автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Физико-математическая модель вихревого следа самолета в турбулентной атмосфере

ВВЕДЕНИЕ

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I: ВИХРЕВОЙ СЛЕД САМОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ)

1.1. Двумерная турбулентность

1.2. Использование статистики летных происшествий, связанных с попаданием в след, при разработке математических моделей

1.3. Вихревая структура в однородном поле турбулентности

1.4. Вихревой кластер в неоднородном поле турбулентности

1.4.1. Сдвиговый ветер и струйные течения в атмосфере

1.4.2. Стратификация атмосферы

1.5. Атмосферная турбулентность при численном моделировании

1.6. Возмущения траектории самолета при полете в турбулентной атмосфере

1.6.1. Расчет динамических нагрузок, действующих на конструкцию самолета при полете в турбулентной атмосфере

1.6.2. Экспериментальные исследования колебаний упругой модели при воздействии на нее порывов в потоке аэродинамической трубы

1.7. Измерение параметров вихревого следа в летном эксперименте 54 Заключение

ГЛАВА II: ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ

ВИХРЕВОГО СЛЕДА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

2.1. Аэродинамическая модель самолета и его вихревая система в ближнем поле

2.1.1. Математическое моделирование вихревой структуры самолета в ближнем поле в рамках панельного метода

2.1.2. Влияние законцовок крыла на структуру и время жизни вихревого следа за самолетом

2.2. Модель дальнего следа

2.2.1. Механизмы разрушения вихревого следа

2.2.2. Блочная инженерная модель следа

2.2.2.1. Атмосферная турбулентность

2.2.2.2. Влияние компоновки самолета

2.2.2.3. Расчет потери циркуляции

2.3. Тестирование математических моделей вихревого следа по данным эксперимента

2.3.1. Эксперименты в аэродинамической трубе малых скоростей Т

2.3.2. Эксперименты в большой аэродинамической трубе DNW

2.3.3. Эксперименты на катапультной установке ONERA IMFL

2.3.4. Опыты в малотурбулентной аэродинамической трубе Т-124 по влиянию мелкомасштабной турбулентности

2.4. Влияние синусоидальной неустойчивости на величину безопасного расстояния между самолетами

4.1. Моделирование в рамках двухмерных уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу (2D RANS) 180

4.1.1. Общая классификация моделей турбулентности 180

4.1.1.1. Алгебраические модели 180

4.1.1.2. Однопараметрические модели (с одним дополнительным дифференциальным уравнением) 181

4.1.1.3. Двухпараметрические модели (с двумя дополнительными дифференциальными уравнениями) 181

4.1.1.4. Многопараметрические модели 182

4.1.2. Физические особенности вихревых течений 182

4.2. Модифицированная q-со модель турбулентности для моделирования вихревых движений газа 184

4.2.1. Апробация модифицированной q-ю модели турбулентности 190

4.2.2. Эволюция пары вихрей 193

4.2.3. Явление Г-заброса при опускании вихревого кластера в турбулентной атмосфере 196

4.2.4. Опускание вихревого кластера в стратифицированной атмосфере 198

4.2.5. Пара вихрей у поверхности земли 205

4.2.6. Взаимодействие пары вихрей с боковым сдвиговым ветром 211

4.2.7. Пара вихрей у поверхности земли при наличии сдвигового ветра 213

4.2.8. Влияние тепловых пятен от двигателей на устойчивость вихревого кластера 216

4.2.9. Основные особенности концепции изотропной вихревой вязкости 218

4.3. Нелинейная алгебраическая модель вихревой вязкости 218

4.3.1. Постановка задачи 220

4.3.2. Турбулентная вязкость 220

4.3.3. Верификация метода и результаты расчетов 222

Заключение 223

ГЛАВА V: ТРЕХЗОННАЯ МОДЕЛЬ СТРУЙНО-ВИХРЕВОГО СЛЕДА 225

Введение 225

5.1. Постановка задачи 229

5.2. Метод моделирования больших вихрей при исследовании струйно-вихревого следа 231

5.2.1. Постановка задачи 233

5.2.2. Численная схема 234

5.2.3. Модель Смагоринского 236

5.2.4. Численное моделирование турбулентной струи и пары вихрей 238

5.2.5. Моделирование турбулентного струйно-вихревого следа за самолетом 241

5.3. Диффузия струйно-вихревого следа 247

5.4. Синусоидальная неустойчивость 250

5.5. Верификация метода и результаты расчетов 250

5.6. Эволюции вихрей вблизи земли с учетом устойчивости атмосферы 255

5.7. Обнаружение вихревого следа по температурному контрасту 257 Заключение 260

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 261

ЛИТЕРАТУРА 262

ВВЕДЕНИЕ

При полете в атмосфере крылатый летательный аппарат создает вихревой след (рис. 1, 2), состоящий из пары вихрей противоположенного знака. Вихревой след достаточно долго сохраняется в атмосфере и представляет опасность для последующих самолетов. Увеличение расстояния (временного интервала) между самолетами повышает безопасность полета, но снижает пропускную способность аэропорта.

Рис. 1. Дымовая вгауачпацш вихревого cieria ja самолетик С130 при полете на высоте 1500 и (фото из журнала "Popular Photography", авг. 1994)

Рис. 2. Визуализация вихревого следа за самолетом В747 вблизи земли (снимки, любезно предоставленные пилотом .Пюфтганзы Ш. Вольфом, IFALPA)

При продольном вхождении в область вихревого следа происходит внезапное возмущение траектории движения (прежде всего, заброс по крену), наиболее опасное в ближнем поле (задачи пилотирования в строю, дозаправки в воздухе) и вблизи земли из-за возможности столкновения с другим летательным аппаратом или землей. Пересечение интенсивного вихревого следа опасно из-за больших динамических нагрузок, что может привести к разрушению конструкции.

С попаданием в вихревой след от самолета буксировщика сталкиваются планеристы. Эта задача актуальна при массовом десантировании парашютистов, особенно в групповом полете. Опасно попадание в ветровой вихревой след от геологических образований и больших сооружений (проблема аэропорта Скипол г. Амстердам), расположенных вблизи ВПП. Свою специфику имеет вихревой след от палубы авианосца [Аубакиров, Желанников, Иванов, Ништ, 1999]. Ситуация существенно осложняется в случае многополосных аэропортов с пересекающимися ВПП (например, аэропорт г. Сан-Франциско).

Вихревой след «находит и положительное применение». При полете строем можно снизить сопротивление и сэкономить топливо последующего самолета [Iannotta, 2002]. Известно, что птицы также экономят энергию, совершая дальние перелеты в строю. Данные телеметрии показывают, что при этом частота сердечных сокращений снижается по сравнению с одиночным полетом.

На практике задача безопасности полета в зоне аэропорта решается введением матрицы безопасной дистанции (см. Табл. 1), устанавливающей необходимое минимальное расстояние между самолетами в зависимости от класса самолета-генератора следа и последующего самолета (в перспективе возможен учет влияния погодных условий на элементы матрицы). Интересной особенностью матрицы, принятой в США в июле 1996 г [Hinton, 1997], является выделение в отдельную категорию самолета В757, который имеет очень плотный, интенсивный вихрь Vr тах > 100 м/с и в статистике летных происшествий аэропорта Хитроу [Critchley, Foot, 1991], связанных с попаданием в вихревой след, занимает не пропорциональное весовой категории второе место (см. Табл. 2). Наиболее вероятные для летного происшествия время дня - середина утра и ранний вечер, сезон года - лето и начало осени, режим полета - заход на посадку (90%), высота полета 30-60 м и 900 м (второй пик). Наличие поперечного ветра снижает вероятность летного происшествия. Механизм влияния погодных условий на эволюцию вихревого следа недостаточно ясен. Однако статистика летных происшествий указывает, что такая корреляция есть.

Выдерживание безопасной дистанции между самолетами приводит к ограничению пропускной способности аэропорта и не позволяет реализовать потребный прирост авиаперевозок в целом ряде наиболее загруженных аэропортов мира, что приводит к большим экономическим потерям. Ограничения пропускной способности аэропортов (прежде всего, по вихревому следу) наиболее сильно проявляются в периоды пиковых нагрузок, которые возникают всякий раз после сбоев в авиаперевозках, вызванных погодными условиями и другими объективными причинами. По прогнозу Международной ассоциации авиационного транспорта (IATA) к 2010 году 13 европейских аэропортов даже при существенной их реконструкции вступят в полосу кризиса и не смогут удовлетворить растущим потребностям в авиаперевозках. Еще более жестокий кризис может ожидать аэропорты азиатско-тихоокеанского региона при нормальном развитии их экономик.

Последующий самолет

Предшествующий Тяжелый Средний Легкий самолет G/g> 136 т 7т < G/g < 136т G/g < 7 т

Тяжелый 4 5 6

Средний нет 3 4

Легкий нет 3 3

Последующий самолет

Предшествующий Тяжелый Средний Легкий самолет G/g> 115,7т 18,5т <G/g< 115,7т G/g < 18,5т

Тяжелый 4 5 5,6

В757 4 4 5

Средний 2,5 2,5 3,4

Легкий 2,5 2,5 2,5

Табл. 1. Матрица безопасной дистанции ICAO и матрица, принятая в США в июле 1996 г (расстояния между самолетами даны в морских милях)

Тип самолета-генератора следа Тип самолета, попавшего в вихревой след

ВА11 В737 DC9 DC9 (Категория А)

В757 (Средний) 248 291 188 57

В747 (Тяжелый) 324 191 224 75

Табл. 2. Количество летных происшествий, связанных с попаданием в вихревой след, на 1 (У посадок в период 1982-1990

Как видно, экстенсивные пути решения проблемы исчерпывают себя. Выход из создавшегося кризиса возможен только с использованием новых технологий, направленных на сокращение безопасной дистанции между самолетами как за счет повышения управляемости самолета, попадающего в след, так и за счет совершенствования организации движения и создания систем своевременного обнаружения вихревого следа. Нельзя исключить и мероприятия, направленные на искусственное старение следа (см, например, Вышинский, Гайфуллин, Головкин и др., 1999) и поиск компоновок (например, схема «тандем»), благоприятных с точки зрения сокращения безопасной дистанции (Rossow, Sacco, Askins et al, 1995). Необходимо также ответить на вопрос об оптимальной величине проектируемых сверхтяжелых самолетов. Один из возможных путей повышения пропускной способности аэропортов заключается в использовании ночного времени суток, что требует снижения шумового воздействия авиации на окружающую среду в зоне аэропорта.

Таким образом, в диссертации рассмотрена актуальная проблема обеспечения безопасности полетов в районе крупных аэропортов на основе создания численных методов и математических моделей для исследования эволюции вихревых следов в турбулентной атмосфере и их воздействия на последующие самолеты. Актуальность работы определяется потребностью выработки стратегии по созданию новых сверхтяжелых самолетов и необходимостью увеличения пропускной способности существующих аэропортов при сохранении требуемого уровня безопасности полета по условиям спутной турбулентности.

