автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Электронно-конформационные модели кальций-высвобождающей системы клеток сердечной мышцы

На правах рукописи

□□ЗОВ2В75

Фнлипьев Михаил Павлович

ЭЛЕКТРОННО-КОНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ КАЛЬЦИЙ-ВЫСВОБОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ КЛЕТОК СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ

05.13 18 Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ 01 04 07 Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2007

003062675

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Уральского государственного университета им АМ Горького и в лаборатории математической физиологии Института иммунологии и физиологии Уральского отделения Российской Академии наук.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Соловьева Ольга Эдуардовна

Научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор Москвин Александр Сергеевич

Официальные оппоненты.

доктор физико-математических наук, профессор Иванов Алексей Олегович

доктор физико-математических наук Лукоянов Николай Юрьевич

Ведущая организация

Государственное образовательное учреждение "Уральский государственный технический университет - УПИ"

Защита состоится 16 мая 2007 г в 15 ч 00 мин на заседании диссертационного совета К 212 286 01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. А М Горького по адресу

620083, г Екатеринбург, просп Ленина, 51, комн 248

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им А М Горького

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор ///•*■- В Г Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Выяснение молекулярно-клеточиых механизмов возбуждения и сокращения сердечной мышцы является основой для понимания ее функционирования в норме и при патологии Современные клинические и экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что возникновение ряда хронических заболеваний сердца (например, аритмии или сердечной недостаточности) связано с нарушениями во внутриклеточной динамике кальция Важнейшим процессом, регулирующим динамику кальция в клетках, является процесс высвобождения кальция из внутриклеточных хранилищ через кальций-высвобождающие (рианодиновые, RyR) каналы (Bers D М Excitation-Contiaction Coupling and Cardiac Contractile Force) Молекулярно-клеточные механизмы процесса высвобождения кальция уже более двадцати лет изучаются экспериментально и при помощи математического моделирования, но до сих пор остаются невыясненными (Soeller et al // Prog Biophys Mol Biol, 2004)

Традиционно функционирование рианодиновых каналов описывается при помощи марковских цепей с предопределенным количеством состояний При этом вероятности переходов между состояниями цепи определяются из экспериментальных данных (Stern et al II J Gen Physiol, 1999) Однако такой подход является сугубо феноменологическим и не учитывает физико-химических особенностей строения клетки, особенностей структуры каналов и их энергетики В рамках существующих моделей не может быть описан широкий спектр явлений, связанных с функционированием RyR-каналов в клетках сердечной мышцы

В связи с этим разработка новых физически обоснованных математических моделей рианодиновых каналов и кальций-высвобождагощей системы клеток сердечной мышцы в целом является одной из важнейших задач современной математической физиологии сердца

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка биофизически обоснованной элекгрошю-конформациониой модели RyR-

каналов и соответствующей теории, позволяющей описать и объяснить основные экспериментально наблюдаемые явления в функционировании RyR-каналов в сердечных клетках

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи

- разработать математические модели одиночного RyR-канала и группы RyR-канфлов в рамках электронно-конформационного подхода, представляющего собой адаптацшо известных физических и биофизических подходов, применяющихся для описания структурных (конформационных) изменений в белковых молекулах (Шайтан и др // Биофизика, 1985) и для описания фотоиндуци-рованных фазовых переходов в кристаллах (Nagaosa et al // Phys Rev В, 1989),

- разработать численные схемы и комплекс программ для компьютерного моделирования активности RyR-каналов,

- воспроизвести в рамках построенных моделей основные экспериментальные данные о функционировании RyR-каналов в клетках сердечной мышцы

Научная новизна результатов

1 Впервые построены биофизически обоснованные модели RyR-каналов, опирающиеся на электронно-конформационный подход для описания структурно-функционального состояния белков

2 На базе методов численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнешш и методов моделирования дискретных случайных процессов разработан комплекс численных алгоритмов и компьютерных программ для численных реализаций моделей в средах программирования Delphi и Matlab

3 В рамках единого биофизического подхода к моделированию RyR-каналов воспроизведены и объяснены основные экспериментальные данные об индивидуальном и коллективном поведения RyR-каналов в клетках сердечной мышцы

Теоретическая и практическая ценность. Построенные модели и полученные в компьютерных экспериментах результаты моделирования позволяют выяснить и предсказать новые молекулярно-клеточные механизмы регуляции

сократительной функции клеток сердечной мышцы в норме и при патологии Практическую ценность составляет разработанный комплекс программ, реализующий алгоритмы моделирования стохастических дифференциальных уравнений со случайными переключениями и позволяющий проводить численные эксперименты на модели для различных постановок задачи Разработанные модели могут быть интегрированы в модель электромеханического сопряжения в сердечных клетках, разрабатываемую в лаборатории математической физиологии Института иммунологии и физиологии УрО РАН и других лабораториях Полученные результаты могут быть включены в программы специальных курсов для студентов математико-механического и физического факультетов Уральского государственного университета, специализирующихся в области математического моделирования в биологии и медицинской физики, а также студентов, специализирующихся в биофизике

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 48-ом и 50-ом Съездах Американского Биофизического общества (Балтимор, США, 2004, Солт Лейк Сити, США, 2006), XIX Съезде физиологического общества им И П Павлова (Екатеринбург, 2004), XXXV Международном конгрессе по Физиологическим наукам (Сан-Диего, США, 2005), 2-ой Международной конференции по Фотоиндуцированным фазовым переходам (Ренн, Франция, 2005), Российско-британской молодежной конференции «Мышцы строение, функции, регуляция» (Екатеринбург, 2007), Летней школе ДААД «Моделирование сильно-коррелированных многокомпонентных систем» (Екатеринбург, 2004), 5-ой Всероссийской конференции аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004), 12 Международной конференции «Магематика Компьютер Образование» (Пущино, 2005), 37-ой региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2006), Первом Российском научном форуме «Демидовские чтения» (Екатеринбург, 2006) и научных семинарах в Институте иммунологии

и физиологии УрО РАН Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, поддержаны стипендиями Президента РФ и Губернатора Свердловской области, грантами молодых ученых УрО РАН, грантами Министерства образования РФ, РФФИ, the Wellcome Trust и Fogarty International Center

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 31 работе Основные публикации по теме диссертации представлены в списке работ [1-22]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы Общий объем работы составляет 162 страницы, библиография содержит 123 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель диссертационной работы и пути ее достижения, отмечена новизна, теоретическое и практическое значение работы

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации, описаны современные представления о механизмах функционирования клеток сердечной мышцы, роли ионов кальция (Са+) и процесса высвобождения С а2* из внутриклеточных хранилищ в развитии сокращения миокарда, представлены основные подходы к моделированию динамики Са* в клетках сердечной мышцы, сформулированы основные положения теории «локального контроля» (Stem MD П Biophys J, 1992), описывающей высвобождение Са2+ как пространственно-временное наложение большого количества единичных событий высвобождения Са2+ (Са2+ спарков), происходящих в небольших локальных структурах клетки (высвобождающих едшшцах, BE, Рис 1)

В рамках теории локального контроля ключевыми проблемами являются описание активности RyR-каналов, описание завершения локального события высвобождения кальция (Stem et al // J Gen Physiol, 1999) и др Попытка решения этих задач и привела к формулировке электронно-копформационной модели RyR-каналов

Рис. 1. Высвобождающая единица (ВЕ). Рнанодиновые каналы сгруппированы в кластер и образуют почти квадратную решетку на мембране единицы внутриклеточных хранилищ кальция - люмена саркоплазма™ ческо го ренткулюма (CP). F¡ - потоки Ca¡* между CP, цнто-золем Я отделами ВЕ, Са, - концетраиии Со11 в отделах ВЕ и СР.

Вторая глава посвящена описанию элекгронно-конформационной (ЭК) модели одиночного RyR-канала; математической формализации модели в виде системы стохастических дифференциальных уравнений, взаимосвязанных с дискретным случайным процессом; а также построению численных схем для компьютерного моделирования активности RyR-канала.

Построение ЭК-модели одиночного RyR-канала. RyR-канал 1федсбавляет собой гтп-шгекую белковую молекулу с огромным числом внутренних степеней свободы (Рубцов и др. // Биохимия, 1997). В рамках ЭК-подхода все множество степеней свободы сводится к двум степеням свободы - быстро изменяющейся электронной и медленно изменяющейся конформационной. Электронная степень свободы при помощи дискретной переменной и описывает два электронных состояния канала - закрытое (р=0) и открытое (р~\). Конфирмационная степень свободы при помощи непрерывной координаты Q описывает конформационнос (структурное) состояние канала, В простейшей модели изменение координаты Q может быть связано с упругой деформацией канала или пространственным смещением функциональных груш RyR-канала. При этом изменение переменной р может быть связано с переходами макромолеку-

7

лы канала (или этих функциональных групп) между некоторым основным закрытым состоянием и возбужденным состоянием, предрасполагающим к открытию канала Для того чтобы через канал мог течь ионный ток, канал должен находиться в электронно-открытом состоянии О'=0> а конформационное состояние канала должно позволять ионам Са2* проходить через его пору (в дальнейшем будем предполагать, что при этом £?>0)

Для описания энергии различных состояний КуЯ-канала мы применяем формализм оператора Гамильтона (оператор энергии, или гамильтониан) (Ландау М Д , Лившиц Е М Теоретическая физика Т 3) В общем случае гамильтониан одиночного 11у11-капала может быть записан в следующем виде

