автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.18, диссертация на тему:Динамика маятниковых систем в условиях механических и магнитных вибраций

На правах рукописи

ПЕТРИЩЕВ МАКСИМ СЕРГЕЕВИЧ ООЗОбЗУг: 1

ДИНАМИКА МАЯТНИКОВЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ МЕХАНИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВИБРАЦИЙ

Специальность 05.02.18 - Теория механизмов и машин

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2007

003053021

Работа выполнена на кафедре Мехатроники Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Мусалимов Виктор Михайлович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Беляев Александр Константинович кандидат технических наук, доцент Сенчурин Леонид Порфирьевич

Ведущая организация: СПбФ ИЗМИРАН им. Н.В. Пушкова

Защита состоится « 06 » марта 2007 г. в 15— часов на заседании диссертационного совета Д212.227.04 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, д. 49, аудитория 2S9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГ'У ИТМО.

Автореферат разослан 2007 г.

Отзывы и замечания (в 2 экз.) по автореферату направлять по адресу университета: 197101, Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, д. 49, Ученому секретарю диссертационного совета Д212.227.04

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.227.04 к.т.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В динамике нелинейных электромеханических систем решение задач наталкивается на многочисленные математические проблемы. Основная проблема состоит в отсутствии общей теории колебаний сильно нелинейных систем при отсутствии малого параметра и в появлении «странных» особенностей даже при рассмотрении достаточно простых модельных систем, таких как аттрактор и хаос.

Как правило, в качестве «простой» модельной системы вынужденных колебаний с аддитивным и параметрическим воздействием рассматривается маятник с вибрирующей точкой подвеса. Это обусловлено тем, что соответствующее уравнение довольно часто встречается в различных областях физики: механике, электродинамике, физике плазмы и т.д.

Впервые на устойчивость состояния перевернутого маятника указал Ван-дер-Поль в 1925 году. В 1950 году П.Л. Капица, используя метод приближенного решения, описал и экспериментально продемонстрировал эффект перевернутого маятника («маятника» Капицы).

Явления динамической устойчивости неустойчивых состояний упругих систем в статике были обнаружены В.Н. Челомеем в экспериментах с вибрирующими жидкостями и твердыми телами.

Исследованию динамики маятника при вибромеханическом возбуждении точки его подвеса посвящены работы Ландау Л.Д., Лифшица Е.М., Блехмана И.И., Пановко Я.Г., Фролова К.В. Фрадкова А.Л., Мельникова Г.И., Джашитова В.Э. Исследованием динамики маятниковых систем в магнитных полях занимались Ходжаев К.Ш., Скубов Д.Ю., Беляев А.К.

В данной диссертационной работе исследуется динамика маятниковой системы при раздельном и совместном действии вибромеханического и магнитного возмущений. Практическая значимость результатов работы показана на примере магнитостатического вариометра, который решает задачи определения и локализации действия электромагнитных и магнитных полей.

Цель диссертационной работы — исследование динамики маятниковых систем в условиях механических и магнитных вибраций.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1) Построить математические модели маятниковых систем в условиях механических и магнитных вибраций.

2) Исследовать положения равновесия при действии на систему магнитного и вибромеханического возмущений.

3) Оценить состояния устойчивости в пространстве физико-механических, геометрических и магнитных параметров системы.

4) Систематизировать состояния равновесия в указанном пространстве.

5) Разработать методику проектирования магнитных вариометров на основе анализа состояний равновесия маятника при действии механических и магнитных вибраций.

6) Дать рекомендации по конструированию магнитных вариометров.

Основные положения, защищаемые в диссертации:

1) Возможность стабилизации нижней полуокружности угловых положений в результате действия возмущения в горизонтальном направлении.

2) Возможность стабилизации всей окружности угловых положений в результате совместного действия вибромеханического и магнитного возмущений.

3) Вывод системы внешним воздействием на границу устойчивости при стабилизации «физически» неустойчивых положений равновесия.

4) Значение агрегатного коэффициента, связывающего физико-механические, геометрические и магнитные параметров системы, определяет положение равновесия системы.

5) Возможность создания датчиков со сверхвысокой чувствительностью при динамической устойчивости положений равновесия.

6) Возможность скачкообразных сверхбыстрых и безударных переключений между положениями равновесия.

Методы исследования. Основные результаты работы получены численным исследованием математических моделей, составленных по уравнениям Лагранжа и Лагранжа-Максвелла. Анализ производился оценкой колебательных процессов, фазовых портретов, поверхностей состояний равновесия и контурных диаграмм. В работе использованы методы теории динамических систем, теории нелинейных колебаний.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• построена связанная система уравнений движения маятниковой системы в условиях механических и магнитных вибраций.

• впервые исследованы состояния равновесия маятниковой системы в пространстве ее физико-механических, геометрических и магнитных параметров;

• установлена физическая сущность агрегатного коэффициента, связывающего физико-механические, геометрические и магнитные параметры системы;

• исследованы режимы скачкообразных переключений, что позволяет проектировать высокоскоростные переключатели для различных областей науки и техники.

