автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Единственность и алгоритмы решения некоторых интегральных уравнений первого рода

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

РГ6 од

. п На правах рукописи

О 9 ФЕВ г •••

УДК 517.958+517.968 Аюпова Наталья Борисовна

ЕДИНСТВЕННОСТЬ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования, математических методов в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1998

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН, г. Новосибирск.

Научные руководители - д.ф.-м.н., профессор

Ю. Е. Аниконов, д.ф.-м.н., профессор В. П. Голубятников

Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., профессор

В. Г. Чередниченко д.ф.-м.н. О.Е.Трофимов

Ведущая организация - ИВМ и МГ СО РАН

Защита состоится срьвро^л 1998 года в часов на заседании диссертационного совета К 002.23.04 при Институте математики им.С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск-90, пр. акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ИМ СО РАН.

Автореферат разослан " /3 " января 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию единственности и алгоритмам решения интегральных уравнений первого рода. Применение интегральных уравнений первого рода позволяет получить эффективные математические описания многих задач физики, геофизики, биологии и других областей естествознания.

2. Цель работы. Построение алгоритмов решения и доказательство единственности решения интегральных уравнений первого рода.

3. Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

4. Основные результаты. Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Доказательство теорем единственности решения интегральных уравнений первого рода с ядрами специального вида в классах финитных, аналитических и целых функций экспоненциального типа

2. Снижение класса сложности решения обратной задачи рассеяния фотонов на электронах путем сведения к трансцендентному уравнению.

3. Исследование математических моделей этногенеза и эволюции популяций. Предложены формулы для решения уравнений, возникающих при описании данных моделей, найдены классы корректности этих формул, получены решения конкретных обратных задач.

4. Вычислительный алгоритм решения многомерной обратной задачи интегральной геометрии. Рассмотрено его применение к трехмерной задаче компьютерной томографии, в качестве иллюстрации приведен результат численных расчетов на основе этого алгоритма.

5. Апробация работы. Результаты работы докладывались на: IV Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии (Ташкент, 10-12 октября 1989г.), Советско-итальянском симпозиуме по неклассическим задачам математической физики и анализа (Самарканд, 1990г.), Советско-японском семинаре по обратным задачам (Новосибирск, август 1991г.), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 12-15 сентября 1995 г.), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике -ИНПРИМ - 96 (Новосибирск, 25-30 июня 1996 г.), заседании кафедры высшей математики НГТУ (зав. кафедрой: д.ф.-м.н. В. А. Селезнев), научных семинарах под руководством д.ф.-м.н. Е.Ю.Аниконова, чл.-корр. РАН В.Г.Романова, д.ф.-м.н. А. М. Блохина, д.ф.-м.н. А. Л. Бухгейма, д.ф.-м.н. А. И. Хисамутдинова, д.ф.-м.н. Ю.С.Завьялова. Также результаты работы были анонсированы на Международной конференции "Некорректно-поставленные задачи в естественных науках" (Москва, 19-25 августа 1991 г.) и Второй международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 28 июня - 2 июля 1997 г.).

6. Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ.

7. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем составляет 91 страницу, включая 7 рисунков. Список литературы содержит 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор результатов, относящихся к содержанию диссертации.

В первой главе диссертации рассмотрены вопросы единственности решений интегральных уравнений первого рода. Глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе рассмотрено интегральное уравнение первого рода

R"

к(х,у) — комплекснозначное ядро bR"x R™, представимое в виде

Здесь В С И™ х Я", функция <р(р,9) комплекснозначная, непрерывная в й™ х Б" и £ Ь\{В).

Приводятся условия на область В и функцию <р(р, д), гарантирующие единственность решения уравнения в классе непрерывных комплекснозначных финитных функций.

Пусть — непрерывная функция в й,1, а(2) > О,

а(0) = 0; е > 0, 6 > 0 — фиксированные числа. Обозначим

Щр) = {(р,я) ? € йЛ Р ~ фиксировано}, В{р) = В П Л(р),

Имеет место теорема:

Теорема 1.1 Пусть выполнены следующие условия: 1. для всех р : 0 < pi < s, i = 1,2,... ,тг, В{р) — непустое открытое множество в R(p), В(р) С ^(р);

В

2. в области В выполнены неравенства

<pi(p,i)>0, ¥>г(р,?)>0, <pi(p,q) + <pi(p,q) > О,

где <р(р, q) = fi{p, q) + i <p(p, q).

Тогда уравнение (1) имеет не больше одного непрерывного финитного решения и(у).

Полученные результаты являются обобщением результатов Ю. Е. Аниконова1, им был рассмотрен случай, когда функция <£>(р,<?) является финитной с носителем В. Результаты первого параграфа анонсированы в [10].