энергетики двухуровневых систем Первый член гамильтониана (1) описывает разницу энергий двух электронных состояний канала (открытого и закрытого) Второй член описывает эффекты «перемешивания» этих двух состояний Формально это слагаемое описывает квантовый эффект туннелироваиия между состояниями, которые могут иметь место в белковых молекулах (Рубин А Б Биофизика Т2) Третий член в (1) описывает воздействие на канал со стороны обобщенных внешних см, которые условно можно назвать «эффективным давлением» Четвертый член описывает электронно-конформационные взаимодействия в канале Последнее слагаемое описывает энергию конформационного состояния канала (К>0)

Собственные значения гамильтониана (1) определяют два уровня энергии, формирующие конформационный потенциал (КП) 11у11-канала, как функцию координаты Q

Н5 = -Ьг*г - К*х -р(2- а&г + - О1,

к

(1)

- матрицы Паули, применяемые для описания

ЕШ,м) = ~в2 -ре + (1-2//)-[(А, +ав)2 +А,2Р, /^{0,1}, (2)

К

1

£(2,0) и £(0,1) определяют две ветви КП, характеризующие энергию электронно-закрытого (/'=0) и электронно-открытого состояний (/'=1) рисунке 2А изображен характерный вид КП для так называемого диабатического режима Л, = 0 Ветви КП имеют мшшмумы в точках Ь и Н и пересекаются в точке С Отметим, что энергия открытых состояний канала описывается точками ветви £(2,1), находящимися справа от точки С пересечения ветвей (например, точка Н) Остальные ючки ветвей КП описывают энергию закрытых состояний канала

Мы предполагаем, что в результате влияния на канал ионов Са + электронное состояние канала может быстро изменяться в результате прямого электронного перехода, происходящего без изменения конформационной координаты (так называемые переходы Франка-Кондона, см вертикальные стрелки на Рис 2А) При этом энергия канала изменяется скачком, и явление носит выраженный резонансный характер Вероятность электронных переходов в единицу времени, или интенсивность, описывается формулой Брейта-Вигнера (Ландау М Д, Лившиц Е М Теоретическая физика Т 3), широко применяемой для опи-

Рис 2 А Ветви конформационного потенциала {К—2, в=2, р=-0 25, Лг=0, Верти-

кальными стрелками показаны примеры прямых электронных переходов КуЯ-канала, пунктиром - направления конформационной релаксации Б Пример туннельного перехода (показан стрелкой) Ветви КП построены при К~2, а-2,р~0 75, Лг=0, Ьх = 0

А

Б

I

сашш резонансных переходов

Е?

=, (4)

где - максимальная интенсивность электронных переходов, зависящая от

концентрации ионов Са2+ в цитозоле са,[Са], А Е(С>) =| Е((2,1) - Е(0,0) | - энергия перехода, Е511т - энергия ионов Са2\ Еш - так называемая полуширина резонанса Интенсивность электронных переходов будет наибольшей в случае резонанса, когда энергия Е511Ш будет совпадать со значением ДЕ(С$ Изменение координаты <2 описывается уравнением Ланжевена д_

где М - эффективная масса 11у11-канала, Г - параметр диссипации (конформа-цмоннос «трение»), Г1стр - сила случайных «температурных» флуктуаций в

конформационной динамике ЯуЯ-каггала (белый шум)

В рамках ЭК-модели КуЯ-канала имеется возможность описания квантовых туннельных переходов через энергетический барьер между электронными состояниями с равной энергией (Рис 2Б) При этом туннелирование описывается как случайный процесс переходов, происходящих с интенсивностью, определяемой по формуле (Ландау М Д , Лившиц Е М Теоретическая физика Т 3)

Кт =Кт,тах СХр(-а,ш11^АЕ), (5)

где апт - параметр, ДЕ и / — высота и ширина барьера (Рис 2Б), Л,ипптх — максимальная интенсивность попыток туннелирования

Математическая формализация ЭК-модели. Построенная ЭК-модель ЯуЯ-капала была математически формализована в ввде стохастического дифференциального уравнения Ито

с!Х = (АХ + Л(//(0У + . (6)

связанного со случапным процессом

МОе И,//2»} (//"=0, //2>=1),

где

Х =

'Q у

о

су

ей2, F = А-cit

0 1 " 0 1 / 0

-г о II Р-%. , К1) = р+а/2

. М м _ - м

,t>s, о у - параметр силы случайных флуктуаций, W - некоррелиро-

ванный случайный процесс, нормально распределенный для каждого момента времени t с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 1 Начальные условия для системы (6) задают закрытое состояние RyR-канала 0(О) = &,И(О) = О,/|(О) = О (7)

Случайный процесс ¡4í) представлен в виде цепи с вероятностями переходов

р{у(г) = u{í),s<r<t\ /,(*) = }= 1 - (Ле/ (6(0) + лпт тт -s) + o(j - s),

pImo=ми) im=M(l) *м0)}=ík,tea»+ктmm-*)+<*/-¿) (8)

При наличии перехода условные вероятности туннельного и электронного переходов равны Р!1Ш =-- и р -МШ-, соответст-

шт+1„жо) ит)+л,иж))

венно При этом мы предполагали, что при обоих типах переходов скорость V не изменяется При электронных переходах координата Q также остается неизменной, то есть скачка по фазовым координатам Q и V не происходит В то же время, при туннельном переходе происходит скачок по координате Q, новое значение коордашаты определяется по формуле

Qhoв

Qh-

к

(9)

М = \

где ()ь и ()и - координаты Q точек Ь и Н конформационного потенциала

Уравнение (6), процесс (8), условие скачка (9) и начальные данные (7) определяют случайный процесс ?7(/) = {Х(0,р(0} > который называется решением

ЭК-модели Поскольку уравнение (6) - линейное по X, а функции, задающие интенсивности переходов (3), (5) - ограниченные, то решение существует и единственно (Кушнер Г Дж Стохастическая устойчивость и управление)

Для моделирования реализаций процесса i](t) были построены численные схемы Эти схемы комбинируют метод Эйлера-Маруямы (Higham D J. И SI AM Review, 2001), применяющийся для решения стохастических дифференциальных уравнений, и метод вычисления реализаций дискретных случайных процессов с использованием датчика случайных чисел, а также используют интегральное представление решения уравнения (6)

В третьей главе диссертации описаны результаты численных экспериментов на модели одиночного RyR-канала, даны биофизическая интерпретация результатов и их сравнение с имеющимися в научной литературе экспериментальными данными, а также проведен параметрический анализ модели

В рамках численных экспериментов мы исследовали активность одиночного RyR-канала в стационарном режиме в зависимости от постоянной концентрации кальция сю[Са], определяющей интенсивность электронных переходов (Л?/,max ~ cis[Ca] в формуле (3)), и имитировали ток ионов Са2* через канал

А Б

500 мс 500 мс

Рис. 3 Реализации кальциевого тока через ЯуЯ-какал, полученные в численных экспериментах на ЭК-модели (А) и в экспериментах в липидных бислоях (Б, ТаЬпхЗткоуа е( а1 ВюрНуя У, 1995) На рисунках рядом с реализациями приведены значения концентрации кальция с/у[Са], при которых они получены

(Рис 3) Как и в экспериментах на реальном КуН-канале, модель имитировала возрастание активности канала при возрастании с«[Са] от 0 05 до 50 мкМ

В результате статистической обработки данных численных экспериментов (для каждого значения т[Са] было получено от 500 до 1000 реализаций динамики канала) были построены гистограммы плотностей распределения координаты <2 канала в электронно-открытых и электронно-закрытых состояниях (Рис 4), позволяющие определять вероятности нахождения канала в различных состояниях

Нами была получена экстремальная зависимость вероятности р нахождения канала в открытом состоянии от концентрации кальция см[Са], хорошо согласующаяся С данными экспериментов на ПуЛ-каналах в липидных бнслоях (Рис 5) При низких концентрациях си[Са] (менее 50 мкМ) вероятность р возрастает с ростом ск[Са] (явление активации каналов), а при высоких (более 50 мкМ) - начинает уменьшаться (явление инактивации каналов) При этом обнаружено, что для правильного описания динамики ЯуЯ-канала при малых

1 Cjpon

003 0 02 0 01

a open

0 03

-1 -05 0 OS Q -1 -05 0 05 Q -1 -05 0 05 Q

^closed 02 015 01

Q

fclosed

02 015 01

ASi

Рис 4 Гистограммы плотностей распределения конформавдюниой координаты Чу11-канала в электронно-открытых (вверху) и электронно-закрытых (внизу) состояниях при различных значениях с/.?[Са] 20 мкМ (Л), 200 мкМ (Б), 500 мкМ (В)

концет рациях с/г[Са] необходим учет эффектов туннелирования, ограничивающих сверху время нахождения канала в открытом состоянии

Нами воспроизведено явление возрастания активности Г1у11-каналов при увеличении концентрации Са2+ во внутриклеточных хранилищах (Са$ц, см Рис 1) Влияние концентрации Са5к

Рнс 5 Зависимость вероятности р орг„ на ЛуК-канал в модели было связано с нахождения ЛуК-канала в открытом со-

параметром «эффективного давления» СГОЯШ1И от концентрации ск[Са]

(мкМ) Пунктирными линиями изобра-р = ), рост которого приводит к жены экспериментальные зависимости,

полученные при различных условиях понижению потенциальной энергии от- экспериментов (Оуогке « а1 // ВюрЬуя 7,

0 01 01

юо юоо

с1в[Са]

