автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Экспертно-статистические методы в задачах управления и идентификации социально-экономических систем

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАН

На правах рукописи УДК 519.86:681.5

МАНДЕЛЬ Александр Соломонович

ЭКСПЕРТНО-СТАТИСГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Специальность: 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах

Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва -1996

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

A.А.Дорофеюк доктор технических наук, профессор

B.Н.Варыгин доктор технических наук, профессор

М.М.Соловьев

Ведущая организация: Институт системного анализа (ИСА РАН)

Защита состоится "____"_ 199_ г. в_часов

на заседании Специализированного Совета N 5 (Д 002.68.03) Института проблем управления РАН (117806, Москва, ул.Профсоюзная, д.65)

Телефон Совета: (095) 334-93-29 С диссертацией в виде научного доклада можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН.

Диссертация в виде научного доклада разослана " "_199 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

к.т.н. С.А.Власов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация, представленная в виде научного доклада, содержит изложение основных работ автора по экспертно-статистическим методам идентификации и управления социально-экономическими системами, выполненным и опубликованным в 1978-1996 гг.

Актуальность темы. Актуальность темы обусловлена тем, что проблема объединения результатов анализа данных объективного и субъективного характера в начале 90-х гг. приобрела особую значимость. К этому временя помимо традиционно популярного, и, как результат, получившего глубокую математическую и программную проработку инструментария средств сбора, обработки н анализа статистической информации возник широкий арсенал методических и программных разработок, ориентированных на моделирование интеллектуальной деятельности человека и, в том числе, многочисленные экспертные системы (ЭС), программные оболочки ЭС и большое разнообразие методов извлечения знаний. Решение проблемы интеграции в рамках единой системы данных экспертного и статистического происхождения (последние понимаются здесь как синоним ретроспективных данных объективного характера) особенно значимо применительно к кругу вопросов, связанных с идентификацией и созданием систем управления (СУ) для систем социально-экономического типа. В отличие от технических СУ, которые, как правило, назывались автоматическими, СУ в социально-экономической сфере обычно получали название автоматизированных, что указывало на обязательность участия в их деятельности менеджеров-управленцев, лиц, принимающих решения (ЛПР), экспертов. При этом два поименованных направления в области сбора, обработки и анализа данных развивались почти независимо и идейно, и инструментально, что, естественно, существенно снижало точность идентификации моделей социально-экономических систем и эффективность СУ ими, поскольку при их создании всегда преобладала одна из двух тенденций в зависимости от вкусов и умений разработчиков.

Настоящая работа возникла на базе развития и обобщения опьг автора, который более 25 лет занимался разработкой систем управления идентификации в области сначала технических, а затем и социалън! экономических систем. В связи с этим в конце 70-х - начале 80-х гг. возник; идея использовать и развить применительно к задачам управления идентификации в социально-экономической сфере широк использовавшийся к тому времени в технических системах аппарг адаптивных моделей. К середине 80-х гг. стало понятным, что в этой ново сфере аппарат теории адаптации далеко не так "безотказен", как в cвo^ прежних применениях. Постепенно становились очевидными причины г меньшей мере только частичного успеха: модели социально-экономичеа« систем оказались сложнее и "переменчивее", одним из объяснений ь большей сложности являлась заслуживающая отдельного упоминай* активность людей, часть из которых, действуя в роли менеджере; определяла внутреннюю логику поведения таких систем, а остальны являясь элементами окружавшей любую такую систему средь детерминировали "фон", внешние условия, входные переменные таки систем. Кроме того, для таких систем было труднее собирать не тольк априорную, но и текущую информацию об их функционировании, эт информация часто оказывалась принципиально неточной (в том числе, и силу участия в ее формировании "человеческого фактора").

К концу 80-х гг. успешное внедрение некоторых из разработанных н базе адаптивных алгоритмов и алгоритмов многомерной классификацн СУ социально-экономическими системами (да и многими техническим системами тоже) показало, что качество системы существенно возрастает; если лицу, принимающему решения (ЛПР), предоставляется прав "вмешиваться" в работу СУ, а в самой СУ такие воздействия со сторон! человека используются для совершенствования заложенных в СУ : корректируемых в процессе текущей идентификации моделей. В 90-е п удалось не только существенно расширить области приложения новы методов, получивших название экспертно-статисгических, - от зада управления запасами на складе и производственными системами до зада анализа товарных, финансовых и фондовых рынков, - но и существенн*

развить и продвинуть саму теорию. К настоящему времени создано несколько эффективно действующих экспертно-статистических систем (ЭСС), продолжается разработка новых ЭСС. Все это обусловило возможность и необходимость анализа и изложения этого материала.

Цель работы состояла в разработке нового научного направления -экспертно-статистических методов идентификации и управления на основе систематизации, полученных автором результатов в области методологии создания экспертно-статистических систем, а также исследовании и обобщении приложений экспертно-статистических методов к решению различных задач идентификации и управления социально-экономическими системами.

Научная новизна. Предложен новый подход к созданию систем идентификации и управления социально-экономическими системами, основанный на интеграции в рамках единой системы процессов сбора, обработки и анализа данных объективного и субъективного происхождения. Соответствующая концепция получила название экспертно-статистических методов идентификации и управления, а системы идентификации и управления, основанные на использовании этой концепции, названы экспертно-статистическим системами (ЭСС). Проанализированы общие особенности структуры ЭСС, которые состоят из блока базисной модели, блока сбора и обработки экспертной информации и средств интеграции экспертной информации в блок базисной модели. Впервые показано, что несмотря на широкое разнообразие используемых классов базисных моделей - на их выбор заметно влияет специфика прикладной задачи - методы работы с экспертами (методики проведения интервью, опросов, анкетирования) оказываются достаточно однотипными и, во многих случаях, сводятся к процедурам идентификации бинарных отношений предпочтения. В процессе создания конкретных ЭСС для управления снабжением предложен широкий новый класс моделей управления запасами - моделей, замкнутых по спросу. Этот класс моделей позволил существенно продвинуться и в общей математической теории управления запасами.

Прикладное значение работы состоит в том, что в ней предложен универсальный новый подход к созданию эффективных СУ для самых разных объектов социально-экономической сферы. Результаты работы нашли многочисленные применения в решении задач управления процессами снабжением и производства, в маркетинге, в задачах анализа биржевой и финансовой деятельности, а также в других сферах.

Публикации. По теме диссертации с 1973 по 1996 гг. опубликовано 39 научных работ общим объемом 36 печатных листов, в том числе 3 монографии и 7 публикаций в зарубежных изданиях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на протяжении 23 лет на многих отечественных и международных семинарах и конференциях, а также в ряде крупных отечественных и зарубежных аналитических прикладных центров.

Структура работы. Данный научный доклад состоит из Введения, пяти глав и Заключения. В конце текста научного доклада имеется список работ автора диссертации по теме диссертации. Ссылки на эти работы приводятся в квадратных скобках по номерам списка. При упоминании работ, имеющих отношение к рассматриваемой тематике и опубликованных другими авторами, библиографические данные по этим работам приводятся непосредственно в тексте научного доклада.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение................................................................................................... 6

1. Общие основы теории экспертно-статистических систем.................... 12

1.1. Идентификация базисной модели.............................................. 14

1.2. Блок сбора и обработки экспертной информации..................... 18

1.3. Блок интеграции экспертной информации в ЭСС..................... 22

2. Детерминированные базисные модели производственно-

складских систем...................................................................................24

2.1. Линейная модель производственно-складской системы.............24

2.2. Задача сглаживания....................................................................32

2.3. Задача управления буферными запасами в производственно-складской системе...........................................34

3. Базисные модели систем, замкнутых по спросу....................................44

3.1. Детерминированные модели замкнутых по спросу систем управления запасами: критерий суммарных затрат....................46

3.2. Детерминированные модели замкнутых по спросу систем управления запасами: критерий суммарной прибыли...............49

3.3. Вероятностные модели замкнутых по спросу систем управления запасами..................................................................52

3.3.1. Регрессионная модель спроса.......................................54

3.4. Адаптивные схемы управления запасами с использованием замкнутых по спросу моделей.....................................................57

3.4.1. Байесовы алгоритмы ..................................................57

3.4.2. Адаптивные алгоритмы................................................59

4. Базисные модели и экспертно-статистические методы на товарных и фондовых рынках и в задачах распределения и оперативного управления ресурсами..........................................................................65

4.1. Эспертно-статистические методы в задаче маркетинга..............65

4.1.1. Описание рынка и предсказание спроса.......................66

4.2. Базисная модель процесса торгов аукционного типа.................70

4.1.2. Формальная постановка задачи для

прямого аукциона................................................72

4.3. Экспертно-статистическая обработка результатов аукционных торгов в случае прямого аукциона.......................73

4.4. Выбор структуры ресурсов в условиях неопределенности.........74

5. Описания примеров экспертно-статистических систем (ЭСС).............76

5.1. ЭСС АДАЗАП............................................................................76

5.1.1. Теоретический базис системы АДАЗАП......................77

5.2. ЭСС ЭКСПРО............................................................................82

5.2.1. Теоретический базис системы ЭКСПРО......................83

5.3. Общие особенности экспертных систем.....................................85

5.4. Применения................................................................................87

Заключение...............................................................................................87

Список литературы по теме диссертации.......................................................... 89

<

Введение

На протяжении 70-80-х годов осуществлялось массово! ррспространение компьютерных методов решения различных зада1 управления сложными социально-экономическими системами и анализг сложноорганизованных данных. В производственно-технологической сфер« это были разнообразные АРМы, АСУ, АСУ ТП, ИАСУ, ОАСУ и пр., е непроизводственно-организационной сфере создавались свои варианты автоматизированных рабочих мест, различные модификации систем поддержки принятия решений (СППР), ситуационные моделяторы и т.п. Б процессе все более широкого освоения средств информационной поддержки становилось очевидным, что средства ВТ могут использоваться не только для накопления ретроспективной информации "объективного" характера, которую мы будем условно называть информацией статистической природы, или. просто, статистической информацией, но и для сбора мнений, точек зрения, взглядов, прогнозов, оценок и позиций искушенных экспертов в любой из предметных областей (накапливаемую при этом информацию в дальнейшем будем условно называть информацией экспертной природы, или, просто, экспертной информацией). При этом параллельно созданию таких информационных систем шел процесс создания двух видов "надстройки" над ними для каждого из названных выше видов информации: систем прикладного программного обеспечения (СППО) для решения задач статистической обработки, с одной стороны, и экспертных систем (ЭС) для извлечения, накопления и работы с экспертной информацией - с другой. Эта работа была связана не только с генерацией новых идей и теорий, с разработкой новых алгоритмов и программированием, но и с адаптацией колоссального теоретического багажа, созданного ранее в прикладной математической статистике, логике и других фундаментальных областях знаний.

При этом два поименованных направления развивались почти независимо и идейно, и инструментально, пересекаясь, как бы случайно, в связи, например, с желанием обобщить известные статистические

процедуры, распространив методы статистической обработки не на числовые, а качественные характеристики, или встроить в экспертные системы блоки статистической обработки, наличие которых позволяло пользователям ЭС вести пред- или постобработку имеющейся в их распоряжении ретроспективной информации.

Так в середине 70-х годов С.А.Айвазяном (см. статью С.А.Айвазян "Об опыте применения экспертно-сгатистического метода построения неизвестной целевой функции" И в кн.: "Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях", М.: "Наука", 1974) был предложен новый класс оценок и процедур обработки ретроспективных данных качественного характера, назвав соответствующие оценки и процедуры э кспертно-статистическими - термин, которым воспользуемся и мы, но, как станет ясно из дальнейшего, для объектов, подходов и конструкций более широкого класса. Еще одним примером попытки интеграции экспертных и статистических методик стало создание в университетах США нескольких прикладных систем для обработки сложноорганизованных данных, как правило, предназначенных для распознавания видеоинформации, которые получили название statistical-expert systems (SES) или, в переводе на русский, статистических экспертных систем. В SES пользователю предоставлялась возможность выбирать процедуры обработки данных на базе оценок чисто экспертного типа. В простейшем случае работу с такими системами можно представлять себе как осуществление субъективизированного подбора процедур на основе интуитивных представлений пользователя о рациональности выбора. При этом учитывались мнения и опыт квалифицированных "предшественников" и, в том числе, применительно к характеру распознаваемых образов (число образов, "овражность" поверхностей и др.), к пригодности процедур для решения возникающих конкретных задач и к другим особенностям процесса обработки. Эти системы оказывались достаточно сложными, но решали некоторый весьма узкий класс задач.

Тем временем, к концу 80-х годов стало понятно, что имеет место следующая общая проблема:

Социально-экономическое явление, объект или ситуация, исследуемые с целью идентификации и создания (или совершенствования действующей) системы управления ими, могут быть охарактеризованы данными двух типов статистическими и экспертными. Как организовать интеграцию этих данных, как вести их обработку, чтобы не утратить содержащейся в этих данных информации, извлечь из нее все полезное?

При этом были возможны (и действительно имели место) две крайности: (а) пренебрежение мнениями экспертов в уверенности, что формирование достаточно точного статистического описания, идентификация модели рассматриваемого явления во всех случаях лучше, чем "кустарщина" экспертных суждений, и (б) убежденность, что человеческая интуиция всегда выше и глубже любого "точного" расчета. Не желая вдаваться в дискуссию по этому поводу с прогнозируемым конечным выводом о том, что "истина всегда посередине", приведем несколько примеров, которых, как нам кажется, будет достаточно, чтобы аргументировать истинность сформулированного выше вывода о том, что любая сбалансированная система идентификации и управления, базирующаяся на обработке реальных данных, должна опираться как на объективную, так и на субъективную информацию.

Пример I. Управление запасами. В проводимой на протяжении почти 25 лет работе по идентификации моделей систем управления запасами и созданию СППР для задач управления материально-техническим снабжением автор неоднократно убеждался в том, что в этой области лица, принимающие решения, почти ннкогда не соглашались "принять на веру" рекомендации СППР, а стремились не только уточнить, скорректировать эти рекомендации, но и проникнуть во "внутреннюю кухню" идентифицируемой модели, вести корректировку непосредственно самой модели. Однако, в процессе взаимодействия с рафинированной СППР, в

рамках которой осуществлялась достаточно тонкая обработка, анализ и агрегирование исходной статистической информации с последующим наглядным представлением пользователю полученных результатов, возникала и обратная зависимость - ЛПР обучались вести анализ и оценку ситуации на языке и с помощью средств, вложенных исследователями в соответствующую СППР, и это приводило к переосмыслению ЛПР накопленного ими ранее опыта, возникновению "нового качества" в процессе управления реальной системой.

Пример 2. Маркетинговые исследования. Целью таких исследований обычно является прогнозирование ситуации в интересующих заказчика секторах рынка. И хотя, на первый взгляд, в этой области основным инструментом является изучение динамики временных рядов, которыми характеризуются соответствующие секторы рынка, задача осложняется не только отсутствием единой всеохватывающей системы моделей рынка с учетом взаимодействия между секторами, бюджетных ограничений, сезонности и многих других факторов, но и тем, что заметное влияние на рыночные процессы оказывает теневая часть экономики, по поводу которой рассчитывать на абсолютно достоверные и объективные сведения о состоянии этой части экономики не приходится, на то она и теневая. Таким образом, и здесь мнения и выводы экспертов могут служить немалым подспорьем.

Пример 3. Фгаика. В своей замечательной книге по анализу иерархий Т.Саати приводит удивительный пример того, как при использовании предложенного им метода группа "экспертов" (эксперты закавычены, поскольку в этом качестве выступали самые обычные люди) с хорошей точностью количественно воспроизвела известный закон изменения освещенности с увеличением расстояния до источника света, оценивая освещенность в терминах "светлее", "темнее", "одинаково", "гораздо светлее" и "гораздо темнее".

Итак, в конце 80-х годов сложилось ощущение, что возникла актуальная и достаточно общая проблема: найти способ интеграции экспертной и статистической информации в единой системе обработки сложноорганнзованных данных. В качестве первой попытки такой

интеграции упомянем о методе функционального шкалирования, в рамка? которого экспертным качественным суждениям придавались рационально обосновываемые количественные значения (см. Л.О.Авен, А.А.Ослоп, И.Б.Мучпик. "Функциональное шкалирование." М.: "Наука", 1988). Еще один вариант интеграции был предложен группой специалистов во главе < А.А.Дорофеюком в области обработки сложноорганизованных данных были созданы специальные методы организации работы консультативные групп экспертов, позволяющие естественным образом интерпретировать количественно мнения экспертов (см. статьи А.А.Дорофеюка и А.Л. Чернявского "Консультативная работа по совершенствованию управления в организационных системах" и "Опыт использования экспертных комиссий в задачах организационного управления" в кн.: "Методы и алгоритмы анализа эмпирических данных." М.: Институт проблем управления, 1988). Автор диссертации в работе [20], которая является частью цикла исследований, посвященных решению вопросов идентификации организационных систем, предложил использовать для интеграции экспертной и статистической информации параметрические и структурные методы адаптации. В это же время было предложено использовать идею интеграции экспертной и статистической информации применительно к решению задач распознавания образов (см. И.В.Гапонепко, И.Б.Мучпик. "Построение достаточных признаков и решающих правил в задаче распознавания образов при использовании экспертной информации" в кн.: "Методы сбора и анализа сложноорганизованных данных". Сборник трудов. М.: ИПУ, 1991).

Аналогичные задачи возникали и в автоматизированных системах управления сложными технологическими процессами (химия и нефтехимия, нефтепереработка, производство цемента, металлургия и пр.), то есть применительно к объектам, которые относили к чисто технической сфере.

В настоящей работе мы рассмотрим основные подходы к поиску способов такой интеграции, сосредоточившись на том, что объединяет все предложенные подходы, поскольку, как станет понятным, подобная интеграция всегда связана с созданием некой формально-содержательной конструкции, которая позволяет естественным образом вводить экспертные

и статистические данные в некую общую модель управления, идентификации или обработки - ее в дальнейшем мы назовем базисной. Причем окажется, что существует два основных способа введения экспертных данных - через создание неких ограничений на класс базисных моделей или класс алгоритмов обработки информации, относящейся к базисной модели, или непосредственный учет экспертных суждений в целевом функционале базисной модели. Как станет понятным из дальнейшего, во многих случаях эти два способа оказываются идентичными. Соответствующие системы будем называть экспертно-статистическими системами (ЭСС).