Интенсивные исследования в данном направлении ведутся в США (Rossow, 1999), в Европе {Bruin, 2000) и в России. Европейская программа отличается уникальными экспериментами по изучению формирования вихревого следа в больших аэродинамических трубах с протяженной рабочей частью, катапультных установках и гидроканалах. Исследования нацелены, прежде всего, на решение проблем, связанных с введением в эксплуатацию нового сверхтяжелого самолета A3 80. Резким контрастом являются дорогие натурные эксперименты NASA, в которых, в частности, изучается влияние погодных условий на эволюцию и разрушение вихревого следа [Proctor, 1997]. Конечной целью является создание в США системы AVOSS (Aircraft Vortex Spacing System) для полного мониторинга эволюции вихревого следа в реальном масштабе времени (электронный советчик диспетчера, указывающий, когда ВПП освобождается для посадки следующего самолета) с целью безопасного уплотнения графика движения с учетом погодных условий и типа самолетов.

Российские исследования [Кибардин, Киселев, 1978; Белоцерковский, Дворак, Желанников, Котовский, 1987; Желанников, 1987; Аубакиров, Желанников, Иванов, Ништ, 1999; Вышинский, 1998; Vyshinsky, 1998] отличает многодисциплинарность подходов, сочетание численных и аналитических методов с экспериментальными исследованиями на недорогих непромышленных установках, значительный накопленный опыт для сравнительного изучения ближнего вихревого поля за конкретными компоновками с последующим математическим моделированием дальнего вихревого следа.

Исследуемое явление из-за его чрезвычайной сложности, в силу огромных, по самолетным меркам, пространственных и временных масштабов не допускает создания единого метода и универсального инструмента исследований. Цель диссертации состоит в модификации моделей турбулентности для расчета вихревых течений (подавление турбулентности в ядрах вихрей, генерация турбулентности в областях торможения потока); создании математической модели струйно-вихревого следа самолета в турбулентной атмосфере с учетом стратификации и сдвигового ветра; создании комплекса программ для расчета течения в следе за самолетом, пригодного для решения практических задач (учет влияния струй, моделирование слияния вихревой системы в когерентную пару, а также диффузии вихрей и неустойчивости дальнего следа); исследовании характеристик вихревых следов в условиях неоднородной атмосферы с учетом близости земли; выработке рекомендаций по созданию систем визуализация следа, по возможному сокращению безопасной дистанции с учетом типа самолетов, погодных условий и расположения ВПП.

Практическая значимость работы состоит в создании на основе разработанных математических моделей и методов комплекса программ для исследования эволюции вихревых следов в турбулентной атмосфере, а также воздействия последних на попадающие в них самолеты. Созданная модель использована при анализе возможных способов визуализации следа [Miller, Stasenko, Vyshinsky, 1998; Stasenko, Vyshinsky, 1998], а также при создании алгоритма тренажера-имитатора полета в условиях спутного следа, и бортовой системы для своевременного определения ситуации попадания в след (данные исследования не включены в диссертацию). Тренажер-имитатор может быть использован для научных исследований и подготовки экипажей [Gryazin, Mikhailov, Vyshinsky, 2000], бортовая система позволит повысить безопасность полета в зоне интенсивного воздушного движения.

Научная новизна работы заключается в разработке новых математических моделей и численных методов моделирования эволюции вихревых следов на базе конечно-разностных подходов (3D-LES, 2D-RANS, 3D-EULER) и модифицированных моделей турбулентности. Так как основным инструментом исследования, используемым в работе, являются численные методы, предлагается краткий обзор их развития и дается оценка места вычислительной аэрогидромеханики в системе наук.

Классическая механика создана трудами Архимеда (в частности, гидростатика), Галилея, основоположника экспериментальной механики (линейный закон сопротивления от скорости), Паскаля (изотропность давления в жидкости), Кеплера, Гюйгенса (квадратичный закон зависимости сопротивления от скорости) и в окончательном виде сформулирована Ньютоном в 1687 году. Теоретическая гидромеханика как самостоятельная наука с разнообразными задачами и строгими методами решения опирается на труды российских академиков Л. Эйлера («Общие принципы движения жидкостей», 1755 г.) и Д. Бернулли («Гидродинамика», 1784 г.).

Последующее развитие теоретическая гидромеханика получила в работах Даламбера (пропорциональность сопротивления квадрату скорости и площади миделя, малое влияние вязкости; последний факт развит впоследствии Прандтлем в теории пограничного слоя), Лагранжа (аналитические методы в гидромеханике, теория волнового движения жидкости), Навье (основы учения о движении вязкой жидкости), Пуассона (решение пространственных задач гидродинамики несжимаемых безвихревых течений), Пуазейля (экспериментальные исследования течений вязкой жидкости в капиллярах, в частности, изучение движения крови по сосудам), Стокса (обобщение простейшего закона трения Ньютона - линейный закон зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций), Геймгольца (учение о вихревом движении жидкости), Кирхгофа (использование теории функций комплексного переменного для расчета плоских безвихревых течений идеальной несжимаемой жидкости), Доплера, Э. и JI. Махов (экспериментальное изучение сверхзвуковых течений), Римана (теоретические исследования сверхзвуковых потоков), Рэнкина (использование метода особенностей), Громеки (решение вихревых задач метеорологии, нестационарных задач физиологии), Рейнольдса [Рейнольде, 1979] (исследование потери устойчивости ламинарного движения, создание основ для последующего развития теории турбулентности). Исторический обзор развития теоретической и экспериментальной гидромеханики в XX веке может быть найден в [Лойцянский, 1970].

К истокам вычислительной математики следует отнести работы Ричардсона [Richardson, 1910], где дается численный анализ дифференциальных уравнений в частных производных (Лапласа, бигармонических и др.), Крылова [Крылов, 1913], в которой перекидывается мостик от уравнений математической физики к задачам практики (в частности, уравнения приводятся к виду, пригодному для численного решения, Куранта, Фридрихса, Леви [Courant, Friedrichs, Lewy, 1940], где с помощью метода характеристик численно решаются уравнения гиперболического типа и сформулирован критерий устойчивости. В работе [Thom, 1933] дается первое численное решение уравнений в частных производных для задач гидродинамики вязкой жидкости. Саусвелл [Southwell, 1946] предложил метод релаксаций для решения уравнений эллиптического типа. Кранк и Николсон [Crank, Nicolson, 1947] разработали первый неявный метод для решения многомерных задач. Нейман [Neumann, Richtmyer, 1950] дал критерий устойчивости конечно-разностной схемы для уравнений параболического типа и предложил рассматривать нестационарную задачу как задачу с математически неполными условиями на входной и выходной границах. В работе [Allen, Southwell, 1955] «вручную» рассчитано обтекание цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью -эта пионерская работа в вычислительной гидромеханике предвосхитила понятие численного моделирования. Одномерным нестационарным задачам гидромеханики посвящена работа [Richtmyer, 1957], и наконец, в работах [Harlow, Fromm, 1965] и [Macagno, 1965] дана четкая формулировка понятия численного моделирования, вычислительного эксперимента и рассмотрены возможности вычислительной гидромеханики как отдельной дисциплины.

В то время как в теоретической и экспериментальной гидромеханике более двух веков отрабатывались методы постановки задач, в вычислительной гидромеханике еще до конца не ясно, как следует ставить конкретные краевые задачи. Для большинства задач газовой динамики не доказано теорем существования и единственности, более того, принципиально не ясно вообще, возможна ли постановка вопроса о корректности гидродинамических задач. Исследованию этих вопросов для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости посвящена монография [Ладыженская, 1961]. В случае сверхзвукового течения невязкого газа (уравнение гиперболического типа) существование решения легко доказывается. Для достаточно слабых скачков существование (непрерывного) решения доказывается и для вязкого газа [Foy, 1964]. Годунов и Семендяев [1962] показали, что при использовании определенного класса уравнений состояния численное решение газодинамических задач становится неединственным. Неединственность решения может быть связана и с появлением в решении скачков разрежения. Острота проблемы снимается в случае нестационарных задач. Примером неединственного решения, зависящего от предыстории, является гистерезис при срыве потока, например, гистерезис по углам атаки при обтекании профиля. В работе [Вышинский, Кравченко, Сорокин, 1994] получено решение с гистерезисом по числам М» при обтекании системы двух тел.

Вычислительная гидромеханика настолько мало опробована, что, очевидно, существует много иных подходов к использованию компьютеров, наряду с методами конечных разностей (идейно восходящих к Ньютону), особенностей (берущих начало в работах Стокса и Ренкина), характеристик [С our ant, Friedrichs, Lewy, 1940], релаксации [-Southwell, 1946], интегральных соотношений [Дородницын, 1958], «частиц в ячейках» [Харлоу, 1967], крупных частиц [Белоцерковский, Давыдов, 1982] и других, которые в значительной мере позволят расширить возможности исследователя. Быстродействующие компьютеры в гидромеханике стали широко использоваться с начала 50-х годов прошлого века, и методология их применения еще не устоялась. Интуиция, творческий инстинкт, опирающийся на предшествующий опыт, метод проб и ошибок, эвристические соображения подсказывают необходимость использования компьютеров, но при этом остается открытым вопрос о путях и мере этого использования.

У истоков отечественной вычислительной гидромеханики стоят А.А. Дородницын, С.К. Годунов, О.М. Белоцерковский, С.М. Белоцерковский (развитие метода дискретных вихрей [Белоцерковский, 1965; Белоцерковский, Лифанов, 1978]) Ю.М. Давыдов, А.Н. Крайко и созданные ими школы.

В развитии физической теории можно выделить три момента: выдвижение ряда исходных постулатов (например, гипотезы сплошности среды) -это творческий акт, опирающийся на образование и опыт исследователя; вывод общих теорем и уравнений (например, идеальной или вязкой жидкости); решение соответствующих краевых задач с целью получения математических утверждений, чтобы описать экспериментальные законы (численные методы наряду с приближенными аналитическими подходами и аналоговыми методами имеют прямое отношение к этому этапу).

Так как возможное число арифметических операций с применением компьютера становится на много порядков больше, чем можно выполнить при ручном счете [Allen, Southwell, 1955], исследователь приобретает новое качество и может решить прежде неразрешимые математические проблемы и развить более полную физическую теорию, в частности, изучить влияние упрощающих предположений и адекватность используемых уравнений решаемой задаче.

Математическая теория, численные методы и эксперимент дополняют друг друга: каждый подход дает свой вклад в понимание явлений (см. например, [Haines, 1977; Slooff, 1976]). Влиянию вычислительной аэрогидромеханики на развитие экспериментального оборудования посвящена работа [Korkegi, 1985]. И наоборот, Роуч пришел в вычислительную гидромеханику из экспериментальной, обогатив численный эксперимент идеями и подходами последней (в частности, в [Роуч, 1980] детально изучается роль граничных условий при численном моделировании). Численные методы позволяют получить самую полную и подробную информацию, но при отсутствии экспериментальных подтверждений прогресс аэрогидромеханики, как физической теории, ограничен, так как модели, применяемые в ней, для сохранения значимости должны «привязываться» к натурным явлениям путем экспериментальной проверки.

Гидродинамический эксперимент использует два принципиально разных подхода: проведение испытаний в «неподвижной» среде (гидробассейн, скоростная трасса, катапультная установка, баллистические методы, летный эксперимент) и в движущейся среде, используя принцип обращения движения (гидролоток, аэродинамическая труба и гидротруба). У истоков современной экспериментальной аэродинамики стоят Жуковский, Эйфель, Прандтль.

За прошедшие со времени первого полета самолета братьев Райт 99 лет стоимость одного трубочаса возросла на три порядка, в той же степени увеличилось потребное число трубочасов при создании нового самолета, то есть затраты на моделирование в аэродинамических трубах увеличились в миллион раз. С другой стороны, за последние 30-40 лет развития вычислительной аэрогидромеханики эффективность алгоритмов решения краевых задач возросла, на 2-3 порядка, а быстродействие компьютеров увеличилось на 3-4 порядка, то есть стоимость операции (вычисления одного и того же алгоритма) за эти годы уменьшилась, как минимум, в миллион раз. Эта простая оценка достаточно ясно определяет роль и место вычислительных методов в современной прикладной аэро гидромеханике.

На пути от физического явления до получения результата исследователь проходит через ряд этапов: от замены физического явления абстрактной концепцией сплошной среды и создания в рамках прикладной математики модели явления (например, посхановки краевой задачи для уравнений в частных производных) до использования аппарата вычислительной математики для дискретизации задачи (сведения ее к системе алгебраических уравнений) и с помощью компьютера получения результата, который, в свою очередь, служит для проверки, уточнения или изменения выбранной концепции. Численный эксперимент иногда предшествует физическим открытиям. Работа [Campbell, Mueller, 1968] служит таким примером для одного частного случая отрыва при дозвуковых скоростях. Примерами обнаружения эффектов расчетным образом с последующей реализацией в экспериментах могут служить точные решения бесскачкового обтекания профиля крыла с местной сверхзвуковой зоной [Кот, 1969; Вышинский, 1975], а также решение задачи максимизации критического числа Маха головных частей тел вращения [Вышинский, Кузнецов, 1991].

При этом следует помнить, что математический аппарат, основанный на линейности, симметрии и малом числе переменных, имеет ограниченные возможности и эффективен при описании непрерывных сред. Существенными свойствами систем, которые можно описать с помощью компьютера, являются лишь их конечность и дискретность. Если же необходимо описать сплошную среду - по сути своей математическую абстракцию («первое отрицание» физической среды), - то необходимо представить ее в виде большого числа дискретных элементов («второе отрицание» -возвращение к дискретной природе среды, но не на молекулярном, а на сеточном уровне). При этом поведение решения может измениться не только количественно, но и качественно. Таким образом, физическая среда, описываемая вычислительной гидромеханикой, также является дискретной и конечной, а численные методы должны обеспечить эффективное решение систем большого числа уравнений со многими неизвестными. Удачное построение математических моделей, развитие интуиции, опирающейся на мощные вычислительные средства, может привести к более полному проникновению в природу явления.

Отдельное замечание следует сделать о дискретной природе вычислительных машин. Используемые в настоящее время дискретные и конечные методы не являются строго обоснованными, хотя они и согласованы с решаемыми задачами. В большинстве случаев модельное описание дает только часть информации о системе (в дискретном виде, что не заменяет простейшей теории), так что вообще не ясно, при каких условиях такая ситуация оправдана. В частности, со времен Ньютона, различавшего три формы сопротивления: «от сцепления между частицами жидкости», не зависящего от скорости (важная компонента касательного напряжения в реологических жидкостях); «от трения между телом .и жидкостью», пропорционального скорости, и сопротивления, происходящего «от инерции среды», пропорционального скоростному напору, для гидромеханики остается открытым вопрос о величине сопротивления при движении твердого тела в сплошной среде. Использование согласованных уравнений на дискретной сетке для описания уравнений гидромеханики заведомо оправдано для длинноволновых процессов и для решения линейных задач. Однако в случае нелинейных задач, представляющих для практики наибольший интерес, а также при отсутствии диффузии обоснованность отказа описания мелкомасштабных процессов не очевидна, хотя для этого есть некоторые оправдания, поскольку численные результаты зачастую хорошо согласуются с опытом. Разработка общих принципов, которые нужно положить в основу вычислительных моделей с конечным числом элементов для описания бесконечных систем, является предметом будущего развития вычислительной аэрогидромеханики.

Следует помнить, что численные методы, несмотря на их могущество, требуют определенного искусства и применимы не во всех случаях. Необходимо использовать все математические приемы (аналитические, логические), применяя каждый в наиболее выигрышной для него сфере. Специфической при проведении численного эксперимента является проблема определения точности результата: источниками ошибок являются как неточность начальных данных, так и погрешности аппроксимации и округления. Имеются лишь немногие подходы неполного решения этой проблемы [Bradley, Bhateley, 1978], например, решение задачи другим методом или тем же, но с измененной последовательностью операций (такой подход реализован в [Арутюнов, Вышинский, 1984] при получении того же решения в обращенном потоке), а также расчет при малом изменении входных данных.

Теоретическая гидромеханика, несмотря на свою более чем двухвековую историю продолжает развиваться, в свою очередь, стимулируя развитие математики. Новый импульс этому развитию дает вычислительная гидромеханика, возникшая на стыке вычислительной математики и теоретической гидромеханики. С другой стороны, новое время рождает новые проблемы (см., например, [Chapman, 1979]). Новые задачи гидромеханике ставит не только авиация, но и метеорология (например, исследование вихревой дорожки Кармана за островом [Suzuki, Kuwahara, 1992]), медицина (исследование физиологических течений [Мюллер, 1981]), биология (задачи биогидродинамики [Лаврентьев, Шабат, 1977]), энергетика (создание новых источников энергии, использующих энергию воздушных и водных масс, например, исследование .влияния рельефа местности на оптимальное расположение ветроэнергетических установок), космология («Проблемы космической аэродинамики» [1953]). Одним из таких новых направлений является предмет данной диссертации -исследование вихревого следа самолета в турбулентной атмосфере.

Диссертация состоит из пяти глав.

В Главе I приведены данные экспериментов, которые раскрывают суть явления и позволяют сформулировать физические модели и выбрать основные определяющие параметры. Элемент случайности, присущий изучаемому явлению, введен в обобщенную модель через модель атмосферы. На основе спектральной теории предлагается стохастическая модель развития неустойчивости следа в приближении замороженной турбулентности, учитывающая основные явления, характеризующие поведение следа, в том числе - эффект всплывания вихрей вблизи земли. Эта модель используется при расчете сил и моментов, действующих на последующий самолет, при моделировании захода на посадку и для приближенной оценки безопасных расстояний между самолетами по вероятностному критерию.

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [.Вышинский, 1996; Vyshinsky, 1996, 1997а,b, 1998, 1999а,с, 2000; Vyshinsky, Yaroshevsky, 1998а,b; Soudakov, Vyshinsky, 1996\ Kuznetsov, Vyshinsky, 1998; Воеводин, Вышинский и др., 1999].

В Главе II дана постановка задачи и изложены приближенные модели вихревого следа [Soudakov, 1999; Gaifullin, Voyevodin, Zakharov, 1999; Kuzmin, 1999]. Модели учитывают детали аэродинамической компоновки самолета, влияние близости земли и атмосферных возмущений на перемещение и пространственное искривление вихревых шнуров, диффузию вихрей и потерю циркуляции. Предложена пополняемая база данных по вихревым следам за конкретными самолетами. Для верифицирования математических моделей проведены эксперименты в аэродинамических трубах ЦАГИ Т-103 (с имитатором порывов), Т-105, Т-124. Эксперименты в гидротрубе ГТ-400 выполнены для исследования топологии течения и качественного поведения вихревых структур. Для тестирования моделей использованы также результаты, полученные на катапультной установке ONERA IMFL [Bezrodnov et al, 1999], в большой и малой аэродинамических трубах DNW (Нидерланды) [Huenecke, 1995, 2000]. Автор диссертации участвовал во вторичной обработке данных экспериментов, полученных на магнитных носителях в рамках выполнения совместных проектов.

Основные результаты, изложенные во второй главе, опубликованы в работах [Вышинский, 1996, 1998; Vyshinsky, 1997b, 1998, 1999a,b,c; Soudakov, Vyshinsky, 1996; Воеводин, Вышинский и др., 1999].

В Главе III рассмотрены численные методы в рамках решения краевой задачи для трехмерных уравнений Эйлера как инструмента исследования отдельных фрагментов изучаемого явления. Данный подход использован для расчета обтекания компоновки самолета и ближнего следа, для моделирования динамики дальнего вихревого следа, включая влияние земли в невязком приближении. Выполнено также численное моделирование обтекания компоновки самолета в непотенциальном завихренном потоке (задача о дифракции вихря на препятствии), исследовано влияние законцовок крыла и отклонения интерцепторов (в том числе на законцовках) на нестационарную вихревую систему крыла. Исследования носят и методический характер, связанный с решением краевых задач вычислительной гидромеханики: рассмотрены вопросы идентификации вихрей, схемной и искусственной вязкости, включая анизотропную и декомпозитную. Проведено тестирование модели расчета аэродинамики самолета в условиях спутного следа по результатам экспериментов в большой дозвуковой аэродинамической трубе DNW (Нидерланды) [Costes et al, 1999].

Исследование дифракции вихря на препятствии выполнено в гидротрубе ГТ-400, где изучена топология течения, и численно в рамках краевой задачи для уравнений Эйлера.

Основные результаты, изложенные в третей главе, опубликованы в работах [Вышинский, 1996; Vyshinsky, 1997b, 1999с; Вышинский, Кравченко, 1991, 1995, 1997а,б; Vyshinsky, Kravchenko, 1994а,Ь,сД 1995; Владимирова, Вышинский и др., 1996].

В Главе IV рассмотрены двумерные задачи для несжимаемого газа в переменных завихренность-функция тока с моделью турбулентности Дональдсона и в физических переменных для сжимаемого газа с двухпараметрической дифференциальной моделью турбулентности (модификация модели Коакли). Эти исследования позволили изучить отдельные фрагменты явления (диффузию тепловых пятен в поле вихревого следа) и влияние отдельных факторов (стратификации атмосферы, ветра, фоновой турбулентности, близости земли) на эволюцию следа в двумерном приближении. Они носят также методических характер: предложены модификации моделей турбулентности с целью их улучшения при расчете сильно завихренных течений. Рассмотрены трехмерные задачи с алгебраической моделью турбулентности. Данный инструмент исследований незаменим при моделировании динамики струйно-вихревого следа в турбулентной атмосфере, вблизи земли, а также при исследовании воздействия мелкомасштабной турбулентности на разрушение следа.