Во втором параграфе изучается одномерное интегральное уравнение первого рода

я

Пусть функция /(р) такова, что либо /(р) > р, либо /(р) < р, и ядро &(р, </) определено формулой

Для этого уравнения доказана теорема единственности решения:

Теорема 1.2 Уравнение (2) имеет не более одного решения в в классе аналитических функций для /(р) = —ра, где а — рациональные, а ф 1.

1Аниконов Ю.Е. О единственности решения интегральных уравнений первого рода с целыми ядрами// Мат. заметки. -

(2)

(/(р),р),

Ч t U{p),P),

q € (р, /(Р)), ч £ (р, ЯР)),

при Яр) < р,

при Яр) > р.

1980. - Т. 28, № 3. - с. 401-405.

Доказательство теоремы основано на связи интегральных уравнений первого рода с функциональными. Кроме того, построены примеры неединственности решений таких интегральных уравнений первого рода.

В третьем параграфе рассматривается интегральное уравнение

Приводятся условия на ядро к(х, у), правую часть т(х) и решение и(у), при которых уравнение (3) можно преобразовать в интегральное уравнение третьего рода. Сформулирована и доказана теорема о единственности решения уравнения (3) в классе целых функций экспоненциального типа. Результаты первых трех параграфов опубликованы

В четвертом параграфе исследуется интегральное уравнение первого рода, к которому приводит задача о рассеянии фотонов на свободных электронах. Обмен энергией между полем излучения и электронами описывается уравнением Компанейца2

где п(х,у) - функция спектрального распределения фотонов, у - величина, пропорциональная времени, х - безразмерная частота. Если в этом уравнении отбросить два

2Компанеец A.C. Об установлении теплового равновесия между квантами и электронами// ЖЭТФ - 1956. - Т.31, Вып. 5(11).- С.876-885.

(3)

у которого ядро представляется в виде

к(х, у) = к0(х - у) + h(x, у).

(4)

в 11].

первых члена в скобках, то оно будет описывать только доплеровское уширение линий.

Решение задачи Коши для этого уравнения3:

о

где n{z) = n(z, 0), 2 > 0.

Таким образом, зная начальное распределение фотонов, можно определить его во все моменты времени.

В данном параграфе рассматривается обратная задача определения начального спектрального распределения по функции га(г,а), интегральное уравнение имеет вид:

оо

, ч 1 [ Г (In а + Зу — In z)2 "j n(z)

у) = exp I-Ту-1 — 'd2'

о

где w(a,y) = п(а,у). Имеет место теорема

Теорема 1.4 Пусть w(a,y) - локально интегрируемая

функция, ю(а,у) = 0, у < 0,

Ща, у)| < M exp j + ^ у J , s0 > 0, M > 0, у > 0,

тогда имеет место формула

-у-НК 7-iß

оо

X J exp j-+ ^ w{a,y)àyàp, z > 0.

о

3Позняков Л.А., Соболь И.М., Сюняев P.A. Комптонизация и формирование спектров рентгеновских источников. Методика расчетов методом Монте-Карло//ВИНИТИ, АН СССР, Гос. комитете по науке и технике.-М., 1981.- (Итоги науки и техники. Сер. Астрономия; Т.21). - С.238-307.

Результаты этого параграфа опубликованы в [3]. В пятом параграфе рассмотрена задача определения правой части / дифференциального уравнения

по информации о решении и. Предполагается, что правая часть / (функция источника) удовлетворяет уравнению

Данную задачу можно рассматривать как задачу определения функции / из уравнения типа свертки:

где Е - фундаментальное решение. В диссертации приведен ряд формул определения функции / для конкретных операторов Ь и М. Результаты этого параграфа опубликованы в [2] и [13].

Вторая глава диссертации посвящена изучению математических моделей некоторых задач экологии, которая в последние годы вызывает растущий интерес во всех регионах планеты.

Вторая глава состоит из трех параграфов. Первый параграф является вводным, в нем приводятся примеры конкретных уравнений, с помощью которых строятся математические модели для некоторых задач экологии. Во втором параграфе для эволюционного уравнения

Ь и = /,

М/= 0.

£ * / = и,

дм Зуз

/

дФ(х,у - - т)дт(х,£,V,г)

Ы ^ дх У

дх

йт +

йп+1

где количественно характеризует некоторую

популяцию; переменные имеют следующий смысл: х -физиологический возраст, у 6 II" - пространственная переменная, V - скорость изменения физиологического возраста, % - время; Ф(х,у,1) - потенциал; А(х,?М) - коэффициент поглощения; Ау ~ линейный оператор, зависящий только от у.