В первом главе данной работы приводится общая постановка проблемы создания ЭСС для идентификации и управления социально-экономическими системами, вводятся основные понятия, рассматриваются общие методы идентификации базисных моделей. В трех последующих главах развиты методы описания систем базисных моделей и интеграции данных статистической и экспертной природы применительно к задачам управления запасами и задачам распределения ресурсов и анализа товарных, фондовых и финансовых рынков. В основу рассмотрения положена идея "замкнутости" системы базисных моделей, когда наиболее важной особенностью системы становится учет социально-психологических характеристик описываемого социально-экономического объекта или явления, обусловленных тем, что основные особенности подобных объектов являются следствием принципиальной встроенности в эти системы "человеческого фактора". В пятой главе описываются конкретные экспертно-статистические системы, в которых реализована развитая методология.

1. Общие основы теории экспертно-статистических систем

В рамках традиционного, широко используемого подхода к создани: систем управления (СУ), причем не только в социально-экономическо сфере, одним из основных этапов процесса построения СУ является эта идентификации модели, когда на основе реальных данных функционировании объекта управления в результате статистическо обработки этих данных строится математическая модель, которая используется для синтеза системы управления. В последние 2 десятилети процесс идентификации стал часто совмещаться с процессом управления и базе реализации различных адаптивных схем [11, 13, 17,20,24]. Однакс распространение этого подхода на все расширяющиеся классы объектов и, том числе, социально-экономические системы показал, что в тех случаях когда окончательное принятие решений остается за человеком (ЛПР экспертом) его выбор отличается, и иногда существенно, от рекомендацш соответствующей модели [3, 5, 13}. Дело в том, что идентифицируема: модель часто оказывается неадекватной реальному объекту. Использу: такую модель, не удается воспроизвести основных особенностей поведени; реальной системы. При этом вскоре может стать понятным, чт< рассматриваемый объект вообще не может быть описан известными иш апробированными математическими моделями, либо окажется, чт< собираемая информация не отражает сложности объекта во всей ее полнот! и потому недостаточна для построения "хорошей" модели.

Тем не менее, опытный эксперт (ЛПР), во многих таких случая) способен принимать вполне разумные решения. Один из известны) подходов к решению проблемы оказания поддержки ЛПР в процесс« подготовки и принятия решений состоит в создании экспертной системы которая аккумулирует опыт и знания эксперта (или экспертов) е соответствующих правилах вывода и базах знаний. При отсутствии математических моделей, описывающих реальный объект, и/или объемной статистической информации о функционировании объекта этот подход является, по-видимому, единственно возможным. Но, если причиной возникающих трудностей оказывается недостаточность и неполнота данных

о функционировании объекта и свойствах окружающей его среды, можно воспользоваться идеей экспертно-статистической обработки и формализмом экспсртно-статистических систем (ЭСС) [33, 38, 39]. Идея экспертно-статистической обработки и ЭСС состоит в том, чтобы воспользоваться реакциями ЛПР на рекомендации действующей на формализованной основе (то есть на базе совокупности идентифицируемых моделей) системы управления как дополнительной информацией, обрабатывая которую проводят уточнение формируемой в контуре идентификации модели (осуществляют смену класса моделей, корректировку параметров и т. п.). Предварительные исследования показали, что объем такой дополнительной информации может быть существенно расширен, если выявить доступные восприятию эксперта промежуточные результаты функционирования модели и, предъявляя их эксперту, использовать даваемые им оценки этих результатов как источник дополнительных сведений. Соответствующая система управления, в которой эксперт (ЛПР) становится источником дополнительной информации для идентификации модели объекта и формирования системы управления и представляет собой ЭСС.

При этом применительно к социально-экономическим системам в силу их сложности (в немалой степени обусловленной тем, что в этих системах активно действуют люди) упрощенные, чисто идентификационные модели (модели типа "черного ящика") работают, как правило, только в весьма ограниченном круге ситуаций. Здесь наибольшее применение находят математические модели "физического" тина, когда описание системы строится на основе проведенного специалистами изучения механизмов протекающих в таких системах процессов. Такие модели достаточно популярны и в технике - достаточно вспомнить о моделях, используемых в системах управления или тренажерах для сложных технологических процессов в химии и нефтехимии. Преимуществом таких моделей является возможность более ясной и четкой физической интерпретации их реакций и, соответственно, большая их прозрачность для специалистов конкретной предметной области. Именно поэтому в главах 2-5 настоящей работы основное внимание уделено исследованию ЭСС на базе именно таких моделей, относящихся к различным предметным областям социально-

экономической сферы: управление запасами, маркетинг, биржевые торги др. Ниже мы кратко рассмотрим особенности ЭСС в задачах социальн< экономической сферы, выделив три основные элемента этих систем: блс базисной модели, блок сбора и обработки экспертной информации и схем интеграции экспертной информации в блок базисной модели. Изложен} общих основ будет предваряться и сопровождаться рядом примеро которые позволят ясно продемонстрировать существо возникающи проблем и формулируемых в конечном счете положений.

1.1. Идентификация базисной модели

Рассмотрим пример простейшей задачи управления запасам! который будет изучен в более сложной и общей постановке в глазе 4.

Пусть / = 0,1,... - дискретное время, х, - фиктивный уровень запасо в момент времени /, г,-и - спрос на (/Н)-м шаге в интервале межд моментами г н /+[; и, - размер заказа в момент времени Будем считать, чт поставка мгновенна и совпадает с размером заказа. Динамика изменени уровня запаса описывается соотношением

где ф - заданная функция от .г/, {е,} - последовательность независимы; одинаково распределенных случайных величин с неизвестной плотность« вероятности/(■). Необходимо выбрать последовательность размеров заказо] на пополнение запаса, которые минимизируют полные средние затрать системы снабжения с учетом дисконтирования. Компоненты затрат задань параметрами удельных затрат на хранение единицы продукции И, удельны) издержек вследствие дефицита с1 и стоимости оформления заказа размера и которая равна Ь + Лх1(ц), где 1(-) - функция единичного скачка (функциз Хэвисайда). Итак, базисная модель задана, причем задано в "прозрачной1 физической форме очевидных балансовых соотношений (1.1)-(1.3). Чистс

x0=g (начальное условие),

(1.1) (1.2)

Спрос описывается моделью вида:

' = 0.1.....

(1.3)

идентификационные вопросы связаны с явно постулируемой неизвестностью плотности вероятности Л-) и, быть может, с необходимостью проведения дополнительной работы по изучению вида функции ф, свойств помехи {е,} и значений параметров затрат А, й, Ь и А. Казалось бы, осталось только оценить свободные параметры, добиться малых значений остаточной дисперсии на обучающей выборке и получить искомый ответ.

Но, увы, практика показала, что на этом пути имеются "подводные камни". Модель (1.1)-(1.3) и ее аналоги и обобщения неоднократно применялись и успешно применялись для создания систем планирования и оперативного управления производственно-складскими системами самого разного уровня - от отрасли до отдельного предприятия. Однако, уже на первом этапе их применения возникали трудности, связанные с отсутствием надежной информации о некоторых компонентах затрат, например, издержек вследствие дефицита. Изучение специальной литературы показывает - эти трудности носят принципиальный характер, что и демонстрирует наличие нескольких взглядов и "школ" по поводу того, как считать указанную компоненту затрат. Уже здесь возникает возможность (или необходимость) проведения диалога с экспертом, диалога, который в силу изменений во внешней по отношению к конкретной социально-экономической системе среде должен время от времени возобновляться в процессе эксплуатации уже созданной и действующей СУ.

Впрочем можно остановиться на позиции одной из таких школ, которая постулирует бессодержательность подхода, основанного на явном учете издержек вследствие дефицита, и рекомендует, отказываясь от критерия полных средних затрат, использовать критерии, связанные с требованием обеспечения заданного значения уровня обслуживания потребителей, который мы, без ущерба для общности, протрактуем здесь как вероятность отсутствия дефицита. А именно, требуется найти [34]

тш[Р|:(+| <-т, + »,}-р]2, (1.4)

К!

где р задано, а Р{} - вероятность события, заключенного в фигурн: скобки. Решает проблему ли такое ограничение на выбор базисной модел Оказывается, что при этом трудности только отодвигаются на время.

Во-первых, ответственные ЛПР конкретной системы снабжения мог не являться приверженцами той конкретной экономической школы, котор постулирует применение критериев типа (1.4). И убедив ЛПР, что так критерии полностью отвечают его здравому смыслу, можно поздн столкнуться с тем, что сформированная в результате система управлеш (СУ) через некоторое время вызовет нарекания со стороны ЛПР, поскольк действуя в соответствии с ее рекомендациями, можно столкнуться чрезмерным ростом наличных запасов. Во-вторых, изменение ситуации I рынке может привести к выходу за пределы условий, выполнявшихся обучающей выборке, например, перестанет выполняться соотношение (1.3 И даже если начинка СУ представляет собой совокупность адаптивнь моделей, может понадобиться возобновление диалога с экспертом с цель расширения или замены выбранного класса моделей. Итак, на основани этого краткого рассмотрения можно сделать вывод 1 [33,38].

Вывод 1:

В СУ должна быть встроена интерактивная возможност перестройки выбранной базисной модели или класса базисны моделей. В процессе такой перестройки используются не толък экспертные оценки, но и ретроспективные данные объективно природы.

В рассматриваемом примере постоянно велись накопление обработка вновь поступающей информации о функционировании склада данных учета материального баланса, и одновременно регистрировалиа оценки экспертов как формируемых рекомендаций (значений {"¿}), так и некоторых промежуточных результатов функционирования СУ, которы также предъявлялись экспертам. В рассматриваемом случае это были дв; варианта оценок вероятностей дефицита, которые также мопи корректироваться ЛПР, причем результаты корректировки становилиа сигналом еще одной обратной связи в СУ.

Итак, в общем случае блок базисной модели ЭСС формально представляет собой некоторую систему обработки ретроспективных данных, характеризуемую оператором О. Этот оператор представляет собой

отображение из пространства X входных сигналов х рассматриваемой социально-экономической системы, пространства А значений вектора ее параметров а и пространства 3 значений вектора внутреннего состояния системы в в пространство V" значений расширенных выходных сигналов у:

у = О(х,0,5), хеХ , аеА , зеБ , у6У. (1.5)

Вектор выходного сигнала назван расширенным, поскольку в него включаются не только "физически" очевидные выходные сигналы системы, но и некоторые компоненты, по суги являющиеся внутренним, промежуточным продуктом функционирования системы. Например, в рассмотренном примере очевидным выходным сигналом является вовсе не размер заказа на пополнение запасов и,, а оценки вероятностей дефицита, поскольку именно ими определяется восприятие деятельности системы снабжения в окружающей ее среде.

Естественно, что выбор конкретного разбиения на входные и выходные сигналы и внутренние состояния является функцией рассматриваемого приложения и квалификации разработчика. В главах 2-5 будут приведены проверенные автором варианты разбиений для конкретных классов социально-экономических систем. В силу отмеченных особенностей можно сформулировать следующий вывод [39].

Вывод 2:

В блоке базисной модели ЭСС должны быть предусмотрены дополнительные "окна", дополнительные выходные сигналы, дополнительные элементы расширенного вектора выходного сигнала, которые можно использовать в процессе организации в дальнейшем интерактивных режимов настройки и корректировки базисной модели как параметрически, так и функционально (структурно ).

При этом, как следует из сказанного, сама базисная модель или кла базисных моделей выбирается в процессе предварительного обследован конкретной социально-экономической системы. Отсюда вытекает еще од особенность экспертно-статистической системы, которая может бы подытожена в следующем выводе [34].

Вывод 3:

В процессе предварительного обследования необходш выявить те элементы модели, которые содержательно являют< ключевыми и наиболее прозрачными характеристиками данш системы с точки зрения будущих пользователей ЭСС в лш ответственных экспертов (принимающих решения) дата социально-экономической системы и в данной предметной области

Необходимо также предусмотреть возможность работы с этиь характеристиками в интерактивном режиме, как сказано выш предусмотреть соответствующие "окна".

Еще одной особенностью базисной моделей экспертно-статистическ! систем управления является необходимость адекватного отображения модели (или классе моделей) тех аспектов реальной системы, которь связаны с тем, что, как следует из названия, эти системы действуют социальной среде. А характер эволюции социальной среды, < характеристики определяется "субъектами", давшими ей назван! социальной - людьми, которых отличает наличие целей, активность процессе достижения целей, психологические особенности поведения. Этс тезис будет развит в главах 2-5, и, в частности, на примере систе управления запасами на базе моделей, замкнутых по спросу [12,18,23].

1.2. Блок сбора и обработки экспертной информации

Этот блок представляет собой совокупность процедур (мстоди проведения интервью, опросов, анкетирования и пр.) извлечет; экспертных знаний и формируемой в результате разновидности ЭС. Однаю

в отличие от обычных систем извлечения знаний экспертные системы, которые входят в состав ЭСС, как правило, гораздо проще. Дело в том, что ЭСС разрабатываются для таких социально-экономических систем, по поводу которых имеется достаточно высокая степень уверенности в том, что та априорная и апостериорная информация, которой располагают разработчики и пользователи, по поводу способов функционирования и характеристик подобных систем достаточна для формирования "почти" полной модели описываемой системы. Как следует из п. 1.1, критерием такой "почти" достаточности объективных данных, вполне возможно и иллюзорной, является малость остаточной дисперсии для предварительной, "эскизной" модели системы, которая формируется на этапе предварительного обследования по априорным данным. Итак, сформулируем следующий вывод. Вывод 4:

Априорные данные, пополненные, быть может, той информацией, которая поступит в интервале от момента окончания предварительного обследования до момента создания эскизной модели, образуют обучающую выборку. Если остаточная дисперсия (или какая-либо другая аналогичная характеристика качества модели) окажется на этой обучающей выборке мала, то можно утверждать, что в конечном счете искомого качества управления можно будет достичь на пути создания ЭСС.

К сожалению, любые поиытки получить точные оценки уровня остаточной дисперсии, которые позволяли бы утверждать, что мы находимся в области применения экспертно-статистического подхода оказываются достаточно условными. Очевидно только, что при малых значениях остаточной дисперсии можно скорее всего говорить о выборе между классическими методами статистической идентификации и экспертно-статистическими методами. А с ростом остаточной дисперсии следует думать о границе, отделяющей экспертно-статистический подход от чисто экспертных методов, которые в конечном счете приводят к созданию

экспертных систем. Условность любых "строгих" выводов обусловлена тev что, как отмечено во введении, даже при малых значениях остаточно дисперсии (полученных на обучающей выборке!) нет никаких гарантий, чт ЛПР примет рекомендации, полученные по идентифицированной модели, исполнению. За подобным отказом может скрываться как ошибка ил нерешительность ЛПР, так и его уверенность в том, что обучающа выборка не является статистически представительной (не содержи информации о всех "режимах" функционирования описываемого объекта Однако, по опыту автора охарактеризовать экспертные границ] применимости разных подходов значениями отношения х К0РН квадратного из остаточной дисперсии к математическому ожиданик которые приводятся в следующей таблице.

Таблица 1.1

Статистическая Экспертно- Чисто

Тип подхода идентификация статистические экспертные

методы методы

X (в %) X < 20% Х-Ю - 60% г >30%

Взаимное наложение областей, указанных в таблице 1.1, подтверждае высказанную выше мысль о том, что возможность построения точны дискриминантных границ достаточно условна. Правда, из таблицы 1. следует вывод о том, что в интервале 20%<х<30% можно достаточн уверенно говорить о целесообразности применения именно экспертнс статистического подхода.

К тезису, содержащемуся в выводе 4, непосредственно примыкает еще одно утверждение относительно ЭСС, которое составляет сух следующего вывода.

Вывод 5:

Системы экспертно-статистической обработки дополняю/ традиционные СУ и ЭС и отличаются от ЭС тем, что дешевле проще (в части использования методологии искусственное интеллекта), так как не требуют применения специальн

организованных процедур извлечения знаний и формирования слишком сложных правил вывода.

Однако, последний вывод не является "запретом", который исключал бы создание по-настоящему развитой базы знаний и базы правил вывода, если в процессе разработки окажется, что возможность формирования "почти" объективного описания рассматриваемой социально-экономической системы не подтвердилась (см. п.1.1). Тем не менее в выводах 4 и 5 содержится основная характеристика различия между ЭСС и ЭС. Причем, если в выводе 5 это различие описывается на чисто качественном, можно было бы даже сказать, "вкусовом" уровне (хотя и здесь можно было бы использовать известные количественные меры степени сложности), то в выводе 4 постулируется основной показатель качества, индекс, расчет которого позволяет оценить, насколько достижимо требуемое качество решения задачи идентификации и синтеза системы управления на пути, избавленном от необходимости создания достаточно сложной ЭС.

Отметим, что "начинка" блока базисной модели может быть самой разной (см. главы 2-5). однако процедуры сбора и предварительной обработки экспертной информации оказываются по сути гораздо более однотипными при всем их зависящем от конкретного приложения содержательном многообразии. А именно, верно следующее утверждение.

Вывод 6:

Большая часть процедур сбора и предварительной обработки экспертной информации сводится к идентификации двухместных предпочтений ЛПР, то есть формальному описанию совокупности бинарных отношений предпочтения.

При этом, что касается процедур предварительной обработки собранной в результате взаимодействия с экспертами информации, то эти процедуры включают проверку непротиворечивости выстраиваемой в результате идентификации системы отношений с последующей корректировкой формируемой системы моделей отношений предпочтения.