• разработана методика проектирования высокочувствительных датчиков магнитных и вибрационных полей, а также силовых электромеханических элементов;

• даны рекомендации по проеетированию магнитных вариометров.

Внедрение результатов диссертационной работы вносит значительный вклад в

развитие теории электромеханических систем, в частности по изучению поведения нелинейной системы с одной механической степенью свободы под действием двух возмущений.

Достоверность научных результатов, полученных в работе, обеспечивается строгостью постановки задач, применяемых математических методов, статистической обработкой полученных результатов. Обработка экспериментальных данных проводилась на базе кафедры Мехатроники СПбГУ ИТМО.

Практическая ценность работы заключается в получении общих результатов исследований, позволяющих проекгировать и улучшать характеристики существующих электромеханических приборов и силовых элементов. К ним относятся чувствительные элементы и датчики различных полей, транспорт на магнитной подвеске, силовые элементы. По результатам диссертационной работы получен патент РФ на конструкцию и принцип действия датчика магнитометра, подана заявка на патент РФ на конструкцию и принцип действия устройства для измерения параметров магнитного поля. Результаты работы внедрены в ИАнП РАН и в учебный процесс кафедры Мехатроники СПбГУ ИТМО при проведении занятий со студентами по курсу «Аналитическая механика».

Реализация работы. Проведенные в диссертационной работе исследования применялись при улучшении параметров магнитостатического вариометра, связанных с повышением его чувствительности, выпускаемого СПбФ ИЗМИР АН.

Работа получила развитие и поддержку в рамках стипендии Леонарда Эйлера № 06/31629 (2006) по программе академических иностранных обменов DAAD (Германия).

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на 7 Сессии международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов» VPB-05, Санкт-Петербург, 2005; I Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Робототехника, мехатроника и интеллектуальные системы», г. Таганрог, 2005; семинаре политехнического симпозиума «Молодые ученые - промышленности СевероЗападного региона», Санкт-Петербург, 2005; на XXXV научно-методической конференции ППС СПбГУ ИТМО, Санкт-Петербург, 2006; VIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 2006; XI Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, г. Нижний Новгород, 2006.

Публикации. По материалам диссертационных исследований опубликовано 8 работ, в том числе в журнале «Известия ВУЗов. Приборостроение» и получен патент РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 5 приложений, библиографического списка из 63 наименований. Объем диссертации с приложениями 139 страниц.

Первая глава посвящена рассмотрению состояния вопроса и постановке задач исследования. Делается обзор истории возникновения задачи исследования маятниковых систем, подходов к ее решению. Отмечаются сложности, связанные с решением нелинейных задач. Делается акцент на существование неустойчивых положений равновесия и пути их динамической стабилизации.

Во второй главе рассмотрена динамика маятниковой системы с одной степенью свободы. Рассмотрены случаи вибрационного возбуждения точки подвеса (рис. 1, а) и электромеханическая маятниковая система в переменном магнитном поле, роль твердого тела в которой играет замкнутый контур тока г, жестко соединенный с подвесом невесомым стержнем длиной I (рис. 1, б).

а) ОГ1 б)

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

У

а

У

х

пщ

Рис. 1. Расчетные схемы маятниковой системы под действием одного возмущения: а) механическая вибрация оси подвеса; б) переменное магнитное поле

Для представленных схем составляются уравнения движения. В случае действия вибрации на ось подвеса они составляются по уравнениям Лагранжа II рода и имеют вид:

- Случай действия вибрации в вертикальном направлении:

mf-ф + mgl sin (р - n^mgl sin(o/) %\п<р + пф = 0.

- Случай действия вибрации в горизонтальном направлении:

т12ф + mgl sin <р - nmymgl sin(ú«) eos <р + пф = 0,

где m — масса маятника; l - длина стержня; n^, nmy - безразмерные относительные амплитуды виброперегрузок в вертикальном и горизонтальном направлениях; со - частота вибрации; п - коэффициент вязкого трения.

В случае действия переменного магнитного поля на электромеханическую систему они составляются по уравнениям Лагранжа-Максвелла и имеют вид:

- Случай действия поля в вертикальном направлении:

¿Г -г B0S sin vt eos <рф+B0S v eos sin <p + Ri = 0, 1ф - B0S sin vt eos epi+mgl sm (p - 0.

- Случай действия поля в горизонтальном направлении:

L/* - £0S sin W sin + B0S v eos v t eos <p + Ri = 0, 1ф + B0S sin v t sin <p i+mglsiti (p = 0,

где I - момент инерции контура относительно оси, проходящей через точку подвеса; т - масса контура; L — коэффициент самоиндукции контура тока /; В0 - амплитуда магнитного поля; v - частота магнитного поля; S - площадь рамки; R -омическое сопротивление проводящего контура; g - ускорение свободного падения (g = 9.81 м/с2).