Ю. Е. Аниконов4 изучал уравнение типа (6) в случае, когда отсутствует зависимость от пространственной переменной у и получил формулы, связывающие функции w(x,v,t), Ф(ж,г), Х(х,1) посредством двух произвольных функций. В данном параграфе для уравнения (6) получены подобные формулы: Теорема 2.1 Пусть

функции и и) дифференцируемые или анали-

тические, такие что корректно определены € С1,

ю(х, у, V, 0 = I + X (7)

Я.п+1

х ехр <

1+ - ат?^ х

-V

4Аниконов Ю.Е. Обратные задачи математической физики и биологии// Докл. АН СССР. - 1991.- Т. 318, №6, С. 1352-1354.

-¡а;-

гле Д(£) - символ оператора Ау. Тогда функции ии(х, т/, г>, ¿), \(х,ь,1) формально удовлетворяют уравнению (6). Далее решена обратная задача определения / и д по информации

= »|Я5=Ж0.

Результаты этого параграфа опубликованы в [9,11].

Третий параграф посвящен задаче математического моделирования этнических процессов. В качестве основы для модели рассматривается кинетическое уравнение

^/дго дН ды дН\ п

где * означает свертку по пространственно-временной переменной. Ю.Е.Аяиконовым5 для уравнения (8) в случае то = 1 были получены формулы, связывающие функции Р, Н и ю посредством пяти функций /, д, к, Я, $ меньшего числа переменных:

Теорема 2.3 Пусть /(г,|), Л(г,|), И(г,0,

€ Я1, £ £ Яп+1 - некоторые дифференцируемые или аналитические комллекснозначные функции, такие что корректно определены функции ю(х,р,у), Р(х,р,у), Н(х,р,у):

5Аниконов Ю.Е. О математическом моделировании этнических процессов// Математические проблемы экологии- Новосибирск, 1994.- С. 3-6.

w{x,p,y)= j |/(Я(р,0 + <Л*>0,0х

Rn+1

Rn+1

V

V

g(R(p,0- R(v,0 + Q(x,(9)

X exp

о

о

x

P(x,p,y)= j e«d£, (10)

R"+J

R"+1

Тогда -ш(х,р,у), Р(х,р,у), Н(х,р,у) являются формальным решением уравнения (8) при га = 1.

Результат данного параграфа состоит в определении классов корректности для формул, описывающих формальное решение уравнения (8), а также решении некоторых обратных задач для этого уравнения.

Определение. Множество 0 бесконечно дифференцируемых функций <р(д), удовлетворяющих оценке

Ч G Rs, s > 1, Ca > 0, Ca — const, ma — const .

называется множеством мультипликаторов в пространстве основных функций6.

Теорема 2.4 Пусть функции g(z,£), h(z,£) - бесконечно дифференцируемые по z и £ функции, принадлежащие

6Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М: Наука, 1976 - 280 с.

множеству 9 по г и пусть функции R(z,£), Q(z,£) бесконечно дифференцируемы по z и принадлежат множеству в по £ вместе с производными dQ /дх и дИ/др, а функция f(z,£) - финитное распределение по £ и интегрируема по z.

Тогда функции w(x,p,y), Р(х,р,у), Л(х,р,у) из (9)-(Ii) определены корректно.

Теорема 2.5 Пусть функция f(z,£) принадлежит множеству в по обеим переменным, а функции g(z,£), h(z,£), й(г,£), Q(z,£) - полиномы по z и£ причем

о

х

J h(Q(x,£) - Q(ti,Z) + R(p,Z),i)dT} < -ß(x,p) |£|2М + P2M-i(Ä)

х0

где a(x,p) > 0, ,в{х,р) > 0 для всех х, р; V2N-1, V2M-1 ~ . полиномы степеней не выше 2N — 1, 2М — 1 соответственно. Тогда формулы теоремы 2.3 корректно определены. Кроме того приводятся примеры конкретных уравнений вида (8) и их решений, полученных по формулам (9)-(11), а также теоремы разделения и решение обратной задачи для уравнения (8) в случае, когда функция Н имеет специальный вид.

Результаты третьего параграфа опубликованы в [11]. В третьей главе диссертационной работы исследована типичная для интегральной геометрии задача нахождения неизвестной функции f(x) с компактным носителем supp f(x) С Rn, если известны интегралы

g(a,b) = I f(b+at)dt, a€Rn\{0} (12)

R

вдоль прямых, пересекающих этот носитель. Эта задача тесным образом связана с обратными задачами компьютерной томографии.

В первом параграфе третьей главы диссертации содержатся постановка задачи, а также обзор результатов, полученных к настоящему времени.

Во втором параграфе приведено обоснование алгоритма решения обратной задачи для уравнения (12). Алгоритм основан на факте, установленном Кирилловым7: зная интегралы от f(x), вычисленные вдоль прямых, пересекающих некоторое множество С С R" можно определить и интегралы от /(х) вдоль всех прямых, пересекающих выпуклую оболочку С — conv С.

