соответственно, использовать ее для установления соотношений (сравнений) между критериями. Отсутствие такой характеристики для матричных процедур делают невозможным проверку соответствия заданных и получаемых соотношений между критериями. Описанные сложности, характерные для матричных процедур комплексного оценивания при решении задач регионального управления, затрудняют их построение и интерпретацию получаемых результатов и, таким образом, сдерживают использование широких возможностей, присущих матричным системам комплексного оценивания. Следовательно, разработка методов построения и анализа матричных систем комплексного оценивания, упрощающих их задание и использование, сделает доступным получение более совершенных и эффективных механизмов оценивания социально-экономического состояния регионов и облегчит решение задач регионального управления, и поэтому является актуальным в научном и практическом плане. Основные исследования, получившие отражение в диссертации, выполнялись в рамках грантов РФФИ: 07-07-00281 «Разработка методов и алгоритмов для синтеза моделей представления знаний в интеллектуальной системе поддержки принятия решений при управлении образовательной деятельностью технического университета»; 07-08-00455 «Построение математических моделей, разработка методов и алгоритмов информационного обеспечения системы управления качеством образовательной деятельности технического университета».

Цель диссертационной работы

Цель данной работы состоит в разработке механизмов формирования матричных структур при решении задач комплексного оценивания социально-экономического состояния региона, допускающих произвольные соотношения между факторами. Достижение указанной цели работы потребовало решения следующих основных задач:

- исследования используемых при решении задач регионального управления методов комплексного оценивания и существующих методов построения матричных механизмов комплексного оценивания; разработка методов формирования бинарной структуры на основе произвольной критериальной структуры;

- разработка механизмов анализа описываемых матричными системами процедур комплексного оценивания; синтез процедур оценивания на основе легко получаемой информации о количественных соотношениях между факторами; разработка алгоритма выбора матрицы свертки на основе экспертной информации о важности факторов;

- адаптации полученных результатов для снижения трудоемкости получения комплексной социально-экономической оценки при решении задач регионального управления.

Научная новизна

Научная новизна связана со следующим рядом полученных в работе результатов:

1. Разработан метод определения веса социально-экономического фактора для матричной процедуры комплексного оценивания, отличающийся учетом меры влияния фактора на значение матричного оператора свертки и позволяющий устанавливать степень соответствия требуемых и получаемых соотношений факторов.

2. Предложен алгоритм построения бинарной структуры критериев по матрице парных сравнений, отличающийся учетом соотношений между весами критериев, определяемых той же матрицей парных сравнений и позволяющий отражать имеющиеся зависимости между критериями за счет использования аппарата матриц свертки, что недоступно методам, основанным на методе анализа иерархий (МАИ).

3. Получен метод выбора матриц сверток по матрице парных сравнений критериев, позволяющий снизить трудоемкость работы эксперта при построении матричных структур.

4. Разработан алгоритм классификации матриц свертки, отличающийся тем, что в качестве признаков классификации используется равенство сворачиваемых критериев с точки зрения их важности, а также характер поведения результата свертки для некоторых диапазонов значений критериев, позволяющий осуществлять их выбор в доступных терминах важности критериев и характера поведения агрегированной оценки при их изменении.

Практическая значимость

На основании проведенных в работе исследований разработаны методы построения матричных систем комплексного оценивания, использующие упрощенные способы задания требований к процедурам оценивания и избавляющие специалистов от ряда сложных и не интуитивных ручных операций, связанных с построением матричных процедур. Применение разработанных в диссертации методов позволяет массово использовать такие системы при комплексном оценивании и существенно сократить трудовые затраты при их построении, значительно расширяя область их практического применения. Разработанные модели нашли своё применение в практической деятельности ряда муниципальных образований: администрации городского округа г. Воронеж, администрации Хохольского городского поселения Хохольского муниципального района Воронежской области. Методы и алгоритмы включены в состав учебных курсов «Исследование операций при моделировании социально-экономических систем», «Муниципальное управление», читаемых в Воронежском государственном архитектурно - строительном университете.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Метод определения веса критерия в матричных системах комплексного оценивания, понимаемого в смысле учета меры влияния рассматриваемого критерия на значение матричного оператора свертки.

2. Алгоритм построения матриц свертки, удовлетворяющих ряду стандартных условий, и выражение для их числа в зависимости от размера.

3. Алгоритм классификации матриц свертки, произведенный в терминах важности критериев и характера поведения агрегированной оценки при их изменении.

4. Алгоритм построения бинарной критериальной структуры социально-экономических факторов на основе информации об их количественных соотношениях.

5. Метод синтеза матричных процедур комплексного оценивания при решении задач регионального управления на основе информации о количественных соотношениях объединяемых социально-экономических факторов.

Апробация работы

Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах: II школе - семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Воронеж , ВГАСУ - 2007 г.), международной научной конференции «Современные сложные системы управления» (Старый Оскол, СТИ МИСиС - 2008 г.), 62 - 64 научно-технические конференции «Инновации в сфере науки, образования, высоких технологий»(Воронеж, ВГАСУ 2007-2009 гг.), первой всероссийской научно-технической конференции «Системы организационного поведения» (Москва, ИПУ РАН - 2009 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 научных статей общим объемом 53 страницы (лично автором выполнено 26 с), в том числе 7 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [37], [14] - классификация матриц свертки, произведенная в терминах важности критериев и характера поведения агрегированной оценки при их изменении; [38] - механизм определения степени влияния критерия и процедура его эффективного вычисления в случае произвольной структуры дерева и выбранных матриц сверток; [36], [39] -алгоритм построения бинарной критериальной структуры на основе матрицы парных сравнений критериев; [15], [40], - алгоритм перечисления матриц свертки, удовлетворяющих ряду стандартных условий, и выражение для их числа в зависимости от размера; [33], [35], [55] - способ выбора матриц сверток и его оптимизации на основе информации матрицы парных сравнений критериев.

Структура и объем диссертации

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем работы составляет 125 страницы, 24 рисунка, 7 таблиц. Библиография включает 119 наименований.

3.5 Выводы по третьей главе

В данной главе приведены примеры использования результатов реализации описанного в работе подхода к автоматизированному построению дерева сверток и выбору/оптимизации матриц свертки и анализу построенных матричных процедур комплексного оценивания. Использование предложенного в главе 2.6 выражения 2.45 для оценки отклонения соотношений получаемых весов критериев от задаваемых матрицей парных сравнений позволило произвести сравнение получаемых результатов для автоматически получаемой матричной процедуры комплексного оценивания и метода МАИ [92]. Сравнение как на предложенном автором (пример 1), так и на рассмотренных в других работах примерах комплексного оценивания (примеры 2-3) показало, что предложенный подход к автоматическому построению матричной процедуры комплексного оценивания позволяет получить результаты, сравнимые (с т.з. выражения 2.45) с таковыми для метода МАИ, а в некоторых случаях и лучшие результаты (пример 3). Приведенные примеры показывают, что использование описанной в главе 2.6 процедуры оптимизации выбора матриц свертки позволяет, начав с вектора весов критериев, вызывающих большее отклонение в смысле выражения 2.45 чем результаты метода МАИ, получить в ряде случаев вектор весов, приводящий к равному или меньшему значению отклонения и, тем самым, лучше удовлетворяющим задаваемым матрицами парных сравнений соотношениям критериев.

Рассмотренный в заключение главы пример 4 проиллюстрировал возможности предложенного подхода к определению весов критериев для произвольной матричной процедуры комплексного оценивания в применении к реальному случаю достаточно сложной критериальной структуры и большого количества критериев. Полученная в работе [62] матричная процедура социально-экономического оценивания Ленинского р-на г. Воронежа использует около 30 критериев, объединяемых нетривиальной критериальной структурой, что затрудняет (если не делает невозможным) понимание характера поведения КО в зависимости от критериев, а также степени влияния критериев на КО. Полученный в результате использования выражения 2.39 вектор весов критериев позволил произвести сравнение критериев и выделить те из них, которые оказывают наибольшее влияние на значение комплексной оценки. Показанная на основе этого подхода возможность анализа получаемых матричной процедур комплексного оценивания представляется весьма немаловажной для оценки адекватности построенной процедуры, необходимой в реальных приложениях.