1.3. Блок интеграции экспертной информации в ЭСС

Как и базисные, интеграционные модели могут быть совершен» разными и определяться характером рассматриваемой проблемы I соответствующей предметной областью. Как будет видно из дальнейшего, ] обоих блоках - блоке базисной модели и блоке интеграционной модели могут использоваться байесовы формулы, адаптивные модели и алгоритмы рекуррентные процедуры МНК, конструкции комбинаторной математики 1 многое другое.

Во всех случаях "исходным материалом" для пересчета является диало с экспертом (или экспертами), который может быть и очень простым, когд; эксперту предоставляется возможность "точечных" воздействий (чере созданные специально для этого "окна", см. п. 1.1) посредство) корректировки отдельных компонент базисной модели, и достаточн< изощренным. Диапазон формальных средств "интеграции", то есть способо: передачи таких воздействий в блок базисной модели чрезвычайно широк: о использования для корректировки самих результатов оптимизации, то ест итоговых характеристик уже выполненного процесса анализ; функционирования социально-экономической системы (дополнительны компоненты расширенного вектора состояния - в терминологии п.1.1) д> "полноправного" (по отношению к базисной мода и) участия в итогово/ анализе, когда, например, коэффициенты свергки (а во многи: рассмотренных случаях интеграция статистической и экспертно; информации выполнялась на базе линейной свертки) также пересчитываютс в процессе накопления информации о качестве формируемой модели. Такт образом, в результате эволюции ЭСС-моделей относительная важност данных статистической и экспертной природы может изменяться.

Если рассмотреть упомянутый во введении пример экспертно статистического подхода к решению задачи распознавания образов, Т1 выявится еще один возможный вариант выполнения интеграции, когд эксперты предоставляют некую информацию о "сравнительной степеш различимости" предъявляемых наблюдений по разным показателям. Эт информация накладывает определенные ограничения на решение задач!

распознавания, в результате меняя его. Однако, при всей несхожести математической техники очевидно общее: в обоих случаях точки зрения экспертов выступают дополнительным ограничением, которое должно обязательно учитываться. Имеется и еще один вариант введения экспертной информации - непосредственно в критериальную функцию базисной модели. Однако, в линейном случае можно, по крайней мере концептуально, отождествить эти способы интеграции экспертной и статистической информации в силу известной двойственности трактовки ограничений и критериев. В общем случае такие способы следует рассматривать отдельно, выбирая тот из них, который лучше отвечает выбранной предметной области и рассматриваемой проблеме.

Итак, последним выводом этой главы является следующее утверждение [38].

Вывод 7:

Во всех случаях точки зрения экспертов выступают либо дополнительным ограничением, либо в виде дополнительных составляющих критериальной функцию базисной модели.

2. Детерминированные базисные модели производственно-складских систем

2.1. Линейная модель производственно-складской системы

Большая производственно-складская система представляет соб> совокупность предприятий трех типов - поставщиков, баз и потребител [1]. Аналогичным образом может быть формализовано движен материальных потоков внутри крупного предприятия - в этом случ пришлось бы говорить о цехах-поставщиках (полуфабрикатов), внутренн: складах и цехах-потребителях [6, 9, 10]. Пусть число поставщиков /, чис; баз J и число потребителей К. В системе осуществляется распределение видов выпускаемой поставщиками продукции. Функционирование систем исследуется в интервале периода планирования [0, 7], который может бы разбит на N интервалов меньшей длительности т (например, Т - год, а 1 месяц).

Функционирование каждого из поставщиков характеризует' графиком (интенсивностью) выпуска каждого из производимых им вшк продукции: н',у(/),0</ < Г, здесь / - 1, 2.... , 1 - номер поставщика; /е М,, г,

М, - множество видов продукции, выпускаемой /-м поставщиком. Задан три вида ограничений: на суммарную интенсивность выпуска продукт-каждым поставщиком:

][>(/) «и*0«, /=1,2,...,/; (2.1а)

1еМ1

на общий объем выпуска продукции на протяжении всего перио; планирования [0, 7]: г

£ / = 1, 2...../; (2.16)

/еМ, 0

на объем выпуска в течение каждого из интервалов планирования:

лт

£ ]>г,Д0<//<И^\ / = 1, 2,... ,/; л = 1, 2...../V; (2.1в)

где верхний индекс "а" означает, что все правые части неравенств ограничений (2.1) соответствуют активизированным производственным мощностям. При этом активизированные производственные мощности представляют собой разносги между полными производственными мощностями и резервными производственными мощностями:

И',и(0 = И',С) - »','р)(0, = Щ - Щ(р\

Резервные производственные мощности предназначены для обеспечения возможности оперативной корректировки графиков производства при изменении долгосрочных и краткосрочных целей, которые стоят перед предприятиями-поставщиками. Естественно, предельным вариантом резервных производственных мощностей является случай реализации системы в виде '\JusT-in-Time" или, сокращенно, ЛТ-системы.

Для каждого потребителя по каждому виду продукции задан желаемый график потребления: :к, (I), 0 £ I < Т: к = I, 2,... , К\ 1еРк, где Рк -множество видов продукции, потребляемых А-м потребителем. Интенсивности (!) также могут удовлетворять ограничениям типа (2.1). Но в рассматриваемой системе потребление оконечных видов готовой продукции порождается внешними по отношению к системе "причинами", и введение подобных ограничений потребовало бы расширения модели с включением в нее модели "порождающей" потребление среды. Поэтому в рамках исследуемой модели такие ограничения, как символ контроля над тотреблением не вводятся. Вместо этого ниже будет введен ряд ограничений и уровни запасов в системе.

Заданы времена доставки продукции от каждого поставщика к

саждому потребителю / = 1, 2,... , / и к - 1, 2,... , К\ от каждого юставщика на каждую базу / = 1, 2,... , / и ]= I, 2,... , У; и от каждой >азы к каждому потребителю = 1,2,... и <:= 1, 2,..., АГ.

Пусть иЦ?(1), к,у2'(') и "д'М - интенсивности транспортных потоков фодукции от поставщиков к потребителям, от поставщиков на базы и с баз

к потребителям соответственно. Поскольку транспортная сеть явно не определена, ограничения на пропускные способности 'задаются только по пунктам отгрузки и выгрузки:

]=\ /=1 )=\ где величины и}'* и / = 1, 2,... ,/,у = 1, 2,... характеризуют

предельную величину суммарной интенсивности отгрузки у /-го поставщика инау-й базе соответственно, а величины Лр и = ¿=1,2,...,К —

предельную величину суммарной интенсивности выгрузки нау'-й базе и у к-го потребителя соответственно.

Через л-«,»«, и .^'(О обозначаются текущие уровни запасов

/-го вида продукции у /'-го поставщика, на у'-й базе и у к-то потребителя соответственно. Введем отдельные обозначения для начальных запасов (экономисты называют такие запасы переходящими):

4')(0) = .г^, л-^(0) = ^, л-®(0) = .г[й • Тогда с У461"0" введенных

обозначений имеем

4» (0 = *« + /М^-Х 1еМГ,

0 7=10 *=!<>

1=12'-м (14)

/=1 о к=\о

/=10 >10 о

/= 1,2...../; у = 1,2,... А' = 1,2,... ,К.

В формулах (2.4) интенсивности "-¿/(О, и - суть

интенсивности транспортировки 1-го вида продукции от поставщика / к потребителю к, от поставщика / на базу у и с базы у к потребителю £

соответственно. Очевидно, что интенсивности (0. и 0)

связаны с вновь введенными интенсивностями формулами

•£<« = »), «£»(0= И $(,) = (2.5)

ieMinPk leMj UPk

Именно выражения (2.5) следует подставить в формулы (2.3), чтобы получить конкретизацию записи ограничений на суммарные интенсивности погрузки и выгрузки.

Чтобы учесть действующие в реальной производственно-складской системе возмущения (в данном случае это отклонения от рассматриваемых детерминированных описаний), необходимо потребовать выполнения таких ограничений на текущие уровни запасов, в соответствии с которыми они должны быть больше некоторых заданных уровней (страховых запасов), значения которых не могут быть вычислены в рамках рассматриваемой детерминированной модели [13]. Пусть Ац, Bjt и С и - уровни страховых запасов по /-му виду продукции на складах j-ro поставщика, у'-й базы и А-го потребителя соответственно. Тогда для всех 7е[0,7] следует потребовать выполнения следующих неравенств (для всех значений /', j и к):

4"(0 s An, xf{t) > Bj„ 4? (0 > Ckt. (2.6)

Кроме ограничений (2.6), следует учесть ограничения на вместимость

складов. Пусть //<», Hf и Я<3) - максимально возможные уровни

запасов у поставщика I, на базе j и у потребителя к, то есть для всех /, j, к и всех t из интервала [0, 7]

/еЛ/,

<//)2>,у=1Д...,У; (2.7)

1еРк

Необходимость введения промежуточных баз в масштабных производственно-складских системах обусловлена несколькими причинами. Во-первых, создание двухкаскадных (синоним - двухуровневых) систем снабжения при разумном выборе размещения баз может приводить к снижению транспортных издержек за счет совмещения поставок для групп потребителей - с группировкой как по месту расположения потребителей: так и по поставляемым им видам продукции. Во-вторых, при решении вопросов оперативного управления производством на предприятиях-

потребителях время транзитной (то есть прямой) поставки в сумме с временем подыскания поставщика, который согласится осуществить экстренную поставку, может оказаться неприемлемо большим. В-третьих, если при назначении страховых запасов у потребителей, то есть величин Ск1, исходить из заданной для каждого потребителя вероятности выполнения производственной задачи, то можно существенно завысить оценку суммарного по всем потребителям страхового запаса, поскольку в процессе такого расчета, по существу, предполагается: что все потребители могут одновременно попасть в наихудшую ситуацию. Поэтому разумно, уменьшая страховые запасы Си у отдельных потребителей, создавать общие для групп потребителей страховые запасы Б^ на базах. Наконец, в-четвертых, при отправке продукции отдельным потребителям напрямую их заказы не позволяют рассчитывать на оптовые скидки по транспортным расходам. Обычно в рамках детерминированной модели производственно-складской системы пропорции между прямым (транзитным) и складским снабжением задаются в виде коэффициентов транзитных поставок а^, 0 < а д. < 1, г = 1, 2,..., /; к = 1, 2,..., К. Эти коэффициенты определяют относительный объем продукции а,х- (по всем видам продукции) /-го поставщика, которая попадает к А-му потребителю транзитом, то есть минуя базу.

Если ввести величины, характеризующие суммарный объем выпуска каждого вида продукции каждым поставщиком:

т

Щ = 7(0А, /еЛ/,-, (2.8)

и величины, характеризующие суммарный объем потребления каждого вида продукции каждым потребителем:

г

Zk! = \~-и№, 1еРк, (2.9)

о

то при заданном переходящем запасе (при переходе от конца предыдущего периода планирования к текущему периоду), обозначив соответствующие

изменения Дх^, Дт'^ и Дг{-/о для поставщиков, баз и потребителей

соответственно, можно записать кт j т

Щ - IJ~ IJ'f № = Дг®, / е МГ,

¿=10 7=10

/=1А...М (2.Ю)

i=l0 fc=»0

lap,.

'=1 О I о

Для каждого вида продукции заданы удельные издержки хранения единицы запаса в единицу времени ац, bjt и сц у поставщиков, на базе и у

потребителя соответственно. Задана также удельная величина транспортных затрат по каждому виду продукции у,-, которая равна затратам на транспортировку единицы продукции при единичном времени ее пребывания в пути. Чтобы определить суммарные транспортные затраты, заметим, что объем "запасов в пути", т.е. одновременно находящихся в процессе транспортировки объемов продукции /-го вида, для момента времени t равен

*/(n)c>=ii K^+ii К?<Т>Л+ХЕ <2">

i=U = l,_e(l) 1=1 7 = 7=1*=1,_е(Э)

Теперь можно записать выражения для суммарных затрат за период планирования:

М/еЛ//0 /=1/=1 О ЫЙ^О /=1 О

В результате задача о выборе оптимального плана снабжени: сводится к решению задачи минимизации функционала (2.12

посредством выбора начальных запасов лг^, х^ и интенсивноста поставок 4и(0. "уу'(0. ДЛЯ всех /, ], к, I и для всех моментов времен!

г е [О, Т] при учете ограничений (2.3), (2.6), (2.7), (2.10).

Если ввести дискретное время / = 0, 1,... , N так, что величина I будет соответствовать моменту Т. то поставленная задача может быт: сведена к задаче линейного программирования транспортного типа Другую форму записи задачи линейного программирования, котора: эквивалентна исходной непрерывной задаче, можно получить, если искат:

решение в классе функций интенсивности и^(г), н®(/) и являющихся

суммами конечного числа 5-функций.

Если размерность получающейся транспортной задачи чрезмерш велика, то можно попытаться найти субоптималыюе решение, использу. эвристическую практику поиска решений, сложившуюся в органа: управления материально-техническим снабжением высокого уровня. В это» случае ищутся суммарные объемы поставок (включая транзитные ] складские) от каждого поставщика к каждому потребителю. Чтобь проиллюстрировать идею, рассмотрим частный случа: однономенклатурной задачи (¿=1). Если считать, что все перевози осуществляются транзитом, то при учете того факта, что

о о

где индекс / в силу условия Ь-1 опущен, а через у^ обозначен суммарны! объем перевозок от /-го поставщика к А-му потребителю, можн< соответствующую задачу представить в виде: найти

/ к

ЙХМл* (2.13)

при учете ограничений вида

к

(2.14)

¿=1

/

$>»-Zt=A(2.15)

ы

где <7,- определяются формулой (2.8), a Zfc - формулой (2.9). Как и ранее,

величины Дх'^ и Axjkg представляют собой запланированные приращения

(в том числе, и отрицательные) переходящих запасов к следующему периоду планирования. Кроме того, стедует учитывать условия неотрицательности: у,к>0, / = 1,2,...,/; к = 1,2,...,К. (2.16)

Найденные в результате решения задачи минимизации функционала (2.13) при учете ограничений (2.14)-(2.16) значения yik можно использовать на втором этапе решения задачи, когда ищутся комбинированные планы перевозок, включающие складское снабжение. Для этого с помощью коэффициентов aik определяют ограничения на объемы транзитных перевозок, а именно:

Т

\i$(t)dt=ylkaik (217)

О

Замечание 2.1 [33, 38]. Использование эвристических алгоритмов для решения задач большой размерности всегда может быть "встроено" в некоторую систему экспертно-статистической обработки.

Заметим, что уже во введении была отмечена условность трактовки объективной информации как информации статистической. При этом >езусловно при оценке многих параметров моделей типа рассмотренных в том пункте, как и во всей главе 2, на самом деле придется обрабатывать

статистические сведения. Однако, даже принимая все параметры как данность, считая их значения заданными абсолютно достоверно, мы по-прежнему, в полном соответствии со сказанным во введении и главе 1, сохраняем возможность использования экспсртно-статистического подхода к решению задач типа (2.3), (2.6), (2.7), (2.10), (2.12) или (2.13)-(2.!7). При этом совокупность эвристических правил решения таких задач образует базу знаний, причем пополнение этой базы знаний осуществляется в результате диалога со специалистами двух типов: экспертами-ЛПР из той предметной области, к которой относится рассматриваемая социально-экономическая система - лучше всего, чтобы в качестве таковых были отобраны управленцы достаточно высокого уровня той конкретной организационной системы, для которой ведется разработка СУ, и математиками-прикладниками, которые могут оценить предлагаемые эвристические схемы. Однако, соблазн ограничить группу экспертов представителями только прикладной математики следует отбросить сразу, поскольку любая из глобальных детерминированных постановок задач (а именно таковы задачи этого пункта) является лишь приближением к реальной действительности. Поэтому только экспертам-предметникам известна подлинная плата за подобную аппроксимацию - ведь именно им приходится расплачиваться за неправильно выбранные решения.

2.2. Задача сглаживания

При решении транспортной задачи, описанной в п.2.1, осуществляется агрегирование переменных. В результате выделяются небольшие группы предприятий, которые в рамках рассматриваемой в п.2.1 производственно-складской системы оказываются "почти замкнутыми" в том смысле, что снабжение потребителей, попавших в такую группу, почти полностью завязано на потоки, продукции или полуфабрикатов, направляющиеся от поставщиков из этой же группы. Иначе говоря, отношение суммарных интенсивностей потоков поставок между группами к интенсивностям суммарных потоков поставок внутри групп есть малый параметр. При переформулировке задачи п.2.1 в дискретном времени соответствующие

"групповые" задачи оказываются задачами линейного программирования значительно меньшей размерности, чем исходная проблема. Оказывается, что в некоторых случаях для таких задач можно найти аналитическое решение не прибегая к дискретизации.

Рассмотрим для большей ясности изложения случай группы, состоящей из одного поставщика и одного потребителя [13, 34]. В результате решения задачи п.2.1 для этой пары определен полный объем ¡•г

поставок y = J0 "(t)dt, где u(t) - график поставок. Графики выпуска

продукции w(i) и ее потребления v(t) заданы для всех t € [О,Г]- Пусть эти функции измеримы по Лебегу. Удельные издержки хранения равны а и А у поставщика и потребителя соответственно, причем считается, что a>h. Учтем в дополнение к постановке проблемы в п.2.1 потери вследствие дефицита, введя в расчете на единичную нехватку коэффициент потерь с. Время поставки равно 0. Рассмотрим задачу определения оптимального по критерию

т т т

J = a\xt№ + h\xl(t)dt + c\xi(t)dt ( > )min, (2.18) о о о 0

где .v+ = max{0,.v}, a.v- = -min{0,.v}, графика поставок u*(t) и оптимальных начальных запасов „г*0 и х^о. считая, что конечные запасы (переходящие запасы для следующего периода планирования) должны совпадать с начальными. Тогда, используя методы теории оптимального управления, можно доказать следующую теорему [13].