Проводится исследование медленных движений, близких к свободным колебаниям маятника. Осуществляется переход к безразмерным параметрам: относительной частоте е = -Jñtgl/f lv, агрегатному коэффициенту у - (B0S)2 / Lmgl, и безразмерному внутреннему сопротивлению r = Rlhv.

Под агрегатностью понимается включение фактически всех параметров системы за исключением обобщенных координат - в данном случае угла <р.

Произведя ряд приближений и преобразований, и учитывая внешнее вязкое трение с коэффициентом и, были получены уравнения движения в виде:

а) случай действия поля в вертикальном направлении:

ф + s(n - a cos2 (р) • ф + (ß cos <р +1) sin (р = 0.

б) Случай действия поля в горизонтальном направлении:

ф + е(п - a sin2 <р) • ф + (1 - ß cos <р) sin <р = 0.

В представленных уравнениях введены следующие обозначения:

а=—/* =-Г—Г-

2(1 +г ) 2(1 + г )

Для полученных уравнений были составлены расчетные схемы в пакете при1сладных программ (ППП) MatLab и осуществлено численное исследование поведение систем в зависимости от различных сочетаний параметров.

В случае действия вертикального магнитного поля в зависимости от величины ß маятник имеет два положения равновесия. При ß < 1 положения равновесия <р = 0,7Г, - нижнее устойчиво, а верхнее неустойчиво. В случае ß > 1 верхнее положение становится устойчивым.

В диапазоне параметров п>а верхнее и нижнее положение маятника устойчивы, т.е. имеет место эффект стабилизации неустойчивого верхнего положения равновесия за счет действующих электромагнитных сил. При п — а устойчивый фокус в положениях равновесия <р = 0,тг переходит в сложный фокус первого порядка.

При дальнейшем уменьшении п эти положения равновесия теряют устойчивость с мягким рождением предельных циклов, что означает возникновение в системе автоколебаний около нижнего и верхнего положений равновесия.

Дальнейшее уменьшение трения п приводит к срыву автоколебаний. При этом в зависимости от величины ß маятник начинает вращаться либо по часовой (ß>\), либо против часовой стрелки (ß< 1) с частотой, меньшей частоты внешнего магнитного поля.

Необходимо отметить, что качественно картина похожа на случай вибрационного возбуждения точки подвеса в вертикальном направлении.

В случае действия магнитного поля в горизонтальном направлении не наблюдается такой ярко выраженной зависимости от сочетания параметров а я п.

Наибольшее влияние на поведение системы оказывает параметр /?. На рис. 2 приведен график положений равновесия системы в зависимости от изменения параметра Д который составлен для начального угла отклонения <р0 =135°. При /?<0 для случая действия магнитного поля в горизонтальном направлении слагаемые уравнений при этр будут равны. Следовательно, можно ожидать от системы характерного поведения как при действии магнитного поля в вертикальном направлении, что и было получено. Однако характерная для случая действия магнитного поля в вертикальном направлении граничная точка /? = 1 (смена положения равновесия с ж на 0) смещается по шкале /? вправо из-за неполной идентичности уравнений и в данном случае составляет /? = 1,416.

-180Г

-2 | -1 О 1| 2 I 3 4

1 11 2.61 423 5 42 6 42

6 17 8 9 10 11 12 13

в

Рис. 2. График положений равновесия при а=0.5, «=0.4, <р0 = 135°

Следует отметить, что для симметричного угла отклонения относительно нижнего положения (т.е. (ра = -135°) график представляет собой зеркальное отражение относительно 0°, но, чтобы не загромождать рисунок, эта ветвь не приведена.

Кроме того, как видно из графика положений равновесия, по шкале изменения параметра /3 помимо особой точки /?=1,416 существует еще набор особых то-

чек, в которых происходит мгновенная скачкообразная смена положения равновесия на симметричное ему относительно нижнего положения равновесия. Таким образом, наблюдается эффект переключений. Причем переключения сверхбыстрые и «мягкие», т.е. безударные. Можно считать, что система находится на границе устойчивости, а эффект переключений использовать для построения высокочувствительных систем.

В третьей главе рассмотрена динамика электромеханической маятниковой системы под одновременным действием двух возмущений. Роль твердого тела также играет замкнутый контур тока /, жестко соединенный с подвесом невесомым стержнем длиной /. Система находится в переменном магнитном поле ¿^¡пЛ, ось подвеса подвержена гармонической вибрации автоН. На рис. 3 приведены четыре типовые ситуации сочетания линий действия возмущений.

Отмечается, что при расположении основания под углом а к горизонту получаются две обобщенные схемы (рис. 4).

Уравнения движения составлены по уравнениям Лагранжа-Максвелла, которые описывают взаимосвязанные электромагнитные и механические процессы в электромеханической системе. В безразмерном (быстром) времени г = V? они имеют вид:

— магнитное поле в вертикальном направлении

-е2увш г+ е2 Бтр- е2 бт.{Ит\пту $т<р + птхъо&<р) + £2пф = О,

\ » ' т

Рис. 3. Основные расчетные схемы маятниковой системы

г* + бш т со $<рф + соб ГБт(с> + п„ = 0.

