автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.07, диссертация на тему:Электродинамический анализ вибраторных антенных решеток на основе численно-аналитического метода

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

УДК 621.396.6 На правах рукописи

ОРЛОВ ИГОРЬ ЛЕОНИДОВИЧ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕННЫХ РЕШЁТОК НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА

Специальность 05.12.07 - Антенны и СВЧ устройства

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

УДК 621.396.6 На правах рукописи

ОРЛОВ ИГОРЬ ЛЕОНИДОВИЧ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕННЫХ РЕШЁТОК НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА

Специальность 05.12.07 - Антенны и СВЧ устройства

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Работа выполнена на кафедре Радиофизики и электроники Физико-технического факультета Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор РадцигЮ.Ю.. Официальные оппоненты: академик АИН РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Нефёдов Е.И., доктор технических наук, профессор Рассветалов Л.А.. Ведущая организация:

Санкт-Петербургский электро-технический университет.

Защита диссертации состоится ЪСТ' 1996г. в часов на

заседании специализированного совета К 064.32.01 Новгородского государственного университета по адресу:

173003, г. Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, д.41. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета.

Автореферат разослан "?<о" 1996 г

Ученый секретарь диссертационного совета К 064.32.01,

кандидат технических наук, доцент

Бритин С.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время антенные решётки нашли широкое практическое применение. Прослеживается устойчивая мировая тенденция к преимущественному использованию антенных решёток, в основном фазированных (ФАР), в разнообразных радиотехнических системах.

Однако до сих пор решение задачи строгого учёта взаимного влияния элементов на электрические характеристики решёток встречает серьёзные затруднения.

Основной особенностью строгих моделей антенных решёток является высокая размерность описывающих их систем уравнений, обусловленная медленной сходимостью решений при численном интегрировании.

При практической реализации вычислительных алгоритмов отмеченное обстоятельство вызывает пропорциональное и существенное ограничение размерности анализируемых антенных решёток.

Противоречие между размерностью решётки и аппаратными ограничениями традиционно преодолевается некоторым снижением требований к точности описания параметров математических моделей.

Отмеченный приём используется в большинстве известных на сегодня методов анализа антенных решёток и составляет их основной недостаток.

Учитывая важность решения технической проблемы строгого учёта взаимного влияния элементов решёток при их проектировании и изготовлении, задача исследования возможностей ускорения сходимости последовательных вычислительных алгоритмов и разработка новых

методов анализа ФАР представляется весьма актуальной и перспективной.

Цель диссертационной работы. Разработка численного метода анализа вибраторных антенных решёток, позволяющего строго учитывать взаимное влияние дискретных излучателей при произвольных сочетаниях геометрических размеров вибраторов и произвольном амплитудно-фазовом распределении питающих напряжений по ним; разработка универсального алгоритма решения поставленной задачи и составление пакета программ для комплексного инженерного расчёта их электродинамических характеристик в широком диапазоне изменения входных параметров; проведение численного и натурного экспериментов и изготовление образцов антенн.

Научная новизна диссертационной работы. Состоит в разработке универсального эффективного метода расчёта электродинамических характеристик вибраторных антенных решёток, позволяющий строго учитывать толщину излучателей и влияние зазора в точках питания дискретных элементов при произвольных сочетаниях длин вибраторов и произвольном амплитудно-фазовом распределении питающих напряжений, основанного на применении гибридного числено-аналитического метода регуляризации интегро-дифференциальных уравнений и сведения последних к бесконечным системам Фредгольма второго рода. Благодаря существенному улучшению скорости сходимости решения достигнуто увеличение размера анализируемых антенных решёток без потери точности. Благодаря использованию

аналитического продолжения повышена точность решения внутренней задачи без увеличения размеров системы алгебраических уравнений.

Теоретическая значимость диссертационной работы. На основании сравнения результатов расчёта характеристик директорных и линейных фазированных антенных решёток с учётом закона распределения питания по элементам показано абсолютное превосходство разработанного метода над известными по скорости сходимости решения и отмечено улучшение по качеству результатов.

Разработанный алгоритм в силу универсальности предоставляет широкие возможности по анализу характеристик антенных решёток при произвольной геометрии дискретных излучателей, что представляет непосредственный технический интерес для прогнозирования возникновения нежелательных специфических антенных эффектов на этапе проектирования.

