автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Дискретные аналоги для решения задач теории оболочек с пространственных позиций (численные алгоритмы расчета НДС, устойчивости и поведения оболочек в области критического состояния равновесия)

На правах рукописи

ргб од

^ 7 ОЕВ 199&Мударисов Шаыгун шамсунович

ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК С ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПОЗИЦИЯ ( ЧИСЛЕННЫЕ АЛГСР1ШЫ РАСЧЕТА НДС, УСТОЙЧИВОСТИ И ПОВЕДЕНИЯ ОБОЛОЧЕК В ОЕ-ЕАСТИ КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ)

и5.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов а научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь 1995

Работа выполнена в Тверском государственном унивеэдитете,

(Д ^ 1 %

Научный руководитель - Кандидат физико-математических наук,

доцент Колдунов В.А.

Официальные оппоненты- Доктор физико-математических наук

профессор Жиганов Н.К.

Доктор физико-математических наук, профессор Андреева Е.л.

Ведущая организация - Томский государственный университет

Защита состоится ^^с; 1996 г. в^^часов -----

на заседании специализированного совета Д 065.97.01

в ТвЛУ по адресу:

170013 Тверь, ул. Желябова, 33

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета

Автореферат разослан 1995^ г<

У

Ученый секретарь специализированного совета Д 06с.97.01 кандидат физ.- математич.наук,доцент

лижняк В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Представлены результаты, связанные с применением вычислительной техники для решения задач о напряженно-деформированном состоянии (НДС), устойчивости и закритического поведения тонкостенных элементов конструкций (оболочек, панелей), с позиций трехмерной упругости анизотропных тел. А также совместного решения этих задач при взаимодействии тонкостенных элементов с деформируемыми телами (заполнителями) на основании единого численного алгоритма.

Актуальность темы. Увеличение доли композитных материалов в современных конструкциях вызывает необходимость разработки новых аффективных методов расчета на прочность и устойчивость композитных пластин и оболочек, в силу существенной анизотропии резко отличающихся от тонкостенных конструктивных элементов, выполненных из традиционных материалов.

В работах^, посвященных направлениям и перспективам развития механики деформируемого тела, отечественными и зарубежными учёными неоднократно отмечалась и отмечается потребность в разработке методов расчета анизотропных тонкостенных конструкций на основе трехмерной теории, позволяющих, наряду с экспериментом, получать наиболее полное представление о влиянии физико-механических характеристик и геометрических параметров на процесс деформирования, а также с целью выяснения возможностей и границ применения прикладных теорий для описания поведения элементов конструкций с необходимой точностью.

^ Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Изд-е 2-е первраб.и доп.- М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1972.192 с.

Бушнелл Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек - ловушка для проектировщиков. - Ракетная техника и космонавтика, 1981, т.19, № 10, с.93-154.

Гузь А.Н. О современных направлениях механики твердого деформируемого тела. - Прикладная механика, 1985, г.21, № 9,

' Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Изд-е 2-е пере-раб.и доп.- М.: Наука, 1987.- 360 с.

Образцов И.Ф. Проблема проектирования тонкостенных конструкций из композитных материалов. - Расчеты на прочность, сб.научных статей, в.30, 1989, с.3-6.

Наиболее строго расчет неоднородных пластин и оболочек может быть проведен на основе трехмерной теории упругости и пластичности, поэтому совершенствование, разработка и реализация новых численных алгоритмов решения этой проблемы актуальна и имеет важное практическое значение, позволяя решать сложные задачи механики деформируемых тел на базе современных ЭВМ.

Целью настоящей работы является построение и реализация новых алгоритмов, позволяющих на базе современной вычислительной техники, решать задачи прочности, устойчивости и закритического поведения в окрестности критического сйстояния равновесия оболочек и пластин, а также проводить совместный расчет оболочек, взаимодействующих с твердыми деформируемыми телами, с единых позиций трехмерной анизотропной теории упругости (без допущений, свойственных теориям оболочек различных приближений).