1998), сплошной линией - результаты численного моделирования

крытых состояний (в частности, состояния Н, см Рис 2А и 2Б для различных

значешш р) и, как следствие, к росту вероятности нахождения канала в открытых состояниях

Нами воспроизведены экспериментально наблюдаемые динамические ответы 11уЕ1-канала на кратковременную стимуляцию его током через Ь-канал (Рис 6) Для имитации изменений локальной концентращга и энергии ионов Са2+, происходящих при стимуляции, в модели на короткое время (0 5 мс) задавались ступенчатое изменение концентрации с«[Са] от низкого уровня покоя до различных более высоких уровней и изменение энергии Е!Пт от энергии покоя до энергии возбуждения В результате наблюдалось адекватное экспериментальным данным изменение во времени величины роре„ в ответ на стимуляцию (Рис 6) При этом амплитуда и длительность изменения рорт градуально увеличивались с увеличением амплитуды стимула

CPñl 06

4 o

p

06

2 l.i:

Рис 6 Градуальный динамический ответ RyR-каналов на кратковременные кальциевые стимулы различной амплитуды Вверху экспериментальные данные (Zahradnikova A et al // J Gen Physio!, 1999) Верхние кривые на панелях А, Б, В отображают кратковременное изменение концентрации см[Са] до 1 мкМ, 5 мкМ, 25 мкМ, соответственно Средние четыре кривые отображают характерные кривые изменения во времени тока через RyR-канал На нижних кривых изображены кривые изменения во времени среднего тока через RyR-канал Средний ток через канал пропорционален вероятности рореп Внизу результаты моделирования Градуальное изменение во времени вероятности рореп, возникающее в ответ на кратковременное изменение концентрации сгя[Са] от 0 1 мкМ до 1, 5 и 25 мкМ (А, Б, В, соответственно) и изменение Е«,т от 0 05 до 1 25 (энергия возбуждения при р=-0 25)

В четвертой и пятой главах диссертации ЭК-модель одиночного RyR-канала была развита для описания функционирования групп (решеток) RyR-каналов в стационарных условиях (при постоянных значениях см[Са] и Ся/,„„) и в динамических условиях, реализующихся в высвобождающих единицах при динамически меняющихся концентрациях Са* (см Рис 1)

ЭК-модель решетки RyR-капалов. Группа RyR-каналов была представлена в виде квадратной решетки 11x11 каналов, каждый из которых описывался ЭК-моделыо одиночного RyR-канала (см систему (6)-(9)) Эффективный гамильтониан для решетки RyR-каналов был записан в виде суммы гамильтонианов отдельных каналов и энергии их конформационных взаимодействий с константой к > 0

я,

RyR-RyR

(10)

где т, п е {1, ,121} - номера каналов Конформационные взаимодействия рассматривались в приближении ближайших соседей Конформационный потенциал для т-го канала в адиабатическом приближении (кх Ф 0) имеет вид

l(f,2 +aQmf +hlY + ZHQ„, -a,)2 , (11)

где Qm и цт e {0,1} - конформационная и электронная координаты /и-го канала (Рис 7) Точки нижней ветви КП, расположенные правее точки С, описывают открытые состояния, остальные точки соответствуют закрытым состояниям

Динамика электронной степени свободы каналов в модели решетки была упрощена электронные и туннельные переходы для всех каналов решетки, кроме центрального, были запрещены (fJm = 0, тф 0), центральный канал (т = 0) в ответ на стимуляцию осуществлял электронный переход (//0(7) = 1, ¿i0), а некоторое время спустя осуществлялся обратный электронный переход (//0 (i) = 0, t > t0) Изменение конформационных координат каналов описывалось 121 уравнением Ланжевена (4) с начальными условиями (7)

При помощи модели мы исследовали влияние параметров р и /с на поведение решетки RyR-каналов в ответ на стимуляцию центрального канала к открытию Каждое фиксированное значение параметра р соответствовало некоторому постоянному значению концентрации Са1шп рис 7_ Ветвн конформаЦ110нного по_

В результате серии численных экспери- тенциала канала (hv * 0) Здесь в отличие от Рис 2, открытые состояния ментов было выявлено четыре типа пове- являются энергетически выгодными

(р=0 3)

)»крЫ1Ыв C0CTWMH

.0 Р

Рис. Н. Бифуркационная (р.к)- рн<.. 9. Эффект домино. Показана динамика от-

днаграмма указывает области значе- крыт>ш кпнаЛов и решетке ю 12! RyR-канала в

ннн параметров, соответствующих последовательные моменты времени (слева на-

различным режимам поведении рс- (1рав0: сверху вниз). Светлым отображены за-

шегкн (см. пояснения а тексте). крытые каналы, темным - открытые.

дения каналоз (Рис 8): в ответ на стимул каналы не открываются (режим I); открывается только нейтральный канал (режим И); последовательно «по принципу домино» открываются все каналы решетки (режим Ш, Рис. 9); одновременно (синхронно) открываются все каналы решетки (режима IV).

Модель высвобождающей единицы (ВЕ). Для описания активности RyR-каналов "in vivo", то есть при динамически меняющихся концентрациях Ca2*, модель решетки была дополнена системой дифференциальных уравнений, описывающей динамику Ca в отделах ВЕ (см. Рис. 1} - диадном пространстве (ДП, Са„) и в люмене внутриклеточного хранилища (люмене, Саьт):

-1

dCa

ss

dt dCa

1 +

K(t,B ' ВЮ1

lurn

dl

1 +

{Kd,B+Calsf

Kd,C ' ( ¡01 {Kd,c + CaIum Y

rtiff + pRyR )

(12)

( Fflo,,. к

IS Пит ' Fftyfi )

где Blol, Clgl> Hd s, Kd c- параметры, описывающие взаимодействие ионов Со2* с кальций-связывающими буферами; kssllum - отношение объема ДП к объему люмена; Fи F¡¡оы - поток ионов Са2+ из ДП в цитозоль И из сети хранилищ кальция п люмен, соответственно; FRyR - поток высвобождения Са'+ че-

рез решетку RyR-каналов, пропорциональный числу открытых каналов, которое зависит от величин Q,„ (см (11))

Учитывая экспериментальный факт увеличения вероятности открытия RyR-каналов с ростом концентрации Со2* в люмене, мы предположили, что зависимость параметра эффективного давления р от Cahm, описывается функцией Хилла

р = 2 —(13) Ca¡'„„ + К'са

где Кса - коэффициент, определяющий чувствительность р к Ca¡um, п -показатель нелинейности этой связи (коэффициент кооперативности Хилла).

При помощи построенной модели мы исследовали влияние концентрации Са1+ (CaSR) в сети внутриклеточных хранилищ на поведение группы RyR-каналов, возникающее в ответ на стимуляцию центрального канала к открытию В экспериментах CaSR предполагалась постоянной и определяла начальное значение Ca¡w„ и величину потока Со2* {Fjjmv) га сети хранилищ в люмен

Нами была описана кооперативная динамика сопряженных каналов RyR-решетки в процессе высвобождения Са* и воспроизведены события активного высвобождения Со2* (так называемые «Са2* спарки»)

При низких значениях 0^=0-810 мкМ (и, соответственно, отрицательных или малых положительных значениях параметра р) наблюдалось отсутствие ответа на стимул При Caj«=810-910 мкМ наблюдалось кратковременное открытие центрального канала решегки и незначительное высвобождение Со2* При типичных для клетки значениях Cüsr-9 10-1150 мкМ в ответ на стимул наблюдалось согласованное открытие «по принципу домино» небольшой центральной группы каналов, в результате чего начиналось активное высвобождение Сс/+ из люмена (Со2* спарк, Рис 10), сопровождаемое уменьшением значения Caí,,,,, (и значения параметра р, соответственно) Это приводило к перестройке КП каналов, в результате которой каналы согласованно закрывались

1000 750 500 250 0

Са

Iuin

\

Са

SS

1200

800

400

20 40 60

80

Са

I > (

1/

V Cass

ч

о

400

800 1200 t

Рис. 10. Кальциевый спарк Измене- Рис 11. Авторитмическая активность высвобо-

ние концентраций Са1шп и Cass в ждающей единицы Изменение концентрации

процессе высвобождения кальция при ^а1ит и C°ss в автоколебательном режиме ра-

CaSR =1000 мкМ боты RyR-каналов при CaSR =1200 мкМ

«по принципу обратного домино», и высвобождение прекращалось При этом в соответствии с экспериментальными данными (Shannon et al // Cire Res, 2003 ) истощение хранилищ Са2* было неполным и составляло от 30 до 70% от общего количества Са2* Было установлено, что конформационные взаимодействия между каналами являются существенным фактором возникновения согласованного кооперативного открытия каналов и играют важную роль в процессе высвобождения В частности, при уменьшении значения параметра конформаци-онного взаимодействия к между каналами (см (11)) в ответ на стимул открывается меньшее количество RyR-каналов решетки, и скорость высвобождения Са2* оказывается ниже (что может быть фактором снижения силы сокращения сердечной мышцы при некоторых заболеваниях сердца)

При перегрузке внутриклеточных хранилищ кальцием (Ся.уЯ>1150 мкМ) в модели возникает режим автоколебаний уровня Са2* в отделах BE, являющийся следствием перехода в автоколебательный режим работы решетки RyR-каналов без внешней стимуляции, только за счет «движения» RyR-каналов по нижней ветки КП При больших начальных значениях Са/„т возникает одновременное (синхронное) открытие всех каналов решетки, происходит высвобождение Са*, и Са,шп уменьшается Это приводит к перестройке КП каналов и их син-