Теорема 2.1. В сформулированных выше предположениях оптимальное решение задачи определяется следующими соотношениями:

(1) u(t) = w{t) за исключением множества точек лебеговой меры 0;

(2) .т*о=0, то есть в силу (1) запасы у поставщика при a>h тождественно равны 0;

(3) -Ym= шах í' [.(л) - и (? - 6)}Л - Л*, где Д* - решение следующего 0<1<.Га Jo

уравнения:

Здесь F(Д) - лебегова мера множества точек на оси времени в интервале [0,7], в которых график функции

x(t) = |"[)ф - в) - - m ах f 7 [r(j) - - 6)]¿r

jo 0£ísrj0

проходит ниже уровня Д.

Замечание 2.2 [15]. Уравнение (2.19) представляет собой

детерминированный аналог "классической" формулы для оптимального

уровня запаса в известной модели экономически обусловленного размера

партии поставки (EOQ-модель).

Полученные результаты легко обобщаются на случай более общих

функционалов, например, функционала вида [34]:

тт т т т

aj.^(t)dt +¿) ju2(t)di+Ы\u{t)dt+/¡J.t2 +сJ.y2~(0¿' -» min, (2.20) о о о о о К').*о)

а также на случай группы из нескольких поставщиков и потребителей [7,14,

34].

2.3. Задача управления буферными запасами в производственно-складской системе

Под буферными запасами в производственно-складской системе понимается та часть создаваемых в системе запасов, которая физически относится к внутренним элементам системы. Это могут быть, в частности, запасы на базах в трехуровневой системе, описанной в п.2.1, или запасы полуфабрикатов в производстве, то есть любые виды запасов, которые воз^йкают в системе, в связи с поддержанием реализуемых в рамках системы технологических процессов, на выходе которых возникают

соответствующие виды продукции, использующиеся в качестве входных продуктов для других элементов системы. Очевидно, что при организации управления производственно-складской системой все ее части должны работать согласованно - в идеале это работа с нулевыми запасами (JIT-технология) [см., например, W.I.Zangwill, From EOQ towards ZI II "Management Science", v.33, №10, pp. 1209-1233, 1987], а при наличии рассогласования темпов (именно этот случай мы и рассматриваем в настоящей работе) с минимально возможными запасами. При этом фактический минимум суммарного уровня запасов обусловлен тем, насколько качественно решаются задачи выбора темпов (а точнее, графиков) работы связываемых промежуточными буферными запасами участков производства. Такими участками могут быть предприятия-поставщики и предприятия-потребители в системе п.2.1 или отдельные цеха (технологические участки) в рамках одного предприятия [9, 10].

На этапе планирования (или проектирования системы) ключевым является вопрос о выборе желаемых графиков потребления г/(/), 1-1. 2,..., L, где / - номер вида продукции. В дальнейшем в силу предложенных интерпретаций запасов как "внутренних" для системы будем называть их запасами полуфабрикатов.

Эта задача является парной (двойственной) к проблеме п.2.1 и п.2.2, поскольку в рассматриваемом случае предполагается, что в выделенном участке рассматриваемой системы выбирается "спрос", а не, как обычно, правила управления запасами в виде стратегий пополнения запасов и начальных уровней запаса. Подобная инверсия не является "крамолой", а отражает комплексный характер проблемы, в которой в силу того, что отдельные звенья системы могут быть и поставщиками, и потребителями, а иногда и просто "перевшючными пунктами", возможны разные интерпретации характеристических процессов и в соответствии с этим -различные толкования способов управления системой. К тому же размерность глобальной постановки задачи достаточно велика, поэтому эдним из вариантов поиска оптимальных решений является построение

итеративных процессов, основанных на итерациях в пространства: порождаемой прямой и двойственной постановками задач.

Пусть скорость пополнения запасов по 1-му виду продукции интервале [0,7] известна и равна ц({). Средняя плата за выпуск готово продукции с использованием единицы объема полуфабрикатов 1-го ви; равна с/. Общий объем заказов на те виды готовой продукции, которь требуют использования 1-го вида полуфабрикатов, равен в интервале [0,! величине Z/, /=1, 2,... , L. Для выполнения единичного заказа с индексом требуется в среднем g/ единиц 1-го вида полуфабрикатов. При это затрачивается время (также в среднем) 0/. Будем считать, что расхс времени пропорционален объему заказа. Задан вектор начальных запасс полуфабрикатов \(0) = (.v,(0),... , */.(0))т, где верхним индексом "1 обозначена операция транспонирования.

Условия интегральной (для всего периода планировани сбалансированности возможностей выпуска с установленными задашь имеет вид:

Т

х(0) + J u {t)dt > diag(g)Z, (2.21)

0

где и(/)=(ц(0,- , uL(0))т, g=0?,,..., gL)T, Z=(Z,,... , ZL)T, а diag@=|a 8&\

диагональная матрица с элементами gt на главной диагонали (8у - инде:

Кронеккера). Пусть

1

x1(t) = .x,(0)+\u1(t)dt, /=1, 2.... , L. о

Обозначим через {itt}, /=1, 2,... , L, к = \, 2,... , Z,, совокупность решен! уравнения

min argU.r,(0/al = *}. * = 2>- . zi> ' = 2,- • L• <2-22)

Здесь min arg{) обозначает наименьший корень уравнения, заключенного фигурные скобки, а [л] - целую часть числа х. В силу условия (2.2

уравнение (2.22) имеет решения 1,к б [О, Т\ при всех I и к, причем некоторые решения 1/к при фиксированном значении / и разных значениях к могут совпадать. Простейший пример: 1п = //2 -■■■-'а, ПРи = В

дальнейшем такие совпадающие при фиксированном I корни уравнения (2.22) будут отождествляться и через т/;„, т = 1,... ,У( (У/ <2/), обозначаются не равные между собой корни уравнения (2.22) при фиксированном /. Каждому решению х!т можно поставить в соответствие число щт решении уравнения (2.22) таких, что цк - Т/,п • Физический смысл величин х!т и п1т очевиден: х]т - это моменты времени, к которым запас полуфабриката вида I пополняется партиен, кратной с точностью до наименьшего целого величине g|, а кратность пополнения равна п/т. Иначе говоря, в момент х1т появляется возможность осуществить выпуск дополнительного объема продукции в размере щт, для изготовления которой используется сырье в виде полуфабриката /. Упорядочим по возрастанию величины множество моментов {Т/„,}> / = 1, 2,... т = 1, 2,..., У/, обозначив элементы этого

множества {фг}, г = 1, 2,..., /?, где Фл-Фг + 1> г = 1> 2,—. а

соответствующие новой индексации значения п/т обозначим А'г.

Теперь, если различать заказы, соответствующие разным значениям г, то исходная ¿-номенклатурная задача преобразуется в /^-номенклатурную [34]. Эта задача представляет собой частный случай задачи о ранце и может быть представлена в виде следующей задачи линейного программирования: найти

(2.23)

при ограничениях

л

Х^л^Г-ф,, г = 1, 2,..., Я;

(2.24)

к=г

п, =0,1.....Мг, г = \, 2,..., К.

(2.25)

Величины г = 1, 2,..., Я, представляют собой соответствующим

образом упорядоченные (при переходе от ¿-мерной задачи к Я-мерной) значения 0/,с/, / = 1, Ь.

Пусть все Cj=\< а, следовательно, все 4=1. Тогда стоимостной критерий (2.23) преобразуется к виду

л

шах^Иг

г=\

(2.26)

и формализует требование максимизации общего объема выпуска продукции.

Можно показать [34], что к решению задачи (2.24)-(2.26) приводит применение следующего алгоритма.

Пусть - любой элемент множества {1, 2,... , Л} (в дальнейшем для

краткости будем обозначать это множество 1,Д), обладающий тем свойством, что

л, = гпгп лг.

Тогда оптимальное значение переменной пг[ равно

(2.27)

(2.28)

Пусть теперь - любой элемент множества Л® =1,/?\{г,} такой, что

5Г, = ПИП

Тогда, если г\ >г2, то

л,2 =тшШг,,

В противном случае, если /) < гг< то

Т-фг, -я,*^

I л

п. = тЫЛГ,,,

г-ч»

Пусть найдены оптимальные значения /г*,..., п^.., /<Л, тогда, чтобы определить п* поступим следующим образом. Для множества ..,/}} определим номер 7-+1 как

= аг§ пнп хг. «л«

(2.29)

Пусть через А; = {р^.р^.....р^}, р{-' < , обозначено упорядоченное по

„(О» М . „(О

возрастанию элементов р^* подмножество множества такое, что

р'р < гм (подмножество Л,- может быть пусто), тогда

л* = тт{Л^ пип_М°}, Уе!./,+! 7

(2.30)

где

__

(2.31)

-г

л

В записи (2.31) принято, что ]£(•)= 0. Применяя формулы (2.27)-(2.31),

*=//+!

можно определить все оптимальные значения п* = С^*» «г»--» лд)Т-

Найденные значения {ш*} становятся основой для определения соответствующего им оптимального графика выполнения заказов, а, следовательно, и искомого графика потребления. Однако, описанная выше или аналогичные ей процедуры достаточно сложны и, относясь к классу детерминированных моделей производственно-складских систем, могут быть оспорены в качестве рационального базиса принятия решений. Действительно, реальный характер процессов в системах управления запасами определяется под воздействием многих источников случайности, поэтому практически осмысленные процедуры выбора оптимальных или просто разумных решений даже на стадии планирования (синонимы:

проектирования, прикидки и т.д.) должны быть достаточно грубыми п< отношению к этим возмущениям. В связи с этим ниже рассматриваете: другой способ синтеза правила принятия решений, зависящего только о текущего состояния системы. Соответствующие процедуры могут быт использованы не только при планировании, но и при оперативно; управлении.

Пусть в момент времени / вектор 2(0 = - это вектор

компоненты которого представляют собой объемы еще не выполненных моменту < заказов, пересчитанных в объемы необходимых для и выполнения полуфабрикатов всех видов, а х(/) = (.*|(/).—».^¿('))Т " векто; текущих уровней запасов полуфабрикатов в момент /. Таким образок состояние системы в момент времени I характеризуется парой {'¿(¡), х(/)}.

Величина 6/(г) - это длительность интервала от текущего момента времени до первого момента времени, когда уровень запасов 1-го вил полуфабрикатов достигнет величины, достаточной для изготовления одно единицы продукции из полуфабриката / (под единицей понимаете минимальный технологически допустимый объем партии поставки). Тогл эвристическое правило, которое может быть использовано вмест предложенного точного алгоритма (2.27)-(2.31), представляет собо апробированное в модельных экспериментах и многочисленнь приложениях правило:

график формируется так, что каждый раз выполняется заказ с таким номером I, для которого достигается

Пусть

е>о

тш{0/(г) -ьй/!.

(2.32)

Рассмотрим теперь собственно задачу оперативного управления запасами полуфабрикатов (или, что то же самое, процессом выпуска полуфабрикатов), когда желаемые графики потребления уже определены [25].

Допустим, что в любой произвольно взятый момент времени / может вестись выпуск не более одного вида полуфабриката. Время дискретно: / б 1, Г, а в качестве единицы измерения времени выбран наименьший общий делитель 8= НОД(5|,52,...,6^), где 5/ - это минимально допустимое технологически время выпуска полуфабриката /.

Тогда к моменту / уровень запасов полуфабриката вида / может быть представлен в виде

(2.33)

Т=1

где - начальный запас полуфабриката вида /, {г/^*}^}-1 - уже сформированная до момента I часть оптимального графика выпуска полуфабриката /, а \:{!)}ТГ1'[ - график потребления полуфабриката /. Введем величину

= ' + Т. (2.34)

т=1

Пусть

т}0 = Бир {/'-/: >0}, / =1,2,...,/.. (2.35)

Очевидно, что физический смысл величины т^ - это интервал времени от текущего момента г до момента первого обнуления запаса полуфабриката вида / при условии, что начиная с момента г выпуск этого полуфабриката не ведется (см. формулу (2.34)). В связи с этим естественно ввести характеристическую величину

Точ= тахт}0 (2.36)

/с!Х

и назвать ее интервалом оперативного управления. Кроме величин 1

необходимо ввести связанные с ними величины Р^, которые представля собой минимально допустимые объемы партий полуфабрикатов, котор должны быть выпущены до момента (в отсчете от текущего момс! времени г, то есть время теперь уже определяется в отсчете от текущ! момента). Используя введенные конструкции, нетрудно выписг

выражения для расчета величин Р®.

Считается, что для всех ге\Т заданы ограничения

0<«р<ц«тах/=1, г..., ь. (2.37)

Для простоты записи считается, что ц'/л = ил?» ' = > то есть пРав части ограничений (2.37) не зависят от времени /. Пусть также расход! матрица <2 размера ЬхМ характеризует потребление М видов сырья п изготовлении L видов полуфабрикатов, то есть соответствующий элем<

сцт, I - 1, 2..... Ц т = 1, 2,... , М - это расход т-го вида сырья

изготовление одной единицы полуфабриката/. Пусть

п}^ = 1, если в момент времени I, то есть на /-м шаге

ведется выпуск /-го вида полуфабрикатов, (2.38) = 0, в противном случае. Введение так определенных величин обусловлено тем, что как следует теории оптимального управления соответствующие оптимальн траектории формируются на базе граничных значений оптимальн управлений, когда используются только левые (выпуска нет), либо прав (выпуск ведется с максимально возможной интенсивностью) ча( неравенств (2.37).

/|\ /дл -г

Задан вектор начальных запасов сырья у0 .•••,.Уо ) • гРаФ1 поступления сырья {Х.(,ш)}, т = 1,2,...,Л/;/ = 1Д...,7^у, и множество г индексов (/,А), характеризующих технологически исключенные вариан

переналадок, когда после выпуска полуфабриката I выпуск полуфабриката к оказывается невозможным.

Тогда множество допустимых графиков выпуска полуфабрикатов

в интервале оперативного управления fel,7¿y должно

удовлетворять следующей системе ограничений: L _

V/ е 1,Тоу; (2.39)

м

+ VíeíX;; (2.40) t=i i=i

V _

>/><*, V/ б 1,L; (2.41)

i=i

и,(0 + <1, Vi s 1,Гоу-1, Щ к) 6 Я . (2.42)

Если в качестве критерия выбрать минимум, среднего суммарного запаса полуфабрикатов (такие "чисто натуральные" критерии, как, например, и критерий минимального времени изготовления, часто более употребимы, чем критерии составные - например, экономические), то после некоторых преобразований можно получить, что задача о выборе оптимальных графиков выпуска полуфабрикатов сводится к поиску L Тоу

min £14%(Тоу ~ t + 1)п'<° (2.43)

w /=w=l

при выполнении ограничений (2.38)-(2.42).

Естественно, что к содержанию этого, как и предыдущего пункта, в полной мере применимо замечание 2.1 (см. п.2.1).

3. Базисные модели систем, замкнутых по спросу

Одним из самых популярных у "исследователей операций" классо! социально-экономических систем являются системы управления запасам! (см., например, "классическую" книгу Дж.Хедли, Т.Уайтин "Анализ си стел управления запасами". М.: "Наука", 1969). Это объясняется многим! причинами, важнейшими из которых являются: (1) широта практической применения решений задач управления запасами, (2) наличие прекрасно! программной поддержки, (3) возможность получения достаточно глубоки; и общих аналитических результатов, (4) очевидные связи между теорие! запасов и такими далеко продвинутыми прикладными технико математическими дисциплинами как общая теория надежности и теорш массового обслуживания.

В данной главе мы рассмотрим существенное развитие классические моделей теории систем запасания, связанное с применением этих моделей в качестве базисных моделей экспертно-статистических систем управления социально-экономическими объектами. В рассматриваемом ниже новом классе моделей управления запасами впервые нашли отражение социально-психологические аспекты поведения соответствующих систем запасания в их взаимодействии со средой, в рамках которой формируется одна из главных характеристик этих систем - спрос. Характеристика, в которой агрегируются поведение и реакции миллионов человеческих индивидуумов и обслуживающих их интересы многих тысяч предприятий и фирм.

При построении математических моделей управления запасами необходимо задать модель спроса, выбрать класс стратегий управления запасами и критерий оптимальности. В "классических" моделях управления запасами предполагается, что описание спроса не зависит от характера функционирования складской системы. В результате эти модели оказываются "разомкнутыми" в том смысле, что детерминированные или вероятностные характеристики спроса предполагаются заданными извне, то есть не зависящими от состояния самой системы снабжения. Практическое использование таких моделей приводит к дополнительным затратам и даже, в некоторых случаях, к неустойчивости, связанными с угратой доверия

потребителей к системе снабжения, не удовлетворяющей в полной мере адресуемого ей спроса. При этом можно выделить два типа реакций: положительная и отрицательная обратные связи. В первом случае, характерном для централизованной, чисто плановой, директивной и, наконец, монопольной экономики, с ростом уровня дефицита растет и спрос: система теряет устойчивость и выходит на ограничения, если они есть [8]. Во втором случае, который обусловлен рыночным механизмом конкуренции, обратная связь отрицательна: рост дефицита в рамках недостаточного предложения приводит к снижению спроса (быть может, временному). Одним из объяснений этого явления может служить отказ от услуг привычной фирмы и переадресация спроса другим фирмам, которые предлагают в рассматриваемом секторе рынка аналогичные товары (первые упоминания на эту тему можно найти в следующих работах: B.L.Scwartz. "Optimal Inventory Policies in Peturbed Demand Models"// "Management Science", v. 16, №4, pp.508-518, 1970; G.E.Gaine, R.G.Plaut. "Optimal Inventory Policy when Stockout alter Demand" // "Naval Research logistic Quarterly", v. 12, №1, pp.56-65, 1976; R.Gupta. "Inventory Model for Stock-Dependent Consumption Rate" // "Operations Research", v.23, №1, pp. 19-24, 1986).

Фактически оба варианта реакции почти никогда не наблюдаются в чистом виде. Однако, по типу регистрируемой обратной связи можно достаточно точно определить характеристику рассматриваемого сектора рынка, образно выражаясь, степень его "рыночности" или, напротив, степень его "монополизации".

В дальнейшем будем называть системы снабжения, в которых заметно проявляется действие указанной выше обратной связи вне зависимости от ее типа, системами снабжения, замкнутыми по спросу. При идентификации таких систем соответствующие модели будем называть моделями управления запасами, замкнутыми по спросу [8, 12, 18, 22, 26,29,31,34].