Наибольшей эффективности разработанного метода следует ожидать при решении задачи конструктивной оптимизации.

Практическая ценность диссертационной работы. Составленный на основании разработанного алгоритма пакет программ для комплексного инженерного расчёта электродинамических характеристик вибраторных антенных решёток представляет собой мощное инструментальное средство и может использоваться самостоятельно или в составе пакетов САПР как для прикладного, так и для учебного проектирования.

Сформулированые в работе рекомендации по последовательности и диапазону изменения входных параметров моделей директорных антенн

могут использоваться при инженерном проектировании в качестве критериев конструктивной оптимизации.

Реализация результатов работы. Изложенные в диссертационной работе материалы получены в процессе выполнения плановых госбюджетных и хоздоговорных НИР, проводимых кафедрами "Радиофизики и электроники" и "Теоретической и специальной физики" Новгородского государственного университета, по заданию Лётно-исследовательского института им. М.М. Громова (г.Жуковский, Московской обл.). Результаты проведённых исследований как и образцы построенных антенн используются в разработках НовГУ им.Я.Мудрого и ЛИИ им.М.М.Громова, для научных исследований, прикладного проектирования и в учебном процессе.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертационной работе докладывались на международных и областных научно-технических конференциях:

1. Всесоюзная НТК "Интегральная электроника СВЧ", (Красноярск 14-16 июня 1988 г.);

2. VI школа-семинар НТО РЭС Попова "Теория и математическое моделирование объёмных схем СВЧ и КВЧ (ОИС СВЧ-89)", (Алма-Ата 18-24 сентября 1989 г.);

3. "XX Гагаринские чтения", (Москва, 5-8 апреля 1994 г.);

4. "Фазированные антенные решетки и перспективные средства связи (ФАР-94)", (Казань 13-17 июня 1994 г.);

5. XXVII НТК по теории и технике антенн, (Москва 22-26 августа 1994 г.); и других.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 18 печатных работах, включая Отчёты по НИР и монографию соискателя.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов и заключения, изложенных па 104 страницах, содержит 46 рисунков и 1 таблицу. Список литературы включает 52 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы повышения эффективности существующих методов анализа антенных решёток, в связи с важностью технической задачи строгого учёта взаимного влияния дискретных элементов (при расчёте электрических характеристик последних) на этапе проектирования.

Отмечена общетеоретическая значимость и перспективность развития последовательных методов решения больших систем линейных уравнений для многих практических задач в области научных вычислений.

Представлена краткая сравнительная оценка известных методов расчета электродинамических характеристик вибраторных ФАР [1,3,5,7].

Сформулирована цель работы, выделены основные задачи исследования.

В первом разделе представлено детальное описание используемой математической модели, приведена строгая постановка задачи, описаны фундаментальные аспекты применяемого математического аппарата, рассмотрены методические особенности используемой процедуры регуляризации применительно к решёткам вибраторов, разработан

обобщённый алгоритм решения внутренней задачи, предложен алгоритм точного решения внешней задачи.

В первом подразделе сформулирована электродинамическая постановка внутренней задачи в строгом виде.

Для рассматриваемой математической модели, полностью учитывающей геометрические размеры прототипа, представлена полная система граничных условий для тангенциальных составляющих электрического поля в векторной форме. С учётом общих физических закономерностей модели обоснована достаточность рассмотрения скалярной системы граничных условий.

Описаны особенности интегро-дифференциального уравнения, связывающего поле излучения с поверхностными токами на вибраторах. На основании анализа недостатков известных способов устранения сингулярности в ядре введённого в рассмотрение уравнения, обоснована необходимость его решения с сингулярным (точным) ядром.

На основании системы граничных условий выведена полная система интегро-дифференциальных уравнений, учитывающая произвольный закон распределения питания по элементам решётки в следующем виде:

¿+к%]к(р,)0(дк,й>ьк = т

ж

0)

з+А.ОьХй.А)*.

На основании априорных сведений об особенностях традиционных методов решения систем интегральных уравнений обоснован выбор

гибридного "численно-аналитического" метода [1] для решения представленной системы и сформулирован алгоритм его применения.

Во втором подразделе описаны особенности применения метода моментов для решения задачи анализа антенных решёток.

Представлены наиболее важные сведения из функционального анализа [10,11] касающиеся специфики применяемого в работе метода численного интегрирования, традиционно неупоминаемые в технической литературе.

На примере уравнения Фредгольма второго рода рассмотрена общая идеология метода моментов, отмечены достоинства схемы Галёркина, сформулированы требования к функциональным пространствам и операторам, выделены ограничения на выбор систем базисных и весовых функций, накладываемые методом.

Подчёркнуто улучшение оценки скорости сходимости решения при численном интегрировании методом Галёркина линейных уравнений специального вида. На основании известных доказательств обоснована целесообразность сведения исследуемой системы уравнений к виду уравнений Фредгольма второго рода.

В третьем подразделе рассмотрена процедура преобразования интего-дифференциальных операторов.

На основании известного разложения функции Грина по цилиндрическим функциям выполнено предварительное преобразование исходных операторов. Особенность указанной процедуры для антенных решёток состоит в раздельном описании "собственных" и "взаимных" компонент поля, отличающихся порядком определения расстояния между

точками излучения и наблюдения. Обоснованное условием (<1>>а) упрощение описания функции Грина для "взаимных" компонент определяет отмеченное различие последних:

2п 0 > / V | 1 *е0 _+1

Ь< = ШДОсозЦг-х^хск, 1*]

О -1

Последующее преобразование состоит в модификации (разделении) исходных интегро-дифференциальных операторов с целью регуляризации последних и проведено на основании процедуры, предложенной в [2].

В четвертом подразделе представлено подробное описание численно-аналитического метода, разработанного новгородской антенной школой Радцига Ю.Ю. [1], доработанного автором для задачи анализа вибраторных антенных решёток, включая фазированные.

В соответствии с общими требованиями метода моментов [10,11] проанализированы свойства преобразованных операторов; обоснована единственность и сходимость решения для схемы Галёркина; установлены область определения и область значений операторов; введены базисные функции и описано разложение токов по вибраторам; сформирована матричная система для определения коэффициентов разложения по базису.

На основании анализа свойств матричных элементов, в точном соответствии с основным принципом численно-аналитического метода, система линейных алгебраических уравнений сведена к эквивалентной

(2) (3)

бесконечной системе Фредгольма второго рода, для которой представлена оценка скорости сходимости решения.

В результате выполнения изложенной процедуры в символическом виде сформирована полная матричная система, подлежащая численному решению для определения , первых-Ы членов разложения тока по вибраторам:

п=| п»!

¿С:'(Ь21ф„(г')Ф,(2)) +...+ ¿С»(0вфп(г0,ф,(2)

П—1

N

П-I п=5

п=1 П=1

+ ... +

= (Е„Ф,(г))

= (Е^ФнСг))

= {Е?,Ф,(г))

= (Е^срюф)

= (Ек,Ф,(г))

= (Ек,Фм(г))

(4)

Усечённые члены разложения (М<п<оо) определены аналитически, благодаря чему существенно повышается точность решения, минуя ёмкую по времени процедуру численного интегрирования.

Пятый подраздел завершает постановку внутренней задачи.

В матричной форме описан полный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений для антенной решётки произвольной структуры. Введены в рассмотрение подматрицы

+----г

=1

обобщённых нмпедансов. Описаны процедуры, используемые при программировании задачи.

Представленный раздел является развитием численно-аналитического метода и ориентирован прежде всего на технических специалистов, недостаточно знакомых с функциональным анализом.

В шестом подразделе представлен обзор известных способов упрощения полного алгоритма для дискретных систем излучателей, обладающих симметрией структуры.

Обоснована глубина оптимизации вычислительного алгоритма для симметричных решёток канонической формы. Представлена оценка экономии машинного времени. Отмечены варианты, исследованные в представленной работе.

В седьмом подразделе автор предлагает нетрадиционный алгоритм расчёта функции направленности антенной решётки на основании точного решения внутренней задачи:

К N

Р®(В,ср) = зт9]Гехр(-]кс101 зтбсозф)]>]Ст |фп(г,') • ехр^кг; соэ9)сЦ' ^ '

1=1 п=1 ц

Во втором разделе представлены результаты численного эксперимента.

В первом подразделе проанализированы результаты исследования свойств алгоритма на примере расчёта характеристик пары идентичных вибраторов. Представленные графики зависимости входного сопротивления от дистанции между вибраторами и графики АЧХ демонстрируют поведение математической модели при изменении её

параметров. Исследовано влияние длины плеч вибраторов, их толщины (радиуса), величины зазора в точках питания при синфазном равноамплитудном возбуждении.

Отдельно исследована сходимость разработанного алгоритма и представлены результаты вычисления абсошотной погрешности при различном количестве базисных функций в разложении токов. Отмечено увеличение погрешности вычислений около резонансных значений, свойственное большинству численных методов интегрирования. Тем не менее удовлетворительная точность результатов достигается уже при трёх базисных функциях независимо от параметров модели.

Во втором подразделе представлено сравнение результатов расчёта с известными из литературы численными результатами Р.Кинга [8] и Б.Поповича [3], а также с экспериментальными результатами Р.Мака [4]. Отмечено полное совпадение результатов при больших дистанциях между вибраторами. Особо подчёркнуто приближение вычисленных характеристик к экспериментальным в области малых дистанций, что свидетельствует о качественно более высоком уровне предложенного алгоритма уже для пары излучателей (рис. 1).

В третьем подразделе представлены результаты исследования физической модели - антенной решётки с произвольными параметрами. Детально исследована пара излучателей при непропорциональном отношении длин плеч, при неравноамплитудном и несинфазном питании, при пассивном режиме одного из вибраторов. Проведённый анализ представляет интерес для перехода к задаче исследования больших ФАР при электрическом сканировании и больших директорных решёток.

Зависимость составляющих входной проводимости от расстояния между вибраторами (с1).

вП; 1511 / \ 1 1 (—) - новые результаты,

в12; В12 (_) - результаты Б.Поповича[3].

/-Ч ■ / N / V ....... ■ " I 0.0001...0.001 X

/ \ ,-х \ „ _______________________--

^ ч

ч /у N. ^^ ; 1=0.009 X

ч

В11 1=0.01 Л.

/ ч 1=0.02 X

/ Ч __—--------------

С11 а - 0.007 X - радиусы вибраторов,

/ е = 0.02 X - 0.0001 X - зазоры в точках питания,

в12 1 = 0.5 X - длины плеч вибраторов,

- •• ■ к = 3 - количество базисных функций.

В1\ \ ..... / / \ -

1 шх 1 1

О 0.5 1 1.5 2

Рис. 1

На основании анализа полученных результатов, сформулированы основные свойства физической модели, подтверждено соответствие поведения модели известным закономерностям.

На основании проведённых автором дополнительных расчётов с использованием уравнения Галлена [6], отмечено улучшение качества счёта диаграмм направленности особенно существенное для вибратора с директором.

Отдельно представлены динамические (трёхмерные) характеристики для функции направленности при произвольных сочетаниях параметров, позволяющие оценить реакцию модели на изменение последних.

Представленный в разделе детальный анализ позволяет перейти к рассмотрению мультипараметрических моделей - антенных решёток с произвольным количеством и длиной излучателей, при произвольном питании.

В четвёртом подразделе представлены результаты численного исследования больших директорных антенн.

Директорные решётки представляют собой наиболее сложный объект для численного исследования, несмотря на упрощение распределения питания по излучателям решётки. До настоящего времени не существует однозначных рекомендаций по выбору оптимальных геометрических размеров, что связано в первую очередь со слабым развитием точных методов анализа. Тем не менее директорные антенны получили широкое практическое распространение благодаря уникальным потенциальным возможностям конструкции, обусловленным высокой направленностью при простой схеме питания антенны.

В разделе подробно рассмотрены семь вариантов пятиэлементных антенн, рекомендованных к повторению различными авторами. Интерес к данному вопросу обусловлен частной целью настоящего исследования -изготовлением образцов директорных антенн для конкретного применения.

На основании представленных характеристик сформулированы критерии конструктивной оптимизации, позволяющие обосновано сузить диапазон изменения параметров модели при проектировании и настройке антенн в производстве.

Для дополнительной оценки качества алгоритма представлены результаты расчёта распределения амплитуд тока по вибраторам (рис.2) и диаграмм направленности (рис.3) для пятнадцати- и двадцатипятиэлементных антенн, совпадающие с известными, опубликованными Р.Митрой [9].

В третьем разделе рассмотрены результаты натурного эксперимента.

Представлены амплитудно-частотные характеристики КСВ для двух вариантов директорных антенн, разработанных автором, описаны специальные технические требования к параметрам антенн и особенности постановки эксперимента.

Отдельно представлены характеристики и описание варианта совмещённой резонаторно-щелевой антенны, разработанной автором много раньше. Экспериментальные зависимости, полученные при исследовании последней, убедительно доказывают правильность предположений относительно расширения диапазона согласования

Зависимость распределения тока по вибраторам. (Двадцатипятиэлементная антенна).

0.9 -

0.8

0.7 -

0.6

0.5

2к=0,408 X - длина директоров, 21а=0,470 X - длина активного вибратора, 21г=0,500 X - длина рефлектора, ёг=0,250 X - дистанция до рефлектора, ' с1а=0,340 Л - дистанции между директорами, а—0,001 ..0,007 X - толщина вибраторов, ! 010) Х'-"зазор"в точках питания......

0.4 -

0.3

0.2 -

0.1

Рис. 2

Диаграммы направленности пятнадцатиэлементной директорной антенны при различном радиусе вибраторов (а).

а = 0.001 X, а = 0.002 Я,

а = 0.003 Л, а = 0.005 X.

Общие Т = 0.01 X - зазор в точке питания

параметры задачи : N = 2 - количество базисных функций Примечание: * Размеры антенны приведены в [7]-стр.65

Рис.3

при увеличении длины излучателей, выдвинутых в работе на основании анализа результатов расчёта физической модели связанных вибраторов.

В заключении представлены выводы по достигнутым результатам, выдвинуты предположения о возможности применения разработанного метода анализа при статистическом анализе антенных решёток, при решении смежных задач электродинамики при создании объединённого алгоритма для решения задачи конструктивной оптимизации конечных ФАР. Намечены пути дальнейшего совершенствования вычислительного алгоритма, предполагающие структурированный подход к описанию математической модели ФАР из сотен излучателей в строгой электродинамической постановке, на основании гибридного описания моделей конечных и бесконечных решёток.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По мнению автора основные результаты представленной диссертационной работы состоят в следующем:

1) На основе гибридного числено-аналитического метода регуляризации интегро-дифференциальных уравнений разработан эффективный метод расчёта электродинамических характеристик вибраторных антенных решёток, позволяющий строго учитывать толщину излучателей и влияние зазора в точках питания дискретных элементов при произвольных сочетаниях длин вибраторов и произвольном амплитудно-фазовом распределении питающих напряжений.

2) Разработанный метод реализован в виде универсального алгоритма решения задачи анализа вибраторных антенных решёток, по которому составлен пакет программ для строгого расчёта их основных электродинамических характеристик при произвольном сочетании входных параметров.

3) На основании детального сравнения полученных результатов с известными практическими и теоретическими результатами, опубликованными в отечественных и зарубежных научно-технических изданиях, а также с полученными автором результатами расчёта альтернативными методами, проведена оценка качества численного алгоритма и достоверности расчитанных зависимостей, обоснованы преимущества представленного метода для расчёта характеристик вибраторных решёток.

4) Сформулированы выборочные критерии конструктивной оптимизации в форме рекомендаций по последовательности и диапазону изменения входных параметров математических моделей решёток при инженерном проектировании последних.

5) Разработаны и построены антенны для практического использования: изготовлены образцы двух направленных- пятиэлементных директорных антенн и ненаправленной- совмещённой резонаторно-щелевой антенны, работающие в разнесённых по частоте диапазонах. Проведено экспериментальное исследование их параметров и подтверждены результаты численного анализа.

ПЕРЕЧЕНЬ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАННЫХ СОИСКАТЕЛЕМ

Основные результаты исследования вибраторных ФАР, представленные в диссертационной работе, а также обобщённый алгоритм решаемой задачи опубликованы в монографии соискателя:

1. Орлов И.Л. Исследование системы вибраторных антенн. // Деп. в ВИНИТИ 03.11.95. - № 2922 - В95. - 62с.

Отдельные совместные результаты численного исследования двухэлементных моделей, а также некоторые совместные результаты исследования щелевых антенн, опубликованы в следующих работах:

2. Орлов И.Л., Радциг Ю.Ю., Эминов С.И. Численный анализ строгой модели связанных вибраторов.//Деп. в ВИНИТИ 16.02.96.-№500-В96.-25с.

3. Орлов И.Л., Плотников В.Н., Туишев М.А. К расчёту диаграмм направленности кольцевых щелевых антенн, возбуждаемых в нескольких точках.//Деп. в ВИНИТИ 17.12.87.-№ 8852 - В87. - Юс.

4. Орлов И.Л., Радциг Ю.Ю., Туишев М.А. Дуговые резонаторно-щелевые антенны, покрытые слоем магнитодиэлектрика с потерями. Часть 1. Расчёт распределения напряжения вдоль щели и входной проводимости.//Деп. в ВИНИТИ 17.02.89. -№ 1075 - В89. - 13с.

5. Орлов И.Л., Плотников В.Н., Туишев М.А. Дуговые резонаторно-щелевые антенны, покрытые слоем магнитодиэлектрика с потерями. Часть 2. Алгоритм вычисления входной проводимости. // Деп. в ВИНИТИ 29.12.90. - № 6476 - В90. - 1 Зс.

6. Расчет щелевых и вибраторных антенн на основе числено-аналитического метода / В.В. Артемьев, B.JI. Данильчук, И.Л. Орлов, В.Н. Плотников, Ю.Ю. Радциг, A.B. Сочилин, С.И. Эминов // Фазированные антенные решетаи и перспективные средства связи (ФАР-94): Тезисы докл. III Всерос. науч.-техн.конф.-Казань,1994. - стр. 114 - 115.

Некоторые практические результаты, полученные автором при выполнении договорных исследовательских работ под научным руководством д.т.н., профессора Радцига Ю.Ю. и использованные в диссертации, отражены в следующих Отчётах по НИР:

7. Отчет по НИР 334/РС-73/968, НовПИ. - Новгород: - 1985, - 68с.

8. Отчет по НИР 336/ТОР-6/968, НовПИ. - Новгород: - 1986, -59с.

9. Отчет по НИР 38Ö/TOP-6/1224, НовПИ. - Новгород: - 1987, - 128с.

10. Отчет по НИР 380/ТОР-6/1224, НовПИ. - Новгород: - 1988, - 209с.

11. Отчет по НИР 446/ТОР-8/358, НовПИ. - Новгород: - 1989, - 150с.

12. Отчет по НИР 446/ТОР-8/358, НовПИ. - Новгород: - 1990, - 113с.

13. Отчет по НИР 673/ТОР-10/242, НовПИ. - Новгород: - 1991, - 119с.

14. Отчет по НИР 673/ТОР-10/242, НовПИ. - Новгород: - 1992, - 30с.

15. Отчетно НИР 782/ТОР-13/1238, НовПИ. - Новгород: - 1993, - 63с.

16. Отчетно НИР 782/ТОР-13/1238, НовГУ, - Новгород: - 1994, - 33с.

17. Отчет по НИР б/'ГОР-г/б, НовПИ. - Новгород: - 1993, - 35с.

18. Отчет по НИР 6/ТОР-г/б, НовГУ. - Новгород: - 1995, - Юс.

22

ЛИТЕРАТУРА

1. Нефёдов Е.И., Радциг Ю.Ю., Эминов С.И.: Регуляризация интегральных уравнений щелевых и вибраторных антенн // Доклады РАН. - 1995. -Т.344. -№ 4.

2. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора. // Радиотехника и электроника.-1993.-т.38, вып. 12.-стр.2160 - 2168.

3. Popovic B.D. Polynomial approximation of current along thin symmetrical cylindrical dipoles. // Proc. IRE. - 1970. - Vol. 117. - № 5.

4. Mack R.B.: A stady of circular arays // Cruft Laboratory, Harvard University, technical reports 382 and 383, - 1963.

5. King R.W.P.: Linear arays: currents, impedances and fields. // IRE Trans.,

- 1959, Vol. AP-7, - pp.S440 - S457.

6. King R.W.P.The Theory of Linear Antennas with Charts and Tables for Practical Applications. - Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press,

- 1956. - 944 p.

7. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Мигры. -М.: Мир, 1977.- 485 с.

8. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 496с.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977.- 741 с.

Подписано в печать о961 Формат: 60 х 84/16

Уч. изд. л. 1.0 Тираж 100 Заказ № /б

Издательско-полиграфический центр Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003, г. Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, д. 41.