Основные результаты, изложенные в четвертой главе, опубликованы в работах [Вышинский, 1996; Soudakov, Vyshinsky, 1996; Vyshinsky, 1997b, 1998, 1999b,с; Vyshinsky, Yaroshevsky, 1998a,b; Kuznetsov, Vyshinsky, 1998; Воеводин, Вышинский и др., 1999; Вышинский, Гайфуллин и др. 2001; Mikhailov, Vyshinsky, 1999].

В Главе V предложена математическая модель вихревого следа в тербулентной атмосфере, содержащая область ближнего следа, где в рамках схемы моделирования крупных вихрей (LES) с подсеточной турбулентностью (моделью Смагоринского) решается трехмерная нестационарная задача, и область дальнего следа, где решение ведется в рамках краевой задачи для осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS). Проблема визуализации следа тесно связана с моделью струйно-вихревого следа. Последняя обеспечивает знание осредненных физических параметров (прежде всего, полей температуры), а также турбулентных пульсаций скорости, влияющих на динамику образования и диффузию трассирующих частиц. Оценка возможности визуализации вихревого следа привела к расширению границ исследований из области механики в область физики [Вышинский, Стасенко, 1999]. Рассмотрена также возможность визуализации вихрей по тепловому контрасту.

Основные результаты, изложенные в пятой главе, опубликованы в работах [Вышинский, Гайфуллин и др., 2001; Вышинский, Кузнецов, 2002; Kuznetsov, Vyshinsky, 2002; Вышинский, Стасенко, 2002а,б].

Результаты исследований нашли отражение при проведении научно-исследовательских работ в ЦАГИ им. Н.Е.Жуковского (Контракт с Эрбас Индастри 1998-99 "Исследование вихревого следа за самолетом АЗХХ") и в ЛИИ им. М.М. Громова; в учебном процессе МФТИ и ВВИА им Н.Е.Жуковского; при выполнении проектов МНТЦ: #200-95 ("Экологические аспекты воздействия сверхзвукового пассажирского самолета второго поколения на окружающую среду"), #201-95 ("Исследование эволюции вихревого следа за самолетом и вопросы безопасности полета"), #1018-98 ("Безопасность полета, вихревой след самолета и пропускная способность аэропорта"), #2086-01 ("Проблема спутной турбулентности в коридоре захода на посадку аэропорта Франкфурта на Майне"), при участии в европейском проекте WAVENC ВЕ976-4112-97 «Эволюция вихревого следа и попадание в вихревой след»; при выполнении проектов по программе ИНТ АС: #0632-99 ("Влияние масштаба и уровня внешней турбулентности на характеристики следа за самолетом при малых скоростях полета"), #1815-99 ("Разработка методов визуализации/обнаружения вихревого следа при помощи зондирования полей излучения и рассеяния"), #1816-99 ("Теоретическое исследование влияния струй двигателей на формирование вихревого следа за самолетом"), #1817-99 ("Экспериментальное и теоретическое исследование ионно-молекулярных кластеров в дозвуковом турбулентном потоке").

В разработке математических моделей и проведении расчетных и экспериментальных исследований на разных этапах совместно с автором принимали участие: научные сотрудники НИО-2 ЦАГИ: А.В. Воеводин, Н.А. Владимирова, A.M. Гайфуллин, С.В. Жигулев, С.Б. Захаров, А.В. Зубцов, Ю.Н. Свириденко, Г.Г. Судаков, а также научные сотрудники других подразделений ЦАГИ: В.П. Горбань, В.Е. Грязин, В.М. Калявкин, В.П. Кузьмин, Р.И. Осьминин. Особую признательность автор выражает своим учителям члену-корреспонденту РАН В.А. Ярошевскому, профессорам О.А. Кузнецову, В.Г. Микеладзе, А.Л. Стасенко, А.И. Толстых, В.М. Чижову.

Разработанные методы доведены до практической реализации и имеют высокую степень апробации по результатам экспериментов и сравнения с данными других авторов. Результаты исследований позволили сделать ряд качественных выводов, расширяющих представление об общих закономерностях формирования, эволюции и разрушения вихревого следа за самолетом в условиях турбулентной атмосферы.

Основные результаты проведенного автором исследования содержатся в более чем 45 статьях, опубликованных в российских научных изданиях и за рубежом, а также докладывались на научно-технических конференциях, в том числе, на авиационных Конгрессах ICAS XIX, XX, XXI, Международных авиационных Конгрессах 1995, 1996, 1997, 1998 г, XVI Конференции AIAA по прикладной аэродинамике 1998, Международных симпозиумах IV (1997), V (1999), VI (2001) в Жуковском, AERONAUTICS DAYS 2001, EUROMECH Colloquium No. 433 и др.

Автор считает своим долгом отметить определяющую роль академика Г.П. Свищева в пробуждении интереса к данной актуальной и крайне сложной проблеме, а также внимание к ходу исследований. Автор благодарен профессору С.М. Белоцерковскому, заложившему фундамент в исследованиях по проблеме вихревого следа в России. С ним, в частности, обсуждалась структура данной работы, с целью исключения повторения уже сделанного. Автор благодарен профессорам В.Я. Нейланду, Г.А. Павловцу за поддержку на различных этапах выполнения работы, а также за сделанные критические замечания и рекомендации, которые помогли повысить уровень исследований и использовать в полной мере потенциал ЦАГИ.

Автор пользуется случаем выразить свою признательность профессорам А.С. Гиневскому, А.И. Желанникову, Б.С. Крицкому, М.И. Ништу за обсуждение постановок отдельных задач и результатов исследований, а также ряд ценных замечаний, сделанных по работе. Автор благодарен В.Т. Дедешу, А.Н. Замятину за помощь в формировании методики экспериментов и участие в отдельных этапах работ.

На тематику исследований повлияло общение с ведущими мировыми учеными, занимающимися проблемой вихревого следа. С профессором В. Poccoy (NASA), доктором Ф. Спаларом (Boeing) обсуждались результаты исследований, от них были получены уникальные данные летных экспериментов США. Работа с К. Хюнеке (Airbus Deutschland), П. Коттон (ONERA), А. де Бруином (NLR), Т. Герцем (DLR) позволила воспользоваться европейскими экспериментальными данными, полученными в аэродинамических трубах DNW, катапультной установке ONERA и в летных экспериментах. Участие в тематической сети по проблеме вихревого следа (WakeNet), за что автор благодарен А. Эльсенару (NLR), позволило присутствовать на ряде европейских рабочих встреч и при проведении экспериментов. Автор благодарен также Р. Хинсингеру (Airbus Industrie) и Й. Конопке (DFS) за постоянный интерес к исследованиям и помощь в получении базы данных по вихревым следам аэропорта Хитроу и записей ультразвуковых анемометров аэропорта Франкфурта-на-Майне.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

М число Маха; оо скорость набегающего потока;

Я, h высота;

Хк, (к - 1,2,3) декартовы координаты; г = (х, у, z) вектор координат (продольная, вертикальная и поперечная координаты); t время; п = пу пг) вектор единичной нормали к поверхности тела;

V - (и, v, w) вектор скорости; v, (/ = 1,2,3) три компоненты вектора скорости (и, v, w); ф потенциал скорости; цг функция тока; р плотность;

Р давление;

Т температура; g ускорение свободного падения; а угол атаки; ф угол крена;

53 угол отклонения закрылков; бинт угол отклонения интерцепторов;

G вес самолета; b размах крыла; by размах закрылка;

Sxap характерная площадь крыла;

L длина фюзеляжа; расстояния между самолетами;

X - b2/Sxaр ' относительное удлинение крыла;

1 угол стреловидности крыла; г) сужение крыла;

Су коэффициент подъемной силы;

Сх коэффициент сопротивления;

Cz коэффициент боковой силы;

Мх коэффициент момента крена;

Mz коэффициент момента тангажа;

MY коэффициент момента рыскания;

Ср коэффициент давления;

С„ коэффициент нормальных сил; с хорда крыла (сг- корневая, с г- концевая, cm- САХ); с3 хорда закрылка; j относительная толщина профиля; fa вогнутость профиля; f отношение максимального возмущенного момента крена к максимальному располагаемому моменту крена;

6v размах вихрей (для эллиптического распределения циркуляции

Ьч=Ь-п/4>,

Го = G/(poo, Uaо, bv) циркуляция скорости; f/jat

Гс

Vx max

Vo=T0 K2xbv) Ao

Ac

Tlink Dunk к Cp/Cv Q = T + gy/Cp pe pE

H = CpT= e + Pip HQ = H+ V2/2 = £ + P/p S со = rot V

0 2 [axj dxly скорость в струе на срезе сопла; радиус ядра вихря (г0 - начальный радиус); касательная скоростью на границе ядра вихря; начальная скорость опускания вихрей; начальная амплитуда колебаний вихрей; длина волны главной моды синусоидальной неустойчивости; время развития синусоидальной неустойчивости до касания вихрей; длина следа за самолетом до касания вихрей; отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении Ср и постоянном объеме Cv (для воздуха при н. у. 1,4); потенциальная температура; внутренняя энергия единицы объема (для идеального газа: е = Р/р/(к-1) = Cv7); полная энергия единицы объема: Е = е + Г2/2; энтальпия; полная энтальпия; энтропия; вектор завихренности со = 2(Q32; Q13; Q21); тензор завихренности; тензор скорости деформации а,у; осреднение величины /по Рейнольдсу; осреднение величины / по Фавру; пульсация величины/ при осреднении по Рейнольдсу; пульсация величины /при осреднении по Фавру; произведение пульсаций скорости; Тч = = u'u'j; Rij - (u"u"j) тензор напряжений Рейнольдса т1; = ujt} (турбулентный поток

-той компоненты импульса вдоль оси **); энстрофия (квадрат завихренности); коэффициент молекулярной (динамической) вязкости; коэффициент молекулярной теплопроводности; коэффициент турбулентной (вихревой) вязкости; коэффициент турбулентной теплопроводности; коэффициент кинематической вязкости; коэффициент турбулентной кинематической вязкости; кинетическая энергия турбулентности;

S„ = dvj dVj дх , дх{ f = /-/

К^и'^-иУ] l|2 CO M

X Vt h v = |i/p

Vf= M-r/p

ЬЛ„/2;Ь1/2;

U LV 'LW характерная величина пульсации скорости; модуль тензора скоростей деформации; масштаб турбулентности атмосферы (левая граница инерционного поддиапазона); elk= 2v—!--как j dXj es = е„/2 е = v/2 sm; 5М; ЧвАГ/Fo Si7, Эм. ох. дх. Q ш/2тг = Ш. сти, av, aw

Ro= Vx max/ max d(T)

Ri = g dh У a

T) Г 0(F) dh

Re, = UL/v, Re(=UL/vto Pr = Cp

ГО 0 дП дПои1 ext/int= Vn±2al(K-\)

Cu

Индексы снизу:

00 noc jet т масштаб турбулентности в вихре, Lt» l\ диссипативный член, характеризующий перенос энергии по каскаду вихрей (от крупных к мелким, диссипирующим); изотропная диссипация турбулентности (псевдодиссипация) е = 0,25 q3 /Lt (для анизотропной е = ОД8■ q3 /Lt)\ скорость диссипации энергии турбулентных пульсаций (истинная диссипация); es« е для изотропных мелкомасштабных диссипирующих вихрей; приведенная скорость диссипации энергии турбулентности; тензор генерации напряжений Рейнольдса (Р = Р„/2 - скорость производства кинетической энергии турбулентности); пространственная частота (волновое число) £2 - &/U = к = 2л/Х,

Q] = рад/м (X, - длина волны); спектральная плотность турбулентных порывов; частота воздействия порывов, [ш] = рад/с, [/] - 1/с, [X] = м; дисперсия порывов q = (ol + = -Тз-а; дисперсия горизонтального положения вихревой нити; число Росби, характеризующее степень пространственности течения; число Ричардсона - отношение сил плавучести (эффектов стратификации) к инерционным силам (эффектам сдвига), где уа = 0,0098 град/м - адиабатический градиент; число Рейнольдса ("ламинарное"); "турбулентное" число Рейнольдса; число Прандтля (Pr, = Cp]x,/Xt - турбулентное число Прандтля); обобщенный параметр Россоу; поверхность тела; входная граница расчетной области: (<7С0Я)> 0 ; выходная граница расчетной области: (<7юя)< 0; инварианты Римана (а - скорость звука); число Куранта: Си = аД/Д. условия в набегающем потоке; посадочный режим; параметры струи; тангенциальная компонента.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Исходя из анализа многочисленных экспериментов по динамике вихревых структур, а также статистики летных происшествий предложена физическая модель явления. Выполнено разбиение задачи на подзадачи, выявлены определяющие факторы. Создана математическая модель струйно-вихревого следа за самолетом в условиях неоднородной турбулентной атмосферы с учетом близости земли.

2. Предложена модификация q-a модели турбулентности, позволяющая учитывать основные процессы, определяющие уровень вихревой вязкости: подавление турбулентности и образование области ламинарного пятна в ядрах вихрей; а также генерацию турбулентности в области торможения потока.

3. В рамках метода моделирования больших вихрей рассмотрены пространственные нестационарные течения сжимаемого газа. Для улучшения расчета сильно закрученных течений предложена модификация модели турбулентности.

4. Создан комплекс программ, позволяющий рассчитывать характеристики течения в струйно-вихревом следе, пригодный для решения практических задач. Метод протестирован на данных экспериментов и на результатах моделирования, полученных другими авторами. В частности исследованы:

Взаимодействие поперечного и продольного течений в колоннообразном вихре;

Влияние стационарного отклонения механизации крыла и нестационарного отклонения аэродинамических поверхностей на затухание следа и развитие неустойчивости;

Влияние сдвигового ветра, мелкомасштабной турбулентности и струй двигателей на динамику и разрушение вихревого следа;

Разбегание и отскок вихрей вблизи земли при различном состоянии атмосферы;

Опускание вихревого кластера в стратифицированной атмосфере;

Явление Г-заброса при опускании вихревого кластера.

5. На базе созданной модели вихревого следа исследована аэродинамика самолета (полная компоновка с механизированным крылом) в условиях спутного следа. Проведено сравнение с известными результатами математического моделирования и данными трубного эксперимента. Дифракция вихря на препятствии в плоском случае исследована числено и экспериментально.

6. Полученные результаты использованы при создании систем визуализации вихревых следов, а также мониторинга вихревой обстановки в зоне аэропорта.

Заключение

Создан комплекс программ, позволяющий рассчитывать характеристики течения в ближнем и дальнем следе с учетом струи, диффузии струйно-вихревого следа и роста возмущений в дальней области за самолетом. Входными данными являются компоновка самолета, характеристики струи двигателя и состояние турбулентной атмосферы. В результате расчетов определяются поля скорости, завихренности и температуры, а также время жизни следа.

В рамках метода LES рассмотрены пространственные нестационарные течения сжимаемого газа для случаев дозвуковой струи, пары противоположено вращающихся вихрей Рэнкина, а также струйно-вихревого следа за самолетом А321 во взлетно-посадочной конфигурации (на удалении х = 2,5Ъ разница в расстояниях между ядрами вихрей без учета струи и со струей составляет более 3%, разница в высотах опускания ядер составляет около 4 м, Ah/b « 12%). В ядрах вихревой системы самолета не наблюдается крупномасштабной турбулентности. Возможности метода LES при исследовании атмосферной турбулентности и струйно-вихревых течений достаточно высоки и далеко не исчерпаны. Неучет влияния турбулентных струй двигателей на формирование вихревого следа может привести к значительным погрешностям при расчете эволюции дальнего следа и оценке времени его разрушения.

Результаты пространственного моделирования показывают, что внешняя турбулентность существенно влияет на ослабление следа. 3DLES описывает процессы неустойчивости в следе, которые являются существенно-трехмерными явлениями. В спокойной атмосфере взаимодействие коротковолновой неустойчивости и бароклинной завихренности приводит к потере циркуляции первичных вихрей. Трехмерные расчеты в широком диапазоне мелкомасштабной турбулентности показывают, что устойчивая стратификация атмосферы ускоряет развитие коротковолновой неустойчивости и во всех случаях существенно снижает время жизни следа.

1. Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Ништ М.И., 1997. Нелинейная теория крыла и ее приложения. Алматы: Гылым, —448 с.

2. Аубакиров Т.О., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ништ М.И., 1999. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ. Алматы, -278 с.

3. Баранов Н.А., Белоцерковский Ал.С., Белоцерковский С.М., Гиневский А.С., 1997. Расчет турбулентной вязкости в спутном вихревом следе за самолетом. Препринт ЦАГИ № 109, с. 1-16.

4. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М., 1982. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: «Наука».

5. Белоцерковский С.М., 1965. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: «Наука».

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., 1978. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, электродинамике, теории упругости. М.: Наука.

7. Белоцерковский С.М., Дворак А.В., Желанников А.И., Котовский В.Н., 1987. Моделирование на ЭВМ турбулентных струй и следов. Проблемы турбулентных течений. М.: Наука.

8. Белоцерковский С.М., 1994. О моделировании на ЭВМ турбулентных струй и следов методом дискретных вихрей. В сб. «Этюды о турбулентности». М.: Наука, с. 246-258.

9. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С., 1995. Моделирование на ЭВМ турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Наука, 368 с.

10. Белоцерковский Ал.С., Гиневский А.С., 2001. Численное моделирование дальнего вихревого следа самолета на взлетно-посадочных режимах. Доклады академии наук, том 380, № 6, с. 761-764.

11. Бергнадский А.Г., 1989. Фрактальная структура турбулентных вихрей. ЖЭТФ, т. 96, вып. 2(8), с. 625-631.

12. Вызова Н.Л., Иванов В.Н., Гаргер Е.К., 1989. Турбулентность в пограничном слое атмосферы. JI.: Гидрометеоиздат.

13. Владимирова Н.А., Вышинский В.В., Гадецкий В.М., 1995. Расчетные и экспериментальные исследования обтекания крыла супербольшого удлинения при малых числах Рейнольдса. Техника воздушного флота LXVni, № 1-2 (607).

14. Владимирова Н.А., Вышинский В.В., Кравченко С. А., Сакович B.C., 1996. Исследование вихревых структур в рамках краевой задачи для уравнений Эйлера. Труды ЦАГИ 2622, с. 66-80.

15. Воеводин А.В., Вышинский В.В., Гайфуллин A.M., Захаров С.Б., Судаков Г.Г., 1999. Расчет параметров вихревого следа за самолетом. V International Symposium NEW AVIATION TECHNOLOGIES OF THEXXI CENTURY. Zhukovsky.

16. Вулис Л.А., Кашкаров В.П., 1965. Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука, -432 с.

17. Вышинский В.В., 1975 Построение точных решений бесскачкового обтекания симметричного профиля с местной сверхзвуковой зоной. Ученые записки ЦАГИ, т. VI, № 3, стр. 1-8.

18. Вышинский В.В., Кузнецов Е.Н., 1991. Исследование обтекания тел вращения с образующей Рябушинского. ДАН СССР, т. 321, № 1.

19. Вышинский В.В., Кравченко С.А., 1991. Расчет пространственных отрывных течений в рамках нестационарных уравнений Эйлера. Ученые записки ЦАГИ, т. 22, № 2.

20. Вышинский В.В., 1994. Влияние степени турбулентности набегающего потока и шероховатости поверхности на положение и протяженность области перехода пограничного слоя на крыле и фюзеляже. Труды ЦАГИ 2560.

21. Вышинский В.В., Кравченко С.А., Сорокин A.M., 1994а. Расчет трансзвукового обтекания системы двух тел на сетках разных топологических структур. Ученые записки ЦАГИ, т. 25, № 3-4, с. 36-54.

22. Вышинский В.В., Кравченко С.А., Сорокин A.M., 19946. К вопросу выбора топологии сеток при решении аэродинамических задач. Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. Вып. 1, с. 58-67.

23. Вышинский В.В., Кравченко С.А., 1995. Расчет отрывного осесимметричного обтекания системы двух тел в рамках нестационарных уравнений Эйлера. Труды ЦАГИ, вып. 2571.

24. Вышинский В.В., 1996. Исследование эволюции вихревого следа за самолетом и безопасность полета. Труды ЦАГИ, 2622, с. 5-21.

25. Вышинский В.В., Кравченко С.А., 1997а. Математическое моделирование разлета обломков обшивки носовой части фюзеляжа самолета при ее разрушении в полете. Ученые записки ЦАГИ, т. 28, № 3-4, с. 103-118.

26. Вышинский В.В., Кравченко С.А., 19976. Математическое моделирование динамики жидкости со свободной поверхностью. Труды ЦАГИ, т. 2621, -28 с.

27. Вышинский В.В., 1998. Вихревой след самолета, безопасность полетов и кризис аэропортов. Полет.

28. Вышинский В.В., Стасенко А.Л., 1999. Струйно-вихревой след самолета: проблемы экологии и безопасности полета. Математическое моделирование 11, № 4, с. 100116.

29. Вышинский В.В., Гайфуллин A.M., Головкин В.А., Головкин М.А., Горбань В.П., Захаров С.Б., 1999. Расчетно-экспериментальные исследования по ослаблению вихревого следа. ГТО ЦАГИ.

30. Вышинский В.В., Гайфуллин A.M., Звонова Ю.С., Свириденко Ю.Н., 2001. Эволюция и разрушение струйно-вихревого следа за самолетом. VI International Symposium. Aerospace Technologies of the XXI Century: New Challenges in Aeronautics. Zhukovsky.

31. Вышинский В.В., Кузнецов О.А., 2002. Проблемы вихревого следа для аэропортов с пересекающимися полосами. Труды ЦАГИ, вып. 2655.

32. Вышинский В.В., Стасенко А.Л., 2002. Аэрофизические модели и численные исследования струйно-вихревого следа тяжелого лайнера над аэродромом. Математическое моделирование (в печати).

33. Годунов С.К, Семендяев К.А., 1962. Разностные методы численного решения задач газовой динамики. ЖВМ и МФ, т. 2, № 1, стр. 3-14.

34. Госсард Э., Хук У., 1978. Волны в атмосфере. М. . Мир.

35. Гуляев А.Н., Козлов В.Е., Секундов А.Н., 1993. К созданию универсальной однопараметрической модели для турбулентной вязкости. Механика жидкости и газа, № 4, с. 69-81.

36. Дородницын А.А., 1958. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. Труды III Всесоюзн. матем. Съезда, т. III, изд. АН СССР, стр. 447-453.

37. Желанников А.И., 1987. Спутные вихри за самолетом. Гражданская авиация №4.

38. Звонова Ю.С., Гайфуллин A.M., 2001. Интерференция турбулентной струи двигателя и вихревого следа самолета. VI International Symposium. Aerospace Technologies of the XXI Century: New Challenges in Aeronautics, Zhukovsky.

39. Кибардин Ю.А., Киселев A.M., 1978.Физика спутного следа. Авиация и космонавтика, №3.

40. Кибардин Ю.А., Киселев A.M., 1978. В спутном следе. Авиация и космонавтика, № 4.

41. Колмогоров А.Н., 1942. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, сер. физ., т. 6, № 1-2.

42. Крылов А.Н., 1913. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. Известия Николаевской Морской академии, Петербург.

43. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., 1977. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: «Наука».

44. Ладыженская О.А., 1961. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: «Физматгиз».

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 1988. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, -736 с.

46. Лойцянский Л.Г., 1958. Гипотеза локальности в турбулентном движении жидкости при наличии вязкости. Прикладная математика и механика, т. 22, вып. 5, стр. 600611.

47. Лойцянский Л.Г., 1970. Механика жидкости и газа. М.: "Наука".

48. Монин А.С., 1994. О когерентных структурах в турбулентных течениях. Сб. «Этюды о турбулентности». М.: Наука.

49. Мюллер Т.Дж., 1981. Применение численных методов к исследованию физиологических течений. В сб. «Численные методы в динамике жидкостей». М.: «Мир», стр. 80-151.

50. Проблемы космической аэродинамики»., 1949. Сб. докладов на Международном совещании по движению газовых масс космических размеров. Париж (М.: Изд иностр. лит., 1953).

51. Рейнольде А.Дж., 1979. Турбулентные течения в инженерных приложениях. М., «Энергия».

52. Роуч П., 1980. Вычислительная гидродинамика. М.: «Мир», -616 с.

53. Сакович B.C., 1991. Многосеточный алгоритм интегрирования уравнений Эйлера для расчета обтекания профиля трансзвуковым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 2517.

54. Свириденко Ю.Н., Инешин Ю.Л., 1996. Применение панельного метода с симметризацией особенностей к расчету обтекания самолета с учетом влияния струй двигателей. Труды ЦАГИ, вып. 2622, с. 41-53.

55. Суинни X, Голлаба Дж., 1984. Гидродинамическая неустойчивость и переход к турбулентности. М.: Мир.

56. Турыгин А.Ю., Чечеткин В.Р., 1990. Мультифрактальная структура развитой гидродинамической турбулентности и третья гипотеза Колмогорова. ЖЭТФ, т. 98, вып. 1(7), с. 146-160.

57. Фрост У., Моулден Т., 1980. Турбулентность. Принципы и применения. М. Мир, 535 с.

58. Харлоу Ф., 1967. Численный метод частиц в ячейках для задач гидромеханики. В сб. «Вычислительные методы в гидродинамике». М. «Мир», стр. 316-342.

59. Шакина Н.П., 1990. Гидродинамическая неустойчивость в атмосфере. Л. Гидрометеоиздат.

60. Adams, М.С., Sears, W.R., 1953. Slender-body theory review and extension. Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 20, No. 2, pp. 85-98.

61. Allen, D.N. de G., Southwell, R.V., 1955. Relaxation methods applied to determine the motion in two dimensions of a viscous fluid past a fixed cylinder. Quart. J. of Mech. And Appl. Math., vol. 8, pp. 129-145.

62. Are/, H., 1985. Chaos in the dynamics of a few vortices fundamentals and applications. Theoretical and Applied Mechanics, IUTAM, pp. 43-68.

63. Ash, R.L., Zheng, Z.C., 1996a. Numerical simulations of commercial aircraft wakes subjected to airport surface weather conditions. AIAA Paper 96-0660.

64. Ash, R.L., Zheng, Z.C., 1996b. Study of aircraft wake vortex behavior near the ground. AIAA Journal, vol. 34, No. 3, pp. 580-589.

65. Baldwin, B.S., Lomax, H., 1978. Thin layer approximation and algebraic model for separated turbulent flows. AIAA Paper 78-257.

66. Basdevant, С, Couder, Y., Sadourny, R., 1984. Macroscopic Modelling of Turbulent Flows. Lecture Notes in Physics 230, Springer.

67. Baumann, R., 2000. In-situ measurements in the wakes of cruising aircraft. Proceedings of the Fourth WakeNet Workshop "Wake Vortex Encounter", National Aerospace Laboratory NLR, Amsterdam.

68. Belotserkovskii, O.M., Davydov, Yu. M., 1973. Numerical approach for investigating some transonic flow. Led. Notes in Phys. 19, Springer-Verlag, pp. 25-32.

69. Bezrodnov A.V., Gaifullin A.M., Soudakov G.G., Soudakov V.G., Voyevodin A.V., Zakharov S.B., 1999. Investigations into the wake vortex evolution downstream the A3 00 aircraft model. Trudy TsAGI, vol. 2641, pp. 84-94.

70. Bilanin, A.J., Teske, M.E., Williamson, G.G., 1977. Vortex interactions and decay in aircraft wakes. AIAA J., vol. 20, No. 2.

71. Boeing seeks NASA input as it unveils anti-vortex system. Flight International, 8-14 February, 2000.

72. Bradley R.G., Bhateley I.C., 1978. Remarks on future computational aerodynamics requirements. "Future Computer Requirements for Computational Aerodynamics", pp. 91-101 (NASA-CP-2032).

73. Bradshaw, P., 1973. Effects of streamline curvature on turbulent flow, AGARD-AG-169.

74. Bruin A.C., 2000. WAke Vortex Evolution and ENCounter (WAVENC). AIR & SPACE EUROPE 1, No. 5.

75. Burnham, D.C., Hallock, J.N., Tombach, I.H., Brashears, M.R., Barber, M.R., 1978. Ground-based measurements of a B-747 aircraft in various configurations. U.S. Dept. of Transportation Report FAA-RD-l%-\46.

76. Cabot, W.H., 1996. Near-wall models in large-eddy simulations of flow behind a backward-facing step. Ann. Res. Briefs. Center for Turbulence Research, NASA Ames/Stanford Univ., Vol. 199.

77. Campbell, D.R., Mueller, T.J., 1968. A numerical and experimental investigation of incompressible laminar ramp-induced separated flow. UNDAS TN-1068-M1, Dep. Of Aero-Space Eng., Univ. of Notre Dame, Indiana.

78. Cebeci, Т., Smith, A.M.O., 1974. Analysis of turbulent boundary layers. "Academic Press".

79. Chapman, D.R., 1979. Computational aerodynamics' development and outlook. AIAA Paper, No. 79-0129.

80. Charney, J.J., Kaplan, M.L., Lin, Y.-L., Pfeiffer, K.D., 2000. A new eddy dissipation rate formulation for the terminal area PBL prediction system (TAPPS). AIAA Paper 20000624.

81. Chevalier, H., 1973, Flight test studies of the formation and dissipation of trailing vortices. Journal of Aircraft 10, pp. 130-134.

82. Chollet, J.P., Lesieur, M, 1981. Parameterization of small scales of three-dimensional isotropic turbulence utilizing spectral closures. J. Atmo. Sci. Vol. 38, pp. 2747-2760.

83. Chollet, J.P., 1984. Two-point closures as a subgrid modelling for large-eddy simulation. Turbulent Shears Flow IV, edited by F. Durst and B. Launder, (Springer-Verlag, Heidelberg), -62 p.

84. Coakley, T.J., 1983. Turbulence modeling methods for the compressible Navie-Stokes equations. AIAA Paper 83-1693.

85. Coakley, T.J., Huang, P.G., 1992. Turbulence modeling for high speed flows, AIAA Paper 92-0436.

86. Costen, R.C., 1972. Drift of buoyant wing-tip vortices. J. Aircraft 9, No. 6.

87. Couder, Y., Basdevan, C., 1986. Experimental and numerical study of vortex couples in two-dimensional flows. Journal of Fluid Mechanics 173, pp. 225-251.

88. Courant, R., Friedrichs, K.O., Lewy, H., 1928. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Mathematische Annalen, B. 100, s. 32-74 (О разностных уравнениях математической физики. УМН, 1940, вып. VIII, стр. 125-144).

89. Crank, J., Nicolson, P., 1947. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type. Proc. Cambridge Phylos. Soc., vol. 43, No. 50, pp. 50-67.

90. Crighton, D.G., 1985. The Kutta condition in unsteady flow. Ann. Rev. Fluid Mech. 17, pp. 411-445.

91. Critchley, J.В., Foot, P.В., 1991. United Kingdom civil aviation authority wake vortex database: analysis of incidents reported between 1982 and 1990. CAA Paper 91015, London.

92. Crow, S.C., 1970. Stability theory for a pair of trailing vortices. AIAA Journal 8, No. 12, pp. 2172-2179.

93. Crow, S.C., Bate, E.R. Jr., 1976. Lifespan of trailing vortices in a turbulent atmosphere. J. Aircraft 13, No. 7, pp. 476-482.

94. Dahm, W.J.A., Scheil, C.M., Tryggvason, G., 1989. Dynamics of vortex interaction with a density interface. J. FluidMech. 205, pp. 1-43.

95. Dee, F.W., Nicholas, O.P., 1968. Flight measurements of wing-tip vortex motion near the ground. Royal Aeronautical Establishment, London, CP-1065.

96. Donaldson, C. du P., 1972. Calculation of turbulent shear flows for atmospheric and vortex motions. AIAA J., vol. 8, No. 1.

97. Donaldson, C. du P., Bilanin, A.J., 1975. Vortex wakes of conventional aircraft. AGARDograph AGARD-AG-204.

98. Douady, S., 1990. Experimental study of the Faraday instability. J. Fluid Mech. 221, pp. 383409.

99. Doyle, A., 1999. Boeing technique leaves trailing vortices behind. Air transport, 27.

100. Ducros, F., Comte, P., Lesieur, M., 1996. Large-eddy simulation of transition to turbulence in a boundary layer developing spatially over a flat plate. J. Fluid Mech. 326, pp. 1-17.

101. Favre, A., 1965. Equations des gaz turbulents compressibles I, II. Journal de Mecanique, Vol. 3, 1965, pp. 361-390; Vol. 4, pp. 391-421.

102. Fischenberg, D., 2000. Determination of vortex characteristics from vortex encounter flights. Proceedings of the Fourth WakeNet Workshop "Wake Vortex Encounter", National Aerospace Laboratory NLR, Amsterdam.

103. Fisher, A., 2000. Experiences with flying in wake vortices. Proceedings of the Fourth WakeNet Workshop "Wake Vortex Encounter", National Aerospace Laboratory NLR, Amsterdam.

104. Foy, L.R., 1964. Steady state solutions of hyperbolic systems of conservation laws with viscosity terms. Comm. Pure and Appl. Math., vol, 17, pp. 177-188.

105. Gaifullin, A.M., Voyevodin, A.V., Zakharov, S.B., 1999. Zonal method of aircraft wake calculation. Trudy TsAGI, vol. 2641, pp. 111-120.

106. Gaifullin, A.M., Kuznetsov, O.A., Vyshinsky, V.V., Zakharov, S.B., 1999. Data Analysis and Improvement of Theoretical Model to Speed up the Calculations for Wake Vortex Encounter. WAVENC TN-15, (TsAGI-TR 10717/02).

107. Germano, M., Piomelli, (J., Moin, P., Cabot, W.H., 1991. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model. Phys. Fluids A 3, pp. 1760-1778.

108. Germano, M., 1992. Turbulence: the filtering approach. J. Fluid Mech. Vol. 238, pp. 325-340.

109. Gerz, Т., Holzapfel, F., Darracq, D., 2001. Aircraft Wake Vortices. WakeNet Position Paper.

110. Ghosal, S., Moin, P., 1995. The basic equations for the large eddy simulation of turbulent flows in complex geometries. J. Comput. Phys. Vol. 118, pp. 24-37.

111. Gottlieb, S., Shu, C.-W., 1996. Total variation diminishing Runge-Kutta schemes. NASA CR-201591, ICASE Report No. 96-50, pp. 20.

112. Govindaraju, S.P., Saffman, P.G., 1971. Flow in a turbulent trailing vortex. The Physics of Fluids 14, No. 10, pp. 2074-2080.

113. Greene, G.G., 1986. An approximate model of vortex decay in the atmosphere. J. Aircraft 23, pp. 566-573.

114. Gryazin, V. Ye., Mikhailov, Yu.S, Vyshinsky, V.V., 2000. Wake Vortex training at TsAGI. Proceedings of the Fourth WakeNet Workshop "Wake Vortex Encounter", National Aerospace Laboratory NLR, Amsterdam.

115. Guckenheimer, J., Mahalov, A., 1992. Instability Induced by Symmetry Reduction. Physical Review Letters 68, No. 15, pp. 2257-2260.

116. Haines, A.B., 1977. Computers and wind tunnels: complementary aids to aircraft design. Aeron. J., vol. 81, No. 799, pp. 306-321.

117. Hanjalic, K., Launder, B.E., 1972, A Reynolds stress model of turbulence and its applications to thin shear flows. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 52(4), pp. 609-638.

118. Harlow, F.H., Fromm, J.E., 1965. Computer experiments in fluid dynamics. Scientific American, vol. 212, No.3, pp. 104-110.

119. Harris, M., Vaughan, J.M., Huenecke, К, Huenecke, C., 2000. Aircraft wake vortices: a comparison of wake-tunnel data with field trial measurements by laser radar. Aerosp. Csi. Technol., No. 4, pp. 363-370.

120. Haverdings, H. 2000. Wake vortex encounters as registered by flight data recordings. Proceedings of the Fourth WakeNet Workshop "Wake Vortex Encounter", National Aerospace Laboratory NLR, Amsterdam.

121. Hecht, A.M., Bilanin, A.J., Hirsh, J.E, Snedeker, R.S., 1979. Turbulent Vortices in Stratified Fluids, AIAA Paper No. 79-0151.

122. Hecht, A.M., Hirsh, J., Bilanin, A.J., 1980. Turbulent line vortices in stratified fluids, AIAA Paper 80-0009.

123. Hegen, G.H., 1998. Wake encounter test in DNW wind tunnel test number 98-1116. NLR-CR-98291 and WAVENC-TNIQ.

124. Heintsch, Т., Kindel, W., 1993. Influence of wake vortices on a landing aircraft a task for realtime-fligtsimulation. Aircraft Flight Safety Conference, Zhukovski, pp. 179-197.

125. Heintsch, Т., Kindel, W., 1994. Realtime-simulation of aircraft behavior in wake vortices with respect to flight safety. ICAS 94, Vol. 1.

126. Hill, F.M., 1975. A Numerical Study of the Descent of a Vortex Pair in a Stably Stratified Atmosphere, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 71, Part 1, pp. 1-13.

127. Hinton, D.A., 1997. Aircraft vortex spacing system (AVOSS) concept and development. Proceedings of the NASA First Wake Vortex Dynamic Spacing Workshop, Langley Research Center, Hampton, VA, NASA CP-97-206235, pp. 11-22.

128. Holzapfel, F., Gerz, Т., Baumann, R., 2001. The turbulent decay of trailing vortex pairs in stably stratified environment. Aerosp. Sci. Technol. 5, pp. 95-108.

129. Huenecke, K, 1995. Wake vortex investigations of transport aircraft. AIAA Paper 95-1773.

130. Huenecke K., 2000. Vortex wakes from large aircraft a challenge for industrial research. AIAA Paper 2000-2216.

131. Jameson, A., Schmidt, W, Turkel, E., 1981. Numerical solution of the Euler equation by finite volume methods using Runge-Kutta time-stepping schemes. AIAA Paper-\259.

132. Jameson, A., 1982. Transonic airfoil calculations using the Euler equations. Numer. Meth. in Aeronautical Fluid Dynam., pp. 289-308.

133. Jameson, A., 1983 Solution of the Euler equation for two-dimensional transonic flow by a multigrid method. Applied Math, and Comput. 13, No. 3-4.

134. Jameson, A.A., 1986 Vertex based multigrid algorithm for three-dimensional compressible flow calculation. Numerical methods for compressible flows. New York, pp. 45-73.

135. Jameson, A., Baker, T.J., Weatherill, N.P., 1986. Calculation of inviscid transonic flow over a complete aircraft. AIAA Paper 86-0103.

136. Jimenez, J., 1995. On why dynamic subgrid-scale models work. Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, Stanford Univ., Stanford, CA, pp. 25-34.

137. Kalyavkin, V.M., Kuznetsov, O.A., Matveev, A.V., Osminin, R.I., Vyshinsky, V.V., 1998. Results of Processing Initial Video Materials on vortex-wing interaction. WAVENC TN-13, (TsAGI-TR 4694/19).

138. Kandil, O.A., Wong, T.C., Adam, I., Liu, C.H., 1995. Prediction of near- and far-field vortex-wakes turbulent flows. AIAA 95-3470-CP, pp. 415-425.

139. Aircraft, vol. 22, No.3, pp. 182-187. Krasny, R., 1987. Computation of vortex sheet roll-up in the Trefftz plane. J. Fluid Mech. 184, pp. 123-155.

140. Kuhn, G.D. and Nielsen, J.N., 1972. Analytical Studies of Aircraft Trailing Vortices, AIAA Paper 72-0042.

141. Kuzmin, V.P., 1997. Estimation of Wake-Vortex Separation Distances for Approaching

142. Aircraft, Trudy TsAGI, vol. 2627, pp. 209-224. Kuzmin, V.P., 1999. Analysis of the vortex wake effect on an aircraft in landing approach.

143. Trudy TsAGI, vol. 2641, pp. 227-238. Kuznetsov O.A., Vyshinsky V.V., 1998. Vortex-wake safety: aircraft-strength aspects of the problem. AIAA-2523.

144. Kuznetsov, O.A., Orlova, T.I., 1999. Prediction of aircraft displacements in turbulent flow.

145. Academic Press, London. Liu, H.-T., 1991. Tow-tank simulation of vortex wake dynamics. Proceedings of the Aircraft

146. Matveev, A.V., Nazarov, V.V., Osminin, R.I., 1999. Experimental study into three-dimensional displacements of a flexible aircraft model under the action of gusts in wind-tunnel flow. Trudy TsAGI 2641, pp. 274-282.

147. Mikhailov, Yu. S., Vyshinsky, V.V., 1999. Vortex wake safety the problem of encountering aircraft. Institute of Aeronautics and Applied Mechanics Warsaw University of Technology, Research Bulletin, No.9, pp. 91-100.

148. Miller, A.B., Stasenko, A.L., Vyshinsky, VV, 1998. Analytical and numerical investigations of the aircraft condensing vortex wake. European Geophysical Society Annales Geophysicae. Part III Space & Planetary Sciences. Supplement III, Vol. 16, С 962.

149. Moin, P., Squires, K.D., Cabot, W.H., Lee, S., 1991. A dynamic subgrid-scale model for compressible turbulence and scalar transport. Phys. Fluids A 3, pp. 2746-2767.

150. Moin, P., 1997. Progress in large eddy simulation of turbulent flows. AIAA Paper No. 970749.

151. Murman, E.M., Stremel, P.M., 1982. A vortex wake capturing method for potential flow calculations. AIAA Paper 84-0947.

152. Narain, J.P. and Uberoi, M.S., 1974. The Motion of a Trailing Vortex Wake in a Stratified Medium, Atmospheric Environment, Vol. 8, pp. 459-473.

153. Nespor, J.D., Hudson, В., Stegall, R.L., Freedman, J.E., 1991. Doppler radar detection of vortex hazard indicators. Proceedings of the Aircraft Wake Vortices Conference, pp. 37.1-37.43.

154. Neumann, J., Richtmyer, R.D., 1950. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. J. Appl. Phys., vol. 21, pp. 232-257.

155. Normand, X., Lesieur, M., 1992. Direct and large-eddy simulation of laminar breakdown in high-speed axisymmetric boundary layers. Theoret. Comput. Fluid Dyn. Vol. 3, pp. 231-250.

156. Orlandi, P., 1990. Vortex dipole rebound from a wall. Physics of Fluids A 2, No. 8, pp. 14291436.

157. Page, R.D., Clawson, K.L., Garodz, L.J., Rudis, R.P., 1991 Panel discussion on tower fly-by testing 1990 Fall Series. Proceedings of the aircraft wake vortices conference, pp. 49.1-49.53.

158. Pakin, A.N., 1997. Application of the modified q-co turbulence model to simulating of two-dimensional vortex gas motion. Trudy TsAGI 2627, pp. 79-92.

159. Peace, A.J., Riley, N., 1983. A viscous vortex pair in ground effect. Journal of Fluid Mechanics 129, pp. 409-426.

160. Phillips, W.R., 1981. The turbulent trailing vortex during roll-up. J. Fluid Mech. 105, pp. 451467.

161. Proctor, F.H., 1997. NASA Langley's numerical modeling effort to understand the interaction of aircraft wake vortices with their environment. Proceedings of the International Wake Vortex Meeting. Ottawa, Ontario.

162. Pulliam, Т.Н., 1985. Artificial dissipation models for the Euler equation. AIAA Paper-438.

163. Pulliam, Т.Н., 1990. Computational challenge: Euler solution for ellipses. AIAA Journal 28, No. 10, pp. 1703-1704.

164. Quackenbush, T.R., Teske, M.E., Bilanin, A.J., 1996. Dynamic of exhaust plume entrainment in aircraft vortex wakes. А1АА-01Л1.

165. Reynolds, W.C., 1970. Computation of turbulent flows-state-of-the-art. Stanford University.

166. Richardson, L.F., 1910. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, vol. 210, pp.307-357.

167. Richtmyer, R.D., 1957. Difference methods for initial-value problems. New York. Interscience Publishers Inc.

168. Roe, P.L., 1981. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference scheme. J. Сотр. Phys., Vol. 43, pp. 357-472.

169. Rossow, V.J., Corsiglia, V.R., Schwind, R.G., Frick, J.K.D., Lemmer, O.J., 1975. Velocity and rolling-mojnent measurements in the wake of a swept -wing model in the 40- by 80-foot wind tunnel. NASA 7МГ-62414.

170. Rossow, V.J., Sacco, J.N., Askins, P.A., Bishee, L.S., Smith, S.M., 1995. Wind-tunnel measurements of hazard posed by lift-generated wakes. Journal of Aircraft 32, No. 2.

171. Rossow, V.J., 1996. Wake-vortex separation distance when flight-path corridors are constrained. Journal of Aircraft, 33, No 3.

172. Rossow, V.J., 1999. Lift-generated vortex wakes of subsonic transport aircraft. Progress in Aerospace Sciences 35, No. 6.

173. Rubinstein, R., Zhou, Ye., 1997. The dissipation rate transport equation and subgrid-scale models in rotating turbulence. ICASE Report No. 97-63 (NASA/CR-97-206250).

174. Saffman, P.G., 1972. The Motion of a Vortex Pair in a Stratified Atmosphere, Studies in Applied Math., Vol. LI, No. 2, pp. 107-119.

175. Sarpkaya, Т., 1998. Decay of wake vortices of large aircraft. AIAA Journal 36, No. 9.

176. Sarpkaya, Т., 2000. New model for vortex decay in the atmosphere. J. Aircraft, vol. 37, No 1, pp. 53-61.

177. Schumann, U., 1975. Subgrid scale model for finite difference simulation of turbulent flows in plane channels and annuli. J. Comput. Phys. Vol. 18, pp. 376-390.

178. Scorer, R.S., 1958. Natural aerodynamics. Pergamon, New York, pp. 73-75.

179. Shen, S., Ding, F., Han, J., Lin, Y.-L., Arya, S.P., Proctor, F.H., 1999. Numerical modeling studies of wake vortices: real case simulation. AIAA-99-0755.

180. Shur, M., Strelets, M., Zaikov, L., Gulyaev, A., Kozlov, V., Secundov, A., 1995. Comparative numerical testing of one- and two-equation turbulence models for flows with separation and reattachement. AIAA-95-0863.

181. Shur, M., Strelets, M., Travin, A., and Spalart, P.R., 1998. Two numerical studies of trailing vortices. AIAA-98-0595.

182. Slooff J. W., 1976. Wind tunnel tests and aerodynamic computations: thoughts on their use in aerodynamic design. "Numerical Methods and Windtunnel Testing", pp. 11.1-11.6 (AGARD-CP-210).

183. Smagorinsky, J., 1963. General circulation experiments with the primitive equations. Monthly Weather Review, Vol. 91, pp. 99-164.

184. Sorokin A.M., Vladimirova N.A., 1999. Algorithms for generation of the grids for solving Euler equations and computing flow fields about aircraft configurations under uniform and vortex freestream conditions. Trudy TsAGI, vol. 2641, pp. 66-77.

185. Soudakov, G.G., Vyshinsky, V.V., 1996. Investigation of the vortex wake evolution and flight safety. ICAS-96-\A\3, pp. 2590-2600.

186. Soudakov, G.G., Gaifullin, A.M., 1997. Numerical investigation of unsteady process for the airfoil-vortex wake interaction. AIAA Paper 97-2268.

187. Soudakov, G.G., 1999. Engineering model of the wake behind an aircraft. Trudy TsAGI, vol. 2641, pp. 95-110.

188. Soudakov, G.G., Voyevodin, A.V., Zubtsov, A.V., 1999. Aircraft vortex wake attenuation. Trudy TsAGI 2641, pp. 183-190.

189. Southwell, R.V., 1946. Relaxation methods in theoretical physics. New York: Oxford Univ. Press.

190. Spalart, P.R., 1996. On the motion of laminar wing wakes in a stratified fluid. Journal of Fluid Mechanics 327, pp. 139-160.

191. Spalart, P.R., Wray, A.A., 1996. Initiation of the Crow instability by atmospheric turbulence. AGARD-CP-584, pp. 18.1-18.15.

192. Spalart, P.R., 1998. Airplane trailing vortices. Annu. Rev. FluidMech. 30, pp. 107-138.

193. Squire, H.B., 1965. The growth of a vortex in turbulrnt flow. The Aeronautical Quartely 16, pp. 302-306.

194. Stasenko, A.L., Vyshinsky, V.V., 1998. Aircraft vortex wake environmental and flight safety aspects of the problem. &4£-98-5590.

195. Suzuki M., Kuwahara K., 1992. Stratified flow past a bell-shaped hill. Fluid Dynamics Research, vol. 9, No. 1-3, pp. 1-18.

196. Sviridenko, Yu.N., 1999. Investigation into the computational schemes of different order of accuracy in the problem of the aircraft near-field vortex sheet configuration modeling. Trudy TsAGl 2641, pp. 60-66.

197. Teske, M.E., Bilanin, A.J., Barry, J. W., 1993. Decay of aircraft vortices near the ground. AIAA Journal 31, No. 8, pp. 1531-1532.

198. Thorn, A., 1933. The flow past circular cylinders at low speeds. Proc. Roy. Soc., London, Ser. A, vol. 141, pp. 651-666.

199. Tomassian, J.D., 1979. The Motion of a Vortex Pair in a Stratified Medium, Ph. D. Dissertation, UCLA.

200. Turkel, E., Vatsa, V.N., 1994. Effect of artificial viscosity on three-dimensional flow solutions. AIAA Journal 32, No. 1.

201. Vaughan, J.M., 1998. Wake vortex investigations at Heathrow airport, London. Nouvelle Revue d'Aeronautique et d'Astronautique, No. 2.

202. Vickroy, D.D., Vijgen, P.M., Reimer, H.M., Gallegos, J.L., Spalart, Ph.H., 1998. Recent NASA wake-vortex flight tests, flow-physics database and wake-development analysis. AIAA Paper-5592.

203. Vyshinsky, V.V., Kravchenko, S.A., 1994a. Calculation of three-dimensional separated flows within the framework of nonstationary Euler equations. TsAGI Journal 1, No. 2, pp. 4660.

204. Vyshinsky, V.V., Kravchenko, S.A., 1994b. On the possibility of mathematical modeling of separated flows by solving the Euler equations. Proceedings of the 19-th Congress of ICAS 3, pp. 2519-2528.

205. Vyshinsky, V.V., Kravchenko, S.A., 1994d. To calculation of three-dimensional flows around the prolate bodies. RJCM, No. 2.

206. Vyshinsky, V.V., Kravchenko, S.A., 1995. On a flight safety problem: internal fluid motion in an aircraft. AIAA Paper 95-3927.

207. Vyshinsky, V. V., 1996. Studies on vortex wake evolution and flight safety problems. SAE 965562, pp. 1-11.

208. Vyshinsky, V.V., 1997a. Aircraft vortex wake and airport capacity. SAE 97-5519.

209. Vyshinsky, VV, 1997b. Investigation of Vortex Wake Evolution and Flight Safety Problems. Trudy TsAGI, vol. 2627, pp. 5-23.

210. Vyshinsky VV, 1998. Aircraft vortex wake, flight safety and crisis of airports. Proceedings of the 21-th Congress of ICAS, ICAS-98-6.5.1.

211. Vyshinsky, VV, Yaroshevsky, V.A., 1998a. Vortex wake safety: aerodynamics and flight dynamics aspects of the problem. AIAA-2522.

212. Vyshinsky, VV, Yaroshevsky, V.A., 1998b Vortex wake safety aerodynamics and flight dynamics aspects of the problem. Institute of Aeronautics and Applied Mechanics Warsaw University of Technology, Research Bulletin, No. 8, pp. 25-33.

213. Vyshinsky, VV, 1999a. Flight safety, aircraft vortex wake and airport operational capacity. Trudy TsAGI, vol. 2641, pp. 7-23.

214. Vyshinsky, VV, 1999b. Wake vortex models and their applications. Proceedings of the 2nd WakeNet Workshop "Prediction of Far Field Vortex Location and Decay" DLR, Oberpfaffenhofen, Germany.

215. Vyshinsky, VV, 1999c. Flight safety, aircraft vortex wake and airport operation capacity. Trudy TsAGI, vol. 2641, pp. 7-23.

216. Vyshinsky, V.V., 2000. The following aircraft in the wake turbulence conditions. Proceedings of the Fourth WakeNet Workshop "Wake Vortex Encounter", National Aerospace Laboratory NLR, Amsterdam.

217. Widnall, S.E., 1975. The structure and dynamics of vortex filaments. Annual Review of Fluid Mechanics 7, pp. 141-166.

218. Wilcox, D.C., 1992. Dilatation-dissipation corrections for advanced turbulence models. AIAA Journal, Vol. 30, No. 11, pp. 2639-2646

219. McWilliams J.C., 1983. Geophys. Astrophys. FluidDyn. 24, pp. 1-22.

220. Yoshizawa, A., 1986. Statistical theory for compressible turbulent shear flows, with the application to subgrid modeling. Phys. Fluids A 29, pp. 2152-2165.

221. Zakharov, S.B., 1999. A note on vortex-merging. Trudy TsAGI 2641, pp. 78-83.

222. Zamyatin, A.N., 1991. Real research of different class airplane vortex wakes at low altitudes. Proceedings of the Aircraft Wake Vortices Conference, pp. 45.1-45.12.

223. Zeman, O., 1990. Dilatation dissipation: the concept and application in modeling compressible mixing layers. Phys. Fluids, Vol. 2, No. 2, pp. 178-188.

224. Zeman, O., 1995. The persistence of trailing vortices: A modeling study. Phys. Fluids 7, No. l,pp. 135-143.

225. Zubtsov, A. V., 1999. On the circulation "dissipation" in the vortex wake. Trudy TsAGI 2641, pp. 121-124.