3.1. Детерминированные модели замкнутых по спросу систем управления запасами: критерий суммарных затрат

Рассмотрим функционирование однономенклатурной систем1 снабжения в интервале планирования [0, 7] в дискретном времени, то ест Т = Л^т, где т - период контроля за состоянием запасов, а Г - натурально число. Отсчет времени ведется в обратном направлении, от конца период планирования, поэтому в дальнейшем момент 1„ = Т—лт - это момен времени, который отстоит от конца периода планирования на п "шагов длительности т. Считается, что все операции над хранящимся на склад запасом (регистрация уровней наличного запаса и дефицита, состояни хранимых товаров, заказ новой партии товаров, получение новой партии отпуск товаров потребителям и т.д.) могут быть произведены только 1 моменты времени г„, л = 0, I,... ,Л'. Критерий оптимальности минимизация суммарных дисконтированных затрат, а состояние системь снабжения будет характеризоваться в каждый момент времени фиктивны* уровнем запасов, который равен сумме наличного запаса и так называемы: "запасов в пути", то есть уже поданных системой снабжения, но еще н< полученных на склад заказов на пополнение запаса, за вычетом еще н< удовлетворенной части спроса.

Итак, пусть л-„ - фиктивный уровень запасов непосредственно пере; моментом г„ (или, просто, моментом л), то есть в момент с„ -О Предположим для простоты, что поставка мгновенна, то есть время в от момента подачи заказа до его поступления на склад равно 0. Через у„ и гл обозначаются фиктивный уровень запасов после подачи заказа на п-м шаге (за п шагов до конца периода планирования) и спрос на и-м шаге соответственно. Нетрудно видеть, что во введенных обозначениях размер заказа на л-м шаге равен величине ип — уп-х„. Издержки по подаче заказа размера и составляют величину (А + Ьи) при и > 0. Одношаговые издержки хранения и издержки вследствие дефицита считаются пропорциональными уровню запасов в конце шага, причем затраты на хранение пропорциональны с коэффициентом Л положительной части запаса:

величине х* ~ шах{0,.х), а потери вследствие дефицита пропорциональны с коэффициентом d отрицательной части запаса: величине х~ = гпах{0,-.«}. Будущие затраты дисконтируются с коэффициентом переоценки на каждом шаге ß, 0 < ß ä 1. Единственным ограничением на размер заказа ип считается условие ип>. О, п = 1, 2,..., N.

Будем считать, что эффект замкнутости по спросу характеризуется "конечной памятью" [8, 34J, то есть существует число т< N такое, что спрос z„ на п-м шаге зависит только от т' = min {w, N — п} последних значений остаточного запаса в моменты (напомним - в обратном времени) хп+т'-2>~- 'хп- Чтобы избежать усложнения записи, будем считать, что число последних значений остаточного запаса, от которых зависит текущий спрос всегда равно т. Это вполне естественное предположение, которое мы подтвердим несколько позже. Пока лишь отметим, что при m>N-n-1, то есть когда п + т-1 и несколько следующих значений больше, чем N (то есть в прямом времени эти моменты отрицательны, когда мы могли не знать ситуации, или она не имела для нас значения, или, наконец, системы просто не существовало), то для таких моментов времени будем полагать, что запас х был равен некоторой фиксированной величине >0.

Итак, пусть х„(т) = (тл+ст_|,.тп+т_2,...,.гл)г - вектор состояния запаса в момент времени п. Будем считать, что спрос на л-м шаге определяется заданной функцией

= (3.1)

•> Формула (3.1) является достаточно общей записью задания функций спроса. Например, сезонный спрос с периодом К [28] может быть задан формулой (3.1), в которой функция \{/„ представляет собой функцию вида ^(х»,^,а) =2,(а,гт|,а2), где - функция от вектора параметров а,,

заданная в точках ; = 0, 1.....К, а / = [(/V - п)/К], где через [л] обозначена целая

часть числа .V.

где а - известный вектор параметров, который является общим для всех функций у„, л = 1Д..., jV . В частности, одним из способов задания функций может быть выбор [29]

а) = рп + у(хи(/я),2в+1,а), (3.2) где р„ - заданные числа, а у - известная функция от x„(m), zn+l и а. Значение xN, начального запаса в прямом времени, считается известным.

Тогда, если через C^(z,x„(m)) обозначить минимально возможное значение суммарных дисконтированных затрат на содержание системы снабжения для п последних шагов, то можно записать следующие уравнения динамического программирования:

Co(;,x(w)) = 0 VrS 0л Vx(/n) е Rm, (3.3а)

C*(r,x„(w)) = min {\(у-хп)[А + Цу-х„)] +

Цг,У,хп(м)) + РС^-1(Уя(х„(т),:,а).х„_,(ш))}, (3.36)

V2>0AVx„(m)eR"1, n = l,Z... ,N.

Здесь R"1 - /и-мерное евклидово пространство; 1(.т) - функция единичного скачка:

если .Y>0,

"ß

если .v<0; Ц:,у,х„(т)) - одношаговые издержки:

пУ 14уя(хл(т),2,а)-у], если V„->'>0; х„_,(ш) - вектор состояния на (п - 1)-м шаге:

xn.,(w) = (.Tn+m_2,...,.Tn, у-\1/п(х„(ш), - а))г. (3.5)

В частном случае, когда т = 1 и отсутствует зависимость спроса от его предыдущего значения -п+1, то есть когда функция является функцией только двух аргументов:

хуп(хп(т),2, а))= фСгп,а), уравнения (3.3) приобретают вид Со(*) = 0 УдтеИ1,

С'пЬд=пст{1(у ~ х)[Л+Ку- ■*)}+Ну, х)+- срСц а))},

(3.7а)

(3.6)

УдгеИ, п = 1Д... ,ЛГ.

(3.76)

Вид функций у п(хп(т), г, л)) или фОг„,а) определяется конкретным приложением. Отметим, что наиболее часто встречается случай, когда в варианте, определяемом формулой (3.6), функции ф„ задаются формулой (3.1), а функция ф обладает тем свойством, что ф=0 при х > х0, где .г0 < 0 - заданное чисто. В более общем случае следует говорить о существовании выпуклого подмножества Х0 пространства , которое содфжит в себе положительный ортаит Я™ пространства Л"1.

3.2. Детермиинрованные модели замкнутых по спросу систем управления запасами: критерий суммарной прибыли

Пусть доходы от продажи хранимого товара пропорциональны объему продаж с коэффициентом Ь, а расходы в единицу времени на хранение пропорциональны уровню запасов с коэффициентом Л, удельные потери вследствие дефицита характеризуются коэффициентом ¿.

Стационарная модель [22]. Время дискретно. Спрос имеет постоянную интенсивность А.. Размер заказа на пополнение запасов равен м. В момент прихода поставки имеется задолженный спрос в размер я", который удовлетворяется из поставки (мгновенной). Очевидно, что г, где г - точка подачи заказа на пополнение запасов. Если через П обозначить размер прибыли в единицу времени, то в соответствии с "классической" теорией

(3.8)

2 и и

Формула (3.8) выписана с учетом стационарности поведения рассматриваемой системы, в которой на каждом временном такте (шаге) воспроизводится одна и та же картина.

Чтобы оценить потери прибыли из-за утраты "доверия" в связи с наличием постоянного уровня дефицита в момент подачи заказов на пополнение запасов в размере z~, сделаем предположение, что введенная формулой (3.1) функция vt»(x(m),z,a)) в рассматриваемом стационарном случае должна быть устроена так, что потенциально возможная (в отсутствие дефицита) интенсивность спроса Х0 при наличии дефицита в

размере z уменьшается пропорционально величине (1+ДЭто предположение вполне естественно, поскольку рассматривается достаточно популярный в теории вариант зависимости, которая близка к обратно пропорциональной относительному уровню дефицита n-z~/u со

"смягченным" поведением в точке z~- 0 (очень низкий уровень дефицита сказываться не должен).

Итак, предполагается, что фактическая интенсивность спроса X определяется соотношением

* = = (3.9)

1 + itAu

Замечание 3.1. Если рассматривается случай монопольной экономики, то, как почти очевидно,

Г(зг) = 1 + жАи.

Теперь, если предположить, что весовая функция нанесенного потребителям "убытка", то есть временная реакция на единичную нехватку, задана и равна g(t) >0, Vie [0,°°), то, как нетрудно показать

*> В этом варианте становится очевидным, что рассматривается случай конкурентной экономики, хотя, и это будет ясно из замечания 3.1, способ перезаписи основных соотношений п.3.2 для случая монопольной экономики почти очевиден.

1д(0<И = Аи. (3.10)

о

Таким образом, физический смысл величины Ли заключается в том, что она равна общему снижению (в условиях монопольной экономию! - не снижение, а увеличение спроса) потребительского спроса в ответ на единичный "импульс дефицита" (единичную нехватку).

Процедуры идентификации функции д(0 > О, е [0, <*»), суть обычные процедуры идентификации весовой функции.

Нестационарная модель [28]. Пусть время, как и уровень запасов, непрерывно. Политика управления запасами задается набором пар {ы/,г/}, где и{ - это размер г-го заказа, а т\ - точка подачи следующего (/+1)-го заказа. По существу, /■/ - это размер задолженного спроса к моменту подачи (<+ 1)-го заказа). Поставки мгновенны. Цена единицы товара по-прежнему Ь, удельные издержки хранения в единицу времени равны Л. При этом будем полагать, что все потери вследствие дефицита обусловлены не "мифическим" (см. обсуждение в п. 1.1) коэффициентом а лишь утратой доверия потребителей. Назовем введенную ранее величину л коэффициентом разочарования, по существу, (1 - л) - это значение известного в теории уровня обслуживания. При этом сама по себе величина я (в рассматриваемой постановке задачи*' ) не является элементом стратегии управления запасами, но есть следствие выбранной стратегии. Так, если для всех I значения щ и г/одинаковы, то есть и/ = и, а = г, то л = г/и.

В рассматриваемом непрерывном случае при ничем не ограниченном выборе значений щ и г/ искомая политика управления запасами может свести издержки к нулю за счет непрерывного пополнения запасов. Чтобы исключить это тривиальное решение вводятся какие-то ограничения на значения и/ и г/ вида = 0. Ниже рассматривается несколько

примеров введения таких ограничений. Простейший вариант, когда

Естественно, можно рассматривать способ управления, состоящий в том, что к включается в стратегию управления запасами. Тогда задача сводится к минимизации полных средних суммарных затрат - критерию п.3.1ю

задается фиксированный (минимальный) размер партии поставки и0. Тогда и/ = и0 для всех /, то есть Н,(ц, /;) = НДц) = щ- ц,. Используя конструкцию ограничений

н /(«¿»Гг) = 0 . (3.11)

снова рассмотрим стационарный случай. Нетрудно получить, что для системы с учетом неудовлетворенных требований средняя прибыль в единицу времени составит

„ \0Ь к (и-г)2

п= ; .--г1-—, (3.12а)

1 + гАи1и 2 и

а для системы, в которой учегг неудовлетворенных требований не ведется, средняя прибыль составит

п = Х0Ь(и-г)_Ни-г)2 (3{2б)

и + г&и 2 и

Теперь несложно решить задачу выбора оптимальных по критериям (3.12а) или (3.126) параметров стратегии управления запасами при учете ограничения (3.11).

3-3. Вероятностные модели замкнутых по спросу систем управления запасами

Пусть последовательность значений спроса {-„)п=\ является последовательностью случайных величин таких, что распределение величины гп на л-м шаге зависит от значения спроса на предыдущем (п+1)-м шаге и от вектора х„(ш) остаточных значений запасов на т последних шагах. Охарактеризуем эту зависимость условной плотностью вероятности 1^(2я|;я+1,х„(/и)). Как и в детерминированном случае, необходимо задать значения ^+1,...,лЛГ+,„_1 (т >2).

Тогда для минимально возможных средних полных затрат при учете дисконтирования можно выписать следующие уравнения динамического программирования [34]:

Co(r,x(/w)) = 0 Vz > 0 а Ух(ш) s Rm, (3.13а)

С*(г,хл(т)) = min {1 {у-хп)[А + Цу-хй)] +

«о

+ L(z,y,xn(m))^C*n_x{z\xn^(m))^zxn(m))Jz'}, (3.136)

о

VzäOAVx„(w) eROT, я = 1,2,... ,N. Здесь одношаговые издержки определяются формулой

Д2,у,хл(/п)) = АЕ^{0'--')+|-',хл(т)}+^...{(г'-7)+Мл(/м)}. (3.14)

где условные математические ожидания в правой части вычисляются по формулам

о

(3.15)

Е AV ~ 7)+Кхл(ш)} = J(2'" у)Щг,хп(т))<&. о

При этом вектор состояния на (п - 1)-м шаге равен

x-„-\(rri) = (xn+m_2,...,x„,y-z')T. (3.16)

Теорема 3.1 [34]. Пусть математические ожидания, задаваемые формулами (3.15) равномерно ограничены для

Vr >0aVx„(w) 6 R"\ п —1,2,...,//. Тогда при ß<l и существует

непрерывный как функция соответствующих переменных предел

lim C*(r,x(m)) = C*(-, x(m)), причем этот предел удовлетворяет следующему

в-»—

функциональному уравнению:

ео

С(* = nin у, х(т))+ßjc V. х'(шМф,х(*'},

У2* о

(3.17)

где

x(m) = (.v(1),... ..т^-1», л(т))г; \'(т) = (.t<2),... ,.r(m), y-zY ■ (3-18) Как и в детерминированном варианте, рассмотрим важный частный случай, когда т = 1 и плотность д не зависит от г, а именно:

d(z'|z,xn(m))=e(z1xB). (3.19)

В этом случае уравнения (3.13) приобретают вид Сц(х)=0 V.veR1,

C;(x)=nm{10'-xX.i+%-.T)]+/4j;.T)+ßjC10--)0(4r>t, (3.20)

о

V.veR1, п = 1,2,... ,N. 33.1. Регрессионная модель спроса

Допустим, что спрос описывается регрессионной моделью [34], представляющей собой стохастический аналог детерминированной модели (3.2), а именно:

гл = У(х„(ш).:п+|,а) + ел, n = (3-21)

где \(/ - известные детерминированные функции от спроса zn+i на предыдущем (п + 1)-м шаге (напомним, время п - обратное) и от вектора а параметров, который в этом разделе предполагается известным. Процесс {ел; л = 1Д...} представляет собой дискретный по времени стационарный белый шум с плотностью /(л). Легко видеть, что задание уравнений регрессии (3.21) - это частный случай описания спроса с помощью условных плотностей тЭ(гл]:л+|,хп(ж)). Действительно, в этом варианте имеем

ö(z„|--„+1,x„(m)) = Л-л " V(x„(/n),2л+1. а)) • (3.22)

Теперь уравнения динамического программирования (3.13) приобретают вид:

CB*(z,x„(m)) = min (3.23)

У^п

о

V* >0aVX„(W)еR"1, n = \,%...,N.

Как и в детерминированном варианте, рассмотрим частный случай отсутствия зависимости от z„+i и т = 1, когда функции заменяются функциями фл:

Ч/(хл(т),гл+1,а) = ф(д:л,а). (3.24)

Тогда уравнения (3.23) приобретают следующий вид:

C0*(.v)=0 V.veR1, (3.25а)

С'п(х) = min {!(>-.x)[/i +Цу-х)]+Цу,х)+,

ytx

«о

V.reR1, л=1Д... ,N. (3.256)

о

Справедлива следующая теорема о двухуровневости оптимальных стратегий управления запасами.

Пусть Rn - наименьшее значение у, доставляющее минимум следующему выражению:

ее

Fn(>) = by+hZz(y-z)+ + cIE2(z—})+ +ßJc;40-_-)/(rMr, (3.26)

о

а г„-кореньуравнения

ад^Л+ад,), (3.27)

обладающий тем свойством, что он меньше или равен /?„ (легко показать, что равенство реализуется только при /1=0 и, в любом случае, корень гп единствен [22]).

Теорема 3.2 [12]. Пусть функция (р(дс,а) удовлетворяет следующим условиям:

1 Функция ср(-т, а) дифференцируема и выпукла по переменной .г. 20. а) = 0, У*>дг0,.г0<0. 30. (р(дг,а)>0, У.г<.т0.

Тогда оптимальный размер заказа и*(х) за п шагов до конца периода планирования в состоянии .т определяется по формуле:

ч } 0 ДЛЯ х>г„,

«лМЧ,, , , , ^ (3-28)

- дг+ср(.г, а) для х<г„.

Функция Р„(у) и аналогичные ей конструкции играют особую роль в задачах управления запасами, включая все переменные компоненты затрат, которые связаны с функционированием системы снабжения в течение одного временного такта - "шага". В частности, одним из наиболее популярных приемов формирования субоптимальных стратегий управления запасами является использование так называемых "близоруких стратегий", когда на каждом шаге минимизируется текущее среднее значение полных одношаговых затрат. В этом случае вместо Р„(у) используется функция

НУ):

М СЮ

Р(у) = Ьу + к\ (у - :)/(:)<!;+(г - >>)Д;)Л, (3.29)

о

Минимум этой функции достигается в точке R, которая является решением уравнения

F(R) ~(d~b)/(d+h), (3.30)

X

где F(x) = J f(Qdc, - функция распределения. Тогда величина г, о

соответствующая точке R, определится из уравнения (3.28), в которое вместо Rn подставляется R и, как можно показать уравнение для определения г приобретет вид:

R

(b-d)r+(h + d)[rF(r) + J xf(x)dx] -A = 0. (3.31)

r

3.4. Адаптивные схемы управления запасами с использованием замкнутых по спросу моделей

3.4.1. Банесовы алгоритмы

Рассмотрим систему, описанную соотношениями (3.21-23). Пусть в начальный момент времени t = 0 (в обратном времени это соответствует моменту N) точное значение вектора параметров а регрессионной модели неизвестно. Причем доступная к моменту времени / = 0 информация о векторе а представлена в виде априорного распределения dG^(а) (стилтьесова форма записи). Пусть к л-му шагу на основе поступившей к этому моменту времени информации сформировано апостериорное распределение dGn(а). Тогда, если на п-м шаге реализуется значение спроса zn, то, как нетрудно видеть, апостериорное распределение вектора параметров а к («-1)-му шагу (переход осуществляется в прямом времени, отсчет - в обратном) будет определяться формулой

а))Л?л(а)

аеА

где А - множество возможных значений параметра а.

Пусть теперь через В*(г,\а(т),(Юп) обозначено минимально возможное значение средних суммарных дисконтированных затрат для л-шагового процесса, который начинается из состояния х„(т) при последнем значении спроса г (за и + 1 шаг до конца периода планирования) и при условии, что накопленная к текущему моменту времени информация о векторе параметров а сосредоточена в распределении <Юа. Тогда можно выписать следующие уравнения динамического программирования [34]:

В0(2,х(т),с1С) = О V;>0лУх(/я) еКгалУ(?. (3.33а)

Втп{:,хп{т),аОп) = тт{10>-*л)[Л + г0>-.г„)]+

м

+ |мг, у, хл(т))с/(7л (а)+Р ][/С. (-', х„_, аеА 0

х |/(г'-у(хл(т),?,а)Л7л(а)]^'}, (3.336)

аеА

Уг>ОлУхя(т)еК'"лУС, л = 1Д... ,АГ.

м

где ^,хл(от)) = :0Л:'-¥(хлИ, а)Л'+

о

м

«*/<='- уЖ*--, (3.34)

о

распределение Л7л_|(а) рассчитывается по формуле (3.32), а х„_|(т) - по формуле (3.16).

3.4.2. Адаптивные алгоритмы

В этом разделе будут рассмотрены одношаговые ("близорукие") критерии оптимальности, см. формулу (3.29), или критерии типа достижения заданного уровня обслуживания потребителей [16, 17, 19,23,24, 29,34].

Одношаговый критерий средних сулшарных затрат. Надежные поставки. Пусть t - О, I,... - дискретное время (в прямом отсчете), .v, - фиктивный уровень запасов в момент времени /, z,+I - спрос на (/+1)-м шаге в интервале между моментами i и f+1; и, - размер заказа в момент времени /. Пока будем считать, что величина поставки совпадает с размером заказа. Время запаздывания поставки 0 равно 0. Динамика изменения уровня запаса описывается соотношением

x0=g (начальное условие), (3.35)

x,+i = х, "-Л-1 ' =0. !>- (3-36)

Спрос описывается регрессионной моделью типа (3.24), в которой мы, однако, опустим зависимость от вектора параметров а, а именно:

*н.|=Ф<*«) + г/. '=0- (3-37)

где ф - заданная функция от .г,, {е,} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с неизвестной плотностью вероятности _/(•).

Предполагается, что выполнены условия 1°-3° теоремы 3.2 на функцию ф. Таким образом, в силу теоремы 3.2 оптимальная стратегия является двухуровневой и оптимальные значения параметров Лиг этой стратегии являются решениями уравнений (3.31)-(3.32). Из этих уравнений следует, что для оценок параметров R и г справедливы следующие адаптивные алгоритмы:

Аи =Rl-yl[4x,-£,)-(h-b)l(h+cf)], (3.38)

r,+i = h - Y,l(d~h)i(d + hYrt -rtЩ -e,) + АI(h+d)- e, 1(Л, - e,)l(e, -7,)],

(3.39)

где величина е, вычисляется по наблюдаемым значениям х, и 2,+( с использованием формулы (3.37): с, =г,+1 -ср(х,). В алгоритмах (3.38), (3.39) последовательности коэффициентов удовлетворяют обычным условиям алгоритмов стохастической аппроксимации:

¿у, 2>,2<~, ¿у; =~, ¿(7/')2<-• (3-40)

(=0 (=0 <=0 1=0

Оптимальные значения ц при уже найденных оценках Л, и гг опредляются по формуле

ц=\°. да Х'>;" (3.41)

[Л, -х,+ср(х,) для .V, <гг.

Заданное значение уровня обслуживания. Наделение поставки. Пусть задано желаемое значение уровня обслуживания р, 0 < р < 1, которое определяет вероятность отсутствия дефицита. Требуется минимизировать

+"г)-р]2- (3.42)

Система по-прежнему описывается соотношениями (3.35), (3.36) и, как и выше, размер поставки совпадает с размером заказа.

Если обозначить у, = х,+и,, то для выбора оптимального по критерию минимума / значения величины у, можно воспользоваться адаптивным алгоритмом вида

Л+1 = Л -ф(*|)- Е|)-Р]. О-«)

где, как и выше, е, = г/+( -<р(х(). Теперь можно рассчитать оптимальный размер заказа :

(3-44)

где.т(+| - уже известный уровень запаса в момент времени / + 1.

Критерий средних суммарных затрат. Ненадежные поставки. Предположим, что существует, быть может, отличная от 1 вероятность р получения поданного заказа: 0</><1, - которая априори считается неизвестной. В этом случае при подаче заказа размера и, фактический размер поставки (по-прежнему, 6 = 0) составит:

щ = щ с вероятностью р,

(3.45)

ц=0 с вероятностью 1 -р.

Теперь в формуле (3.37) величина ut заменяется величиной и\:

/ = 0,1,... (3.46)

Сохраняя все остальные положения, принятые для случая надежных поставок, можно получить, что оптимальное значение верхнего уровня R двухуровневой стратегии управления запасами по-прежнему является решением уравнения (3.30). Однако, для отыскания оптимального значения г (точки подачи заказа) необходимо решить уравнение, отличное от (3.31):

R

(b-d)rp+(h+d)[rF(r)p+pjxf(x)dx]-A = 0. (3.47)

г

Теперь нетрудно видоизменить уравнение адаптивного алгоритма (3.39) относительно значений оценки параметра г.

i+i = '/-md-Ю i(d + h)ft 1(10 -г, Цф1(г,-e,) + A/(A+d)--£|1(4ЖА-е,Же,-5)]. (3.48)

Заданное значение уровня обслуживания. Ненадежные поставки. Пусть теперь, как и предыдущем варианте поставки ненадежны, а в качестве критерия использован минимум функционала (3.42). Тогда для пересчета оценок величины у1 - х, +и, (отметим - фигурирует размер заказа, а не поставки) можно выписать следующий адаптивный алгоритм:

1 = У. "ТДКЛ -г^ЖчО + К*, -г,+,)0-1(|0,)-Р]. (3-49)

где =«р(х,)+е„ 1 = 0, 1,...

Теперь для определения размера заказа необходимо найти

тшЕ{[£+1-й+1(4+1)]2}, (3-50)

»/•и

где й+НЦ-и)= х1+\ + Чн-1 -

Отсюда ясно, что оптимальный размер заказа (точнее, его оценка) должен удовлетворять следующему соотношению:

Р,+1"и-\=Уы~х1+и (3-51)

здесь р1+1 - оптимальная оценка вероятности р к (/ + 1)-му шагу (например, МНК-оценка). Если размер заказа ограничен величиной II, то при малых значениях вместо (3.51) следует писать

(3.52)

Затушенные поставки. Пусть поставки отличается от размера заказа:

теперь фактическая величина (3.53)

где {Т1,} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с неизвестной плотностью вероятности g(■). В этом случае расчет оценки оптимального размера поставки следует осуществлять с использованием рекуррентного алгоритма вида

где ц+| определяется одной из формул (3.41), (3.45), (3.51), (3.52) в зависимости от того, какой случай рассматривается, а {у"} последовательность коэффициентов, удовлетворяющая обычным условиям для метода стохастической аппроксимации.

Случай частичной наблюдаемости спроса. Пусть в процессе наблюдения регистрируется не спрос, а расход (то есть процесс отпуска товаров со склада). Это означает, что неудовлетворенный спрос не регистрируется. Динамика системы по-прежнему описывается соотношениями (3.35), (3.36), а спрос задается моделью вида

где последовательность {е,} - гауссова с нулевым средним и неизвестной

дисперсией, а вектор параметров а представляет собой скаляр а. В качестве критерия оптимальности используется условие достижения минимума функционала типа (3.42): найти

= Ц+1 + тДц -ц'1.

(3-54)

(3.55)

тт[Р{г{+1<лгг+м,}-р]2.

(3.56)

щ

Предполагается, что на каждом шаге наблюдается (регистрируется) величина я,, которая равна относительному числу удовлетворенных на

текущем шагу заявок на снабжение (или, при равномерном потреблении, доле г-го шага, когда наличный запас положителен), 0 5 я, й I.

Тогда решение задачи определяется в результате применения следующего алгоритма:

1. Оценивание параметров модели формирования спроса:

=«,(3.57)

гДе {У/} - последовательность коэффициентов метода стохастической аппроксимации.

2. Прогнозирование спроса:

А. (3.58)

3. Определение желаемого уровня запаса:

Л-,+1 (3.59)

где

о

4. Определение объема поставки при условии, что 0

А+» =

дх,

(3.60)

4. Базисные модели и зкспертно-статнстнческне методы на товарных и фондовых рынках и в задачах распределения н оперативного управления ресурсами

4.1. Эспертно-сгатнстическне методы в задаче маркетинга

Задача маркетинга представляет собой задачу исследования конъюнктуры рынка, которая состоит в выяснении диапазонов цен и возможных объемов продаж в условиях постоянного обновления ассортимента товаров (или услуг). В переходных условиях отечественного рынка, который можно охарактеризовать как весьма неустойчивый, достаточно ярко, хотя и преходяще, проявляется "родовое" свойство централизованной экономики - дефицит. Дефицит, как постоянная компонента экономических процессов, существенно меняет поведение потребителей. Поэтому в условиях дефицита для анализа рыночных процессов и, в том числе, при решении задачи маркетинга необходимо создавать специальные модели. Предложено 2 класса таких моделей -макроэкономические (глобальные) и микроэкономические (локальные) модели. В рамках первого класса моделей исследование ведется на языке укрупненных описаний экономики как целого. Модели второго класса описывают ситуации на уровне отдельных предприятий, узлов систем снабжения.

Если обратиться к задаче маркетинга, то, как и в любой задаче экономического анализа, можно выделить два взаимно дополнительных подхода к ее решению - качественный анализ (моделирование) и прогнозирование. В процессе качественного анализа формируется представление о принципиальных особенностях поведения рынка, которые должны учитываться при формировании выводов о его состоянии и поведении. Этот подход, как правило, опирается на использование моделей первого класса. В задачах прогнозирования используются уточненные (более детальные), модели на базе которых осуществляется статистическая обработка ретроспективных данных с целью формирования количественных оценок ситуации на рынке. Решение таких задач, как правило, опирается на

использование моделей второго класса. При этом важно отметить, что сложность современного рынка, усугубляемая в наших условиях сильным переходным процессом, делает маловероятным формирование таких моделей, в которых была бы достаточно полно отражена вся природа исследуемого процесса. Такое исследование принадлежит сфере не только "чистой науки", но и "искусства" в том смысле, что в опыте специалистов-практиков можно порой найти больше достоверной информации о состоянии рынка и, в частности, о маркетинге, чем в "советах" традиционных автоматизированных систем, создаваемых на базе однозначных алгоритмов и строгих математических моделей. Именно поэтому для автоматизации решения задачи маркетинга нужно воспользоваться методами систем с искусственным интеллектом. В данной работе для этого предлагается воспользоваться методом экспертно-статистической обработки, когда вместе с данными статистических прогнозов для оценки ситуации на рынке используются и мнения экспертов.

Предложенный подход основан на специально разработанных автором в 1990-92 гг. моделях описания рынка [35, 38, 39], другой подход, использующий методологию идентификации с использованием модели типа черного ящика и байесовымн алгоритмами пересчета коэффициентов свертки типа алгоритмов п.3.4.1 настоящей работы реализован в разработанной в 1994-95 гг. экспертно-статистической системе МЮГС! (см. В.А.ЛотоцкиСс и др. "Экспертно-статистические системы управления маркетингом" // "Приборы и системы управления", 1996, № 3). Более детальное сравнение будет проведено в главе 5.

4.1.1. Описание рынка и предсказание спроса.

Обычной технологией решения задач оценки спроса на отдельные виды традиционных и вновь производимых товаров является построение сетевой модели формирования спроса (товаропроводящей сети), которая состоит из собственно рынка, на котором реализуется товар, предприятий, осуществляющих выпуск этого товара и предприятий, которые являются поставщиками полуфабрикатов, используемых при изготовлении товара.

На рынке нефти и нефтепродуктов в качестве первых выступают нефтеперерабатывающие заводы, а в качестве вторых - предприятия нефтедобычи и транспортная сеть. В конечном счете решением задачи прогнозирования спроса является установление пропорций (рыночных долей), в которых рынок распределяется между разными производителями, абсолютных значений спроса на товар и их поведения во времени.

Для аппроксимации поведения спроса на продукцию конкретных производителей во времени предлагается аппарат так называемых ¿'-кривых (символом 5 отображается форма кривой). В частности, такая 5-кривая может быть найдена как решение следующего дифференциального уравнения:

&/Л = /(1 - --(г) / р)ШРГх , (4.1)

где г(/) - величина спроса в момент времени I.

Решение этого уравнения при /—»«> хорошо аппроксимируется функцией вида

г(0 = К1+Ле"), (4.2)

где через р обозначена доля продукции данного производителя в установившемся режиме, а / - постоянная времени. Естественно, что при наличии многих производителей соответствующие переменные л({) должны быть снабжены индексом производителя (или вида товара) /.

Чтобы оценить параметры ¿•кривых в условиях достаточно неполной информации о состоянии рынка воспользуемся схемой экспертно-статистической обработки на базе метода анализа иерархий (МАИ) (см. Т.Саати "Метод анализа иерархий" // М.: "Сов.Радио", 1992). Однако, прежде чем сделать это, рассмотрим еще один более наглядный подход к задаче оценке спроса на товарном рынке. Проиллюстрируем подход на примере персональных компьютеров (ПК). В этом случае в товаропроводящей сети можно выделить собственно рынок (потребителей), изготовителей ПК, изготовителей комплектующих узлов (микросхем) и системного программного обеспечения.

Тогда уравнение материального баланса в вершине / сети будет иметь

вид:

-¡,/1 +гэкспорт — + 2импор т , (4.3)

Л Л

где 2¡J¡ - объем продажи потребителю /) в вершине/, г^ - объем поставок

в вершину / от поставщика у'2, а Экспорт и гимпор т ■ объемы экспорта и импорта в вершине / соответственно.

Тогда задача прогнозирования рынка ПК может быть поставлена как следующая задача оптимизации: найти

тт{;,(0-ХЛ(г/у«)} (4.4)

/

при условиях (4.3) и выполнении ограничении вида

Ь{<№7/) <4- (4-5)

где - производственная функция поставщика /, работающего на удовлетворение спроса потребителя у, а параметры £>,- и - определяют максимальную и минимальную производительности соответственно, / -время, наконец, I - это номер поставщика комплектующих узлов. При этом, конечно, в любой момент времени должно выполняться условие

/гЫ<С1р (4-6)

где су - предельный уровень спроса, который связан с производственной функцией соотношением типа формулы (4.2):

/К2/Д0) = + Ьуё~а*1). (4.7)

Теперь можно вернуться к методу анализа иерархий (МАИ). В рамках МАИ задача преобразуется в некоторую иерархическую структуру, на каждом уровне которой находится нескольких элементов, каждый из которых в свою очередь (на следующем уровне) также представляется некоторой совокупностью элементов. Каждому элементу любого уровня приписывается сравнительный уровень значимости, например, от 1 до 9, где "единицей" обозначается равнозначность элементов, а "девяткой" -абсолютная степень превосходства. При этом 1 элемента одного уровня сравниваются с соответствующим элементом более высокого уровня. Результаты сравнения после обработки заносятся в квадратную матрицу, размер которой равен числу элементов данного уровня. При этом способ обработки выбран так, чтобы получилась матрица, обратная к матрице значений относительных коэффициентов значимости. Нормированное значение доминантного собственного вектора этой матрицы определяет относительную значимость элементов по сравнению с вышестоящим элементом.

Если применить МАИ к прогнозированию спроса на рынке, то, используя в качестве основы создания оценочной иерархии модель товаропроводящей сети (4.3)-(4.5), необходимо сформировать МАИ для соответствующей сетевой схемы. Применительно к рынку персональных компьютеров на одном из уровней МАИ могут быть размещены такие характеристики, как производственно-технологические особенности, "дружественный" интерфейс, внешняя привлекательность, цена и др. (уровень требований). На альтернативном уровне МАИ могут быть представлены такие характеристики, как оценки конкурентоспособности фирм-производителей, политика ценообразования, технология использования. В результате введения этих уровней и соответствующей параметризации формируется набор весовых коэффициентов, которые характеризуют относительные уровни значимости и могут быть получены посредством опроса экспертов. Найденные значения параметров непосредственно связываются со значениями параметров 5-кривой.

Предложенная процедура формирования оценок параметров 5-кривой является чисто экспертной. Однако, одновременно можно осуществить обработку ретроспективных данных о спросе, на основе которой будут сформированы "объективные" (или более объективные) оценки уровня насыщения (в установившемся режиме) и постоянной времени. Эти оценки могут быть предъявлены экспертам и стать для них дополнительным источником информации, используя который эксперты могут "объективизировать" высказываемую ими точку зрения.

Так, например, допустим, что поведение цен свидетельствует о том, что в настоящее время на рынке имеет место равновесие. Используя этот факт, можно сформировать алгоритм оценки функции спроса вида [24]:

где -г,+| - оценка спроса на (Ж)-м шаге, .х, - спрос на /-м шаге, {#,} -последовательность коэффициентов, удовлетворяющих условиям на коэффициенты алгоритмов метода стохастической аппроксимации, р, -оценка степени удовлетворения спроса на Ьм шаге, ад, - заданное значение уровня обслуживания потребителей.

В этом случае эксперту могут предъявляться для корректировки значения р, и значения Последние используются для корректировки значений коэффициентов

4.2. Базисная модель процесса торгов аукционного типа

Аукционные торги представляют собой один из часто применяющихся механизмов заключения сделок на товарных, финансовых и фондовых рынках. Именно поэтому, а также в связи с отсутствием до сих пор серьезных научных публикаций, посвященных исследованию этой темы, подобный механизм формирования цен на рынке заслуживает самостоятельного изучения.

Можно выделить четыре типа аукционных торгов в зависимости от способа назначения цен участниками аукциона: прямой аукцион, обратный аукцион, смешанный и заочный (или закрытый) аукцион. Для всех видов аукционных торгов задается стартовое значение цены выставляемой на аукцион партии товара или партии ценных бумаг (лота). Моделями прямого и обратного аукциона обычно описываются процессы торгов на товарных рынках. Для фондового рынка характерно использование модели закрытого аукциона.

В случае прямого аущиона участники аукциона получают информацию о стартовой цене (объявляется организаторами аукциона) и, отправляясь от нее, имеют право повышать цену лота, как правило, на величину, которая или характер изменения которой задается аукционистом заранее. Соответствующий процесс повышения цены является многошаговым и обрывается, когда до счета "три" (или объявления "продано") не находится новых претендентов на повышение цены лота.

При обратном аукционе в случае отсутствия предложений на покупку аукционист последовательно снижает цену лота, уступая товар тому из участников, который первым отреагирует на очередное снижение цены, или снимая лот с торгов не проданным.

Смешанный аукцион начинается как обратный, но при первом положительном отклике покупателей (один или несколько покупателей изъявляют желание пробрести лот) продолжается как прямой аукцион с повышением цены по правилам прямого аукциона. Соответствующий процесс повышения цены является многошаговым и обрывается, когда до счета "три" (или объявления "продано") не находится новых претендентов на повышение цены лота.

При заочном аукционе каждый из участников аукциона сообщает свое предложение по цене лота, которое передается аукционисту в закрытом конверте. В этом случае победителем аукциона объявляется тот из его участников, чье предложение окажется максимальным. Если таких участников более одного, то между ними проводится дополнительный тур (очный или заочный - по их желанию). В случае продолжения аукциона в

закрытой форме процедура выявления победителя может оказаться многошаговой. Применительно к торгам на рынке ГКО или ОФЗ фактической реализацией результата торгов является выбор цены отсечения, которая и определяет "победивших" и "проигравших" в конкретном аукционе.

Дальнейшее рассмотрение проведем на примере прямого аукциона.

4.2.1. Формальная постановка задачи для прямого аукциона

Пусть значение стартовой цены х, а величина приращения цены (заранее объявляемая аукционистом) равна <1. В этих предположениях можно считать, что результат аукциона выражается величиной С=л+Ь<(/, где к - число результативных шагов аукциона (под результативным понимается шаг, на котором регистрируется по меньшей мере один покупатель, который изъявляет желание приобрести лог по следующей (увеличенной на с1) цене. Величина С случайна и ее распределение определяется условным распределением вероятностей случайной величины к - продолжительности аукциона: {Р(к1х,с1}. Распределение Р(кЛхЛ) заранее неизвестно. Если организаторами аукциона задано желаемое значение эффективности аукциона, выражаемое в виде итогового результата аукциона Сдд, то оптимизация процедуры проведения аукциона сводится к выбору значений <1 и .V, при которых достигает минимума значение следующего функционала:

Е(Сы-С)г ->тт, (4.9)

где Е - оператор математического ожидания.

Пусть в 1-м по счету аукционе использовалось значение стартовой цены .V, и приращение цены </, и в результате проведения торгов реализовалось значение итоговой цены С,. Тогда в соответствии с общими методами теории адаптивных систем на следующих торгах следует выбирать значения стартовой цены и приращения цены, используя следующие формулы:

л-,+1 = х, +ыбп{4} х г„(СПх -С,), (4.10)

4+1=4+ sign {h} X §2. (Cfix -С,), (4.11)

где sign{} обозначает функцию знака, а величины а, и Ь, суть оценки производных распределения {P(k/x,d)} по переменным х и d соответственно в точке {.г/, dt\ при значении к, равном

к, = (С, -х, )/d,, (4.12)

а feu} и {Sit\ ' коэффициенты алгоритмов стохастической аппроксимации, удовлетворяющие известным условиям первого и второго порядков.

В силу знаковой природы включения оценок щ и Ь, в алгоритмы (4.10) и (4.11) эти величины можно представить как

4 =(С,-С,_,)/(*,(4.13)

и

4 »«:,-<:,_,)/(4-4_,). (4.14)

4.3. Экспертночггатистнческая обработка результатов аукционных торгов в прямой аукционе

В процессе экспертно-статистической обработки эксперту предъявляются результаты торгов, выраженные значениями С,, х,, d„ и результаты обработки данных по торгам, выраженные оценками .г,+| и ¿,+t в соответствии с формулами (4.10) и (4.11) и оценками ¿,.4 по формулам (4.13), (4.14). Причем последние оценки преподносятся с наглядной интерпретацией смысла их знаковой природы (вопросы типа: "Полагаете ли Вы, что увеличение шага приведет к росту окончательной цены лота?", - и т.п.).

Эксперту предоставляется право менять сформированные системой оценки, причем соответствующие изменения вводятся в систему экспертно-статистической обработки в виде сигналов обратной связи. В процессе диалога осуществляется настройка коэффициентов алгоритмов (4.10) и (4. II).

4.4. Выбор структуры ресурсов в условиях неопределенности

Значительная часть предъявляемого на рынке спроса обусловлена запросами на ресурсы, которые формируются в силу хозяйственной или каких-либо других форм деятельности предприятий, действующих на рынке в роли потребителей. В связи с этим изучению механизмов выбора структуры ресурсов в литературе придавалось весьма большое значение. В связи с идеологией и границами применимости экспертно-статистического подхода (см. стр. 19-20 настоящей работы от вывода 4 до вывода 5) ниже мы рассмотрим случай решения проблемы выбора структуры ресурсов в условиях достаточно высокой степени неопределенности исходных характеристик.

Подобные задачи распределения ресурсов возникают, в частности, при планировании деятельности подразделений, направляемых для работы в редко возникающих ситуаций, например, чрезвычайных ситуаций (ЧС). Дальнейшее изложение ведется на основе изучения именно этого конкретного примера.

Считается, что возможные варианты ЧС классифицированы по типам, поэтому рассмотрение ведется в рамках некоторого фиксированного типа (класса) ЧС, преодоление которых требует наличия некоторого набора

ресурсов, характеризуемого вектором (,Г|, дг2,... Здесь компоненты

вектора ресурсов могут представлять собой численности групп специалистов, состав парка транспортных средств, интенсивность материальных и финансовых потоков и т.п.

Предполагается, что время возникновения, глубина ¡г время преодоления ЧС случайны с неизвестными априори вероятностными характеристиками. Иначе говоря, неизвестны следующие функции распределения (ф.р.): /^,(6Л) - ф.р. интервала 9„ от момента преодоления последствий п-й ЧС до возникновения (л+1)-й ЧС, (7„(тл) - ф.р. времени Тл преодоления последствий л-й ЧС и Нп(и„) - ф.р. "глубины" л-й ЧС, характеризуемой запросом на вектор ресурсов ил, который вызывается

фактом возникновения п-й ЧС при условии выбора "оптимального" плана преодоления последствий п-й ЧС ("оптимальность" закавычена, поскольку в условиях неопределенности оценка оптимальности может быть только субъективной, поэтому фактически следует говорить не об оптимальности, а о профессиональном, грамотном планировании работ по преодолению последствий ЧС).

Заданы следующие компоненты затрат: А(и„) - единовременные потери от возникновения л-й ЧС; Лт(х-ил) - интенсивность затрат на преодоление последствий л-й ЧС в момент времени т е [0,т„];

Сд(х) - интенсивность затрат на поддержание уровня ресурса х в момент времени 9е[Ол+тл,0п+,)

Нетрудно показать, что возникновение каждой ЧС, принадлежащей к рассматриваемому классу, может быть использовано для последовательного уточнения оценок необходимого вектора ресурсов х. А именно, оценка вектора ресурсов, который необходимо иметь после преодоления последствий л-й ЧС, может быть представлена в виде:

хл+,=хл-Гл[]>ас1ХяЯг(хл-ил)Л + |егас1Х(1С9(хл)йЮ], (4.15) о е„_, +*„_,

где через Гл обозначена матрица коэффициентов, удовлетворяющих

известным условиям на коэффициенты алгоритмов стохастической

аппроксимации, а через обозначен градиент функции (7(х„) в

точке хл = г.

Выбор начальных условий и значений коэффициентов в алгоритме (4.15) должен осуществляться с учетом требования обеспечения достаточно высокой скорости сходимости (акселерации) алгоритма к некоторой окрестности на конечном интервале значений п.

5. Описания примеров экспертно-статисгических систем (ЭСС)

5.1. ЭСС АДАЗАП

В системе АДАЗАП ("АДАптивные ЗАПасы") [29-32] реализована идея экспертно-статистической обработки в задаче управления запасами с фиксированными ценами. Исследование моделей с фиксированными стоимостными параметрами позволяет существенно продвинуться в качественном анализе поведения систем, поскольку многие из особенностей, выявленных на подобных упрощенных моделях, воспроизводятся, хотя и с некоторыми изменениями, и в более сложных ситуациях.

Система АДАЗАП предназначена для исследования характера изменения потребности и формирования на основе проведенного исследования оценок вероятностей дефицита и прогнозов заявок. Формируемые системой АДАЗАП размеры заявок позволяют обеспечить достижение заданных пользователем значений уровней обслуживания потребителей.

Входной информацией системы АДАЗАП являются данные о балансах запасов на складе или в регионе, который является объектом исследования. Кроме того, пользователь системы АДАЗАП может, как эксперт в соответствующей предметной области, вводить в систему собственные оценки ситуаций (степеней достаточности поставок, рекомендаций по заявкам и др.).

Система АДАЗАП может работать в двух режимах:

- режиме экспертного оценивания (РЭО), в котором пользователь сообщает системе свои оценки степеней достаточности поставок и размеров заявок;

- режиме обработки исходной статистической информации (PCO), на основе которой в системе производится автоматическое построение искомых оценок степеней дефицитности (в нескольких вариантах), причем пользователю предоставляется возможность корректировать предъявляемые системой АДАЗАП оценки.

Все конкретные детали организации диалога с системой АДАЗАП сообщаются по мере необходимости.

В процессе сеанса работы система АДАЗАП предоставляет пользователю информацию о том, как развертывались во времени процессы поставок, складирования (уровни запасов), потребления, о том. какие выделялись ресурсы. С помощью системы АДАЗАП можно получить сведения о том, каковы были последние варианты предложенных системе (или системой) оценок степеней достаточности поставок. Эти и другие данные, хранящиеся в системе, предъявляются пользователю по его запросам.

Процедура корректировок, вносимых пользователем в систему АДАЗАП, напоминает работу по подстройке промышленных регуляторов в процессе нормальной эксплуатации, когда решается проблема установления баланса между чувствительностью и устойчивостью.

5.1.1. Теоретический базнс системы АДАЗАП

В задачах управления запасами можно выделить две основные группы критериев: стоимостные критерии и критерии, связанные со степенью удовлетворения спроса, или, как говорят, уровнем обслуживания потребителей. Широкое распространение критериев второй группы при решении задач, связанных с максимизацией прибыли обусловлено двумя причинами. Во-первых, некоторые стоимостные параметры (например, издержки вследствие дефицита) трудно оценить достаточно точно, во-вторых, в условиях конкуренции максимизация уровня обслуживания потребителей при разумном уровне затрат может означать сохранение конкурентоспособности, то есть сохранение или расширение доли фирмы в соответствующем секторе рынка.

Уровень обслуживания характеризуется обычно как величина дополнительная к вероятности дефицита Рд:

г = \~Рд.

При этом величину Рд можно оценивать по-разному в зависимости от того, на каком интервале и как рассматривается функционирование системы снабжения. Если период планирования - год, то дефицит регистрируется только при нарушении годового баланса (статический дефицит). Если уровень запасов контролируется непрерывно, то дефицит описывается динамически и вероятность дефицита в интервале планирования [0,7] задается формулой

Рд = Рг{*(/)>О V/ е[0,Г]},

где Рг - символ вероятности события в фигурных скобках, а х(?) - так называемый фиктивный уровень запасов, который может быть и отрицательным, если спрос не удовлетворяется сразу же после его возникновения.

Тогда задачу управления запасами можно сформулировать либо как задачу максимизации уровня обслуживания по всей совокупности товаров при заданных суммарных затратах на хранение и поставки: шах/?5, С^<С0;

либо как минимизацию суммарных затрат на хранение и поставки при заданном уровне обслуживания:

ттС4,

либо (если затраты должны быть вычислены по заданному уровню обслуживания Ло) как работу с функционалом вида:

где Я - реализация уровня обслуживания а £ - символ математического ожидания.

Если в результате некоторой декомпозиции (до выделения известных в теории управления запасами групп А, В, и С) сформировано М групп товаров, содержащих по пт наименований, ш = I, 2,... , М, то возникает

задача распределения групповых уровней обслуживания Rm, соответствующих системному уровню Rs:

Rs ~ R м ■

При условии, что обеспечение группового уровня обслуживания Rn¡ связано с уровнем затрат на обеспечение снабжения Ст товарами этой группы одной и той же функцион&чьной зависимостью, возникает задача: max Rs = шах R¿CX)R2(C2)...RM (См).

при условии C¡ + <Cq.

Нетрудно понять, что оптимальным решением этой задачи будет выставление одинаковых уровней обслуживания по группам, а именно [29]:

4 = < = R¡ Rm = ^(Q 'М).

Последнее соотношение является в каком-то смысле "универсальным". Так, например, при дальнейшем разбиении группы по методу ABC можно считать, что в рамках группы должны задаваться одни и те же уровни обслуживания для всех товаров подгрупп А, В и С соответственно, хотя при этом уровни обслуживания по подгруппам могут быть разными.

Наиболее естественным механизмом управления запасами в ситуации стохастичности и неопределенности ключевых процессов являются адаптивные схемы управления. При этом для решения задачи планирования запасов, то есть формирования плановых заявок на весь период планирования (год, квартал, месяц) на уровне крупного склада можно воспользоваться следующим алгоритмом [27]:

*л+1 =хп-Сп(ря-г0), (5.1)

где хя+1 - планируемое значение переходящего запаса на начало будущего периода планирования, х„ - фактическое значение вектора начального запаса в предыдущем периоде планирования, ря - вектор (по видам товаров) степеней удовлетворения спроса в предыдущем периоде, г0 - вектор уровней обслуживания, a G„ - матрица коэффициентов на п-м шаге, удовлетворяющая условиям:

л л

При решении вопросов оперативного управления запасами на складе удобно пользоваться параметрическими стратегиями управления запасами. Если решение ищется в классе популярных двухуровневых стратегий с параметрами 5 (предельный уровень запаса) и з (точка подачи заказа), то адаптивный алгоритм пересчета параметров стратегии можно записать в виде [34]

3+1 = - v,) - г)],

(5 3)

•*/+! ("} - - v,) - 2, (v,) +- В],

где

5^0') =

1, если />0, - _

П г\ л / л [0, если/>5„>'<51)

0, если у = 0, 6,0)4

[Я если -1, если у<0; 1

- уровень запасов на 1-м шаге, V/ - спрос на /-м шаге, г - уровень обслуживания, В - параметр, зависящий от стоимостных характеристик процесса поставок и хранения, а коэффициенты {#/} удовлетворяют условиям

8 «

Пусть К - число шагов в периоде планирования. В системе АДАЗАП используется 2 модели оценки характеристики Рд, а именно [35]:

(5.5)

где, как обычно, лг+ = шах(0,л), а 7 = ^ и

(5.6)

где

[1 У>>>0,

5!2п ( v) = ,

'О Уу<0.

В процессе принятия решений эксперту предъявляются результаты статистической обработки, а принимаемые экспертом решения рассматриваются как сигнал обратной связи в экспертно-статистической системе управления запасами. Во второй версии пакета АДАЗАП [31, 36, 37] пользователь наделен правом выбора между оценками р£} и Я" (формулы (5.5), (5.6)) и правом корректировки размера заказа на пополнение запасов.

А именно, если .г,+1 - рекомендация системы, а пользователь вводит величину

= + Д* , (5.7)

то на основании информации о величине Дх, осуществляется корректировка (настройка) параметров модели и, в частности, коэффициентов {£/}.

Основной адаптивный алгоритм в ЭСС АДАЗАП представляет собой одномерный аналог алгоритма (5.1), в котором коэффициенты gt описываются соотношением [34]

I-1 / х ,

8, = (5-8)

где р, и V, - параметры, быть может, зависящие от времени. Теперь, если задаваемое пользователем-экспертом значение поправки Дх на /-м шаге удовлетворяет соотношению (5.7), то из уравнений (5.1), (5.7) и (5.8) вытекает формула

Д*/ = 777 (Д - го> - */+! + . (5.9)

которую следует рассматривать как уравнение относительно переменных и V,.

Именно это уравнение решается в системе АДАЗАП при пересчете параметров ц, и V, и выполнении ограничений:

у^у^А где р^У'^У'Ьо, а р<°>*0,

выбранных из соображений обеспечения выполнения условий сходимости (5.4).

Нетрудно построить примеры, когда в этих ограничениях уравнение (5.9) не имеет решений. В этом случае в системе АДАЗАП ищется следующее решение [37]:

- х, - -Й^Цр, - г0). (5.10)

5.2. ЭССЭКСПРО

Целью экспертно-статистической обработки в ЭКСПРО ("ЭКспертно-Статистическое Прогнозирование") [36-39] является повышение степени достоверности уже имеющихся прогнозов, которые могут быть найдены с применением самых разнообразных методик и алгоритмов - от чисто экспертных оценок до статистических прогнозов с указанием доверительных интервалов и уровней значимости. При этом в формируемой в результате ЭСС-оценке должны быть некоторым разумным образом объединены найденные к моменту начала ЭСС-обработки прогнозные оценки. Под "разумностью" в данном случае понимается в конечном счете соответствие ЭСС-оценки регистрируемым впоследствии реальным данным, а на этапе формирования такой оценки (когда реальных данных о прогнозируемой величине еще нет) "авторизация" найденной оценки некоторым кругом профессиональных экспертов по данной области рынка. Соответствующую ЭСС-оценку (иногда вместе с подвергавшимися ЭСС-обработке вариантами прогноза) называют ЭСС-прогнозом.