Научная новизна представленных результатов заключается в построении и реализации алгоритмов, позволяющих на базе современной вычислительной техники решать актуальные задачи, связанные с расчетами НДС, устойчивости и исследованием закритического поведения тонкостенных элементов конструкций с единых позиций трехмерной теории механики деформируемых тел. 3 возможности проводить совместное решение этих задач на случай взаимодействия тонкостенных элементов с твердыми телами, имеющими соизмеримую протяженность во всех направлениях, на основе единого алгоритма путем построения дискретных аналогов соответствующих функционалов теории упругости ортотропных тел и, тем самым, в расширении рамок применимости вариационных подходов и методов с учетом возможностей современных ЭВМ.

Научная и практическая ценность заключается в том, что на основании единого подхода в трехмерной постановке разработаны новые численные алгоритмы и отработаны методики решения задач прочности, устойчивости и поведения в области критического равновесия ортотропных оболочек, в том числе с учетом их взаимодействия с упругими деформируемыми телами.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением соответствующих вычислительных средств, математических методов« сравнением полученных результатов с известными численними и аналитическими решениями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы регулярно апробировались на совместных семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела Томского государственного университета и лаборатории тонкостенных конструкций НИИ г(рикладнод математики и механики при Томском государственном университете.

' Апробированы на Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, г.Таллинн, 1983 г.; Всесоюзной конференции по композитным материалам, г.Пермь, 1985 г.; Всесоюзной конференции по применению численных методов в механике сплошных сред, г.Калинин, 1991 г.

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры математического моделирования физико-механических систем Тверского госуниверситета, г.Тверь, 1991 г.; на научном семинаре в НИИ прикладной математики и механики при ТГУ, г.Томск, 1991 г.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы 7 научных работ в центральной печати и 8 специальных научных работ.

Объём работы, диссертация состоит из введения (с.Ч--7), трёх глав (е.»-//3), закличения (с J/Y-W&j, списка литературы /2/), включающего наименований, приложения (с(3.2. — /3$), содержит 5""?"рисунков, 2 таблиц.

Результаты исследования внедрены в производство. Пять актов о внедрении прилагаются.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Зо введении дается обоснование актуальности выбранной темы, касающейся проблемы расчета существенно анизотропных элементов тонкостенных конструкций с позиций трехмерной теории упругости на базе современной вычислительной техники.

Отмечается, что большинство известных научных разработок в этом направлении выполнено в рамках построения и реализации уточненных и неклассических моделей теории оболочек путем введения тех или иных уточнений или допущений. Это прикладные теории Гольденвейзера А.Л., Амбарцумяна С.А., Рейсснера Е., Векуа И.Н., Кильчевского H.A., Муштари Х.М., Воровича И.П., и др.

Расчет оболочек с пространственных позиций теории упругости предлолон в работах Г'узя А.Н., Григоренко Я.М., Василенко А.Т.,

Панкратовой Н.Д., Бабича И.Ю., Барашкова В.Н., Герасимова А»В., и др. Как успешную реализацию расчета композитных оболочек с позиций трехмерной теории упругости анизотропных тел с использованием современных вычислительных средств и методов, следует отметить работы, выполненные под руководством Кудинова А.Н. Данная работа является продолжением этого направления исследования композитных оболочек.

В первой главе приводятся основные исходные соотношения, касающиеся вариационных (линейной и нелинейной) постановок задач теории упругости ортотропных тел.

В основу построения предлагаемых численной модели и алгоритма решения положен вариационный принцип в форме Лагранжа. Вводятся конечно-разностные соотношения для построения дискретных аналогов функционалов полной потенциальной энергии деформации упругих систем, определение стационарного значения которых позволяет получать решения задач НДС оболочек, панелей с общих позиций трехмерной теории упругости.

На рис Л в качестве примера представлен шаблон для одного из предложенных аппроксимирующих соотношений на случай осесимметрич-ной деформации. Принимается, что усредненное перемещение I-ой ячейки (обозначена на рисунке двойной штриховкой) определяется через перемещения узлов, находящихся в месте пересечения координатных поверхностей в виде

где У -узловые перемещения U и.кГ (см.рис.1).

I^ Конечно-разностные производные

' в направлении координаты S :

i . + e-t-Vni-Y***-*. Sk£+S*e-i - St-te -5k-/ e-i

По координате % (направление нормали к срединной поверхности оболочки или панели) предлагаются межячеечные аппроксимирующие Ряс. I. соотношения вида

lЩjtm-íí-Ы-1 -¡¡v-iм i«t t U-it- frfe - jvím J

Штриховкой на рис Л обозначены ячейки, в формировании усредненных производных и перемещений которых учитываются перемещения в узле (K¿) конечно-разностной сетки при получении функционала энергии. Матрицы систем сеточных уравнения, полученных на основании таких аппроксимирующих выражений, имеют диагональную симметричную структуру с превалирующими элементами, расположенными по главной диагонали, которые соответствуют коэффициентам при искомых перемещениях в узлах К , £

На случай неосесимметричной деформации, т.е.пространственной конечно-разностной сетки (рис.2) учитывается увеличение вдвое узлов каждой h -ой ячейки и появление перемещений и соответствующих производных в направлении J3 , которые аналогичны соотношениям в направлении координаты 5 . На рис.4-7 представлены примеры ■ расчета по этой схеме ортотропных цилиндрических панелей (рис.Э), нагруженных внешним равномерным давлением при условии жесткого защемления на границах, в сравнении с результатами, полученными методом конечных разностей (МНР) на основании уравнений теории оболочек 1-го и 2-го приближений /2/.

Ríe. 2.

Рис. з.

Расчеты проведены для панелей с геометрическими параметрами, представленными в таблице:

Рис. Л/л 1/и | ¿А в

4 1/333 I/ 40 1/27 С/зо

5 1/166 1/83 1/166 ЯГ/э

6 1/33 1/17 1/33 2Г/3

7 1/20 1/10 'т/20 9Г/3

и следующими физико-механическими свойствами их материала: Ь= 7,8-Ю5 кг/см2, 5-Ю5 кг/см2, = б-Ю1* кг/см2,

Ь = 0,25, 0,48, Аг= 0,48,

. £»>&»= ЬА» , ,

<г«г = 2'105 кг/см2, £,» = <г,4 = 2-Ю1* кг/см2. Результаты, полученные по пространственной схеме расчета, нанесены штрих-пунктирной, по теории Тимошенко - штриховой и по теории Кирхгофа-Лява - сплошной линиями.

На рис.4, 5 представлены прогибы панелей, рассчитанные по теории Кирхгофа-Лява и по пространственной схеме. С увеличением модулей сдвига £¿3 и (¡-а прогибы (рис.4) уменьшаются и приближаются к прогибу, рассчитанному по оболочечной теории. ■ На рис.6 прогибы, рассчитанные по пространственной схеме,выше, чем рассчитанные по оболочечным теориям, которые практически совпадают. На рис.7 прогиб, рассчитанный по теории Тимошенко, занимает промежуточное положение.

Анализ проведённых расчетов показывает, что при выборе расчетной схемы следует учитывать кслс геометрию оболочек, так и физико-механические свойства материала.

Приводятся примеры расчетов, иллюстрирующие возможности предложенных алгоритмов при решении задач определения НДС орто-тропных цилиндрических оболочек; оболочек (панелей) тороидального типа.

Во второй главе описаны исходные соотношения вариационной постановки задач устойчивости оболочек в форме Брайана. На основании общих соотношений трехмерной теории упругости строится

»<ñ 1

Ni l

V.

Рас. б.

i

LyA

Рис. 5.

—-

— — 4

4 ч

1чА lg

. Рис. 7.

h

P:.c. -i.

алгоритм их численного решения^.

"Устойчивость равновесия системы исследуется при следующих допущениях.

1. Начальное невозмущенное состояние равновесия тела описывается уравнениями линейной теории упругости.

2. Изменениями размеров и формы тела в начальном состоянии равновесия можно полностью пренебречь.

3. Зависимости закона Гука справедливы не только для начального состояния, но и при малых отклонениях тела от начального состояния равновесия.

Для определения критического значения параметра нагрузки Puf нужно подсчитать изменение полной потенциальной энергии системы

Д5 с точностью до квадратов перемещений, описывающих переход системы в новое, отклоненное состояние, смежное с начальным состоянием равновесия, устойчивость которого исследуется. Собственные значения параметра нагрузки Рп, можно найтч из условия лЭ = 0 при дополнительном условии минимума параметра нагрузки Р . Первое собственное значение P¿ равно критическому значению Ркр , а первая собственная функция задачи описывает конфигурацию системы в момент потери устойчивости."

Проводится сравнение полученных результатов с известными решениями.

На рис.8 представлено сравнение зависимости параметра критической нагрузки f = Ркр/Рп (где • Рп - критическая нагрузка, определенная по формуле Папковича для изотропной стальной £ = 2-Ю6 кг/см , V = 0,3 - цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением) от параметра 2 = zP.Vl-iyJnL ( Í - длина оболочки, R - радиус, Д. -толщина) с некоторыми результатами работы других авторов^ для случая жесткой заделки торцов. Сплошной и пунктирной линиями нанесены результаты работы (I) для граничных условий шарнирного опирания и жесткой заделки. Треугольниками отмечены значения,

Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М., Машиностроение, 1978. - 312 с.

о

Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.11. Статика и динамика-тонкостенных оболочечкых конструкций. ~ М.: Машиностроение, 1975.- 376 с.

г

и

1.6 !А

а 1

ол

-" 1 * о к \ \

я»я> И'З \ А \ 0 \ С

Я--М 4 е-а> 1 <»6 « —0--- д» е^ьо___ ъ п 'Я' 1

N ои Ьг X А, 1-10 „п в-« ещ а ¡•10 Ыго А'ол

в

Рлс. е.

полученные при использовании условия скольжения по жесткой стенке в сечении оболочки V - 0 ( 1Г = О при V = 0), прямоугольниками - значения, полученные в предположении симметрии формы потери устойчивости относительно осевого сечения ( ТГ = О при 1С = 0 и (Р =5Г ). Постановка условий такого типа в сечениях V = 0 и Ц = ЗГ приводит к значите,"¡.той окономии памяти, так как позволяет обойти проблему цикличности решения при изменении угловой координаты от У * 0 до У = ИЛ . Кружочками отмечены результаты, полученные без этих допущений в случае реализации метода на сетке, образованной с использованием разбиения оболочки спиральным сечением (рис.9), что также позволяет избежать нерационального использования памяти ЭВМ, связанного с цикличностью решения. Геометрические параметры оболочек приведены на рис.8. Была рассчитана устойчивость цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением, при жесткой заделке и шарнирном опирании торцов, состоящей из двух ортотропных слоев одинаковой толщины, армированных в осевом (наружный) и окружном

Рис. 9.

(внутренний слой) направлениях. Физико-механические характеристики слоев в осях ортотропии одинаковы: £» = 7-10^ кг/см2,

£х = 1'105 кг/см2, ' £,= 1-Ю5 кг/см2, Ста- 0ч$ = Сгц = = 2-10^ кг/см2, =0.3. 0,0428.

При расчете вводились обобщенные жесткости пакета на основании формул преобразования тензора деформаций при повороте координатных осой. Значками "крестик" и "крестик в кружочке" на рис.8 отмечены полученные значения критических нагрузок для двух этих видов граничных условий, отнесенных к величине критической нагрузки, определенной по формуле, аналогичной формуле Папковича для орготропных оболочек.

Третья глава посвящена численному исследованию поведения цилиндрических оболочек в окрестности критического состояния равновесия.

При расчете начальных закритических деформаций используется метод продолжения решения по параметру, где параметром продолжения является длина дуги кривой, описывающей процесс деформирования, координатами которой являются узловые перемещения и параметр нагрузки. Переход к решению задачи по параметру продолжения предполагает применение метода ортогонализации для реаения системы линеаризованных по методу Ньютона сеточных уравнений. Ортого-нализация строк матрицы уравнений приведет к ортогональной, но полностью заполненной матрице, что потребует существенного увели-

чения памяти ЭВМ. Для того, чтобы сделать трудоемкость ортогона-лизации сравнимой с трудоемкостью метода Гаусса для ленточной матрицы, применяется частичная оптимизация параметра продолжения .

В качестве примера приведены результаты численного расчета закритического поведения изотропной (стальной) оболочки в сравнении с решениями, полученными И.Томито и А.Шиндо^ (на основании иного подхода) для упругих оболочек различных толщин (в том числе с учетом перехода в упруго-пластическую стадию).

Результаты сравнения приведены на рис.10, II.

На рис.10 приведена зависимость "нагрузка-прогиб" для оболочки толщиной I = £в/Яо ' 0,3 С ко - толщина оболочки,

/}„ - радиус срединной поверхности). Сплошными линиями изображены результаты И.Томиты и А.Шинды, значком " X " отмечено

p/p*f

i

M /

//

4« /

«7

HB

0.S- a

OM "чв

ft3

о-ог «гД, т йог Ui/Rg

Р. 1С. L0.

Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решений по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела.- М.: Наука, 1988,

о

Yosbihiro TVsitrj, Akio Shindo. Un the bifurentlon nr.d post'ol-furcni ion bchrviour of thir.k cíj-cnilnr plostic-pl^ntic tub3n

undrr lnt«r<il proi'puro // Co<i cúter,aetbodn tn crjpl iRtl т 'n i • =

nr.d r-nrír.rrrlr'r. - ;/>, 1¡ p. T:>.'

'появление пластических деформаций. Пунктиром приведены результаты, полученные по предложенному алгоритму, символом " (3 " обозначено появление пластических деформаций, точкой - момент потери устойчивости. Рис.П показывает критические нагрузки в зависимости от толщины оболочки. Значком " О " на рисунке обозначены результаты, полученные при решении задачи вариационно-разностным методом.

ч> /

1 / л-

щ/

/ ПРШЛ / ыпгасгн /®

0 М ОЛ 0.3 С.Ч ¿Че/ц,

Р:-С. 11.

Определяющие соотношения, описывающие упруго-пластическое поведение изотропной оболочки, имеют вид

Чтм.**-

где , б(Е " интенсивность деформации, напряжения соответственно; 6г - предел текучести.

Проведенные тестовые расчеты показали удовлетворительное сорпалонио результатов.

Па рис. 13, Г'* представлены результаты расчета плоского деформированного состояния ортотрочной оболочки, частично контактируе-

мой с заполнителем под действием равномерного внешнего давления. Система координат и вид взаимодействия оболочки с заполнителем показаны на рис.12.

Рис. 12.

В заполнителе имеется канал радиусом 1„= I см, внешний радиус оболочки 30 см, толщина А. = 0,6 см. Максимальное расстояние между оболочкой и заполнителем для координаты V = Ж ■ . равно =0,5 см. Физико-механические характеристики материала оболочки: Е^ б-Ю^ кг/см2, £41= 5'10'' кг/см2,

Ег = 8-Ю5 кг/см2, 2-Ю4 кг/см2, 2-105 кг/см2,

2-Ю'' ¡сг/см2, 0,48, 0,4, »>« = 0,48.

Характеристики материала заполнителя: Е " 100 кг/см2,

£ = 34 кг/см2. При расчете принималось, что окружные перемещения оболочки для координат ¥ = О, V = «К* и перемещения заполнителя по контуру канала и в сечении У = 5Г равны нулю. На границе контакта оболочки с заполнителем ставились условия скольжения. Расчет проводился для различных углов контакта Ук оболочки с заполнителем. Па рис.13 показана зависимость критической нагрузки от зоны контакта. Па рис.14 показан прогиб оболочки для координаты </? = 'х при = 36° для различных поилгонпх

Р/Ркр - /

J /

/

V*

Pire. 13.

нагрузок. Кривая I получена при шаговой нагрузка 0,1 , кривая П - при нагрузке 0,2 Ркр , кривая Ш - при 0,3 Ркр . Поиск предельной точки и расчет закритического деформирования велся о шагом t = 0,02 от первоначального шага для кривой I и шагом 0,04 для кривых П и Ш. Момент смены параметра на рисунке обозначен квадратиком для кривой Ш, треугольником - для кривой П и крестиком - для кривой I. Из графика видно, что докритические перемещония совпадают для различных нагрузок по шагам и различны после смены параметра. Для более точного анализа закритического деформирования необходимо перед потерей оболочкой устойчивости перейти на более мелкий шаг по нагрузке.

Проведенные расчеты подтверждают возможность построения и реализации численных алгоритмов решения задач тонкостенных оболо-чечных конструкций путем построения дискретных аналогов соответствующих функционалов, расширяя границы применимости общих вариационных подходов и методов теории упругости отротропных тел на базе современных вычислительных средств.

В приложении приведены выражения элементов матриц, необходимых для получения сеточных уравнений нелинейной задачи и задачи устойчивости ортотропных оболочек вращения.

На основании проведённых исследований, полученных в процессе реализации предложенных численных алгоритмов, можно подвести следующие итоги, отражающие содержание выполненной работы, и сделать основные выводи:

1. Разработаны новые модификации к.-р.аппроксимирующих соотношений для расчета НДС и устойчивости ортотропных оболочек, основанные, в отличие от традиционных (внутриячеечных) аппроксимаций операторов дифференцирования, на введении межячеечной связи при формировании разностных соотношений в направлении толщины оболочек.

2. Разработана методика расчета НДС ортотропных цилиндрических оболочек и панелей в линейной постановке.

Проведены исследования поведения цилиндрических оболочек и оболочек с заполнителем в зоне краевого эффекта. Сравнение полу-

ченных результатов с расчетами по оболочечным теориям первого, второго приближений (Кирхгофа-Лява, Тимошенко) указывает на то, что, исходя из предлагаемой пространственной схемы расчета, можно установить, когда следует учитывать и геометрию и влияние Физико-механических характеристик в случае существенной анизотропии материала оболочек.

Представлены результаты, иллюстрирующие возможность учета влияния кривизны срединной поверхности на НДС оболочек, на примере расчета ортотропных оболочек.

3. Предложенная методика распространена для решения задач в геометрически нелинейной постановке. Б нелинейной постановке представлены результаты расчетов НДС, устойчивости и закритиче-ского поведения отротропных цилиндрических оболочек и оболочек с заполнителем.

'». Предложенный алгоритм расчета оболочек с пространственных позиций трехмерной теории упругости анизотропных тел позволяет получать матрицы сеточных уравнений с превалирующими по величине элементами, расположенными по главной диагонали, даже для тонких и достаточно протяженных (в том числе сложных) оболочек с использованием ячеек к.-р.сетки, имеющих отношение линейных размеров, не поддающиеся реализации при обычной традиционной аппроксимации производных.

5. При совместном расчета НДС, устойчивости и закритического состояния оболочек с заполнителями в случае резкого отличия их жесткостных свойств (на два порядка и выше) для оболочек следует использовать межячеочные связи при формировании к.-р.соотношения для производных только вне ячеек, примыкающих к границе контакта. На границе контакта оболочки и заполнителя предпочтительнее традиционная (внутриячеечная) аппроксимация производных. Такой подход приводит к удовлетворительному результату и не требует излишнего мельчения сетки в зоне контакта.

6. Проведено совместное исследование устойчивости и закритического поведения оболочек и оболочек с заполнителем в окрестности критического состояния равновесия. Отработана реализация процедуры метода продолжения решения по параметру. Сравнение с известными результатами других авторов, полученными на основе других подходов и методов, отражает работоспособность предложенных алгоритмов.

7. Ks GuaGBê иуёдЛОлеааил ЗЛГирпхмОБ иш OxpSCOxSaii мёхйдиКК р9— галл Задан УСТОЙЧИВОСТИ И 30Крлх.ичВСК0Г0 ПиБсдёНКЯ Т0НК0Сх9ННЫХ ЖЗС-

рукций на основе трехмернсй теории Ses допущегай, свойственных теори-

м ОЗОЛОчеК роЗЛИЧНЫл ПухищПлВпИИ.

иСЕОЗНЫс реЗуЛЬТаТЫ ДКССерхЗЦИИ Оиу'иЛИКиВ&НЫ Б СЛсДушШИХ pSuOîSX;

1. КиддуНОБ S.A., туДайКСОВ Ш. ш. , ЧереПаНОв и. Ii. РзСЧбТ Кр'уТиБОИ подкрепленной ребрзни ютл йадрическои оболочки на основании сСщих соотношений теории упругости // Механика сплошных сред. - Тсиск: Том. ун-т, 1983, С. 5S-66.

2.Колдунов В.А., Кудиюв А.Н., ййкшин П. А., Мударисов Ш.Ш., Чергпа-ноз u.U. Анализ налуНженно-дефорыироБанного состояния озолоченных КОНСТРУКЦИИ С УЧеТшл аНИЗОТрОПИИ По OCïOBSHHK ПрОСхраНСТБе1ЕОИ чИСЛсННиИ СХвмЫ расчёта // 13 ЗСсССЗмаЯ КОпферёНДИЯ. "ТеОрИЯ

— ...... •> «II TT П T—w II I . 4ЛПП П СС СП

uMa/Jxaa а иииличеп . 1. о, хгиыилпп, ¿зоо, и. ии-ии.

3.Колдунов S.A., Муда?исав Ш.Ш, Черепанов O.Ii. Численный расчет НДС и устойчивости гладких и подкрепленных квшпзицитнкх оОолсчег на основе соохяошеккк корни упругости // Зс?сс«ззн5Я конференция по КОЫПиЗИЦЕТНКм Ы5х5р1аЛ5Ы! ТеЗ. ДОКЛ.— ПсрЕЬ, 1385. С. lu-11.

4.КОЛДУНОВ S.A. , муД35КСОБ Ш.Ш. , Чер9П5КСБ 0.11. РаОЧеТ УСТОЙЧИВОСТИ цилиндрическои оссшгчкк из коыпозицитного материала с пространственных позиции // УеХаНика деформируемого твердого тела. - Тскск:

., . — _ 4 0ПС л г»- пп

1ш. ул-'х, x30d. - о. эх" ээ.

с п а tt— ..... tt д i,.»..*«...».«*. ттт ттт tt«.. г\ tjt

w.лилдуаиа d.h. , шмш ix.м. , тудорпииа ш.ш. , черепешиа и. ja. гоьчех

НДС ирхотропнои ЩиШЩрнчеокиИ оболчки б îghs краевого эффекта // Механика деформируеюго тела. — Томск: Тек. ун-т, 1385.- C.86-SG.

5.КОЛдуНОВ S.A. , мудйрКСйВ ¡¿LS. , ЧерёПсзНСЗ о.И. ЧИОЛВННЫИ Р3£ч9~ цилиндрических анизотропных оболочек в зсЕе краевого оцд^екта по пространственной ехэле // lisKenepHO—физичвекии сборник. — Тскск:

т.... 4 rtqrr п сп стт

iuu. уа х, хэсн,— u.jc'ui ■

г* -........ ri a * ттт ттт rw™ l\ tt tt я.. п tjt тт.-

i .i\uj±aynuj3 п.н. , мудецияииа ш.ш. , олдиреали v.n. , itrpexioaua u./i. jü"

ругая и упрутспласшческая деформация шлиндрическои оболочки в геометрически нелинз-кои постановке: плоская деформация и слу—

нам. ииеаий ипммег^пя // айди.- химил: хх-г, хаэх.- u.uu

8.Ь5ударисов ш.ш., Черканов С.И. Расчет геометрически нелинешого

осесимметричного де$зрмирозания и устоичгвости ептотропнои пи.................; n ......... — л. . // vfïïtt _ т-«,,«.. тпт г (ппп

.лхшд^У1Чсгили1г1 ииишичгох осаииоитхедегк // иДдхх. iuuunl хх j , ¿аэй.

С. 108-112.

З.^шшпин U.A., Герасиюв А.Б., Е^лкин Е.Е., сударисов ш.ш. и др. Новые расчетно- зкепернментальные методик!'! определения упруги! и прочностных характеристик материалов и прочностного позедсния

—Tir ' f I... ППП П * А ЛС

jvjaLi'ivyiuMiia // иеаси'хш ayeua. wwesima, 14t, хээо.