хронному закрытию За счет восполнения люмена кальцием из сеш внутриклеточных хранилищ Са/„т начинает возрастать, и каналы вновь открываются и т д (Рис 11)

Нами получена нелинейная зависимость скорости высвобождения Са* от загрузки кальцием внутриклеточных хранилищ (Рис 12) Видно, что наиболее эффективное высвобождение Са2+ наблюдается при Са£д=910-1150 мкМ, что соответствует физиологическому режиму функционирования КуЯ-каналов В тоже время, при Са$р> 1150 мкМ возникает режим автоколебаний, имитирующий возникновение очага авторитмпческой активности клеток сердечной мышцы, которое может наблюдаться при целом ряде заболеваний сердца С другой стороны, выявленный автоколебательный режим работы ЯуК-решетки может быть рабочим режимом функционирования ВЕ в специализировашшх клетках, формирующих ритм сердцебиений, что согласуется с экспериментальными данными (Уто£га-(1оуае1а1 // РЫЛЭ, 2005)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Разработаны электронно-конформационные модели одиночного ЯуЯ-канала и решетки ЯуК-каналов На их основе развита биофизически обоснованная теория, описывающая функционирование КуЯ-каналов в кальций-высвобождающих единицах сердечных клеток

2. Для компьютерного моделирования функционирования ЯуН-каналов разработаны и реализованы в виде программного комплекса численные схемы, комбинирующие методы численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования дискретных случайных процессов

F^mkM/C 60 50 40 30 20 10

фюколмкческкй

режхм ;

}гжка*

аггохолебакях }

0

750 850 950 1050 1150 1250 1350

Рис 12 Зависимость скорости высвобождения кальция в клетке от концентрации Casa, полученная по данным модели ВЕ

3 Впервые в рамках единого биофизически обоснованного электронно-конформациопного подхода и численного моделирования воспроизведены и объяснены все основные особенности индивидуального и коллективного поведения RyR-каналов

- экстремальный характер зависимости вероятности открытия одиночного RyR-канала от концентрации CVff в стационарном режиме,

- градуальный динамический ответ RyR-каналов на кратковременную стимуляцию кальцием,

- явление согласованного коллективного (кооперативного) поведения RyR-каналов в решетке Показана существенная роль конформационных взаимодействий между каналами в процессе высвобождения Са2+ в клетках сердечной мышцы Выявлены типичные режимы функционирования RyR-решетки и ВЕ

- существенный нелинейный характер зависимости высвобождения Са2+ от содержания кальция во внутриклеточных хранилищах

4 Впервые в рамках электронно-конформационной модели обнаружен автоколебательный режим работы RyR-каналов и соответствующих ему автоколебаний концентрации кальция в сердечных клетках Этот результат объясняет природу нарушений ритма, связанных с патологической авторитмической активностью клеток сердечной мышцы при перегрузке кальцием С другой стороны, наличие автоколебательного режима функционирования RyR-каналов предсказывает их возможную роль в формировании авторитмической активности клеток водителей ритма в норме

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях

1. Москвин А С Электронно-конформационная модель нелинейной динамики решетки риаиодиновых каналов в сердечной клетке /АС Москвин, М П Филипьев, О Э Соловьева, В С Мархасин // Доклады академии наук, 2005 -Т 400, №2 - С 269-275

2 Москвин А С Кластер рианодиновых каналов в кардиомиоците динамическая электронно-упругая модель /АС Москвин, М П Филипьев, О Э Со-

ловьева, В С Мархасин // Российский физиологическии журнал им И М Сеченова, 2004 - Т 90, №8, ч 1 - С 462

Статьи в ведущих зарубежных научных журналах и изданиях

3 Moskvin A S Electron-conformational model of RyR lattice dynamics /AS Moskvin, M P Philipiev, О E Solovyova, P Kohl, V S Markhasin // Progress in Biophysics and Molecular Biology, 2006 - Vol 90 -P 88-103

4 Moskvm A S Electron-conformational model of cooperative cardiac ryanodine receptors gating /AS Moskvin, M P Philipiev, О E Solovyova, P Kohl, V S Markhasin // FASEB Journal, 2005 - Vol 19, №4 -P A560

5 Moskvin A S Pseudo-spin kinetic Ising model of cardiac calcium-induced calcium release (CICR) /А S. Moskvin, M P Philipiev, О E Solovyova, V S Markhasin // Biophysical Journal, 2004 - Vol 86, № l . p 62a

6 Philipyev M P A mathematical model of SR Ca2+release in cardiac cell based on the theory of local control /MP Philipiev, О E Solovyova, V S Markhasin // Biophysical Journal, 2004 - Vol 86, № 1 - P 62-63a

Статьи в сборниках u материалах конференций

7 Филипьев М П Математическое моделирование активности рианодино-вых каналов в клетках сердечной мышцы // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 37-й Региональной молодежной конференции Екатеринбург, 2006 - С 281-285

8 Филипьев М П Математическая модель активности кальций-высвобождающих каналов в клетках сердечной мышцы /МП Филипьев, А С Москвин, О Э Соловьева, В С Мархасин // Труды Средневолжского математического общества, 2006 - Т 8, №2 - С 195-202

9 Moskvin AS Electron-conformational theory of cardiac calcium release channel gating /AS Moskvin, M P Philipiev, О E Solovyova, P Kohl, V S Markhasin // "Математическая биология и биоинформатика". I Международная конференция Доклады - Пущино, 2006 г - С 65-66

10 Москвин А С. Электронно-конформационный подход к моделированию рианодиновых каналов модель /АС Москвин, М П Филипьев, О Э Соловьева, В С Мархасин // Бюллетень сибирской медицины 2005 - Т 4 Приложение 1 (Тезисы докладов V Сибирского съезда физиологов) - С 18

11 Moskvm A S Biophysical adaptation of the theory of photo-induced phase transition model of cooperative gating of cardiac ryanodine receptors /AS Moskvin, M P Phihpiev, О E Solovyova, V S Markhasin // Journal of Physics Conference Series 2005 - Vol 21 -P 195-200

Тезисы докладов

12 Moskvm AS Electron-conformational theory of Ryanodine channel gating / A S Moskvin, M P Philipiev, О E Solovyova, P. Kohl, V S Markhasin // International symposium "Biological motility basic research and practice". - Pushino, 2006 -P 53-54

13 Moskvin A S. Electron-conformational model of cooperative cardiac ryanodine receptors gating /AS Moskvin, M P. Phihpiev, О E Solovyova, P Kohl, V S Markhasm // 2nd International conference on "Photo-induced phase transitions cooperative, non-lmear and functional properties" Rennes, France, 2005 - P 89

14. Москвин А С Моделирование кооперативной динамики кальций-высвобождающих каналов в сердечных клетках /АС Москвин, M П. Филипь-ев, О Э Соловьева, В С Мархасин // V всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям тезисы докладов - Новосибирск, 2004. - С 33

15 Москвин АС. Электронно-упругая модель нелинейной динамики решетки рианодиновых (RyR) каналов в сердечной мышце клетках /АС Москвин, M П Филипьев, О Э Соловьева, B.C. Мархасин // XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2004", тезисы докладов -Екатеринбург, 2004 - С 192-Д

16 Филипьев M П , Москвин А С, Соловьева О Э , Мархасин В С Элек-тронно-конформационный подход к моделированию кальций-высвобождающих каналов в сердечных клетках // Демидовские чтения на Урале Первый .Российский научный форум Тезисы - Екатеринбург, 2006 - С 295-296

17 Филипьев M П. Математическая модель локального контроля высвобождения кальция в сердечных клетках / МП. Филипьев, ОЭ Соловьева, В С Мархасин // Сборник тезисов 11 Международной конференции "Математика Компьютер Образование" - Ижевск, 2004 - С. 235

18. Москвин А С Модель кластера рианодиновых каналов в кардиомиоци-те / А С Москвин, M П Филипьев, О Э. Соловьева, В С Мархасин // Сборник тезисов 12 Международной конференции "Математика Компьютер Образование" -Ижевск,2005 - С 199

19 Филипьев M П Электрогаю-конформационные модели рианодиновых каналов в кардиомиоците /МП Филипьев, А С. Москвин, О Э Соловьева, В С Мархасин // Сборник тезисов 13 Международной конференции "Математика Компьютер Образование", - Ижевск, 2006 - С 223

20 Филипьев M П Стохастическая гибридная модель высвобождающего канала в сердечных клетках /МП Филипьев, А С Москвин, О Э. Соловьева, В.С Мархасин // 9-ый Всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем», Красноярск, 2006, С 182

21 Филипьев M П Стохастическая математическая модель локального контроля динамики кальция в сердечных клетках // Тезисы VIII Областного конкурса студенческих научно-исследовательских работ по естественным наукам - Екатеринбург, 2004 -С 16-18

22 Филипьев M П Электрошю-конформационные модели высвобождения кальция в сердечных клетках И Всероссийский конкурс среди учащейся молодежи высших учебных заведений РФ на лучшие научные работы по естественным наукам Тезисы научных работ - Саратов, 2004 - С 65-66

Филипьев Михаил Павлович

Электронно-конформационные модели кальцнп-высвобождающей системы клеток сердечной мышцы

Автореферат

Подписано в печать 12 04 2007 г Тираж 100 экз Заказ Уел печ л 1 Формат 60x84 1/16