5.2.1. Теоретический базис системы ЭКСПРО

Процесс ЭСС-обработки представляет собой некоторую процедуру идентификации модели, которая связывает первичные вариантные прогнозы с окончательным значением ЭСС-прогноза. Если ограничить модели такой связи классом моделей линейной регрессии, то постановка задачи ЭСС-обработки может быть сформулирована следующим образом [39].

На некотором интервале [0,7], где Т - текущий момент времени, заданы реализации ш вариантов прогнозов (с единичным упреждением) некоторой характеристической величины (например, цены на единицу какого-либо вида товара), которые сформированы для каждого из моментов времени 0, 1,..., Т. Обозначим соответствующие данные {.г/}, где / = 0, 1,..., Т- время, а / - номер варианта прогноза. Пусть также {у^, I = 1, 2,... , Т -последовательность фактически зарегистрированных значений прогнозируемой величины. В момент Т значение ут+\ еще неизвестно. Заменим это значение на некоторую оценку, которая выбирается экспертом (или кругом экспертов), ответственным(ых) за принятие решения о величине ЭСС-прогноза в момент Т. Если обозначить эту величину через /"у и искать модель связи величины ЭСС-прогноза £7- в момент Т в классе моделей линейной регрессии:

т

5Г = 5>/-4 + --Г. (5-И)

/=1

где - случайная ошибка, то задача формирования ЭСС-прогноза

ставится как задача отыскания оценок коэффициентов {д/}/^, которые минимизируют математическое ожидание суммы квадратов отклонений ЭСС-прогноза 5/, / = 0, 1,..., Г, от значений уг,... , )'т-\, ■

В силу широты ассортимента товаров на товарно-сырьевых рынках и объемов соответствующих баз данных, алгоритм решения задачи формирования ЭСС-прогноза выбран в классе рекуррентных алгоритмов метода наименьших квадратов. Это избавляет от необходимости хранить в

БД все ранее сформированные значения ЭСС-прогнозов по исследуемому ассортименту товаров. Запишем рекуррентный алгоритм, выражающий значения оценок параметров а/ в момент Ж (обозначим эти оценки g¡+¡) через значения аналогичных оценок в момент а именно:

^^-[Л+|-Х;+1С,], V-0,1.....Т;

С!+1 + Ут+1 - Рт+\-

1 +х;+1в,х|+1

Здесь

(5.12)

С,=

8\

2 2

а

• -

т

, в, = (н;н,)

-1

(5.13)

где штрихом * обозначена операция транспонирования векторов и матриц, а

Н,=

X,"

XI. =1-4. 4. - к=0,1,...,т

(5.14)

При этом матрицы коэффициентов В/, вычисляемые по формулам (5.13), (5.14), удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

В,+1=В,+(В,Х,+|ХВ,Х,+|)' 1+Х,'+1В,Х,+1 .

Ут+1 - Рг+1-

(5-15)

Используя алгоритм (5.12) - (5.15), можно определить значения оценок коэффициентов на Т-м шаге, то есть определить величины

gг . 8т --•• 8т ■ Теперь значениеЭСС-прогноза в момент времени Гможно записать в виде

ш

= £ Яг-Гг • (5.16)

/=1

5.3. Общие особенности ЭСС

Общим для обеих рассмотренных ЭСС (а также для всех остальных ЭСС) является наличие некоторого блока построения базисной модели, которая в ЭСС АДАЗАП записана уравнениями (5.1), (5.3) и (5.8), а в системе ЭКСПРО - уравнениями (5.11) и (5.16), и блока интеграции в базисную модель информации экспертной природы (в АДАЗАП - это уравнения (5.7), (5.9) и (5.10), а в ЭКСПРО - уравнения (5.12) - (5.15)). При этом чисто инструментально и базисные, и интеграционные модели могут быть совершенно разными и определяться характером рассматриваемой проблемы и соответствующей предметной областью. Так в системе АДАЗАП - это адаптивные модели и алгоритмы, а в системе ЭКСПЮ -рекуррентные процедуры МНК. В других известных ЭСС наряду с адаптивными алгоритмами для пересчета коэффициентов свертки, которая в конечном счете и определяет процедуру интеграции, могут использоваться байесовы формулы и другие алгоритмические решения.

Во всех случаях "исходным материалом" для пересчета является диалог с экспертом (или экспертами), который может быть и очень простым, когда эксперту предоставляется возможность "точечных" воздействий посредством корректировки отдельных компонент базисной модели (например, результатов оптимизации статистической модели в первой версии системы АДАЗАП) до "полноправного" (по отношению к базисной модели) участия в итоговом анализе, когда коэффициенты свертки (а в рассмотренных случаях интеграция статистической и экспертной информации выполнялась

на базе линейной свертки) также пересчитываются в процессе накопления информации о качестве формируемой модели. Таким образом, в результате эволюции ЭСС-моделей относительная важность данных статистической и экспертной природы может изменяться. Это подтверждает и пример экспертно-статистической системы МЮРБ, упомянутой в главе 1, стр.66, в которой наряду с адаптивными алгоритмами используются байесовы формулы для пересчета коэффициентов свертки, которая в конечном счете и определяет процедуру интеграции (см. В.А.Логпоцкий и др. "Экспертно-сгатистические системы управления маркетингом" И "Приборы и системы управления", 1996, № 3).

Если рассмотреть упомянутый во введении пример экспертао-статистического подхода к решению задачи распознавания образов (см. И.В.Гапопенко, И.Б.Мучпик. "Построение достаточных признаков и решающих правил в задаче распознавания образов при использовании экспертной информации" в кн.: "Методы сбора и анализа сложноорганизованных данных". Сборник трудов. М.: ИПУ, 1991), то выявится еще один возможный вариант выполнения интеграции, когда эксперты предоставляют некую информацию о "сравнительной степени различимости" предъявляемых показов по разным показателям. Эта информация накладывает определенные ограничения на решение задачи распознавания, в результате меняя его. Однако, при всей несхожести математической техники (в системе АДАЗАП - это адаптивные алгоритмы, в распознавании образов - определенным образом конструируемые графы) очевидно общее: в обоих случаях точки зрения экспертов выступают дополнительным ограничением, которое должно обязательно учитываться. В системе ЭКСПРО (а также в системе МЮРБ) имеется и еще один вариант введения экспертной информации - непосредственно в критериальную функцию базисной модели. Однако, линейность всех рассмогренных моделей позволяет в данном случае концептуально отождествить эти способы интеграции экспертной и статистической информации в силу известной двойственности трактовки ограничений и критериев. В общем случае такие способы следует рассматривать отдельно,

выбирая тот из них, который лучше отвечает выбранной предметной области и рассматриваемой проблеме.

5.4. Применения

Описанные экспертно-статистических системы: ЭСС АДАЗАП ("АДАптивные ЗАПасы") и ЭСС ЭКСПРО ("ЭКспертно-Статисгическое Прогнозирование"), нашли многочисленные применения в самых разных областях деятельности и, в том числе, в службах маркетинга ряда крупных акционерных обществ (в том числе, "ЛогоВАЗ", "Автомост", "Союзпечатьреклама" "Миллер Авто Груп", "АвтоАрт" и др.), в системе управления запасами горячекатаной заготовки на Первоуральском новотрубном заводе [7, 11], на АвтоВАЗе [14, 25], в аналитических службах ряда коммерческих банков (в том числе, "Военно-промышленный банк", "Юганскнефтебанк" и др.), в сфере здравоохранения [29, 31] (в том числе, различные региональные аптечные сети и аптечные отделения) и в системах идентификации и управления ряда других объектов социально-экономической сферы.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Предложен новый подход к созданию систем идентификации и управления объектами социально-экономической сферы, основанный на интеграции в рамках единой системы сбора, обработки и анализа данных объективного и субъективного происхождения. Соответствующие системы названы экспертно-статистическими (ЭСС).

2. На основе анализа действующих и разрабатываемых ЭСС выделены общие структурные особенности ЭСС. Показано, что все они состоят из

блока базисной модели, блока сбора и обработки экспертной информации и схемы интеграции экспертных данных в блок базисной модели.

3. Показано, что несмотря на широкое разнообразие классов базисных моделей, выбор которых диктуется типом приложения, процедуры сбора и обработки экспертной информации в разнообразных ЭСС однотипны и, как правило, сводятся к решению задачи идентификации системы бинарных отношений предпочтений лиц, принимающих решения.

4. Рассмотрены несколько важных классов объектов социально-экономической сферы: производственно-складские системы, системы управления запасами, задачи маркетинга, биржевые торги, - для каждого из которых предложены адекватные в рамках идеологии ЭСС классы базисных моделей.

5. При решении вопросов создания ЭСС управления запасами предложен новый класс моделей управления запасами - модели, замкнутые по спросу - позволивший существенно расширить возможности применений математической теории управления запасами.

6. Приведено описание созданных под руководством и при участии автора экспертно-статистических систем: ЭСС АД АЗА П ("АДАптивные ЗАПасы") и ЭСС ЭКСПРО ("ЭКспертно-Статисгическое Прогнозирование"), - а также ряда базисных моделей, которые нашли многочисленные применения в самых разных областях деятельности и, в том числе, в службах маркетинга ряда крупных акционерных обществ, в системе управления запасами горячекатаной заготовки на Первоуральском новотрубном заводе, в аналитических службах ряда коммерческих банков, в сфере здравоохранения (различные аптечные отделения и аптечные сети) и в системах идентификации и управления ряда других объектов социально-экономической сферы.

Опубликованные работы по теме диссертации:

1. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. О задаче управления запасами в АСУ "Металл". "Приборы и системы управления", №12, 1973.

2. А.С.Мандель, И.В.Никулина. Некоторые модели оперативного управления производством и многономенклатурными запасами. "Автоматика и телемеханика", №6, 1975.

3. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Анализ применения системного подхода к разработке подсистем управления технологическими процессами и запасами (препринт). ИАТ, Комитет по системному анализу. Москва, 1975.

4. А.С.Мандель. Об управлении запасами полуфабрикатов в многономенклатурном производстве. В кн.: "Доклады школы-семинара по управлению большими системами". Алма-Ата: Казахский политехнический ин-т, 1975.

5. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Методы управления запасами в АСУП (препринт). Москва: ИАТ, 1975.

6. А.С.Мандель.Моделирование процессов управления запасами. В кн.: "Труды 3-го Международного семинара по экспериментальному моделированию и решению вероятностных задач". Прага: ИТИА, 1976.

7. Н.С.Райбман, В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель, В.М.Чадеев и др. Основы управления технологическими процессами. Москва, "Наука", 1977.

8. А.С.Мандель. К вопросу о "замыкании" моделей управления запасами. В кн.: "Статистические методы теории управления." М.: "Наука", 1978.

9. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Модели и методы управления многономенклатурными запасами. "Автоматика и телемеханика", №6, 1979.

10. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель, А.В.Хрусталев. Применение языковых средств АРИУС для решения задачи планирования и управления запасами полуфабрикатов. В кн.: "Автоматизация проектирования систем управления". Москва: "Статистика", 1979.

11. В.А.Трапезников, В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель и др. АСИ - адаптивная система с идентификатором (препринт). М: ИАТ, 1980.

12. А.С.Мандель, И.В.Никулина, Ю.В.Попов. Замкнутые по спросу модели управления запасами. В кн. "VIII Всесоюзн. совещание по проблемам управления." Таллин: Институт проблем управления - Госплан ЭССР, 1980.

13. Н.С.Райбман, В.Н.Дынькин, В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель и др. Автоматизация проектирования адаптивных систем с идентификатором (АСИ). В кн.: "6-й Международный "Алгоритмы управления в металлургическом и машиностроительном производстве". Сборник докладов." ЧССР, Карловы Вары: 1980.

14. A.V.DoIganov, V.A.Lototsky, A.S.Mandel'. Inventory and Maintenance Control Methods with Stock-out Constraints. В кн.: "Preprints of the 8-th World IFAC Congress", v.VI, Kyoto, Japan, 1981.

15. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель и др. Модели планирования и управления запасами медикаментов. В кн.: "Использование методов прикладного системного анализа в управлении здравоохранением". Сборник трудов. М.: ИПУ, №28, 1981.

16. V.A.Lototsky, A.S.Mandel'. Demands Identification Problems in Inventory Control Systems. В кн.: "Identification and System Parametcr Estimation". Preprints of 6-th IFAC Symposium, v.2, Washington, USA, 1982.

17. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Задачи автоматизации управления запасами. В кн.: "Теория и техника управления (Обзор. Состояние. Перспективы)". М.: ИАТ, 1982.

18. В.АЛотоцкий, А.С.Мандель. Адаптивное управление запасами в замкнутых системах снабжения. В кн.: "IX Всесоюзное совещание по проблемам управления. Ереван. Тезисы докладов". М.: ВИНИТИ, 1983.

19. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Применение вычислительной техники для управления системами снабжения в различных отраслях. В кн.: "ЭВМ в задачах управления. Сборник трудов". М.: ИПУ, 1983.

20. А.С.Мандель. Адаптивные методы обработки информации при подведении конкурсных итогов. В кн.: "Доклады II Всесоюзной школы-семинар по оптимизации и ее приложениям в экономике". Ашхабад: Туркменский гос. ун-т, 1984.

21. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель и др. Математические модели прогнозирования спроса на медикаменты. "Фармация", №3, 1984.

22. А.С.Мандель, Ю.В.Попов. Модель управления запасами, замкнутая по спросу. В кн.: "Применение экономико-математических методов в решении задач планирования и управления здравоохранением. Сборник трудов". М.: Медицина, 1985.

23. V.A.Lototsky, A.S.Mandel'. Identification and Adaptive Control in Closed-Loop Inventory Systems. В кн.: "Preprints of 7-th 1FAC/IFORS Symp. on Identification and System Parameter Estimation. York, 3-7 July 1985". London: Pergamon Press, v.2,1985.

24. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Адаптивное управление запасами. В кн.: "Тезисы докладов 10-го Всесоюзного совещания по проблемам управления". М.: ВИНИТИ, 1986.

25. А.С.Мандель, А.И.Клевлин. Оперативное управление производством в подразделениях, потребляющих полуфабрикаты. В кн.: "Статистические методы в экспериментальных исследованиях и контроле качества". (Труды IV Национальной конференции с международным участием, т.1. Варна. НРБ, 14-17 октября 1986 г.)". София: Госком. по исследованиям и технологии, 1986.

26. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Адаптация стратегий в замкнутых системах управления запасами. В кн.: "Статистические методы в экспериментальных исследованиях и контроле качества". (Труды IV Национальной конференции с международным участием, т.4. Варна. НРБ, 14-17 октября 1986 г.)". София: Госком. по исследованиям и технологии,

1986.

27. V.A.Lototsky, A.S.Mandel'. Adaptive Inventory Control. В кн.: "Preprints of X I FA С World Congress (Munich, 1987)", v. 10, subv.6. Dusseldorf, DI/VDE,

1987.

28. К.Э.Лайкам, А.С.Мандель. Управление запасами при сезонном спросе в условиях неполной информации. В кн.: "Методы и алгоритмы анализа эмпирических данных. Сборник трудов". М.: ИПУ, 1988.

29. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель, В.Ф.Мартыненко и др. Применение методов теории управления запасами в аптечной службе. Москва: "Медицина", 1989.

30. V.A.Lototsky, A.S.Mandel'. Adaptive System ADAZAP and its Application to Formation of Claims in Inventory Control. В кн.: "Abstracts of IFAC Workshop on Estimation of Adaptive Control Strategies in Industrial Applications". Tbilisi 1989 - Moscow 1989: 1989.

31. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель, Ю.В.Попов. Об автоматизированных процедурах формирования многовариантных заявок на лекарства. В кн.: "Труды Всесоюзн. научно-практической школы-семинара. "Разработка ИУС систем для аптечной сети (ВДНХ, 1991 г.)". М.: Минздрав СССР, 1990.

32. N.I.Borzenko, V.A.Lototsky, A.S.Mandel'. Expert Statistical Systems for Demand Prediction and Inventory Control. В кн.: "Evaluation of Adaptive Control Strategies in Industrial Applications - IFAC Workshop Series". Oxford: Pergamon Press, N«7, 1990.

33. А.С.Мандель. Адаптивные экспертно-статистические системы. В кн.: "Доклады III Всесоюзн. школы-семинара "Комбинаторно-статистические методы анализа и обработки информации. Экспертное оценивание". Одесса: ИПУ-ОПИ, 1990.

34. В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Модели и методы управления запасами. М.: "Наука", 1991.

35. А.С.Мандель. Об оценке вероятностей дефицита в экспертно-статистических системах прогнозирования потребности на основе замкнутых моделей управления запасами. В кн.: "Доклады IV Всесоюзн. школы-семинара "Комбинаторно- статистические методы анализа и обработки информации. Экспертное оценивание". Одесса: ИПУ-ОПИ, 1991.

36. Н.И.Борзенко, В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Методы обработки информации в экспертно-статистических системах и их программная реализация при решении задач прогнозирования спроса и управления запасами. В кн.: "Методы сбора и анализа сложноорганизованных данных. Сборник трудов". М.: ИПУ, 1992.

37. Н.И.Борзенко, В.А.Лотоцкий, А.С.Мандель. Диалоговые режимы в экспертно-статистической системе АДАЗАП и имитационное моделирование адаптивных алгоритмов. В кн.: "Методы сбора и анализа сложноорганизованных данных. Сборник трудов". М.: ИПУ, 1992.