А.С.Благовещенский8 получил в явной форме решение задачи восстановления функции п переменных с носителем в цилиндре 4-... + < 1, если известны ее интегралы по прямым, пересекающим (п — 2)-мерную сферу х\ + ... + = 1, хп = 0. Если мы знаем интегралы по прямым, пересекающим две взаимно перпендикулярные окружности, то в любом сечении, перпендикулярном им, можем получить полный набор данных для восстановления функции f(x), далее можно применять хорошо известные методы обращения.

На этом основан алгоритм, подробно изложенный в третьем параграфе. Приведены 4 рисунка, а также имеется результат тестирования данного алгоритма. Результаты этой главы опубликованы в [4, 5, 6, 7].

7Кириллов A.A. Об одной задаче И.М.Гельфанда// Локл. АН СССР.- 1961. -Т. 137, №2,- С.276-277.

8Благовещенский A.C. О восстановлении функции по известным интегралам от нее взятым вдоль линейных многообразий// Мат. заметки - 1986 - Т.39, №6.- С.841-849.

В заключение автор выражает глубокую признательность научным руководителям д.ф.-м.н., профессору Ю.Е.Аниконову и д.ф.-м.н., профессору В.П.Голубятникову за постановку задач и помощь в работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Аюпова Н.Б. О единственности решений интегральных уравнений первого рода// Единственность, устойчивость и методы решения некорректных задач математической физики и анализа.- Новосибирск, 1984.- С. 28-36.

2. Аюпова Н.Б. Формулы в задачах определения источников// Вопросы корректности и методы исследования обратных задач.- Новосибирск, 1986,- С. 47-57.

3. Аюпова Н.Б. Об обращении одного интегрального уравнения первого рода// Единственность, устойчивость и методы решения задач математической физики.- Новосибирск, 1987.- С. 22-24.

4. Аюпова Н.Б., Голубятников В.П. Алгоритмы решения обратной задачи рентгеновской томографии. // 4 Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии. Ташкент, 10-12 октября 1989 г.- Тез. докл. Ч. 1 .-Новосибирск, 1989 - С. 66-67.

5. Аюпова Н.Б., Голубятников В.П. Алгоритмы решения многомерных обратных задач интегральной геометрии и комплексы прямых и плоскостей// Методы исследования обратных задач.- Новосибирск, 1990. С.36-44.

6. Аюпова H.В., Голубятников В.П. Решение обратной задачи трехмерной томографии// Неклассические и некорректно поставленные задачи математической физики и анализа. Тез. докл. советско-итальянского симпозиума, 2-6 октября 1990 - Самарканд, 1990 - С.9.

7. Аюпова Н.Б., Голубятников В.П. Формулы обращения и алгоритмы в трехмерной томографии. // Некорректно-поставленные задачи в естественных науках. Тезисы международной конференции.- Москва, 1991- С. 63.

8. Аюпова Н.Б. Обратные задачи для эволюционного уравнения// Математические проблемы экологии.-Новосибирск, 1994.- С. 6-10.

9. Аюпова Н.Б. Обратные задачи для одного эволюционного уравнения// Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики. Тез.докл - Новосибирск, 1995 - С.12.

10. Аюпова Н.Б. О единственности решения интегрального уравнения I-рода в бесконечной области// 2 Международная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. Якутск, 1997.- [Новосибирск, ИМ СО РАН, 1997].- С.12-13.

11. Anikonov Yu.E., Ayupova N.B. On the mathematical models in the problems of ethnogeny and evolution of populations// Journal of Inverse and Hl-posed Problems, 1995.- Vol. 3, №5.-P.359-381.

12. Ayupova N.B. On correctness of the formulae of solution for the evolution equation// 2 Сибирский Кон-

гресс по Прикладной и Индустриальной математике (ИНПРИМ-96), посвященный памяти А.А.Ляпунова, А.П.Ершова, И.А.Полетаева, Тез. докл. Новосибирск, 1996.- часть 3. - С. 306.

13. Ayupova N.B. Formulas in problems of determination of sources// In: Anikonov Yu.E. Formulas in inverse and ill-posed problems. VSP, Utrecht, The Netherland, 1997. Sec. 2.6.- P. 60-65.

Аюпова Наталья Борисовна

ЕДИНСТВЕННОСТЬ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

Автореферат

Подписано в печать IHOI .SS Формат бумаги 60x84 1/16 Усл. печ. л. i 0 Уч.-изд. л. Тираж 115 экз. Заказ f

Издательство ИК СО РАН. 630090 Новосибирск, пр.Лаврентьева , 5

Отпечатано на полиграфическом участке ИК СО РАН. 630090 Новосибирск, пр.Лаврентьева. 5