Отпечатано с готового оригинал-макета в Копицентре «Копирус» Екатеринбург, Мамина-Сибиряка, 137

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Обзор литературы 11 Кальциевая регуляция и механизмы сокращения клеток сердечной мышцы

Модели «общего пула»

Теория локального контроля

Глава 2. Электронно-конформационная модель рианодинового канала

2.1 Построение модели

2.1.1 Электронно-конформационный подход

2.1.2 Гамильтониан канала

2.1.3 Динамика электронно-конформационного состояния канала

2.1.4 Динамика конформационной координаты

2.1.5 Динамика электронной степени свободы

2.1.6 Эффекты туннелированния

2.1.7 Условия функционирования канала

2.1.8 Проводимость канала

2.2 Анализ модели

2.2.1 Математическая формализация модели

2.2.2 Существование и единственность решения модели

2.2.3 Интегральная форма решения ЭК-модели RyR-канала

2.2.4 Анализ системы уравнений ЭК-модели одиночного RyR-канала

2.2.5 Моментные уравнения для ЭК-модели одиночного RyR-канала

2.3 Методы численной реализации модели

2.3.1 Метод Эйлера-Маруямы

2.3.2 Численный метод для получения реализаций электронных и туннельных переходов

2.3.3 Первая численная схема для ЭК-модели RyR-канала

2.3.4 Вторая численная схема для ЭК-модели RyR-канала

2.3.5 Выбор шага дискретизации численных схем

Глава 3. Результаты численного моделирования функции одиночного RyR-канала

3.1 Результаты численного моделирования стационарного режима работы RyR-канала

3.1.1 Эффекты кальциевой активации и инактивации RyR-канала

3.1.2 Влияние люменальной концентрации кальция на динамику RyR-канала (влияние параметра р)

3.1.3 Влияние параметра h.

3.1.4 Влияние параметра Г

3.1.5 Влияние параметра crv

3.1.6 Влияние параметра Ew

3.1.7 Влияние параметра Xtun max

3.2 Моделирование динамического ответа RyR-канала на кальциевую стимуляцию

3.3 Марковская модель RyR-канала

3.3.1 Расчет характерных времен электронных и туннельных переходов

3.3.2 Расчет времен конформационной релаксации

3.3.3 Численный эксперимент на ЭК-модели

3.3.4 Марковская цепь для базового эксперимента

Глава 4. ЭК-модель решетки RyR-каналов

4.1 Построение модели

4.1.1 Гамильтониан решетки RyR-каналов

4.1.2 Динамика электронной степени свободы. Сопряжение динамики решетки RyR-каналов с токами через L-каналы

4.1.3 Динамика конформационной координаты

4.2 Анализ модели решетки RyR-каналов

4.2.1 Поведение RyR-канала в решетке закрытых каналов

4.2.2 Поведение каналов в решетке с одним открытым каналом

4.2.3 Условия закрытия RyR-каналов

4.2.4 Влияние параметра hx 115 4.3 Результаты численных экспериментов на ЭК-модели решетки RyR-каналов

Глава 5. Математическая модель высвобождающей единицы

5.1 Построение модели BE

5.1.1 Описание динамики кальция в отделах BE

5.1.2 Сопряжение динамики RyR-каналов с динамикой кальция в отделах BE

5.2 Результаты численных экспериментов на модели BE

5.2.1 Динамика RyR-решетки, концентраций Са2+ в модели BE при отсутствии температурных флуктуаций

5.2.2 Динамика RyR-решетки, концентраций Са2+ в модели BE при наличии температурных флуктуаций

Актуальность темы. Выяснение молекулярно-клеточных механизмов возбуждения и сокращения сердечной мышцы является основой для понимания её функционирования в норме и при патологии. Современные клинические и экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что возникновение ряда хронических заболеваний сердца (например, аритмии или сердечной недостаточности) связано с нарушениями во внутриклеточной динамике кальция. Важнейшим процессом, регулирующим динамику кальция в клетках, является процесс высвобождения кальция из внутриклеточных хранилищ через кальций-высвобождающие (рианодиновые, RyR) каналы [16]. Молекулярно-клеточные механизмы процесса высвобождения кальция уже более двадцати лет изучаются экспериментально и при помощи математического моделирования, но до сих пор остаются невыясненными [77].

Традиционно функционирование рианодиновых каналов описывается при помощи марковских цепей с предопределенным количеством состояний. При этом вероятности переходов между состояниями цепи определяются из экспериментальных данных [79]. Однако такой подход является сугубо феноменологическим и не учитывает физико-химических особенностей строения клетки, особенностей структуры каналов и их энергетики. В рамках существующих моделей не может быть описан широкий спектр явлений, связанных с функционированием RyR-каналов в клетках сердечной мышцы.

В связи с этим разработка новых физически обоснованных математических моделей рианодиновых каналов и кальций-высвобождающей системы клеток сердечной мышцы в целом является одной из важнейших задач современной математической физиологии сердца.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка биофизически обоснованной электронно-конформационной модели RyR-каналов и соответствующей теории, позволяющей описать и объяснить основные экспериментально наблюдаемые явления в функционировании RyR-каналов в сердечных клетках.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

- разработать математические модели одиночного RyR-канала и группы RyR-каналов в рамках электронно-конформационного подхода, представляющего собой адаптацию известных физических и биофизических подходов, применяющихся для описания структурных (конформационных) изменений в белковых молекулах [15] и для описания фотоиндуцированных фазовых переходов в кристаллах [61];

- разработать численные схемы и комплекс программ для компьютерного моделирования активности RyR-каналов;

- воспроизвести в рамках построенных моделей основные экспериментальные данные о функционировании RyR-каналов в клетках сердечной мышцы.

Основные результаты и выводы:

1. Разработаны электронно-конформационные модели одиночного RyR-канала и решетки RyR-каналов. На их основе развита биофизически обоснованная теория, описывающая функционирование RyR-каналов в Са2+-высвобождающих единицах сердечных клеток.

2. Для компьютерного моделирования функционирования RyR-каналов разработаны и реализованы в виде программного комплекса численные схемы, комбинирующие методы численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования дискретных случайных процессов.

3. Впервые в рамках единого биофизически обоснованного электронно-конформационного подхода и численного моделирования воспроизведены и объяснены все основные особенности индивидуального и коллективного поведения RyR-каналов:

- экстремальный характер зависимости вероятности открытия одиночного RyR-канала от концентрации Са2+ в стационарном режиме;

- градуальный динамический ответ RyR-каналов на кратковременную стимуляцию кальцием;

- явление согласованного коллективного (кооперативного) поведения RyR-каналов в решетке. Показана существенная роль конформационных взаимодействий между каналами в процессе высвобождения Са2* в клетках сердечной мышцы. Выявлены типичные режимы функционирования RyR-решетки и BE.

- существенный нелинейный характер зависимости высвобождения Са2+ от содержания Са2+ во внутриклеточных хранилищах.

4. Впервые в рамках электронно-конформационной модели обнаружен автоколебательный режим работы RyR-каналов и соответствующих ему автоколебаний концентрации Са2* в сердечных клетках. Этот результат объясняет природу нарушений ритма, связанных с патологической авторитмической активностью клеток сердечной мышцы при перегрузке кальцием. С другой стороны, наличие автоколебательного режима функционирования RyR-каналов предсказывает их возможную роль в формировании авторитмической активности клеток водителей ритма в норме.

Заключение

В настоящей работе представлены разработанные нами математические модели Са2+-высвобождающей системы клеток сердечной мышцы, позволяющие

2+ исследовать процесс кальцием вызванного высвобождения Са на молекулярном и субклеточном уровнях (уровне одиночного RyR-канала, группы RyR-каналов и уровне Са2+-высвобождающей единицы). Разработанные нами математические модели основаны на использовании биофизически обоснованного подхода к описанию функционирования RyR-каналов клеток сердечной мышцы -электронно-конформационного подхода [А 1-А6, А10-А11].

В рамках этого подхода одиночный RyR-канал рассматривается как сложный макромолекулярный комплекс с огромным количеством внутренних степеней свободы, которые допускают разделение их на быстрые и медленные (условно называемые нами электронными и конформационными). Это позволило нам рассматривать только две обобщенные степени свободы - электронную и конформационную.

Рассмотрение динамики конформационной степени свободы мы проводили в рамках традиционного для биофизики белка подхода, рассматривающего конформационные степени свободы белковых молекул как колебательные и описывающего их динамику с применением аппарата стохастических дифференциальных уравнений [12, 15]. Конформационные преобразования в белках, как правило, связаны с изменением функциональных свойств белковой молекулы и, в частности, для ионных каналов - с изменением проводимости [54]. Опираясь на эти данные, мы связали изменение конформационной степени свободы RyR-канала с изменением его кальциевой проводимости.

Электронная степень свободы RyR-канала рассматривалась нами как изменяющаяся в результате влияния на канал ионов Са2+, находящихся в непосредственной близости к каналу. При этом мы предполагали, что процессы электронного возбуждения влияют посредством механизма электронно-конформационных взаимодействий и на конформационную динамику рианодинового канала. Кроме того, мы допускали возможность наблюдения квантовых эффектов в этой динамике, поэтому включили в модель описание квантовых туннельных переходов между различными состояниями RyR-канала.

В итоге нами была сформулирована электронно-конформационная модель одиночного RyR-канала, которая в дальнейшем была формализована в виде системы стохастических дифференциальных уравнений Ито с переключениями и скачками по фазовым координатам. Для полученной математической модели нами были установлены существование и единственность в стохастическом смысле решения начальной задачи. Для компьютерных реализаций модели нами были разработаны две численные схемы, комбинирующие методы решения стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования дискретных случайных процессов. Важными задачами этапа численного моделирования были задачи выбора подходящего шага по времени для используемых численных схем и выбора количества численных реализаций для построения средних характеристик решения с приемлемой точностью.

В рамках численных экспериментов мы имитировали поведение изолированного RyR-канала в условиях экспериментов в липидных бислоях. При этом нам удалось воспроизвести наблюдаемую экспериментально картину стохастических открытий и закрытий RyR-канала в стационарных условиях эксперимента (при постоянных концентрациях Са2+). Нами были воспроизведены два ключевых явления в динамике одиночного RyR-канала - явление активации канала низкими концентрациях Са2+ и явление инактивации канала высокими концентрациями Са2+. Активация каналов позволяет им открываться в ответ на кратковременный кальциевый ток через L-канал, осуществляющий стимуляцию. Инактивация обеспечивает возможность перехода канала в закрытое состояние при высоких концентрациях Са2+, возникающих вследствие активного высвобождении Са2+ из внутриклеточных хранилищ через RyR-каналы.

Кроме того, в рамках численных экспериментов нами был воспроизведен экспериментально наблюдаемый эффект модуляции активности RyR-каналов концентрацией Са2+ во внутриклеточных хранилищах (.модуляция активности каналов люменальным кальцием) - было показано, что при уменьшении этой концентрации вероятность перехода каналов в открытое состояние уменьшается. Этот механизм (как и инактивация) позволяет RyR-каналам закрываться после того, как они высвободят некоторое количество Са2' из хранилищ. Отметим, что механизм кальциевой активации каналов обеспечивает положительную обратную связь в процессе высвобождения, то есть высвобождение Са2+ из внутриклеточных хранилищ создает еще большее повышение концентрации Са2+ вблизи канала, что с большей вероятностью приводит к их активации. С другой стороны, высвобождение Са2+ посредством механизм инактивации и модуляция активности каналов люменальным кальцием обеспечивают отрицательную обратную связь.

Другой важной серией численных экспериментов на электронно-конформационной модели одиночного RyR-канала была серия экспериментов по изучению динамического ответа канала на кратковременный кальциевый стимул. Как и в натурных экспериментах, проведенных А. Заградниковой, в ответ на стимул наблюдалось кратковременное возрастание вероятности нахождения RyR-канала в открытом состоянии; при этом величина, на которую увеличивалась эта вероятность, возрастала с амплитудой стимула. Результаты этой серии экспериментов показали, что модель адекватно воспроизводит ответ RyR-канала на стимуляцию его кальцием, и позволили в дальнейших рассмотрениях несколько упрощенно описывать ответ канала на стимуляцию (отказаться от рассмотрения стохастической динамики электронной степени свободы).

Для исследования динамики RyR-каналов в кластерах высвобождающих единиц мы разработали модель решетки RyR-каналов. Каждый канал, по-прежнему, описывался электронно-конформационной моделью одиночного RyR-канала. Однако при этом испытывал влияние на конформационную динамику со стороны ближайших соседей. Эти конформационные взаимодействия обеспечивали согласованность конформационной динамики каналов в решетке. Поведение кластера RyR-каналов в ответ на кальциевый стимул подобно тому, как распространяется возбуждение в кристаллах, возникающее вследствие облучения кристалла светом. Такая аналогия позволила нам описать коллективную динамику каналов в рамках подходов, традиционно применяемых при описании фотоиндуцированных фазовых переходов в кристаллах [61], соответствующим образом адаптировав их к рассматриваемой задаче.

В рамках электронно-конформационной модели решетки RyR-каналов мы исследовали влияние конформационных взаимодействий между каналами и концентрации Са+ во внутриклеточных хранилищах (была зафиксирована) на поведение решетки, возникающее в ответ на стимуляцию. При этом нами было выявлено четыре возможных типа поведения решетки: нечувствительность каналов к стимуляции; открытие лишь одного канала решетки; последовательное открытие всех каналов решетки по принципу домино; синхронное открытие всех каналов решетки (даже при отсутствии стимуляции). При этом было показано, что конформационные взаимодействия между каналами являются ключевым механизмом, обеспечивающим согласованной открытие каналов решетки в ответ на стимуляцию.

Для более детального исследования этого факта мы дополнили модель решетки описанием динамики Са2+ в отделах высвобождающей единицы. Полученная модель позволила нам исследовать поведение решетки RyR-каналов и динамику концентраций Са2+ в отделах высвобождающей единицы в процессе высвобождения Са2+. В модели высвобождающей единице, как и в модели решетки, наблюдались четыре типа поведения в ответ на стимул.

Наиболее интересное поведение высвобождающей единицы наблюдалось в физиологическом диапазоне концентраций Са2+ во внутриклеточных хранилищах. В этом случае в ответ на стимул происходило открытие по принципу домино небольшой группы каналов; вследствие чего происходило интенсивное высвобождение Са2+, наблюдаемое экспериментально и называемое кальциевым спарком; затем в результате понижения концентрации Са2+ в ближайшем отделе внутриклеточных хранилищах Са2+ каналы закрывались, и процесс высвобождения завершался. Отметим, что сила конформационных взаимодействий между каналами влияла на количество открывающихся каналов решетки и, как следствие, на скорость высвобождения. Это указывает на важную роль информационных взаимодействий в обеспечении силы сокращений сердечной мышцы, поскольку при слабых информационных взаимодействиях высвобождение Са2+ происходит менее интенсивно, что может снизить скорость и силу сокращения мышцы.

При перегрузке кальцием внутриклеточных хранилищ Са2+ (при высоких концентрациях Са2+ в них) в модели наблюдалось возникновение явления автоколебаний уровня Са2+ и периодическое открытие и закрытие всех RyR-каналов решетки. Возникновение этого явление в клетках рабочего миокарда может служить неблагоприятным фактором в развитии различных патологий, в частности аритмии. С другой стороны, такой режим работы RyR-каналов, как показано в работе [82], является рабочим режимом в клетках, задающих ритм сердцебиения (клетки водителя ритма).

В целом разработанные нами модели описывают широкий круг экспериментально наблюдаемых явлений в процессе высвобождения Са2+ из внутриклеточных хранилищ и служат базисом для дальнейшего развития электронно-конформационного подхода к моделированию Ся2+-высвобождающей системы клеток сердечной мышцы.

1. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и её инженерные приложения / Е.С. Вентцель, J1.A. Овчаров -М.: «Высшая школа», 2000.-383 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: «Наука», 1966. - 576 с.

3. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов. / И.И. Гихман, А.В. Скороход М.: «Наука», 1977. - 660 с.

4. Завьялова Т.В. Устойчивость стохастических систем со случайными скачками фазовых траекторий. Дис. канд. физ. мат. наук: 01.01.02 / Уральский государственный университет путей сообщения. - Екатеринбург, 2004. - 112 с.

5. Кузнецов Д.Ф. Некоторые вопросы теории численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито / Д.Ф. Кузнецов // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1998, №1. - С. 66-367.

6. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов/ Д.Ф. Кузнецов // С.-Петербург: «Наука», 1999. 458 с.

7. Кульчицкий О.Ю. Численное моделирование решений стохастических систем линейных стационарных дифференциальных уравнений / О.Ю. Кульчицкий, Д.Ф.Кузнецов // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1998, №1. -С. 41-65.

8. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.Мир,1967.

9. Ландау М.Д. Теоретическая физика: Т.З.Квантовая механика / М.Д. Ландау, Е.М. Лившиц М.: «Физматлит», 2001. - 805 с.

10. Милыитейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Издательство Уральского университета, 1988. - 224 с.

11. П.Пугачев B.C. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. / B.C. Пугачев, И.Н. Синицин М.: «Наука», 1990. - 632 с.

12. Рубин А.Б. Биофизика: в двух томах, т. 1-2 М.: «Высшая школа», 1987. - 320 с. и 302 с.

13. Рубцов A.M. Кальциевые каналы (рианодиновые рецепторы) саркоплазматического ретикулума: структура и свойства / A.M. Рубцов, М.А. Батрукова//Биохимия. 1997. - Т. 62, № 9. - С.1091-1105.

14. Рубцов A.M. Роль саркоплазматического ретикулума в регуляции сократительной активности мышц / A.M. Рубцов // Соросовский Образовательный Журнал. 2000. - Т. 6, № 9. - С. 17-24.

15. Шайтан К.В. Стохастическая динамика и электронно-конформационные взаимодействия в белках / К.В. Шайтан, А.Б. Рубин // Биофизика. 1985. - Т.30 (3)-С. 517-526.

16. Bers D.M. Excitation-Contraction Coupling and Cardiac Contractile Force / D.M. Bers. Second Edition - Boston: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 420 p.

17. Bers D.M. Kinetics of Ca.; decline in cardiac myocytes depend on peak [Ca]j / D.M. Bers, J.R. Berlin // Am J Physiol. 1995. - Vol.268 (1 Pt 1). - P.271-277.

18. Bers D.M. Ratio of ryanodine to dihydropyridine receptors in cardiac and skeletal muscle and implications for E-C coupling / D.M. Bers, V.M. Stiffel // Am J Physiol. 1993.-Vol.264 (6 Pt 1). -P.1587-1593.

19. Brette F. Ca2+ currents in cardiac myocytes: Old story, new insights / F. Brette, J. Leroy, J.Y. Le Guennec, L. Salle L // Prog Biophys Mol Biol. 2006. - Vol.91 (1-2). -P. 1-82.

20. Brette F. T-tubule function in mammalian cardiac myocytes / F. Brette, C. Orchard // Circ Res. 2003. - Vol.92 (11) - P.l 182-1192.

21. Burrage K. The composite Euler method for stiff stochastic differential equations / K. Burrage, T. Tian // J сотр. appl. math. 2001. - Vol. 131 - P. 407-426.

22. Cannel M.B. The control of calcium release in heart muscle / M.B. Cannel, H. Cheng, W.J. Lederer// Science. -1995. Vol. 268. - P. 1045-49.

23. Cheng H. Calcium sparks: elementary events underlying excitation-contraction coupling in heart muscle / H. Cheng, W.J. Lederer, M.B. Cannell // Science. 1993. -Vol.262 (5134). -P.740-744.

24. Cheng H. Models of Ca2+ release channel adaptation / H. Cheng, M. Fill, H. Valdivia, W.J. Lederer // Science. 1995. - Vol. 267 - P. 2009-2011.

25. Cleemann L. Two-dimensional confocal images of organization, density, and gating of local Ca2+ release sites in rat cardiac myocytes / L. Cleemann, W. Wang, M. Morad //Proc Natl Acad Sci USA. 1998. - Vol.95 (18). -P.l0984-10989.

26. Copello J.A. Heterogeneity of Ca-gaiting of skeletal muscle and cardiac ryanodine receptors / J.A. Copello, S. Barg, H. Onoue, S. Fleischer // Biophys J. 1997. - Vol. 73-P. 141-156.

27. Fabiato A. Calcium-induced release of calcium from the cardiac sarcoplasmic reticulum / A. Fabiato // Am J Physiol. 1983. - Vol. 245(1). - P. 1-14.

28. Fabiato A. Time and calcium dependence of activation and inactivation of calcium-induced release of calcium from the sarcoplasmic reticulum of a skinned canine cardiac Purkinje cell // J. Gen. Physiol. 1985. - Vol. 85 - P. 247-289.

29. Fill M. Ryanodine receptor adaptation / M. Fill, A. Zahradnikova, С A. Villalba-Galea, I. Zahradnik, A.L. Escobar, S. Gyorke // J Gen Physiol. 2000. - Vol.116 (6). -P.873-882.

30. Fill M. Ryanodine receptor calcium release channel / M. Fill, J.A. Copelo// Physiol Rev. 2002. Vol.82 P.893-922.

31. Fill M. Ryanodine receptor permeation and gating: Glowing cinders that underlie the Ca2+ spark / M. Fill, R. Mejia-Alvarez, C. Kettlun, A. Escobar // J Gen Physiol. -1999.-Vol.114.-P. 159-161.

32. Franzini-Armstrong C. Shape, size, and distribution of Ca2+ release units and couplons in skeletal and cardiac muscles / C. Franzini-Armstrong, F. Protasi, V. Ramesh // Biophys J. 1999. - Vol.77 (3) - P. 1528-1539.

33. Fu Y. Temperature dependence and thermodynamic properties of Ca2+ sparks in rat cardiomyocytes. / Y. Fu , G.Q. Zhang, X.M. Hao, C.H. Wu, Z. Chai, S.Q. Wang // Biophys J. -2005. Vol.89. - P. 2533-2541.

34. Ghosh M.K. Modeling stochastic hybrid systems. / M.K. Ghosh, A. Bagchi // Proceedings of 21st IFIP TC 7 Conference on System Modeling and Optimization (Sophia Antipolis, France, July 21-25,2003), 2004.

35. Greenstein J.L. An integrative model of the cardiac ventricular myocyte incorporating local control of Ca2+ release / J.L. Greenstein, R.L. Winslow // Biophys J. 2002.-Vol.83 (6). - P.2918-2945.1. Л i

36. Gyorke I. Regulation of cardiac ryanodine receptor channel by luminal Ca involves luminal Ca2+ sensing sites. /1. Gyorke, S. Gyorke. // Biophys J. 1998. -Vol.75. - P. 2801-2810.

37. Gyorke S. Regulation of sarcoplasmic reticulum calcium release by luminal calcium in cardiac muscle / S. Gyorke, I. Gyorke , V. Lukyanenko, D. Terentyev, S. Viatchenko-Karpinski, T.F. Wiesner //. Front Biosci. 2002. - Vol.7. - P.dl454-dl463.

38. Higham D.J. An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations. // SI AM Review. 2001. - Vol. 43. - № 3. - P. 525-546.

39. Hinch R. A mathematical analysis of the generation and termination of calcium sparks // Biophys J. -2004. Vol. 86. - P.1293-1307.

40. Hinch R. A simplified local control model of calcium-induced calcium release in cardiac ventricular myocytes / R. Hinch, J.L. Greenstein, A.J. Tanskanen, L. Xu, R.L. Winslow // Biophys J. 2004. - Vol. 87. - P. 3723-3736.

41. Hinch R. Mathematical models of the heart: PhD thesis / R. Hinch; Jesus Colledge, University of Oxford. Oxford, 2002. - 239 p.

42. Hinch R. Multi-scale models of local control of calcium induced calcium release / R. Hinch, J.L. Greenstein, R.L. Winslow // Prog Biophys Mol Biol. 2006. - Vol.90 (1-3). -P.136-150.

43. Inoue M. Ca2+ sparks in rabbit ventricular myocytes evoked by action potentials: involvement of clusters of L-type Ca channels / M. Inoue, J.H. Bridge // Circ Res. -2003.-Vol.92 (5). P.532-538.

44. Isenberg G. Cardiac excitation-contraction coupling: from global to microscopic models / G. Isenberg // Physiology and Pathophysiology of the Heart. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1995.

45. Jafri M.S. Cardiac Ca2+ dynamics: the roles of ryanodine receptor adaptation and sarcoplasmic reticulum load / M.S. Jafri, J.J. Rice, R.L. Winslow // Biophys J. -1998.-Vol.74.-P. 1149-1168.

46. Kannan D. Handbook of stochastic analysis and applications / D. Kannan, V. Lakshmikantham. New York: Marcel Dekker Inc., 2002 - 763 p.

47. Keizer J. Ryanodine receptor adaptation and Ca2+-induced Ca2+ release-dependent Ca2+ oscillations / J. Keizer, L. Levine // Biophys J. 1996. - Vol.71 (6). - P. 34773487.

48. Keizer J. Spark-to-wave transitions: saltatory transmission of calcium wave in cardiac myocytes / J. Keizer, G. D. Smith // Biophys. Chem. 1998. -Vol. 72. - P. 87-100.

49. Kermode H. The interaction of ATP, ADP, and inorganic phosphate with the sheep cardiac ryanodine receptor / H. Kermode, A.O. Williams, R. Sitsapesan // Biophys J. 1998. - Vol. 74. - P. 1296-1304.

50. Koshino K. Electronic phase conversion by photoinjection of excitations / K. Koshino, T. Ogawa // Phys RevB. 2000. - Vol.61 (18). -P.12101-12111.

51. Koshino K. Photoinduced nucleation theory in one-dimensional systems / K. Koshino, T. Ogawa// Phys Rev B. 1998. - Vol.58 (22). - P.l4804-14811.

52. Kuyucak S. Models of permeation in ion channels. / S. Kuyucak, O.S. Andersen, S.H. Chung // Report on progress in Physics. 2001. - Vol.64. - P. 1427-1472.

53. Laver D.R. Cytoplasmic Ca2+ inhibits the ryanodine receptor from cardiac muscle / D.R. Laver, L.D. Roden, G.P. Ahern, K.R. Eager, P.A. Junankar, A.F. Dulhunty // J Membr Biol. 1995. - Vol. 147 - P. 7-22.

54. Lopez-Lopez J.R. Local calcium transients triggered by single L-type calcium channel currents in cardiac cells / J.R. Lopez-Lopez, P.S. Shacklock, C. W. Balke, W.G. Wier // Science. 1995. - Vol. 268. - P. 1042-1045.

55. Lukyanenko V. Dynamic Regulation of Sarcoplasmic Reticulum Ca2+ Content and1. Л L

56. Release by Luminal Ca -Sensitive Leak in Rat Ventricular Myocytes / V. Lukyanenko, S. Viatchenko-Karpinski, A. Smirnov, T.F. Wiesner, S. Gyorke // Biophys J. 2001. - Vol.81. -P.785-798.

57. Lukyanenko V. Regulation of calcium release by calcium inside the sarcoplasmic reticulum in ventricular myocytes / V. Lukyanenko, I. Gyorke, S. Gyorke // Pflugers Arch. 1996. - Vol.432 (6). -P. 1047-1054.

58. Marx S.O. Coupled gating between cardiac calcium release channels (ryanodine receptors) / S.O. Marx, J. Gaburjakova, M. Gaburjakova, C. Henrikson, O. Karol, A.R. Marks // Circ Res. 2001. - Vol.88 (11). - P.l 151-1158.

59. Marx S.O. Coupled gating between individual skeletal muscle Ca2+ release channels (ryanodine receptors) / S.O. Marx, K. Ondrias, A.R. Marks // Science. -1998. Vol. 281.-P. 818-821.

60. Nagaosa N. Theory of photoinduced structure changes / N. Nagaosa T. Ogawa // Phys Rev B. 1989. - Vol.39 (7) - P. 4472-4483.

61. Orchard C. T-tubule trouble / C. Orchard // J Physiol. 2006. - Vol.574. - P.330.

62. Peskoff A. Calcium concentration and movement in the ventricular cardiac cell during an excitation-contraction cycle / A. Peskoff, G.A. Langer // Biophys J. 1996. -Vol.74.-P.153-174.2+

63. Rice J.J. Modeling gain and gradedness of Ca release in the functional unit of the cardiac diadic space / J.J. Rice, M.S. Jafri, R.L. Winslow // Biophys J. 1999. -Vol.77 (4).-P. 1871-84.

64. Saftenku E. Markovian models of low and high activity levels of cardiac ryanodine receptors / E. Saftenku, A.J. Williams, R. Sitsapesan // Biophys J. 2001. - Vol. 80 -P. 2727-2741.

65. Schiefer A. Ca2+ activation and Ca2+ inactivation of canine reconstituted cardiac sarcoplasmic reticulum Ca2+-release channels. / A. Schiefer, G. Meissner, G. Isenberg. // J. Physiol, (bond.) 1995. - Vol. 489 - P. 337-348.

66. Scholz W. Micromagnetic simulation of thermally activated switching in fine particles: Diplomarbeit / W. Scholz; Institut fur Angewandte und Technische Physik. Wien, 1999.- 108 p.

67. Shannon T.R. Ca2+ scraps: local depletions of free Ca2+. in cardiac sarcoplasmic9+reticulum during contractions leave substantial Ca reserve / T.R. Shannon, T. Guo, D.M. Bers //Circ Res. 2003. - Vol.93 (1). - P.40-45.

68. Shannon T.R. Potentiation of fractional sarcoplasmic reticulum calcium release by total and free intra-sarcoplasmic reticulum calcium concentration / T.R. Shannon, K.S. Ginsburg, D.M. Bers // Biophys J. 2000. - Vol.78 (1). -P.334-343.9+

69. Shannon T.R. Quantitative assessment of the SR Ca leak-load relationship / T.R. Shannon, K.S. Ginsburg, D.M. Bers // Circ Res. 2002. - Vol.91 (7). - P. 594-600.

70. Shiferaw Y. Model of intracellular calcium cycling in ventricular myocites / Y. Shiferaw, M.A. Watanabe, A. Garfinkel, J.N. Weiss, A. Karma // Biophys J. 2003. -Vol. 85.-P. 3666-3686.

71. Snyder S.M. A mathematical model of cardiocyte Ca2+ dynamics with a novel representation of sarcoplasmic reticular Ca control / S.M. Snyder, B.M. Palmer, R.L. Moore // Biophys J. 2000. - Vol.79 (1). - P.94-115.

72. Sobie E.A. Termination of cardiac Ca2+ sparks: an investigative mathematical model of calcium-induced calcium release / E.A. Sobie, K.W. Dilly, J.S. Cruz, W. J. Lederer, S.M. Jafri // Biophys J. 2002. - Vol.83. - P.59-78.

73. Sobie E.A. The Ca2+ leak paradox and rogue ryanodine receptors: SR Ca2+ efflux theory and practice / E.A. Sobie, S. Guatimosim, L. Gomez-Viquez, L.S. Song, H. Hartmann, S.M. Jafri, W.J. Lederer // Prog Biophys Mol Biol. 2006. - Vol.90 (1-3) -P.172-185.

74. Soeller С. Numerical simulation of local calcium movements during L-type calcium channel gating in the cardiac diad / C. Soeller, M.B. Cannell // Biophys J. 1997. -Vol. 83(1).-P. 97-111.

75. Soeller C. Analysing cardiac excitation-contraction coupling with mathematical models of local control / C. Soeller, M.B. Cannell // Progress in Biophysics and Molecular Biology. 2004. - Vol.85. - P.141-162.

76. Song L.S. Partial depletion of sarcoplasmic reticulum calcium does not prevent calcium sparks in rat ventricular myocytes / Song L.S., M.D. Stern, E.G. Lakatta, H. Cheng // J Physiol. 1997. - Vol. 505 (Pt 3). - P.665-675.

77. Stern M.D. Putting out the fire: what terminates calcium-induced calcium release in cardiac muscle? / M.D. Stern, H. Cheng // Cell Calcium. 2004. - Vol. 35 - P. 591601.

78. Stern M.D. Theory of excitation-contraction coupling in cardiac muscle / M.D. Stern // Biophys J. 1992. - Vol.63 (2). - P.497-517.

79. Villalba-Galea C.A. Kinetic model for ryanodine receptor adaptation / C.A.Villalba-Galea, B.A. Suarez-Isla, M. Fill, A.L. Escobar // Biophys. J. 1998. - Vol. 74 -P.58a.

80. Wier W.G.Ca2+ release mechanisms, Ca2+ sparks, and local control of excitation-contraction coupling in normal heart muscle / W.G. Wier, C.W. Balke // Circ Res. -1999.-Vol.85 (9). -P.770-6.

81. Yan C. Convergence of the Euler-Maruyama method for stochastic differential equations with Markovian switching. / C. Yan, X. Mao // IMACS. 2004. - Vol. 64 -P.223-235.

82. Zahradnikova A. A minimal gating model for the cardiac calcium release channel / A. Zahradnikova, I. Zahradnik // Biophys J. 1996. - Vol.71 (6). -P. 2996-3012.

83. Zahradnikova A. Analysis of calcium-induced calcium release in cardiac sarcoplasmic reticulum vesicles using models derived from single-channel data / A. Zahradnikova, I. Zahradnik // Biochimica et Biophysica Acta. 1999. - Vol. 1418 -P.268-284.

84. Zahradnikova A. Description of modal gaiting of the cardiac calcium release channel in planar lipid membranes / A. Zahradnikova, I. Zahradnik // Biophys J. -1995.-Vol. 69-P. 1780-1788.

85. Zahradnikova A. Modal gating transitions in cardiac ryanodine receptors during increases of Ca2+ concentration produced by photolysis of caged Ca2+ / A. Zahradnikova, M. Dura, S. Gyorke // Pflugers Arch, 1999. - Vol.438 (3). - P.283-288.

86. Zahradnikova A. Rapid activation of the cardiac ryanodine receptor by submillisecond calcium stimuli / A. Zahradnikova, I. Zahradnik, I. Gyorke, S. Gyorke //J Gen Physiol. 1999.-Vol.114(6).-P.787-98.

87. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях

88. А1. Москвин А.С. Электронно-конформационная модель нелинейной динамики решетки рианодиновых каналов в сердечной клетке / А.С. Москвин, М.П. Филипьев, О.Э. Соловьева, B.C. Мархасин // Доклады академии наук, 2005. -Т.400, №2. С. 269-275

89. А2. Москвин А.С. Кластер рианодиновых каналов в кардиомиоците: динамическая электронно-упругая модель / А.С. Москвин, М.П. Филипьев, О.Э. Соловьева, B.C. Мархасин // Российский физиологический журнал им. И.М. Сеченова, 2004. Т.90, №8, ч.1. - С. 462

90. Статьи в ведущих зарубежных научных журналах и изданиях

91. A3. Moskvin A.S. Electron-conformational model of RyR lattice dynamics / A.S. Moskvin, M.P. Philipiev, O.E. Solovyova, P. Kohl, V.S. Markhasin // Progress in Biophysics and Molecular Biology, 2006. Vol. 90. - P. 88-103

92. A4. Moskvin A.S. Electron-conformational model of cooperative cardiac ryanodine receptors gating / A.S. Moskvin, M.P. Philipiev, O.E. Solovyova, P. Kohl, V.S. Markhasin // FASEB Journal, 2005. Vol.19, № 4. - P. A560

93. A5. Moskvin A.S. Pseudo-spin kinetic Ising model of cardiac calcium-induced calcium release (CICR) /A.S. Moskvin, M.P. Philipiev, O.E. Solovyova, V.S. Markhasin // Biophysical Journal, 2004. Vol. 86, № 1. - P. 62a

94. А7. Филипьев М.П. Математическое моделирование активности рианодиновых каналов в клетках сердечной мышцы // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург, 2006. С. 281-285

95. А8. Филипьев М.П. Математическая модель активности кальций-высвобождающих каналов в клетках сердечной мышцы / М.П. Филипьев, А.С.

96. Москвин, О.Э. Соловьева, B.C. Мархасин // Труды Средневолжского математического общества, 2006. Т.8, №2. - С. 195-202

97. A12. Филипьев М.П. Стохастическая гибридная модель Са -высвобождающего канала в сердечных клетках / М.П. Филипьев, А.С. Москвин, О.Э. Соловьева, B.C. Мархасин // 9-ый Всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем», Красноярск, 2006, С. 182

98. А18. Москвин А.С. Модель кластера рианодиновых каналов в кардиомиоците / А.С. Москвин, М.П. Филипьев, О.Э. Соловьева, B.C. Мархасин // Сборник тезисов 12 Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Ижевск, 2005. - С. 199

99. А21. Филипьев М.П. Стохастическая математическая модель локального контроля динамики кальция в сердечных клетках // Тезисы VIII Областного конкурса студенческих научно-исследовательских работ по естественным наукам. Екатеринбург, 2004. - С. 16-18

100. А29. Moskvin A.S. Electron-conformational theory of Ryanodine channel gating / A.S. Moskvin, M.P. Philipiev, O.E. Solovyova, P. Kohl, V.S. Markhasin // International symposium "Biological motility: basic research and practice". Pushino, 2006. -P. 5354