автореферат диссертации по , 05.00.00, диссертация на тему:Формирование эквивалентных релейных управлений в терминальных задачах по эталонным управлениям

Севастопольский национальный технический университет

БАЙЗДРЕНКО Екатерина Александровна

УДК-681.511

ФОРМИРОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ РЕЛЕЙНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ТЕРМИНАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ЭТАЛОННЫМ УПРАВЛЕНИЯМ

Специальность 05.13.03 - Системы и процессы управления

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

11 НОЯ 2014

Севастополь - 2014

005555947

005555947

На правах рукописи

Работа выполнена на кафедре Технической кибернетики Севастопольского национального технического университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Шушляпин Евгений Андреевич,

Севастопольский национальный технический университет, профессор кафедры технической кибернетики

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Кушнир Владимир Моисеевич, Морской гидрофизический институт НАН Украины,

главный научный сотрудник отделения оперативной океанографии

кандидат технических наук, доцент Подольская Ольга Георгиевна,

Керченский государственный морской технологический университет, доцент кафедры высшей математики и физики

Защита состоится " " декабря 2014 г. в 1300 час. на заседании специализированного ученого совета Д 50.052.02 в Севастопольском национальном техническом университете по адресу: 299053, г. Севастополь, ул. Университетская, 33.

С диссертацией можно ознакомиться , в научной библиотеке Севастопольского национального технического университета по адресу: 299053, г. Севастополь, ул. Университетская, 29, и на сайте университета http://sevntu.com.ua.

Автореферат разослан " 2/ " _2014 г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета Д 50.052.02 д.т.н., профессор ^ Ю.К.Апраксин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы управления зачастую накладывают некоторые ограничения на управляющие воздействия. Одним из возможных ограничений является необходимость подачи управляющего сигнала в релейной форме. Для электромеханических систем такие ограничения часто связаны с предельно допустимыми мощностями оконечных усилителей систем управления, вытекающих из ограниченной области безопасной работы элементов, на которых реализуются эти усилители.

Несмотря на наблюдающийся прогресс в повышении предельно допустимых значений элементной базы усилителей, тем не менее, в области больших мощностей (более 10кВт) исполнительных устройств электромеханических систем автоматического управления (САУ), использование реле с механическим контактом является либо экономически целесообразным, либо вовсе единственным способом реализации САУ. В тоже время, использование двигателей больших мощностей необходимо в различных сферах: в железнодорожном транспорте, в промышленных электровозах и подъёмниках, в прокатных станах, в станках по производству и нарезке бумаги, и т.п. Релейное управление распространено и в экономике, в решении производственных задач: ввод и отмена действия директив, приказов, определение моментов перехода производства с одного вида продукции на другой, и другие задачи.

Распространенным способом решения подобных задач является реализация релейных управлений через обратные связи - по рассогласованию, что значительно усложняет техническое решение, и может приводить к нежелательным последствиям, например, к возникновению колебаний. В некоторых случаях, особенно в экономике, такое управление вообще нереализуемо. Поэтому возможность программного определения моментов переключения релейного управления в настоящее время актуальна. Одному из возможных путей решения данной задачи - замене управления произвольной формы неким релейным, оказывающим по своему воздействию эквивалентное, по достигаемому конечному состоянию, влияние на объект управления, и посвящена данная работа.

Связь, работы с научными программами, планами, темами.

Предложенные в работе методы построения эквивалентного релейного управления были исследованы в процессе выполнения госбюджетной НИР №0109и009072 «Аналитическое конструирование систем управления методами прямых и обратных задач динамики» (шифр «Малахит», раздел 1.4 промежуточного отчета за 2011 год, пункт 5.2.2 заключительного отчета за 2012 год), в которой автор был исполнителем.

Объектом исследования являются управляемые объекты и системы автоматического управления с математическими моделями в виде нормальных систем нелинейных дифференциальных уравнений с гладкими нелинейностями и аддитивным, ограниченным по амплитуде, управлением.

Предметом исследования являются аналитические и численные методы расчета моментов переключений релейных управлений (в том числе как функций

текущего состояния), приближенно эквивалентных с оцениваемой точностью произвольным ограниченным управлениям.

Цель н задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка методов, позволяющих преобразовывать ограниченные в заданных пределах управления произвольной формы (эталонные управления) в эквивалентные по конечному состоянию объекта управления, релейные управляющие сигналы, а именно - вычислять моменты переключений релейных управлений, обеспечивающих оцениваемую точность достижения задач управления.

Для достижения поставленной цели были решены задачи:

1. Исследована возможность получения релейного управления для объектов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений, путём их точной линеаризации по Бруновскому и формирования релейных управлений для линейных эквивалентов с последующим преобразованием полученных управлений к виду, допустимому к применению для исходной нелинейной системы.

2. Получены аналитические выражения для вычисления двух моментов переключений релейных управлений, обеспечивающих достижение терминальных состояний от эталонного управления всех координат вектора состояний для линейных управляемых систем на малых интервалах, когда произведения переходных функции системы на коэффициенты при соответствующих управляющих воздействиях (далее для краткости - функции Л; (V), определенные выражением (5)) как функции времени приближенно линейны; доказано теоретически и подтверждено компьютерным моделированием, что указанные моменты переключений всегда находятся внутри или на границах временного интервала, и что значения моментов переключений зависят только от формы эталонного управления и не зависят от параметров системы.