- магнитное поле в горизонтальном направлении

ф + е2у%ттът(р1и +е2 ьтф-Е1 зт(йг\пту %\пср + птх соБ^ + г2пф- О, /* - бш Т5'т<рф + соэ г соб ср + пи =0.

Рис. 4. Маятник в переменном магнитном поле на вибрирующем основании

В этих уравнениях введена безразмерная частота И-со IV, которая характеризует отношение частот внешних возмущений. Для этих выражений также были составлены расчетные схемы в ППП МаНаЬ и исследована динамика систем.

Анализ действия совместного действия возмущений проводился по поверхностям состояний равновесия. Они построены сведением результатов исследований в матрицу. По осям абсцисс и ординат откладывались параметры системы, а по оси уровня - средний угол отклонения маятниковой системы на конечном временном отрезке <рк.

При проецировании поверхностей состояний равновесия на нулевую плоскость (сечение поверхности при <рк = 0) получены контурные диаграммы, анализ которых показал, что они представляют собой аналогию диаграммы Айнса-Стретта для электромеханических систем. На диаграммах четко различаются зоны устойчивых и неустойчивых состояний системы, а также кривыми отмечаются границы перехода состояния системы из одного состояния в другое (переключения).

На рис, 5 представлены результаты по исследованию влияния частот е и А на конечный угол отклонения системы.

Рис. 5. Влияние частот е и И на конечный угол отклонения системы при действии магнитного поля и механической вибрации в вертикальном направлении: а) поверхность состояний равновесия; б) контурная диаграмма

Из анализа рис. 5 следует, что предпочтительными для работы являются горизонтальные участки поверхности, поскольку поведение системы на этих участках прогнозируемо. Также на рис. 5 видны участки хаотического поведения, предварительный анализ которых показывает наличие их фрактальной природы, однако исследование фрактальности выходит за рамки данного диссертационного исследования.

Отмечено, что наибольшей чувствительностью к изменению частоты внешнего возмущения система обладает при действии механической вибрации и магнитного поля в вертикальном направлении.

Наиболее информативным является исследование по оценке влияния параметров возмущения на динамику системы. Выяснено, что коэффициент вязкого трения п отвечает за сжатие по оси амплитуды виброперегрузки, а коэффициент внутренней диссипации г - за коэффициент масштаба по обоим осям (рис. 6).

На рис. 7 представлен фрагмент контурной диаграммы. Представлена кривая, соответствующая сочетаниям амплитуды вибрации и величины магнитного поля в вертикальном направлении, при которых осуществляется выход маятниковой системы в верхнее положение равновесия. Пунктирными линиями, смещенными на некоторое расстояние от кривой, обозначен допуск на погрешности

численного моделирования и погрешности измерения параметров. Также представлены графики колебательных процессов.

МП-Ц,В- * 1 ^ =0.0-1 30 1 Т г« -и.о.? к^г. Ш 0; ("О-,

ШтшШ^ ч

-

г, = 0,707; г = 0,9; п = 0,9; г — 0,9; п — 0.707, г — 0,707. п = 0,9. г = 0.707,

{ а \ / // г Ч '/ у / / ¿К5* Й / "л■' Г г % \ Ч" ^ * V Л * «

Рис. 6. Исследование влияния коэффициентов диссипации на конечный угол отклонения системы при действии магнитного поля и механической вибрации в вертикальном направлении

Рис. 7. Влияние амплитуды механической вибрации и величины магнитного поля на выход маятниковой системы в перевернутое (верхнее) положение равновесия

Также на рис. 7 проведены вертикальная и горизонтальная линия, по которым проводились исследования чувствительности системы. При переходе через точку у=1,845 происходит жесткая потеря устойчивости со стабилизацией верхнего положения равновесия.

При фиксированной величине магнитного поля и переменной амплитуде вибрации, а также при переменной величине магнитного поля и фиксированной амплитуде вибрации наблюдается сверхвысокая чувствительность системы, поскольку малейшее изменение параметра внешнего возмущения приводит к значительным изменениям характеристик колебательного процесса.

В главе отмечается, что при расположении основания под углами к горизонту, не кратным л/2, возможна стабилизация верхней полуокружности угловых положений равновесия. Таким образом, при совместном действии механического и магнитного возмущений становится возможным стабилизировать систему во всей окружности угловых положений равновесия.

В четвертой главе представлена классификация магнитометров, рассмотрены особенности конструкции магнитостатических вариометров торсионного типа, выпускаемого СПбФ ИЗМИР АН.

Магнитостатический вариометр основан на измерении механического момента ./, действующего на индикаторный магнит прибора в измеряемом поле Нкт; У = [А/, #ИЗм], где М— магнитный момент индикаторного магнита. Момент У сравнивается с моментом кручения нити.

Основное назначение магнитостатического вариометра— измерение отклонения компонент и абсолютной величины напряжённости геомагнитного поля, градиента поля, а также магнитных свойств веществ.

На рис. 8 приведена принципиальная схема магнитостатического вариометра, чувствительный элемент которого представляет собой магнит 6, подвешенный между плоскими пружинами 2 на нерастяжимой нити 4, закрепленной во втулках 3.

/

3

2

0

Рис. 8. Принципиальная схема магнитостатического вариометра: 1 - стойка; 2 - плоские пружины; 3 - втулки; 4 - подвес (нить), 5 -втулка, 6 - магнит, 7 - зеркало, 8 - катушки индуктивности

Под действием изменяющегося внешнего магнитного поля происходит поворот магнита б относительно оси подвеса 4. На втулке 5 жестко закреплено зеркало, на которое с излучающего светодиода падает оптическое излучение. Отраженный луч принимается фотодиодами. С фотодиодов снимается разность фототоков, в предусилителе датчика происходит фильтрация сигнала по низким частотам, затем производится усиление и распределение сигнала - на АЦП и в цепь обратной связи. Катушки индуктивности (обратной связи) создают магнитное поле, препятствующее повороту магнита на угол (р.

Магнитостатический вариометр представляет собой электромеханическую систему, уравнение движения которой имеет вид:

где со0 — собственная частота системы при учете обратной связи; М- магнитный момент магнита; У— момент инерции магнита относительно поперечной оси; И -коэффициент затухания датчика; Н- величина внешнего магнитного поля.

Из внешнего вида уравнения движения видно, что оно является типовым и описывает движение одномерного осциллятора или маятника. Данное обстоя-

тельство позволяет применить результаты диссертационного исследования для улучшения параметров магнитостатического вариометра, связанных с повышением его чувствительности.

В диссертационной работе отмечается, что в настоящей конструкции не достигнута предельная чувствительность механической части прибора. Предлагается использовать альтернативные маятниковые чувствительные элементы, обладающие сверхвысокой чувствительностью за счет использования неустойчивости состояния чувствительного элемента в положениях, отличных от нижнего.

В частности, предлагается датчик магнитометра (рис. 10), чувствительный элемент представляет собой так называемый перевернутый маятник, состояние которого в верхнем положении неустойчиво. Под действием сколь угодно малого внешнего воздействия перевернутый маятник стремится занять нижнее, устойчивое положение.

Рис. 10. Датчик магнитометра на основе маятника Капицы: 1 - стержень, 2 - основание, 3 - магнит, 4 - упругие опоры, 5 - актюатор, 6 -блок управления актюатором, 7 - блок управления сбором информации, 8 - источник светового излучения, 9 - зеркало, 10 — приемник светового излучения

Датчик обладает повышенной (порядка 105) чувствительностью к внешним воздействиям за счет использования неустойчивости состояния чувствительного элемента в верхнем положении. Устойчивое состояние чувствительного элемента в верхнем положении обеспечивается организацией вынужденных вертикальных

?_ 3

Ж

колебаний основания, с которым он шарнирно соединен. Колебания основания обеспечивает жестко соединенный с ним актюатор, который осуществляет линейные перемещения (вибрации) вдоль вертикальной оси. Таким образом, актюатор обеспечивает вибрационную стабилизацию верхнего положения чувствительного элемента. Малейшее изменение величины электромагнитного поля (вариация) ведет к изменению устойчивого положения стержня чувствительного элемента, которое отличается от исходного на угол, пропорциональный этой вариации.

В главе также приведена методика проектирования магнитных вариометров на основе анализа состояний равновесия маятниковой системы в условиях механических и магнитных вибраций и даны рекомендации по конструированию магнитных вариометров. Определяющим является агрегатный коэффициент у.

В приложениях приведены некоторые даты истории вопроса, тексты патента на «Датчик магнитометра» и заявки на изобретение «Устройство для измерения параметров магнитного поля», акт внедрения, результаты численных исследований и программа по построению поверхностей состояний равновесия и контурных диаграмм в ППП МаНаЬ.

Основные выводы и результаты работы:

1. Построена связанная система уравнений движения маятниковой системы в условиях механических и магнитных вибраций.

2. Впервые исследованы состояния равновесия маятниковой системы в пространстве ее физико-механических, геометрических и магнитных параметров.

3. Установлена физическая сущность агрегатного коэффициента, связывающего физико-механические, геометрические и магнитные параметров системы.

4. Исследованы режимы скачкообразных переключений, что позволяет проектировать высокоскоростные переключатели для различных областей науки и техники.

5. Разработана методика проектирования высокочувствительных датчиков магнитных и вибрационных полей, а также силовые электромеханические элементы.

6. Даны рекомендации по проектированию магнитных вариометров.

Суммируя полученные результаты, можно констатировать, что цель диссертационной работы, заключающаяся в исследовании динамики маятниковых систем в условиях механических и магнитных вибраций, достигнута.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Мусалимов В.М., Петрищев М.С., Чан Нгок Чау. Моделирование динамики нелинейных маятников на вибрирующем основании // Изв. вузов. Приборостроение. №7, Т.49 (2006). С. 48 - 51.