3. На основе линейной аппроксимации функций /гДг) на малых интервалах времени предложен способ формирования релейных управлений с обратной связью.

4. Получена система нелинейных уравнений конечного типа для п+1 моментов переключений для случая, когда функции /гД/) линейной системы могут быть аппроксимированы полиномами и-й степени; здесь так же, как и в случае п= 1, значения моментов переключений зависят только от формы эталонного управления и не зависят от параметров системы.

5. Обоснована возможность применения разработанных методов для объектов управления, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений, для которых справедлива интегральная формула В.М.Алексеева.

6. Получены выражения, позволяющие оценить величины погрешностей состояний управляемых систем, возникающих из-за замены произвольных ограниченных управлений эквивалентными по конечному состоянию релейными управлениями при отклонении фактических временных зависимостей функций /г; (?) от принятого полиномиального вида.

7. Разработаны компьютерные программы и с их помощью проведена апробация разработанных методов на задачах управления техническими системами, протестировано влияние параметров управляемых систем на формируемые релейные управления, оценена погрешность достижения желаемых состояний управляемых систем.

Методы исследования. При получении аналитических решений поставленных задач использовались математический анализ, классические и современные методы теории автоматического управления. Для проверки эквивалентности влияния получаемых релейных управлений использовались эмпирические методы: моделирования (применялись математические модели объектов управления), эксперимента (выполнение компьютерных экспериментов при различных начальных1 условиях и тому подобное), измерения и сравнения (значений управляемых величин, получаемых в результате моделирования поведения объекта управления при подаче на вход предлагаемых в работе управляющих воздействий релейной формы и контрольных управляющих воздействий произвольной формы).

Научная новизна полученных результатов.

1. Впервые сформулирована постановка задачи замены ограниченных в заданных пределах управлений произвольной формы эквивалентными, по достигаемому конечному состоянию объекта управления, релейными управлениями, способными обеспечить оцениваемую точность достижения задач управления.

2. Впервые разработаны методы расчета моментов переключения релейных управлений для объектов управления, описываемых линейными и нелинейными системами дифференциальных уравнений с гладкими нелинейностями и аддитивным управлением, в которых используется только информация о форме эталонного управления и значение максимальной степени аппроксимирующих полиномов функций й(-(/) объекта управления.

3. Впервые получено аналитическое выражение для расчета погрешности конечного состояния системы оговоренного выше класса при замене произвольного ограниченного управления соответствующим релейным управлением, вызванной отклонением фактических временных зависимостей функций от принятого полиномиального вида.

4. Впервые разработан метод формирования релейных управлений как функций текущего состояния для систем оговоренного выше класса.

5. Получила дальнейшее развитие схема формирования управлений на основе точных линейных эквивалентов Бруновского и показано, что для формирования релейных управлений она в общем случае неприменима.

Практическое значение полученных результатов. Разработанный метод позволяет находить точки переключения эквивалентного по конечному состоянию управляемой системы релейного управляющего воздействия, обеспечивающего оцениваемую точность решения задач управления, для ограниченного по модулю эталонного управляющего воздействия, формируемого известными методами.

Методом компьютерного моделирования разработанные методы опробованы на нескольких прикладных задачах управления двигателем постоянного тока с независимым возбуждением — терминальной задаче управления выведением на номинальный режим за определенное время, задаче выведения на номинальный режим по заданной траектории.

Полученные результаты имеют перспективы в решении задач управления как объектами, для которых формирование релейных управляющих воздействий позволят, как минимум, упростить их конструкцию, так и объектами, для которЬгх подача управляющих воздействий в релейной форме является необходимостью.

Разработанные методы и решения внедрены в учебном процессе Севастопольского национального технического университета и в ЧАО НТП «Импульс-2».

Личный вклад соискателя. Работа выполнена под руководством д.т.н. проф. Шушляпина Е.А. Из результатов, опубликованных в соавторстве, соискателем лично выполнено:

- проведено исследование возможности получения релейного управления нелинейным объектом на основе релейного управления, получаемого для точного линейного эквивалента по Бруновскому данного объекта [2, 7];

- получены нелинейные уравнения конечного типа для вычисления моментов переключения релейного управления для случая линейных и нелинейных САУ, а для случая возможной линейной аппроксимации функции йД/) с двумя моментами переключений получены простые аналитические выражения [3, 4, 6];

- предложен способ построения релейных управлений как функций состояния системы, что позволяет избежать необходимости вычисления корней полиномиальных функций высокого порядка [5, 8];

- получено выражение для оценки погрешности конечного состояния системы, вызванной несоответствием между полиномиальной и фактической формами функций h-{t) [1];

- проведены экспериментальные исследования в форме компьютерного моделирования, свидетельствующие о работоспособности предложенных в диссертационной работе методов замены произвольных ограниченных управлений эквивалентными по достижимым конечным состояниям релейными управлениями [4, 8].

Апробация результатов диссертации. Результаты работы были доложены на Международной научно-технической конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Управление, автоматизация и окружающая среда» (СевНТУ, Севастополь, 24-28 мая 2010 г.), Международной научно-технической конференции SAIT 2011 (НТУ «КПИ», Киев, 23-28 мая 2011 г.), XVIII Международной конференции по автоматическому управлению (НУ «Львовская политехника», Львов, 28-30 сентября 2011 г.), Международной научно-технической конференции «Автоматизация: проблемы, идеи, решения» «АПИР-2014» (СевНТУ, Севастополь, 8-12 сентября 2014 г.).

Публикации результатов научных исследований. Основные результаты работы отражены в 8 научных работах, из них 5 - статьи в сборниках научных трудов, журналах, внесенных в перечень профессиональных изданий (перечня ВАК), 3 публикации в сборниках материалов конференций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, _4_ разделов, заключения, библиографического списка, содержащего 79 наименований, и _6 приложений. Полный объем диссертации 178_ страниц. Диссертация содержит 30 рисунков. Рисунков на отдельных страницах нет.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности рассматриваемой темы, сформулированы цель, задачи работы, определены объект исследований ц круг применяемых методов, кратко перечислены основные результаты диссертационной работы, её научная новизна и практическое значение.

В первом разделе рассмотрено современное состояние теории и практики автоматического управления в сфере задач, управление которых должно быть задано в релейном виде. Проведен обзор литературы по тематике рассматриваемой проблемы. Показано, что релейные управления применяются в различных задачах: в управлении шахтными водоотливами, задаче стыковки и причаливания для воздушных, водных судов, управлении темпами производства, динамической рекламой и т.д. Отмечены как упоминаемые в литературе недостатки релейных систем: постоянная работа исполнительных устройств на граничных значениях, что может приводить к нежелательным эффектам, например, быстрому износу, перегреву, так и их основные достоинства: простота конструкции, невысокая, по сравнению с системами, использующими управляющий, сигнал произвольной формы, стоимость, простота настройки и эксплуатации, высокая надёжность.

Отмечено, что помимо объектов управления, для которых релейные сигналы формируются по наступлению неких физических или логических признаков, и не требуют предварительного формирования, могут быть выделены следующие основные подходы к построению систем с релейными управлениями:

1. Контроль фазовых координат системы, обеспечивающий определение знака управляющего сигнала через расположение этих координат относительно гиперповерхности переключения.

2. Определение моментов переключений во временной области и смена знака управляющего сигнала при совпадении расчётного и реального моментов времени.

Приведен обзор современных направлений применения релейных управлений в терминальных задачах. На примере ряда современных работ, показано, что в некоторых задачах применение релейных управлений позволяет повысить эффективность управления, обеспечивая, например, рост быстродействия систем. Однако из проведенного обзора работ видно, что многие из предлагаемых в настоящее время способов построения релейных управлений направлены на решение конкретных практических приложений, и зачастую не могут быть распространены на другие задачи.

В связи с тем, что для успешной автоматизации некоторые практические приложения, как, например, задача управления электродвигателями постоянного тока с независимым возбуждением больших мощностей, требуют задания управляющего сигнала в релейном виде, то был сделан вывод об актуальности поставленной цели диссертационного исследования: разработке методов, позволяющих для объектов и систем автоматического управления, математические модели которых представляются в виде нормальных систем нелинейных дифференциальных уравнений с гладкими нелинейностями и аддитивно входящим в эти уравнения ограниченным по амплитуде управлением, преобразовывать указанные ограниченные управления произвольной формы в релейные, эквивалентные по конечному состоянию объекта управления, способные обеспечить оцениваемую точность достижения задач управления.

Во втором разделе рассмотрена задача получения управлений для нелинейных систем через релейные управления, определяемые для линейных эквивалентов этих систем.

Трудности, возникающие при формировании управлений для нелинейных объектов, способствовали развитию геометрической теории управления, которая основывается на теории групп и алгебр Ли, дифференциальной геометрии. С помощью ряда преобразований геометрическая теория управления даёт возможность получения линейных эквивалентов для различных нелинейных систем управления, что позволяет применить теорию линейных систем для получения управлений системами нелинейными. Отмечено, что идея линеаризации с целью дальнейшего формирования управлений, не является уникальной и используется в работах современных авторов. Однако во многих из этих работ основное внимание уделяется задаче получения линейного эквивалента, с рекомендацией его использования для формирования управлений, но сама задача синтеза управлений зачастую не рассматривается.

В разделе исследованы несколько подходов к линеаризации нелинейных объектов управления на примере простой, но достаточно содержательной в смысле проводимых исследований, модели электродвигателя постоянного тока с последовательным возбуждением (сериесный вариант включения обмотки возбуждения), имеющей следующий вид:

где 'а ~ ток в обмотке; со - угловая скорость вращения ротора; и - напряжение на обмотке; га,Ьа- сопротивление и индуктивность обмотки; кх,к2 - электрическая и механическая постоянные; J м - момент инерции, приведенный к валу двигателя; км - коэффициент пропорциональности момента нагрузки и скорости. Для сокращения записи, при рассмотрении модели в диссертационной работе, были введены обозначения:

(1)

*2-2 км ^ л .7а/

х\ ~ 'а' х2 ~ а '

га к\ к2 км , 1

«И =---; = , ; а21 «22 = —;¿1 = — .

ьа и М •>М

Линеаризация нелинейных систем может быть реализована различными методами, однако можно предположить, что метод линеаризации не оказывает р дальнейшем влияния на способ формирования управления, а только определяет сложность получения линейного эквивалента. Для проверки этого предположения в работе исследованы несколько подходов к решению задачи линеаризации уравнений (1): метод точной линеаризации по Бруновскому, метод линеаризации А. Исидори, как основной, так и модифицированный Вэй-Ву. Показано, что получаемые этими методами линейные эквиваленты системы (1) идентичны к могут быть записаны следующим образом:

А

ь (2)

.л х>

В (2) связь между точным линейным эквивалентом и исходной нелинейной системой описывается уравнениями:

Уо =х2'> >'1 = а2\х\ +"22х2'

у(/) = 2а21х1(апх1 + ах2Х\Х2 + Ьхи{()) + а22[^ 2\*\ + а22х2) Для полученного линейного эквивалента (2) необходимо задать управление >'(/) в релейном виде, и в дальнейшем применить его к исходное: нелинейной системе путём преобразования:

у(')-а22{а21Х?+а22х2)

^ ~а\2х\х2

Ь\

(3)

/

Для формирования релейного управления полученной линейной системы в работе предложено применять теорему о количестве переключений в задаче оптимального терминального управления (Е.А.Шушляпин). Теорема распространяется на системы рассматриваемого вида:

^=<РМ/))+/е [/о^Ьы-Л

где .*(/) - и-мерный вектор состояния, Ф(/,.«(/)) - непрерывная, вместе со своими частными производными первого порядка, вектор-функция, В (г) - матрица, размерности (пхг), коэффициентов при г-мерном векторе управления ;;{/), и позволяет определить эквивалентное любому ограниченному нулём и единицей управлению релейное в тех же пределах управление:

"""'""[о.М^Г (4)

В (4) /< г5] < fy -tj> ПРИ этом граничные точки интервалов tj и их

количество N, на которых и осуществляется определение моментов переключений релейного управления, определяются из условий непрерывности и знакопостоянства функций Л,-(/), /' = ;'1,/2, определяемых выражениями:

'/я '/

'о -Н 'о

МО^Е^ЫМ^ £(')="*('). (5)

у=1

и монотонности функции /ziS (/),= /1,/2, определяемой

his (?) = . А» = Ал + hi2, А/ (0 = |Л, (/). hs{t)

Получаемое таким образом релейное управление (4) обеспечит достижение конечных состояний двух координат xn(tf),xi2(tу) линейной

системы, а в рассматриваемом случае - линейного эквивалента, равным их значениям, получаемым под воздействием произвольного, ограниченного нулём и единицей, исходного управления

В диссертационной работе предложены выражения как для выполнения нормирования исходного управления £(/) для обеспечения принадлежности заданному интервалу:

е (А — (0 ~ £min норм V/ е _ е ' Ътах Ьт'т

так и для обратного преобразования получаемого релейного управления от ограничений от нуля до единицы, к ограничениям в, пределах, задаваемых исходным управлением:

_ I ^тах' еСЛП ^рел ^ = 1

Для рассматриваемой во втором разделе системы (2) определено, что условия существования релейного управления с двумя переключениями выполняются на всём временном интервале работы системы. Таким образом для определения моментов переключения релейного управления, необходимо было решить систему нелинейных, относительно значений г^, г52, уравнений:

\h\{t).v{t)dt = %x{t)dt, 'о ^

\h2{t)-v{t)dt = %2{t)dt. 'о ^

Были получены моменты переключения: = 0,36153с, i32 =1,34182с и сформировано релейное управление (рис. 1а).

Однако дальнейшее преобразование полученного релейного управления по выражению (3), для применения его к исходной нелинейной системе, привело к нарушению релейной формы получаемого управления (см. рис. 16).

Получаемые под воздействием сформированного управления конечные значения управляемых координат совпадают со значениями, получаемыми пол воздействием исходного управления, с точностью до третьего знака после запятой, то есть, несмотря на то, что получаемое предложенным способом управление релейным не является, но, тем не менее, оно обеспечивает поставленную задачу управления - выведение переменных состояния управляемой нелинейной системы к заданным значениям. Отметим, что на точность получаемых результатов оказывает влияние шаг интегрирования при нахождении моментов переключения релейного управления.

¿со, п.

0.5 N 0.5 1

и С \ \

0.5 15 \

а б

Рис.1. Нормированное релейное управление линейной системы (2) (а), график преобразованного управляющего воздействия нелинейной системы (1) (б)

Примененная во втором разделе теорема (Шушляпин Е.А.) о количестве переключений в задаче оптимального терминального управления нестационарным линейным объектом позволила в третьем разделе диссертационной работы сформулировать гипотезу, связанную с возможностью обобщения подхода, положенного в основу доказательства теоремы, на случай более чем двух управляемых координат. А именно, что для случая сколь угодно большого количества управляемых координат, возможно выполнение замены произвольного нормированного в пределах от нуля до единицы управления эквивалентным релейным, нормированным в тех же пределах, если функции определяемые (5), строго линейны, то есть имеют вид: /г(- (/) = а10 .

При этом могут быть определены два момента переключений г?2 ограниченного релейного управления, которые обеспечат достижение всеми п координатами вектора состояний конечных значений х(/у), равным значениям, которые могли быть достигнуты под воздействием исходного управления. В случае нелинейности функций /гД;), их аппроксимация может быть выполнена полиномами более высокого порядка. Для вычисления моментов переключения б:, ] = 1,2.....т необходимо решить систему уравнений:

1Мг>Л+ |й,(/)А + ...+ 1А,(/)Л= /йД'Ж'У'. (6)

Й г?з ¿>и-1 'о

где / = 1,2,...,п. В случае нечётного количества моментов переключений тЗт = tf■

Определено, что для случая двух моментов переключения, решением системы (6) являются следующие выражения:

к\ 2 к\ 2

где = / V/, у = 0,1.....т -1.

'о

В случае же т > 2 , моменты переключения определяются из системы: Л2 - + й? - +... +- = 2А-2

[0?+ = Ш • кт.

Показано, что для случая т = 2, при неравенстве нулю управляющего воздействия выполняется условие ^ < - {/■

Из (7) видно, что получаемые моменты переключения не зависят от параметров системы, коэффициентов ау, а определяются только видом исходного эталонного управления £(/).

Показано, что полученные для случая линейных систем выражения (7), (8), определяющие моменты переключений релейных управлений, могут быть применены и для систем нелинейных. Это следует из сравнения выражений, определяющих вектор конечных состояний х(/у) для линейной системы, то есть формулы Коши-Лагранжа:

/ I

где - переходная матрица системы, и формулы В.М.Алексеева,

определяющей вектор конечных состояний нелинейной системы:

tf

4/)= М^.г.хМКгМгУг, (10)

_ I

где - переменная конечного состояния системы, отображающая

прогноз неуправляемого конечного состояния системы.

Из сравнения выражений (9), (10) видно, что их различие заключается в зависимости нелинейной переходной матрицы у не только от текущего

и конечного моментов времени, но и от текущего состояния системы - вектора х(г). То

есть формируемые через значение переходной матрицы функции /г,(?) для нелинейной системы, также будут зависеть от её текущего состояния. Однако,

поскольку выражения (7), (8), не зависят от коэффициентов аппроксимации функции А,-(/), то эти выражения будут справедливы и для случая управления нелинейными системами.

Отметим, что если для случая двух моментов переключения получены простые аналитические выражения (7), то уже для случая трех моментов переключения, получение подобных аналитических выражений является настолько сложным, что целесообразным является использование математических пакетов МаЛСАБ, МаЛАВ и др. При этом чем больше моментов переключения на временном интервале работы системы требуется определить, тем больше это потребует машинного времени, в связи с возрастающей сложностью выражений. Отсюда возникает задача упрощения способа определения моментов переключения релейных управлений для случаев т>2.

Для решения этой задачи предложен метод формирования эквивалентного релейного управления по выражениям (7) как функции состояния управляемой системы. Предложено разбить весь интервал работы системы [¿о,¿у] на отрезки

малой длительности [/,._[,условной линейности функции и на первом из этих отрезков осуществить расчет эталонного управления, а затем, по выражениям (7), моментов переключения г^, г?2 релейного управления, которое и подать на вход системы. Далее, передав информацию о фактическом состоянии системы на конце текущего отрезка, как начальные условия для формирования управления на следующем отрезке, необходимо рассчитать эталонное управление для следующего отрезка и соответствующее этому эталону релейное управление с двумя переключениями, которое подать на объект управления. Пройдя весь интервал [/0у формируется релейное управление с числом переключений, равным удвоенному количеству отрезков разбиения. В силу передачи текущих состояний системы на конце каждого из отрезков, величина погрешности достижения итоговых конечных состояний на конце всего интервала у будет

равна погрешности, возникающей на завершающем отрезке.

Получены выражения, определяющие величины погрешностей, абсолютной

и относительной

Д т = тах

=

I

мм-'ог да.

'о

которые может привнести замена эталонного управления эквивалентным релейным. В представленных выражениях Л^ (£(/)) - нелинейный функционал (может быть рассчитан для каждого конкретного случая) от эталонного

ф")(0\

управления [0,1], а К, (в) - ——— - остаточный член ряда Тейлора при

т!

б?е [/„ Д

Поскольку формируемое релейное управление определяется на основе эталонного управления ¿;((), то на итоговый результат также оказывает влияние и погрешность достижения целей управления исходным эталонным управлением.

Таким образом, полученные в третьем разделе диссертационной работы выражения для определения моментов переключения релейного управления имеют перспективы применения в практических задачах разного типа.

В четвертом разделе диссертационной работы рассмотрены примеры применения предложенных в третьем разделе методов формирования эквивалентных по достигаемому конечному состоянию системы нормированных релейных управлений.

Рассмотрен пример формирования релейного управления в задаче разгона электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением, математическая модель которого имеет вид:

ей. гА . к] . 1

(Но Га . 1

Лу 1 , к7 . .

Ш Jм

где индексы А, В относятся к якорной обмотке и обмотке возбуждения соответственно, '¡А, ¡в - токи двигателя, со - угловая скорость двигателя, гА, гв -сопротивления обмоток, ид,ив - напряжения на обмотках двигателя, ЬА,ЬВ -индуктивности обмоток двигателя, кик2 - электрическая и механическая постоянные, км - коэффициент пропорциональности момента нагрузки и скорости, Jм — момент инерции.

Терминальная задача разгона электродвигателя сводится к выведению его к определенному моменту времени, в рассматриваемом примере ¡и-\с, на номинальный режим работы из выключенного состояния, то есть состояния с нулевыми начальными условиями. Были рассчитаны целевые значения управления: Св = 1,8333 А, 1*А ~ 51,856 А, со* =108,65 с-1.

Для построения релейного управления сначала необходимо любым из известных методов сформировать управление произвольной формы, которое обеспечит выполнение поставленной задачи. Для расчёта базового эталонного управления использован метод конечных состояний (МКС-метод), предназначенный для решения задач рассматриваемого типа - терминальных задач управления. Рассчитанное в диссертационной работе МКС-управление (см. рис. 2, кривые 2) позволяет получить значения, близкие к номинальным по двум

из трех управляемых координат, а именно по скорости двигателя й}(!„)~ 99,265 с"1 (рис. Зв) и току на якорной обмотке 1Д (/ы ) = 60,892 А (рис. За), а дальнейшая подача на вход системы (11) номинальных напряжений иАном — VВНОМ = ' ЮВ обеспечивает окончательное приведение управляемых координат к желаемым значениям за время значительно меньшее, чем при управлении только номинальными напряжениями. В то же время значение тока на обмотке возбуждения 2,961 А (рис. 36) в момент времени 1и далеко от желаемого,

однако дальнейшая подача на вход номинального напряжения позволяет оперативно привести указанную координату к номинальному режиму. Здесь при формировании управления наибольшее значение придавалось управлению угловой скоростью двигателя, что было отражено при задании весовых коэффициентов квадратического критерия, используемого в данном методе.

Далее преобразуем эталонное МКС-управление в релейное. Для чего осуществим разбиение всего временного интервала работы системы на четыре отрезка (количество отрезков подбиралось опытным путем), для которых функции /г,(?) можно считать линейными, и осуществим расчёт восьми моментов переключения, по два па каждом из отрезков, релейного управления по выражениям (7).

На рис. 2 покажем графики релейных (кривые 1) и эталонных (кривые 2) управлений.

11а, В

1 '.2

ив, В

I, с 1,с

а б

Рис.2. Релейные (кривые 1) и МКС (кривые 2) управления ДПТнв

На рис. 3 покажем графики изменения управляемых координат под воздействием релейного (кривые 1), МКС (кривые 2) и номинального (кривые 3) управлений. Заметим, что простая подача на вход в качестве управляющего сигнала номинальных напряжений не позволяет достичь задач управления.

Как видно из рис. 3, в терминальный момент управления !и релейное управление обеспечивает достижение конечных состояний управляемы.'; координат близкими (отклонение не более 2%) к состояниям, достигаемым под воздействием базового (эталонного) МКС-управления, что свидетельствует об эффективности предлагаемого метода построения релейного управления.

а б

1 / л 2 /3 У

/ * [ У у У

0 12 3 4 5

В

Рис.3. Управляемые координаты под воздействием номинального (кривые 3), МКС (кривые 2) и релейного (кривые 1) управлений

Также в четвертом разделе диссертационной работы рассмотрен пример формирования релейного управления на основе линеаризации системы методом А. Исидори для многомерных входа и выхода. Объектом управления, как и ранее, выступает двигатель постоянного тока независимого возбуждения (11), однако поставлена задача приведения тока возбуждения и угловой скорости ® к номинальным значениям по задаваемым траекториям. Для формирования эталонного управления, позволяющего решить поставленную задачу, используется метод, основанный на точной линеаризации (А. Исидори) системы для случая многомерных входа и выхода. Полученные эталонные управления были преобразованы в релейные путем разбиения временного интервала работы системы на отрезки и последовательного вычисления моментов переключения по выражениям (7). Показано, что в случае, если релейное управление, реализуемое на управляемом объекте, принимает значения 0 и 500 В, то наблюдаются высокочастотные колебания большой амплитуды управляемых координат, что говорит о неэффективности управления, однако, если формировать релейные управления принимающие значения 0 или 110В, то решение задачи управления оказывается приемлемым (рис. 4).

а б

•

-- / /

/

О 2 4 б 8 10 Ь, С В

Рис.4. Изменение управляемых координат системы (11) при ит =110 В под воздействием различных управлений: релейного, эталонного, номинального

В рассмотренном случае релейные управления формировались путём разбиения временного интервала работы системы на отрезки небольшой длительности, что обеспечило траекторию изменения управляемых координат, близкой к траектории, обеспечиваемой эталонными управлениями, что позволяет говорить о перспективности предлагаемого метода в решении не только терминальных задач, но и задач обеспечения желаемой траектории изменения управляемых координат.

В выводах приведены основные научные и практические результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложениях приведены тексты Ма^САЭ-программ, разработанных в рамках диссертационной работы.

ВЫВОДЫ

Поставленная цель диссертационного исследования - разработка методов, позволяющих во временной области определять моменты переключений релейных управлений, и заменять релейными эталонное ограниченное управление произвольной формы, приводя, с оцениваемой точностью, в те же самые конечные состояния управляемой системы, достигнута.

Для достижения поставленной цели был решен ряд задач:

1. Проверка возможности формирования релейного управления для нелинейных систем на основе линеаризации и применения известных методов построения релейных управлений для линейных систем, с дальнейшим

преобразованием получаемого управления и применения его к исходной нелинейной системе, выявила бесперспективность этого направления, однако позволила сформировать основные предположения для разработки выражений, позволяющих, при определенных предположениях, точно определять моменты переключений релейного управления для линейных и нелинейных систем.

2. Получены аналитические выражения (7), позволяющие определять на временном интервале работы системы управления пары моментов переключения релейных управлений, которые обеспечивают достижение желаемого состояния управляемой системы, если этой цели может достигнуть ограниченное управление произвольной формы, служащее эталонным при формировании релейного. Условием, при котором указанное релейное управление приводит точно к тем же результатам, что и эталонное, является линейность во времени функций /;,(/) (5), определяемых произведением переходных функций и коэффициентов при соответствующих управляющих воздействиях объекта управления.

3. Разработаны основы метода формирования релейных управлений с использованием полученной в диссертации системы нелинейных уравнений конечного типа, решением которых являются моменты переключений релейных управлений. Количество и вид указанных уравнений зависят от формы зависимостей функций ¡¡¡(1) от времени и степени соответствующего аппроксимирующего полинома.

4. Показано, что полученные в разделе выражения могут быть применены как для объектов, описываемых системами линейных нормальных дифференциальных уравнений, так и для объектов, для описания которых применяются нелинейные системы с гладкими нелинейностями и аддитивным управлением.

5. Доказано и продемонстрировано на примере, что определяемые но предложенному методу количество и значения моментов переключения релейных управлений не зависят от параметров управляемой системы, а определяются степенью аппроксимирующего функции А,-(/) полинома и формой эталонного управляющего воздействия.

6. Предложено, в случае сложных форм поведения во времени использовать разбиение временного интервала работы системы на отрезки небольшой длительности и определение на каждом из этих отрезков двух моментов переключения, с дальнейшим объединением полученного управления на всём интервале. Протяженность отрезков определяется спецификой системы, а критерии их определения представлены в работе.

7. Получены выражения, позволяющие оценить предельные величины погрешностей от несоответствия фактических и аппроксимированных функций

в достигаемых конечных значениях координат систем с эталонными и релейными управлениями. Показано, что для некоторых систем управления привносимая погрешность может быть нулевой, а разбиение временного интервала работы системы на отрезки не приводит к увеличению погрешности достигаемого терминального значения на всём интервале.

8. В работе доказано, что для случая линейной аппроксимации функций ht{t) получаемые по предлагаемым выражениям моменты переключения релейного управления всегда находятся в границах временного интервала работы системы.

9. Показана на конкретных примерах достаточно высокая точность достижения желаемых состояний управляемых координат при использовании эквивалентных релейных управлений. Так, в случае решения терминальной задачи управления ускоренным разгоном электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением погрешность достижения конечных состояний, определяемых значениями, достигаемыми под воздействием предложенного в примере эталонного управления, не превысила 2%. А в случае релейного управления, полученного на основе другого эталонного управления, достигнутая погрешность в терминальный момент времени вообще оказалась близкой к нулю.

10. Предложенные методы формирования релейных управлений имеют перспективы применения не только в терминальных задачах, но и в задачах стабилизации и задачах управления движением по заданным траекториям. При этом выбор достаточного числа отрезков разбиения временного интервала работы системы, на котором строится релейное управление, позволяет нивелировать отклонения управляемых координат от заданных траекторий, что только подтверждает перспективность применения предложенных методов в различных задачах, управления для которых желательно задавать в релейной форме.

Таким образом, предложенные методы формирования релейных управлений, эквивалентных по оказываемому влиянию на итоговый результат управления, являются достаточно эффективными и способны решать широкий круг задач, а поставленные в начале работы цели и задачи можно считать достигнутыми.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ ТРУДОВ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Байздренко Е.А. Погрешность конечного состояния при замене произвольного ограниченного управления приближенно-эквивалентным управлением / Е.А.Байздренко, Е.А.Шушляпин // Вкник КрНУ ¡меш Михайла Остроградського. Випуск 1/2012(72). Частина 1 - Кременчуг: КрНУ - 2012. С. 17-20.

2. Байздренко Е.А. Построение релейных управлений нелинейными системами на основе линейных эквивалентов по Бруновскому / Е.А. Байздренко, Е.А.Шушляпин, А.Е. Безуглая // Вестник СевНТУ. Сер. Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь, 2010. - №108. - С.89-93.

3. Байздренко Е.А. Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем / Е.А.Байздренко, Е.А.Шушляпин // Системный анализ информационные технологии: материалы Международной научно-технической конференции SAIT 2011, Киев, 23-28 мая 2011 г. / УНК «ИПСА» НТУУ «КПИ». -К.: УНК «ИПСА» НТУУ «КПИ», 2011. - С.50.

4. Байздренко Е.А. Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем / Е.А.Байздренко, Е.А.Шушляпин // Системш дослщження та

¡нформацшш технологи. - УПК «ИПСА» НТУУ «К1ТИ». - К.: УНК «ИПСА» НТУУ«КПИ», 2013,- №1/2013. -С.126-134.

5. Байздренко Е.А. Построение эквивалентных релейных управлений как функций состояния / Е.А.Байздренко, Е.А.Шушляпин // Автоматика / Automatics — 2011. XVIII М1жнародна конференвдя з автоматичного управлшня, 28-30 вересня 2011 року: матер1али конференцп / Вгдп. за вип. М.Д. Ккеличник. - Льв1в: Видавництво ЛьвшськоТ пол1техшки, 2011. - С.113.

6. Байздренко Е.А. Построение эквивалентных релейных управлений многомерными линейными нестационарными системами / Е.А.Байздренко, Е.А. Шушляпин // Вестник СевНТУ. Сер. Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. — Севастополь, 2012. — №125. — С.49-54.

7. Байздренко Е.А. Управление нелинейными системами на основе точных линейных эквивалентов по Бруновскому / Е.А. Байздренко, Е.А. Шушляпин, А.Е. Безуглая // Управление, автоматизация и окружающая среда. Материалы межд. научно-техн. конфер. молод, уч., асп. и студ. г.Севастополь, 24-28 мая 2010г. -Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2010. - С.41-47.

8. Байздренко Е.А. Формирование эквивалентных релейных управляющих воздействий как функций состояния системы / Е.А. Байздренко, Е.А. Шушляпин // Энергетика и автоматика: электронное научное специализированное издание; Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины УНИ Энергетики и автоматики — Киев: Издательство НУБиПУ, 2011. — №4(10). — Режим доступа: http://www.nbuv.gov.ua/e-journals/eia/201 l_4/index.htm, свободный.

АННОТАЦИЯ

Байздренко Е.А. Формирование эквивалентных релейных управлений в терминальных задачах по эталонным управлениям. -Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук по специальности 05.13.03 - системы и процессы управления. Севастопольский национальный технический университет, Севастополь, 2014.

Диссертационная работа посвящена разработке методов формирования эквивалентных по достижимому конечному состоянию управляемой системы релейных управлений для систем автоматического управления с математическими моделями в виде нормальных систем нелинейных дифференциальных уравнений с гладкими нелинейностями и аддитивным ограниченным по амплитуде управлением.

В работе получены аналитические выражения для определения пары моментов переключений релейного управления для случая линейной системы, сформулированы системы уравнений, позволяющие формировать релейные управления с количеством переключений, большим двух, для линейных систем. Доказана возможность применения предложенного метода формирования релейных управлений для случаев нелинейных систем.

На основе аналитических выражений, определяющих пары моментов переключений релейных управлений на малых временных интервалах, показана

возможность формирования релейных управлений как функций состояния системы.

Получены выражения, позволяющие оценить величины погрешностей в достигаемых конечных значениях координат систем с эталонными и релейными управлениями, возникающих от несоответствия фактических я аппроксимированных функций, определяемых переходной матрицей и коэффициентами при управлениях системы.

Разработанные в диссертационной работе методы применены для решении задач управления двигателем постоянного тока независимого возбуждения: терминальная задача разгона и задача управляемого разгона.

Ключевые слова: релейное управление, терминальное управление, аддитивное управление, эквивалентное управление, замена управления.

АНОТАЦШ

Байздренко К.О. Формування екв1валентних релейних управлшь в термшальннх задачах по сталонним упраплшням. — Рукопнс.

Дисерташя на здобуття наукового ступеня кандидата техшчних наук за спещальшстю 05.13.03 - системи та процеси керування. Севастопольський нашоналышй техшчний ушверситет, Севастополь, 2014.

Дисерташйна робота присвячена розробщ метод ¡в формування екв1валентних, по досяжному кшцевому стану керованоУ системи, релейних управлшь для систем автоматичного управлтня з математичними моделями у вигляд! нормальних систем нелЫйних диференщальних р!внянь з гладкими нелшейностям! i адитивним обмеженим по амплггуд! уттравлшням.

У робот1 oipuMani аналгтичш вирази для визначення пари моментш. перемикань релейного управлшня та сформульоват системи ршнянь, що дозволяють формувати релейш управл'шня з кчльюстю перемикань, б'шьшою за два, для лпййних систем. Доведена можлив1сть вживання запропонован-сго методу для випадюв HejiiinnHnx систем.

На основ1 ангиптичних вираз1в, що визначають пару моментт перемикання, показана можлив1сть формування релейних управлшь з бшьшим числом перемикань як функщй стану системи.

Отрима1п вирази, що дозволяють оцшити величини погр1шностей досягнення заданих стан in керованих координат, що виникають ¡з-за замени дов1льних обмежених упрапл1нь екв1валентними по кчнценому стану релейними управлшнями.

Ключов1 слова: релейне управл1ння, термшальне управл!ння, адитивне управл1ння, екв1валентне унравлшня, зам1на управл1ння.

ABSTRACT

Bayzdrenko Е.А. Formation of equivalent relay controls with reference controls in terminal problems. - Typescript.

Thesis for competition for PhD in specialty 05.13.03 - systems and processes of control. Sevastopol national technical university, Sevastopol, 2014.

The thesis paper is devoted to elaboration of methods for formation of equivalent (in relation to attainable final position of the controlled system) relay controls for automatic control systems with mathematical models in form of normal

systems of non-linear differential equations with smooth non-linearities and additive, limited by amplitude, control.

Analytical expressions for evaluation of the switching moment couple in relay control for linear system have been derived in the work; systems of equations, which allow to form relay control with the number of switchings more than two for linear systems, have been formulated. The possibility of application of proposed method for non-linear system problems has been proved.

Based on analytical expressions, which establish the switching moment couple of relay control, the possibility for formation of relay controls with higher number of switchings as a function of system position has been shown.

Expressions, which allow to assess magnitudes of deviations of achievement of given positions of controlled coordinates, which occur due to substitution of arbitrary limited controls with equivalent relay controls in terms of terminal position, have been evaluated.

Tags: relay control, terminal control, additive control, equivalent control, substitution of control.

Байздренко Екатерина Александровна

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

ФОРМИРОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ РЕЛЕЙНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ТЕРМИНАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ЭТАЛОННЫМ УПРАВЛЕНИЯМ

Специальность 05.13.03 - Системы и процессы управления

Подписано в печать 20.10.2014 г. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать ризографе. Услов. печ. лист. 1. Тираж 100 экз. Заказ № Г7

Издательство СевНТУ, 299053, г.Севастополь, ул. Университетская, 33, НМЦ. т. +7 (8692) 435-019

Свидетельство субъекта издательского дела ДК № 1272 от 17.03.2003г.