2. Патент РФ № 2287837, МПК G 01 R 33/038, опубликованный 20.11.2006 в Бюл. № 32. («Датчик магнитометра», авторы: Копытенко Ю.А., Коробейников А.Г., Мусалимов В.М., Петрищев М.С., Сергушин П.А., Ткалич В.Л.)

3. Петрищев М.С., Чан Нгок Чау. Динамика нелинейных маятников в условиях магнитных и вибрационных воздействий // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (22 - 28 августа 2006). Аннотации докладов. Т.1 - Нижний Новгород: Изд-во НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006. С. 95.

4. Бертрам Т., Центнер И., Петрищев М.С. Магнитные датчики // Материалы Седьмой сессии Международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов» VPB-05. - СПб: ИПМаш РАН, 2005, С. 64.

5. Петрищев М.С., Мусалимов В.М. Микромеханический магнитометр и моделирование динамики его чувствительного элемента // Материалы докладов VIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», 2006. С. 3.

6. Петрищев М.С. Динамика чувствительных элементов магнитометрических систем // Материалы I Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Робототехника, мехатроника и интеллектуальные системы». (12 - 14 октября 2005 г.). - Таганрог: ТРТУ, 2005. С. 137-143.

7. Петрищев М.С. Динамика маятниковых систем в магнитных полях // Материалы семинаров политехнического симпозиума «Молодые ученые -промышленности Северо-Западного региона». Декабрь 2005 г. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2005. С. 67 - 68.

8. Мусалимов В.М., Петрищев М.С., Чан Нгок Чау. Динамические эффекты нелинейных маятников и их учет при проектировании чувствительных элементов мехатронных систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Выпуск 31 (2006). С. 227 - 232.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 4669 Тираж юо экз.

Перечень обозначений.

Введение.

1 Состояние вопроса и задачи исследования.

1.1 Особенности исследования динамики нелинейных систем.

1.2 Методы решения задачи.

1.3 Цель работы и задачи исследования.

2 Динамика маятниковых систем при однонаправленной вибрации.

2.1 Нелинейный маятник на вибрирующем основании.

2.1Л Математическая модель системы на вибрирующем основании.

2.1.2 Методы исследования нелинейных систем.

2.1.3 Аналитическое исследование.

2.1.4 Численное исследование задачи.

2.1.5 Результаты и выводы.

2.2 Маятниковая система в переменном магнитном поле.

2.2.1 Математическая модель электромеханической системы в переменном магнитном поле.

2.2.2 Численные исследования.

2.2.3 Результаты и выводы.

2.3 Выводы.

3 Динамика маятниковых систем под действием двух возмущений.

3.1 Математическая модель маятниковой системы в условиях механической и магнитной вибраций.

3.2 Результаты численного исследования.

3.2.1 Магнитное поле и вибрация в вертикальном направлении.

3.2.2 Магнитное поле в вертикальном направлении, вибрация в горизонтальном.

3.2.3 Магнитное поле в горизонтальном направлении, вибрация в вертикальном.

3.2.4 Магнитное поле и вибрация в горизонтальном направлении.

3.2.5 Магнитное поле и вибрация в произвольном направлении.

3.2.6 Анализ влияния параметров системы.

3.3 Выводы.

4 Методика проектирования магнитных вариометров.

4.1 Особенности конструкции магнитостатического вариометра.

4.2 Вариометр как электромеханическая система.

4.3 Чувствительность прибора и пути ее повышения.

4.4 Альтернативные конструкции устройств для измерения параметров магнитных полей.

4.4.1 Датчик магнитометра для измерения вертикальных магнитных полей.

4.4.2 Устройство для измерения параметров горизонтальных магнитных полей.

4.5 Методика проектирования электромеханической части магнитных вариометров.

4.6 Рекомендации по конструированию магнитных вариометров.

4.7 Выводы.

В динамике нелинейных электромеханических систем решение задач наталкивается на многочисленные математические проблемы. Основная проблема состоит в отсутствии общей теории колебаний сильно нелинейных систем при отсутствии малого параметра и в появлении «странных» особенностей даже при рассмотрении достаточно простых модельных систем, таких как аттрактор, хаос.

Как правило, в качестве «простой» модельной системы вынужденных колебаний с аддитивным и параметрическим воздействием рассматривается маятник с вибрирующей точкой подвеса. Это обусловлено тем, что соответствующее уравнение довольно часто встречается в различных областях физики: механике, электродинамике, физике плазмы и т.д.

Впервые на устойчивость состояния перевернутого маятника указал Ван-дер-Поль в 1925 году [63]. В 1950 году П.Л. Капица, используя метод приближенного решения, описал и экспериментально продемонстрировал эффект перевернутого маятника («маятника» Капицы) [22].

Явления динамической устойчивости неустойчивых состояний упругих систем в статике были обнаружены В.Н. Челомеем в экспериментах с вибрирующими жидкостями и твердыми телами [52].

Исследованию динамики маятника при вибромеханическом возбуждении точки его подвеса посвящены работы Ландау Л.Д. [26], Блехмана И.И. [7, 8, 13, 57], Фрадкова А.Л. [49], Фролова К.В. [15], Мельникова Г.И. [30], Пановко Я.Г. [38], Джашитова В.Э. [22]. Над исследованием динамики маятниковых систем в магнитных полях работают Ходжаев К.Ш. [48], Скубов Д.Ю., Беляев А.К. [56].

В данной диссертационной работе исследуется динамика маятниковой системы при раздельном и совместном действии вибромеханического и магнитного возмущений. Практическая значимость результатов работы показана на примере модернизации магнитостатического вариометра, который решает задачи определения и локализации действия электромагнитных и магнитных полей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Таким образом, в данной диссертационной работе произведено исследование динамики поведения маятниковых систем в условиях механических и магнитных вибраций.

В результате анализа полученных результатов установлено, что у нелинейного маятника имеются нетривиальные динамически устойчивые положения равновесия. При действии возмущения в вертикальном направлении таковым является исключительно верхнее положение равновесия (перевернутый маятник). При действии возмущения в горизонтальном направлении в системе возникает ряд динамически устойчивых положений равновесия, предельными из которых являются горизонтальные.

Установлено, что путем комбинации возмущений - механического и магнитного - имеем возможность стабилизации всей окружности угловых положений равновесия.

Эти индуцированные положения физически неустойчивы, а устойчивость приобретается только в результате действия внешнего возмущения. Таким образом, рассматриваемая система находятся на границе устойчивости. При незначительном изменении параметров возмущения система стремится занять физически устойчивое положения равновесия - нижнее положение равновесия для случая перевернутого маятника и некоторое другое положение равновесия для случая горизонтального возбуждения точки подвеса.

В условиях действия как механической, так и магнитной вибрации установлен эффект переключений между положениями равновесия. Положение равновесия, режим движения системы и «частота» переключений определяются характеристиками самой системы, параметрами возмущения и начальными условиями.

Анализ динамики системы проведен по графикам колебательных процессов, фазовым портретам, а также по построенным поверхностям состояния, контурным диаграммам и диаграммам состояний. Построенные диаграммы и поверхности состояний в пространстве параметров исследования позволили выявить множество особых точек, связанных с отображениями на плоскость физических параметров.

Установлено, что контурные диаграммы являют собой аналог диаграммы Айнса-Стретта для электромеханических систем. Это позволяет производить приближенный анализ таких систем путем сравнения уравнений движения рассматриваемой системы и уравнения Матье, которое хорошо изучено. На диаграммах четко различаются зоны устойчивых и неустойчивых состояний системы, а также кривыми отмечаются границы перехода состояния системы из одного состояния в другое (переключения).

Отмечено, что для уменьшения зон хаотичного поведения в систему необходимо вводить силы диссипации. Изменением коэффициентов диссипации можно управлять масштабом контурных диаграмм.

По результатам исследования выявлена аналогия действия на маятниковую систему механической и магнитной вибраций. Следовательно, эффект переключений заложен в самой системе и инициируется внешним гармоническим воздействием.

Установление физической сущности агрегатного коэффициента у позволило разработать методику проектирования магнитных вариометров и дать рекомендации по их проектированию.

Суммируя полученные результаты, можно констатировать, что цель диссертационной работы, заключающаяся в исследовании динамики маятниковых систем в условиях механических и магнитных вибраций, достигнута.

В работе:

1. Построена связанная система уравнений движения маятниковой системы в условиях механических и магнитных вибраций.

2. Впервые исследованы состояния равновесия маятниковой системы в пространстве ее физико-механических, геометрических и магнитных параметров.

3. Установлена физическая сущность агрегатного коэффициента, связывающего физико-механические, геометрические и магнитные параметров системы.

4. Исследованы режимы скачкообразных переключений, что позволяет проектировать высокоскоростные переключатели для различных областей науки и техники.

5. Разработана методика проектирования высокочувствительных датчиков магнитных и вибрационных полей, а также силовые электромеханические элементы.

6. Даны рекомендации по проектированию магнитных вариометров.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 416 с.

3. Баталова 3. С., Белякова Г. В., Бухалова Н. В. Периодические движения маятника с колеблющейся осью. //Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - №6. - С. 18-25.

4. Безручко Б.П. Нелинейные маятники и их модели // Соросовский образовательный журнал. 2000. - Т. 6, №9. - С. 95-102.

5. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1958.-408 с.

6. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. - 894 с.

7. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994. - 400 с.

8. Бутенин Н. В., Фуфаев Н. А. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1991.-256 с.

9. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 384 с.

10. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

11. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И.И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979.-351 с.

12. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов / Под ред. Ф.М. Диментберга и К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1980. - 544 с.

13. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В. Фролова. М.: Машиностроение, 1981. - 456 с.

14. Геофизический комплекс GI-MTS-1. Техническое описание. СПб.: СПбФ ИЗМИРАН, 2006. - 15 с.

15. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: учеб. пособие для студентов ВУЗов. изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2001. -395 с.

16. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 911 с.

17. Джашитов В.Э., Панкратов В.М. и др. Нелинейная динамика периодически возмущаемых многостепенных математических маятников: учеб. пособие / В.Э. Джашитов, В.М. Панкратов, Ю.В. Чеботаревский, А.В. Голиков. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2006. -104 с.

18. Дьяконов В. Simulink 4. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. -528 с.

19. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. -М.: УФН, 1999.-400 с.

20. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. - Т. 21, В. 5. - С. 588-597.

21. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. - Т. 64,1. B. 1.-С. 7-20.

22. Кротевич Н.Ф. Магнитные микровариационные измерения и аппаратура для магнитотеллургических исследований. Новосибирск: Изд-во «Наука», сибирское отд-ние, 1972. - 227 с.

23. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматгиз, 1997.-496 с.

24. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. 1. Механика. 5-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.-224 с.

25. Левшина Е.С., Новицкий П.В. Электрические измерения физических величин: (Измерительные преобразователи). Учеб. Пособие для вузов. -Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1983. 320 с.

26. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.:Физматгиз, 1961. - 824 с.

27. Мартынеко Ю.Г., Формальский A.M. Управление маятниковыми системами // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (22 28 августа 2006). Аннотации докладов, Т. 1 - Нижний Новгород: Изд-во НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006. - С. 84.

28. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение (Ленингр. отд-ние), 1975.-200 с.

29. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971.-304 с.

30. Мусалимов В.М. Оптимальное управление прецизионными системами с релаксационными связями // Новое в теории точности и качества машин и приборов. Вып. 7 (РАН, ИПМаш РАН, препринт 133). СПб, 1997.1. C. 44-49.

31. Мусалимов В.М., Петрищев М.С., Чан Нгок Чау. Моделирование динамики нелинейных маятников на вибрирующем основании // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. - Т. 49, № 7. - С. 48-51.

32. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 535 с.

33. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

34. Иманкул Т.Ш., Оптимальное управление движением маятника // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (22 28 августа 2006). Аннотации докладов, Т. 1 - Нижний Новгород: Изд-во НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006. - С. 60.

35. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1987.-357 с.

36. Патент РФ № 2287837, МПК G 01 R 33/038, опубликованный 20.11.2006 в Бюл. № 32. («Датчик магнитометра», авторы: Копытенко Ю.А., Коробейников А.Г., Мусалимов В.М., Петрищев М.С., Сергушин П.А., Ткалич В. Л.)

37. Патент РФ № 2244290, МПК G 01 N 19/02, опубликованный 10.01.2005 в Бюл. №1.

38. Петрищев М.С. Динамика маятниковых систем в магнитных полях // Материалы семинаров политехнического симпозиума «Молодые ученые- промышленности Северо-Западного региона». Декабрь 2005 г. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2005. - С. 67 - 68.

39. Смирнов А.Б. Мехатроника и робототехника. Системы микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами: Учеб. пособие.- СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 160 с.

40. Управление мехатронными вибрационными установками / Под ред. И.И. Блехмана и АЛ. Фрадкова. СПб.: Наука, 2001. - 278 с.

41. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. В 3-х т. Т. 3. / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 567 с.

42. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Нелинейная электромеханика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 360 с.

43. Фрадков A.JI. Кибернетическая физика: принципы и примеры. СПб.: Наука, 2003.-208 с.

44. Широносов В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 2001. - 92 с.

45. Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР. 1956. - Т. 110. № 3. - С. 345-347.

46. Хаяси Е., Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.-432 с.

47. Заявка на патент РФ № 2005130568 от 03.10.2005 «Устройство для измерения параметров магнитного поля». Авторы: Копытенко Ю.А., Коробейников А.Г., Мусалимов В.М., Петрищев М.С., Сергушин П.А., Ткалич B.J1.

48. Bellman R., Bentsman J., Meerkov S. Vibrational control of nonlinear systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1986. V. AC-31. № 8. P. 710-724.

49. Belyaev A., Guran A., eds. Selected topics in structonics and mechatronic systems. World Scientific Publishers, 2003. - 441 p.

50. Blekhman I., Indeitsev D. Selected topics in vibrational mechanics, World Scientific Publishers, 2004. 400 p.

51. Butikov E. On the dynamic stabilization of an inverted pendulum // Am. J. Phys. 69 (6), June 2001.

52. Lichtenberg A., Lieberman M. Regular and Chaotic Dynamics. Springer, NY, 1992.

53. Meerkov S.M. Principle of vibrational control: theory and applications // IEEE Trans. Aut. Contr. 1980. - V. AC-25. - P. 755-762.

54. Stephenson A. On a New Type of Dynamical Stability / Mem. Proc. Manch. Lit. Phil. Soc. 52,1-10; On Onduced Stability, Phil. Mag. 1908. - no. 15. -P. 233-236.

55. Van der Pol B. Forced oscillators in a circuit with nonlinear resistance (reception with reactive triode) / Philos. Mag. 1925. - N. 3. - P. 64.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИЛОЖЕНИЙ